Nhng thùc tÕ ta cã thÓ chøng minh c¸c c«ng thøc ®ã nhê vµo kiÕn thøc THCS.[r]
(1)Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********************************
“Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin cơng thức đờng
trung tun tam gi¸c” ****************************************
Trờng thcs thạch kim Họ tên: phan đình ỏnh
Năm học: 2007 - 2008
S giỏo dục - đào tạo hà tĩnh
(2)“Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin công thức đờng
trung tuyến tam giác ******************************
Hà tĩnh, ngày 20 tháng tháng năm 2008
I.t :
Chúng ta biết công thức rông,định lý hàm số côsin công thức đờng trung tuyến tam giác đợc đa vào chơng trình sách giáo khoa lớp 10 nhng việc chứng minh lại nhờ vào công cụ véc tơ Nhng thực tế ta chứng minh cơng thức nhờ vào kiến thức THCS Sau tơi xin trình bày cách chứng minh nhờ vo kin thc THCS
II.GIảI QUYếT VấN Đề:
Bài tốn: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đờng cao đờng trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C lần lợt h ❑a , h ❑b , h ❑c , m ❑a , m ❑b , m ❑c .S p lần lợt diện tích chu vi tam giác ABC
Chøng minh:
a, S = √p(p − a)(p −b)(p −c) (1)
b, b ❑2 = a
❑2 + c ❑2 - 2acCosB (2) a ❑2 = b
❑2 + c ❑2 - 2bcCosA (3) c ❑2 = a
❑2 + b ❑2 - 2abCosC (4) A Bài giải:
h ❑a x a - x
B H C
a, Giả sử: AH = h ❑a (hình 1) ta có: BC = BH + CH (*)
(3)
ha2+x2=c2
a − x¿2=b2
¿ ¿ ¿{
ha2+¿
(I)
Trừ vế theo vế hai phơng trình hÖ (I) ta cã: 2ax - a ❑2 = c
❑2 - b ❑2 ⇒ x = a
2
− b2+c2
2a (5)
Thay (5) vào phơng trình đầu hệ (I) ta đợc: h ❑a2 + ( a
2
− b2+c2
2a ) ❑2 = c ❑2
⇒ h ❑a2 = (c + a
2
− b2+c2
2a )(c -
a2− b2+c2
2a )
= ac+a
2
−b2+c2
2a
2 ac− a2+b2− c2
2a
=
a+c¿2−b2 ¿ ¿ ¿
a − c¿2 ¿
b2−¿ ¿
= (a+b+c)(a+c −b)(a+b − c)(b+c − a) 4a2
Vì p chu vi tam giác ABC nên a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c), a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) Do đó:
h ❑a2 =
4p(p − a)(p − b)(p − c)
a2 ⇒ h ❑a =
2
a
√p(p − a)(p −b)(p −c) ⇒
2ha.a = √p(p − a)(p −b)(p −c) ⇒ S =
√p(p − a)(p −b)(p −c)
Vậy công thức (1) đợc chứng minh Bằng cách thay đổi vai trò a,b,c ta đợc: h ❑b =
b √p(p − a)(p −b)(p −c)
h ❑c =
c √p(p − a)(p −b)(p −c)
Chó ý:Trêng hỵp điểm H nằm đoạn thẳng BC chứng minh t¬ng tù
Nh ta tính đợc độ dài đờng cao diện tích tam giác thông qua đọ dàI cạnh tam giác
b, Gi¶ sư trung tun AM = m ❑a A
h ❑a m ❑a B C (h×nh2) H M
(4)áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH ABH ta có: AH ❑2 + CH
❑2 = AC ❑2 AH ❑2 + BH ❑2 = AB ❑2 Trừ theo vế hai đẳng thức ta có:
CH ❑2 - BH
❑2 = AC ❑2 - AB ❑2
⇒ (BC - BH) ❑2 - BH
❑2 = AC ❑2 - AB ❑2
⇒ BC ❑2 - 2BC.BH = AC
❑2 - AB ❑2 Hay a ❑2 - 2a.BH = b
❑2 - c ❑2 ⇒ BH = a
2
+c2− b2
2a (6)
Trong tam giác vuông ABH có cosB = BH
AB kÕt hỵp víi (6) suy cosB = a2+c2− b2
2ac hay
b ❑2 = a
❑2 + c ❑2 - 2ac cosB (i)
Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C ta đợc:
c ❑2 = a
❑2 + b ❑2 - 2ab cosC (ii)
*Gi¶ sư AB < AC BH < BM nên HM = BM - BH = a
2 - a
2
+c2− b2
2a =
c2−b2
2a ⇒
HM = c2−b2 2a
Từ m ❑a2 = AM ❑2 = AH ❑2 + HM ❑2 = AB ❑2 - BH ❑2 +
HM ❑2
= c ❑2 - ( a
+c2− b2
2a ) ❑2 + (
c2−b2
2a ) ❑2
= c ❑2 - a
+2a2(c2−b2)
4a2 ⇒
m ❑a2 = c
2
+b2
2 −
a2
4 (iii)
Nếu AB > AC tráo đổi ký hiệu điểm B với điểm C (hình 2) cơng thức (iii) đổi vị trí b với c nên ta vẩn có cơng thức (iii)
Nếu AB = AC H trùng với M lúc :
(5)❑2 - a
2
4 nghĩa cụng thc (iii) ỳng
*Bâygiờ ta xét trờng hợp tam giác ABC có góc A nhọn tù vuông
1, Tam giác ABC có gãc nhän
Tam giác ABC có góc B , C nhọn nên có cơng thức (i),(ii),(iii) Nếu góc A nhọn áp dụng kết chứng minh tam giác có góc A,C ta có cơng thức m ❑b a, với tam giác có góc A,B nhọn ta có công thức m ❑c Nh với tam giác ABC có ba góc nhọn ta có cơng thức sau:
a ❑2 = b
❑2 + c ❑2 - 2bc cosA b ❑2 = a
❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a
❑2 + b ❑2 - 2ab cosC m ❑a2 = c
2
+b2
2 −
a2
4 m ❑b2 = a
2
+c2
2 −
b2
4 m ❑c2 = a
2
+b2
2 −
c2
4
2,Tam gi¸c ABC cã gãc A tï
Khi tam giác ABC có góc A tù góc B,C nhọn nên có cơng thức (i),(ii),(iii).Ta cần xét thêm công thức a, m ❑b , m ❑c Gọi BK đờng cao tam giác ABC (hình 3)
áp dụng định lý Pitago tam giác BCK có BK ❑2 + CK
❑2 = BC ❑2 vµ tam gi¸c BAK cã
BK ❑2 + AK
❑2 = AB ❑2 Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta có
CK ❑2 - AK
❑2 = BC ❑2 - AB ❑2 ⇒ (AC + AK) ❑2 - AK
❑2 = BC ❑2 - AB ❑2 K
A
(h×nh 3) N
B C ⇒ AC ❑2 + 2AC.AK = BC
❑2 - AB ❑2 Hay b ❑2 + 2b.AK = a
❑2 - c ❑2 ⇒ AK = a
2− b2−c2
(6)XÐt tam gi¸c ABK cã Cos(180 ❑0 - ¢) = AK
AB Từ suy ra: Cos(180 ❑0 - Â) = a
2− b2−c2
2 bc hay a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 + 2bcCos(180 ❑0 - ¢)
TÝnh m ❑b2 = BN ❑2 = BK ❑2 + KN ❑2 = AB ❑2 - AK ❑2 +
(AK + AN) ❑2
= AB ❑2 + AN
❑2 + 2AN.AK Hay m ❑b2 = c ❑2 + b
2
4 +
a2− b2−c2
2 =
a2+c2
2 −
b2
4 Tráo đổi kí hiệu điểm B với điểm C (hình 3)
Từ công thức m b2 ta thấy lại c«ng thøc m ❑c2 = a
2
+b2
2 −
c2
4 m ❑c2 Nh với tam giác ABC có góc A tù ta vẩn có cơng thức
®-êng trung tuyÕn m ❑a2 = c
2
+b2
2 −
a2
4 m ❑b2 = a
2
+c2
2 −
b2
4 m ❑c2 = a
2
+b2
2
c2
4
Còn với cạnh có công thức: a 2 = b
❑2 + c ❑2 + 2bc cos(180 ❑0 - ¢) b ❑2 = a
❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a
❑2 + b ❑2 - 2ab cosC 3,Tam giác ABC có góc A vuông
Khi gúc A vng (hình 4) theo định lý Pitago có a ❑2 = b
❑2 + c ❑2 góc B,C nhọn nên công thức
b ❑2 = a
❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a
❑2 + b ❑2 - 2ab cosC m ❑a2 = c
2
+b2
2 −
a2
4 vẩn
C«ng thøc m ❑a2 = c
2
+b2
2 −
a2
4 trë thµnh m ❑a2 =
a2
4 (do a ❑2 = b ❑2 + c ❑2 )
⇒ m ❑a = a
2 Ta cã m ❑b2 = BN ❑2 = AB ❑2 + AN ❑2
⇒ m ❑b2 = c ❑2 + b
2
4 B Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C điểm N P M với điểm
(7)m ❑b2 = c ❑2 + b
2
4 ta cã m ❑c2 = b ❑
2 + c
4 A N C
Nh với tam giác vuông ABC ta có công thức:
b 2 = a
❑2 + c ❑2 - 2ac cosB c ❑2 = a
❑2 + b ❑2 - 2ab cosC a ❑2 = b
❑2 + c ❑2 m ❑a = a
2 m ❑c2 = b ❑2 + c
2
4 , m ❑b2 = c ❑
2 + b2
4 III.KÕT LN:
Sử dụng cơng thức ta giải đợc nhiều toán hệ thức lợng tam giác kiến thức THCS.Nh chịu khó tìm tịi suy nghĩ kiến thức lớp cao cần sử dụng kiến thức THCS chứng minh đợc.Trên ví dụ nhỏ nhoi vơ vàn kiến thức mà làm điều tơng tự mong thầy cô , đồng nghiệp tham khảo góp ý