- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về[r]
(1)Tác giả:PHẠM THANH PHƢƠNG (Đà Nẵng) Biên tập:Lê Bá Bảo (Huế)
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG Chủ đề 2:
I ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
1 ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f liên tục K a b, hai số thực thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F b F a gọi tích phân f từ a đến b, ký hiệu
d
b
a
f x x
Nếu a b d
b
a
f x x
gọi tích phân f đoạn a b;
Hiệu số F b F a ký hiệu F x b
a, F nguyên hàm f
trên K d b
a
b
f x x F x F b F a a
Vì f x x( )d nguyên hàm f nên ta có ( )d
b
a
b
f x dx f x x
a
Ta gọi a cận dưới, b cận trên, x biến lấy tích phân, f hàm số dấu tích phân, f x x d biểu thức dấu tích phân
Tích phân phụ thuộc vào cận tích phân biểu thức dấu tích phân, khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f u u F b F a
Ví dụ 1: d
2
3
1 1 1
4 ln 18 ln ln1 16 ln
1
2 2 2
I x x x x
x
(2)Ví dụ 2: d d d
3 3
1 1
1 1
2 ln
1
x x x x
I x x x x x x
x x x
9
6 ln ln1 ln
2
Ví dụ 3: d
2
3
1
2
2 ln
1
y
I y y y y y
y
27
4 ln 2 ln1 ln
4
Ví dụ 4: d
0
cos 1
2 cos sin 2 sin 2
2 2
0 t
I t t t t
Ví dụ 5: d d
4
2
2
4
4 cot cot cot
2
I s s s s s s
3 3
1
4
2 TÍNH CHẤT
Với hàm số ,f g liên tục K a b c, , số thực thuộc K, ta có:
d
a
a
f x x
d d
b a
a b
f x x f x x
d d d
b c c
a b a
f x x f x x f x x
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d d ,
b b
a a
k f x xk f x x k
Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh tính chất sau:
Nếu f x 0 a b; d
b
a
f x x
Nếu f x g x a b; d d
b b
a a
f x x g x x
II PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƢA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
- Phương pháp tính tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối, số hàm lượng giác đơn giản
(3)Ví dụ 1: Tính
d
1 x I x x
Gợi ý: Đặt
2 1 2 ,
1
x A B
x x x x 2 , 1
A x B
x x x x ,
x Ax A B x
1
0
A A
A B B
Do 2 2
1 1 1 x x x x Khi đó:
d
1
2
1
1 1
ln ln
0
1 1
I x x
x x x
Ta tìm A B, phương pháp đồng hệ số Ngồi ta phân tích biến đổi
trực tiếp sau:
2 2 2
1 1
1
1 1
x x
x
x x x
, cách hiệu
Ví dụ 2: Tính d x x I x x
Gợi ý: Với x 0;1, ta có:
2
2 2 2
1 4 4 1 2 4
1
4 4 4
x x x x x x x
x x x x x
Lúc đó: d d d d
1 1
2 2
0 0
1 4
1
2 4 4
x x
I x x x x
x x x x
d d d
1 1
2
0 0
4 2
1
2 2
x x x
x x x x x d d d
1 1
2
0 0
4
1 1
2 2
x x x x x x
1ln ln 1 1ln3 ln1
0 2
x x x x
Ví dụ 3: Tính d
2
1
I x x
Gợi ý: Ta có:
khi
2
2
2
1,
1
1 ,
x x x x x khi 2
1, , 1,
1 , 1,1
x x x x
Khi đó: d d d
1
2 2
2 1
1 1
I x x x x x x
d d d
1
2 2
2 1
1 1
x x x x x x
3 1 1 2
4
2 1
3 3
x x x
x x x
Ví dụ 4: Tính d
cos
I x x
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác:
2 2
2
4 cos cos 2 cos
cos cos
2
x x x
x x
(4)
1 cos
2 cos cos 4 4 cos 2 3
4
x
x x x
Khi : d
0
1 sin
cos 4 cos sin
0
8 8
x
I x x x x x
Ví dụ 5: Tính d
0
sin cos
I x x x
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin cos 1sin sin
2
x x x x
Ta có: d
6
0
1 cos cos
sin sin
2 48
0
x x
I x x x
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập Tính d
2
2
4
x
I x
x x
Bài tập Tính d
2 2
3
9 x
I x
x
Bài tập Tính d
0
1
I x x Bài tập Tính d
4
sin
I x x
Bài tập Tính d
4
4
0
4 cos 3cos
I x x x
2 PHƢƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
- Một số tốn đơn giản khơng cần phải đưa biến mới, tức không cần đặt t t x ( ), biến lấy tích phân biến x, cận lấy tích phân khơng đổi Nói cách khác, ta trình bày gọn cơng thức vi phân dt x t x x/ d Cách làm ngắn gọn, hiệu nhiều tốn tích phân
- Nếu F x nguyên hàm f x t t x hàm biến x
d b
a
b
t x t x F t x
a
f
Chẳng hạn với t hàm bậc t t x x 0
d d
b b
a a
b
f x x f x x F x
a
Ví dụ 1: Tính d
0
tan
I x x
Gợi ý: d d d
4 4
0 0
cos
sin
tan ln cos ln ln
cos cos
0 x
x
I x x x x
x x
(5)Ví dụ 2: Tính d
l
0
x
x I
e
Gợi ý: d d d d d d
l l l l l l
0 0 0
1
1 1
x x x x
x x x x
e e e
x e
I x x x x
e e e e
ln 1 ln( 1) ln ln
0
x e
x e e
e
Ví dụ 3: Tính sin d sin
2
0
1
1
x
I x
x
Gợi ý: cos d d sin
sin sin
4
0
1
2 1
ln sin ln
1 2 2
0 x
x
I x x
x x
Ví dụ 4: Tính d
1
2
I x x
Gợi ý: d
3
3 2
2
2 3 3
1 27 5
2 3
3 1
2 3
2
x x
I x x
Ví dụ 5: Tính
d ln
3
0 1
x x
e x I
e
Gợi ý:
d
d
1
ln ln 3
2
0
1 ln 3 2 ln 3
1
1 1
1
2 x x
x x
x x
e e x
I e e
e e
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập Tính d
0
cot
I x x
Bài tập Tính d
3
2
2 tan cos
x
I x
x
Bài tập Tính d
sin
0
2 cos
3
x
I x
x
Bài tập Tính d
3 2
4
2
x
I x
x x
Bài tập Tính d
ln
0
3
x x
I e e x
3 PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
- Cho hàm số u x ,v x có đạo hàm liên tục K hai số thực ,a b thuộc K, ta có: ( ) ( )/ d ( ) ( ) ( ) ( )/ d
b b
a a
b
u x v x x u x v x v x u x x
a
Viết gọn: d d
b b
a a
b
u v uv v u a
(6)- Nếu hàm số f x tích hàm: hàm lũy thừa yx, hàm số mũ ,
x x
y a y e , hàm lôgarit ylogax y, lnx, hàm lượng giác ysin ,x ycosx ta sử dụng phương pháp tích phân phần, tức biến đổi f x x d dạng u x v x x( ) ( )/ d
- Việc lựa chọn u dv phải thỏa mãn điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích phân d
b
a
v u
đơn giản tích phân ban đầu d
b
a
u v
Chọn hàm để đặt u theo thứ tự ưu tiên giảm dần sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lƣợng giác
Ví dụ 1: Tính d
2
.ln
Ix x x
Gợi ý: Đặt uln 1 x2,dv x x d , ta có: d 2 d
1
x
u x
x
, chọn
2
2
x
v
Khi đó: d d
1
2
2
2
0
1 ln
ln
0
2
x x x
I x x x x
x x
2
2
ln ln ln
ln(1 ) ln
0
2 2 2 2
x
x
Ví dụ 2: Tính d
2
x
Ix e x
Gợi ý: Đặt u x 2,dv e xdx, ta có: du2x xd , chọn v ex
Khi đó: d
1
0
1
0
x x
I e x x e x K
e
, với d
1
0
x
Kx e x Tính K: Đặt u x ,dv e xdx, ta có: dudx, chọn v ex
Khi đó: d
1
0
1 1 1
1
0
x x x
K xe e x e
e e e e
Vậy I
e
Ví dụ 3: Tính d
3
lnx
I x
x
Gợi ý: Đặt ulnx, d d
x v
x
, ta có du dx x
, chọn 12
v
x
Khi đó: d
2
2
1
2
ln ln ln
1 16
2
x x
I
x x x
Ví dụ 4: Tính d
2
1
ln ln
e
e
I x
x x
Gợi ý: d d
2
2
1 ln ln
ln ln
e e
e e
x x
x
I x x
x x x
Đặt u x 1 ln x, d 12 d ln
v x
x x
, ta có du lnx xd , chọn
ln v
(7)Khi đó: d
2 2
2 ln
ln 2
e
e
x x e e e
I x e e e
x e
Ví dụ 5: Tính d
2
3 ln ( 1)
x
I x
x
Gợi ý: Đặt u 3 lnx,
d
d 2
1 x v
x
, ta có d du x
x
, chọn
1
v x
Khi đó:
d d
3
1
3
3 ln 27
ln ln
1
4 16
3
3 ln ln 3 1
1
1
x x
x x
I x
x x x x x
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập Tính d
0
.ln
I x x x Bài tập Tính d
2
1 x
I x x e x
Bài tập Tính d
2
0
.sin
I x x x
Bài tập Tính d
2
0
x
I x e x Bài tập Tính d
1
ln
e
I x x
4 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
- Đặt t t x ( ), với x biến ban đầu, t biến Khi đổi biến phải đổi cận
- Cho hàm số t t x có đạo hàm liên tục K, hàm số yg t liên tục hàm hợp ( )
g t x xác định K, a b số thuộc K, ta có / d d
( )
( )
t b b
a t a
g t x t x x g t t
- Các bước thực phép đổi biến số dạng để tính tích phân d
b
a
I f x x:
+ Bước 1: Đặt t t x , suy dt t x x / d
Đổi cận: x a t t a ,x b t t b
+ Bước 2: Biến đổi f x x d thành g t dt
+ Bước 3: Khi d
2
1
ln
x x x a C
x a
(đơn giản tích phân
cho) Giả sử G t nguyên hàm g t I G t
Ví dụ 1: Tính
d
4
0 tan tan cos x
x x x
I
Gợi ý: Đặt ttanx d 2 d
cos
t x
x
Đổi cận: 0,
4
x t x t
Lúc đó: d d d
1 1
2
0 0
2
1
1 2
3
t t
I t t t
t t t t
t t
(8)d
0
1
1 1
ln ln
0
1 2
t t
t t t
Ví dụ 2: Tính d
11
x
I x
x
Gợi ý: Đặt t x1 x t2 dx2t td Đổi cận: x 1 t 0,x 2 t
Lúc đó: d d d
1
2
0 0
1
2 2
1 1
t t t
I t t t t t t
t t t
3 1
11
2 2 ln ln
0
3
t t
t t
Ví dụ 3: Tính d
5
sin
I x x
Gợi ý: d d
2 2
4
0
sin sin cos sin
I x x x x x x
Đặt tcosx dt sinx xd Đổi cận: 1,
x t x t
Khi đó: d d
0 2
2
1
1
2
1
0
3 15
t t I t t t t t t
Ví dụ 4: Tính d
0
1
4 sin 3cos
I x
x x
Gợi ý: Đặt tan
2 x
t , ta có d d d 2d
2
1 1
tan
2 2
cos
x
t x x t x
x
d d 2
1 t x
t
Ta có:
2
2
2
sin , cos
1
t t
x x
t t
Đổi cận: x t 0, x t
Khi đó:
d d
1
2
2
0
1
2 1
2
8
I t t
t
t t t t
Ví dụ 5: Tính d
8
3
x I
x x
Gợi ý: d
8 2
3
x x I
x x
, đặt t x21, ta có t2 x21 2t td 2x xd x x t td d Đổi cận: x 3 t 2,x 8 t
Khi đó:
d d d
3 3
2
2 2
3
1 1 1
ln ln
2
2 1 2
1
1
t t t t
I t
t t t
t t t t
(9)Bài tập tƣơng tự:
Bài tập Tính d
7
1
I x x Bài tập Tính d
0
1
x x
e x
I x
xe
Bài tập Tính d
10
2
I x x x Bài tập Tính sin d
2
3
2 cos
I x x x
Bài tập Tính d
8
0
x
I x
x
5 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
- Đặt xx t , với x biến ban đầu, t biến Khi đổi biến phải đổi cận
- Cách áp dụng cho số tốn đặc thù mà khơng thể gặp khó khăn áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng tích phân phần Sau số gợi ý cho trường hợp cụ thể:
Nếu f x chứa
1x , đặt xsint, ; 2
t
xcost, t 0,
2
a x a0, đặt x a sint x a cost
2
2
a x ; a0, đặt x asint x acost
Nếu f x chứa x21, đặt ; \ 0 2
1 , sin
x t
t
0; \
1 , cos
x t
t
2
x a a0, đặt
sin
a x
t
cos
a x
t
2 2
x a
; a0, đặt
sin
a x
t
cos
a x
t
Nếu 21
1
f x x
f x chứa
2
x , đặt tan , ,
2
x t t
2
1
f x
x a
f x chứa
2
x a a0, đặt x a tant
2 2
1 f x
x a
f x chứa
2 2
x a
; 0, đặt x atant
Các bước thực phép đổi biến số dạng để tính tích phân d
b
a
I f x x:
+ Bước 1: Đặt xx t , suy dx x t / dt Đổi cận: x a t ,x b t
(10)+ Bước 3: Khi d 2
1
ln
x x x a C
x a
(đơn giản tích phân
cho) Giả sử G t nguyên hàm g t I G t
Ví dụ 1: Tính d
2
2
x
I x
x
Gợi ý: Đặt xsint, ;
2
t
, ta có: dxcost td ,
2 2
1x sin t cos t cost
Đổi cận: 0,
2
x t x t
Khi đó: d d d
2
4 4
2
0 0
sin cos 1 1
sin cos sin 4
cos 2
0 t t t
I t t t t t t
t
Ví dụ 2: Tính d
2
1
4
Ix x x
Gợi ý: Đặt sin , ;
2
x t t
, ta có dx2cost td Đổi cận: x t ,x t
Ta có: 4x2 4 sin 2t 2 cos2t 2 cost 2 cos t Khi đó:
d d d
2 2
2
6 6
sin 2
4
2
4 sin cos cos sin 2 cos
3
t t
I t t t t t t t t
Ví dụ 3: Tính d
2
2
1
x I
x
Gợi ý: Đặt , ;
sin 2
x t
t
d d
cos sin
t
x t
t
Đổi cận: ,
2 3
x t x t
Ta có:
2
1 cos
1
sin sin
t x
t t
Khi đó:
d
d
3 2
2
cos sin
cos sin
sin
t t
t t
I
t t
t
Ta có cách sau:
Cách 1:
d
d d
2 2
2
3 3
tan
1 2
ln tan ln
2 2
sin cos tan cos tan
2 2 2
t
t t t
I
t t t t t
(11)Cách 2: Đặt tan d 1 tan2 d 11 2d d 2d 2
2 2
t t u
u u t u t t
u
,
2 sin
1
u t
u
Khi đó:
d d
1
1
3
1
ln ln
2
3
u u
I u
u u
Ví dụ 4: Tính d
2
1
I x
x
Gợi ý: Đặt tan , ;
2
x t t
, ta có: d d d
2
1
1 tan cos
x t t t
t
Đổi cận: 0,
4
x t x t Khi đó: d d
2
4
2
0
1 tan
tan
t t
I t
t
Ví dụ 5: d
2
1 13
I x
x x
Gợi ý:
d
1
2
1
3
I x
x
Đặt tan , ,
2
x t t
, ta có d d
2
2 tan
x t t
Đổi cận: 0,
4
x t x t Khi đó: d d
2
4
2
0
2 tan 1
2
4 tan
t
I t t
t
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập Tính d
1
2
1
I x x Bài tập Tính d
3
4
0
9
I x x x
Bài tập Tính d
0
2
2
1
x I
x
Bài tập Tính
d
1 ln e
x I
x x
Bài tập Tính d
0
2
1
x I
x x
6 MỘT SỐ LƢU Ý VỀ PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- Các phép đổi biến sau xem đổi biến dạng 1, xem đổi biến dạng 2, cách đặt t t x ( ) x x t ( ) đơn giản, chẳng hạn: , , ,
2
t x t x t x Các biến đổi thường gặp:
Đổi biến với I để có
1
I I I
với , , 1 Đổi biến với I, ta có
2
I I I K I K, với K tích phân đơn giản
Biến đổi I thành tổng I I1 I2, thực phép đổi biến I1 hay I2 ta
1
I I hay I1 I2 K, với K tích phân đơn giản
(12)* Loại 1: Tích phân d a
a
I f x x
, với a0, f x hàm lẻ đoạn a a; , tức là
f x f x , x a a;
Cách giải:
Cách 1: (Phân tích thành tích phân) d d
1
a
a
I f x x f x x I I
Với I1: đặt t x d
1 a
I f t t
d d 2
0
a a
f t t f x x I
I
Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t x dt dt dt
a a a
a a a
I f t f t f t I
2I I
Ví dụ: Tính d
10
sin
I x x x
Gợi ý:
Cách 1: d d
0
10 10
1
1
sin sin
I x x x x x x I I
, d
0 10
1
sin
I x x x
, d
1 10
0
sin
I x x x Đối với
1
I : đặt t x, ta có dt dx, sinx sin ,t x10t10
Đổi cận: x 1 t 1, x 0 t
Khi đó: d d d
0 1
10 10 10
1
1 0
.sin sin sin
I t t t t t t x x x I Suy I 0
Cách 2: Đặt t x, ta có dt dx, sinx sin ,t x10 t10
Đổi cận: x 1 t 1, x 1 t
Khi đó: d d
1
10 10
1
.sin sin
I t t t t t t I
Suy 2I 0 I
* Loại 2:Tích phân d
1
a x a
f x
I x
k
, với a0, k, f x hàm chẵn đoạn a a; , tức là
f x f x , x a a;
Cách giải:
Cách 1: (tách thành tích phân) d d
1
1
a
x x
a
f x f x
I x x I I
k k
Với I1: đặt t x d d d d
0
0 0
1
1 1
1
a a a
a
t x
t t x
t
f t f t k f t k f x
I t t t x
k k k
k
d d d
1
0 0
1
a x a a
x x
k f x f x
I I I x x f x x
k k
(13)Cách 2: Đặt t x d d d d
1
1 1 1
a a a a
a a a a
t x
t t x
t
f t f t k f t k f x
I t t t x
k k k
k
Khi đó: d d
1
a a a
x
a a a
x x
f x k f x
I I I I x x f x dx
k k
d
2
a
a
I f x x
Ví dụ: d
1
1
cos
x
x x I
e
Gợi ý:
Cách 1: d d
0
1
1
cos cos
1
x x
x x x x
I I I
e e
, d
0
1
cos
x
x x I
e
, d
1
0
cos
x
x x I
e
Đối với I1, đặt t x, ta có dt dx, cosxcost Đổi cận: x 1 t 1, x 0 t
Khi đó: d d d d
0 1
1
1 0
cos cos cos cos
1
1 1
1
t x
t t x
t
t t t t e t t e x x I
e e e
e
Suy ra: d d d d
1 1
0 0
1 cos 1
.cos cos
cos sin sin1
0
1 1
x x
x x x
e x x
e x x x x
I x x x
e e e
Cách 2: Đặt t x, ta có dt dx, cosxcost Đổi cận: x 1 t 1, x 1 t
Khi đó: d d d d
1 1
1 1
cos cos cos cos
1
1 1 1
t x
t t x
t
t t t t e t t e x x
I
e e e
e
Suy ra: d d d
1 1
1 1
1
cos cos
2 cos sin sin1
1
1
x
x x
x x e x x
I I I x x x
e e
I sin1
* Loại 3:Tích phân d
a
I f x x , với , ,
a và f x có chứa hàm lượng giác
Cách giải: Ta thử đặt t a x, biến đổi hàm f x hàm g t phải ý cung có liên quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,…) Chú ý tính chất tích phân:
d d
b b
a a
f x x f t t
Ví dụ: d
2
4
0
cos
cos sin
x
I x
x x
Đặt
t x, ta có dt dx, đổi cận: ,
2
x t x t Khi đó:
d d d
4
0 4
4 4
4 0
2
cos
2 sin sin
sin cos sin cos
cos sin
2
t
t x
I t t x
t t x x
t t
(14)Suy ra: d d d
4
2 2
4 4
0 0
cos sin
2
2
cos sin cos sin
x x
I I I x x x
x x x x
Vậy
4
I
Kết quả: d
2
0
cos
4
cos sin
n
n n
x
I x
x x
, với số tự nhiên n0
Bài tập tƣơng tự:
Bài tập
7
4
4
cos
x x x x
I dx
x
Gợi ý: đặt t x Đáp án: I0
Bài tập
4
0
ln tan
I x dx
Gợi ý: đặt
4
t x Đáp án: ln
I
Bài tập
1
2
1 ln
1
x
I x dx
x
Gợi ý: đặt t x Đáp án: I0
Bài tập
1
2
1 x 1
dx I
e x
Gợi ý: đặt t x Đáp án:
4 I
Bài tập
2
1
ln
1 x
x
I dx
e
Gợi ý: đặt t x Đáp án: ln 2
2 I
III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
1 MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Bài tốn 1: I 2 dx
mx nx p
, với m0; mx2nx p vô nghiệm
Ta biến đổi:
2 d
1
I x
m x r s
, s0 Đặt x r s.tant, ; 2
t
Ta có: d d2 tan d cos
t
x s s t t
t
x r 2 s s tan 2t
Khi đó:
d
d
2
2
1
tan
1 1
tan
t
t t
t
s t t
I t t t
m s t m s m s
Ví dụ: d
2
1
2
I x
x x
d
1
2
1
1
x x
, đặt tan , ;
2
x t t
dx tan2t dt
, 0,
4
x t x t ; d d
2
2
4
2 tan 1
2
4 tan t t
I t
t
Bài toán 2: I 2ax b dx mx nx p
(15)Ta ý mx2nx p / 2mx n biến đổi:
d d
2
2
2
a mx n an
I x b x
m mx nx p m mx nx p
.ln
2
a an
mx nx p b K
m m
, với
d
1
K x
mx nx p
(xem Bài toán 1)
Ví dụ: d
2
3
2
x
I x
x x
d
1
3( 1)
2
x
x
x x
d d
1
2
1
3 2
2 5
x
x x
x x x x
d
1
2 1
3
ln
1
2 x x x 2x x
(xem thêm ví dụ Bài toán 1)
Lưu ý: Trong Bài toán 1 Bài toán 2, f x phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ Nếu tử đa thức P x có bậc lớn ta biến đổi P x Q x .px2qx r R x (nói
đơn gián: chia tử cho mẫu để tìm thương Q x phần dư R x ), suy
2
P x R x
Q x
px qx r px qx r , với R x có bậc nhỏ Bài toán 3:
d
1
k
I x
mx nx p
, với k nguyên, k2, mx2nx p vô nghiệm
Ta biến đổi: d
2
1
( ) k
k
I x
m x r s
, s0 Đặt x r s.tant, ; 2
t
Ta có: dx s tan 2tdt 2 tan
k k
k
x r s s t
Khi đó:
d d
d
2
2
2 2
1 1
1
tan
cos
tan tan
k
k k k k k k k k
t t t
t t t
s t t s t s
I t t
m s t m s t m s
(xem thêm Bài toán 8 sau phương pháp tính tích phân hàm cosnt)
Ví dụ:
d
1
2
1
1
2
I x
x x
d
1
2
1
1
x x
Đặt tan , ;
2
x t t
d d
2
2 tan
x t t
Đổi cận: 0,
4
x t x t ;
d d
d
4
2
2
2
0
4
0
2 tan 1 1 1 1 sin 2
cos cos
8 tan 16 16
4 tan 0
t t t t
I t t t dt t
t t
Bài toán 4:
k d
ax b
I x
mx nx p
, với k nguyên, k2, m0; mx2nx p vô nghiệm
(16) d d
2
2 k k 2
a mx n an a an
I x b x K b L
m mx nx p m mx nx p m m
- Với
d
2
k mx n
K x
mx nx p
, dùng vi phân đổi biến tmx2nx p
- Với
d
1
k
L x
mx nx p
: xem Bài toán 3.
Lưu ý: Trường hợp tử đa thức P x có bậc lớn 2, ta dùng phương pháp đồng thức (xem Bài toán 6) để đưa dạng Bài toán 3 Bài toán 4
Bài toán 5:
d
( )
k
i
P x
I x
ax b cx d
, với ,i k số nguyên dương, bậc đa thức P x( )
nhỏ bậc mẫu Đặt
1 2
2
( ) i k
k
i
A B
A A B B
f x
ax b ax b ax b cx d cx d cx d
, với
,
b d
x x
a c
Đồng thức để tìm A A1, 2, ,A B Bi, 1, 2, ,Bk Ngồi dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A A1, 2, ,A B Bi, 1, 2, ,Bk
Bài toán 6:
d
( )
k
i
P x
I x
mx nx p qx rx s
, với ,i k số nguyên dương,
2
mx nx p qx2 rx s vô nghiệm, bậc đa thức P x( ) nhỏ bậc mẫu Đặt
1 2 1 2
2 2
( )
_ _ _ _
i i k k
i k
A x B C x D
A x B A x B C x D C x D
f x
mx nx p qx rx s
, x , f x
là hàm dấu tích phân Đồng thức dùng phương pháp hệ số bất định để tìm số A B C Di, ,i i, i tử phân thức
* Lưu ý:
- Ở ta khơng xét tích phân hàm hữu tỉ ( )
( ) P x f x
Q x
với P x( )Q x/( ), đơn
giản, cần đặt t Q x ( )dtP x x( )d dùng vi phân - Nếu phân thức hữu tỉ ( )
( ) P x
Q x có bậc P x( ) lớn bậc Q x( ) thực phép
chia ( )P x cho ( )Q x ta ( ) ( ) 1( )
( ) ( )
P x P x
R x
Q x Q x , bậc P x1( ) bé bậc ( )Q x
- Đa thức Q x khác với hệ số thực có cách phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai với biệt thức 0 Bài toán Bài toán xét
( ) i k
(17)thức Q x( )ax b i cx d j.mx2nx p k qx2 rx sh , , ,i j k h số nguyên dương, hai tam thức mx2nx p qx2 rx s vô nghiệm Cụ thể, ta đặt
1 2
2
( ) i j
i i
B A
A A B B
f x
ax b ax b ax b cx d cx d cx d
2
2 2
1 2 1
2 k h
k k h h
mx nx p mx nx p mx nx p qx rx s qx rx s qx rx s
C x D E x F
C x D C x D E x F E x F
với x b, x d
a c
Đồng thức dùng phương pháp hệ số bất định để tìm số tử phân thức
Ví dụ: d
3
5
2
3
1
x x x
I x
x x x x x
Ta có: x5x4x3x2 x 1 x1x2 x 1x2 x 1
d
3
2
2
3
1 1
x x x
I x
x x x x x
Đặt
4
2
2
3
,
1 1
1 1
x x x A Bx C Dx E
x
x x x x x
x x x x x
Quy đồng, rút gọn mẫu, đồng hệ số vế ta hệ phương trìn ẩn, tính
A , B1,C 1, D0,E1
Khi đó: d d
3
2 2
2
1
2
2 1 2 2
1 1 1
x x
I x x
x x x x x x x x x x
d d
d d
3 3
2 2
2 2
2 1
1 2 1
x x x
x x
x x x x x x x
2 d d
2
2
3
1
2 ln ln
2
2 1 3 1 3
2 4
x x
x x x
x x
Với d
3
1
2
2
x I
x
, đặt 3tan , ;
2 2
x t t
Với d
3
2
2
2
x I
x
, đặt 3tan , ;
2 2
x t t
Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng tích phân hàm hữu tỉ)
(18)Ví dụ 1: d
2
1
x I
x
(Nhiều tài liệu gọi kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”)
d d d
2
2 2 2
4 4
1 1
1
1 1 1
2 2
x x x x
I x x x
x x x
d d
2 2 2
2
1
2
1
1
1
1
2
x x x x
x x
x x
d
2
2
1
1
1
2 1 1
2
x d x
x x
x x
x x
d d
3
2
2
0
1
2 2
t u
t u
Ví dụ 2: d
2
1
x I
x
(Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản kỹ thuật phân tích – rút gọn)
d d
4 4 2 2
2
2 2
1
1 1 1
1
2 1 1
x x x x x x x
I x x
x x x x x x
d
d d
d d d
2 2 2 2
2 2 3
2
1 1 1
2
1 1
1 1
1
2 1 1 1
x
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x
d d
d
2 2
2 3 2
1 1
1
1
2 1 1
3
x
x x
x
x x
x x
, đặt xtant, x3 tant, u x
x
* Thứ hai, kỹ thuật phân tích tử thức để rút gọn mẫu thức:
Ví dụ 3: d
2 15 20
x I
x x
d d d
4
2 2
4
4
1 1
4
1 1
5 20 20
x x
x x
x x
x x
x x x x
Ví dụ 4:
d
2
1
x I
x x x x
d
2
1
7
1
8
x x x x
x
x x x x
d
2
1
1 1
8 x x x x x
* Thứ ba, làm xuất đạo hàm tử thức đặt ẩn phụ:
Ví dụ 5: d
2
2
6
1
1
14
x x x
I x
x x
(19)Chia tử mẫu cho x3 ta được:
d d
2 2
3
1
3
1 1
1 2
1 1 1
14 3 14
x x x
x x x
x
I x
x x x
x x x
Đặt t x x
, ta được:
d d 3 2 0 2
3 14 2
t t
I t t
t t t t t
Ví dụ 6: d 2 1 x I x x
Chia tử mẫu cho x2 ta được:
d d
2 2
2 1 1 1 1 x x x I x x x x x
2d
1
t t
(với t x x
)
* Thứ tƣ, đặt ẩn phụ t ax b cx d
d ( )2 ad bc t
cx d
(còn gọi “chồng chất nhị thức”)
Ví dụ 7:
d
10 12 x I x x
10 d 2
1 2 x x x x
Đặt
2 x t x
d 2 d 11 t x x d d 11 x t x
Khi d
1 10 11
I t t
Ví dụ 8:
d
2
7
1
1
3
I x x x d d 2
7
10
1
1 1
3 4
3
3 4
x x x x x x x x x
Đặt
3 x t x
d 2 d
18 t x x d d 18 x t x
Ta có:
3 4
x t x x 1
3
t x
Khi đó:
d
2 8 1 18 t t I t
2 MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC Bài toán 8: d
0 cos
I x x
(Ví dụ phần II.1): dùng công thức, đưa cos , cos 4x x
d
5
sin
I x x
(20)sin3x, sin5x, sin7 x, , cos3x, cos5x, cos7x, (số mũ lẻ)
Bài toán 9: d
sin cos
I x
d x e x f
Đặt tan
x
t , ta có: d 1 tan2 d 11 2d d 2d2
2 2
x t
t x t x x
t
Ta có:
2 sin
1
t x
t
,
2
1 cos
1
t x
t
2 2
2
2
sin cos
1
t d t e t f
d x e x f
t
2
1
mt nt p
t
Đổi cận: tan 1, tan 2
2
x t t x t t
Khi đó: d
2
1
2
2
t
t
t I
mt nt p
(xem Bài tốn 1 mẫu vơ nghiệm Bài tốn 5 mẫu có nghiệm)
Bài tốn 10: sin cos d sin cos
a x b x c
I x
d x e x f
Đặt sin cos cos sin
sin cos sin cos sin cos
a x b x c d x e x C
A B
d x e x f d x e x f d x e x f
, x D (TXĐ)
sin cos sin cos cos sin
a x b x c A d x e x f B d x e x C
, x D
Đồng hệ số sin , cosx x hệ số tự để tìm A B C, ,
Khi đó: cos sin d d
sin cos sin cos
C x
d x e x
I A B x
d x e x f d x e x f
Ax B.ln sind x ecosx f C K
,
trong d
sin cos
x K
d x e x f
(xem Bài tốn 9)
Ví dụ: d
2
0
sin cos sin 3cos
x x
I x
x x
Đặt sinx7 cosx 6 A4sinx3cosx 5 B 4cosx3sinxC, x
sinx cosx 4A 3B sinx 3A 4B cosx 5A C, x
4 1
3
5
A B A
A B B
A C C
,
Khi đó: d
2
0
4 cos 3sin
1
4 sin 3cos sin 3cos
x x
I x
x x x x
d
2 1
ln sin 3cos 5 2
4 sin 3cos
x x x x
x x
(21)d
0
9
ln
2 sinx 3cosx x
ln9
2 K
, với d
2
0
1
4 sin 3cos
K x
x x
Đặt tan
x
t 1 tan2 11 2
2 2
x
dt dx t dx
2
dt dx
t
,
2
2
2
sin , cos
1
t t
x x
t t
Đổi cận: 0,
2
x t x t ,
d d
1
2
2
0
2 1
6
8 2
K t t
t t t t
Vậy ln9
2
I
Lưu ý: Nếu b c f a c f phân tích tử số P x để tìm nhanh số ,
A B thỏa mãn: ( ) sin cos cos sin
sin cos sin cos
A d x e x B d x e x P x
d x e x d x e x
, việc đơn giản
(Kỹ thuật thêm bớt)
3 MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ Bài tốn 11: d
1
2
11
x I
x x
Đặt
2
2 2
1 1
2
t
t x x t x x t x x x
t
d d
2
1
t
x t
t
Đổi cận: x 1 t 1, x 1 t 1
Khi đó: d d
2
2
2
2
1 2 1
1 1 1
ln ln
2 2 2 1
t t
I t t t
t t t
t t t
1 2 1
2 ln ln 2 ln 2 ln 2
2 2 1 2 2
Chú ý: với cách đặt t mx mx2nx p có thể giải số tốn đặc thù
Bài toán 12: d
2
4 Ix x x
Đặt
2 4
u x
dv x x dx
, ta có
d d
3
2 2
1
1 1
3
u x
v x x x
Khi đó: d
2
2 2
0
2
1
4 4
0
3
I x x x x x x
d d
2
2 2
0
32
4
3 x x x x x
d
2
32
3 I x x
(22)Suy ra: d
2
8
I x x 2.ln
0
x
x x x
8 2 2 ln 2 ln
Tổng quát: I x2 x2 a xd , a 0
Cách giải: (phương pháp tích phân phần) Đặt u x ,dv x x 2a xd
Bài toán 13: d
2
1 I x x Cách 1: Đặt tan , ,
2
x t t
d d
1 cos
x t
t
,
d d
d
4 4
3 2
0 0
cos cos
cos cos 1 sin
t t t t
t I
t t t
Đặt usint ducost td ,
d
d
4
2 2
0
1 1 1
4 1
1 1
u
I u
u u
u u u u
1 1 1
ln ln
4 1
0
u
u u u
Cách 2: Đặt t x x21 t x2 x21
2 1
2
t x
t
,
d d
2
1
t
x t
t
2
2 1
1
2
t t
x t
t t
Đổi cận: x 0 t 1, x 1 t
Khi đó: d d
1 2 2
2
1
ln
1 1 1
2 4 8
x
t t t t
I t t
t t t t t
1
2 ln 2
Cách 3: (Tích phân phần) Đặt u x2 1,dvdx, ta có d d 1,
x x
u v x
x
Khi đó: d
1
2
2
0 1
x
I x x x K
x
, với d
1
2
0
x
K x
x
Ta có: d d d
1 1
2
2
0 0
1 1
1
1
x
K x x x x
x x
1
ln ln
0
I x x I
Suy ra: ln 1 2 ln 1 2
2
I I I
(23) Vì
/
2
x
x a
x a
nên I 2x x2 a 2aln x x2 a C, a (1)
Nếu không chứng minh cơng thức (1) đạo hàm, biến đổi sau:
d
d d
2
2
2 2
2
2
x a
x x
x x x a C
x a x a x a
Vì
/
2 ln x x a
x a
nên d
1
ln
x x x a C
x a
, a (2)
Nếu không chứng minh công thức (2) đạo hàm, biến đổi sau:
d
d d
2
2
2 2
1
ln x
x x a x a
x x x x a C
x a x x a x x a
Mở rộng cơng thức (2), ta có:
2
1
.ln
dx x x a C
x a
Vì
/
2 2
ln
2
x a
x a x x a x a
nên
d
2 ln
2
x a
x a x x a x x a C
, a (3)
Nếu không chứng minh công thức (3) đạo hàm, ta thực sau: Đặt I x2a xd u x2 a,dvdx, ta được:
d d
d d
d
2
2
2
2
2 2
2
2
2 ln
a
x a x x
x a x x a I
x x a a
I x x a x x x a x x x a
x a x a
a
x x x a I a x x a C
x a
Suy ra:
2
ln
2
x a
I x a x x a C
Bài toán 14: d
2
I x
mx nx p
Đặt n2 4mp (Ta không xét 0, đơn giản) – Nếu 0 m0
2 d
1
I x
m x r s
, s0 Đặt x r stant xem thêm công
thức (2) nói
– Nếu 0 m0
2 d
1
I x
m x r s
d
1
1
x m x x x x
, s0
Đặt
sin s x r
t
(24)– Nếu 0 m0
2 d
I x
m s x r
, s0 Đặt x r ssint
Sau ví dụ ứng với trường hợp
Ví dụ 1: Tính d
2
1
2
I x
x x
Ta có: d
2
1
2
I x
x x
d
2
2
1
1
x x
Cách 1: Đặt tan ,
2
x t t , ta có d d2 cos
t x
t
, 0,
4 x t x t
Ta có: 2
2
1
1 tan
cos cos
x t
t t
Khi đó: d d d
4 4
2
0 0
cos cos
cos cos sin
t t t
I t t
t t t
Đặt usint, ta được: d d
2
2
2
0
2
1 1 1
ln 2 ln
2 1
1
0
u u
I u
u u u
u
Cách 2: ln 12 ln 1 2
I x x
Ví dụ 2: Tính d
3
10
x I
x x
Cách 1:
d
2
1 5 16
x I
x
Đặt , ,
sin 2
x t
t
, ta có d d
4 cos sin
t
x t
t
, ,
2
x t x t Ta có:
2
2
16 16 cos cos
5 16 16
sin
sin sin
t t
x
t
t t
Khi đó:
d
d d
d
6 2 2
2
2 6
4 cos
sin sin
sin
4 cos sin cos cos
sin t
t
t t t t
t t
I
t t t t
t
Đặt ucost, ta được: d d
0
2
3
2
0
1 1 1
ln 3 ln
2 1
1
2
u u
I u
u u u
u
Cách 2:
d
3
1
x I
x x
Đặt t x 1 x9
d
dt 1 dx x 1 x9 dx t x
(25)Suy ra:
d 2d
1
x t
t
x x
, x 1 t 2 ,x 3 t 2
Khi đó: d
2
2
2
2
2 ln ln ln
2
t
I t
t
Cách 3:
d
2
1 5 16
x I
x
2
ln 5 16 ln ln
1
x x
Ví dụ 3: d
1
0
x I
x x
d
2
0
x x
Đặt sin ,
2
x t t , ta có: dx2cost td Đổi cận: ,
6
x t x t
Ta có: 4 x 12 4 sin 2t 2 cos2t 2 cost Khi đó: d d
0
6
2 cos
2 cos
t t
I t
t
Bài toán 15: d
2
ax b
I x
mx nx p
Ta ý mx2nx p / 2mx n và biến đổi sau (Kỹ thuật thêm bớt): d
d
2
2
2 2
a mx n an x a an
I x b K b L
m mx nx p m mx nx p m m
- Với d
2
2mx n
K x
mx nx p
: đặt tmx2nx p , d
1
2
t
t
t t
K t
t t
- Với d
2
x L
mx nx p
: xem Bài tốn 14 nói
Ví dụ: d
2
1
2
x
I x
x x
d
2
1
2 2
2
2
x
x x x
d d
2
2
1
2
2
2 2 2
x x
x
x x x x
Bài toán 16: d
2
ax bx c
I x
mx nx p
Ta biến đổi: d
2
2
A mx nx p B mx n C
I x
mx nx p
d
d d
2
2
2
mx n x
A mx nx p x B x C
mx nx p mx nx p
- Với K mx2 nx p xd
(26)- Với d
2mx n
L x
mx nx p
, dùng vi phân: L 2 mx2 nx p
- Với d
2
x M
mx nx p
: xem Bài tốn 14 nói
Ví dụ: d
1 2
2
2
x x
I x
x x
d
2
2
2
2
x x
x x x
d d
1
2
2
0
8
2
2
x x x x
x x
d d
1
2
2
0
4
4
x
x x
x
IV BÀI TẬP TỰ LUẬN
1 BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA
Bài tập 1. Tính tích phân d
2
4
Ix x x
HD giải:Ta có: 4 3 0
3
x
x x
x
Bảng xét dấu:
Khi đó: d d
1
2
0
4
Ix x xx x x d d
1
2
0
4
x x x x x x
3
2 2
2 3
0
3
x x
x x x x
Bài tập 2. Tính tích phân d
3
I x x x
HD giải:Ta có: x3x2 x x2 1 Bảng xét dấu:
Khi đó: d d
1
3
0
I x x x x x x
4 1 2 3
0
4
x x x x
Bài tập 3. Tính tích phân d
1
1
x
I e x
x
2
4
x x
x
3
(27)HD giải:Ta có: ex 1 x Bảng xét dấu:
Khi đó:
d d
0
1
1
x x
I e x e x
0 1
1
x x
e x e x e
e
Bài tập 4. Tính tích phân d
2
1
I x
x x
HD giải: d d
1
2
0
1
1 1 3
ln ln ln ln
0
( 2)( 3) 2
x
I x x
x x x x x
Bài tập 5. Tính tích phân
d
0
2
8
1
x
I x
x x
HD giải:Đặt
2
2
8
, 1;
1 ( 1)
1
x A B C
x
x x x
x x
2
2
8 ( 1)( 3) ( 3) ( 1)
, 1;
1 3
x A x x B x C x
x
x x x x
8x2 A x( 1)(x 3) B x( 3) C x( 1) ,2 x 1; (*)
Thay x1 vào (*) ta được: 164B B Thay x3 vào (*) ta được: 80 16 C C
Thay x0 vào (*) ta được: 3
3 B C
A B C A
Khi đó:
d
0
2
0
3
3ln 5ln
1
1 1
I x x x
x x x x
2 5ln 2ln
Bài tập 6. Tính tích phân d
3
tan
I x x
HD giải: d d d
4 4
3
0 0
tan tan tan tan tan tan
I x x x x x x x x x
d d
2
4
0
sin tan ln
tan tan ln cos ln
cos 2 2
0
x x
x x x x
x
Bài tập 7. Tính tích phân d
0
1 sin
I x
x
x 1
1 x
(28)HD giải:
d
d d d
cos
2 2
2
0 0
4
1 1
1 sin
1 cos cos
2 4
x
I x x x
x x x
x
tan tan
4
0
x
Bài tập 8. Tính tích phân d
sin
cos cos x
I e x x x
HD giải: d d d
2 2
sin sin
0 0
cos cos cos cos
x x
I e x x x e x x x x
d d
2
0
2
sin sin
0
1 cos sin
sin 2 2
2 4
0
x x x x x x x e
e e
Bài tập 9. Tính tích phân d
0
cos sin cos
x
I x
x x
HD giải: d d
2
4
0
cos sin cos sin
cos sin
sin cos sin cos
x x x x
x x
I x x
x x x x
Đặt tsinxcosx2 dtcosxsinx xd Đổi cận: x 0 t 3, 2
4
x t
Lúc đó: d d
2 2
3
2 2
1 ln 2 ln
3 2
t
I t t t t
t t
Bài tập 10. Tính tích phân d
2
tan cos sin cos
x
I x
x x x
HD giải:
d
6
tan cos tan
x
I x
x x
Đặt tan d d2
cos x
t x t
x
Đổi cận: 0,
6 3
x t x t
Khi đó: d d
1
3
0
1
1
1 ln ln
1 3
0
t
I t t t t
t t
Bài tập 11. Tính tích phân d
1
2
0
x
I x
x x
(29)HD giải:
d d d d
3
1 1
3
2
0 0
1
1
1
x x x
I x x x x x x x x x x
x x x x
d d
1
3 2
1
0
1
I x x xx x x x
Đặt t x2 1 t2 x2 1 t td x xd Đổi cận: x 0 t 1,x 1 t
Khi đó: d d
2
2
1
1
2 2
1
5 15
t t
I t t t t t t t
d
1
4
0
1
0
5
x
I x x
Vậy 1 2 2 2
15 15
I I I
Bài tập 12. Tính tích phân d
2
1
I x x x
HD giải: d
2
4
I x x Đặt 3 1 sin , ; 2
x t t
d d
2 cos
x t t
Đổi cận: ,
3
x t x t
Khi đó: d cos d cos2 d
0 0
2
3 3
2
4 sin cos
3 3
I t t t t t t t
0
2 sin 2
2
3 3
3
t
t
Bài tập 13. Tính tích phân
ln
ln x
dx I
e
HD giải: d
ln
ln
x
x x
e x I
e e
Đặt d d
2
x x
x
e x
t e t
e
2 1 x
e t Đổi cận: xln 3 t 2,xln 8 t
Khi đó: d d
3 3
2
2 2
3
2 1
ln ln
2
1 1
1
1
t t t
I dt
t t t
t t
t
Bài tập 14. Tính tích phân d
2
1
x x
I x
e e
(30)HD giải:
d d d
1 1
0 0
1 1 1
1
1 1
1
x x x
x x x x x x
x x
e e e
I x x x dx
e e e e e e
e e
d
d
1
0
1 1 1 1
1 ln ln
0
1 x
x x x
x
e e
e x e x e
e e
Bài tập 15. Tính tích phân d
ln
e
I x x
HD giải:Đặt uln2x,dvdx, ta có: du 2lnx xd x
, chọn v x Khi đó:
1
.ln ln
1
e
e
I x x x dx e K, với d
1
ln
e
K x x
Tính K: đặt uln ,x dvdx, ta có: du 1dx x
, chọn v x
Khi đó: d
1
.ln 1
1 e
e
K x x x e e Vậy I e
Bài tập 16. Tính tích phân d
0
.cos x
I e x x
HD giải:Đặt u e x,dvcos 3x xd , ta có: du exdx, chọn 1sin 3
v x
Khi đó: d
2
2
1 1
.sin sin
3 3
0
x x
I e x e x x e K
, d
2
0
.sin
x
K e x x
Tính K: đặt u e x,dvsin 3x xd , ta có du exdx, chọn 1cos 3
v x
Khi đó: d
2
0
1 1
.cos cos
3 3
0
x x
K e x e x x I
Vậy 1
3 3
I e I
, suy
2
1 10
e I
Bài tập 17. Tính tích phân
d
3
1
1
3 ln
x
I x
x
HD giải:Đặt
d 2 d ln ,
1
u x v x
x
, ta có d d
1
u x
x
, chọn 1
1
x v
x x
Lúc đó: d
3
1
3 ln 3 3ln 3 3ln
ln ln
1
1 4
x x
I x x
x x
(31)(Chú ý cách chọn vdv cho tích phân d
1
v u
đơn giản Ta nói C1 hệ số điều chỉnh tích phân phần)
Bài tập 18. Tính tích phân
d
6
6
2x cos x I
x
HD giải:Đặt t x, ta có dt dx Đổi cận:
6
x t ,
6
x t
Khi đó:
d d d d
6 6
6 6
2
1
2 cos 1 cos cos cos
2
t x
t t x
t
t t t x
I
t t t x
Suy ra:
d d
d d
6 6
6 6
1 2
cos
2 cos cos cos
x x
x x x
x x
x x
I I I
x
x x x
d d
6
2
6
cos cos
1 sin sin cos
x x x x
x x
x
Đặt usinx ducosx xd Đổi cận: 1,
6
x u x u
Khi đó:
d d
1
2
1
2
1
1 1 1 2 1
2 ln ln ln ln
1
2 1 2
1
2
u u
I u
u u u
u u
Vậy 1ln I
Bài tập 19. Tính tích phân d
2
ln
I x x
HD giải:Đặt ulnx21 , dvdx, ta có: d 22 d
1
x
u x
x
, chọn v x
Khi đó: d d d
1 1
2
2 2
0 0
1 2
.ln ln 2 ln 2
0 1
x x
I x x x x
x x x
Với d
1
0
x K
x
, đặt xtant, ; 2
t
, ta có d d
2
1 tan
x t t
Đổi cận: x 0 t 0,
4
x t Ta được: d d
2
4
2
0
1 tan
4 tan
t
K t t
t
Vậy ln 2 ln 2
(32)Bài tập 20. Tính tích phân d ln 1
x x x
I x x
HD giải: Đặt d d
ln ,
1
x x
u x x v
x
, ta có : d d d
2 2 1 1 x x
u x x
x x x
, chọn
2
1
v x
Khi đó: d
3
2
0
3
1.ln ln 3
0
I x x x x
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN
Tính tích phân sau:
1) d
3
1
I x x
2) d
2
2 sin
I x x
3) d
2
4
I x x x 4) d
2 2
3x 2x
I x
x
5) d
1
4
0
x
I x
x x
6) d
2 1 x I x x
7) d
4 sin cos x I x x
8) d
2
0
sin sin cos
x x I x x
9) d
2
2
0
sin cos sin
x I x x x
10) d
2
11
x I x x
11) d
0 1 1 x I x x
12) d
1
1
x I x x
13) d
2 3 x I x x
14) d
1
0
x I x x
15) d
2 x I x x
16) d
3 sin cos x x I x x
17) d
1
3
2 ln
e
I x x x
x
18) d
3 1 x x I e
19) d
ln
0 x
x I
e
20) d
2
0
.cos
x
I e x x
(33)V CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1. Tích phân d
2
3
I x x x
A 16
3 B
5
6 C
19
2 D
55
HD giải:
khi
2
2
3 2, ,1 2,
3
3 , 1;
x x x
x x
x x x
Do đó: d d d
1
2 2
1
3 3
I x x x x x x x x x
3 1 2 4
3 3 19
2 2
1
3 3 2
x x x x x x
x x x
Lựa chọn đáp án C
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT):
Bước 1: Gán giá trị kết đáp án cho biến A, B, C, D
Bước 2: Nhập vào máy d
2
3 ?
X X X X
Lần lượt thay X A, B, C, D Nhận đáp án hình máy tính kết xấp xỉ
(34)Lưu ý: Tổ hợp phím gán: 16
3 q J z (gán cho A)
Câu 2. Với giá trị tham số m tích phân d
sin
m
I x x x
2
4
32
?
A m1 B
6
m C
3
m D
4 m
HD giải:
d d d
0 0
1 cos cos
sin
2 2
m m m
x x
I x x x x x x x
2
0
2 sin 2 sin
4
m
x x x m m m
Lần lượt thay giá trị m phương án A, B, C,
D ta thấy
4
m thỏa mãn Lựa chọn đáp án D
Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT):
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức d 2
0
4
sin
32 Y
X X X
Nhấn r
Bước 2: Nhập vào 1, , ,
6
(35)Lựa chọn đáp án D
Câu 3. Tích phân 2 d
2
1
n
I x
x
A B
2 C D
HD giải: d d d d
2
2 2 2
2 2
1 1
2 2
1
1 1
1 x x x
I x x x x
x x x x
d d
1
2
1
2
1
2
1 1
1 1
1
x x x x
x x
x x
Lựa chọn đáp án D
Câu 4. Tích phân d
2
0
x
I x
x
A 1ln
2 4 B
1 ln
2
C ln
D ln
HD giải: d
2
x x
I x
x
Đặt tx2dt2x xd Đổi cận: x 0 t 0,x 1 t
Khi đó: d d
1 2
0
1
1 1 1
1 ln ln
0
2 2 2
t t
I t t t t t
t t
Lựa chọn đáp án A
Câu 5. Tích phân d
4
4
0
cos cos sin
I x x x x
A.5
6 B
5
24 C
7
12 D
5 12
HD giải: Ta có: sin4 cos4 sin2 cos2 2 sin2 cos2 1sin 22
x x x x x x x
Khi đó: d
4
2
1 cos sin
2
I x x x
Đặt tsin 2x, ta có dt2cos 2x xd , đổi cận: 0,
x t x t
Do đó: d
1
2
1
1 1
1
0
2 2 12
t
I t t t
Lựa chọn đáp án D
Câu 6. Tích phân d
2
0
sin x x I
A 2 B C 22 D 2
(36)Khi đó: d
2 sin I t t t
Đặt u2 ,t dvsint td , ta có du2dt, chọn v cost
Ta có: d
0
2 cos cos cos sin
0 0
I t t t t t t t
Lựa chọn đáp án D
Câu 7. Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A d d
2
0
sinx x cosx x
B d d
2
2
0
sin x x cos x x
C d d
2
2
0
sinx x sin x x
D d d
2
2
0
cosx x cos x x
HD giải:
d
2
0
sin cos
0
x x x
d d
2
2
0
1 sin
sin cos 2
2 2
0 x
x x x x x
d
2
0
cos sin
0 x x x
d d
2
2
0
1 sin
cos cos 2
2 2
0 x
x x x x x
Các khẳng định A, B, C đúng, khẳng định D sai Lựa chọn đáp án D
Câu 8. Tập hợp số thực a thuộc ; 2
thỏa mãn d
0
2 tan
1 cos
a
x x
x
A ;
3
B 4;
C 6;
D
HD giải: Đặt ttanx d d2
cos
x t
x
Đổi cận: x 0 t 0,x a t tana
Khi đó: d d
tan
2
2
0
tan tan
2 tan
0 cos
a a a
x
x t t t a
x
Vì ; , tan2
2
a a
nên a
Lựa chọn đáp án B
Câu 9. Tích phân d
2
0
cos cos sin
x
I x
x x
A B C
2
D
4
HD giải: Đặt
2
t xdt dx, đổi cận: ,
2
x t x t
Khi đó: d d d
0 2
0
cos
2 sin sin
sin cos sin cos
cos sin
t
t x
I t t x
t t x x
t t
(37)Suy ra: d d d d
2 2
0 0
cos sin cos sin
2
cos sin cos sin cos sin
x x x x
I I I x x x x
x x x x x x
Vậy
I Lựa chọn đáp án D
Câu 10. Tích phân
d
2
2
ln
x
I x
x
A ln ln4
3
B ln ln
3
C ln ln
D ln ln3
3
HD giải: Đặt
d
d 2
ln ,
1 x u x v
x
, ta có d du x,
x
chọn 1
1
x v
x x
Khi đó:
d
1
2
ln ln 2 ln 2 ln 2
ln ln ln ln
1
1 3 3
x x x
I x
x x
Lựa chọn đáp án B
Câu 11. Tích phân d
2
0
9
I x x x A
4
B 81
16
C 81
8
D 81 4
16
HD giải: Đặt 3sin ,
2
x t t dx3cost td Đổi cận: 0,
2 x t x t Ta có: 9x2 9 sin 2t 3 cos2t 3 cost 3cost
d d d
2 2
2
0 0
81 81
9 sin 3cos 3cos sin cos
4
I t t t t t t t t
81 sin 2 81
8 16
0
t t
Lựa chọn đáp án B
Câu 12. Tích phân d
12
x x
I x
A
5 B C D
2
HD giải: Đặt t x dt dx Đổi cận: x 1 t 1, x 1 t Ta có:
4 4
.2
2 1
2
t
t t
t
x
x t t t
d d d
1 4
1 1
.2 2
1 2
t t x
t t x
t t x
I t t x
Khi đó: d d d d
4
1 4 1
4
1 1
1
.2
2
1
5
2 2
x x
x x x
x
x x x
I I I x x x x x
I 15
(38)Câu 13. Cho hàm số f x liên tục 0; a thỏa mãn d
a
f x xM
Trong khẳng định
sau, khẳng định sai? A d
0
a
f x x M
B d d
0
0
0 a
a
f x x f x x
C d
2
0 2
a
x M
f x
D d
3
0
3
a
x
f x M
HD giải: Các khẳng định A, B
(C): Đặt d d
2
x x
t t Đổi cận: x 0 t 0,x2a t a
Khi đó: d d
2
0
2
2
a a
x
f x f t t M
Khẳng định C sai
(D): Đổi biến với cách đặt
x
t ta được: d
0
3
a
x
f x M
Khẳng định D
Lựa chọn đáp án C
Câu 14. Đặt d
3
1
Ix x x t x21 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?
A d
2
4
I t t t B d
1
4
I t t t
C d
2
I t t t D d
4
4
I t t t
HD giải: d
2
0
I x x x x Đặt t x2 1 t2 x2 1 t td x xd Đổi cận: x 0 t 1, x 1 t 2, d d
2
2
1
1
I t t t t t t t
Lựa chọn đáp án A.
Câu 15. Với giá trị tham số m tích phân d
2
2
x m
I x
x
ln 9 ? A m0 B m 1 C m 4 D m 3
HD giải: d
4
2
4
2 2 ln ln
2
m
I x x m x m
x
4 ln9 2ln
I 2 m m Lựa chọn đáp án C.
Câu 16. Một ô tô chuyển động với vận tốc v0 bắt đầu hãm phanh từ thời điểm chuyển động chậm dần với gia tốc a 6m s/ 2, sau giây 20 mét Vận tốc
(39)A 6m s/ 18m s/ B 32m s/ 20m s/ C 18m s/ 6m s/ D 16m s/ 4m s/
HD giải:
Gia tốc a t , vận tốc quãng đường s t thỏa mãn s t' v t , 'v t a t Vận tốc: v t a t t d 6dt 6t C Với t0 v0 v 0 C Do
v t t v
Quãng đường sau giây: d d
2
2
0 0
0
2
6 12
0
sv t t t v t t v t v Theo giả thiết: s202v012 20 v0 16m s/ Do v t 6t 16
Vận tốc thời điểm t2 giây v 2 6.2 16 4 m s/ Lựa chọn đáp án D
Câu 17. Một ô tô chuyển động đoạn đường phẳng với vận tốc 5m s/ bắt đầu xuống dốc từ thời điểm chuyển động nhanh dần đều, giây sau đạt vận tốc 20m s/ Đến hết đoạn dốc ô tô đạt vận tốc 32m s/ Tính độ dài đoạn dốc nói
A 62,5m B 160 m C 166,5m D 162,5m
HD giải:
Hàm vận tốc: v t at b a 0; v 0 5, v 5 20 nên a3, b5, v t 3t5
Cách khác: v t 5 1mt ; v 5 20 nên
m , v t 3t5 Gọi T thời gian tơ hết đoạn dốc, ta có: v T 32 T 9 s
Độ dài đoạn dốc: d d
9
0
9
3 5 166,
0
T
t
s v t t t t t m
Lựa chọn đáp án C
Câu 18. Một túi nilon đựng lượng nước có trọng lượng N nâng từ mặt đất lên không trung với tốc độ cố định Bao nilon thủng bắt đầu nâng nước rỉ với tốc độ không đổi Khi nâng đến độ cao 50 mét bao nilon khơng cịn nước Bỏ qua trọng lượng túi nilon, hỏi công sinh nâng bao nước từ mặt đất đến độ cao 50 mét bao nhiêu?
A 150 J B 50 J C 250 J D 125 J
HD giải:
Lực F x dùng để nâng bao nước trọng lượng nước Từ giả thiết suy
F x hàm bậc theo độ cao x bao nước:
50
5
50 10
x x
F x N
Công sinh ra: d d
50 50
0
50
5 125 125
0
10 20
x x
A F x x x x N m J
(40)Lựa chọn đáp án D
Câu 19. Khi mài kim loại, mảnh kim loại từ mặt đất bay lên theo chiều thẳng đứng với vận tốc v15m s/ Biết gia tốc trọng trường g9,8m s/ 2 và bỏ qua lực cản
khơng khí, hỏi sau giây mảnh kim loại di chuyển quãng đường dài bao nhiêu? A 19,9 m B 5, 2 m C 10,1 m D 15 m
HD giải:
Mảnh kim loại chịu tác động trọng lực (ngược chiều với hướng di chuyển) nên gia tốc mảnh kim loại a g 9,8m s/ 2 Do vận tốc mảnh kim loại thời điểm t
giây là:
d 9,8d 9,8
v t a t t t C
Theo đề bài, với t0 v15m s/ nên C15 Suy ra: v t 9,8t15m s/ Quãng đường di chuyển mảnh kim loại sau giây:
d d
1
2
0
1
9,8 15 4,9 15 10,1
0
s t v t t t t t t m Lựa chọn đáp án C.
Câu 20. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 30cm, để nén lị xo xuống 20cm ta cần dùng lực 40 N Nếu ta tiếp tục nén lị xo nói từ 20cm xuống cịn 15cm cơng sinh bao nhiêu?
A 2, 5 J B 6, 5 J C 2 J D 0, 5 J
HD giải: Độ nén lò xo: x0,3 0,2 0,1 m , F40 N
Vì Fk x , với k độ cứng lò xo, suy 40 400 / 0,1
k N m Do lực nén 400
F x
Tiếp tục nén lò xo, độ nén: x10,3 0,2 0,1 m x2 0,3 0,15 0,15 m Công sinh ta tiếp tục nén lò xo từ 20cm xuống 15cm:
d d
2
1
0,15
2 0,1
0,15
400 200 2, 2,
0,1
x
x
A F x x x x x N m J Lựa chọn đáp án A
2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1. Tính tích phân
2
3
1 d x
I x
x
A I ln B ln 11
I C ln
8
I D I 1 ln
Câu 2. Tính tích phân
4
3 d
x x
I x
x x
(41)A I 8 6ln B I 6ln C I 10ln D I 6ln 8
Câu 3. Tính tích phân
4
1
1 d
I x x
x
A
3
I B 20
3
I C 14
3
I D I 2
Câu 4. Tính tích phân
1
3
1 d
I x x x
A 24
35
I B 24
35
I C 24
35
I D 24
35
I
Câu 5. Tính tích phân
3 2
d x I
x x
A 1ln4
I B
2
I C ln4
2
I D 1ln3 ln4
2
I
Câu 6. Tính tích phân
2
d x I
x x
A ln3
2
I B ln4
2
I C ln3
2
I D 1ln3
2
I
Câu 7. Tìm số thực dương x thỏa mãn
1
1 ln
d 18
x
e
t t t
A
,
xe xe B
5
1 ,
x x e
e
C
7
1 ,
x x e
e
D
,
xe xe
Câu 8. Tính tích phân
3
2
d
I f x x, biết ' 22 1
x f x
x x
A 120
8281
I B 120
8281
I C ln13
7
I D ln
13
I
Câu 9. Tích phân
1
ln d
e
x x x A
2
1
e
B
2
e
C
2
1
e
D
2
2
e
Câu 10. Tích phân
2
3
1
3 d
x x x x
A 31
4 B C
33
4 D
34
Câu 11. Tích phân
2
2
1 x dx A
8
B
C
D
(42)Câu 12. Tích phân
1
2
d
x
x
x x
A 2 1 B C 2 1 D 2 2
Câu 13. Tích phân
6
4
5
d
x x
x
x
A B C D
Câu 14. Cho , d 7, d
b c
a a
a b c f x x f x x Tính d
c
b
f x x
A d
c
b
f x x
B d 15
c
b
f x x
C d
c
b
f x x
D d 15
c
b
f x x
Câu 15. Tính tích phân
2
d x I
x x
A ln2
I B ln3
2
I C ln4
3
I D ln4
3
I
Câu 16. Tính tích phân
2
d
x I
x x
A ln3 2
I B ln3
2
I C ln3
2
I D ln3 ln
2
I
Câu 17. Tính tích phân
1
0
2
d
x x
I x
x
A 13ln3
I B 3ln3
2
I C 3ln3
2
I D ln3
2
I
Câu 18. Tính tích phân
1
4
d x
I x
x
A 1ln 2
I B ln
12
I C
12
I D ln
12
I
Câu 19. Tính tích phân
1
2 d 4 x
I x
x x
A ln3
I B ln3
2
I C ln3
2
I D ln3
2
I
Câu 20. Tính tích phân
2
d x I
x x
A 1ln8
I B 1ln8
2
I C ln8
5
I D ln8
2
I
Câu 21. Tính tích phân
2
d x I
x x
(43)A 1ln3
I B ln3
2
I C ln3
2
I D 1ln3
6
I
Câu 22. Biết f x liên tục
6
2
d 7,
f x x
tính tích phân
12
4
d
x
I f x
A
2
I B I7 C I14 D I28
Câu 23. Cho hàm số f x có f x' liên tục ,
2
π π
f
4
2
7
' d
2
π
π
π
f x x
Tính
4 f π
A f 4π π B f 4π 2 π C 4
π
f π D f 4π 5 π Câu 24. Xét tích phân
1
0
1 d
I x x x đặt t x1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A dx2 d t t B
1 2
2 t d
I t t
C
2
4
2 d
I t t t D 15
I
Câu 25. Xét tích phân
3
d
x I
x
đặt x3tan t Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A d 32 d cos
x t
t
B
3
0 d
π
t I t
C
2
9
cos x
t
D
9
π
I
Câu 26. Xét tích phân
7
3
1 d
3
x
I x
x
Nếu đặt t33x1 thì khẳng định
khẳng định sau sai?
A dxt2dt B
2
1
2 d
t t
I t
C
2
2
2
1
1 2
d
t t t
I t D 46
I
Câu 27. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A
2
2
cos cos
d d
2
π π
x
x x
π π
x x
x x
B
2
2
cos cos
d d
2
π π
x
x x
π π
x x
x x
(44)C
2
2
cos cos
d d
2
π π
x
x x
π π
x x
x x
D
2
2
cos cos
d d
2
π π
x
x x
π π
x x
x x
Câu 28. Đặt
1
2
d
x I
x
sin , ;
2 π π x t t
Trong khẳng định sau, khẳng định
đúng?
A dx2cos d t t B
2
cos d cos
π
t t I
t
C
0 d
π
I t D
3
π
I
Câu 29. Tính tích phân
1
3
4 d
x x I
x
A 13
9
I B
9
I C
9
I D
3 I
Câu 30. Tính tích phân
3
4 d
I x x x
A I 2 B I 2 C I 3 D I 1
Câu 31. Tính tích phân
1
4 d
4
x
I x
x x
A 11 ln 3
I B 11 ln
3
I C 11 ln 3
I D 11 ln
3
I
Câu 32. Tính tích phân
2
1 d
I x
x x
A 1ln
I B 1ln
2
I C 1ln
4
I D 1ln2
4
I
Câu 33. Tính tích phân
2
d
x I
x x
A I ln B 1ln
I C ln
2
I D 1ln ln
2
I
Câu 34. Cho hàm số
3
f x x x x
2
g x x x x Tính tích phân
2
1
d I f x g x x
A
2
I B
2
I C
12
I D
12
I
Câu 35. Tính tích phân
3
2 d x
I x
x x
A 7ln8
I B 7ln4
6
I
(45)Câu 36. Đặt
4
sin cos d ,
t
f t x x x t
Nghiệm phương trình f t 0
A ,
6 π
t kπ k B ,
4
π
t kπ k
C ,
3 π
t kπ k D ,
2
π
t kπ k
Câu 37. Biết tích phân
ln10 ln
d ;
2
xx
e a
x b e
, a b hai số nguyên dương a
b phân số
tối giản Khẳng định sau sai? A 2a7 b B
3 2
a b
C 2 85
a b D a b 7
Câu 38. Tính tích phân
2
*
4
1 cos sin d ,
π
n
π
I x x x n
A
2
I n
B
1 I
n
C
2
I n
D
1
2
I n
Câu 39. Giá trị sau n thỏa mãn
2
2
1 cos sin d
8
π
n
x x x
?
A n1 B n2 C n3 D n4
Câu 40. Biết
5
5
d ln
2
a x
b
x
, , a b hai số nguyên dương a
b phân số tối giản
Hãy tính ab
A ab3 B ab9 C ab12 D ab144
Câu 41. Cho
7
3
1
d ln
2
a x
x x b
, a b hai số nguyên dương a
b phân số
tối giản Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A
8
a b B 10 a b
C a b 32 D a2 b2 754
Câu 42. Tính
0
sin d
a
I x x x a0 theo a
A Iacosasin a B Iacosasin a
C
2
cos
a
I a D
2
cos
a
I a
Câu 43. Tính tích phân
1
2
2
0
1 d
I x x x
A
9
I B
9
I C
9
I D I 1
Câu 44. Tính tích phân
ln
3
0
1 d
x x
(46)A 519
20
I B 617
20
I C 142
5
I D 519
5
I
Câu 45. Tính tích phân
1
2
d x
I x
x
A 1ln
I B 1ln
3
I C 1ln
3
I D 1ln
6
I
Câu 46. Tính tích phân
2
1
1 ln d
e
x
I x
x
A
3
I B
3
I C 10
3
I D
3 I
Câu 47. Tính tích phân
2
3
d ln e
e x I
x x
A
2 ln
I B
2 ln
I C
8
I D
8 I
Câu 48. Tính tích phân
1
ln d ln ln e
x x I
x x x
A I ln B 1ln 2
I C ln
2
I D ln
2
I
Câu 49. Tính tích phân
3
2
0
d x x I
x
A I 2 B I 1 C I D I 1
Câu 50. Trong tích phân sau, tích phân có giá trị tích phân
π
0
cosnx xd
, với n
nguyên dương? A
π
0 sin d nx x
B
π
0 sin d nx x
C π
0 sin d
nx x
D π
0 sin d nx x
Câu 51. Tính tích phân d
ln b
a
e
e
x I
x x
b a 0 theo a b A Iln ab B Ilnab C I ln b
a
D Ilnb a
Câu 52. Tính tích phân
12
4
d
2
x I
x x
kết Ialn6bln Giá trị biểu thức
2
3
a ab b
A B 1 C 19 D 29
Câu 53 Tính tích phân
0
d
a x x
x x
e e
I x
e e
theo a
A Ia B ln
4
a a
e e
I
C ln
2
a a
e e
I
(47)Câu 54. Để tính tích phân
0 d
I x x, học sinh làm sau:
Bước 1:
0 d d
I x x x x
Bước 2: 3 5
0 d d
I x x x x
Bước 3:
3
3
0
10 98
9 18 18
3 3
x x
I x x
Hỏi lời giải hay sai, sai sai từ bước nào?
A Lời giải B Sai từ bước
C Sai từ bước D Sai từ bước
Câu 55. Cho f x hàm số liên tục đoạn 0;1 Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?
A
π π
2
0 f sinx dx f sinx d x
B
π π
2
0 f sinx dx2 f sinx d x
C
π π
2
0 f sinx dx3 f sinx d x
D
π π
2
0 f sinx dx4 f sinx d x
Câu 56. Tìm số thực n biết
0 d 16 n
x x
A 16;
3
n n B 16;
3
n n
C 16; 2;
3
n n n D 16;
n n Câu 57. Tính tích phân
ln
0
1 d
x x
I e e x
A 28 2
I B
3 I C
3
I D 4
3
I
Câu 58. Tính tích phân
1
d ln e
x I
x x
A 1ln
I B 1ln
4
I C 1ln
2
I D I 2ln
Câu 59. Tính tích phân
ln
0
d
2
x x
x I
e e
A ln3
I B ln3
2
I C ln9
8
I D ln3
4
I
Câu 60. Tính tích phân
3
2
0
d 1
x x
I
x
A
2
I B
4
I C
6
I D
(48)Câu 61. Tính tích phân
4
6 sin
d sin
x
I x
x
A I 4 25 B
3
I C 2
3
I D
3
I
Câu 62. Tính tích phân
4
2
0
sin cos d
I x x x
A
4
I B
64 192
I C
64 48
I D
64 I
Câu 63. Tính tích phân
3
0
cos d sin
x
I x
x
A
2
I B
3
I C I 1 D
2 I
Câu 64. Cho
3π
0 f x dx7
Khi tích phân
3π
0 2f x 3cos dx x
A 11 B 14 9π
2
C 23 D 14 9π
2
Câu 65. Đặt
0 sin d , t
f t x x t Nghiệm phương trình f t 0
A tkπ,k B π π,
4
t k k
C π π,
4
t k k D tk2π,k
Câu 66. Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn
0 f x dx8
Khi tích phân
3
0 f dx x
A B C D 16
Câu 67. Nếu d
0
2
4
x
I e x K e
giá trị K
A 11 B C 25
2 D 10
Câu 68. Cho f x( ) hàm số liên tục a b; Đẳng thức sau sai?
A d d
b a
a b
f x x f x x
B d ;
b
a
k xk b a k
C d d d ; ;
b c b
a a c
f x x f x x f x x c a b
D
b a
a b
f x xd f x xd
Câu 69. Giả sử d
1
1
ln 2x1 x A
, giá trị A
(49)Câu 70. Giá trị tích phân d
2
2 x x x
A B C D 31
6
Câu 71. Giả sử d d d
1 4
0
2; 3;
f x x f x x g x x
Khẳng định sau sai?
A
4
0
f x xd g x xd B d
0
1 f x g x x
C d
4
0
9
f x g x x
D d d
4
0
f x x g x x
Câu 72. Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu ( ) 0,f x x a b; ( )d
b
a
f x x
B Nếu f x f x , x a a; d
a
a
f x x
C
b b b
a a a
f x g x dx f x xd g x xd , với f x ,g x liên tục a b; D Nếu f x x F x d C d
2
1
2
1
,
x
x
f ax b x F ax b F ax b a
a
Câu 73. Đẳng thức sau đúng?
A d
3
0
x x
B d
3
1
x x
C
3 3
0
x xd D d
3
0
x x x
Câu 74. Nếu hàm số y f x xác định, liên tục khơng đổi dấu a b; đẳng thức sau đúng?
A d d
b a
a b
f x x f x x
B d d
b a
a b
f x x f x x
C d d
b a
a b
f x x f x x
D
b a
a b
f x dx f x xd
Câu 75. Tích phân d
2
x I
x
A 31
5 B
31
C
24 D
7 24
Câu 76. Đẳng thức sau đúng? A
3
3
sinx xd B
3
3
(50)C
3
3
sin x xd D
3
3
cos x xd
Câu 77. Nếu hàm số f x g x xác định, liên tục không đổi dấu a b; đẳng thức sau đúng?
A d d d
b a a
a b b
f x g x x f x x g x x
B
d d
d a
b
b a a
b
f x x f x
x g x
g x x
C d d d
b a a
a b b
f x g x x f x x g x x
D
b a
a b
f x g x dx f x g x dx
Câu 78. Tích phân d
2
x I
x
A 2 B 2 C
2 D
Câu 79. Đẳng thức sau đúng? A
2 2
0
sinx xd cosx xd B d d
2
0
sinx x tanx x
C d d
2
0
sinx x cosx x
D d d
2
0
sinx x tanx x
Câu 80. Tích phân d
sin
cos x
I xe x m
m thỏa mãn phương trình
A lnx1 B lnx 1 C lnx 1 D lnx 1
Câu 81. Giả sử d d
5
0
5,
f x x f x x
Khi d
6
5
f x x
A B 3. C 13 D 13.
Câu 82. Tập hợp giá trị số thực b cho d
2
b
x x
A. 5 B 5; C 4 D 4;
Câu 83. Nếu d
1
f x x a
, d
5
4
f x x b
d
4
1
f x x
(51)Câu 84. Cho d
5
a
f x x
f x hàm số chẵn Khi d
a
f x x
A B C 5 D 10
Câu 85. Cho tích phân d
6
3
x I
x x
đặt
cos
x
t
Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A d 3sin2 d cos
t
x t
t
B
36 I
C d
3
4
sin cos tan
t t I
t t
D
2
sin tan
t t x
t x x
d d
Câu 86. Cho tích phân
2
2
2
I x x dx đặt u x 21 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A du2x xd B I2 C
2
0
I u ud D
3 2
I u
Câu 87. Cho d
6
0
1 sin cos
64
m
I x x x
Khi m
A B C D
Câu 88. Tìm khẳng định khẳng định sau:
A d d
4
0
sin sin
4
x x x x
B d d
0
sin cos
4
x x x x
C
3
3
0
4
sin sin sin
4 4
x dx x dx x dx
D d d
4
0
sin sin
4
x x x x
Câu 89. Giá trị d
1
x
xe x
A 1e B e2 C e1 D 2e
Câu 90. Giải phương trình ẩn t sau d
cos
t
x x t A ,
3
t k k B ,
3
(52)C ,
t k k D tk, k
Câu 91. Dựa vào ý nghĩa hình học tích phân, tìm khẳng định sai trong khẳng định sau:
A d d
1
0
1 ln
1 x
x x x
e
B d d
4
2
0
sin x x sin 2x x
C d d
2
1
0
1
x x
e x x
x
D
1
0
x x x x
e d e d
Câu 92. Tính tích phân d
0 a
x I
a ax
, với a số thực dương
A I 2a B I 2 2a
C I 2 2 D I 2
Câu 93. Tính tích phân
2
0
1 cos nsin
I x x xd
A I
n B
1 I
n C
1 I
n D
1 I
n Câu 94. Tích phân có kết
4
?
A d
0
x x
B d
1
x x
C
1
0
x x
d
D d
4
x x
Câu 95. Cho
1
0
,
x
I tx e dx t Tất giá trị t để I 1 e
A t4 e B t4e1 C t2 e D t2e2
Câu 96. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t 160 10 t m s / Quãng đường vật di chuyển tính từ thời điểm t0 s đến thời điểm vật dừng lại
A 1280 m B 640 m
C 3840 m D 2560 m
Câu 97. Một vật di chuyển với vận tốc 10m s/ bắt đầu tăng tốc chuyển động nhanh dần giây sau đạt vận tốc 16m s/ Tính quãng đường vật di chuyển tính từ lúc vật bắt đầu tăng tốc đến đạt vận tốc 24m s/
A.119 m B 21 m C.168 m D 94,5 m
(53)A.18, 75 J B 75 J C 31, 25 J D 25 J
Câu 99. Phóng vật từ mặt đất lên cao theo chiều thẳng đứng với vận tốc v49m s/ Biết gia tốc trọng trường 2
9,8 /
g m s bỏ qua lực cản khơng khí, tính độ cao vật nói vật dừng lại không trung
A 245 m B 122,5 m C.102,9 m D 147 m
Câu 100. Một lị xo có chiều dài tự nhiên 10cm, để nén lò xo xuống 8cm ta cần dùng lực 20 N Tính cơng sinh nén lị xo nói từ chiều dài tự nhiên xuống 7cm
A 0, 2 J B 10 J C 0, 05 J D 0, 45 J
(54)3 ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 10
Đáp án
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đáp án
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đáp án
Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Đáp án
Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Đáp án
Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Đáp án
Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Đáp án
Câu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
Đáp án
Câu 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Đáp án
Câu 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Đáp án
Trong phần câu hỏi trắc nghiệm tự luyện, tác giả có sử dụng số câu hỏi
Thầy Lê Bá Bảo, Cô Nguyễn Thu Hà (CLB Giáo viên trẻ TP Huế) sách trắc nghiệm 2007 Dù biên soạn kỹ, song chắn không tránh khỏi sai sót Mong bạn đọc phản hồi để tác giả hoàn thiện nội dung Xin cảm ơn! Xin tặng Thầy Cô em học sinh chuyên đề này!
Tác giả: PHẠM THANH PHƢƠNG_THPT KHAI TRÍ_ĐÀ NẴNG
Địa chỉ: (đƣờng Nam Cao) HÒA KHÁNH – ĐÀ NẴNG