Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường phổ thông thực hành chất lượng cao nguyễn tất thành

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HỊA BÌNH TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM - Giảng viên: Bùi Thị Dần f ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC “Rèn kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành Hịa Bình, tháng năm 2020 CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ CƯƠNG ĐỀ TÀI THCS HS GV SGK SBT GT KL CM Trung học sở Học sinh Giáo viên Sách giáo khoa Sách tập Giả thiết Kết luận Chứng minh MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học có vai trò quan trọng đời sống, khoa học công nghê Viêc nắm vững kiến thức toán học giúp cho học sinh có sơ nghiên cứu bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiêu lĩnh vực của đời sống Trong nhà trường THCS có thể nói mơn tốn mợt những mơn học giữ mợt vị trí quan trọng Bởi lẽ, toán học một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừa tượng cao, tính logíc đờng thời mơn tốn còn bộ môn công cụ hỗ trợ cho môn học khác, có tính thực tiễn Những tri thức kĩ toán học cùng với những phương pháp làm viêc tốn học trở thành cơng cụ để học tập những mơn khoa học khác Trong chương trình tốn THCS, môn hình học rất quan trọng rất cần thiết cấu thành nên chương trình toán học THCS cùng với môn số học đại số Môn hình học môn học rèn luyên cho học sinh khả đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên, môn hình học có tính trừu tượng cao, nhiều học sinh coi môn học khó, có một bộ phận học sinh khá, giỏi, những em có óc tưởng tượng phong phú, tư nhạy bén tỏ thích thú học hình, số học sinh còn lại thường “sợ” nó Vì vậy, muốn học tốt môn học không những đòi hỏi học sinh phải có kĩ đo đạc tính tốn mơn học khác mà còn phải có kĩ vẽ hình, khả tư hình khối, khả phân tích tìm lời giải toán khả khai thác cách giải phát triển tốn theo mợt cách có thống Trong chương trình Hình học 9, trước một lượng kiến thức tương đối mới đường tròn mợt lượng lớn tốn đường tròn, em thường lúng túng, bắt đầu từ đâu làm Điều đó dẫn đến một số thực trạng có không ít học sinh lớp chuyên tâm vào học môn đại số bỏ mặc môn hình học Với tầm quan trọng vậy, để khắc phục tình trạng giúp em có nhìn đúng đắn viêc học bộ môn hình học, chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành” với mong muốn góp phần nâng cao hiêu quả, chất lượng dạy học môn hình học lớp của trường MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Phát triển kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3.1 Khách thể nghiên cứu: Hoạt động học tập môn hình học của học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Biên pháp phát triển kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp của học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tài liêu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề tài sách giáo khoa sách tập hình học 9, sách liên quan đến phát triển lực cho cho học sinh, báo liên quan đến chứng minh tứ giác nội tiếp của học sinh, mạng internet - Tìm hiểu thực trạng kĩ chứng minh hình học của học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành thuộc trường CĐSP Hòa Bình - Thiết kế tài liêu, giáo án thực hành giáo án có liên quan đến tứ giác nội tiếp GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu học sinh nghiên cứu tài liêu, làm tập, đề xuất tập thì sẽ dần hình thành kĩ chứng minh cho thân GIỚI HẠN VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Lí thuyết tập liên quan đến đường tròn thuộc chương trình sách giáo khoa hình học lớp - Đề tài nghiên cứu đối tượng học sinh lớp trường phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành thuộc trường CĐSP Hòa Bình Đề tài tiến hành năm học: Từ tháng năm 2019 đến tháng năm 2020 CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 7.1 Cách tiếp cận Nghiên cứu tài liêu liên quan đến lí thuyết tập đường tròn Tìm hiểu thực trạng viêc dạy học hình học của học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành Tìm hiểu sách giáo khoa sách tập hình học lớp sách phương pháp dạy học nhằm phát huy lực của học sinh 7.2 Phương pháp nghiên cứu 7.2.1 Các phương pháp nghiên cứu lí luận Tổng quan tài liêu chứng minh hình học phương pháp giảng dạy nhằm phát triển lực người học Sử dụng phối hợp một số phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp, khái quát hóa,… nghiên cứu 7.2.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn Tìm hiểu thực trạng viêc dạy học hình học của trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành kĩ chứng minh hình học của học sinh lớp Phương pháp quan sát: Quan sát hoạt động dạy học hình học của giáo viên học sinh để có những điều chỉnh kịp thời trình học tập giảng dạy Phương pháp thực nghiêm: Giáo viên thiết kế tài liêu, giảng thực hiên Học sinh nghiên cứu tài liêu, thực hành giải toán đề xuất toán nhằm nâng cao kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho thân Đóng góp của đề tài 8.1 Những đóng góp về lý luận Đưa tài liêu chứng minh tứ giác nội tiếp, góp phần thống kiến thức đường tròn phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 8.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn Tìm hiểu thực trạng viêc dạy học hình học của trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành kĩ chứng minh hình học của học sinh lớp đề từ đó có những phương án thiết kế tài liêu, giáo án giảng dạy phù hợp với điều kiên nhà trường nhằm phát triển kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp của người học Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận kiến nghị, tài liêu tham khảo đề tài chia làm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Chương 2: Rèn kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề Hiên có nhiều tác giả viết tài liêu tham khảo vấn đề tứ giác nội tiếp học như: Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9, NXB Giáo dục, 2005 Trong tài liêu này, tác giả giúp người đọc tiếp cận toán tứ giác nội hướng: Đưa một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh hình học Vũ Hữu Bình, Một số vấn đề phát triển hình học 9, NXB Giáo dục, 2002 Ở đây, tác giả đưa phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cách sử dụng thức lượng tam giác Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Viêt - Vũ Dương Thuỵ, Toán nâng cao chuyên đề hình học 9, NXB Giáo dục, 2006 Trong ćn sách này, tác giả giới thiêu tứ giác nội hướng đưa một số kiến thức cần nhớ ví dụ minh họa Trong tài liêu này, tác giả chưa chia nhỏ dạng kiến thức cần áp dụng ví dụ kèm dạng kiến thức đó phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 1.2 Cơ sở lí luận của đề tài Trong toán đường tròn lớp 9, đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp sử dụng kết của tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh tỉ lê thức, chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn, … Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn quỹ tích cung chứa góc, quan giữa góc đường tròn, định lí đảo tứ giác nội tiếp, … Đặc biêt phải biết thống kiến thức lại với sau học xong chương “ Góc đường tròn” của hình học Đây viêc làm quan trọng của giáo viên đới với học sinh Trên thực tế ngồi cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất thể hiên định lí đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán tập thì SGK chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiêu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt dấu hiêu thành một thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở của dấu hiêu Dẫn đến học sinh rất lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn Với học sinh lớp dạng toán mới lạ lại quan trọng Để nghiên cứu viết đề tài vào những sở lí luận khoa học sau: 1.2.1 Phương pháp phân tích – tổng hợp Để chứng minh toán đề tài, tác giả dùng phương pháp phân tích – tổng hợp Giả sử A giả thiết của toán, B kết luận của toán: Để chứng minh A  B, ta chứng minh A  A1  A2   B Các quan kéo theo nói trình bày dưới dạng: A  A2 (lí do) hoặc: (lí do) A1  A2 Trong trình tìm lời giải toán, ta thường: a - Khai thác giả thiết của toán : Từ A  A1, từ A1  A2 , Và cuối cùng suy Am b - Phân tích lên từ kết luận của toán: Để chứng minh B ta có thể chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,…, cuối cùng ta có thể chứng minh Bn Nếu chứng minh Am  Bn thì toán chứng minh A  B chứng minh với sơ đồ sau: A  A1  A2  … Am  Bn  …. B2  B1  B 1.2.2 Một số phương pháp chứng minh hai góc Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của hai góc đồng vị (hay so le) tạo một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song Phương pháp 2: Áp dụng định lí góc có cạnh tương ứng song song hay vuông góc Phương pháp 3: Sử dụng tính chất góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng Phương pháp 4: Áp dụng tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp tuyến một dây cung, … Ngoài ta còn có thể sử dụng phương pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để chứng minh hai góc 1.2.3 Các bài toán về quỹ tích cung chứa góc �  900 , đó AB Bài toán 1: Quỹ tích điểm M cho AMB một đoạn cho trước đường tròn đường kính AB Bài toán 2: Quỹ tích điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho � trước một AMB có số đo không đổi  (0o <  < 180o) hai cung tròn đối xứng qua AB gọi cung chứa góc  dựng đoạn AB 1.2.4 Định lí thuận, đảo về “Tứ giác nội tiếp đường trịn” Định lí: Trong mợt tứ giác nợi tiếp, tổng sớ đo hai góc đới 1800 Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng góc đối 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn 1.2.5 Tính chất của tam giác đồng dạng Hai tam giác đồng dạng có góc tương ứng 1.2.6 Định nghĩa tứ giác nội tiếp Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đó 1.3 Cơ sở thực tiễn của đề tài Ở trường THCS dạy tốn dạy hoạt đợng tốn học cho học sinh, đó giải toán đặc trưng chủ yếu của hoạt đợng tốn học của học sinh Để rèn lun kỹ giải tốn cho học sinh ngồi viêc trang bị tốt kiến thức cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách tổng hợp, phân dạng, khai thác, mở rộng kết toán để học sinh suy nghĩ tìm tòi những kết mới sau toán Nhưng thật tiếc thực tế chúng ta chưa làm điều đó một cách thường xuyên Vì thời gian lớp học còn hạn chế nên viêc tổng hợp kiến thức một cách logic nhiều giáo viên chúng ta chưa làm mà chủ yếu dừng lại kiến thức trình bày theo mạch của sách giáo khoa Điều đó làm cho học sinh khó tìm mối liên giữa kiến thức học Cho nên bắt đầu giải một tốn mới học sinh khơng biết phải bắt đầu từ đâu? cần vận dụng kiến thức nào? toán có liên quan đến những toán gặp? Hình học không đơn thuần “Chỉ vẽ hình ra” Nó đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng - đức tính cần có của người làm tốn Trong q trình dạy tốn, tơi thấy viêc tổng hợp kiến thức một cách logic cho học sinh một phương pháp khoa học hiêu Viêc làm giúp cho HS không lúng túng trước một vấn đề cần giải đó nó củng cố cho học sinh lòng tin vào khả giải tốn của mình Chỉ thơi, chúng ta nhen nhóm lên em mợt tình u tốn học, một môn học coi khô khan Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy thân chúng thấy học sinh có lỗ hổng từ tiếp cận với tập chứng minh hình lớp Qua gần gũi tìm hiểu thì em cho biết: Các em rập khuôn, máy móc những vấn đề thầy cô nêu lớp, nhiều học một cách thụ động chưa biết cách tư để tạo cho mình một sáng tạo cách giải mợt tốn đó, chưa chú tâm viêc giải tập không có phương 10 Giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt có KB = KC Lại có OB = OC (bán kính), AB = AC (gt) nên A, O, K cùng thuộc trung trực của BC Mặt khác D�AO nên A, D, K thẳng hàng 1 � ) � = (sđ � � ); BHA � = (sđ � b) Ta có BKA AB - sđ BD AB - sđ CD 2 � � BKA � = sđ CD � = BHA � Do BD = CD nên sđ BD Suy K H cùng thuộc cung chứa góc dựng đoạn AB hay A, B, K, H cùng thuộc một đường tròn �  BAH � = 1800 ( tứ giác ABKH nội tiếp) (1) Ta có BKH � = � = CBK BAH � sđ BC (2) �  CBK � = 1800 � KH // BC Từ (1) (2) suy BKH Bài toán 3: Đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BC AD lần lượt tại điểm tương ứng K, M N Đường chéo AC cắt đoạn thẳng MN tại L Chứng minh điểm A, K, L N nằm một đường tròn Giải 33 A K N O B L D M C Ta có BA  BC ; BK  BM nên � � Suy KMN ALN BK BM  hay KM / / AC BA BC � � � Mà KMN AKN (  sd KN ) �� AKN  � ALN hay điểm A, K, L, N nằm một đường tròn Bài toán 4: Cho tam giác ABC có �A  600 , AB  c, AC  b (b  c) nội tiếp đường tròn (O) EF đường kính của (O) vuông góc với BC tại M Gọi I J lần lượt chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB AC Gọi H K lần lượt chân đường vuông góc hạ từ F xuống AB AC 1) Chứng minh tứ giác AIEJ CMJE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh điểm M, I, J thẳng hàng IJ  HK 3) Tính độ dài BC theo b c Giải 34 I E A J P O K B C M H F �  AJE �  900 (gt) � Tứ giác AIEJ nội tiếp (dhnb) 1) Vì AIE �  EMC �  900 (gt) � Tứ giác JECM nội tiếp (dhnb) Vì EJC �  BCE � ( Cùng bù với BAE � ) 2) Vì ABCE nội tiếp � IAE �  IJE � ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung IE) � Vì tứ giác AIEJ nội tiếp � IAE �  IJE � BCE �  IJE �  1800 � I; J; M thẳng hàng Mà tứ giác JECM nội tiếp � MJE CM tương tự ta có M; H; K thẳng hàng �  CEM � Mà CMJE nội tiếp � CJM �  CAF � ( Cùng chắn cung FC) � CJM �  CAF � � JM // Vì CEAF nội tiếp � CEF AF �  FC � � FAB �  FAC � Mặt khác: EF đường kính, EF  BC � FB � HAF=KAF(ch-gn) � AH = AK � AHK tam giác cân � AF  HK mà JM // AF � JM  HK c c c 3) Kẻ BP  AC, P �AC � BP  ABsin A  ; AP  ABcosA  � PC  b  2 Áp dụng định lí Pitago PBC vuông tại P ta có: 2 � c � 3c b    b  c  bc � BC  b  c  bc BC = PC + PB = � � � 2� 2 35 36 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHI Kết luận Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp dựa sở từ dấu hiêu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên không nhiều học sinh có thể vận dụng thành thạo để chứng minh toán Với dấu hiệu dấu hiệu 2, học sinh dễ dàng nắm bắt phương pháp chứng minh, song hạn chế của phương pháp sử dụng góc vuông làm tảng, gặp trường hợp không có góc vuông thì học sinh sẽ lúng túng, không chứng minh Với dấu hiệu dấu hiệu 4, khó áp dụng nhiều Tóm lại không có phương pháp hoàn hảo áp dụng dễ dàng cho toán, chúng ta cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp viêc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn hay điểm thuộc đường tròn Trong trình nghiên cứu, tổng hợp viết hoàn thiên đề tài thu kết khả quan Tự mình nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp, để từ đó định hướng phương pháp hướng dẫn học sinh tìm lời giải Giúp cho viêc giải toán hình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy Bổ xung thêm cho mình phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, điểm cùng thuộc một đường tròn, để không bị bế tắc với khó, thân tự tin hơn, tư thêm nhanh sáng tạo Đặc biêt giúp cho giáo viên thêm phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh hình học, giải toán hướng dẫn học sinh đọc tài liêu tham khảo với tốn liên quan đến tứ giác nợi tiếp Trong trình dạy học Hình học 9, áp dụng đề tài cho tất đối tượng học sinh Đặc biêt đối với học sinh lớp toán chứng minh đòi hỏi tư cao Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói chung rất “sợ” toán chứng minh, nhất chứng minh “tứ giác nội tiếp đường tròn” Tuy nhiên sau áp dụng đề tài, thân thấy nhiều học sinh có ý thức thi đua học tập, rất hào hứng phát biểu suy nghĩ, tìm tòi, phát hiên của mình cách giải khác tứ giác nội tiếp Và 37 thấy tinh thần học tập của em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu tốn học của em phát huy mợt cách tích cực, kết học tập mơn Tốn, nhất Hình học có nhiều tiến bộ Các em không những nắm vững kiến thức SGK, em còn có cố gắng viêc tìm hiểu giải toán nâng cao, toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển toán cho trước Kết cho thấy em có những tiến bộ rõ rêt kĩ khả phân tích đề bài, ý tưởng tìm hướng giải kĩ trình bày Qua đó kích thích sự say mê, tìm tòi sáng tạo của học sinh học hình học nói riêng mơn tốn nói chung Do đó kết học tập thái độ yêu thích bộ môn hình học của học sinh nâng lên rõ rêt Qua kiểm tra chương III Hình học 9, so với kiểm tra chương năm học 2019 – 2020 cho thấy có những chuyển biến rõ nét chất lượng Học sinh yếu, bộ môn tốn giảm rõ rêt Qua kiểm tra này, tơi thấy hầu hết em biết cách trình bày tốn chứng minh tứ giác nợi tiếp đường tròn Kết cho thấy người thầy với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp học sinh rèn kỹ vẽ hình, khả phân tích tìm lời giải nhìn nhận toán hình dưới nhiều khía cạnh khác thì học sinh có kỹ vẽ hình khả phân tích tìm lời giải cho toán hình học từ đó học sinh có phương pháp học tập bộ môn, không còn lúng túng viêc giải mợt tốn hình học dẫn đến học sinh có kết học tập có hứng thú học tập bộ môn Nhiều em khá, giỏi tìm cách giải hay, ngắn gọn phù hợp Tuy nhiên, bên cạnh những kết đạt thì có một số ít học sinh học yếu, lười học chưa có khả tự chứng minh tốn tứ giác nợi tiếp đường tròn Đới với em yếu, một viêc khó khăn Một phần khả học toán của em còn hạn chế Mặt khác, dạng toán khó, đòi hỏi phải tư nhiều, lập luận chặt chẽ 38 Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân tơi nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy tốn đánh giá cao tầm quan trọng của viêc tổng hợp kiến thức hình học viêc phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho người dạy người học Trong trình giảng dạy học tập toán, viêc tổng hợp kiến thức hình học rất quan trọng rất có ích Nó không giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của mợt dạng tốn mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biêt hố, tổng qt hố mợt tốn, từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức một cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú giúp học sinh yêu thích bợ mơn tốn Sau mợt thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực hiên với sự giúp đỡ của đờng nghiêp, tơi hồn thành đề tài “Rèn kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành” Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm cùng tất đồng nghiêp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ viêc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liêu tham khảo cho công tác giảng dạy toán học toán, từ đó nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Tuy cố gắng kinh nghiêm còn hạn chế nên nội dung của đề tài chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Tôi rất mong sự trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ sung của thầy giáo, cô giáo để đề tài hoàn thiên Kiến nghị Viêc viết sáng kiến kinh nghiêm hay đề tài trường học một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biêt xu thời đại rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực lĩnh vực công tác hiên Vì vậy, chúng mạnh dạn mong muốn nhà trường cấp có những chế độ khích lê động viên tập thể, cá nhân tham gia tạo điều 39 kiên để đưa những sáng kiến, đề tài hữu hiêu, tích cực, có hình thức phổ biến, trao đổi tới đông đảo giáo viên Nhân rộng những sáng kiến kinh nghiêm, đề tài thiết thực nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy giáo dục 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Toán Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9, NXB Giáo dục, 2005 Vũ Hữu Bình, Một số vấn đề phát triển hình học 9, NXB Giáo dục, 2002 Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Viêt - Vũ Dương Thuỵ, Toán nâng cao chuyên đề hình học 9, NXB Giáo dục, 2006 Văn Như Cương - Hoàng Ngọc Hưng - Đỗ Mạnh Hùng - Hồng Trọng Thái, Hình học sơ cấp Thực hành giải toán, NXB Đại học Sư phạm, 2005 Vũ Dương Thuỵ - Phạm Gia Đức - Hoàng Ngọc Hưng - Đặng Đình Lăng, Thực hành giải toán, NXB Giáo dục, 1998 41 PHỤ LỤC TỨ GIÁC NỘI TIẾP Định nghĩa Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đó Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp  O  Hình Tính chất Tứ giác ABCD nội tiếp, đó: �  BCD � � 1) Tổng hai góc đối 1800 : BAD ABC  � ADC  1800 2) Góc ngồi tại mợt đỉnh góc của đỉnh đối diên: �  BAD � DCx Hình Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn dạng tập có mặt thường xuyên đề kiểm tra học kì lớp thi tủn sinh 42 mơn tốn vào lớp 10 Do đó mà học sinh không nên bỏ qua dạng này, nghiên cứu thật kĩ phương pháp giải luyên tập thật nhiều Ứng với dấu hiêu nhận biết tứ giác nội tiếp, tác giả đưa một phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn Đây những phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp thường xuyên sử dụng 3.1 Dấu hiệu 1: Bốn đỉnh của tứ giác thuộc đường trịn tứ giác đó nội tiếp Chúng ta thấy cho trước một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kì điểm nằm đường tròn cách tâm O một khoảng R Dựa vào để ta có một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Cụ thể: Cho một điểm I cố định tứ giác ABCD Nếu chúng ta chứng minh điểm A, B, C, D cách điểm I, tức IA  IB  IC  ID thì điểm I chính tâm đường tròn qua điểm A, B, C, D Hay nói cách khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao BB / , CC / Chứng minh tứ giác BCB / C / nội tiếp Chứng minh: Ta có: BB /  AC  GT  � BB / C vuông tại B / � B / thuộc đường tròn đường kính BC (1) CC /  AB  GT  � BC / C vuông tại C / � C / thuộc đường tròn đường kính BC (2) 43 Từ (1) (2) suy B / , C / , B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC suy tứ giác BCB / C / nội tiếp tròn đường kính BC 3.2 Dấu hiệu 2: Tứ giác có bốn đỉnh cách một điểm xác định tứ giác nội tiếp �  1800 Cho tứ giác ABCD, chúng ta chứng minh � AC �D �  1800 thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn B �  900 thì tứ giác ABCD nội Đặc biêt: Cho tứ giác ABCD, � AC tiếp đường tròn đường kính BD, tâm O trung điểm của BD Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB / , CC / Chứng minh tứ giác BCB / C / nội tiếp Chứng minh: Lấy O trung điểm của cạnh BC � / C  900 (GT), B / O đường trung tuyến ứng với Xét BB / C có BB / cạnh huyền nên OB  OB  OC  1 � / C  900 (GT), C / O đường trung tuyến ứng với Xét BC / C có BC / cạnh huyền nên OC  OB  OC   Từ (1) (2) � OB  OC  OB /  OC / tứ giác BCB / C / nội tiếp  O, OB  44 Chú ý: Chúng ta có thể chứng minh tứ giác ABCD một những hình đặc biêt sau: hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp  O  , đường cao BB / , CC / a) Chứng minh tứ giác BCB / C / nội tiếp b) Tia AO cắt  O  D cắt B / C / I Chứng minh tứ giác BDIC / nội tiếp Chứng minh: a) Đã chứng minh Ví dụ � /  BC � / B /  1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) b) Từ phần a � BCB � /  BDA � mà BCB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) � / I  1800 �  BC � BDI  Tứ giác BDIC / nội tiếp đường tròn 3.3 Dấu hiệu 3: Tứ giác có tổng góc đối 1800 là tứ giác nội tiếp Ví dụ: Từ mợt điểm M ngồi (O), kẻ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp Giải: Do MA, MB hai � � MAO  900 , MBO  900 45 tiếp tuyến của (O) nên �  MBO �  900  900  1800 suy tứ giác MAOB nội tiếp � MAO 3.4 Dấu hiệu 4: Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp Chẳng hạn, cho tứ giác ABCD chúng ta chứng minh góc tại đỉnh B mà góc tại đỉnh D thì ABCD nội tiếp đường tròn Ví dụ: Cho tứ giác ABCD nợi tiếp  O  , M điểm chính giữa của cung AB MD, MC cắt AB lần lượt E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn Chứng minh: Trong  O  : �  ( sđ � + sđ � ) (góc có đỉnh nằm bên đườn tròn) MEB MB AD 1 � � DCM  sđ � � DCM  (góc nội tiếp) ( sđ � + sđ � DM MA AD ) 2 46 Lại có: �  MB � (M điểm chính giữa của cung AB) AM nên �  DCM � �  DCP � � MEB � MEB Vậy tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn 3.5 Dấu hiệu 5: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc tứ giác nội tiếp �  CBD � Cho tứ giác ABCD, chúng ta chứng minh CAD thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn �  900 thì tứ giác ABCD nội Đặc biêt: Cho tứ giác ABCD, � A B tiếp đường tròn đường kính CD, tâm O trung điểm của CD Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB / , CC / Chứng minh tứ giác BCB / C / nội tiếp Chứng minh: Ta có: � / C  900 BB /  AC  GT  � BB � / C  900 CC /  AB  GT  � BC � B / , C / cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc suy tứ giác BCB / C / nội tiếp 47 ... ? ?Rèn kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành? ?? với mong muốn góp phần nâng cao hiêu quả, chất lượng dạy học môn hình học. .. của đờng nghiêp, tơi hồn thành đề tài ? ?Rèn kĩ chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành? ?? Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm cùng... lực cho cho học sinh, báo liên quan đến chứng minh tứ giác nội tiếp của học sinh, mạng internet - Tìm hiểu thực trạng kĩ chứng minh hình học của học sinh lớp trường Phổ thông thực hành