Đặc trưng hình học của diện tích và bài toán cắt giấy ở tiểu học

Bài viết đề xuất thuật toán tìm kiếm phương án tối ưu cho bài toán cắt một mảnh giấy hình chữ nhật có kích thước a × b thành các hình chữ nhật có kích thước c × d trong trường hợp các đường cắt song song với các mép giấy.

HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1075.2019-0099 Educational Sciences, 2019, Volume 64, Issue 7, pp 140-149 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA DIỆN TÍCH VÀ BÀI TOÁN CẮT GIẤY Ở TIỂU HỌC Trần Đức Thuận Khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tóm tắt Những nghiên cứu trước diện tích hình có hai đặc trưng hình học số Đối với tốn cắt giấy thành hình vng lớp 4, cách giải ưu tiên tính tỉ số diện tích hình Bài tốn trở nên phức tạp thay hình vng hình chữ nhật Kết không phù hợp xuất thiếu quan tâm đến đặc trưng hình học diện tích Dựa vào lí thuyết đồng dư, báo đề xuất thuật tốn tìm kiếm phương án tối ưu cho tốn cắt mảnh giấy hình chữ nhật có kích thước a × b thành hình chữ nhật có kích thước c × d trường hợp đường cắt song song với mép giấy Từ toán cắt giấy trường hợp tổng quát hơn, ta nhận đặc trưng hình học khái niệm diện tích cần quan tâm dạy học tiểu học Từ khóa: Bài tốn cắt giấy, diện tích, hình học, tiểu học Mở đầu Khái niệm diện tích nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Ở nước ngoài, tác giả P M Baltar [1; tr 80-81], M J Perrin-Glorian [2; tr 32-35], A Pressiat [3] có nghiên cứu tri thức luận khái niệm diện tích Theo đó, khái niệm diện tích cần phân biệt ba phương diện: phương diện hình học với hình dạng, phương diện số với số đo, phương diện đại lượng với lớp tương đương Phương diện đại lượng khác biệt với phương diện hình học phương diện số Cụ thể, hai hình có hình dạng khác có diện tích số đo diện tích hình thay đổi thay đổi đơn vị đo Tuy nhiên, ta chọn trước đơn vị đo (ta thường chọn hình vng làm đơn vị đo diện tích, mặt lí thuyết chọn hình bất kì) đồng diện tích với số đo hai phương diện lại tạo thành đặc trưng hình học đặc trưng số khái niệm diện tích Từ thời cổ đại, Euclid xây dựng hệ thống mệnh đề hình học cho phép so sánh diện tích hình đa giác, dựng hình vng có diện tích với hình đa giác cho trước dựa đặc trưng hình học diện tích, kĩ thuật tách - ghép hình, khơng cần sử dụng cơng thức tính tốn số Tuy nhiên, khái niệm diện tích hình định nghĩa gắn với số qua hàm độ đo phù hợp từ kỉ XIX Khi diện tích định nghĩa gắn với số, tác giả V Céli [4] cho qui tắc, cơng thức tính diện tích có vai trò cầu nối hình học số Kết nghiên cứu M J PerrinGlorian cho nhầm lẫn độ dài, chu vi diện tích bắt nguồn từ việc đồng sớm đại lượng hình học độ dài, diện tích với số, bỏ qua đặc trưng hình học đại lượng Kĩ thuật tách - ghép tác giả Nguyễn Thị Xuân [5] sử dụng để giải toán cầu phương hình chữ thập cho trước, tác giả Nguyễn Thị Kim Thoa [6] khai thác minh họa Ngày nhận bài: 27/5/2019 Ngày sửa bài: 11/7/2019 Ngày nhận đăng: 18/7/2019 Tác giả liên hệ: Trần Đức Thuận Địa e-mail: thuantd@hcmue.edu.vn 140 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học hoạt động dạy học qui tắc tính diện tích hình tròn Những báo công bố cho thấy bên cạnh đặc trưng số, đặc trưng hình học có ý nghĩa quan trọng việc dạy học, giải toán liên quan đến diện tích Nhằm bồi dưỡng, phát triển lực vận dụng toán học vào thực tiễn, lực thu thập xử lí thơng tin tốn học, lực giải toán cho học sinh tiểu học, tác giả Nguyễn Tiến Trung [7] giới thiệu số tốn có nội dung hình học, đại lượng đo đại lượng, thời gian, phép chia hết… Bài toán thực tiễn cho thấy thay số vào công thức tính diện tích, bỏ qua hình vẽ minh họa kết khơng phù hợp Cụ thể: Bài tốn Để chuẩn bị cho chương trình khai giảng, chào mừng năm học mới, giáo có yêu cầu dành cho nhóm học sinh sau: Mỗi nhóm có nửa tờ giấy A0 màu đỏ, với kích thước 40 × 60 cm Hãy cắt tờ giấy A0 cho thành cờ hình chữ nhật nhỏ với kích thước × 12 cm cho nhiều cờ [7; tr 38] Tác giả Nguyễn Tiến Trung giới thiệu hai cách giải toán Cách vẽ hình minh họa (phương diện hình học) với phương án tốt cắt 21 cờ Cách thứ hai gắn diện tích với số, tính tỉ lệ diện tích 22 cờ Tác giả nhận xét “có thể có hình tối đa lại khơng cắt số tính toán!” [7; tr 39] Sự mâu thuẫn kết tính tốn phương án tốt chưa giải thích đầy đủ, chưa làm rõ lí minh họa với trường hợp cắt cờ thứ 22 báo Ngoài trường hợp minh họa báo tác giả Nguyễn Tiến Trung, tồn hay không phương án cho phép cắt cờ thứ 22? Dựa vào đặc trưng kép (hình học số) khái niệm diện tích, báo làm rõ nguyên nhân dẫn đến kết khác biệt tính theo cách thứ hai (tính tỉ lệ diện tích) tìm kiếm điều kiện thực thành cơng theo tốn, giúp giáo viên tiểu học có nhìn khái quát sâu sắc toán liên quan đến diện tích, rút gọn q trình mò mẫm, thử sai qua hình vẽ minh họa Nội dung nghiên cứu 2.1 Bài toán cắt giấy, lát gạch sách giáo khoa Toán cấp tiểu học Kết nghiên cứu sách giáo khoa Toán cấp tiểu học Việt Nam hành cho thấy toán cắt cờ mà tác giả Nguyễn Tiến Trung giới thiệu có dạng tương tự với toán cắt giấy, lát gạch sách giáo khoa Toán [8], Toán [9] hành Tuy nhiên, số liệu cho sách giáo khoa Toán tiểu học đặc biệt hơn: Một tờ giấy hình vng có cạnh m […] Bạn An cắt tờ giấy thành vng, có cạnh m cắt tất ô vuông? [8; tr 169] 25 Đối với tập trên, sách giáo viên Toán giới thiệu hai cách giải:   2  Cách 1: Lấy độ dài cạnh hình vng  m  chia cho cạnh ô vuông  m  , ta  25  5  2    Từ số vng cắt là: × 5= 25 (ơ vng) cạnh hình vuông gồm ô vuông  :  25   2  (m2 )  Lấy diện tích hình vng chia Cách 2: Tính diện tích vng    25 25 625   4 cho diện tích vng ta có: Số vng cắt là: :  25 (ô vuông) 25 625 141 Trần Đức Thuận Lưu ý: 2 m = 40 cm; m = cm (số đo số tự nhiên) giải tương tự 25 thuận lợi hơn… - Ở cách 2, cần nhận xét số ô vuông cạnh phải số tự nhiên làm [10, tr 299] Điều kiện để thực cách sách giáo viên Toán lưu ý liên quan đến phương diện hình học diện tích: hình lớn lấp đầy số tự nhiên lần hình nhỏ Tương ứng, đặc điểm thể dạng tỉ số cạnh viết dạng số tự nhiên phương diện số Dù theo phương diện hình học hay phương diện số, đặc trưng hình học cặp hình, đặc biệt mối quan hệ cạnh khả lấp đầy hình lớn hình nhỏ, có ý nghĩa quan trọng để tìm lời giải phù hợp Tuy nhiên, hàng loạt toán tương tự sách giáo khoa Toán tiểu học thỏa mãn tỉ số cạnh số tự nhiên nên việc kiểm tra trở nên không cần thiết cách ưu tiên Chẳng hạn: Để lát phòng học hình chữ nhật, người ta dùng loại gạch men hình vng có cạnh 20 cm Hỏi cần viên gạch để lát kín phòng học đó, biết phòng học có chiều rộng m, chiều dài m phần mạch vữa không đáng kể? [8; tr 173] Hướng dẫn giải toán trên, sách giáo viên Toán ưu tiên cách 2, tính tỉ số diện tích: - Trước hết tính diện tích phòng học - Tính diện tích viên gạch lát - Suy số viên gạch cần dùng để lát tồn phòng học Chú ý: Số viên gạch cần sử dụng tính số tự nhiên [10; tr 306] Như vậy, sách giáo viên Tốn có lưu ý đến phạm vi hợp thức cách tính tỉ số diện tích hình lớn phải lấp đầy số tự nhiên lần hình nhỏ, thể qua tỉ số cạnh phải số tự nhiên Nếu tỉ số khơng số tự nhiên, có hình khơng nguyên vẹn mà cần chia nhỏ, chắp vá để phủ kín hình lớn Tuy nhiên, tất tập thuộc dạng toán sách giáo khoa Toán Toán Việt Nam có đặc điểm hình nhỏ hình vng, hình lớn hình vng hình chữ nhật thỏa số đo cạnh hình lớn bội số số đo cạnh hình vng nhỏ Do đó, cách thực với tập thuộc dạng toán sách giáo khoa tiểu học Việt Nam mà không cần quan tâm đến lưu ý sách giáo viên Toán Sách Toán dành cho học sinh lớp Singapore có tập thuộc dạng tốn này: Peilin có tờ giấy hình chữ nhật dài 12 cm rộng cm Trên tờ giấy này, vẽ nhiều hình vng khơng chồng chéo cạnh hình vng dài cm [11; tr 115] Sách Tốn Singapore cho thấy đưa vào bậc tiểu học toán cắt giấy với chiều rộng tờ giấy hình chữ nhật khơng chia hết độ dài cạnh hình vng Tương ứng với hai cách giải sách giáo viên Tốn Việt Nam, ta tìm hai kết khác biệt sau: Cách 1: Lấy độ dài cạnh tờ giấy hình chữ nhật chia cho độ dài cạnh hình vng, ta cạnh dài tờ giấy gồm hình vuông (12 : = 4) cạnh ngắn tờ giấy gồm hình vng (8 : = 2, dư 2) Từ đó, số hình vng vẽ × = (hình vng) Kết phù hợp với số hình vẽ thực tiễn Cách 2: Diện tích tờ giấy: 12 × = 96 (cm2) Diện tích hình vng: × = (cm2) Phép chia có dư 96 : = 10 (dư 6) đưa đến kết luận vẽ nhiều 10 hình vng khơng chồng chéo Kết vẽ 10 hình vng khơng phù hợp với thực tiễn Nguyên nhân kết khác biệt hai cách làm độ dài cạnh hình vng - Có thể đổi 142 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học không ước số chiều rộng tờ giấy hình chữ nhật Đặc trưng hình học diện tích, điều kiện ràng buộc hình vng khơng chồng chéo lên tách - ghép tờ giấy khiến cách (tính tỉ số diện tích) cho kết khơng phù hợp với thực tiễn Tuy nhiên, với hình nhỏ hình vng có cạnh nhau, toán sách Singapore chưa phức tạp trường hợp hình nhỏ hình chữ nhật Trong toán cắt cờ mà tác giả Nguyễn Tiến Trung giới thiệu, 40 60 không bội số 9, không thỏa mãn điều kiện lưu ý trang 299 sách giáo viên Tốn Do đó, cách 2, lấy diện tích hình lớn (40 × 60) chia cho diện tích hình bé (9 × 12) cho kết 22 cờ khơng xác vượt khỏi phạm vi hợp thức cách lập tỉ số lưu ý sách giáo viên Toán Hơn nữa, cách 1, lấy độ dài cạnh hình lớn chia cho độ dài cạnh hình nhỏ nhân thương với cho nhiều kết (18 cờ 20 cờ) không kết phù hợp với thực tiễn (21 cờ) Như vậy, trường hợp tổng quát mà toán cắt cờ giới thiệu tác Nguyễn Tiến Trung ví dụ điển hình, hình vẽ minh họa cho phép tìm kiếm, kiểm chứng kết phù hợp với thực tiễn cách làm đơn tính tốn, khơng ý đến đặc trưng hình học khơng cho kết xác 2.2 Dạng tổng quát tốn cắt giấy Chúng ta có tốn tổng qt cho dạng toán cắt giấy, cắt cờ, lát gạch sau: Bài tốn Cắt tờ giấy hình chữ nhật lớn với kích thước a × b thành cờ hình chữ nhật nhỏ với kích thước c × d cho thu nhiều cờ Trong đó, a, b, c, d số tự nhiên khác 0, có đơn vị đo cờ hình chữ nhật khơng tạo cách chắp vá, ghép nối Trong trường hợp a, b, c, d phân số thập phân lớn 0, ta đổi đơn vị đo để độ dài cạnh số tự nhiên khác 2.3 Điều kiện cần để cắt cờ Giả sử hình chữ nhật ABCD tờ giấy có kích thước a × b hình chữ nhật MNPQ cờ hình chữ nhật nhỏ có kích thước c × d Khi đó, ABCD có chiều rộng min(a; b), chiều dài max(a; b) *Trường hợp Chiều rộng hình chữ nhật ABCD nhỏ chiều rộng hình chữ nhật MNPQ Khi đó, ta khơng thể vẽ hình chữ nhật MNPQ nằm hình chữ nhật ABCD, nghĩa cắt cờ hình chữ nhật MNPQ từ tờ giấy hình chữ nhật ABCD ban đầu mà không chắp vá *Trường hợp Chiều rộng hình chữ nhật MNPQ nhỏ chiều rộng hình chữ nhật ABCD Trường hợp 2.1 Chiều dài hình chữ nhật MNPQ nhỏ chiều dài hình chữ nhật ABCD Khi đó, ta dễ dàng vẽ hình chữ nhật MNPQ nằm hồn tồn bên hình chữ nhật ABCD (hình 1), nghĩa ta cắt cờ hình chữ nhật MNPQ từ tờ giấy hình chữ nhật ABCD ban đầu B N P C M A Q D Hình Chiều dài ABCD lớn chiều dài MNPQ đồng thời chiều rộng ABCD lớn chiều rộng MNPQ 143 Trần Đức Thuận Trường hợp 2.2 Chiều dài hình chữ nhật MNPQ lớn chiều dài hình chữ nhật ABCD Khi đó, việc vẽ hình chữ nhật MNPQ nằm hồn tồn bên hình chữ nhật ABCD thành cơng thất bại, nghĩa từ tờ giấy hình chữ nhật ABCD ban đầu, ta cắt cờ hình chữ nhật MNPQ cắt tùy theo trường hợp cụ thể Trong trường hợp sau phép dời hình phù hợp, hình MNPQ nằm hồn tồn bên hình chữ nhật ABCD Khi đó, qua điểm M, N, P, Q, ta vẽ đường thẳng song song với cạnh hình chữ nhật ABCD nối giao điểm đoạn thẳng, ta nhận hình chữ nhật A’B’C’D’ Hình chữ nhật A’B’C’D’ nằm hồn tồn bên hình chữ nhật ABCD, có cạnh song song với cạnh hình chữ nhật ABCD chứa đỉnh M, N, P, Q (Hình 2) B C N P M Q B B’ N α M C C’ α A’ A D A P Q D’ D Hình Chiều dài MNPQ lớn chiều dài ABCD sau phép dời hình, MNPQ nằm hồn tồn bên ABCD Gọi α (nằm khoảng từ 00 đến 900) góc tạo hai đoạn thẳng QM QA’ Trường hợp góc α 00 góc α 900, ta có hình chữ nhật ABCD hình chữ nhật MNPQ (có thể hốn đổi vị trí tên đỉnh, cần) Góc  tạo hai đoạn thẳng PN PM thỏa mãn MN số Khi đó, ta có: tg  NP NP = MP.cos ; MN = MP.sin ; B’N = MN.sinα = MP.sin.sinα ; NC’ = NP.cosα = MP.cos cosα ; A’M = MQ.sinα = NP.sinα = MP.cos sinα ; MB’ = MN.cosα = MP.sin cosα ; A’B’ = A’M + MB’ = MP.cos sinα + MP.sin cosα = MP.sin(α + ) = c  d sin(α + ) B’C’ = B’N + NC’ = MP.sin.sinα + MP.cos cosα = MP.cos(α – ) = c  d cos(α – ) Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ nằm hồn tồn bên hình chữ nhật ABCD, có cạnh song song với cạnh hình chữ nhật ABCD nên: chiều dài hình chữ nhật A’B’C’D’ nhỏ chiều dài hình chữ nhật ABCD đồng thời chiều rộng hình chữ nhật A’B’C’D’ nhỏ chiều rộng hình chữ nhật ABCD Nghĩa là:  c  d sin(   ) ;  c  d sin(   ) ; max   min    d cos(   )   min(a; b) 2 c  d cos(   )  max(a; b) 2 c2 (*) max(c; d )  max(a; b) Nếu α = 00 hệ trở thành  , tương ứng với trường hợp 2.1 min(c; d )  min(a; b) 144 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học Nói tóm lại, từ tờ giấy hình chữ nhật có kích thước a × b, ta cần cắt cờ hình chữ nhật có kích thước c × d thì:  Điều kiện cần để cắt cờ là: min(c; d) ≤ min(a; b)  Trường hợp min(c; d) ≤ min(a; b) ≤ max(a; b) ≤ max(c; d), có khả cắt cờ hình chữ nhật có kích thước c × d độ dài cạnh tờ giấy lớn c  d sin(α + ) c  d cos(α – ), c = d.tg α góc tạo cạnh cờ cạnh tờ giấy Bài báo xem xét giải toán trường hợp cạnh cờ hình chữ nhật có kích thước c × d song song với cạnh tờ giấy hình chữ nhật có kích thước a × b, chưa xem xét đến trường hợp hình nhỏ phải đặt nghiêng 2.4 Giải tốn tổng quát với điều kiện cạnh cờ song song với cạnh tờ giấy Chúng ta giải tốn tổng qt trường hợp tồn cờ cắt có cạnh song song với mép giấy, không xét trường hợp cắt nghiêng (00 < α < 900) Khi đó, cạnh tờ giấy chia thành nhiều đoạn tương ứng với chiều dài chiều rộng cờ, phần dư (nếu có) Ta biểu diễn độ dài cạnh hình chữ nhật có kích thước a × b sau: a  k c  l.d  r  b  m.d  n.c  s (k , l , r , m, n, s  ;0  r  min(c; d );0  s  min(c; d )) Để cắt nhiều cờ phần giấy dư phải Nghĩa là, cần chọn số tự nhiên k, l, m, n hệ thức cho r, s số tự nhiên nhỏ Đặt D = UCLN(c; d), ta có: c D d D nên: a  r  k c  l.d D  b  s  m.d  n.c D Như vậy, chọn r0 số dư chia a cho D s0 số dư chia b cho D, ta có: r  u.D  r0 (u, v  ;0  r0  min(c; d );0  s0  min(c; d ))  s  v.D  s0 Hình chữ nhật có kích thước a × b có khả chia thành vùng hình sau: b a I m.d k.c IV l.d III n.c r II s Hình Các vùng chứa hình chữ nhật nhỏ - Phần tơ đen phần giấy chắn bỏ hình chữ nhật có chiều rộng r, s chọn khơng thể cắt cờ có kích thước c × d - Vùng I: có k.m hình chữ nhật có kích thước c × d - Vùng II: có l.n hình chữ nhật có kích thước d × c (hình chữ nhật có kích thước c × d quay góc 900) 145 Trần Đức Thuận - Vùng III: hình chữ nhật có kích thước k.c × n.c Vùng III xem xét chia thành k c    n.c   d  n hình chữ nhật có kích thước d × c chia thành k  d  hình chữ nhật có kích thước     c × d  m.d  - Vùng IV: hình chữ nhật có kích thước l.d × m.d, xem xét chia thành l    c   l.d  hình chữ nhật có kích thước d × c chia thành   m hình chữ nhật có kích thước c × d  c  Lưu ý: Cách (lấy độ dài cạnh tờ giấy chia cho độ dài cạnh cờ nhân thương) a b   a  b  cho giá trị chặn         Cách (lấy diện tích tờ giấy chia cho diện tích c  d  d  c  a.b  cờ) cho giá trị chặn   (xem [7, tr 39]) Tùy theo vị trí hướng cờ  c.d  (phương diện hình học diện tích), ta tìm số lượng cờ cắt tương ứng, có phương án tối ưu thực tiễn, số tự nhiên khoảng từ   a   b   a  b    a.b  max      ;      đến   Trong đó, [x] hàm lấy phần nguyên số thập phân x  c.d   c  d  d  c  2.5 Vận dụng tính số cờ cắt có số đo độ dài cạnh Bài toán Bài tập sách giáo khoa Toán đưa dạng: Cắt tờ giấy hình vng có kích thước 40 × 40 thành cờ hình vng có kích thước × cho thu nhiều cờ (Hình vng: hình chữ nhật đặc biệt; đơn vị đo: cm) Ta có: a = b = 40 c = d = Từ phân tích: 40 = 5.8 + 0.8 + 0, ta xác định k = m = l = n = r = s = Hình minh họa có vùng I với 25 hình vng có kích thước × Bài tốn Trong toán cắt cờ mà tác giả Nguyễn Tiến Trung giới thiệu, xác định a = 40; b = 60; c = 9; d = 12 Khi đó, D = UCLN(c; d) = ước b = 60 Lấy a = 40 chia cho D dư r0 = Ta phân tích: 40 = 3.9 + 1.12 + 60 = 5.12 + 0.9 + nên k = 3; l = 1; r = 1; m = 5; n = 0; s = Vì n = nên vùng II, vùng III hình khơng tồn Vùng I có k.m = 15 cờ có kích thước × 12 (có hàng, hàng có cờ có kích thước × 12) Phần  m.d   5.12    giấy buộc phải bỏ với chiều rộng Vùng IV chia thành l     hình  c     l.d  1.12  chữ nhật có kích thước 12 × (tốt phương án chia vùng IV thành   m      c    hình chữ nhật có kích thước × 12) Do đó, tất cắt 15 + = 21 (lá cờ) Hình Phương án tối ưu cắt 21 cờ 146 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học Thay đổi vị trí hình chữ nhật nhỏ hình 4, có hình minh họa báo tác giả Nguyễn Tiến Trung, có phương án cắt khác cho 21 cờ Bài toán Từ hình chữ nhật có kích thước 15 × 19, cắt cờ có kích thước × Ta có: a = 15; b = 19; c = 4; d = Khi đó, D = UCLN(c; d) = Lần lượt chia a b cho D, ta tính số dư r0 = s0 = Ta phân tích: Cách 1: 15 = 2.4 + 1.6 + 19 = 3.6 + 0.4 + nên k = 2; l = 1; r = 1; m = 3; n = 0; s = Vì n = nên khơng có vùng II, vùng III Vùng I có k.m = hình chữ nhật × Vùng IV chia  m.d   3.6  thành l      hình chữ nhật có kích thước × (tốt phương án chia vùng IV   c     l.d  1.6  thành   m     hình chữ nhật có kích thước × 6) Do đó, tất cắt  c    + = 10 (lá cờ) Cách 2: 15 = 2.4 + 1.6 + 19 = 1.6 + 3.4 + nên k = 2; l = 1; r = 1; m = 1; n = 3; s = Vùng I có k.m = hình chữ nhật có kích thước × Vùng II có l.n = hình chữ nhật có kích  n.c   3.4  thước × Vùng III chia thành k       hình chữ nhật có kích thước × d     k c   2.4  (tốt phương án chia vùng III thành   n     hình chữ nhật có kích thước d     m.d  1.6  × 4) Vùng IV chia thành l      hình chữ nhật có kích thước × (cùng   c     l.d  1.6  kết với phương án chia vùng IV thành   m     hình chữ nhật có kích thước  c    × 6) Do đó, tất cắt được: + + + = 10 (lá cờ) Hình Hai phương án cắt tối ưu tương ứng với hai cách phân tích Hai phương án cắt hình tương ứng với hai cách phân tích cạnh hình lớn thành tổ hợp cạnh hình nhỏ cho phần dư nhỏ Hai hình minh họa tương ứng chẳng qua dịch chuyển, thay đổi vị trí hình nhỏ mà không làm thay đổi số lượng cờ cắt Như vậy, ý đến đặc trưng hình học diện tích cho phép giáo viên tiểu học có nhìn khái quát hơn, sâu sắc tốn, rút ngắn q trình mò mẫm, tìm kiếm phương án tối ưu cho toán trường hợp tổng quát Từ đó, giáo viên tổ chức cho học sinh tiểu học phát sai lầm thực tính tốn số học mà khơng quan tâm đến phương diện hình học cách tổ chức đối chiếu kết với thực tiễn, kiểm chứng qua hàng loạt hình vẽ minh họa tác giả Nguyễn Tiến Trung giới thiệu Do học sinh tiểu học chưa học lí thuyết đồng dư, cách giải, qui trình tìm kiếm phương án tối ưu xây dựng báo phù hợp với giáo viên tiểu học không phù hợp với học sinh tiểu học Tuy toán cắt giấy, lát gạch sách giáo khoa Toán tiểu học Việt Nam giải tính tốn đơn thuần, giáo viên nên tổ chức cho học sinh vẽ hình minh họa, khai thác phương diện hình học diện tích 147 Trần Đức Thuận Kết luận Trong sách giáo khoa Toán tiểu học, dạng tốn cắt giấy, lát gạch cho sẵn hình nhỏ hình vng thỏa điều kiện hình lớn lấp đầy hình vng đỏ Với dạng tốn này, sách giáo viên Toán đề xuất hai cách giải dựa vào tính tốn số học Cách chia cạnh hình lớn cho cạnh hình nhỏ nhân kết với Cách tính diện tích hình lập tỉ số diện tích Sách giáo viên Tốn lưu ý rõ điều kiện để thực cách thứ hai liên quan đến khả lấp đầy hình lớn hình nhỏ Do đó, để học sinh quan tâm đến đặc trưng hình học diện tích điều kiện thực cách 2, dạy học dạng tốn cắt giấy, lát gạch, giáo viên nên vẽ hình minh họa, chí thay đổi kích thước hình chữ nhật lớn cho độ dài cạnh hình chữ nhật lớn khơng bội số độ dài cạnh hình vng nhỏ sách Toán dành cho học sinh lớp Singapore Bài toán cắt cờ giới thiệu tác giả Nguyễn Tiến Trung phức tạp toán cắt giấy sách giáo khoa Tốn mảnh giấy hình vng thay cờ hình chữ nhật Kích thước hình chọn nằm ngồi phạm vi hợp thức cách thứ hai, đồng thời, khác biệt kích thước hai cạnh cờ khiến từ cách làm đơn tính tốn số học, bỏ qua đặc điểm hình học đưa đến kết khơng phù hợp với thực tiễn Vì thế, hình minh họa cần thiết để tìm phương án tối ưu báo tác giả Nguyễn Tiến Trung chưa tạo biện luận chặt chẽ Dựa lí thuyết đồng dư, lượng giác xuất phát từ đặc trưng hình học diện tích, báo xây dựng qui trình tìm kiếm phương án tối ưu giới thiệu số ví dụ minh họa cho tính khả thi qui trình Cụ thể, báo có số kết đáng ý sau: - Không thể cắt cờ theo đề chiều rộng tờ giấy nhỏ chiều rộng cờ; - Tìm điều kiện cắt cờ theo phương nghiêng chiều dài tờ giấy nhỏ chiều dài cờ; - Xác định qui trình tìm kiếm phương án tối ưu với bước: xác định ước chung lớn nhất; phân tích chiều dài, chiều rộng tờ giấy theo chiều dài, chiều rộng cờ cho phần dư nhỏ nhất; chia tờ giấy thành vùng với hướng cắt cụ thể; thực thay đổi vị trí hình nhỏ muốn tìm phương án tương đương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Baltar P M., 1996 Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes: une étude de l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège Thèse pour obtenir le titre de Docteur de l’Université, Université Joseph Fourier - Grenoble [2] Perrin-Glorian M J., 1989 L’aire et la mesure Petit x, Số 24, tr 5-36 [3] Pressiat A., 2001 Grandeurs et mesures: Evolution des organisations mathematiques de reference et problemes de transposition Actes de la 11e École d’Été de Didactique des Mathématiques 2001, tr 283-297 [4] Céli V., 2005 Les formules de calcul d’aires planes : un trait d’union entre le géométrique et le numérique 13ème Ecole d'été de didactique des mathématique, Ste Livrade [5] Nguyễn Thị Xuân, 2012 Phát triển lực tư trí tưởng tượng không gian cho học sinh tiểu học qua học Tốn cắt - ghép hình Tạp chí Giáo dục, Số 289 (1-7/2012), tr 42-44 [6] Nguyễn Thị Kim Thoa, 2015 Dạy Toán tiểu học theo hướng phát triển lực người học Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, Số (71), tr 89-96 [7] Nguyễn Tiến Trung, 2015 Bồi dưỡng phát triển lực Toán học cho học sinh tiểu học Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Số 60 (8A), tr 35-43 148 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học [8] Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào Thái Lai, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê Tiến Thành, Vũ Dương Thụy, 2012 Toán NXB Giáo dục Việt Nam [9] Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Đặng Tự Ân, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Đào Thái Lai, Trần Văn Lý, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê Tiến Thành, Vũ Dương Thụy, 2012 Toán NXB Giáo dục Việt Nam [10] Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào Thái Lai, Kiều Đức Thành, Lê Tiến Thành, Phạm Thanh Tâm, Vũ Dương Thụy, 2012 Toán - Sách giáo viên NXB Giáo dục Việt Nam [11] Kheong F H., Ramakrishnan C., Soon G K., 2008 My PALS are HERE! Maths 4B Marshall Cavendish Education ABSTRACT Geometric characteristics of area and the problem of paper partitioning in primary schools Tran Duc Thuan Faculty of Primary Education, Ho Chi Minh City University of Education Previous studies showed that the area of a figure has two characteristics: geometry and arithmetic For the problem of paper partitioning into squares in grade 4, the preferred solution is calculating the area ratio of the figures The problem becomes more complicated when squares is substituted by rectangles Inappropriate result appears due to a lack of interest in geometric characteristics Based on the theory of congruence, this article proposes an algorithm to find the optimal plan for partitioning a rectangular piece of paper of size a × b into rectangles of size c × d in the case of partitioning lines in parallel with the edges of paper From the problems of paper partitioning in a more general case, we realize that the geometric characteristics of the concept of area need to be more attentive in teaching mathematics in primary schools Keywords: Problem of paper partitioning, area, geometry, primary school 149 .. .Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học hoạt động dạy học qui tắc tính diện tích hình tròn Những báo công bố cho thấy bên cạnh đặc trưng số, đặc trưng hình học có ý nghĩa... dài cạnh hình vng - Có thể đổi 142 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học khơng ước số chiều rộng tờ giấy hình chữ nhật Đặc trưng hình học diện tích, điều kiện ràng buộc hình vng... thước × 12) Do đó, tất cắt 15 + = 21 (lá cờ) Hình Phương án tối ưu cắt 21 cờ 146 Đặc trưng hình học diện tích tốn cắt giấy tiểu học Thay đổi vị trí hình chữ nhật nhỏ hình 4, có hình minh họa báo tác