Phương pháp Lyapunov Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình Eliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn

Phương pháp Lyapunov Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình Eliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn Phương pháp Lyapunov Schmidt và bài toán Dirichlet đối với phương trình Eliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN ĐÀM VĂN THƯỢNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số định lý điểm bất động 1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Bannach 1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder 1.2 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2.1 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn khơng gian Bannach 1.2.2 Phổ tốn tử bị chặn khơng gian Hilbert 1.3 Các định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic 1.4 Không gian Sobolev 1.4.1 Định lý vết 1.4.2 Định lý nhúng 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 1.5 Định lý Lax Milgram 1.6 Định lý Lax Milgram không gian Hilbert phức 1.7 Bài toán Dirichlet phương trình Laplace 1.7.1 Không gian Sobolev H10 (Ω) 1.7.2 Bài toán Dirichlet nghiệm suy rộng 1.7.3 Toán tử toán Dirichlet 1.7.4 Sự tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet 3 4 5 10 11 11 12 12 14 17 17 18 19 20 Phương pháp Lyapunov - Schmidt tốn Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn 27 2.1 Bi toỏn Dirichlet vi phn chớnh l toỏn t Schră odinger 28 2.1.1 Không gian Vq (Ω) 28 i 2.2 2.1.2 2.1.3 Sự tồn 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Bài toán Dirichlet nghiệm suy rộng Toán tử toán Dirichlet nghiệm toán Dirichlet Phương pháp Lyapunov - Schmidt Điều kiện tồn nghiệm toán Dirichlet Sự tồn điểm rẽ nhánh toán Dirichlet 29 31 36 36 36 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 ii Danh mục kí hiệu Rn Cn Du = ∆u = khơng gian thực n - chiều không gian phức n - chiều ∂u ∂u ∂x1 , , ∂xn n ∂2u = ∂∂xu2 ∂x2i i=1 = (Dx1 u, , Dxn u), + ··· + ∂2u ∂x2n toán tử Laplace α = (α1 , , αn ) với αi ∈ N (i = 1, 2, , n), Dα u = Dxα11 Dxα22 Dxαnn iv gọi đa số bậc |α| = α1 + · · · + αn đạo hàm cấp α hàm u kết thúc chứng minh Lời Mở Đầu Lý thuyết tồn nghiệm phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính nghiên cứu đầy đủ Vấn đề tương tự phương trình hệ phương trình Elliptic khơng tuyến tính nghiên cứu nhiều toán mà quan tâm Trong luận văn tác giả xét toán Dirichlet lớp phương trình Elliptic cấp nửa tuyến tính vi phn chớnh l toỏn t Schră odinger không bị chặn P (λ) : (−∆ + q(x)) u − λu = f (x, u) − h(x) Ω, u|∂Ω = 0, u(x) → |x| → +∞ Ω miền khơng bị chặn với biên ∂Ω trơn Rn , λ > 0, q(x) hàm số xác định Ω thỏa mãn q(x) ∈ C (R), ∃q0 > 0, q(x) > q0 , ∀x ∈ Ω q(x) → +∞ |x| → +∞, f (x, u) liên tục Lipschitz theo biến u với số k |f (x, u1 ) − f (x, u2 )| ≤ k|u1 − u2 | Nhiều tốn biên phương trình đạo hàm riêng mà đặc biệt phương trình khơng tuyến tính khơng có nghiệm trơn, tính nghiệm khơng cịn Trong trường hợp nghiệm tốn phải hiểu theo nghĩa rộng Vì vậy, người ta đến khái niệm nghiệm suy rộng toán Các phương pháp thường sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân khơng tuyến tính là: Phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới, phương pháp dựa định lý điểm bất động Bannach Schauder Trong luận văn tác giả sử dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt mà thực chất phương pháp trực giao Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương tác giả trình bày số định lý điểm bất động; phổ toán tử tuyến tính bị chặn; định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic; khơng gian Sobolev; định lý Lax Milgram; toán Dirichlet phương trình Laplace Chương tác giả tập trung tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt, từ trình bày điều kiện tồn nghiệm điều kiện tồn điểm rẽ nhánh toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương tác giả trình bày kiến thức về: Định lý điểm bất động; phổ toán tử tuyến tính; định lý Lax Milgram; tốn Dirichlet phương trình Laplace 1.1 Một số định lý điểm bất động Các định lý điểm bất động câu trả lời cho toán tổng quát sau đây: Cho C tập không gian X, T ánh xạ từ C vào X Phải đặt điều kiện C, X T để khẳng định tồn điểm x0 C mà T x0 = x0 ? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ T Trong nhiều trường hợp quan trọng, việc giải phương trình quy việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X, y phần tử cố định X nghiệm phương trình Sx = y điểm bất động ánh xạ T xác định T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X Sau ta giới thiệu số định lý điểm bất động 1.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer Định lý 1.1 (Brouwer) Giả sử C tập lồi, compact, khác rỗng Rn T : C → C ánh xạ liên tục Khi T có điểm bất động Chứng minh Chứng minh định lý tìm thấy [3] 1.1.2 Ngun lý ánh xạ co Bannach Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi nguyên lý ánh xạ co Bannach Trước phát biểu nguyên lý tiếng này, ta định nghĩa ánh xạ co Định nghĩa 1.2 Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) gọi ánh xạ co tồn k ∈ [0, 1) cho ρ(T x, T y) ≤ k.d(x, y)∀x, y ∈ X Như ánh xạ co trường hợp riêng ánh xạ Lipschitz hiển nhiên liên tục Định lý 1.3 (Nguyên lý ánh xạ co Bannach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T ánh xạ co X Khi tồn x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ Ngoài ra, ∀x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ n → ∞ Chứng minh Chứng minh định lý tìm thấy [2], [3] 1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder Định lý 1.4 (Định lý xấp xỉ toán tử compact) Giả sử X, Y không gian Bannach, M tập bị chặn X, T : X → Y ánh xạ cho Khi đó, T compact điều kiện sau thỏa mãn: Với n ∈ N tồn toán tử compact Pn : M → Y cho sup ||T (x) − Pn (x)|| ≤ 1/n dim(spanPn (M )) < ∞ x∈M Chứng minh Phần chứng minh định lý xem [5] Định lý 1.5 (Định lý điểm bất động Schauder) Giả sử M tập lồi, compact, khác rỗng không gian Bannach X Giả sử T : M → M ánh xạ liên tục Khi đó, T có điểm bất động Hệ 1.6 Giả sử M tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng không gian Bannach X Giả sử T : M → M tốn tử compact Khi T có điểm bất động Phần chứng minh định lý hệ tìm thấy [5] 1.2 1.2.1 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Bannach Cho X không gian định chuẩn trường P (P trường số thực R trường số phức C), A tốn tử tuyến tính bị chặn ánh xạ khơng gian X vào (hay cịn nói tốn tử A tác dụng khơng gian X) Ta xét phương trình dạng (A − λI)x = y; x, y ∈ X, λ ∈ P, (1.1) I tốn tử đồng Và phương trình tương ứng với (1.1) có dạng (A − λI)x = 0, x ∈ X, λ ∈ P (1.2) Nếu phương trình (1.2) có nghiệm x0 = với giá trị λ0 λ0 gọi giá trị riêng toán tử A, x0 gọi vectơ riêng toán tử A ứng với giá trị riêng λ0 Trong trường hợp này, hiển nhiên không tồn toán tử ngược Rλ = (A − λI)−1 toán tử Aλ = A − λI, phương trình (1.1) vơ nghiệm với y = Tốn tử Rλ gọi toán tử giải hay giải thức toán tử A Định nghĩa 1.7 Số λ gọi giá trị quy (hay điểm quy) toán tử A, tồn toán tử giải Rλ xác định bị chặn tồn khơng gian X Số λ gọi phổ (hay điểm phổ) tốn tử A, số λ khơng giá trị quy tốn tử A Định nghĩa 1.8 Tập hợp tất giá trị phổ toán tử A gọi phổ toán tử A Lập luận chứng tỏ, phổ toán tử A chứa tất giá trị riêng toán tử A Tập hợp tất giá trị riêng A gọi phổ điểm toán tử A, tập hợp giá trị cịn lại phổ tốn tử gọi phổ liên tục Định lý 1.9 Nếu A tốn tử compact tác dụng khơng gian Bannach X, với số α > tốn tử A có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α Chứng minh Giả sử toán tử compact A có dãy vơ hạn (xn ) vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với dãy giá trị riêng (λn ) mà |λn | ≥ α với n = 1, 2, 3, Ta kí hiệu Xn khơng gian đóng sinh vectơ x1 , x2 , , xn (n = 1, 2, 3, ) Khi đó, số tự nhiên n = 1, 2, 3, tồn phần tử yn ∈ Xn , ||yn || = cho d(yn , Xn−1 ) = Khi dãy yn λn yn A = λn n−1 ak k=1 x∈Xn−1 ||yn − x|| > bị chặn dãy A λynn n k=1 Thật vậy, giả sử yn = zn = inf n k=1 λk λn không chứa dãy hội tụ ak xk ak Axk = λk n−1 k=1 ak λk xk + an xn = yn + zn , λn − xk ∈ Xn−1 (n = 1, 2, ) Với hai số tự nhiên p, q, p > q ta có A yp yq −A λp λq = ||yp + zp − (yq + zq )|| = ||yp − (yq + zq − zp )|| > , yq + zq − zp ∈ Xp−1 Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính compact tốn tử A Vì có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ| ≥ α 1.2.2 Phổ toán tử bị chặn khơng gian Hilbert 1.2.2.1 Phổ tốn tử tự liên hợp Định nghĩa 1.10 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ khơng gian Hilbert H vào gọi tự liên hợp, (Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H Toán tử tự liên hợp cịn gọi tốn tử đối xứng Định lý 1.11 Tốn tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ khơng gian Hilbert H vào tự liên hợp tích vơ hướng (Ax, x) số thực x ∈ H Cho A toán tử tự liên hợp tác dụng khơng gian Hilbert H Ta có kết sau Định lý 1.12 Các giá trị riêng toán tử tự liên hợp A số thực n =− ΩR i=1 n = ΩR i=1 = ∂u ∂u ϕ dx + ∂xi ∂xi n ΩR i=1 ∂u ∂ϕ + quϕ(x)dx ∂xi ∂xi ∂u ∂ϕ + quϕ(x)dx = ∂xi ∂xi DuDϕ + quϕ(x)dx ΩR DuDϕ + quϕ(x)dx Ω Do f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) DuDϕ + quϕ(x)dx = Ω Ω Nếu f (x) hàm khơng liên tục Ω tốn (2.4) nói chung khơng có nghiệm C02 (Ω) Khi nghiệm toán (2.4) cần hiểu theo nghĩa suy rộng Ta có định nghĩa nghiệm suy rộng tốn sau Định nghĩa 2.3 Giả sử f (x) ∈ L2 (Ω) Khi hàm u ∈ Vq0 (Ω) gọi nghiệm suy rộng toán (2.4) nếu: (u, ϕ)q = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), (u, ϕ)q tích vơ hướng Vq0 (Ω) Chú ý 2.4 Giả sử nghiệm suy rộng u ∈ Vq0 (Ω) ∩ C02 (Ω), ta có (1) Nếu u ∈ Vq0 (Ω) (u, ϕ)q = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) (2) Nếu u ∈ C02 (Ω) a(u, ϕ) = (u, ϕ)q = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) tức DuDϕ + quϕ(x)dx = Ω f (x)ϕ(x)dx Ω Do với ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) ta có suppϕ-compact Suy tồn R > đủ lớn cho suppϕ ⊂ B(0, R), B(0, R) : hình cầu tâm 0, bán kính R Đặt ΩR = Ω ∩ B(0, R), ∂ΩR = ∂Ω ∪ ∂B Chú ý rằng, ϕ|∂Ω = 0, ϕ|∂B = 0, nên DuDϕ + quϕ(x)dx = f (x)ϕ(x)dx ΩR Ω 30 Áp dụng cơng thức Green, ta có DuDϕ + quϕ(x)dx = ΩR DuDϕdx + ΩR n ΩR ∂ ∂u ∂2u ϕ − ϕ(x) dx + ∂xi ∂xi ∂x2i = i=1Ω R n n =− i=1Ω R n =− i=1Ω ∂2u ϕ(x)dx + ∂x2i i=1 ∂2u ϕ(x)dx + ∂x2i R = quϕ(x)dx quϕ(x)dx ΩR ∂u ϕ(x)cos(x1 , ϕ)ds + ∂xi quϕ(x)dx ΩR ∂ΩR quϕ(x)dx ΩR (−∆ + q)uϕ(x)dx ΩR Vậy (u, ϕ)q = ((−∆ + q)u, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Do ((−∆ + q)u, ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Từ suy (−∆ + q)u = f Ω Vậy u nghiệm cổ điển toán (2.4) 2.1.3 Toán tử toán Dirichlet Ta xét toán Dirichlet (2.4) (−∆ + q)u = f (x) Ω, u=0 ∂Ω Giả sử u ∈ C02 (Ω) nghiệm toán (2.4) Khi với v ∈ C0∞ (Ω) ta có (−∆ + q)uvdx = f (x)vdx Ω Ω Suy f (x)vdx, ∀v ∈ C0∞ (Ω) DuDv + quvdx = Ω Ω 31 Xét phiếm hàm thực DuDv + quvdx, ∀u, v ∈ C0∞ (Ω) aq (u, v) = Ω b(v) = f (x)vdx Ω Ta chứng minh a phiếm hàm song tuyến tính đối xứng thỏa mãn điều kiện coercive b phiếm hàm tuyến tính liên tục Thật vậy, tính song tuyến tính a tính tuyến tính b rõ ràng Từ bất đẳng thức Buniakowki ta suy a, b bị chặn |Du|2 + q|u|2 |aq (u, v)| ≤ |Dv|2 + q|v|2 dx Ω   12  ≤ |Du|2 + q|u|2 dx  Ω  12 |Dv|2 + q|v|2 dx Ω ≤ ||u||q,Ω ||v||q,Ω  |b(v)| ≤ |f ||v|dx ≤ M  Ω  21 |v|2 dx ≤ M ||v|| Ω Vậy a, b phiếm hàm tuyến tính liên tục Hơn |Du|2 + q|u|2 dx = ||u||2q,Ω |aq (u, u)| = Ω Vậy theo định lý Lax - Milgram tuyến tính tồn tốn tử kí hiệu Hq L2 (Ω) cho (Hq u, v) = aq (u, v), ∀u ∈ D(Hq ), v ∈ Vq0 (Ω), D(Hq ) = u ∈ Vq0 (Ω) : Hq u := (−∆ + q)u ⊂ L2 (Ω) Rõ ràng toán tử Hq : D(Hq ) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω) 32 tốn tử tuyến tính với miền giá trị R(Hq ) ⊂ L2 (Ω) Do q(x) dương nên toán tử Hq xác định dương (Hq u, u)L2 (Ω) ≥ 0, ∀u ∈ D(Hq ) Ngoài ra, với u, v ∈ C0∞ (Ω) ta có (Hq u, v) = (u, Hq v) Vì Vq0 (Ω) bổ sung C0∞ (Ω) theo chuẩn ||.||q,Ω nên cách qua giới hạn ta có (Hq u, v) = (u, Hq v), ∀u, v ∈ D(Hq ) Vậy, Hq toán tử tự liên hợp Hơn nữa, Hq ánh xạ 1-1 nên tồn nghịch đảo kí hiệu Hq−1 xác định R(Hq ) ∩ L2 (Ω) với miền giá trị D(Hq ) (Hq−1 (Hq u), Hq v) = (u, Hq v) = aq (u, v) = (Hq u, v) = (Hq u, Hq−1 (Hq v)) Từ Hq−1 hạn chế L2 (Ω) tốn tử tự liên hợp, tức (Hq−1 )∗ = Hq−1 Do phép nhúng Vq0 (Ω) → L2 (Ω) compact nên Hq−1 : L2 (Ω) → Vq0 (Ω) ⊂ L2 (Ω) toán tử compact, tự liên hợp L2 (Ω) (Hq−1 (Hq u), Hq u) = (u, Hq u) = aq (u, v) = ||u||2q,Ω Vì Hq−1 xác định dương ta có khẳng định sau Định lý 2.5 Toán tử nghịch đảo Hq−1 toán tử Hq compact, xác định dương tự liên hợp L2 (Ω) Từ định lý 2.5 định lý 1.13, suy tồn sở trực giao L2 (Ω), ∞ ∞ kí hiệu {ui }i=1 gồm hàm riêng Hq−1 ứng với giá trị riêng {µi }i=1 µi > giảm dần i → ∞, tức Hq−1 ui = µi ui , ui ↓ 0, i → +∞ Hơn nữa, Hq−1 : L2 (Ω) → Vq0 (Ω) ⊂ L2 (Ω), 33 (2.6) nên từ đẳng thức (2.6) ta suy ui ∈ Vq0 (Ω) với i = 1, 2, Mặt khác từ (2.6) ta có Hq (Hq−1 ui ) = Hq (µi ui ) = µi (Hq ui ) Từ suy Hq ui = µ1i ui Điều chứng tỏ tốn tử Hq có dãy hàm riêng ui Vq0 (Ω) tương ứng với dãy giá trị riêng {λi }∞ i=1 đơn điệu tăng i → ∞ < λ1 < λ2 ≤ ≤ λi ≤ , λi → +∞ i → +∞ Từ ta đến khẳng định sau Định lý 2.6 Tồn sở Hilbert gồm hàm riêng ui , (i = 1, 2, ) toán tử Hq tương ứng với dãy giá trị riêng λi đơn điệu tăng i → ∞ Liên quan đến giá trị riêng λ1 toán tử Hq−1 ta có định lý sau Định lý 2.7 Nếu λ1 giá trị riêng đơn toán tử Hq ||(Hq )−1 || = λ1 Chứng minh Khẳng định định lý tương đương với việc chứng minh ||Hq−1 || = |µ1 | Thật vậy, {ui } (i = 1, 2, ) sở trực giao khơng gian L2 (Ω) nên xây dựng sở trực chuẩn L2 (Ω) gồm vectơ riêng, kí hiệu ui , (i = 1, 2, ) toán tử Hq ứng với giá trị riêng λi , (i = 1, 2, ) Khi đó, với u ∈ L2 (Ω) ta có biểu diễn u= (u, ui )ui i Do (Hq )−1 u = (u, ui )(Hq )−1 ui = i µi (u, ui )ui i Nên ta có đánh giá Hq−1 u µ2i (u, ui ) = ≤ µ21 i (u, ui ) = µ21 u i Nghĩa Hq−1 u ≤ |µ1 | u Từ suy ||Hq−1 || ≤ |µ1 | Mặt khác, ta lại có Hq−1 u1 = µ1 u1 nên Hq−1 u1 = |µ1 | u1 = |µ1 | Do |µ1 | = Hq−1 u1 ≤ Hq−1 Tức |µ1 | ≤ ||Hq−1 || Vậy ||Hq−1 || = µ1 = 34 λ1 u1 = Hq−1 Mệnh đề 2.8 Giá trị riêng Hq kí hiệu λ1 cô lập đơn; hàm riêng tương ứng ϕ1 dương Ω Chứng minh Trước hết, ý λ1 nghiệm bội hữu hạn; Hq−1 compact Nếu λ1 không nghiệm đơn hàm riêng ϕ1 đổi dấu Thì ϕ+ hàm riêng tương ứng với λ1 Kí hiệu Ω+ = {x ∈ Ω : ϕ1 (x) > 0} λ1 (Hq , Ω+ ) giá trị riêng Hq xác định Ω+ với điều kiện biên Dirichlet Ta chứng minh λ1 = λ1 (Hq , Ω+ ) Thật vậy, giả sử Ω+ = Ω , ϕ1 ϕ+ phụ thuộc tuyến tính Khi đó, với miền Ω∗ thỏa mãn Ω+ ⊂ Ω∗ ⊂ Ω, thiết lập số vô hạn hàm riêng phụ thuộc tuyến tính tương ứng với λ1 Điều mâu thuẫn với λ1 nghiệm bội hữu hạn Do vậy, λ1 đơn ϕ1 không đổi dấu Mệnh đề 2.9 (Nguyên lý Maximum), (xem [6]) Giả sử q(x) thỏa mãn q(x) ∈ C (R) tồn q0 , q(x) ≥ q0 , ∀x ∈ Ω, q(x) → +∞ |x| → +∞ λ < λ1 Với g(x) L2 (Ω) tồn nghiệm toán sau Hq u − λu = g(x) Ω, u|∂Ω = 0, u(x) → |x| → +∞ Hơn nữa, g(x) ≥ 0, g(x) ≡ Ω u(x) > Ω Nhận xét 2.10 Mệnh đề với λ < λ1 , toán tử Hq − λ khả nghịch D(Hq − λ) = D(Hq ) ⊂ Vq0 (Ω), nghịch đảo (Hq − λ)−1 : L2 (Ω) → D(Hq ) ⊂ L2 (Ω), xem toán tử L2 (Ω) Toán tử (Hq − λ)−1 toán tử compact ta có (Hq − λ)−1 ϕk (x) = ϕk (x), k = 1, 2, λk − λ Bây giờ, ta trình bày phương pháp Lyapunov - Schmidt kết đạt toán Dirichlet (2 1) 35 2.2 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet Ta thấy hàm u ∈ Vq0 (Ω) nghiệm toán (2 1) u = (Hq )−1 [λu + f (x, u) − h] (2.7) Do (Hq )−1 toán tử compact L2 (Ω), toán tử F : L2 (Ω) → L2 (Ω), xác định F (u) = (Hq )−1 [λu + f (x, u) − h], u ∈ Vq0 (Ω), compact 2.2.1 Phương pháp Lyapunov - Schmidt Ta có phân tích Vq0 (Ω) = X ⊕ Y X = ϕ1 = {tϕ1 : t ∈ R} không gian sinh ϕ1 , Y = X ⊥ thành phần trực giao X Vq0 (Ω) Khi đó, u ∈ Vq0 (Ω) biểu diễn dạng u = v + w, v ∈ X, w ∈ Y Kí hiệu P, Q tốn tử chiếu u lên X Y , phương trình (2.7) tương ứng với hệ P u = v = P (Hq )−1 [λ(v + w) + f (., v + w) − h], Qu = w = Q(Hq )−1 [λ(v + w) + f (., v + w) − h] (2.8) Nếu (v; w) nghiệm hệ (2.8) u = v + w nghiệm phương trình (2.7) tức nghiệm tốn (2 1) 2.2.2 Điều kiện tồn nghiệm toán Dirichlet Xét trường hợp λ = λ1 toán (2 1) trở thành P (λ1 ) : Hq u − λ1 u = f (x, u) − h(x) Ω, u|∂Ω = 0, u(x) → |x| → +∞ 36 (2.9) Định lý 2.11 Giả thiết a f ∈ C (Rn+1 , Rn+1 ) : |f (x, u) − f (x, v)| ≤ k|u − v|, ∀u, v ∈ R, λ1 + k < λ2 , b f bị chặn, c h(x) ∈ L∞ (Ω), Khi tồn (a, b) ∈ R cho tốn (2.9) i Có nghiệm, hϕ1 dx ∈ (a, b) Ω hϕ1 dx ∈ / [a, b] ii Khơng có nghiệm, Ω Chứng minh Xét toán P (λ1 ) : Hq u − λ1 u = f (x, u) − h(x) Ω, u|∂Ω = 0, u(x) → |x| → +∞ h(x) ∈ L∞ (Ω), f : Rn × R → R liên tục Lipschitz Nhớ lại u ∈ Vq0 (Ω) nghiệm toán (2.9) hệ v = P (Hq )−1 [λ1 (v + w) + f (., v + w) − h], w = Q(Hq )−1 [λ1 (v + w) + f (., v + w) − h] có nghiệm Khi đó, nghiệm tốn P (λ1 ) u = v + w Với v cố định X, ta xét phương trình w = Q(Hq )−1 [λ1 (v + w) + f (., v + w) − h], v ∈ X (2.10) Khi đó, tốn tử Q(Hq )−1 [λ1 (v + w) + f (., v + w) − h] phép co từ Y sang Y Thật vậy, với w1 , w2 ∈ Y , ta có ||Q(Hq )−1 [λ1 (v + w1 ) + f (., v + w1 ) − h] − Q(Hq )−1 [λ1 (v + w2 ) + f (., v + w2 ) − h]|| ≤||Q(Hq )−1 ||[λ1 ||w1 − w2 || + ||f (., v + w1 ) − f (., v + w2 )||] Do f liên tục Lipschitz nên |f (., v + w1 ) − f (., v + w2 )| ≤ k|w1 − w2 | ước lượng ||Q(Hq )−1 || ≤ 37 , λ2 (2.11) với λ2 giá trị riêng thứ tốn tử Hq Vì ||Q(Hq )−1 [λ1 (v + w1 ) + f (., v + w1 ) − h] − Q(Hq )−1 [λ1 (v + w2 ) + f (., v + w2 ) − h]|| λ1 + k ≤ [λ1 ||w1 − w2 || + k|w1 − w2 |] = ||w1 − w2 || λ2 λ2 Theo giả thiết (a) λ1 + k < λ suy λ1 + k < λ2 Khi đó, tốn tử (2.11) phép co từ Y lên Y Theo nguyên lý ánh xạ co Bannach tồn w điểm bất động tốn tử xác định (2.11) Khi phương trình (2.10) có nghiệm w ∈ Y ứng với v ∈ X cố định Đặt T : X → Y ánh xạ cho T (v) ∈ Y điểm bất động (2.10) T (v) = Q(Hq )−1 [λ1 (v + T (v)) + f (., v + T (v)) − h] Khi đó, T ánh xạ liên tục Thật vậy, {vn } ⊂ X : → v X ⊂ Vq0 (Ω), ta có đánh giá ||T (vn ) − T (v)|| = ||Q(Hq )−1 [λ1 (vn + T (vn )) + f (., + T (vn ) − h] − Q(Hq )−1 [λ1 (v + T (v)) + f (., v + T (v)) − h]|| ≤ ||Q(Hq )−1 ||[(λ1 + k)||vn − v|| + (λ1 + k)||T (vn ) − T (v)||] λ1 + k λ1 + k ||vn − v|| + ||T (vn − T (v))|| ≤ λ2 λ2 Từ suy ||T (vn ) − T (v)|| ≤ λ1 +k λ2 − λ1λ+k ||vn − v|| Vậy {vn } → v {T (vn )} → T (v) Tiếp theo, ta điều kiện tồn nghiệm toán P (λ1 ) Với w = T (v), λ = λ1 v = P (Hq )−1 [λ1 (v + T (v)) + f (., v + T (v)) − h] Vì P (Hq )−1 T (v) = P (Hq )−1 (λ1 v) = v Thay vào (2.12), ta có = P (Hq )−1 [f (., v + T (v)) − h] 38 (2.12) Vậy (2.10) có nghiệm tồn v ∈ X : [f (., v + T (v)) − h] ∈ Y, tức hϕ1 dx = f (., v + T (v))ϕ1 dx (2.13) Ω Ω Đặt v = tϕ1 vế phải (2.13) xác định hàm Γ(t) = f (., tϕ1 + T (tϕ1 ))ϕ1 dx Ω Do f T liên tục nên Γ liên tục Đặt a = inf Γ(t); b = sup Γ(t), (ở a −∞ b +∞) t∈R t∈R hϕ1 dx ∈ (a, b) nghiệm toán u = v + w = tϕ1 + T (tϕ1 ) Nếu Ω Trong trường hợp a, b hữu hạn ta có Nếu hϕ1 dx ∈ / [a, b] tốn vơ nghiệm Ω Định lý 2.12 Giả thiết a f ∈ C (Rn+1 , Rn+1 ) : |f (x, u) − f (x, v)| ≤ k|u − v|, ∀u, v ∈ R, λ1 + k < λ2 , b f bị chặn, c f (x, 0) = 0, d fu (x, 0) < lim f (x, s) = a > lim f (x, s) = −b < 0, s→+∞ s→−∞ Khi đó,tồn nghiệm tốn P (λ) : Hq u − λu = f (x, u) Ω, u = ∂Ω (2.14) Chứng minh Ta thấy, u = ngiệm toán Bây ta cần tồn hai nghiệm khác khơng tốn (2.14) Xét hàm Γ(t) = f (., tϕ1 + T (tϕ1 ))ϕ1 dx (2.15) Ω Vì T (0) = 0, f (x, 0) = nên Γ(0) = Do f, T bị chặn nên Γ bị chặn Đạo hàm theo t hai (2.15), ta Γ (t) = fu (., tϕ1 + T (tϕ1 ))(ϕ1 + ϕ1 T (tϕ1 ))ϕ1 dx Ω fu (., tϕ1 + T (tϕ1 ))(1 + T (tϕ1 ))ϕ21 dx = Ω 39 Cho t = suy fu (x, 0)(1 + T (0))ϕ21 dx = fu (x, 0) Γ (0) = Ω ϕ21 dx = fu (x, 0) Ω Từ giả thiết (d), ta có fu (x, 0) = Γ (0) < 0, lim f (x, s) = a > 0; lim f (x, s) = −b < 0, s→+∞ s→−∞ nên f (., tϕ1 + T (tϕ1 ))ϕ1 dx = a lim Γ(t) = lim t→+∞ t→+∞ Ω ϕ1 dx > Ω f (., tϕ1 + T (tϕ1 ))ϕ1 dx = −b lim Γ(t) = lim t→−∞ t→−∞ Ω ϕ1 dx < Ω Do đó, tồn giá trị t+ > t− < cho Γ(t+ ) = Γ(t− ) = (2.16) Vì vậy, từ (2.16) phương trình (2.10) có hai nghiệm v1 = t+ ϕ1 v2 = t− ϕ1 Do tốn (2.9) có hai nghiệm khơng tầm thường [t+ ϕ1 + T (t+ ϕ1 )] [t− ϕ1 + T (t− ϕ1 )] Chú ý 2.13 Chúng ta nhận kết tương tự thay giả thiết (d) giả thiết fu (x, 0) > lim f (x, s) = −a < lim f (x, s) = b > s→+∞ 2.2.3 s→−∞ Sự tồn điểm rẽ nhánh toán Dirichlet Định lý 2.14 Giả thiết a f ∈ C (Rn+1 , Rn+1 ) : |f (x, u) − f (x, v)| ≤ k|u − v|, ∀u, v ∈ R, λ1 + k < λ2 , b f bị chặn, c f (x, 0) = 0, d fu (x, 0) < lim f (x, s) = a > lim f (x, s) = −b < 0, s→+∞ s→−∞ e sf (x, s) < s = lân cận đủ nhỏ s 0, Khi đó, tốn P (λ) : Hq u − λu = f (x, u) Ω, u = ∂Ω có điểm rẽ nhánh (λ1 , 0) 40 (2.17) Chứng minh Nếu λ < λ1 (2.17) có nghiệm u ≡ nghiệm Xét λ > λ1 , λ1 + k < λ2 nên tồn ε > cho λ ∈ [λ1 , λ1 + ε] λ + k < λ2 Ta có T (λ, v) = Q(Hq )−1 [λ(v + T (λ, v)) + f (., v + T (λ, v))], ∀λ ∈ [λ1 , λ1 + ε] ánh xạ T : X → Y liên tục bị chặn Xét phương trình v = P (Hq )−1 [λ(v + T (λ, v)) + f (., v + T (λ, v))] Tác động Hq vào hai vế, ta Hq v = P [λ(v + T (λ, v)) + f (., v + T (λ, v))] = P (λv) + P T (λ, v) + P f (., v + T (λ, v)) = λv + P f (., v + T (λ, v)) Đặt v = tϕ1 suy Hq tϕ1 = λtϕ1 + P f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 )), nên tλ1 ϕ1 = tλϕ1 + P f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 )) Do t(λ − λ1 )ϕ21 + f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))ϕ1 = (2.18) Tích phân hai vế (2.18) ta t(λ − λ1 )ϕ21 dx = 0, f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))ϕ1 dx + Ω Ω suy f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))ϕ1 dx + t(λ − λ1 ) = (2.19) Γ(λ, t) = (2.20) Ω Đặt f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))ϕ1 dx Ω Khi (2.19) trở thành Γ(λ, t) + t(λ − λ1 ) = 41 (2.21) Do T (λ, 0) = 0, ∀λ ∈ [λ1 , λ1 + ε] f (0) = nên Γ(λ, 0) = Đạo hàm theo t hai vế đẳng thức (2.20) ta Γ (λ, t) = ft (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))(ϕ1 + ϕ1 T (λ, tϕ1 ))ϕ1 dx Ω ft (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))(1 + T (λ, tϕ1 ))ϕ21 dx = Ω Cho t = suy ft (., 0)(1 + T (λ, 0))ϕ21 dx = ft (., 0) Γ (λ, 0) = Ω Theo giả thiết fu (., 0) < nên Γ (λ, 0) = ft (., 0) < Lấy đạo hàm (2.21) theo t chọn ε đủ nhỏ, ta Γ (λ, 0) + (λ − λ1 ) < 0, ∀λ ∈ [λ1 , λ1 + ε] ∩ [λ1 , λ1 + ft (x, 0)] Mặt khác, theo giả thiết (d), ta có lim f (x, s) = a > 0; lim f (x, s) = −b < s→+∞ s→−∞ Suy lim Γ(λ, t) = a ϕ1 dx > 0, t→+∞ Ω lim Γ(λ, t) = −b ϕ1 dx < t→−∞ Ω + − Do tồn t > t < phụ thuộc λ cho Γ(λ, t± ) + t± (λ − λ1 ) = Vậy [t+ ϕ1 + T (λ, t+ ϕ1 )] [t− ϕ1 + T (λ, t− ϕ1 )] hai nghiệm không tầm thường toán t+ , t− phụ thuộc λ Ta t± → λ → λ1 Thật vậy, giả sử t+ → a > t− → b < λ → λ1 Do tính liên tục Γ(λ, t) (2.21) ta có = Γ(λ1 , a) = Γ(λ1 , b) Điều suy [aϕ1 + T (λ1 , aϕ1 )] [bϕ1 + T (λ1 , bϕ1 )] hai nghiệm khơng tầm thường tốn (2.17) Điều mâu thuẫn với giả thiết (e) xét lân cận đủ nhỏ điểm Vì vậy, t± → λ → λ1 Do tính liên tục T (λ, x) nên T (λ, t± ϕ1 ) → t± → Vậy (λ1 , 0) điểm rẽ nhánh tốn (2.17) với hai nhánh [t+ ϕ1 + T (λ, t+ ϕ1 )] [t− ϕ1 + T (λ, t− ϕ1 )] 42 Kết luận Việc ứng dụng rộng rãi lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng vào toán thực tế dẫn đến việc nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến Đó tốn mang ý nghĩa vật lý học Những tốn chắn có nghiệm, phải hiểu nghiệm chúng theo nghĩa cho vừa chặt chẽ mặt toán học, lại vừa hợp lý mặt vật lý Vì vậy, tốn tồn nghiệm vấn đề thời việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn tác giả tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn Từ đó, trình bày kết điều kiện tồn nghiệm điều kiện tồn điểm rẽ nhánh tốn Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn Việc áp dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt phương trình, hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền giới nội tìm số kết thú vị (xem [9], [10]) Tất nhiên, ta cịn mở rộng việc áp dụng phương pháp cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn 43 Tài liệu tham khảo Tiếng việt Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2011), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB ĐHSP Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán-Cơ -Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên (2004), Seminar phương trình đạo hàm riêng, Tập Tiếng anh A Abakhti-Mchachti and J Fleckinger-Pelle (1992), ” Existence of positive solutions for noncooperative semilinear elliptic system defined on an unbounded domain”, Pitman Research Notes in Maths, 266, p 92-106 L Cardoulis (2004), ” Existence of Solutions for an Elliptic Equation Involving a Schră odinger Operator with Weight in all of the Space”, Rostock Math Kolloq, 58, 53–65 Hoang Quoc Toan (2005), ” On a system of Semilinear Elliptic Equations on a Unbounded Domain”, Vietnam Journal of Mathematics, 33:4, 381 389 C Vangas and M.zuluaga (1992), ” On a nonlinear Dirichlet problem type at resonance and bifurcation”, Pitman research Notes in Maths, 273, 248-252 10 M Zuluaga (1999), ” On o nonlinear elliptic system: resonance and bifurcation cases”, Comment Math Univ Caroliae, 40, 4, 701 - 711 44 ... Chương Phương pháp Lyapunov Schmidt toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn Phương pháp Lyapunov - Schmidt toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền bị. .. điểm rẽ nhánh toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn Việc áp dụng phương pháp Lyapunov - Schmidt phương trình, hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền giới nội... nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Trong luận văn tác giả tìm hiểu phương pháp Lyapunov - Schmidt toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn Từ đó, trình bày kết