Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số d : Bài 3.3A.1: a)Tìm số d khi chia 2006 10 cho 2000 . b) Tìm số d trong phép chia A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91. Bài 3.3A.2: Tìm số d khi chia 2945 5 - 3 cho 9 Bài 3.3 A.3: Tìm số d khi chia (1997 1998 +1998 1999 + 1999 2000 ) 10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số d khi chia 1532 5 - 1 cho 9 Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số d khi chia 10! cho 11 2) Tìm số d khi chia 1776 2003 cho 4000 . Bài 3.3 A.6: a) Tìm số d khi chia 13! cho 11 b) Tìm số d trong phép chia: 7 15 : 2001 Bài 3.3 A.7: Tìm số d khi chia 5 70 + 7 50 cho 12 Bài 3.3 A.8: Tìm số d khi chia 100 2 51200 cho 41 Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có: 51200 41 51200(mod 41) 32(mod 41) Mặt khác:2 1 2(mod 41) , 2 2 4(mod 41) , 2 3 8(mod 41) , 2 4 16(mod 41) , 2 5 32(mod 41) , 2 6 23(mod 41) , 2 7 5(mod 41) 2 100 = 2 14.7+2 = (2 7 ) 14 .2 2 (5) 14 .2 2 (mod 41) Ta có:5 2 25(mod 41) , 5 3 2(mod 41) 5 14 = 5 3.4 +2 =(5 3 ) 4 .5 2 2 4 .5 2 (mod 41) 31(mod 41) Nên: 2 100 (5) 14 .2 2 (mod 41) 31.2 2 (mod 41) 1(mod 41) ABC V 2 100 = 41q +1 (q N) Vậy: 100 2 51200 =51200 41q +1 = (51200 41 ) q .51200 (32) q .51200(mod 41) (32) q .32(mod 41) (32) q+1 (mod 41) (q N) Cách này không ra! Cách khác:Ta có:51200 40 1(mod 41) ,51200 32(mod 41) Mà: 2 2 -1(mod5) (2 2 ) 48 1 (mod5) (2 2 ) 48 .2 1.2 (mod5) 2 97 2 (mod5) 2 97 .2 3 2.2 3 (mod5.2 3 ) 2 100 16 (mod 40) Nên: 2 100 = 40q +16 Cho nên: 100 2 51200 =51200 40q +16 = (51200 40 ) q .51200 16 32 16 (mod 41) Mà: 32 16 = 2 80 = (2 40 ) 2 1(mod 41) Vậy: 100 2 51200 1(mod 41) Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số d khi chia (5 15 + 1) cho (2 12 +1) b) Hãy tìm số d r . Bài 3.3 A.10: Tính phần d của các số 7 0 ; 7 1 ; 7 2 ; 7 3 ; 7 4 ; 7 5 ; 7 6 ; 7 7 ; 7 8 ; 7 9 ; 7 10 ; 7 11 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau: 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 7 11 Số d Bài 3.3 A.11: a) Tìm số d khi chia 1997 2008 cho 2003 b/ Tìm số d khi chia 1997 2001 cho 2003 c/ Tìm số d khi chia 2 100 cho 100 d/ Tìm số d khi chia 9 100 cho 100 e/ Tìm số d khi chia 11 201 cho 100 Bài 3.3 A.12: Tìm số d khi chia 102007 200708 cho 111007 B - Chứng minh chia hết: Bài 3.3B.1: 1) Chứng minh rằng: 4 2n+1 + 3 n+2 13 . 2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dơng n thì biểu thức: [7.5 2n + 12.6 n ] 19 Bài 3.3B.2: a/ Chứng minh rằng: 2 4n - 1 15 b/ Chứng minh rằng: 69 69 +19 19 44 Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 1890 1930 + 1945 1975 7 b) 19 2007 +13 2004 5 Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220 69 119 + 119 220 69 +69 119 220 102 Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng: a) 2 5n - 1 31 b) (n 2 + n - 1) 2 - 1 24 Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2 5 2 + 1 461 Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng: a) 1 n + 2 n + 3 n + .+ m n 0 (mod m ) . b) A = n 8 - n 6 - n 4 + n 2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ. c) B = 9n 3 + 9n 2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n. B i 3.3 B.8: Chng minh rng: 2222 5555 + 5555 2222 7 Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7) Mặt khác:2222 6 1(mod7) , 5555 = 5(mod6) 5555 = 6q +5 (q N) nên 2222 5555 = 2222 6q +5 = (2222 6 ) q .2222 5 3(mod7) Tơng tự: 5555 2222 4(mod7) Vậy: 2222 5555 + 5555 2222 7(mod7) 0(mod7) đpcm B i 3.3 B.9: Chng minh rng: n N * ta có: a) 2 2 4 2 1 7 n n + + b) 2 2 15 1 9 n n+ Giải:a) Với n = 1 thì: 1 1 2 2 2 2 4 2 1 4 2 1 21 7 n n + + = + + = Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k N , k 1) tức là: 2 2 4 2 1 7 k k + + Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 1 1 2 2 4 2 1 7 k k+ + + + Thật vậy: 1 2 4 k+ 2 nếu k chẵn và 4 nếu k lẻ 1 2 2 k+ 4 nếu k chẵn và 2 nếu k lẻ Vậy: 1 1 2 2 4 2 1 7 k k+ + + + với * k đpcm Bài 3.3 B.10: CMR: a) 2 1 2 2 n+ +3 7 b) 10 1 2 2 19 23 n+ + c) 6 2 2 2 21 37 n+ + Giải: c) Ta có:2 36 1 (mod 37) Mà: 2 6 1(mod 9) nên:(2 6 ) n 1(mod 9) (2 6 ) n .2 2 1.2 2 (mod9. 2 2 ) 2 6n +2 4 (mod36) 2 6n +2 =36q +4 (q N) Nên: 6 2 2 2 n+ = 2 36q+ 4 =(2 36 ) q .2 4 16 (mod 37) Vậy: 6 4 2 2 21 16 21(mod37) 0(mod37) n dpcm + + + Bài 3.3 B.11: Số 3 12 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó. Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: a/2001 2004 + 2003 2006 10 b/ 7 + 7 2 + 7 3 + +7 2008 400 Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dơng n thì : 3 n+2 - 2 n+2 +3 n - 2 n 10 C - Số tận cùng: Ta có: 4 3 2 1 .10 .10 .10 .10abcde a b c d e= + + + + Cho nên: - Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng d mod 10 1 - Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10 2 - Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10 3 - Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng d mod 10 n Bài 3.3C. 1: a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9 9 9 b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14 14 14 c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 5 21 Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2 4 3 Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14 14 14 Giải:Ta có:14 4(mod 10) Mà: 14 - 1 (mod 5) 14 13 - 1 (mod 5) 14 13 .7 - 1.7 (mod 5) 14 13 .7 .2 - 1.7.2 (mod 5.2) 14 14 - 14 (mod 10) 6 (mod 10) Nên: 14 14 =10q +6 (q N) Vậy: 14 14 14 = 14 10q +6 = 14 (5q+3).2 = (14 5q +3 ) 2 Vì : q N nên 14 5q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 Do đó: (14 5q +3 ) 2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6 Cách 2: Ta có:14 2 6 (mod 10) Nên: (14 2 ) 7 6 7 (mod 10) 6 (mod 10) 14 14 = 10 q +6 (q N) 14 14 14 = 14 10q +6 = (14 2 ) 5q .14 6 6. 14 6 (mod 10) 6. (14 2 ) 3 (mod 10) 6. 6 3 (mod 10) 6 4 (mod 10) 6 (mod 10) Vậy: Chữ số tận cùng là 6. Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:5 21 HD: 5 21 =5 14 .5 4 .5 3 203125 (mod 10 6 ) Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:5 1995 Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 9 9 b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 9 9 11 Giải: a) Vì 100 = 2 2 .5 2 nên: (100) 1 1 100(1 )(1 ) 40 2 5 = = Ta có: 9 40 1(mod 100) Mặt khác: 9 2 1(mod 40) ⇒ (9 2 ) 4 ≡ 1(mod 40) ⇒ (9 2 ) 4 .9 ≡ 1.9(mod 40) ⇒ 9 9 = 40q + 9 (q ∈ N) VËy: 9 9 9 = 9 40q + 9 = (9 40 ) q .9 9 ≡ 9 9 (mod 100) ≡ 89 (mod 100) KL: Hai ch÷ sè tËn cïng cña 9 9 9 lµ:89 b) Ta cã: 9 9 9 ≡ 89 (mod 100) nªn 9 9 9 = 100k + 89 (k ∈ N) ⇒ 9 9 9 11 = 11 100k + 89 = (11 100 ) k .11 89 mµ 11 5 ≡ 51(mod 100) ⇒ (11 5 ) 2 ≡ 1(mod 100) ⇒ (11 10 ) 10 ≡ 1(mod 100) ⇒ 11 100 ≡ 1(mod 100) Nªn: 9 9 9 11 ≡ 11 89 (mod 100) ≡ 11 40.2+9 (mod 100) ≡ (11 40 ) 2 .11 9 (mod 100) ≡ 11 9 (mod 100) ≡ 91 (mod 100) KL: Hai ch÷ sè tËn cïng cña 9 9 9 11 lµ: 91 Bµi 3.3 C. 7: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 2 1 + 3 5 + 4 9 + .+ 2004 8009 Bµi 3.3 C. 8: T×m sè tËn cïng cña c¸c sè: 6 713 vµ 2 1000 Bµi 3.3 C. 9: T×m hai sè tËn cïng cña sè: 2 1999 + 2 2000 + 2 2001 Bµi 3.3 C.10: T×m hai sè tËn cïng cña sè:2 999 . Bµi 3.3 C.11: T×m 3 sè tËn cïng cña sè: 2010 70 2011 8 90 1 1 4 5 22 19A = + Bµi 3.3 C.12: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè:20072008 20072008 . Bµi 3.3 C.13: T×m hai sè tËn cïng cña sè: 9 9 9 9 9 9 9+ Bµi 3.3 C.14: T×m hai sè tËn cïng cña sè:101 2 + 102 3 +103 4 +104 5 . . Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số d : Bài 3.3A.1: a)Tìm số d khi chia 2006 10 cho 2000 . b) Tìm số d trong phép chia A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91. Bài 3.3A.2:. 5 - 3 cho 9 Bài 3.3 A.3: Tìm số d khi chia (1997 1998 +1998 1999 + 1999 2000 ) 10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số d khi chia 1532 5 - 1 cho 9 Bài 3.3 A.5: