Tổ 24 đại 10 chương 4 bài 1

0, c > ⇒ a+c 0 a>0 a B định nghĩa, ta lựa chọn theo phương pháp sau: M Phương pháp 1: Chứng minh A − B > Phương pháp 2: Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất TO đẳng thức ÁN Phương pháp 3: Xuất phát từ đẳng thức Phương pháp 4: Biến đổi vế trái vế phải thành vế lại VD Chú ý: Với phương pháp phương pháp công việc thường biến đổi A − B thành tổng đại lượng không âm Với bất đẳng thức A − B ≥ cần dấu xảy ? b Một số ví dụ VD C Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Ví dụ x Lời giải x > ( x − 1) ⇔ x > x − ⇔ x − x + > ⇔ ( x − 1) + > Hiển nhiên ( x − 1) +1 > với x nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ a −b 3 ≥ ab −a b Lời giải Ta có a − b3 − ( ab − a 2b ) = a ( a − b ) + b ( a − b ) = ( a + b ) ( a − b ) = ( a − b ) ( a + b ) ( a − b) ( a + b) ≥ Do a ≥ b nên Dấu xảy a = b Vậy bất đẳng thức chứng minh STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| TRON G TE A M TO ÁN VD VD C Đại số lớp 10 | Ví dụ ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ≤ abc Lời giải Ta có bất đẳng thức sau hiển nhiên đúng: a2 ≥ a2 − ( b − c ) = ( a − b + c ) ( a + b − c ) b2 ≥ b2 − ( c − a ) = ( b − c + a ) ( b + c − a ) c2 ≥ c2 − ( a − b ) = ( c − a + b ) ( c + a − b ) 2 Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên tất vế bất đẳng thức dương Nhân vế tương ứng ba bất đẳng thức trên, ta a 2b c ≥ ( b + c − a ) ( c + a − b) ( a + b − c) 2 ⇔ abc ≥ ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) Dấu xảy a = b = c Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ a b c d 1< + + + a+b+c a+b+c+d b b > b+c+d a+b+c+d c c > c+d +a a+b+c+d d d > d +a +b a+b+c+ d Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta suy a b c d + + + > ( 1) a +b+c b+c+ d c +d +a d +a +b | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, a a c c a c < < +  ⇔ Dấu " = " xảy  16 x + ≥8 Vậy (2 x − y ) y , ∀x, y thỏa mãn x > y > STRON G Ví dụ TE a + b4 + c4 ≥ abc A M a + b + c TO Lời giải ÁN Ở toán sử dụng cách nhóm đối xứng để hạ bậc BĐT Cauchy VD Cụ thể ta có: a +b b +c c +a a +b +c = + + ≥ a b +b c +c a VD 2 Áp dụng tương tự ta có: C 4 4 a 2b + b c + c a = 4 4 2 2 2 a 2b + b c b c + c a c a + a 2b + + ≥ abc ( a + b + c ) 2 Như ta suy đpcm Dấu xảy a = b = c Ví dụ 10 b + a c + b a ≤1 c Lời giải Ta có: Tương tự: 1− a b c b = + ≥2 b c a a  b 1 − ≥  c  1 − c ≥  a c b a c Cộng vế bất đẳng thức trên, ta có đpcm STRONG TEAM TỐN VD - VDC| TRON G TE A M TO ÁN VD VD C Đại số lớp 10 | Bình luận: Lời giải kết nối giả thiết đpcm Để ý quan sát ta thấy nhân số hạng biểu thức điều kiện lấy ta số hạng biểu thức cần chứng minh Chính điều xuất phát điểm lời giải Ví dụ 11 ∀a > b > Lời giải Ta có A = a+ ( a − b ) ( b + 1) = a − b + b +1+ ( a − b ) ( b + 1) −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a−b+ ⇒ A≥ ( a − b ) ( b + 1) ≥ b +1+ ( a − b) ( a − b ) ( b + 1) = b +1 −1 b +1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: b + b + ≥ + ( b + 1)   ÷  b +1 = Suy A ≥ − =  b + = b +   = a −b   ( a − b ) ( b + 1) a > b >  ⇔ Dấu " = " xảy  A= a+ Vậy a =  b = ( a − b ) ( b + 1) ≥ , ∀a > b > Ví dụ 12  a 3c  15 P= + c + b + ≥ 30 ÷  ( b + c ) ( c + 3b )  Lời giải a 3c a 3c + ≥2 = ac 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy số: 152 P ≥ ac + 3b + ( b + c ) ( c + 3b ) 10 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, x + y ≥ xy   y + z ≥ yz  ⇒  z + x ≥ zx  ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ xyz ⇒ ( x + y) ( y + z) ( z + x) xyz ≥8 ( 1) Mặt khác,áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm, ta lại có: ( x + y) ( y + z) ( z + x) y+z z+x + ≥ 36 x y xyz x+ y + z ( 2) STRON G TE Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG A THỨC BUNHIACOPXKI M Tác giả: Dương Thanh Hằng ; Fb: Hang Duong TO a Phương pháp ÁN * Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) VD a ; a ; ; a b ; b ; ; b ( ) ( ) , gồm n số Khi ta có: Cho số thực VD ( a b + a b + + a b ) ≤ ( a + a + + a ) ( b + b + + b ) C Dấu đẳng thức xảy Từ ( 1) ( ) , hiển nhiên BĐT ( *) chứng minh hoàn toàn Dấu xảy x = y = z Vậy ta có điều phải chứng minh n 1 2 n n 2 n 2 n 2 2 n a a1 a2 = = = n b1 b2 bn với qui ước mẫu tử phải b Một số ví dụ ( Ví dụ 16 a + 3b ) ≤ 10 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số ( a + 3b ) ( 1;3) ( a ; b) ta có: ≤ ( 12 + 32 ) ( a + b ) = 10  a=  a b   =  1 b = a + b2 =   ⇔  Đăng thức xảy ( a + 3b ) Vậy ≤ 10 10 10 STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| 13 Đại số lớp 10 | Ví dụ 17 a+b + b+c + c+a ≤ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số TRON ( G TE A M TO ÁN VD VD C a+b + b+c + c+a Suy ) a+b; b+c ; c +a ) , ta có: ≤ ( + + 1) ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a )  = 3.2 ( a + b + c ) = a+b + b+c + c+a ≤ Dấu xảy Vậy ( 1;1;1) ( a =b =c = a+b + b+c + c+a ≤ Ví dụ 18 x + 3y ≤ + Lời giải 2 1  1  x − ÷ + y − ÷ ≤  2 2  2 Từ giả thiết có: x + y − x − y ≤ ⇔  1  x− ;y− ÷  ( 1;3)  2  ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki cho số  1  1   1  2  + x − + y − ( )  x − + y −  ÷  ÷  ÷  ÷  2  2 2   ≤     2  ≤5  ⇒ ( x + y − 2) ≤ ⇒ x + y − ≤ ⇒ x + y ≤ +  x = +  10  y = +  10 Đẳng thức xảy  Vậy x + y ≤ + 14 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, Ví dụ 19 x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 Lời giải 1 x −1 y −1 z −1 + + = 2⇒ + + =1 x y z x y z Vì Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:  x −1 y −1 z −1  + + ÷≥ y z   x ( x + y + z) = ( x + y + z)  Suy x −1 + y −1 + z −1 x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 Đẳng thức xảy Vậy ( x=y=z= x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 Ví dụ 20 ) STRON G TE A M TO ÁN VD VD C 1 2 x + + y + + z + ≥ 82 x y z Lời giải S = x2 + Đặt 1 + y2 + + z2 + 2 x y z Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x+ 1 ≤ + 81 x + = 82 x + x x x ( 1) y+ 1 ≤ + 81 y + = 82 y + y y y ( 2) z+ 1 ≤ + 81 z + = 82 z + z z z ( 3) 1 1 S 82 ≥ x + y + z +  + + ÷ ( 1) , ( ) , ( 3) theo vế, ta được: x y z Cộng STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| 15 Đại số lớp 10 | 1 1 S 82 ≥ 81( x + y + z ) +  + + ÷− 80 ( x + y + z ) ⇒ x y z ⇒ S 82 ≥ 2.9.3 1 1 + + ÷ − 80 x y z ( x + y + z )  ⇒ S 82 ≥ 162 − 80 ⇒ S ≥ 82 Dấu xảy TRON G TE A M TO ÁN VD VD C x2 + Vậy x= y=z= 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ Tác giả: Nguyễn Lê Hồng Uyên ; Fb: Uyen Hong a Phương pháp a b Dạng 1: Nếu a1 , a2 , …, n b1 , b2 ,…, n số thực tùy ý, ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ ( a12 + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + + bn2 ) a a1 a2 = = = n bn với qui ước mẫu tử phải Đẳng thức xảy b1 b2 Dạng 2: BĐT Cauchy – Schwarz dạng phân thức (dạng Engel) x y Nếu x1 , x2 ,…, n số thực y1 , y2 ,…, n số thực dương, x ( x + x + + xn ) x12 x22 + + n ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + + yn x x1 x2 = = = n yn Đẳng thức xảy y1 y2 b Một số ví dụ Ví dụ 21 a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ b+c c+a a+b Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có ( a + b + c) a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ = b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2 16 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, a b c = = ⇔ a = b = c Đẳng thức xảy b + c c + a a + b a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , ∀a, b, c > Vậy b + c c + a a + b Ví dụ 22 a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có ( a + b + c) ( a + b + c) = a2 b2 c2 + + ≥ = 2 2 a + 2bc b + 2ca c + 2ab ( a + 2bc ) + ( b + 2ca ) + ( c + 2ab ) ( a + b + c ) 2 a b c = = ⇔ a = b = c Đẳng thức xảy a + 2bc b + 2ca c + 2ab a2 b2 c2 + + ≥ 1, ∀a, b, c > 2 a + bc b + ca c + a b Vậy Ví dụ 23 STRON G TE A M TO ÁN VD VD C 1 + + ≥3 2−a 2−b 2−c Phân tích: Sử dụng kỹ thuật thêm – bớt 1− m ( − a) −m = 1− m( − a) 2−a Ta tìm số m > cho − a có tử số số dương Ta lấy m= 2−a a 1− = >0 2 Lời giải 1  1  1  1 1 − ÷+  − ÷+  − ÷≥ + + ≥3 ⇔  2− a   −b   2−c  Ta có − a − b − c ⇔ a b c + + ≥3 2− a −b 2−c Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz: a b c a4 b4 c4 + + = + + − a − b − c a ( − a) b ( − b) c ( − c) STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| 17 TRON G TE A M TO ÁN VD VD C Đại số lớp 10 | ≥ Từ ta đưa toán chứng minh Áp dụng BĐT AM – GM ta có (a + b2 + c2 ) a ( − a ) + b3 ( − b ) + c ( − c ) ≥ ( a + b3 + c ) − ( a + b + c ) 2a − a ≤ ( a + a ) − a = a 2b3 − b4 ≤ ( b + b ) − b = b 2c − c ≤ ( c + c ) − c = c Cộng BĐT ta ( a + b3 + c ) − ( a + b + c ) ≤ a + b + c = Đẳng thức xảy a = b = c = 1 + + ≥3 2 Vậy − a − b − c với a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Ví dụ 24 bc ca ab a +b+c + + ≤ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Lời giải 1 1 1  = ≤  + ÷ 2a + b + c ( a + b ) + ( a + c )  a + b a + c  Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz, ta có: bc  bc bc  ≤  + ÷ Suy 2a + b + c  a + b a + c  bc ca ab  bc bc ca ca ab ab  + + ≤  + + + + + ÷ Từ suy 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b  a + b a + c b + c b + a c + a c + b   bc + ca bc + ab ca + ab  =  + + ÷ = ( c + b + a) 4 a+b a+c b+c  Đẳng thức xảy a = b = c bc ca ab a +b+c + + ≤ , ∀a, b, c > Vậy 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Ví dụ 25 2x + x+ y 2y + y+z 18 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC 2z ≤3 z+x | Chương IV, Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz , ta có:  x +  x + y   = x+z   y z  + ÷ y+z z+x ÷   + z+ y + y+x ÷ ( x + y) ( x + z) ( y + z) ( z + y) ( z + x ) ( y + x ) ÷ x y z   x y z ≤ ( x + y ) + ( z + y ) + ( y + x )   + +  ( x + y) ( x + z) ( y + z) ( y + x) ( z + x) ( z + y)    xy + yz + zx = 4( x + y + z)   ( x + y) ( x + z) ( z + y)  Từ suy ta cần chứng minh ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ⇔ ( x y + xy + y z + yz + x z + z x + xyz ) ≤ ( xyz + y z + xz + yz + x y + y x + x z ) ⇔ 6xyz ≤ x y + xy + y z + yz + x z + z x (BĐT AM – GM cho số) Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Dạng BẤT ĐẲNG THỨC VÉCTƠ Tác giả: Vũ Văn Cẩn ; Fb:Vũ Văn Cẩn a Phương pháp STRON G TE A M TO ÁN VD VD C r r r r r r a +b ≤ a + b - Với a, b ta ln có: r r r r Đẳng thức xảy a, b hướng hay a = kb với k ≥ r r r r a = ( x1 ; y1 ) , b = ( x2 ; y2 ) ⇒ a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) - Vận dụng với Ta có x12 + y12 + x22 + y22 ≥ ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) x1 y1 = =k≥0 x y 2 Đẳng thức xảy b Một số ví dụ Ví dụ 26 a + 2a + + a − 4a + 13 ≥ 2 Lời giải VT = Với a ∈ ¡ ta ln có ( a + 1) + 12 + ( − a) + 32 ≥ ( a +1+ − a) + ( + 3) = STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| 19 TRON G TE A M TO ÁN VD VD C Đại số lớp 10 | a +1 1 = >0⇔a=− (ĐPCM) Đẳng thức xảy − a Ví dụ 27 y = x + x + 10 + x − 12 x + 10 2 Lời giải Tập xác định: D = ¡ ∀x ∈ ¡ , y = ( x + 1) + 32 + ( − 2x) + 12 ≥ ( 2x +1+ − 2x) + ( + 1) = 2 2x +1 = >0 ⇔ x =1 Đẳng thức xảy − x Vậy y = x = Ví dụ 28 m − 1989 x − 12 x + 29 + x + 24 x + 25 − =0 2 Lời giải PT ⇔ x − 12 x + 29 + x + 24 x + 25 = m − 1989 (1) Xét vế trái phương trình (1) ta có: VT = x − 12 x + 29 + x + 24 x + 25 = ( − 3x ) + 52 + ( + 3x ) + 32 ≥ ( − 3x + + x ) + ( + ) = 10 − 3x = ⇔ x=− 12 Đẳng thức xảy + x m − 1989 ≥ 10 ⇔ m ≥ 2019 Vậy phương trình cho có nghiệm Dạng BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Tác giả: Vũ Văn Cẩn ; Fb:Vũ Văn Cẩn a Phương pháp Với a, b ∈ ¡ ta có a + b ≥ a+b đẳng thức xảy ab ≥ a + b ≥ a −b đẳng thức xảy ab ≤ a+b ≥ a − b đẳng thức xảy ab ≤ 20 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, a −b ≥ a − b đẳng thức xảy ab ≥ b Một số ví dụ Ví dụ 29 4a + 4a + + 4a − 12a + ≥ 2 Lời giải VT = Với a ∈ ¡ ta có ( 2a + 1) Đẳng thức xảy + ( − 2a ) = 2a + + − 2a ≥ 2a + + − 2a = = VP ( 2a + 1) ( − 2a ) ≥ ⇔ − ≤a≤ 2 Vậy điều phải chứng minh Ví dụ 30 12 2x + + 2x −1 Lời giải Với x ∈ ¡ ta ln có x + + x − ≥ ( x + ) − ( x − 1) = ⇔ STRON G TE A M TO = ÁN VD VD C 1 12 ≤ ⇔ ≤2 2x + + 2x −1 2x + + 2x −1 Đẳng thức xảy ( x + 5) ( x − 1) ≤ ⇔ x ∈  − 1 ;   2  1 S = − ;   2 Vậy phương trình có tập nghiệm DẠNG 7: BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Tác giả: Võ Quang Thái ; Fb: Thái Võ Tác giả: Trần Tín ; Fb: Trần Tín a Phương pháp giải y = f ( x) - Cho hàm số xác định tập D Khi  f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D max f ( x ) = M ⇔  D ∃xo ∈ D : f ( xo ) = M STRONG TEAM TOÁN VD - VDC| 21 TRON G TE A M TO ÁN VD VD C Đại số lớp 10 |  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D f ( x ) = m ⇔  D ∃xo ∈ D : f ( xo ) = m - Ta sử dụng tính chất bất đẳng thức (Cauchy, Bunhiacopxki, vectơ,…) để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số b Một số ví dụ Ví dụ 31 x > Lời giải Do x > nên f ( x) = x + Vậy GTNN 1 ≥ x = x = ⇔ x2 = ⇔ x = x x x Dấu “=” xảy f ( x) = x + x với x > f (1) = Ví dụ 32 −3 ≤ x ≤ Lời giải Do −3 ≤ x ≤ nên x + ≥ − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si, ta có  x + 3+5− x  f ( x ) = ( x + 3) ( − x ) ≤  ÷ = 16   Dấu " = " xảy x + = − x ⇔ x = Vậy giá trị lớn f ( x ) = ( x + 3) ( − x ) f ( 1) = 16 với −3 ≤ x ≤ Ví dụ 33 a ≥ Lời giải Ta có S = 2a +  3  47 3 47 47 53 =  + a ÷+ a ≥ a + = + = a  a 25  25 a 25 25 5 (Do a ≥ ) 3  = a  a 25 ⇔ a =  a=5 Dấu " = " xảy  22 | STRONG TEAM TOÁN VD - VDC | Chương IV, Vậy giá trị nhỏ S = 2a + 53 S= a với a ≥ a = Ví dụ 34 < a ≤ Lời giải Ta có S = 5a +  1 13  =  + 8a + 8a ÷− 11a ≥ 3 8a.8a − 11 = 0

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,76 MB