tất cả các dạng toán tiểu học : phương pháp, quy trình giải toán. Đây là tài liệu rất bổ ích cho Giáo viên, Sinh viên sư phạm, phụ huynh học sinh tham khảo.Nếu có sai xót xin mọi người đóng góp và chỉnh sửa. Rất cảm ơn mọi người đã quan tâm
Trang 1pO TRUNG HIBU - VU DUONG THUY
CAC PHUONG PHAP _ GIẢI TOÁN
Ỏ TIỂU HỌC Tập 1
Dùng cho - học sinh Idp 4,5 ~ giáo viên tiểu học - cha me hoc sinh
Trang 2Biên soạn :
Nhà giáo ưu tú, PTS DỐ TRUNG HIỆU GSI PTS VŨ DƯƠNG THỤY
Biên tập :
VŨ MAI HƯƠNG
Trinh bay bìa :
TAO THANH HUYEN -
DỖ TRUNG HIỆU
Trang 3LỒI GIỚI THIỆU (Lần in thứ nhất năm 1987)
Việc giải toán có một uị trí quan trọng trong chương trình
môn Tbớn cấp Một Để giải dược toán, học sinh cần phải biết phương pháp giải loán Cuốn sách "Những phương pháp giải loán
ở cấp Một" do các phó tiểu sỉ phương pháp dạy học toán Đỗ
Trung Hiéu va Vii Duong Thuy biên soạn, chủ yếu dùng cho học sinh lớp 4, lớp 5 nhằm giúp các em nắm va van dụng dược những phương pháp giải toán dưới sụ hướng dẫn của cô giáo,
thầy giáo, hoặc của cha mẹ
Cuốn sách này dã hệ thống hóa những phương pháp giải toán thường gặp trong sách giáo khoa Toán cấp Một cải cách giáo
dục, dồng thời cũng nêu lên một số phương pháp giải toán độc
đáo tương dối lạ, dành cho học sùth khó, giỏi, hoc sinh cé nang khiếu tốn VÌ thế cuốn sách thích hợp uới học sùnh bình thường,
các học sinh kha, gidi va hoc sinh có năng khiếu toán Việc quan tâm đến cả ba dối tượng trên là nhằm yêu cầu chuẩn bị ngay
từ cấp Một dội ngũ những người lao động trục tiếp tinh thong
nghiệp vu, cling nhu cade cắn bộ khoa học có trình độ cao
Dưới mái trường phổ thông ngoy tù cấp Một, mỗi học sinh
đều cần uù có thể đợt được trình độ học uấn phổ thông toần điện, đồng thời phát triển sỏ trường, khả năng của minh vé mot
môn nào đó Cuốn sách này chỉnh là góp phần thục hiện điều
đó trong lĩnh uục mơn tốn ở cấp Một
Các cô giáo, thầy giáo, các bậc cha mẹ học sinh có thể dùng
cuốn sách này để hướng dẫn, giúp đỡ cóc em học tốt mơn Tốn
va phát triển ở cúc em số trường, khả năng 0ề môn này Nhà giáo nhân dân
Trang 4LOI NOI DAU
Cuốn "Các phương pháp giải toán ở cấp Một" dược xuất bản
hơi lần uờ đã dành dược sụ tu Gi của bạn dọc gần xa Việc hệ
thống các phương pháp giải toán được trình bày rải rac trong sách giáo khoa cũng nhủ những phương pháp mới được giới thiệu thêm nhằm giúp học sinh hiểu day di va van dung tốt những phương pháp Gy
Trong lần xuất bản này, chúng tôi đã chỉnh lí uà bố sung
thêm một số phương phóp, có dịnh hướng theo chương trình tiểu học mdi va theo sách giáo khoa chỉnh lí lóp 4 lớp 5 Vì thế
cuốn sách mang tên "Các phương pháp giải toán ở Tiểu học" uờ
gồm 9 tập Cấu trúc mỗi tập uẫn gồm ba phần, đặc biệt phần
thủ hai - Gợi ý — nhằm giúp các em tập đượt cách suy nghỉ để
tìm ra cách gidi khi tu luyén tap hoặc dưới sự hướng dẫn của
thầy, cô giáo hay của cha mẹ Trong cuốn sách không thể nêu
hết cúc cách giải của mỗi bài toán, các em học sinh hãy cố gống
ầm thêm những cách giải khúc nữa
Mỗi cuốn sách đều có những cái hay va con những han chế Mặc dù chúng tôi dã cố gủng biên soạn song chắc chắn không tránh khỏi những thiết sốt, Rối mong bạn dọc góp ý phê bình,
Tháng 10-1993
Trang 5Phần thứ nhất
GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ỏ TIỂU HỌC
§ 1 PHUONG PHAP DUNG SO DO DOAN THANG
hi phân tích một bài toán cẩn phải thiết lập được các mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán đó Muốn làm việc này ta thường dùng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để mính họa các quan hệ đó Ta phải chọn độ đãi các đoạn thẳng và cẩn sắp xếp các
đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được
mối liên bệ và phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh
cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải bài toán
Ví dụ 1 Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét
vải xanh là 540m Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng
i
số mét vải xanh bằng 7 — số mết vải hoa ?
Phân tích Ta vẽ sơ dé đoạn thẳng như hình 1 :
Vai hod +e ot
540m
Vải xanh —
Trang 6Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như thế này dé dàng thấy được hai điều
kiện của bài toán : số rmnết vải hoa nhiều hơn vải xanh là 540 m (biểu thị quan hệ hai số hơn kém nhau một đơn vị) và số mét vải hoa nhiều gấp 4 lần số mót vải xanh (biểu thị quan hệ so sánh số này gấp số kia một số lần)
So dé trên gợi cho ta cách tìm số mét vải xanh bằng cách
1
lấy 540 chia cho 8 (vi số mét vải xanh bằng 3 của số B40 m) ;
Cũng nhờ sơ đồ gợi cho ta cách tìm số mét vải hoa bằng cách
lấy số mét vải xanh tìm được đem cộng với 540 m (hoặc gấp 4 lần số mét vải xanh)
1
Giải, VÌ số mét vải xanh bằng 3 số mét vải hoa và số mét vải xanh ít hơn số mét vải.hoa là 540 m nên số mét vải xanh là : 540 : 3 = 180 (m) Đố mét vải hoa là : 180 + B40 = 720 (m) _ hoặc 180 x 4 = 720 (m)) Cũng cớ thể giải bài toán theo cách sau đây : Số mét vải hoa là : 540 : 3 x 4.= 720 (m) Số mét vải xanh là : 720 - 540 = 180 (m)
VỆ dụ 2 Một đội công nhân sửa chữa đường sất, ngày thứ nhất sửa chữa được lõm đường, ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ ba hơn ngảy thứ nhất 2m Hỏi trung bình mỗi ngày
đội công nhân ấy sửa chữa được bao nhiêu mét đường sắt ? Phân tích Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 2 :
Ngày thứ nhất TÔ,
Ngày thứ hai im
Ngày thứ bạ TQ CS
Trang 7Nhìn sơ đồ này gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ hai, số mét của ngày thứ ba Từ đó tìm được đáp số của bài toán
Giải Ngày thứ hai sửa chữa được là : lỗ + 1 = 16 (mì Ngày thứ ba sửa chữa được là : lỗ + 3 = 17 (m),
Cả ba ngày sửa chữa được là : lỗ + 16 + 17 = 48 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là : 48 : 3 = 16 (m) Ta có thể giải bài toán bằng cách sau đây :
Cả ba ngày sửa chữa được là : lỗ x 3 + 1l † 2 = 48 (m) ‘Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là : 48 : 38 = 16 (m)
Nếu ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 3 thì bài toán có thể
giải một cách ngấn gọn hơn như sau : 5i Ngày tứ nhất ST, 1 Ngày thú hai im 4 t Ngày thú ba t im yim ? Hình 3
Giải Nếu ta chuyển 1m của ngày thứ ba sang ngày thứ nhất
thì số mét của cả ba ngày đều bằng nhau và bằng số mốt của
ngày thứ hai (hình 3) Vậy số mét của ngày thứ hai là : lỗ +
+1 = 16 (m)
Trung bình mỗinày sửa được 16m
Vi du 3 Cùng một lúc Giang đi từ A đến B, con Duong đi
từ ñ đến A Hai bạn gặp nhau lần đầu tại một điểm C cach A 3 km, rồi lại tiếp tục đi Giang đến B rồi quay lại A ngay, còn Dương đến A rồi cũng trở về B ngay Hai bạn gặp nhau lần thứ hai tại một điểm D cách B 2km
Tính quãng đường AB và xem ai đi nhanh hơn
Trang 8Giang A, 3m ic D 2k 8 c Duong Hinh 4
Theo đầu bài thÌ Giang đi từ A đến B rồi quay lại D, còn
Dương đi từ B đến A rồi cũng quay lại D, lúc dé hai ban gap nhau lần thứ hai ở D Nhìn trên sơ đổ ta thấy, cho đến khi
gặp nhau lần thứ hai ở D, cả Giang và Dương đã đi cả thẩy 3
lần quãng đường AB Khi Giang và Dương gặp nhau lần thứ nhất ở Ở thì cả hai bạn đã di được vừa đúng một lẩn quãng đường AB, trong khi đơ Giang di được đoạn AC dài 3 km Do
đó khi cả hai bạn đi cả thấy ba lần quãng đường AB thi Giang đi được là 3 x 8 = 9 (Œm)
Đoạn đường Giang đi được từ A qua B rồi tới D dài hơn quãng đường AB một đoạn BD dài 2 km VÌ vậy quãng đường
AB dai la 9 - 2 = 7 (km)
Khi gap nhau ldn tht nhat thi Giang di dugc 3 km, do do Đương đi được là 7 - 3 = 4 (km) Trong cùng một thời gian
kể từ lúc bất đẩu đi cho đến khi gặp nhau mà Dương đi được 4km, Giang đi được 3 km, suy ra Dừơng đi nhanh hơn Giang
Giải Cho đến khi gặp nhau lần thứ hai thì cả hai bạn Giang và Dương đã đi cả thẩy 3 lần quãng đường AB Hai bạn cứ đi một lần quãng đường AB thì Giang đi được 3 km Như vậy
Giang đã đi một quãng đường là : 3 x 3 = 9 (km)
Trang 9Thi gặp nhau lần đầu tiên, Giang đi được 3 km, còn Duong
di được là : 7 - 3 = 4 (km) `
Cùng một thời gian Dương đi được một quãng dường dài hơn
quãng đường của Giang, nên Dương đi nhanh hơn Giang
BÀI TẬP
1 Người ta lấy ra khỏi một kho đông lạnh 17 tấn cá Hỏi
phải đưa vào kho đó bao nhiêu tấn cá để trong kho sẽ có số
cá nhiều hơn số cá trước khi lấy là 8 tấn ?
9 Hiện nay anh L1 tuổi, em ð tuổi Hãy tính tuổi mỗi người khi anh gấp 3 lần tuổi em
3 Trung bình cộng của hai số bằng 14 Biết rằng một phần ba số này bằng một phần tư số kia Tim mdi số
4 Cho ba số có trung bình cộng bằng 21 Tim ba sé do, biết rằng số thứ ba gấp 3 lần số thứ hai, số thứ hai gấp 2 lair sé
thứ nhất ;
5 Hà, Phương và Hiếu cùng tham gia trồng su hào Hà và Phương trồng được 46 cây, Phương và Hiếu trồng được 3ð cây Hiếu và Hà trồng được 39 cây Hỏi mỗi bạn trồng được bao nhiêu cây su hào ?
6 Một thùng đựng dẩu cân nặng cả thầy 14 kg Người ta đổ ra một phần ba số dầu trong thùng thì cả thùng và số đầu
còn lại nặng 10 kg Tính xem thùng không có đẩu nặng mấy
kilôgam ? :
7, Giang cùng với mẹ đi tẩầu hỏa về quê Đi được nửa quãng đường thì Giang chợt ngủ thiếp đi Lúc thức giấc, Giang hỏi mẹ thì biết rằng cồn phải đi một nửa của quãng đường mà Giang đã ngủ thì mới đến nơi Hỏi quãng đường mà "Giang ngủ thiếp
Trang 108 Hiệu của hai số bàng 12 Nếu gấp số lớn lên 3 lần thì số mới tạo thành sẽ hơn số bé 48 đơn vị Tìm mỗi số đã cho
9 Tổng ba số bằng 74 Nếu lấy số thứ hai chia cho số thứ nhất và lấy số thứ ba chia cho số thứ shai thì đều được thương
là 2 và dư 1 Tìm mỗi số đơ
10 Hai anh em đi hái nấm Em hỏi "Anh hái được bao nhiêu nấm rồi ? Có được nửa chục không ?" Anh trả lời : "Nếu lấy đi một nửa số nấm của anh rồi cho anh một cái nấm thì anh sẽ có nửa chục Thế còn em hái được bao nhiêu nấm ?", Em trả lời : "Nếu lấy đi một nửa số nấm của em và lấy thêm một cái nữa thÌ em sẽ có nửa chục",
Hỏi cả hai anh em hái được bao nhiêu nấm ?
§ 2 PHƯƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐỚN VỊ PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ
Trong một bài toán đơn giản về đại lượng tỈ lệ (thuận hay
nghịch) người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất và một giá trị của đại lượng thứ hai Bài toán đó đòi hỏi phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai Để tìm
giá trị đó, ở cấp Một có thể sử dụng một trong những phương
pháp thường dùng như phương pháp rút về đơn vị, phương pháp
tl sé
Vi du 1 Oó 45 m vai may được 9 bộ -quần áo như nhau Hỏi phải dùng bao nhiều mét vải loại đó để may được 7 bộ
quaén do nhu thé ?
Phân tích Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất (9 bộ và 7 bộ) và một giá trị của dai lugng thi hai (45m) Ta phải tìm một giá trị chưa biết của
Trang 11‘dai lugng thứ hai (đó là số mết vải để may 7 bệ quan do) Ta tớm tắt bài toán như sau : 9 bộ : 45 m 7 bệ : ?m Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây : 1 bộ : ?m 7 bộ : ?m
a) Bước một: Tìm xem 1 bộ quần áo hết mấy mét vải ? (của
đại lượng thứ hai)
b) Bước hai : Tìm xem 7 bộ quẩn áo hết mấy mét vải ? (của
đại lượng thứ hai)
Giải Số mớót vải để may một bộ quần áo là : 45 : 9 = ð (m)
Số mét vải để may 7 bệ quần áo là 5 x 7 = 3õ (m) Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị
Cách giải theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước :
a) Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng
với một giá trị nào của đại lượng thứ hai (ở bài toán này thì 1 bộ quần áo ứng với õðm vải) Để làm việc này ta có thể thực
hiện phép tính chia
Cơ bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì có bấy nhiêu
lần giá trị tương ứng (vừa tìm) của đại lượng thứ hai Giá trị
này của đại lượng thứ hai chính là số phải tìm trong bài toán
(ỡ bài toán này thì 7 bộ quẩn áo ứng với 85m vai) Để làm việc này ta cố thể thực hiện phếp tính nhân
Vi dụ 3 Oó ö0m vải may được 10 bộ quẩn áo như nhau Hỏi
có 40m vải cùng loại thì may được mấy bộ quẩn áo như thế ?
Trang 12đại lượng thứ hai (10 b6) Ta phải tìm một gid tri chua biết
của đại lượng thứ hai (đó là số bộ quần áo may được từ 40m vải) Th tớm tắt bài toán như sau: 50m : 10 bộ 40m : ? bộ Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây: ?m : +1 bộ 40m : ? bộ
a) Bước một : Tìm xem một bộ quần áo hết mấy mét vải ? (của đại lượng thứ nhất)
b) Bước hai: TÌm xem 4Ơm vải may được mấy bộ quần áo ? (của đại lượng thứ hai)
Giải Số mét vải để may I bộ quần áo là : 50 : 10 = 5(m)
Đố bộ quần áo may được là : 40:5 = 8 (bộ)
Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị
Cách giải này thường được tiến hành theo hai bước :
a) Tỉm xem một đơn `vị của đại lượng thứ hai tương ứng với một giá trị nào của đại lượng thứ nhất (ở bài toán này thi một bộ quần áo ứng véi 5m vai) Dé làm việc này ta cớ thể thực
hiện phép tính chia
b) 5o sánh giá trị còn lại của đại lượng thứ nhất với giá trị
tương ứng (vừa tìm) xem lớn nhỏ gấp mấy lần (ở bài toán này so sánh 4Ô m và ð m) Kết quả này chính là số phải tÌm trong
bài tốn Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính chia Ví dụ 3 Một xe máy di 3 giờ được 60 km Hỏi xe đó đi
trong 6 giờ được bao nhiêu kilômét ? (coi như vận tốc không đổi) Phân tích, Tóm tất bài toán như sau :
3 giờ : 60 km
6 giờ : ? km
Trang 13Bài toán có thể giải theo hai bước sau đây :
a) 6 giờ gấp bao nhiêu lần 3 giờ ? suy ra :
b) Quãng đường phải tìm gấp bấy nhiêu lần 60 km
Giải So sánh 6 giờ với 3 giờ ta thấy : 6 : 3 = 2 (lần)
Vậy trong 6 giờ xe máy đi được : 60 x 2 = 120 (km)
Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp tỉ số Cách giải
theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước : a) 5o sánh bai giá trị của đại lượng thứ nhất xem số này gấp mấy lần số kia (ở bài toán này 6 giờ gấp 2 lần 3 giờ)
b) Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai cũng được tăng (hoặc giảm) đúng một số lần vừa tÌm ở bước a, (ở bài toán này 60 km
được tang gấp hai lần) Kết quả tÌm được chính là số phải tìm
trong bài tốn
Ngồi cách giải bằng phương pháp ti số, bài toán ở ví dụ 3 còn có thể giải bằng phương pháp rút về đơn vị :
Trong 1 giờ xe máy đi được là : 60 : 8 = 20 (Œkm) Trong 6 giờ xe máy đi được là : 20 x 6 = 120 (km) Hoặc giải như sau : 3 giờ = 180 phút 68 giờ = 360 phút Vì vậy 60 km đi hết 180 phút nên đi 1 km hết thời gian là : 180 ; 60 = 8 (phút) Trong 3 phút đi được 1km, đo đố trong 360 phút đi được quãng đường là : 360 : 3 = 120 (km)
Ví dụ 4 Xe ôtô đi từ A đến B với vận tốc 36 km/giờ thì hết
4 giờ Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì ôtô đi với vận tốc bao
nhiêu km/giờ ? Phan tích
Trang 146 giờ : ? km/giờ Giả sử ôtô đi từ A đến B hết một giờ thì khi đó vận tốc của ôtô là : 36 x 4 = 144 (km/giờ) Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì vận tốc của ôtô là : 144 : 6 = 24 (km/giờ)
Bai toán trên đã được giải theo phương pháp rút về đơn vị Cách giải này cũng được tiến hành theo hai bước
a) Tùm sự tương ứng giữa một đơn vị của đại lượng thứ nhất
với một giá trị của đại lượng thứ hai (1 giờ ứng với 144 km/giờ)
bằng cách thực hiện phép tính nhân
b) Nhờ sự tương ứng này mà tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai (6 giờ ứng với 24 km/giờ) bằng cách thực hiện phép tính chia
Tuy nhiên, ở tiểu học có thể trình bày bài giải như sau : Quãng đường từ A đến B dài là : 36 x 4 = 144 (km)
Vận tốc của ôtô là : 144 : 6 = 24 (km/giờ)
Ngoài phương pháp rút về đơn vị, có thể giải bài toán này
theo phương pháp tỈ số bằng cách lập luận như sau :
Trên cùng một quãng đường thì thời gian và vận bốc tỉ lệ
nghịch với nhau Theo đầu bài ta vẽ sơ đổ vận tốc của ôtô trong hai lần chạy (hình ỗð) :
36 hmigiờ „
Nếu 4 giờ thÌ E————————t—+————¬
Nếu 6 giờ thì E———————+——
?
Hình 5
Trang 15Vi dy 5 Dé chuyén chd 39 kg hang hoa trén quang dutng dai 74 km phải chỉ phi hét 12000 déng Héi phai chi phí hết bao
nhiêu tién néu chuyén ché 26 kg trén quang dudng dai 185 km ? (Giá cước chuyên chở tỷ lệ thuận với khối lượng hang hớa và
đường đài)
Phân tích T6ốm tất bài toán như sau :
39 kg ~ 74 km - 12000 đồng
26 kg - 185 km ~ ? đồng
Ta có thể "tách" bài toán đã cho thành hai bài toán đơn giản hơn và tiến hành giải liên tiếp hai bài toán đó Kết quả của bài toán thứ hai chính là đáp số của bài toán đã cho
Th tiến hành như sau :
a) Cứ chuyên chở 39 kg (đi 74 km) thì chi phi la 12 000
đồng Vậy chuyên chở 26 kg (đi 74 km) thì chí phí là :
, 12000 x 26
39
b Chuyên chở (26 kg) trên đường đài 74 km thì chỉ phí là
8000 đồng Vậy chuyên chở (26 kg) đi trên đường dai 185 km thì chỉ phí là : = 8000 (đồng) 8000 x 185 74 = 20000 (đồng) BÀI TẬP
11 Mua 6 ngồi bút hết 3000 đồng Hỏi mua 12 ngồi bút như
thế hết bao nhiêu tiền ?
13 Một người tính rằng nếu mua 15 kg gạo thì phải trả
30 000 đồng Hỏi nếu người đó trả 6000 đồng thì mua được bao nhiêu kilôgam gạo ?
Trang 1618 Quãng đường từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm đài 480 bước Hỏi quãng đường từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mười đài bao nhiêu bước, biết rằng khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp đều như nhau ?
14 Một người đi xe máy từ Á đến B mỗi giờ đi được 30 km
thì hết 3 giờ Khi trở về từ B đến A người đó đi hết 6 giờ Hỏi
khi trở về mỗi giờ đi được bao nhiêu kiômét, biết rằng cả lúc
đi và về đều không nghỉ ở dọc đường ?
15 Trong ki thi chon hoc sinh giỏi người ta thấy rằng cứ ð bạn
thì có hai bạn gái còn lại là bạn trai Hay tinh xem trong ky thi
đó có bao nhiêu bạn gái, biết rằng có 240 bạn trai tham gia ? 16 Một đơn vị có 4ð người đã chuẩn bị đủ gạo an trong 15 ngày Sau 5 ngày đơn vị đớ tiếp nhận thêm ð người nữa Hãy tính xem số gạo còn lại đủ cho đơn vị ăn trong bao ngày
nữa ? :
17 Theo dự định thì một đơn vị thanh niên xung phong phải làm xong quãng đường trong 10 ngày Ngày hém sau, vi cd 10 người đã chuyển đi nơi khác trong 7 ngay nén đội thanh niên đã phải lâm xong quãng đường đó trong 12 ngày Hỏi lúc đầu
đội thanh niên cố bao nhiêu người ?
18 Một đội 15 công nhân dự định lấp xong một cải máy trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc ổ giờ Nếu thêm õ người nữa mà cả đội mối ngày làm việc 10 giờ, thì lấp xong cái máy đó trong bao nhiêu ngày ?
18 Người ta tính rằng cứ ä ôtô chở hàng, mỗi ôtô đi 50 km thì tiền chỉ phí tất cả là 120000 đồng Vậy nếu ð ôtô như thế,
mỗi 6tô đi 100 km thì chỉ phí hết tất cả bao nhiêu tiền ? 20 Một ôtô chạy từ tỉnh A đến tỉnh B Nếu chạy mỗi giờ
Trang 17a) Hai tinh A cdch tinh B bao nhiéu kilomét ?
b) Hay tinh xem trung bình mỗi giờ ôtô phải chạy bao nhiêu
kilômét để đến B vào lúc 16 giờ ?
§ 3 PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ LỆ
Người ta thường sử dụng phương pháp chia tÌ lệ khi gặp các
bài toán đã cho biết tÌ số của các số và cho biết tổng (hoặc hiệu) của các số đơ Nhiều bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận, về đại
lượng tỉ lệ nghịch cổ thể giải được bằng phương pháp này
Vi du 1a Nhà trường chia đều 800 quyển vở cho mỗi lớp của khối Năm và khối Bến Hỏi mỗi khối được chia bao nhiêu
quyển vở, biết rằng khối Năm có 3 lớp và khối Bốn cd 5 lép ? Giải Số lớp của hai khối Năm và Bốn là : 3 + õ = 8 đớp)
8ốế vở của mỗi lớp là : 800 : 8 = 100 (quyển) 8ế vở của khối Năm là : 100 x 3 = 300 (quyển)
Số vở của khối Bốn là : 100 x 5 = 500 (quyển) (hoặc 800 - 300 = 500)
Ở bài toán này ta tìm được hai số (là 300 và 500) mà tổng của hai số đó bằng 800 và tỉ số của hai số đố bằng
3, ,300 8
5 (vì 500 = 5): Bài toán ở ví dụ la này chính là mô hình cụ thể của bài toán được nêu ở ví dụ Ib sau đây
Vi du 1b Hay chia sé 800 thành hai số tỉ lệ thuận với 8
Trang 18Phân tích Đài toán này đồi hỏi ta phải tìm hai số sao cho
, : 3 »
tổng của hai số đơ bằng 800 và tỉ số của chúng bằng 5° 6
Tiểu học có thể hiểu "bỉ số của bai số bằng 2 mét cach don
giản như sau : nếu số thứ nhất gồm có 8 phần bằng nhau thi số thứ hai gồm có 5 phần như thế Thông thường ta hay dùng
sơ đổ đoạn thẳng để biểu dian cu thé ti số của các số
khi giải bài toán này ta thường tiến hành theo các bước sau đây : 1 Vé so dé doan thang (hinh 6) ố thú it E————¬ Số thú nhữ 800 Số thú hai E——————m———— Hình 6
Ở bài toán này ta đã biểu diễn số thứ nhất thành 3 phần
bằng nhau và số thứ hai thành õ phần như thế
3 Tính giá trị của mỗi phồn Muốn vậy ta làm như sau : Đếm hoặc tính số phần của các số Ở bài toán này, cả hai
số có 8 phần bằng nhau,
- Lấy tổng các số chia cho số phần đó, Ở bài toán này ta
Trang 194 Kiểm tra lại cách giải (không phải yêu cầu bat buộc),
Ở bài toán này ta thực hiện như sau :
- Tính xem tổng hai số vừa tìm cố bằng 800 không ? 300 + 500 = 800 (đúng) 3 - TÍ số hai sơ đồ cố bằng 5 không ? 300 _ 100x3 24 500 100x 5 ung)
Nhìn chung, ta không cẩn ghi lại bước kiểm tra trong việc
trình bày bài giải (trừ trường hợp bất buộc) Dưới đây nêu lên hình thức trình bày bài giải
Giải Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ nhất gồm có 3 phần
bằng nhau và số thứ hai gồm có 5 phần như thế
Cả hai số gồm có 8 phần bằng nhau và bằng 800 Vậy :
Số thứ nhất là: 800 : 8 x 3 = 300
Số thứ hai là : 800: 8 x 5 = 500
Chú ý Ta có thể giải bài toán này theo cách lập luận sau đây : a) Gia sử ta chọn số thứ nhất là 3 thì số thứ hai là 5 ; khi
đố tổng của hai số vừa chọn bằng 8,
b) Bây giờ ta phải gấp số 8 lên bao nhiêu lần để được số 800 ?
_800 : 8 = 100 (lần)
c) Theo quy tắc nhân một tổng với một số ta phải gấp số 3 lên 100 lẩn và gấp số 5 lên 100 lần thì ta tính được hai số phải tìm
3 x 100 = 300 5 x 100 = 500
Ví dụ 3œ Khối Nam có 2 lớp, khối Bốn có 3 lớp và khối Ba có 5 lớp Cả ba khối thu nhặt được 720 kg giấy vụn Hỏi mỗi
Trang 20khối thu được bao nhiêu kilôgam giấy vụn, biết rằng mỗi lớp
thu được số giấy vụn như nhau ?
Giải Số lớp của cả ba khối là : 2 + 3 + õ = 10 đớp) Số giấy vụn của mỗi lớp là : 720 : 10 = 72 (kg)
Số giấy vụn của khối Năm là : 72 x 2 = 144 (kg)
Số giấy vụn của khối Bốn là: 72 x 3 = 216 (kg)
Số giấy vụn của khối Ba là : 72 x5 360 (kg)
Ở bài toán này ta tìm được ba số (là 144, 216 va 360) ma tổng của ba số đó bằng 720 và coi rằng số thứ nhất có 2 phần ` thì số thứ hai cố 3 phần và số thứ ba cố năm phần bằng nhau (vì 144 : T2 = 2; 216 : 72 = 8 ; 860: 72 = 5) Bài tốn này chính là mơ hình cụ thể của bài toán được nêu ở ví dụ 2b sau đây
Ví dụ 2b Hãy chia 720 thành ba số tỉ lệ thuận với 2, 3 và 5 Phân tích Bài toán này đồi hỏi ta phải tìm ba số sao cho
tổng của chúng bằng 720 và nếu số thứ nhất có 2 phần thì số thứ hai có 3 phần, số thứ ba có õ phần như thế Khi giải bài toán này ta cũng tiến hanh theo các bước sau đây :
1 Vẽ sơ đồ đoạn thang (hình 7) Số thứ nhất ———>—
Số thứ hai ———— el 720
Số thứ ba ———————t——-
Hình 7
2 Tinh gid trị bằng số của mỗi phần (mỗi đoạn thẳng)
Cả ba số gồm có 10 phẩn bằng nhau và bằng 720 Vậy mỗi
phần bằng : 720 : 10 = 72
Trang 213 Tim từng số 72 x 2 = 144 72x 3= 216- 72 x 5 = 360 4, Kiém tra 144 + 216 + 360 = 720 144 71x39 3 Giải Cách 1, Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ nhất gồm có 2 phần bằng nhau, số thứ hai gồm co 3 phần và số thứ ba gồm cố õ phần như thế Do đó cả ba số gồm có 10 phần bằng nhau và bằng 720 Vậy : Số thứ nhất là : 720 : 10 x 2 = 144 Số thứ hai là : 720 : 10 x 3 = 216 Số thứ ba là : 720 : 10 x 5 = 360
Chú ý Ta có thể giải bài toán này theo cách khác Cách 32 Tiến hành theo các bước sau :
a) GiÁ sử ta chọn số thứ nhất là 2 thì số thứ hai là 3 và số thứ ba là 5ð Khi đó tổng của ba số vừa chọn là 10
Trang 22Cách 3 Ư bài tốn này cồn có thể giải theo cách lập luận như sau : Theo đẩu bài, nếu số thứ nhất gồm 2 phần bằng nhau thì
số thứ hai gồm 3 phần và số thứ ba gồm ð phan như thế Do đó ta thấy số thứ ba bằng tổng hai số kia Vậy số thứ ba bằng :
720 : 2 = 360
Tổng các số thứ nhất và số thứ hai bàng 360 Vậy số thứ nhất
bằng : 360 : 5 x 2 = 144 và số thứ hai bằng : 360 - 144 = 216 Ví dụ 3ø Hai đội xe chờ gạo : đội thứ nhất cố 3 xe và đội
thứ hai có 8 xe Đội thứ hai chở nhiều hơn đội thứ nhất 100 tạ gạo Biết rằng mối xe chở số gạo như nhau, hãy tính xem méinddi xe chở bao nhiêu tạ gạo ?
Giải Số xe đội thứ hai hơn đội thứ nhất là : 8 ~ 8= ð@œe) Mỗi xe chở được là : 100 : 5 = 20 (ta) Đội thứ nhất chở là : 20 x 3 = 60 (ta) Đội thứ hai chở là : 20 x 8 = 160 (ta) (hoặc 60 + 100 = 160)
Ở bài toán này ta tìm được hai số (là 60 và 160) mà hiệu
cta hai sé dé bang 100 va ti sé cla hai số đó bằng
8, , ĐỒ 8 Loe ke as ne ta
8 (vì 160 gì: Bài toán này chính là mô hình cụ thể của bài toán được nêu ở ví dụ 3b sau đây
VÍ dụ 3b Hay tìm hai số tỉ lệ thuận với 3 và 8 sao cho
hiệu của hai số đó bàng 100
Phân tích Bài toán này đòi hỏi ta phải tìm hai số sao cho
Trang 231 Vẽ sơ dồ doạn thằng (hình 8) Số thú hai ——————m————————— 100 Số thú nhất — ——+——————i Hình 8
2 Tính giá trị của mỗi phần
Sế thứ hai hơn số thứ nhất 5 phần bằng nhau, õ phần do chính là 100 Vậy mỗi phần là : 100 : 5 = 20
3 Tìm tùng số
Số thứ nhất là : 20 x 8 = 60
Số thứ bai là : 20 x 8 = 160 (hoặc 60 + 100 = 160)
4 Kiém tra cách giải
Hiệu của hai số là : 160 - 60 = 100
Tỉ số của hai số là : ren “ 20x87 8
Giải Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ hai gồm có 8 phần bằng
nhau và số thứ nhất gồm có 3 phần như thế Số thứ hai nhiều hơn số thứ nhất 5 phần bằng nhau và bằng 100 Vậy :
Số thứ nhất là : 100 : 5 x 8 = 60
Số thứ hai là : 100 : 6 x 8 = 160
Chú ý Tạ có thể giải bài toán này theo cách lập luận sau đây :
a) Gia sti ta chon sé thd hai 18.8 thi số thứ nhất là 3 ; khí
đó hiệu của hai số vừa chọn bang 5
b) Ta phải gấp sé 5 lén bao nhiêu lần để được 100 ?
100 : 5 = 20 (lan)
@ Tìm từng số : Số thứ hai là : 8 x 20 = 160
8ố thứ nhất là : 3 x 20 = 60
Trang 24BAI TAP
21 Cho hai số có tổng bang 132 và biết số này gấp 21 lần số kia Tìm hai s6 do
32 Một ôtô đi từ A đến B rồi đi đến € dài tất cả là 320 km Hãy tính xem từng đoạn đường AB, BC dài bao nhiêu kilômét ;
biết rằng ôtô đi từ A đến B hết 3 giờ, đi từ B đến C hét 5 gid
và vận tốc không đổi trên đường đi từ A đến C ?
33 Chị Hàng hỏi bố : "Năm nay bố bao nhiêu tuổi ạ" ? Bố trả
đời : "Con hãy tính nhé ! Tổng số tuổi của bố và con bằng 68,
2 ` T ‹ ‹ Pa ;
tuổi của con bằng 3 tuổi của bố" Hãy tính tuổi của mỗi người,
1
24 Cho hai số có hiệu bằng 952 và biết số này bằng —— Te 5 kia Tim hai sé do
25 Một cơ quan dự định giao cho 3 tổ xe vận tải chở 150
tấn gạo Tổ một gồm các xe chở được 2 tấn mỗi xe, tổ hai gồm các xe chở được 3 tấn mỗi xe, tổ ba gồm các xe chở được ð tấn mỗi xe Hãy tính xem mỗi tổ sẽ chở bao nhiêu tấn gạo, biết rằng số xe ở mỗi tổ đều bằng nhau
26 Ba khối học sinh Nam, Bốn, Ba cùng nhau thu nhật được cả thấy 865 kg giấy vụn, trong đó khối Năm thu được số giấy gấp ở lần khối Bốn và khối Bốn thu được số giấy gấp 2 lần
khối Ba Tính số giấy thu được của từng khối lớp
37 Hai bác công nhân Đố và Vũ được thưởng 62400 đồng,
trong đó ; số tiền thưởng của bác Dố đúng bằng Ề số tiến thưởng của bác Vũ
Trang 25SỐ 1 28 Cường và Diệp cố cả thẩy 56 tấm anh, trong dé 5 ¬ l ảnh của Cường đúng bằng 3 Số ảnh của Điệp Hãy tính số ảnh của từng người
29 Ba người thợ thủ công nhận làm một bức tranh sơn mãi
với tiến công do hợp tác xã khoán là 140000 đồng Theo kế
hoạch sau khi người thứ nhất làm được 7 ngày thÌ hai người trong nhóm mới tới làm Cả ba người làm tiếp 7 ngày nữa thì xong công việc Hỏi mỗi người lĩnh bao nhiêu tiển, biết rằng tiến công một ngày của mỗi người đều như nhau
30 Ba ôtô đi cả thẩy được 550 km Ơtơ thứ nhất di được
1
quãng đường bằng z quãng đường đi được của ôtô thứ ba, ôtô 8 3
: 1
thứ hai đi được quãng đường bang = quan đưởng của ôtô thứ q g qang ba, Hỏi mỗi ôtô đi được bao nhiêu kilơmét ?
§ 4 PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ
Trong một bài toán hợp có thể phải tìm nhiều số chưa biết,
Khi giải bài toán đó ta cớ thể tạm thời thay thế một vài số chưa biết này bằng một số chưa biết khác, hoặc nơi cách khác, ta biểu diễn một vài số chưa biết này theo một số chưa biết khác Lúc đó những số chưa biết này được thay đổi để bằng một số chưa biết đó Dựa vào các điều kiện của bài toán ta tìm
giá trị của số chưa biết đó, rồi từ giá trị mới tìm này mà tìm
tiếp các số chưa biết còn lại của bài toán
Vi du 1 Hai lớp 5A và ðB trồng được tất cả 345 cây Lớp
ðB trồng dược nhiều hơn lớp 5A là 25 cây Hỏi mỗi lớp trồng
Trang 26Phan tích Ư bài tốn này có hai số phải tìm là số cây của
lớp 5A và số cây cha lép 5B Nếu ta bớt di 25 cay cua lép 5B thì số cây còn lại của lớp 6B đúng bằng số cây của lớp 5A, khi
đó tổng số cây trồng của hai lớp sẽ còn lại là : 345 - 25 =
= 320 (cây) Do đó số cây của lớp 5A la : 820 : 2 = 160 (cây) ;
số cây của lớp 5B là : ,
160 + 25 = 185 (cay)
Qua cách giải này thấy rằng ta đã tạm thời thay thế số cây
của lớp ðB bằng số cây của lớp 5A (bằng cách bớt đi số cây
chệnh lệch giữa hai lớp là 25 cây) Hay nơi một cách khác, ta
đã biểu diễn số cây của lớp 6B (là số phải tìm) theo số cây của lớp 5A (cũng là số cây phai tim) bàng cách bớt ở lớp 5B 25 cây Trên thực tế ta cd thé giải và trình bày như sau : Giải Cách 1 5A 345 | 5B 25 cay Hình 9
Giả sử bớt 25 cây của lớp 5B thi số cây của hai lớp bằng nhau, do đó tổng số cây trồng của hai lớp gẽ là :
345 - 25 = 320 (cây) Số cây của lớp BA là : 320 : 2 = 160 (cây)
Số cây của lớp ðB là : 160 + 25 = 185 (cây)
Tương tự như trên, ta có thể biểu diễn số cây của lớp õA theo số cây của lớp 5B bằng cách cộng thêm 2B cây vào số cây
Trang 27Cách 2 5A nd 345 5B Pa td 25 ov ffinh 10
Giả sử lép 5A tréng thém 2B cây nữa thì số cây của hai lớp bằng nhau, do đố tổng số cây trồng của hai lớp sẽ là : 345 +
+ 25 = 370 (cay)
Số cây của lớp 5B 1A : 870: 2 = 185 (cây) Số cây của lớp 5A là : 185 - 25 = 160 (cây)
Ví dụ 2 Ba lớp BA, 6B và 5C cố 126 học sinh, trong đó lớp 5A it hon lớp ðB là 4 học sinh, lớp ðB ít hơn lớp 5C là 10 học sinh Hỏi mỗi lớp cố bao nhiêu học sinh ?
Phâm tích Ö bài toán này có ba số phải tìm là số học sinh
Trang 285C
Giả sử ta lấy ra 4 học sinh lớp 5B và lấy ra 14 học sinh lớp thì số học sinh còn lại của hai lớp này đều bằng số học sinh
của lớp 5A Khi đó tổng số học sinh còn lại là : 126 - 4 - 14 = 108 (học sinh) Số học sinh lớp 5A là : 108 : 3 = 36 (học sinh) Số học sinh lớp 5B là : 36 + 4 = 40 (học sinh) Số học sinh lớp 5C là : 36 + 14 = 50 (học sinh) Tương tự như trên, ta có các cách giải sau : Cách 3 14h, 5A ee † thy 101 BB ————— -1 |} 126 hà ths 10h= 5C Hình 12
Giả sử ta thêm 14 học sinh vào lớp 5A và thêm 10 học sinh
vào lớp ðB thì số học sinh của mối lớp đó sẽ bằng số học sinh
của lớp ðC Khi đó tổng số học sinh sẽ là :
126 + 14 + 10 = 150 (học sinh)
Số học sinh lớp 5C là : 150 ; 3 = 50 (hoc sinh)
8ốế học sinh lớp 5B la : 50 - 10 = 40 (hoc sinh)
Trang 29Giả sử ta ldyrta 10 hoc sinh lép 5C réi chuyển 4 ban trong
đó sang lớp 5A thì số học sinh của lớp 5A va 5C déu bang sé
học sinh lớp 6B Khi đó tổng số học sinh còn lại la: 4+ 126 - 10 = 120 (hoe sinh) Số học sinh lép 5B 1A : 120 : 3 = 40 (hoe sinh) 8ố học sinh lép 5C 14 : 40 + 10 = 50 (học sinh) S6 hoe sinh Iép 5A 1a : 40 - 6 = 36 (học sinh)
Ví dụ 3 Cô giáo mua cho lớp em một số sách Tcán 5, mỗi quyển giá 3000 đồng và một số sách Bài tập toán ð, mỗi quyển giá 5000 đồng Số sách toán mua nhiều hơn sách bài tập là 12 quyển nhưng số tiền mua mỗi loại sách đó đều như nhau Hỏi
cô giáo đã mua cho lớp bao nhiêu quyển sách mỗi loại ?
Phân tích Ư bài tốn này có hai số phải tìm là số sách bài tập và số sách toán Giả sử mua thêm 12 quyển sách bài tập nữa thì số sách hai loại bằng nhau (và bằng số sách toán) Khi đó số tiền mua sách tốn sẽ Ít hơn số tiền mua sách bai tập là 5000 x 12 = 60000 (đồng) ; đồng thời đã biết giá tiền l quyển sách tốn Ít hơn giá tiền 1 quyển sách bài tập là ð000 - 3000 = = 2000 (đồng), nên từ hai hiệu đố tính được số sách toán phải tìm rổi từ đó tính được số sách bài tập phải tìm
Giải
Giả sử mua thêm 12 quyển bài tập nữa thì số tiền mua sách tốn sẽ Ít hơn số tiền mua sách bài tập là :
5000 x 12 = 60000 (đồng)
Giá tiền một quyển sách Todn Ít hơn một quyển bài tập là :
5000 ~ 3000 = 2000 (đồng)
Số sách Toán mua là : 60000 : 2000 = 30 (quyển) Số sách bài tập mua là : 30 - 12 = l8 (quyển)
Trang 30Giả sử bớt đi 12 quyển sách toán thì số tiến mua sách bài tập sẽ nhiều hơn số tiền mua sách toán là :
3000 x 12 = 36000 (đồng)
Giá tiên 1 quyển bài tập nhiều hơn 1 quyển toán là :
5000 - 8000 = 2000 (đồng)
Số sách bài tập mua là : 36000 : 2000 = 18 (quyển)
Số sách toán mua là : 18 + 12 = 30 (quyển)
Bài toán ở ví dụ 3 đã được giải bằng phương pháp như trên
gọi là phương pháp thay thế Ngoài ra bài toán này có thể giải
bằng phương pháp chia tỈ lệ với nội dung như sau : "Tìm hai
Trang 3134 Cho ba số a, b và c có tổng bằng 5896, trong dd a bé
hơn b là 10 đơn vị và b bé hơn c là 8 đơn vi Tim a, b vA c 3ã Cho bốn số a, b, e và d có tổng bằng 7889, trong đó b lớn hơn a là 2 đơn vị, c lớn hơn b là 7 đơn vị và d lớn hơn e là 1 đơn vị Tìm mỗi số do
36 Hai can dầu có tất cả 30/ Nếu chuyển 7/ dầu từ can thứ
nhất sang can thứ hai thì can thứ hai sẽ nhiều hơn can thứ nhất là 6/ đầu Hỏi lúc đầu mỗi can cớ bao nhiêu lít đầu ?
37 Hải đố Hàng : "Trong hai túi của anh có tất cả 35 viên bỉ Nếu chuyển từ túi phải sang túi trái một số bí đúng bằng số bi cố ở túi trái thÌ ở túi phải vẫn nhiều hơn ở túi trái 3 viên bi Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi túi cố bao nhiêu viên bị ?"
38, Một mảnh đất hình chữ nhật cố chu vi là 54 m Nếu tăng chiều rộng lên 2,5m và giảm chiều dài đi 25 m thì mảnh
đất đó trở thành hình vuông Hãy tính diện tích mảnh đất hình
chữ nhật
39 Một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng
15 Nếu đổi chỗ các chữ số của số đã cho thì được một số mới kém số đó 9 don vi Tim số đã cho
40 Một cửa hàng bán ba loại chanh gồm 9 kg loại một, 11 kg
loại hai và 7 kg loại ba được cả thẩy 34600 đồng Giá 1 kg loại
một đất hơn loại hai là 400 đồng, hơn loại ba là 600 đồng Tính
giá tiền 1 kg mỗi loại
§ ð PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
Trang 32chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ ed hai nang suất khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau
Ta thử đặt ra một trường hợp không xẩy ra, không phù hợp
với điều kiện bài tốn, một khả năng khơng có thật thậm chỉ
một tỉnh huống vô lí (chỉnh vì vậy mà phương pháp này đòi hỏi
người giải toán sức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh
hoạt ) Tất nhiên giả thiết ấy chỉ là tạm thời, nhưng phải tìm được giả thiết ấy, nhằm dưa bài toán về một tỉnh huống quen
thuộc, đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành
lập luận mà suy ra được cái phải tìm
Những bài toán giải dược bằng phương pháp giả thiết tạm
đều có thể giải bằng phương pháp khác Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng, dé hiểu, mang tính chất "độc đáo" Vị dụ 1 "Vừa gà vừa chó, Ba mudi sáu con, Bố lại cho tròn, Một trăm chan chan" Tính số gà và số chó
Phân tích Đây là bài toán cổ quen thuộc ở nhiều nước Rõ ràng là 36 con không thể là toàn chó cả hay toàn là gà ca Boi
vì, nếu như thế, thì số chân sẽ là 4 x 36 = 144 (chân) hoặc
2 x 86 = 72 (chân), đếu không phù hợp với giả thiết bài toán
Nhung ta lại giả thiết rằng có trường hợp ấy, để từ chênh lệch
Trang 33Sở đi bị hụt như vậy là do mỗi con chó không được tính đủ 4 chân mà bị tính hụt đi : 4 - 2 = 2 (chan) Vậy số chó là : 28 : 2 = 14 (con) 86 ga la : 36 - 14 = 22 (con) ` Cách 3 Giả sử rằng 36 con đều là chớ cả Như vậy, tổng số chân là : 4 x 36 = 144 (chân) Bố chân đổi ra là : 144 - 100 = 44 (chân) 8k di như vậy là do số chân của mỗi con gà được tính đôi va là : 4-2 = 2 (chan) Vậy số gà là : 44:2 = 22 (con) Số chớ là : 36 ~- 22 = 14 (con)
Cách 3 Ta giả thiết rằng mỗi con vật đều bị "chặt đi” một nửa số chân (rõ ràng, khả năng nay rất vô lí !) Như vậy, mỗi con chớ chỉ còn 2 chân và mỗi con gà chỉ cồn một chân Tổng số chân chỉ còn một nửa, tức là:
100 : 2 = 50 (chan)
Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải "co' một chân lên, để mỗi con vật đều chỉ có một chân, 36 con vật đều chỉ có một
chân, 36 con vật có 36 chân Như vậy, số chân chó phải "co" lên là :
Trang 34Vì mỗi con chớ ứng với một chân "co", nên suy ra có 14 con chó Vậy số gà là :
36 - 14 = 22 (con)
Dép sé: 22 con g& ; 14 con chó Ví dụ 2 Hàng ngày, cứ đúng giờ đã định, Hòa di véi van |
tốc không đổi để đến trường học kịp giờ truy bài Một hôm, vẫn
đúng giờ ấy, nhưng Hòa đi với vận tốc 50m/phút nên đến trường
chậm giờ truy bài mất 2 phút Hòa tính rằng nếu đi được 60m mỗi phút thì lại đến sớm được I phút Tính thời gian cần thiết
mà thường ngày Hòa vẫn đi từ nhà đến trường và khoảng cách giữa nhà và trường
Phân tích
A B D €,
Hình 15
Hòa đi từ nhà (điểm A) theo van tốc ð0m/phút thì, đi hết thời
gian cần thiết, Hòa mới đi được đến được B chứ chưa đi được đến
trường ở D, từ B đến D Hòa còn phải đi hết 2 phút nữa (hỉnh 1ð) Nếu Hòa đi từ A với vận tốc 60m/phút thì Hòa đến D sớm
được hơn 1 phút, nghĩa là nếu giả sử Hòa không dừng lại tại trường ở D mà cứ tiếp tục đi cho hết thời gian cần thiết thì Hòa
sẽ đến được điểm C ma di từ D đến Ở mất 1 phút
Bây giờ, ta tưởng tượng có một tình huống "kì lạ" như sau Giả sử có hai bạn Hòa như nhau, lúc đầu cùng đi từ A Trong cùng một thời gian cần thiết ban Hoda nay đi với vận tốc 50m/phit
nên chỉ đi đến được B, còn bạn Hòa kia đi với vận tốc 60m/phút
nên đến được Ơ Ta lại giá thiết rằng hai bạn Hòa này cùng
"đằng sau quay", bạn Hòa này bát đầu đi từ B, đồng thời bạn Hòa kia bất đầu đi từ Ơ để đuổi kịp bạn Hòa này cho đến khi hai người đi cùng một thời gian cẩn thiết và gặp nhau tại A
Trang 35Như vậy, ta đã đưa bài toán về dạng chuyển động đều cùng
chiều với quãng đường từ C đến B và với hai vận tốc ð0m/phút
và 60m/phút
Giải Giả sử rằng, khi đi với vận tốc 60m/phút, Hòa đến
trường sớm hơn Ì phút, nhưng không dừng lại ở trường mà cứ
tiếp tục đi cho đến hết thời gian cần thiết đã định thì Hòa đi quá trường là : 60 x 1 = 60(m), Khi đi với vận tốc 50m/phút thì Hòa bị chậm mất 2 phút tức là còn cách trường : ` ð9 x 3 = 100(m), Như vậy, quầng đường chênh léth nhau là : : 60 + 100 = 160m) Vận tốc hai lần đi chênh lệch nhau là : 60 - 50 = 10(m/phut) in thiét dé Hoa di tt nhà đến trường là tụ \60 : 10 = 16 (phúÐ, Khoảng cách từ nhà đến trường là : B0» (16 + 3) = 900 (m),
Ví dụ 3 Trong sân 'trường hình chữ nhật, nhà trường xây
một sân khấu hìn vuông có một cạnh trùng với chiều rộng của sân, cạnh đối diệ: cách chiều rộng còn lại là 72 m, và hai cạnh còn lại của sân thấu cách đều hai chiểu dài mỗi bên 11m Vì thế, điện tích cò: lại là 2336 m2 Tính cạnh của sân khấu
Vậy thời gian
Phan tich, Theo giả thiết (hình I6) ta có phần sân trường còn lại gồm ð hnÌ chữ nhật a, b, c, đ, e, trong đố điện tích
hai hình a và clà!t 72 x II x 2 = 1584 (m2) Ba hình chữ nhật b, d, e, cí chug một chiều là cạnh sân khấu, cồn tổng
số ba chiều dài là : ñ + 11 + l1 = 94(m) Ta coi như ba hình
Trang 36này ghép liên tiếp với nhau thành một
hình chữ nhật có chiéu rộng là cạnh sân
khấu và chiếu dài là 94m Lx
Biét dién tich cia ba hinh nay, chinh : :
là 2886 - 1584 = 752 (m?) ta tinh duge 7" | “ 7 i
cạnh sân khấu ; : 94 = 8(m) ' '
1u có thé phân tích cách khác nhu sau:
Gọi cạnh sân khấu là z thì phần còn : ” lại gồm ba bình chữ nhật (hình 17) ; một ị Hình 16 hình chữ nhật lớn gồm a, b, e có hai chiều j la 72 va 11 + 11 +x = 22 +x; hai hinh ch nhau d va e co hai chiéu là 11 và x Theo tích còn lại là : hay 73 x (22 +x) +2 x 11 x 12 x 92+ 712 xx +22 xx 12 x 22+ (12 + 22) x x 36 Hình 17 nhật nhỏ bằng u bài phần diện 2886,
Từ đây tính lược x và cũng từ biểu
thức này gợi ole ta một cách giải bằng
giả thiết tạm (hư sau,
Giá thiết rỉng sân khấu được
chuyển vào một góc sân, sao cho một
cạnh trùng với thiêu rộng, một cạnh
trùng với/chiều Ai như hình 17 Như
vậy, phần diện ích sân trường còn lại vấn không th đổi Phần này gồm
hình chữ nhật acớ hai chiều là 72 và 2 x 11 = 22, hai hình chữ nhật b, e có chung lố: chiều là cạnh sân
khấu Tù đó, c¿th‡ giả thiết ghép hai
hình chữ nhậthày hm một, tính được
Trang 37điện tích của nó và suy ra cạnh sân khấu
Giải Giả sử ta chuyển sân khấu vào một góc sân trường sao
cho hai cạnh của nó trùng với hai cạnh sân trường (hình 17)
Phần còn lại gồm ba bình chữ nhật a, b, c
Điện tích hình a là : 72 x 22 = 1584 (m?)
Diện tích hai hình b và e là : 2386 - 1584 = 759 (m2)
Hai hình b và e có một chiều bằng nhau và bằng cạnh sân khấu, còn hai chiều kia bằng : 72 + 22 = 94 (m)
Vậy cạnh sân khấu la : 752 : 94 = 8(m)
BAI TAP
41 Lớp có 32 bạn tham gia chuyển gạch vụn làm kế hoạch nhỏ bằng xe cải tiến và quang gánh Xe cải tiến cần bốn người một xe, còn quang gánh thì hai bạn khiêng một chiếc Vừa xe cải tiến vừa quang gánh có tất câ 18 dụng cụ Hỏi cố mấy xe cải tiến và mấy chiếc quang gánh ?
42 Rạp Kim Đồng một buổi chiếu phim bán được 500 vé
gồm hai loại 2000đ va 3000d Số tiền thu được là 1120000d Hôi số vé bán mỗi loại là bao nhiêu ?
48, (Toán cổ)
Quít ngon mỗi quả chia ba,
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười Mỗi người một miếng, trăm người
Có mười bảy quả không nhiều đủ chia Hỏi có bao nhiêu cam, bao nhiêu quít ?
44 Linh mua 4 tập giấy và 3 quyển vở hết 5400 đồng Dương mua 7 tập giấy và 6 quyển vỡ cùng loại hết 9900 đồng Tính giá tiền một tập giấy và một quyển vở
Trang 3845 Một vườn hoa hình chữ nhật chiều đài 60m, chiều rộng
30m Người ta làm 4 luống hoa bằng nhau, hình chữ nhật Xung
quanh các luống hoa đều có đường đi rộng 3m Tính diện tích các lối đi trong vườn hoa
46 O giữa một miếng đất hình vuông người ta đào một cái
ao thả cá cũng hình vuông Phần còn lại rộng 2400 m2 dùng
để trồng trọt Tổng chu vi mảnh đất và chu vi ao cá 240m Tính cạnh mảnh đất và cạnh ao cá
47 Một quầy bách hóa nhận về một số khăn mặt Chị bán
hàng lấy 1/7 sé khan dd dé bay bán, số còn lại cất vào tủ Sau khi bán được 2 chiếc thì chị nhận thấy số khăn mặt trong tủ
lúc này gấp 10 lần số còn lại đang bày Hỏi chị bán hàng đã nhận về bao nhiêu khăn mặt ?
48 Lúc 8 giờ 45 phút một đơn vị bộ đội hành quân tử doanh trại đến điểm hẹn dài 24 km với vận tốc 4 kím một giờ Ngày hôm sau, lúc 10 giờ lỗ phút, đơn vị đó theo đường cũ từ điểm hẹn về doanh trại với vận tốc Bkm một giờ Cả đi lẫn về đơn vị đều phải đi qua một trạm gác vào cùng một thời điểm trong
ngày Hãy tính thời điểm đớ
48 Cùng một lúc một ôtô đi từ A và một xe máy đi từ B ngược chiều nhau để đến địa điểm © ở giữa AB, € cach A 300 km và cách B 260 km Vận tốc của ôtô là 60km/giờ, của xe
máy là 35 km/giờ Hỏi sau bao lâu thì : `
a) Ơtơ và xe máy cùng cách C một khoảng như nhau ? b) Khoảng cách từ xe máy đến C xa gấp đôi khoảng cách từ
ôtô đến C ?
õ0 Hòa được bố đèo bằng xe máy đến thị xã để thi học sinh
giỏi với vận tốc 40 km/giờ Một giờ rưỡi sau, anh của Hòa đi
xe đạp đến thị xã với vận tốc 16 km/giờ, anh của Hòa đến thị
xã sau Hòa 3 giờ Hỏi Hòa đi từ nhà đến thị xã mất bao nhiêu
Trang 3951 Khối Bốn của trường cố ba lớp cùng nhặt giấy vụn làm kế hoạch nhỏ xây dựng di tích lịch sử Kim Đồng tổng cộng được 94 kg Kết quả lớp 4A nhặt được nhiều hơn lớp 4B là ö kg, lớp
4 nhiều hơn lớp 4A là 6kg Hỏi mỗi lớp nhặt được bao nhiêu
kilôgam giấy vụn ? ee
2k Maus cette Howey 96 AOL eA HG - City “ety 6 poring
yas AE ADR te0-be or ?
Col 6 BE Beomy BA ve LEA (MIS yal A6 zec (2c )
2Ä 34 [ tứ '@k6@r re CC CS) ca tenes (gs go) (e-
Thee © a * Cot A SED erent se} = ara o bể» ` (4 ) `
hạn A § 6 PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN LÔGIC
tr gat \
(o3 $a s 7
fees Meee eet (FR )
Loại toán này đa dạng về dé tài đòi hỏi học sinh phải biết suy luận đúng đắn, chặt chẽ, trên cơ sở vận dụng những kiến thức cơ bản và kỉnh nghiệm sống phong phứ của mình VÌ vậy, cần phải luyện tập óc quan sát, cách lập luận, cách xem xét các khả năng cớ thể xẩy ra của một sự kiện và vận dụng những kiến thức đã học vào các tình huống muôn hình muôn vẻ trong cuộc sống hàng ngày Đôi khi để giải những bài toán loại này, chỉ cẩn những kiến thức toán học đơn giản, nhưng lại đòi hôi, khả năng chọn lọc trường hợp, suy luận chặt chẽ, rõ ràng
Ví dụ 1 Trong một buổi học nữ công, ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba bông hoa cúc, đào, hồng Bạn làm hoa hồng nói với Cúc : "Thế là trong chúng ta chẳng có ai làm loại hoa trùng với tên
mình cả !", Hỏi ai đã làm hoa nào ? (xem cách giải khác ở
phương pháp ứng dụng Gráp)
Phân tích Bài toán này cổ thể giải bằng cách lập bảng (gọi
là bảng chân l hàng trên cùng, ghi tên các bông hoa, cồn cột
bên trái ghi tên ba bạn (hình 18a)
39
\ 2G 16 fe va fe bap db Rp tỒ
Trang 40cúc đào hồng Cúc Đào Hồng đình lổa
Giả thiết đầu tiên của bài toán chứng tỏ bạn Cúc không làm
hoa hồng, nên ở ô Cúc - hồng ta ghi chú "không" (đôi khi người
ta ghi chú "sai" hoặc dấu "—", Giá thiết thứ hai của đề toán
chứng tỏ ban đầu, tên mỗi bạn không trùng với tên hoa ma minh làm, nên ta ghỉ chú "không" vào ba 6 Cúc — cúc, Đào - đào, Hồng - hồng (hình 18b) cúc đào hồng Cúc không không Dao khéng Hong không đinh 1ấb
Nhìn vào bảng này, để ý ở hàng thứ hai, đã có hai ô "không" nên ô còn lại Cúc - đảo phải được ghi là "có" (đôi khi người ta ghỉ chú "đúng" hoặc dấu "+") Cdn ở cột bên phải, đã cớ hai ô "không", nên ô còn lại Đào - hổng phải được ghi "cố" Từ đó
suy ra ô Hồng - cúc phải được ghi "cớ"
Giải Theo giả thiết thì Cúc không làm hoa hồng (hinh 18b)
và Cúc cũng không lam hoa cúc, Vậy Cúc làm hoa đào Mặt
khác, hoa hồng không phải do Cúc làm và không phải do Hồng
làm, vi vậy phải do Đào làm Cuối cùng Hồng làm hoa cúc