Tổ 24 đại 10 chương 4 bài 2

| Chương IV, ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN I KIẾN THỨC CƠ BẢN = = = Tác giả: Nguyễn Thanh Hải; Fb: Thanh Hải Nguyễn I KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN  1 f  x g  x biểu thức x f  x g  x  1 Số thực x0 cho Ta gọi vế trái, vế phải bất phương trình f  x0   g  x0   f  x0  �g  x0   mệnh đề gọi nghiệm bất phương trình  1 Giải bất phương trình tìm tập nghiệm nó, tập nghiệm rỗng ta nói bất phương trình vơ nghiệm Chú ý:  1 viết lại dạng sau: g  x   f  x   g  x  �f  x   Bất phương trình b Điều kiện bất phương trình f  x g  x Tương tự phương trình, ta gọi điều kiện ẩn số x để có nghĩa điều  1 kiện xác định (hay gọi tắt điều kiện) bất phương trình c Bất phương trình chứa tham số Trong bất phương trình, ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Giải biện luận bất phương trình chứa tham số xét xem với giá trị tham số bất phương trình vơ nghiệm, bất phương trình có nghiệm tìm nghiệm HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn x gồm số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi giá trị x đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Giải hệ bất phương trình tìm tập nghiệm Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH a Bất phương trình tương đương Ta biết hai bất phương trình có tập nghiệm (có thể rỗng) hai bất phương trình tương đương dùng kí hiệu " � " để tương đương hai bất phương trình Tương tự, hai hệ bất phương trình có tập nghiệm ta nói chúng tương đương với STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| STRONG TEAM TỐN VD - VDC a Bất phương trình ẩn Bất phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x   f  x  �g  x   Đại số lớp 10 | dùng kí hiệu " � " để tương đương b Phép biến đổi tương đương Để giải bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi thành bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản mà ta viết tập nghiệm Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương c Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà khơng làm thay đổi điều kiện bất phương trình ta bất phương trình tương đương P  x  Q  x � P  x  f  x  Q  x  f  x d Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) ta bất phương trình tương đương Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) đổi chiều bất phương trình ta bất phương trình tương đương STRONG TEAM TOÁN VD - VDC P  x   Q  x  � P  x  f  x   Q  x  f  x  , f  x   0, x P  x   Q  x  � P  x  f  x   Q  x  f  x  , f  x   0, x e Bình phương Bình phương hai vế bất phương trình có hai vế khơng âm mà khơng làm thay đổi điều kiện ta bất phương trình tương đương P  x   Q  x  � P  x   Q  x  , P  x  �0, Q  x  �0, x f Chú ý Trong trình biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần ý điều sau + Khi biến đổi biểu thức hai vế bất phương trình điều kiện bất phương trình bị thay đổi Vì vậy, để tìm nghiệm bất phương trình ta phải tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện bất phương trình nghiệm bất phương trình P  x  Q  x f  x + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ta cần lưu ý đến f  x f  x điều kiện dấu Nếu nhận giá trị dương lẫn giá trị âm ta phải xét trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình P  x  Q  x + Khi giải bất phương trình mà phải bình phương hai vế ta xét hai trường hợp P  x , Q  x có giá trị khơng âm, ta bình phương hai vế bất phương trình P  x , Q  x có giá trị âm ta viết P  x  Q  x �  Q  x   P  x bình phương hai vế bất phương trình Dạng Tìm điều kiện xác định bất phương trình Tác giả:Tào Hữu Huy ; Fb: Tào Hữu Huy a Phương pháp Bất phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến dạng: f ( x )  g ( x) ( f ( x) �g ( x) ) f ( x), g ( x) biểu thức x | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, Điều kiện xác định bất phương trình điều kiện ẩn số x để f ( x) g ( x ) có nghĩa b Một số ví dụ Ví dụ Tìm điều kiện xác định bất phương trình Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình là: x �۹ 5 x x� Vậy điều kiện xác định bất phương trình cho Tìm điều kiện xác định bất phương trình Lời giải 0 Điều kiện xác định bất phương trình là: x �۳ x Vậy điều kiện xác định bất phương trình cho x �3 Ví dụ Tìm điều kiện xác định bất phương trình: Lời giải �x �1 � �x  3x  �0 �x  �x �1 � � � x  �0 � �x �2 � �x �2 Điều kiện xác định bất phương trình là: � Vậy điều kiện xác định bất phương trình cho x  x �2 Ví dụ Tìm điều kiện xác định bất phương trình: Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| STRONG TEAM TOÁN VD - VDC Ví dụ Đại số lớp 10 | � �x  � � �2 x   � 1� � �2 x �x  �  0x �� � x  x  � � � �� � Điều kiện xác định bất phương trình là: � Vậy điều kiện xác định bất phương trình cho x Ví dụ Tìm điều kiện xác định bất phương trình: STRONG TEAM TOÁN VD - VDC Lời giải �x �3 �x  3 �x  �0 � � � x   � �x  �x �3 � � ( x  3)( x  4) �0 � � x � � � � �x �4 Điều kiện xác định bất phương trình là: Vậy điều kiện xác định bất phương trình cho x  x �4 Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Tác giả: Nguyễn Vũ Hương Giang; Fb: Hương Giang a Phương pháp i) Bất phương trình tương đương Khái niệm: Hai bất phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu f  x  �g  x  tương đương với f1  x  �g1  x  ta viết: f  x �  g  x f1  x  g1  x  Phương pháp: Tìm tập nghiệm hai bất phương trình, hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương ngược lại ii) Bất phương trình hệ S ,S  1   Ta nói bất Khái niệm: Gọi tập nghiệm hai bất phương trình   hệ bất phương trình  1 S1 �S2 phương trình S ,S  1   Tìm hai Phương pháp: Gọi hai tập nghiệm hai bất phương trình S ,S S �S2   hệ bất phương trình  1 tập nghiệm , ta nói bất phương trình b Một số ví dụ | STRONG TEAM TỐN VD - VDC | Chương IV, Ví dụ Cho hai bất phương trình: Chứng minh bất phương trình hệ bất phương trình Lời giải  � 2x   � x  Xét bất phương trình ta có: x  � 5� �; � � 1 S1  � � Tập nghiệm bất phương trình là:  1  � x3  � x  ta có: x  S    �;3 Tập nghiệm bất phương trình S �S2  1 hệ bất phương trình   Ta thấy suy bất phương trình Ví dụ Cho bất phương trình Bất phương trình có hệ bất phương trình cho khơng? Lời giải Ta có: x �� 0�۳x x Tập nghiệm bất phương trình là: S1 = Ta có:  5; � (1)  x �0 �  x �0 � 2 x �4 ۣ x Tập nghiệm bất phương trình là: S2 = Từ (1) (2) suy bất phương trình  �; 2 (2)  x �0 không hệ bất phương trình x  �0 Ví dụ Hai bất phương trình có tương đương khơng? Có phải bất phương trình hệ khơng? Lời giải 3 �1 Xét bất phương trình  x (ĐKXĐ: x �1 )  1 STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| STRONG TEAM TOÁN VD - VDC  2 Xét bất phương trình Đại số lớp 10 | 3 3 �� �۳ 1 x 1 x x4 1 x � x �� � �x � � � � 1 x  � �x  � � � � � � �x  �0 �x �4 � �   � � 1 x  � � � �x  �  x �4 Kết hợp ĐKXĐ ta tập nghiệm bất phương trình �1 Xét bất phương trình x  (ĐKXĐ: x �1 ) STRONG TEAM TOÁN VD - VDC 4 �1�� x 1 x 1 x3 x 1  1 là:  1; 4 (i)  2 � 0 �x�� �x � � � � �x   �x  �� �� � � �x  �0 �x �3 � �   � � �x   �x  � � � 3 �x  Kết hợp với ĐKXĐ ta tập nghiệm bất phương trình   là:  3;1 (2i) Từ (i) (2i) suy hai bất phương trình cho khơng phải hai bất phương trình tương đương, bất phương trình hệ Ví dụ Chứng minh hai bất phương trình tương đương: Lời giải Xét bất phương trình  1 ta có: x  �x  1 TXĐ: x �1 x    3 Với x �1 ta có Do nhân vế với vế  1 với x  ta được:  x  1 x  �x  x  1 Vậy hai bất phương trình cho tương đương Ví dụ Cho bất phương trình: Hai bất phương trình cho có tương đương không? Lời giải Cách | STRONG TEAM TỐN VD - VDC  1 ta có: Xét bất phương trình | Chương IV, 3x  x2 1 � x �  3x  5  �2  x    x � x  15  �2 x   x  x ۣ Tập nghiệm S1 5 bất phương trình  1 là:  �; 5 (i)  2 : Xét bất phương trình �1  �x � � �2 � ĐKXĐ: �x �0 Khi �   x2   x2  x   x2 4x 1 1 4x    3�  4x2  x   x2  3   � x    4x � 4x    x2 � �  x �0 � � 4x   � � �� x  �0 � � � � � x  3    x  � � � �1  �x � �1 � � �2  �x � � � � 2 � � �x  � � �� �� x� � � � �   � � � � �x � � � � 13x( x  )  � 13 � � � � 13 x  x  � � 1 � � ; �\  0 � 2 S2  2� � Tập nghiệm bất phương trình là: (2i) Từ  i  ;  2i  suy hai bất phương trình cho khơng tương đương Cách  1 : Giải bất phương trình 3x  x2 1 � x �  3x  5  �2  x    x � x  15  �2 x   x  x ۣ Tập nghiệm Giải S1 bất phương trình bất phương trình ĐKXĐ:  5  1 là:  �; 5 (i)  2 : 1 �x � , x �0 2 STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| STRONG TEAM TOÁN VD - VDC  1  2 � Đại số lớp 10 | 1  �   bpt Khi   x2   x2  x  1 4x  � x    x2      3  3� 4x   x2 3  �x   3 nghiệm ( VT (3)   VP(3) ) Khi bất phương trình 0 x� bất phương trình  3 ln nghiệm Khi   � 1� VT (3)  x � ;VP(3)    x �3 , x �� 0; � 2 �) � ( STRONG TEAM TOÁN VD - VDC Vậy Từ �1 1� S2  �  ; \  0   : � 2� � tâp nghiệm bất phương trình  2i   i  ;  2i  suy hai bất phương trình cho khơng tương đương Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ Tác giả: Hồ Nhật Hoàn; Fb: Nhật Hoàn a Phương pháp Bất phương trình biến ax  b   1  ax  b �0, ax  b �0, ax  b   Trong a, b chứa tham số, x  1 � b  Trường hợp 1: a     1 vơ nghiệm  i  Nếu b �0  1 có nghiệm  x ��  2i  Nếu b  Trường hợp 2: a   1 � x   b a  3i  b Trường hợp 3: a   1 � x    4i  a  i  ;  2i  ;  3i  ;  4i  suy kết luận Kết hợp b Một số ví dụ Ví dụ Tìm để bất phương trình vơ nghiệm Lời giải m0 � �m0 �  m � mx   m � Bất phương trình vơ nghiệm khi: | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, Vậy với m  , bất phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Tìm m để bất phương trình có nghiệm Lời giải Chuyển tốn tốn “tìm m để bất phương trình vơ nghiệm”, từ suy m để bất phương trình có nghiệm � m  m  1  �� 1 �0 � m2 x   mx  � m  m  1 x   vơ nghiệm , vơ lí � m  � Vậy với m ��, bất phương trình có nghiệm Tìm để bất phương trình nghiệm với Lời giải Ta có:  1 �  m  3 x  3m  �0 � (m  3) x �7  3m (*)  3m x� m3 TH1: Với m  , bất phương trình (*) trở thành: �  3m � S � �; � m3 � � Tập nghiệm bất phương trình Để bất phương trình cho nghiệm với x � 2; � �;  2; � �� � �  3m � � m3 � � khơng có m  i  TH2: m  , bất phương trình (*) trở thành: 0.x �2  2i  Bất phương trình vơ nghiệm � khơng có m  3m x� m3 TH3: Với m  , bất phương trình (*) trở thành:  3m � � S� ; �� �m  � Tập nghiệm bất phương trình Để bất phương trình cho nghiệm với  3m -�� �7 3m 2(m 3) Hay m  m x � 2; �  3m � ; �� �m  �,  2; � �� � 13  3i  STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| STRONG TEAM TỐN VD - VDC Ví dụ Đại số lớp 10 |  i  ,  2i  ,  3i  suy Từ 13 m� bất phương trình cho nghiệm với x � 2; � Ví dụ Tìm m để bất phương trình nghiệm với Lời giải Ta có  1 �  m   x  m   * 2m   * trở thành: x  m  TH1: Với m  2 , bất phương trình STRONG TEAM TỐN VD - VDC �2m  � S � ; �� �m  � Tập nghiệm bất phương trình Để bất phương trình cho nghiệm với x  �2m2  � ; �� �m  �  �;1 �� � m  i   * trở thành: x  TH2: m  2 , bất phương trình  2i  Bất phương trình vơ nghiệm � khơng có m TH3: Với m  2 , bất phương trình (*) trở thành: x 2m  m2 � 2m  � S  ��; � m2 � � Tập nghiệm bất phương trình � 2m  �  �;1 ���; � m2 � �  x  Để bất phương trình cho nghiệm với 2m  �1 � m2  �m   3i  hay m  Kết hợp điều kiện m  2 � khơng có m Từ  i  ;  2i  ;  3i  Vậy m thỏa mãn Ví dụ Cho bất phương trình : Gọi hai điểm phân biệt giao điểm đồ thị hàm số với hai trục tọa độ Tìm nguyên dương bé cho bpt thỏa mãn với diện tích ln lớn Lời giải 10 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC mx  2m �2 x   1 �  m   x  2m  �0; x �12 Giải Đặt bpt :  1�  | Chương IV, f  x    m   x  2m  m �2 m  �0 � � �� ��  1�  với x �12 �f  12  �0 � m   � 12   2m2  �0 Bpt m �2 m �2 m2 � � � ��2 �� �� m �‫�ڳ‬ m m m  6m  �0 � � � Vậy m  m �4 bất phương trình  1 thỏa mãn với x �12 y   1 m x  m 1  d  Với m �4 m  Xét đồ thị hàm số SOAB Nên ta có 1 1 m  m  1  � OA � OB  � �m   � 2 m 1 m 1  m  1 � 5 m 1 Theo đề ta có:    * m  bất phương trình  * vơ nghiệm m �4 bất phương trình �1  m  1 m  12m   �� 5 � * � �   �2 m  � m �4 � � m �4 � � m   �m   �� � m  63 m �4 � Do m số nguyên dương bé nên m  13 Vậy m  13 Dạng HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT Tác giả: Đào Hữu Nghị; Fb: Đào Hữu Nghị a Phương pháp Bước 1: Giải bất phương trình hệ bất phương trình Bước 2: Tìm giao tất tập nghiệm bất phương trình hệ bất phương trình Bước 3: Kết luận: Nếu giao tập nghiệm khác tập rỗng phần giao tập nghiệm hệ bất phương trình, giao tập nghiệm rỗng hệ bất phương trình vơ nghiệm b Một số ví dụ STRONG TEAM TỐN VD - VDC| 11 STRONG TEAM TOÁN VD - VDC  d  với hai trục tọa độ Ox; Oy Gọi A, B giao điểm 1 m � � A� ;0 � ; B  0; m  1 Khi đó: �m  � Đại số lớp 10 | Ví dụ Giải hệ bất phương trình sau: Lời giải Bất phương trình (1) tương đương 2 �x  �2 � 1 �x �3 Bất phương trình (2) tương đương x    15 x � x  13 17 13 � � T  � ;3� 17 � � Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình STRONG TEAM TỐN VD - VDC Ví dụ Tìm nghiệm ngun hệ bất phương trình sau: Lời giải Bất phương trình (1) tương đương 2 �x �3 nên tập nghiệm bất phương trình (1) T1   2;3 Vì x   0, x �� nên bất phương trình (2) tương đương x   � x  1 Tập nghiệm T  (1; �) bất phương trình (2) Suy tập nghiệm hệ bất T  T1 �T2   1;3 Vậy nghiệm nguyên hệ bất phương trình  0,1, 2, 3} Ví dụ Tìm tất giá trị để hệ bất phương trình sau có nghiệm: Lời giải T   �; 2 Bất phương trình (1) tương đương x �2 suy tập nghiệm bất phương trình (1) + Nếu m  bất phương trình (2) vơ nghiệm suy hệ bất phương trình vơ nghiệm � 1� T2  � �; � m � � m  + Nếu bất phương trình (2) có tập nghiệm 12 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, Vì T1 ǹ� T2 , m nên suy hệ bất phương trình ln có nghiệm �1 � T2  � ; �� m � �suy hệ bất phương trình có + Nếu m  bất phương trình (2) có tập nghiệm m0 � � �1 �2 m� � T1 ǹ� T2 � �m � nghiệm m� Vậy hệ bất phương trình có nghiệm m  Ví dụ Lời giải � m3 �x � mx �m  � m � � � x  �9 � � 4 �x �5 TH1 m  Khi : � phương trình có nghiệm � m3 5� m m (thỏa mãn điều kiện m  ) Hệ bất Vậy m thỏa mãn yêu cầu toán TH2 m  mx �m  � 0.x �3 � � � x  �9 � �4 �x �5 Khi : � ( Vô nghiệm ) Vậy m  khơng thỏa u cầu tốn TH3 m  mx �m  � � x  �9 � Khi đó: � � m3 �x � m � � 4 �x �5 � phương trình có nghiệm � m3  4 � m  m (thỏa mãn điều kiện m  ) Hệ bất 3 m , m thỏa mãn yêu cầu toán Kết luận: STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| 13 STRONG TEAM TOÁN VD - VDC Tìm tất giá trị để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất: Đại số lớp 10 | Ví dụ Tìm để hệ bất phương trình nghiệm với Lời giải + Nếu m   � m  1 hệ bất phương trình tương đương � �x � � m 1 � �x �1  m hệ bất phương trình khơng thể có nghiệm với x �(5; �) STRONG TEAM TOÁN VD - VDC Suy m  1 không thỏa mãn (*) x �1 � ۳ x � + Nếu m   � m  1 hệ bất phương trình trở thành �x �2 với x �(5; �) suy m  1 thỏa mãn (**) nghiệm + Nếu m   � m  1 hệ bất phương trình tương đương � �x � � m 1 m  1 � 0 � x �  m � � x �1 (Vì m 1  m  ) T    m; � Tập nghiệm hệ bất phương trình Hệ bất phương trình nghiệm với x �(5; �) (5; �) �T � �۳ m 5 m Kết hợp với m  1 ta 4 �m  1 (***) Từ (*), (**), (***) suy 4 �m �1 thỏa mãn đầu 14 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC