KẾT LUẬN Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh, nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài “một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất [r]
(1)Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức PHẦN I – MỞ ĐẦU Toán học là môn khoa học tự nhiên, toán học có vai trò quan trọng lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng và phong phú, đó các bài toán bất đẳng thức là bài toán khó Để giải các bài toán bất đẳng thức bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất các bất đẳng thức còn phải nắm cắc phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức và ta phải vào đặc thù bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau, có bài phải phối hợp các phương pháp cách hợp lý Bài toán chứng minh bất đẳng thức đựợc vận dụng nhiều vào các dạng toán giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức… và sử dụng nhiều ôn tập, ôn thi ngoại khóa… Vì học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế giảng dạy trường THCS Hồng Lý, học sinh gặp nhiều khó khăn giải các bài toán bất đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo phương pháp định nào nên học sinh không xác định hướng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức học sinh THCS Hồng Lý còn có nhiều hạn chế và khả tư chưa tốt đó học sinh còn nhiều lúng túng và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác Trong nội dung đề tài này tôi xin tập trung giới thiệu số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương đương, dùng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp phản chứng… và số bài tập vận dụng nhằm giúp học sinh bớt khó khăn lúng túng gặp các bài toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh khá giỏi lớp 8A và 8B tôi đảm tráchcó thể định hướng phương pháp chứng minh và hướng thú học bất đẳng thức nói riêng và môn Toán nói chung Trong chuyên đề nhỏ này người viết không có tham vọng trình bày tất các phương pháp chứng minh bất đẳng thức (vì vấn đề này là vô cùng rộng, đa dạng) mà nêu vài phương pháp điển hình B NỘI DUNG I CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SỞ Bất đẳng thức Cauchy(bất đẳng thức Côsi hay bất đẳng thức AM-GM: Arithmatic Mean – Geometric Mean) (**) Với số thực dương a1, a2, a3,…, an ta có bất đẳng thức: a1 + a2 + + an n ³ a1a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = ….= an Chứng minh Rõ ràng bất đẳng thức đứng với n= 2, bất đẳng thức đúng với n số thì đúng với 2n số vì: a1 + a + + a n ³ n.n a1 a a n + n.n a n +1 a n + a n ³ 2n.2 n a1 a a n Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (2) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Do đó bất đẳng thức cúng đúng n bàng lũy thừa Mặt khác bất đẳng thức đúng với n số thì đúng với n – số Thật cần chọn an = s ; s = a1 + a2 + + an-1 n -1 s a a a s ³ n n n -1 Þ s ³ (n - 1).n -1 a1a a n -1 n -1 n -1 Từ hai nhận xét trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy và tất các biến a1, a2, …., an Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopsky Þs+ 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + + anbn ) £ (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) Dấu đẳng thức xảy b1 = ta1 , b2 = ta2 , , bn = tan (t Î R) Chứng minh Giả sử đã cho (a j , b j Î R; j = 1, n) Ta có: (a1t - b1 ) ³ (a2t - b2 ) ³ với "t Î R (an t - bn ) ³ Suy ra: 2 a1 t - 2a1b1t + b1 ³ 2 a2 t - 2a2b2t + b2 ³ 2 an t - 2anbn t + bn ³ Cộng vế với vế ta được: 2 2 2 (a1 + a2 + + an )t - 2(a1b1 + a2b2 + + anbn )t + (b1 + b2 + + bn ) ³ Tam thức bậc hai t luôn luôn lớn hay và hệ số t2 là: 2 a1 + a2 + + an > cho nên: 2 2 2 D' = (a1b1 + a2b2 + + anbn ) - (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) £ Do đó: (a1b1 + a2b2 + + an bn ) £ (a12 + a2 + + a2 )(b12 + b2 + + bn ) Dấu xảy b j = ta j (t Î R ) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a1 + a2 + + an £ a1 + a2 + + an (aj Î R ) Dấu “=” xảy a1, a2, …, an cùng dấu Chứng minh Nếu aj > với j= 1, n aj< với j= 1, n thì hiển nhiên: a1 + a2 + + an £ a1 + a2 + + an Nếu các aj có dấu trái thì để tính a1 + a2 + + an ta tính riêng tổng các số có cùng dấu lấy tổng số lớn trừ tổng số bé Rõ ràng trường hợp này thì: a1 + a2 + + an < a1 + a2 + + an Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (3) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy a1, a2, …, =an cùng dấu II CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC VẬN DỤNG Ở BẬC PHỔ THÔNG Định nghĩa bất đẳng thức a nhỏ b, kí hiệu a< b a lớn b, kí hiệu a> b a nhỏ b, kí hiệu a £ b a lớn b, kí hiệu a ³ b Một số tính chất bất đẳng thức a, Tính chất 1: a> b Û b< a b, Tính chất 2: a> b và b> c Þ a> c c, Tính chất 3: a> b Û a+ c> b+ c Hệ quả: a> b Û a – c> b – c a+ c> b Û a> b – c d, Tính chất 4: a> b và c> d Þ a+ c> b+ d a> b và c< d Þ a – c> b – d e, Tính chất 5: a> b và c> Þ ac> bc a> b và c< Þ ac< bc f, Tính chất 6: a> b> ; c> d> Þ ac> bd g, Tính chất 7: a> b> c Þ an > bn a> b Þ an > bn với n lẻ h, Tính chất 8: a> b ; ab> Þ a – b> Một số đẳng thức thông dụng a, Bất đẳng thức Cauchy Với hai số dương a, b ta có: a+b ³ ab Dấu đẳng thức xảy a= b b, Bất đẳng thức Bunhiacopski Với số a, b, x, y ta có: (ax + by ) £ (a + b )( x + y ) Dấu đẳng thức xảy a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a + b ³ a + b dấu đẳng thức xảy ab> III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : dùng định nghĩa -Kiến thức : để chứng minh A> B ta xét hiệu A – B chứng minh A – B > Lưu ý A ³ với A ; dấu xảy A = -Ví dụ: Bài 1.1: Với số x, y, z chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + ³ 2(x+ y+ z) Giải Ta xét hiệu H = x2 + y2 + z2 + – 2(x+ y+ z) Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (4) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức = x2 + y2 + z2 + – 2x – 2y – 2z = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y+ 1) + (z2 – 2z + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 Do (x – 1)2 ³ với x (y – 1)2 ³ với y (z – 1)2 ³ với z Suy H= (x – 1)2 + (y – 1)2+ (z – 1)2 ³ với x, y, z hay x2 + y2 + z2 + ³ 2(x+ y+ z) với x, y, z Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 1.2 Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh : a2+ b2+ c2+ d2+ e2 ³ a(b+ c+ d+ e) Giải Xét hiệu: H = a2+ b2+ c2+ d2+ e2 – a(b+ c+ d+ e) a a a a = ( - b) + ( - c ) + ( - d ) + ( - e) Do a ( - b) ³ "a, b a ( - c) ³ "a, c a ( - d ) ³ "a, d a ( - e) ³ "a, e Nên H ³ với a, b, c, d, e Dấu “=” xảy a= b Phương pháp : dùng phép biến đổi tương đương -Kiến thức: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng -Một số bất đẳng thức thường dùng: (A+ B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (A+ B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A+ B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 -Ví dụ: Bài 2.1 Cho a, b là hai số dương có tổng Chứng minh rằng: 1 + ³ a +1 b +1 Giải Dùng phép biến đổi tương đương: 3(a+ 1+ b+ 1) ³ 4(a+ 1)(b + 1) Û ³ 4(ab + a+ b+ 1) ( vì a+ b = 1) Û ³ 4ab + Û ³ 4ab Û (a+ b)2 ³ 4ab Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy điều phải chứng minh đúng Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (5) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Bài 2.2 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a+ b+ c = Chứng minh rằng: (a+ b)(b +c)(c + a) ³ a3b3c3 Giải Từ (a+ b)2 ³ 4ab , (a+ b+ c)2 = [(a+b) +c]2 ³ 4(a+ b)c Suy ra: 16 ³ 4(a+ b)c Þ 16(a+ b) ³ 4(a+ b)2c ³ 16 abc Þ a+ b ³ abc tương tự b + c ³ abc và c + a ³ abc suy ra: (a+ b)(b+ c)(c+ a) ³ a3b3c3 Dấu “=” xảy a= b= c= Bài 2.3 a + b3 æ a + b ö Chứng minh bất đẳng thức: ³ç ÷ đó a> 0, b> è ø Giải Dùng phép biến đổi tương tương: với a> 0, b> Þ a+ b> a + b3 æ a + b ö ³ç ÷ è ø æa +bö æa +bö æa +bö Ûç ÷ × (a - ab + b ) ³ ç ÷×ç ÷ è ø è ø è ø 2 æa +bö Û a - ab + b ³ ç ÷ è ø Û 4a - 4ab + 4b ³ a + 2ab + b Û 3a - 6ab + 3b2 ³ 3( a - 2ab + b ) ³ 2 Bất đẳng thức cuối cùng đúng suy ra: a + b3 æ a + b ö ³ç ÷ è ø Dấu “=” xảy a= b Bài 2.4 Cho số a, b thỏa mãn a+ b= Chứng minh rằng: a3+ b3+ab ³ Giải 1 Û a3+ b3+ab – ³ 2 2 Û (a+ b)(a – ab+ b ) + ab – ³ 2 Û a + b – ³ (vì a+ b= 1) Û 2a2 + 2b2 – ³ Û 2a2 + 2(1 – a)2 – ³ (vì b= a – 1) 2 Û 4a – 4a + ³ Û (2a – 1) ³ Ta có: a3+ b3+ab ³ Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3+ b3+ab ³ Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (6) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy a= b= Bài 2.5 Với a> 0, b> Chứng minh bất đẳng thức: b a - a³ ba b Giải Dùng phép biến đổi tương đương: b a - a³ ba b Û a a + b b ) - ab ( a + b ) ³ ( ) ( b ) ùúû - ab ( a + b ) ³ Û ( a + b )(a - ab + b ) - ab ( a + Û ( a + b )(a - ab + b ) ³ Û ( a + b )( a - b ) ³ Ûé a + êë 3 b) ³ Bất đẳng thức cuối cùng đúng suy ra: a b - a³ bb a Dấu “=” xảy a= b Phương pháp : dùng bất đẳng thức quen thuộc -Kiến thức: dùng các bất đẳng thức quen thuộc như: Cauchy, Bunhiacopsky, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh -Một số hệ từ các bất đẳng thức trên: x2 + y2 ³ 2xy; với a, b> 0; a b + ³2 b a -Các ví dụ: Bài 3.1 Giả sử a, b, c là các số dương Chứng minh : a b c + + >2 b+c c+a a+b Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : a 2a ³ b+c a+b+c b 2b c 2c ³ ; ³ a+c a+b+c a+b a+b+c a+ (b+ c) ³ a (b + c ) Û Tương tự : Dấu “=” ba đẳng thức trên không thể đồng thời xảy vì đó ta có : a= b+ c ; b= c+ a ; c= a+ b nên a+ b+ c = (trái với giả thiết a, b, c là số dương) Từ đó suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b Bài 3.2 Cho x, y là số thực thỏa mãn : x2 + y2 = x - y + y - x Chứng minh : 3x + 4y £ Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (7) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có : ( x + y )2 = ( x - y + y - x )2 ( x £ 1; y £ ) £ ( x + y )(1 - y + - x ) Þ x2 + y2 £ Ta lại có : (3x+ 4y)2 £ (32 + 42)(x2+ y2) £ 25 Þ 3x+ 4y £ ì ì ïx2 + y2 = x= ï ïï Đẳng thức xảy í x > 0, y > Û í điều kiện : £ x £ 2 ïx y ïy = ï ï = î î3 Bài 3.3 Cho a, b, c ³ ; a+ b+ c= Chứng minh : a, a + b + b + c + c + a £ b, a + + b + + c + < 3,5 Giải a, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky với hai số ta có : ( ) [ a + b + b + c + c + a £ (1 + + 1) ( a + b )2 + ( b + c ) + ( c + a )2 ] Þ ( a + b + b + c + c + a ) £ 3(2a + 2b + 2c ) = Þ a+b + b+c + c+a £ Dấu “=” xảy a= b= c= b, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : a +1 £ ( a + 1) + a = +1 2 Tương tự ta có : b + 1; c c +1 £ +1 b +1 £ Cộng vế bất đẳng thức trên ta : a +1 + b +1 + c +1 £ a+b+c + = 3,5 Dấu đẳng thức xảy a= b= c= 0(trái với giả thiết a+ b+ c= 1) Vậy a + + b + + c + < 3,5 Bài 3.4 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : a+ b+ c =1 Chứng minh rằng: 1 + + ³9 a b c Giải Ta có: a b + > 0; a , b > b a Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (8) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 a a b b c c + + = ( + + ).1 = ( + + ).(a + b + c) = + + + + + + + + a b c a b c a b c b c a c a b a b a c b c 1 = 3+( + )+( + )+( + ) ³ 3+ 2+ 2+ = 9Þ + + ³ b a c a c b a b c Dấu “=” xảy a= b= c= Bài 3.5 Cho x, y> Chứng minh rằng: 1 + ³ x y x+ y Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x + y ³ xy 1 + ³ x y xy 1 Þ ( x + y )( + ) ³ x y 1 Þ + ³ x y x+ y Dấu “=” xảy x= y Phương pháp : dùng các tính chất bất đẳng thức -Kiến thức : Dùng các tính chất đã học để vân dụng vào giải bài tập -Các ví dụ : Bài 4.1 Cho hai số x, y thỏa nãm điều kiện : x+ y = Chứng minh x4+y4 ³ Giải Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 – y2) ³ Û x4 + y4 ³ 2x2y2 Û 2(x4 +y4 ) ³ (x2 + y2)2 (1) 2 2 2 Û x + y ³ 2xy Û 2(x + y ) ³ (x + y) Û 2(x + y ) ³ ( vì x+ y= 2) 2 Û x +y ³ (2) Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 ³ Dấu “=” xảy x= y= Bài 4.2 Cho 0< a, b, c, d< Chứng minh : (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > – a – b – c – d Giải Ta có: (1 – a)(1 – b) = – a – b +ab a, b > nên ab> Þ (1 – a)(1 – b) > – a – b c<1 nên – c> Þ (1 – a)(1 – b)(1 – c) > – a – b)(1 – c) Û (1 – a)(1 – b)(1 – c) > – a – b – c + ac + bc Do a, b, c, d > nên – d> 0; ac + bc> 0; ad + bd+ cd>0 Þ (1 – a)(1 – b)(1 – c) > – a – b – c Þ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > (1 – a – b – c)(1 – d) Þ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > – a – b – c – d + ad + bd + cd Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (9) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Þ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d) > – a – b – c (đpcm) Bài 4.3 Cho 0<a, b, c< 1; chứng minh rằng: 2a3+ 2b3+ 2c3< 3+ a2b+ b2c+ c2a Giải Do a, b< nên a3 < a2 < a <1; b3 < b2 < b < 1; Ta có: (1 – a2)(1 – b)> Þ + a2b > a2 + b Þ 1+ a2b > a3 + b3 hay a3+ b3 < + a2b Tương tự: b3 + c3 < + b2c; c3 + a3 < + c2a 3 2 Þ 2a + 2b + 2c < + a b + b c + c a (đpcm) Phương pháp : dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiên Bài 5.1 Cho a> b> chứng minh rằng: a1996 - b1996 a1995 - b1995 > a1996 + b1996 a1995 + b1995 Giải Để chứng minh bất đẳng thức trên ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau: a> b> và m, n là hai số tự nhiên mà m> n thì: am - bm an - bn > (1) a m + bm a n + bn Thật vậy: ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh: a m + b m - 2b m a n + b n - 2b n 2b m 2b n 2b m 2b n Û > Û 1- m >1- n Û- m >- n a m + bm a n + bn a + bm a + bn a + bm a + bn bm bn m n b b 1 am an bm bn Û m < Û < Û < Û + > +1 a m bm a n bn am an a + bm a n + bn bm bn + + +1 +1 bm bm bn bn bm bn am an a a Û m > n Û ( )m > ( )n b b b b Bất đẳng thức (2) luôn đúng và a> b> nên a > và m> n b Vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng Phương pháp : dùng bất đẳng thức tam giác Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác ta có: a< b+ c (1) b< a+ c (2) c< a+ b (3) Từ ba bất đẳng thức tổng ba cạnh tam giác ta suy ba bất đẳng thức hiệu hai cạnh : a< b+ c (1) Þ a - b < c (4) b< a+ c (2) Þ b - c < a (5) c< a+ b (3) Þ c - a < b - Các ví dụ : Bài 6.1 (6) Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình (10) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a+ b+ c (a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác) Chứng minh : 1 1 1 + + ³ 2( + + ) p-a p-b p -c a b c Giải Ta có : p – a = b+c-a > (vì b+ c > a nên b+ c – a> 0) Tương tự : p – b> ; p – c> Áp dụng kết bài tập (3.5) ta được: 1 4 + ³ = p - a p - b ( p - a ) + ( p - b) c 1 Tương tự: + ³ p-b p-c a 1 + ³ p-a p-c b 1 1 1 Do đó: 2( + + ) ³ 4( + + ) p-a p -b p-c a b c 1 1 1 + + ³ 2( + + ) p-a p-b p -c a b c Dấu “=” xảy p – a = p – b = p – c Û a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác Bài 6.2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) £ abc Giải Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết: c - a < b Þ < b - (c - a ) £ b a - b < c Þ < c - ( a - b) £ c Từ đó: a - (b - c) b - (c - a ) c - (a - b) £ a 2b c Û (a + b - c )(a - b + c)(b - c + a )(b + c - a )(c - a + b)(c + a - b) £ a 2b c Û (a + b - c ) (b + c - a ) (c + a - b) £ a 2b c Û (a + b - c )(b + c - a )(c + a - b) £ abc Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: a+ b – c > b+ c – a > c+ a – b > abc > Vậy bất đẳng thức đã chứng minh Dấu “=” xảy a = b= c Phương pháp : chứng minh phản chứng -Kiến thức: Giả sử chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều giả sử vô lý Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 10 (11) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Điều vô lý có thể trái với giả thiết là điều trái ngược nhau, từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng -Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức: +Dùng mệnh đề đảo +Phủ định suy điều trái với giả thiết +Phủ định suy trái với điều đúng +Phủ định suy hai điều trái ngược +Phủ định suy kết luận -Các ví dụ: Bài 7.1 Cho < a, b, c, d< 1; chứng minh rằng: ít bất đẳng thức sai: 2a(1 – b) > 3b(1 – c) > 8c(1 – d) > 32d(1 – a) > Giải Giả sử ngược lại bốn bất đẳng thức đúng Nhân vế ta có: 2.3.8.32.a(1 – b)b(1 – c)(c(1 – d)d(1 – a)> 1.2.1.3 Û a(1 – a) b(1 – c) c(1 – d) d(1 – a) > (1) 256 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a +1- a Û a (1 - a ) £ 2 Þ a (1 - a ) £ a (1 - a ) £ c(1 – c) £ b(1 – b) £ Tương tự: Nhân vế bất đẳng thức, ta có: 1 1 4 4 a(1 – a) b(1 – c) c(1 – d) d(1 – a) £ × × × = (2) 256 Từ (1) và (2) ta suy điều vô lý Vậy có ít các bất đẳng thức đã cho là sai (đpcm) Bài 7.2 Chứng minh không có ba số dương a, b, c nào thỏa mãn ba bất đẳng thức sau: a+ < 2; b b+ <2; c c+ <2 a Giải Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn ba bất đẳng thức: a+ < 2; b b+ <2; c c+ <2 a Cộng vế bất đẳng thức trên ta được: a+ 1 +b+ +c+ < 2+2+2 b c a Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 11 (12) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức 1 Û (a + ) + (b + ) + (c + ) < a b c (1) Vì a, b, c dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 ³ 2; c+ ³2 b c 1 Suy ra: a + + b + + c + ³ điều này mâu thuẫn với (1) a b c a+ ³ 2; a b+ Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn ba bất đằng thức nói trên suy điều phải chứng minh Bài 7.3 Chứng minh không có các số dương a, b, c thỏa mãn ba bất đẳng thức sau: 4a(1 – b)> 1; 4b(1 – c)> 1; 4c(1 – a)> Hướng dẫn Tương tự bài 7.2 Bài 7.4 Cho a3 + b3 = Chứng minh rằng: a+ b £ Giải Giả sử: a+ b > Þ (a + b) > 3 Þ a + b + 3ab(a+ b) > Þ + 3ab(a + b) > Þ ab(a + b) > 3 Þ ab(a+ b) > a + b Chia hai vế cho a +b (vì a, b là hai số dương) ta được: ab > a2 – ab + b2 Þ (a – b)2 < (vô lý) Vậy a + b £ Dấu “=” xảy ab = Phương pháp : đổi biến số -Kiến thức: Thực phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho dạng đơn giản hơn, gọn hơn, dạng bài toán đã biết cách giải -Các ví dụ: Bài 8.1 Chứng minh rằng, a, b, c > thì: a b c + + ³ b+c c+a a+b (1) Giải Đặt b+ c = x; c + a = y; a + b = z x+ y+z y+z-x z+x- y x+ y-z Þa= ;b = ;c = 2 2 a b c y+z-x z+x- y x+ y-z Khi đó: vế trái (1) = + + = + + b+c c+a a+b 2x 2y 2z y x z x z y 3 = ( + ) + ( + ) + ( + ) - ³ 1+1+1- = x y x z y z 2 Suy ra: a+ b+ c = Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 12 (13) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy a= b = c Bài 8.2 Chứng minh với số thực x, y ta có bất đẳng thức: - ( x - y )(1 - x y ) £ £ (1 + x ) (1 + y ) Giải x2 - y2 - x2 y ; b= (1 + x )(1 + y ) (1 + x )(1 + y ) Đặt a= ( x - y )(1 - x y ) (1 + x ) (1 + y ) 1 Dễ thấy với a, b thì - (a - b) £ ab £ (a + b) 4 Suy ab= 2 ù é Mà (a – b) = ê1 - ú ; (a + b)2 = ë x + 1û 1 Suy - £ ab £ 4 é ù ê1 - y + 1ú ë û Bài 8.3 Cho a, b, c> 0; a+ b+ c £ Chứng minh rằng: 1 + + ³9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Giải Đặt a2 +2bc = x; b2 + 2ac = y; c2 +2ab = z Khi đó : x+ y+ z = a2 +2bc + b2 +2ac + c2 +2ab = (a+ b+ c)2 £ Bài toán trở thành : Cho a, y, z > ; x+ y+ z £ Chứng minh : 1 + + ³9 x y z x ta chứng minh : (x+ y+ x)( + mà x+ y+ z £ nên suy 1 + ) ³ (theo bất đẳng thức Cauchy) y z 1 + + ³ x y z Phương pháp : dùng phép quy nạp toán học -Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n> phương pháp quy nạo toán học ta tiến hành : +Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=1 (n= n0) +Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k> 1(k> n0) +Chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+ +Kết luận bất đẳng thức đúng với n> (n > n0) -Ví dụ: Bài 9.1 Chứng minh với số nguyên dương n ³ thì: 2n > 2n+ (*) Giải Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 13 (14) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức +Với n= ta có: 2n = 23 =8; 2n + 1= 2.3+ 1= 7; 8> Vậy bất đẳng thức (*) đúng với n= +Giả sử bất đẳng thức (*) đúng với n= k ( k Î N, k ³ 3) tức là ta có: 2k > 2k + Ta phải chứng minh 2k+1 > 2k + (**) Thật vậy: 2k+1 = 2k mà 2k > 2k +1 Do đó 2k+1 > 2(2k+1) = (2k + 3) + (2k – 1) > 2k + (vì 2k – 1> 0) Vậy (**) đúng với k ³ +Kết luận: 2n > 2k + với sô nguyên dương n ³ Bài 9.2 Chứng minh rằng: 2n - 1 (*) với n là số nguyên dương £ × × ×××× 2n 3n + Giải Vậy (*) đúng với n = 2k - 1 +Giả sử (*) đúng với n= k ³ 1, ta có: × × × × × × £ 2k 3k + +Với n= 1, ta có: VT= VP = Ta cần chứng minh (*) đúng với n= k - 2k + 1 2k + × × ×××× × £ × 2k 2(k + 1) 3n + 2(k + 1) 2k + 1 Do đó ta cần chứng minh: × £ (**) 3k + 2(k + 1) 3(k + 1) + k+1, tức là: Dùng phép biến đổi tương đương ta có: (2k+1)2(3k+4) £ (3k + )4(k+ 1)2 3 Û 12k + 28k + 19k + £ 12k + 28k + 20k +4 Û k ³ Suy (**) đúng với k ³ IV ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị -Kiến thức: Nếu f(x) ³ m thì f(x) có giá trị nhỏ là m Nếu f(x) £ M thì f(x) có giá trị lớn là M Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như: Cauchy, Bunhiacopsky, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trường hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng là đa thức, ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đổi biến số, số bất đẳng thức thường dùng Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý: A + B ³ A + B dấu “=” xảy A=0 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= a3 + b3 + ab Cho biết avà b thỏa mãn a+ b= Giải Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 14 (15) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức Ta có: B= (a+ b)(a2 –ab + b2) +ab = a2 – ab + b2 + ab = a2 + b2 Theo Cauchy ta có: 2(a2 + b2) ³ (a + b)2 = 1 1 Vậy minB = a= b= 2 2 Þ a +b ³ Bài a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= (x2 + x)( x2 + x – 4) b, Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= -x2 – y2 + xy + 2x + 2y Giải a, A= (x2 + x)(x2 + y – 4) đặt t= x2 + x – Suy A= (t – 2)(t + 2) = t2 – ³ -4 Dấu ‘=’ xảy t= Û x2 + x – = Û (x – 1)(x + 2) = Û x= ; x= - 2.min A = -4 x= -2, x= b, tương tự câu a Phương trình (1) có nghiệm Û dấu ‘=’ (2) xảy Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Ngoài còn có số ứng dụng bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo giải, học sinh phải nắm các kiến thức bất đẳng thức thì vận dụng Ví dụ : dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1 + + =2 x y z Giải Không tính tổng quát ta giả sử x ³ y ³ z, ta có : 1 + + £ Þ 2z £ mà z nguyên dương đó z = x y z z 1 Thay z= vào phương trình ta + = x y 1 Theo giả sử x ³ y nên 1= + £ x y y 2= Vì y nguyên dương nên y= y= Với y= thì không thích hợp Với y= thì x= Vậy nghiệm hệ phương trình là (2 ; ; 1) ; (1 ; ; ) ; (2 ; ; 2) V BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho hai số x, y cho x+ y =1 Chứng minh : Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 15 (16) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức b, x + y ³ a, x + y ³ Bài Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = a(b+ c+ d+ e) Bài Cho hai số dương x, y và x3 + y3 = x – y Chứng minh x2 + y2 < Bài Cho hai số dương x, y Chứng minh rằng: x3 + y3 x+ y ³( ) Bài Cho ab> Chứng minh rằng: 1 + ³ 2 1+ a 1+ b + ab Bài Cho số x, y, z không âm cho x+ y+ z = a Chứng minh : (a – x)(a – y)(a – z) ³ 8xy Bài Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ³ abca+ b+ c) Bài Cho x2 + 4y2 = Chứng minh rằng: x - y £ Bài Chứng minh rằng: a < 1; b < thì a + b < + ab Bài 10 Chứng minh với số nguyên dương n ³ thì 2n > 2n + Bài 11 Cho a,b, c là độ dài các cạnh tam giác Chứng minh rằng: a-b b-c c-a + + < a+b b+c c+a Bài 12 Cho x.y =1 và x.y Chứng minh x2 + y2 ³2 x- y Bài 13 Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: a) a + + b + + c + £ 3,5 ; b) a + b + b + c + c + a £ Bài 14 Cho a, b, c ³ ,Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ³ + + a b c ab bc ca Bài 15 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác.Chứng minh rằng: Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 16 (17) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức a) ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca); b) abc > (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a); a b c + + <2; b+c c+a a+b d) 2a b + 2b c + 2c a - (a + b + c ) > ; c) Bài 16 Cho a , b, c là các số thực và a + b + c = 1Chứng minh a + b + c ³ Bài 17 Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x + y + z £ xy + y + z - Bài 18 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 + + =2 x y z Bài 19 Cho a, b, c > và a + b + c < Chứng minh 1 + + ³9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 20 Cho a > , b > , c > CMR: 25a 16b c + + >8 b+c c+a a+b II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh khá giỏi lớp 8A và 8B tôi đảm trách tôi thấy học sinh đã xác định loại toán và cách làm, các em học sinh đã làm các bài tập bất đẳng thức và đã có hướng thú học toán Kết thực tế khảo sát với hai lớp 8A, 8B trường THCS Hồng Lý: Khi chưa thực chuyên đề: Điểm < Điểm – 10 Điểm – Điểm – Lớp 8A(8 hs) 0% 37,5% 12,5% 50% Lớp 8B(5 hs) 0% 0% 40% 60% Sau thực chuyên đề: Điểm – 10 Điểm – Điểm – Điểm < Lớp 8A(8 hs) 12,5% 25% 50% 12,5% Lớp 8B(5 hs) 0% 20% 60% 20% B KẾT LUẬN Các bài tập bất đẳng thức thường là tương đối khó học sinh, hướng dẫn học sinh xong đề tài “một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức” học sinh thấy việc làm bài toán bất đẳng thức dễ Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù dạng bài tập nào học sinh có hướng suy nghĩ và tập suy luận, các em có tự tin Đề tài trên còn có nhiều thiếu sót mong góp ý chân thành các thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài này hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 17 (18) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ – Phan Huy Khải Bất đẳng thức và các vấn đề liên quan – Trần Nam Dung, Nguyễn Văn Mậu Bất đẳng thức suy luận và khám phá – Phạm Quang Thuận 500 bất đẳng thức – Cao Minh Quang Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hùng Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức – Võ Quốc Bá Cẩn Giải thích (**): Ở nước ta bất đẳng thức này gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy Thật đây là cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là người đề xuất bất đẳng thức này mà là người đưa cách chứng minh đặc sắc cho nó Ở nhiều nước trên giới người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM-GM Hồng Lý, ngày tháng năm 2015 Người thực Trần Đại Nghĩa Nhận xét Ban giám hiệu Nhà trường ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THI ĐUA CÂP HUYỆN ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Trần Đại Nghĩa - Trường THCS Hồng Lý – Vũ Thư – Thái Bình 18 (19)