eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí 1 BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.. 1. Phương pháp giải.[r]
(1)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1 Giải trang 36 SGK Tốn Đại số & Giải tích 11 Giải phương trình:
0
sin x sinx− =
1.1 Phương pháp giải
Đặt nhân tử chung, đưa phương trình dạng tích giải phương trình lượng giác
( )
2
sin sin
2
x k
x k Z
x k
= +
= = − +
1.2 Hướng dẫn giải
( )
( )
2
sin sin
sin sin
sin
sin
sin
sin
2
x x
x x
x x x x x k
k Z
x k
− =
− =
=
− =
=
=
=
= +
Vậy nghiệm phương trình x=k ( )
x= + k kZ 2 Giải trang 36 SGK Tốn Đại số & Giải tích 11 Giải phương trình sau
a)
2cos x−3cosx+ =1 b) 2sin x2 + 2sin x4 =0 2.1 Phương pháp giải
a) Đặt t=cosx, đưa phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau giải phương trình lượng giác cos
b) Sử dụng công thức nhân đôi sin 4x=2 sin cos 2x x Đặt nhân tử chung, đưa phương trình dạng tích Giải phương trình lượng giác sin cos 2.2 Hướng dẫn giải
Câu a: Đặt t=cosx t, −[ 1;1] ta phương trình ( )
( )
( )
( )
2
1
2 1
2
1 cos
1
cos
2
t tm t t
t tm
t x x k k Z
t x x k k Z
= − + =
=
= = =
= = = +
Vậy x=k2 ( )
(2)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí
( )
( )
2 sin 2 sin
2 sin 2 sin cos 2 sin 2 cos
sin
1 cos
sin cos
2
3
2
4
3
x x
x x x
x x
x x x
x x k
x k
k x
k Z
x k
+ =
+ =
+ =
=
+ =
=
= −
=
= +
=
= +
Vậy nghiệm phương trình
2
k
x= ( )
8
x= +k kZ 3 Giải trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11
Giải phương trình sau a) 2( ) ( )
2
x x
sin − cos + = b)
8cos x+2sinx− =7 c)
2tan x+3tanx+ =1 d) tanx −2cotx + =
3.1 Phương pháp giải
• Sử dụng cơng thức lượng giác học
• Đặt ẩn phụ \(t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), đưa phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy nghiệm t
• Giải phương trình lượng giác cos: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) 3.2 Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
2
sin cos
2
1 cos cos
2
cos cos
2
x x
x x
x x
− + =
− − + =
+ − =
Đặt , 1;1
x
(3)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí ( )
( )
( )
2
2
3
1 cos
2
4
t tm
t t
t ktm
x x
Khi t k
x k k Z
=
+ − = = −
= = =
=
Vậy nghiệm phương trình là: x=k4(kZ)
Câu b: Ta có
( )
2 2
8cos 2sin
8 sin 2sin
8sin 2sin
x x
x x
x x
+ − =
− + − =
− − =
Đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1] phương trình trở thành
( )
( )
( )
2
1
8
1
1
sin
2
2
2
1
sin
4
1
arcsin
4
arcsin
4
t
t t tm
t
t x
x k
k Z
x k
t x
x k
k Z
x k
= − − =
= −
= =
= +
= +
= − = −
= − +
= − − +
Câu c: ĐK cos ( )
2
x x +k kZ Đặt t = tanx phương trình trở thành
2
1
2 1
2
t t t
t
= − + + =
= −
tan
4
( )( )
1
1 tan
arctan
2
x k
x
k tm
x
x k
= − +
= −
= − = − +
Câu d: ĐK: sin ( )
cos
2
x k
x k
x k Z
x x k
+
(4)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí
tan cot
tan
tan
tan tan
x x
x
x
x x
− + =
− + =
+ − =
Đặt t = tanx phương trình trở thành
( ) ( )
2
2
2
tan
tan
( )
arctan
t t t
t x
x
x k
k Z tm
x k
=
+ − = = −
=
= −
= +
= − +
4 Giải trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11 Giải phương trình sau:
a) 2sin x sinxcosx2 + −3cos x2 =0 b) 3sin x2 −4sinxcosx+5cos x2 =2
c) 2 2
2
sin x−sin x+ cos x=
d) 2cos x2 −3 3sin x2 −4sin x2 = −4
4.1 Phương pháp giải
Xét phương trình: 2
sin sin cos cos
a x b+ x x c+ x=d
Xét cos ,
2
x= = +x k k có nghiệm (1) hay khơng Xét cosx0, chia hai vế (1) cho cos2x ta được:
( ) ( )
2
2
tan tan (1 tan )
tan tan
a x b x c d x
a d x b x c d
+ + = +
− + + − =
Đặt t = \tan x
Phương trình ( )1 trở thành: (a d t− ) 2+ + − =bt c d 0(2)
Giải phương trình (2) theo t từ suy x theo t = \tan x 4.2 Hướng dẫn giải
Câu a: Ta nhận thấy cosx = không nghiệm phương trình Chia hai vế cho cos2x ta
2
2
1
tan x tanx tanx
tanx
+ − =
=
= −
Vậy phương trình có nghiệm ,
2
x k
k x arctan k
= +
= − +
(5)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí
2
3sin x+4sinxcosx+5cos x=2, nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta
được: 2
3tan x−4tanx+ =5 2(1+tan x)
2
4
tan x tanx
− + =
Đặt t = tanx
Ta có phương trình
4
3
[t
t t
t
= − + =
=
1 ,
4
t= tanx= tanx=tan = +x k k
3 (3) ,( )
t= tanx= =x arctan +k k
Vậy phương trình có nghiệm là: , ( ) (3)
x k
k x arctan k
= +
= +
Câu c:
2 2
2 2
2
sin x+sin x− cos x= sin x+ sinxcosx− cos x= (3)
0 ,
2
cosx= = +x k k không nghiệm (3)
0,
cosx chia hai vế (3) cho cos x2 , ta
2
2
2
2
2
2 1
2 2 (1 )
2
2 4
4
sin x sinx
tan x tanx tan x cos x cosx cos x
tan x tanx tan x tan x tanx
+ − = + − = +
+ − = +
+ − =
Đặt t = tanx, ta có phương trình
1 ,
4
5 ( 5) ,
t tanx x k k
t tanx x arctan k k
= = = +
= − = − = − +
Vậy phương trình có nghiệm , ( 5)
x k
k x arctan k
= +
= − +
Câu d:
2
2
2
2
2 3 4
2 4(1 )
2 4
6
6 ( )
cos x sin x sin x
cos x sinxcosx cos x cos x sinxcosx cos x cos x sinxcosx
cosx cosx sinx
− − = −
− − − + =
− − + + =
− =
− =
0 ,
2
3
3
cosx x k k
cosx sinx
cosx sinx
= = +
=
− =
(6)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí ,
2
1
3
x k k x k
k
tanx x k
= + = +
= = +
Vậy phương trình có nghiệm ,
x k
k
x k
= +
= +
5 Giải trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11 Giải phương trình sau
a) cosx− 3sinx=
b) 3sin x3 − 4cos x3 =
c) 2sin x2 +2cos x2 − 2=0 d) 5cos x2 + 12sin x2 − 13 =
5.1 Phương pháp giải
Xét phương trình: asinx b+ cosx=c(1) Điều kiện có nghiệm: 2
a +b c
Chia hai vế (1) cho 2 ,
a +b ta được:
( )1 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
a b a b a b
+ =
+ + +
Vì
2
2 2
a b
a b a b
+ =
+ +
nên ta đặt
2 2 sin
cos
a a b
b a b
=
+
=
+
Phương trình trở thành
( )
2 2
sin sinx cos cosx c cos x c
a b a b
+ = − =
+ +
Đặt
2
cos c
a b
=
+ ta phương trình lượng giác
Hồn tồn tương tự ta đặt
2 2 cos
sin
a a b
b a b
=
+
=
+
Khi phương trình trở thành: ( )
2 2
sinxcos cosxsin c sin x c
a b a b
+ = + =
+ +
(7)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí
1
cos sinx
2 2
1 sin cos cos sin
6
1
sin sin sin
6
2
6 12
,
3
2
6 12
x
x x
x x
x k x k
k
x k x k
− =
− =
− = − =
− = + = − +
− = + = − +
Câu b: Ta có 3sin cos 3sin 4cos
5
x− x= x− x= Đặt cos 3,sin
5
= = suy
2
sin(3 ) ,
2 3
x− = x− = + k = + +x k k Câu c: Ta có
2sin 2cosx
1 sin cos
2 sin
4
1 sin
4
2
4 12
,
5
2
4 12
x
x x
x
x
x k x k
k
x k x k
+ − =
+ =
+ =
+ =
+ = + = − +
+ = + = +
Câu d: Ta có
5cos 12sin 13 12sin 5cos 13
12
sin cos
13 13
x x
x x
x x
+ − =
+ =
+ =
5 12
sin(2 ) sin ;cos
13
3
x
+ = = =
2
2
,
4
x k
x k k
+ = +
= − +
(8)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí a) tan(2 x + ) tan(3 x − ) =
b) ( )
4
tanx+tan x+ = 6.1 Phương pháp giải
Câu a: Sử dụng công thức tan sin cos
x x
x
= cos(a b+ =) cos cosa b−sin sina b để biến đổi
phương trình
Câu b: Sử dụng công thức tan sin ; sin( ) sin cos cosa.sin o
c s
x
x a b a b b
x
= + = +
và cos cos 1cos( ) cos( )
2
a b= a+ +b a b− để biến đổi phương trình 6.2 Hướng dẫn giải
Câu a
Với điều kiện
2
2 ,
3
2
x k
k
x k
+ +
− +
hay
1
4 2
,
6
k x
k k x
− +
+ +
(2 1) (3 1)
(2 1) (3 1)
(1)
(2 1) (2 1)
cos(2 1) cos(3 1) sin(2 1) sin(3 1)
(2 1)
5
5 ,
2
tan x tan x sin x sin x cos x cos x
x x x x
cos x x
cos x
x k k
+ − =
+ −
=
+ −
+ − − + − =
+ + −
=
= +
,
10
k x k
= + (thoả điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm ,
10
k x= + k Câu b
Điều kiện
0
( )
4
cosx cos x
+
Khi
4
tanx tan x+ +=
4 4
sinx cos x cosx sin x cosx cos x
+ + + = +
1
2
4 4
sin x cos x cos
+ = + + −
2
2 2
4
sin x cos x
+ − + =
(9)eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí
2
2
4 10
5sin x 5cos x
+ − + =
2
2
2 10
2
4 10 2
2
4 10
x arcsin k
sin x
x arcsin k
+ − = +
+ − =
+ − = − +
1
2 10
,
3
2 10
x arcsin k
k
x arcsin k
= − + +
= + − +
www.eLib.vn