3) CAC PP GIAI TOAN o TIEU HOC

PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGƢỢC TỪ CUỐI Có số toán cho biết kết sau thực liên tiếp số phép tính số phải tìm Khi giải toán dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đơi cịn gọi phương pháp suy ngược từ cuối) Khi giải toán phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực liên tiếp phép tính ngược với phép tính cho đề Kết tìm bước trước thành phần biết phép tính liền sau Sau thực hết dãy phép tính ngược với phép tính cho đề bài, ta nhận kết cần tìm Những tốn giải phương pháp tính ngược từ cuối thường giải phương pháp đại số phương pháp ứng dụng đồ thị (xem số tiếp theo) Ví dụ 1: Tìm số, biết tăng số gấp đơi, sau cộng với 16 bớt cuối chia cho ta kết 12 Phân tích: Trong ta thực liên tiếp dãy số cần tìm dãy phép tính đây: x 2, + 16, - 4, : cho kết cuối 12 - Ta xác định số trước chia cho kết 12 (Tìm số bị chia biết số chia thương số) - Dựa vào kết tìm bước 1, ta tìm số trước bớt (Tìm số bị trừ biết số trừ hiệu số) - Dựa vào kết tìm bước 2, ta tìm số trước cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết biết số hạng tổng số) - Dựa vào kết tìm bước 3, ta tìm số trước nhân với 2, số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết biết tích thừa số kia) Từ phân tích ta đến lời giải sau: Số trước chia cho là: 12 x = 36 Số trước bớt là: 36 + = 40 Số trước cộng với 16 là: 40 - 16 = 24 Số cần tìm là: 24 : = 12 Trả lời: Số cần tìm 12 Ví dụ 2: Tìm ba số, biết sau chuyển 14 đơn vị từ số thứ sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba chuyển đơn vị từ số thứ ba sang số thứ ta ba số 45 Phân tích: Ta minh họa thao tác đề sơ đồ sau: Ta có: Số thứ nhất: - 14; + cho kết 45 Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết 45 Số thứ ba: + 28; - cho kết 45 Từ phân tích ta đến lời giải toán sau: Số thứ là: 45 - + 14 = 52 Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49 Số thứ ba là: 45 + - 28 = 24 Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 24 Lời giải tốn thể bảng sau: Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 24 Các bạn thử giải tốn sau phương pháp tính ngược từ cuối: Bài 1: Tìm số, biết giảm số lần, sau cộng với 5, nhân với cuối chia cho kết Bài 2: Tổng số ba số 96 Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ đơn vị sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối chuyển từ số thứ ba sang số thứ đơn vị số thứ gấp đôi số thứ hai 2/5 số thứ ba Tìm ba số Trần Diên Hiển (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội) THẾ NÀO LÀ GIẢ THIẾT TẠM Trong toán Tiểu học, có dạng tốn đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay việc) có đặc điểm biểu thị hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai cơng cụ lao động có suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác Ta thử đặt trường hợp cụ thể khơng xảy ra, khơng phù hợp với điều kiện tốn, khả khơng có thật , chí tình vơ lí Tất nhiên giả thiết tạm thời để lập luận nhằm đưa tốn tình quen thuộc biết cách giải lập luận để suy phải tìm Chính mà phương pháp giải tốn phải địi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt Những toán giải phương pháp giả thiết tạm giải phương pháp khác Tuy nhiên, nhiều trường hợp, cách giải giả thiết tạm thường gọn gàng mang tính "độc đáo" Ví dụ : Trước hết, ta xét toán cổ quen thuộc sau đây: Vưa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi gà, chó? Cách 1: (Cách giải quen thuộc) Rõ ràng 36 gà (vì có x 36 = 72 chân!), khơng thể chó (vì có x 36 = 144 chân!) Bây ta giả sử 36 chó (đây giả thiết tạm), số chân là: x 36 = 144 (chân) Số chân dôi là: 144 - 100 = 44 (chân) Sở dĩ số chân chó số chân gà là: - = (chân) Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con) Số chó là: 36 - 22 = 14 (con) Cách 2: Ta thử tìm giả thiết tạm khác Giả thiết, vật "mọc" thêm đầu ! đó, có hai đầu tổng số đầu là: x 36 = 72 (đầu) Lúc này, gà coá hai đầu hai chân , Mỗi chó có hai đầu bốn chân Vởy số chân nhiều số đầu là: 100 - 72 = 28 (cái) Đối với gà số chân số đầu, cịn chó có số chân nhiều số đầu là: - = (cái) Suy số chó là: 28:2 = 14 (chó) Số gà là: 36 - 14 = 22 (gà) Cách 2: Bây ta giả thiết tường họp thật vơ lí nhé! Ta giả thiết vật bị "chặt đi" nửa số chân Như vậy, chó cịn có hai chân gà chân tổng số chân nửa, tức là: 100 : = 50 (chân Bây giờ, ta lại giả thiết chó phải "co" chân lên để vật có chân, 36 vật có 36 chân Như vậy, số chân chó phải "co" lên là: 50 - 36 = 14 (chân) Vì chó có chân "co" nên suy có 14 chó Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 9con) Cách 4: Gợi ý : Giả sử gà "mọc thêm" chân, 36 có chân tổng số chân là: x 36 = 144 (chân) Mời bạn tiếp tục đọc lập luận, đồng thời xét xem điều giả thiết tạm thời dựa vào cách giải biết) Cách 5: Gợi ý : Giả sử chó "bị chặt đi" chân, 36 có chân tổng số chân là: x 36 = 72 (chân) (Mời bạn đọc tiếp tục lập luận, sau xét xem giả thiết tạm thời dựa vào cách giải quen thuộc nhé.) Sau số vận dụng: Bài tập 1: Rạp Kim Đồng buổi chiếu phim bán 500 vé gồm hai loại 2000đ 3000đ Số tiền thu 1120000đ Hỏi số vé bán laọi bao nhiêu? (Trả lời: 380 vé 120 vé) tập 2:(bài toán cổ) Quýt ngon chia ba Cam ngon chia làm mười Mỗi người miếng, trăm người Có mười bẩy quả, chia cịn đâu! Hỏi có cam, quýt? (Trả lời: cam, 10 quýt!) Vũ Dương Thuỵ RÚT GỌN PHÂN SỐ Rút gọn phân số cho tìm phân số mà tử số mẫu số nhỏ tủ số mẫu số phân số cho Thông thường, rút gọn phân số phải phân số tối giản Cách rút gọn phân số : Cùng chia tử số mẫu số cho số tự nhiên lớn Điều quan trọng phải tìm số tự nhiên để thực việc rút gọn phân số Việc thực lần vài lần tìm phân số tối giản số ví dụ minh hoạ cách tìm "số để rút gọn được" Dựa dấu hiệu chia hết Ví dụ Rút gọn phân số :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng chia 5) Chia dần bước gộp bước (theo quy tắc chia số cho tích) Ví dụ Rút gọn phân số 132 / 204 132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 vật 132 / 204 = 11/17 Vì x x = 12 nên 132:12 / 204:12 = 11/17 Dùng cách thử chọn theo bước Ví dụ Rút gọn phân số 26/65 Bước 1: 26:2 = 13 Bước 2: 65:13 = Bước 3: Cùng chia 13 26:13 / 65:13 = 2/5 Phân số có dạng đặc biệt Ví dụ Rút gọn phân số 1133 / 1442 Bước 1: 1133 : 11 = 103 Bước 2: 1442 :14 = 103 Bước 3: Cùng chia 103 1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14 Vạn dụng hiểu biét mình, em tự giải tập sau: Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313 Đỗ Trung Hiệu BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI Các bạn vừa giải tốn “Ơtơna làm nào?” Đây toán tương tự toán dân gian: “Một người nông dân nuôi 17 trâu Trước qua đời, ông di chúc lại cho ba người con: - Con 1/2 đàn trâu - Con thứ chia 1/3 đàn trâu - Con út chia 1/9 đàn trâu Ba người loay hoay làm để chia gia tài mà khơng phải xẻ thịt trâu Em tìm cách giúp họ” Có thể giải tốn sau: Em đem trâu (nếu khơng có trâu thật dùng trâu gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 trâu thành đàn 18 trâu Sau đó: - Chia cho người 1/2 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) - Chia cho người út 1/9 đàn, tức là: 18 : = (con trâu) Vậy ba người vừa đúng: + + = 17 (con trâu) Còn em lại mang trâu Cách giải lạ dễ hiểu: Vì 17 không chia hết cho 2, cho cho 9; có thêm trâu 18 liền chia hết cho 2, Nhờ mà chia Song độc đáo cách giải lại chỗ khác Nếu ta để ý thấy trâu > 17/2 trâu (vì18/2>17/2 ) trâu > 17/3 trâu (vì 18/3>17/3 ) trâu > 17/9 trâu (vì 18/9>17/9 ) Do cách chia người hưởng lợi mà em lại không thêm trâu (con trâu đem đến lại dắt về) Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm tổng ba phân số biểu thị phần chia theo di chúc chưa (tức chưa đàn trâu), vì: (1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu) Như vậy, thật người cha di chúc chia cho có 17/18 đàn trâu mà thơi, cịn thiếu 1/18 đủ 18/18, tức đàn trâu Thế nhờ em đem thêm trâu tới nên chia cho ba người đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con) Do ba người chia nhiều phần nêu di chúc em lại không tốn thêm trâu nào! Thật tốn độc đáo! Phạm Đình Thực (TP Hồ Chí Minh) MỘT DẠNG TỐN DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT Trong tháng em lớp học dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Các em làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu (*) thỏa mãn điều kiện chia hết cho số Chẳng hạn : Bài toán1 : (bài trang16 SGK toán 5) Viết chữ số thích hợp vào dấu (*) để số chia hết cho : a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891 toán ta cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số điền vào dấu * Khi học hết dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, em giải toán phối hợp điều kiện chia hết để điền chữ số thích hợp : Bài tốn : Thay a, b số 2003ab chữ số thích hợp để số đồng thời chia hết cho 2, Phân tích : Tìm chữ số trước, muốn tìm chữ số dựa vào dấu hiệu ? b chữ số tận nên tìm b dựa vào dấu hiệu chia hết cho Vậy tìm a dựa vào dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho số có tận Từ ta có cách giải sau Giải : Số 2003ab đồng thời chia hết cho nên b = Thay b = vào số 2003ab ta 200a0 Số chia hết tổng chữ số chia hết cho Vậy (2 +0 +0 +3 +0) chia hết cho hay (5 +a) chia hết cho Vì chia cho dư nên a Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức : - A - r chia hết cho B (1) - A + (B - r) chia hết cho B (2) Từ bạn giải toán : Bài toán : Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để A chia cho ; dư Nhận xét : A chia cho ; dư nên A - đồng thời chia hết cho ; Vậy ta giải tốn dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải Giải : Vì A chia cho ; dư nên A - chia hết cho ; Vậy chữ số tận A - phải 0, suy y = Vì A - chia hết x + + + + chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia hết x chia hết cho 9, x chữ số hàng cao nên x khác Từ x Thay x = ; y = vào A ta số 94591 toán A chia cho số có số dư Bây ta xét : Bài tốn : Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư Tuy số dư khác : - = ; - = ; - = ; - = Như ta sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải toán Giải : Gọi số cần tìm A Vì A chia cho dư A chia cho dư nên A + đồng thời chia hết cho Vậy chữ số tận A + Hiển nhiên A +1 khơng thể có chữ số Nếu A + có chữ số có dạng x0 Vì x0 chia hết x ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số có 60 chia hết cho Vậy A +1 = 60 A = 60 - A = 59 Do số cần tìm 59 Bài viết đề cập tới phương pháp để vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho số Giải toán xác định chữ số chưa biết số bạn tìm thêm phương pháp khác luyện tập qua tập sau : Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia cho ; ; ; dư Bài : Cho số a765b ; tìm a ; b để thay vào số cho ta số có chữ số chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư Bài : Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 567 để số lẻ có chữ số khác nhau, chia số cho dư Bài : Tìm số có chữ số chia hết cho ; 5, biết đổi chõ chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn số khơng thay đổi Chúc bạn thành công! Phƣơng Hoa (Ngõ 201, Cầu giấy, Hà Nôi QUY ĐỒNG TỬ SỐ CÁC PHÂN SỐ Trong sách giáo khoa khơng có học "quy dồng tử số phân số" Thực việc quy đồng tử số phân số đưa việc quy đồng mẫu số phân số "đảo ngược" (đúng số nghịch đảo phân số cho) Tuy nhiên, nhiều trường hợp việc làm dễ gây phiền phức, dễ bị nhầm lẫn Một số toán giải nhiều cách, dùng cách quy đồng mẫu số phân số Tuy nhiên nói cach quy đồng tử số phân số + Ví dụ Ba khối lớp có 792 học sinh tham gia đồng diễn thể dục Tìm số học sinh khối lớp, biết 2/3 số học sinh khối ba 1/2 số học sinh khối bốn 40% số học sinh khối năm Quy đồng tử số phân số 2/3; 1/2; 40/100 Ta có: 1/2 = 2/4; 40/100 = 2/5 2/3 số học sinh khối ba 2/4 số học sinh khối bốn 2/5 số học sinh khối năm Nhờ mẫu số mà vẽ sơ đồ minh hoạ Dựa sơ đồ dễ dàng tìm số học sinh khối (khối ba có 198 HS; khối bốn có 264 HS; khối năm có 330 HS) Cần lưu ý phân số 2/3; 2/4; 2/5 giảm lần để đưa 1/3 số HS khối ba 1/4 số HS khối bốn 1/5 số HS khối năm (trở thành tốn bản) + Ví dụ Tìm hai số, biết 3/4 số thứ 6/11 số thứ hai; số thứ hai lớn số thứ 1935 dơn vị Quy đồng tử số phân số 3/4 6/11 Ta có 3/4 = 6/8 Như 6/8 số thứ 6/11 số thứ hai; hay 1/8 số thứ 1/11 số thứ hai Dựa sơ đồ tìm số (số thứ 5160; số thứ hai 7095) Từ ví dụ cho thấy việc quy đồng tử số làm việc xác định tỉ số hai số dễ dàng, thuận tiện PGS.TS Đỗ Trung Hiệu SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG VỚI CÁC PHẦN BẰNG NHAU Trong dạng toán : "Tìm hai số biết tổng tỉ số" phương pháp giải sơ đồ đoạn thẳng phương pháp phù hợp với tư cịn mang tính trực quan học sinh tiểu học Khi vẽ sơ đồ, số biểu thị số phần để thể tỉ số, chẳng hạn : Bài tốn : Hai số có tổng 360, biết 1/4 số thứ 1/6 số thứ hai Tìm hai số Phân tích : Bài tốn cho biết phần tư số thứ phần sáu số thứ hai, số thứ chia làm phần nhau, số thứ hai phần Giải : Ta có sơ đồ sau : Số thứ : 360 : (4 + 6) x = 144 Số thứ hai : 360 - 144 = 216 Đáp số : Số thứ : 144 ; Số thứ hai : 216 Nhận xét : Bài toán 1, phân số 1/4 1/6 hai phân số có tử số Nếu ta thay hai phân số hai phân số có tử số nhau, chẳng hạn 3/4 3/6 đưa bàI toán Vậy tử số hai phân số khác ta cần quy đồng tử số Bài tốn : Hai số có tổng 230 Biết 3/4 số thứ 2/5 số thứ hai Tìm hai số Phân tích : Bài tốn khơng vẽ sơ đồ tốn khơng tử số Vậy để đưa toán dạng toán ta phải chuyển 3/4 2/5 hai phân số tử số (quy đồng tử số) Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15 Vậy 3/4 số thứ 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ 6/15 số thứ hai Do 1/8 số thứ 1/15 số thứ hai Đến tốn hồn tồn tương tự toán Giải : 3/4 số thứ 2/5 số thứ hai hay 6/8 số thứ 6/15 số thứ hai Do 1/8 số thứ 1/15 số thứ hai nên số thứ chia làm phần số thứ hai gồm 15 phần Ta có sơ đồ : Số bạn nam đội tuyển : 18 : (4 + 5) x = 10 (bạn) Số bạn nữ đội tuyển : 16 - 10 = (bạn) Ví dụ : Một trường Tiểu học có số học sinh nam nhiều số học sinh nữ 40 học sinh Trong 3/4 số bạn nam 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến Tính số học sinh nam số học sinh nữ trường Biết số học sinh tiên tiến trường 530 bạn Phân tích : Khi vừa đọc tốn nhiều học sinh nghĩ loại tốn tìm hai số biết tổng hiệu Tuy nhiên đầu không cho biết tổng số học sinh trường mà cho biết tổng số học sinh tiên tiến trường bao gồm 3/4 số bạn nam 1/2 số bạn nữ Vì số học sinh nam nhiều số học sinh nữ 40 học sinh nên 3/4 số bạn nam nhiều 3/4 số học sinh nữ 30 học sinh Từ ta đưa tốn dạng tìm hai số biết tổng tỉ Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ toàn trường phần 3/4 số học sinh nữ phần, 3/4 số bạn nam (số học sinh nam đạt học sinh tiên tiến) phần cộng thêm đoạn biểu thị 30 học sinh số học sinh nữ đạt học sinh tiên tiến phần, ta có sơ đồ sau : Số học sinh nữ đạt danh hiệu tiên tiến : (530 - 30) : (2 + 3) x = 200 (học sinh) Số học sinh nữ trường : 200 x = 400 (học sinh) Số học sinh nam trường : 400 + 40 = 440 (học sinh) Trên ví dụ Các bạn thử tìm hướng giải số tốn sau : Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 120 m, chiều dài hai lần chiều rộng 15 m Tính diện tích hình chữ nhật Bài : Hai tổ trồng tất 40 cây, số tổ lần số tổ 20 Tính số tổ Bài : Lớp 4A có 40 học sinh, 1/2 số bạn nữ số bạn nam 13 bạn Tính số bạn nam, số bạn nữ lớp 4A Hi vọng bạn tìm thêm nhiều toán khác hay với cách giải độc phù hợp Chúc bạn thành công ! ĐIỀU BẤT NGỜ NHO NHỎ Là giáo viên Tiểu học biết thêm nhiều cách giải từ em Có cách giải thơng minh, dễ hiểu dễ nhớ Tơi cịn nhớ dạy “Diện tích hình trịn”, sau vẽ hình trịn lên bảng xây dựng cơng thức tính : S = r x r x 3,14 (S diện tích, r bán kính), tơi cho em vận dụng cơng thức để làm tập sách giáo khoa Hơm sau kiểm tra cũ, nêu câu hỏi : “Em vẽ hình trịn nêu cơng thức tính chu vi, diện tích hình trịn ?” Tơi mời em Mai lên bảng trình bày Mai vẽ hình trịn viết : C = r x x 3,14 = d x 3,14 ; S = d/2 x d/2 x 3,14 Công thức mà em Mai viết không giống công thức mà dạy hôm trước Em viết cơng thức tính chu vi diện tích hình trịn qua đường kính d Khi tơi nghĩ hai cách viết mà Tiết luyện tốn hơm sau tơi đưa tập : Cho hình vng ABCD, có BD = 12 cm hình trịn hình vẽ Tính diện tích hình trịn Khơng đợi hết 10 phút, em Mai xung phong lên bảng làm nhanh AC = BD = 12 cm, OB = BD/2 = cm Diện tích hình vng ABCD lần diện tích tam giác ABC, nên diện tích hình vng : x (12 x 6) : = 72 (cm2) Độ dài cạnh AB độ dài đường kính hình trịn nên d x d = AB x BC = 72 cm2 Do : S = (d x d) : x 3,14 = 72 : x 3,14 = 56,52 (cm2) Tôi khen em Mai biết vận dụng cơng thức : S = (d x d) : x 3,14 để tính diện tích hình trịn qua diện tích hình vng mà khơng cần phải tính bán kính hình trịn Tơi đưa tiếp tập số khó : Cho hình vng ABCD có diện tích 128cm2 Lấy điểm M, N, P, Q điểm cạnh hình vng làm tâm vẽ hình trịn có bán kính nửa cạnh hình vng MNPQ Tìm diện tích phần tơ màu Hầu hết em tính diện tích hình vng MNPQ 1/2 diện tích hình vng ABCD nên diện tích hình vng MNPQ : 128 : = 64 (cm2) Tổng diện tích hình ; ; diện tích hình trịn có bán kính nửa cạnh hình vng MNPQ Diện tích hình vng MNPQ 64 cm2 nên cạnh hình vng cm Tổng diện tích hình 1, 2, : (8 : 2) x (8 : 2) x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tơ màu : 64 - 50,24 = 13,76 (cm2) Tôi gợi ý : Các em thử giải cách khác cách áp dụng cơng thức tính diện tích hình trịn Mai Từ em có lời giải : Diện tích hình tròn : 64 : x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tơ màu : 64 - 50,24 = 13,76 (cm2) Thêm lần nữa, công thức tính diện tích : S = (d x d) : x 3,14 em áp dụng nhanh hiệu Tơi phấn khởi em biết dạng khác cơng thức tính diện tích hình trịn vận dụng cách hợp lí giải tốn diện tích hình trịn Phát em chưa lớn điều bất ngờ mà em mang đến cho dù nho nhỏ, cách học dám sáng tạo đáng quý Trƣơng Thanh Hƣơng (Giáo viên trường TH Liên Ninh, Thanh Trì, Hà Nội) ĐIỀU BẤT NGỜ KHÔNG NHỎ Xin viết vài dịng viết giáo Trương Thanh Hương bất ngờ không nhỏ Vừa qua, dự Hội thi giáo viên giỏi bậc Tiểu học cấp Quốc gia Đó tiết 118 mơn Tốn lớp Bài học “Một phần tư” Sau nhiều biện pháp dạy học thú vị, cô giáo mang đến cho học sinh lớp khái niệm “một phần tư” Khi củng cố học, cô giáo viết phân số 1/4 lên bảng yêu cầu em học sinh đọc Khoảng vài em đọc : “Một phần bốn” “bị” cô nhận xét : “Các em đọc chƣa xác !” Tơi thầm nghĩ : Nếu giáo gọi khơng khéo đọc chưa xác em mà thơi May mà có em cuối đọc trúng ý (và trúng nguyên văn sách giáo khoa !) - Thưa ! Một phần tư ! Em tất nhiên cô khen Nếu bất ngờ em Mai nho nhỏ bất ngờ “pha” dạy thật không nhỏ L.T.N KHAI THÁC MỘT BÀI TỐN Dạng tốn có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác dạng tốn khó em học sinh lớp Để giúp em có thêm kiến thức có khả vận dụng gặp dạng tốn này, tơi xin trao đổi hướng khai thác toán Bài toán : Cho tam giác ABC, BC lấy M cho BM = MC, N điểm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt BA P Hãy chứng tỏ AP = AB Lời giải : Nối BN, CP, kí hiệu S diện tích tam giác, ta có : SPBM = SMPC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ P) SBNM = SMNC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ N) Do SPBM - SBNM = SMPC - SMNC hay SPBN = SPNC (1) SPNC = SAPN x (2) (vì có đáy NC = x NA chung chiều cao hạ từ P) Từ (1) (2) ta có SAPN x = SPBN hay SAPN = SABN Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N nên đáy chúng tức AP = PB Thay đổi vị trí M ; N ta có tốn sau : Bài tốn : Cho tam giác ABC có AB = cm ; M điểm BC cho BM = x MC ; N điểm AC cho AN = x NC ; MN cắt BA kéo dài P a) Tính AP b) So sánh PN với NM Lời giải : Nối PC ; BN a) Tương tự ta chứng minh SPBN = x SPNC Nếu coi SPNC = a SPBN = x a Do SAPN = x SNPC nên SAPN = x a, suy SANB = a hay SAPN = x SANB, mà hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N, nên AP = AB x hay AP = x = (cm) b) Theo phần (a) ta có : SPBN = x a, SABN = a ; SABN = x SNBC (vì có AN = x NC chung chiều cao hạ từ B), SNBC = a/2 (1) SNBM = 3/4SNBC (vì MB = x MC nên MB = 3/4 BC ; chung chiều cao hạ từ N) (2) Từ (1) (2) ta có : SNBM = a/2 x 3/4 = (3x2)/8 Hai tam giác PBN NBM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống PM, có tỉ số diện tích : (3 x a) :(3 x a)/8 = 8, nên tỉ số độ dài hai đáy hay PN = x NM Thay đổi vị trí M, N ta có tốn sau : Bài tốn : Cho tam giác ABC, M điểm BC cho MC = x MB ; N điểm AC cho AN = x NC ; NM cắt AB kéo dài P a) So sánh SAPM với S,sub>MPC b) So sánh AB với PB Lời giải : Nối AM ; PC a) Tương tự ta chứng minh : SAPM = x SMPC b) Tương tự ta chứng minh AB = x PB Tiếp tục thay đổi vị trí M, N, P để có tốn sau : Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB lấy M cho AM = 1/2 MB; cạnh AC lấy điểm N cho AN = 1/3 NC ; BN cắt CM P a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB Hƣớng dẫn giải : Nối A với P ta có : SBCM = x SMCA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ C) SBPM = x SMPA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SCPA (1) Tương tự ta có : SCBN = x SNBA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ B) ; SCPN = x SNPA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SAPB (2) Từ (1) (2) ta thấy : coi SPBC phần nhau, S,sub>APB phần, SNPA phần Khi SABC : + + = 11 (phần) Vậy SBPC : SABC = 6/11 Tương tự tính PN : PB = 3/8 Bây bạn thử sức tốn sau : Bài : Cho tam giác ABC ; N điểm AC cho AN = x NC ; M điểm BC cho BM = 1/2 MC Nối MN cắt BA kéo dài P, biết AB = cm Tính PB Bài : Cho tam giác ABC ; M điểm AB cho BM = x MA ; N điểm AC cho AN = 1/2 NC ; NB cắt MC O a) So sánh diện tích tam giác AOB với AOC b) Tính tỉ số độ dài hai đoạn thẳng OM OC Trần Xuân Dần (Phòng GD - ĐT huyện Thanh Miện, Hải Dương) PHƢƠNG PHÁP "GÁN ĐƠN VỊ - CHỈNH ĐÚNG" Trong Toán Tuổi thơ số (12/2000) giới thiệu phương pháp "Gán cho số phải tìm giá trị sai tìm cách chỉnh lại cho đúng" (gọi tắt "gán sai - chỉnh đúng") Trong giá trị gán số (tức đơn vị) ta có phương pháp "gán đơn vị - chỉnh đúng" Sau vài ví dụ : Ví dụ 1.Tuổi ông tuổi cháu 66 năm Biết tuổi ơng năm tuổi cháu nhiêu tháng tính tuổi ơng tuổi cháu (tương tự Tính tuổi - thi Giải tốn qua thư TTT số 1) Giải Giả sử cháu tuổi (tức 12 tháng) ơng 12 tuổi Lúc ông cháu : 12 - = 11 (tuổi) Nhưng thực ông cháu 66 tuổi, tức gấp lần 11 tuổi (66 : 11 = 6) Do thực tuổi ơng : 12 x = 72 (tuổi) Còn tuổi cháu : x = (tuổi) thử lại tuổi = 72 tháng ; 72 - = 66 (tuổi) Đáp số :Ơng : 72 tuổi Cháu : tuổi *Ví dụ 2: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, lớp có học sinh ?" Thầy cười trả lưịi :" Nếu có thêm số trẻ em số có thêm nửa số đó, lại thêm 1/4 số đó, thêm quý vị (một lần nữa) vừa trịn 100" Hỏi lơp có học sinh ? Giải: Theo đầu tổng tất số HS tất số HS 1/2 số HS 1/4 số HS lớp : 100 - = 99 (em) Để tìm số HS lớp ta tìm trước 1/4 số HS lớp Giả sử 1/4 số HS lớp em lớp có HS Vậy : 1/4 số HS lứop : : = (em) Suy tổng nói : + + + = 11 9em) Nhưng thực tế tổng phải 99 em, gấp lần 11 em (99 : 11 = 9) Suy số HS lớp : x = 36 (em) Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + = 100 Đáp số: 36 học sinh Phạm Đình Thực TP.Hồ Chí Minh PHƢƠNG PHÁP "GÁN SAI - CHỈNH ĐÚNG" Đây cách giải cổ xưa Trong đó, muốn tìm số chưa biết người ta sứ "gán đại" cho số giá trị cụ thể dựa vào giá trị mà tính tốn theo diều kiện nêu đề tốn Vì "gán đại" giá trị chẳng gán vào đáp số nên thể kết tính tốncũng khơng thể "ăn khớp" với kiện đề toán mà phải có sai khác Sau ta tìm cách để điều chỉnh lại giá trị "gán lại" cho số phải tìm để loại trừ sai khkác nói Giá trị điều chỉnh đáp số toán Sau số ví dụ: Ví dụ 1: Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất 222 cầu thủ thi đấu hai mơn: Bóng đá bóng chuyền Mỗi đội bóng đá có 11 người Mỗi đội bóng chuyền có người Biết có thảy 27 đội bóng, tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền Giải Giả sử có đội bóng đá, số đội bóng chuyền là: 27 - = 20 (đội bóng chuyền) Lúc tổng số cầu thủ là: x 11 + 20 x = 197 (người) Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội không đổi Ta thấy thay dội bóng chuyền đội bóng đá tổng số đội khơng thay đổi tổng số người tăng thêm: 11 - = (người) Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 số dội bống chuyền phải thay đọi bóng đá là: 25 : = (đội) Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - = 15 (đội) Còn số đội bống đá là: + = 12 (đội) Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền Ví dụ 2: Số gà nhiều số thỏ 28 số chân gà nhiều số chân thỏ 40 chân Hỏi có gà, thỏ? Giải Giả sử có 10 thỏ, có : 10 + 28 = 38 (con) Số chân gà : 38 x = 76 (chân) Số chân thỏ : 10 x = 40 (chân) Hiệu số chân gà thỏ : 76 - 40 = 36 (chân) Vì thực tế số chân gà số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu : 40 - 36 = (chân) Ta thấy bớt thỏ gà hiệu số gà thỏ khơng thay đổi song hiệu số chân gà thỏ tăng thêm: - = (chân) Để hiệu số chân tăng thêm số thỏ gà phải bớt : : = (con) Vậy số thỏ là: 10 - = (con thỏ) Số gà : 38 - = 36 (con gà) Đáp số : 36 gà thỏ TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ THUẬN Chương trình Tốn lớp giới thiệu hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng mà đại lượng tăng (hoặc giảm) lần đại lượng tăng (hoặc giảm) nhiêu lần Những cặp đại lượng tỉ lệ thuận thường gặp là: thời gian quãng đường (trong chuyển động đều), số lượng loại hàng số tiền hàng, độ dài cạnh hình vng chu vi hình vng, số người làm sản phẩm làm (khi suất người nhau), số sản phẩm lượng nguyên vật liệu để sản xuất sản phẩm, Nếu biết cặp giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ thuận giá trị đại lượng ta tìm giá trị tương ứng đại lượng (bài tốn tìm giá trị thường gọi tốn tam suất đơn thuận) Chúng ta có cách giải tốn dạng này, phương pháp rút đơn vị phương pháp tìm tỉ số Ví dụ : May ba quần áo hết 15 mét vải Hỏi may quần áo hết mét vải ? Tóm tắt : quần áo hết 15 m vải quần áo hết ? m vải Lời giải : * Cách rút đơn vị May quần áo hết : 15 : = (m) May quần áo hết : x = 45 (m) * Cách dùng tỉ số quần áo gấp quần áo số lần : : = (lần) Số mét vải may quần áo : 15 x = 45 (m) Những toán hai đại lượng làm sở để ta giải toán xuất ba đại lượng mà hai đại lượng tỉ lệ thuận Ví dụ : Nếu người, người làm việc nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau) Phân tích : Ta tóm tắt tốn sau : người làm nhận 150000 đồng 15 người làm nhận ? đồng Để giải toán có ba đại lượng, ta phải cố định đại lượng (làm cho đại lượng nhau) để tìm giá trị chưa biết hai đại lượng Việc giải ví dụ đưa giải liên tiếp hai toán sau : Bài toán 1a : Nếu người, người làm việc nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau) Lời giải : 15 người so với người gấp : 15 : = (lần) 15 người, người làm việc nhận số tiền : 150000 x = 450000 (đồng) Bài toán 2a : Nếu 15 người, người làm việc nhận 450 000 đồng Hỏi : Nếu 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau) Lời giải : so với gấp : : = (lần) 15 người người làm việc nhận số tiền : 450000 : = 225000 (đồng) Đáp số tốn đáp số ví dụ Chú ý : Có đường khác để giải ví dụ đưa việc giải liên tiếp hai toán sau : Bài toán 1b : Nếu người, người làm việc nhận 150000 đồng Hỏi : Nếu người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau) Lời giải : người người làm việc nhận số tiền : 150000 : = 25000 (đồng) người người làm việc nhận số tiền : 25000 x = 75000 (đồng) Bài toán 2b : Nếu người, người làm việc nhận 75000 đồng Hỏi : Nếu có 15 người, người làm việc nhận tiền ? (Giá trị công người nhau) Lời giải : Mỗi người làm việc nhận số tiền : 75000 : = 15000 (đồng) 15 người người làm việc nhận số tiền : 15000 x 15 = 225000 (đồng) Như toán phức tạp hơn, có nhiều đại lượng giải nhờ đưa tốn có hai đại lượng Bây bạn giải toán sau : Bài : Người ta tính xe loại chở hàng, xe 50 km tổng chi phí vận chuyển hết 1200000 đồng Hỏi xe thế, xe 100 km tổng chi phí vận chuyển ? Bài : Có người ăn ngày hết 24 ki-lô-gam gạo Hỏi người ăn 10 ngày hết ki-lơ-gam gạo ? Biết phần ăn người Các bạn trao đổi tiếp xung quanh toán đại lượng tỉ lệ nghịch Mong nhận nhiều ý kiến bạn Đỗ Văn Thản (Số nhà 129, đường 6, phố Khánh Thành, phường Tân Thành, thị xã Ninh Bình, Ninh Bình) MỘT CON ĐƢỜNG SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN Mỗi năm em học sinh trải qua nhiều kì thi Các thầy cô phải tự soạn, tự sáng tác nhiều đề thi, đề kiểm tra để rèn kĩ giải toán cho học sinh Một định hướng mà tơi tâm đắc sáng tác đề tốn có gắn với số năm Ngồi việc sử dụng số tự nhiên khác, khám phá thấy đặc điểm riêng ta có tốn thật bất ngờ, thú vị Tơi xin trao đổi với bạn đọc kinh nghiệm nhỏ qua hai ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích số 1995 thành tích thừa số ta có kết sau : 1995 = x x x 19 = 19 x 15 x Thay chữ chữ ta có : Đặt thêm điều kiện cho chặt chẽ, ta có toán điền chữ số : (a > 0) Bài toán có nhiều cách giải, cách giải ẩn chứa nhiều điều lí thú bổ ích Xin nêu cách giải điển hình : Cách : Đặt phép tính sau : Vì x a + (nhớ) = 10 nên a = x + (nhớ) = 10 nên số nhớ Do c = Thay a = 1, c = vào (*) ta có : 1005 + b x 110 = 1050 + 105 x b b x = 45 (cùng trừ vế 105 x b 1005) b = 45 : b=9 Vậy : 1995 = 19 x 15 x Cách : Ví dụ : Phân tích số 2004 thành tích thừa số : 2004 = x x x 167 = x 12 x 167 Thay chữ số chữ ta có toán điền chữ số : (a > 0) Sau cách giải quen thuộc tiểu học : Bây mời bạn giải trí với bốn tốn nhỏ sau : Bài : Tìm số nhỏ có chữ số mà tổng chữ số 28 Bài : Tìm số lớn có chữ số mà tổng chữ số Bài : Tìm số lẻ lớn có chữ số tổng chữ số Bài : Số thỏa mãn điều kiện sau : a) Lớn nhất, có chữ số b) Chẵn, khơng chia hết cho c) Tổng chữ số Một người thầy dạy toán mà biết hướng dẫn học sinh giải tốn sẵn có sách chưa đủ Người thầy giỏi phải định hướng cho học sinh phương pháp giải dạng toán đặc biệt cần phải biết sáng tạo toán phù hợp với lớp vận dụng kiến thức mà em học Tôi hi vọng học hỏi kinh nghiệm nhiều bạn đọc khác Mong bạn trao đổi Toán Tuổi thơ ! Đào Việt Khanh (Sở GD - ĐT Thái Bình) TỪ MỘT BÀI TỐN HAY TRONG TỐN TUỔI THƠ Gần chun mục “Nhìn giới” có nhiều tốn hay, hấp dẫn bạn đọc Câu chuyện trao đổi hai ông cháu toán hay giúp bạn nhận cách học tốn bổ ích Bài toán (Bài số 17, Olympic Toán Tiểu học, Singapore 2002 - TTT 45) : Một hình chữ nhật gấp theo đường chéo hình vẽ Diện tích hình nhận 5/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu Biết diện tích phần tơ đậm 18 cm2 Tìm diện tích chữ nhật ban đầu Đoạn băng thứ : Tìm lời giải tốn Ông : Nào tìm lời giải toán Trước hết cháu quan sát hình vẽ, đọc kĩ đề tự trả lời : “Bài tốn cho biết ? Bài tốn u cầu ?” Cháu : Thưa ơng tốn cho biết hai điều : - Diện tích hình nhận 5/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu - Diện tích phần tơ đậm 18 cm2 Bài tốn u cầu điều : “Tìm diện tích hình chữ nhật ban đầu” Ơng : Bình thường để tìm diện tích hình chữ nhật ban ta phải tìm ? Cháu : Thưa ơng, bình thường để tính diện tích hình chữ nhật ta cần tìm chiều dài, chiều rộng dựa vào quy tắc mà tính Nhưng khơng cho độ dài đoạn thẳng Ơng : Đơi người ta không cần biết chiều dài chiều rộng mà tính diện tích hình chữ nhật Cháu có biết người ta làm khơng ? Cháu : Thưa ơng người ta tìm mối quan hệ diện tích hình chữ nhật với diện tích hình biết Ông : Cháu nghĩ hướng Để tìm “mối quan hệ” cháu phải dựa vào “một điều biết” quan trọng mà cháu chưa nêu hết phần giả thiết tốn Cháu : cháu thấy ! Thưa ơng điều cháu thiếu chưa nêu : “hình nhận hình chữ nhật ban đầu gấp theo đường chéo” Ông : Đúng, cháu lấy tờ giấy hình chữ nhật gấp theo đường chéo để hình nhận, từ cháu cố gắng nhận xét xem phần tơ đậm cách gấp có đặc điểm ? Có thể qua cách gấp cháu phát mối quan hệ Cháu : Thưa ông cháu gấp hình chữ nhật thấy phần tơ đậm bị xếp chồng lên Do diện tích hình nhận so với diện tích hình chữ nhật ban đầu bị giảm diện tích phần tơ đậm (18 cm2) Ơng : Đó “mối quan hệ” mà cháu muốn biết Từ cháu lần lời giải Cháu : Thưa ơng diện tích hình nhận 5/8 hình chữ nhật ban đầu nên diện tích phần tơ đậm 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu (1 - 5/8 = 3/8) Từ cháu tính diện tích hình chữ nhật : 18 : x = 48 (cm2) Ông : Thế cháu giải xong tốn Nếu bỏ sót giả thiết ban chắn cháu “bế tắc”, có phải khơng ? Biết xuất phát từ đâu để đến lời giải yêu cầu cần rèn luyện học giải toán cháu Học giải toán chủ yếu học “phương pháp” giải toán Đoạn băng thứ hai: Nghĩ thêm tốn giải Ơng : Bây ơng cháu ta thử suy nghĩ thêm ! Cháu thử nhận xét vị trí điểm M cạnh AB hình chữ nhật khơng ? Cháu : Xem hình vẽ, cháu cảm thấy điểm M điểm cạnh AB Ơng : Bây ơng đưa cháu tờ giấy mà ông cắt thành hình chữ nhật khác để cháu làm “thí nghiệm” điểm M ! Cháu (một hồi im lặng - thực việc gấp tờ giấy hình chữ nhật mà ơng đưa) : Thưa ơng ông cháu vẽ sai Cả tờ giấy cháu gấp M khơng điểm AB Ơng (cười) : Hình vẽ ơng cháu “chẳng may” rơi vào tình M điểm AB Cịn thực tế cháu so sánh AM BM để xem M vị trí khơng ? Chắc cháu lại phải dựa vào diện tích hình Cháu : Đúng ông Hai đoạn AM BM hai đáy hai tam giác AMC MBC So sánh diện tích hai tam giác cháu so sánh AM BM ! Ơng : Cháu ơng ! Cháu : cháu nghĩ Nếu coi diện tích hình chữ nhật phần diện tích tam giác AMC phần (bằng 3/8 diện tích hình chữ nhật) Diện tích tam giác ABC phần ( nửa diện tích hình chữ nhật), diện tích tam giác MBC phần (4 - = 1) Diện tích tam giác AMC gấp lần diện tích tam giác MBC (3 : = 3), suy cạnh đáy AM gấp lần cạnh đáy MB (do chung đường cao BC) Vậy AM = x BM Ông : Đúng ! Như ơng cháu ta phải vẽ hình cho AM = x BM, có phải khơng cháu ? Cháu : Vâng Nhưng ông ! Mấy tờ giấy cháu gấp, chẳng có trường hợp điểm M lại nằm Ông : Cháu nhận xét ! Vậy điều có nghĩa ? Cháu : Khơng phải tờ giấy hình chữ nhật “làm được” chuyện “AM = x BM” Ông : Đúng ! Mai học lên lớp cháu biết hình chữ nhật xảy điều Bài tốn khép lại, toán khác lại mở suy nghĩ chúng không dừng lại Cháu : Cháu thích làm tốn với ơng ... 720 kg g? ?o gồm loại : 1/6 số g? ?o g? ?o thơm, 3/8 số g? ?o g? ?o nếp, lại g? ?o tẻ Tính số kg g? ?o loại Giải : 1/6 số g? ?o g? ?o thơm, nên khối lượng g? ?o thơm : 720 x 1/6 = 120 (kg) 3/8 số g? ?o g? ?o nếp, nên... cao tương ứng tam giác có độ dài độ dài cạnh ô vuông Bước 3: Cắt hình vng theo hai đường ch? ?o AC BD t? ?o bốn tam giác OAD; ODC; OCB OBA diện tích ô vuông nhỏ Bước 4: Các tam giác OAD; ODC; OCB;... b? ?o ngày lại nở tăng gấp đôi Nếu ngày đầu cho v? ?o mặt hồ b? ?o 10 ngày sau b? ?o lan phủ kín mặt hồ Vậy ban đầu cho v? ?o 16 b? ?o ngày sau b? ?o phủ kín mặt hồ? Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số b? ?o mặt