Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 203

Mét chiÕc hép chøa bèn qu¶ bãng tennis gièng nhau vÒ kÝch cì vµ cÊu t¹o... TÝnh ®é dµi cña PB..[r]

chøng minh Mét sè hƯ thøc l

−

ỵng

trong tam gi¸c

phan đình ánh

Tr−ờng THCS Thạch Kim, Lộc Hà, Hà Tĩnh hi biết độ dài ba cạnh tam

giác, ta tính đ−ợc độ dài đ−ờng cao, đ−ờng trung tuyến, đ−ờng phân giác, diện tích góc tam giác Bài viết d−ới xây dựng công thức cho tam giác ABC tam giác nhọn có BC = a, AC = b, AB = c Kí hiệu độ dài đ−ờng cao AH = ha, đ−ờng trung tuyến AM = ma, đ−ờng phân giác AD = da, nửa chu vi p

1 Cơng thức tính độ dài đ−ờng cao

Vì tam giác ABC tam giác nhọn, AH ⊥ BC nên điểm H nằm hai điểm B C Đặt BH = x, CH = a − x

áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác AHB AHC vuông H ta có

− = − − =

⇔ − = − − +

+ −

⇒ =

2 2 2

a

2 2 2

2 2

c x b (a x) ( h )

c x b a x 2ax

c a b

x

2a

Khi = − = −⎛⎜⎜ + − ⎞⎟⎟

⎝ ⎠

2

2 2

2 2

a c a b

h c x c

2a

⎛ + − ⎞⎛ + − ⎞

=⎜⎜ − ⎟⎜⎟⎜ + ⎟⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

2 2 2

c a b c a b

c c

2a 2a

− − + −

=b2 (a c)2.(a c)2 b2

2a 2a

+ + + − + − + −

=(a b c)(b c a)(a c b)(a b c)2 4a

− − −

= 4p(p a)(p b)(p c)2

a

⇒ha= p(p a)(p b)(p c).− − − a

2 Công thức tính độ dài đ−ờng trung tuyến

Kh«ng mÊt tỉng quát giả sử AB AC

Kết hợp với tam giác ABC tam giác nhọn ta có điểm H đoạn thẳng BM

t HM = x BH= −a x;CH= +a x

2

áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác AHB AHC vng H ta có

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−⎜ − ⎟ = −⎜ + ⎟ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2 2

a

a a

c x b x ( h )

2

⎛ ⎞

− −

⇒ = ⇒ = −⎜⎜ − ⎟⎟

⎝ ⎠

2

2 2

2

a

b c a b c

x h c

2a 2a

Do = 2+

a a

m h x

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

= −⎜⎜ − ⎟⎟ +⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2 2

2 a b c b c

c

2 2a 2a

+ +

=b22c2 − a42 ⇒ma = b22c2 − a42

3 Cơng thức tính độ dài đ−ờng phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia BE (E thuộc tia AD) cho

= =

CBE BAD CAD, ta có

ΔADC ΔBDE (g.g) ⇒ BD.DC = AD.DE ΔABE ΔADC (g.g) ⇒ AB.AC = AD.AE

Suy AD2 = AB.AC BD.DC Mặt khác = =

+

BD CD BC

AB AC AB AC

⇒ = =

+ +

AB.BC AC.BC

BD ;CD

AB AC AB AC

Do = ⎛⎜⎜ − ⎞⎟⎟ +

⎝ ⎠

2

2 a AD bc

(b c)

+ + + − −

= =

+ +

bc(a b c)(b c a) 4bcp(p a)

(b c) (b c)

−

⇒ =

+ a bcp(p a)

d

b c

4 Cơng thức tính diện tích tam giác Từ cơng thức tính độ dài đ−ờng cao

= − − −

a

h p(p a)(p b)(p c)

a

Suy S= 21h aa = p(p a)(p b)(p c).− − − Đặc biệt, biết độ dài cạnh số đo góc

xen gi÷a ta kẻ BK AC (K AC) ta cã

= ⇒ ABC = =

BK c.sinA S BK AC bc.sinA

2

Từ S= 1bc sinA= 1ac sinB= 1ab.sinC

2 2

5 C«ng thøc tÝnh tØ sè lợng giác góc tam giác

Từ x =c2+a2b2

2a áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông AHB ta có

+ −

= =c2 a2 b2 c.cosB x

2a

+ −

⇒cosB= c2 a2 b2

2ac T−¬ng tù

+ − + −

= b2 c2 a2 =a2 b2 c2

cosA ;cosC

2bc 2ab

Từ ta có a2 =b2+c2−2bc.cos A;

= + −

= + −

2 2

2 2

b a c 2ac.cosB; c a b 2ab.cosC

Sau tính đợc cosA, ta tính sinA, tanA, cotA dựa vào công thøc

+ = = =

2 sinA cos A

sin A cos A 1;tanA ;cotA

cos A sinA

K× ny

Đi gì?

Đầu năm ôn loại Thử xem giái ta th× th−ëng

Đi đề khó loay hoay? Đi biển dễ say vụ cựng?

Đi nhìn ngắm ung dung? Đi báo thức vùng dậy

Đi nét mặt thấy buồn Đi thấy chủ h«n t−ng bõng?

Đi đèn đỏ phải dừng? Đi thực phẩm mua b−ng nhà?

Đi muốn thắng ta? Đi phải chọn đơi?

Đi thấy d−ới mây trơi? Đi vào lớp để ngồi lắng nghe?

§i phải bớc hè? Đi nón, mũ, ô che mái đầu?

Giải thấy chẳng khó đâu! Kiên trì suy nghĩ dù lâu liền

Trn Ph−ơng Nam Đính Do sơ suất, dịng thơ thứ kì tr−ớc “Lồi chim nào?” đăng TTT2 số 202 bị in nhầm Câu thơ là: “Chim mà mùa hè hay kêu” Thành thật xin lỗi bạn đọc

(TTT2 số 200+201)

Đánh gì?

Đánh đàn trầm bổng âm Đánh cá quăng l−ới biển xanh tháng ngày

Đánh bóng đồ vật sỏng

Đánh mặt mày xng lên Đánh giặc bảo vệ chủ quyền

ỏnh bc tật xấu mà tiền dễ trôi Đánh tiếc ngẩn ngơ ngồi Đánh cờ chiếu t−ớng để ăn quân

Đánh đu phải tập nhún chân Đánh phấn mỏ thờm phn p

Đánh rơi bát vỡ nhà

ỏnh búng khụng c l ngi ăn Nhận xét Vua Tếu vui nhận đ−ợc nhiều câu trả lời thần dân từ khắp nơi n−ớc gửi Kì có bốn thần dân đ−ợc Vua Tếu ban th−ởng: Phạm Nguyễn H−ng Anh, 6A2, THCS Mộc Lỵ, Thị trấn Mộc Châu, Sơn La; Trần Hữu Nhân, 6A, THCS Bình Thịnh, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Duy Anh, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Mai Anh, 7A1, THCS Tr−ng V−ơng, Đại Thịnh, Mê Linh, Hà Nội

thiếu số no?

Điền số thiếu vào ô có dấu ?

Đỗ thị thúy ngọc Phòng Giáo dục Trung học, Sở GD&ĐT Ninh Bình (Su tầm giới thiệu)

hình có ba số nµo?

(TTT2 sè 200+201)

Quy luật Theo hàng ngang, từ trái sang phải, số thay đổi theo quy luật: Thêm 2, bớt 3, thêm Theo cột dọc, từ xuống d−ới, số thay đổi theo quy luật: Bớt 3, thêm 2, bớt Cũng mơ tả quy luật nh− sau: Theo hàng ngang, từ trái sang phải, hai số đầu đơn vị, hai số sau đơn vị Theo cột dọc, từ xuống d−ới, hai số đầu đơn vị, hai số sau đơn vị Do đú hỡnh cần điền vào chỗ trống hỡnh B

Nhận xét Quy luật t−ơng đối dễ, tất bạn chọn ph−ơng án nh−ng lập luận ch−a chặt chẽ Nhiều bạn nhận xét quy luật theo hàng ngang

Xin trao th−ởng cho bạn có nhận xét quy luật đầy đủ theo hàng ngang cột dọc: Ngô Minh Trang, 6B, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thanh Nhàn, 8A1, THCS Yên Phong, Yên Phong; Nguyễn Quỳnh Anh, 9C, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình; Hà Thùy D−ơng, 7C, THCS Hàn Thuyên, L−ơng Tài, Bắc Ninh; Lê Hoàng Thảo Anh, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Các bạn sau đợc tuyên dơng: Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS VÜnh Yªn, TP VÜnh Yªn, VÜnh Phóc; Ngun Trà My, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Nguyễn Ngọc Trờng Đan, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Ngun §øc Häc, 7D, THCS Lý NhËt Quang, Đô Lơng, Nghệ An; Nguyễn Thùy Dơng, 6A1, THCS Mộc Lỵ, Thị trấn Mộc Châu, Sơn La

Các bạn hÃy giải toán sau tiếng Anh gửi tòa soạn nhé! Năm bạn có giải tốt đợc nhận quà

Problem 10(203) Find the last digit in the finite decimal representation of the number ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2020

1

TS Đỗ ĐứC THàNH Trờng liên cấp Tiểu học THCS Ngôi Sao Hà Nội

Problem 8(200+201)

Let 213 +210+2n =y

⇔2 (210 3+ +1) 2n= y 2 ⇔(25×3)2+2n =y

⇔2n=y2−962= −(y 96)(y 96) +

Thus, each of y + 96 and y − 96 should be a power of Since they differ by 192, we have y + 96 = 256 = 28

y − 96 = 64 = 26

The only solution is n = + = 14

Nhận xét Chúc mừng bạn sau có lời giải tốt đ−ợc th−ởng kì này:

Ngun Huy Hoµng Sơn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc;

Nguyễn Thị Hoài An, 8B; Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Hoàng Anh Khôi, 7C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Néi

Các bạn sau có lời giải đ−ợc tuyên d−ơng: Nguyễn Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Ngọc Hữu, 9/1, THCS Lý Tự Trọng, Tiên Kỳ, Tiên Ph−ớc, Quảng Nam

Tồn

hay không tồn tại?

Đỗ quang minh

Trờng THCS Nguyễn Bá Ngọc, An Xuân, Tuy An, Phú Yên Bài toán Cho a > 0, b > tháa m·n a2+ b2=

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⎜ + ⎟+ + ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

P (1 a) a (1 b) b

b a

Một bạn học sinh có lời giải nh− sau:

= + + + + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟ ⎜+ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≥ + + + =

2 1 a b

P a b a b

a b b a

1 a b

1 a b

a b b a

1 2

Đẳng thức xảy chØ

⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎪

⎪ + = > > ⎩ 2

1 a a b b a b b a

a b 1; a 0; b

hệ vô nghiệm

Vậy biểu thức P không tồn giá trị nhỏ

Các bạn có đồng ý với cách suy luận nh− không? Nếu không sửa lại cho

(TTT2 số 200+201)

PHơng trình có nghiệm hay không?

Lời giải sai lầm chỗ:

§KX§: ⎧⎪⎨ − + ≤ ⇔⎨⎧ ≤ − ≥ −

+ ≥

⎪ ⎩

⎩

2 x 2017

(x 1) (x 2017)

x 2016

x 2016

Lời giải đúng: Ta cần sửa lại phép biến đổi ⎧⎡ ≤ − ⎧⎪ − + ≤ ⇔⎪⎢ = ⇔ = ⎨ ⎨⎣ + ≥ ⎪ ⎪ ⎩ ≥ − ⎩

2 x 2017

(x 1) (x 2017) x 1.

x x 2016

x 2016 Thay x = vào phơng trình thỏa mÃn Vậy phơng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x =

Nhận xét Bài toán đ−ợc nhiều học sinh tham gia giải, hầu hết có phát giải lại tốt, có số lời giải lại ch−a thật chặt chẽ Các bạn sau có lời giải tốt, đầy đủ, chặt chẽ đ−ợc th−ởng kì này: Nguyễn Trung Kiên, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Chi Mai, 8G, THCS Đặng Thai

Mai, TP Vinh, NghƯ An; Ngun Ph¹m Thanh Nga, 9A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä; Ngun Thu Trang, 9B, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Hải Yến Nhi, 8A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc

Các bạn sau phát sai lầm nhiên trình bày ch−a thật đẹp, đ−ợc khen: Nguyễn Ngọc Anh; Nguyễn Kim Trung Đức, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Đinh Xuân Linh, 8A; Nguyễn Lê H−ng, 9D; Phan Hữu C−ờng, 7B THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Phạm Ngọc Trinh, 9B, THCS Hồ Xuân H−ơng, Quỳnh L−u, Nghệ An; Vũ Đình Hồng; Tr−ơng Đức Tài; Nguyễn Mạnh Hùng, 9A3, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân; Lê Thị Diệu Thúy, 9A, THCS Bình Thịnh, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Minh Thái, 7D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định

đề thi IMC 2019 - lớp 8

võ quốc bá cẩn

Trờng Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội (Su tầm dịch)

Phn I Chn ỏp ỏn ỳng (mỗi câu hỏi đ−ợc điểm, tổng điểm 40)

1 Cho P điểm nằm bên hình chữ nhật ABCD Nối đoạn thẳng PA, PB, PC, PD tạo bốn tam giác PAB, PBC, PCD PDA Hỏi khẳng định khẳng định d−ới đúng?

+ = +

PAB PAD PBC PCD

1 S S S S

+ = +

PAB PCD PBC PAD

2 S S S S

3 If SPAB =SPCD, then SPAD =SPBC

4 If SPAB =SPBC, then SPAD =SPCD

A 1; B 2; C vµ 3; D vµ Cho + = + =

+ + + +

xy xz yz xy

2,

x y z x y z vµ

+ = + + xz yz

4 x y z Tính giá trị tổng 3+ +4

x y z

A 1; B 2; C 3; D Một huy hiệu hình lục giác đ−ợc tạo hai tam giác có cạnh đơn vị, giao điểm điểm chia cạnh tam giác thành ba phần nh− hình vẽ bên d−ới Hỏi diện tích huy hiệu hình lục giác đơn vị vuông?

A 3;

4 B

;

3 C

;

2 D 3

4 Một hộp chứa bốn bóng tennis giống kích cỡ cấu tạo Mỗi bóng đ−ợc đánh dấu số 1, 2, Hai bóng tennis đ−ợc lấy lần l−ợt cách ngẫu nhiên từ hộp, sau lần bóng đ−ợc lấy khơng đ−ợc đặt lại vào hộp Tính xác suất để tích số ghi hai bóng đ−ợc lấy số lẻ

A ;

16 B

;

12 C

;

8 D

Hai địa điểm cách 999 km Trên đ−ờng nối hai địa điểm, sau km ng−ời ta cắm biển báo, hai số tự nhiên đ−ợc viết biển báo cho biết khoảng cách từ chỗ biển báo đến điểm xuất phát đến điểm cuối đ−ờng Hỏi có biển báo mà để viết số ng−ời ta sử dụng hai chữ số khác (ví dụ nh− biển số 990; 9)? A 9; B 11; C 32; D 38 Trong hình vẽ bên d−ới, tam giác ABC vuông B, điểm D nằm cạnh AC Sau xoay tam giác ABD quanh đỉnh B góc 90o theo chiều kim đồng hồ, ta đ−ợc tam giác CBE Nếu AB = AD : DC = : độ dài DElà bao nhiêu?

A 2; B 5; C 5;

TÝnh diÖn tích phần không đợc tô đen hình vÏ bªn d−íi

A 30; B.37 3;

2 C 33; D 37 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc

(

)

+ + − 2+

2

x 12 x

A 17;+ B 37;+ C 13; D 10 5.+

Phần II Điền đáp số (mỗi câu hỏi đ−ợc điểm, tổng điểm 40)

9 Rót gän biĨu thøc: (n 2)(n 1)n(n 1) 1.+ + − + 10 Gi¶i phơng trình:

+ + = +

+ −

2x x

2x x

11 Quay đ−ờng thẳng qua hai điểm A(−1, 1), B(2, −3) quanh điểm Bmột góc 60o theo chiều kim đồng hồ Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng thu đ−ợc

12 Cho ph−ơng trình bậc hai x2 − 2ax − a + 2b = (ẩn x) a, b số thực Biết rằng, với giá trị a, ph−ơng trình ln có nghiệm thực Tìm tất giá trị b

13 Nếu ba cạnh a, b, c tam giác ABC thỏa mãn a2+ b2+ c2+ 338 = 10a + 24b + 26c, độ dài đ−ờng cao ứng với cạnh lớn tam giác bao nhiêu?

14 Đồ thị hàm số bậc y = kx + b có dạng nh hình vẽ bên dới Tìm tất giá trị x thỏa mÃn bất phơng trình k(x 3) + b >

15 Trong hình vẽ bên d−ới, ba hình vng giống đ−ợc xếp vào hình trịn có bán kính đơn vị, tính chiều dài cạnh hình vng

16 Cạnh hình vng ABCD có độ dài đơn vị, điểm E nằm cạnh BC cho BE = P điểm nằm đ−ờng chéo BD cho giá trị PE + PC nhỏ Tính độ dài PB

PhÇn III Tù luận (mỗi câu đợc 10 điểm, tổng điểm 20)

17 Cạnh hình vng ABCD a đơn vị, AE = b (trong b < 2a) độ dài cạnh huyền tam giác vuông cân FAE (đỉnh F), cạnh AD cạnh AE nằm Mark nhận b = a nh− hình với việc lấy G trung điểm cạnh AB, ta tạo đ−ợc hình vuông FGHC cách nối đoạn thẳng FG, CG cắt tam giác FAG GBC ghép lại nh− hình (mảnh tam giác FAG đ−ợc ghép thành tam giác FDH, mảnh tam giác GBC đ−ợc ghép thành tam giác HDC) Biết ta tạo đ−ợc hình vng hình hình cách giống với cách Mark vừa làm hình (bằng cách cắt ghép hình) Hỏi để hình đ−ợc cắt ghép hình vng tỉ lệ BG

AE ë hình bao nhiêu?

18 Biết giá trị lớn nhỏ biÓu thøc = +

+

2

x y

Mãn quµ TÕt

kèm thử

trí thông minh

Trần Phơng Nam

(Su tầm viết lại)

hõn dp chun bị đón năm mới, tơi đến chơi nhà thám tử Sê Lốc Cốc Vừa nhìn thấy tơi, thám tử c−ời: - Lại định kiếm vụ án để thử tài bạn nhỏ u Tốn Tuổi thơ phải khơng?

Tôi cời theo:

- Quả nh tha thám tử

Sê Lốc Cốc mời dùng cốc trà nh nhìn t«i nãi:

- Thám tử đâu phá án mà cịn phải dùng t− để giải tình sống Lần khơng có vụ án nhé! Nh−ng đừng vội thất vọng Hi vọng câu chuyện lần hấp dẫn khơng việc tìm thủ phạm vụ án

Nghe thám tử nói mà tơi ch−a kịp hiểu điều Sê Lốc Cốc kể:

- Cũng vào dịp năm tr−ớc đến chơi nhà bạn gái Ra mở cửa mời tơi vào phịng khách, ta vừa vừa nói: “May q! Anh đến thật lúc ” Cơ ta lấy hộp có khóa để bàn đ−a cho Ngắm hộp đẹp với khóa xinh xắn tơi ch−a hiểu ý bạn định nói câu chuyện Tơi hỏi: “Có chuyện hộp sao?” Cơ bạn nói mạch: “Đây quà bạn em gửi tặng đón năm Bạn bí mật q hộp Nh−ng hộp lại khóa mà bạn khơng gửi chìa Bạn điện thoại bảo em đừng có phá hộp đẹp phá khóa Em ch−a biết cách để mở đ−ợc hộp Đang loay hoay suy nghĩ anh đến Phải có óc nh− anh giúp em đ−ợc!” Tơi c−ời: “Tất nhiên anh

có thể mở khóa cách riêng anh mà khóa nh− hộp hồn tồn ngun vẹn ” Nghe nói đến cô bạn reo lên: “Chắc anh có bí để mở khóa?” Tơi nhẹ nhàng: “Anh khơng chạm tới khóa nh−ng giúp em mở đ−ợc Nhà em có khóa nhỏ nh− khóa khơng? Anh dùng khóa em khóa thêm vào hộp hộp bị khóa khóa!” Nghe tơi nói thế, bạn ngạc nhiên: “Em nhờ anh mở khóa mà anh lại cịn khóa thêm hộp khóa em sao?” Mặc dù băn khoăn nh−ng bạn chạy lấy khóa có chìa cịn cắm ổ khóa Tơi dùng khóa khóa thêm vào hộp nói với ta

Nghe t«i nãi xong, cô ta khoái chí reo lên: Đúng Sê Lốc Cốc tài ba!

Nào anh bạn có biết nói với cô không?

Tụi lp tức suy nghĩ để đốn câu nói Thám tử c−ời:

- Có thể anh nghĩ thơi Nh−ng đăng lên Tốn Tuổi thơ để xem bạn nhỏ có nghĩ đ−ợc khơng nhé! Ng−ời gửi q cho bạn gửi kèm cho “bài tốn” thú vị đấy! Câu chuyện kì thơi Tơi đốn câu nói thám tử Còn bạn? Hãy gửi câu nói Tốn Tuổi thơ để nhận đ−ợc quà đầu năm nhé!

(TTT2 sè 200+201)

thủ phạm vụ cớp ngân hàng

Nu chỳng ta để ý kĩ thấy khoảng thời gian vụ c−ớp ngân hàng xảy buổi chiều Thế mà John lại trả lời với cảnh sát tr−ởng thị trấn rằng: “Lúc xem hoa quỳnh nở Tôi cịn chụp ảnh bên bơng hoa để làm kỉ niệm Tơi có chứng ảnh

với thời gian chụp l−u ảnh Thời gian trùng với thời gian vụ c−ớp xảy ra” Chúng ta biết hoa quỳnh (tên xác “chi quỳnh”) lồi thuộc họ x−ơng rồng, có nguồn gốc từ Trung Mỹ Hoa quỳnh nở vào ban đêm (khoảng - tối) nên đ−ợc mệnh danh nữ hồng bóng đêm Do John xem hoa quỳnh nở vào buổi chiều đ−ợc Khơng John cịn “cao tay” đ−a chứng ảnh chụp hoa quỳnh Thực chất chụp ảnh hoa từ tr−ớc, chỉnh sửa thời gian chụp thành buổi chiều, sau chỉnh sửa độ sáng ảnh để giống nh− ảnh chụp ban ngày Rõ ràng John lên kế hoạch từ tr−ớc cho vụ c−ớp ngân hàng, nh−ng không qua mắt “nhà nghề” thám tử Sê Lốc Cốc Vậy thủ phạm khơng khác anh chàng John

Nhận xét Kì có nhiều “thám tử Tuổi Hồng” tham gia phá án, nhiên số l−ợng thám tử đầy đủ chứng thuyết phục ch−a nhiều Các bạn sau đ−ợc nhận quà thám tử Sê Lốc Cốc: Nguyễn Minh Trí, 6A4, THCS Ngơ Sĩ Liên, Q Hồn Kiếm, Hà Nội; Tô Nam Ph−ơng, 6A1, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh; Nguyễn Minh Thái, 7D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Hà Việt Anh, 6A5, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; V−ơng Thị Thùy Trang, 9D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An Các “thám tử nhí” sau đáng khen:

Nguyễn Ngân Giang, Nguyễn Tiến Đạt, Bùi Hồng Hà, 7A2, THCS Trng Vơng, Đại Thịnh, Mê Linh, Hà Nội; Lê Hơng Thảo, 6C, THCS Hàn Thuyên, Lơng Tài; Đinh Hoàng Thái Sơn, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình,

Bắc Ninh; Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Đoàn Cát Thảo Nguyên, 6B, THCS §Ỉng Thai Mai, TP Vinh,

NghƯ An

những yêu cầu cần đạt lớp 6

MạCH KIếN THứC HìNH HọC Và ĐO LƯờNG

1 Hình học trực quan

Các hình phẳng thùc tiƠn

+ Tam giác đều, hình vng, lục giác

- Nhận dạng đ−ợc tam giác đều, hình vng, lục giác

- Mơ tả đ−ợc số yếu tố (cạnh, góc, đ−ờng chéo) của: tam giác (ví dụ: ba cạnh nhau, ba góc nhau); hình vng (ví dụ: bốn cạnh nhau, góc góc vng, hai đ−ờng chéo nhau); lục giác (ví dụ: sáu cạnh nhau, sáu góc nhau, ba đ−ờng chéo nhau)

- Vẽ đ−ợc tam giác đều, hình vng dụng cụ học tập

- Tạo lập đ−ợc lục giác thông qua việc lắp ghép tam giỏc u

+ Hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân

- Mô tả đợc số yếu tố (cạnh, góc, đờng chéo) hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân

- Vẽ đợc hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành dụng cụ học tập

- Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với việc tính chu vi diện tích hình đặc biệt nói (ví dụ: tính chu vi diện tích số đối t−ợng có dạng đặc biệt nói trên, )

Tính đối xứng hình phẳng giới tự nhiên

+ Hình có trục đối xứng

- Nhận biết đ−ợc trục đối xứng hình phẳng

- Nhận biết đ−ợc hình phẳng tự nhiên có trục đối xứng (khi quan sát hình ảnh chiều)

+ Hình có tâm đối xứng

- Nhận biết đ−ợc tâm đối xứng hình phẳng

- Nhận biết đ−ợc hình phẳng giới tự nhiên có tâm đối xứng (khi quan sát hình ảnh chiều)

+ Vai trị đối xứng giới tự nhiên - Nhận biết đ−ợc tính đối xứng Tốn học, tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo,

- Nhận biết đ−ợc vẻ đẹp giới tự nhiên biểu qua tính đối xứng (ví dụ: nhận biết vẻ đẹp số loài thực vật, động vật tự nhiên có tâm đối xứng có trục i xng)

2 Hình học phẳng

Các hình hình học

+ Điểm, đờng thẳng, tia

- Nhận biết đ−ợc quan hệ điểm, đ−ờng thẳng: điểm thuộc đ−ờng thẳng, điểm không thuộc đ−ờng thẳng; tiên đề đ−ờng thẳng qua hai điểm phân biệt - Nhận biết đ−ợc khái niệm hai đ−ờng thẳng cắt nhau, song song

- NhËn biết đợc khái niệm ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng

- Nhận biết đợc khái niệm điểm nằm hai điểm

- Nhận biết đợc khái niệm tia + Đoạn thẳng Độ dài đoạn thẳng

+ Góc Các góc đặc biệt Số đo góc

- Nhận biết đ−ợc khái niệm góc, điểm góc (khơng đề cập đến góc lõm)

- Nhận biết đ−ợc góc đặc biệt (góc vng, góc nhọn, góc tù, góc bẹt)

- Nhận biết đợc khái niệm số đo góc

3 Thực hành phòng máy tính với phần mềm toán học (nếu nhà trờng có điều kiện thực hiện)

- Sử dụng phần mềm để hỗ trợ việc học kiến thức hình học

- Thực hành sử dụng phần mềm để vẽ hình thiết kế đồ hoạ liên quan đến khái niệm: tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân, hình đối xứng

M¹CH KIÕN THøC THốNG KÊ Và XáC SUấT

1 Một số yếu tố thống kê Thu thập tổ chức liệu

+ Thu thập, phân loại, biểu diễn liệu theo tiêu chí cho trớc

- Thực đợc việc thu thập, phân loại liệu theo tiêu chí cho trớc từ nguồn: bảng biểu, kiến thức môn học khác

- Nhn bit đ−ợc tính hợp lí liệu theo tiêu chí đơn giản

+ Mơ tả biểu diễn liệu bảng, biểu đồ

- Đọc mô tả thành thạo liệu dạng: bảng thống kê; biểu đồ tranh; biểu đồ dạng cột/cột kép (column chart)

- Lựa chọn biểu diễn đ−ợc liệu vào bảng, biểu đồ thích hợp dạng: bảng thống kê; biểu đồ tranh; biểu đồ dạng ct/ct kộp (column chart)

Phân tích xử lí d÷ liƯu

Hình thành giải vấn đề đơn giản xuất từ số liệu biểu đồ thống kê có

- Nhận đ−ợc vấn đề quy luật đơn giản dựa phân tích số liệu thu đ−ợc

ở dạng: bảng thống kê; biểu đồ tranh; biểu đồ dạng cột/cột kép (column chart)

- Giải đ−ợc vấn đề đơn giản liên quan đến số liệu thu đ−ợc dạng: bảng thống kê; biểu đồ tranh; biểu đồ dng ct/ct kộp (column chart)

- Nhận biết đợc mối liên hệ thống kê với kiến thức môn học Chơng trình lớp (ví dụ: Lịch sử Địa lí lớp 6, Khoa học tự nhiên lớp 6, ) thực tiễn (ví dụ: khí hậu, giá thị trờng, )

2 Mét sè yÕu tè x¸c suÊt

+ Làm quen với số mơ hình xác suất đơn giản Làm quen với việc mô tả xác suất (thực nghiệm) khả xảy nhiều lần kiện số mơ hình xác suất đơn giản

- Làm quen với mơ hình xác suất số trị chơi, thí nghiệm đơn giản (ví dụ: trị chơi tung đồng xu mơ hình xác suất gồm hai khả ứng với mặt xuất đồng xu, )

- Làm quen với việc mô tả xác suất (thực nghiệm) khả xảy nhiều lần kiện số mơ hình xác suất đơn giản

+ Mơ tả xác suất (thực nghiệm) khả xảy nhiều lần kiện số mơ hình xác suất đơn giản

Sử dụng đ−ợc phân số để mô tả xác suất (thực nghiệm) khả xảy nhiều lần thông qua kiểm đếm số lần lặp lại khả số mơ hình xác suất đơn giản

3 Thùc hµnh phòng máy tính với phần mềm toán học (nếu nhà tr−êng cã ®iỊu kiƯn thùc hiƯn)

Sử dụng đ−ợc phần mềm để vẽ biểu đồ tranh; biểu đồ dạng cột/cột kép

K× 47

Nhân dịp năm mới, biết CANH số phơng, bạn hÃy thay chữ khác chữ số khác cho

+ =

CANH TY 2020

L£ anh tuÊn (Quỳnh Đôi, Quỳnh Lu, Nghệ An)

Kì 45

(TTT2 sè 200+201)

Ph©n tÝch 99999 tÝch cđa hai số có ba chữ số 99999= 32ì41 271 369 271× = ×

=123 813 THO VAN × = ×

Vì chữ khác biểu diễn chữ số khác nên ta có hai đáp số

= =

THO 369; VAN 271 hc THO 271; =

= VAN 369

Nhận xét Các bạn sau giải đ−ợc th−ởng kì này: Lê Mai Anh, 7A1, THCS Tr−ng V−ơng, Mê Linh, Hà Nội; Nguyễn Đức Dũng, 6E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa;

Hoµng Minh Vị, 7D, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Võ Trần Ngọc Hữu, 9/1, THCS Lý Tự Trọng, Tiên Phớc, Quảng Nam; Trần Trung Phúc, 8A4, THCS Ngô Gia Tự, Hồng Bàng, Hải Phòng

Các bạn sau đợc khen: Quản Tiến Anh; Nguyễn Thị Trà Giang, 7A3; Hà Quang Tùng, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Nguyễn Mạnh Hùng, 9A3; Vũ Trà My, 7A1, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Đặng Quang Huy, 8G;

Nguyễn Lê Hng, 9D; Nguyễn Văn Khải, 8G;

Đinh Xuân Linh, 8A; Phan Quang Triết, 7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An;

Ngun Trung Kiªn, 9A1, THCS Yªn Phong, Yên Phong; Lê Công Nam, 9A, THCS Lê Văn

Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Nguyễn Minh Trí, 6A4, THCS Ngô Sĩ Liên, Q Hoàn Kiếm, Hà Nội

TTT

(TiÕp theo trang 27)

H

−

ớng dẫn giải đề thi

Bài Tr−ớc hết ta chứng minh cách chọn 2000 ô bảng cho tồn bảng ì chứa 2000

Thật vậy, số hàng lớn số ô nên tồn hai hàng liền H1, H2 mà H1 không chứa ô H2 có chứa chọn Vì số cột lớn số đ−ợc chọn nên tồn hai ô A, B cạnh H2 mà có chọn Gọi C, D ô nằm H1 cột với A, B Bảng gồm ô A, B, C, D có đ−ợc chọn

Giả sử ta thu đ−ợc bảng gồm 2000 ô màu đỏ sau hữu hạn lần đổi màu Khi theo chứng minh trên, tồn bảng ì chứa màu đỏ, màu xanh

Vì trạng thái ban đầu tất bảng ì gồm ô màu xanh nên lần đổi màu hàng cột số ô màu đỏ số ô màu xanh bảng vng ì ln ln số chẵn Do khơng thể thu đ−ợc bảng vng ì có màu đỏ màu xanh (vơ lí)

trung điểm trung trực

Bi toán Cho tam giác ABC cân A, D E thay đổi AB AC cho AD + AE = AB Vui nói trung điểm DE nằm đ−ờng thẳng cố định, Vẻ nói thêm trung trực DE qua điểm cố định, điểm cố định với ba điểm A, D, E nằm đ−ờng tròn

Bạn cho bit: Ai ỳng? Ai sai?

Phạm tuấn khải (Hà Nội)

(TTT2 số 200+201)

dựng đ

ờng cao nào?

Lời giải

Phân tích (Hình 1): Vì tam giác ABC tam giác tù nên trực tâm I nằm tam giác ABC Vẽ hình bình hành ABDC BD BI CD CI

Kẻ DK vuông góc với BC

Dễ thấy ΔAHB =ΔDKC nên BH = CK Từ ta có cách dựng nh− sau (Hình 2): Do góc B C tam giác ABC nhỏ 90o nên ta vẽ nửa mặt phẳng

bờ BC chứa điểm A tia Bx vµ Cy’ cho

o

CBx’=90 −C ; BCy=90o B 1

Đờng vuông góc với Bx B đờng

vuông góc với Cy C cắt D Hạ BK BC (K ∈ BC)

Trên tia BC lấy điểm H cho BH = CK Điểm H hình chiếu A BC

Ta giải toán theo phép đối xứng trục nh− sau

Từ B C dựng đ−ờng thẳng đối xứng với BA qua BC đ−ờng thẳng đối xứng với CA qua BC

Giao điểm chúng A’, A’ đối xứng với A qua BC nên AA’ vng góc với BC AA’ cắt BC H, H chân đ−ờng vng góc hạ từ A xuống BC

Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng, đ−ợc th−ởng: Võ Trần Ngọc Hải, 9/1, THCS Lý Tự Trọng, Tiên Kỳ, Tiên Ph−ớc, Quảng Nam;Trần Nam Hải, 8A3, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ

Bài 1(200+201) Tìm tất cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn số 5p + q pq + số nguyên tố

Lời giải Dễ thấy 5p + q pq + số nguyên tố lớn nên chúng số lẻ không chia hết cho Suy pq chẵn, nên số phải có s chn

ãTrờng hợp 1: Nếu p chẵn suy p = nªn 5p +q = 10 +q = + (q +1)

Do 5p +q kh«ng chia hết q +1 không chia hết cho

L¹i cã pq + = 2q + = 3(q + 3) – (q + 2) Do pq + không chia hết q +2 kh«ng chia hÕt cho

Trong sè tù nhiªn liªn tiÕp q, q +1, q +2 cã sè chia hÕt cho nªn q chia hÕt cho 3, suy q =

•Tr−êng hợp 2: Nếu q chẵn suy q = nªn 5p + q = 5p + = 3(2p + 1) – (p + 1)

Do 5p + q không chia hết p + không chia hết cho

Lại có pq + = 2p + = 3(p + 3) – (p + 2) Do pq + kh«ng chia hết p + không chia hết cho

Trong sè tù nhiªn liªn tiÕp p, p +1, p +2 cã sè chia hÕt cho nªn p chia hÕt cho 3, suy p =

VËy cã cỈp sè (p, q) = (2, 3); (3, 2)

Nhận xét Đây toán số học ch−ơng trình lớp hay khơng q xa lạ nên nhiều bạn tham gia giải Các bạn sau có lời giải đầy đủ: Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Thị Trà Giang, Nguyễn Ph−ơng Linh, 7A3; Kiều Minh V−ơng, 6A3, THCS

Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Phơng Linh, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân; Lê Văn Huân, 6B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Hàn Thái Dơng, 7C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội

phùng kim dung

Bài 2(200+201) Tìm sè tù nhiªn abc tháa

m·n abc (a b c) = + +

Lêi gi¶i Ta cã 99 abc 1000 nªn suy < <

= 3≤ = + + 3< 3=

125 abc (a b c) 10 1000

•Víi a + b + c = th× abc 5= =125

a 1;b 2;c (loại) = = = 125 (1 5) ≠ + +

ãVới a + b + c = abc 6= =216

⇒a 2;b 1;c 6= = = (loại) 216 (2 6) + +

•Víi a + b + c = th× abc 7= =343

⇒a 3;b 4;c (loại) = = = 343 (3 3) ≠ + +

•Víi a + b + c = th× abc 8= =512

⇒ a = 5; b = 1; c = (tháa m·n) v× 512

= (5 + + 2)3

•Víi a + b + c = th× abc 9= =

729

a 7;b 2;c (loại) = = = 729 (7 9) ≠ + + VËy sè tự nhiên cần tìm 512

Nguyễn Gia Bảo, 7C1; Phạm Đăng Việt Bách, 6C4; Nguyễn Quang Nhật, Nguyễn Trần Kiên, Vũ Nam Đức Trung, Nguyễn Quang Minh, Hoàng Anh Khôi, 7C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội; Lê Văn Huân, 6B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Hữu Tuấn Anh, 7C, THCS Ngun Cao, Q Vâ, B¾c Ninh; Ngun Kim Mạnh, Nguyễn Tất Quân, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Trần Phơng Linh, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Đỗ Thành Nam, 6A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc; Nguyễn Minh Thái, 7D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định

Lờ c thun

Bài 3(200+201) Cho số thực không âm

a, b, c, d tháa m·n 3a 2b 4c 6d 24.+ + + ≤

Chøng minh r»ng:

+ + + − − − − ≤

2 2

a b c d 7a 15b 5c 2d

Lời giải Vì a, b, c, d không ©m vµ 3a + 2b +

4c + 6d ≤ 24

Do 3a 24, 2b 24, 4c 24, 6d 24 ≤ ≤ ≤ ≤

Nªn a 8,b 12,c 6,d 4≤ ≤ ≤ ≤

⇒a(a 8) b(b 12) c(c 6) d(d 4) 0.− + − + − + − ≤

Ta cã a2+b2+c2+d2−7a 15b 5c 2d− − −

= − + − + − + −

− − + + + +

≤ =

a(a 8) b(b 12) c(c 6) d(d 4) 11b 1c 1(3a 2b 4c 6d)

3 3

1

.24

NhËn xÐt Các bạn sau có lời giải tốt: Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên; Nguyễn Duy Thành, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Lơng Minh Hiếu, 9C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Nguyễn Công Phúc, 8C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Nguyễn Gia Bảo, 7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An

CAO V¡N DịNG

Bµi 4(200+201) Cho hai tam giác ABC

BCD cú cnh BC chung, A D nằm khác phía đ−ờng thẳng BC, biết

= o

ABC 36 ;CBD 30 ; BAD 81 ; CAD 27 = o = o = o

TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ACD

Lời giải Từ giả thiết đề ta có

= + = + =

⇒ = − −

= − − =

o o o

o

o o o o

BAC BAD CAD 81 27 108 ACB 180 ABC BAC

180 36 108 36

Do tam giác ABC cân A

Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt BD E

Khi AE đ−ờng trung trực cạnh BC nên EBC ECB 30 = = o

⇒BEA CEA 60= = o⇒CED 60 Do = o

ED tia phân giác tam giác AEC Mặt khác BAE 90= oABC 90= o36o=54 ; o

= − = o − o = o

DAE BAD BAE 81 54 27

Nên AD phân giác góc EAC Từ CD tia phân giác tam giác AEC Suy ADC 180= o−CAD ACD−

= − − −

= − − − −

= − − = =

o

o o

o o

1

180 CAE ACE ECD

1

180 CAE ACE (180 ACE)

2

1 1

90 CAE ACE AEC 30

2 2

Do ACD 180= o−CAD ADC−

VËy CAD 27 ; ADC 30 ; ACD 123 = o = o = o

NhËn xÐt Sè bµi giải gửi tòa soạn không nhiều Các bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn Thị Trà Giang, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Khắc Hng, 7A; Nguyễn Cảnh Nam Khánh, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Phan Quang Triết, 7B; Trần Chí Đạt, 8E, THCS §Ỉng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An

hå quang vinh

Bài 5(200+201) Giải phơng trình

+ − +

= − + −

2

2

4x 4y 8x 12y 113

4( 2x x 3y y ) Lời giải Điều kiÖn

⎧ + − − + ≥ ⎪⎪ − ≥ ⎨ ⎪ − ≥ ⎪⎩ 2 2

4x 4y 8x 12y 113 2x x

3y y

Ta cã • + − − + = − + + − + + = − + − + ≥ = 2 2 2

4x 4y 8x 12y 113

(4x 8x 4) (4y 12y 9) 100 4(x 1) (2y 3) 100 100 10

• 4( 2x x− + 3y y )−

⎛ ⎞

= ⎜⎜ − − + − − ⎟⎟

⎝ ⎠

2

4 (x 1) (y )

4

⎛ ⎞

≤ ⎜⎜ + ⎟⎟=

⎝ ⎠

9

4 10

4

Do 4x2+4y2−8x 12y 113− + ≥4( 2x x− + 3y y ).−

Đẳng thức xảy

= ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ − = − =⎜⎝ − ⎟⎠ = ⇔⎨ = ⎪⎩

2 x

(x 1) (2y 3) y 3

2 y

2 Vậy ph−ơng trình cho có nghiệm

⎛ ⎞

=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (x; y) 1;

2

Nhận xét Ta có ph−ơng trình hai ẩn số, suy bất đẳng thức có dấu đẳng thức mấu chốt để giải tốn Các bạn sau có lời giải đúng, trình bày tốt: Nguyễn Thị Huyền My, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Tr−ơng Đức Tài; Vũ Đình Hồng, 9A3, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Trần Thế Cơng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Phạm Vũ Hồng, 9A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Đặng Vũ C−ờng, 9A5, THCS Cầu Giấy; Lê Duy Anh, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội; Ngơ Thị An Bình, 8E; Nguyễn Thị Chi Mai, Nguyễn Thanh Tuấn, 8G; Đậu Đình Huy Khánh; Nguyễn Quốc Bảo Long, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Phạm Ngọc Trinh, 9B, THCS Hồ Xuân H−ơng, Quỳnh L−u, Nghệ An

nguyễn minh đức

Bµi 6(200+201) Cho x, y, z số thực

dơng tháa m·n x + y + z = Chøng minh r»ng

⎛ ⎞

+ + ≤ ⎜ + + + ⎟

+ + + ⎝ ⎠

xy yz zx yz xz xy

1

x y y z z x x y z Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta

cã

⎛ ⎞

≤ = = ⋅ ≤ ⎜ + ⎟

+ ⎝ ⎠

xy xy 1 xy xy

xy z z

x y xy 2 z z

Chøng minh t−¬ng tù, ta cịng cã

⎛ ⎞

⎛ ⎞

≤ ⎜ + ⎟ ≤ ⎜ + ⎟

+ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠

yz yz zx zx

x , y

y z x z x y

Cộng theo vế đánh giá lại, ta đ−ợc

+ + + + + ⎛ ⎞ ≤ ⎜ + + + + + ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ + + + ⎟ ⎝ ⎠

xy yz zx

x y y z z x

1 yz zx xy

x y z

4 x y z

1 yz zx xy

1

4 x y z

= = =1

x y z

Nhận xét Ngoài cách giải trên, ta giải tốn cách chứng minh bất đẳng thức chặt hơn:

⎛ ⎞

+ + ≤ ≤ ⎜ + + + ⎟

+ + + ⎝ ⎠

xy yz zx 1 yz zx xy

1

x y y z z x x y z

Trong đó, bất đẳng thức vế trái đ−ợc chứng minh cách sử dụng đánh giá

+ + +

≤ ≤ ≤

+ + +

xy x y yz y z zx z x

, ,

x y y z z x

Còn bất đẳng thức vế phải đ−ợc chứng minh cách sử dụng đánh giá

+ ≥ + ≥ + ≥

xy yz yz zx zx xy

2y, 2z, 2x

z x x y y z

Các bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn Trung Kiên; Nguyễn Hữu Niêm; Lê Đăng Quang, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong; Đỗ Trung Hiếu, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Huỳnh Nguyên Phát, 8A1, THCS Mỹ Lộc, Phù Mỹ, Bình Định; Đặng Vũ Cờng, 9A5, THCS Cầu Giấy; Lê Duy Anh; Trần Hằng Linh; Nguyễn Trờng Minh; Đỗ Hoàng Nhật Nam; Nguyễn Minh Phơng; Nguyễn Quang Thái; Nguyễn Lơng Uy, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy; Phạm Duy Nguyên Lâm, 8A1, THCS Thanh Xuân, Q Thanh Xuân, Hà Nội; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Đinh Xuân Linh, 8A; Nguyễn Thanh Tuấn, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Phạm Ngọc Trinh, 9B, THCS Hồ Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An; Đỗ Ngọc Hải, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Nguyễn Tuấn Đạt, 9B, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nông, Bùi Kim Chúc; Nguyễn Mạnh Hùng, 9A3, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên; Nguyễn Hải Yến Nhi, 8A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc

võ quốc bá cẩn

Bài 7(200+201) Tìm cặp số nguyên

dơng (x, y) thỏa mÃn phơng trình (2019x + 2020)2= y3 + 1.

Lời giải Ta cã

+ = +

⇔ + = + − +

2

2

(2019x 2020) y

(2019x 2020) (y 1)(y y 1) Gäi ¦CLN (y + 1; y2− y + 1) = d

[

]

+ ⎧⎪ ⇒ ⎨ − + ⎪⎩ ⇒ − + = + − + + ⇒ 2 y d y y d

y y y(y 1) 2(y 1) d d

Mà (2019x + 2020)2 không chia hết cho 3, d = Suy y + y2 − y + hai số ngun tố có tích s chớnh phng

Đặt

2

2

2

y a

(a, b *, a 2) y y b

⎧ + =

⎪ ∈ >

⎨

− + =

⎪⎩ Suy

= − − − + < −

2 2 2

b (a 1) (a 1) (a 1) Mặt khác

+ = − >

2 2 2

(a 1) (a 1) (a 2) a nên b2=(a2−1)2−(a2− + >1) (a2−2) Do (a2−2)2<b2<(a2−1) (không tồn số nguyên d−ơng b thỏa mãn)

Vậy ph−ơng trình cho khơng có nghiệm nguyên d−ơng

THCS L©m Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Hải Yến Nhi, 8A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đỗ Văn Tài, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

NGUYễN QUANG TUấN

Bài 8(200+201) Cho tam giác ABC có

< o

BAC 90 VỊ phÝa ngoµi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông DAB EAC tháa m·n

ΔDAB ΔECA vµ ADB CEA 90 = = o Lấy

điểm M nằm cạnh BC cho

= 22

MB DB

MC DA TÝnh DME Lêi gi¶i

Gäi H, K theo thứ tự hình chiếu D, E AB, AC áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông kết hợp giả thiết, ta có

= = 22 =

HB HB.BA DB MB HA HA.AB DA MC

Theo định lí Thales đảo, ta suy MH // AC Chứng minh t−ơng tự MK // AB

Từ AHMK hình bình hành Suy KM = AH, HM = AK (1)

Do tam giác vuông DAB ECA đồng dạng, có đ−ờng cao t−ơng ứng DH, EK Suy hai tam giác vuông DHA AKE đồng dạng

KÕt hỵp víi (1), ta cã

= = =

HM AK DH DH (2) EK EK AH MK

Do AHMK hình bình hành nên ta có

o o

o

DHM 90 BHM 90 BAC 90 MKC MKE (3)

= + = +

= + =

Tõ (2) vµ (3), suy ΔHDM ΔKME, dÉn tíi

=

HDM KME

L¹i cã DH MK , ta suy ⊥ MD ME hay ⊥

o DME 90 =

Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Huỳnh Nguyên Phát, 8A1, THCS Mỹ Lộc, Phú Mỹ, Bình Định; Nguyễn Quang Đức; Lê Đức Chính; Nguyễn Tr−ờng Minh, 9B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Lê Duy Anh; Nguyễn Bích Đạt, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy; Phạm Duy Nguyên Lâm, 8A1, THCS Thanh Xuân, Q Thanh Xuân, Hà Nội; Nguyễn Đức An, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình; Đỗ Văn Tài; Lê Đăng Quang, 9A1, THCS Yên Phong, Yờn Phong, Bc Ninh

trần quang hùng

Đ

ợc th

ởng kì

Trn u thứ trăm sáu m

−

ơi tám

Ng−ời thách đấu: Đoàn Cát Nhơn, Tr−ờng THCS Ph−ờng Bình Định, TX An Nhơn, Bình Định

Bài tốn thách đấu: Giải ph−ơng trình

− + = 3− + +

2

7x 13x 2x 3x 3x x

Thời hạn: Trớc ngày 08.02.2020 theo dấu bu điện

Trận đấu thứ trăm sáu m

−

ơi sáu

(TTT2 s 200+201)

Đề Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC Kẻ đờng cao AH tam giác ABC Gọi I J theo thứ tự tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHB AHC Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIJ cắt cạnh AB, AC thứ tự D, E Đờng thẳng DE cắt đờng thẳng BC K Gọi O trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK qua trung điểm cña IJ

Lời giải Bổ đề Cho tam giác ABC, (O) đ−ờng tròn ngoại tiếp, I, IA theo thứ tự tâm đ−ờng tròn nội tiếp tâm đ−ờng trịn bàng tiếp đối diện đỉnh A Khi đ−ờng tròn (O) qua trung điểm IIA

Phép chứng minh bổ đề đơn giản, bạn đọc tự chứng minh

Trở lại giải toán thách đấu

= = o

Ta cã DAE BAC 90

Suy DE đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIJ

Do O tâm đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác AIJ

Từ đó, ý I, J theo thứ tự tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, suy

= = = =

KOI DOI 2DAI 2IAH IOH;

= = +

= + = = °

IOJ 2IAJ 2IAH 2HAJ BAH HAC BAC 90

= = =

Mặt khác KHI BHI AHI OHI

Suy I, J theo thứ tự tâm đ−ờng tròn nội tiếp tâm đ−ờng tròn bàng tiếp đối diện đỉnh K tam giác KOH

Vậy theo bổ đề trên, đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác KOH qua trung điểm IJ

Nhận xét Bài toán khơng khó nh−ng có võ sĩ Đỗ Văn Tài, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh nhận lời thách đấu đăng quang trận đấu

ph

ơng trình nghiệm nguyên

lê anh tn (Qnh L−u, NghƯ An)

(TiÕp theo k× trớc) Tìm tập giá trị ẩn

Cho ph−ơng trình F(x; y) = tập giá trị x giá trị x để tồn y thỏa mãn F(x; y) = T−ơng tự tập giá trị y giá trị y để tồn x thỏa mãn F(x; y) =

Bài toán 14 Tìm số nguyªn x, y tháa

m·n x2+y2 −xy =

Lời giải Ph−ơng trình cho t−ơng đ−ơng với x2−yx (y+ 2−3) (1) =

Coi ph−¬ng trình (1) phơng trình bậc hai ẩn x có nghiÖm

Δ ≥0 ⇔ −3y2+12 0≥ ⇔ − y

Vì y số nguyªn nªn y∈ ±

{

2; 1; ±

}

Từ ta tìm đ−ợc nghiệm ngun ph−ơng trình (x, y) ∈ {(1 ; 2); (−1; −2); (−1 ; 1); (2 ; 1); (1 ; −1); (2 ; 1)}

Bài toán 15 Tìm sè nguyªn x, y tháa

m·n 2y 1+ = 2x x (1) − −

Lêi giải Vì 2y 1+ = 4 (x 1) nên +

≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤1

0 2y y

2

Mà y số nguyên nên y =

Thay y = vµo (1) ta cã 1= (x 1)− +

⇔ (x 1)+ 2= ⇔ = − ±3 x (lo¹i)

Vậy ph−ơng trình cho khơng có nghiệm ngun

Bài toán 16 Tìm số nguyên x, y thỏa

m·n (x 1)(x y) 2y(x y) (1) + + =

Lời giải Phơng trình (1) tơng đơng víi

− − + + =

2

x (y 1)x 2y y (2)

Ph−¬ng trình (2) phơng trình bậc hai ẩn x có nghiÖm

Δ =(y 1)− 2−4(2y2+y) ≥

⇔ −7y2−6y 0+ ≥ ⇔ − ≤ ≤1 y 1.

7

Từ suy y ∈ {−1; 0}

NÕu y =−1 th× x2+ 2x + = ⇔ x = − NÕu y = th× x2+ x =

⇔ x = hc x =−

Ph−ơng trình có nghiệm ngun (x; y) ∈ {(−1; −1); (0; 0); (−1; 0)} Sử dụng bất đẳng thức

Trong số toán giải ph−ơng trình nghiệm nguyên ta chứng minh đ−ợc vế lớn vế ph−ơng trình, nghiệm nguyên ph−ơng trình giá trị nguyên biến để hai vế nhau; có số lại sử dụng bất đẳng thức để tìm miền giá trị biến sau thử chọn

Bµi toán 17 Tìm nghiệm nguyên dơng

phơng trình (x2+y )(x2 2+ =1) 4x y

Lời giải áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số d−ơng ta có

+ + ≥ =

2 2

(x y )(x 1) xy.2 x 4x y

Đẳng thức xảy vµ chØ

=

⎧

⇔ = =

⎨ = ⎩

x y

x y x

Bài toán 18 Tìm nghiệm nguyên dơng

của phơng trình x + =y

y x z (1)

Lời giải áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta

cã = + ≥x y 2⇒z 2.≤

z y x

Suy z = hc z =

NÕu z = 1, thay vµo (1) ta cã x+ =y (2)

y x

Đặt t= x

y (2) trở thành

+ =1 ⇒ 2− + = ⇒ = ±

t t 4t t

t (loại)

Nếu z = 2, thay vào (1) ta cã

+ = ⇒ = =

x y

2 x y

y x

Vậy phơng trình có nghiệm nguyên dơng

duy lµ (x, y, z) = (1, 1, 2)

Bµi toán 19 Chứng minh phơng trình

sau nghiệm nguyên dơng

+ =

17 17 17

x y 19 (1)

Lêi gi¶i Giả sử tồn số nguyên dơng

x, y tháa m·n (1), dÔ suy x y 19 ≤ ≤ <

Ta cã x17 +y17 =19 17

≥(y 1)+ 17 > y17+17y16 >y17 +17x 16 Suy x > 17

Do x = y = 18

Thư l¹i, x = y = 18 kh«ng tháa m·n

Vậy ph−ơng trình cho khụng cú nghim nguyờn dng

Bài toán 20 Tìm nghiệm nguyên

phơng trình (x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2+ 49)

Lời giải áp dụng bất đẳng thức

Bunyakovsky ta cã 17(x4+y4+14y2+49)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎣ + + ⎦ ⎣ + ⎦

⎡ ⎤

≥ ⎣ + + ⎦ = + +

4 2 2

2

2 2 2

x (y 7)

x 4.(y 7) (x 4y 28)

Đẳng thøc x¶y

+

= ⇔ = +

2

2

x y

4x y

1

Từ ta tìm đ−ợc ph−ơng trình có nghiệm

nguyªn (x; y) = (2; 3)

6 Nguyªn lÝ kĐp

Với số nguyên dơng n, k thì: Nếu n k n th× < < + k n 1.= +

NÕu n(n + 1) < k(k + 1) < (n + 2)(n + 3) th× k = n +

NÕu n2 <k2< +(n 2) th× 2 k n = +

NÕu n3 <k3 < +(n 2) th× k n = +

Bài toán 21 Tìm nghiệm nguyên

phơng tr×nh (x 1)+ 4−(x 1)− =y Lêi gi¶i Ta cã (x 1)+ 4− −(x 1)4 =y

⇔4x(2x2+2) y= 3⇔8x3+8x =y

NÕu x ≥

< + < + = + + +

3 3

8x 8x 8x (2x 1) 8x 12x 6x

− + >

2

(Do 12x 2x 0)

Hay (2x)3 <y3<(2x 1) (không tồn số +

nguyªn y tháa m·n)

NÕu x≤ −1, chứng minh tơng tự suy y

không tồn t¹i

NÕu x = ⇒ y =

Vậy phơng trình có nghiệm nguyên (x; y) = (0; 0)

Bài toán 22 Tìm nghiệm nguyên

phơng trình x4y4=3y2+1

Lời giải Ta cã

− = + ⇔ = + +

4 4

x y 3y x y 3y

Mµ (y2+1)2≤ y4+3y2+ <1 (y2+2)

⇒y4+3y2+1 (y= 2+1)2⇔y =

Từ x4= ⇔ = ±1 x 1

VËy phơng trình có nghiệm nguyên (x; y) {(1; 0); (1; 0)}

Bài tốn 23 Tìm số ngun x để P = x4 +

2x3+ 2x2+ x + số phơng

Ta cã y2=x4+2x3+2x2+ +x

=(x2+x)2+(x2+ +x 3) (x> 2+x)

L¹i cã y2 =x4+2x3+2x2+ +x

= + + + + − − −

< + +

2 2

2

(x x) 4(x x) 3x 3x

(x x 2)

Do (x2+x)2< y2<(x2+ +x 2) Suy y2 =(x2+ +x 1)

Từ ta có

+ + = + + + +

2

(x x 1) x 2x 2x x

= −

⎡

⇔ + − = ⇔⎢

=

⎣

2 x

x x

x

Thay x = −2; x = vào biểu thức P cho

P = lµ mét sè chÝnh ph−¬ng

Vậy x =−2 x = tha bi toỏn

7 Phơng pháp cực h¹n

Khi giả sử ph−ơng trình có nghiệm ngun mà dẫn đến giá trị ẩn chia hết cho lũy thừa số khác giá trị

Bài toán 24 Tìm nghiệm nguyên

phơng trình x2+y2 =3z (1)

Lời giải Nếu x không chia hết cho

≡

2

x (mod 3) ⇒ y2≡ (mod 3): v« lÝ

Do x chia hết x = 3x1 (x1∈ )

Thay vµo (1) ta cã

+ =

2 2

1

9x y 3z (2)

Suy y chia hÕt cho nªn y = 3y1 víi

(y1 ∈ ) Thay vµo (2) ta cã

+ = ⇔ + =

2 2 2

1 1

9x 9y 3z 3x 3y z (3)

Do z chia hết z = 3z1 (z1 ∈ )

Thay vµo (3) ta cã

= ⇔ + =

+

2 2 2

1 1 1

3x 3y 9z x y 3z

nên (x1; y1; z1) nghiệm Tiếp tục trình ta thấy (xo; yo; zo) nghiệm th×

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

o o

k k k

o

z

x y

; ;

2 2 nghiệm phơng

trình với sè tù nhiªn k

Do ph−ơng trình có nghiệm nguyên (x, y, z) = (0; 0; 0)

Bài toán 25 Tìm nghiệm nguyên

phơng trình 8x4+4y4+2z2 =t

Lời giải Giả sử (xo, yo, zo, to) nghiệm phơng trình 8x4o+4yo4+2z4o= t 4o

t 2o to =2t (t1 1 )

Ta đợc 4x4o+2y4o+z4o =8t 14

⇒z 2o ⇒zo =2z1 (z1 ∈ )

Ta đợc 4+ 4+ 4=

o o 1

2x y 8z 4t

⇒y 2o yo=2y (y1 )

Ta đợc x4o+8y14+4z14=2t 14 x 2o xo =2x1 (x1 ) Ta đợc 8x14+4y14+2z14 =t 14

Suy (x1, y1, z1, t1) cịng lµ nghiệm nguyên phơng trình

Tơng tự ⎞⎟

⎝ ⎠

o o o o

k k k k

x y z t

, , ,

2 2 cịng lµ nghiƯm

ngun ph−ơng trình với số tự nhiên k Do ph−ơng trình có nghiệm nguyên (x, y, z, t) = (0; 0; 0; 0)

Chắc chắn nhiều ph−ơng pháp để giải ph−ơng trình nghiệm ngun cịn nhiều tập hấp dẫn khác Mong bạn tiếp tục trao đổi vấn đề Mời bạn giải số sau:

Bài Giải phơng trình nghiệm nguyªn a) 2y2x + x + y + = x2+ 2y2+ xy

b) y3−x3 =2x +

c) x3+2y3 =4z

Bài Tìm số ngun d−ơng đơi

kh¸c x, y, z tháa m·n x3 + y3 + z3

= (x + y + z)2

Bài Tìm số nguyên m để ph−ơng trình

x2− mx + m2 = có nghiệm nguyên Tìm

thư søc tr

−

íc k× thi vào 10 THPT chuyên

Năm học 2020 - 2021

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút Nguyễn Đức Tấn

Bài 1.(2 điểm)

1 Cho a, b, c tháa m·n + + =

+ + + + +

1 1

a b b c c a a b c Tínhgiátrị biểu thức

+ + + −

= + +

+ + +

2 2 2 2 2

3a 2b 2c 3b 2c 2a 3c 2a 2b

M

b c c a a b

2 Tìm số nguyên tố p cho p2 + 59 có −ớc d−ơng

Bài 2.(2 điểm)

1 Giải phơng trình + ⎞⎟ + =

⎝ ⎠

3

1 (1 x ) 16

x

2 Tìm tham số m để ph−ơng trình ẩn x sau (x2 + 4x −12)(x2 + 12x + 20) = m cú nghim

phân biệt

Bài 3.(2 điểm)

1 Cho a, b, c số thùc d−¬ng tháa m·n a + b + c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức

= + +

+ + +

2 2

bc ca ab

M

a b c

2 Cho a, b, c số thực dơng thỏa mÃn abc = Chøng minh r»ng

⎛ ⎞

+ + ≥ ⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

+ + +

3 3

1 1 1 1

10 a b c

a (7b 3c) b (7c 3a) c (7a 3b)

Bài 4.(2 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H Gọi P, Q giao điểm EF với đờng tròn (O) (F nằm E P), M giao điểm BQ DF, N giao điểm CP DE Chứng minh tam giác APQ cân bốn điểm M, N, P, Q thuộc đờng tròn

Bài 5.(2 điểm)

1 Cho n số tự nhiên Tìm d phép chia 5n + cho 31

HƯớNG DẫN GIảI đề thi

chän häc sinh giái líp quận cầu giấy, TP hà nội

Năm học 2019 - 2020

Môn thi: Toán

(Đề đăng TTT2 sè 202)

Bµi 1 a) ĐKXĐ x 0; x 1; x≥ ≠ ≠ Ta cã ⎛ − + + ⎞ =⎜⎜ − ⎟⎟ − + + + − ⎝ ⎠ + − + − + −

x(2 x 1)( x 1) x( x 1)

P

( x 1)(x x 1) ( x 1)( x 1)

( x 1)( x 1) x

(2 x 1)( x 1) x

⎛ − + ⎞ −

=⎜⎜ − ⎟⎟ +

− + + − − −

⎝ ⎠

x(2 x 1)( x 1) x x x

( x 1)(x x 1) x x x

+ +

= − + =

+ + − − + +

x( x 1) x x x x

x x x x x x

b) P x VËy P≥ ∀ ≥ min= x = a) Tõ x2+ y2+ z2

= (x − y)2+ (y − z)2+(z − x)2

Ta có x2+ y2+ z2=2xy + 2yz + 2zx hay (x + y + z)2= 4(xy + yz + zx) = 4.9 = 36 Từ suy x + y + z = (vì x, y, z d−ơng) b) x2+y2+z2=(x y)− 2+ −(y z)2+ −(z x) 2

⇔(z x y)− − 2=4xy.

Khơng tính tổng quát, giả sử z x y.≥ ≥ Khi ta có (z x y)− − 2=4xy 4y ≥

− − ≥ ⎡

⇔⎢

− − ≤ − ⎣

z x y 2y (1)

z x y 2y (2)

Tõ (1) suy z x y 0− − > ⇔ > +z x y Tõ (2) suy z x y − + ≤

⇔ ≤ − <z x y x(vô lí) Vậy z x y > + Bài Điều kiện: x

4

Đặt a= 3x 4;b+ = 3x 7;c+ = 4x 3− Ph−¬ng trình trở thành

= + = + − − = ⇔⎢ = ⎣ a c

ab 5c 5a bc (a c)(b 5)

b

= ⇔ + = − ⇔ =

a c 3x 4x x (TM)

= ⇔ + = ⇔ =

b 3x x (TM)

VËy tËp nghiÖm phơng trình S = {6; 7}

2 Phơng trình tơng đơng với

(x + 3y + 1)(x + y + 3) = 15

V× x 0; y nªn ta cã tr≥ ≥ −êng hỵp TH1 ⎧⎨ ++ + =+ = ⇔⎧⎨ = −=

⎩ ⎩

x 3y x

x y 3 y (lo¹i)

TH2 ⎧⎨ ++ + =+ = ⇔⎧⎨ ==

⎩ ⎩

x 3y x

x y y (TM)

TH3 ⎧⎨ ++ + =+ = ⇔⎧⎨ = −=

⎩ ⎩

x 3y 15 x 10

x y y (lo¹i)

TH4 ⎧⎨ + + = ⇔⎧⎨ =

+ + = = −

⎩ ⎩

x 3y 1 x 18

x y 15 y (lo¹i)

VËy (x; y) (2; 0) =

Bài Từ giả thiết a2 + b2 + c2 = suy

≤ ≤

0 a; b; c 1, b2011≤b; c1954≤c Suy T a b c ab bc ac ≤ + + − − − Lại có (1 a)(1 b)(1 c) − − − ≥

⇔ − − − − + + + ≥

⇔ + + − − − ≤ − ≤

1 abc a b c ab bc ac a b c ab bc ac abc Do T Đẳng thức xảy ≤ ⎧⎨ =

= = ⎩

a

b c

VËy Tmin= = ⎧

⎨ = =

⎩ a b c

2 Vì 4x3 +14x2+9x số ph ơng,

nên ta có 4x3+14x2+9x =(x 2)(4x+ 2+6x 3) k víi − = k∈

§Ỉt (x 2, 4x+ 2+6x 3) d (d− = ∈ *)

Ta cã ⎧⎪⎨ + ⇒⎧⎪⎨ + −

+ − + −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

x d (x 2)(4x 2) d

4x 6x d 4x 6x d

⎧ + − ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⇒ = + − ⎪⎩ 2

4x 6x d

1 d d

VËy (x 2, 4x+ 2+6x 3) − =

Mµ (x 2)(4x+ 2+6x 3) k nªn ta cã x − = + vµ 4x2+ 6x − số phơng

2

2

x a

(a,b *)

4x 6x b

⎧ + =

⎪

⇒⎨ ∈

+ − =

⎪⎩

V× x > nªn ta cã

< < + +

⇔ < < +

2 2

2 2

4x b 4x 12x

(2x) b (2x 3)

Vì b lẻ nên b2 =(2x 1) + ⇔4x2+6x 4x− = 2+4x + ⇔ =x

Víi x = ta cã 4x3+ 14x2+ 9x − = 100 = 102 số phơng Vậy x =

Bµi

a) Ta cã AM= ⇔1 AM =

AB MB 4,

mµ AM+ AN=1

MB NC

= ⇔ = ⇔ =

AN AN 3

AN a

NC AC 7

VÏ MH ⊥ AN XÐt tam gi¸c AMH cã

= = o = AM =a

MH AM.sin A AM.sin 60

2 10

VËy SAMN = 1MH.AN

2

= a 3 a=3 3a2

2 10 140 (®vdt)

b) V×

⎧ <

⎪ ⎧ <

⎪ + = ⇒⎨ ⇒⎨ < ⎩ ⎪ < ⎪⎩ AM

1 AM MB

AM AN 1 MB

AN AN NC

MB NC 1

NC

⎧ < ⎪ < −

⎧ ⎪

⇔⎨ < − ⇔⎨ ⇔ + <

⎩ ⎪ <

⎪⎩ a x

x a x 2

x y a

y a y a

y XÐt tam gi¸c AMH cã

= = o= AM

AH AM.cos A AM cos 60

2

áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác MHN vng H ta có

= + = − + −

= + − = + −

= + − = + −

2 2 2

2 2

2 2

MN MH HN AM AH (AN AH)

AM AN 2AN.AH AM AN AM.AN

x y xy (x y) 3xy

Theo đề ta có

+ = ⇔ + =

⇔ + =

− −

⇔ 2− + = −

AM AN AB AC

1

MB NC MB NC

a a

3

a x a y

a 2a(x y) 3xy (*)

Do

= + − + + = − −

2 2

MN (x y) 2a(x y) a (a x y)

Suy MN a x y v× = − − x y a + < c) Gäi E lµ trung ®iĨm AC Ta cã

= = a

DK DE

6 ; = − = −

a a

MK x;NE y

2

Do MK + NE = MN

Tõ (*) ta cã ax ay 3xy a(a x y) + − = − −

= − − −

DMN AKD MKD NDE AMN

S 2S S S S

=DK.AK−KD.MK −DE.EN MH.AN−

2 2

=DK.AK−KD.MN (AM.sin A).AN−

2

=a2 − a 3(a x y)− − − 3xy

12 12

= 3(a2−a(a x y) 3xy)− − − 12

(

)

= ax ay 3xy+ − =a 3(a x y)− − =DK.MN

12 12

Mặt khác SDMN =DI.MN2 Vậy DI = DK

Kì n

y

Tìm bệnh

LÊ THị Hoa

Trờng Tiểu học Thạch Ngọc, Thạch Hà, Hà Tĩnh

Sc khe l quý ng−ời Hãy giải ô chữ sau tỡm

9 bệnh thờng gặp Bạn hÃy dịch tên bệnh

đó tiếng Việt nhé!

KÕt qu¶

What Am I?

(TTT2 sè 200+201)

Các từ bắt đầu bng ch cỏi H c nh

nghĩa lần lợt là:

1 HEART Trái tim (cơ quan bơm m¸u)

2 HERO – Anh hùng (một ng−ời vĩ i,

đợc ngời ngỡng mộ)

3 HIGH – Cao (tr¸i nghÜa cđa thÊp)

4 HISTORY – Môn Lịch sử (môn học

nghiên cứu sù kiƯn qu¸ khø)

5 HOLLAND – N−ớc Hà Lan (một đất n−ớc

đ−ợc biết đến nhờ hoa tulips)

6 HAMBURGER – B¸nh hamburger (mãn

ăn đợc chế biến từ thịt bò băm)

7 HAY FEVER Bệnh dị ứng cỏ (một loại

dị ứng cỏ lá)

8 HAIL M−a đá (những bóng băng từ

bÇu trêi r¬i xng)

9 HAIKU – Haiku (mét thĨ th¬ có 17 âm

tiết Nhật Bản)

10 HALF Một nửa (không phải toàn bộ)

Nhn xét Năm bạn có đáp án

đúng, trình bày p s c

nhận quà tặng từ Chủ Vờn:

Nguyễn Quỳnh Anh, 9C, THCS

Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Nguyễn

Kim Mạnh, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô

Lơng; Lê Hoàng Thảo Anh, 8E, THCS

Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An;

Nguyễn Mạnh Hùng, 9A3, THCS Giấy

Phong Châu, Phï Ninh, Phó Thä; Ngun

Hoµng Minh Ngäc, 7A2, THCS Trng

Vơng, Đại Thịnh, Mê Linh, Hà Nội

Xin chúc mừng bạn

đề thi

câu lạc ttt

vâ xu©n minh

K× 31

CLB1.Find x, y and z such that x − y − z = 20, y − z − x = 11, z − x − y = 2019

CLB2.Given three distinct numbers a, b and c Find the value of the expression

+ + + + = + − − − − + + + + + + + + + − − − − −

(2a b)(2b c) (2b c)(2 c a)

M

(a b)(b c) (b c)(c a)

(2 c a)(2 a b) 2a b 2b c 2c a

(c a)(a b) b a c b a c

CLB3 Find all of the couplets (m, n) such

that +

+

2

5m 5n

3m 2n is an integer

CLB4.Solve the following equation 4x3+ 6x2+ 3x + 63 =

CLB5 Given triangle ABC with ∠ =A 15 o

∠ =B 45 Point D is on the opposite side of o

ray CB such that CD = 2BC Find the

measure of angle BAD

đỗ đức thành (dịch)

K× 29

(TTT2 sè 200+201)

CLB1 y (x2 2− =1) 2x(x y)− ⇔x (y2 2− =1) (x y) −

NÕu x − y = x = y = x = y =±1 NÕu x − y ≠ th× y2 − = z2 (z ∈ )

⇔(y z)(y z) + − =

⇔ = ±y 1, z 0= x=y (loại)

Vậy nghiệm (x; y) nguyên (0; 0), (1; 1), (1; 1)

CLB2.Khai triển thu gọn A ta đợc A = 10x2+ 20x + 20 = (x2+ 8x + 16) + (9x2+ 12x + 4) = (x + 4)2+ (3x + 2)2 (®pcm)

CLB3 x(x y) y(y z) z(z x)− + − + −

=x2+y2+z2−xy yz zx − −

⎡ ⎤

= 1⎣(x y)− + −(y z)2+(z x)− 2⎦

2

⎡ ⎤

≥ ⎢ − + − + − ⎥= −

⎣ ⎦

2 2

1

(x y) (y z z x) (x y)

2

CLB4 2xy (x y)= + 2−(x2+y ) (x y)2 = + 2−1 + = ⇔ + + − =

3 2

x y (x y)(x y xy)

⎡ + − ⎤ ⇔ + ⎢ − ⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⇔ + − + + = ⇔ + − + + = + = ⎡ ⇔⎢ + = − ⎣

(x y)

(x y) 1

2

(x y) 3(x y)

(x y 1) (x y 2) x y

x y

NÕu x y th× + = xy 0= ⇒x 0, y = =

hc x 1, y = =

NÕu x y+ = −2 th× xy= 3⇒x, y∈∅

2 VËy (x; y) lµ (0; 1), (1; 0) CLB5

Kẻ AH BC DI // AH Vì DA = DB nªn

= AH

DI

2 Ta cã DE // IK, DI // EK vµ

= °

DIK 90 nên tứ giác IDEK hình chữ nhật Từ

⊥ ⇔ = ⇔ AH BC= ⇔ =

DK EI DI DE AH BC

2

VËy A n»m đờng thẳng song song với BC cách BC khoảng BC

Nhận xét Các bạn có lời giải tốt

đợc thởng kì là: Trần Minh

Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi,

Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Thanh Tuấn;

Đặng Quang Huy, 8G; Ngô Thị An Bình, 8E,

THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghÖ An

Hỏi: Nhân dịp bớc sang năm 2020, anh tặng chúng em câu thơ đợc không ạ?

Trần T A

(Lớp 6A3, THCS Thanh Xuân, Q Thanh Xuân, Hà Nội)

Đáp:

Bay lờn nhé! Những −ớc mơ T−ơng lai đất n−ớc chờ, em i!

Bớc sang năm tuyệt vời

Con ngoan, trò giỏi bao ngời yêu thơng

Hi: Chúng em học cấp THCS khơng đ−ợc học ch−ơng trình sách giáo khoa có phải khơng anh?

Hå V T

(Líp 7A, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng, Nghệ An)

Đáp:

Lộ trình rõ đ−ờng Sau hai lớp tr−ờng, học lên

Líp 10 danh s¸ch gọi tên Sách giáo khoa bên em mà

Hỏi: Anh ơi! Số nguyên tố số chia hết cho số Vậy số có phải số nguyên tố không?

Ngun T T

(Líp 6A1, THCS KÕ An, KÕ Sách, Sóc Trăng)

Đáp:

trỏnh nhng chuyn phiền hà Số bị loại tức

Điều em cố nhớ ghi Số nguyên tố bé

Hỏi: Anh thử kể tên họ có Việt Nam giúp em với

Lê K T

(Lớp 8B, THCS Điện Biên, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa)

Đáp:

Lê, Trần, Hồ, Nguyễn, Vơng, Mai Phan, Hoàng, Chu, Phạm chẳng sai họ

Thái, Hà, Lò, Bạch, Ngô, Đào Đặng, Tôn, Vũ, Võ, Đỗ, bao họ rồi?

Hỏi: Lớp em có bạn chẳng thân với Anh thÊy thÕ nµo?

Ngun H N

(Líp 6A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp:

Giày, dép phải có đơi Tuổi hồng lại n cụi mt mỡnh

Với chia sẻ thân tình

Cùng sát cánh hành trình vui

C¸c líp & 7

Bài 1(203) Có số tự nhiên bội 3, viết chữ số 0, 1, số có khơng q chữ số?

Vũ Đình hòa (Hà Nội)

Bài 2(203) Chứng minh r»ng 1999 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã số mà tổng chữ số nã chia hÕt cho 27

T¹ thËp (TP Hå Chí Minh)

Bài 3(203) Ba bạn Toán, Tuổi, Thơ phải hoàn thành công việc Để hoàn thành công việc này, Toán làm mình, số ngày cần thiết nhiều gấp a lần Tuổi Thơ làm chung Tơng tự, Tuổi làm mình, số ngày cần thiết nhiều gấp b lần Toán Thơ làm chung, Thơ làm mình, số ngày cần thiết nhiều gấp c lần Toán vµ Ti lµm chung TÝnh

= + +

+ + +

1 1

T

a b c

trÇn quang vinh

(Nhà xuất Giáo dục Việt Nam)

Bài 4(203) Cho tam giác ABC cân A có

= o

A 100 vµ I lµ giao điểm đờng phân giác tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho BD = BC Đờng thẳng BI cắt AC E, DE cắt BC F Chứng minh IF vuông góc với AB

Cao ngäc to¶n

(Tr−êng THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)

1(203) How many multiples of that have no more than digits and their digits can only be 0, and 2?

2(203) Prove that among 1999 consecutive natural numbers, there exists a number whose sum of the digits is divisible by 27 3(203) Toan, Tuoi and Tho a job together The number of days Toan finishes the job alone is a times the number of days Tuoi and Tho the job altogether The number of days Tuoi finishes the job alone is b times the number of days Toan and Tho the job altogether The number of days Tho finishes the job alone is c times the number of days Toan and and Tuoi the job altogether Find the value of the expression

= + +

+ + +

1 1

T

a b c

4(203) Given isosceles triangle ABC (AB = AC) where A 100 and I is the = o

C¸c líp THCS

Bài 5(203) Tìm số M lớn cho ta có bất đẳng thức x2 ≥M x x thỏa mãn với ⎡ ⎤⎣ ⎦

{ }

số thực x (trong ⎡ ⎤⎣ ⎦x , x t

{ }

−ơng ứng kí hiệu phn nguyờn v phn thp phõn ca x)

Đào chÝ

(Tr−êng THPT chuyªn VÜnh Phóc,

VÜnh Phúc) Bài 6(203) Giải hệ phơng trình

+ − = +

⎪⎪ − + − = +

⎨ ⎪

− + − = +

⎪⎩ 3

x 7x x y

y 7y y z

z 7z z x

Th¸i nhật phợng

(Trờng THCS Nguyễn Văn Trỗi,Cam Nghĩa,

Cam Ranh, Khánh Hòa) Bài 7(203).Cho số thực dơng a, b, c, d

tháa m·n abcd = Chøng minh r»ng

+

+ + + + + +

+ + ≤

+ + + + + +

4 4 4

4 4 4

1

1 a b c b c d

1

1

1 c d a d a b

Nguyễn văn nho (TrờngTHPT Nguyễn Duy Trinh, Nghi Léc,

NghÖ An)

Bài 8(203) Cho tam giác ABC có BAC 120 ,= o (I) đ−ờng tròn nội tiếp Gọi D, E, F theo thứ tự tiếp điểm (I) với BC, CA, AB L điểm đối xứng D qua EF Chứng minh BLC 90 = o

nguyÔn minh hµ (Hµ Néi)

5(203) Find the largest value of number M such that x2 ≥M x x with any real ⎡ ⎤⎣ ⎦

{ }

number x (where ⎡ ⎤⎣ ⎦x , x are the integral

{ }

part and the decimal part of number x respectively)

6(203) Solve the following system of

equations

⎧ − + − = +

⎪⎪ − + − = +

⎨ ⎪

− + − = +

⎪⎩ 3

x 7x x y

y 7y y z

z 7z z x

7(203) Given positive real numbers a, b, c and d satisfying abcd = Prove that:

+

+ + + + + +

+ + ≤

+ + + + + +

4 4 4

4 4 4

1

1 a b c b c d

1

1

1 c d a d a b

8(203) Given triangle ABC where

= o