Bước đầu đã thực nghiệm và có kết quả nhất định, nhất là việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình được một Angorit giải toán ở thể loại BĐT, phát huy tíc[r]
(1)********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* Kinh nghiÖm d¹y häc Rèn kỹ giải các dạng bài toán: “ Bất đẳng thức” cho häc sinh líp thcs Phần I: Đặt vấn đề C¬ së lý luËn - Mục tiêu môn toán học chương trình THCS là trang bị cho học sinh tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, và thiết thực Từ đó hình thành học sinh kĩ năng, tư vận dụng các công thức toán học, đồng thời góp phần vào việc phát triển lực và bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS - Đặc biệt trước yêu cầu đổi phương pháp Bộ giáo dục và đào tạo “Thầy thiết kế - trò thi công” đó lấy học sinh làm trung tâm nghĩa là HS phải có tinh thần tự giác, h¨ng say, cè g¾ng, nghÞ lùc cao qu¸ tr×nh tiÕp cËn kiÕn thøc Ph¶i thùc sù suy nghÜ vµ làm việc cách tích cực, độc lập đồng thời có mối quan hệ hợp tác các cá nhân trên ®êng t×m tßi ph¸t hiÖn kiÕn thøc Cßn gi¸o viªn khuyÕn khÝch HS tù häc, ¸p dông phương pháp giáo dục bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo lực giải vấn đề” - Víi c¸c nhiÖm vô d¹y häc vµ yªu cÇu gi¸o dôc thÕ hÖ trÎ hiÖn nay: mçi nhµ trường phổ thông việc rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh là vấn đề mà các thầy giáo, cô giáo, cùng các bậc phụ huynh đặc biệt quan tâm Hơn thân các em học sinh mong muốn trang bị cho mình kỹ giải toán tốt để tự mình có thể chiÕm lÜnh ®îc tri thøc to¸n häc kho tµng to¸n häc cña nh©n lo¹i - Bộ môn toán bậc Trung học sở (THCS) có các bài toán Bất đẳng thức theo trục đồng tâm từ lớp – đến – Bất đẳng thức (BĐT) là mảng kiến thức khó môn Toán THCS không kém phần hấp dẫn tính độc đáo các phương pháp giải chúng Thông qua các bài tập BĐT học sinh có thể hiểu kỹ và sâu sắc nào biểu thức có giá trị dương giá trị âm, nào biểu thức này lớn biểu thức và ngược lại, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Từ đó là tảng cho việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, mối liên hệ c¸c yÕu tè tam gi¸c, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc sau học sinh học lên các lớp trên Và chính quá trình giải bài tập đó, lực suy nghĩ, tính độc lập, sáng tạo học sinh phát triển đa dạng mạnh mẽ vì các bài tập này c¸c c¸ch gi¶i kh«ng hoµn toµn cã mét mÉu quy t¾c nµo nh ë c¸c m¶ng kiÕn thøc kh¸c; đó đòi hỏi học sinh phải có lối suy nghĩ lôgíc, liền mạch kết hợp các kiến thức cũ vµ míi mét c¸ch linh ho¹t s¸ng t¹o 2- C¬ së thùc tiÔn Từ thực tế giảng dạy thân cùng với trao đổi đồng nghiệp Đặc biệt qua thùc tÕ c¸c bµi kiÓm tra, bµi thi cña häc sinh gÇn ®©y t«i thÊy ®a sè c¸c em häc sinh cha cã kü n¨ng thùc sù viÖc gi¶i c¸c d¹ng to¸n cña bµi to¸n B§T Kh«ng nh÷ng thÕ các em còn hay nhầm lẫn các phương pháp giải dạng toán này Chính vì muốn rèn kÜ n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh th× mçi thÇy gi¸o, c« gi¸o ph¶i kh«ng ngõng tÝch luü cho Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (2) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* mình phương pháp giảng dạy hiệu Đặc biệt là việc phân loại dạng toán và loại toán, dạng toán đó ta phải đa phương pháp giải cụ thể để học sinh bắt chước giải toán trước có kĩ giải toán thực Vì tôi chọn đề tài: Rèn kỹ giải các dạng bài toán: “ Bất đẳng thức” cho häc sinh líp thcs 3- Phạm vi đề tài Trong khuôn khổ bài viết tôi xin trình bày số dạng toán đơn giản bài toán bất đẳng thức có tính khả thi cho học sinh lớp 7, với lượng kiến thức vừa phải để các em học sinh đủ điều kiện tiếp cận và làm tảng cho các dạng toán, bài toán phát triển cao h¬n sau nµy c¸c em häc lªn líp trªn Phần 2: giải vấn đề A.Môc tiªu Nh»m gióp c¸c em häc sinh : + Có phương pháp giải các dạng bài toán BĐT cách có hệ thống + Vận dụng số BĐT việc giải các dạng bài toán bất đẳng thức + Từ đó rèn luyện và nâng cao khả tư sáng tạo học sinh, kỹ giải bài tập toán đặc biệt các dạng bài toán BĐT + Gióp c¸c em cã lßng say mª häc m«n to¸n h¬n B Néi dung Phần A: Những kiến thức Bất đẳng thức 1/ §Þnh nghÜa: a/ §Þnh nghÜa 1: Khi hai biÓu thøc A vµ B ®îc nèi víi bëi dÊu “>” hoÆc dÊu “<” hoÆc dÊu “ ³" dấu “ Ê ” thì ta nói ta có Bất đẳng thức: A > B hoÆc A < B hoÆc A ³ B hoÆc A £ B b/ §Þnh nghÜa 2: Ta nãi r»ng biÓu thøc A lín h¬n biÓu thøc B vµ chØ hiÖu cña A vµ B lµ mét sè dương A>B Û A–B>0 Tương tự : A ³ B Û A–B ³0 A<B Û A–B<0 A£B Û A–B £ đó : A, B là các vế BĐT A là vế trái (vế trước) Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (3) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* B lµ vÕ ph¶i (vÕ sau) 2/ TÝnh chÊt c¬ b¶n : · Quan hÖ “>” vµ “<” cã tÝnh chÊt b¾c cÇu: + a > b vµ b > c th× a > c ` + a < b vµ b < c th× a < c · Quan hÖ “ ³ ” vµ “ £ ” cã tÝnh chÊt: + TÝnh ph¶n x¹: Víi mäi sè thùc a ta cã: a ³ a hoÆc a £ a + TÝnh ph¶n xøng: NÕu a ³ b vµ b ³ a th× a = b NÕu a £ b vµ b £ a th× a = b + TÝnh b¾c cÇu: NÕu a ³ b vµ b ³ c th× a ³ c NÕu a £ b vµ b £ c th× a £ c · TÝnh chÊt: a > b Û b < a a>b Û a ±m>b±m a + c > b Û a > b – c a>b,c>d Þ a+c>b+d a > b , c < d Þa – c > b - d Tæng qu¸t : a1 > b1 ü a2 > b2 ïï ý ï Þ a1 + a2 + + an > b1 + b2 + + bn an > bn ïþ a > b Û ac > bc víi mäi c > a > b Û ac < bc víi mäi c < a > b ³ ü ý Þ ac > bd c > d ³ þ a > b ≥ Þ an > bn víi mäi n Î N* a>b≥0 Þ a > b Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (4) 10 ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* 1 a > b vµ ab > Þ < a b 3/ Các bất đẳng thức thường gặp: 3.1 Ta cã: a2 ³ 0; - a2 ≤ Víi mäi a Î R DÊu = x¶y a = a ³0 "a Î R DÊu = x¶y a = 3.2 - a £ a £ a DÊu = x¶y a = a + b £ a + b DÊu = x¶y ab ≥ o a - b ³ a - b DÊu = x¶y a = 0, a ³ b Phần B: Một số loại toán thường gặp Bất đẳng thức I Khi nào biểu thức có giá trị dương giá trị âm? D¹ng 1: BiÓu thøc cã d¹ng tæng, hiÖu: VÝ dô 1: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x, xao cho: a) Biểu thức A = 2x – có giá trị dương b) BiÓu thøc B = – 3x cã gi¸ trÞ ©m HD gi¶i: a) A > Û 2x – > Û 2x > Û x > VËy víi x > th× A > b) B < Û – 3x < Û - 3x < -9 Û x > VËy víi x > th× B < VÝ dô 2: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x, xao cho: a) Biểu thức C = 2x + có giá trị dương b) BiÓu thøc D = + 3x cã gi¸ trÞ ©m HD gi¶i: a) C > Û 2x + > Û 2x > -1 Û x > - VËy víi x > - th× C > b) D < Û + 3x < Û 3x < - Û x < - VËy víi x < - th× D < Chó ý: Khi t×m x tho¶ m·n c¸c yªu cÇu cña bµi to¸n, ta cÇn ¸p dông linh ho¹t c¸c tÝnh chÊt bất đẳng thức Tuy nhiên cần chú ý tính chất nhân chia hai vế BĐT với cùng số âm thì BĐT đổi chiều D¹ng 2: BiÓu thøc cã d¹ng tÝch: Ví dụ 3: Tìm các giá trị x để biểu thức: A = ( x – ).( x + ) có giá trị âm? HD gi¶i: C¸ch 1: A < c¸c thõa sè x – vµ x + tr¸i dÊu Cô thÓ x – < vµ x + > hoÆc x – > vµ x + < ìx - < îx +1 > ìx < Ûí î x > -1 A<0 Û í hoÆc hoÆc ìx - > í îx +1 < ìx > ( kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n) í î x < -1 Û-1<x<2 VËy víi – < x < th× A < Chó ý: ta cã thÓ kÕt hîp c¸c gi¸ trÞ cña x trªn trôc sè Víi x < 2, ta lÊy c¸c gi¸ trÞ x < vµ lo¹i ®i c¸c gi¸ trÞ x > ( phÇn g¹ch chÐo trªn trôc sè) Vµ x > - 1, ta lÊy c¸c gi¸ trÞ x > - Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (5) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* vµ lo¹i ®i c¸c gi¸ x < - (phÇn g¹ch chÐo trªn trôc sè ) PhÇn cßn l¹i trªn trôc sè (phÇn kh«ng bÞ g¹ch chÐo) lµ gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n -2 -1 ìx > ta kÕt hîp c¸c gi¸ trÞ cña x trªn trôc sè nh sau: î x < -1 Víi í -1 Ta thấy trên trục số bị gạch chéo, đó không có giá trị nào x thoả mãn C¸ch 2:Ta thÊy x – < x + nªn A < x¶y sè nhá ©m ( x – < ) vµ sè lín dương ( x + > ) -2 ìx - < ìx < Ûí Û - < x < îx +1 > î x > -1 A<0 Û í VËy víi – < x < th× A < Ví dụ 4: Khi nào thì biểu thức B = x2 + 3x có giá tri dương? HD giải: Ta biến đổi B thành tích cách áp dụng tính chất phân phối: B = x(x +3) C¸ch 1: B > c¸c thõa sè x vµ x + cïng dÊu Ta thÊy x < x + nªn B > x¶y khi: số nhỏ dương ( đó số lớn dương), số lớn âm ( đó số nhỏ âm) B > Û x > hoÆc x + < Û x > hoÆc x < - VËy B > x > hoÆc x < - Cách 2: Chú ý x = và x = - làm cho các thừa số x và x + Do đó ta xét ba kho¶ng gi¸ trÞ cña x nh sau: *) Với x < - thì hai thừa số x và x + âm, đó B > *) Với – < x < thì hai thừa số x và x + trái dấu, đó B < *) Với x > thì hai thừa số x và x + dương, đó B > VËy B > x > hoÆc x < - Lu ý: Ta cã thÓ viÕt c¸c kÕt qu¶ trªn b¶ng xÐt dÊu sau: x -3 x + x+3 + + x(x + 3) + 0 + Dùa vµo b¶ng xÐt dÊu ta thÊy râ ®îc x > hoÆc x < - th× B > Ví dụ 5: Tìm các giá trị x để biểu thức: A = (4 x – ).(2 x2 + ) có giá trị âm? HD gi¶i: Ta thÊy x ³ víi mäi x Î R Þ x ³ víi mäi x Î R Þ x + > víi mäi x Î R Do đó để A có giá trị âm 4x – < ị x < ị x < Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (6) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* VËy víi x < th× A < Dạng 3: Biểu thức có dạng thương: Ví dụ 6: Tìm các giá trị x để biểu thức A = x -3 cã gi¸ trÞ ©m? x +1 HD gi¶i: A < c¸c thõa sè x – vµ x + tr¸i dÊu nhau.Ta thÊy x – < x + nªn A < xảy số nhỏ âm ( x – < ) và số lớn dương ( x + > ) ìx - < ìx < Ûí Û - < x < îx +1 > î x > -1 A<0 Û í VËy víi – < x < th× A < Ví dụ 7: Tìm các giá trị x để biểu thức B = x -3 có giá trị dương? x +1 HD gi¶i: B > c¸c thõa sè x - vµ x + cïng dÊu Ta thÊy x - < x + nªn B > x¶y khi: số nhỏ dương ( đó số lớn dương), số lớn âm ( đó số nhỏ ©m) B > Û x - > hoÆc x + < Û x > hoÆc x < - VËy B > x > hoÆc x < - Ví dụ 8: Tìm các giá trị x để các biểu thức sau: x -3 cã gi¸ trÞ ©m? 2x2 + x2 + b) D = có giá trị dương? 2x - x2 - c) E = có giá trị dương? 2x -1 a) C = HD gi¶i: a) Ta thÊy x ³ víi mäi x Î R Þ x ³ víi mäi x Î R Þ x + > víi mäi x Î R Do đó để C < x – < ị x < Vậy với x < thì C < b) Ta thÊy x ³ víi mäi x Î R Þ x + > víi mäi x Î R Do đó để D > 2x – > ị x > ị x > Vậy x > c) Ta cã E = x - ( x - 1)( x + 1) = 2x -1 2x -1 th× D > ìx -1 > ìx -1 < ìï( x - 1)( x + 1) > ï ï Do đó để E > Þ í x + > hoÆc í x + < ïî2 x - > ï2 x - > ï2 x - > î î Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (7) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* ì ïx > ìx -1 > ìx > ï ï ï +) í x + > Þ í x > - Þ í x > - Þ x > ï2x - > ï2x > ï î î ïx > î ì ïx < ìx -1 < ìx < ï ï ï +) í x + < Þ í x < - Þ í x < - Þ Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x ï2 x - > ï2x > ï î î ïx > î VËy víi x > th× E > Ii Khi nµo A > b hoÆc a < b? Ta thấy việc xét A > B A < B chính là tìm giá trị biến để biểu thức A – B có giá trị dương âm VÝ dô 9: Cho biÓu thøc A = HD gi¶i: x+5 Tìm các giá trị x để A > x+9 x+5 x+9-4 x+9 4 = = = 1x+9 x+9 x+9 x+9 x+9 Ta thấy để A > suy < mµ > nªn x + < Û x < - x+9 Cách 1: Biến đổi A = VËy x < - th× A > C¸ch 2: Ta thÊy A > Û A – > Û x + - ( x + 9) x+5 x +5- x -9 -1>0 Û >0 Û >0 x+9 x+9 x+9 -4 Û >0 x+9 V× - < nªn x + < Û x < - VËy x < - th× A > x -1 > x + ? HD gi¶i: XÐt hiÖu hai vÕ: ( x - 1) - ( x + 5) > 1 ö æ3 Û x - - x - > Û ç x - x ÷ - (1 + ) > Û x - > 4 ø è4 Û x > Û x > 24 VÝ dô 10: Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× Vậy với x > 24 thì có bất đẳng thức đã cho VÝ dô 11: So s¸nh a2 vµ a sè nµo lín h¬n? HD gi¶i: XÐt hiÖu a2 – a = a.(a – 1) Chó ý r»ng a = vµ a = lµm cho c¸c thõa sè a vµ a – b»ng Do đó ta xét các trường hợp sau: Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (8) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* +) a < thì a và a – âm, đó a2 – a > nên a2 > a +) < a < thì a > và a – < 0, đó a2 – a < nên a2 < a +) Nếu a > thì a và a – dương, đó a2 – a > nên a2 > a +) NÕu a = hoÆc a = th× a2 = a Ví dụ 12: Chứng minh hai số dương a) Số nào lớn thì có bình phương lớn b) Số nào có bình phương lớn thì số đó lớn HD gi¶i: a) Cho x > y > Khi đó ta phải chứng minh x2 > y2 Nhân hai vế x > y với số dương x ta được: x2 > xy (1) Nhân hai vế x > y với số dương y ta được: xy > y2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ta cã: x2 > y2 b) Cho x > 0, y > và x2 > y2 Khi đó ta cần chứng minh: x > y + Giả sử x < y đó theo câu a ta có: x2 < y2 , điều này trái với giả thiết x2 > y2 + Giả sử x = y đó x2 = y2, điều này trái với giả thiết x2 > y2 Do đó x > y Lưu ý: Việc chứng minh ý b trên ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng *) Phản chứng là phương pháp chứng minh gián tiếp: để chứng minh kết luận bài toán là đúng, ta chứng minh điều trái lại với nó là sai *) Do đó ta có thể chứng minh phản chứng theo ba bước: + Bước 1: Giả sử có điều trái với kết luận bài toán + Bước 2: Từ giả sử trên và từ giả thiết bài toán ta suy điều mâu thuẫn + Bước 3: Kết luận : Vậy kết luận bài toán là đúng VÝ dô 13: Chøng minh r»ng nÕu < a < th× a > a HD gi¶i: ìa > ìa > Þí îa < îa - < Ta cã: < a < Þ í Þ Þ Þ Þ a.(a -1) < a2 – a < a2 < a a < a (®iÒu ph¶i chøng minh) III T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (gtln), gi¸ trÞ nhá nhÊt(gtnn) cña biÓu thøc Muèn t×m GTNN hoÆc GTLN cña mét biÓu thøc ta ph¶i thùc hiÖn hai yªu cÇu sau: 1) Muèn t×m GTNN cña biÓu thøc A: + Chøng tá r»ng A ³ m ( m lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn + ChØ râ dÊu “ = ” ®îc x¶y nµo Lưu ý: Để chứng tỏ A ³ m, ta thường dùng đến các bất đẳng thức: x2 ³ 0; x ³ 2) Muèn t×m GTLN cña biÓu thøc B: + Chøng tá r»ng B £ m ( m lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn + ChØ râ dÊu “ = ” ®îc x¶y nµo Lưu ý: Để chứng tỏ B Ê m, ta thường dùng đến các bất đẳng thức: - x2 Ê 0; - x Ê A Tìm GTLN và GTNN các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (9) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* VÝ dô 14: T×m GTNN cña biÓu thøc A = 2(x +3)2 – HD gi¶i: Ta cã: (x + 3)2 ³ víi mäi x Þ 2(x + 3) ³ víi mäi x Do đó 2(x + 3) - ³ - với x VËy GTNN cña A b»ng – vµ chØ 2(x + 3) = Û x + = Û x = - VÝ dô 15: T×m GTLN cña biÓu thøc B = - 3(2x - 1)2 HD gi¶i: Ta cã: (2x - 1)2 ³ víi mäi x Þ 3(2x - 1) ³ víi mäi x Do đó - 3(2x - 1) Ê với x VËy GTLN cña B b»ng vµ chØ 3(2x - 1) = Û 2x - = Û x = VÝ dô 16: Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc C = có GTNN? Tìm giá trị đó? x -3 HD gi¶i: + XÐt x – > Þ x > th× C > + XÐt x – < Þ x < th× C < Vì C là số âm (C < 0) nên C nhỏ số đối nó là +) Với x > thì 1 = ph¶i lín nhÊt x -3 3- x < (*) 3- x +) Với x < thì – x là số nguyên dương Nên lín nhÊt Û – x nhá nhÊt 3- x Û 3–x =1 Û x=2 Khi x = Þ = (**) 3- x Tõ (*) vµ (**) suy ra: cã GTLN b»ng x = 3- x Do đó: GTNN C = - x = VÝ dô 17: Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc D = 10 - x có GTLN? Tìm giá trị đó? 3- x HD gi¶i: 3- x+7 3- x 7 = + = 1+ 3- x 3- x 3- x 3- x BiÓu thøc D cã GTLN vµ chØ cã GTLN 3- x < (1) +) XÐt x > th× 3- x +) XÐt x < th× >0 3- x Ta thÊy cã GTLN Û – x cã GTNN 3- x Biến đổi D = Mà – x là số nguyên dương, – x có GTNN – x = Û x = Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý (10) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* Khi x = Þ =7 3- x Tõ (1) vµ (2)suy ra: (2) cã GTLN b»ng x = 3- x Do đó: GTLN D = và x = B Tìm GTLN và GTNN các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối B.1 Một số kiến thức cần nhớ giá trị tuyệt đối (GTTĐ) +) §Þnh nghÜa: a nÕu a ³ a = - a nÕu a < +) TÝnh chÊt: *) NÕu a = th× a = 0, nÕu a ¹ th× a > Ta cã: GTT§ cña mét sè th× kh«ng ©m: a ³ *) NÕu a ³ th× a = a, nÕu a < th× a > a Ta có: GTTĐ số thì lớn số đó: a ³ a *) a + b £ a + b (dÊu “ = ” x¶y vµ chØ ab ³ 0) a - b ³ a - b (dÊu “ = ” x¶y vµ chØ ab ³ 0) B.2: VÝ dô: VÝ dô 18: T×m GTNN cña A = 3x - - HD gi¶i: Ta cã: 3x - ³ víi mäi x Þ 3x - ³ víi mäi x Do đó 3x - - ³ -7 với x A = - vµ chØ 3x – = Û x = VËy GTNN cña A b»ng – vµ chØ x = VÝ dô 19: T×m GTLN cña B = - x - HD gi¶i: Ta cã: x - ³ víi mäi x Þ x - ³ víi mäi x Do đó - x - Ê với x B = vµ chØ 4x – = Û x = VËy GTLN cña B b»ng vµ chØ x = VÝ dô 20: T×m GTNN cña C = 10 víi x lµ sè nguyªn x -5 HD gi¶i: +) XÐt x > th× C > Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 10 (11) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* x < th× C < +) XÐt Do x Î Z nªn x b»ng hoÆc hoÆc hoÆc hoÆc *) Víi x = Þ C = - *) Víi x = Þ C = - 2,5 *) Víi x = Þ C = - 10 *) Víi x = Þ C = - *) Víi x = Þ C = - 10 VËy GNN cña C b»ng – 10 vµ chØ x = Û x = ± VÝ dô 21: T×m GTLN cña C = x+2 víi x lµ sè nguyªn x HD gi¶i: Ta thÊy x > víi mäi x ¹ +) XÐt x + £ Þ x £ - th× C +) XÐt x = - th× C = +) XÐt x ³ th× C = £ x+2 =1+ x x lín nhÊt Û x nhá nhÊt x Mà x là số nguyên dương, x nhỏ ị x = Víi x = Þ C = VËy C lín nhÊt Do đó GTLN C x = VÝ dô 22: T×m GTLN cña D = x - x HD gi¶i: +) Xét x ³ ị x = x đó D = x – x = (1) +) Xét x < ị x = - x đó D = x – (-x) = 2x < (2) Tõ (1) vµ (2) suy ta cã D £ VËy GTLN cña D b»ng vµ chØ x ³ VÝ dô 23: T×m GTNN cña E = x - 2015 + x - HD gi¶i: C¸ch 1: Ta cã E = x - 2015 + x - = x - 2015 + - x ³ x - 2015 + - x = -2014 = 2014 Suy ra: GTNN cña E b»ng 2014 vµ chØ (x-2015)(1-x) ³ ì x - 2015 ³ ì x - 2015 £ (x-2015)(1-x) ³ Û í î1 - x ³ hoÆc í î1 - x £ ì x ³ 2015 Û í (v« lÝ) îx £ Do đó: GTNN E 2014 và C¸ch 2: V× M ³ M DÊu “=” x¶y Û M ³ ì x £ 2015 £ hoÆc í îx ³ x £ 2015 Û £ x £ 2015 Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 11 (12) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* Ta cã: x - 2015 = 2015 - x ³ 2015 - x DÊu “=” x¶y Û 2015 – x ³ Û x £ 2015 x - ³ x - DÊu “=” x¶y Û x -1 ³ Û x ³ Do đó E = x - 2015 + x - = 2015 - x + x - ³ 2015 – x + x - = 2014 DÊu “=” x¶y Û x £ 2015 vµ x ³ Û £ x £ 2015 VËy: GTNN cña E b»ng 2014 vµ chØ £ x £ 2015 IV Chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + + + 1.2 2.3 99.100 VÝ dô 24: CMR: HD gi¶i: Ta biến đổi vế trái: VT = <1 1 + + + 2.3 99.100 æ è ö æ 1ö ø è 3ø ö æ1 ÷ è 99 100ø = ç1 - ÷ + ç - ÷ + + ç =1VËy: <1 100 1 1 + + + + <1 1.2 2.3 99.100 Chó ý: + Để chứng minh bất đẳng thức trên ta áp dụng phương pháp khử liên tiếp vế trái cách viết số hạng thành hiệu hai phân số cho số trừ nhóm trước số bị trõ ë nhãm sau + Ta áp dụng phương pháp trên việc chứng minh các bất đẳng thức có tổng c¸c ph©n sè mµ hiÖu hai sè ë mÉu b»ng : 2; 3; 4; … + Khi chứng minh các bất đẳng thức có tổng các phân số có mẫu là tích 2,3,4 số liên tiếp ta đưa hiệu hai phân số để khử liên tiếp VÝ dô 25: Cho A = 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 Chøng minh r»ng: á Aá 12 HD gi¶i: Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 12 (13) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* 1 1 A= + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 1 1 1 A = - + - + - + + 99 100 1 1 1 ö æ1 1 A = + + + + + + + - ç + + + + ÷ 99 100 100 ø è2 1 1 1 1 1 A = + + + + + + + - - - - - 99 100 50 1 1 1 ö æ 1 ö æ A= + + + + + =ç + + + + + + ÷+ç ÷ 51 52 53 99 100 è 51 52 ø è 76 77 100 ø 1 1 1 ñ ñ ñ ñ ; ñ ñ ñ 51 52 53 75 76 77 100 Ta cã: Do đó: 1 1 + = + = 75 100 12 1 1 1 Aá + á + = + = 51 76 50 75 VËy: á Aá 12 1 VÝ dô 26: Chøng minh r»ng: + + + < víi mäi n Î N, n ³ 2 n Añ HD gi¶i: 1 = 1Ta cã: < 1.2 2 1 1 < = 32 2.3 1 1 < = n ( n - 1).n n - n Céng vÕ víi vÕ c¸c B§T cïng chiÒu trªn ta cã: 1 + + + < (®iÒu ph¶i chøng minh) 2 n2 99 VÝ dô 27: Chøng minh r»ng: + + + + á1 2! 3! 4! 100 ! Chó ý: 1! = 1; 2! = 1.2; 3! = 1.2.3; 4! = 1.2.3.4; … ; n! = 1.2.3.4… n HD gi¶i: NhËn xÐt: Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 13 (14) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* -1 = = 12! 2! 2! -1 1 = = 3! 3! 2! 3! -1 1 = = 4! 4! 3! 4! 99 100 - 1 = = 100! 100! 99! 100! ( n + 1) - = ( n + 1) - = - n Tæng qu¸t: = ( n + 1) ! ( n + 1)! ( n + 1)! ( n + 1)! n ! ( n + 1)! Do đó: 1 1 + + + + 2! 3! 4! 100! 1 1 1 = - + - + - + + 2! 2! 3! 3! 4! 99! 100! = 1á1 100! VÝ dô 28: 200300 > 300200 CMR: HD gi¶i 200300 = (2003)100 = (8.1003)100 = (8.106)100 = (80.105)100 Ta cã: 300200 = (3002)100 = (9.1002)100 = (9.104)100 80.105 > 9.104 Þ (80.105)100 > (9.104)100 Ta thÊy : 200300 > 300200 VËy: Chó ý: Để chứng minh bất đẳng thức trên ta đã sử dụng phương pháp so sánh: “Biến đổi riêng vÕ råi so s¸nh kÕt qu¶ suy ®iÒu ph¶i chøng minh.” Phương pháp này thường sử dụng bài chứng minh BĐT mà hai vế phức tạp tương đương có dạng tương tự VÝ dô 29: Chøng minh r»ng: A < B víi: A= 22 ( 1001 ch÷ sè ) B = 33 ( 1000 ch÷ sè 3) HD gi¶i Ta cã: 22 = 24 = 16 Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 14 (15) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* 33 = 27 22 < 23 Suy ra: 22 < 33 Þ 22 2 VËy: < (n + ch÷ sè) Do đó: .3 23 .3 33 < (n ch÷ sè) A < B ( n ch÷ sè) (víi 1000; n + = 1001) VÝ dô 30: Chøng minh r»ng: 20132014 > 20142013 HD giải: Để chứng minh bất đẳng thức trên ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh quy n¹p Bước 1: Chứng minh BĐT đúng với n = no Bước 2: Ta giả sử BĐT đó đúng với n = k ( k ³ no ), ta cần phải chứng minh BĐT đúng với n = k + (n, k ẻ Z+) Từ đó suy điều phải chứng minh Ta cã: nÕu n Î N, n ³ th× n n + > ( n + ) n (1) Thật vậy: Với n = ta có (1) Û 34 > 43 ( BĐT đúng ) Giả sử (1) đúng với n = k (k ³ 3) tức là k k +1 > ( k + ) k Ta chứng minh (1) đúng với n = k + ThËt vËy: ta cã: (k + 1)2 > k(k + 2) Þ éë( k + 1) ùû KÕt hîp víi gi¶ thiÕt quy n¹p ta suy ra: ( k + 1) k +1 2k +2 > éë k ( k + ) ùû > ( k + 2) k +1 k +1 Û ( k + 1) 2k +2 ( k + 1) Û ( k + 1) k > k k +1 ( k + 2) k +1 k +2 > ( k + 2) k +1 Điều này chứng tỏ (1) đúng với n = k + Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng với số tự nhiên n ³ Do đó với n = 2013 thì ta có điều phải chứng minh Phần C: Một số bài tập đề nghị giải Bài 1: Tìm các giá trị x để các biểu thức sau nhận giá trị âm? a) (x - 2)(x + 1) < b) 3(2x + 3)(3x - 5) < c) x + 5x < d) (x - 2)2(x + 1)(x - 4) < e) x ( x - 3) x+2 <0 2x - f) x ( x - 2) ( x - 1) ( x + ) f) >0 x-9 <0 Bài 2: Tìm các giá trị x để các biểu thức sau nhận giá trị dương? a) (x - 1)(x - 2) > b) 5(3x + 1)(4y - 3) > c) 2x2 – 4x > d) (x - 5)4(x - 1)(x + 3) > e) x+3 >0 Bài 3: Tìm các giá trị x để: x-4 Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 15 (16) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* a) x > 2x; b) a + x < a; c) x3 < x2 e) f) x+7 <1 x+5 h) 3x - £ d) – 2x < 9; g) x - < -1 Bài 4: Tìm các giá trị x ẻ Z, y ẻ Z để x - + y - < HD: Ê x - + y - Ê Khi đó xét trường hợp đ ( x; y ) = Bµi 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: a) A = x4 + x2 +2; b) B = (x4 + 5)2; d) D = x2 + 4x + 5; e) E = x2 – 2x + y2 f) F = -2008 x - x + 2009 g) G = g) G = ( x - 1) + ; c) C = (x - 1)2 + (y + 3)2 x +1 Bµi 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: a) A = – 5(4x - 2)2; b) B = – x2008; d) D = – 2x – x2 ; x+3 >1 x+5 i) < x + < c) C = 45 – (x2 + 1)2 e) E = – 6x – x2; f) F = x +3 x2 + h) H = x +2 Bài 7: Tìm các giá trị nguyên x để các biểu thức sau có giá trị lớn nhất: a) A = 7-x b) B = 27 - x 12 - x Bài 8: Tìm các giá trị nguyên x để các biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: a) A = ; x -3 b) B = 7-x ; x -5 c) C = Bµi 9: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc: a) A = x - 2008 + 2009 ; b) B = 3x - - ; d) D = 2000 - x + - x ; e) E = x - + x - ; g) 3x - - ; h) H = - x - ; x - 19 x-4 c) C = x + x f) F = x +1 + + + + + i) I = x + y - - k) K = ( x + 1) + + y - + (Thi HSG huyện Kiến Xương năm 2009-2010) Bµi 10: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: a) A = - x - ; d) D = ; x-2 +3 b) B = ; x-2 +3 e) E = x - x ; c) C = 2010 – 2009 x - f) F = - 3x - - y + g) G = x - - x + ; h) H = 2008 + 2009 - x Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøac sau víi x lµ sè nguyªn: a) A = x+3 ; x b) B = 2x -1 (kh¶o s¸t HSG k× I huyÖn Vò Th n¨m 2008 - 2009) 2- x Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 16 (17) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* Bµi 12: T×m c¸c sè a, b, c, kh«ng ©m cho a + 3c = 8, a + 2b = vµ tæng a + b + c cã gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 13: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: a) a + b + c + d = T×m GTLN cña: Q = a - b + a - c + a - d + b - c + b - d + c - d b) 2a + b + 3c = vµ 3a + 4b -3c = T×m GTLN, GTNN cña P = 2a + 3b – 4c (Thi HSG tØnh Th¸i B×nh n¨m: 2001-2002) Bµi 14: a) Cho biÕt a - c < 3, b - c < Chøng minh r»ng: a - b < b) Cho biÕt a < 1; b - < 10; a - c < 10 Chøng minh r»ng: a b - c < Bµi 15: Chøng minh r»ng: 2003 + + + + + <1 2! 3! 4! 5! 2004! (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2003-2004) 2009 + + + + 2009 < "n Î N 3 3 1 1 + + + < Bµi 17: Chøng minh r»ng: 1.3 3.5 (2n-1)(2n+1) Bµi 16: Chøng minh r»ng: Bµi 18: Chøng minh r»ng: A = 1 1 + + + + < 2 100 Bài 19: Chứng minh rằng: Biểu thức A = x8 – x5 + x2 – x + luôn nhận giá trị dương với mäi gi¸ trÞ cña x (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2006 - 2007) 1 1 víi mäi n Î N, n ³ + + + + < 2 n (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2007-2008) 1 1 Bµi 21: Chøng minh r»ng: A = + + + + < 3 2009 (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2008 - 2009) 1.2 - 2.3 - 3.4 - 2009.2010 - Bµi 22: Chøng minh r»ng: + + + + <2 2! 3! 4! 2010! (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2009 - 2010) 1 1 Bµi 23: Cho A = + + + + + 100 -1 Bµi 20: Chøng minh r»ng: Chøng minh r»ng a) A < 100; Bµi 24: Chøng minh r»ng: b) A > 50 1 1 - - - > 2 2008 2008 98 99 Bµi 25: Cho C = + æç ö÷ + æç ö÷ + æç ö÷ + + æç ö÷ + æç ö÷ Chøng minh r»ng C < è2ø è2ø è2ø è2ø è2ø 1 Bµi 26: Chøng minh r»ng: A = Bµi 27: Chøng minh r»ng: 1 2n - + 2 + 2 + + < (n Î N*, n > 1) 2 2 3 ( n - 1) n 2 1.2 - 2.3 - 3.4 - 999.1000 - + + + + <2 2! 3! 4! 1000! Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 17 (18) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* 1 1 Bµi 28: Chøng minh r»ng: + + + + > 10 100 (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2005-2006) Bµi 29: Chøng minh r»ng: [ x ] + [ y ] £ [ x + y ] Bµi 30: So s¸nh 2012.2014 vµ 2013 Bµi 31: So s¸nh x vµ y biÕt r»ng: a) x = - 2300 vµ y = - 3200; b) x = 230 + 320 + 430 vµ y = 3.2410 c) x = vµ y = 3 d) x = 31 - 13 vµ y = - 11 99 99 100 Bµi 32: So s¸nh A vµ B biÕt A = ( 100 + 99 ) vµ B = (100100 + 99100)99 (Thi HSG huyÖn Vò Th n¨m 2010 -2011) PhÇn D: KÕt qu¶ vµ bµi häc kinh nghiÖm a KÕt qu¶ Sau áp dụng phương pháp “Rèn luyện kỹ giải các dạng bài toán BĐT” trên giảng dạy cho hai đối tượng học sinh giỏi và học sinh đại trà Khi khảo sát có kÕt qu¶ cô thÓ nh sau: Đối với học sinh đại trà: + 70% số học sinh làm tốt dạng toán: Khi nào biểu thức có giá trị dương có giá trị âm? Các em đã có cách giải và trình bày tốt Tuy nhiên còn số ít học sinh lúng tóng c¸c bµi to¸n ph¶i nhËn xÐt + 65% sè häc sinh lµm tèt d¹ng to¸n: Khi nµo A > B ho¹c A < B? + 60% số học sinh nắm và làm các bài toán đơn giản hai dạng toán: Tìm GTLN, GTNN biểu thức và chứng minh bất đẳng thức §èi víi häc sinh giái + 100% số học sinh làm tốt dạng toán: Khi nào biểu thức có giá trị dương có giá trị âm? Các em đã có cách giải và trình bày tốt Nhiều em đã đề xuất cách giải hay + 85% sè häc sinh lµm tèt d¹ng to¸n: Khi nµo A > B ho¹c A < B? + 77% sè häc sinh n¾m vµ lµm tèt hai d¹ng to¸n: T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc vµ chứng minh bất đẳng thức b Bµi häc kinh nghiÖm Thường xuyên khắc phục sai lầm giải dạng bài toán BĐT nói riªng vµ B§T nãi chung cã t¸c dông gióp cho häc sinh hiÓu s©u, n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ rÌn ®îc kü n¨ng gi¶i to¸n chÝnh x¸c, tr×nh bµy lêi gi¶i ng¾n gän, râ rµng Hệ thống phương pháp giải cho dạng bài toán BĐT giúp cho học sinh có c«ng cô gi¶i to¸n nªn viÖc thùc hiÖn gi¶i c¸c d¹ng cña bµi to¸n vÒ B§T ®îc linh ho¹t, hîp lý, tr¸nh ®îc m¸y mãc, dËp khu«n mÊt thêi gian v« Ých §Æc biÖt lµ gióp cho häc sinh cách lựa chọn cách giải hay cho bài toán, hình thành cho học sinh đức tính linh ho¹t, lµm viÖc cã khoa häc vµ tr¸nh ®îc nh÷ng sai lÇm nghiªm träng Rèn cho học sinh có thói quen gặp dạng nào bài toán BĐT định hướng các bước giải: - Quan s¸t, nhËn biÕt ®îc d¹ng to¸n Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 18 (19) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* - Lựa chọn phương pháp hợp lý - Gi¶i, kiÓm tra lêi gi¶i vµ tr¶ lêi - Thường xuyên ghi nhớ các kiến thức và các kỹ cần thiết có tác dụng tốt cho học sinh giải các bài toán BĐT và thực các phương pháp giải giúp cho học sinh nhìn nhận lời giải cách triệt để và sáng tạo Rèn luyện thường xuyên các kỹ khác như: Phân tích (viết) biểu thức dạng tích, các kỹ biến đổi, nhận xét, … Lựa chọn phương pháp giải hợp lý phù hợp với dạng bài đặt là việc quan trọng định tới thành công giải các dạng bài toán BĐT PhÇn 3: KÕt luËn Tóm lại: Qua việc đưa các dạng bài toán “Bất đẳng thức” thường gặp lớp bậc THCS tôi thấy đã đạt số kết sau: Bước đầu cung cấp cho học sinh hệ thống các phương pháp giải các dạng bài toán Bất đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp, tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức BĐT Đồng thời làm sở cho học sinh có phương pháp giải các dạng bài toán BĐT tương lai Giúp cho học sinh rèn phẩm chất trí tuệ như: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo tư duy, làm tiền đề cho phát triển tư cña häc sinh häc tËp m«n To¸n, t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh x©y dùng cho b¶n th©n phương pháp làm Toán, phương pháp học tập cách có hiệu Nêu giải pháp (Phương pháp giải) giải loại toán khó (Bất đẳng thức) giúp cho học sinh chống tư tưởng ngại khó "sợ" giải bài toán khó, tạo điều kiện cho häc sinh høng thó häc tËp h¨ng say nghiªn cøu t×m tßi c¸i míi, c¸i khã qu¸ tr×nh häc tËp Bước đầu hình thành học sinh (người học) thói quen làm toán (học toán) có phương pháp, trang bị cho học sinh phương pháp thực hành cách phong phú, chuẩn bị cho học sinh tiền đề để tiếp thu kiến thức mới, phương pháp môn Toán c¸c líp trªn Góp phần vào đổi phương pháp giảng dạy (đổi cách dạy giáo viên và cách học học sinh) nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo hướng phát huy tích cực cña häc sinh "lÊy häc sinh lµm trung t©m" Trên đây là số dạng toán BĐT và số phương pháp giúp cho học sinh biết cách giải các dạng toán bài toán BĐT chương trình lớp THCS Bước đầu đã thực nghiệm và có kết định, là việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình Angorit giải toán thể loại BĐT, phát huy tích cực chủ động sáng tạo giải các bài toán BĐT và giải toán nói chung, giúp cho học sinh rèn luyện nhiều kỹ giải toán thông qua giải các dạng bài toán BĐT tạo đà cho học sinh đổi cách học giai đoạn S¸ng kiÕn nµy ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ T«i rÊt mong nhËn ®îc ý kiến đóng góp các đồng nghiệp để xây dựng nội dung sáng kiến hoàn thiện đồng thời thân tôi rút kinh nghiệm quý báu công tác gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu khoa häc T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 19 (20) ********* Kinh nghiệm dạy học môn đại số ********* Hång Lý, ngµy 12 th¸ng n¨m 2015 Người viết: Vò Hång Qu©n Nhận xét đánh giá Ban giám hiệu Trường THCS Hồng Lý: ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Nhận xét , đánh giá hội đồng thi đua cấp huyện: ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Người thực hiện: Giáo viên – Vũ Hồng Quân - Trường THCS Hồng Lý 20 (21)