Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 139

Bµi viÕt nµy chóng t«i muèn giíi thiÖu mét phð¬ng ph¸p gi¶i phð¬ng tr×nh v« tØ b»ng c¸ch nh©n c¶ tö vµ mÉu cña ph©n thøc víi biÓu thøc liªn hîp.. Theo nguyªn lÝ cña tð b¶n, c¸c doanh ngh[r]

2 Khi giời phđểng trừnh tử cịc kừ thi hảc sinh giái, thi vộo THPT chuyến, thi ệỰi hảc nhiỊu bỰn hảc sinh rÊt lóng tóng từm hđắng giời, ệẳc biỷt lộ cịc phđểng trừnh nhừn cã vĨ phục tỰp Bội viạt nộy chóng tềi muèn giắi thiỷu mét phđểng phịp giời phđểng trừnh tử bỪng cịch nhẹn cờ tỏ vộ mÉu cựa phẹn thục vắi biÓu thục liến hĩp VÊn ệÒ quan trảng nhÊt cựa phđểng phịp nộy lộ phời nhÈm ệđĩc nghiỷm cựa phđểng trừnh

Ta cã mét sè cềng thục thđêng dỉng (Giờ thiạt cịc mÉu thục khịc 0)

, víi a, b , víi a, b

1 Mét sè vÝ dô

VÝ dô Giời phđểng trừnh

Lời giải ĐKXĐ:

Phng trnh cho tng ệđểng vắi

Ta cã (1) x (tháa m·n §KX§) Gi¶i (2), ta cã

Do ệã phđểng trừnh (2) nghiỷm VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm lộ x

NhẺn xĐt Khi nhÈm nghiỷm ta nến chản cịc giị trỡ cựa x tháa mởn cịc biÓu thục ẻ cẽn bẺc hai lộ sè chÝnh phđểng hoẳc lộ bừnh phđểng cựa mét sè họu tử phđểng trừnh trn vi x th

và nên ta có

cịch tịch nhđ cịch giời trến Cịc vÝ dô sau lộm tđểng tù

VÝ dô Giời phđểng trnh

(1) Lời giải ĐKXĐ:

Ta có

Ta có (thỏa mÃn ĐKXĐ)

Vì nên

Do ệã phđểng trừnh (3) nghiỷm VẺy phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm VÝ dô Giời phđểng trừnh

2

x 12 3x x

3

x

2

1 1 x 1

3x x

2 x 3 (2) x

( 3x x 1)( 3x x 1) (1)

3x x

(2x 3)(x 1)

2x (2x 3)(x 1)

3x x

2x (2)

1 x (3)

3x x

2 x

3

3x x 2x x

46 10x 8x

2

8 10 5 4

3 8x 46 10x (x 2) x 4x

3

2

2

( 8x 3) ( 46 10x 6) x 5x 4x 8(1 x) 10(1 x) (1 x)(x 4x 8) 8x 46 10x

1 x (1)

8 10 x 4x (2)

8x 46 10x x 23.

8

3

8x 46 10x x 5x 4x

3

3 3

a b

a b

a ab b

3

3 3

a b

a b

a ab b

a b a b a b a b a b a b

SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP để giải phương trình vơ tỉ

Trđểng Quang An

3 Lêi giời.Phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vi

Vì nên từ (1) suy

Ta có

Ta có (2) x Vì nên x vµ

Do ệã phđểng trừnh (3) nghiỷm VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm lộ x VÝ dô Giời phđểng trừnh

Lêi giời Phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vắi

Ta cã (1) x

* NÕu x th× 2x nên

Do ó phng trnh (2) khng có nghiỷm x * Nạu x thừ 2x vộ

nªn

Do ệã phđểng trừnh (2) khềng cã nghiỷm x VẺy phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm x Bội tẺp

Bội Giời cịc phđểng trừnh a)

b) c) d)

Bội 2.Giời cịc phđểng trừnh a)

b) 3x x x2

5x x 2x 3x 1;

x 3x

2 2

3x 5x x 3(x x 1)

2 6x

2x 2 x ;

x

2

x 9x 20 3x 10; 2x x 2x 6;

2

2 12

0 t 2t 12

t 2t

t 4x

2

2 12

t 2t 12

t 2t

t 4x

3

2

3 3

2

3

2

3

2

3

2

3

(x 3)(2x 5) 3( 4x 2) (x 3)(2x 5)

3( 4x 2)( (4x 4) 4x ) (4x 4) 4x

12(x 3) (x 3)(2x 5)

(4x 4) 4x 12

(x 3) 2x

(4x 4) 4x x (1)

12

2x (2

(4x 4) 4x )

2

2x 11x 21 4x

2

x 3 x 0.

x 12 x

2

x 12 x

5 x 2 2 2 2 2 2

(1) x 12 3(x 2) ( x 3)

x 3(x 2) x

x 12 x

(x 2)(x 2) 3(x 2) (x 2)(x 2)

x 12 x

x x

(x 2)

x 12 x

x (2)

x 3 x 0 (3)

x 12 x

5

x

3

2

x 12 x

2

4 Lộm sinh viến cã mét cịi lĩi lộ hay ệđĩc giờm giị ẻ nhiÒu nểi Trong ệã cã nểi lộ chÝnh phự tội trĩ, nhđng cã rÊt nhiÒu nểi lộ doanh nghiỷp khềng hÒ nhẺn tội trĩ cựa nhđng vÉn giờm giị cho sinh viến Theo nguyến lÝ cựa tđ bờn, cịc doanh nghiỷp lộm vẺy, trđắc hạt lộ vừ thđểng cịi tói tiÒn cựa chÝnh hả, chụ khềng phời vừ thđểng sinh viến ệẳc biỷt hển nhọng ngđêi khịc VẺy tỰi giờm giị cho sinh viến lỰi cã lĩi cho doanh nghiỷp?

Cịc mề hừnh toịn hảc ệển giờn kinh tạ cho phĐp ta giời thÝch ệiÒu nộy, vộ nhiỊu ệiỊu thó vỡ khịc Chóng ta sỳ gải x lộ giị ệỡnh cựa mét loỰi sờn phÈm hộng hãa hay dỡch vô nộo ệã vộ y(x) lộ sè lđĩng sờn phÈm ệỡnh bịn ệđĩc nạu bịn ẻ giị x ậÓ ệển giờn, ta tỰm coi cụ mẫi khịch hộng thừ mua mét ệển vỡ sờn phÈm nến sè sờn phÈm bịn ệđĩc bỪng sè khịch hộng cã ệđĩc Khi x tẽng thừ y(x) giờm (giị cộng cao thừ cộng Ýt ngđêi mua) Cã thÓ coi ệđêng giị (x; y(x)) nhđ lộ mét ệđêng liến tôc vộ ệi tróc xng tõ ệiĨm (0, Y) ệạn ệiĨm (X; 0) trến mẳt phỬng tảa ệé Giờ sỏ doanh nghiỷp muèn tèi đu hãa doanh thu cho mẳt hộng nộy Nạu cè ệỡnh mét giị x1thừ lđĩng khịch hộng lộ y(x1) vộ doanh thu sỳ lộ S1 x1y(x1) Bội toịn lộ từm x1sao cho x1y(x1) ệỰt lắn nhÊt Giờ sỏ thay vừ bịn cho mải ngđêi vắi cỉng mét giị, doanh nghiỷp nghỵ ệđĩc cịch bịn cho mẫi ngđêi vắi giị cao nhÊt mộ ngđêi ệã cã thÓ chÊp nhẺn ệđĩc Khi ệã doanh thu mộ doanh nghiỷp cã thÓ ệỰt ệđĩc khềng phời cã dỰng diỷn tÝch mét hừnh chọ nhẺt lộ nhđ S1mộ lộ diỷn tÝch mét miÒn cong S2 Sù chếnh lỷch diỷn tÝch cựa hai cịch bịn hộng nộy gải lộ thẳng dđ khịch hộng(S2 S1) Doanh nghiỷp tÊt nhiến khã cã thÓ ệỰt ệđĩc mục doanh thu S2, nhđng cã thĨ từm cịch thu vỊ mét phẵn cựa thẳng dđ khịch hộng, tục lộ ệỰt mục doanh thu cao hển S1, bỪng nhọng chiạn lđĩc gải lộphẹn biỷt giị Phẹn biỷt giị tục lộ lộm ệÓ cịc khịch hộng khịc trờ cịc giị khịc nhau, khịch hộng nộo chÊp nhẺn ệđĩc giị cao hển thừ

trờ cao hển, gẵn mục tèi ệa mộ chÊp nhẺn ệđĩc nhÊt

Cã rÊt nhiÒu trư phẹn biỷt giị khịc VÝ dô nhđ mộ “rừnh” vĐ mịy bay cã thÓ kiạm ệđĩc vĐ rĨ, cưn cụ cẵn lộ mua vĐ chụ khềng “rừnh” vĐ thừ khờ nẽng lộ vĐ sỳ ệớt hển nhiÒu, vừ loỰi khịch hộng thụ nhÊt lộ loỰi “nhỰy cờm vÒ giị hển, ệưi mục giị thÊp hển” loỰi thụ hai Hay lộ ẻ chĩ ngđêi ta khềng giờm giị trùc tiạp mộ phịt cịc “coupon”, ệi thu thẺp coupon (thđêng lộ nhọng ngđêi thu nhẺp khiếm tèn vộ nhỰy cờm vỊ giị hển vộ cịng cã nhiỊu thêi gian thõa hển ệÓ ệi so sịnh giị) thừ sỳ ệđĩc giờm giị Hay lộ cỉng mét thụ ệă thêi trang cựa cỉng mét hởng, bịn ẻ Madrid cã lỰi rĨ hển hỬn so vắi ẻ Paris Hoẳc lộ cỉng lộ cộ phế sọa, nhđng mang tến “capuccino” lỰi ệớt gÊp ệềi cộ phế sọa bừnh thđêng rỪng vÒ cể bờn vÉn tõng ệÊy thụ, giị sờn xt khềng tẽng lến, cịng lộ mét kiĨu phẹn biỷt giị tạ nhỡ (cã thay ệữi mẳt hộng mét chót ệÓ phẹn biỷt) KÓ cờ viỷc cịc trđêng ệỰi hảc trao hảc bững cho mét sè sinh viến còng cã thÓ lộ mét hừnh thục phẹn biỷt giị

Doanh nghiỷp muèn thùc hiỷn ệđĩc mét chiạn lđĩc phẹn biỷt giị thừ phời cã ệđĩc hai ệiÒu kiỷn sau:

1) Xịc ệỡnh ệđĩc cịc “phẹn khóc khịch hộng” vắi cịc mục giị chÊp nhẺn ệđĩc khịc (ệẳt giị cao hển cho phẹn khóc chÊp nhẺn ệđĩc giị cao hển)

2) “enforcement”, tục lộ hỰn chạ ệđĩc tèi ệa chuyỷn ngđêi ẻ “phẹn khóc cao” mua giị ẻ “phẹn khóc thÊp”

Quay vỊ vÝ dơ sinh viến ệđĩc giờm giị ậÓ ệển giờn, ta coi thỡ trđêng vĐ xem cinema găm phẹn khóc: “ngđêi cã thu nhẺp” vộ “sinh viến” (“sinh viến” cã thÓ găm cờ hảc sinh, ngđêi giộ, ngđêi diỷn hđẻng trĩ cÊp xở héi tỉy chiạn lđĩc tõng nểi) Viỷc “enforcement” khị dÔ, vừ “ngđêi cã thu nhẺp” khã ệãng lộ sinh viến nạu khềng cã thĨ sinh viến Phẹn khóc cịng râ rộng: sinh viến thừ thđêng nghÌo vộ tÝnh toịn chi li hển, ngđêi cã thu nhẺp dƠ cã tiỊn ệĨ tiếu hển, chỡu ệđĩc mục giị cao hển

NÕu chung mét møc vÐ xo cho sinh viên TAẽI SAO VE CHO SINH VIÊN LẠI RẺ?

5 NhẺn xĐt.Cịc bỰn ệÒu chử lêi giời xĐt chđa hạt cịc trđêng hĩp Lêi giời mắi chử xĐt trđêng hĩp

Nếu không

gii nh vy c v ta mắi chử biạt tử sè lđĩng giịc cựa gãc nhản Ta cã thÓ giời nhđ sau (khềng cẵn phẹn biỷt cịc trđêng hĩp):

KĨ ệđêng cao AK (bỰn ệảc tù vỳ hừnh) Trong tam giịc BHC cã

Trong tam gi¸c AKC cã

VËy

Ta cịng cã thÓ xĐt trđêng hĩp tỉy vộo so sịnh giị trỡ cựa vắi 45o

Cịc bỰn sau nhẺn giời kừ nộy: Lế Hỉng, Hă Quang Huy, 8A, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả;Lế Thộnh Lẹm,8E, THCS Hỉng Vđểng, TP Tuy Hưa, Phó Yến;Lế Phđểng Thờo, 9C, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam

Anh KÝnh Lóp

o

ABC h

S BC.AK ( 90 )

2 4sin cos

BC h h

AK KCtgC tg tg

2 2sin 2cos

BH h

BC

sinC sin

o o o

45 BAC 180 90

o o o

45 BAC 180 90

Bội toịn Cho phđểng trừnh |x2 3| |5 x2| a (vắi a lộ tham sè) Hởy từm giị trỡ cựa a ệÓ phđểng trừnh ệở cho nghiỷm

Một học sinh giải nhð sau

Lêi giải.Vì |x2 3| 0, |5 x2| nên

|x2 3| |5 x2|

Do ệã phđểng trừnh ệở cho nghiỷm vộ chử a hay a

Bạn có đồng ý với lời giải khơng? Theo bạn nên giải cho ỳng?

hà văn nhân (GV THCS Hoằng Xuân, Ho»ng Hãa,

Thanh Hãa) TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC (TTT2 sè 135+136)

KHI NÀO PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM?

ngđêi cã thu nhẺp, thừ mục nộy khềng tèi đu ệèi vắi nhãm Y1khịch hộng tiÒm nẽng lộ ngđêi cã thu nhẺp vộ còng khềng tèi đu ệèi vắi nhãm Y2khịch hộng tiÒm nẽng lộ sinh viến Cã nghỵa lộ, nạu gải y1 lộ sè khịch hộng lộ ngđêi cã thu nhẺp thừ xoy(xo) khềng tèi đu Cã thÓ ệẳt mục giị x1 xo cho x1y1(x1) xoy1(xo) Nạu gải y2 lộ sè khịch hộng lộ sinh viến, thừ xoy2(xo) cịng khềng tèi đu: cã thĨ ệẳt mục giị x2 xosao cho x2y2(x2) x0y1(xo) Nhđ vẺy, thay vừ ệẳt chung mét mục giị xo, ta ệẳt hai mục giị x1, x2 khịc cho hai nhãm khịch hộng khịc mộ x1 xo x2 Doanh thu cã ệđĩc sỳ thộnh x1y2(x1) x2y2(x2) xo[y1(xo) y2(xo)] ChÝnh vừ vẺy mộ sinh viến lỰi ệđĩc giị rĨ hển lộ ngđêi cã thu nhẺp

Cịc chiạn thuẺt phẹn biỷt giị khềng phời lóc nộo cịng tèt cho xở héi nhđ kiĨu sinh viến ệđĩc Giờm giị, mộ cã còng ệem lỰi nhọng hiỷu ụng biạn thịi (perverse) ChỬng hỰn, ệÓ “Đp” nhọng doanh nhẹn ệi cềng cịn phời mua vĐ mịy bay hỰng nhÊt ệớt tiÒn, cịc hởng hộng khềng cã thÓ cè từnh lộm

cịc ghạ ngăi cựa hỰng vĐ rĨ tiÒn cho ngăi khã chỡu (quị chẺt, vđắng vÝu, khềng ếm ), cã thÓ hoộn toộn lộm cho chóng dƠ chỡu lến, cịc khịch du lỡch rĨ tiÒn vộ bay Ýt lẵn thừ chÊp nhẺn ngăi khã chỡu nhđng bay nhiÒu mộ ngăi thạ cã hạt chỡu nữi Hoẳc lộ vÝ dô cộ phế, nạu cã hai loỰi ệớt - rĨ, chi phÝ sờn xuÊt gẵn bỪng nhđng loỰi ệớt bịn ệđĩc vắi giị gÊp ệềi loỰi rĨ, thừ ngđêi ta cã thÓ cè từnh hỰ thÊp chÊt lđĩng loỰi rĨ ệÓ “Đp” khịch hộng mua loỰi ệớt Viỷc nộy xem cã lĩi cho nhọng nhộ sờn xuÊt hộng chÊt lđĩng kĐm, vÉn cã nhộ phẹn phèi cẵn hộng cựa mừnh trư lộm giị Khịc vắi nhọng thụ nhđ phẹn biỷt chựng téc, phẵn lắn cịc trư phẹn biỷt giị lộ hĩp phịp, nhđng cịng cã mét sè kiĨu phẹn biỷt giị ệở bỡ qui thộnh phỰm phịp ẻ mét sè nểi VÝ dô nhđ Céng ệăng chẹu ằu cÊm cịc hởng bờo hiÓm ề tề thu phÝ ệèi vắi nam cao hển (khi cịc tiếu chuÈn khịc l ngang nhau)

Tài liệu tham khảo:

6

(TTT2 sè 135+136)

Nhận xét. Quy luật hai kì dễ phát hiện, tất bạn cho đáp án đúng, một số bạn dùng từ diễn đạt chða xác.

Quy luËt:

Bội 1. Cịc hừnh dởy ệđĩc vỳ bỪng nĐt liÒn, nĐt ệụt xen kỳ Ngoội ra, mẫi lẵn dỡch tõ trịi sang phời hừnh nộy bỡ mÊt ệi mét ệoỰn thỬng liÒn kÒ, tÝnh tõ phÝa dđắi.

Vậy hình để chèn vào dãy ó cho l hỡnh C.

Bài 2. Đây dÃy số nguyên tố liên tiếp có tận b»ng 3:

3, 13, 23, 43, 53, 73,

Vậy số cần điền vào 83.

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: Lế NguyÔn Quúnh Trang, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ,

Phó Thả; NguyÔn Thỡ Phđểng Anh, 8H, THCS Liến Bờo, Vỵnh Yến, Vnh Phúc;

Nguyễn Thị Thu Trang, 7A1; Tạ Khắc Thắng,

7A2, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Minh Hạnh, 7A, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Nội.

nguyễn Xuân Bình CHEỉN HèNH NAỉO?

ẹIEN SO NAỉO?

Bài 1.Trong hình sau, điền số thiếu vào ô trống:

Bài 2.Điền số thiếu vào chỗ trống: 95, 98, 89, 95, 83, , 77, 89

7

C©u 1.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) 6xy2(xy 2xy2 3x2y2); b) (2x2y2 x2y 3xy2)( 8x2y)

C©u 2.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) (2x 1)(3x2 4x 3); b) (x2 3x 1)(4x 3)

Câu 3.Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 2x2 x 2;

b) x2y xy2 x y; c) x2 8x 15

C©u 4.Thùc hiƯn phÐp chia

a) §a thøc 5x3 3x2 8x cho ®a thøc 5x b) §a thøc x3 x2 x cho đa thức x

Câu 5.Tìm x biÕt

(3x 2)(x 1) 2(x 5) 3x2

Câu 6.Tính giá trị biểu thức

A (7 3x)2 2(3x 7)(7 2x) (7 2x)2tại x 15

Câu 7.Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A (x 5)(2x 3) 2x(x _ 3) x

Cẹu 8.Xịc ệỡnh a, b ệÓ P x4 2x3 ax2 2x b lộ bừnh phđểng cựa mét ệa thục

Câu 9.Tìm a, b để đa thức f(x) x4 3x3 3x2 ax b chia hết cho đa thức g(x) x2 3x

ẹỀ KIỂM TRA CHệễNG I ẹAẽI SỐ 8 Thời gian làm bài:45 phút (khơng kể thời gian giao đề) MAế ẹEÀ: RDKTH011

Các bạn sau giải cờ kì 62:Nguyễn Minh Đức, 6C, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh; Nguyễn Minh Hạnh, 7A, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Nội

Lª tĩ Trắng trước chiếu hết sau nước

LÊ THANH TÚ

8 B Đề thi đồng đội

1.Trđắc tiến ta ệịnh dÊu cịc lề ệÊt mộ chử mét ngđêi nềng dẹn ệi ệạn ệđĩc tõ nhộ cựa mừnh theo hộng ngang hoẳc cét dảc nhđ hừnh ẻ bến trịi dđắi ệẹy Do ệã ta cã thĨ dƠ dộng gịn cho nhọng ngđêi nềng dẹn cịc ề ệÊt cưn lỰi Hừnh bến phời dđắi ệẹy mề tờ cịch chia ệÊt cho nhọng ngđêi nềng dẹn

2.Gải sè chọ mộ Meifeng viạt ệđĩc ngộy theo thụ tù lộ a, b, c, d vộ e

Ta cã

Tổng hệ số a vế trái đẳng thức

Tđểng tù cịc hỷ sè cựa b, c, d vộ e tđểng ụng lộ vộ Béi sè chung nhá nhÊt cựa cịc mÉu sè lộ 60

Do 50a 20b 10c 5d 2e 300 Suy e chia hết cho

Đặt e 5f, ta có 10a 4b 2c d 2f 60 Từ d số chẵn Đặt d 2g, ta có 5a 2b c

g f 30 §Ĩ a b c d e nhỏ a phải lớn

M b, c, d vộ e lộ cịc sè nguyến dđểng nến a lắn nhÊt lộ vộ ệã b c g f hay d vộ e

VẺy sè cịc tõ ngớn nhÊt cã thÓ cẹu chuyỷn ngớn cựa Meifeng lộ 1 14 3.Ta thÊy phời lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc Vừ tÝnh ệèi xụng nến ta sỏ hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến trịi cã nhởn lộ Giờ sỏ lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến phời Do ệã cịc nhởn khịc ệđĩc bè trÝ xung quanh hừnh trưn ẻ giọa Ta cã hai cịch dịn nhởn hừnh sau

Giờ sỏ lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến phời Ta cã hai cịch ệÓ dịn nhởn cho ba hừnh trưn Trong mẫi cịch ệã chử cã mét cịch ệÓ dịn nhởn mét sè vộ hai sè cho hừnh trưn Ta cã hai cịch dịn nhởn hừnh sau

Giờ sỏ lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến phời lộm tđểng tù nhđ trến ta cã thếm hai cịch dịn nhởn Vừ cã thÓ lộ nhởn cựa hừnh trưn ẻ gãc dđắi bến phời nến sè cịc cịch dịn nhởn lộ (2 2).2 12

Vẽ hai hình bình hành DECG ABCH Do điểm H thuộc đoạn CG Gọi K giao điểm AH DF Ta có AB CE 2BE

EF

30 1 1, ,

3 12

1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 2 3 4 5 6

a a b a b c a b c d

1 2 3 4

a b c d e 5.5 6

DTH(Dịch giới thiệu)

GII ĐỀ THI OLYMPIC

TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ BULGARIA

(BIMC 2013)

9 Vì hai tam giác ABC CDE có diện tích nên hai hình bình hành ABCH DECG có diện tích Do CH 2HG

Suy DE GC 4,5 13,5 cm vµ DF DE EF 13,5 7,5 cm

Râ rộng Daniela khềng thÓ mua cịc mãn quộ lđu niỷm giị ệề la hoẳc ệề la Mãn quộ lđu niỷm ệớt nhÊt mộ Daniela cã thÓ mua lộ 50(2 5) 350 ệề la Cề Êy khềng thÓ mua ệđĩc cịc mãn quộ lđu niỷm cã giị 349 ệề la hoẳc 347 ệề la (Vừ cề Êy khềng thÓ ệÓ lỰi ệề la hoẳc ệề la) Ta sỳ chụng minh cề Êy cã thÓ mua bÊt kừ mãn quộ lđu niỷm nộo khịc 350 mãn quộ ệã, tục lộ cề Êy cã thÓ chản mua bÊt kừ mãn quộ lđu niỷm nộo sè 346 mãn quộ cưn lỰi

Dùng 50 đồng la mua quà lðu niệm có giá số chẵn không 100 đô la Dùng 20 đồng đô la 50 đồng đô la cô mua quà lðu niệm có giá số chẵn không 200 đô la

Dùng 25 đồng đô la 50 đồng đô la mua q lðu niệm có giá số chẵn khơng q 300 la

Dùng 25 đồng đô la 50 đồng đô la thêm 25 đồng đô la mua q lðu niệm có giá số chẵn khơng q 350 la Dùng đồng đô la 50 đồng la mua q lðu niệm có giá số lẻ từ đô la đến 105 đô la

Dùng 21 đồng đô la 50 đồng đô la cô mua quà lðu niệm có giá số lẻ từ 105 đô la đến 205 đô la

Dùng 41 đồng đô la 50 đồng la mua quà lðu niệm có giá số lẻ từ 205 đô la đến 305 đô la

Dùng 49 đồng đô la 50 đồng la mua quà lðu niệm có giá số lẻ từ 305 đô la đến 345 đô la

VẺy Daniela cã thĨ mua ệđĩc nhiỊu nhÊt 346 mãn quộ lđu niỷm

6 Nạu cã hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn b a, ta sỳ thay thạ chóng bẻi hai sè b vộ a thừ tững cựa chóng khềng thay ệữi

Ta cã (a 1)2 (b 1)2 (a2 b2) 2a 2b 0, ệã tững cịc bừnh phđểng cựa hai sè mắi lắn hển Suy tững cịc bừnh phđểng cựa cịc sè ệã lắn nhÊt chử cã mét sè cịc sè ệã khịc Giị trỡ lắn nhÊt ệã lộ 1996.12 (2013 1996)2 2285 Nạu cã hai sè nguyến dđểng a, b tháa mởn a b 2, ta sỳ thay thạ chóng bẻi hai sè b vộ a thừ tững cựa chóng khềng thay ệữi

Ta cã (a2 b2) (a 1)2 (b 1)2 2a 2b 0, ệã tững cịc bừnh phđểng cựa hai sè mắi lắn hển Suy tững cịc bừnh phđểng cựa cịc sè ệã nhá

nhất số Giá trị nhỏ

(2.1997 2013).12 (2013 1997).22 2045 VẺy hiỷu giọa giị trỡ lắn nhÊt vộ giị trỡ nhá nhÊt cựa tững cịc bừnh phđểng cựa cịc sè ệã lộ 2285 2045 240

7

Chó ý r»ng

Do giá trị tổng 136 : 34

Tững cựa 10 sè ẻ hộng trến cỉng, cét bến trịi ngoội cỉng vộ ệđêng chĐo chụa sè 16 lộ

34.3 16.2 70

Tỉng cđa sè ô vuông tô màu 136 70 66

VẺy giị trỡ lắn nhÊt cã thÓ cựa tững sè cịc ề ệđĩc tề mộu lộ 66

Chóng ta cã thĨ chia hừnh vộ hừnh thộnh cịc hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc vộ nhđ hừnh vỳ Vắi hừnh thụ nhÊt ta ệịnh cịc sè 1, vộ vộo cịc ề vuềng nhđ hừnh vỳ Mẫi hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc vộ găm mét sè 1, mét sè vộ mét sè Trong hừnh cã 19 ề ệịnh sè 1, cã 17 ề ệịnh sè vộ 18 ề ệịnh sè VẺy hừnh khềng thÓ chia ệđĩc (Xem tiạp trang 15)

16.17

1 16 136

10 Bội I.1) Thay x ta ệđĩc

2) a) Ta cã

b)

Bội II.Gải sè sờn phÈm phẹn xđẻng lộm mẫi ngộy theo kạ hoỰch lộ x, x *

Sè sờn phÈm phẹn xđẻng lộm mẫi ngộy trến thùc tạ lộ x

Theo kạ hoỰch phẹn xđẻng sờn xuÊt 1100 sờn phÈm (ngộy)

Thùc tạ phẹn xđẻng hoộn thộnh kạ hoỰch (ngộy)

Tõ thiạt ta cã phđểng trừnh Biạn ệữi phđểng trừnh ta ệđĩc

2750 x(x 5) (x 50)(x 55) x 50 (do ®iỊu kiÖn x *)

VẺy theo kạ hoỰch mẫi ngộy phẹn xđẻng lộm ệđĩc 50 sờn phÈm

Bµi III.1) §iỊu kiƯn x y 0, y §Ỉt

Ta ệđĩc hỷ phđểng trừnh

(TM)

Từ

2) a) Hoộnh ệé giao ệiÓm cựa (d) vộ (P) lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh x2 x

Giời phđểng trừnh trến ệđĩc nghiỷm lộ x 3, x Tõ ệã cã giao ệiÓm lộ A( 3; 9), B(2; 4)

b) Gải M, N lẵn lđĩt lộ chẹn ệđêng cao hỰ tõ A, B xuèng trôc Ox thừ M( 3; 0), N(2; 0)

Ta thÊy A, B cïng phÝa víi trơc Ox vµ O n»m gi÷a M, N

Từ SOAB SABNM SAOM SBON

Bội IV.a) Vừ AB vộ MN lộ hai ệđêng kÝnh cựa (O) nến

Do tứ giác AMBN hình chữ nhật

2) Vừ nến ệiĨm M, N, P, Q cỉng thuéc mét ệđêng trưn

3) Ta thÊy OE lộ ệđêng trung bừnh cựa ABQ nến OE // AQ Mộ OF OE, AP AQ nến OF // AP

AMN ABN APB o AMB ANB MAN 90 (AM BN).MN AM.MO BN.NO

2 2

65 27 15 (®vdt)

2

1 1

x y x

x y

1 1 y 1 y

y

4u v 4(2v 1) v v

u 2v u 2v u

1

u , v (u, v 0)

x y y

1100 1100

x x

1100 x

1100 x

2 x 2x x 2x x

1

( x 2)(2 x 1) x x

2

2( x 1)

2P x x

x

( x 1)( x 2) x 1. x 1.

x( x 2) x x

x x . x P

x( x 2) x

A

3

Năm học: 2014 - 2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP HAØ NỘI

11 Mà O trung điểm AB nên F trung điểm BP

Vì nên

Mà E trung điểm BQ nên EM EB Suy OME OBE (c.c.c) nªn

hay OM ME Tđểng tù ON NF

VËy ME // NF

Chó ý.Ta cã c¸ch kh¸c chøng minh ME // NF nh sau

4) Gọi I trung điểm PQ th× AI AB Ta cã SMNPQ SAPQ SAMN

Mặt khác 2SAPQ PQ.AB 2AI.AB 2AB2 nên SAPQ AB2 4R2;

4SAMN 2AM.AN AM2 AN2 MN2 4R2nªn SAMN R2

Suy SMNPQ 3R2

X¶y dÊu b»ng vµ chØ I trïng B vµ AM AN hay MN AB

VËy tø gi¸c MNPQ cã diƯn tÝch nhá nhÊt vµ chØ MN AB

Bµi V.Vì a b c nên

2a bc (a b c)a bc (a b)(a c)

(theo B§T AM - GM) Suy

Tđểng tù Suy

VËy GTLN cđa Q lµ

Q a b c

3 a b c

Q

2

b c

2b ca , 2c ab

2

a

2a bc

2

2

a b a c 1 a

2

o MEB NFB 2MQE 2NPF 180

o OME OBE 90

o BMQ 90 o

AMB 90 Bội I(2,0 ệiÓm) 1) Giời phđểng trnh 2) Gii h phng trnh

Bài II(2,5 điểm)

1) Chụng minh nạu n lộ sè nguyến dđểng thừ 25n 7n 4n(3n 5n) chia hạt cho 65 2) Từm cịc cẳp sè nguyến (x; y) tháa mởn x2y xy 2x2 3x

3) Tìm sè tù nhiªn (a1; a2; ; a2014) tháa m·n

Bài III(1,5 điểm)

Vi ba số dng x, y, z tháa mởn x y z 1, từm giị tr ln ca biểu thc

Bài IV(3,0 điểm)

Cho tam giịc ệÒu ABC néi tiạp ệđêng trưn (O), H lộ trung ệiÓm cựa BC M lộ ệiÓm bÊt kừ thuéc ệoỰn thỬng BH (M khịc B) LÊy ệiÓm N thuéc ệoỰn thỬng CA cho CN BM Gải I lộ trung ệiÓm cựa MN

1) Chụng minh ệiÓm O, M, H, I cỉng thuéc mét ệđêng trưn

2) Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác MNP tam giác

3) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ

Bài V(1,0 điểm)

Cho bng vung kích thđắc n (3 hộng, n cét, n lộ sè tù nhiến lắn hển 1) ệđĩc tỰo bẻi cịc ề vuềng nhá kÝch thđắc 1 Mẫi ề vuềng nhá ệđĩc tề bẻi mét hai mộu xanh hoẳc ệá Từm sè n bĐ nhÊt ệÓ vắi mải cịch tề mộu nhđ thạ luền từm ệđĩc hừnh chọ nhẺt tỰo bẻi cịc ề vuềng nhá cho ề vuềng nhá ẻ gãc cựa hừnh chọ nhẺt ệã cỉng mộu

x y z

Q

x x yz y y zx z z xy

2

1 2014

2 2

1 2014

a a a a 2014

a a a a 2014

2

2 2

x (4y 1) 2y x (x 12y) 4y

3

x(5x 2) 2( 2x 1)

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP HAØ NỘI

(Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)

12 Bội 1(135+136).Vắi mẫi sè nguyến dđểng a, kÝ hiỷu S(a) lộ sè chọ sè cựa a Từm sè nguyến dđểng n ệÓ S(5n) S(2n) lộ sè chơn

Lời giải.Giả sử 2ncó a chữ số 5ncó b ch÷ sè

Vì 2nvà 5nđều khơng thể tận chữ số nên 10a 2n 10avà 10b 5n 10b Suy 10a b 10n 10a b

Do a b n a b Vậy n a b

Mặt khác a b a b hai số có tính chẵn lẻ nên a b số chẵn a b số chẵn Khi n số lẻ

NhẺn xĐt.ậẹy lộ mét bội toịn hay vộ khã Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Lế Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt,Hộ Néi

phïng kim dung

Bội 2(135+136) Từm tÊt cờ cịc sè nguyến dđểng m, n tháa mởn 3m n2 2n (1)

Lêi giời (Theo bỰn Hoộng Trẵn ậục, 7D, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An)

Ta cã (1) 3m n2 4n 2n 3m n(n 4) 2(n 4)

3m (n 4)(n 2)

Đặt n 3x, n 3y, với x, y , x y vµ x y m

Khi 3x 3y hay 3y(3x y 1)

Vừ 3x y khềng chia hạt cho 3, 3ychử cã đắc lộ lòy thõa cựa vộ nến

3y vµ 3x y hay y vµ x y y vµ x

Từ m x y n 3y

NhẺn xĐt.Ngoội bỰn ậục, cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt: Lế Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An

hå quang vinh

Bội 3(135+136).Giời hỷ phđểng trừnh

Lời giải Điều kiện 2y y2 y Ta cã (1) x4 2x2 2(x2 2x 1) y2

(x2 1)2 2(x 1)2 y2

Vì (x2 1)2 2(x 1)2 nên y2 hay y hc y

KÕt hợp với điều kiện suy y

2

13

Từ

CỈp sè (x; y) (1; 3) tháa m·n (2)

VẺy hỷ phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm nhÊt lộ (x; y) (1; 3)

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn khềng khã ýtđẻng chÝnh cựa bội toịn lộ tõ phđểng trừnh (1) suy y2 vộ kạt hĩp vắi ệiỊu kiỷn cựa (2) ệĨ suy y

Chỉ có bạn sau có giải tốt: Hồ Quang Huy, 8A, THCS Văn Lang, Việt Tr×, Phó Thä

Ngun Anh Dịng

Bội 4(135+136).Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c Chụng minh rỪng

(1)

Lêi giời.Nhẹn hai vạ cựa (1) vắi a b c 0, ta ệđĩc

(a2 b2 c2)(a b c) 9abc (a b c)(c a)2 (a b c)[a2 b2 c2 (c a)2] 9abc (a b c)(b2 2ac) 9abc (2)

Theo bÊt ệỬng thục AM - GM cho ba sè dđểng, ta cã

Nhẹn theo vạ cựa (3) vộ (4), ta suy (2) Bội toịn ệđĩc chng minh

Đẳng thức xảy a b c

NhẺn xĐt 1) Bội toịn ệđĩc lộm mỰnh tõ bÊt ệỬng thục quen thuéc sau ệẹy

2) ậẹy lộ mét bội toịn hay, lêi giời biạn ệữi cể bờn Hẵu hạt cịc bỰn ệÒu ệđa ệđĩc ý tđẻng nhđ trến Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi gii tốt:

Hồ Quang Huy, 8A, THCS Văn Lang, ViƯt Tr×,

Phó Thả; Lế Phđểng Thờo, 9C, THCS Nam Cao, Lý Nhn, H Nam

cao văn dũng

Bội 5(135+136).Cho tẺp hĩp A {1, 2, 3, 4, 6} vộ mét quan hỷ R trến A ệđĩc ệỡnh nghỵa lộ

x chia hÕt y, nÕu tån t¹i sè nguyªn z cho xz y, kÝ hiƯu x \ y VÝ dơ \ v× 2.3

HÃy viết quan hệ R A

Lêi gi¶i.Ta cã \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 6, \ 2, \ 4, \ 6, \ 3, \ 6, \ 4, \

VËy R {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: Lế Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt; PhỰm Hoộng Hộ, NguyÔn Quang Bin, 9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;

Ngun Minh §øc, 6C, THCS Ngun Cao, Q Vâ, Bắc Ninh

TRịNH HOàI DƯƠNG

2 2 9abc

a b c

a b c

3

2 2 2

b 2ca b ca ca a b c (4)

a b c abc; (3)

2 2 9abc

a b c (c a) a b c

2

x

(1) x

14 Bội 6(135+136).Cho tam giịc ABC, ệđêng cao AD cớt ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc tỰi ệiÓm E HỰ EF AC (F AC) Gải M, N thụ tù lộ trung ệiÓm AB, DF TÝnh sè ệo gãc MNE

Lêi giời.Trđêng hp 1.F thuộc on thng AC

Vì tứ giác ABEC DECF nội tiếp nên

Do ú EBA EDF

Từ đó, ý M, N theo thứ tự trung điểm BA DF, suy EBM EDN

Điều có nghĩa EMN EBD Kết hợp với AE BD, suy

Trđêng hĩp F khềng thuéc ệoỰn AC, chụng minh tđểng tù trđêng hĩp

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở giời bội toịn nộy bỪng cịch sỏ dông kạt quờ vÒ ệđêng thỬng Simson Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Hă Quang Huy, 8A, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả;Lế Phđểng Thờo, 9C, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn, Hộ Nam

ngun minh hµ

o ENM EDB 90

o o

BAE BCE DCE DFE,

ABE 180 ACE 180 FCE EDF

Hoộng Trẵn ậục, 7D, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; Lế Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch

15 Bội toịn.Cho hừnh vuềng ABCD Q, E lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AB, BC CQ cớt DE tỰi M AM cớt BC tỰi I

Đáp án sau đúng? Vì sao? a) AM 2MI

b) AM 3MI c) AM 4MI

Phạm Tuấn Khải(Hà Nội)

P N NAỉO NG?

BAO NHIÊU HÌNH THOI? (TTT2 sè 135+136)

Ta tề mộu ệen, trớng xen kỳ cịc tam giịc ệÒu cã cỰnh bỪng nhđ hừnh Mẫi hừnh thoi cã cỰnh bỪng lộ hừnh cã ệđĩc bỪng cịch ghĐp tam giịc ệÒu cỰnh tề mộu ệen vộ tam giịc ệÒu cỰnh tề mộu trớng

H×nh

Cã tÊt cờ 21 tam giịc ệÒu mộu trớng VẺy ta cớt ệđĩc nhiÒu nhÊt 21 hừnh thoi tháa mởn yếu cẵu ệÒ bội Cã mét cớt nhđ hừnh ệÓ cã 21 thoi tháa mởn yếu cẵu ệỊ bội

H×nh

NhẺn xĐt.Bội toịn trến cã thÓ hái khịc nhđ sau: Hái cã thÓ cớt hừnh trến dảc theo cịc ệđêng lđắi thộnh nhiÒu nhÊt bao nhiếu hừnh bừnh hộnh cã hai cỰnh lộ vộ 2(bỰn hởy thỏ giời bội toịn nộy nhĐ) Bội toịn trến lộ mét vÝ dô rÊt hay cựa phđểng phịp tề mộu RÊt tiạc khềng cã bỰn nộo cã cẹu trờ lêi ệóng Phẵn thđẻng xin gịc lỰi kừ sau

Anh com pa

9.Giờ sỏ hai chọ sè hộng trẽm lộ vộ Khi ệã ba chọ sè hộng chôc cã tững bỪng Chóng ta cẵn cã chọ sè hộng chơc ệi vắi cộng lắn cộng tèt, chọ sè hộng chôc ệi vắi cộng nhá cộng tèt ậiỊu ệã cã thĨ thùc hiỷn bẻi vừ Cịc chọ sè cưn lỰi lộ 2, 3, vộ cã tững bỪng 19 Giị trỡ nhá nhÊt cã thÓ cựa hiỷu hai sè cã chọ sè ẻ bến trịi dÊu bỪng lộ 502 478 24 (Vừ cịc trđêng hĩp khịc cựa cịc chọ sè hộng trẽm thừ hiỷu hai sè ệã khềng nhá hển 100)

16 ềm ệã lộ chự nhẺt, thịm tỏ Sếlềccềc tranh thự vÒ quế ngoỰi. ậở lẹu khềng vÒ nến lẵn nộy ềng cè gớng tắi tõng nhộ, thẽm hái tõng ngđêi trong ậạn nhộ nộo còng ệđĩc mải ngđêi vui vĨ tiạp ệãn nến thịm tỏ phÊn khẻi vộ cờm ệéng lớm Sau ẽn cểm trđa tỰi nhộ ềng chó Mile, thịm tỏ sang thẽm nhộ ềng anh tến lộ Tago ThÊy cững nhộ Tago ệang mẻ nến thịm tỏ bđắc vộo luền Dõng ẻ sẹn, nhừn vộo nhộ, thịm tỏ thÊy anh mừnh ệang nãi chuyỷn vắi mét chộng trai lỰ. Chộng trai hừnh nhđ ệang khãc vộ ệang khÈn khoờn ệÒ nghỡ mét ệiỊu gừ ệã.

Thấy thám tử Sêlơccơc, ơng Tago mừng rỡ: - Chú à? Lâu anh em gặp nhau nhỉ!

- V©ng, em tranh thủ thăm họ hàng anh

em Nhng hừnh nhđ anh ệang bẺn? Anh cụ giời quyạt viỷc cựa anh ệi Em ệi thẽm vđên chót ệở

- ă khềng, chó vộo nhộ ệi! Tềi ệang chđa biạt phời gióp ệì chộng trai nộy thạ nộo - Cã chuyỷn gừ thạ anh? Em cã thĨ gióp gừ ệđĩc khềng?

- Chàng trai Bic, hàng xóm thân thiết của tơi Cậu ta có gửi bà Mari tiền, nay có việc cần địi lại bà ta chối Thám t hi Bic:

- Cháu có giấy tờ làm chøng hc cã cã thĨ chøng nhËn viƯc gưi tiỊn kh«ng?

- Khơng Bà họ hàng xa bạn cháu nên cháu tin Mà suốt bao nhiêu năm bà Mari toàn làm việc gửi tiền cũng nhận lãi đặn Khơng ngờ

MỘT LẦN

về quê Ngun Minh Trang

17 - Khơng có chứng khó đấy! Lần sau cháu cần rút kinh nghiệm sâu sắc nhé. Thôi, cháu đi, để ta nghĩ xem có cách gì khơng.

Bic vÒ Thịm tỏ hái ềng Tago vÒ chộng trai vộ vÒ ngđêi ệộn chuyến lộm nghÒ nhẺn gỏi tiÒn Sau mét hăi hái han, thịm tỏ bờo ềng Tago gải Bic sang.

- Bic này, bác tới nhà bà Mari. Sau bác về, cháu gặp bà ta và nói cháu kể với bác việc bà ấy không chịu trả tiền cho cháu nhé.

- Ch¸u chða hiĨu

- Cứ làm theo lời bác đừng kể với cả. Nói rồi, thám tử tìm đến nhà bà Mari.

- Chộo chỡ! Tềi lộ em cựa ềng Tago, ngđêi lộng mừnh Anh em tềi sớp ệđĩc nhẺn mét sè tiÒn thõa kạ khị lắn, ệang ệỡnh gỏi chẫ chỡ ý chỡ thạ nộo?

g× b»ng!

- Mấy hơm tơi mang đến Chào chị, tơi về.

Sau đó, Bic làm theo lời thám tử dặn. Thật ngạc nhiên, bà Mari trả lại toàn bộ số tiền mà chàng gửi.

* C¸c th¸m tư Ti Hång cã thể giải thích vì sao thám tử Sêlôccôc lại làm nhð vËy kh«ng?

hịm tỏ Sếlềccềc ệở nghi ngê Mina. Bộ ta nãi rỪng trến TV cã chđểng trừnh

hđắng dÉn cụu háa, theo sù hđắng dÉn ệã thừ khi xờy chịy chẺp ệiỷn, dỉng nđắc lộ cịch nhanh nhÊt vộ hiỷu quờ nhÊt ậẹy chÝnh lộ sể hẻ cựa Mina, khiạn bỡ thịm tỏ nghi ngê

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi ti nhng bn sau:

Tạ Minh Thái, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc,

Vnh Phúc; Nguyễn Th Minh Trẹm, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn ậục Nguyến, 6A, THCS Bớc Hăng, TX Hăng Lỵnh, Hộ Tỵnh; Lế Thộnh Lẹm, 8E, THCS Hỉng Vđểng, TP Tuy Ha,

Phú Yên.

Thám tử Sêlôccôc

19

We now proceed by induction The proof is by induction by n

Assume the formula holds for the degree k, we will prove it for k

Which proves the theorem (2): The four centres lie in a plane

We wish to find a solution of (3) which is of the form Then x is the center of

Each of the three products on the right of (2) satisfies

Property (1) is called the triangle inequality A parallelogram with sides parallel to the axes Cauchy’s inequality

m can be taken to be a constant N will be chosen to contain X It is necessary to consider

This set is obtained by letting n We begin by analyzing (2)

We next turn to estimating

We need only consider paths starting at Q We regard f as being defined on set X This is a special case of (1)

All are zero at t

This shows that there are no two points a and b such that

B©y giê chóng ta tiến hành quy nạp Chứng minh quy nạp theo n

Giả sử công thức đến k, ta chứng minh cho k

ậiÒu ệã chụng tá ệỡnh lÝ (2) ệở ệđĩc chụng minh Bèn tẹm nộy nỪm trến mét mẳt phỬng

Ta muốn tìm nghiệm (3) có dạng Khi ú x l tõm ca

Mỗi ba tÝch sè ë vÕ ph¶i cđa (2) tháa m·n

TÝnh chÊt (1) ệđĩc gải lộ bÊt ệỬng thục tam giịc Mét hừnh bừnh hộnh vắi cịc cỰnh song song vắi cịc trôc

bất đẳng thức Côsi

m cã thÓ ệđĩc lÊy lộ mét hỪng sè N sỳ ệđĩc chản ệĨ chụa X

CÇn xem xÐt

TẺp nộy nhẺn ệđĩc bỪng cịch cho n Chóng ta bớt ệẵu bỪng viỷc phẹn tÝch (2) Tiạp theo chóng ta chun qua đắc lđĩng Chóng ta chử xĐt cịc ệđêng bớt ệẵu tõ Q Ta coi f ệđĩc xịc ệỡnh trến tẺp X

ậẹy lộ trđêng hĩp ệẳc biỷt cựa (1) TÊt cờ ệÒu bỪng ti t

Điều chứng tỏ hai điểm a b cho

MAU CAU KHÓ HƠN

20

đơng ba (Hà Nội) Sðu tầm

BỰn hởy thay mẫi chọ cịi bẻi mét chọ sè cho ệđĩc phĐp tÝnh ệóng, biạt rỪng cịc chọ cịi khịc nhau biĨu thỡ cịc chọ sè khịc Lêi giời cẵn ghi râ lp lun.

Có cách điền số nh sau:

21 Nhận xét Bài toán khó, võ sĩ giải tốt Lời giải sau tác giả

Li gii.Ta cn cú ba bổ đề

Bữ ệÒ Cho tam giịc ABC, (O) lộ ệđêng trưn ngoỰi tiạp, I lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp ậđêng trưn (Ia) theo theo thụ tù tiạp xóc vắi cịc tia AB, AC tỰi K, L vộ tiạp xóc vắi (O) Khi ệã I lộ trung ệiÓm cựa KL

Cã thÓ từm thÊy phĐp chụng minh bữ ệÒ bội viạt “ậỡnh lÝ Lyness”, TTT2 sè 42 vộ 43 Bữ ệÒ 2.Nạu AB CD thừ AC2 AD2 BC2 BD2 Bữ ệÒ Nạu ệđêng thỬng d ệi qua ệiÓm M nỪm ngoội ệđêng trưn (O; R) vộ cớt (O; R) tỰi A, B thừ MA.MB MO2 R2

Phép chứng minh bổ đề đơn giản (bạn đọc tự chứng minh)

Trở lại giải toán thách u

Không tính tổng quát giả sử AB AC Gọi E giao điểm AI DH

Theo bổ đề 1, I trung điểm KL Kết hợp với AK AL, ta có

Chó ý rỪng HI ED, theo hỷ thục lđĩng tam giịc vuềng, ta cã EH.ED EI2 (1)

Ta thÊy

Do DIC DBI

Từ đó, ý ED OI, theo bổ đề 3, suy

EI2 EO2 DI2 DO2 BD.DC DO2 (DO2 R2) DO2 R2

Mà EI cắt (O) A F nên theo bổ đề ta có EI2 EO2 R2 EA.EF (2)

Tõ (1) vµ (2) suy EH.ED EA.EF

ậiÒu ệã cã nghỵa lộ D, H, A, F cỉng thuéc mét ệđêng trưn

nguyÔn minh hµ

o B o B

90 90 IBD

2

o A C o

DIC CIA DIA 180 90

2 o EID 90

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi

Bội toịn thịch ệÊu:Cho ệiÓm X nỪm vộ cịc ệiÓm Y, Z nỪm ngoội tam giịc ABC cho cịc tam giịc XBC, YAC, ZBA ệăng dỰng ậđêng thỬng YZ theo thụ tù cớt cịc ệoỰn thỬng AB, AC tỰi M, N P lộ trung ệiÓm cựa BC Chụng minh rỪng YN ZM vộ chử

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.10.2014 theo dÊu bđu ệiỷn

PAB XAC

22 Kú thi toịn Quèc tạ nẽm 2014 ệđĩc tữ chục tỰi Nam Phi Cã cã 101 Quèc gia vộ vỉng lởnh thữ tham dù vắi 560 hảc sinh Nhừn vộo phữ ệiÓm, nhiÒu ngđêi ệịnh giị ệÒ nẽm vộo loỰi khã, cã ệạn ba bội tữ hĩp Nẽm chử cã hảc sinh ệỰt ệiÓm tuyỷt ệèi 42/42

ậoộn hảc sinh Viỷt Nam dù thi thừ cờ thÝ sinh ệÒu ệoỰt giời, ệã cã ba Huy chđểng Vộng, hai Huy chđểng BỰc vộ mét Huy chđểng ậăng Xạp hỰng khềng chÝnh thục cựa toộn ệoộn dùa trến tững ệiĨm thừ ệoộn Viỷt Nam ệụng thụ 10 Chóng tềi xin giắi thiỷu hai bội hừnh phỬng ệđĩc giời bỪng kiạn thục Trung hảc cể sẻ

Bội Cịc ệiÓm P vộ Q ệđĩc lÊy trến cỰnh BC cựa tam giịc nhản ABC, cho vộ

Cịc ệiÓm M, N lÊy trến AP vộ AQ cho P lộ trung ệiÓm AM vộ Q lộ trung ệiÓm AN Chụng minh rỪng giao ệiÓm cựa BM vộ CN nỪm trến ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC Lêi giời.Giờ sỏ BM cớt CN tỰi D

Cách

Vì AP PM, AQ QN nên PQ // MN Vì

nên

Mặt khác ABP CAQ

Do BPM NQC

Suy BQDN tứ giác nội tiếp

Từ ó t gic ABDC néi tiạp nến D thuéc ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam gic ABC

Cách

Vì nên ABC QAC

Gọi E F thứ tự điểm tia đối tia AB AC cho AE AB, AF AC

AB BC QA AC CAQ ABC

BAC BQN BDN

CNQ MBP

PB QA PB QN

AP CQ PM QC

APQ AQP A PAB BCA, QAC ABC

CAQ ABC

PAB BCA

HAI BÀI HÌNH HỌC

trong kì thi Toán Quốc tế IMO 2014 Ngun Bị ậang(Tđ vÊn chđểng trừnh Phịt triÓn

23

Vì nên EBC NAC

Tng tự

Mặt khác tứ giác BFEC hình bình hành Gọi I trung điểm BC AI // EC // FB

Suy Do

VẺy tụ giịc ABDC néi tiạp nến D thuéc ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC NhẺn xĐt.Bội sè Georgia ệỊ nghỡ ệđĩc ệịnh giị lộ dƠ nhÊt bội, cã tắi 378 hảc sinh dộnh ệiÓm (tèi ệa), hừnh vỳ ệển giờn chử vắi kiạn thục tam giịc ệăng dỰng lộ giời quyạt ệđĩc

Bài 3.Cho tứ giác lồi ABCD có

H l hừnh chiạu cựa A xuèng BD S, T tđểng ụng nỪm trến AB, AD cho H nỪm tam giịc SCT vộ

Chụng minh rỪng ệđêng thỬng BD tiạp xóc vắi ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc TSH Lêi giời Gải E, F thụ tù lộ ệiÓm ệèi xụng cựa C qua B, D

Ta có SE SC

Vì nên

Suy

Do tứ giác CHSE tứ giác nội tiếp

Tđểng tù tụ giịc CHTF néi tiạp

Ta cã TC TF, AE AC AF Suy BD // EF Mà AH EF M nên ME MF, HE HF

KĐo dội HC lÊy ệiÓm P cho HE HP thừ H lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp EPF Mộ tụ giịc CHSE néi tiạp nến

Do SEC HEP

SHE CEP

SH // EP Mà tứ giác CHTF nội tiếp nên

TCF HPF

Vì (chắn cung SE) nên HS phân giác ngoµi cđa gãc CHE

Tđểng tù HT lộ phẹn giịc ngoội cựa gãc CHF Suy

Mµ

nên SHT FPE

Kết hợp BD // EF SH // EP suy

VẺy BD lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc HST

NhẺn xĐt.Bội nộy ệđĩc xạp vộo bội khã cựa ngộy ệẵu, vỳ hừnh còng gẳp khã khẽn sỏ dơng nhiỊu kiạn thục, bội nộy cịng cã nhiỊu cịch giời, mong cịc bỰn hởy từm tưi

STH SHB STH FEP

HS HS HF CP FP FP HT HE HT EP CP EP

SHT SCB TCD EPF SHT SHE SCE

FTC CHF SHE SCE HPE HEP

SEH CEP ESC EHC

o CHS SEC CHS SCB 180

o o

CHS CSB 90 180 SCB

o CHS CSB 90

SEB SCB

o o

CHS CSB 90 , THC DTC 90 o ABC CDA 90 o

T- ¬ng tù DMN A CFB

DNM DMN 2A BEC CFB A BDC A 180

DNM ANM ANC A BEC BAC BAI IAC BEC CFB

CFB AMB BEC ANC

24

ASIA PACIFIC MATHEMATICAL OLYMPIAD 2014

2 hours (150 marks) (Tiạp theo kừ trđắc) 16.As shown in the diagram, a square is divided

into regions Region E is a square and the other regions are rectangles If the area of rectangles A, B, C are 18 cm2, 63 cm2 and 189 cm2 respectively, find the perimeter of rectangle D

17 The sum of 47 distinct positive integers is 2014 If there are n even numbers omong the 47 integers, what is the least possible value of n? 18 A 9-digit integer is formed using digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, without repetition

If , find

the largest possible value of A

19 A semi-circle with diameter AG is shown in the diagram The entire arc of the semi-circle is divided into equal parts by points B, C, D, E and F DF and CG are straght lines Given that the area of the semi-circle is 60 cm2, find the area of the shaded region in cm2

20.As shown in the diagram below, cubes with side length of cm are placed together to form a sequence of solids Find the surface area of the 20thsolid in cm2

21 In the diagram, each side of the square ABCD is divided into segments by the points numbered form to 12 How many different triangles can be formed whose vertices can be any three points among points to 12?

25 22 In a certain calendar year, there are more Mondays than Fridays, and more Sundays than Wednesdays Which day of the week is 1stMarch in that year? Choose your answer from the following options

(1) Monday (2) Tuesday (3) Wednesday (4) Thursday (5) Friday (6) Saturday (7) Sunday

23 There is 60 grams of 5% saline solution (Solution A), 60 grams of 8% saline solution (Solution B), and 47 grams of 9% saline solution (Solution C) These three types of solution are mixed together to produce 100 grams of 7% saline solution Find the sum of the maximum and minimum grams of Solution A that can be used

24 When a whole number is divided by 5, the remainder is a; when the same number is divided by 6, the quotient is b If the sum of a and b is 11, find the sum of all numbers that satisfy this requirement

25 Dates can be written as an 8-digit integer in the format of yyyymmdd For example, 20140125 stands for January 25th 2014 How many days are there in year 2014 such that its 8-digit representation contains equal numbers of digit 0, and 2?

26.Find the sum of all angles labelled from to 12 in the diagram below

27.Appending a positive integer N at the end of any positive integer to form a new number (for example, appending 21 at the end of 35 gives

3521), if this new number is always divisible by N, then N is called a “magic number” less than 600

28 As shown in the diagram, part of a triangle ABC is folded along the line DE, resulting in a heptagon ADECFGH If the ratio of the area of this heptagon to the area of the triangle ABC is : 7, and the area of the shaded region DEFH is cm2, find the area of the triangle ABC

29.From 2014 to 6999, how many integers have its sum of digits divisible by 5?

26 Một hình tam giác vng có số đo chiều dài ba cạnh số tự nhiên đôi nguyên tố gọi tam giỏc Pytago

Ta kí hiệu cạnh tam giác Pytago a, b, c c b a (c gọi cạnh góc vuông nhỏ, b gọi cạnh góc vuông lớn)

* Công thức c n với n số lẻ, , a b

Ta có bảng sau

Ta gọi sè trªn thuéc nhãm A

LÊy mẫi bé ba sè trến nhẹn vắi hỷ sè k (k 1, 2, 3, ) ta ệđĩc bé ba sè mắi Gải cịc bé sè nộy lộ A’

* C«ng thøc c 4c’ (c’ 2, 3, 4, ), b 4c’2 1, a b

Ta cã b¶ng sau

Ta gọi số thuộc nhóm B

Lấy mẫi bé ba sè trến nhẹn vắi hỷ sè k (k 1, 2, 3, ) ta ệđĩc bé ba sè mắi Gải cịc bé sè nộy lộ B’

* Công thức c 4c (c số lẻ c’ > 3), b c’2 4, a b

Ta có bảng sau

Ta gọi số trªn thuéc nhãm C

LÊy mẫi bé ba sè trến nhẹn vắi hỷ sè k (k 1, 2, 3, ) ta ệđĩc bé ba sè mắi Gải cịc bé sè nộy lộ C’

Các số thuộc A’, B’, C’ số tam giác Pytago nhðng độ dài ba cạnh tam giác vuông

Vắi cịc cềng thục trến ta chử cẵn biạt ệé dội mét cỰnh cựa tam giịc vuềng thừ ta sỳ tÝnh ệđĩc ệé dội hai cỰnh cưn li

Ví dụ Cho hình tam giác có số đo cạnh lớn kề với góc vuông 24 Dựa vào công thức hÃy tính cạnh lại tam giác Lời giải Ta có b 24

V× 24 24.1 12.2 4.6

* Nếu b thuộc nhóm A a b 24 25 Do c2 b.2 49 nên c

* Nếu b thuộc nhóm A’ b 12 Khi a (12 1).2 26

Do (2c)2 (12.2 1).2 nên c 10 * Nếu b thuộc nhóm A’ b Khi a (4 1).6 30

Do c 3.6 18 Bài tập

Bài 1.Dựa vào cơng thức tính độ dài cạnh tam giác vng có cạnh góc vng nh bng 56

Kì sau đăng tiếp

c

b

NĂM CƠNG THỨC TÍNH CÁC BỘ SỐ TAM GIÁC PYTAGO

ngun danh ninh(Hµ Đông, Hà Nội)

c 11 13 15 17 19

b 12 24 40 60 84 112 144 180 a 13 25 41 61 85 113 145 181

c 12 16 20 24 28 32 36 40 b 15 35 63 99 143 195 255 323 399 a 17 37 65 101 145 197 257 325 401

27

Bội 13NS Cho sè thùc a vộ sè nguyến dđểng b TÝnh giị trỡ cựa biÓu thục (kÝ hiỷu [x] lộ phẵn nguyến cựa x)

Trẵn anh tuÊn(GV THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam) Bội 14NS.Giời phng trnh

nguyễn văn xá(GV THPT Yên Phong số 2, Yên Phong, Bắc Ninh) Bài 15NS.Cho tam giác ABC tháa m·n TÝnh

thịi nhẺt phđĩng(GV THCS NguyÔn Vẽn Trẫi, Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa) CA

CB o

C

B 22,5

2

1

2 x x

x x

a b a

M ,

b b

CUỘC THI GIẢI TỐN DÀNH CHO NỮ SINH (TTT2 sè 135+136) Bµi 7NS

* ậiỊu kiỷn cẵn:Hỷ phđểng trừnh tđểng ệđểng vắi

Phđểng trừnh (1) cã nghiỷm nguyến lộ (x, y) (3, 3); (1, 1)

Vắi (x, y) (3, 3) vộ (x, y) (1, 1) thay vộo (2) ta ệđĩc m2 nến m

* ậiÒu kiỷn ệự:Vắi m ta cã hỷ phđểng trừnh

Hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm (x, y) (3, 3); (1, 1) VẺy m

Bài 8NS Vì đa thức chia (x 1)(x2 1) có bậc nên đa thức d có dạng R(x) ax2 bx c Ta cã f(x) (x 1)(x2 1)q(x) ax2 bx c Vì f(x) chia cho x d nên

f( 1) = a b c (1)

Mặt khác f(x) [(x 1)q(x) a](x2 1) bx c a bx (c a) đa thức d phép chia f(x) cho x2

bx (c a) 2x

Thay vộo (1) ta ệđĩc

VËy ®a thøc dð phÐp chia f(x) cho (x 1)(x2 1) lµ

Bài 9NS.(Bạn đọc tự vẽ hình) Ta có tam giác ABC vuông A nên AH.BC AB.AC

áp dụng định lí Pytago ta có AB2 AC2 BC2 Mà ADM AED (g.g)

Ta cã AB AC 2AD

Suy ®pcm

Nhận xét Các tốn khơng khó nhðng khơng có bạn có lời giải

Ngun Ngäc H©n AH.BC ME.BC AH ME.

2

2

AB AC BC BC ME AB.AC ME.BC

2 2 2

2

AB AC AB AC

AD AM(AM ME)

2

2

AD AM AD AM.AE.

AE AD BC AM 2

R(x) x 2x

2

3

c

2

a

b b

c a c a

2

2

y(x 2) x 3x (x 2) (y 1)

2

2 2

28

Vui cười

Bận gì?

Tuổi: - Sáng 10 tớ mới dậy đấy.

Thơ: - Thế trước 10 cậu bận mà khơng dậy?

Á quân

Tuổi: - Này, cậu có biết những người đứng thứ nhì thi lại gọi quân?

Thơ: - Hì hì Chắc lúc biết mình đứng thứ nhì, họ kêu “á” lên sao!!!

Giống

Tuổi: - Mọi người bảo tớ giống ông nội Mắt, mũi, miệng giống hệt. Thơ: - Cịn tớ giống hệt ơng tớ họ.

Cho hành

Tuổi: - Chị cậu làm phòng thế?

Thơ: - Đang nấu cháo điện thoại. Tuổi: - Thế có cho hành vào khơng?

Bõ

Tuổi: - Cậu có muốn tớ khao bắp ngơ nướng khơng?

Thơ: - Không.

Tuổi: - Lạ thật! Sao hôm cậu lại từ chối nhỉ?

Thơ: - Vì 10 bắp bõ ăn.

29 Hẵu hạt nhọng tõ bỡ nhẵm ệÒu ệở ệđĩc cịc bỰn sỏa lỰi chÝnh xịc Duy chử cã tõ lẳn(cẵn phời sỏa thộnh léi - vắi nghỵa lộ bểi léi) thừ mét vội bỰn cưn bá sãt Cị mộ lẳnthừ lộm sao ta thÊy chóng tung tẽng ệđĩc nọa, ệóng khềng nộo? Khi ệảc ca dao, tơc ngọ, thộnh ngọ, cịc bỰn hởy chó ý ệạn nghỷ thuẺt dỉng tõ tuyỷt vêi cựa ềng cha ta nhĐ.

*Rđ xem c¶nh KiÕm Hå

Xem cầu Thê Húc, xem chùa Ngọc Sơn Đài Nghiên, Tháp Bút cha mòn

Hỏi gy dựng nến non nđắc nộy?

*NhÊt cao lµ nói Ba Vì

Thứ ba Tam Đảo, thứ nhì Độc Tôn

*Ai đến huyện Đông Anh

GhĐ xem phong cờnh Loa thộnh Thôc Vđểng Cữ Loa hừnh èckhịc thđêng

Trời bao nẽm thịng, nĨo ệđêng cưn ệẹy

*Bắc Kạn có suối đãivàng Có hồ Ba Bể, cú nng ỏo xanh

*Làng có lũy tre xanh

Có sông Tô Lịch uốn quanh xóm làng Bên bờ vải nhÃn hai hàng

Di sng c léitõng ệộn tung tẽng

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi: NguyÔn Thỡ Trộ Vy,

7A1; TỰ Khớc Thớng, 7A2; Dđểng Lẹm Anh, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh.

Phan Hđểng Phong caũnh miền Bắc (TTT2 sè 135+136)

Tất bạn phát quy luật trong cách xếp từ (từ số đến số 6): 1 DRAMA 2 RABBI CYCLE IDLED

5 TENSE 6 AFFIX

Vậy WIGGLE từ phù hợp để điền vào vị trí thứ 7.

Chự Vđên sỳ gỏi quộ tắi cịc bỰn sau: Trẵn Hoộng Lẹm, 11 ngâ 100, An Xị, Ba ậừnh;

KiÒu Thu Hđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn Thỡ Thu Trang, 7A1; Tề Vẽn Lùc, 7A2, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An.

Chự Vđên

30 họ viạt xuÊt hiỷn cịch chõng 4000 nẽm ẻ Lđìng Hộ vộ Ai CẺp (Tõ I Rớc, IRan vộ Ai CẺp ngộy nay) Nhđng chọ chử ệđĩc ghi lỰi trến ệị, vá cẹy, tre, tróc, da, tÊm ệóc bỪng ệÊt 105 nẽm trđắc CN giÊy ệêi, lộm thự cềng (ậạn nẽm 1800 mắi sờn xuÊt bỪng cể khÝ hãa) Thạ kử X nghÒ in tõ tÊm gẫ khớc ra ệêi (cưn gải lộ tipề).

Nẽm 1455 nghÒ in vắi chọ ệóc bỪng kim loỰi chừ ệđĩc bớt ệẵu Tõ ệẹy sịch ệđĩc in vắi sè lđĩng lắn ẻ ậục Cuèn sịch ệẵu tiến ệđĩc in 200 bờn NghÒ in phịt triÓn rẵm ré thạ kử XVI. 1796 thếm cềng nghỷ in thỰch bờn (cưn gải lộ litề) 1566 tê bịo ệẵu tiến ệêi ẻ Italia, trờ tiÒn bỪng cịc ệăng xu gải lộ Gazetta Tõ ệẹy bịo ệđĩc gải chung lộ Gazetta 1811 mịy in 1 èng ệêi Nẽm 1838 mịy ờnh ệêi Nẽm 1844 ệiỷn tÝn ệêi Tin tục ệđĩc truyÒn ệi qua khềng gian 1873 mịy in èng lâm xuÊt hiỷn, in mẳt Nẽm 1865 Gia ậỡnh bịo ệêi ẻ Sội Gưn lộ tê bịo ệẵu tiến cựa Viỷt Nam Tõ 1885 ngđêi Hời Phưng cã sữ NhẺt trừnh ghi lỰi cịc tin tục thu lđĩm ệđĩc ệÓ bịn nhđ tê bịo, lóc ệẵu gải lộ sữ ghi tin Nẽm 1905 ậỰi Viỷt tẹn bịo ệêi ẻ Hộ Néi Nẽm 1919 Trung Bớc Tẹn Vẽn nhẺt bịo ẻ Hộ Néi thộnh tê bịo ra hộng ngộy ệẵu tiến cựa nđắc ta.

1907 ờnh mộu xuÊt hiỷn 1948 manh nha mịy tÝnh ệiỷn tỏ ệêi Nẽm 1938 mịy photocopy xuÊt hiỷn 1950 cã mịy photocopy phiến bờn mắi Nẽm 1956 mịy tÝnh ệiỷn tỏ ệêi, kÝch thđắc bỪng cịi tự lỰnh 1965 bớt ệẵu sớp chọ ệiỷn tỏ thay cho sớp chọ chừ 1970 mịy

tÝnh cị nhẹn ệêi Trđắc ệã, 1968 ệở cã my photocopy mu.

Từ bắt đầu xà hội hậu công nghiệp hay xà hội thông tin dựa kinh tế tri thức với sở hạ tầng công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ.

1975 cềng nghiỷp phẵn mÒm xuÊt hiỷn NghÒ lộm sịch, bịo thùc sù ệữi khịc tõ 1990 vắi viỷc tõ biỷt mịy ệịnh chọ (mịy chọ), xạp tõng chọ chừ, khớc hừnh vỳ bỪng gẫ Giao thục internet lộm cuéc cịch mỰng khoa hảc lắn nhÊt truyÒn tin, giao tiạp xở héi, lộm lung lay tẺn gèc mải phđểng thục truyÒn thềng, cịch ệđa tin, bội, ờnh Kử nguyến Thềng tin bớt ệẵu Nạu so vắi lỡch sỏ hừnh thộnh cựa Trịi ậÊt vắi 6,6 tử nẽm thừ lỡch sỏ cựa bịo mỰng mắi chử cã 40 nẽm lộ cỉng nhá bĐ Nhđng thạ giắi ệở phỬng hển Con ngđêi giao tiạp vắi ệở khịc hoộn toộn. Nhanh, ệứp, phữ cẺp vộ gièng lộ nhọng ệiÒu dÔ thÊy ẻ bịo ệiỷn tỏ (bịo mỰng). Cển lèc ệđa tin nhanh lộm thẺt, giờ, xÊu, tèt khã phẹn ệỡnh hển Ngđêi ệảc bịo ngộy nay phời tù mừnh từm hiÓu ệÓ tiạp cẺn vắi sù thẺt mét cịch gẵn nhÊt.

NGƯỢC THỜI GIAN VỀ NGHỀ LAØM SÁCH, BÁO

31

Hái:Anh Phã ểi! Em thÊy hiỷn cịc bỰn trĨ rÊt thÝch hảc tiạng Hộn Sè ngđêi thÝch hảc tiạng Hộn nhiÒu hển sè ngđêi thÝch hảc tiạng Hịn TỰi TTT khềng cã chuyến môc hảc tiạng Hộn Ự? Nạu cã thừ em sỳ lộ ngđêi gỏi bội ệẵu tiến ệÊy anh

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Lộm em biạt Ngđêi thÝch tiạng Hộn NhiÒu hển tiạng Hịn Bịo nạu nhiỊu trang Sỳ thếm mơc mắi ậạn vắi Tiạng Phịp Răi Tẹy Ban Nha Bă ậộo Nha nọa Nhđng mộ cưn xa

Hái:Nạu em lộm bội chuyến môc nộy mộ lỰi ghi chuyến môc khịc thừ cã ệđĩc chÊp nhẺn khềng Ự? NguyÔn ậẽng Danh

(9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

Đáp:

Sao phi rc ri vy Khụng ghi tên Ghi tên chuyên mục Để chia khỏi sai

Hái: Anh Phã ểi! Bội gỏi ệi cã ệđĩc dỉng bót xãa hay viạt bỪng hai th mực khng ?

Trần Toàn Thịnh

(Quờn ghi a ch)

Đáp:

Gi cho bo th ệđĩc Lộm bội thi thừ ệõng Cộng Ýt dỉng bót xãa MỰch viạt cộnh hanh thềng Thẵy cề chÊm sỳ thÝch Cha mứ xem cộng mõng

Hái: Anh Phã ểi! TiÓu thuyạt từnh yếu cã ệđĩc coi lộ mét tịc phÈm vẽn hảc khềng Ự?

Bót Bi

Đáp:

Mọi điều viết giấy Hay in tõ xða

Nếu đạt Chân, Thiện, Mỹ Đều gọi tác phẩm mà Tiểu thuyết Chân, Thiện, Mỹ hàng đầu

32

Bội 1(139).Cho x vộ y lộ cịc sè nguyến dđểng tháa mởn Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa x

cao ngọc toản(GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế) Bài 2(139).So sánh biểu thức P với biết

(víi 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3, )

phỉng vẽn long (GV THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc) Bội 3(139) Giời phđểng trừnh

nguyễn ngọc hùng (GV THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh) Bài 4(139) Tìm x để biểu thức đạt giá trị nhỏ

nguyễn đức (TP Hồ Chí Minh) Bài 5(139) Cho n số tự nhiên Ta định nghĩa n! (đọc n giai thừa) nhð sau:

a) NÕu n th× n!

b) Nếu n n! n.(n 1)! 1) Hãy tính 5! theo định nghĩa

2) Hãy viết 2014! thành tích số tự nhiên từ định nghĩa

vũ kim thủy Bài 6(139).Cho tam giác ABC có tỉ số hai cạnh chung đỉnh A : Vẽ trung tuyến AM phân giác AK Tính tỉ số diện tích hai tam giác AKM AKB

nguyễn đễ (Hải Phòng)

2

2

A x x

x

2

13 x x x x 16

3 2014

P

1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014! 1,

2

x 2y 2016 x y 2015

1(139) Let x and y be positive integers such that Find the minimum value of x

2(139).ComparePand given that

where 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3, 3(139).Solve the following equation

4(139).Find the value of xthat minimizes the expression 5(139).Letnbe a natural number We define n! (nfactorial) as: a) If n then n!

b) If n then n! n.(n 1)! 1) Calculate 5! based on the above definition

2) Express 2014! as a product of natural numbers

6(139) Let ABC be a triangle having the ratios of the lengths of the two sides sharing the common vertexAas : Let AMbe the median and AKbe the angle bisector of the triangle Find the ratio of the areas of the triangle AKMand the triangle AKB

2

2

A x x

x

2

13 x x x x 16

3 2014

1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014!

P

1,

2 2016 2015

x y