Đang tải... (xem toàn văn)
Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.. 3..[r]
(1)
HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 sin = AB
BC (ĐỐI chia HUYỀN) cos = AC
BC (KỀ chia HUYỀN) tan = AB
AC (ĐỐI chia KỀ) cot = AC
AB (KỀ chia ĐỐI) II.HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC
AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH 1 2 12 1 2 AH AB AC III ĐỊNH LÍ CÔSIN
a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN a b c 2R sin A sin B sin C V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a) AM AN MN
AB AC BC ; b)
AM AN
MB NC VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1 Tam giác thường:
a) S = 1ah
2 b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h = a 3
2 ; b) S =
2
a 3 4
c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3 Tam giác vuông: a) S = 1
2ab (a, b cạnh góc vng)
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền 4 Tam giác vng cân (nửa hình vng):
a) S = 1 2a
2
(2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a 2 5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vng có góc 30o
60o
b) BC = 2AB c) AC = a 3
2 d) S =
2
a 3 8
6 Tam giác cân: a) S = 1ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước)
8 Hình thoi: S = 1
2d1.d2 (d1, d2 đường chéo)
H C
B
A
N M
C B
A
60o 30o
C B
(2)9 Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 2 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường trịn)
b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác
a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG = 2
3 BN; * BG = 2GN; * GN = 1 3BN
2 Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm
3 Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4 Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1 Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác
Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc
2 Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc
3 Đường thẳng d vng góc với mp():
a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp() Tức là:
d a; d b a b
a, b
d ()
b)
( ) ( ) ( ) ( ) a a d ( )
d ()
c) Đt d vng góc với mp() d vng góc với đt nằm mp() 4 Góc giữa đt d mp(): d cắt () O Ad
Nếu AH ( )
H ( )
góc d () hay ˆ
AOH = 5 Góc mp() mp():
Nếu
( ) ( ) AB FM AB;EM AB EM ( ), FM ( )
thì góc () () hay EMFˆ = 6 Khoảng cách từ điểm A đến mp():
Nếu AH () d(A, ()) = AH (với H ()) IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 2 Thể tích khối chóp: V = 1Bh
3 (diện tích đáy đa giác) G
P N M
C B
A
F
E
M B
A
O
H A
d' d
(3)3 Tỉ số thể tích khối chóp: S.A B C S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
4 Diện tích xq hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích khối nón trịn xoay: V = 1Bh
3 (diện tích đáy đường trịn)
6 Diện tích xq hình trụ trịn xoay: Sxq = 2Rl (R: bk đường trịn; l: đường sinh)
7 Thể tích khối trụ tròn xoay: V = Bh =
R
h ( h: chiều cao khối trụ) 8 Diện tích mặt cầu: S = 4
R
(R: bk mặt cầu ) 9 Thể tích khối nón trịn xoay: V = 4 R3
(4)PHẦN: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN
I CƠNG THỨC VECTƠ: a1;a2;a3
a
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho a1 ; a2;a3
a
b1;b2;b3
b kkRR
a1 b1;a2 b2;a3 b3
b
a
Ta có:
1) aba1 b1; a2 b2;a3b3
ka1;ka2;ka3
a k
2) ka ka1 ; ka2;ka3
3 2 1
.b a b a b a b
a
3) a b a1b1 a2b2 a3b3
2
1 a a
a
a
4) a a1 2 a22 a32
a
5) Tích có hướng hai vectơ a b
b 2 1 3 3
2 ; ;
, b b a a b b a a b b a a b a
a,b a.b.Sin a,b
6) a, b a.b.Sin a,b
3 2 1 b a b a b a b
a
7) 3 2 1 b a b a b a b
a
a
8) a b ,
a b
cùng phương b a, b 0
a b a ,
9) a a,b hay bb aa,,bb
a
10) a, bb, cc đồng phẳng aa,, bb cc00
0 3 2
1
b a b a b a b
a
11) ab a1b1a2b2 a3b3 0
AB AC S ABC 2 ,
1
Ứng dụng vectơ:
S ABC 2.AB,AC
1
/
/ / / / AB,AD.AA
VHoäpABCDABCD
/
/ / / / AB,AD.AA
VHoäpABCDABCD
AB ACAD VTứdiệnABCD ,
6
VTứdiệnABCD AB,AC.AD
6
xA yA zA
A ; ;
II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho AxA;yA;zA
xB yB zB
B ; ;
xB xA yB yA zB zA
AB ; ;
1) ABxB xA;yB yA;zB zA
2 2 2
A B A
B A
B x y y z z
x
AB
2) AB xB xA 2 yB yA 2 zB zA2
ABC
3) G trọng tâm ABC, ta có:
3 C B A G C B A G C B A G z z z z y y y y x x x x 0
GA GB GC GD
4) G trọng tâm tứ diện ABCD
0
GA GB GC GD
4 D C B A G D C B A G D C B A G z z z z z y y y y y X x x x x k kz z z k ky y y k kx x x B A M B A M B A M 1
5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có:
k kz z z k ky y y k kx x x B A M B A M B A M 1 1 k
, k 1
2 2 z z z y y y x x x A I B A I B A I
6) I trung điểm đoạn AB thì:
2 2 z z z y y y x x x A I B A I B A I
III MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp có cặp VTCP :
a1;a2;a3
a
b1;b2;b3
b
n
2 1 3 3
2 ; ;
, b b a a b b a a b b a a b a
Nên có VTPT là:
n
2 1 3 3
2 ; ;
, b b a a b b a a b b a a b a
2) Phương trình tổng qt mp có dạng:
0
2
2 B C A
Ax + By + Cz + D = Với A2 B2 C2 0
A B C
nA;B;C ; n ; ; VTPT mp
(5) 1 :A1xB1yC1zD1 0
(Oxy) : z = ; (Ozy) : x =
(Oxz) : y =
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:
0 :
1
1
1
D z
C y
B x
A
2 :A2xB2yC2zD2 0 1
P.tr chùm mp xác định 1 22
1 20
Ax By Cz D Ax By Cz D
là:
1 20
Ax By Cz D Ax By Cz D
0
2
A B C
n ; ;
5) Các vấn đề viết phƣơng trình mặt phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng P.Pháp:
Tìm VTPT nA; B; Cvà điểm
0 0
0 x ;y ;z
M
quaM0 x0; y0;z0
xx0 B yy0 C zz00
A
dạng:
xx0 B yy0 C zz00
A
AC AB,
Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C
P.Pháp:
Tính AB,AC
AB AC n ,
Mp (ABC) có VTPT
AB AC n ,
và qua A
Kết luận
Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mp đi qua điểm A vng góc BC
P.Pháp: Mp
1;0;0
i
BC Nên có VTPT BC qua A Chú ý:
Trục Ox chứa i 1;0;0
0;1;0
j
Trục Oy chứa j 0;1;0
0;0;1
k
Trục Oz chứa k 0;0;1
Vấn Đề 4: Viết phƣơng tình mp là mặt phẳng trung trực AB
P.Pháp:
Mp AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB
Kết luận
Vấn Đề 5: Viết phƣơng tình mp đi qua
0 0
0 x ;y ;z M
điểm M0 x0; y0;z0và song song với mặt
:AxByCzD0
phẳng : AxByCzD0
//
P.pháp:
// Nên phương trình có dạng:
/
Ax + By + Cz + D /=
/
0 D
M
M / D
AB
Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phƣơng trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q) P.Pháp:
Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT Q
n
của (Q) nQ
AB nQ n ,
Mp (P) có VTPT nAB,nQvà qua A
Kết luận
Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình mp
x0;y0;z0
M
đi qua điểm hình chiếu điểm
x0 ; y0;z0
M
trên trục toạ độ
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) * Phương trình mp
1
0
z z y
y x
x
là:
0
z z y
y x
x
Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình mp
P
n
đi qua điểm M0 vng góc với hai mặt
phẳng (P) (Q) P.Pháp:
(P) có VTPT nP
Q
n
(Q) có VTPT nQ
Mp nP nQ
,
có VTPT nP,nQvà qua Mo
Kết luận
Vấn Đề 9:Viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua giao tuyến hai mp 11 và 22
* Đi qua điểm M0
P.Pháp: Mp qua giao tuyến 1 1 và 22 có dạng:
1 20
A x B y C z D A x B y C z D
0 k k
(6)
Chọn Kết luận
3
*Song song với mặt phẳng 3 : A3x + B3y + C3z +D3 =
Mp A1A2 x B1B2 y C1C2zD1D2 0
có dạng: A1A2 x B1B2 y C1C2zD1D2 0
n A1 A2;B1B2;C1C2
3
Có VTPT : n A1 A2; B1B2;C1C2 3 n3 A3;B3;C3
Có VTPT : n3 A3; B3;C3
Vì // 33
3 3 C C C B B B A A
A
Nên 3 C C C B B B A A
A
, Giải tìm ,
* vng góc với 3 3 : A3x + B3y + C3z +D3 = 0
3
3
n n n
n
Ta có : nn3 n n3 0
Chọn
Kết luận
Vấn Đề 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp:
Xác định tâm I mặt cầu (S)
Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT : IAIA
Viết phương trình tổng quát I 0 2 2 1 1 D z C y B x A D z C y B x A
II ĐƢỜNG THẲNG:
Phƣơng trình đƣờng thẳng:
1) Phƣơng trình tổng quát của đường thẳng:
0 2 2 1 1 D z C y B x A D z C y B x A
với A1 : B1 : C1
0 0
0 x ;y ;z M
A2 : B2 : C2
2) Phƣơng trình tham số của đường thẳng qua điểm M0 x0; y0;z0
a1;a2;a3
a
có VTCP
a1 ; a2;a3
a là:
t a z z t a y y t a x x
tR a1;a2;a3
a
3) Phƣơng trình tắc của đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: aa1 ; a2;a3
a z z a y y a x x a z z a y y a x x 2
1 a a a Với 2
1 a a a : 0 2 2 1 1 D z C y B x A D z C y B x A
Qui ƣớc: Nếu = x – x0 =
Vấn Đề 11: Tìm VTCP đƣờng thẳng tổng quát : 0 2 2 1 1 D z C y B x A D z C y B x A P.Pháp: 1 2 1 2 1 ; ; B A B A A C A C C B C B a
có VTCP :
1 2 1 2 1 ; ; B A B A A C A C C B C B a
Vấn Đề 12: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng
a1;a2;a3
a
: P.Pháp:
Cần biết VTCP aa1 ; a2;a3
0 0
0 x ;y ;z
M
và điểm
0
0 x ; y ; z
M
a z z a x x a y y a x x
Viết phương trình tham số theo cơng thức (2)
Viết phương trình tắc theo cơng thức (3)
Viết phương trình tổng qt từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng qt:
3 azzaxxayya
xx
a1;a2;a3
u
Rút gọn dạng (1)
Chú ý:
Viết phương trình tổng quát phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm:
- VTCP u a1 ; a2;a3
bằng vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị
đó Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận
Vấn Đề 13: Viết ptr đƣờng thẳng đi 0 0
0 x ;y ;z M
qua điểm M0 x0 ; y0 ; z0 và vng góc với :AxByCzD0
(7)
P.Pháp:
Mp có VTPT nn AA;; BB;; CC
Đường thẳng qua điểm M0 có VTCP n
là n
Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt
Vấn Đề 14: Viết phƣơng trình hình chiếu của d mp
P.Pháp:
Gọi d/
hình chiếu d trê mp
Gọi mặt phẳng chứa d
Nên
d
u
có cặp VTCP
VTCP d ud nn VTPT mặt
phẳng
Mp có VTPT nn uudd,,nn
Mp qua điểm M0d
Viết phương trình tổng quát Mp
: :
Phương trình đường thẳng d/
:
: : 0 0
0 x ;y ;z M
Vấn Đề 15: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M0 x0 ; y0 ; z0 và vng
1
góc với hai đƣờng 1 và 22
P.Pháp:
1 u1
có VTCP u1
2
2 u2
có VTCP u2
1
d vng góc với 1 và 22 Nên d có
u1,u2 ud
VTCP làud u1 ,u2
1
Vấn Đề 16: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A cắt hai đƣờng
1
và 22
1
P.Pháp:
Thay toạ độ A vào phương trình 1 và 22
1,
A A
1
Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa 1
2
Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa 2
: :
Q P
P.tr đường thẳng d:
: :
Q P
P
Vấn Đề 17: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d P cắt hai đƣờng 11 và 22
P A1
P.Pháp:
Gọi A1 P
P B 2 Gọi B 2 P
1
Đường thẳng đường thẳng AB
Vấn Đề 18: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 cắt hai đƣờng 1 và 22
1
P.Pháp
Gọi (P) mặt phẳng chứa 1 và(P) // d1
Gọi (Q) mặt phẳng chứa 2 và(Q) // d1 P Q
d
d P Q
: :
Q P
Phương trình đường thẳng d
: :
Q P
1
Vấn Đề 19: Viết phƣơng trình đƣờng vng góc chung hai đƣờng thẳng chéo nhau 1 và 22
1 u
P.Pháp:
Gọi u1 và uu22 lần lượt VTCP 11
2
và
2
u1,u2 v Gọi v u1 ,u2
1
Gọi (P) mặt phẳng chứa 1 có v
VTCP v Nên có VTPT nnPP uu11,,vv
2
phương trình mặt phẳng (P)
Gọi (Q) mặt phẳng chứa 2 có v
VTCP v Nên có VTPT nnQQ uu22,,vv
1
phương trình mặt phẳng (Q)
Phương trình đường vng góc chung
1
và 22
: :
Q P
:
: :
Q P
1
Vấn Đề 30: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vng góc (P) cắt hai đƣờng thẳng 1 và 22
P.Pháp:
Gọi mặt phẳng chứa 11 và có
P
n
VTCP là nP ( VTPT (P) )
Gọi mặt phẳng chứa 22 có
P
n
VTCP là nP ( VTPT (P) )
d
Đường thẳng d
1
Vấn Đề 31: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M0 vng góc với
đƣờng thẳng 1 và cắt đƣờng thẳng 22
P.Pháp:
Gọi
1
là mặt phẳng qua M0
(8) Gọi
2
là mặt phẳng qua điểm M0
chứa 2
d
Đường thẳng d
Vấn Đề 32: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua giao điểm đƣờng thẳng
và mặt phẳng và dd ,,dd
P.Pháp:
A
Gọi A
Gọi
là mặt phẳng qua A vng góc với Nên
có VTPT VTCP
d
Đường thẳng d
IV MẶT CẦU:
1 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
d c b a
R
2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 -2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 – d >
thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c)
Bán kính R a2 b2 c2 d
AB R
2
Vấn Đề 20: Viết phƣơng trình mặt cầu P.Pháp: Cần:
Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu
Bán kính R
Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
Vấn Đề 21: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB
P.Pháp:
Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu
Bán kính R AB
Viết phương trình mặt cầu
Vấn Đề 22: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với :
Ax + By + Cz + D = P.Pháp:
Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với Nên có bán kính
d I,
R
2
2 B C
A
D Cz By
AxI I I
RdI,
2
2 B C
A
D Cz By
AxI I I
Viết phương trình mặt cầu
Vấn Đề 23: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
P.Pháp:
Oxy
I
Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d =
A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d
Kết luận
Vấn Đề 24: Lập phƣơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy
P.Pháp:
Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu,
Oxy
I
2
2
CI AI
BI AI
Ta có AI2 = BI2 = CI2
Ta có Hpt
2
2
CI AI
BI AI
Giải Hpt I
d c b a
q d
p c
n b
m a
2 2
IA = R
Kết luận
Vấn Đề 25: Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = 0
P.Pháp 1:
Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d =
Suy ra:
d c b a
q d
p c
n b
m a
2 2
d c b a
R Vậy (S) có tâm I(a ; b ; c) ,
Bán kính R a2 b2 c2 d P.Pháp 2:
Đưa dạng(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2 2 2
A B A
B A
B x y y z z
x
AB
V KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách hai điểm
AB
2
2 A
B A B A
B z
z y
y x
x AB
2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng
2 2 2 0,
C B A
D Cz By Ax M
d
: Ax + By + Cz + D =
2 2 2 ,
C B A
D Cz By Ax M
d
3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng
d
Lấy M0d
u
(9) u u M M d M d ,
,
1
4) Khoảng cách hai đường thẳng chéo //
u
Gọi u uu//
lần lượt VTCP
/
và /
/ /
0 M
đi qua điểm M0 ,
/ / 0 M / / 0 / / , , , u u M M u u d a VI.GÓC:
1. Góc hai vectơ a bb
Gọi góc hai vectơ aa b
2 2 2 2 3 2 1 b b b a a a b a b a b a b a b a Cos
b
2 2 2 3 2 1 b b b a a a b a b a b a b a b a Cos
2 Góc hai đường thẳng (a) (b) Gọi
0900
là góc hai đường thẳng (a) (b)
0 900
a1,a2,a3
a
Đường thẳng (a) (b) có VTCP : a1 , a2,a3
a
b1,b2,b3
b
2 2 2 2 3 2 1 b b b a a a b a b a b a b a b a Cos
b ab
a
Đặc biệt: aba b 0
3 Góc hai mặt phẳng /
và /
/
: Ax + By + Cz + D =
/
: A/x + B/y + C/z + D/ =
Gọi góc hai mặt phẳng
/ / / / 2 / / /
A B C
C B A CC BB AA Cos / / / / 2 / / /
A B C C B A CC BB AA Cos
4 Góc đường thẳng (d) mặt phẳng
u
(d): có VTCP u
= (a, b, c)
: Ax + By + Cz + D =
Gọi
2 2 2
2 B C . a b c
A Cc Bb Aa Sin
là góc nhọn (d)
2 2 2
2 B C a b c
A Cc Bb Aa Sin Vấn Đề 26: Vị trí tƣơng đối
1 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng /
và
/
có VTCP : aa aa11 ,, aa22,,aa33 M0
/
; M0
/ / / / / a ;a ;a a
có VTCP : a/ a1/; a2/;a3/ ; MM00 // //
a) //
/
0
/
aa M M
đồng phẳng
/
0
/
aa M M
b) /
/ / / / 0 / : : : : a a a a a a M M a a
cắt /
/ / / / 0 / : : : : a a a a a a M M a a / / /
/ a :a :a a :a :a
c) / a1 : a2 :a3 a1/ :a2/ :a3/
0
/ 0 / 0 /
0 x : y y : z z
x
d) chéo // a.a/ M0M0/ 0
2 Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng và mặt
phẳng
Giả sử:
aa1,a2,a3
có VTCP : aa1 , a2 , a3 và qua
M0(x0 ; y0 ; z0)
: Ax + By + Cz + D = P.Pháp:
Viết phương trình tham số
Toạ d0ộ giao điểm đường thẳng
mp
nghiệm hệ phương trình
_ _ _ _ D Cz By Ax t a z z t a y y t a x x _ _ _ _ D Cz By Ax t a z z t a y y t a x x //
Thế (1), (2), (3) vào (4) ta phương trình () theo t
Nếu () vô nghiệm //
Nếu () có nghiệm tuỳ ý
Nếu () có nghiệm cắt
1 :A1xB1yC1zD1 0 2 :A2xB2yC2zD2 0
tại điểm vào (1), (2), (3) tìm toạ độ giao điểm
3 Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng
1 : A1xB1yC1zD1 0 2 : A2xB2yC2zD2 0
(10) 1 // 2
2 2
D D C C B B A A
1 // 2
2 2
D D C C B B A A
1 2
2 2
D D C C B B A A
1 2
2 2
D D C C B B A A
1
1 2
2
B B A A
cắt 2
2
B B A A
2
C C B B
hay
2
C C B B
2
C C A A
hay
2
C C A A
4 Vị trí tƣơng đối mp và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R
P.Pháp:
Tính d(I, )
Nếu d(I, ) > R => không cắt (S)
Nếu d(I, ) = R => tiếp xúc (S)
Nếu d(I, ) < R =>
2
2 ,
R d I
r
cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính
2 , 2
R d I
r
/ d
Gọi d/
đường thẳng qua tâm I d/
H d/ H
Gọi H d/ H tâm đường tròn giao tuyến
5 Tọa độ giao điểm đƣờng thẳng và
mặt cầu (S) P.Pháp:
* Viết phương trình đường dạng phương trình tham số
* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t
Nếu ptr () vô nghiệm => không cắt mặt cầu (S)
Nếu ptr () có nghiệm kép => cắt (S) điểm
Nếu ptr () có hai nghiệm =>
cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số
=> Tọa độ giao điểm
Vấn Đề 27: Tìm giao điểm H
và mp
t a z z
t a y y
t a x x
3
2
1
:
và : Ax + By + Cz + D =
H
P.Pháp:
Gọi H
4 _ _
2 _
1 _
3
2
1
D Cz By Ax
t a z z
t a y y
t a x x
Tọa điểm H nghiệm hệ phương trình
4 _ _
2 _
1 _
3
2
1
D Cz By Ax
t a z z
t a y y
t a x x
Thế (1), (2), (3) vào (4) ta phương trình => t
Thế t = vào (1), (2), (3) ta tọa độ điểm H
Vấn Đề 28: Tọa độ điểm M/
đối xứng M qua mặt phẳng
P.Pháp:
Gọi M/
(x/ ; y/ ; z/ ) điểm đối xứng M qua
d
Gọi d đường thẳng qua M d
n
Nên d có VTCP n
H d
Viết phương trình tham số d
Gọi H d
: :
d
Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình
: :
d
P d
=> Tọa độ điểm H
Vì H trung điểm MM/
=> Tọa độ điểm M/
Vấn Đề 29: Tìm tọa độ điểm M/ đối
xứng M0 qua đƣờng thẳng d
P.Pháp: Gọi M/
(x/ ; y/ ; z/ )
Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 P d
H d P
Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT
Gọi H d P
(11)c
2
2
/
/
/
z z z
y y y
x x x
H H H
Ta có:
2
2
/
/
/
z z z
y y y
x x x
H H H