TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC HAY Ở CẤP TIỂU HỌC A Bài Cho hình chữ nhật ABCD hình vẽ, biết M, N trung điểm cạnh BC DC Hãy tìm cặp hình có diện tích hình vẽ (không nối, không vẽ thêm đoạn thẳng nữa) B O M D N C Bài giải: - Với học sinh cấp Tiểu học (chưa học ngũ giác, lục giác, ): Có 08 cặp hình có diện tích sau: 1) SADN = SBCN (có chiều cao nhau, đáy DN = NC) 1 SABC (chung chiều cao AB, đáy BM = BC) (1); SBCN = SBCD (chung chiều 2 1 cao BC, đáy CN = DC) (2); SABC = SBCD = SABCD (3) Từ (1), (2), (3) suy : SABM = 2 2) SABM = SBCN 3) Vì SADN = SBCN mà SABM = SBCN nên suy SADN = SABM 4) Ta có: SABCD – SABM = SABCD – SADN hay SAMCD = SABCN 5) SABCD – SABM = SABCD – SBCN hay SAMCD = SABND 6) SABCD – SAND = SABCD – SBCN hay SABCN = SABND 7) SABCN – SBCN = SABCN – SABM hay SABN = SAMCN 8) SABM – SBOM = SBCN – SBOM hay SAOB = SOMCN - Với học sinh cấp THCS trở lên (đã học ngũ giác, lục giác, ): Ngồi 08 cặp hình tìm cần phải tìm thêm cặp hình khác sau: 9) SAOND = SABMON (vì SAOB = SMONC ; SAMCD = SABCN mà SAOND = SAMCD – SMONC ; SABMON = SABCN – SAOB) 10) SAOBCN = SABMON (vì SAOB = SMONC) 11) SAOND = SAOBCN (vì SABCD – SAOB) 12) SAOND = SABMON (vì SAOB = SMONC ; SABND = SABCN) 13) SAOBCD = SABMOND (vì SAOBCD = SABCD – SAOB ; SABMOND = SABCD – SMONC ; SAOB = SMONC) Bài Cho hình bình hành ABCD (như hình vẽ) Biết MN song song với AB, PQ song song với BC a) Có hình bình hành hình vẽ trên? b) Từ cách tính câu a), em nêu cách tính tổng qt cho dạng tốn c) Biết diện tích hình bình hành APIM, PBNI, MIQD 3cm 2, 9cm2, 7cm2 Tính diện tích hình bình hành ABCD A M D P B N I Q C Bài giải: a) Có hình bình hành b) Từ hình vẽ ta thấy: cặp đường thẳng song song với cặp đường thẳng song song cắt tạo hình bình hành AB với đường thẳng song song với tạo thành số cặp đường thẳng song song là: (3 – 1) : = (cặp); BC với đ ường th ẳng song song v ới tạo thành số cặp đường thẳng song song là: (3 – 1) : = (cặp) Từ nhận xét suy ra: cặp đường thẳng song song với AB với cặp đường thẳng song song với BC tạo thành hình bình hành Số hình bình hành tạo từ hình cho là: = (hình bình hành) Vậy có n (n > 1) đường thẳng song song m (m > 1) đ ường th ẳng song song cắt số hình bình hành tạo thành là: n (n 1) m (m 1) 2 c) Hình bình hành APIM PBNI có chung chiều cao hạ t A xuống MN nên đ ộ dài cạnh đáy IN so với độ dài cạnh đáy MI gấp số lần là: : = (lần) Hình bình hành MIQD INCQ có chung chiều cao hạ từ C xu ống MN có IN = MI nên diện tích hình bình INCQ là: = 21 (cm2) Diện tích hình bình hành ABCD là: + + 21 + = 40 (cm2) Bài Trong hình vẽ bên, ABCD MNDP hai hình vng Biết AB = 30 cm, MN = 20 cm a) Tính diện tích hình tam giác ABN; MNP PBC b) Tính diện tích hình tam giác NPB c) Tính diện tích hình tam giác NKB Bài giải: a) Diện tích hình tam giác ABN là: (30 – 20) 30 : = 150 (cm2) Diện tích hình tam giác MNP là: 20 20 : = 200 (cm2) Diện tích hình tam giác PBC là: (20 + 30) 30 : = 750 (cm2) b) Diện tích hình vng ABCD MNDP là: 20 20 + 30 30 = 1300 (cm2) Diện tích hình tam giác NPB là: 1300 – (750 + 200 + 150) = 200 (cm2) c) Hai tam giác PKB NKB có chung cạnh KB có chiều cao CB so với chiều cao NA gấp số lần là: 30 : (30 – 20) = (lần) Suy : SPKB = SNKB Coi SNKB phần SPKB phần thế, suy SPNB phần Diện tích hình tam giác NKB là: 200 : = 100 (cm2) Bài Tính diện tích hình vng CMNP (hình bên), biết hiệu chu vi hai hình vng ABCD CMNP 28cm hiệu diện tích hai hình vng 119cm2 Bài giải: Vẽ hình vng PCIK hình vng CMNP vào hình vng ABCD Nối AK ta hình thang nhau, có đáy lớn cạnh hình vng lớn, đáy bé cạnh hình vng nhỏ, chiều cao hiệu độ dài cạnh hình vng Diện tích hình thang bằng: 119 : = 59,5 (cm2) Chiều cao hình thang là: 28 : = (cm) Tổng độ dài cạnh hình vng là: (59,5 2) : = 17 (cm) Cạnh hình vng CMNP là: (17 – 7) : = (cm) Diện hình vng CMNP là: = 25 (cm2) Bài Một mảnh đất hình vng chia thành mảnh hình vng nhỏ (1, 2, 3, 4, 5) mảnh hình chữ nhật (6) hình vẽ Biết cạnh mảnh đất hình vng (2) 2m Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật (6) Bài giải: Ta có cạnh hình (2) = cạnh hình (3), mà cạnh hình vng lớn = cạnh hình (2) + cạnh hình (2) + cạnh hình (4) = cạnh hình (4) + cạnh hình (5) Vậy cạnh hình (5) = cạnh hình (2) = = (cm) Mặt khác ta có cạnh hình (4) + cạnh hình (1) = cạnh hình (5) = (cm), mà c ạnh hình (4) – cạnh hình (1) = cạnh hình (2) = (cm) Vậy cạnh hình (4) = (4 + 2) : = (cm); Cạnh hình (1) = – = (cm) Chiều dài hình (6) là: + = (cm) Chiều rộng hình (6) là: + – = (cm) Diện tích hình (6) là: = 15 (cm2) Bài Hình vẽ bên ba hình tròn A; 1 hình tròn A tơ đậm; hình tròn B tơ đậm hình tròn C B; C tơ đậm Biết tổng diện tích A B diện tích C Hãy tìm tỉ số diện tích A B Theo hình vẽ ta có Bài giải: 1 diện tích hình A + diện tích hình B = diện tích hình C, suy lần diện tích hình A + 4/3 diện tích hình B = diện tích hình C (nhân v ế v ới 4) (1) Mặt khác, theo ta có: Diện tích hình A + Diện tích hình B = 2/3 di ện tích hình C, suy 3/2 lần diện tích hình A + 3/2 diện tích hình B = diện tích hình C (nhân vế với 3/2) (2) Từ (1) (2) ta có: lần diện tích hình A + 4/3 diện tích hình B = 3/2 l ần diện tích hình A + 3/2 diện tích hình B, suy ra: 1/2 diện tích hình A = 1/6 di ện tích hình B Vậy diện tích hình A = 1/3 Diện tích hình B Bài Trong hình vẽ dưới, ABCD MNPC hai hình vng Biết diện tích hình vng ABCD 25 cm2 Tính diện tích hình tam giác BDN Bài giải: Nối C với N, ta S(BNC) = S(DNC) (vì đáy BC = DC chiều cao hạ từ N tam giác BNC = chiều cao hạ từ N tam giác DNC) S(BNPC) = S(BNC) + S(NPC) S(NPD) = S(DNC) + S(NPC) Vậy S(BNPC) = S(NPD) Gọi I giao điểm ND BC ta có: S(DNP) = S(DIC) + S(INPC); S(BNPC) = S(IBN) + S(INPC) S(DIC) = S(IBN) nên S(BND) = S(DBI) + S(DIC) = 1/2 S(ABCD) = 25 : = 12,5 (cm2) Bài Hình chữ nhật ABCD chứa hình chữ nhật nhỏ AMOP, MBQO, PIND IQCN có diện tích tương ứng 12 cm2, 36 cm2, 24 cm2 48 cm2 Tính diện tích phần tơ màu Bài giải: Hình chữ nhật AMOP ABQP có chung chiều rộng AP, tỉ số diện tích 12 : (36 + 12) = 1/4 Nên tỉ số PO/PQ = 1/4 Hình chữ nhật PIND PQCD có chung chiều rộng PD, tỉ số diện tích 24 : (24 + 48) = 1/3 nên tỉ số PI/PQ = 1/3 Suy tỉ số cạnh OI/PQ là: 1/3 - 1/4 = 1/12 Diện tích ABCD là: 12 + 36 + 24 + 48 = 120 (cm 2) = PQ AD Diện tích phần tơ màu bằng: SOBI + SODI = (OI PD) : + (OI PA) : = OI (PD + PA) : = (OI AD) : 2, OI = 1/12 PQ ta diện tích phần tơ màu (1/12 PQ AD) : = (1/12 120) : = (cm2) Bài Cho hình vng ABCD hai hình tròn hình vẽ Tìm chu vi hình vng biết tổng diện tích hai hình tròn 37,68cm2 Bài giải: Gọi bán kính hình tròn lớn R diên tích hình tròn lớn 3,14 R R Diện tích hình vng là: R R : = R R 2(hình vng hình thoi) Gọi MNPQ hình vng nội tiếp hình tròn nhỏ, r bán kính hình tròn nh ỏ ta có: Diện tich hình tròn nhỏ là: 3,14 r r; diện tích hình vng nhỏ r r Mà diện tích hình vng nhỏ 1/2 diện tích hình vng lớn suy ra: r r = 1/2 R R Vậy diên tích hình tròn nhỏ 1/2 diện tích hình tròn lớn, diện tích hình tròn lớn là: 37,68 : = 25,1 (cm2) R R = 25,12 : 3,14 = (cm2) Diện tích hình vng là: = 16 (cm2) Bài 10 Hình cho ta thấy hình vng cạnh 10cm Hình tơ đậm giới hạn đường tròn Tính diện tích phần tơ màu Bài giải: Diện tích hình vng lớn là: (10 + 10) (10 + 10) = 400 (cm2) Diện tích hình vng nhỏ là: 10 10 = 100 (cm2) Diện tích hình tròn bán kính 10 cm là: (10 10 3,14) : = 78,5 (cm2) Diện tích hình tròn bán kính 20 cm là: (20 20 3,14) : = 314 (cm2) Diện tích phần trắng phía là: 400 – 314 = 86 (cm2) Diện tích phần trắng phía là: 100 + 78,5 + (100 - 78,5) = 200 (cm2) Diện tích phần tơ màu : 400 - 200 - 86 = 114 (cm2) Bài 11 Giả sử OB OA đường kính nửa hình tròn OA =OB= 3cm Góc BOA góc vng A B hai điểm đường tròn bán kính OA Tính diện tích phần tô màu, đơn vị cm2 Bài giải: Từ O ta kẻ đoạn thẳng đến điểm cắt hai nửa đường tròn nhỏ (C); từ A B kẻ đoạn thẳng đến điểm C Ta có diện tích phần tơ đậm diện tích hai nửa hình thoi có đường chéo 3cm Vậy diện tích phần in đậm cần tìm là: (3 : 2) 1/2 + (3 : 2) 1/2 = 4,5 (cm2) Bài 12 Hình mẫu tạo cách vẽ nửa hình tròn bên hình vng Bán kính ba loại nửa hình tròn tương ứng 4cm, 2cm 1cm Hỏi tổng diện tích phần tơ màu xăng-ti-mét vng ? Bài giải: Diện tích hình vng là: (4 + 4) (4 + 4) = 64 (cm2) Diện tích hình tròn có bán kính là: 3,14 = 50,24 (cm2) Tổng diện tích hình 1; 2; 3; là: 64 - 50,24 = 13,76(cm2) Tổng diện tích hình diện tích nửa hình tròn có bán kính cm (lấy hình bù vào phần trắng hình 8) bằng: (2 3,14) : = 6,28 (cm2) Các cặp hình (5; 6) (7; 8) (9; 10) (11; 12) có tổng diện tích Tổng diện tích cặp là: 6,28 = 25,12 (cm2) Tổng diện tích phần tơ màu là: 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm2) Bài 13 Trong hình vẽ bên, ABCD EGHD hai hình vng Hãy so sánh BK DE Bài giải: Nối K với D; C với H SKDH = SCDH (2 tam giác chung đáy DH có chiều cao cạnh hình vng ABCD) (1) SKED = SKDH - SEDH (2) SEHC = SCDH - SEDH (3) Từ (1); (2) (3), ta có: SKED = SEHC Coi DE đáy tam giác KED diện tích KED là: DE KC : Coi EC đáy tam giác EHC diện tích EHC là: EC HD : Mà DE = HD cạnh hình vng DEGH nên KC = EC (4) Ta thấy BK = BC - KC (5); DE = DC - EC (6); BC = DC (7) Từ (4); (5); (6) (7) ta thấy BK = DE Bài 14 Cho hình vng ABCD có cạnh dài 36cm Trên cạnh AB lấy AM = 12cm, cạnh BC lấy BN = 12cm, cạnh AD lấy DP = 12cm Nối PM cắt đường chéo AC S Tính diện tích hình tứ giác MNCS Bài giải: *Tam giác AMP BMN có: - Cạnh đáy AP = MB = 36 – 12 = 24cm, chiều cao tương ứng AM = BN = 12cm - Diện tích hai tam giác bằng: (24 12) : = 144 (cm2) *Diện tích tam giác ACD là: (36 36) : = 648 (cm2) * Tam giác AMC ACP có: - Tỉ số cạnh đáy AM/AP = 12 : (36 -12) = 1/2 Chi ều cao t ương ứng CB = CD V ậy t ỉ số diện tích chúng 1/2 - Hai tam giác có chung đáy AC nên tỉ số chiều cao hạ từ M P xuống AC 1/2 * Tam giác AMS APS có chung đáy AS, tỉ số chiều cao hạ từ M P xuống AS 1/2 nên tỉ số diện tích chúng 1/2 Diện tích tam giác AMS là: 144 : (1 + 2) = 48 (cm2) SMNCS = SABCD - SBMN - SACD - SAMS Diện tích tứ giác MNCS là: 36 36 - 48 - 144 - 648 = 456 (cm2) Bài 15 Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Biết diện tích phần tô màu 5cm2 M, N trung điểm cạnh AD AB Bài giải: Nối N với M; N với C; ta có S CDM = 1/2 S ACD = 1/4 S ABCD; nên S ABCM = 3/4 S ABCD; S ADN = 1/2 S ABD = 1/4 S ABCD; S AMN = S MND = 1/2 S ADN = 1/8 S ABCD; S NBC = 1/2 S ABC = 1/4 S ABCD; S MNC = S ABCM - S AMN- S NBC = 3/4 S ABCD - 1/8 SABCD- 1/4 S ABCD = 3/8 S ABCD; Hai tam giác MNC MCD có chung đáy MC nên tỉ số chiều cao hạ từ đỉnh D đỉnh N xuống đáy MC 1/4 : 3/8 = 2/3; Hai tam giác DMK NMK chung đáy MK nên S DMK = 2/3 S NMK; S NMK = : 2/3 = 7,5 cm2; S MND = + 7,5 = 12,5 cm2; Vậy S ABCD = 12,5 = 100 cm2 Bài 16 Cho hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ), biết AB = 30cm, BC = 20cm, AM = 10cm, BP = 5cm, AQ = 15cm Tính diện tích hình tam giác MRS Bài giải: Ta có: PC = 20 - = 15 cm; QD = 20 – 15 = cm; MB = 30 - 10 = 20 cm; Nối M với Q, M với P; D với P ta có: S MPQ = S hình thang ABPQ - S AMQ - S MBP = 300 - 75 - 50 = 175 (cm2); S PQD = 30 : = 75 (cm2); hai tam giác MPQ DPQ có chung đáy PQ nên tỉ số chiều cao hạ từ M từ D xuống đáy PQ = S MPQ/ S DPQ = 175/75 = 7/3; S MQD = 10 : = 25 (cm2); S MQD = S MQR + S DQR; hai tam giác MQR DQR có chung đáy QR, tỉ số chiều cao hạ từ M từ D xuống đáy QR = 7/3 nên S DQR = 3/7 S MQR; S DQR = 25 : (3 + 7) = 7,5 (cm2); Nối Q với C ta có S CPQ = 15 30 : = 225 (cm2); hai tam giác MPQ CPQ chung đáy PQ nên tỉ số chiều cao hạ từ M từ C xuống đáy PQ = S MPQ/ S CPQ= 175/225 = 7/9; S MPC = 15 20 : = 150 (cm2); Ta xét hai tam giác MPS PSC, hai tam giác chung đáy PS, tỉ số chiều cao hạ từ M từ C xuống đáy PS = 7/9; nên S PSC = 150 : (7 + 9) = 84,375 (cm2); Mặt khác: S ABPQ = S PCDQ = 1/2 S ABCD (vì có chiều cao chiều dài hình chữ nhật, đáy bé BP = QD, đáy lớn AQ = PC); S MCD = 1/2 CD BC = 1/2 S ABCD nên S MCD = S PCDQ; S MCD = S MRS + S RSCD S PCDQ = S DRQ + S CPS + S RSCD Do đó: S MRS = S DRQ + S CPS = 7,5 + 84,375 = 91,875 (cm2) Bài 17 Tính diện tích hình tam giác ABC theo hình vẽ bên (đơn vị cm2) Bài giải: SOPC : SOPB = 40 : 30 = 4/3 Coi OP đáy tam giác OPC OPB CI = 4/3 BH SAOC = 4/3 SAOB (2 tam giác có chung đáy AO; có CI = 4/3 BH) (1) SBON : SBOC = 35 : (40 + 30) = 1/2 Tam giác BON BOC có chung chi ều cao h từ B xuống CN nên ON = ½ OC SAON = ½ SAOC (2 tam giác chung chiều cao hạ từ A xuống CN; có ON = ½ OC) hay SAON = 1/3 SANC (2) Từ (1) (2), ta có: SAON = ½ 4/3 SAOB = 2/3 SAOB nên SONB = (1 - 2/3) SAOB = 1/3 SAOB hay SONB = (1/3 : 2/3) SAON = ½ SAON (3) Từ (2) (3), ta có: SONB = ½ 1/3 SACN = 1/6 SACN Diện tích tam giác ANC là: 35 : 1/6 = 210 (cm2) Diện tích tam giác ABC là: 210 + 35 + 40 + 30 = 315 (cm2) 10