Tài liệu Đề thi học kì 2 môn toán pptx

Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009 Trường Phổ Thông Năng Khiếu MÔN THI: TOÁN Lớp 11. Thời gian: 90 phút (Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D) Câu 1. a)Tính 2 2 2 56 lim 616 x xx xx → −+ +− b) Tính () () () 2 41 lim 2 12 x x x x xx →−∞ + + −+ Câu 2. Gọi ( ) C là đồ thị của hàm số 31 2 x y x − = + . Viết phương trình đường thẳng ( ) d tiếp xúc với ( ) C tại ( ) ;4 M Mx − Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số 2 cos 31 2 x yx x =+− + b) Chứng minh phương trình 3 510xx−+= có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Câu 4. Cho hình chóp .SABCD , ( ) ( ) SAB ABC ⊥ . Tam giác ABS đều có tâm I , ,2 ACBCACBCa ⊥== . a) Chứng minh ( ) SI ABC⊥ và tam giác ASC cân. b) Chứng minh IS IA IB IC=== . Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ) ABC c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB d) Tính góc tạo bởi ( ) SAC và ( ) ABC Hướng dẫn giải Câu 1. a) Ta có ( )( ) ()() 2 2 22 2 23 56 323 1 lim lim lim 616 2 8 828 10 xx x xx xx x xx x x x →→ → −− −+ − − ====− +− − + + + b) Ta có () () () ()( ) ()( ) ()( ) () 2 2 2 2 241 41 lim 2 lim 12 12 21 21 14 14 24 1 lim lim lim 2 11 1 11 xx xx x xx x x xxx xxx x xx xx xx xx x xx →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ ++ + +=−= −+ −+ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ++ ++ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ++ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠ =− =− =− =− − ⎛⎞ ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Câu 2. 31 2 x y x − = + Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk 2 Ta có ( ) ( ) () () 22 3231 7 22 xx y xx +− − ′ == ++ Ta có ()() 31 ;4 4 1 2 M MM M x Mx C x x − −∈ ⇒−= ⇒ =− + Ta có () () 2 7 17 12 y ′ −= = −+ . Vậy phương trình đường thẳng ( ) d tiếp xúc với ( ) C tại ( ) 1; 4 M − − là: ( ) 714 yx = +− hay 73yx= + Câu 3. a) 2 cos 31 2 x yx x =+− + Ta có ( ) ( ) () () 2 2 22 22 sin 2 2 cos 3 3 sin 2 cos 2sin 23 1 23 1 22 xx x x x xxx x y xx xx −+− ++ ′ =− =+ ++ ++ b) ( ) 3 51f xx x=−+ . Ta có f là hàm số liên tục trên \ Ta có ( ) 13 f =− và ( ) 313 f = Ta có ( ) ( ) 1. 3 39 0 ff =− < , suy ra phương trình ( ) 0 fx = có nghiệm trong khoảng ( ) 1; 3 Vậy phương trình 3 510xx−+= có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Bài 4. Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk 3 I E D B A S C F a) Vì tam giác SAB đều và I là tâm tam giác đều nên SI AB⊥ . Ta có ()( ) ()( ) () SAB ABC AB SAB ABC SI AB SI ABC ⊥⎧ ⎪ =∩ ⎨ ⎪ ⊥ ⎩ ⇒⊥ Gọi D là giao điểm của SI và AB thì D là trung điểm AB . Tam giác ABC vuông cân tại C nên 22AB AC a== Ta có .3 3 2 AB SD a== và 1 2 CD AB a== Ta có () SD ABC SD CD ⊥⇒⊥ , suy ra () 2 22 2 32 SC DC SD a a a=+= += Tam giác SAC có 2SA SC a== nên cân tại S b) Tam giác ABC vuông cân tại C có D là trung điểm AB nên 1 2 CD AB DB DA=== Vì D là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( ) ABC và DA DB DC = = nên ta có IAIBIC == . Mặt khác I là tâm của tam giác đều SAB nên IAIBIS = = . Vậy ISIAIBIC === Nguyễn Tăng Vũ http://vuptnk.tk 4 Vì CD là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ) ABC nên góc giữa SC và mặt phẳng () ABC là n SCD . Ta có n n 0 33 sin 60 22 SD a SCD SCD SC a == =⇒ = Vậy góc giữa SC và mặt phẳng () ABC bằng 0 60 c) Vẽ ()() 1DF SC F SC⊥∈ . Ta có () () 2 AB SD AB SCD AB DF AB CD ⊥ ⎧ ⇒⊥ ⇒⊥ ⎨ ⊥ ⎩ Từ (1) và (2) ta có DF là đoạn vuông góc chung của SC và AB . Ta có n 0 3 .sin .sin 60 2 a DF CD FCD a=== Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là 3 2 a d) Gọi E là trung điểm AC , ta có SE AC⊥ (do tam giác SAC cân tại S ) Trong tam giác ABC có DE là đường trung bình nên // DE CB DE AC⇒⊥ . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng () SAC và ( ) ABC là góc giữa hai đường thẳng SE và DE . Ta có n 323 tan 6 22 2 SD a SED DE a == = = n 0 67 47SED ′ ⇒= Vậy góc giữa hai mặt phẳng () SAC và () ABC là 0 67 47 ′ . ()() 2 2 22 2 23 56 323 1 lim lim lim 616 2 8 828 10 xx x xx xx x xx x x x →→ → −− −+ − − ====− +− − + + + b) Ta có () () () ()( ) ()( ) ()( ) () 2 2 2 2 24 1. 3. a) 2 cos 31 2 x yx x =+− + Ta có ( ) ( ) () () 2 2 22 22 sin 2 2 cos 3 3 sin 2 cos 2sin 23 1 23 1 22 xx x x x xxx x y xx xx −+− ++ ′ =− =+ ++ ++ b) (