Dạng 9.Số học 1) Tìm một số biết nhân số đó với 15 rồi cộng với lập phơng của số đó sẽ bằng 6 lần bình phơng của số đó cộng với 31 lần số đó? 2) Tìm một số biết nếu nhân số đó với 12 rồi thêm vào lập phơng của số đó thì kết quả bằng 6 lần bình phơng của số đó cộng với 35 . 3/ Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2007! Chia hết cho 7 a . 4/ Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 13511 , 13903 , 14589 cho a ta đợc cùng một số d . HD:Ta có:13511 r(mod a) 13903 r(mod a) 14589 r(mod a) 392 0(mod a) 1078 0(mod a) 686 0(mod a) a =ƯCLN(392;1078;686) = 98 Đáp số:a = 98. 5/Luỹ thừa bậc 5 của một số gồm các chữ số:1,2,3,3,7,9.Tìm số đó? 6/Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoả mãn: a/Số tạo thành bởi 3 chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi 3 chữ số đầu 1 đơn vị. b/Là số chính phơng. 7/Cho 4 số nguyên , nếu cộng ba số nguyên bất kỳ ta đợc các số là 180 , 197, 208 , 222 . Tìm số lớn nhất trong các số nguyên đó . 8/Cho a = 2 8 + 2 11 +2 n .Tìm số tự nhiên n để a là số chính phơng. HD: +Nếu n = 8 thì a = 2 8 + 2 11 +2 8 = 5.2 9 Loại +Nếu n < 8 thì a = 2 8 (9+2 n-8 ) với n N * Loại +Nếu n>8 thì ta có: a = 2 8 (9+2 n-8 ) với n N * Vì a là số chính phơng thì 9 + 2 n-8 = p 2 2 n-8 = p 2 - 9 ,p >3 2 n-8 = (p-3)(p+3) ,p >3 Vì 2 n-8 là tích của hai số có hiệu [(p+3)-(p-3)=6] và mỗi số phải là luỹ thừa của 2. 3 8 3 2 p p + = = p =5 n =12 9/Tìm các chữ số a, b , c , d để ta có : 5 7850a bcdì = . 10/Cho biết tỷ số của 7x - 5 và y + 13 là hằng số và y = 20 khi x = 2 . Hỏi khi y = 2010 thì x bằng bao nhiêu ? 11/Tìm tất cả các số tự nhiên có không quá 10 chữ số mà khi ta đa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng gấp 5 lần . 12/ Biết rằng số a = 1 2 3 4 5 6 7 80 3a a a a a a a là lập phơng của một số tự nhiên.Hãy tìm số a. 13/ Tính tổng các chữ số của số A 2 biết A = 99998 (Số A có 2007 chữ số 9). 14)Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4, Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 . 15) Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện : Chia 2 d 1, Chia 3 d 2, Chia 4 d 3, Chia 5 d 4, Chia 6 d 5, Chia 7 d 6, Chia 8 d 7 , Chia 9 d 8, Chia 10 d 9 . 16/ Tìm số có 10 chữ số sao cho chia cho 5 d 2 , chia cho 9 d 2 , chia cho 735 d 20. 17/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 123 thì đợc thơng lớn nhất là 97 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên trên. 18/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 678 thì đợc thơng lớn nhất là 397 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên trên. 19/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102011 thì đợc thơng lớn nhất là 2012 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên trên. 20/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:222;255;249;234. Tìm số nguyên lớn nhất. 21/ Cho 4 số nguyên,nếu cộng 3 số nguyên bất kì thì ta đợc:4691;5568;5599;4706. Tìm số nguyên lớn nhất. 22/Tổng các chữ số của một số có 2 chữ số cho trớc cộng với bình phơng của tổng 2 chữ số ấy cho ta chính số đó.Tìm số đã cho. 23/Tìm x,y sao cho: 62 427xy M 99 24/Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98. 25/Tìm một số tự nhiên biết số đó chia cho 26 thì đợc số d bằng 2 lần bình phơng của số thơng. 26/Tìm 3 số nguyên tố khác nhau biết tích 3 số đó gấp 3 lần tổng của chúng. 27/Chứng minh rằng luôn tìm ra đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số. 28/Cho p là số nguyên tố >3 .Hỏi p 2 +2003 là số nguyên tố hay là hợp số. 29/Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại thì ta đợc một số chính phơng. 30/Chứng minh rằng :a=19 k + 5 k + 1995 k + 1996 k không là số chính phơng. 31/Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho: ( ) 2 2 1 2 abc n cba n = = 32/Hãy xét xem số a = 1 k + 9 k + 19 k + 1993 k , k Z + và k lẻ có phải là một số chính phơng không? HD:Vì k lẻ nên:1 k 1(mod 4) 9 k 1 k (mod 4) 1(mod 4) 19 k (-1) k (mod 4) -1(mod 4) 1993 k 1 k (mod 4) 1(mod 4) Vậy: a 2(mod 4) a không phải là số chính phơng. 33/Chứng minh rằng số b = 1 +9 2k + 77 2k + 1977 2k không phải là số chính phơng với k Z + . HD:Ta có:1 1(mod 3) 9 2k 0 2k (mod 3) 0(mod 3) 77 2k (-1) 2k (mod 3) 1(mod 3) 1977 2k 0 2k (mod 3) 0 (mod 3) Vậy: b 2 (mod 3) (Vô lý) b không phải là số chính phơng. 34/Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và chia cho 5 d 4. HD:Ta có: a 1(mod 2) a 2(mod3) a 3(mod 4) a 4(mod 5) 20a 40(mod 60) 15a 45(mod 60) 12a 48(mod 60) 47a 133(mod 60) 13(mod 60) 47a=60t+13 60 13 13 13 47 47 t t a t + + = = + Đặt 13 13 47 13 8 3 1 47 13 13 t k k k t k + = = = + Đặt 8 13 5 13 8 8 k u u u k u= = = + Đặt 5 8 3 8 5 5 u v v v u v= = = + Đặt 3 5 2 5 3 3 v p p p v p= = = + Đặt 2 3 3 2 2 p q q q p q= = = + Đặt 2 2 q l q l= = (với t,k,u,v,p,q,l Z + ) p=2l+l=3l v=3l+2l=5l u=5l+3l=8l k=8l+5l=13l t=3.13l-1+8l=47l-1 a=47l-1+13l=60l-1 Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất Chọn l=1 a=59 Đáp số:a=59. 35/Chứng minh rằng số { { 11 .1 10 .05 1A = ì + là số chính phơng. HD:Ta có :A =(10 1994 +10 1993 + .+10+1) ì (10 1995 +5)+1 = 1995 1995 10 1 (10 5) 1 9 ì + + = 2 1995 10 2 3 + ữ Mà : 2 2 (mod 3) 10 1995 1(mod 3) 10 1995 +2 3(mod 3) 0(mod 3) Chứng tỏ: 10 1995 +2 M 3 Vậy A là số chính phơng. 36/ Với giá trị nào của k N thì: 1995 1995 2 5 3 19 1995 1997 k k A = + chia hết cho 4. HD:Ta có: 1995 -1 (mod 4) 1997 1 (mod 4) 1995 2 3 ( 1) 1 (mod 4) k A + Vậy : A M 4 1995 2 3 ( 1) 1 4 k + M k lẻ 37/Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 2933, 1799 , 2357 cho a ta đợc cùng một số d. 38/Cho a = 111 (2n chữ số 1) và b = 444 ( n chữ số 4) Chứng minh rằng:a + b + 1 là số chính phơng. 39/Chứng minh rằng số: { { 22499 .910 .09A = là số chính phơng với n 2 1995 số 1 1994 số 0 n-2 số 9 n số 0 40/Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n+1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên,n 1). Chứng minh rằng:a+b+c+8 là số chính phơng. 41/ Cho số a n = 57421 35n+ Tìm n N (1000 n 2000 ) để a n có giá trị cũng là số tự nhiên. 42/Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy u n = n + 2 2003 n . 43/ Biết rằng một số tự nhiên chia cho 20102010 thì đợc thơng lớn nhất là 2010 và số d bé nhất.Tìm số tự nhiên trên. 44/ Cho số a = 1.2.317 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ chữ số 1) Hãy tìm ớc số lớn nhất của a , biết ớc số đó : a/ Là lập phơng của một số tự nhiên. b/ Là bình phơng của một số tự nhiên. 45/ Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 215 2 + 314 2 . 46/ Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1 2 3 4x y z mà chia hết cho 13. 47/ a/ Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636đợc viết dới dạng phân số tối giản .Thế thì tổng của tử và mẫu là: A.15 B.45 C.114 D.135 E.150 b/ Mệnh đề sau đây đúng không:(0,3333).(0,6666) = (0,2222) c/ Nếu F = 0,4818181 đợc viết dới dạng phân số tối giản thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu? 48/ Xét phơng trình dạng Fermat: 1 2 1 2 . . n n n n n x x x x x x= + + + Phát biểu bằng lời:Tìm các số có n chữ số sao cho tổng luỹ thừa bậc n của các chữ số bằng chính số ấy. Trong các số sau đây số nào là nghiệm của phơng trình trên:153; 370;371; 407; 1634; 8280; 9474; 54748; 92727; 93084; 548834; 1741725; 4210818; 9800817; 9926315; 24678050; 24678051; 33467290; 55213479; 88593477; 146511208; 472335975; 534494836; 912985153; 4679307774; 6693271456. 49/ Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n 3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều bằng 1, tức là n 3 = 1111111 ( dấu biểu thị các số đứng giữa).Tìm n và n 3 . 50/Giả sử a là một số tự nhiên cho trớc. a/ Tìm hai chữ số tận cùng của a để bình phơng của a có tận cùng là 89. b/Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a mà bình phơng của nó là một số bắt đầu bằng chữ số 19 và kết thúc bằng chữ số 89 . c/ Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 là một số 12 chữ số có dạng :n 2 = 2525******89 .(Trong đó sáu dấu * biểu thị sáu chữ số ,có thể khác nhau).Tìm các chữ số đó. 51/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m,n) có 3 chữ số thoả mãn hai điều kiện sau đây: i) Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở các vị trí tơng ứng.Chữ số còn lại của m nhỏ hơn chữ số tơng ứng của n đúng 1 đơn vị. ii) Cả hai số m và n đều là số chính phơng. 51/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dơng (m,n) có 4 chữ số thoả mãn hai điều kiện sau đây: i) Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở các vị trí tơng ứng.Hai chữ số còn lại của m nhỏ hơn hai chữ số tơng ứng của n đúng 1 đơn vị. ii) Cả hai số m và n đều là số chính phơng. 52/ Cho số a n = 20203 21n+ Tìm n N (1010 n 2010 ) để a n có giá trị cũng là số tự nhiên. 53/ Tìm số nhỏ nhất trong các số cosn , với n là số tự nhiên nằm trong đoạn: 1 25n . 54/ Tìm một số gồm 3 chữ số dạng xyz biết tổng của 3 chữ số bằng kết quả của phép chia 1000 cho xyz . 55/ Hỏi có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đợc viết bởi các chữ số 2,3,7 và chia hết cho 9. 56/ Hỏi có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đợc viết bởi các chữ số 2,3,5và chia hết cho 9. 57/ Hỏi có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đợc viết bởi các chữ số 1,2,3 và chia hết cho 9. 58/ Số 19549 là hợp số hay nguyên tố. 59/ Biết số có dạng N = 1235679 4x y chia hết cho 24 .Tìm tất cả các số N. 60/ Tìm 9 cặp hai số tự nhiên nhỏ nhất (ký hiệu là a và b , trong đó a là số lớn , b là số nhỏ) có tổng là bội của 2004 và thơng của chúng bằng 5. 61/ a) Tìm tất cả các số mà khi bình phơng sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. b) Có hay không các số mà khi bình phơng sẽ có tận cùng là bốn chữ số 4. 62/ Có bao nhiêu số tự nhiên m là ớc số của N = 1980.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhng không chia hết cho 900 . . Dạng 9.Số học 1) Tìm một số biết nhân số đó với 15 rồi cộng với lập phơng của số đó sẽ