Đang tải... (xem toàn văn)
b) Định lý: Sđ của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn c) Định lý đảo: Nếu B Ax có đỉnh nằm trên đtròn, một cạnh chứa dây cung AB, có sđ bằng nửa s[r]
(1)LUYỆN TẬP
CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai số thực a số x cho x2 = a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có bậc hai số đối số dương a, số âm a + Số có bậc hai nó: 0
+ Số thực a < khơng có bậc hai (tức a khơng có nghĩa a < 0)
2 Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với a0 số x a gọi bậc hai số học a Số cũng gọi bậc hai số học
- Chú ý: Việc tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương - Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b a b + Nếu a b a < b
3 Căn thức bậc hai
- Cho A biểu thức biểu thức A gọi thức bậc hai A ; A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu
- A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A0
4 Hằng đẳng thức A2 A
- Định lý : Với số thực a, ta có : a2 a - Tổng quát : Với A biểu thức, ta có :
2 A
-A nêu A<0
A n
A A
B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng : Tìm bậc hai, bậc hai số học * Phương pháp :
- Viết số cho dạng bình phương số - Tìm bậc hai số học số cho
- Xác định bậc hai số cho
Bài 1 : Tìm bậc hai số sau : 121 ; 144 ; 324 ;
1
; 2
64
G
(2)+ CBHSH 144 : 144 122 12 nên CBH 121 12 -12 + CBHSH 324 : 324 182 18 nên CBH 324 18 -18
+ CBHSH
1 64 :
2
1 1
64 8
nên CBH
1 64
1 8
1
+ Ta có :
2
3 2 2 1 1 1( vi 0)
nên CBH 2 1 1
Dạng : So sánh bậc hai số học * Phương pháp :
- Xác định bình phương hai số - So sánh bình phương hai số
- So sánh giá trị CBHSH bình phương hai số Bài 2 : So sánh
a) b) 47 c)2 33 10
d) 1 e) 5- 8v g) 2 11 5v G
a) Vì > nên 4 3 2 b) Vì 49 > 47 nên 49 47 7 47
c) Vì 33 > 25 nên 33 25 33 5 33 10
d) Vì > nên 3 2 3 1 1 1 1 e) * Cách 1: Ta có:
3
3 5
8
* Cách 2: Giả sử
2 2
3 5 8 3 5 3 5 3 24 25
2 24 14 24 24 49
Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức g) Ta có:
2
2 11
11
Dạng 3: Tìm điều kiện để thức xác định: A xác định A0 Bài 3: Tìm điều kiện x để biểu thức sau xác định
2
2 1
) ) ) )
3
x
a x b x c d x
x x
(3)a)
2
0
3x 5 3x 5 x10
b) Ta có: x2 2 0, x x22 xác định với x c)
1
1
0
2
2 x x x x
1
2
x x + Với
1
3
2
2 x x x x x + Với 1
2
2 x x x x x
Vậy thức xác định
3
x
hoặc x1
d)
3 3 5 0
4
2 4 0
0 4 x x x x x x x
Dạng : Rút gọn biểu thức Bài 4: Rút gọn biểu thức sau:
a) A 3 3 c) C 9x2 (x x0)
b) B 5 5 d) D x 4 16 8 x x (x4)
LG
a) Cách :
2
3 3 3
A
Cách :
2 4 (4 3).(4 3) 16 12 2.2 12
2
A A
b)
2
5 5 5
B
c)
2
3 3 ( 0)
C x x x x x x x vi x
d) D x 4 16 8 x x x 4 (4 x)2 x 4 x x 4 x 2( x 4) ( iv x4) Dạng : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
2
) )
4
x x
a y x x b y
G
(4)Vậy Miny = dấu ‘‘ = ’’ xảy x – = => x = b) Ta có :
2
2 1 35 35 35 35
1
4 6 36 36 36
x x x x x
y
vậy Miny =
35
6 Dấu « = » xảy
1 1
0
2 6
x x
x
LUYỆN TẬP
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH cho ta có :
' '
, , , , ,
AH h BC a AB c AC b BH c CH b :
2 ' '
2 ' '
2 2
2 2
1) ;
2) 3)
1 1
4)
5) ( ago)
b a b c a c
h b c b c a h
h b c
a b c Pit
c' b'
h
b
a c
H C
B
A
B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Tìm x, y hình vẽ sau a)
y x
6
H C
B
A
+ Ta có :
2
2
( )
4 52 7, 21
BC AB AC Pitago BC
+ Áp dụng định lý :
2
2
52 2, 22
52 4,99
AB BC BH x x
AC BC CH y y
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99 b)
18 12
y x
H C
B
A
- Xét tam giác ABC vng A áp dụng định lý ta có :
2 . 122 18. 8
18 10
AC BC CH y y
x BC y
(5)9
H C
B
A
y x
4
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho tam giác vng AHB; AHC ta có:
2 2
2 2
4 52
6 117
x BH AH
y CH AH
* Cách 2: Áp dụng định lý ta có:
2 . ( ). (4 9).4 52
52 52
AB BC BH BH CH BH
AB x
2 . ( ). (4 9).9 117
117 117
AC BC CH BH CH CH
AC y
d)
7
x
y A
B C
H
Áp dụng định lý 2, ta có:
2 . 3.7 21 21
AH BH CH x x
Áp dụng định lý ta có :
2
2
( )
(3 7).7 70 70
( 21 49 70)
AC BC CH BH CH CH
y y
y x CH
e)
17
13 x
y A
B C
H
Theo Pitago, ta có :
2 132 172 458
BC AB AC y Áp dụng định lý 3, ta có :
221
13.17 458 10,33
458
AB AC BC AH x x
g)
5
H C
B
A
y
x
Áp dụng định lý 2, ta có :
2
2 . 52 4. 6, 25
4
AH BH CH x x
Theo Pitago cho tam giác AHC vng H, ta có :
2 2
2
5 6, 25
( 1: (4 6, 25).6, 25 8)
y AH CH
DL y BC x y
Bài 2 : Cho ABC vng A, có cạnh góc vng AB = 15cm, AC = 20cm Từ C kẻ
(6)20 15
D
x
y A
B C
µ
, 90 ,
BCD C CA BD
Theo định lý 3, ta có :
2 . 202 15. 80
3
CA AB AD AD AD Theo Pitago tgiác ACD vuông A, ta
có :
2
2 80 202 100
3
CD AD CA
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC, đường thẳng cắt AC E AB F Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD
LG
Xét tam giác ADC vuông D, ta có: AC AD2CD2 322602 68 Theo định lý 1:
2
2 . 32 256
68 17
AD AD AC AE AE
AC
60
32
F
E
D
A B
C
Theo định lý 1, ta có:
2
2 . 60 900
68 17
CD CD AC CE CE
AC
Theo định lý 2, ta có:
480
17
DE AE EC
Xét tam giác DAF, theo định lý 1:
2
2 . 544
15
AD AD DF DE DF
DE
Theo Pitago:
2 256 60 256 644
15 15 15
AF DF AD FB AB AF
Bài 4: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm nằm A, B Tia DE tia CB cắt F Kẻ đường thẳng qua D vng góc với DE, cắt đường thẳng BC G Chứng minh rằng: a) Tam giác DEG cân
b) Tổng 2
1
(7)3
G F
E
D C
B A
a) Ta có: D¶1 D¶3 (cùng phụ với D¶2)
xét ADE và CDG ta có :
1
0
( )
90
AD DC gt
D D cmt ADE CDG g c g
A C
DE DG DEG
cân D
b) DE = DG 2
1
DE DG
ta có : 2 2
1 1
DE DF DG DF
xét tam giác DGF vng D, ta có :
2 2
1 1
CD DG DF (định lý 4) Vì
1
CD không đổi E chuyển động AB, suy
ra tổng 2 2
1 1
DE DF DG DF không đổi E thay đổi AB
LUYỆN TẬP
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1 Khai phương tích Nhân bậc hai a) Định lý : a b; 0,ta có: a.b= a b
b) Quy tắc khai phương tích : Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với (a b; 0,ta có: a.b= a b)
c) Quy tắc nhân bậc hai : Muốn nhân CBH số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết (a b; 0: a b= a.b)
d) Chú ý :
- Với A > ta có :
2 A A A
- Nếu A, B biểu thức : A B; 0ta có: A B A B - Mở rộng : A B C A B C A B C ( , , 0)
2 Khai phương thương Chia bậc hai a) Định lý :
a a
0, ó: =
b b
(8)b) Quy tắc khai phương thương : Muốn khai phương thương a
b, số a khơng âm số b dương, ta khai phương số a số b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai (
a a
0, ó: =
b b
a b ta c
)
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH số a không âm cho số b dương, ta chia số a cho số b khai phương kết (
a a
0, : =
b b
a b
) d) Chú ý : Nếu A, B biểu thức :
A A
0, : =
B B
A B 3 Đưa thừa số ngoài, vào dấu căn
2 ( 0; 0)
( 0; 0)
A B A B
A B A B
A B A B
2
0; :
0; :
A B A B A B
A B A B A B
4 Khử mẫu biểu thức lấy :
0; : A A B
A B B
B B
5 Trục thức mẫu a) :
A A B
B
B B
b)
2
2
0; : C C A B
A A B
A B A B
c)
, 0; : C C A B
A B A B
A B
A B
B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Dạng : Tính Bài 1 : Thực phép tính
2 2
24 49 81 9 63
) 0,01
25 16 25 16 100 10 10 200
a
2
) 2, 25.1, 46 2, 25.0,02 2, 25(1, 46 0,02) 2, 25.1, 44 (1,5.1, 2) 1,5.1, 1,8
b
2
25 169 (5.13) 5.13 13
) 2,5.16,9
10 10 10 10
c
2
2
) 117,5 26,5 1440 (117,5 26,5).(117,5 26,5) 1440 144.91 144.10
144(91 10) 144.81 (12.9) 108
d
(9)1 64 441
) 0,1 0,9 6, 0, 44,1
10 10 10 10 10
1 2 35 35 10 10
10
10 10 10 10 10 10
a A
2 7
6 14
)
2
2 28 2( 7)
b B
3 3
3 5
)
4 4
12 3 15 12 3 15 24 15
16 13
c C
Bài 3 : Rút gọn biểu thức
a)
2
9 x x5 3 x 3 x
b)
2
2. 2 0 . 2 2 2
x x x x x x x x x
c)
3
2
108 108
0 3
12 12
x x
x x x x
x
x
d)
4 6
6
6
13 13 1 1
0;
208 16 4
208
x y x y
x y
x y x x x x
x y
Dạng : Chứng minh Bài 4 : Chứng minh biểu thức sau
) 35 35
(6 35).(6 35) 36 35
a
VT VP
) 17 17
(9 17).(9 17) 81 17 64
b
VT VP
2
2
)
2 2 2
3 2 2
c VT VT VP VP
2
2
) 49 48
4 12 2
7
d VT VT VP VP
2
) 2 3 2 6
4 6 6
e VT VP 2
) 15 15
5 3 5 3 5
5 5 3
(10)Dạng 4: Đưa nhân tử ngoài, vào dấu căn Bài 5: Đưa nhân tử dấu
2
4 2
) 125 5 5
) 80 5
a x x x x x x
b y y y
2
2
2
) 2 5
) 27 5 3.3 3
c d
2 10 10
2 2
) 10
10 10
3 10 10 10
3 10
e
5 5
)
4 2
g
Bài 6: Đưa thừa số vào dấu so sánh a) 3v
2
3 5 45
75 45 75 45 3
5 75
do
b) 5v
2
4 48
48 45 48 45 3
3 5 45 do
c) 72v
Ta có: 2 22 98 do98 72 98 72 2 72 d) 8v
Bài 7: Đưa nhân tử vào dấu rút gọn
2 2 2
) 2 2
2
5
) 5
25 5
a a a
a a a a a a
a a
x x x x
x
b x x x
x x x x
2
2 2
3 3
3 )
a a b a b a a b a
a
c a b a b
b a b a b a b a b a
(11)) 125 45 20 80 5 12 5 5
27 48 75
) 3
4 16
9 49 25 1 7
)
8 18 2 3
a b c
2
2
1
) 20 12 15 27 5.2 3.2 15 4.3
5
10 3 12 13 18 3 13 17
) 28 10 3 3
d
e
Bài 9: Rút gọn biểu thức với giả thiết biểu thức chữ có nghĩa
2
) 0;
2
x x y y
a xy x y
x y
x y x xy y
xy x xy y xy x xy y x y
x y
) a ab ; a a b a
b a b
b ab b b a b
) 0;
x y y x x y
c x y
xy
xy x y x y
x y x y x y
xy
) 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
d A x x x x x x x x
x x x x
22 22 2 2
x x x x
- Nếu x 2 2 x 2 x4 A x 2 2 x 2 2 x - Nếu x 2 2 x 2 x4 A x 2 2 x 2 2 2
Dạng 6: Trục thức mẫu Bài 10: Trục thức mẫu
a)
12 3 12 3
12
2 3
9
3 3 3
b)
8
8
8 5
5
(12)c)
14 10 14 10
14
2 10
10
10 10 10
d)
7 11 11
7 11 168 49 33 40 33 385 33 217
192 539 337
8 11 11 11
e)
3 2
3 2 30 10 10 12 18 10
20 18
2 2
Bài 11: Trục thức mẫu thực phép tính
5
)
2
4 11 7
5 11 3 7 7 5
2
4 11 11 7
5 11 3 7 7 5 11 3 7 7 5
16 11 7
3 7
4 11 11 7 4 11
2
a
4 3
)
6
5
4 2 3 1
6
5 5
4 2 3 1 3 1
3 2
5 4 6
8 18 12 3 8 18 36 12 24 3 1
6
26 13 59
b
Dạng : Giải phương trình Bài 12 : Giải phương trình sau
) 2 18 28 :
28 784 392
1 2 5.2 7.3 28 13 28 2
13 169 169
a x x x dk x
x x x x x x x tm
(13)
1
) 20 45
3
2 4( 5) 9( 5) : 5
3
2 5 5 5
3
b x x x
x x x dk x x
x x x x x x x tm
3
) (3)
1 x c x
đk :
2
3 3
2
1
3
0
1 2 1
3
1
x x
x x x
x
x x x
x x x Ta có
3 11
(3) 11
1 x x x x
thỏa mãn
5 ) 2 x d x
(4) đk :
4
5 4
5
2
2 x x x x x
(4) 5x 2 x2 5x 4 x2 x12 thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho số a b không âm Chứng minh a b
ab
Dấu đẳng thức xảy ?
LG * Cách :
+ a0;b 0 a; b xác định + ta có :
2
0 2
2
a b a b a ab b a b ab ab + dấu đẳng thức xảy a = b
* Cách : ta có
2 2 2 2
2
0 2
4
2
a b a ab b a b ab a ab b ab
a b
a b ab a b ab ab
LUYỆN TẬP
(14)1 Định nghĩa : Cho ABC (00 90 )0 ta định nghĩa tỉ số cạnh AB, BC, CA tam giác ABC vuông A sau :
sin ; cos
; cot
AC AB
BC BC
AC AB
tg g
AB AC
B C
A
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác góc nhọn ln dương + < sin, cos < +
1
cotg ;tg cotg
tg
2 Tỉ số lượng giác góc phụ nhau
- Định lý : góc phụ sin góc cosin góc kia, tg góc cotg góc Tức : 900 ta có :
sin cos ; cos sin
cot ; cot
tg g g tg
- Chú ý : Nếu 00 900 :
+ sin tg đồng biến với góc + cosin cotg nghịch biến với góc 3 Các hệ thức bản
2
sin
1 ; cot 1;
cos cos
2 ; sin cos
sin
tg tg g
cotg
B Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6 Tính cos, tg cotg
+ Ta có: sin2cos2 1 cos sin 2 0,6 0,8 +
sin 0,6 cos 0,8
;
cos 0,8 sin 0,6
tg cotg
Bài 2:
1 Chứng minh rằng:
2 4
2
1
) ; ) ; ) cos sin 2cos
cos sin
a tg b cotg c
2 Áp dụng: tính sin, cos , cotg , biết tg =
1 a) Ta có:
2
2
2
sin sin sin
1
cos cos cos
tg tg tg
2
2
2
sin cos
1
cos cos
tg
Huyền Đối
(15)b)
2 2
2
2 2
cos cos sin
cot 1
sin sin sin
VT g VP
c)
4 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin
VT
2 2 2
cos cos cos cos 2cos
VP
2 Ta có:
2
2
1 1
2 ê cos cos ;
cos 5
tg n n a
1
2 ;
2
tg cotg
2
2
2
1 1 5
1 sin sin
2 sin sin 5
b
Bài 3: Biết tg = 4/3 Tính sin, cos, cotg
LG + ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
+ mà
2
2
1
1 cos cos ;
cos 25
tg
+ mặt khác:
2
2 2
sin cos sin s
5
co
Bài 4: Dựng góc trường hợp sau:
1
) sin ; ) cos ; ) 3; ) cot
2
a b c tg d g
LG a)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- Oy lấy điểm B cho OB =
- vẽ cung trịn tâm B, bán kính 2, cung cắt Ox A
- nối A với B BAO cần dựng * Chứng minh:
- ta có:
1
sin sin
2
OB BAO
AB
đpcm
B
2
A O
y
x
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13 a) CMR tam giác ABC vng
b) Tìm tỉ số lượng giác góc A góc C LG
a) Ta có: AB2BC2 122 52 169 13 AC2 AB2BC2 AC2 theo định lý Pytago đảo, suy tam giác ABC vuông B
(16)TỔNG HỢP VỀ CĂN BẬC HAI Bài 1: Tính
a)
2
3 2 2 1 2 1 2 2 1
2
2
) 29 12 5 5
5 5 5 1
b
) 29 12 5
c
2
2
) 13 48 13 5
2 3 1
d
Bài 2: Thực phép tính, rút gọn kết
a) 20 45 18 32 50 5 12 2 16 2
b)
1 1 17 10
32 0,5 48 2
3 4
1
) 4,5 12,5 0,5 200 242 24,5
2
1 13
2 2 11 2
2 2 2
c
3
) 12
2 3
3
6 6 6 3
2
d
Bài 3: Chứng minh đẳng thức
2
)
2 2
a b a b b b
a
b a
a b a b a b
Biến đổi vế trái ta được:
2
2
2 2 2
4 2 2 4 4 4
2 2
4 2
2
a b a b b a b a b b
VT
b a
a b a b a b a b a b a b
a b a b b a ab b a ab b b ab b
a b a b a b a b a b a b
b a b b
VP
a b
a b a b
(17)2 216
)
3
8
b
Biến đổi vế trái ta được:
6
2 216 6
3
8 2
6 3
2
2 6
VT
VP
Bài 4: Cho biểu thức
a b2 ab a b b a A
a b ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào a LG
a) ĐKXĐ : a > 0; b > 0; a khác b b) Ta có:
2
2
4 2 4
2
2
a b ab a b b a a ab b ab ab a b
A
a b ab a b ab
a b
a ab b
a b a b a b a b b
a b a b
Bài 5: Cho biểu thức
2 1
:
1 1
x x x
B
x x x x x
a) Tìm đk xác định b) Rút gọn biểu thức B
LG a) ĐKXĐ: x0;x1
b) Ta có:
2 1 1
: :
1 1 1 1
2 1 1
1 1
1
x x x x x x
B
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
Bài 6: Cho biểu thức
3
1 :
9
x x x x x
C
x x x x x
a) Tìm ĐK để C có nghĩa
b) Rút gọn C c) Tìm x để C =
(18)a) ĐKXĐ: x0;x4;x9 b) Ta có:
3
1 :
9
x x x x x
C
x x x x x
2
3 3 2 9
1 :
2
3 3
3 3 9
1 : :
3
3 3
2
3
3 2
x x x x x
x x
x x x x
x x x x x x x
x x x
x
x x x x x
x x
x x x
c) C =
3 11 121
4
4 16
2 x x x
x
Bài 7: Cho biểu thức
9 1
:
3
x x x
D
x
x x x x
a) Tìm ĐKXĐ b) Rút gọn c) Tìm x cho D < -1
LG a) ĐKXĐ : x > 0; x khác
b) Ta có:
9 1 1
: :
9
3 3 3
x x x x x x
D
x
x x x x x x x x x x
3 3 1 3 3 9 2
: :
3 3 3
3 3 3
2
3 2
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x
x x x
c)
3
1 4 16
2
x
D x x x x x
x
Bài 8. Giải PT sau:
1) x2 4x4 3 ; x212 2 ; x x; x2 6x9 3 ; 2) x2 2x 1 x 1; x210x25 x 3
(19)4) x22x 1 x1 ( áp dụng:
0( 0)
A B
A B
A B
).
5) x2 9 x2 6x9 0 (áp dụng:
0
0
A
A B
B
) 6) x2 4 x2 4 0 ( ĐK, chuyển vế, bình phương vế). 7) x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x 9
8) 9x2 6x 2 45x2 30x9 6x 9x28
Biến đổi thành (3x1)2 1 5(3x1)24 (3 x1)2 (VT3; VP3 x = 1/3) 9) 2x2 4x 3 3x2 6x7 2 x22x(đánh giá tương tự).
10) x2 4x 5 9y2 6y 1 (x =2; y=1/3); 11) 6y y 2 5 x2 6x10 1 (x=3; y=3) Bài 9. Cho biểu thức:
1
:
1
x x x x x
A
x x x x x
kq:
1
x x
1) Tìm ĐK XĐ biểu thức A
2) Rút gọn A
3) Tính giá trị biểu thức A
1
x
4) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A -3
6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A nhỏ -1 7) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A lớn
2
x
8) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A - Max 9) So sánh A với x1
Bài 10. Cho biểu thức:
4
1 :
1 1
x x x
B
x x x
kq:
3
x x 1) Tìm x để biểu thức B xác định
2) Rút gọn B
3) Tính giá trị biểu thức B x = 11 2
4) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B -2
6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B âm
7) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B nhỏ -2 8) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B lớn x1 Bài 11. Cho biểu thức:
3
3
2 1
1
1
x x x
C x
x x x
x
kq: x1 1) Biểu thức C xác định với giá trị x?
(20)3) Tính giá trị biểu thức C x = 7 4) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C -3 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn
1
6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x3 7) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ
8) So sánh C với
2
x
Bài 12. Cho biểu thức:
2
1 :
4
x x x x x
D
x x x x x
kq:
2
x 1) Tìm ĐK XĐ biểu thức D
2) Rút gọn D
3) Tính giá trị biểu thức D x = 13 48. 4) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D âm
6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D nhỏ -2
7) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức D nhận giá trị nguyên 8) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D lớn
9) Tìm x để D nhỏ
1
x
Bài 13. Cho biểu thức:
1
:
1
1 1
a a a a a
E
a a
a a a
kq:
1) Tìm a để biểu thức E có nghĩa 2) Rút gọn E
3) Tính giá trị biểu thức E a = 24 5 4) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E -1 5) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E dương
6) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a3 7) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ
8) So sánh E với Bài 14. Cho biểu thức:
1 1
4
1
a a
F a a
a a a
kq: 4a 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức F
2) Tính giá trị biểu thức F a =
6
2
3) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức F -1
4) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a1 5) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ
6) Tìm giá trị a để F F (
2 0 0
4
(21)7) So sánh E với
1
a
Bài 15. Cho biểu thức:
2
2 2
1 2
x x x x
M
x x x
kq: x x 1) Tìm x để M tồn 2) Rút gọn M
3) CMR <x < M > (1 x 0; x 0 M 0) 4) Tính giá trị biểu thức M x = 4/25
4, Tìm giá trị x để M = -1; M < 0; M >0; M > -2
5) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên 6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn
7) Tìm x để M nhỏ -2x ; M lớn x LUYỆN TẬP
HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các hệ thức
B C
A c
b a
* Định lý: Trong tam giác vuông, cạnh góc vng bằng:
- Cạnh huyền nhân Sin góc đối Cosin góc kề
- Cạnh góc vng nhân tang góc đối cotg góc kề (ABC vuông A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có:
1 sin cos 2 cot
.sin cos cot
b a B a C b c tgB c gC
c a C a B c b tgC b gB
2 Áp dụng giải tam giác vuông
* Giải tam giác vng: tìm tất yếu tố tam giác vng (các cạnh, góc) biết trước yếu tố có yếu tố cạnh khơng kể góc vng
* Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp a) Biết cạnh góc vng
- Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go) - Tính góc nhọn (tg cotg) - Tính góc nhọn cịn lại (2 góc phụ nhau) b) Biết cạnh huyền góc nhọn
- Tính góc nhọn cịn lại (2 góc phụ nhau)
- Tính cạnh góc vng (hệ thức cạnh góc – hệ thức (1)) c) Biết cạnh góc vng góc nhọn kề
- Tính góc nhọn cịn lại
- Tính cạnh góc vng cịn lại cạnh huyền B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, biết
4
tgB
(22)10 B
C A
-
0 '
4
53 07
tgB B
- theo hệ thức cạnh góc tam giác vng
0 ' '
cos 10.cos53 07
.sin 10.sin 53 07
AB BC B
AC BC B
Bài 2: Cho tam giác ABC cân A; AB = AC = 17; BC = 16 Tính đường cao AH góc A, góc B tam giác ABC
+ tam giác ABC cân, có
1
8
A A
AH BC BC
BH CH
+ xét tam giác AHC, vng H
- ta có: AH AC2 CH2 172 82 15 - mặt khác:
0 ' '
2 2
8
sin 28 04 56 08
17
CH
A A A A A
AC
+ xét tam giác AHB vuông H, ta có:
0 0 ' '
1
90 90 28 04 61 56
B A
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, ABC38 ;0 ACB300 Gọi N chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC Tính AN; AC
11 380
300
N B
C
A
- xét tam giác ANB vuông N, theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có:
0
.sin 11.sin 38 6,77
AN AB B
- xét tam giác ANC vuông N, theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có:
0
6,77
.sin 13,54
sin sin 30
AN
AN AC C AC
C
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 9; HC = 16 Tính B, C?
16
9 H
B C
A - xét tam giác ABC vuông A, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng , ta có:
2 . 9.16 144 12
AH BH CH AH - xét tam giác AHB, vuông H, ta có:
0 '
12
53
AH
tgB B
BH
- mà B C900 C 36 530 '
Bài 5: Cho tam giác ABC có B 600, hình chiếu vng góc AB AC lên BC theo thứ tự 12 18 Tính góc đường cao tam giác ABC
2
16
17 17
B C
(23)2
600
18
12 H
B C
A - xét tam giác AHB vuông H
0
60 30
2
2 2.12 24
B A BH AB
AB BH
2 242 122 20,8
AH AB BH
- xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng…
0 '
0 '
20,8
49 06 18
180 70 54
AH
tgC C
HC
A B C
- theo hệ thức cạnh góc, ta có:
0 '
18
.cos 27,5
cos cos 49 06
HC
HC AC C AC
C
Bài 6: Cho hình thang ABCD, có A D900, đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8, AD = Tính BC, B,C?
Bài 7: Giải tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông A biết: LUYỆN TẬP
HÀM SỐ GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Tính giá trị hàm số biết giá trị biến số:
Để giải toán ta cần thay giá trị biến số vào công thức hàm số thực thứ tự thực phép tính
2) Tìm giá trị biến số biết giá trị hàm số:
Để giải toán ta cần cho công thức hàm số giá trị cho giải phương trình tìm giá trị biến số
B BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 : Cho hàm số
1
yf x x
Tính f(0) ; f(1) ; f(-1) ; f(2) ; f(-2) ; f(8) LG
- Lập bảng giá trị tương ứng x f(x) x
-2 -1
f x x -4
2
3
2
2 -1
Bài : Cho hàm số bậc
4
y f (x) x
3
a) Tính
f ;f ;f f
b) Tìm giá trị x để y2
(24)a) Ta có
4
f
3
3
f
4
4
f 6 12 f f f 12 12 20
3
Vậy
4
f ; f 5; f f 20
b) Ta có
4
y x x x
3
Vậy để y2
9 x
2
Bài : Cho hàm số y f (x) x 3
a) Tính giá trị hàm số khix 3; x 1 b) Tìm x để f x 1
c) Tìm giá trị x để hàm số cho nhận giá trị LG
a) Thay x 3 vào hàm số cho ta y 3 2 Vậy x 3 y 2
Thay x 1 vào hàm số cho ta đượcy 1 3 Vậy x 1 y = 4
b) Ta có f x 1 x 1
x 2 x 2 x
2
Vậy để f x 1 x
c) Hàm số cho nhận giá trị x 2 x 1
1
x x
2
Vậy để hàm số nhận giá trị x 1 2
* Nhận xét:
- Với hàm số y = f(x) Khi toán yêu cầu tính f(a) hay tính giá trị hàm số x = a ta cần thay x = a vào hàm số thực phép tính
- Với tốn tìm x để hàm số nhận giá trị a hay tìm x để f x a, cần phân biệt rõ giá trị hàm số để tránh trường hợp học sinh lại tính f(a)
(25)b) Tìm x để y 1 Bài 5: Cho hàm số y2 2 x 4
a) Tính giá trị hàm số x 2; x 2 2.
b) Tìm giá trị biến x để hàm số cho nhận giá trị 8
LUYỆN TẬP
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa : Hàm số bậc cho công thức y ax b a 0, a, b số cho trước
2) Tính chất : Hàm số bậc nhấty ax b a 0 xác định x R có tính chất sau :
a) Đồng biến R, a > b) Nghịch biến R, a < 3) Đồ thị
- Đồ thị hàm số y ax đường thẳng qua gốc tọa độ O - Đồ thị hàm số y ax b a 0 đường thẳng
+ Cắt trục tung điểm có tung độ b
+ Song song với đg thẳng y = ax b khác 0; trùng với đường thẳng y = ax b = Chú ý : Đồ thị hàm số y ax b a 0 gọi đường thẳng y ax b a 0 b gọi tung độ gốc đường thẳng
(26)Ví dụ 1: a) Với giá trị m hàm số bậc ym x 3 đồng biến? b) Với giá trị k hàm số bậc y5 k x 1 nghịch biến?
Giải
a) Hàm số bậc ym x 3 đồng biến m 1 m1 b) Hàm số bậc y5 k x 1 nghịch biến 5 k 0 k 5 Ví dụ 2 Cho hàm số bậc y = (m2 + 3m + 5) x + m – 1
Chứng minh hàm số cho đồng biến với giá trị m
Giải
Hàm số bậc cho có hệ số a = m2 + 3m +
Ta có: m2 + 3m + = m2 + 2m.
3 2 +
9 4 -
9
4 + = (m + 2)2 +
11
4 > với m Do hàm số y = (m2 + 3m + 5) x + m – đồng biến với m
Ví dụ : Cho hàm số
m +
y = x + 2015
m -
a) Với điều kiện m hàm số cho hàm số bậc nhất?
b) Tìm giá trị m để hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R?
Giải
a) Hàm số cho hàm số bậc
0
25
m m
m
m (*)
Vậy với m 0;m 25 hàm số cho hàm số bậc nhất.
b) Với m0;m25 m5 > Hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R thì
5 25
m m m Kết hợp với điều kiện (*) ta m < 25 Vậy với m 25 thì hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R B BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Xác định giá trị m để:
a) Hàm số bậc y = ( + 2m)x + hàm số nghịch biến b) Hàm số bậc y = (1 – 2m)x + m hàm số đồng biến
Bài 2: Chứng minh hàm số bậc y = (m2 - m + 2) x + m – 2012 đồng biến với
mọi giá trị tham số m Bài 3: Cho hàm số
2
y = x + 2a
1
a a a
a) Tìm điều kiện a để hàm số cho hàm số bậc
b) Với giá trị a hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R Bài 4: Tìm m để hàm số sau hàm số bậc nhất?
) 2009 )
2
) )
2
a y m x b m x m
m
c y x d y m x m
m
(27)b) Hàm số đồng biến, nghịch biến
Bài 6 : Cho hàm số ym2 5m6x2 Tìm m để a) Hàm số hàm số bậc
b) Hàm số đồng biến, nghịch biến c) Đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 4)
LG
a) hàm số cho hàm số bậc
2 5 6 0 2 3 0
3
m
m m m m
m
b) hàm số đồng biến
2
2
3 3
5
2
2
3
m m
m m m
m m m m
m
m m
m m
c) đồ thị hàm số qua A(1 ; 4) nên :
1
4
4
m m
m m m m
m m
Bài 7: Cho hàm số y = (m-1).x + m
a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -3
c) Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m vừa tìm câu a) b) mặt phẳng tọa độ Oxy
Bài : Cho hàm số : y = x + ; y = -2x +
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ
(28)LUYỆN TẬP
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Với đường thẳng d : y ax b v à d' :y a x b a a ' ' ; ' 0, ta có:
d / / d' a a b b'; ' d d' a a b b'; '
d d' a a' d d' a a. ' 1
Chú ý: a khác a’ b = b’ đường thẳng có tung độ gốc, chúng cắt nhau
tại điểm trục tung có tung độ b B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác định hệ số góc k đường thẳng y = kx + – k trường hợp sau: a) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số
2
y x b) Cắt trục tung điểm có tung độ
c) Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ LG a) Vì đt y = kx + – k song song với đths
2
y x
3
k
ptđt có dạng:
2
3
y x
b) Vì đths y = kx + – k cắt trục tung điểm có tung độ b = – k, mà theo giả thiết đths cắt trục tung điểm có tung độ nên 3 k 2 k 1 ptđt có dạng: y = x+2
c) Vì đt y = kx + – k cắt trục hoành đểm có hồnh độ 3, nên tung độ điểm
ta có :
3
0 3
2
k k k
ptđt có dạng :
3
2
y x
Bài : Cho hs bậc : y = ax – (1) Xác định hệ số a trường hợp sau a) đths (1) cắt đường thẳng y = 2x – điểm có hồnh độ
b) đths (1) cắt đường thẳng y = -3x + điểm có tung độ LG
a) Gọi M giao điểm đths (1) đt y = 2x – => tọa độ điểm M thỏa mãn đồng thời đt
- tung độ điểm M y = 2.2 – = => M(2 ; 3)
- vid đths (1) qua điểm M(2 ; 3), nên ta có : = 2.a – => a = 7/2
b) Gọi N giao điểm đths (1) đt y = -3x + => tọa độ điểm N thỏa mãn đồng thời đt
- hoành độ diểm N = -3x + => x = -1 => N(-1 ; 5) - đths (1) qua N(-1 ; 5), nên ta có : = a.(-1) – => a = - Bài 3 : Cho hs : y = -2x +
a) Vẽ đths
(29)c) Tìm tọa độ giao điểm A đt y = -2x + đt tìm câu b)
d) Gọi P giao điểm đt y = -2x + với trục tung Tìm diện tích tam giác OAP Bài 4 : Cho hàm số :
1
2 (1)
1
m
y x m
m
a) Với gtr m (1) hsbn?
b) Với gtr m (1) hs đồng biến?
c) Với gtr m đths (1) qua điểm A(1; 2)? Bài 5:
a) Vẽ đt hs sau mặt phẳng tọa độ:
y = 2x (1); y = 0,5x (2); y = - x + (3)
b) Gọi giao điểm đt có pt (3) với đt có pt (1) (2) theo thứ tự A B Tìm tọa độ điểm A B
c) Tính góc tam giác OAB Bài 6. Cho hàm số y = (m - 1)x + m
a) m =? Thì hàm số đồng biến? nghịch biến?
b) m =? Thì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 3x? c) m =? Thì đồ thị hàm số qua A(-1; 5)
d) m =? Thì đồ thị hàm số cắt tung độ 6? e) m =? Thì đồ thị hàm số cắt hoành độ -3? f) m =? Thì đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?
g) m =? Thì đồ thị hàm số vng góc với đồ thị y = -mx + 1?
h) Vẽ đồ thị tìm câu trên? tìm toạ độ giao điểm (nếu có) Bài 7 Xác định hàm số y = ax + b biết:
a) ĐTHS song song với đường thẳng y = 2x, cắt trục hoành diểm có tung độ b) ĐTHS song song với đường thẳng y = 3x - 1, qua diểm A(2;1)
c) ĐTHS qua B(-1; 2) cắt trục tung -2 d) ĐTHS qua C(
1
; -1) D(1; 2)
Bài 8. Cho hàm số y = 3x + m (m- tham số) CMR: họ đường thẳng
2
2
y mx m
mx m
đi
qua điểm cố định
Bài 9. Cho đường thẳng y = 3x +
a) Tính diện tích tạo đường thẳng với trục toạ độ
b) Viết PT đường thẳng qua gốc toạ độ vuông góc với đường thẳ ng cho Bài 10. Cho hàm số y = (m-1)x + (m +1) (1)
a) Xác định hàm số y đường thẳng (1) qua gốc toạ độ b) m =? để đường thẳng (1) cắt trục tung -1
(30)e) CMR: Đường thẳng(1) qua 1điểm cố định
LUYỆN TẬP
ĐƯỜNG TRÒN QUAN HỀ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa : Đường tròn tâm O, bán kính R, ký hiệu: (O; R) tập hợp điểm cách O khoảng R
2) Vị trí tương đối điểm đường tròn: Cho (O; R) điểm M
Điểm M nằm (O) OM = R Điểm M nằm bên (O) OM < R Điểm M nằm bên (O) OM > R
3) Sự xác định đường tròn : Qua điểm không thẳng hàng ta vẽ đường trịn 4) Quan hệ đường kính dây
Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây
Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Trong dây đường trịn, dây lớn gân tâm, ngược lại
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Trên AB, AC lấy điểm D, E Goi K, M, N, P, Q trung điểm DE, EB, BC, CD CMR: điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn
LG + Xét tam giác EDB, ta có:
ME MD NE NB
MN đường trung bình EDB
suy MN // = ½ B (1) hay MN//AB (1)
+ Xét tam giác BCD, ta có :
QC QD PC PB
PQ đường trung bình tam giác BCD, suy PQ // = ½ BD (2) + Từ (1) (2) => MN // = PQ => tứ giác MNPQ hình bình hành (*) + Xét tam giác CDE, ta có :
MD ME QD QC
MQ đường trung bình CDE suy MQ // CE => MQ // AC
+ Ta có :
0
/ /
/ / 90
à
MQ AC
MN AB MQ MN M
m AC AB
(**)
+ Từ (*) (**) tứ giác MNPQ hình chữ nhật, gọi O giao điểm MP NQ OM = ON = OP = OQ điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn
Q
P N
M D
E
C B
(31)Bài 2 : Chứng minh định lý sau :
a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền
b) Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông
O C
B
A
Xét tam giác ABC vuông A Gọi O trung điểm BC => OA = OB = OC (vì AO trung tuyến tam giác) => O tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC
O C
B A
Vì tam giác ABC nọi tiếp đường trịn tâm O có đường kính BC => OA = OB = OC
=> OA = ½ BC
=> tam giác ABC vuông A
Bài 3 : Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường trịn (O ; ½ BC) cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E
a) Chứng minh : CD vng góc với AB ; BE vng góc với AC
b) Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh : AK vng góc với BC LG
a) Theo 2, BCD BCE có cạnh BC đường kính BCD vng D BCE vuông E
CD AB BE AC
b) Xét tam giác ABC, ta có :
à
BE AC CD AB
m BE CD K
K trực tâm ABC AK BC
Bài 4 : Cho tam giác ABC, góc A > 900 Gọi D, E, F theo thứ tự chân đường cao kẻ từ
A, B, C Chứng minh rằng:
a) Các điểm A, D, B, E nằm đường tròn b) Các điểm A, D, C, F nằm đường tròn c) Các điểm B, C, E, F nằm đường tròn
LG a) Gọi M trung điểm AB
Xét ADB,
0
90
2
D MA MB MD AB
(1) Xét AEB,
0
90
2
E MA ME MB AB
(2)
K E D
O C
B
A
I
N M
F E
D C
B
(32)Từ (1) (2) MA = MB = MD = ME điểm A, D, B, E nằm đường tròn
b) Gọi N trung điểm AC
Xét ADC vuông D AFC vng F, ta có: DN, FN trung tuyến ứng với
cạnh huyền BC NA = ND = NC = NF A, D, C, F nằm đường tròn
c) (chứng minh tương tự)
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AH tam giác cắt đường tròn (O) D
a) Chứng minh AD đường kính đường trịn tâm O b) Tính góc ACD
c) Cho BC = 12cm, AC = 10cm Tính AH bán kính đường trịn tâm O LG
a) + Vì AB = AC ABC cân A, mà AH BC AD trung trực BC (1)
+ Do ABC nội tiếp đường tròn tâm O O thuộc đường trung
trực BC (2)
+ Từ (1) (2) O AD AD đường kính (O)
b) Ta có ACD nội tiếp (O) có AD đường kính ACD = 900
c) + Vì
1
.12
2
ADBC BH CH BC cm
+ Xét AHC vuông H, ta có: AC2 AH2CH2 AH 102 62 8cm
+ Xét ACD vuông C
2
2 . 10 12,5
8
AC
AC AD AH AD cm
AH
Bán kính đường trịn (O)
1
.12,5 6, 25
2
R AD cm
Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ (O) đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E
a, CMR: CD AB; BE AC.
b, Gọi K giao điểm BE CD CMR: AK BC.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp (O).Đường cao AH cắt đường trịn (O) D a Vì AD đường kính đường trịn (O)
b Tính số đo ACD
c Cho BBC = 24, AC = 20 Tính đường cao AH bán kính (O)
Bài 8: Cho đường trịn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung cắt đường tròn (O) B C
a Tứ giác OBDC hình gì? b Tính số đo CBD , CBO , BOA c Chứng minh tam giác ABC
H
D O
C B
(33)Bài 9: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên đường tròn, điểm B nằm bên ngồi đường trịn, cho trung điểm I AB nằm bên (O) Vẽ dây CD vng góc với OI I Hãy cho biết tứ giác ABCD hình gì? Vì sao?
Bài 10: a) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, dây CD.Các đường thẳng vng góc với CD C D cắt AB tạiM N CMR: AM = BN
b) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Trên AB lấy hai điểm M N cho AM =BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với chúng cắt nửa đường tròn tạiC D CMR: MC ND vng góc với CD
BÀI TẬP
TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT A) MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (2m+1)x - 3m + luôn qua với giá trị
của m
Giải
Gọi điểm mà đồ thị hàm số cho luôn qua với m M(x0; y0)
Phương trình y0 = (2m+1)x0 - 3m + nghiệm với m.
2 3 0
x m x y nghiệm với m
0
0 0
2 1,5
2 3,5
x x
x y y
Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m M(1,5; 3,5) Ví dụ 2:
Bài 1: Cho hàm số (d) y = (m - 2)x +
a) Tìm m để hàm số đồng biến ∀ x R
b) Tìm giá trị m để hàm số song song với đường (d1) y = x - Bài 2: Cho hàm số (d) y = ax + Tìm hệ số góc a trường hợp sau:
a) (d) song song với đường (d') y = - 4x b) (d) qua B( 2; 7)
Bài 3: Cho hàm số (d) y = 3x + b Biết (d) qua điểm A (4 ;11) Viết phương trình đường (d) vẽ đồ thị đường (d)
Bài 4: Cho ham số y = 2x + m Hãy xác định hệ số m trường hợp sau: a) (d) cắt Oy có tung độ -
b) (d) qua C(1;5)
Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số sau: (d) y = - x + (d') y = x +
Bài 6: Cho hàm số (d) y = ax - Hãy tìm hệ số a trường hợp sau: a) (d) cắt (d') y = 2x -1 điểm có hồnh độ
b) (d) cắt (d1) y = - 3x + điểm có tung độ Bài 7: Tìm m để hàm số sau hàm số bậc :
a) y = ( 2m + 1)x - 3m + b) y = 4mx + 3x - c) y = ( m - 4m)x + (m - 4)x + d) y = ( x - 1) e) y = x +
(34)a) y = (6 + 2)x - 9x + nghịch biến R b) y = ( - )x + 2x - đồng biến R
Bài 9: Cho hai hàm số bậc y = mx + y = ( 2m + 1)x - a) Tìm m để hai đường thẳng song song
b) Tìm m để hai đường thẳng cắt
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(4;1) // với đường thẳng y = 2x + Bài 11: Cho hàm số y = ( m -1)x + 2m -
a) Tìm m để hàm số ln nghịch biến
b) Tìm m để hàm số qua điểm A(-1;3) vẽ đồ thị với m vừa tìm
Bài 12: Cho hàm số (d) y = -2x + (d') y = x -2 Tìm tọa độ giao điểm (d') (d) Bài 13: Cho hàm số y = (m -1)x + 2m -
a) Với giá trị m đồ thị hàm số qua điểm A( -1; 2) b) Tìm điểm cố định hàm số
Bài 14: Cho hàm số y = (a + 2)x + a - a) Tìm a để hàm số ln đồng biến
b) Tìm a để đồ thị cặt trục hồnh Ox điểm có hồnh độ - c) Tìm a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Bài 15: Cho hàm số y = (m - 1)x + m +
a) Tìm giá trị m để hàm số song song với đồ thị y = -3x + b) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm B(2; -3)
c) Chứng minh đồ thi hàm số qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm Bài 16: Cho hàm số y = (1 - 4m)x + m -
a) Tìm m để hàm số đồng biến R
b) Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ
c) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - x -1
Bài 17: Cho đường thẳng (d) y = 3x - Tìm (d') biết (d') // (d) qua N ( ; 1) Bài 18: Cho hàm số (d) y = - x + đường (d') y = 2x -
a) Vẽ (d) (d') hệ tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường (d) (d')
c) Lập phương trình (∆) song song với (d') (∆) qua điểm M (2; 5)
Bài 19: Tìm a để hai đường thẳng (d) y = (2- a)x + (d') y = (a - 1)x + song song
Bài 20: Cho đường (d) y = 0,5x + (d') y = - 2x Hai đường cắt trục Ox A B Giao điểm hai đường (d) (d') C Tìm tọa độ A, B, C
Bài 21: Cho đường thẳng (d) y =2x - (d') y = - x + a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường (d) (d')
b) Lập phương trình (∆) cắt trục hồnh điểm có hoành độ đồng qui với hai đường (d) (d')
Bài 22: Chứng minh m thay đổi, đường thẳng sau luôn qua điểm cố định Tìm toạ độ điểm cố định đó:
(35)Bài 23: Cho đường thẳng (d): y = (1 – 2m)x + m -1
a) Với giá trị m đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc nhọn? b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) ln qua với giá trị m c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn
Bài 24: Cho hàm số bậc y ax a 1 Xác định a biết đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1
Bài 25: Cho hàm số bậc y = (m2 – m) x + 2m –
a) Với giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm A(1; 1)
b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 6x y 5
Bài 26: Cho hàm số bậc y = (m – 2)x + m – a) Tìm m để hàm số đồng biến
b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x – Vẽ đồ thị hàm số với m tìm tính diện tích tam giác tạo đồ thị hàm số với hai trục tọa độ (đơn vị đo hai trục tọa độ cm)
Bài 27: Cho đường thẳng (d) y = (2k - 1)x + k - với k tham số a) Tìm k để đường thẳng (d) qua điểm (1; 6)
b) Chứng minh (d) không qua điểm A(-0,5; 1) với giá trị k
c) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng (d) qua điểm cố định Bài 28: Cho đường thẳng (d): y = (m - 1)x + m +
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -3
c) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m d) Tìm m biết đường thẳng (d) tạo với trục hồnh góc 450.
Bài 29: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(2; 5), B(-1; -1) C(4; 9) Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 30: Cho hàm số y = (m – 1)x + m +
a) Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc toạ độ
b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 3x + 2y =
c) Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng y = 3x -5 ; y = -x -3 đồng quy
d) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với giá trị m e) Tìm m để đồ thị hàm số cho tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích (đơn vị diện tích)
Bài 31: Cho hàm số bậc y = f(x) = (m2 + 2m + 3)x + m -1 (d)
a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm B(1;6)
b) Chứng minh hàm số đồng biến với giá trị m
c) Với giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm A( 1;0) đồng thời song song với đường thẳng 3x – y + 10 =
(36)LUYỆN TẬP
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa : Đường tròn tâm O, bán kính R, ký hiệu: (O; R) tập hợp điểm cách O khoảng R
2) Vị trí tương đối điểm đường tròn: Cho (O; R) điểm M
ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I A Kiến thức bản
1 Các hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH cho ta có :
' '
, , , , ,
AH h BC a AB c AC b BH c CH b :
2 ' '
2 ' '
2 2
2 2
1) ;
2)
3)
1 1
4)
5) ( ago)
b a b c a c
h b c b c a h
h b c
a b c Pit
b'
c'
h
b
a c
H C
B
A
2 Định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn
(37)sin ; cos
; cot
AC AB
BC BC
AC AB
tg g
AB AC
B C
A
3 Một số tính chất tỉ số lượng giác - Nếu 900 ta có :
sin cos ; cos sin
cot ; cot
tg g g tg
- Cho 00 900 Khi đó + < sin, cos <
+ sin2cos2 1 +
sin cos
;cot ;cot ; cot
cos sin
tg g g tg g
tg
4 Các hệ thức cạnh góc tam giác vng
B C
A c
b a
- Cho tam giác ABC vuông A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có:
1 sin cos 2 cot
.sin cos cot
b a B a C b c tgB c gC
c a C a B c b tgC b gB
B Bài tập áp dụng
Bài 1 : Chứng minh : với góc nhọn tương ứng tam giác ABC, A 900 thì:
4
2
) cos sin 2cos
) sin sin cos sin
a b
2 2
2 2
) sin sin
) cos cos
c tg tg
d tg
LG
2 2 2
) cos sin cos sin cos sin cos cos 2cos
a VT VP
Huyền
(38)
2 2 2
2
) sin cos sin sin sin
sin
) (1 sin ) cos cos sin
cos
b VT VP
c VT tg tg VP
2
2 2
2
sin cos sin
) cos cos cos
cos cos
d VT tg VP
Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35 a) Chứng minh tam giác ABC vng
b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C đường cao AH vủa tam giác ABC LG 35 21 28 H B C A
a) ta có:
2 2
2 2
2
21 28 1225
35 1225
AB AC
BC AB AC
BC
đó
theo định lý đảo định lý Pi-ta-go tam giác ABC vuông A b)
0
0
28
sin 0,8 53
35 21
sin 0,6 37
35 AC B B BC AB C C BC
Xét tam giác AHB vuông H, áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có:
0
.sin 21.sin 53 21.0,8 16,8
AH AB B (hoặc AH.BC = AB.AC) Bài 3: Giải tam giác vuông A, biết
a) a = 12; B 420
b) b = 13; c = 20
LG 420 12 B C A
- ta có:
0 0
0
90 90 42 48
.cos 12.cos 42
.cos 12.cos 48
C B
AB BC B
AC BC C
20 13 B C A
- ta có:
2 2
0
0
20 13 23,85
13
0,65 33
20
90 57
BC AB AC
AC tgB B AB C B
Bài 4: Cho tam giác ABC có B 600 hình chiếu vng góc AB, AC lên BC theo thứ tự 12; 18 Tính cạnh, góc đường cao tam giác ABC
(39)600
2
18 H 12
B C
A
+ ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30 + xét tam giác AHB vng H
- ta có : AH BH tgB 12 60tg 12 - mặt khác :
0
0 0
1
12
.cos 24
cos cos 60
90 90 60 30
BH
BH AB B AB
B
A B
+ xét tam giác AHC vuông H, ta có :
2
0
756 27,5
12
49 18
AC AH CH
AH
tgC C
HC
+ xétABC, tcó: A 1800 B C710
***********************************************************
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. A Kiến thức bản
1 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
Gọi OH =d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a a; a cắt (0) điểm chung d<R
b; a tiÕp xóc (0) ®iĨm chung d = R
c; a kh«ng giao (0) điểm chung d >R
2 Du hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn
Đường thẳng a tiếp tuyến đtr (O ; R) d = R (d : khoảng cách từ tâm O đến a) Nếu đt a qua điểm đtr vng góc với bán kính qua điểm đt a tiếp tuyến đtr
3 Tính chất hai tiếp tuyến cắt
Nếu tiếp tuyến đtr cắt điểm : - điểm cách hai tiếp điểm
- tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
(40)4 Đường tròn nội tiếp tam giác
- đtr nội tiếp tam giác đtr tiếp xúc với cạnh tam giác
- tâm đtr nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác Đường trịn bàng tiếp tam giác
- đtr bàng tiếp tam giác đtr tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh lại
- tâm đtr bàng tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc hai đỉnh tam giác
- tam giác có đtr bàng tiếp B Bài tập áp dụng
Bµi 1:
Cho đờng tròn tâm điểm I nằm (0)
C / m dây AB vuông góc với OI I ngắn dây khác qua I
Gi¶i:
GV híng dÉn : VÏ dây CD qua I (Khác dây AB )
ta c/m AB <CD
Muèn so s¸nh hai dây ta so sánh điều ?
( Ta so sánh hai khoảng cách từ tâm đến dây ; Dùng tính chất tam giác vng cạnh huyền cạnh lớn )
Bài 2 : Từ điểm A nằm bên đtr (O), kẻ tiếp tuyến AB AC với đtr (B ; C tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tt với đtr (O), tt cắt tt AB, AC theo thứ tự D E Chứng minh chu vi tam giác ADE 2.AB
LG
E D M
C B
O A
Theo tính chất tt cắt nhau, ta có : DM = DB (1) ;
EM = EC (2) Chu vi tam giác ADE :
ADE
C AD AE DE AD AE DM EM (3) Từ (1) ; (2) (3) :
ADE
C AD AE DB EC AD DB AE EC AB AC AB
(vì AB = AC) Bài 3 : Cho đtr (O), điểm I nằm bên đtr (O) Kẻ tt IA IB với đtr (A, B tiếp điểm) Gọi H giao điểm IO AB Biết AB = 24cm ; IA = 20cm
a) Tính độ dài AH ; IH ; OH b) Tính bán kính đtr (O)
LG
A O
C H K D
(41)I H
B A
O
- Theo tính chất tt cắt nhau, ta có: IA = IB = 20cm; IO phân giác góc AIB - Tam giác IAB cân I, có IH phân giác => IH đồng thời đường cao đg
trung tuyến
1
.24 12
2
AH BH AB cm
- Xét tam giác AHI vng H ta có : IH2 IA2 AH2 202122 162 IH 16cm (theo Pytago)
- Xét tam giác AIO, vuông A, áp dụng hệ thức cạnh đg cao am giác vng ta có :
2
2
12
16
16 9 225 15
AH
AH HI HO HO
HI
AO IO OH IH OH OH AO cm
Bài 4 : Cho nửa đtr (O ; R) đg kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đtr thuộc nửa mp có bờ AB) Lấy M thuộc Ax, qua M kẻ tt với nửa đtr, cắt By N
a) Tính góc MON
b) CMR : MN = AM + BN c) CMR: AM.BN = R2
LG a) - theo tc tt cắt nhau, ta có:
1
3
1 ;
;
O O AOH MA MH
O O BOH NB NH
(1) - ta có:
0
2
1
.180 90
2
MON O O AOH BOH b) MN = MH + NH (2)
=> từ (1) (2) : MN = MA + NB
c) Xét tam giác MON vuông O, theo hệ thức cạnh đg cao tam giác vng, ta có :
4
y x
H
N
M
R B
A O
2
2
OH MH NH AM BN
AM BN R m OH R
BTVN.
(42)a) CMR: AMON hình thoi b) Đthg MN tt đtr (O) c) Tính diện tích hình thoi AMON
LG a) + AB, AC tt đtr (O)
;
AB OB AC OC
+ mà ON OB OM; OC
Nên AB // ON, AC // OM => tứ giác AMON Hình bình hành (1)
+ mặt khác : A1A2 (tc tt cắt nhau) (2)
+ từ (1) (2) => tứ giác AMON hình thoi b) + AMON hình thoi MN OA (3)
2
C H
N M
B
A O
+ mặt khác :
1
.2
2
HO AH OA R R
(4) + từ (3) (4) => MN tt đtr (O)
c) + xét tam giác ABO, vuông B ta có :
1
1
sin 30
2
OB R
A A
OA R
+ xét tam giác AHM vuông H, ta có :
0
3 3
.tan tan 30 2
3 3
R
MH AH A R R MN MH R
+ :
2
1 3
.2
2 3
AMON
R R
S MN AO R
(đvdt)
(43)Ngày dạy: ………
ÔN TẬP ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC I ĐẠI SỐ
Bài 1: Thực phép tính
a) 50 45 18 20 10 5 2
b)
8 2 2 2
8 2 2
3 2 3 2 2
28 14
2 2 2 2
7 c)
2
7 7
7 21
1
1 7
1 7 7
d) 2
10 29 12 10 20 2.2 5.3 10 2
10 2 10 10 2.2 10
2
10 10 5 5
Bài 2: Cho biểu thức
2 1
1:
1
1
x x x
B
x
x x x x
a) RG biểu thức B b) So sánh B với
LG a) đk: x0; x1 Ta có:
2 1
1:
1
1 1
2 1
1:
1
1
2 1 2 1 1
1: 1:
1 1
1
1: 1: 1:
1
1 1
x x x
B
x x
x x x x x
x x
x x x
x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
(44)b) xét hiệu:
12
1
1
1
x
x x x x x x x
B
x x x x
B B
Bài 3: Cho biểu thức:
2
1
:
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
a) RG bth P b) Tìm x để P <
c) Tìm x nguyên để P nguyên
LG a) Đk: < x #1 Ta có:
2
1
:
1
1 1
:
1 1
1 2 1 1
:
1
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
b)
1
0 1 1
1
x
P x vi x x x x
x
c) Ta có:
1 2
1
1 1
x x
P
x x x
2
2 1
1
P Z Z x x
x
Ư(2), mà Ư(2) = 1; 2
) 1
) 1 0
)
)
x x x tm
x x x tm
x x x tm
x x loai
Bài 4: Cho bth:
3
:
1
x x
P
x x x x
a) Đk? b) RG bth P
c) Tìm x nguyên để P nguyên
(45)a) đk: x0;x1;x4 b) Ta có:
3 1 2 3 1 4
: :
1 1
2
3
3
x x x x x x x x
P
x x x x x x x x
x x x
x x x
c) Tìm x nguyên để P nguyên
(2)
2 2
1 1;
) 1
)
)
)
x
P Z x U
x x
x x loai
x x loai
x loai x loai
Bài 5: Thực phép tính
2
2
2
2
6 2 12 18 128 2 12 18
6 2 12 2 2
6 2 3 2 3 2 3
6 2 6
6 3
M M M M M
Bài 6:
a) Với gtr m hsbn: y4m3x đồng biến b) Với gtr m hsbn: y2m5x14 nghịch biến
LG a) hsđb
3
4
4
m m
b) hsnb
5
2
2
m m
Bài 7: Tìm gtr m để đường thẳng: ym 3x m 1, m3 đường thẳng 2 3, 2
(46)- Xét ym 3x m 1, m3 (1) Ta có: a = m – 3; b = m +
- Xét y2 m x 3, m2 (2) Ta có: a’ = – m; b’ = -
- Để đth (1) đth (2) cắt điểm trục tung
' '
3 2
4
1
a a m m m
m
m m
b b
Bài : Cho hsbn : ym3x1 1 àv y 1 2m x 5 2 Với gtr m đồ thị hs đg thg
a) Song song ; b) Cắt ; c) Trùng
LG Xét (1), ta có : a = m + ; b = -1
Xét (2), ta có : a’ = – 2m ; b’ = 5
a) (1) // (2)
' '
3 2
3
1
a a m m
m m
b b
b) (1) cắt (2)
' 3 2 3 2
3
a a m m m m
c) (1) trùng (2)
' '
2
3
1
a a m m m
b b
không tồn m thỏa mãn Bài : Vẽ đthị hs sau hệ trục tọa độ :
2
2 (1); 2
3
y x y x
Gọi A ; B giao điểm (1) (2) với trục hoành ; giao điểm đg thg C Tìm tọa độ giao điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC
LG
* Bảng giá trị x y :
x -
2
y x
x -1
2
y x
* Đồ thị hs
2
2 (1)
y x
(47)8
6
4
2
-2
-4
-6
-15 -10 -5 10 15
C
B A
-3 -1
g x =
x+2 f x = 2x+2
* diện tích tam giác ABC :
1
.2.2
2
ABC
S AB CO
(đvdt)
Bài 10 : Cho
2 2
1 ; 1
x ab a b y a b b a
Hãy tính y theo x, biết (ab>0) LG
Ta có :
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 1
1 1 1
2 1
x ab a b a b ab a b a b
a b ab a b a b
y a b b a a b ab a b b a
a b ab a b a b
Do : y2 x2 1 y x21
II HÌNH HỌC : (Ơn tập tính chất tt cắt nhau)
Bài 1 : Cho nửa đtr (O ; R), đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa mp bờ AB chứa nửa đtr Trên Ax, By lấy theo thứ tự M N cho góc MON 900 Gọi I trung điểm
của MN CMR :
a) AB tt đtr (I ; IO)
b) MO tia phân giác góc AMN c) MN tt đtr đường kính AB
(48)a) CMR : AB tt (I ; IO)
- ta có: AM // BN (cùng vng góc với AB) => tứ giác ABNM hình thang
- xét hình thang ABNM, ta có:
AO BO MI NI
IO là đường trung bình hình thang ABNM
=> IO // AM // BN
- mặt khác: AM AB IOAB O AB tt của đtr (I; IO)
y x
N
M
I H
O B
A
b) CMR : MO tia phân giác góc AMN
- AM // IO => AMO = MOI (so le trong) (1) - tam giác MON có O = 900, OI trung tuyến
1
OI IM IN MN
=> tam giác IMO cân I => IMO = IOM (2)
- từ (1) (2) => MOI = AMO = IMO => MO phân giác AMN c) CMR: MN tt đtr đkính AB
- kẻ OH vng góc với MN (3)
- xét tam giác MAO tam giác MHO, ta có:
0
90 :
A H
MN chung MAO MHO CH GN
AMO HMO
=> OA = OH = R (cạnh tương ứng) => OH bán kính đtr tâm O đkính AB (4)
- từ (3) (4) => MN tt đtr đkính AB
Bài 2: Cho đtr (O), điểm A nằm bên đtr Kẻ tt AM, AN với đtr (M, N tiếp điểm)
a) CMR: OA vng góc với MN b) Vẽ đkính NOC CMR: MC // AO
c) Tính độ dài cạnh tam giác AMN, biết OM = 3cm; OA = 5cm LG
a) ta có: OM = ON (= bán kính) AM = AN (tính chất tt cắt nhau)
=> AO trung trực đoạn thẳng MN => OA MN
b) gọi H giao điểm MN AO - OA MN =>MH = NH
- xét tam giác MNC, ta có: ON OC
MH NH
HO đg trung bình tam giác MNC => HO // MC hay MC // AO
M
O H
N
C
(49)c) xét tam giác AMO, M = 900, theo Pytago ta có : AM A O2 OM2 52 32 4
=> AM = AN = 4cm
- mặt khác, áp dụng hệ thức cạnh đg cao tam giác vng AMO, ta có:
4.3
2,
5
2 2.2, 4,8
MA MO
MA MO MH OA MH cm
OA
MN MH cm
Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900, đg cao AH, vẽ đtr (A; AH), kẻ tt BD, CE với đtr
(D, E tiếp điểm khác H) CMR: a) điểm D, A, E thẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đtr đkính BC
LG a) theo tc tt cắt nhau, ta có:
- AB phân giác DAH => A1 = A2 - AC phân giác EAH => A3 = A4
- mà DAE = A1 +A2 +A3 + A4 = 2(A2 + A3) = 2.900 = 1800
=> điểm D, A, E thẳng hàng b) gọi M trung điểm BC
- xét tam giác ABC A = 900, có AM là
trung tuyến
1
AM BC
(1)
- ta có: BD // CE (cùng DE) => tứ giác BDEC hthang
- xét hthang BDEC, ta có : AD AE
MB MC
AM đường trung bình hình thang BDEC => MA // CE, mà CE DE => MA DE (2)
- từ (1) (2) => DE tiếp xúc với đường tròn (M) đường kính BC
4
H
M D
E
C B
A
Bài 4: Cho đtròn (O), điểm M nằm bên ngồi đtrịn Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đtrịn (D, E tiếp điểm) Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đtròn, cắt MD ME theo thứ tự P Q Biết MD = 4cm Tính chu vi tam giác MPQ
LG
Q P I
E D
M O
- Theo tính chất tt cắt nhau, ta có: MD = ME; PI = PD; QI = QE - Chu vi tam giác MPQ bằng:
(50)Bài 5: Cho đtròn (O; 2cm), tt AB AC kẻ từ A đến đtrịn vng góc với A (B, C tiếp điểm)
a) Tứ giác ABOC hình gì? Vì sao?
b) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC Qua M kẻ tt với đtròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE
c) Tính số đo góc DOE?
LG
4
2
M
E D
C B
A
O
a) Tứ giác ABOC có góc vng nên HCN, mà lại có cạnh kề OB OC: OB = OC nên Hình vng
b) Tương tự BT4, ta có chu vi tam giác ADE bằng: 8cm
c) Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
1
0
1
0
1
;
2
1
.90 45
2
45
O O MOB O O MOC
O O MOB MOC
DOE
Bài 6: Cho đtròn (O; 5cm) điểm M nằm bên ngồi đtrịn Kẻ tt MA, MB với đtrịn (A, B tiếp điểm) Biết góc AMB 600.
a) CMR: tam giác AMB tam giác b) Tính chu vi tam giác AMB
c) Tia AO cắt đtròn C Tứ giác BMOC hình gì? Vì sao? LG
2
C B A
M O
a) theo tính chất tt cắt nhau, ta có: MA = MB, tam giác AMB cân M
+ mặt khác: AMB600
Nên tam giác AMB tam giác b) theo tch tt cắt nhau, ta có:
1
1
30
M M AMB + mà MA tt nên MAO 900 => tam giác MAO vuông A
+ xét tam giác MAO vuông A có
1
1
30 2.5 10
2
M AO MO MO AO cm Theo Pytago: MA MO2 AO2 102 52 75 3
+ Chu vi tam giác AMB bằng: MA + MB + AB = 3.MA = 3.5 15 3
(51)+ Tam giác ABC có trung tuyến BO
1
2 AC nên tam giác ABC tam giác vuông B
BC AB
(2)
+ Từ (1) (2) BC / / MO, tứ giác BMOC hình thang
(52)GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A Kiến thức bản
1 Quy tắc
- từ phương trình hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết cho x (hoặc y) pt cịn lại thu gọn
2 Cách giải hệ phương trình phương pháp
- dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để đc hpt có pt ẩn - giải pt ẩn vừa tìm đc, suy nghiệm hpt cho
B Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải hpt sau phương pháp
2
3 11 2
) ) ô ê ) 13
2 19
2
2 6
) ) )
3 22 5 5 2
1 )
3
x y x
x y x x y
a b y hpt v nghi m c
x y y x x y y
x y x x y x x y x
d e g
x y y x y y x y y
x y h x 109
2 106 13 15 48
) )
2 12 11 45 29 11
53
x
x x y x y x
i k
y y x y x y y
y
1 1
6 17 10
) ) )
5 23 12
5 11
x y x x y x x y x
l m n
x y y y y
x y x y
Bài 2: giải hpt phương pháp
5 3 2 3 5 2 6 15 2
) )
5 3 3
2 3 21
x y x x y x
a b
y x y y
x y
2 5 7
) )
5 5 7 7
5
)
3
2
4 3 48 45
)
25 20 75
3 4 48
x y x x y x
c d
x y y x y y
x y x
e
y x y
x y x y x y x
f
x y y
x y x y
(53)
1
6 4 9 8
)
8
5 1
29
2 1,5 0,5 10
)
3 0,5 21
11,5
10
x y x y x y x
g
x y
y x x y y
x
x y x x y
h
x y
x y x y
Bài 3: Tìm giá trị m, n cho hpt ẩn x, y sau a) hpt
2 1
1
mx n y m n
m x m n y
có nghiệm (2; 1); đáp số:
2
;
9
m n
b) hpt
2
1
x m y m n
nx m y
có nghiệm (-3; 2); đáp số: m1;n1 c) hpt
3 93
4
mx n y
nx my
có nghiệm (1; -5); đáp số: m1;n17 d) hpt
2 25
2
m x ny
mx n y
có nghiệm (3; -1); đáp số: m2; n5 Bài 4: Tìm a, b trường hợp sau:
a) đg thg d1: ax + by = qua điểm A(-2; 1) B(3; -2)
b) đg thg d2: y = ax + b qua điểm M(-5; 3) N(3/2; -1)
c) đg thg d3: ax - 8y = b qua điểm H(9; -6) qua giao điểm đường thẳng (d):
5x – 7y = 23; (d’): -15x + 28y = -62
d) đt d4: 3ax + 2by = qua điểm A(-1; 2) vng góc với đt (d’’): 2x + 3y =
Đáp số
8
56
3 13 7
) ; ) ; ) ; )
5
120
13
a a
a a
a b c d
(54)VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN. TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN A Kiến thức bản
1 Ba vị trí tương đối hai đtr
Xét đtr (O; R) (O’; r) với R r OO ; 'd , ta có: a) Hai đtr cắt
- số điểm chung:
- hệ thức: R – r < d < R + r b) hai đtr tiếp xúc - số điểm chung:
- hệ thức:+ tiếp xúc trong: d = R – r > + tiếp xúc ngoài: d = R + r
c) hai đtr không giao - số điểm chung:
- hệ thức:+ đtr nhau: d > R + r + đtr đựng nhau: d < R – r
+ đtr đồng tâm: d = Tính chất đường nối tâm - Định lý:
a) Nếu đtr cắt giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung (OO’ đường trung trực dây AB)
b) Nếu đtr tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm (A thuộc OO’)
O' O
B A
O' O
A
3 Tiếp tuyến chung hai đường tròn
(55)d2 d1
d1; d2 tiếp tuyến chung ngoài: tiếp tuyến
chung ngồi khơng cắt đoạn nối tâm
d2
d1
d1; d2 tiếp tuyến chung trong: tiếp tuyến
chung cắt đoạn nối tâm B Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đường tròn (O; 4cm) đường tròn (O’; 3cm) cắt điểm phân biệt A; B
biết OO’ = 5cm Từ B vẽ đường kính BOC BO’D
a) CMR: điểm C, A, D thẳng hàng b) Tam giác OBO’ tam giác vng
c) Tính diện tích tam giác OBO’ diện tích tam giác CBD
d) Tính độ dài đoạn thẳng AB; CA; AD LG a) CMR: C; D; A thẳng hàng
+ ta có: tam giác ABC nội tiếp đtr (O) có BC làm đkính => tam giác ABC vng A => A1 = 900
+ lại có: tam giác ABD nội tiếp đtr (O’) có BD làm
đkính => tam giác ABD vng A => A2 = 900
+ CAD = A1 + A2 = … =1800
=> điểm C, A, D thẳng hàng
b) CMR: tam giác OBO’ tam giác vuông
5
4
2
O' H
D C
B
A O
+ ta có: OO'2 52 25;OB2O B' 4232 25. OO'2 OB2O B' 225 => tam giác OBO’ vuông B ( theo định lý đảo định lý Pytago)
c) Tính diện tích tam giác OBO’ diện tích tam giác CBD
ta có:
'
'
2
1
.4.3
2
1
.8.6 24
2
OBO
OBD
S OB O B cm
S CB DB cm
d) Tính độ dài đoạn thẳng AB; CA; AD
+ ta có: OO’ đg trung trực AB (theo tính chất đoạn nối tâm)
' à 2.
2
BH OO v BH AB hay AB BH
(56)+ xét tam giác OBO’, B = 900, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta
có:
'
' '
'
4.3
2,
5
OB O B
OB O B HB OO BH cm
OO
=> AB = BH = 2,4 = 4,8 cm
+ áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông:
0 2 2
0 2 2
, 90 4,8 6,
, 90 4,8 3,6
ABC A AC BC AB cm
ABD A AD BD AB cm
Bài (tương tự BT76SBT/139): Cho đtr (O) (O’) tiếp xúc A, đg thg OO’ cắt đtr
(O) (O’) B C (khác A) DE tt chung (D thuộc (O), E thuộc (O’)),
BD cắt CE M
a) CMR: DME = 900 b) Tứ giác ADME hình gì? Vì sao?
c) MA tt chung đtr d) MD.MB = ME.MC LG
a) ta có : O1 = B1 + D1 (góc ngồi tam giác), mà B1 = D1 (tam giác cân)
2
1
3
1
1
I M
E
1 O'
D
C B
A O
1 1
1
2
O B B O
(1)
+ lại có : O1' C1E1 (góc tam giác), mà C1 = E1 (tam giác cân) ' '
1 1
1
2
O C C O
(2) + từ (1) (2)
' 0
1 1
1
.180 90
2
B C O O
(theo tính chất hình thang)
900 900
BMC hay DME
b) + tam giác ABD nt đtr (O) có AB đkính => tam giác ABD vuông D =>ADB = 900 => ADM = 900
+ tam giác ACE nt đtr (O) có AC đkính => tam giác ACE vng E =>AEC = 900 => AEM = 900
+ tứ giác ADME có : ADM = DME = AEM = 900 => tứ giác ADME hình chữ nhật
(57)+ từ (3) (4) => A1 + A2 = D2 + D3 = 900 (tính chất tt D) => MA vng góc với AB A => MA tt đtr (O) tt đtr (O’)
Bài 3: Cho đtr (O) đtr (O’) tiếp xúc A, BC tt chung đtr (B, C là
các tiếp điểm) tt chung đtr A cắt BC M a) CMR: A, , C thuộc đtr (M) đường kính BC
b) Đường thẳng OO’ có vị trí ntn đtr (M; BC/2)
c) Xác định tâm đtr qua O, M, O’
d) CMR: BC tt đtr qua O, M, O’
LG a) theo tính chất tt cắt nhau, ta có:
1
MA MB MC BC
tam giác ABC vuông A => a nằm đtr có đkính BC Hay điểm A, B, C thuộc (M; BC/2)
b) (O) (O’) tiếp xúc A => A thuộc
OO’ => OO’ vng góc với MA A thuộc (M;
BC/2) => OO’ tt đtr (M; BC/2)
O
A B
C
O' M
I
c) theo tính chất tt cắt nhau, ta có:
' '
' 0
1
;
2
1
.180 90
2
BMO AMO AMB CMO AMO AMC
AMO AMO AMB AMC
=> tam giác OMO’ vuông M => tâm đtr qua điểm O, M, O’ trung điểm I của
cạnh OO’
d) + tứ giác BOO’C hình thang vng có BO // CO’ (cùng vng góc với BC)
+ Xét hình thang BOO’C, ta có: '
BM MC
OI IO
MI đg trung bình hthang BOO’C
=> IM // OB, mà BC OB => IM BC => BC tt đtr qua điểm O, O’, M
Bài 4(BTVN): Cho đtr (O) đkính AB, điểm C nằm A O Vẽ đtr (O’) đkính BC
a) xác định vị trí tương đối đtr (O) (O’)
b) kẻ dây DE đtr (O) vng góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao?
c) gọi K giao điểm DB (O’) CMR: điểm E, C, K thẳng hàng
d) CMR: HK tt đtr (O’)
(58)a) ta có: OO’ = OB – O’B > => (O) (O’) tiếp xúc
trong B
b) + AB DE H => DH = EH + xét tứ giác ADCE, ta có :
DH EH
AH CH ADCE
AC DE
hình thoi c) ta có :
' ' '
1
ơ
1
ô
OD OA OB AB ADB vu ng D AD BD O C O K O B BC CKB vu ng K CK BD
3
1
1
O' O H
K
E D
C B
A
=> AD // CK (1)
+ mà ADCE hình thoi nên AD // CE (2)
+ từ (1) (2) => C, K, E thẳng hàng (theo Tiên đề Ơclit)
d) + KH trung tuyến tam giác DKE vuông K => HD = HK = HE => tam giác HKE cân H => K1 = E1 (*)
+ mà E1 = B1 (cùng phụ với BDE) (**) + từ (*) (**) => K1 = B1 (3)
+ mặt khác: B1 = K3 (tam giác O’KB cân O’) (4) + từ (3) (4) => K1 = K3
+ K2 K3 900 K1 K3 900 HK O K' HK tt đtr (O’)
(59)GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A Kiến thức bản
1 Quy tắc cộng đại số: gồm bước
- Cộng hay trừ vế pt hpt cho để đc pt
- Dùng pt thay cho pt hệ (giữ nguyên pt kia) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia
Thay vào tính nốt ẩn thành” - Nghĩa là:
+ nhân cho hệ số ẩn hai phương trình + đổi dấu vế pt: hệ số ẩn đối
+ cộng vế với vế pt hệ, rút gọn tìm ẩn + thay vào tính nốt ẩn lại
B Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số
1
5 19
) )
3 12 3
19
7
3 3
) )
7 23 1
3
x
x y x y x
a b
x y x y y
y
x
x y x x y
c d
x y y x y
y Bài 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số
2
2 3 5 4 15 7
) 9 3 ) 7
3
3
2 2
29
5 8
) ) ê ô ê
33
2 12
40
6
)
5
x x
x y x y
a b
x y
x y y y
x
x y y x y x
c d h v nghi m
x x y y x y x
x y x y
e
y x x y
1 2
2
)
23
1
2
x y x x
x
g
y x y x y
(60)
2 2
2 2
1 5 0
) )
3
3
x x y x x x y x
a b
y y
y y x y y x
Bài 4: xác định a, b để đồ thị hs y = ax + b qua điểm A B trường hợp sau: a) A(4; 3), B(-6; -7) Đáp số: a = 1; b = -1
b) A(3; -1), B(-3; -2) Đáp số: a = 1/6; b = -3/2 c) A(2; 1), B(1; 2) Đap số: a = -1; b =
d) A(1; 3), B(3; 2) Đáp số: a = -1/2; b = 7/2
Bài 5: Tìm m để nghiệm hệ phương trình:
2
1
3
3
2
4
x y
x y
x y
y x
nghiệm của
phương trình: 3mx – 5y = 2m +
- ta có:
2
1
4 10 11
3
15 28
3
2
4
x y
x y
x y x
x y y
x y
y x
- thay x = 11; y = vào phương trình ta đc: 11 5.6 2m m 1 31m31 m1
Bài 6 : Tìm m để đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m qua giao điểm đường thẳng (d1) : 2x + 3y = (d2) : 3x + 2y = 13
LG
- gọi A giao điểm đường thẳng (d1) (d2) Tọa độ điểm A nghiệm hpt :
2
3 13
x y x
x y y
=> A(5 ; -1)
- đg thg (d) qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn đth (d) thay x = ; y = -1 vào (d) ta đc :
24
1 5 5 24
5
m m m m
Bài 7 : Tìm m để đường thẳg sau đồng quy :
(d1) : 5x + 11y = ; (d2) : 4mx + (2m – 1)y = m + ; (d3) : 10x – 7y = 74
LG
- gọi A giao điểm đường thẳng (d1) (d3) Tọa độ điểm A nghiệm hpt :
5 11
10 74
x y x
x y y
=> A(6 ; -2)
- để đg thg đồng quy đg thg (d2) phải qua điểm A, tức tọa độ điểm A thỏa mãn
đth (d2) thay x = ; y = -2 vào (d2) ta đc : 6m 2m1 2 m 19m 0 m0
(61)GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức bản
Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực theo bước sau : - bước : lập hpt (bao gồm công việc sau)
+ chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)
+ biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + lập hpt biểu thị tương quan đại lượng
- bước : giải hpt vừa lập đc bước
- bước : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu B Bài tập áp dụng
Dạng 1: Tốn tìm số
- Ta phải ý tới cấu tạo số có hai chữ số , ba chữ số …viết hệ thập phân Điều kiện chữ số
Bài 1: Tìm hai số biết lần số thứ hai cộng với lần số thứ 18040, lần số thứ lần số thứ hai 2002
LG - gọi số thứ x, số thứ hai y x y N, - theo ra, ta có :
5 18040 2004
3 2002 2005
x y x
x y y
Bài 2 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp lần tổng chữ số Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại đc số lớn số ban đầu 36 đơn vị
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N , ;0a b, 9 - theo ra, ta có:
4( )
48
36
ab a b a
ab b
ba ab
Bài 3 Tìm số có hai chữ số Biết viết thêm số vào bên phải số số có ba chữ số số phải tìm 577 số phải tìm số viết theo thứ tự ngược lại 18 đơn vị
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N , ;0a9;0 b 9 - theo ra, ta có:
1 577 10 64
64
2
18
ab ab a b a
ab
a b b
ab ba
Bài 4 Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm
LG
(62)- theo ra, ta có:
2
25
4
6 5
4 25
25 9 20 0 5
4
a
loai a b
ab a b a b b
ab ba
ab ba b b a
thoa man b
- số cần tìm : 54
Dạng 2: Toán làm chung, làm riêng
- Ta coi tồn cơng việc đơn vị, gọi thời gian làm xong cơng việc x đơn vị thời gian làm
1
x công việc
* Ghi nhớ : Khi lập pt dạng tốn làm chung, làm riêng khơng cộng cột thời gian, suất và thờ i gian dòng số nghịch đảo nhau
Bài 1: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vịi thứ chảy
2
bể Hỏi vòi chảy đầy bể?
LG * lập bảng
V V Cả V
TGHTCV x y
Năng suất 1h
x
1
y
1
Năng suất 2h
x
5
Năng suất 3h
y
* ta có hpt:
1 1
10
2 15
5
x x y
y x y
Bài 2: Hai tổ làm chung cơng việc 12 xong, hai tổ làm tổ (I) đc điều làm việc khác , tổ (II) làm nốt 10 xong cơng việc Hỏi tổ làm riêng xong việc
* lập bảng
Tổ Tổ Cả tổ
TGHTCV x y 12
Năng suất 1h 1/x 1/y 1/12
(63)Năng suất 10h 10/y
* ta có hpt:
1 1
60 12
1 10 15
1
x x y
y y
Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bồn khơng có nước Nếu vịi chảy 3h dừng lại, sau vịi chảy tiếp 8h đầy bồn Nếu cho vịi chảy vào bồn khơng có nước 1h, cho vòi chảy tiếp 4h số nước chảy vào 8/9 bồn Hỏi chảy vịi chảy đầy bồn?
* lập bảng
Vòi Vòi Cả vòi
Thời gian chảy x y
1h 1/x 8/9
4h 4/x 4/y
3h 3/x
8h 8/y
* ta có hpt:
3
9
1 4 12
9
x x y
y x x y
Bài 4: Hai vòi nước chảy vào bể cạn
3
10bể Nếu vòi thứ nhất
chảy giờ, vịi thứ hai chảy hai vịi chảy
4
5bể Tính thời gian
mỗi vịi chảy đầy bể * lập bảng
Vòi Vòi Cả vòi
TGHTCV x y
Năng suất 1h 1/x 1/y 3/10
Năng suất 2h 2/y 4/5
Năng suất 3h 3/x
* ta có hpt:
1
5 10
3 10
5
x x y
y x y
Dạng Toán chuyển động
Bài 1 Quãng đường AC qua B dài 270km, xe tải từ A đến B với vận tốc 60km/h từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất hết 6giờ, Tính thời gian ô tô quãng đường AB BC
(64)Thời gian Vận tốc Quãng đường
AB x 60 60x
BC y 40 40y
* Ta có hệ phương trình:
3
6 2
60 40 270
2
x x y
x y
y
Bài 2 Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm, sau hai xe cách 28km Tính vận tốc xe đạp tô biết quãng đường dài 180km
* Sơ đồ:
B A
XM
XD XM
XD Gnhau
* Lập bảng:
V t (đi ngược chiều) S (đi ngược chiều)
t (đi chiều)
S (đi chiều)
Xe đạp x 3x x
Xe máy y 3y y
* Ta có hệ phương trình:
3 180 60 16
28 28 44
x y x y x
x y x y y
Bài 3: ô tô qđ AB với vận tốc 50km/h, tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h Biết tổng chiều dài qđ AB BC 165km thời gian tơ qđ AB thời gian ô tô qđ BC 30ph Tính thời gian tơ qđ?
Gọi thời gian ô tô AB, BC x, y
Ta có hệ phương trình:
50 45 165
2
2
x y
x
x y y
Bài 4: ca nơ xi dịng qng sơng dài 12km, ngược dịng qng sơng 2h30ph Nếu qng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 1h20ph Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước?
- gọi v ca nơ x, v dịng nước y (km/h; x > y > 0) - v xuôi: x+y
- v ngược: x-y
- ta có hpt
12 12
2
4
3
x y x y x y x y
(65)Bài 5: Một ca nô chạy sơng xi dịng 84 km ngược dịng 44 km Nếu ca nơ xi dịng 112 km ngược dịng 110 km giờ.Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước
- gọi x, y vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước (km, < y < x) - vận tốc xuôi ca nô: x + y
- thời gian xi dịng 84km là: 84/x+y - thời gian xi dịng 112km là: 112/x+y - vận tốc ngược ca nô: x - y
- thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y - thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y - theo ta có hệ phương trình:
84 44
5
112 110
9
x y x y x y x y
đặt
1
;
a b
x y x y
Dạng Tốn liên quan tới yếu tố hình học
- Ta phải nắm cơng thức tính chu vi; diện tích tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng, định lý Pi-ta-go
Bài 1: HCN có chu vi 80m Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m diện tích mảnh đất tăng thêm 195m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất
Gọi chiều dài x, chiều rộng y Ta có hpt
2 80 30
10
3 195
x y x
y
x y xy
Bài 2: ruộng HCN, tăng chiều dài thêm 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm đi
68m2 Tính diện tích ruộng đó?
Gọi chiều dài HCN x Gọi chiều rộng HCN y Ta có hpt
2 100 22
14
2 68
x y xy x
y
x y xy
Dạng Toán suất * Chú ý:
(66)CÁC GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN A Kiến thức bản
1 Góc tâm Số đo cung
a) Định nghĩa góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đtrịn đgl góc tâm b) Số đo cung:
- Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
- Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung
lớn)
- Số đo nửa đtr 1800
c) Tính chất số đo cung: Nếu C điểm nằm cung AB sđAB=sđAC+sđCB 2 Liên hệ cung dây
a) Định lý 1: Với cung nhỏ đtròn hay đtròn nhau: - cung căng dây
- dây căng cung
b) Định lý 2: Với cung nhỏ đtròn hay đtròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn
- Dây lớn căng cung lớn 3 Góc nội tiếp
a) Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đtrịn cạnh chứa dây cung đtrịn Cung nằm góc gọi cung bị chắn
b) Định lý: Trong đtrịn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c) Các hệ quả: Trong đtrịn
- Các góc nt chắn cung
- Các góc nt chắn cung chắn cung
- Góc nt (nhr 900) có só đo nửa số đo góc tâm chắn cung
- Góc nt chắn nửa đtrịn góc vng 4 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
a) Định nghĩa: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, cạnh tiếp tuyến cạnh lại chứa dây cung
b) Định lý: Sđ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn c) Định lý đảo: Nếu BAx có đỉnh nằm đtrịn, cạnh chứa dây cung AB, có sđ bằng nửa sđ cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đtròn
d) Hệ quả: Trong đtrịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
(67)- Định lý: Sđ góc nửa tổng sđ cung bị chắn b) Góc có đỉnh bên ngồi đtrịn
- Định lý: Sđ góc nửa hiệu sđ cung bị chắn B Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho (O) điểm M cố định khơng nằm đtrịn Qua M kẻ đường thẳng, đường thẳng thứ cắt đtròn (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt đtròn (O) C D CMR: MA.MB = MC.MD
LG
M
1
D B
O
C
A * TH1: điểm M nằm bên đtròn (O)
- Xét tam giác MAC tam giác MDB, ta có:
1
M M (đối đỉnh)
CAM BDM (góc nt chắn cung BC)
( )
MAC MDB g g
MA MC
MA MB MC MD
MD MB
1
M
D
B O
C
A
* TH2: điểm M nằm bên ngồi đtrịn (O) - Xét tam giác MAD tam giác MCB, ta có:
M (chung)
1
D B (góc nt chắn cung AC)
( )
MAD MCB g g
MA MD
MA MB MC MD
MC MB
Bài 2: Trên đtròn lấy liên tiếp ba cung: AC, CD, DB cho sđAC=sđCD =sđDB=600.
hai đường thẳng AC BD cắt E, hai tiếp tuyến đtròn B C cắt T CMR:
a) AEB BTC
b) CD tia phân giác góc BCT?
LG
T E
2
O
D C
B A
a) Ta có:
1 1 0
180 60 60
2
AEB AB CD
0 0
1
2
1
180 60 60 60 60
2
BTC BAC BDC AB AC CD DB
Do đó: AEB BTC b) Ta có:
1
1
30
C CD
(68)
1
30
C DB
(góc nội tiếp)
1
C C
Do CD phân giác góc BCT
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtrịn (O), tia phân giác góc A cắt BC D cắt đtròn M
a) CMR: OM vng góc với BC
b) Phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt (O) N CMR ba điểm M, O, N thẳng hàng
c) Gọi K giao điểm NA BC, I trung điểm KD CMR: IA tiếp tuyến đtròn (O)
LG
2
3 x
H
K I
M N
2
O
D C
B A
a) Ta có: A1 A2 BM CM BM CM
do
BM CM
OB OC
OM trung trực BC OM BC b) Ta có:
1 Ax 1.1800 900
2
MAN BAC C
mà MAN góc nội tiếp MAN 900 MN đường kính Do M, O, N thẳng hàng c) Do MAN 900 DAK 900 DAK vuông A
mà IK = ID => IK = IA = ID => tam giác IAD cân I
2
2
IAD D
IAD D
D D
(1)
Mặt khác: tam giác OAM cân O OAM OMA (2)
Từ (1) (2) IAD OAM D 2OMA IAO D 2OMA (3)
Do tam giác MHD vuông H (theo a) D2OMA 900 (4)
(69)Bài 4: Cho nửa đtrịn tâm O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đtròn (C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E Chứng minh rằng:
a) EH vng góc với AB
b) Vẽ tiếp tuyến với đtròn D, cắt EH I Chứng minh rằng: I trung điểm EH LG
O
2
1
I
H
K
D E
C
B A
a) Ta có: ACB900 (góc nt chắn nửa đtrịn) ACBC ADB900 (góc nt chắn nửa đtròn) ADBD Xét tam giác EAB, ta có:
AE BC BE AD
m AD BC H
H trực tâm tam giác EAB EH AB b) Ta có: H B (cùng phụ F1); D B (cùng chắn cung AD)
2
H D IHD
cân I => IH = ID (1)
Mặt khác:
1
0
1 1
2
90 90
E B
D D E D IED
m B D
cân I => ID = IE (2) Từ (1) (2) => IH = IE => I trung điểm EH
Bài 5: Cho (O), từ điểm M nằm ngồi đtrịn (O) vẽ tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E
a) CMR: MC = ME
b) DE phân giác góc ADB
c) Gọi I trung điểm AB CMR điểm O, I, C, M, D nằm đtrịn d) CMR: M phân giác góc CID
(70)1
M O
I E
D C
B
A
a) + ta có: BCEACE (gt)
CBA MCA (cùng chắn cung AC)
BCE CBA ACE MCA hay BCE CBA MCE
(1)
+ mặt khác: BCE CBA CEM (tính chất góc ngồi tam giác) (2) + từ (1) (2) MCE CEM MCE cân M => MC = ME
b) + MC MD tiếp tuyến => MC = MD, mà MC = ME => MD = ME => tam giác MDE cân M MED MDE MDA ADE (1)
+ mặt khác: MED B1BDE (tính chất góc ngồi tam giác) (2)
+ (1); (2) MDA ADE B 1BDE (3)
+ lại có: MDA B1 (cùng chắn cung AD) (4)
+ (3); (4) ADE BDE DE phân giác góc ADB
c) + MC, MD tiếp tuyến (O) OCM ODM 900 điểm O, C, D, M thuộc đtrịn có đường kính OM (*)
+ lại có: I trung điểm AB IOAB (định lý đường kính dây) => IO vng góc với IM => tam giác IOM vuông I => điểm I, O, M thuộc đtrịn có đường kính OM (**)
+ (*) (**) => điểm 0, I, C, M, D nằm đtròn
d) + Xét đtròn qua điểm: O, I, C, M, D có đường kính OM, ta có:
1
d CM óc
2
d DM óc
2
à d CM d DM
CIM s g nt
DIM s g nt CIM DIM
m CM DM s s
IM phân giác góc CID
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn D Kẻ đường kính AE CMR:
a) BC song song với DE
(71)LG
H
O
E D
C B
A
a) Ta có: BC vng góc với AD (gt) (1)
+ mà ADE900 (góc nt chắn nửa đtrịn) => DE vng góc với AD (2) + Từ (1) (2) suy BC // DE (cùng vuông góc với AD)
b) HTC = HT + góc đáy (hoặc đường chéo nhau)
(Chú ý: Hình thang có cạnh bên chưa HTC (VD: Hình bình hành là hình thang có cạnh bên không HTC))
+ BC // DE suy tứ giác BCED hình thang (1)
+ lại có: BC // DE s Bd D s CEd (2 cung bị chắn hai dây song song nhau)
d D dDE d dDE
s B s s CE s sd BE sdCD BE CD
(liên hệ cung dây) (2)
+ từ (1) (2) suy tứ giác BCED Hình thang cân
*************************************************************
HÀM SỐ y ax a 2 0 ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax a 2 0 A Kiến thức bản
1 Tính chất hàm số y ax a 2 0 a) Tính chất:
Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét:
Nếu a > y > với x khác 0; y = x = giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = giá trị lớn hàm số y = Tính chất đồ thị hàm số y ax a 2 0
Đồ thị hàm số y ax a 2 0 đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng đường cong gọi Parabol với đỉnh O
(72)Bài 1: Cho hàm số y5x2
a) Lập bảng tính giá trị y với giá trị x bằng: -2; -1;
1
; 0;
1 2; 1; 2
b) Với giá trị x hàm số nhận giá trị tường ứng bằng: 0; -7,5; -0,05; 50; -120 LG
a) Bảng giá trị tương ứng x y là:
x -2 -1
2
2
1
2
5
y x -20 -5
4
4
-5 -20
b)
+ Với y = ta có: 5x2 0 x2 0 x0
+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 7,5 x2 1,5 x 1,5 + Với y = -0,05 ta có: 5x2 0,05 x2 0, 01 x0,1 + Với y = -7,5 ta có: 5x2 50 x2 10 pt vô nghiệm + Với y = -7,5 ta có: 5x2 120 x224 x2 Bài 2: Cho hàm số
2
y m m x
Tìm giá trị m để: a) Hàm số đồng biến với x >
b) Hàm số nghịch biến với x >
LG Ta có: a m 2 m m m 1
a) Hàm số đồng biến với x >
0
1 1
0
0
0
1
m m
m m m
a m m
m
m m
m m
vậy m > m < hàm số đồng biến với x >
b) Hàm số nghịch biến với x >
0
1 1
0 0
ô
0
1
m m
m m m
a m m m
kh ng m
m m
m m
Bài 3: Cho hàm số y ax 2 Xác định hệ số a trường hợp sau: a) Đồ thị qua điểm A(3; 12)
b) Đồ thị qua điểm B(-2; 3)
(73)a) Vì đồ thị hs qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:
2
12
3
a a
b) Vì đồ thị hs qua điểm B nên tọa độ điểm B thỏa mãn hs, ta có:
2
3
4
a a
Bài 4: Cho hàm số y ax
a) Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2; 2) b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị a vừa tìm
LG
a) Vì đồ thị hs qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:
2
2
2
a a
b) Với a = ½ ta có hàm số sau:
2
1
y x
14
12
10
8
6
4
2
-2
-15 -10 -5 10 15
f x =
x2
Bài 5: Cho hàm số y0, 4x2 Các điểm sau đây, điểm thuộc đồ thị hàm số, điểm không thuộc đồ thị hàm số: A(-2; 1,6), B(3; 3,5), C( 5; 0,2)
LG
PP: muốn kiểm tra xem điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hs ta làm sau: thay hồnh độ điểm vào hàm số, giá trị hs với tung độ điểm thuộc đồ thị hs; giá trị hs khơng với tung độ điểm khơng thuộc đồ thị hs - Điểm A(-2; 1,6)
Thay x = -2 vào hàm số ta có:
2
0, 1,6
y
, điểm A thuộc đồ thị hs - Điểm B(3; 3,5)
Thay x = vào hs ta có: y0, 4.32 3,6 3,5 điểm B khơng thuộc đồ thị hs - Điểm C( 5; 0,2)
Thay x = vào hs ta có:
2
0, 0,
y
điểm C khơng thuộc đồ thị hs Bài 6: Cho hàm số
2
1
y x
(74)a) Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị
LG a) Vẽ đồ thị
14
12
10
8
6
4
2
-2
-15 -10 -5 10 15
g x = 2x-2 f x =
2
x2
b) pt hoành độ giao điểm đồ thị:
2
1
1
2 2
2x x x x
thay x = vào hs ta được: y = 2.2 – = Vậy tọa độ giao điểm đồ thị M(2; 2)
Bài 7: Cho hàm số y ax
a) Xác định a biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + điểm A có hồnh độ -2
b) Với giá trị a vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ c) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị
LG
a) tung độ điểm A là: y = -3.(-2) + = 10 Vậy tọa độ điểm A(-2; 10)
vì đồ thị hs y ax qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:
2
10
2
a a
Khi hs có dạng:
2
5
y x
(75)10 -2 -4 -6
-10 -5 10 15 20
q x = -3x+4 h x =
2
x2
c) pt hoành độ giao điểm đồ thị:
2
1
5
3 ;
2x x x 5 x
+ Với 1
4
3
5 5
x y
tọa độ điểm A(
4 ;
5 5)
+ Với x12 y13 2 4 10 tọa độ điểm B(-2; 10) Bài 8: Cho hàm số y ax
a) Xác định a biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -2x + điểm A có hồnh độ
b) Với giá trị a vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ c) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị
LG
a) tung độ điểm A là: y = -2.1 + = 1, tọa độ điểm A A(1; 1)
vì đồ thị hs y ax 2 qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 1 a.12 a 1
Khi
đó hs có dạng: y x
b) vẽ đồ thị hs mặt phẳng tọa độ
14
12
10
8
6
4
2
-2
-15 -10 -5 10 15
g x = -2x+3
f x = x2
c) pt hoành độ giao điểm đồ thị: x2 2x 3 x11; x2 3
+ Với x1 1 y12.1 1 tọa độ điểm A(1; 1)
(76)Bài 9: Cho hàm số (P): yx2 (d): y = 2x + 1. a) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d)
c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết đồ thị qua điểm A(-2; -1) song song với
(d)
LG a) vẽ đồ thị hs
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15 -10 -5 10 15
q x = 2x+1
h x = -x2
b) pt hoành độ giao điểm đồ thị: x2 2x 1 x1x2 1
+ Với
2
1 1 1
x y
tọa độ điểm A(-1; -1) c) (d1) // (d) nên a = (d1) có dạng: y = 2x + b
mặt khác (d1) qua A nên tọa độ A thỏa mãn (d1), ta có: -1 = 2.(-2) + b => b =
vậy hàm số (d1): y = 2x +
Bài 10: Trên mặt phẳng tọa độ, cho Parabol (P): y x đường thẳng (d): yx2 a) Vẽ (P) (d)
b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d)
c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết đồ thị song song với (d) cắt (P) điểm M
có hồnh độ
(77)14 12 10 -2
-15 -10 -5 10 15
s x = -x+2 r x = x2
b) pt hoành độ giao điểm đồ thị: x2 x 2 x1 1;x2 2
+ Với
2
1 1 1
x y tọa độ điểm A(1; 1)
+ Với
2
1 2
x y
tọa độ điểm A(-2; 4) c) d1 // d nên a = -1, d1 có dạng: y = -x + b
+ tung độ điểm M là: y = 22 = Tọa độ điểm M(2; 4)
+ mặt khác d1 qua M nên ta có: = -2 + b => b =
Vậy pt d1: y = -x +
************************************************************* PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A Kiến thức bản
1 Định nghĩa: pt bậc hai ẩn pt có dạng: ax2bx c 0a0 (1), x ẩn; a, b, c số cho trước
2 Cách giải
a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành:
2
0
0
0
x x
ax bx x ax b b
ax b x
a
b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành:
2 2
0 c
ax c ax c x
a
(2) -
c a
pt (2) vô nghiệm, suy pt (1) cung vô nghiệm -
c c
x
a a
c) đầy đủ: ax2bx c 0a0
(78)2 4 b ac
+ Nếu 0 pt có nghiệm phân biệt:
1 ;
2 b b x x a a
+ 0 pt có nghiệm kép:
1 2 b x x a
+ 0 pt vơ nghiệm
' b'2 ac
+ Nếu ' 0 pt có nghiệm phân biệt:
' ' ' '
1 ;
b b
x x
a a
+ ' 0 pt có nghiệm kép: ' b x x a
+ ' 0 pt vơ nghiệm d) Cho pt: ax2bx c 0a0 Điều kiện để phương trình:
- Vô nghiệm: 0 ( ' 0) - Nghiệm kép: 0 ( ' 0)
- Có nghiệm phân biệt: 0 ( ' 0) a.c < 0 - Có nghiệm dấu:
' x x
- Có nghiệm dấu âm:
' 2 0 x x x x
- Có nghiệm dấu dương:
' 2 0 x x x x
- Có nghiệm khác dấu:
' x x Hệ thức Vi-ét ứng dụng
- Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt
2 0 0
ax bx c a
1
1
b x x a c x x a - Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét:
+ pt ax2bx c 0a0 có a b c 0 pt có nghiệm là: 1; c
x x
a
+ pt ax2bx c 0a0 có a b c 0 pt có nghiệm là: 1; c
x x
(79)+ u v S u v P
suy u, v nghiệm pt: x2 Sx P 0 (điều kiện để tồn u, v là
2 4 0
S P
) B Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải phương trình sau:
2
1 2
2
1 2
2
1
6 2
) 0; ) ;
5 2
5
) 0; ) 0;
8
) 42 21; 21
a x x x x b x x x
c x x x x d x x x x
e x x x
Bài 2: Giải phương trình sau:
2
1 2
2
1 2
2
1
1
) 1; ) 10 39 3; 13
3
14
) 55 11; ) 70 5;
3
) 2;
2
a x x x x b x x x x
c x x x x d x x x x
e x x x x
Bài 3: Giải phương trình sau: a)
2 2
2x1 2x1 x 1 5x 6x 7
pt vô nghiệm
b)
2 2
1
10
4 14 20 0;
7
x x x x x x x
c)
2
1
11
3 20 22 2;
3
x x x x x x
d)
2
1
15
4 3 19 15 1;
4
x x x x x x
Bài 4: Chứng tỏ với m phương trình sau ln ln có nghiệm phân biệt a) x22 1 m x m 0
Ta có:
2
' 1 0,
2
m m m m
, đenta dương với m nên pt có 2 nghiệm phân biệt với giá trị m
b) x2mx m 21 0
Ta có:
' m2 4 m2 1 5m2 4 0, m
, đenta dương với m nên pt có nghiệm phân biệt với giá trị m
(80)1 2
1
0
0 2 2
;
3 2 2
0 12 ; 2
2
m m
a
m m
m m m m
Bài 6: Cho pt sau: x2mx 2 1 ; x22x m 0 2 Với giá trị m pt có nghiệm chung
- đk để pt (1) có nghiệm là:
'
1
2
2
m m
m
(*) - đk để pt (2) có nghiệm là: '2 m 0 m1 (**)
- từ (*) (**) suy để pt có nghiệm m2 - giả sử x0 nghiệm chung pt trên, ta có :
2
0 0 0 0
2
2 2 2
2
m
x mx x x m mx x m m x m x
m
(vì m khác m2 2)
- thay x0 = vào (1) (2) ta được:
2
1 m 2 m3
Vậy m = -3 pt có nghiệm chung Bài 7: Tìm m để pt sau có nghiệm chung?
2
2
4
2
x m x m
x m x m
- đk để pt (1) có nghiệm là:
2
2 2
4
2 2
m
m m
m
(*)
- đk để pt (2) có nghiệm là: 2 m2 0, m (**)
- từ (*) (**) suy để pt có nghiệm
2 2 2
m m
(***)
- giả sử x0 nghiệm chung pt trên, ta có :
2
0 4
x m x m x m x m m m x x
- thay x0 = vào (1) ta được: ( m4).2m 5 m1 (thỏa mãn (***))
Vậy m = pt có nghiệm chung Bài 8: Tìm m để pt sau có nghiệm chung?
2
2
2 1
2
x mx mx x
- đk để pt (1) có nghiệm là: 1 m2 8 0, m (*)
- đk để pt (2) có nghiệm là:
1
1
8
m m
(81)- từ (*) (**) suy để pt có nghiệm
1
m
(***) - giả sử x0 nghiệm chung pt trên, đó:
2 2
0 0 0
2x mx 1mx x 2 0 m x m1 x 3
Ta có:
2
2 10 25 5 0 5 5
m m m m m
(vì
1
m
), nên pt có nghiệm
phân biệt:
1
0
2
1 5
;
2 2 2 2 2
m
m m m m m
x x
m m m m m
- thay 01
3
x m
vào (1) ta được:
2
2
3
2 18 2
2 m m m m m m
m m
(phương trình vơ
nghiệm có m 27 0 )
- thay x02 1 vào (1) ta được:
2
2.1 m.1 0 m1 (thỏa mãn (***))
Vậy m = -1 pt có nghiệm chung Bài 9: Cho pt x2 4x m 1
a) xác định m để pt có nghiệm
b) Tìm m để pt có nghiệm thỏa mãn: x12x22 10 LG
a) Ta có: ' m Pt có nghiệm ' 3 m 0 m3 b) với m3 giả sử pt có nghiệm x1 ; x2 theo Vi-ét ta có:
1
1
4
x x x x m
(*)
lại có:
2 2
1 10 2 10
x x x x x x
(**)
thay (*) vào (**) ta được: 42 2m1 10 m2 (thỏa mãn điều kiện) Bài 10: Cho pt 3x2 5x m 0 Xác định m để pt có nghiệm thỏa mãn
2 2
5
x x Ta có: 25 12 m
Pt có nghiệm
25
0 25 12
12 m m (*) với 25 12 m
giả sử pt có nghiệm x1 ; x2 theo Vi-ét ta có:
2 (1) x x m x x
lại có:
2
1 2 2
5 5
9 9
x x x x x x x x x x
(82)kết hợp (1) (3) ta có hệ phương trình: 1 2 3 x x x x x x
thay vào (2) ta được
2 3 m m
(thỏa mãn đk (*)) Bài 11: Cho pt x2 2mx2m1 0
a) Chứng tỏ pt có nghiệm x1, x2 với m
b) Đặt
2
1 1
2
A x x x x * CMR: A8m218m9 * Tìm m để A = 27
c) Tìm m để pt có nghiệm lần nghiệm LG
a) ta có
2
2 2 1 1 0,
m m m m
, pt có nghiệm với giá trị m b) + với m pt có nghiệm x1, x2 theo Vi-ét ta có:
1
1
2
x x m
x x m
(*)
từ
2 2
1 1 2
2
A x x x x A x x x x
(**) thay (*) vào (**) ta được:
2 2
2 18
A m m m m
=> đpcm + với A = 27 suy
2
1
3
8 18 27 18 18 3;
4
m m m m m m c) giả sử x1 = 2.x2, kết hợp (*) ta có:
1
1 2
1 2 2
2
1 2
4
3
2
2
2
3
4 2
8 18
3
m m
x x
x x x x
m m
x x m x m x x
x x m x x m m m
m m m giải pt 2 3
8 18 ;
2
m m m m
*************************************************** CÁC GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN – TỨ GIÁC NỘI TIẾP A Kiến thức bản: Tứ giác nội tiếp
1 Định nghĩa: Tứ giác có đỉnh nằm đtrịn đgl tứ giác nội tiếp
(83)3 Dấu hiệu: Để chứng minh tứ giác nội tiếp đtròn ta chứng minh: - Tứ giác có đỉnh nằm đtrịn
- Tứ giác có tổng góc đối diện 1800
- Tứ giác có góc nhìn xuống cạnh B Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm AC, đtrịn đường kính CM cắt BC E, BM cắt đròn D
a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp b) DB phân giác góc EDA
c) CMR đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
O 21
1
K
M E
D
C B
A
a) ta có: BAC900 (gt)
BDC900 (góc nt chắn nửa đtrịn) Suy tứ giác BADC nt đtrịn đường kính BC b) ta có: C1D (cùng chắn cung ME)
vì tứ giác BADC nt C1D (cùng chắn cung AB)
1
D D
DB phân giác góc EDA c) giả sử AB cắt CD K
xét tam giác KBC, ta có:
CK BK BD CK CA BD M
M trực tâm tam giác KBC KM BC mặt khác MEBC (góc nt chắn nửa đtrịn), suy đthẳng KM ME trùng nhau đthẳng AB, EM, CD đồng quy K
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB E, cắt AC F Các tia BE cà CE cắt H CMR:
a) AH vng góc với BC
(84)c) Gọi M trung điểm BH CMR: tứ giác EMKF nt
2
2
1
1
F
H
O
2
1 K
M E
C B
A
a) ta có: BEC900 (góc nt chắn nửa đtrịn) CEAB 900
BFC (góc nt chắn nửa đtrịn) BF AC
xét tam giác ABC, ta có:
CE AB BF AC BF CE H
H trực tâm tam giác ABC AH BC b) xét tứ giác CKHF, có: K F 1800 tứ giác CKHF nt C1F2 (cùng chắn cung HK)
mặt khác: C1F1 (cùng chắn cung BE)
suy F1 F2 , FB phân giác góc EFK
c) xét tứ giác BKHE có K E 1800 tứ giác BKHE nt B1 K (cùng chắn cung HE)
mà: B1 C (cùng chắn cung EF)
mặt khác, tứ giác CKHF nt K1 C (cùng chắn cung HF)
suy B1 K 1C K (1)
xét tam giác BEH, có:
900 E
BM HM ME BME
BM HM
cân M
do EMF2B1 (tính chất góc ngồi tam giác) (2)
từ (1) (2) EMF 2K12K EKF tứ giác EMKF nt
Bài 3: Cho đtròn (O), điểm A nằm bên ngồi đtrịn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC với đtròn (B, C tiếp điểm) M điểm dây BC, đthẳng qua M vng góc với OM cắt tia AB AC D E CMR:
(85)1 O
1
M
E D
C B
A
a) xét tứ giác BDOM, ta có: 900
DMO (gt) 900
DBO (tính chất tiếp tuyến)
Suy điểm B, D, O, M nằm đtrịn đường kính DO, tứ giác BDOM nt xét tứ giác ECOM, ta có:
900 OME (gt)
900
OCE (tính chất tiếp tuyến)
Suy OME OCE 1800 tứ giác ECOM nt
b) tứ giác BDOM nt nên B1D1 (cùng chắn cung MO) (1)
tứ giác ECOM nt nên C1E1 (cùng chắn cung MO) (2)
mà B1 C1 (vì tam giác OBC cân O)
từ (1), (2) (3) suy D 1E1, tam giác ODE cân O, lại có OM DE (gt),
OM đường cao đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh DE => MD = ME đpcm Bài 4: Cho đtròn (O) (O’) cắt A B (O O’ thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).
Qua B kẻ cát tuyến vng góc với AB cắt đtrịn (O) C, căt đtròn (O’) D, tia CA cắt (O’) ở
I, tia DA cắt (O) K a) CMR: tứ giác CKID nt
b) Gọi M giao điểm CK DI Chứng minh điểm M, A, B thẳng hàng
O' I
O K
M
D
C B
A
a) ABC900 AC đường kính (O) 900
(86)Ta có: CKA 900 (góc nt chắn nửa đtrịn (O)) 900
DIA (góc nt chắn nửa đtrịn (O’))
Do đó: CKA DIA tứ giác CKID nt đường trịn đường kính CD
b) xét tam giác MCD, ta có:
CI MD
DK MC
CI DK A
A trực tâm t.giác MCD MA CD (1) mà ABCD (2)
từ (1) (2) suy điểm M, A, B thẳng hàng đpcm
Bài 5: Cho đtrịn (O) đường kính AB, M điểm đtròn; C điểm nằm A B qua M kẻ đthẳng vng góc với CM, đthẳng cắt tiếp tuyến (O) kẻ từ A B E F CMR:
a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt b) Tam giác ECF vuông C
2
1
F
O
1
M E
C B
A
a) xét tứ giác AEMC có: A M 900900 1800, mà góc A góc M góc vị trí đối diện, tứ giác AEMC nt
chứng minh tương tự ta có tứ giác BCMF nt
b) tứ giác ACME nt A1 E1 (cùng chắn cung MC) (1)
tứ giác BCMF nt B1F1 (cùng chắn cung MC) (2)
ta có: AMB 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) A1B1900 (3)
từ (1); (2) (3) E1F1900
xét tam giác ECF, có: E1F1 900 ECF900 ECF vuông C Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtrịn (O), có đường cao BB’ CC
a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt
b) Tia AO cắt đtròn (O) D cắt B’C’ I CMR: tứ giác BDIC’ nt
(87)C'
B' I
O
D C
B A
a) xét tứ giác BCB’C’ có BB C BC C ' ' 900 tứ giác BCB’C’ nt
b) ta có: ACB ADB (cùng chắn cung AB) (1) mặt khác tứ giác BCB’C’ nt BC B ' 'ACB 1800 (2)
từ (1) (2) BC B ' 'ADB1800 hay BC I IDB ' 1800, suy tứ giác BDIC’ nt
c) ta có: ABD900 (góc nt chắn nửa đtròn) C BD' 900
do tứ giác BDIC’ nt C BD C ID ' ' 1800 C ID ' 900 AOB C' '
Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm cạnh BC CD cho 450
MAN AM AN cắt đường chéo BD P Q Gọi H giao điểm MQ NP. CMR:
a) Tứ giác ABMQ nt
b) Tam giác AQM vng cân c) AH vng góc với MN
450 P
Q
N
2
1
H
2
1
M
D C
B A
a) ABCD hình vng có BD đường chéo, nên BD phân giác góc ABC
0
1 2
1
.90 45 45
2
B B B QAM
tứ giác ABMQ nt
b) tứ giác ABMQ nt
ABM AQM 1800 900 AQM 1800 AQM 900 MQ AN
xét tam giác AQM, có:
0
0
45 90
A AQM
(88)c) ta có: DB đường chéo hình vng ABCD nên DB phân giác góc ADC
0
1
1
.90 45
2
D D
tứ giác ADNP có DAN D 450 tứ giác ADNP nt 1800 900 1800 900
ADN APN APN APN NPAM
Xét tam giác AMN, ta có:
MQ AN
NP AM MQ NP H
H trực tâm tam giác AMN AH MN ****************************************************************
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức bản:
1 Phương trình trùng phương
- dạng tổng quát: ax4bx2 c 0a0
- cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x2 t t 0 Khi ta có pt: at2bt c 0 (đây pt bậc hai ẩn)
2 Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định pt
- Quy đồng mẫu thức vế pt, khử mẫu - Giải pt vừa nhận
- Kết luận: so sánh nghiệm tìm với đk xác định pt Phương trình tích
- dạng tổng quát: A B x x 0
- cách giải:
0
0
x x x
x
A A B
B
B Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải phương trình
4
4
) )
) 29 100 ) 13 36
a x x b x x
c x x d x x
Bài 2: Giải phương trình
2
2
2
2
1 2
) )
2 1 18
30 13 18 38
) )
1 1 2
x x x
a b
x x x x x
x x x
c d
x x x x x x x
(89)Bài 3: Giải phương trình
2
2 2
2
2 2 3
) 3 2 )
) 7 12 23 ) 10 15
a x x x x b x x x x
c x x x x x d x x x
3
) 5
e x x x
Bài 4: Tìm m để pt ẩn x sau có nghiệm: x4 6x2m0 (1) Đặt x2 t t 0 Khi pt (1) trở thành: t2 6t m 0 (2)
Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm phân biệt dương
'
1
1
9
6 0
m
t t m
t t m
Bài 5: Tìm m để pt có nghiệm: x4 2m1x2m 0 (1)
Đặt x2 t t 0 Khi pt (1) trở thành: t2 2m1t m 0 (2)
Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm dương (hay có nghiệm trái dấu)
2
'
1
3
0 3 0
3
2
3
3
3
m
m m
m m m
m m
t t m m
m
Bài 6: Cho pt: mx42m3x2m0 (1) Với giá trị m pt có nghiệm? Đặt x2 t t 0 Khi pt (1) trở thành: mt22m3t m 0 (2)
Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm dương phân biệt:
2
'
1
1
0
0
3
3
6 0
2 2 2
0 3
3
0
a m
m m
m m
m m m
m
t t m
m m
m t t
***************************************************************
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức bản:
- bước giải toán cách lập pt (hpt): bước B Bài tập áp dụng:
(90)Gọi số thứ x (x < 17) Số thứ hai là: 17 – x
Theo ta có pt:
2
2
1
17 157 34 132 11;
x x x x x x Vậy số cần tìm là: 11
Bài 2: Hai tổ đánh cá tháng đầu bắt 590 cá, tháng sau tổ vượt mức 10%, tổ vượt mức 15%, cuối tháng hai tổ bắt 660 cá Tính xem tháng đầu tổ bắt cá
* Cách 1: lập pt
Tháng đầu Tháng sau
Tổ x x10%.x
Tổ 590 x 590 x15% 590 x ……
Ta có pt: x10%.x590 x15% 590 x 660 x370 Vậy tổ 1: 370 cá; tổ 2: 220 cá
* Cách 2: lập pt
Tháng đầu Tháng sau
Tổ x x10%.x1,1x
Tổ y y15%.y1,5y
……… Ta có hpt:
590 370
1,1 1,5 660 220
x y x
x y y
Bài 3: Lấy số có chữ số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 15 lấy số trừ số tổng bình phương chữ số Tìm số này?
Gọi số cần tìm xy x y N , ;0x y, 9 Số viết theo thứ tự ngược lại là: yx
Vì lấy xy đem chia cho yx thương dư 15 nên ta có:
4 15 13
xy yx x y (1)
Lấy xy trừ số tổng bình phương chữ số, nên ta có:
2 2
9 10
xy x y x y x y (2)
Từ (1) (2) ta có hpt: 2
2 13
91
1
10
x y x
xy y
x y x y
Bài 4: hai vòi nước chảy vào bể sau thời gian đầy bể Nếu vịi chảy lâu 2h đầy bể so với vịi, vịi chảy phải lâu 4,5h đầy bể so với vịi Hỏi chảy vịi chảy đầy bể?
(91)TGHTCV x x2 x4,5
1h chảy
x
1
x
1 4,5
x Ta có pt:
2
1 1
2 4,5 x x
x x x Nghiệm thỏa mãn x =
Bài 5: công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm thời gian quy định Do cải tiến kỹ thuật nên tăng suất thêm sản phẩm người hoàn thành kế hoaahj sớm thời gian quy định 1h40ph Tính số sản phẩm người phải làm theo dự định
Số sản phẩm làm TGHTCV
Dự định x 50
x
Thực tế x5 50
5
x …… Ta có pt:
2
1
50 50
150
5
10; 15
x x
x x
x x
Nghiệm thỏa mãn x = 10
Bài 6: thuyền khởi hành từ bến sông A sau 2h40ph ca nô chạy từ A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 10km Hỏi vận tốc thuyền, biết vận tốc ca nô vận tốc thuyền 12km/h
S V T
Ca nô 10 x12 10
12
x
Thuyền 10 x 10
x … ta có pt:
1
10 10
30 12 30 12 96 360
12
3; 15
x x x x x x
x x
x x
Giá trị thỏa mãn x =
Bài 7: khoảng cách bến sông A B 30km ca nô từ A đến B, nghỉ 40ph B, lại trở A thời gian kể từ lúc đến lúc trở A 6h Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 3km/h
V S T
Nước yên lặng x
xuôi x3 30 30
3
x
Ngược x 30 30
3
(92)Ta có phương trình:
2
1
30 30 30 30 16
6 90 72 12;
3 3 3 x x x x
x x x x
Bài 8: phịng họp có 360 ghế xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm thì phịng họp có 400 ghế Tính số dãy ghế số ghế dãy lúc ban đầu
Số dãy Số ghế dãy Số ghế phòng
Ban đầu x y xy
Sau thay đổi x1 y1 x1 y1
Ta có hpt:
360 360
1 400 39
xy xy
x y x y
x, y nghiệm pt bậc hai:
1
39 360 24; 15
t t t t
Vậy: - Nếu số dãy ghế 24 số ghế dãy 15 - Nếu số dãy ghế 15 số ghế dãy 24
Bài 9: xuồng máy xi dịng 30km, ngược dòng 28km hết thời gian thời gian mà xuồng máy 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ yên lặng, biết vận tốc nước 3km/h
V S T
Nước yên lặng x 59,5 59,5 119
2
x x
xuôi x3 30 30
3
x
Ngược x 28 28
3
x … Ta có pt:
2
1
119 30 28
119 3 30 28
2 3
3 12 1071 357 17; 21
x x x x x x
x x x
x x x x x x
Bài 10: lâm trường dự định trồng 75ha rừng số tuần lễ Do tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên trồng 80ha hoàn thành sớm tuần Hỏi tuần lâm trường dự định trồng rừng?
1 tuần trồng số TGHTCV
Kế hoạch x 75
x
Thực tế x5 80
5
x … Ta có pt:
2
1
75 80
1 10 375 15; 25
5 x x x x
(93)Bài 11: ca nô xuôi từ A đến B cách 24km, lúc từ A đến B bè nứa trồi với vận tốc dòng nước 4km/h Khi đến B ca nô quay trở lại gặp bè nứa điểm C cách A 8km Tính vận tốc thực ca nơ
B C
A
Gọi vận tốc thực ca nô là: x (km/h; x > 4) Vận tốc xuôi: x + (km/h)
Vận tốc xuôi: x - (km/h) Thời gian xuôi từ A đến B:
24
x (h) Quãng đường BC: 24 – = 16 (km) Thời gian ngược từ B đến C:
16
x (h) Thời gian bè nứa từ A đến C:
8
4 (h)
Ta có pt:
2
1
24 16
2 40 0; 20
4 x x x x
x x
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1 Hai thành phố A B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau 1giờ 30phút xe máy từ A đến B trước người xe đạp Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy 2,5 lần vân tốc người xe đạp
* Lập bảng
Quãng đường Vận tốc Thời gian
Xe đạp 50 x 50
x
Xe máy 50 2,5x 50
2,5.x * Ta có phương trình:
50 50
1
2,5
x x , nghiệm x = 12
Bài 2: Một ô tô từ Hải Phòng Hà Nội, đường dài 100km, người lái xe tính tăng vận tốc thêm 10 km/h đến Hà Nội sớm nửa Tính vận tốc tơ khơng tăng * Lập bảng
Quãng đường Vận tốc Thời gian
Không tăng 100 x 100/x
Tăng 100 x + 10 100/x + 10
* Ta có phương trình:
100 100
10
(94)Bài 3 Một ô tô quãng đường AB dài 840km, sau nửa đường xe dừng lại 30 phút nên quãng đường lại, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h để đến B hẹn Tính vận tốc ban đầu tô
+ Gọi vân tốc ban đầu ô tô x (km/h, x > 0) + Thời gian hết quãng đường AB theo dự định là:
840
x (h) + Nửa quãng đường đầu ô tô hết:
420
x (h)
+ Vận tốc ô tô nửa quãng đường lại là: x + (km/h) + Thời gian tơ nửa qng đường cịn lại là:
420
x (h)
+ Theo ta có phương trình sau:
840 420 420
40; 42
2 x x
x x x
Bài 4 Quãng sông từ A đến B dài 36km, ca nô xuôi từ A đến B ngược từ B A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dòng nước 3km/h
V thực V nước V xuôi V ngược S t
Xuôi x x + 36 36/x+3
Ngược x – 36/x-3
* ta có pt sau:
36 36
5 15; 0,
3 x x
x x
Bài 5 Lúc ô tô từ A đến B Lúc 7giờ 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc tơ 24km/h Ơ tơ đến B 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe , biết quãng đường AB dài 120km
* lập bảng
V S T
Ơ tơ x 120 120/x
Xe máy x-24 120 120/x-24
- thời gian xe máy nhiều ô tô là:
4
( )
3 2 6 h
- ta có pt:
2
120 120
24 3456 72; 48
24 x x x x
x x
Bài 6: Một người đoạn đường dài 640 km với ô tô tàu hỏa Hỏi vận tốc cuả ô tô tàu hỏa biết vận tốc cuả tàu hỏa vận tốc cuả ô tô km/h
* lập bảng
V T S
ô tô x 4x
Tàu hỏa x+5 7(x+5)
* ta có pt : 4x + 7(x + 5) = 640 => x = 55
(95)vận tốc ca nô nước yên lặng , biết vận tốc người vận tốc dịng nước 4km/h
Tốn suất * Chú ý:
- Năng suất (NS) số sản phẩm làm đơn vị thời gian (t) - (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch
Bài 1 Hai công nhân phải làm theo thứ tự 810 900 dụng cụ thời gian Mỗi ngày người thứ hai làm nhiều người thứ dụng cụ Kết người thứ hoàn thành trước thời hạn ngày, người thứ hai hoàn thành trước thời hạn ngày Tính số dụng cụ người phải làm ngày
* Lập bảng
Tổng số sản phẩm cần làm Mỗi ngày làm TGHTCV
Người 810 x 810/x
Người 900 y 900/y
* Ta có hệ phtrình:
2
1
4
34 1080 20; 54
810 900
3
y x
x x x x
x y
, sau tìm y
Bài 2 Hai đội cơng nhân, đội phải sửa quãng đường dài 20km, tuần hai đội làm tổng cộng 9km Tính xem đội sửa km tuần, biết thời gian đội I làm nhiều đội II làm tuần
* Lập bảng
Tổng số quãng đường phải sửa
Mỗi tuần làm TGHTCV
Đội 20 x 20/x
Đội 20 – x 20/9 – x
* Ta có phtrình:
2
20 20
1 49 180 45;
9 x x x x
x x
Bài 3 Một đội cơng nhân dự định hồn thành cơng việc với 500 ngày cơng thợ Hãy tính số người đội, biết bổ sung thêm công nhân số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày
* Lập bảng
Tổng số ngày công Số công nhân TGHTCV
Lúc đầu 500 x 500/x
Sau bổ sung 500 x + 500/ x +
* Ta có phtrình:
2
500 500
5 500 25; 20
5 x x x x
x x
***************************************************************
(96)Bài 1: Từ điểm M (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB với đtròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD vng góc với AB, CE vng góc với MA, CF vng góc với MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF CMR:
a) Tứ giác AECD nt; tứ giác BFCD nt b) CD2 = CE.CF
c) Tứ giác ICKD nt d) IK vng góc với CD
C
2
2 21
1
1 K I
F
E D
O
B
M A
a) Ta có: AECADC BDC BFC 900 (gt)
+ xét tứ giác AECD, ta có: AEC ADC 1800, mà góc vị trí đối suy tứ giác AECD nt
+ xét tứ giác BFCD, ta có: BDC BFC 1800, mà góc vị trí đối suy tứ giác BFCD nt
b) ta có: A1B1 (cùng chắn cung AC)
+ tứ giác BFCD nt F1B1 (cùng chắn cung CD)
Suy ra: F1A1 (1)
+ tứ giác AECD nt A1D1 (cùng chắn cung CE) (2)
Từ (1) (2) suy ra: F1D 1B1
Mặt khác: A2 B (cùng chắn cung BC)
+ tứ giác AECD nt A2 E (cùng chắn cung CD)
Suy ra: E2 B (3)
+ tứ giác BFCD nt D B (cùng chắn cung CF) (4)
Từ (3) (4) suy ra: E D A2
(97)
1
2
D F CD CE
CDE CFD g g CD CE CF
CF CD
E D
c) Xét tứ giác ICKD, ta có: ICK IDK ICK D 1D2 ACB B1A 1800 (tổng góc
của tam giác ABC), mà ICK IDK; góc vị trí đối nhau, suy tứ giác ICKD nt d) ta có tứ giác ICKD nt I1 D (cùng chắn cung CK), mà D A2 (cmt)
Suy I1A2, mà I A1; góc vị trí đồng vị nên IK // AB, lại AB vng góc với CD,
nên IK vng góc với CD
Bài 2: Cho tam giác ABC cân A nt đtròn (O), điểm D thuộc tia đối tia AB, CD cắt (O) E, tiếp tuyến (O) B cắt EA F CMR:
a) Tứ giác BFDE nt b) FD // BC
C
2
2
1
1
1 F
E D
O
B
A
a) ta có: B1 E1 (cùng bù với E 2)
mà B1 C1 (do tam giác ABC cân A)
suy ra: E1C1 (1)
mặt khác: E2 C1 B (cùng chắn cung AB) (2)
từ (1) (2) suy E1B đỉnh B, E nhìn xuống cạnh DF dới góc nhau,
suy tứ giác BFDE nt
b) tứ giác BFDE nt E D (cùng chắn cung BF), mà E2 = B2 = C1 = B1, suy D1 = B1 (2 góc vị trí so le trong) => FD // BC
Bài 3: Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh AD Vẽ đtrịn (O) đường kính MB, cắt AC E (khác A) Gọi giao điểm ME DC CMR:
a) Tam giác BEM vuông cân b) EM = ED
(98)d) BK tiếp tuyến (O)
K M
C
2 2
2
1
1
1 E
D
O
B A
a) tứ giác ABEM nt => BAM + BEM = 1800 => 900 + BEM = 1800 => BEM = 900 (1)
Mặt khác: A1 = A2 (tính chất hình vng) => sđ cung BE = sđ cung ME => BE=ME (2)
Từ (1) (2) suy tam giác BEM vuông cân E b) xét tam giác BCE tam giác DCE, ta có: CE: chung
C1 = C2 (tính chất hình vng) CB = CD (gt)
Do BCEDCE (c.g.c) => BE = DE (cạnh tương ứng) (3) Từ (2) (3) => EM = ED (= BE) (4)
c) ta có:
1
0
1 1
1
90 90
â
K M
D D K D EDK
M D EDM c n EM ED
cân E => ED = EK (5) (4) (5) => EB = EM = ED = EK => điểm B, M, D, K thuộc đtrịn có tâm E
d) tứ giác BKDM nt (E) MDK MBK 180 MBK 900 BK BM BK tiếp tuyến đtròn (O)
Bài 4: Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên nội tiếp đtròn (O) Tiếp tuyến B C đtròn cắt tia AC tia AB D E CMR:
a) BD2 = AD.CD
(99)j
C
2
2
1
1
1
E D
O
B
A
a) ta có: A1 = B2 (cùng chắn cung BC) xét tam giác ABD tam giác BCD, ta có:
1 2
1
:
A B AD BD
ABD BCD g g BD AD CD
BD CD D chung
b) ta có:
1 1
1 2
E sd AC sd BC
D sd AB sd BC D E
m AB AC sd AB sd AC
điểm D E nhìn xuống cạnh BC 2 góc => tứ giác BCDE nt
c) ta có: B1 C1 (gt), mà tứ giác BCDE nt => BED = C1 (cùng bù với BCD) B1 = BED (2 góc vị trí đồng vị) => BC // DE
Bài 5: Cho tứ giác ACBD nt đtrịn (O), đường chéo AB CD vng góc với I trung tuyến IM tam giác AIC cắt BD K, đường cao IH tam giác AIC cắt BD N a) CMR: IK vuông góc với BD
b) Chứng minh N trung điểm BD c) Tứ giác OMIN hình gì? Tại sao? d) Chứng minh
1
;
2
(100)N H
K C
1
1 I
D O
B M
A
a) ta có: B1 =C1 (cùng chắn cung AD) (1)
+ IM trung tuyến tam giác AIC => IM = MA => tam giác MAI cân M => A1= MIA
+ mà MIA = KIB (đối đỉnh) => KIB = A1 (2)
Từ (1) (2) => B1 + BIK = C1 + A1 = 900 => IKB = 900 suy IK vuông góc
với BD
b) ta có: CIH = DIN (đối đỉnh), mà CIH + C1 = 900, đó: DIN + C1 = 900 + mà C1 = B1 suy ra: DIN + B1 = 900 (*)
+ mặt khác: DIN + BIN = 900 (**)
(*) (**) suy ra: B1 = BIN => tam giác BIN cân N => NB = NI (3) + lại có:
IDN + B1 = 900
DIN + B1 = 900
Do đó: IDN = DIN => tam giác NID cân N => NI = ND (4) (3) (4) => NB = ND => N trung điểm BD
c) ta có: M, N trung điểm AC BD => OM vng góc với AC; ON vng góc với BD
=> OM // IN (cùng vng góc với AC); ON // IM (cùng vng góc vói BD) Do tứ giác DMIN hình bình hành (vì có cạnh đối song song) d) tứ giác OMIN hình bình hành => OM = IN; ON = IM
mà
1
;
2
IN BD IM AC nên
1
;
2