TỔNG hợp TOÀN bộ KIẾN THỨC môn HÌNH học lớp 11

Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d

(a) hoặc mp(a) Mặt phẳng a

A  (a) Điểm A thuộc mp(a) hay A nằm trên (a) hay(a) chứa A hay (a) qua A

A  (a)

Điểm A không thuộc (a) hay A không nằm trên (a) hay (a) không chứa A hay (a) không qua A

d  (a) d chứa trong mặt phẳng a

d  (a) = {M}M} d cắt mặt phẳng (a) tại M

(a)  () =  mp(a) cắt mp() theo giao tuyến 

đáyABC.A'B'C' Hình lăng trụ tam giác

d(A,(a)) Khoảng cách từ A đến mp(a) Distance from A to (a)

d(,(a)) Khoảng giữa đường thẳng  và mp()

d((a),()) Khoảng giữa hai mp(a) và mp()

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của

chúng song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng

hướng và cùng độ dài

 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược

hướng và cùng độ dài Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là -a;

vectơ đối của MNlà NM nên ta cĩ  MN  NM

 Hai vectơ a và b cùng phương k  R: a = kb.

 ab a b 0

= 2 b v = - 1 3 u a

b

a

v u

hai vectơ bằng nhau hai vectơ đối nhau

các cặp vectơ cùng phương

 Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là

hình bình hành thì:

D A

AC AD

AB 

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, tacĩ:

AC BC

AB 

CB AC

AB 

 A, B, C thẳng hàng AB  k AC, k  R

 I là trung điểm AB IAIB  0

 G là trọng tâm ABC GAGBGC 0

b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:

Cho hai vectơ u= (u1; u2), v= (v1; v2), ta cĩ:

1 1

v u

v u v

3

C B A C B

có

) y

; M(x qua

at x x

có

) y

; M(x qua

n là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0

Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  cĩ vectơ pháp tuyến

)

;

( B A

n 

 Nếu đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương u  ( b a; ) thì d cĩ một vectơ pháp tuyến n(b;a)

Nếu đường thẳng  cĩ vectơ pháp tuyến n= (A; B) thì  cĩ một vectơ chỉ phương là u ( B;A)

 Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 cĩ dạng: Ax + By + C1 = 0 (C ≠

C1)

 Đường thẳng vuơng gĩc đường thẳng : Ax + By + C = 0 cĩ dạng: -Bx + Ay + C2 = 0

3 Đường trịn:

 Đường trịn (C):







R kính bán

b a I tâm ( ; )

cĩ phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2  Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường trịn (C) khi và chỉ khi

a2 + b2 - c > 0 Khi đĩ (C) cĩ tâm I(a; b) và bán kình là R = a2 b2 c

 Ghi chú:

§1 PHÉP BIẾN HÌNH

 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm

M lên đường thẳng d Dựng được bao nhiêu điểm M' như thế?

ĐỊNH NGHĨA:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của

mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh

của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' =

F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh

của hình H qua phép biến hình F.

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

 Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a.

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì

sao?

 Ghi chú:

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 PHÉP TỊNH TIẾN

I- NH NGH A: ĐỊNH NGHĨA: ĨA:

Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến

mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = v được gọi

là phép tịnh tiến theo vectơ v.

M

 Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là T v, v được gọi là vectơ tịnh tiến.

 Vậy: T v (M) M'  MM' v

 Phép t nh ti n theo vect - không chính là phép đ ng nh t ịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất ến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất ơ - không chính là phép đồng nhất ồng nhất ất.

 Cho hai tam giác đều ABE và BCD

bằng nhau Tìm phép tịnh tiến biến ba

điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm

B, C, D.

D C

E A

B

H ' H

C B

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu T v(M)M', T v(N)N' thì M'N' MN và từ đó suy ra M'N' = MN Hay phép

tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường

tròn thành đường tròn có cùng bán kính

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v= (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Gọi M'(x'; y') là ảnh

của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v, khi đó:

a x x

'

'

(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T v)

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (1; 2) Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm

M(3; -1) qua phép tịnh tiến T.

Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v= (2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x

-5y + 3 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến T v

Giải:

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4

= 0 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v= (-2; 3).

Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ

AD

Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Xác đinh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh

tiến theo vectơ AG Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v= (2; -1), điểm M(3; 2) Tìm tọa độ của các điểm A

sao cho:

a) A = T v (M); b) M = T v (A)

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v= (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường

thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo

vectơ v.

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v.

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 =

9 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v= (-2; 5).

Bài 6: Chứng minh rằng: M' = T v(M) M Tv(M )'

Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a

thành b Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v= (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0,

đường thẳng d1 có phương trình 2x - 3y - 5 = 0

a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua T v

b) Tìm tọa độ của w có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua T w

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0 Tìm phép tịnh

tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ

và viết phương trình đường thẳng d'

Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động

trên đường tròn (O) Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam

giác ABC di động trên một đường tròn

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm

M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép

đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục

Đường thẳng d được gọi là trục của phép

đối xứng trục hoặc đơn giản là trục đối xứng

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là

Đd

M' M

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua

d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.

* Nhận xét:

 Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường

thẳng d Khi đó: M' = Đd(M) M0M'   M0M

 M' = Đd(M) M = Đd(M')

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC

Giải:

Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đd:

d

a

d

M

N

A

B

C

d

I

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox

trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm

M(x; y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y') thì:













y y

x x

' '

(x; y)

M 0 x O

y

d

M' M

2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy

trùng với đường thẳng d Với mỗi điểm

M(x; y), gọi M' = Đd(M) = (x'; y') thì:













y y

x x

' '

M'(x'; y') (x; y)

M 0

x O

y d

M

 Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 =

0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép

đối xứng trục Ox

Giải:

III- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH: Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng. Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây: D E F A B C E B C D A C F A B C D A B C D  Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy

Bài 3: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Xác định ảnh của tam

giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x +

2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C)

qua phép đối xứng trục Oy

Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng?

V I E T N A M W T O

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 =

0 Tìm ảnh của M qua Đd

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường

thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0 Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'

Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng

Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d Hãy dựng

hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§4 PHÉP QUAY I- ĐỊNH NGHĨA:

Cho điểm O và góc lượng giác a Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm

M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng a được gọi là phép

quay tâm O góc a

Điểm O được gọi là tâm quay còn a được gọi là

góc quay của phép quay đó

Phép quay tâm O góc a thường được kí hiệu là

M'

* Nh n xét: ận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương

của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với

 Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB Tìm ảnh của A, B

qua phép quay tâm O, góc quay -90 0 Chứng minh AB = A'B'.

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng

thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành

đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam

giác bằng nó, biến đường tròn thành đường

I' O

I

B

A

C O

* Nhận xét: Phép quay góc a với 0 < a < ,

biến đường thẳng d thành đường thẳng d' sao

cho góc giữa d và d' bằng a (nếu 0 < a  2),

Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB

Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 600

Giải:

C

B

O

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4) Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A

qua phép quay tâm O góc 900

Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y

- 2 = 0 Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900

Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA Tìm

ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 900

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB

a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200

b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C Dựng về một

phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF

a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC Chứng minh BMN đều

Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng Hãy tìm trên a và b lần

lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§5 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:

Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'

Ví dụ: Cho tam giác ABC Tìm ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực

hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ AB

B

C A

 Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD Tìm ảnh của các điểm A, B, O

đối xứng qua đường thẳng BD.

II- TÍNH CHẤT:

Phép dời hình biến:

1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;

4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

* Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam

giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng

biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn

nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương

ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các

đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác

A'B'C'

G' H' I'

C B

A

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh

thành cạnh

Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm

đường tròn ngoại tiếp của nó Tìm ảnh của tam

giác OAB qua phép dời hình có được bằng

cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc

600 và phép tịnh tiến theo vectơ OE

F A

 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD,

BC, EF Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH.

III- KHÁI NI M HAI HÌNH B NG NHAU: ỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: ẰNG NHAU:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau

nếu có một phép dời hình biến hình này thành

0 H''

H' H

v

O

 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là giao điểm của AC và BD Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của AD và BC Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3)

a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và

C qua phép quay tâm O góc -900

b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách

thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác A1B1C1

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v=(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0 Tìm ảnh của d

qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh

tiến theo vectơ v.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là

trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và

GJFC bằng nhau

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI Xác định

một phép dời hình biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời

Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao

cho OM' k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k)

M'

H' H

6

4 2

3

M

A

B O

 Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba

điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các

điểm;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng

song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng

dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành

đường tròn bán kính k R

B A

C

B'

C' A'

I

A C

B

I C'

A' B'

R' R

A'

O'

A

 Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Tìm

một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R) Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0

Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + (y + 1)2 =

9 Hãy viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2

Bài 3: Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự

tâm O

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE

với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G lần lượt nằm trên AC, AB

Bài 2: Cho nửa đường tròn đườn kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa

đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§7 PHÉP ĐỒNG DẠNG

I- NH NGH A: ĐỊNH NGHĨA: ĨA:

Phép biến hình F được gọi là phép đồng

dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất

kì và ảnh M', N' tương ứng của chúng ta luôn

B' M'

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR

* Chú ý:

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến

trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành

trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến

cạnh thành cạnh

 Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F có được từ việc thực hiện liên tiếp hai

phép vị tự tâm I tỉ số 21 và phép quay tâm I góc quay 90 0 Nhận xét hai tam giác trên.

A

B

C

I

Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình

này thành hình kia

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung

điểm của AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho tam giác ABC Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực

hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số 21 và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung

điểm AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2 Viết

phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách

thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A Tìm một phép đồng dạng

biến tam giác HBA thành tam giác ABC

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C Tìm trên a và b các điểm A và B

tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố

định Gọi I là giao điểm của hai đường chéo

a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi

b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a)

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm ảnh của tam giác AOF

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB;

b) Qua phép quay tâm O góc 1200

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x

+ y + 1 = 0 Tìm ảnh của A và d

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v= (2; 1);

b) Qua phép quay tâm O góc 900

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính 3

a) Viết phương trình của đường tròn đó;

b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v= (-2; 1).

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2 Viết phương

trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự

tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox

Bài 5: Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB

Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN Chứng minh rằng điểm

N thuộc một đường tròn xác định

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng 21 Chứng minh rằng

luôn có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

Bài 2: Cho tam giác ABC Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao

cho MN song song với BC và AM = CN

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

QUAN HỆ SONG SONG

b a

D A

B

C A'