TO 19 GADT NHOM 4 ĐOT 2 BAI 3 CHUONG III

Đại số lớp 10 | ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương Pháp 1.1 Khái niệm: ( 1) Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng: ax + by = c Trong a , b , c ba số cho trước với a , b không đồng thời 1.2 Tập hợp nghiệm phương trình: a) Một nghiệm phương trình ( 1) cặp số ( x0 , y0 ) cho ax0 + by0 = c b) Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm ( d) biểu diễn đường thẳng ax + by = c , kí hiệu - Nếu a ≠ b ≠ cơng thức nghiệm là: x ∈ ¡  c − ax   y = b c − by  x = a   y ∈ ¡ Khi đường thẳng ( d) cắt hai trục tọa độ - Nếu a = b ≠ cơng thức nghiệm là: x ∈ ¡  c   y = b Khi đường thẳng ( d ) song song trùng với trục Ox , cắt Oy điểm có c tung độ b - Nếu a ≠ b = cơng thức nghiệm là: y∈¡  c   x = a Khi đường thẳng ( d ) song c hoành độ a Ví dụ | Strong Team Tốn VD–VDC song trùng với trục Oy , cắt Ox điểm có ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Ví dụ 4x + y = Phân tích Cặp ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C ( x0 ; y0 ) nghiệm phương trình ax + by = c thay x = x0 , y = y0 vào phương trình ta hai vế Lời giải Xét cặp số ( 2; − 1) Thay x = 2, y = −1 vào phương trình x + y = ta VT = 4.2 + ( −1) = ⇒ VT ≠ VP  VP = ⇒ ( 2; − 1) không nghiệm phương trình x + y =  3 x = 0, y =  0; ÷ vào phương trình x + y = ta Xét cặp số   Thay  VT = 4.0 + = ⇒ VT = VP  VP =  3 ⇒  0; ÷   khơng nghiệm phương trình x + y = Ví dụ 2x + y = Lời giải a)  Ta có phương trình: x − y = ⇔ y = x − x ∈ ¡  y = x −  Suy nghiệm tổng quát phương trình là:  Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình y = x − Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | A ( 0; −2 ) Cho x = ⇒ y = −2 ta B ( 2; ) Cho y = ⇒ x = ta A ( 0; − ) , B ( 2; ) Biểu diễn cặp điểm hệ trục tọa độ đường thẳng AB tập nghiệm phương trình x − y = b)  Ta có phương trình: x + y = ⇔ y = −2 x + x ∈ ¡  Suy nghiệm tổng quát phương trình là:  y = −2 x +  Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình y = −2 x + A ( 0;3) Cho x = ⇒ y = ta 3  B  ;0 ÷ y =0⇒ x= ta   Cho 3  A ( 0;3) , B  ;0 ÷   hệ trục tọa độ đường thẳng AB Biểu diễn cặp điểm tập nghiệm phương trình y = −2 x + ( Ví dụ 1) Lời giải ( 1) a) Xét x − y = ⇒y= 2x − | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Cho x giá trị t tùy ý ta tính giá trị tương ứng y  x = t ∈¡  2t −  y=  1) ( Ta cơng thức nghiệm tổng qt phương trình  x − 3x − x − x+8 y= = = x− 3 b Ta có x +8 t= ( t ∈ ¢ ) ⇒ x = 3t − Đặt ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C ( 1) Khi nghiệm ngun phương trình  x = 3t −  x = 3t − ( t ∈¢)    y = 3t − − t hay  y = 2t − t Cho giá trị nguyên ta nghiệm ngun phương trình ( 1)  x = −5  Ví dụ như, với t =  y = −6  x = −2  với t =  y = −4 Ví dụ ( ) Lời giải Với x = Với x ≠ ( 2) ( ) vơ nghiệm trở thành: y = 16 (vô lý) ⇒ phương trình y2 = x2 x − 16 + 16 16 = = x+4+ x−4 x−4 x−4 16 ∈¢ Do x , y ∈ ¢ nên y ∈ ¢ ⇒ x − x − ∈ { ±1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16} Do x − ước 16 ⇒ Ta có x−4 x y y −16 −12 −9 −8 −4 −2 −4 0 −2 −2 −1 −9 25 18 16 ±5 ±3 (loại ) ±4 12 18 ±3 (loại ) 16 20 25 ±5 Vậy nghiệm nguyên phương trình (2) ( 5;5) , ( 5; − 5) , ( 4; ) , ( 4; − ) , ( −4;0 ) , ( 20;5 ) , ( 20; − ) Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | Ví dụ 3x − y = Lời giải Cặp số ( 1; ) nghiệm phương trình x − y = 3.1 − = ( 1;0 ) khơng nghiệm phương trình 3x − y = 3.1 − ≠ Cặp số Chọn x = , ta có 3.2 − y = ⇔ y = Vậy cặp số ( 2;5) nghiệm phương trình x − y = DẠNG 2: HỆ PT BẬC NHẤT HAI ẨN, HỆ PT BẬC NHẤT BA ẨN (không chứa tham số) Phương pháp a1 x + b1 y = c1  a x + b2 y = c2 a.Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát  (3) y Trong x , hai ẩn; chữ cịn lại hệ số (x ;y ) (x ;y ) Nếu cặp số 0 đồng thời nghiệm hai phương trình hệ 0 gọi nghiệm hệ phương trình (3) Giải hệ phương trình (3) tìm tập nghiệm -Giải hệ (3) phương pháp cộng đại số (biến đổi hệ phương trình cho thành hệ phương trình tương đương) +Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối +Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ cho để phương trình (phương trình ẩn) +Dùng phương trình ẩn thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) +Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho -Giải hệ (3) phương pháp (biến đổi hệ phương trình cho thành hệ phương trình tương đương) +Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) +Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ cho -Nhận xét +Phương pháp sử dụng thuận tiện hai phương trình hệ có hệ số x y hay -1 Khi cần rút x y phương trình có hệ số hay -1 thay vào phương trình cịn lại để giải hệ | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài +Đối với hệ phương trình mà khơng có hệ số x y hay -1 việc sử dụng phương pháp làm phát sinh phân số việc cộng trừ dễ làm ta sai sót Khi dùng phương pháp cộng đại số giúp em đỡ nhầm lẫn phép tính  a1 x + b1 y + c1 z = d1   a2 x + b2 y + c2 z = d a x + b y + c z = d 3 b Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát  (4) Trong x , y , z ba ẩn; chữ lại hệ số ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C (x ;y ;z ) Mỗi ba số 0 nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình (4) -Giải hệ (4) cách biến đổi hệ dạng tam giác phương pháp khử dần ẩn số Ví dụ Ví dụ x − y + z =   x + y + z = −3  x + y + z = −2  Lời giải 2 x − y = 2 x − y = 2 x − y =  x = ⇔ ⇔ ⇔  x + y = x + y = 12 11 y = 11    y =1 a) Ta có: ( x; y ) = ( 2;1) Vậy nghiệm hệ x − y + z = z = − x + y   2 x + y + z = −3 ⇔ 2 x + y + z = −3 2 x + y + z = −2 2 x + y + z = −2  b) Ta có:  z = − x + y z = − x + y  x = −8    ⇔  x + y + ( − x + y ) = −3 ⇔  x + y = − ⇔  y =   x + y = −5  z = 12    x + y + ( − x + y ) = −2 ( x ; y ; z ) = ( −8;1;12 ) Vậy nghiệm hệ Ví Ở hội chợ, vé vào cửa bán với giá 15.000 đồng cho trẻ em 40.000 đồng cho người lớn Trong m Lời giải Gọi x, y số trẻ em, người lớn vào tham quan hội chợ ngày Điều kiện x, y số nguyên dương Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | x + y = 2.600   15.000 x + 40.000 y = 91.500.000  Theo giả thiết tốn, ta có hệ phương trình:  x = 500  Giải hệ phương trình ta  y = 2.100 Vậy có 500 trẻ em 2.100 người lớn tham gia hội chợ ngày Ví dụ S = a Lời giải +b Ta có: x + y = x = − y  x = 3− y x = − y x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x − y =1 x − y =1 3 − y − y =  y =  y =1 Vậy ( a ; b ) = ( 2;1) Do đó: S = a2 + b2 = Ví dụ ax + 2bx + c = Lời giải Ta có: a + b + c =  a + b + c = a =     a − b + c = ⇔  2b = ⇔ b = a + b − c =  c = 2c =    Vậy ax + 2bx + c = ⇔ x + x + = ⇔ x = −1 2 Ví dụ  x − y + z = 10   x + y − z = 10  − x + y + z = −16  Phân tích Làm giảm số ẩn cách cộng vế phương trình phương trình Lời giải | Strong Team Tốn VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài  x − y + z = 10 2 x − y + z = 10 2 x − y + z = 10 x =     ⇔  y = −2  x + y − 3z = 10 ⇔  x + y − z = 20 ⇔ 9 y − z = 10  − x + y + z = −16 5 y − z = −6 5 y − z = −6 z =     ( x ; y ; z ) = ( 2; − 2; ) Vậy nghiệm hệ Ví dụ ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C 2 x + y + z =   x + y − 3z = x − y + 2z =  Phân tích Làm giảm số ẩn cách trừ vế phương trình phương trình Lời giải 2 x + y + z = 2 x + y + z = 2 x + y + z =  x =     ⇔ y =1  x + y − 3z = ⇔ 2 x + y − z = ⇔  y + z =  x − y + 2z = 3 y − z = −2 3 y − z = −2 z =     Vậy nghiệm hệ ( x ; y ; z ) = ( 1;1;1) DẠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CĨ THAM SỐ 1.1 Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp:  ax + by = c  ′ ′ ′ Cho hệ phương trình:  a x + by = c ( *) Để giải biện luận hệ phương trình (∗), ta thực bước sau: • Bước Từ hai phương trình (∗), sau dùng phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình ( cịn ẩn) • Bước Giải biện luận hệ phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho 1.2 Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: • Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x; y) theo tham số m Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | ( x; y) vừa tìm vào biểu thức điều kiện • Bước 2: Thay nghiệm • Bước 3: Giải điều kiện tìm m • Bước 4: Trả lời u cầu tốn 1.3 Tìm mối liên hệ ( x; y) không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: ( x; y) theo tham số m • Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm • Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m kết luận | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Ví dụ Ví dụ x + y =   mx + y = Phân tích - Hệ phương trình cho dùng phương pháp để chuyển tốn biện luận hệ phương trình tốn biện luận phương trình bậc ẩn Lời giải ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C  Cách 1: y = 3− x y = 3− x   ⇔ ( I)  mx + ( − x ) =  m − ) x = −5 (     Hệ phương trình tương đương ( m − ) x = −5 ( 1) Xét phương trình −5 x = ( ) có nghiệm m −  Nếu m ≠ phương trình −5   x = m −   y = −  − ÷ = + ( I ) có nghiệm  m−2  m−2 Khi hệ ( 1) trở thành x = −5 (vô lý)  Nếu m = phương trình ⇒ phương trình ( 1) vơ nghiệm ⇒ hệ ( I ) vô nghiệm  Kết luận: −5  ;3 + ( x ; y ) =  ÷ m−2  m−2 − m ≠ : hệ có nghiệm − m = : hệ vô nghiệm  Cách 2: 1 1 D= = − m Dx = = Dy = = − 3m m 2 m  Dx   x = D = − m   y = Dy = − 3m D 2−m  Trường hợp 1: D ≠ ⇔ m ≠ : Hệ phương trình có nghiệm   Trường hợp 2: D = ⇔ m = D =  D = ≠ ∀m Ta có  x nên hệ phương trình vơ nghiệm  Kết luận: − 3m  ; ( x ; y ) =  ÷  2−m 2−m  − m ≠ : hệ có nghiệm Strong Team Tốn VD–VDC | 10 Đại số lớp 10 | − m = : hệ vơ nghiệm Ví dụ  mx + y = m +   x + my = Phân tích - Hệ phương trình cho dùng phương pháp để chuyển tốn biện luận hệ phương trình tốn biện luận phương trình bậc ẩn, phải qua nhiều bước biến đổi cồng kềnh việc kết luận nghiệm Do đó, ta nên dùng định thức để giải biện luận trực tiếp hệ Lời giải  Cách 1:  y = m + − mx  y = m + − mx ⇔ ( I)  2 4 x + m ( m + − mx ) = ( − m ) x = −m − m +  Hệ phương trình tương đương ( − m2 ) x = −m2 − m + ( 1) Xét phương trình ( 1) có nghiệm  Nếu − m ≠ ⇔ m ≠ ±2 phương trình −m − m + − ( m − 1) ( m + ) m − m −1 x= = =− = 4−m 2−m m−2 ( − m) ( + m) m −1   x = m −   y = m + − m  m − ÷ = −2 ( I ) có nghiệm  m−2 m−2 Khi hệ ( 1) trở thành x = −4 (vô lý)  Nếu m = phương trình ⇒ phương trình ( 1) vơ nghiệm ⇒ hệ ( I ) vô nghiệm ( 1) trở thành x = (đúng ∀x ∈ ¡ )  Nếu m = −2 phương trình ⇒ phương trình ( 1) có vơ số nghiệm x ∈ ¡  ⇒ hệ ( I ) có vơ số nghiệm ( x ; y ) thỏa  y = x −  Kết luận: m − −2  ; ( x ; y ) =  ÷  m−2 m−2 + m ≠ m ≠ −2 : hệ có nghiệm x ∈ ¡  + m = −2 : hệ có vơ số nghiệm  y = x − + m = : hệ vô nghiệm  Cách 2: 11 | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài m D= = m2 − = ( m − ) ( m + ) m    ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C Dx = m +1 = m + m − = ( m − 1) ( m + ) m Dy = m m +1 = −2m − = −2 ( m + ) m ≠ D≠0⇔  m ≠ −2  Trường hợp 1: Dx m −   x = D = m −   y = Dy = −2 D m−2 Hệ phương trình có nghiệm   Trường hợp 2: D = ⇔ m = m = −2 * Với m = D =  D =4≠0 Ta có  x nên hệ phương trình vơ nghiệm m = − * Với D =   Dx = x ∈ ¡ D = ( x ; y ) thỏa  y = x − Ta có  y nên hệ phương trình có vơ số nghiệm  Kết luận: + m ≠ m ≠ −2 : hệ có nghiệm x ∈ ¡  + m = −2 : hệ có vô số nghiệm  y = x − + m = : hệ vô nghiệm m − −2  ; ÷  m−2 m−2 ( x ; y ) =  Ví dụ  x +1 + m  x +1 + m   y = m +1 y = Phân tích - Cả phương trình hệ có biểu thức chung đến phương pháp dùng ẩn phụ để giải hệ phương trình x + y Điều giúp ta liên hệ - Có thể khái quát cách giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ (mục đích để chuyển hệ cho hệ bản) + Tìm điều kiện ẩn ban đầu để phương trình hệ có nghĩa Strong Team Toán VD–VDC | 12 Đại số lớp 10 | + Đặt ẩn tìm điều kiện cho ẩn (nếu có) + Giải hệ phương trình với ẩn theo điều kiện ràng buộc ẩn (nếu có) + Trở lại ẩn ban đầu giải hệ theo điều kiện ẩn ban đầu Lời giải  x ≥ −1  y ≥   Điều kiện u = x + ≥  v= y ≥0  Đặt  mu + v = m +  Hệ phương trình trở thành u + mv = m D= = m − = ( m − 1) ( m + 1) m  m +1 Du = = m2 + m − = ( m − 1) ( m + ) m  m m +1 Dv = = m −1   Trường hợp 1: D ≠ ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 Du m +  u = D = m +  v = Dv = D m +1 Hệ phương trình có nghiệm  m +  m + ≥ ⇔ m > −1   ≥0 u , v ≥ Vì điều kiện nên ta có  m +  2m +  ( m + 2) m+2  x = x +1 =  x + =  ( m + 1) m + 1) (   m +1 ⇔ ⇔  1  y= y = y = 2   m +1  ( m + 1) m + 1) (   Khi ta  Trường hợp 2: D = ⇔ m − = ⇔ m = m = −1 * Khi m = D =   Dx = D =  y  x +1 + y =   x ≥ −1 y ≥ nên hệ phương trình có vơ số nghiệm thoả  Ta có * Khi m = −1 D =  D =2≠0 Ta có  u nên hệ phương trình vơ nghiệm  Kết luận: 13 | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài  2m +  m > −1 x ; y = ;  ÷ ( )   ( m + 1) ( m + 1) ÷ m ≠   + : hệ có nghiệm  x +1 + y =   x ≥ −1 y ≥ + m = : hệ có vơ số nghiệm ( x ; y ) thỏa  m ≤ − + : hệ vơ nghiệm Ví dụ ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C ( x; y) = ( −3; ) Lời giải − m =  + ( m + 1) = m + 2n −  m − 2n = ⇔ ⇔ ⇔ ( I ) có nghiệm ( x ; y ) = ( −3; ) −3n + ( − m ) =  2m + 3n = −1 n = −1 Ví dụ ( I ) Lời giải mx + y = m +  ( I) Ta có: 2 x + my = 2m − 1   y =   x = −1 ( I ) có nghiệm  (loại x , y ∈ ¢ ) + Xét m = , hệ + Xét m ≠ 2mx + y = 2m + (m − 4) y = 2m − 3m − = (m − 2)( 2m + 1) ( I ) ⇔ 2mx + m y = 2m − m ⇔ 2 x + my = 2m − ( I ) có nghiệm ⇔ m2 − ≠ ⇔ m ≠ ±2 (1) Vậy với m ≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm m −1  x = = −  m+2 m+2   y = (m − 2)(2m + 1) = 2m + = −  m2 − m+2 m+2 x , y số nguyên ⇔ m + ∈ { 1; − 1;3; − 3} ⇔ m ∈ { −5; − 3; ± 1} (thỏa điều kiện (1)) Strong Team Toán VD–VDC | 14 Vậy m ∈ { −5; −3; ±1} Đại số lớp 10 | thỏa đề Ví dụ x − y = m  2 x − y + y = −7  Lời giải  x = y + m x − y = m ⇔   2 ( y + m ) − y + y = −7  x − y + y = −7 Ta có:  x = y + m x = y + m ⇔ ⇔  2 2 2 y + ( 4m + 1) y + m + = ( *) 4 y + ym + m − y + y = −7 Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình y + ( 4m + 1) y + m2 + = ( *) có nghiệm Khi đó: ∆ = ( 4m + 1) − ( m + ) = 8m + 8m − 55  −2 + 114 m = ∆=0⇔  −2 − 114 m =  Ví dụ x + y = − m  + y + xy = x Lời giải Ta có: x + y = − m  y = − m − x ⇔   2  x + y + xy =  x + ( − m − x ) + x ( − m − x ) = ( *) ( *) có nghiệm Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình x + ( − m − x ) + x ( − m − x ) = ⇔ x + ( m − ) x + m − 4m + = Khi đó: ∆ = ( m − ) − ( m − 4m + 1) = −3m + 12m ∆ ≥ ⇔ ≤ m ≤ ≤ m ≤ Vậy: hệ phương trình có nghiệm 15 | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C ... { ±1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16} Do x − ước 16 ⇒ Ta có x? ?4 x y y −16 − 12 −9 −8 ? ?4 ? ?2 ? ?4 0 ? ?2 ? ?2 −1 −9 25 18 16 ±5 ? ?3 (loại ) ? ?4 12 18 ? ?3 (loại ) 16 20 25 ±5 Vậy nghiệm nguyên phương trình (2) ( 5;5)... 2m − m ⇔ ? ?2 x + my = 2m − ( I ) có nghiệm ⇔ m2 − ≠ ⇔ m ≠ ? ?2 (1) Vậy với m ≠ ? ?2 hệ phương trình có nghiệm m −1  x = = −  m +2 m +2   y = (m − 2) (2m + 1) = 2m + = −  m2 − m +2 m +2 x , y số... có: ? ?2 x + my = 2m − 1   y =   x = −1 ( I ) có nghiệm  (loại x , y ∈ ¢ ) + Xét m = , hệ + Xét m ≠ 2mx + y = 2m + (m − 4) y = 2m − 3m − = (m − 2) ( 2m + 1) ( I ) ⇔ 2mx + m y = 2m − m