TO 19 GADT NHOM 1 ĐOT 2 BAI 1 CHUONG III

Đại số lớp 10 | ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I ===I KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm phương trình f ( x) = g ( x) Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x) g ( x) ( 1) f ( x) g ( x) biểu thức x Ta gọi vế trái, vế phải phương trình ( 1) Điều kiện xác định phương trình (gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện ẩn x để biểu thức phương trình có nghĩa Nếu f ( x0 ) = g ( x0 ) f ( x) = g ( x) số thực x0 gọi nghiệm phương trình ( 1) Giải phương trình nghiệm) ( 1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Phương trình tương đương 2.1 Phương trình tương đương f ( x ) = g ( x ) ( 1) f ( x ) = g1 ( x ) Hai phương trình chúng có tập nghiệm (có thể rỗng) Kí hiệu: • • ( ) gọi tương đương ( 1) ⇔ ( ) 2.2 Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương Ta có số phép biến đổi tương đương biết sau Cộng trừ hai vế với số biểu thức Nhân chia hai vế phương trình với số biểu thức khác Chú ý Các phép biến đổi khơng làm thay đổi điều kiện phương trình phương trình tương đương 2.3 Phương trình hệ ( 1) nghiệm phương trình ( ) Mỗi nghiệm phương trình ( ) phương trình hệ phương trình ( 1) ta nói phương trình Kí hiệu: ( 1) ⇒ ( ) | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Chú ý + Phép bình phương hai vế phương trình khơng phải phép biến đổi tương đương mà phép biến đổi hệ + Khi hai vế phương trình khơng âm, bình phương hai vế phương trình ta phương trình tương đương Cơng thức B ≥ A=B⇔ A = B ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi giải phương trình, khơng phải lúc ta áp dụng phép biến đổi tương đương nhiều trường hợp ta phải thực phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm tìm Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ( x ;y ) ẩn số Nghiệm phương trình hai ẩn x, y cặp số thực 0 thỏa mãn phương trình đó, cịn nghiệm phương trình ba ẩn x, y, z ( x ; y ;z ) số thực 0 thỏa mãn phương trình Ví dụ Cho phương trình x + y = x − xy + 8, x − xy + z = 3z + xz + y Phương trình ba ẩn ( x, y z ) ( 2) 2 ( 2) ( 3) ( 3) phương trình phương trình hai ẩn ( x y ), cịn ( ) có giá trị nhau, ta nói Khi x = 2, y = hai vế phương trình cặp ( x; y ) = ( 2;1) nghiệm phương trình Tương tự, ba số ( x; y; z ) = ( −1;1; ) ( 2) nghiệm phương trình ( 3) Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | II ===ICÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp - Điều kiện để bậc chẵn xác định: Biểu thức phải có nghĩa khơng âm - Điều kiện phân thức xác định: Mẫu thức phải có nghĩa khác Ví dụ Ví dụ 1.1 x − + x − = −2 x + + 15 + 5x Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức không âm Lời giải  x ≥ x −1 ≥   4 − x ≥ ⇔  x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 9 − x ≥   x ≤  a) Điều kiện xác định:  x≥  x − ≥     x + ≥ ⇔  x ≥ −3 ⇔ x ≥ x +1 ≥  x ≥ −1    b) Điều kiện xác định: c) Điều kiện xác định:  x≥  x − ≥    −2 x + ≥   ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤  x +1 ≥  1 − x ≥  x ≥ −1 x ≤  x ≥ x −1 ≥  2 x − ≥   x ≥ ⇔ ⇔ ≤x≤2   −2 x + ≥ x ≤ 15 + x ≥   x ≥ −3 d) Điều kiện xác định: | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Ví dụ 1.2 x − + x + −2 x + + 15 + x = x x − 2x −1 ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức không âm mẫu thức khác Lời giải x < 3 − x >  x ≥ −2 x + ≥   ⇔  ⇔ ≤ x  x > −2 x + >   ⇔  ⇔ ≤ x   x > −1 b) Điều kiện xác định: 1   x≥− x≥−   x + ≥  5    −2 x + ≥ x ≤ x ≤   x + ≥  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ ≤ x x > x >    1 2 x − ≥    x ≥ x ≥  x − 2x −1 ≠   x ≠ x −  x ≠   d) Điều kiện xác định: Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | Ví dụ 1.3 4x − 5x 9x +1 − = 2 x − x + x − x + x − x + 12 Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức mẫu khác Lời giải a) Điều kiện xác định: x + ≠ (luôn đúng) Vậy điệu kiện xác định phương trình x ∈ ¡ x + ≠  x ≠ −2 ⇔  x ≠ b) Điều kiện xác định:  x − ≠  x2 − 5x + ≠ x ≠   x − 6x + ≠ ⇔ x ≠  x − x + 12 ≠ x ≠  c) Điều kiện xác định:  Ví dụ 1.4 x−2 − x − 4x + 7x = 5x − 2x Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức không âm mẫu thức khác Lời giải x < 3 − x >  x ≥ −2 x + ≥   ⇔  ⇔ ≤ x −2   ⇔ ⇔ x + ≥  x ∉ { 1; 2}  x2 + x − ≠ x ≠   x ≠ −2 b) Điều kiện xác định: | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài x −1 ≥ x ≥ − x + ≥ x ≤     x − ≠ ⇔  x ≠ ±1 ⇔ x ∈ ( 1;3] \ { 2} x ≠ x ≠    x − ≠  x ≠ c) Điều kiện xác định: ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C x ≠ x ≠  x − x + ≠ ⇔  x ≥   x − ≥ 7  x < ⇔ x ∈  2; ÷ \ { 3} 7 − x >   2 d) Điều kiện xác định:  Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 | DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương pháp - Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm - Nếu nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) nghiệm phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) phương trình f1 ( x) = g1 ( x) gọi phương trình hệ phương trình f ( x) = g ( x) - Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) hai vế phương trình với biểu thức mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho • Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình (hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ Ví dụ 2.1 x − 3x + = − x Phân tích f ( x) = g ( x) , f ( x) = g ( x) ta thường dùng hai cách sau: Để giải phương trình có dạng + Cách 1: Bình phương hai vế ta phương trình hệ thử lại + Cách 2: Biến đổi tương đương  f ( x) ≥  g ( x) ≥ f ( x ) = g ( x) ⇔  f ( x ) = g ( x) ⇔   f ( x ) = g ( x )  f ( x) = g ( x)  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = [ g ( x) ] Lời giải a)  2x − ≥  Cách 1: Điều kiện xác định:  x − 15 ≥ (*) x − = x − 15 ⇒ ( 2x − ) ( = x − 15 ) ⇔ x − = x − 15  x=2 ⇔ x − x − 12 = ⇔  x = −  Thay vào điều kiện (*) ta thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài  x≥    2 x − ≥ x ≥ 2 x − = x − 15 ⇔  ⇔ ⇔  x = ⇔ x = 2 2 x − = x − 15  4 x − x − 12 =    x = −  Cách 2: x = Vậy phương trình có nghiệm b) 3  x − 3x + ≥ ⇔  x − ÷ + ≥ 2  Cách 1: Điều kiện xác định (luôn với x ∈ ¡ ) Bình phương hai vế phương trình ta ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C x − 3x + = − x ⇒ x − 3x + = ( − x ) ⇔ x − 3x + = x − 12 x + x =1 ⇔ 3x − x + = ⇔  x = Thay vào phương trình ta thấy có x = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x =  3 − x ≥ x ≤ x − 3x + = − x ⇔  2 ⇔   x − 3x + = ( − x )  x − 3x + = − 12 x + x  Cách 2:  x≤   x ≤  ⇔ ⇔ ⇔ x =1 x =1  3 x − x + =     x = x Vậy phương trình có nghiệm = Ví dụ 2.2 2x +1 = x −1 Phân tích f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = g ( x) Để giải phương trình có dạng , ta thường dùng hai cách sau: + Cách 1: Bình phương hai vế ta phương trình hệ + Cách 2: Biến đổi tương đương  f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) = − g ( x )  g ( x) ≥  f ( x ) = g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x)   f ( x) = − g ( x)  Lời giải a) ( 2x +1 ) Cách 1: Phương trình tương đương với = ( x − ) ⇔ 4x2 + x + = x2 − 4x + Strong Team Toán VD–VDC | Đại số lớp 10 |  x = −3 ⇔ 3x + 8x − = ⇔  x=1  Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3 x=  x = −3 2 x + = x − 2x + = x − ⇔  ⇔ x = 2 x + = − x +  Cách 2: x= Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3 b) 2 x + = x − ⇒ ( x + 1) = ( x − 1) ⇒ x + x + = x − x + ⇔ x + x = Cách 1: Ta có  x=0 ⇔  x = −2 Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm x −1 ≥ x ≥   x + = x − ⇔   x + = x − ⇔   x = −2 2 x + = − x +  x =   Cách 2: (khơng có giá trị thỏa mãn) Vậy phương trình vơ nghiệm x=3 Ví dụ 2.3 Lời giải x − = ( x − 1) a) Ở câu này, ta giản ước x − hai vế biểu thức nên làm x = nghiệm b) Ở câu này, ta làm xuất nghiệm ngoại lai x = khơng phải nghiệm phương trình (vì nói chung phép bình phương hai vế phương trình khơng phải phép biến đổi tương đương) | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Ví dụ 2.4 ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C x Lời giải a) Phép biến đổi không cho ta phương trình tương đương nghiệm phương trình 7 x2 + + = 2x + x + = x không nghiệm phương trình x −1 x −1 b) Phép biến đổi cho ta phương trình tương đương nghiệm phương trình x + = x 5 x2 + + = 2x + x−2 x−2 nghiệm phương trình c) Phép biến đổi khơng cho ta phương trình tương đương làm thay đổi điều kiện phương trình ban đầu d) Phép biến đổi khơng cho ta phương trình tương đương làm nghiệm phương trình ban đầu e) Phép biến đổi không cho ta phương trình tương đương làm xuất nghiệm ngoại lai x = không nghiệm phương trình ban đầu ( Ví dụ 2.5 4) Lời giải x = ⇔ ( 1)  x = ( ) ⇔ x = a) Ta có: Vậy ( 1) phương trình hệ ( 2)  x = −1 ⇔ ( 3) ⇔ x = ( )  x = b) Ta có: Strong Team Tốn VD–VDC | 10 Vậy ( 4) phương trình hệ Đại số lớp 10 | ( 3) ( x − ) f ( x) = x − ⇔ f ( x) = Ví dụ 2.6 Lời giải D Biểu thức f ( x) cho ta hàm số y = f ( x) Ta gọi f tập xác định hàm số y = f ( x) Dễ thấy Df tập xác định phương trình ( x − 2) f ( x) = x − (1) Để đến phương trình f ( x) = , ta chia hai vế (1) cho x − Ta xét hai trường hợp: • • Nếu Nếu 2∈ Df ∉ Df x ∉ Df x ≠ với Lúc khẳng định cho hiển nhiên nghiệm phương trình (1) Do nghiệm phương trình f ( x) = , tức f (2) = khẳng định cho đúng; f (2) ≠ khẳng định cho sai Ví dụ 2.7 ( 3m − 1) x − 4m = Phân tích Để giải dạng tốn ta thường làm theo bước: + Bước 1: Tìm nghiệm phương trình giải + Bước 2: Thay nghiệm vào phương trình kia, tìm m + Bước 3: Thử lại m tìm vào phương trình có tập nghiệm nhận Lời giải Phương trình x − = có nghiệm x = Phương trình ( 3m − 1) x − 4m = có nghiệm x = ( 3m − 1) − 4m = ⇔ m = Thay m = vào phương trình sau ta có nghiệm x = Vậy hai phương trình tương đương m = 11 | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Ví dụ 2.8 x + ( m − 5) x − 3(m + 1) = Lời giải Phương trình x − = có hai nghiệm x = x = −3 ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C • Giá trị x = nghiệm phương trình x + (m − 5) x − 3(m + 1) = (1) 18 + (m − 5)3 − 3(m + 1) = ⇔ 18 − 18 = Đẳng thức thỏa mãn với m • Giá trị x = −3 nghiệm hệ phương trình (1) 18 − 3(m − 5) − 3(m + 1) = ⇔ 30 − 6m = ⇔ m = Khi m = phương trình (1) trở thành x − 18 = ⇔ x − = Phương trình có hai nghiệm x = x = −3 Vậy với m = hai phương trình cho tương đương Ví dụ 2.9 ( m − 2) x − 3x + m − 15 = Lời giải Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương x =1  ( 1) ⇔ ( x − 1) ( mx − m + ) = ⇔   mx − m + = Ta có Do hai phương trình tương đương nên x = nghiệm phương trình (2) Thay x = vào phương trình (2) ta  m=4 ( m − ) − + m2 − 15 = ⇔ m2 + m − 20 = ⇔   m = −5 • Với m = −5 : Strong Team Toán VD–VDC | 12 Đại số lớp 10 |  x =1 −5 x + 12 x − = ⇔  x =  Phương trình (1) trở thành  x =1 −7 x − 3x + 10 = ⇔   x = − 10  Phương trình (2) trở thành Suy hai phương trình khơng tương đương • Với m = :  x=  4x − 6x + = ⇔   x =1 Phương trình (1) trở thành  x =1 2 x − 3x + = ⇔  x =  Phương trình (2) trở thành Suy hai phương trình tương đương Vậy m = hai phương trình tương đương DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN Phương pháp Đối với phương trình có điều kiện (thường phương trình chứa ẩn căn, chứa ẩn mẫu, ) giải ta thường làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho phương trình - Chuyển về, đổi dấu quy đồng khử mẫu phân thức - Rút gọn giải phương trình nhận - Đối chiếu điều kiện kết luận Các ví dụ Ví dụ 3.1 1− x − x = 1− x − Lời giải a) Điều kiện phương trình x ≥ −2 Với điều kiện ta có x + + x2 = + x + ⇔ x2 = + x + − x + x = ⇒ x2 = ⇒   x = −3 (*) x = x ≥ − Giá trị thỏa mãn điều kiện nghiệm phương trình x = − Giá trị không thỏa mãn điều kiện x ≥ −2 nên bị loại Vậy nghiệm phương trình cho x = Một số ý sai lầm thường gặp + Sau đẳng thức (*) dấu suy ra, dấu tương đương 13 | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài + Chưa đối chiếu điều kiện dẫn tới kết luận tập nghiệm sai b) Điều kiện phương trình x ≤ Với điều kiện ta có − x − x3 = − x − ⇔ x3 = + − x − − x ⇒ x3 = ⇒ x = Giá trị x = không thỏa mãn điều kiện x ≤ nên bị loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 3.2 ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C (*) x = x + x + Lời giải a) Điều kiện: x − > ⇔ x > Với điều kiện đó, ta có 2x +1 x+2 2x + x+2 = ⇔ x−3 = x−3 x −3 x −3 x −3 x −3 ⇒ 2x +1 = x + ⇒ x = Giá trị x = không thỏa mãn điều kiện x > nên bị loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Một số ý sai lầm thường gặp + Mẫu x − biểu thức Do ta thường làm nhanh đặt điều kiện cho biểu thức lớn + Nhiều em học sinh đặt điều kiện cho x − cho biểu thức x − > Chú ý ta cho biểu thức lớn + khử mẫu hai vế phương trình phép biến đổi hệ + Chưa đối chiếu điều kiện dẫn tới kết luận tập nghiệm sai b) Điều kiện: x + > ⇔ x > −2 Với điều kiện đó, ta có x2 x2 = ⇔ x+2 = x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 x = ⇒ x2 = ⇒   x = −2 Giá trị x = thỏa mãn điều kiện x > −2 nghiệm phương trình Giá trị x = −2 không thỏa mãn điều kiện x > −2 nên bị loại Vậy nghiệm phương trình cho x = Ví dụ 3.3 x − 1( x − x − 2) = Strong Team Toán VD–VDC | 14 Đại số lớp 10 | Phân tích Với dạng phương trình f ( x) g ( x) = ta thường có hai cách giải: + Cách 1: Tìm điều kiện phương trình, sau biến đổi hệ  f ( x) =  f ( x).g ( x) = ⇔   f ( x) >    g ( x) = + Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương: Lời giải a) Cách 1: Điều kiện phương trình x ≥ Với điều kiện ta có x =  x−2 =0 x − 2( x − x + 3) = ⇒  ⇔ x =1   x − 4x + =  x = Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình là: x = x =  x=2 x−2=0   x>2  x = x − 2( x − x + 3) = ⇔   x − > ⇔  ⇔   x = x =3   x − x + =   x = Cách 2: Vậy nghiệm phương trình cho là: x = x = b)  x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x ≥1  x ≥ x − ≥   Cách 1: Điều kiện  Với điều kiện ta có  x =1  x −1 = x − 1( x − x − 2) = ⇒  ⇔  x = −1  x − x−2 =  x = Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x = x =  x =1 x −1 =   x >1   x =1  x − 1( x − x − 2) = ⇔   x − > ⇔  ⇔    x = −1 x =   x − x − =   x = Cách 2: x = x = Vậy nghiệm phương trình cho là: Một số ý sai lầm thường gặp f ( x) + Với phương trình có dạng f ( x).g ( x) = học sinh hay quên đặt điều kiện cho f ( x ) =  f ( x).g ( x) = ⇔   g ( x) = + Nhiều em biến đổi 15 | Strong Team Toán VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài Ví dụ 3.4 2x + x+ =− x+2 x+2 Phương pháp - Đặt điều kiện cho phương trình ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C - Quy đồng khử mẫu phân thức - Rút gọn giải phương trình nhận - Đối chiếu điều kiện kết luận Lời giải x ≠ a) Điều kiện Biến đổi vế trái ta 3x + − x 3x + − + x ( x − ) − −5 = − = x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 =0 Suy ra, ta có phương trình x − Vậy phương trình vơ nghiệm b) Điều kiện x ≠ −1 Quy đồng hai vế ta được: x − x + + ( x + 1) 2x + = ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ⇒ x − x + + x + = x + (*)  x = −1 ⇔ x2 − x − = ⇔  x = Đối chiếu điều kiện ta thấy x = −1 bị loại Vậy nghiệm phương trình cho x = Một số ý sai lầm thường gặp + Trước đẳng thức (*) dấu suy ra, dấu tương đương Qui đồng khử mẫu phép biến đổi hệ + Chưa đối chiếu điều kiện dẫn tới kết luận tập nghiệm sai c) Điều kiện x ≠ 2, x ≠ −2 Qui đồng hai vế ta được: − x2 + + x −4 + x − − x + x2 − x = ⇔ =0 ⇔ =0 ( − x) ( + x) ( − x) ( + x) ( x − 2) ( + x ) ( x − 2) ( + x ) ⇔ x = x( x − 1) =0⇒ ( x − 2)( x + 2) x = Đối chiếu điều kiện ta thấy giá trị thỏa mãn S = { 0;1} Vậy tập nghiệm phương trình d) Điều kiện x ≠ −2 Qui đồng hai vế ta được: x ( x + ) + −2 x − 2x + x2 + 2x + + 2x + x2 + 4x + x+ =− ⇔ = ⇔ =0 ⇔ =0 x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 x + 2) ( ⇔ =0 ⇒ x + = ⇔ x = −2 x+2 Vì x = −2 khơng thỏa mãn điều kiện nên phương trình vơ nghiệm Strong Team Tốn VD–VDC | 16 Đại số lớp 10 | Vậy S = ∅ Ví dụ 3.5 ( x − 1) ( 3− + 2x ) = x + 20 Phương pháp - Đặt điều kiện cho phương trình - Quy đồng khử mẫu phân thức (ta thường sử dụng thêm nhân liên hợp) - Rút gọn giải phương trình nhận - Đối chiếu điều kiện kết luận Lời giải a) Điều kiện: x ≤ 3 − x ≥ ⇔ ⇔ x − ( x − 2) x2 = x−2 Qui đồng hai vế ta x − x2 + x − =0 x − Chuyển vế ta đưa phương trình: 17 | Strong Team Tốn VD–VDC ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài  13 x = − + 2 ⇔  13 x = − −  2 ⇒ x + x−3= Cả nghiệm không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm  x ≥ x ≥ ⇔  x ≠2 x ≠ c) Điều kiện:  Ta đưa phương trình hệ quả: ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C x = ( x − 3)( x − 4) = ⇒ ( x − 3) ( x − ) = ⇔  x −2 x = Đối chiếu điều kiện ta phương trình có nghiệm x =  7 + x ≥ x ≥ − ⇔  3 ≠ + x  x ≠ d) Điều kiện Với điều kiện trên, ta có ⇔ Phương trình ( + + 2x ) + 2x ) ( − + 2x ) ( x − 1) ( 3+ 2 2 = x + 20 ⇔ ( ( x − 1) 10 + x + + x ( − 2x ) ) = x + 20 ⇒ 10 + x + + x = ( x + 20 ) ⇔ + x = ⇔ x = Đối chiếu điều kiện ta thấy x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3.6 ( x − 3) (5 − 3x) + x = 3x − + Phương pháp - Đặt điều kiện cho phương trình - Dựa vào điều kiện tìm, lập luận để tìm nghiệm phương trình Lời giải x − ≠ x ≠   3 − x ≥ ⇔  x ≤ x − ≥ x ≥  a) Điều kiện:  Ta thấy khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình vô nghiệm 2 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x=0  − x ≥ x ≤   b) Điều kiện : Nhận thấy x = nghiệm phương trình Strong Team Tốn VD–VDC | 18 Đại số lớp 10 | Vậy nghiệm phương trình x = c) Điều kiện x − ≥ ⇒ x ≥ Với x ≥ x + ≥ x Suy VT ≥ VP Dấu "=" xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x =  x =  x = ( x − 3) ( − x ) ≥  x ≤  ⇔   3⇔ x=  3 x − ≥  x ≥  d) Điều kiện: Với x = thay vào vế ta + ×3 = − + ⇔ = Suy x = nghiệm phương trình 5 + = + x= thay vào vế ta Với (vơ lí) x= khơng nghiệm phương trình Suy Vậy phương trình có nghiệm x = ( x − 3) = làm Chú ý: Ở học sinh hay quên x = điều kiện Chú ý cho biểu thức ( x − 3) (5 − x) = Ví dụ 3.7 x − y + y − x = x − 3y Lời giải x − ≥ x ≥   ⇔ y ≥ y − ≥ 4 − x − y ≥ x + y ≤  a) Điều kiện  x + y ≥ ⇔ x+ y =4  x + y ≤  Từ ta suy Khi ta có x − + y − = Vì x − ≥ y − ≥ nên x−2 = y−2 = 0⇒ x = y = Thay x = y = vào phương trình ban đầu thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 2; ) − x − ( y + 1) ≥ ⇔ x + ( y + 1) ≤ b) Điều kiện 19 | Strong Team Toán VD–VDC 2 ( y + 1) ≥ nên Mà x ≥ ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C | Chương III: Bài x = x = ( y + 1) = ⇒   y = −1 Thay x = 0, y = −1 vào phương trình ban đầu thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm ( x ; y ) = ( 0; −1) x − y ≥ x ≥ y ⇔ ⇔x= y  y − x ≥ y ≥ x   c) Điều kiện ST RO NG TE AM TO ÁN VD – VD C x = x − 3x = ⇔  x = Thay x = y vào phương trình ban đầu ta phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm x = y = x = y = Ví dụ 3.8 20 − x + x − y = y − x 2 Lời giải 20   x ≤ 20 − x ≥ ⇔ ⇔ x≤   − 4x ≥  x≤ x; y ) (   Nếu phương trình có nghiệm x phải thỏa mãn Vì x số nguyên dương nên x = Thay x = vào phương trình ta 12 + − y = y (*) Điều kiện xác định phương trình (*) − y ≥ (*) ⇒ − y = ( y − ) ⇒ − y = ( y − ) ⇒ y − 12 y + = ⇒ y = 3± 3+ Thử vào phương trình (*) thấy có thỏa mãn  3+  ( x; y ) = 1; ÷ ÷   Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề y= Strong Team Toán VD–VDC | 20 ... S = { 0 ;1} Vậy tập nghiệm phương trình d) Điều kiện x ≠ ? ?2 Qui đồng hai vế ta được: x ( x + ) + ? ?2 x − 2x + x2 + 2x + + 2x + x2 + 4x + x+ =− ⇔ = ⇔ =0 ⇔ =0 x +2 x +2 x +2 x +2 x +2 x +2 x + 2) ( ⇔... kiện: x + > ⇔ x > ? ?2 Với điều kiện đó, ta có x2 x2 = ⇔ x +2 = x +2 x +2 x +2 x +2 x +2 x = ⇒ x2 = ⇒   x = ? ?2 Giá trị x = thỏa mãn điều kiện x > ? ?2 nghiệm phương trình Giá trị x = ? ?2 khơng thỏa mãn... phương trình (2) Thay x = vào phương trình (2) ta  m=4 ( m − ) − + m2 − 15 = ⇔ m2 + m − 20 = ⇔   m = −5 • Với m = −5 : Strong Team To? ?n VD–VDC | 12 Đại số lớp 10 |  x =1 −5 x + 12 x − = ⇔ 