NÕu chóng chuyÓn ®éng cïng chiÒu nhauth× cø sau 10 gi©y l¹i gÆp nhua. BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2km/h[r]
(1)Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn A kiến thức cần nhớ :
1 Phơng trình bậc : ax + b = Ph
ơng pháp giải :
+ Nếu a phơng trình có nghiệm nhÊt : x = −b a + NÕu a = b phơng trình vô nghiệm
+ Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm
2 Hệ phơng trình bậc hai ẩn :
¿
ax + by = c
a'x + b'y =c' ¿{
¿ Ph
ơng pháp giải :
Sử dụng c¸ch sau :
+) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau)
- Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Giải ẩn, suy ẩn thứ hai
B VÝ dô minh häa :
Ví dụ : Giải phơng trình sau ®©y : a) x - 1x +x
x + 2= §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { } b) 2x
3 -
x3+ x +1 =
Giải : ĐKXĐ : x3+ x +1 ≠ (*)
Khi : 2x
3 -
x3+ x +1 = ⇔ 2x = - ⇔ x = −3
2
Víi ⇔ x = −23 thay vµo (* ) ta cã ( −23 )3 + −3
2 + ≠
VËy x = −23 nghiệm
Ví dụ : Giải biện luận phơng trình theo m : (m 2)x + m2 – = (1) + NÕu m th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + Nếu m = (1) vô nghiệm
Ví dụ : Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm ngun (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0.
Gi¶i :
Ta cã : víi m Z 2m , vây phơng trình có nghiÖm : x = (m + 2)
-4 m -
để pt có nghiệm nguyên ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m =
(2)a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x4 = – 2x + x −4 V× y Z ⇒ x – ⋮
Giải ta đợc x = y =
BÀI TẬP PHẦN HỆ PHệễNG TRèNH Baứi : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 3x 4y
b)
x 4y 4x 3y
c)
2x y y 4x
d)
x y x y e)
2x 4x 2y
f)
2 x x y
1, x x y
Baøi : Cho hệ phơng trình : mx y
x my
1) Giải hệ phơng trình theo tham sè m
2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
Baứi : Cho hệ phơng trình: x 2y m
2x y 3(m 2)
1) Giải hệ phơng trình thay m = -1
2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Baứi : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a x (a 1)y
cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức
2x 5y x y
nhận giá trị nguyên. Baứi : Cho hệ phơng trình:
x ay (1) ax y
1) Gi¶i hƯ (1) a =
2) Với giá trị a hệ có nghiÖm nhÊt
Baứi : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình
mx y n nx my
cã nghiƯm lµ 1; 3
Bài : Cho hệ phơng trình
a x y ax y 2a
(a tham số). 1) Giải hệ a =
(3)Baøi (trang 22): Cho hệ phơng trình :
x - (m + 3)y = (m - 2)x + 4y = m -
¿{ ¿
(m lµ tham sè)
a) Gi¶i hƯ m = -1
b) Giải biện luận pt theo m
Baứi : (trang 24): Cho hệ phơng trình :
¿
x - m y =
mx − 4y = m + ¿{
¿
(m tham số)
a) Giải hệ m = -1
b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >
Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng.
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau
4
5 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở
vòi thứ hai sau 65 bể Nếu vịi thứ hai chảy bể
Đáp số : giờ.
Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :
¿
x + y = 10
100x + 20y = 400 ¿{
¿
⇔
¿
x = 2,5
y = 7,5 ¿{
¿ Vậy cần 2,5 lít nước sơi 75 lít nước 200C.
Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dịch ban đầu
Theo baøi ta có hệ pt :
¿ (x+ 200)
y + 200 100 %=50 % (x+ 200)
y + 500 100 %=40 % ¿{
¿
⇔
¿
x =400
y = 1000 ¿{
¿
(4)
Phơng trình bậc hai định lý viet ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ
1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp
a)Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào
(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm
- vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a
Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac
* Δ < ( Δ / < ) phương trình (1) vô nghiệm * Δ = ( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x
1,2 = - b
2a (hoặc x1,2 = - b
❑ a ) * Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = − b −√Δ
2a ; x2 =
− b+√Δ
2a (hoặc x1 = − b
❑− √Δ❑
a ; x2 = − b❑
+√Δ❑
a )
2 Định lý Viét.
Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) S = x1 + x2 = - b
a p = x1x2 = ca
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số l nghim (nu có ) phơng trình bậc 2:
x2 – S x + p =
3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x
1 ,x2 nghiệm ph-ơng trình Ta có kết sau:
x1 x2 trái dấu( x1 < < x2 ) ⇔ p <
Hai nghiÖm dơng( x1 > x2 > ) ⇔ ¿ Δ≥0
p>0 S>0 ¿{ {
¿
Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔
¿ Δ≥0
p>0 S<0 ¿{ {
(5)Mét nghiệm nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) ⇔ ¿ Δ>0 p=0 S>0 ¿{ {
¿
Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ ¿ Δ>0 p=0 S<0 ¿{ {
¿
4.Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm.
XÐt phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)
NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiÖm x1 = , x2 = ca Nếu a b + c = phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = -1 , x2 = -
c a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 phơng tr×nh cã nghiƯm
x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 nó
Cách làm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tích p = x1x2
- Phơng trình cần tìm : x2 S x + p =
c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn
điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*) x1
1
+
x2
=x1+x2
x1x2 =
S p *) xx1
2
+x2 x1=
x12+x22
x1x2 =
S2−2p p
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) x
1−a
+ x2−a
= x1+x2−2a (x1− a)(x2−a)=
S −2a p −aS+a2
(Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn điều kiƯn
Δ≥0 )
d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1
cho tríc T×m nghiƯm thø 2
Cách giải:
Tỡm iu kin phng trỡnh có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: Δ≥0 (hoặc Δ❑
≥0 ) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*)
(6)+) C¸ch 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0
) mà ta thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số
- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai có Δ < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trc
Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm
+) Cỏch 1: Thay giỏ tr tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ
+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghiệm thứ
B Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i.
Ta cã Δ❑
= (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9 + NÕu Δ❑
> ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình cho có nghiệm phân biệt:
x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9 + NÕu Δ❑
= ⇔ m = ±
- Víi m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 =
- Với m = -3 phơng trình có nghiệm lµ x1.2 = -2 + NÕu Δ❑
< -3 < m < phơng trình vô nghiệm Kết kuận:
Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = - phơng trình có nghiệm x = -2
Víi m < - m > phơng trình có nghiệm ph©n biƯt x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9
Với -3< m < phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = 0
Híng dÉn
Nếu m – = ⇔ m = phơng trình cho có dạng - 6x – = ⇔ x = - 12
* Nếu m – ⇔ m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu Δ❑
= ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp x1 = x2 = - b
❑ a =
2
2−3 = -
- NÕu Δ❑
> m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = m±3√m −2
m −3
(7)KÕt ln:
Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = - 12 Víi m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > m phơng trình cã nghiƯm x1,2 = m±3√m −2 m −3
Víi m < phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh
a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 =
c) x2 + ( √3−√5 )x - √15 =
d) x2 –(3 - √7 )x - √7 =
Gi¶i
a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =
Vậy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = , x2 = ca=−20092
b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 =
Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = -1 , x2 = - c
a=−
204
17 = - 12
c) x2 + (
√3−√5 )x - √15 = cã: ac = - √15 <
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( √3−√5 ) = - √3 + √5
x1x2 = - √15 = (- √3 ) √5
VËy phơng trình có nghiệm x1 = - 3 , x2= √5 (hc x1 = √5 , x2 = - √3 ) d ) x2 –(3 - 2
√7 )x - √7 = cã : ac = - √7 <
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có
¿
x1 + x2= - 2√7
x1 x2 = - 6√7= 3(-2√7)
¿{
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = , x2 = - √7
Bài : Giải phơng trình sau cánh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 =
Hc x2 = m+1
3
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)
(8)* m – ⇔ m (*)
⇔ x1=−1
¿ x2=2m−2
m −3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x = a) TÝnh:
A = x12 + x22 B = |x1− x2|
C= x
1−1
+
x2−1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) b) lËp ph¬ng trình bậc có nghiệm x
11
x21
Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| = √S2−4p=√37
+ C = x
1−1
+
x2−1 =
(x1+x2)−2
(x1−1)(x2−1)=
S −2
p − S+1=−
9 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã :
S = x
1−1
+ x2−1=−
1
9 (theo c©u a)
p =
(x1−1)(x2−1)
=
p − S+1=−
1
VËy x
1−1
x21 nghiệm hơng trình :
X2 – SX + p = ⇔ X2 +
9 X -
9 = ⇔ 9X2 + X - =
Bài : Cho phơng trình :
x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)
1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >
Giải. Phơng trình (1) phơng trình bậc hai cã:
Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -
5 k +
(9)= 5(k2 – 2.
5 k + 25 +
36
25 ) = 5(k - ) +
36
5 > víi mäi giá trị
của k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p <
⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2.
2 k + +
7
4 ) <
⇔ -(k - 12 )2 -
4 < với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt trái dấu với k
3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –
x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k - 54 )2 + 87
16 ]
Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k -
4 )2 + 87
16 ] >
⇔ k – > ( v× (2k - 54 )2 + 87
16 > víi mäi k)
⇔ k > Vậy k > giá trị cần tìm Bài 7:
Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phơng tr×nh (1) víi m = -5
2 Chøng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m
3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1) nói phần 2.)
Gi¶i
1 Víi m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x = vµ cã nghiƯm lµ x = , x2 = -
2 Cã Δ❑
= (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + = m2 + 2.m.
2 + +
19
4 = (m + )2 +
19
4 > víi mäi m
Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2
3 Vì phơng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +
2 )2 + 19
4 ]
=> |x1− x2| =
m+1
2¿
+19
4
¿
√¿
2√19
4 = √19 m +
1
2 = ⇔ m = -1
2
Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ √19 m = -
2
(10)1) Giải phơng trình m = - 92
2) Chứng minh phơng trình cho có nghim vi mi m
3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm
Gi¶i:
1) Thay m = - 92 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=
2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – = ⇔ x =
+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :
Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =
2m−1+5
2(m+2) =
2m+4
2m+4=1 x2 =
2m−1−5 2(m+2) =
2(m−3)
2(m+2)= m−3
m+2 Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m
3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp
Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ = m−3
m+2 giải ta đợc m = -
9
2 (đã giải câu 1)
Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= m−m
+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m =
11
(thoả mÃn điều kiện m - 2)
Kim tra lại: Thay m = 112 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm
x1 = , x2 =
5 15 =
1
3 (tho¶ m·n đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè BiƯn ln theo m có nghiệm phơng trình (1)
2 Tỡm m để (1) có nghiệm trái dấu
3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải
1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = 34 + NÕu m LËp biÖt sè Δ❑
= (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m = - m +
Δ❑ < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiƯm Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - b
❑ a =
m−2
m =
4−2
2 =
1
Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1 = m−2−√− m+4
m ; x2 =
(11)m = : phơng trình (1) Có nghiệm kÐp x = 12
m < : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 = m−2−√− m+4
m ; x2 =
m−2+√− m+4 m m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 34 (1) có nghiệm trái dấu ⇔ c
a < ⇔
m−3
m <
⇔
¿m−3>0 m<0
¿ ¿ ¿ m −3<0
¿ m>0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔
¿m>3 m<0
¿ ¿ ¿ m<3
¿ m>0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Trêng hỵp ¿ m>3 m<0 {
không thoả mÃn
Trêng hỵp ¿ m<3 m>0 ¿{
¿
⇔ < m <
3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm Δ❑ ⇔ m (*) (ở câu a có)
- Thay x = vào phơng trình (1) ta cã :
9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - 94 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 94 thoả mÃn *) Cách 2: Không cần lập điều kiện
mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = - 94 Sau thay m = - 94 vào phơng trình (1) :
- 94 x2 – 2(-
4 - 2)x -
4 - = ⇔ -9x2 +34x – 21 =
cã Δ❑
= 289 – 189 = 100 > =>
x1=3 ¿ x2=
7
¿ ¿ ¿ ¿
(12)Cách 1: Thay m = - 94 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = 79 (Nh phần lm)
Cách 2: Thay m = - 94 vào c«ng thøc tÝnh tỉng nghiƯm:
x1 + x2 =
2(m−2)
m =
2(−9
4−2)
−9
=34
9
x2 =
34
9 - x1 =
34
9 - =
Cách 3: Thay m = - 94 vào công trức tÝnh tÝch hai nghiÖm
x1x2 = m−3 m =
−9
4−3
−9
4
=21
9 => x2 = 21
9 : x1 = 21
9 : =
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k tham số 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10
Gi¶i.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép = ⇔ k2 – (2 – 5k) = ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > )
k1 = −5−√33
2 ; k2 =
−5+√33
Vậy có giá trị k1 = 533
2 k2 =
5+33
2 phơng trình (1) Có
nghiệm kép 2.Có cách giải
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: Δ❑ ⇔ k2 + 5k – (*)
Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi Ðt: x1 + x2 = - b
a=¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = 0
(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = - 72
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – + k1 = => Δ❑ = + – = > ; thoả mãn
+ k2 = -
2 => Δ
❑
= 494 −35
2 −2=
49−70−8
4 =−
29
8 không thoả mÃn
Vậy k = giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện
Cách giải là:
(13)Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = + Víi k2 = -
2 (1) => x2- 7x + 39
2 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình
vô nghiệm
Vậy k = giá trị cần tìm
BAỉI TAP PHAN PHệễNG TRèNH BAC HAI Baứi : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x
1 vµ x2 hai nghiệm phơng trình Không giải phơng tr×nh, h·y tÝnh:
1) x12 + x22 2) x1 x1 x2 x2
3)
2
1 2
2 2
1 2
x x x x x x x x x x
Baøi : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0. TÝnh x1 x2 x2 x1 (víi x
1, x2 hai nghiệm phơng trình) Baứi : Cho phơng trình bậc hai:
x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0
1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng trình)
Baứi : Cho phơng trình:
x2 2mx + 2m – = 0.
1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8
Bài : Cho ph¬ng tr×nh:
x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phơng trình với m =
2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả m·n 5x1 + x2 =
Baøi : Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1) 1) Giải phơng trình (1)
2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23 Baứi : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 Baứi : Cho phơng trình:
(m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Giải phơng trình m =
2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Câu9 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
(14)Δ, = m2-2m+1= (m-1)2
0 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m2m−+11 = 2m−1 1 pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1< 2m−1 1 <0
¿
1
2m−1+1>0 2m−1<0
¿{ ¿
=>
¿
2m
2m−1>0 2m−1<0
¿{ ¿
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) m<0
GIẢI BAỉI TOÁN BAẩNG CÁCH LẬP PHệễNG TRèNH Baứi : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm tơ thứ hai Tính vận tốc xe ô tô
Baứi 12 : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 qng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km qng đờng cịn lại Do ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB
Baứi : Hai vịi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nðu chảy thời gian nh lợng nớc vịi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể
Baứi : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu Baứi : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc ơtơ?
Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ
Baứi : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ Baứi : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu
Baứi : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc km/h Khi đến B ca nơ quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô
Baứi : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe
(15)làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có cơng nhân? Biết suất lao động công nhân nh
Baứi 10 : Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình
Baứi 11 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km
Baứi 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc 3km/h
Baứi 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp
Baứi 14 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế?
Baứi 15 : Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong?
Baứi 16 : Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát núc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều
thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều nhauthì sau 10 giây lại gặp nhua Tính vận tốc vật
Baứi 17 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm
Baứi 18 : Một khối lớp tổ chức tham quan tơ Mỗi xe chở 22 h/s cịn thừa 01 h/s Nếu bớt 01 ơtơ xếp h/s ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ơtơ, h/s Mỗi xe chở không 32 h/s
Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất
(16)Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?
Bài 22: Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km
Bµi 23: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?
Bi 24: Hai t hc sinh trồng đợc số sân trờng
Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ
Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ
Hỏi tổ trồng đợc cây? Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc tơ B giảm 5km/h vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B
Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã