Mở đầu về phương trình

“Phương trình này nghiệm đúng với mọi x”. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó..  Hướng dẫn: Thực hiện phương pháp chuyển vế hoặc chuyển vế dạng tích. Nhận xét rằng:..  Hướng[r]

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH A BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN

1 PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Ví dụ 1: Ta gọi hệ thức:

 2x  3 x phương trình với ẩn số x  3y 2 y phương trình với ẩn số y …

từ ta có định nghĩa phương trình ẩn: Một biểu thức x có dạng:

    A x B x

trong vế trái A x  vế phải B x  hai biểu thức biến x, gọi phương trình ẩn

 Chú ý:

 Hệ thức x m (với m số đó) phương trình Phương trình rõ m nghiệm

 Một phương trình có nghiệm, hai nghiệm,…, khơng có nghiệm có vơ số nghiệm Phương trình khơng có nghiệm gọi phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Hãy cho ví dụ về:

a) Phương trình với ẩn y b) Phương trình với ẩn u  Giải

Ta có:

 Phương trình với ẩn y 3y 4  Phương trình với ẩn u 4 u u 1

Ví dụ 3: Khi x6, tính giá trị vế phương trình: 2x 5 3x 1  Giải

Với x6 thì:

2 2.6 17;

VT  x    VP3x  1 1    17

 Nhận xét: Ta thấy hai vế phương trình nhận giá trị x6 Ta nói x6 nghiệm phương trình

Ví dụ 4: Cho phương trình 2x   1 x a x  2 có thỏa mãn phương trình không?

a Thay x 2 vào phương trình, ta được:

   

2 1             7 2 5, sai Vậy x 2 không thỏa mãn phương trình

b Thay x2 vào phương trình, ta được:  

2 1          7 1, sai Vậy x2 không nghiệm phương trình GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình thường kí hiệu S

Ví dụ 5: Hãy điền vào chỗ trống ( ):

a Phương trình x2 có tập nghiệm S = b Phương trình vơ nghiệm có tập nghiệm S =  Giải

Ta có:

 Phương trình x2 có tập nghiệm S  2  Phương trình vơ nghiệm có tập nghiệm S  

Khi toán yêu cầu giải phương trình, ta phải tìm tất nghiệm (hay tìm tập nghiệm) phương trình

3 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa: Hai phương trình có tập nghiệm hai phương trình tương đương

Ví dụ 6: Hai phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? 0,

x  (1)

1

x  (2)

 Giải

Giải phương trình (1), ta được:  

1

2 S x  

Giải phương trình (2), ta được:  

2

2 S x  

Vậy, ta thấy S1S2, hai phương trình cho tương đương với  Nhận xét:

2 Nếu S1S2   hai phương trình tương đương, “Hai phương trình vơ nghiệm tương đương với nhau”

Ví dụ 7: Hai phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? 2,

x  (1)

2 8 15 0.

x  x  (2)

 Giải

Ta lựa chọn hai cách sau:

Cách 1: Giải phương trình (1), ta được:  

1

1 S x  

Giải phương trình (1), ta được:

 

2 8 15 0 8 16 1 0

x  x   x  x  

 2   

4 4

x x x

         

x 5x 3 x

      x 3 S2  5,3

Vậy, ta thấy S1S2 hai phương trình khơng tương đương

Cách 2: Giải phương trình (1), ta được:  

1

1 S x  

Thay x1 vào phương trình (2), ta được:

2

1 8.1 15 0   8 0, mâu thuẫn tức là, x1 nghiệm (2) Vậy, hai phương trình khơng tương đương  Nhận xét:

1 Như vậy, để xét tính tương đương hai phương trình cho, lời giải giải phương trình (1) nhận xét x1 khơng phải nghiệm phương trình (2), từ kết luận “Hai phương trình tương đương” Sở dĩ lựa chọn hướng làm việc giải phương trình (2) khó khăn

2 Như vậy, để chứng tỏ hai phương trình khơng tương đương, ta lựa chọn hai cách:

Cách 1: Tìm tập hợp nghiệm phương trình, đưa nhận xét hai tập hợp

Cách 2: Chỉ giá trị ẩn nghiệm phương trình khơng nghiệm phương trình

B BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN Dạng tốn 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

 Hướng dẫn: Kiểm nghiệm cách thay x 1 vào phương trình đó:  Nếu đẳng thức kết luận x 1 nghiệm phương trình

 Nếu đẳng thức sai kết luận x 1 khơng nghiệm phương trình  Giải

a Thay x 1 vào phương trình ta được:

   

4 1        1 5 (luôn đúng) Vậy, ta thấy x 1 nghiệm phương trình b Thay x 1 vào phương trình ta được:

   1 3    0 (mâu thuẫn)

Vậy, ta thấy x 1 nghiệm phương trình c Thay x 1 vào phương trình ta được:

   

2 1       3 3 (luôn đúng) Vậy, ta thấy x 1 nghiệm phương trình

VÍ DỤ 2: Trong giá trị t  1,t0 t1, giá trị nghiệm phương trình?  2

2 t  t

 Hướng dẫn: Thay giá trị t vào phương trình  Giải

Ta lần lượt:

 Với t 1 phương trình có dạng:

 2   2

1 4 1,

          

Vậy, ta thấy t 1 nghiệm phương trình  Với t0 phương trình có dạng:

2

2 3.0 4  4 4,

Vậy, ta thấy t0 nghiệm phương trình  Với t1 phương trình có dạng:

 2 2

1 2 3.1 4 3    3 7, sai Vậy, t1 không nghiệm phương trình

VÍ DỤ 3: Xét phương trình x  1 x Ta thấy số nghiệm Người ta cịn nói

“Phương trình nghiệm với x” Hãy cho biết tập nghiệm phương trình  Hướng dẫn: Hãy nhớ xét toán tập số nào?

 Giải

 Hướng dẫn: Thực phương pháp chuyển vế chuyển vế dạng tích  Giải

Ta lựa chọn hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình sau:

2 4 5 9 32 3

x    x    x x 3 Vậy, phương trình có hai nghiệm x3 x 3

Cách 2: Biến đổi phương trình sau:

  

2 4 5 9 0 3 3 0

x    x    x x 

3

3

x

x x

  

    

 x 3

Vậy, phương trình có hai nghiệm x3 x 3  Nhận xét: Qua lời giải ta nhận thấy:

1 Phương trình:

2 .

x a   x a Phương trình:

0

A B  A B 0 viết 0 A B

    

VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp nghiệm phương trình sau: a x2x2 x24 c 1.

2 x  

b 1

x  d 2x 2 2x3

 Hướng dẫn: Sử dụng phép đánh giá khác cho phương trình  Giải

a Biến đổi tương đương phương trình dạng:

x2x2 x2 4 x2 4 x2 4, với x

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  b Nhận xét rằng:

0

VT  , với x1

do phương trình vơ nghiệm

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S   c Nhận xét rằng:

0

VT  x  , với x;

VP  , ln âm, phương trình vơ nghiệm Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  

2 2

VT  x  x VP, phương trình vơ nghiệm Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  

 Nhận xét: Qua ví dụ trên, nhận thấy:

1 Ở câu a), việc đánh giá VT VP với x, đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S ” Tuy nhiên, nhiều trường hợp dù có VT VP lại khơng thể kết luận vậy, thí dụ:

2

1 1 x

x x

 

 

Ta có:

  

2

1 1

1 1

1

x x

VT VP

x x x

x

 

   

  



Và trường hợp ta lại kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S \ 1;1 ” – Các em học sinh thử lí giải sao?

2 Ở câu b), việc đánh giá VT 0 với x1, đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S  ”

3 Ở câu c), việc đánh giá VT 0 VP0 với x, đưa kết luận

“Phương trình có tập hợp nghiệm S  ”

4 Ở câu d), việc đánh giá đượcVT VP với x, đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S  ”

5 Cả câu a), b), c), d) cho làm quen với việc “Sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình”

VÍ DỤ 6: Chứng minh phương trình x x 0 nghiệm với x0  Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối số

 Giải

Nhận xét rằng, với x0 ta ln có: x  x

Do đó:

0 x x   x x

Vậy, phương trình cho nghiệm với x0 VÍ DỤ 7: Cho phương trình:

3 mx  m x 

Chứng tỏ phương trình ln nhận x2 làm nghiệm, dù m lấy giá trị  Giải

Với x2, ta được: 3;

suy ra: VT VP

Vậy, phương trình nhận x2 làm nghiệm, dù m lấy giá trị VÍ DỤ 8: Cho phương trình:

m23m2x2  m 1, với m tham số

Chứng minh rằng:

a Với m1, phương trình nghiệm với x b Với m0, phương trình vơ nghiệm

c Với m3, phương trình nhận x1 x 1 làm nghiệm  Giải

a Với m1, phương trình có dạng: 123.1 2 x2   1 1 0x2 0

do đó, phương trình có nghiệm với x b Với m0, phương trình có dạng:

023.0 2 x2   0 1 2x2  1

Nhận xét rằng: 0;

VT  VP  1

nên phương rình vơ nghiệm

c Với m3, phương trình có dạng:

323.3 2 x2   3 1 2x2  2 x2    1 x 1

do đó, phương trình nhận x 1 x  1 làm nghiệm Dạng tốn 2: HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

VÍ DỤ 1: Hai phương trình x0 x x  1 có tương đương khơng? Vì sao?  Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai phương trình tương đương

 Giải

Hai phương trình cho khơng tương đương, bởi:  Tập nghiệm phương trình x0 S1  0

 Tập nghiệm phương trình x x  1 S2  0;1 Suy S1 S2

VÍ DỤ 2: Chứng tỏ cặp phương trình sau tương đương:

2 4

0, x

x

 

2

x  (2)

 Giải

Nghiệm phương trình (1) giá trị x thỏa mãn:

  

2 4 0 2 2 0

2 2

x x

x

x

x x

  



      

     



 

đó phương trình (2)

Vậy, hai phương trình cho tương đương

 Nhận xét: Như vậy, lời giải để chứng tỏ hai phương trình tương đương với sử dụng cách biến đổi tương đương phương trình phương trình cịn lại

VÍ DỤ 3: Cho hai phương trình:

2 3 2 0

x  x  (1)

2

2x 5x 3 (2)

a Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung x1

b Chứng minh x2 nghiệm (1) không nghiệm (2) c Chứng minh

2

x nghiệm (2) không nghiệm (1) d Hai phương trình cho có tương đương với hay khơng? Vì sao?  Giải

a Với x1, ta được:

2

1 3.1 0  , x1 nghiệm (1)

2

2.1 5.1 0  , x1 nghiệm (2) Vậy, hai phương trình có nghiệm chung x1

b Với x2, ta được:

2

2 3.2 0  , x2 nghiệm (1)

2

2.2 5.2 1  , x2 khơng nghiệm (2) Vậy, x2là nghiệm (1) không nghiệm (2) c Thực tương tự câu b)

d Ta có kết luận hai phương trình khơng tương đương “x2 nghiệm (1) không nghiêm (2)”

C.BÀI TẬP NÂNG CAO TỔNG HỢP Ví dụ 1: Cho phương trình

2

5x 3y 4 3x8y; 2,5x10 0 4x26x5x108

Trong phương trình trên:

a) Phương trình phương trình ẩn?

c) Số tập S  { 4; 0;4} nghiệm phương trình ẩn? Giải

a) Các phương trình 2,5x10 0 4x26x5x108 phương trình ẩn

b) Phương trình 2,5x10 0 phương trình bậc ẩn

c) Lần lượt thay giá trị x 4;0;4 vào phương trình ẩn ta có: ⁕ Với x4 2,5.4 10 0 

nên x4 nghiệm phương trình 2,5x10 0 ⁕ Với x 4 4x26x4.( 4) 26.( 4) 64 24 88   

Và 5x108 5.( 4) 108 88   

Vậy x 4 nghiệm phương trình 4x26x5x108

Nhận xét: Muốn xem số có phải nghiệm phương trình ta xét xem giá trị ẩn thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình cho cách thay vào vế phương trình Nếu hai vế có giá trị số nghiệm phương trình

Ví dụ 2: Cho bốn phương trình:

2x 6 (1)

2 2 3 0

x  x  (2)

2

(x1)(x 5) 2x 15x47 (3)

2

(5x 15)(x  1) (4)

a) Chứng tỏ x3 nghiệm chung bốn phương trình

b) Chứng tỏ x 1 nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) (3)

c) Hai phương trình (1) (2) có tương đương khơng Tại sao? Giải

a) Với x3

- Thay vào phương trình (1) ta có 2.3 6 0    - Thay vào phương trình (2) ta có 322.3 0    

- Thay vào phương trình (3) ta có:

Vế trái (3 1)(3 5) 2.3   2.8 2.9 16 18    2

Vế phải 15.3 47 45 47    2

- Thay vào phương trình (4) ta có (5.3 15)(3 2 1) (15 15).10 0.10 0  

3

x nghiệm bốn phương trình nên nghiệm chung bốn phương trình b) Với x 1

- Thay vào phương trình (3): (x1)(x 5) 2x215x47 ta có:

Vế trái ( 1)( 5) 2.( 1)      2 ( 2).4 2  10

Vế phải 15.( 1) 47    15 47 62

Vậy x 1 nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) (3) nên nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) (3)

c) Hai phương trình (1) (2) khơng tương đương khơng tập nghiệm

Nhận xét: Ta thay số cho vào vế phương trình để xét xem số có phải nghiệm phương trình Từ xác định tập nghiệm phương trình

b) x 1 nghiệm phương trình (2) thay vào làm vế có giá trị

Nhưng khơng nghiệm phương trình (1) (3) thay vào phương trình làm hai vế có giá trị khác

c) Tương tự cách

Ví dụ 3: Cho phương trình với a tham số: (a23a10)x2  a 2 (1)

Chứng minh rằng:

a) Với a2 phương trình (1) nghiệm với giá trị x b) Với a 5 phương trình (1) vơ nghiệm

c) Với a 5 phương trình (1) tương đương với phương trình

(a5)x2016 0 (2) ⁕ Tìm cách giải: Với giá trị ẩn x:

- Nếu hai vế phương trình ln có giá trị phương trình nghiệm với giá trị x(x) Tập nghiệm R

- Nếu hai vế phương trình ln có giá trị khác phương trình vơ nghiệm Tập nghiệm 

- Hai phương trình vơ nghiệm coi hai phương trình tương đương Giải

a) Với a2 phương trình (1) có dạng (223.2 10) x2 2 2

hay 0x2 0 Phương trình (1) nghiệm x

b) Với a 5 phương trình (1) có dạng (25 15 10)  x2  5 2

hay 0x2 7 Phương trình vơ nghiệm hai vế phương trình ln có giá trị khác x

Tập nghiệm phương trình  c) Với a 5 phương trình (2) trở thành

( 5)  x2016 0 hay 0x2016 0 Phương trình vơ nghiệm vế trái khác 0, x Tập nghiệm phương trình  tập nghiệm với phương trình 0x2 7 Do hai phương

Ví dụ 4: Bằng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân giải phương trình: a) (x 2) (2x 4) (3x  6) (50x100) 2550 (1)

b) 2x  6 3x (2)

⁕ Tìm cách giải:

Câu a) lưu ý sử dụng cơng thức tính tổng số hạng dãy số cộng (từ số thứ hai, số số liền trước cộng với số):

Tổng

 (số hạng đầu + số hạng cuối) x Số số hạng

Câu b) sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối: A A<0

 

  

neu A

n A u A

e

Sau giải xong cần kiểm tra để xác định kết tìm có thoả mãn điều kiện hay không Giải

a) (1)(x2x3x  50 ) (2 100)x       2550 (1 50)x (2 100) 2550

           

(1 50).50 (2 100).50 2550 1275 2550 2550

2 x x

 

       

1275x 2550 2550 1275x 5100 x 5100 :1275

         

4 x    b) 2x  6 3x

⁕ Nếu x3 2x  6 2x 6 2x6

Phương trình trở thành 2x  6 3x2x3 =4+6x x= 10 (loại khơng thoả mãn điều kiện)

⁕ Nếu x3 2x  6 2x   6 2x

Phương trình trở thành    2x 3x  2x 3x 4 5x x 0,

     

Vậy phương trình có nghiệm x0,

Ví dụ 5: Xét xem cặp phương trình sau có tương đương khơng? Giải thích a)   5x 2x7  7x 12 0 ;

b) 9x15 12 x27 3x 5 4x9; c) (5x15)(x2 1) 0 3x20 11;

d) 5x 9 11 a x(5  9) 11a với a số

⁕ Tìm cách giải: Để xét cặp phương trình có tương đương hay khơng, ngồi so sánh tập nghiệm ta sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình

a)   5x 2x   7 7x 12 0 theo quy tắc chuyển vế 5x 2x 5x 2x 7x 12

             

b) 9x15 12 x273x 5 4x9 theo quy tắc nhân

1

9 15 12 27 (9 15) (12 27)

3

x  x  x  x  x  x

c) Phương trình (5x15)(x2 1) 0 có x2  1 x

nên (5x15)(x2  1) 0 5x15 0  x 3

Phương trình 3x20  11 3x  11 203x  9 x Tập nghiệm phương trình (5x15)(x2 1) 0 S  3

Tập nghiệm phương trình 3x20 11 S  3 Hai phương trình có tập nghiệm nên

2

(5x15)(x   1) 3x20 11 d) Nếu a0 5x 9 11a x(5  9) 11a theo quy tắc nhân

Nếu a0 a x(5  9) 11a trở thành 0x 0 phương trình nghiệm với x nên khơng tương đương với phương trình 5x 9 11 có nghiệm x4

⁕ Nhận xét:

b) Để ý nhân hai vế với

3 nghĩa chia hai vế cho

c) Khi áp dụng quy tắc nhân phải lưu ý số nhân (hay chia) phải khác Ví dụ Cho phương trình (m29)x22(m3)x49 0 với m số cho

a) Tìm giá trị m để phương trình trở thành phương trình bậc có ẩn số giải phương trình bậc ẩn vừa tìm được;

b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x2

⁕ Tìm cách giải: a) Phương trình bậc ẩn có dạng ax b 0,(a0) Để phương trình cho trở thành phương trình bậc ẩn hệ số x2 m2 9 0 hệ số x m 3 0

b) x x 0 nghiệm phương trình A x( ) B(x) A(x )0 B x( )0 Giải

a) Ta có

2 9 0 ( 3)( 3) 0

3

3

3 m

m m

m

m m

m m

m  

  

         

     



  



Với m 3 phương trình trở thành (9 9) x2  2( 3)x49 0 hay 0x212x49 0 hay

12x 49

   phương trình bậc có ẩn số Nghiệm phương trình 49

12 12 x  

b) Để phương trình có nghiệm x2 ta phải có:

2

(m 9).2 2(m3).2 49 0 

2

4m 36 4m 12 49 4m 4m

         

2

(2 1)

2

m m m

        

Ví dụ Giải phương trình:

(x       1) (x 2) (x 3) (x 2015) 0

⁕ Tìm cách giải: Vế trái phương trình tổng 2015 hạng tử, hạng tử hiệu x số tự nhiên từ đến 2015 Vậy ta có 2015x tổng đại số     1 2015 ta viết thành     (1 2015) sử dụng công thức tính tổng n số tự nhiên khác

(1 )

n

n n

S   để tính

Giải Ta có: (x       1) (x 2) (x 3) (x 2015) 0

2015x (1 2015)

      

(1 2015).2015

2015 2015 1008.2015

x  x

     

2015x 1008.2015 x 1008

   

Ví dụ Giải phương trình:

1

4 99 98 97 96

x  x x x  (1)

⁕ Tìm cách giải: Ở phương trình (1), ta quy đồng mẫu số hai vế mẫu số chung lớn: 99.98.97.96 Để ý hạng tử (phân thức) vế trái bớt (thêm vàp -1) quy đồng cặp xuất (x100)ở tử Vì ta chuyển tử vế phải sang thành 4 tách

4 1 1

      ghép số 1 với hạng tử (Cũng coi cộng vào hai vế số

 )

Giải

a) (1) 1

99 98 97 96

x x x x

       

           

       

100 100 100 100 99 98 97 96

x x x x

    

1 1

( 100)

99 98 97 96

x  

      

  ;

Do 1 1

1.Giải phương trình sau: a 2x 3 3x  4 x 5; b 3x 5 2x 1 4x2

2.Giải phương trình sau:

a x5x  2 3 4x  3 5 x2; b x2 3 x 23 12x x  1 Giải phương trình sau:

a

3

x  x  x x;

b.2 0,5 0,25

5x x x

    

4.Giải phương trình:

a.3 25 2 x  x8x2 x 300; b.2 3  2 1

5 10

x x x

  

  

5.Giải phương trình sau:

a 100 101 102

100 101 102

x x x  x x x ;

b 29 27 25 23 21

21x  23x  25x  27x  29x  

6.Giải biện luận phương trình sau với a tham số:

a 4x 2 a a 1 ;

b

3

x a x a 

7.Giải biện luận phương trình sau với a tham số:

a a ax   1 x 1; b a x a ax2   1

8.Giải biện luận phương trình sau với a tham số:

a 2

4 16

x a x a x a

a a a

      

   ;

b 2

1 1

x a x a

a a a

   

  

9.Giải phương trình a ax  1 x a 2 2, a tham số

10.Tìm giá trị m để:

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

a Biến đổi phương trình cho thành 2x  12 hay x  6 nghiệm phương trình

b Biến đổi phương trình cho thành 3x 8, hay

3

x  nghiệm phương trình

2 a Biến đổi phương trình cho thành

2 7 10 12 9 25 10

x  x   x    x x , hay 5x 6

Vậy phương trình có nghiệm

5

x  b Biến đổi phương trình cho thành

3 6 12 8 6 12 8 12 12 8 x  x  x   x x  x   x  x

hay 12x  24 Phương trình có nghiệm x  2

3

a 2 2 1 6

3

x  x   x x x x   x x  x   x x x  x

Vậy x 3 nghiệm phương trình cho

b.2 0,5 0,25 2  10 2 

5x x x x x x

          

1

8 10 10

2

x x x x x

         

Vậy

2

x  nghiệm phương trình

4

a.Phương trình cho tương đương với 3 100 x8x2 8x2 x 300, hay 101x 303

Phương trình có nghiệm x 3

b.Phương trình cho tương đương với 24 140 30 15

20 20

x x x

      , hay

4 30 x 125 30 x, nghĩa 121 Phương trình vơ nghiệm

Chú ý: Đơi phương trình hệ số có chứa chữ (tham số), giải phương trình cịn gọi giải biện luận phương trình Lúc ta phải chia trường hợp giá trị tham số làm cho hệ số ẩn khác hay thực phép chia

a Nhận xét: Nếu giải phương trình cách quy đồng mẫu số chung phức tạp Nên ta biến đổi “đặc biệt” cách trừ hai vế phương trình cho tách thành tổng ba số -1, phương trình cho trở thành:

5 1 1 1 100 1 101 1 102 1

100 101 102

x  x  x  x  x  x 

105 105 105 105 105 105

100 101 102

x x x x x x

     

 105 1 1 1

100 101 102

x  

         

Ta thấy số thứ hai tích khác 0, nên x 105 nghiệm phương trình cho

b.Cũng có nhận xét trên, ta chuyển -5 sang vế trái tách tổng thành năm số phương trình cho trở thành:

29 1 27 1 25 1 23 1 21 1 0

21 23 25 27 29

x x x x x

              

50 50 50 50 50 0

21x 23x 25x 27x 29x

     

50 x21 23 25 27 291 1 1

        

Ta thấy số thứ hai tích khác o, nên x 50 nghiệm phương trình cho

6

a Biến đổi phương trình cho trở thành 4x a 2 a 2

Phương trình có nghiệm 2

4

a a

x    với giá trị a

b.Biến đổi phương trình cho trở thành 3x3a3x3a6, hay 2a6

Ta thấy a3 giá trị x nghiệm phương trình cho

Nếu a3 phương trình cho vơ nghiệm

7

Ta có: a x a x2    1 x a 2  1 a 1

Nếu a 1 phương trình có nghiệm

1

x a 



Nếu a 1 phương trình có dạng 0x  2, phương trình vơ nghiệm

Nếu a1 phương trình có dạng 0x 0, phương trình nghiệm với giá trị x

a Ta có: a x a ax2    1 ax a   1 a 1

Nếu a1,a0 phương trình có nghiệm x

Nếu a0 phương trình có dạng 0x  1, phương trình vơ nghiệm

Nếu a1 phương trình có dạng 0x 0, phương trình nghiệm với giá trị x

8

Điều kiện để phương trình có nghãi a 4

Với điều kiện đó, biến đổi phương trình cho trở thành:

2

1 0

4 16

x a x a x a

a  a  a  

     

2

4

0 16

x a a x a a x a

a            2

4 4 4 0

16

ax x a a ax a a x a x a

a                

2

0 16

a x a

a

  

 



2a 1x 2 a 1

   

Vậy từ phương trình cuối, ta có:

Nếu ,

2

a a   phương trình có nghiệm x 4

Nếu

2

a phương trình nghiệm với giá trị x

b.Điều kiện để phương trình có nghĩa a 1

Với điều kiện đó, biến đổi phương trình cho trở thành

2

1 0

1 1

x a x a

a a a  

x a a    1 x a 2a

       

2

2ax a 2a

   

Vậy từ phương trình cuối, ta có:

Nếu a0,a  1 phương trình có nghiệm 2

2 a a x a   

Nếu a0 phương trình vơ nghiệm

9

Ta biến đổi phương trình cho thành:

2 2 2

a x a ax   x

2 2 2

a x ax x a

    

 2 2

x a a a

  a a x a

    

Nếu a 1,a 2 phương trình có nghiệm

1

x a  



Nếu a 1 phương trình có dạng 0x 3, phương trình vơ nghiệm

Nếu a2 phương trình có dạng 0x 0, phương trình nghiệm với giá trị x

10

a.Phương trình có nghiệm x 2, giá trị x 2 thỏa mãn phương trình nên tahy giá trị x 2

vào phương trình ta có:

 

5 m3.2 4.5 80  , hay 15m10

Coi m ẩn, ta

3

m 

Vậy với

3

m phương trình nhận x 2 nghiệm

b.Phương trình có nghiệm x 1, giá trị x 1thỏa mãn phương trình nên tahy giá trị

1

x  vào phương trình ta có:

    2

3 2.1m 3.1 2 2 2.1 1 43, hay 15m31

Ta coi m ẩn, ta 31

15

m

Vậy với 31

15

m phương trình nhận x 1 nghiệm