Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 133

Chøng minh r»ng ngðêi thø nhÊt bao giê còng lµm cho phð¬ng tr×nh cã ba nghiÖm nguyªn, kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän sè cña ngðêi ch¬i thø hai.. Cø tiÕp tôc nhð vËy.[r]

2

Trong bội viạt nộy chóng ta sỳ từm hiĨu mèi quan hỷ cựa hai tam giịc cã hai cẳp cỰnh bỪng vộ cỰnh thụ ba khềng bỪng Trđắc hạt ta cã ệỡnh lÝ sau:

ậỡnh lÝ.Cho hai tam giịc ABC vộ A’B’C’ cã AB A’B’; AC A’C’ Khi ệã nạu thừ BC B’C’ vộ ngđĩc lỰi, nạu BC B’C’ thừ

Chøng minh

* Gi¶ sư

Dùng tam gi¸c A’B’’C’ b»ng tam gi¸c ABC Tia phân giác góc BAB cắt BC D

Ta cã B’A’D B’’A’D (c.g.c) nªn DB’ DB’’ Trong tam giác DBC có DB DC BC nên BC BC BC

* Gi¶ sư BC B’C’

Ta sÏ chøng minh

+ Nếu ABC A’B’C’ nên BC B’C’ (loại) + Nếu theo chứng minh BC B’C’ (loại) Do

Suy ®pcm

Ta sỳ ịp dơng ệỡnh lÝ trến ệĨ giời cịc vÝ dô sau: VÝ dô 1.Cho tam giịc ABC cã AB AC Trến cịc cỰnh AB vộ AC lẵn lđĩt lÊy cịc ệiÓm D vộ E

cho BD CE Gọi M trung điểm BC Chứng minh MD ME

Giải

Tam giác ABC có AC AB nên hay Xét hai tam giác BDM vµ CEM cã CE BD (gt); CM BM (gt) vµ Suy MD ME

VÝ dô Cho tam giác ABC có AB AC Gọi M trung điểm BC Trên đoạn thẳng AM lấy điểm O (O khác M) Chứng minh OB OC Giải

DBM ECM DBM ECM

ABC ACB

A A’ A A’ A A’

A A’ A A’

A A A A

HAI TAM GIAÙC

3

XÐt hai tam gi¸c AMB vµ AMC cã MB MC (gt); MA chung vµ AB AC nên

Xét hai tam giác OMB OMC có MB MC (gt);

MO chung nên OB OC

VÝ dơ Cho tam gi¸c ABC cân A M điểm cạnh BC cho MB MC Trên đoạn thẳng AM lấy điểm O (O không trùng với A M) Chứng minh r»ng

Gi¶i

Ta có AM AB AC (bạn đọc tự chứng minh) Xét BAM CAM có AB AC; AM chung MB MC nên

XÐt BAO vµ CAO cã AB AC; AO chung vµ nên OB OC

Trên đoạn OC lấy điểm N cho ON OB Vì N nằm tam giác cân ABC nên AN AB Xét AOB AON có OB ON; OA chung AN AB nên

Ví dơ Cho tam gi¸c ABC cã AB AC VÏ phía tam giác tam giác vuông cân A ABD ACE Gọi M trung điểm BC HÃy so sánh MD ME

Giải

Ta có AB AC nên BD CE

Ta lại có EAB CAD (c.g.c) nên BE CD Xét DCB vµ EBC cã BE CD; BC chung vµ

BD CE nên hay

Xét DCM BEM cã BE CD; MB MC (gt)

và Do MD ME

Bài tập

Bài 1.Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn thẳng AC Biết AB BC Chứng minh CD DA

Bội 2.Cho tam giịc ABC cã AB AC Gải BD vộ CE lộ hai ệđêng cao cựa tam giịc Chụng minh rỪng BD CE

Bµi 3.Cho tam giác ABC có Chứng minh

Bài 4.Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D Gọi M trung điểm đoạn thẳng CD Tia AM cắt BC N Chøng minh r»ng BN CN

Bài 5.Cho tam giác ABC có AB AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh MD ME

A

C

2

1

AB AC

2 A 90

DCM EBM

DCM EBM DCB EBC

BOA COA BAM CAM

BAM CAM BOA COA OMB OMC

4

NhẺn xĐt ậa sè cịc bội gỏi vÒ ệÒu chử lêi giời sai ẻ bđắc giời ệiÒu kiỷn:

Râ rộng ta ệở chia cho x cã thÓ bỪng 0, lộm mÊt nghiỷm x cựa phđểng trừnh

Lêi giời ệóng Ta cã thĨ sỏa lỰi nhđ sau Thỏ x tháa mởn phđểng trừnh

Xét x Từ điều kiện suy x Ta giải tiếp nhð cho

Cịc bỰn ệđĩc nhẺn thđẻng kừ nộy: NguyÔn Thỡ Nhẹm, 6A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; NguyÔn Vẽn Huy, 6C, THCS Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh;NguyÔn Thỡ Thu Phđểng, 8A2, THCS GiÊy, Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; Vđểng Tiạn ậỰt, 8B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi;Ngun Thóy HỪng, 8A, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam

Cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt: NguyÔn ậẽng Chanh, 9D; Hoộng MỰnh Cđêng, Trẵn Nhẹn Khiếm, ậẳng Xuẹn Huy, Trẵn Quèc Bờo, PhỰm Sủ Huúnh, Thịi Xuẹn BÒn, 9C, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Lế Phđểng Thờo, 9C; Trẵn Thỡ Thu Phđểng, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn,Hộ Nam;Chu Minh Huy, 9B, THCS Lế Họu Trịc, thỡ trÊn Bẵn, Mủ Hộo, Hđng Yến;Trỡnh Phó Trảng, 8A, THCS Tẹn Bừnh, TX Tam ậiỷp, Ninh Bừnh;NguyÔn Thỡ Thanh Hđểng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;Nghiếm Vẽn Long, 9D, THCS Vỵnh Yến, TP Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc

anh kÝnh lóp (x 1)(x 1) x

x x

Trong mét buæi häc nhãm, Văn nhờ Toán giải hộ toán sau:

Bài toán.Phân tích thành nhân tử:

Toán nói dễ giải nh sau: Lời giải.Ta có

Ban thấy lời giải nào? Có cần sửa chữa, thêm bớt không?

Phạm liên (GV THCS Mai Dịch, Hà Nội) 2a ab 6b 2a ab ab 6b

a(2 a b) b(2 a b) ( a b)(2 a b)

2a ab 6b

PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM?

(TTT2 sè 130)

5

(TTT2 số 131) Nhận xét.Quy luật kì dễ nhËn nªn cã

nhiỊu bỰn tham gia gỏi bội vộ ệỊu cho ệịp ịn ệóng Tuy nhiến, cã Ýt bỰn ệđĩc chÝnh xịc quy luẺt

Quy luËt

Bài 1.Xét hai hình đầu tiên: Tổng số ba đỉnh số nằm bên tam giác 32 Do số cần điền vào dấu (?) hình thứ ba

32 (6 9) 11

Bội 2.LÊy tững hai sè ẻ hai ệửnh bến dđắi chia cho sè ẻ ệửnh bến trến cựa tam giịc ta ệđĩc sè bến tam giịc Theo quy luẺt ệã, sè cẵn ệiÒn vộo dÊu (?) ẻ hừnh thụ ba lộ

(2 5)

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy (đu tiến cịc bỰn nhá tuữi nhÊt): Ngun Thỡ Chóc, 6A2, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; NguyÔn Thỉy Dđểng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Tiạn Duy, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; Lế Quang Khịnh, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; Dđểng Thỉy Linh, 6A2, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: Vò Quang Phong, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;ậẺu Thanh Thựy, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Trẵn Minh Hiạu, PhỰn Thỡ Thu Trang, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;Nhãm bỰn ậẫ Vẹn Anh, Lế Mai Hđểng, NguyÔn Thỡ Phđểng Thu, NguyÔn Thỡ Anh ậộo, 6A2, THCS Sềng Lề, Sng L, Vnh Phúc

nguyễn Xuân Bình

ẹIEN SO NÀO?

ĐIỀN

HÌNH - SỐ

Bài 1.Trong dãy hình sau, chọn hình khơng theo quy luật

Bài 2.Trong dÃy hình sau, điền số thiếu cho hợp lôgic

6

nh lí, hay nghỡch lÝ ngđêi trung gian, cã thÓ phịt biÓu ẻ dỰng hay râ rộng hển: Nạu cã hai ngđêi chia mét thụ cã giị trỡ bỪng thừ sỳ cã cịch chia cho mẫi ngđêi nhẺn ệđĩc giị trỡ lộ mộ vÉn thõa mét phẵn cã giị trỡ dđểng cho ngđêi trung gian ệụng chia

Giờ sỏ ta cã mét thái bịnh rÊt ngon, cã ệiÒu phẵn ệẵu ngon hển phẵn cuèi Hai ngđêi muèn chia nhau, mét ngđêi sỳ lÊy phẵn ệẵu, mét ngđêi sỳ lÊy phẵn cuèi, cho mẫi ngđêi phời nhẺn ệđĩc Ýt nhÊt giị trỡ cựa cịi bịnh Hừnh dung cịi bịnh nhđ lộ ệoỰn thỬng tõ ệạn Ngđêi thụ nhÊt sỳ coi lộ ệoỰn tõ ệạn a cã giị trỡ bỪng tõ a ệạn 1, ệã a nhá hển vừ ệoỰn ệẵu ngon hển ệoỰn ệuềi ậèi vắi ngđêi thụ hai thừ ệoỰn tõ b ệạn mắi cã giị trỡ bỪng tõ ệạn b, ệã b còng lộ sè nhá hển nhđng khịc vắi a (vừ khềng cã hai ngđêi nộo cã sẻ thÝch gièng hỷt nhau)

Cã mét ngđêi trung gian lộm lộm trảng tội chia cho hai ngđêi Giờ sỏ a b Khi ệã ngđêi trung gian chia cho ngđêi thụ nhÊt ệoỰn tõ ệạn a, răi cho thếm khóc tõ a ệạn Ngđêi thụ nhÊt sỳ hội lưng vừ ệđĩc hển giị trỡ cịi bịnh Ngđêi trung gian lỰi chia cho ngđêi thụ hai khóc tõ b ệạn 1, răi cho thếm khóc tõ ệạn b Ngđêi thụ hai còng hội lưng vừ ệđĩc hển giị trỡ cịi bịnh Cưn khóc bịnh tõ ệạn lộ phẵn thđẻng dộnh cho ngđêi trung gian! Nghỵa lộ ngđêi

trung gian ệđĩc hđẻng cịi bịnh

Cịc hoỰt ệéng mềi giắi trung gian kinh tạ nãi chung ệÒu dùa trến nghỡch lÝ ệển giờn trến VÝ dô, ngẹn hộng vay cựa ngđêi A vắi lởi suÊt 8% răi cho ngđêi B vay lỰi vắi lởi suÊt 11% Ngđêi A tháa mởn vừ nạu thay vừ cho ngẹn hộng vay mộ tÝch trọ cịch khịc thừ chử ệđĩc 5% Ngđêi B cịng tháa mởn vừ cẵn vay tiỊn, lởi suÊt cã ệạn 14% vÉn thÊy chÊp nhẺn ệđĩc Cưn ngẹn hộng ngăi ẻ giọa hđẻng lĩi TÊt nhiến A vộ B cã thÓ tháa thuẺn trùc tiạp, bá qua trung gian thừ cờ hai sỳ cỉng lĩi hển Vắi ngđêi A thừ giị cựa cịi lĩi ệã lộ tèn cềng sục hển vộ rựi ro tẽng lến, nến biạt lộ nạu khềng cã trung gian sỳ lĩi hển nhđng vÉn thÝch giời phịp thềng qua trung gian hển

Trong tội chÝnh thừ nghỡch lÝ cưn ệđĩc biạt ệạn ẻ mét dỰng mang tến arbitrage (buền bịn chếnh lỷch giị) Cịc thỡ trđêng ệđĩc gải lộ rÊt hiỷu quờ nạu khềng hÒ cã cịc cể héi arbitrage Nhđng trến thùc tạ, hẵu nhđ ẻ ệẹu còng cã arbitrage

1 1

2

2(b a) b a b a

a a

3 3

2(b a) a b a a 2(b a) a b a a 2 2 1 2

ĐỊNH LÍ NGƯỜI TRUNG GIAN

7

ẹEÀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ : RDKTH007

Câu (2,5 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử a2(b c) b2(c a) c2(a b) b) Cho số nguyên a, b, c tháa m·n

(a b)3 (b c)3 (c a)3 210 Tính giá trị biểu thức

A |a b| |b c| |c a| Câu (2,5 điểm)

a) Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến x2 y2 xy b) Giời phđểng trừnh (3x 4)(x 1)(6x 7)2 72 Cẹu 3.(2,5ệiÓm)

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (x 2012)2 (x 2013)2

b) Cho cịc sè thùc dđểng x, y, z tháa mởn x y z

Chứng minh Câu (2,5 điểm)

Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A LÊy mét ệiÓm M bÊt kừ trến cỰnh AC Tõ C vỳ mét ệđêng thỬng vuềng gãc vắi tia BM tỰi D vộ ệđêng thỬng ệã cớt tia BA tỰi E

a) Chøng minh r»ng EA.EB ED.EC

b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD CM.CA có giá trị khơng đổi

c) KĨ DH BC (H BC) Gải P, Q lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa cịc ệoỰn thỬng BH, DH Chụng minh rỪng CQ PD

21 21 21 2

x x y y z z

Danh sách bạn giải kì 58: Nguyễn Trung Nghĩa, 9C1, THCS Trần Phú, TP Bắc Giang, Bắc Giang; Nguyễn Thanh Bính, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;Nguyễn Văn Quang, 7A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh;Hồng Thị Hằng, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam;

Hoàng Đam, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu,Nghệ An

Lª tó

Trắng trước chiếu hết sau nước

LÊ THANH TÚ

8

PhÇn A

1.Gải hai sè ệã lộ x vộ y Tõ y 2034 x, ta cã xy 2034x x2 lộ béi cựa 2034 nến x2 lộ béi cựa 2034 Mộ 2034 2.32.113 Do ệã 3.113 678 phời lộ đắc cựa x, mẳt khịc 678 x 2034 Do ệã x chử cã thÓ nhẺn hai giị trỡ 678 vộ 2.678 1356 Hai giị trỡ tđểng ụng cựa y lộ 1356 vộ 678 Suy x y 678 vộ giị trỡ lắn nhÊt cẵn từm lộ 678

2.Gải tam giịc ệÒu lộ ABC vộ O lộ tẹm cựa ệđêng trưn tiạp xóc vắi hai cỰnh AB vộ AC, gải r lộ bịn kÝnh ệđêng trưn Cịc tam giịc OAB, OAC vộ OBC cã chiÒu cao hỰ tõ O tđểng ụng lộ r, r vộ 2r Tững diỷn tÝch cịc tam giịc ệã bỪng diỷn tÝch tam giịc ABC ChiÒu cao cựa tam giịc ABC bỪng

, từ , suy

3.Gải sè chÝnh phđểng cẵn từm lộ m2vộ sè chÝnh phđểng mắi lộ n2 Ta cã m2 n2 3.1000 2997, ệã (m n)(m n) 34.37 Mộ m n m n 2.99 198 Do ệã m n 27 vộ m n 111 hoẳc m n 37 vộ m n 81 Trong trđêng hĩp thụ nhÊt thừ m 69 vộ m2 4761 vộ trđêng hĩp cưn lỰi m 59 vộ m2 3481 Mộ m2 3000 1000 nến sè chÝnh phđểng cẵn từm lộ 4761 4.Ta cã

Từ

Do Suy

5.Ta thấy có cách chọn màu viên gạch phía

trn bn tri, có cịch chản mộu cựa viến gỰch ẻ phÝa dđắi bến trịi Do ệã cã 2.3 cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ cét ệẵu tiến bến trịi Trong mẫi cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ cét ệẵu tiến bến trịi thừ cã cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ cét thụ hai, mẫi cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ cét thụ nhÊt vộ cét thụ hai thừ cã cịch chản mộu hai viến gỰch ẻ cét thụ ba VẺy sè cịch ghĐp cịc viến gỰch lộ 6.35 1458

6.Ta cã 19 28 37 46 55 64 73 82 91 230 313 57 73 Sè chÝnh phđểng lắn nhÊt lộ đắc cựa sè ệã lộ sè 230 312 56 72 Do ệã cịc sè chÝnh phđểng lộ đắc cựa sè trến lộ bừnh phđểng đắc sè cựa sè 215 36 53 71 Sè cịc đắc sè cựa sè ệở cho lộ sè chÝnh phđểng lộ

(15 1)(6 1)(3 1)(1 1) 672

7.Cịc sè ệẵu tiến lộ 1, 2, 10, 11, 12, 21, 22, 100, 101 vộ cụ thạ ậã lộ cịc sè ệđĩc viạt hỷ cể sè Sè 20112012 hỷ cể sè ệđĩc viạt thộnh sè sau hỷ thẺp phẹn 2.37 36 35 34 33 32 31 4757 VẺy sè cịc sè cẵn từm lộ 4757 sè

8

Gọi G điểm cạnh AC cho FG AF cm Khi ta có GD AD DAG DGA

Vì ABCD tứ giác nội tiếp nªn DCG DBA Ta cã DGC 180o DGA 180o DAG

180o DAE DAB

Suy tam giác DGC DAB nên GC BA cm Do

AC AF FG GC 2 cm

9.Ta có số a, b, c d có khả số chẵn khả số lẻ Chú ý ad bc số chẵn hai số ad bc tính chẵn lẻ Khả để bốn số a, b, c d số lẻ

1 2 ABC

ABN S

S 4cm

2 3

ABC ABN

S BC 3.

S BN

BC BN

BM

BN

NM AM 3

BN AB

3

r

2 4r

3

12

2

DTH(Giíi thiƯu)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC

TỐN QUỐC TẾ ĐÀI LOAN (TAIMC 2012)

9

Khờ nẽng ệÓ a vộ d khềng cỉng lĨ hay b vộ c khềng cỉng lĨ lộ VẺy khờ nẽng ệÓ xờy trđêng hĩp ad bc chơn lộ 10.Sè ệoỰn thỬng nèi hai ệiÓm 24 ệiÓm ệở cho lộ Trong mẫi ệoỰn thỬng ệã ta vỳ ệđĩc hai tam giịc ệÒu nhẺn ệoỰn thỬng ệã lộ cỰnh Sè tam giịc ệÒu tỰo thộnh lộ 276.2 252 Trong cịc tam giịc ệÒu ệã cã cịc tam giịc cã ệửnh lộ ba sè 24 ệiĨm nãi trến Sè cịc tam giịc ệỊu nhđ vẺy lộ 24 : Sè tam giịc ệÒu cẵn ệạm lộ 252 2.8 536

11

Gải C lộ tẹm cựa ệđêng trưn, giao ệiÓm cựa OC vắi cung AB lộ P Gải D lộ ệiÓm trến OB cho CD vuềng gãc vắi OB ậẳt CD r thừ OC 2r vộ CP r, tõ ệã OP 3r

Do diện tích hình quạt trịn Diện tích hình trịn r2

TØ sè diƯn tích hình quạt tròn OAB diện tích hình tròn

12.Có cp hng ngang liền kề vộ cã cẳp cét dảc liÒn kÒ Sè cịc hừnh vuềng 2 khịc bộn cê lộ 7.7 49 Cã ba phi tiếu ệđĩc phãng vộo ba ề vuềng cựa bờng 2 thừ cã khờ nẽng xờy Sè cịc cịch khịc lộ 49.4 196 Phẵn B

1.Ta sử dụng bất đẳng thức , ta cú

Cứ tiếp tục làm nh ta cã Ta l¹i cã

Do phần ngun M 2012

2.Khi n2 chia cho thừ sè dđ khềng vđĩt quị Nạu thừ khềng cã sè nộo lộ béi cựa nỪm giọa n2 vộ

Do Suy

Khi n 55 n 56

s d chia 552 562 cho không lớn Từ khơng tồn m Nếu n 54 Vì 30.30 900 > 880 4.4.55

Mà 542 2916 nên

Vì 2920 : 365 nên m 365 Vậy giá trị lớn số n 54

Chú ý FC 2AF Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD vng góc với BC Do tam giác ABC DBG đồng dạng, suy

Suy GCF 20o

Mẳt khịc CG vộ BE lẵn lđĩt lộ tia phẹn giịc cựa BCF vộ ABC nến

Do

Từ CG EF, suy CFE GCF 20o 1FC 1BC

AF 2 2 BD BA AE.

FG FG BG BG BC EC

FC BC BA AE, . FG BG BC CE

o

BD BA , GCB GBC 20 BG BC

2

54 60( 55 54) 2920

60 30

60( 55 54)

55 54 55

60( n n)

15 n n n n 56

n n 60( n n)

2

n 60( n n) 60( n n)

2

(2012 1) 2012 2012.2012 2012 M 2012.2012 2012

M 2012.2014 2013

2

2 2

(2012 1) 2012

(2012 1)(2012 1) 2012

(N 1)(N 1) N

2

2

1 (3r) r

6

24 23 276

1 5.

16 16

2 16

1 1

10

Cẹu I.Nạu mỷnh ệỊ b) ệóng thừ A 51 tẺn cỉng lộ vộ A 38 tẺn cỉng lộ nến cờ hai sè nộy ệÒu khềng phời lộ sè chÝnh phđểng VẺy mỷnh ệÒ b) sai vộ cịc mỷnh ệỊ a) vộ c) ệóng

Gi¶ sư A 51 m2, A 38 n2, víi m, n vµ m n

Suy m2 n2 89 hay (m n)(m n) 89 Vì 89 số nguyên tố nên m n 89, m n Từ m 45 nên A 1974

C©u II.Ta cã

C©u III.Ta cã x2 3y2 2xy 2x 10y x2 2x(y 1) 3y2 10y

(x y 1)2 4y2 8y (x y 1)2 (2y 2)2 (2y 2)2 (x y 1)2

ậẳt a |2y 2|, b |x y 1|, vắi a, b Phđểng trừnh cã dỰng a2 b2

hay (a b)(a b) Từ a b 7, a b nên a 4, b

Tõ ệã phđểng trừnh cã nghiỷm nguyến (x; y) lộ (3 ; 1), ( 3; 1), (7 ; 3), (1; 3)

C©u IV.Chia hình chữ nhật thành phần nh hình vẽ

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai điểm thuộc mét phÇn

Ta thấy khoảng cách điểm phần khơng q cm

C©u V Ta cã

Từ x2 y2 z2

VËy P x2006 y2007 x2008 hc P Câu VI.Điều kiện x 0, y

Th x y không thỏa mãn Vậy x 0, y

Ta viạt lỰi hỷ ệở cho dđắi dỰng

x2 8xy 9y2 (x y)(x 9y) x y (v× x 9y 0)

Thay vộo (*) ta ệđĩc

Thỏ lỰi ta ệđĩc nghiỷm cựa hỷ phđểng trừnh lộ (x; y) (1; 1)

C©u VII.Ta cã

ịp dơng bÊt ệỬng thục AM - GM cho ba sè dđểng, ta cã

3

2 a (a b)(a c)a

a ab bc ca

2

2

a a

a bc a abc

2 x

x

2

1

1 x y

x y x x y

1

1 x y y (*)

2 x y

4 ( )( )

x y x y x y

4 16xy (x y)(9y x) x y 4x 4y

2 2

1 1

(x ) (y ) (z )

x y z

1 1

x y z

x y z

2 2

2 2

1 1

x y z

x y z

5 3 3

2 3 3a (2 3)(2 3)

4 3a a 3a a

a

64 3a a 3a 4 (®pcm).

(a 3)

3

3

a ( 3)

Năm häc: 2013 - 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP 9

TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG, QUẬN HOÀN KIẾM, HAØ NỘI

11

Suy

Tđểng tù

Cộng theo vế ba bất đẳng thức suy

ậỬng thục xờy vộ chử a b c Cẹu VIII.a) Vừ C thuéc nỏa ệđêng trưn ệđêng kÝnh

AB nªn hay AC BC

Mà DE BC nên DE // AC

Mặt khác, D điểm cung AC nên OD AC Suy DE OD hay DE tiếp tuyến (C) Do

VËy MDF MBD (g.g)

b) Tõ kạt quờ cẹu a) suy MD2 MF.MB (1) Vừ F thuéc nỏa ệđêng trưn ệđêng kÝnh AB nến

hay AF BF

ịp dông hỷ thục lđĩng cho tam giịc EBM vuềng tỰi E vắi ệđêng cao EF, ta cã ME2 MF.MB (2) Tõ (1) vộ (2) suy MD2 ME2nến MD ME VẺy M lộ trung ệiÓm cựa ệoỰn thỬng DE

o

AFB 90

MDF MBD

o

ACB 90

2 2

a b c a b c

a bc b ca c ab

2

b 4b c a, c 4c a b.

b ca c ab

2

a 3a a b a c 4a b c

a bc 8

3 3

a a b a c

(a b)(a c) 8

a a b a c 3a

3

(a b)(a c) 8

Câu 1.(2,0 điểm)

Thí sinh chän mét c©u sau:

a) TÝnh nhanh S 94 95 96 97 98

b) Tìm số tự nhiên a, b biết a b 60 ƯCLN(a, b)

Câu 2.(2,0 điểm)

a) Tìm x biết (2x 1)2 82 17

b) Từm cịc chọ sè a, b cho nạu lÊy sè chia cho sè thừ ệđĩc thđểng 17 vộ dđ lộ r, nạu lÊy sè chia cho sè còng ệđĩc thđểng lộ 17 nhđng cã sè dđ nhá hển r lộ 200

C©u (2,5 ®iĨm)

BỰn Nam ệi xe ệỰp tõ A ệạn B vắi vẺn tèc 10 km/h, răi ệi tiạp tõ B ệạn C vắi vẺn tèc 15 km/h Biạt quởng ệđêng BC ngớn hển quởng ệđêng AB lộ km vộ thêi gian ệi trến quởng ệđêng BC Ýt hển thêi gian ệi trến quởng ệđêng AB lộ 16 TÝnh quởng ệđêng AB

C©u 4.(3,0 ®iÓm)

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Biết AB cm, BC cm Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn thng IC

Câu 5.(0,5 điểm)

Tìm cặp sè nguyªn tè (x, y) tháa m·n x2 2y2

bb aaa

bbb

aaaa

ĐỀ THI HC SINH GII HUYN LM THAO, PH TH

Năm häc: 2012 - 2013

12

Bội 1(131) Cho m vộ n lộ cịc sè nguyến dđểng tháa mởn phẹn sè tèi giờn vộ phẹn sè

khềng tèi giờn Từm đắc sè chung lắn nhÊt cựa 4m 3n vộ 5m 2n

Lời giải.Đặt (4m 3n, 5m 2n) d, với d Khi tồn hai số tự nhiên a b cho

Trõ theo vạ cựa (1) cho (2) ta ệđĩc 7n 5ad 4bd hay 7n d(5a 4b)

Tđểng tù vộ 7m d(3b 2a)

Do 7m d 7n d nên d (vì (m, n) 1) Vậy (4m 3n, 5m 2n)

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ngề Qun, Hời Phưng; Ngun Minh ậục, 6C; Ngề Thựy Tiến, 7C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ; NguyÔn Thỡ Hđêng, 6A2, THCS Yến Phong, Yến Phong; PhỰm Thỡ Thỉy Linh, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh; NguyÔn Minh HỰnh, KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt; NguyÔn Dđểng Lan Nhi, NguyÔn Anh Phđểng, NguyÔn Phđểng Linh, 6D; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi; Thịi Trung Kiến, Phan MỰnh TuÊn, 7B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;Phan Trung Dòng, 6A, THCS Vỵnh Yến, TP Vỵnh Yến; PhỰm Ngảc Hoa, Hộ Thỡ Bừnh Dđểng, 7A1; NguyÔn Thỡ Phđểng Thu, Dđểng Thỉy Linh, ậẫ Vẹn Anh, NguyÔn Thỡ Anh ậộo, 6A2, THCS Sềng Lề, Sềng Lề; NguyÔn Tđêng Vy, ậẫ Minh Trung, NguyÔn Khịnh Linh, Trẵn Thanh Hun, 7A1, Ngun Lế Minh HỪng, Ngun Vị Hiỷp, 6A1, trđêng THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng; NguyÔn Duy Quý, 7A4, THCS Lế Hăng Phong, TX Phóc Yến; PhỰm Ngảc Long, 7D, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến,Vỵnh Phóc;Phan ThiỊu Hoa, NguyÔn Thỡ An, NguyÔn Thỡ CÈm Nhung, NguyÔn Thỡ Ngảc Anh, Ngun Thỡ Thóy An, Ngun Tn Thộnh, ậẺu Minh Sđ, 6D; Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C; NguyÔn Hời Yạn, Trẵn Lan Anh, NguyÔn Thỡ Hoội Thđểng, 6B, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; NguyÔn Thỡ HỪng, 6E; Lế Thỡ Lan Anh, 7D, THCS

Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; Trẵn Duy Long, 7D, THCS Nhẹn HẺu; Trẵn ậục Anh, 6C; NguyÔn HỰnh Nguyến, Hộ Trảng Nghỵa, 6A, THCS Nam Cao; NguyÔn Thỡ Phđểng, 6B; NguyÔn Bỉi Tiạn Anh, 6A, THCS Nhẹn Mủ; Trẵn Ngảc Mai, 6C; Vị Thỡ BÝch Ngảc, 6A, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn,Hộ Nam;NguyÔn Dđểng Hoộng Anh,Trẵn Minh Hiạu, 7C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ; Triỷu nh Ngảc, 6A1, THCS Supe; Vò Tỉng Chi, Vị Linh Chi, 6A1; Trẵn Ngảc ậỰt, Ngun Hộ Minh TrÝ, NguyÔn Thỉy Dđểng, Bỉi Thỡ Thỉy Linh, Ngun Thu HiỊn, Khững Thỡ Thờo Vẹn, ậẫ Ngảc ậềng, NguyÔn Thỡ Thu HỪng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phú Th

Bài 2(131) So sánh

Lời gii.(Theo lêi giời cựa bỰn NguyÔn Dđểng Hoộng Anh, 7C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả) ậẳt

Ta có

Mặt khác ta có nên

Từ (1) vµ (2) suy VËy A B

Nhận xét.Có nhiều bạn gửi giải đến tòa soạn, hầu hết giải Một số bạn ghi thiếu địa Bạn Nguyễn Long Anh, 7A, THCS Phú Phúc, Lý Nhân, Hà Nam phát biểu toán tổng quát nhð sau:

D 1008D

C D

1007 1007 D (2)

2 1007

1 1 1 1 1007

D

2 2014 2 2

1 1 1 D (1)

2 2014

1 1

C

4 2014

1 1

D 1007B

2 2014

1 1

C 1008A ,

3 2013

1 1 A ,

1008 2013 1 1

B

1007 2014

8m 6n 2ad 15m 6n 3bd

4m 3n ad 20m 15n 5ad (1) 5m 2n bd 20m 8n 4bd (2)

4m 3n 5m 2n m

13

Cho

và với n số tự nhiên,

n Chøng minh r»ng A B

Ngoội bỰn NguyÔn Dđểng Hoộng Anh vộ bỰn NguyÔn Long Anh, cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt: Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; NguyÔn Thỡ HỪng, Dđểng Thỡ Linh Chi, 7E; PhỰm Anh, 7F, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; Lế Vẽn Dòng, 7A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Trẵn Thỡ Liến, 7B, THCS Phó Phóc;Trẵn Khớc Quang, 7D, THCS Nhẹn HẺu, Lý Nhẹn,Hộ Nam; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An; Lế Vị Hoộng ậục, 6D1, THCS ậộ Nơng, Ngề Qun, Hời Phưng; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam; KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; PhỰm Thỡ Thỉy Linh, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội; NguyÔn Minh ậục, 6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ; Ngun Trung Dịng, 7A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; PhỰm Ngảc Hoa, Hộ Thỡ Hời Dđểng, NguyÔn Hoội Ngảc, ậẫ Thỡ Hăng nh, NguyÔn Hộ Ngảc nh, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề; NguyÔn Lế Minh HỪng, Trẵn Trung Hiạu, 6A1; NguyÔn Thộnh Vinh, NguyÔn Tđêng Vy, Lế Khịnh Ly, NguyÔn Khịnh Linh, 7A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng; NguyÔn Duy Quý, 7A1, THCS Lế Hăng Phong, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc; Triỷu nh Ngảc, 6A1; Vị Thu Hđểng, 7A1, THCS Supe; Ngun Thỉy Dđểng, 6A3; Phan Phó Dịng, Trẵn MỰnh Cđêng, Trẵn Qc LẺp, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Lế NguyÔn Quúnh Trang, Trẵn Minh Hiạu, 7C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ; Hoộng Lế Cềng Khềi, 7B, THCS Thanh Hộ, Thanh Hộ, Thanh Ba, Phó Thả

Bội 3(131).Giời phđểng trừnh

Lời giải.Điều kiện x2 3x Với điều kiƯn trªn, ta cã (x 1)3

x3 12x 3(x2 3x 2) x3 12x

Mà nên

Do ệã phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vắi (tháa mởn)

VẺy phđểng trừnh cã hai nghiỷm lộ NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn khềng khã ậiÒu then chèt lộ tõ ệiÒu kiỷn cựa bội toịn, suy (1) Mét sè bỰn sỏ dông phĐp ệẳt Èn sè phụ

và suy Tuy nhiên làm nh dài phức tạp

Cc bn sau y có bội giời tèt: Hoộng Thỡ Hộ Giang, NguyÔn Thỡ HỪng, Dđểng Thỡ Linh Chi, 8B; PhỰm Trẵn Anh, 8F, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng,Nghỷ An;NguyÔn Vẽn Tẹm, 9A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh; MÉn Bị TuÊn, MÉn ậục Bừnh Minh, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; NguyÔn Viỷt Hoộng, NguyÔn Thỡ Thờo Phđểng, 8A; PhỰm Thỡ Thu Hăng, NguyÔn Thỡ Minh Thu, 8C; Trẵn Quèc ậỰi, 9A, THCS ậục Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Hoộng Phóc ậỰt, 9A4, THCS GiÊy, Phong Chẹu, Phỉ Ninh; NguyÔn Tiạn Long, 8A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

Bội 4(131).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c thuéc ệoỰn [3; 5] Chụng minh rỪng

Lời giải.Vì a, b [3; 5] nên |a b| Do (a b)2 hay a2 2ab b2

a2 2ab b2 4ab (a b)2 4(1 ab)

Đẳng thức xảy (a; b) (3; 5), (5; 3)

Tđểng tù:

Céng theo vạ cịc bÊt ệỬng thục trến ta ệđĩc Vừ dÊu ệỬng thục khềng xờy nến

(đpcm) Nhận xét.Đây tốn bất đẳng thức khơng q khó nên có nhiều bạn tham gia giải Hầu hết bạn giải Một số bạn lập luận chða chặt chẽ Sau số bạn có lời giải tốt ngắn gọn: Nguyễn Thanh Bình, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Hoàng Phúc Đạt, 9A4, THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Võ Thị Hồng Liệu, Nghiêm Thị Ngọc nh, Lê Thị Thu Uyên, Nguyễn Lê Giang, 8B; Nguyễn Thị Việt Hằng, Phan Hà Trang, Lê Hải Yến, 9B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Hồng Quốc Khánh, Cao Hữu Đạt, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Trần Danh Nhân, 9C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Mẫn Bá Tuấn, Chu Thanh Huyền, 9A,

ab bc ca a b c ab bc ca a b c

2 bc b c, ca c a ab a b

ab bc ca a b c

2 3

x 3x (b a )

3

a x 12x 7, b x

3 17 x

2

2 17

x 3x x

2

3 3x 12x 7 x2 3x x 1.

2

2

x 3x

3 3x 12x x (1)

3 3x 12x 7 x2 3x x 1.

2

1 1 1

B ,

n 2n

1 1

A

THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Tỉng Lẹm, 8A3;Trẵn Thỡ Thu nh, 9A3, THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc Ninh; Lế Thỡ Thu HỪng, 9A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề; Bỉi Minh Hiạu, 9C; NguyÔn Minh Cềng, 9E, THCS Vỵnh Tờng, Vnh Tờng, Vnh Phúc

Cao văn dũng

Bội 5(131).Vắi mẫi sè nguyến dđểng n, gải Anlộ sè nguyến dđểng cã 2nchọ sè vộ cịc chọ sè ệÒu bỪng Chụng minh rỪng sè An cã Ýt nhÊt n đắc sè nguyến dđểng phẹn biỷt lộ nhọng sè ệềi mét nguyến tè cỉng

Lêi gi¶i.Ta cã

Râ rộng Ancã Ýt nhÊt n đắc sè nguyến dđểng phẹn biỷt lộ

Ta cần chứng minh n số đôi nguyên tố

ThËt vËy, víi a, b vµ a b n 1, ta có nên

Đặt

Ta có hay d

Mà số lẻ nên d (đpcm)

NhẺn xĐt NhiÒu bỰn giời bội nộy bỪng phđểng phịp quy nỰp Nhọng bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ gản hển cờ: TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;Lế Minh Tẹm, 9A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; Bỉi Minh Hiạu, NguyÔn Quèc Nghiến, NguyÔn Vẽn Hỉng, 9C, THCS Vỵnh Tđêng; Dđểng Thu HỪng, 6A2;PhỰm Ngảc Hoa, Phỉng Thỡ Khịnh Linh, Lế Hoộng Hđng, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc; Ngun Thanh Bừnh, PhỰm Anh Quẹn, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Hoộng Huy, 8A2, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnh; Cao Họu ậỰt, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An

hå quang vinh

Bội 6(131).Tõ ệiÓm P bến ngoội ệđêng trưn tẹm O, kĨ cịc tiạp tuyạn PA, PB tắi ệđêng trưn (O), vắi A vộ B lộ nhọng tiạp ệiÓm Gải C, D lộ nhọng ệiÓm thuéc cung lắn AB cho AC CD; I lộ giao ệiÓm cựa AD vắi BC; M lộ trung ệiÓm AI Chụng minh rỪng P, M, C thỬng hộng

Lêi giời.Gải Q lộ giao ệiÓm cựa AI vộ PC; E, F theo thụ tù lộ giao ệiÓm cựa CA, CB vộ ệđêng

thẳng qua P song song với AD; Ax, By theo thứ tự tia đối tia AP, BP

Ta thấy (đối đỉnh) (giả thiết) (vì AD // EF)

Do ệã PE PA Tđểng tù PF PA Mộ PA PB nến PE PF

KÕt hỵp víi AD // EF, suy

VẺy Q trỉng M nến P, M, C thỬng hộng (ệpcm) NhẺn xĐt Lêi giời vắi sù xuÊt hiỷn cựa ệđêng thỬng EF rÊt tù nhiến

QA PE QI PF DAC PEC

1s®AC 1s®DC

2 PAE xAC a 10 b b 2

(10 1) (10 1) d

b a

2

d (10 1, 10 1)

b a

2

(10 1) (10 1)

b a b

2 2

10 9(10 1)(10 1) (10 1) (10 1) n

2

10 1, 10 1, , 10 n

n

2 2 2

10 1 (10 1)(10 1) (10 1). 10

n

n

2 ch÷ sè

A 11111

14

Ngun ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ngề Qun, Hời Phưng; NguyÔn Khịnh Linh, NguyÔn Tđêng Vy, 7A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng;

NguyÔn Duy Quý, 7A1, THCS Lế Hăng Phong, TX Phóc Yến; PhỰm Ngảc Hoa, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề; Bỉi Minh Hiạu, 9C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; Cao Họu ậỰt, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An;

Hoộng Phóc ậỰt, 9A4, THCS GiÊy, Phong Chẹu, Phỉ Ninh; Trẵn Minh Hiạu, NguyÔn Dđểng Hoộng Anh, 7C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ; Triỷu nh Ngảc, 6A1, THCS Supe; NguyÔn Thỉy Dđểng, 6A3;NguyÔn Thanh Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Long Anh, 7A, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ Néi - Amsterdam; KhuÊt Bờo Chẹu,7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi;

MÉn B¸ TuÊn, 9A, THCS Yªn Phong, Yªn Phong;

15

ậẳt mét hừnh vuềng nhá vộo bến mét hừnh vuềng lắn răi nèi ệửnh cựa hừnh vuềng nhá tđểng ụng theo thụ tù vắi ệửnh cựa hừnh vuềng lắn Phẵn cưn lỰi cựa hừnh vuềng lắn khềng chụa hừnh vuềng nhá sỳ ệđĩc chia lộm phẵn nhđ hừnh vỳ So sịnh tững diỷn tÝch cựa phẵn vộ phẵn vắi tững diỷn tÝch cựa phẵn vộ phẵn

(Sðu tÇm)

Gọi n số lớn để dãy số: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, , n, n, , n, n có 2015 số hạng

Số số hạng dÃy số

Suy hay n(n 1) 4028

Ta cã 62.63 3906, 63.64 4032 Suy n 62

Vậy số hạng thứ 2014 dãy số cho số 63 Nhận xét.Để tìm n thỏa mãn n(n 1) 4028, ta biến đổi nhð sau:

4n(n 1) 16112 (2n 1)2 16113

Vắi ta ệđĩc

2n 126 2n 125 n 62 n 62

V× nên số hạng

th 2014 ca dóy s ó cho số hạng thứ 61 dãy gồm 63 số 63

Một số bạn tìm số tự nhiên n nhỏ để tìm n 63 tìm đáp số

Anh Com pa rÊt vui vừ cã nhiÒu bỰn gỏi lêi giời vộ từm ệóng ệịp sè Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy: Lế Thanh Phđểng, KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; Phan Trung Dòng, 6A, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến; Trđểng MỰnh Hỉng, 6E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;ậộo Minh Hiạu, 6A7, THCS Chu Vẽn An, Ngề QuyÒn, Hời Phưng

Cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt ệđĩc khen kừ nộy: TỰ Khớc Thớng, 7A2, THCS Yến Phong, Yến Phong,Bớc Ninh;NguyÔn NhẺt nh, 7C1, THCS Quờng Ngảc, Quờng Xđểng, Thanh Hãa;NguyÔn Xuẹn Nam, Lế Thu Trang, 7D, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; NguyÔn Minh Cềng, 9E, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

anh com pa n(n 1) 2014,

2

62.63 1953, 2014 1953 61

16113 126,9 n(n 1) 2014

2

n(n 1)

(1 n) 1

2

SO SÁNH DIỆN TÍCH

16

hịm tỏ Sếlềccềc võa nhẺn ệđĩc tin vỊ ngđêi chó bỡ thÊt lỰc tõ mÊy chôc nẽm

nay Hiỷn ngđêi chó nộy ệở hển 90 tuữi vộ ệang sèng ẻ vỉng nói xa xềi Thịm tỏ

Sếlềcềc quyạt ệỡnh ệđa trai ót cựa mừnh tắi thẽm chó.

Sau mÊy ngộy ệi ệđêng, hai cha ệở tắi nểi Ngđêi chó tuữi cao nhđng vÉn rÊt minh

mÉn Ngoội chuyỷn hái thẽm từnh hừnh gia ệừnh, cềng viỷc, ềng cưn kĨ cho thịm tỏ nghe

rÊt nhiỊu chuyỷn vÒ thêi thể Êu cựa anh trai mừnh - tục lộ cha cựa thịm tỏ Theo lêi ềng thừ

ngđêi anh trai Sếlềchềmqua - cha cựa Sếlềccềc - cã mịu trinh thịm tõ bĐ RÊt nhiỊu bỰn

bÌ vộ cờ ngđêi lắn lộng nọa ệỊu thịn phơc sù thềng minh, mđu trÝ cựa cẺu Nghe

ềng kÓ, cẺu trai cựa thịm tỏ Sếlềccềc khoịi chÝ lớm CẺu bo:

- Còn chứ! Để ông kể cháu nghe nhé!

- Vâng ạ!

- Hm ó, mét nhộ giộu lộng bỡ mÊt viến ệị quý rÊt ệớt tiÒn Chự nhộ ệở theo dâi, tra

hái, thẺm chÝ lộ khịm xĐt kỵ lđìng tÊt cờ nhọng ngđêi lộm mộ vÉn khềng từm manh mèi

nộo Viến ệị thừ bĐ xÝu, ngđêi lộm thừ ệềng, nhộ cỏa réng rởi, vđên tđĩc mếnh mềng, ệăng

ruéng bịt ngịt Quờ lộ cụ nhđ mư kim ệịy bÓ vẺy! Chự nhộ cịng nhê ngđêi nộy ngđêi kia

gióp ệì nhđng mải ngđêi mắi chử khoanh vỉng ệđĩc ệèi tđĩng ệịng nghi nhÊt thềi Cờ

hai ệÒu cưn trĨ con, chuyến chẽn bư cho ềng chự ậóng lóc chđa biạt phời lộm thạ nộo ệÓ

từm thự phỰm thừ chự nhộ gẳp cẺu bĐ Sếlềchềmqua CẺu tắi rự trai chự nhộ ệi hảc.

HŨ THẦN

17

ThÊy bịc chự nhộ cã vĨ cẽng thỬng lo lớng, Sếlềchềmqua tư mư hái chuyỷn Nghe trai

chự nhộ kÓ lỰi, Sếlềchềmqua sùc nhắ tắi cẹu chuyỷn mộ mừnh ệở ệđĩc ệảc ệẹu ệã CẺu

bÌn mịch nhá vắi bịc chự nhộ Ngay sau ệã, bịc chự nhộ ệở lộm theo vộ ệở nhanh chãng

từm kĨ trém.

-

ộ

, chự nhộ ệở lÊy cịi hò sộnh, bÝ mẺt hể miỷng hị trến ngản ệÌn dẵu Sau ệã ềng bờo

hai anh chộng chẽn bư “ậẹy lộ cịi hò thẵn Hai ngđểi mẫi ngđêi mét cịi Hởy thư tay vộo

vộ phời chỰm tay tắi tẺn ệịy hò Tay kĨ gian sỳ bỡ hò thẵn ệịnh dÊu”

Ngđêi thụ nhÊt lộm theo răi rót tay Tay nhả nhem vừ mi ệÌn ệịy hị bịm

vộo Ngđêi thụ hai còng lộm theo nhđng tay lỰi khềng bỡ nhả.

Nghe chuyỷn ềng chó kÓ, thịm tỏ Sếlềccềc chử cđêi vừ mứo nộy ềng ệở ệđĩc ệảc tõ lẹu

lớm răi Riếng cẺu trai cựa thịm tỏ thừ lỰi phời cau mộy suy nghỵ “VẺy lộ kĨ trém nhử?

Anh tay sỰch hay anh tay nhả?”

* C¸c th¸m tư Ti Hång h·y gi¶i thÝch nhÐ!

TÊt cờ cịc bỰn ệỊu ệoịn ệóng ngđêi mộ

thịm tỏ Sếlềccềc khuyến ềng Bin nến chản.

LÝ cịc bỰn ệđa còng hạt sục thuyạt

phôc: Khềng uèng rđĩu bia, luền ẻ bến ềng

chự, bừnh tỵnh, khền ngoan cã chuyỷn

nhèn nhịo vộ tÝnh từnh ệiÒm ệỰm, Ýt lêi ệã

chÝnh lộ mét sè phÈm chÊt hộng ệẵu mộ

ngđêi vỷ sỵ cẵn cã

Phẵn thđẻng kừ nộy ệđĩc trao cho:

Nhãm

Thịm tỏ nhÝ

, 7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề,

Vỵnh Phóc

;

Bỉi Thỡ Quúnh

, 6A3, THCS Lẹm

Thao, Lẹm Thao,

Phó Thả

;

Trẵn NhẺt

Nguyến

, 6D, THPT Hộ Néi - Amsterdam,

Hộ

Néi

;

NguyÔn Vẽn Cđêng

, 6/4, THCS Lế Vẽn

Thiếm, TP Hộ Tỵnh,

Hộ Tỵnh

;

NguyÔn Ngảc

Cịt Tđêng

, 7/2, THCS Nguyễn Khuyn,

Nng

.

Thám tử Sêlôccôc

19

We wish to investigate Chúng ta muốn khảo sát

Our wish is to Mục đích

The proof involves looking at Chứng minh liên quan đến việc xem xét Let E Kf, f being the solution of Xét E Kf, với f nghiệm

Set E Kf with f satisfying Đặt E Kf với f tháa m·n Let us denote by Z the set KÝ hiệu Z tập hợp We will denote by Z the set Ta kí hiệu Z tập hợp

Let f by a function Cho f lµ mét hàm số

Suppose k is Giả sử k

Define E Kf, where we have set f Đặt E Kf, ta đặt f

Let f be given by XĐt f ệđĩc cho bẻi

The function f is given by Hộm sè f ệđĩc cho bẻi

Our proof is based on the concept of Chứng minh dựa vào khái niệm We denote it briefly by S Chóng ta kÝ hiƯu ngắn gọn S

Both X and Y are finite Cả X Y hữu hạn

We will make the following assumptions Ta sÏ ®ða giả thiết sau From now on we make the assumption Từ sau giả sử

This condition is essential to the proof Điều thiết yếu chứng minh The theorem states that Định lí phát biểu

To prove this, let X Để chứng minh điều này, đặt X

This is proved by writing M ậiÒu nộy ệđĩc chụng minh bỪng cịch viạt M Replacing (1) by (2) Thay thạ (1) bẻi (2)

Exchanging x and y Chuyển đổi x y

Repeated application of Lemma áp dụng lặp lại với Bổ đề

NHỮNG MẪU CÂU

NÓI, VIẾT CHỨNG MINH

20

đông ba (Hà Nội) Sðu tầm Bạn thay

chọ cịi bẻi mét chọ sè cho ệđĩc phĐp tÝnh ệóng, biạt rỪng cịc chọ cịi khịc biÓu thỡ cịc chọ sè khịc Lêi gii cn ghi rõ lp lun

Đánh số cột từ trái qua phải ởcột 1, ta thấy E b»ng hc TH1.XÐt E

Tõ cét suy T vµ L Tõ cét suy N

ëcét th× V tËn cïng b»ng nªn V Ta cã 9HR22 9HR22 FI82 202826

Khi số chữ R, I, H, F khác 9, 8, cột ta có 2R I tận 7, không nhớ nhớ

Suy tõ cột 2H F 2H F 22: loại 2H F 2.7 19

TH2.Xét E Tõ cét suy N

Tõ cét th× V tËn cïng b»ng nªn V Ta cã THR11 THR11 FI91 1L1 913 Tõ cét suy 2R I tËn cïng Vì R, I khác nên 2R I 16 29 Suy 2R I {8; 18}

XÐt 2R I

Suy I chẵn (R; I) (0; 8), (2; 4), (4; 0) (1) Tõ cét ta cã 2H F tËn cïng lµ

Suy 2H F {11; 21} XÐt 2H F 11 Suy F lẻ

Vì F, H khác 1, 3, nên (H; F) (2; 7)

ëcét suy 2T 10 L nªn L 2T Suy L lẻ nên L T 7: loại F

Xét 2H F 21 Suy F lẻ Vì F khác 3, nªn (H; F) (8; 5) (2)

ëcét suy 2T 10 L hay L 2(T 4) Suy T nªn T {7; 6; 4}

- NÕu T th× L

Tõ (1) suy (R; I) (2; 4), (4; 0) Ta cã 78211 78211 5491 161913,

78411 78411 5091 161913 - NÕu T L 4: loại (1) (2) - Nếu T L 0: loại (1)

XÐt 2R I 18

Khi I chẵn (R; I) (8; 2), (7; 4), (5; 8) (3) ởcột ta có 2H F tận

Suy 2H F {10; 20}

XÐt 2H F 10 Suy F chẵn Vì F nên (H; F) (4; 2), (2; 6) (4)

ëcét ta cã 2T 10 L nªn L 2T Suy T nªn T {5; 6; 7; 8}

- Nếu T L 1: loại E - Nếu T L 3: loại v× N - NÕu T th× L

Tõ (3) suy (R; I) (8; 2): lo¹i (4) - Nếu T L 7: loại (3)

XĐt 2H F 20 Suy F chơn Ta ệđĩc (H; F) (8; 4), (7; 6), (6; 8) (5)

ëcét suy 2T 10 L hay L 2(T 4) Suy T nªn T {4; 5; 6; 7; 8}

- NÕu T th× L Tõ (5), nÕu (H; F) (7; 6) th× tõ (3) sÏ cã (R; I) (8; 2), (5; 8); nÕu (H; F) (6; 8) th× tõ (3) có (R; I) (7; 4): loại T Ta cã 47811 47811 6291 101913,

47511 47511 6891 101913

- NÕu T th× L Tõ (3) suy (R; I) (7; 4) Tõ (5) sÏ cã (H; F) (6; 8)

Ta cã 56711 56711 8491 121913 - Nếu T L 4: loại (5)

- NÕu T th× L Tõ (5) suy (H; F) (8; 4): lo¹i (3)

- Nếu T L 8: loại

Tãm lỰi bội toịn cã cịch thay chọ bẻi sè NhẺn xĐt Hai bỰn KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ NéivộNgề Thỡ Huạ, 8A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninhcã lẺp luẺn ệóng vộ từm ệđĩc nhiỊu ệịp sè ệóng, ệđĩc thđẻng kừ nộy

21

Lời giải Có bốn võ sĩ nhận lời thách đấu, nhiên, lời giải võ sĩ phải dùng kiến thức q cao trình bày khơng sáng sủa nên khơng có võ sĩ đăng quang trận đấu

Xin giắi thiỷu lêi giời cựa ngđêi ệÒ Ta cẵn cã hai bữ ệÒ

Bữ ệÒ Cho tam giịc nhản ABC cã BE, CF lộ cịc ệđêng cao H, K theo thụ tù lộ hừnh chiạu cựa B, C trến EF Khi ệã HF KE

Chứng minh Gọi M trung điểm BC, N hình chiếu M EF

Vì nên

Kết hợp với MN EF suy NF NE

Mµ BH // CK // MN vµ MB MC nªn NH NK VËy HF KE

Bổ đề Nếu tam giác ABC, MNP có

hoặc

(Bn c t chng minh) Tr li gii bi toỏn thỏch u

Đặt BoCo a, CoAo b, AoBo c

Theo bổ đề 1, ta có A1Co A2Bo x, B1Ao B2Co y, C1Bo C2Ao z

Từ đó, theo bổ đề 2, ta có

Tđểng tù

VËy S(A1B1C1) S(A2B2C2)

2 2 o o o

S(A B C ) k S(A B C )

o o o o 1 o 1 o 1 o o o

1 o 1 o o o o o o o o o o o o o o o S(A B C ) S(A B C ) S(B C A ) S(C A B )

S(A B C )

AoB A C BoC B A C A C B

A C A B B A B C C B C A y z c z x a x y b

1

b c c a a b

x y z yz zx xy

1 k

a b c bc ca ab

1 1 o o o

S(A B C ) S(A B C )

S(ABC) AB AC S(MNP) MN MP

o

BAC NMP 180 BAC NMP

1

MF BC ME

2 o

BFC 90 BEC

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Vẽn Linh, SV ậỰi hảc NgoỰi thđểng Hộ Néi

Bội toịn thịch ệÊu:Cho tụ giịc ABCD néi tiạp ệđêng trưn tẹm O cã AC BD Cịc tiạp tuyạn cựa (O) tỰi A, B giao ẻ X; tỰi B, C giao ẻ Y; tỰi C, D giao ẻ Z; tỰi D, A giao ẻ T Giờ sỏ XZ cớt YT ẻ E Chụng minh rỪng tẹm ệđêng trưn néi tiạp cựa cịc tam giịc EXY, EYZ, EZT, ETX, XYZ, XYT, XZT vộ YZT cỉng nỪm trến mét ệđêng trưn

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.05.2014 theo dÊu bđu ệiỷn

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI BA

(TTT2 sè 131)

22

Trị chơi mơ tả hệ động lực

ậã lộ trư chểi găm hai hoẳc nhiỊu ngđêi tham gia chun ệéng Mét lắp trư chểi mề tờ bẻi hỷ ệéng lùc lộ trư chểi ệuữi bớt, găm mét (nhiÒu) ngđêi ệuữi vộ mét (nhiÒu) ngđêi chỰy Tiếu chuÈn kạt thóc trư chểi lộ ngđêi ệuữi bớt ệđĩc(khềng bớt ệđĩc) ngđêi chỰy sau thêi gian họu hỰn Trong trư chểi hai ngđêi, ngđêi ệuữi thđêng phời cã lĩi thạhển ngđêi chỰy (thÝ dô, tèc ệé) thừ mắi kạt thóc trư chểi ệđĩc Trong trư chểi nhiỊu ngđêi ệuữi mét ngđêi, mẫi ngđêi ệuữi cã thĨ kĐm hển (thÝ dơ, vỊ tèc ệé), nhđng nhê cã sù hĩp tịc nến cã thÓ chiạn thớng Bội 20a (Về ệỡch Moscow lẵn thụ 33, 1970, lắp 7, vưng 2)

Trong mét cềng viến cã sịu ệđêng ệi men theo hộng cẹy hứp CẺu bĐ Kềlia chỰy theo cịc ệđêng ệã Hái bè vộ mứ cã thÓ bớt ệđĩc Kềlia khềng nạu cẺu ta chỰy nhanh gÊp ba lẵn bè mứ (trong suèt cuéc chểi cờ ba ngđêi ệỊu nhừn thÊy nhau)?

Giời.ậĨ bớt ệđĩc Kềlia, ềng bè (lóc ệẵu ẻ vỡ trÝ bÊt kừ cềng viến) phời chun vỊ vỡ trÝ A, cưn mứ chun vỊ vỡ trÝ B Khềng hỰn chạ tững quịt, cã thÓ coi Kềlia ẻ phÝa ngoội ệoỰn DB Bộ mứ bớt Kềlia khềng thÓ chỰy vộo ệoỰn CA hoẳc DA vừ ềng bè ệở ịn ngọ ệiÓm A Khi Kolia chỰy ệạn ệiÓm E thừ ềng bè bớt ệẵu chỰy trến ệoỰn AB song song cỉng chiÒu vắi Kềlia Do vẺn tèc cựa Kềlia gÊp ba lẵn vẺn tèc cựa bè nến nạu Kềlia quay lỰi ệạn ệiÓm E thừ ềng bè cịng quay lỰi ệạn ệiĨm A vộ lỰi ệụng chê ẻ ệã Vừ vẺy Kềlia chử cã thÓ chỰy tõ E ệạn F, sau ệã hoẳc ệi theo FA hoẳc ệi ệạn B Nạu

Kềlia chỰy tõ F ệạn A (ềng bè chỰy tõ A ệạn I Kềlia chỰy tõ E ệạn F) thừ ềng bè quay lỰi IA Do vẺn tèc cựa Kềlia gÊp ba lẵn vẺn tèc cựa bè nến Kềlia ệạn ệiĨm A thừ ềng bè cịng quay lỰi ệạn ệiĨm A Nạu Kềlia quay lỰi F thừ ềng bè còng ệi tõ A ệạn I Vừ vẺn tèc cựa Kềlia gÊp ba lẵn vẺn tèc cựa bè nến Kềlia chỰy tõ F ệạn B thừ ềng bè chỰy tõ I ệạn B VẺy Kềlia khềng thÓ quay lỰi vừ mứdăn ệuữi vộ bỡ bớt mải trđêng hĩp Bội 20b (Về ệỡch Moscow, 1970, lắp 8, vưng 2) Mét khử vđên bịch thó bỡ sững chuăng vộ hai ngđêi bờo vỷ ệuữi bớt nã Cờ ngđêi bờo vỷ vộ khử ệÒu cỉng chỰy theo cịc ệđêng nhá Cã tÊt cờ ệđêng thỬng găm ba ệđêng dội tỰo thộnh ba cỰnh cựa tam giịc ệỊu vộ ba cỰnh ngớn nèi trung ệiĨm ba cỰnh TỰi mẫi thêi ệiĨm ngđêi vộ khử ệỊu nhừn thÊy Biạt rỪng khử chỰy nhanh gÊp ba lẵn nhọng ngđêi bờo vỷ, hái hai ngđêi bờo vỷ cã bớt ệđĩc khử khềng? Bội 21a (Về ệỡch Moscow, 1970, lắp 9, vưng 2) Ba nhỷn vộ mét ruăi bư theo cịc cỰnh cựa mét hừnh lẺp phđểng suèt VẺn tèc lắn nhÊt cựa ruăi lắn gÊp ba lẵn vẺn tèc lắn nhÊt cựa nhỷn ậẵu tiến cịc nhỷn nỪm trến mét ệửnh cựa hừnh lẺp phđểng, cưn ruăi nỪm ẻ ệửnh ệèi diỷn Hái nhỷn cã thÓ cã bớt ệđĩc ruăi khềng (nhỷn vộ ruăi luền luền nhừn thÊy nhau)?

Bài 21b (Vô địch Moscow, 1970, lớp 10, vịng 2) Xét tốn với hai nhện, nhðng vận tốc tối đa ruồi nhện nhð

Bài 22 (Vô địch Liên Xô, 1974, lớp 8)

Hai ngđêi chểi trư “mÌo ệuữi chuét” trến mét bộn cê 8 Ngđêi thụ nhÊt (ệãng vai chuét) cã mét quẹn cê ệam mộu ệen (mét chuét), ngđêi thụ hai (ệãng vai mÌo) cã vội quẹn ệam trớng (vội mÌo) TÊt cờ cịc quẹn chuyÓn ệéng nhđ nhau: mẫi lẵn ệi mét ề sang trịi, sang phời, lến trến, xuèng dđắi Nạu chuét chỰy ệạn mĐp bộn cê thừ ệạn bđắc sau nã nhờy khái bộn cê Nạu mét mÌo nhờy ệđĩc vộo ề chuét ệang ệụng thừ mÌo bớt ệđĩc chuét Chuét ệi bđắc ệẵu tiến Môc ệÝch cựa chuét lộ nhờy khái bộn cê Bđắc tiạp theo tÊt cờ cịc mÌo ệỊu chun ệéng, cã thĨ theo cịc hđắng khịc miƠn lộ bớt ệđĩc cht

TỐN TRỊ CHƠI

có mặt khắp nơi

PhỰm Vẽn ậỰo (GV THCS An Dđểng, Hời Phưng) (Viỷn Toịn hảc)

23

a) Giờ sỏ cã hai mÌo Chuét ệụng ẻ mét ề nộo ệã bến bộn cê (khềng ẻ ề ngoội biến) Hái cã thÓ ệẳt hai mÌo tỰi vỡ trÝ nộo ệã trến bộn cê, ệĨ chóng cã thĨ bớt ệđĩc cht khềng?

b) Giờ sỏ cã ba mÌo, nhđng mẫi bđắc chuét cã thĨ nhờy hai ề liỊn (tèc ệé gÊp hai mÌo) Chụng minh rỪng chuét cã thÓ chỰy thoịt tõ mải vỡ trÝ ban ệẵu Toịn trư chểi cã mẳt khớp nểi

Bài 23.(Vô địch Liên Xô, 1969, lớp 9-10)

Cho phđểng trừnh x3 *x2 *x * ậẵu tiến ngđêi thụ nhÊt thay mét dÊu * bÊt kừ bỪng mét sè nguyến khịc 0, sau ệã ngđêi thụ hai thay mét sè nguyến vộo mét hai dÊu * cưn lỰi Ngđêi thụ nhÊt ệẳt nèt mét sè nguyến vộo vỡ trÝ cưn lỰi Chụng minh rỪng ngđêi thụ nhÊt bao giê còng lộm cho phđểng trừnh cã ba nghiỷm nguyến, khềng phô thuéc vộo cịch chản sè cựa ngđêi chểi thụ hai Giời Bđắc ệẵu tiến ngđêi thụ nhÊt ệẳt vộo hỷ sè cựa x Sau ngđêi chểi thụ hai ệẳt sè nguyến a vộo hỷ sè cựa x2hoẳc vộo hỷ sè tù thừ ngđêi thụ nhÊt ệẳt a vộo hỷ sè cưn lỰi

Ta ệđĩc phđểng trừnh dỰng x3 bx2 x b hay (x b)(x2 1) (vắi b a hoẳc b a)

Phđểng trừnh cã ba nghiỷm nguyến lộ a, 1, Bội 24.(Về ệỡch Liến Xề, 1977, lắp 10)

Cho P(x) x10 *x9 *x8 *x2 *x Ngđêi thụ nhÊt thay mét dÊu * bỪng mét sè bÊt kừ, sau ệã ngđêi thụ hai thay mét sè tù chản vộo mét dÊu * cưn lỰi Cụ tiạp tôc nhđ vẺy Cuèi cỉng nạu ệa thục khềng cã nghiỷm (thùc) thừ ngđêi thụ nhÊt thớng, cưn nạu cã Ýt nhÊt mét nghiỷm thùc thừ ngđêi thụ hai thớng Hái ngđêi thụ hai cã thÓ thớng vắi mải cịch ệi cựa ngđêi thụ nhÊt khềng?

Giời Vừ cã tÊt cờ dÊu *, ệã nẽm dÊu * lộ hỷ sè thuéc lòy thõa bẺc lĨ vộ ba hỷ sè thuéc lòy thõa bẺc chơn nến nạu ba bđắc ệẵu ngđêi thụ hai ệiÒn hạt cịc hỷ sè thuéc lòy thõa bẺc chơn thừ sau bđắc ệi cựa ngđêi thụ nhÊt vÉn cưn Ýt nhÊt mét lòy thõa bẺc lĨ Giờ sỏ sau bđắc thụ ta cã P(x) Q(x) *xm *x2n

Chän a 0, b cho P(x) Q(x) axm bx2n 1tháa m·n hÖ thøc cP(1) P( 2) hay c[Q(1) a b] Q( 2) a( 2)m b( 2)2n Chän c 22n 1th×

Do c vộ cP(1) P( 2) nến P(1) vộ P( 2) trịi dÊu Do ệã phđểng trừnh P(x) cã nghiỷm khoờng [ ; 1]

TỰi bđắc thụ 8, ngđêi thụ hai ệẳt giị trỡ a vộo hỷ sè xmthừ tỰi bđắc thụ 9, ngđêi thụ nhÊt ệẳt sè thùc b bÊt kừ cưn lỰi thừ P(x) luền cã nghiỷm thùc VẺy ngđêi thụ hai thớng

Bài 25 (Vô địch Liên Xô, 1984, lớp 9)

Cã mét hừnh lẺp phđểng vộ hai mộu: mộu ệá vộ mộu xanh Hai ngđêi chểi trư chểi sau ệẹy Ngđêi thụ nhÊt chản ba cỰnh cựa lẺp phđểng vộ sển chóng thộnh mộu ệá Ngđêi thụ hai chản ba cỰnh chđa sển vộ sển chóng thộnh mộu xanh Sau ệã ngđêi thụ nhÊt lỰi chản ba cỰnh vộ sển mộu ệá Vộ cuèi cỉng ngđêi thụ hai sển nèt ba cỰnh cưn lỰi bỪng mộu xanh Khềng sển lỰi mét cỰnh ệở sển (bỪng mộu khịc còng nhđ bỪng mộu ệở sển) Ngđêi nộo ệẵu tiến sển ệđĩc mét mẳt cã cỰnh cỉng mộu thừ ngđêi ệã thớng Hái ngđêi thụ nhÊt cã thÓ luền thớng ệđĩc hay khềng?

Giời.Vừ mẫi cỰnh ệÒu từm ệđĩc hai cỰnh khịc cựa lẺp phđểng ệềi mét chĐo nến sau ngđêi chểi thụ nhÊt ệở sển ệá ba cỰnh bÊt kừ thừ ngđêi chểi thụ hai vÉn từm ệđĩc ba cỰnh ệềi mét vuềng gãc chđa sển Hển nọa, nạu ngđêi thụ nhÊt sển hai hoẳc ba cỰnh cỉng mét mẳt thừ ngđêi thụ hai sển mét cỰnh cựa mẳt Êy Sau sển cịc cỰnh nộy bỪng mộu xanh (vắi lđu ý trến) thừ chóng ệềi mét vuềng gãc nến mẫi cỰnh lộ cỰnh kÒ cựa hai mẳt vộ ba cỰnh lộ ba cỰnh kÒ cựa tÊt cờ sịu mẳt khịc Do ệã ngđêi chểi thụ nhÊt khềng thÓ sển ệÓ ệđĩc cỰnh cựa mét mẳt cỉng mét mộu ệđĩc Vừ vẺy ngđêi thụ nhÊt khềng thÓ thớng Mét ệiỊu thó vỡ lộ ngđêi thụ hai cịng khềng thÓ thớng ThẺt vẺy, ngđêi thụ nhÊt tề ệá ba cỰnh chĐo Nhđ vẺy, tÊt cờ sịu mẳt ệÒu chụa mét cỰnh mộu ệá Do ệã ngđêi thụ hai khềng thÓ tề mộu xanh tÊt cờ cỰnh cựa mét mẳt nộo ệã ệđĩc Chiạn lđĩc “hưa” ệứp nhÊt lộ mẫi ngđêi lẵn lđĩt tề ba cỰnh ệềi mét chĐo Nhđ vẺy sỳ ệđĩc tÊt cờ sịu mẳt, mẫi mẳt cã hai cỰnh xanh vộ hai cỰnh ệá Bội tẺp

Bội 26 (Về ệỡch Moscow, 1970, lắp 7, vưng bữ sung) Trong trư chểi ệềminề, cịc quẹn ệềminề ệđĩc ệẳt nèi cho hiỷu giọa cịc sè trến cịc quẹn cỰnh bỪng Hái cã thÓ ệẳt tÊt cờ 28 quẹn ệềminề vộo mét vưng khĐp kÝn ệÓ cho tÊt cờ cịc hiỷu bỪng 1?

Bài 27 (Vô địch Liên Xô, 1982, lớp 8)

Mẫi ệửnh cựa mét hừnh vuềng ệđĩc gịn cho mét sè thùc khềng ẹm, ngoội tững cựa tịm sè nộy bỪng Hai ngđêi chểi trư chểi sau ệẹy: Ngđêi thụ nhÊt chản mét mẳt bÊt kừ, sau ệã ngđêi thụ hai chản mẳt tiạp theo, vộ sau ệã ngđêi thụ hai chản mẳt thụ ba Ngoội ra, khềng ệđĩc chản mẳt song song vắi mét cịc mẳt ệở ệđĩc chản Chụng minh rỪng ngđêi thụ nhÊt cã thÓ chản chiạn lđĩc chểi cho sè nỪm trến mét ệửnh chung cựa cờ ba mẳt ệở ệđĩc chản khềng vđĩt quị

(Xem tiÕp trang 28)

6

m

Q( 2) cQ(1)

a

24

International Contest-Game

MATH KANGAROO

Grade 5-6 Year 2013

(Giíi thiƯu)

16.Max, David and Peter competed in an ice cream eating contest Max ate scoops in the same time as David ate scoops and Peter ate scoops Max ate 18 scoops in half an hour How many scoops in total did they eat in half an hour together?

(A) 27 (B) 30 (C) 33 (D) 45 (E) 51 17.From a wooden cube with side 3cm we cut out at the corner a little cube with side 1cm (see picture) What is the number of faces of the solid after cutting out such a small cube at each corner of the big cube?

(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 30 (E) 36 18.How many pairs of two digit natural numbers have a difference equal to 50?

(A) 40 (B) 30 (C) 50 (D) 60 (E) 10 19.During the final game of a soccer championship the teams scored a lot of goals Six goals were scored during the first period of the game and the guest team was leading the score at the halftime break During the second period, the home team scored goals and as a result, they won the

game How many goals did the home team score altogether?

(A) (B) (C) (D) (E) 20.In the squares of the x board numbers are written such that the numbers in adjacent squares differ by Numbers and appear in the table Number is in the top left corner as shown How many different numbers appear in the table?

(A) (B) (C) (D) (E) Part C: Each correct answer is worth points 21.Aron, Bern and Carl always lie Each of them owns one stone, either a red stone or a green stone

Aron says: “My stone is the same color as Bern’s stone.’’

Bern says: “My stone is the same color as Carl’s stone.’’

Carl says: “Exactly two of us own red stones.’’ Which of the following statements is true? (A) Aron’s stone is green

(B) Bern’s stone is green (C) Carl’s stone is red

25

(D) Aron’s stone and Carl’s stone have different colors

(E) None of A, B, C or D is true

22 Sixty six cats signed up for the contest MISS CAT 2013 After the first round 21 cats were eliminated because they failed to catch a mouse Of the remaining cats, 27 had stripes and 32 had one black ear All striped cats with one black ear got to the final What is the minimum number of finalists?

(A) (B) (C) 13 (D) 14 (E) 27 23 There are four buttons in a row as shown below Two of them show happy faces, and two of them show sad faces If we press on a face, its expression turns to the opposite (e.g a happy face turns into a sad face after the touch) In addition to this, the adjacent buttons also change their expressions What is the least number of times you need to press a button in order to get all happy faces?

(A) (B) (C) (D) (E) 24.40 boys and 28 girls stand in a circle, hand in hand, all facing inwards Exactly 18 boys give their right hand to a girl How many boys give their left hand to a girl?

(A) 18 (B) (C) 28 (D) 14 (E) 20 25.A stack of loads must be transported If Ann does the job alone, it will take one hour If Ben does the job alone, it will take two hours How long will it take if Ann and Ben the job together? (A) 30 minutes (B) 40 minutes

(C) hour (D) 1.5 hours (E) hours 26 How many 3-digit numbers possess the following property: after subtracting 297 from such a number, we get a 3-digit number consisting of the same digits in the reverse order?

(A) (B) (C) 10 (D) 60 (E) 70 27 When Pinocchio lies, his nose gets cm longer When he says the truth, the nose gets cm shorter When his nose was cm long, he said five sentences and after that his nose got 25 cm long How many of Pinocchio’s sentences were true? (A) (B) (C) (D) (E)

28 There were 2013 inhabitants on an island Some of them were knights and the others were liars The knights always tell the truth and the liars always lie Every day, one of the inhabitants said: “After my departure the number of knights on the island will equal the number of liars” and then left the island After 2013 days, there is nobody on the island How many liars were there initially? (A) (B) 1006 (C) 1007 (D) 2013 (E) It is impossible to determine

29 Starting with a list of three numbers, the “changesum” procedure creates a new list by replacing each number by the sum of the other two For example, from {3, ,6} the procedure “changesum” gives {10, 9, 7} and a new “changesum” leads to {16, 17, 19} If we begin with the list {20, 1, 3}, what is the maximum difference between two numbers of the list after 2013 consecutive “changesums”?

(A) (B) (C) 17 (D) 19 (E) 2013 30 Alice forms four identical numbered cubes using the net shown

She then glues them together to form a 2 block, as shown Only faces with identical numbers are glued together

Alice then finds the total of all the numbers on the surface of the block

26

Nhằm động viên, khuyến khích phong trào học toán, giải toán bạn học sinh nữ tồn quốc, tạp chí Tốn Tuổi thơ mở chun mục mới: Cuộc thi giải toán dành cho nữ sinh

ậèi tđĩng tham dù: Cịc bỰn hảc sinh ệang theo hảc THCS

Cịch thục tham dù:Mẫi thịng, trến TTT sỳ ệẽng bội toịn Cịc bỰn hảc sinh cã thÓ tham dù giời cịc bội trến mẫi sè vộ trến nhiÒu sè Mẫi bội giời ệđĩc viạt bỪng tay hoẳc in trến mét tê giÊy vộ ghi râ : Tham gia cuéc thi giời toịn dộnh cho sinh, vộ tến (in hoa cã dÊu), lắp, trđêng, huyỷn (quẺn), tửnh (thộnh phè), gỏi vÒ Tưa soỰn tỰp chÝ Toịn Tuữi thể, tẵng 5, sè 361, Trđêng Chinh, Q Thanh Xuẹn, Hộ Néi

Lẵn ệẵu tham dù, thÝ sinh ghi râ: Hả vộ tến, lắp, trđêng, huyỷn (quẺn), tửnh (thộnh phè) ệỡa chử gia ệừnh, sè ệiỷn thoỰi (nạu cã) kÌm theo dịn ờnh

4 cm vộo bội dù thi Bội khềng cã ờnh khềng ệđĩc dù thi Cịc lẵn gỏi sau khềng cẵn dịn ờnh Sau sè bịo sỳ ệẽng lêi giời cựa cịc bội toịn Cịc bỰn xuÊt sớc nhÊt sỳ ệđĩc tến

Hết tháng năm 2015, tạp chí tổng kết thi đăng danh sách bạn đoạt giải vào số tháng năm 2015, dịp kỉ niệm ngày Quốc tế phụ nữ Danh sách đoạt giải dựa theo tổng số điểm thi tất mà bạn tham dự, lấy từ cao xuống thấp

Giời thđẻng:Bao găm GiÊy chụng nhẺn ệoỰt giời NhÊt, Nhừ, Ba, GiÊy chụng nhẺn ệở tham dù Cuéc thi (ệèi vắi nhọng bỰn tham dù nhiÒu lẵn), phẵn thđẻng

TỰp chÝ Toịn Tuữi thể mong cịc Sẻ Giịo dôc vộ ậộo tỰo, cịc nhộ trđêng, cịc thẵy cề giịo, cịc bẺc phô huynh ựng hé, ệéng viến, tỰo ệiỊu kiỷn ệĨ cịc hảc sinh tham dù tèt kừ thi nộy

Sau đề thi kì

Bội 1NS.Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến x3 y3 4xy

(Phưng Giịo dơc - ậộo tỰo Tam Dđểng, Vỵnh Phóc) Bội 2NS.Giời phđểng trừnh

(Phưng Giịo dôc - ậộo tỰo thỡ xở An Nhển, Bừnh ậỡnh) Bội 3NS Cho tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A, trung tuyạn AD ậiÓm M di ệéng trến ệoỰn AD Gải N vộ P lẵn lđĩt lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa M trến AB vộ AC H lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa N trến PD Từm vỡ trÝ cựa M trến AD ệÓ diỷn tÝch tam giịc AHB lắn nhÊt (GV THCS HoỪng Xuẹn, HoỪng Hãa,

Thanh Hãa)

2

27

Cã rÊt nhiÒu cẹu ca dao nãi vÒ vỉng ệÊt vộ ngđêi miÒn Trung Mét

bỰn hảc sinh ệở sđu tẵm mét sè cẹu dđắi ệẹy nhđng sể suÊt bỰn Êy ệở bỡ nhẵm lÉn ệềi

chót Cịc bỰn hởy từm v sa li nh!

* Đông Ba hội hai cầu

Có chùa Diệu Đế bốn lầu hai chuông

* Hội An bán gấm bán diều

Kiếm Bồng bán vải, Trà Nhiêu bán hàng

* Đi đâu nhớ quê mình

Nh Hng Giang gió mịt, nhắ Ngù Bừnh trẽng thanh

* Ra ệi anh nhắ Nghỷ An

Nhắ Thanh Chđểng mãn nhót, nhắ Nam ậộn mãn tđểng

Mieàn Trung

(GV TH Ngô Đức Kế, Can Lộc, Hà Tĩnh)

1 Thứ hai học môn Toán, thích học toán.

Ngày mai có môn Lịch sử Toán.

2 Thứ ba có tiết Tiếng Anh Địa lí, tôi

không có tiết tiếng Hán Toán.

3 Ngày mai Tiểu Hải có tiết Hóa học Thể

dục, bạn môn tiếng Pháp ¢m

nh¹c.

4 Tềi nãi ệđĩc tiạng Hịn, tềi sỳ ệi Trung Quèc,

tềi sỳ ệi mịy bay ệạn Bớc Kinh vộ Thđĩng Hời.

Cịc bỰn cã lêi giời tèt:

Lđu ậục MỰnh

, 6B,

THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến,

Vỵnh Phóc

;

ậẳng Thỡ Hđêng

, 8B, THCS Yến Phong, Yến

Phong,

Bớc Ninh

;

Phan Vẽn ậỰt

, 8C, THCS

Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả,

Hộ Tỵnh

.

ngun Vị loan

ĐẾN VỚI TIẾNG HÁN

(TTT2 sè 131)

28

ột năm lại đến Mẹ lại thêm tuổi với nếp nhăn sợi tóc bạc

Mứ tềi nẽm ệở ngoội mđểi tuữi - ệé tuăi mải ngđêi hay nãi lộ trung niến Bộn tay mứ khềng ệứp vÒ hừnh thục nhđng vắi tềi ệã lộ bộn tay ệứp nhÊt cựa từnh yếu thđểng vộ sù chẻ che, ệỉm bảc Mứ tềi lộ giịo viến, cờ ệêi mứ chử lộm nhÊt mét

cềng viỷc lộ dỰy trĨ hảc Mứ thđêng dỰy nhọng hảc sinh trung bừnh vộ khị DỰy lị trĨ ệã ệóng thẺt lộ khã Bản trĨ rÊt nghỡch ngĩm vộ lđêi hảc Nhđng mứ khềng nờn chÝ Mẫi tèi, ngăi hảc bến mứ nhđ chó mÌo con, tềi lỰi ngớm nhừn ệềi bộn tay mứ ệang nớn nãt soỰn giịo ịn ậẳc biỷt nhọng ệếm mỉa ệềng giị rĐt, dỉ ệở nỪm ngự chẽn Êm nhđng tềi vÉn nhừn bãng mứ chÊm bội dđắi ngản ệÌn bĐ nhá Khuền mẳt mứ hao gẵy, mứ nhđ nÝn lẳng, viạt tõng dưng chọ ngớn

Bàn tay mẹ chăm sóc, vỗ tơi Những hơm tơi ốm, mẹ nhð thức trắng đêm, lo lắng cho tơi thìa cháo, viên thuốc Mẹ chða quan tâm đến thân Thỉnh thoảng bàn tay mẹ phải cầm roi tơi Rồi ngày tháng trơi qua, bàn tay mẹ ngày khô gầy, nhðng với tơi lúc bàn tay đẹp nhất, q đời

Giê ệẹy, tềi ệở lến lắp sịu tỰi mét ngềi trđêng chuyến Mứ ểi! Con cờm ển bộn tay mứ ệở nẹng lến ệÓ ệỰt ệđĩc thộnh tÝch ệã!

(6C, THCS Ngun Cao, Q Vâ, B¾c Ninh)

Bài 28 (Vơ địch Bungaria, 1999, lớp 8)

Ba ệèng sái cã 51, 49 vộ viến Ta thùc hiỷn mét hai nđắc ệi nhđ sau Mét nđắc ệi lộ dăn hai ệèng tỉy ý thộnh mét ệèng Nđắc ệi khịc lộ chản ệèng cã sè chơn viến sái ệÓ chia lộm hai ệèng bỪng Hái cã thÓ thùc hiỷn mét dởy cịc nđắc ệi nhđ thạ ệÓ chia ba ệèng sái thộnh 105 ệèng mộ mẫi ệèng chử cã mét viến sái hay khềng?

Bài 29 (Vô địch Belorus, 2000, vịng 4)

Cã ệăng tiỊn ệđĩc ệẳt khÝt bến

vộ trến cỰnh mét tam giịc ệỊu Mẫi cỰnh cã ệóng n ệăng tiỊn Lóc ệẵu tÊt cờ ệÒu ệđĩc ệẳt ngỏa, trõ mét ệăng Mẫi mét bđắc chuyÓn lộ mét lẵn chản hai ệăng tiÒn kÒ cã tẹm A vộ B, răi lẺt ngđĩc tÊt cờ cịc ệăng tiÒn nỪm trến ệđêng thỬng AB Hởy xịc ệỡnh tÊt cờ cịc trỰng thịi ban ệẵu, ệÓ cho tõ trỰng thịi ban ệẵu ệã, ta cã thÓ thùc hiỷn mét sè họu hỰn bđắc chun nhỪm lộm cho tÊt cờ mải ệăng tiỊn ệỊu lẺt óp xuèng

n(n 1)

29

PHI ( )

SỐ VÀNG

Dđắi ệẹy lộ mét sè hừnh ờnh cã liến quan ệạn tử sè vộng:

Kim tù th¸p lín cđa Ai CËp

Điện thờ Acropolis Athens (đền Parthenon)

Nhà thờ Đức Bà (Notre Dame Cathedral)

Hoa hng dng

Đàn violin

30

Vộo nhọng ngộy giã, nạu ệang ệi ẻ cịnh ệăng hoẳc bê sềng, bê biÓn, hỬn bỰn thÊy nhđ mừnh sớp bỡ giã thữi bay Tuy nhiến, nạu bđắc vộo mét ngâ nhá vắi hai bục tđêng cao hai bến, chớc chớn bỰn lỰi thÊy giã mỰnh hển rÊt nhiÒu Giã nhđ thèc thỬng vộo mẳt khiạn bỰn ệi lỰi khã hển cờ lóc ẻ nểi ệăng khềng mềng quỰnh

Vừ thạ nhử? BỰn cã thÓ giời thÝch hiỷn tđĩng nộy khềng?

(9/105 NguyÔn Thỡ Duỷ, P Thanh Bừnh, TP Hời Dđểng)

SAO

THEÁ NHỈ?

Mn lộm mét ngềi nhộ cẵn kiạn tróc sđ vỳ thiạt kạ, thĩ xẹy: ệữ bế tềng, xẹy gỰch, trịt, èp gỰch hoẳc kÝnh, thĩ sển, thĩ ệiỷn, thĩ ệđêng èng nđắc, thĩ hộn, thĩ méc

Muốn sửa chữa nhà cần thợ tùy yêu cầu mức độ sửa

Muèn mét tê bịo ệêi cẵn cã nhộ bịo, phãng viến viạt tin bội, chôp ờnh, biến tẺp viến, hảa sỵ lộm cho bội lến khuền vộ gản gộng, sịng sựa Thđ kÝ tưa soỰn quyạt ệỡnh dung lđĩng, vỡ trÝ ệẳt bội vộ cịch trừnh bộy (gải lộ lộm maket), ngđêi sỏa bềng tục ngđêi ệảc

lỰi bờn in thỏ phịt hiỷn lẫi, tững biến tẺp ệảc duyỷt, ngđêi chạ bờn (trđắc ệẹy gải lộ thĩ sớp chọ), thĩ in, ngđêi lộm cềng tịc phịt hộnh BỰn NTTN muèn lộm cờnh sịt, bỰn CTN muèn lộm bịc sỵ, bỰn NHG muèn lộm thẵy giịo, bỰn TTTH còng muèn lộm bịc sỵ, bỰn NVH muèn lộm bịc sỵ

BỰn Ngun Thỡ Thu Hun, 6D, THCS Thỡ trÊn Cao Thđĩng, Tn Yn, Bc Giangcó lời gii tốt

Vũ Đô Quan

BẠN SẼ LÀM NGHỀ GÌ?

Ngộy 15.02.2014, tỰi trđêng THPT chuyến Hoộng Vẽn Thô, TP Hưa Bừnh, Hưa Bừnh ệở diÔn Héi thờo khoa hảc Cịc chuyến ệỊ Toịn hảc băi dđìng hảc sinh giái ngđêi dẹn téc thiÓu sè, Héi Toịn hảc Hộ Néi phèi hĩp vắi Sẻ GD-ậT Hưa Bừnh tữ chục Ban tữ chục găm: ềng NguyÔn Minh Thộnh, Giịm ệèc Sẻ GD-ậT Hưa Bừnh, ệăng Trđẻng ban; GS TSKH NGND NguyÔn Vẽn MẺu, Chự tỡch Héi Toịn hảc Hộ Néi, ệăng Trđẻng ban; ềng ậẳng Quang Ngộn, Phã Giịm ệèc Sẻ GD-ậT Hưa Bừnh, Phã trđẻng ban; ThS Trẵn Quang ậục, Hiỷu trđẻng trđêng THPT chuyến Hoộng Vẽn Thô, Phã ban thđêng trùc; TS Vị ậừnh

Chn, Vơ trđẻng Vơ Giịo dôc trung hảc, ựy viến; GS TSKH Trẵn Vẽn Nhung, Tững thđ kÝ Héi ệăng chục danh Giịo sđ Nhộ nđắc, ựy viến Ban chđểng trừnh găm: ThS Trẵn Quang ậục, PGS TS Trẵn Huy Hữ, ThS Vò Kim Thựy, PGS TS NguyÔn Minh TuÊn, NguyÔn Ngảc Xuẹn, TS NguyÔn Vẽn Ngảc Tham dù héi thờo cã cịc héi viến Héi Toịn hảc Hộ Néi; ệỰi diỷn tỰp chÝ Toịn Tuữi thể, Toịn hảc & Tuữi trĨ, Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc Viỷt Nam; giịo viến vộ hảc sinh cựa Hưa Bừnh vộ mét sè tửnh lẹn cẺn TỰp chÝ Toịn Tuữi thể ệở gỏi quộ tẳng ệạn cịc ệỰi biÓu

PV TTT

TIN TỨC - HOẠT ĐỘNG - GẶP GỠ

HỘI THẢO TOÁN HỌC

31

Hái: Anh Phã ¬i! Khi giải dự thi Giải toán qua th phải trình bày nh nào? Phiếu dự thi phải dán đâu? Nếu dán phong bì có cần dán tem không ạ?

(6A, THCS Khánh Nhạc, Yên Khánh, Ninh Bình) Đáp:

Dn tem l ể chuyÓn ệi Nuềi cề bđu ệiỷn ệạn kừ cã lđểng

Dỏn phiu l d thi

Để phòng trị biết chia mục Họ tên phải viết lên đầu

Ri tờn bi gii hay cõu s làm Giấy đừng xé vội tèm lem

Nhìn xấu anh Phó chẳng thèm đọc đâu

Hái: Hảc sinh chóng em cã ệđĩc gỏi ệỊ cho mơc Giời toịn qua th khng ?

(7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, TT Bút Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa) Đáp:

Đề việc thầy

Bao em giỏi nh thầy đăng Em từ mục khác cho quen Lớn lên có mục

Hỏi: Anh Phã ểi! Lắp trđẻng lắp em rÊt kiếu, thẺm chÝ cưn gải cịc bỰn khịc lộ dẹn thđêng Theo anh bỰn Êy cã ệự tđ cịch lộm lắp trđẻng khng?

(6A3, THCS Yên Phong,Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp:

Lắp trđẻng lộ cịi gừ ệẹy

Trđêng cưn hiỷu trđẻng nhộ cưn mứ cha Ra ệêi cưn sạp rẵy la

Bẹy giê hảc giái gióp ta trđẻng thộnh Viỷc cềng cụ nhắ hoộn thộnh

đâu tung hoành dọc ngang Hỏi: Muốn giải tốn vừa hay vừa phải làm h anh Phú?

(9B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh) Đáp:

Bắt đầu từ nghe giảng Phải nghe, nghĩ, nói, ghi Nghĩ gặp điều Nói thầy hỏi Ghi từ tóm lại

32

Bµi 1(133) Cho p vµ q số nguyên tố lớn tháa m·n p q T×m sè dð chia p q cho 12 trÇn anh tn (GV THCS Phó Phóc,

Lý Nhân, Hà Nam) Bài 2(133) Cho A tập hợp gồm 10 chữ số, A {0; 1; 2; ; 8; 9} B tập A gồm phần tử Chứng minh tập hợp số có dạng x y, với x y hai phần tử phân biệt thuộc B, có số có chữ số hàng đơn vị

lđu lý tđẻng (GV THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Thả)

Bội 3(133).Giời phđểng trừnh

(Cao học Toán giải tích K19, Đại học Cần Thơ)

Bội 4(133).Cho a, b vộ c lộ nhọng sè thùc dđểng tháa mởn abc Từm giị trỡ lắn nhÊt cựa biÓu thục

trần xuân đáng (GV THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định) Bài 5(133) Biết có 168 số nguyên tố nhỏ 1000 Hỏi có hợp số nhỏ 1000 mà không chia hết cho số số 2, v 5?

trần bá linh (Lớp Marketing 1, K34, Đại học Kinh tế

TP H Chớ Minh) Bài 6(133) Cho M điểm nằm tam giác ABC cho D điểm đối xứng với M qua trung điểm BC AM cắt CD E, CM cắt AD F Chứng minh t giỏc MEDF ni tip

(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa) MBA MCA

2 2

P

1 a b c

2

x 4x 4 4x

1(133) Let p and q be prime numbers greater than such that p q Find the remainder when p qis divided by 12

2(133) Let A be a set comprising the 10 digits A {0; 1; 2; ; 8; 9} and B be a subset of A that has elements

Prove that, in the set of numbers x y, where x and y are distinct elements in B, there are at least numbers having the same unit digit

3(133).Solve the following equation

4(133) Let a, b, and c be positive real numbers such that abc Find the maximum value of the expression

5(133) Given that there are 168 prime numbers smaller than 1000 Find the number of composite numbers that are smaller than 1000 and are not divisible by any of the numbers 2, 3, and 6(133) Let M be a point inside a triangle ABC such that MBA MCA Let D be the point of reflection of Mthrough the midpoint of BC Let AM intersect CD at E, and CM intersect AD at F Prove that the quadrilateral MEDF is a cyclic quadrilateral

2 2

1 1

P

a b c

2 4 5 4 4 7 1.

x x x