Tạp chí Toán học tuổi thơ 2 kỳ số 146

TËp hîp c¸c ®iÓm Kiepert gäi lµ ®ðêng hyperbol Kiepert6. Bµi viÕt nµy sÏ giíi thiÖu ®Õn c¸c b¹n mét sè ®Þnh lÝ xoay quanh hai h×nh nµy..[r]

2

LŨY THỪA

cuỷa moọt soỏ hửừu tổ nguyễn đức (TP Hồ Chí Minh)

A KiÕn thức cần nhớ

Cho n số tự nhiên khác 1, x số hữu tỉ khác Lịy thõa bËc n cđa sè x, kÝ hiƯu lµ xn, lµ tÝch cđa n thõa sè x

(x , n , n 1)

NÕu th×

Quy đắc x1 x; x0 (vắi x 0) Cịc quy tớc

xm xn xm n

xm: xn xm n(víi x 0, m n) (xm)n xm.n

(x.y)n xn yn

(x : y)n xn: yn(víi y 0)

(n , x 0)

B Cịc dỰng bội toịn thđêng gẳp DỰng TÝnh

a) Phđểng phịp giời:VẺn dơng ệỡnh nghỵa cựa lịy thõa vắi sè mị tù nhiến, cịc cềng thục tÝch, thđểng cựa hai lòy thõa cỉng cể sè, lòy thõa cựa lòy thõa, lòy thõa cựa mét tÝch, mét thđểng cỉng vắi thụ tù thùc hiỷn cịc phĐp tÝnh, tÝnh chÊt cựa phĐp tÝnh vộ quy tớc dÊu ngoẳc

b) C¸c vÝ dơ VÝ dô 1.1TÝnh

a) 2.32 171 552: (2515.519) 20150

VÝ dô 1.2TÝnh

A 1.2 2.3 3.4 13.14 B 12 22 32 132 C 12 22 42 62 262

DỰng Viạt mét sè họu tử dđắi dỰng mét lòy thõa

a) Phđểng phịp giời:ậÓ viạt mét sè họu tử dỰng

(a, b , b 0, ẩCLN(a, b) 1) dđắi dỰng mét lòy thõa, ta sỳ phẹn tÝch |a| vộ b thõa sè nguyến tè ậềi ta cưn vẺn dông cềng thục lịy thõa cựa lịy thõa

b) C¸c vÝ dô

VÝ dô 2.1 Viạt sè 64 dđắi dỰng lòy thõa cựa sè nguyến Từm tÊt cờ cịc cịch viạt

VÝ dô 2.2 Viạt cịc sè (0,25)2015vộ (0,125)17dđắi dỰng lòy thõa cựa cể sè 0,5

DỰng Từm sè mò biạt cể sè vộ lòy thõa a) Phđểng phịp giời:Biạn ệữi ệỬng thục ệở cho vÒ dỰng xa xb Lđu ý nạu x khịc 0, 1, thừ a b

b) C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 3.1 T×m x, y , biÕt r»ng a) 3x 3x 810

b) 2x 2x 192 c) 2x 2y 2x y

DỰng Từm cể sè biạt sè mò vộ lòy thõa a) Phđểng phịp giời: Biạn ệữi ệỬng thục ệở cho vÒ dỰng xn yn Lđu ý nạu n lĨ thừ x y, nạu n chơn vộ n thừ x y

b) Các ví dụ

Ví dụ 4.1Tìm x, biết

Dạng So sánh hai lũy thừa

a) Phđểng phịp giời: ậđa hai sè lòy thõa cẵn so sịnh vỊ hai lịy thõa cỉng cể sè (nạu ệđĩc) hoẳc vỊ hai lịy thõa cỉng sè mị (nạu ệđĩc) răi so sịnh

b) C¸c vÝ dơ VÝ dơ 5.1 So sánh a) 32000và 23000 b) 3344và 4433

c) (202015 112015)2016vµ (202016 112016)2015

3 4

3 2

2

a) x

3 125

b) (x 7) 86

c) x(x 13) 3x

d) (x 9) (x 4) x

a b

21 13 10 41 19 15

4 16

b)

2

n n x x n n n n a a x b b a x b n

n thõa sè x

3 D¹ng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biÓu thøc

a) Phđểng phịp giời:Vắi mải n *, thừ x2n 0, dÊu “ ” xờy x vộ x2n 0, dÊu “ ” xờy x

b) C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 6.1Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Ví dụ 6.2Tìm giá trị lớn biểu thức

Ví dụ 6.3Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: C (x 2)2 (y 8)2 2015

Ví dụ 6.4Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn

3

4

1

D 3x y 1963

5

2

B (x 0,7) 18

2

2

A x

3

VÝ dô 1.1a) 125

VÝ dô 1.2Ta cã

3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 13.14.3

1.2.3 2.3.(4 1) 3.4.(5 2) 13.14.(15 12)

1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4

13.14.15 12.13.14 13.14.15

Do A 13.14.5 910 B 12 22 32 132

1(2 1) 2(3 1) 3(4 1) 13(14 1) A (1 13)

C 12 22 42 62 262 4(12 22 32 132) 4.819 3277

VÝ dô 2.1 64 26 ( 2)6 43 82 ( 8)2 641

VÝ dô 2.2a) 0,54030 b) 0,551

VÝ dô 3.1 a) 3x 3x 810 3x(32 1) 810

3x 81 34 x

b) 2x 2x 192 2x(22 1) 192

2x 64 26 x

c) 2x 2y 2x y (2x 1)( 2y 1) x y

VÝ dơ 4.1a) x b) x 10 hc x

c) x(x4 13) 3x x(x4 13 3)

x hc x4 16 x hc x

d) x 1, x 1, x 10

VÝ dô 5.1 a) 32000 91000 81000 23000 b) Ta cã

3344 (334)11 [(3.11)4]11 (34.114)11 (81.114)11 4433 (443)11 [(4.11)3]11 (43.113)11 (64.113)11 Vì 81 64 114 113 nên 3344 4433

c) Ta cã (202015 112015)2016

(202015 112015)2015.(202015 112015) (202015 112015)2015 202015

(20.202015 20.112015)2015 (202016 112016)2015

VÝ dơ 6.1Ta cã V×

DÊu “ ” x¶y VËy

VÝ dơ 6.2MaxB 18 x 0,7

VÝ dô 6.3Ta cã

C (x 2)2 (y 8)2 2015 2015

(v× (x 2)2 (y 8)2 0)

Dấu xảy x vµ y hay x vµ y

Vậy C đạt giá trị nhỏ 2015 x

y

Ví dụ 6.4 D đạt giá trị lớn 1963 y

1 x

15

5

MinA x

9

2

2

x x

3 2 x

2 5

A x

3 9

13.14 910 819 b)

4

C¸c em h·y giải dạng tập sau

Bi Giời bÊt phđểng trừnh vộ biĨu diƠn tẺp nghiỷm trến trôc sè

a) 2x b) 3x

c) 5x 17 d) 3x 14

Bội 2.Giời cịc bÊt phđểng trừnh

a) 3(x 1) 2x

b) 2(x 2) 3x

c) 4(x 3) 2x

d) 6(x 1) 2x

Bội 3.Giời cịc bÊt phđểng trừnh a) (x 2)2 (x 3)(x 4)

b) (x 3)2 (x 4)(x 5) c) (x 5)2 (x 6)(x 7) d) (x 6)2 (x 7)(x 8)

Bội 4.Giời cịc bÊt phđểng trừnh a) 2x(6x 1) (3x 2)(4x 3) b) 3x(2x 1) (3x 2)(2x 3) c) 4x(x 1) (2x 3)(2x 4) d) 3x(x 1) (x 3)(3x 5)

Bội Giời cịc bÊt phđểng trừnh

Bội Giời cịc hỷ bÊt phđểng trừnh

Bội Giời cịc phđểng trừnh a) |2x 1| |1 x|

b) |x 1| |2x 3| c) |3x 2| |2x 3| d) |x 2| |2x 1|

Bội 8.Giời cịc phđểng trừnh a) |x 7| 2x

b) |x 4| 2x c) |x 3| 3x d) |x 2| 2x

Bội 9.Giời cịc bÊt phđểng trừnh

c) (x 2)(x 5) d) (x 3)(x 1)

Bµi 10.Cho a, b, c Chøng minh r»ng a) a4 b4 2a2b2

b) a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 c) a2b2 b2c2 2ab2c

d) a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)

(với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có nửa chu vi p)

4

4 (a b)

m) a b

8

2 (a b)

k) a b

2

1 1 4

j)

a b c a 2b c b 2c a c 2a b

1 1 1

i) 2( )

p a p b p c a b c

1 1

h)

a b c a b c

1

g)

a b a b ab bc ca

f) a b c

c a b

ab bc e) 2b c a x b) x x a) x

4x 3x d)

3x x 3x 2x c)

3x x 4x 2x b)

5x 4x 2x x a)

3x x

2x 3x 7x d)

3 12

x 2x x c)

4 12

3x 2x 15x 13 b)

2

2x 3x x a)

3

ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 8 NGUYƠN §øC H¶O

5

(TTT2 sè 144) NhẺn xĐt.Quy luẺt kừ nộy tđểng ệèi khã phịt hiỷn,

vì dấu hiệu đặc trðng khơng rõ

Quy luật.ởmỗi hình a), b), c) có hai cột số nằm bên trái bên phải hình trịn lớn Trong hình a) b) có cặp số giống nhau, số nằm cột Ngoài ra, số vòng tròn lớn tổng hai số giống trừ 1, cụ thể:

H×nh a): (3 3) 5; H×nh b): (18 18) 35

Theo quy luật đó, số cần điền vào vị trí dấu chấm hỏi hình c) (43 43) 85

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn: Lế Thỡ Thanh Hđểng, NguyÔn Trung Vđểng, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vnh Tờng, Vnh Phúc;

Nguyễn Văn Huỳnh, 7A2, THCS Yên Phong, Yên

Phong, Bắc Ninh; Trịnh Tùng Huy, 8A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định;

Ngun Hoộng Anh, 7B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,ụng Hưa Hộ Néi

Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Khớc Nhẹn, Lế Thạ Hời, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,Phú Th

nguyễn Xuân Bình

ẹIEN SO NAỉO?

Bài 1.Điền số thiếu vào dÃy sau:

Bội Cho dởy sè 23, 35, 56, ệã mẫi sè hỰng cựa dởy bỪng tững cịc chọ sè cựa sè hỰng ệụng kÒ trđắc nã nhẹn vắi Hái sè hỰng thụ 2015 lộ sè nộo?

Ngun §øc TÊn(TP Hå ChÝ Minh)

SỐ NÀO?

Bạn Trần Thị Diễm Quỳnh, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An có lời giải thơ nhð sau:

Bến trớng chỡu thiỷt thưi ThÝ hẺu xuèng e8 Vua ệen liÒn xềng xịo Võa trềng thÊy ẽn Tđẻng nhđ thạ mộ hay Nhđng ệõng véi mõng nhĐ ậềi song mở bến trớng Liến kạt lỰi vắi Phờn cềng lỰi thạ cuéc Mở xuèng liÒn f6 Vua sĩ lÈn d8

Mã tiếp tục xông pha Xuống tận ô f7 Vậy trận rõ Bên đen phải đầu hàng Còn bên trắng liên hoan

Ngoội bỰn Quúnh, cịc bỰn Vò Quang Phong, 8A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Hoộng Lế Cềng Khềi, 8B, THCS Thanh Hộ, Thanh Ba, Phó Thảcịng cã lêi giời ệóng ệđĩc thđẻng kừ nộy

Lª tó

Đen trước tìm cách thắng

LÊ THANH TU

6 Bài toán Cho a 3, tìm giá trị nhỏ

Li giải.Ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ a Từ ta có lời giải sau

Vì a áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

DÊu “ ” x¶y a

Vậy a

Bài toán Cho x, y, z tháa m·n xyz Chøng minh r»ng

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

Chụng minh tđểng tù răi céng theo vạ cịc bÊt ệỬng thục ệã ta ệđĩc

Bµi to¸n 3.Cho a, b, c tháa m·n a b c Tìm giá trị nhỏ

Li giải Vì a b c nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

DÊu “ ” x¶y a 1, b 2, c VËy MinP 24 a 1, b 2, c

Bµi to¸n 4.Cho c¸c sè thùc a, b, c [0, 1] Chøng minh r»ng

2(a3 b3 c3) a2b b2c c2a

Lời giải Vì a, b, c [0, 1] nªn

(1 a2)(1 b) (1 b2)(1 c) (1 c2)(1 a) (a2b b2c c2a) (a2 b2 c2) (a b c)

3 a2b b2c c2a a2 b2 c2 a b c Mµ a, b, c [0, 1] nªn

a2 b2 c2 a b c 2(a3 b3 c3) Suy ®pcm

Chóng mừnh cỉng từm hđắng gii cc bi sau nh

Bài 1.Cho sè thùc x, y, z tháa m·n x2 y2 z2 Chøng minh r»ng x y z xyz

Bµi Cho x, y tháa m·n x, y x2 y2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P x3 y3

Bài Cho c¸c sè thùc x, y kh¸c tháa m·n (x y)xy x2 xy y2 Tìm giá trị lớn

Bài Các số thực a, b, c [ 1, 2] tháa m·n a2 b2 c2 Chøng minh r»ng a b c

3

1

A

x y

1 27

P a 2b 3c

a b c

4(a b c) 18 4.6 24 27

P 5a 6b 7c

a b c

3

1 1

P

xy yz zx

x y z

3 3( x y z)

xyz

3.3 x y z 3

3 3 3

3

1 x y 1.x y 3xy

1 x y 3xy 3

xy xy xy

3 3 3

1 x y y z z x

P 3

xy yz zx

10 MinP

3

1 9

P a a a

a a a a a

8 10

6

3

1

P a

a

BẤT ĐẲNG THỨC CĨ ĐIỀU KIỆN

Ngun Thu thđy

(HS 9A5 THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh)

7 C©u 1.TÝnh A 22 23 2100

C©u 2.Thùc hiƯn phÐp tÝnh

C©u Cho tØ lƯ thøc Chøng minh r»ng

Câu Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn

C©u Tìm tất nghiệm đa thức f(x) 3x2 2x

Cẹu Ba lắp 7A, 7B, 7C cã 94 hảc sinh tham gia trăng cẹy Mẫi hảc sinh lắp 7A trăng ệđĩc cẹy, mẫi hảc sinh lắp 7B trăng ệđĩc cẹy, mẫi hảc sinh lắp 7C trăng ệđĩc cẹy Hái mẫi lắp cã bao

nhiếu hảc sinh, biạt rỪng sè cẹy cịc lắp ệã trăng ệđĩc lộ nhđ

Câu Cho tam giác ABC có Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân A ADB AEC Chứng minh DC BE DC BE

o A 90

7n 2n

2

2

a c a.

b

b c

a c c b

12 10 2

2

2 25 49

B

(2 3) (125.7) 14

1 1

A

4.9 9.14 14.19 44.49

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP TRệễỉNG Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH020

Bội Cho cịc sè thùc dđểng x, y tháa mởn Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa P x y

Bµi Cho a, b a b Tìm giá trị nhỏ

Bài Cho sè thùc x, y tháa m·n x2 y2 25 Chøng minh r»ng |3x 4y| 25

Bµi 8.Cho x, y, z thỏa mÃn 4x 9y 16z 49 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa T 25 64

x y z

1

S ab

ab

8 B Đề thi đồng đội

1.Mẫi sè cịc sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, vộ ệđĩc ệẳt cịc hừnh trưn khịc hừnh sau Hai sè tù nhiến liến tiạp khềng ệđĩc ệẳt vộo hai hừnh trưn ệđĩc nèi vắi bỪng mét ệoỰn thỬng Tững cựa cịc sè nỪm trến chu vi cựa mét hừnh chọ nhẺt bỪng sè ẻ bến cựa hừnh chọ nhẺt ệã BỰn hởy ệẳt cịc sè vộo cịc hừnh trưn cho tháa mởn yếu cẵu trến (Canada ệÒ nghỡ)

2.ậé dội ba cỰnh, tÝnh theo cm cựa mét tam giịc vuềng lộ cịc sè nguyến dđểng nguyến tè cỉng ậđêng thỬng ệi qua trảng tẹm vộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp cựa tam giịc ệã vuềng gãc vắi mét cỰnh gãc vuềng TÝnh giị trỡ lắn nhÊt cựa chu vi tam giịc ệã theo cm (Mexico ệỊ nghỡ)

3.Cho tam gi¸c ABC có A 40o, B 60o Tia phân giác A cắt BC D, F điểm cạnh AB cho ADF 30o TÝnh DFC

(Mexico đề nghị)

4 Chọ sè ệẵu tiến cựa mét sè nguyến dđểng cã 2013 chọ sè lộ BÊt kừ hai chọ sè nộo kÒ liến tiạp ệÒu lộ béi cựa 13 hoẳc 27 Tững cịc giị trỡ khịc cã thÓ cựa chọ sè cuèi cỉng cựa sè trến bỪng bao nhiếu? (Nam Phi ệÒ nghỡ)

5 Trong mét giời ệÊu, cụ hai ngđêi bÊt kừ ệÒu tham gia mét trư chểi vắi Khềng cã trẺn ệÊu nộo kạt thóc hưa Sau tững kạt giời ệÊu thừ ngđêi ta thÊy cụ bÊt kừ hai ngđêi X vộ Y nộo thừ ệÒu cã mét ngđêi Z thớng cờ hai ngđêi ệã Trong giời ệÊu ệã:

a) Chụng minh rỪng sè ngđêi chểi khềng thÓ lộ sịu ngđêi

b) Chụng minh rỪng sè ngđêi chểi cã thÓ lộ bờy ngđêi

(Mexico đề nghị)

6.Cho hình ngũ giác ABCDE có ABC DEA

90o AB BC, DE EA BE 100 cm Tính diện tích ngũ giác ABCDE theo cm2 (Nga đề nghị) DTH(Dịch giới thiệu)

ĐỀ THI OLYMPIC

TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI BULGARIA

(BIMC 2012)

9

7.Hai ngđêi chểi bớt ệẵu tõ mét chÊm ệen trến mẫi ề vuềng cựa mét bờng 100 100 găm toộn ề vuềng chụa cịc chÊm ệen Mẫi lđĩt chểi mẫi ệÊu thự phời loỰi bá mét sè nguyến dđểng cịc chÊm ệen Hả phời bớt ệẵu tõ ề vuềng tỰo thộnh hừnh chọ nhẺt ệã khềng cã ề vuềng khềng chụa chÊm ệen ậÊu thự nộo loỰi bá chÊm ệen cuèi cỉng lộ ngđêi thua cuéc Hởy chử mét cịch chểi ệÓ ngđêi chểi trđắc luền thớng cuéc (NhẺt Bờn ệÒ nghỡ)

8.Trong mét bờng trđng bộy kÝch thđắc 5 cã 20 viến ệị quý găm: viến mộu ệá, viến mộu vộng, viến mộu xanh da trêi, viến mộu xanh lị cẹy Trong mẫi hộng, mẫi cét ệÒu cã mét ề trèng vộ cã viến ệị quý khịc mộu Cã 12 ngđêi ệụng chiếm ngđìng cịc viến ệị quý, mẫi ngđêi chử nhừn vộo mét hộng hoẳc mét cét vộ ngđêi ệã sỳ cho biạt mộu sớc cựa viến ệị ẻ ề ệẵu tiến mộ ngđêi ệã nhừn thÊy hoẳc cho biạt mộu sớc cựa viến ệị ẻ ề thụ hai nạu ề ệẵu tiến khềng chụa viến ệị nộo Cịc bịo cịo ệđĩc cho bẻi sể ệă dđắi ệẹy Trong ệã R, Y, B vộ G thay cho mộu ệá, vộng, xanh da trêi vộ xanh lị cẹy Trong sể ệă sau bỰn hởy ệiÒn R, Y, B vộ G vộo 20 ề 25 ề cựa bờng ệÓ thÓ hiỷn vỡ

11.PQRSTU is a regular hexagon with side cm The polygon ABCDEFGHIJKL is obtained by drawing the equilateral triangles of side cm, producing the sides of the hexagon

Find

12 Nine lines, parallel to the base of a triangle, divide each of the other sides into 10 equal segments and the area into 10 distinct parts Find the area of the original triangle, if the area of the largest of these parts is 76 cm2

13.The dates of three Sundays in a month are even numbers What day is the 28th day of the month?

14.The company Coco has a number of operational cars The tax for the first car is $2,000, the tax for second car is 5% more than the tax for the first car, the tax for third car is 10% more than the tax for the first car, the tax for the other cars are 15% more than the tax for the first car The company pays $15,500 tax for all cars How many cars does the company have?

15.There are 1500 red dots and 513 white dots on a circle We write between two red dots, between two white dots, and between two dots that have different colours What is the sum of the 2013 numbers we have written on this circle?

K× sau đăng tiếp

area of ABCDEFGHIJKL area of PQRSTU

10th INTERNATIONAL MATHEMATICS (TiÕp theo trang 24)

trí màu viên đá quý

10 Bài 1.a) Điều kiện x 0, x

b) Ta cã

tháa m·n ®iỊu kiƯn

Vậy

c) Với x x 1, ta có

Mặt khác

Từ (1) (2) suy Q

Bµi a) Ta cã

b) Phẹn tÝch bÊt phđểng trừnh trẻ thộnh

(2x y)2 (y z 1)2 (z 3)2

Từ (x; y; z) (1; 2; 3) c) Điều kiện x Đặt Suy

Ta ệđĩc phđểng trừnh

a (v× a 0)

Chó ý Ta cã thÓ giời (1) bỪng cịch bừnh phđểng

hai vạ răi ệẳt Èn phơ ệĨ ệđa vỊ phng

trình bậc bốn ẩn y

Bài a) Ta cã

Suy 3x3 8x2 B ( 1)2015

b) Ta thÊy x y Gi¶ sư x y

Suy 3x 3y px p

TH1.p 2x 3y 6x 9y hay

2(3x 1) 9y Suy y Từ y 5, x

TH2.p x 3y 3x 9y Do

4 y Từ y 2, x y 4, x 13 Vậy (x; y) (8; 5), (5; 8), (7; 2), (2; 7), (13; 4), (4; 13)

Bµi a) Ta cã

Suy EAF BAC (c.g.c)

Từ AEF 2

ABC

S AE cos A.

S AB AE AF cosA AB AC 3

( 2) ( 2) ( 2)( 2)

x

3

5

5 (3 5)

2 a y 11 x 2 2 2

(5a 4a )

(a 2)

1 a ( 5a a ) a

(a 2)

1 a ( 5a a )

2 5a

a (1)

1 a

2

1 a

x x

a a

1 a (a 0).

x

2014 2015 2015 2014

2015 2014 2015 2014

1

2015 2014

2014 2015

2015 2014

2 2( x 1)

2 Q (2)

x x

2 x x

Q (1)

P x x

1 x P

3 1

P x x :

4

2

1 3

P x x x

2 4

x(x x 1) x(2 x 1) 2( x 1)( x 1)

P

x x x x

x( x 1) (2 x 1) 2( x 1) x x

2 5a a

(a 2)

1 a

Năm học 2014 - 2015 (Đề đăng TTT2 số 145)

11 Bài 1.(4,0 điểm)

a) Cho c¸c sè a, b, c kh¸c tháa m·n a2(b c) b2(c a) 2015

Tính giá trị biểu thøc M c2(a b)

b) Chụng minh rỪng nạu |a| |b| thừ phđểng trừnh (Èn x): 2ax2 bx a có nghim

Bài 2.(4 điểm)

Giời cịc phđểng trừnh vộ hỷ phđểng trừnh sau:

Bài 3.(4 điểm)

a) Cho a, b, c tháa m·n a b c abc Chøng minh

b) Từm tÊt cờ cịc sè nguyến tè p tháa mởn p2 23 cã ệóng đắc sè dđểng

Bµi 4.(6 ®iĨm)

Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn (O; R) cã M lộ ệiÓm di ệéng trến cung AC Gải D lộ giao ệiÓm cựa AM vộ BC

a) Tính độ dài BC theo R

b) Gọi N trung điểm đoạn thẳng AD Xác định vị trí M để AM ON nhỏ nht

Bài 5.(2 điểm)

Cho t gic ABCD néi tiạp ệđêng trưn (O) Cịc tia BA, CD cớt tỰi E, cịc tia DA, CB cớt tỰi F ậđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc CEF cớt (O) tỰi N (khịc C) Gải M lộ trung ệiÓm cựa ệoỰn thỬng EF Chụng minh M, A, N thỬng hộng

AB AC 2R

2 2

1 1 3.

2

1 a b c

3

3

3

2 2

x 3x

a) x

x (x 1)

xy x 7y b)

x y xy 13y

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 QUẬN 1, TP H CH MINH (VềNG 2)

Năm học: 2014 - 2015

Thêi gian lµm bµi:120

b) Tõ kạt quờ cẹu a) ta cã SAEF cos2A.SABC Tđểng tù SBFD cos2B.SABC, SCDE cos2C.SABC Mộ ABC nhản nến cịc ệiÓm D, E, F tđểng ụng thuéc cịc cỰnh BC, CA, AB

Do SDEF SABC SAEF SBFD SCDE (1 cos2A cos2B cos2C)SABC

c) V× B 90o FCB DHC nên

Mà nên

d) Vì FCA ECH (g.g) nªn

Tđểng tù Do ệã

Ta CM ệđĩc (x y z)2 3(xy yz zx) (*)

¸p dông (*) ta cã

Suy

Bội Ta thÊy 36x, 5y cã chọ sè tẺn cỉng tđểng ụng lộ 6,

TH1.A 36x 5y 36x 5y: loại 36x nhng 5ykhông chia hÕt cho

TH2.A 5y 36x 5y 36x 9: loại

36x 9 nhng 5ykh«ng chia hÕt cho

TH3.A 11 36x 5y 11 Thö x 1, y tháa m·n VËy Amin 11

HA HB HC 3.

BC AC AB

HA.HB HB.HC HC.HA

3

BC.BA CA.CB AB.AC HA HB HC BC AC AB

HBC HCA HAB

ABC

S S S 1.

S

HC.HB HB.HA HA.HC AC.AB AC.BC AB.BC

HAC HAB

ABC ABC

S S

HB.HA ,HA.HC .

AC.BC S AB.BC S

HBC ABC S

HC CE HC.HB CE.HB .

AC CF AC.AB CF.AB S

AD AH HD AH

tanB.tanC k

HD HD HD

AD tanC

DC DC

tanB tanDHC

12

Bµi 1(144) Chøng minh r»ng sè 1280000401 lµ hợp số

Lời giải.Đặt a 20

M 1280000401 128.107 4.102

27.107 22.102 a7 a2

a(a6 1) a2 a

a(a3 1)(a3 1) a2 a

a(a3 1)(a 1)(a2 a 1) a2 a

(a2 a 1) [a(a3 1)(a 1) 1]

Chụng tá sè A cã Ýt nhÊt hai đắc sè lắn hển VẺy A lộ hĩp sè

NhẺn xĐt.Bội toịn nộy khềng khã vắi hảc sinh vừ sỏ dông hỪng ệỬng thục vộ phẹn tÝch ệa thục thộnh nhẹn tỏ Khị nhiÒu bỰn tham gia giời bội vộ giời ệóng Mét sè bỰn ệở phịt hiỷn 1280000401 lộ tÝch cựa 421 vắi 3040381 nhđng khềng chử cịch từm Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Thỡ Mủ Linh, NguyÔn Tỉng Lẹm, NguyÔn Họu Trung Kiến, NguyÔn Thỡ Thu HỪng, Bỉi Thỡ Quúnh, PhỰm Quang Sịng, Trẵn Ngảc ậỰt, Bỉi Hđểng Giang, ậinh Thỡ Ngảc Anh, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Thịi Phđểng Thờo A, 7C;

NguyÔn Träng Trung Phong, 6C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An

Phùng kim dung

Bài 2(144) Cho tam giác ABC có

Vỳ AH vuềng gãc vắi BC tỰi H Trến tia AB lÊy ệiÓm D cho AD HC Chụng minh rỪng ệđêng thỬng DH ệi qua trung ệiÓm cựa ệoỰn thỬng AC

Lêi gi¶i

Tõ gi¶ thiÕt ta cã nªn AC AB Suy HC HB

Từ đó, đoạn thẳng HC lấy điểm I cho IH HB AHI AHB (c.g.c)

AI AB Mặt khác

Do ú IA IC HC hay AB HC AD Suy điểm B nằm A D

Gọi K giao điểm DH với AC Vì AD HC, AB IC nên BD HI HB Do

Từ

VËy KA KH KC (®pcm)

Nhận xét Có nhiều bạn giải toán Xin nêu tên số bạn có lời giải gọn cả:

Ngun Minh ậục, 7A1, THCS Nhẹn ChÝnh, Thanh Xuẹn; Ngun Ngảc Anh Tó, 7B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi;TỰ Nam Khịnh, Chu Thỡ Thanh, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Bỉi Thỡ Minh Thu, 7C, THCS Ngun Cao, Quạ Vâ,

Bớc Ninh; Vò HỰ Ly, 7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn,Hộ Nam;Phỉng Hoội Thđểng, Vâ Thỡ Bờo Anh, 7A1, THCS Nghi Hđểng, TX Cỏa Lư; Ngề Vẹn Anh, NguyÔn ậừnh ậỰt, Chu TuÊn Nghỵa, 7C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An;NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời Chẹu, ậộ Nơng;NguyÔn Hoộng Nhi, 7A6, THCS Thèt Nèt, Thèt Nèt, Cẵn Thể

hå quang vinh

Bội 3(144) Giời hỷ phđểng trừnh vắi x, y, z lộ nhọng sè thùc dđểng

(x 1)(y 3)(z 5) 105;

Lời giải.Điều kiện:

2(y2 z2) x2; 2(z2 x2) y2; 2(x2 y2) z2

ịp dông bÊt ệỬng thục AM-GM cho hai sè dđểng, ta cã

2 2 2 2 2

x y

2(y z ) x 2(z x ) y

z 3.

2(x y ) z

KHC ACB KAH KHA

1

BDH BHD ABC ACB

2

AIB ACB IAC IAC ACB AIB ABC 2ACB

B C

o

13

ậỬng thục xờy vộ chử 2x2 y2 z2 Tđểng tù:

Céng theo vạ cựa ba bÊt ệỬng thục, ta ệđĩc

Do ệã phđểng trừnh thụ hai cựa hỷ phđểng trừnh tháa mởn vộ chử x y z

Thay kạt quờ ệã vộo phđểng trừnh thụ nhÊt hỷ, ta ệđĩc (x 1)(x 3)(x 5) 105

ậẳt t x thừ phđểng trừnh trẻ thộnh

(t 2)t(t 2) 105 t3 4t 105

(t 5)(t2 5t 21) t

(v× t2 5t 21 0) Suy x y z

VËy cã nghiÖm nhÊt lµ x y z

Nhận xét Điều then chốt lời giải chứng minh bất đẳng thức (*) để suy x y z Các bạn sau có kết đúng: Trần Thị Thu Huyền, Nguyễn Thảo Chi, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Hồng Lê Cơng Khơi, 8B, THCS Thanh Hà, Thanh Ba, Phú Thọ; Nguyễn Tuấn Anh, 9A5, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh; Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa

Ngun Anh Dịng

Bội 4(144) Cho a, b vộ c lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn a2 b2 c2 2abc

Chụng minh rỪng a2b2 b2c2 c2a2 12a2b2c2 Lêi giời BÊt ệỬng thục cẵn chụng minh tđểng ệđểng vắi

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy

NhẺn xĐt: Bội toịn trến cã nhiÒu hđắng giời khịc vộ cã rÊt nhiÒu bỰn tham gia giời bội, hẵu hạt cịc bỰn giời ệóng Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng vộ ngớn gản: ậẳng Thanh Tỉng, Vđểng Tiạn ậỰt, NguyÔn Vẽn Cao, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng Hưa; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A;

ậoộn Ngảc Hiạu, 9B, THPT chuyến Hộ Néi -Amsterdam, Cẵu GiÊy; NguyÔn Duy Khđểng, 9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; PhỰm Trđêng Giang, An Nẽng Quèc, ậẳng ậục Thộnh, Phan Thộnh Trung, 9A4, THCS Ngề Sỵ Liến, Hoộn Kiạm,Hộ Néi;NguyÔn ậục Phó, 7A1, THCS Nghi Hđểng, Cỏa Lư, Nghỷ An; PhỰm Thu Bớc, 8A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; ậẳng Quang Anh, 8A, THCS Ngun ChÝch, ậềng Sển,

Thanh Hóa; Nguyễn Thị Bích Hằng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

Cao văn dũng

Bội 5(144).Dỉng cịc hừnh vuềng cỰnh cm, cm vộ cm ệÓ ghĐp lỰi ệđĩc mét hừnh vuềng cỰnh 2015 cm Chụng minh rỪng luền cẵn Ýt nhÊt mét hừnh vuềng cỰnh cm Hởy chử mét cịch ghĐp mộ chử dỉng ệóng mét hừnh vuềng cỰnh cm Lêi giời (Dùa theo lêi giời cựa bỰn NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời Chẹu, ậộ Nơng)

Ta chia hừnh vuềng cỰnh 2015 thộnh cịc hừnh vuềng cỰnh cm vộ ệịnh sè cịc hộng tõ trến xuèng dđắi lộ hộng 1, hộng 2, , hộng 2015 Ta tề mộu vộng cịc hộng cã sè thụ tù lĨ vộ tề mộu ệá cịc hộng cã sè thụ tù chơn

Ta gải ề vuềng cỰnh cm lộ ề, ề vuềng cỰnh cm ệđĩc tề mộu vộng lộ ề vộng vộ ề vuềng cỰnh cm ệđĩc tề mộu ệá lộ ề ệá Khi ệã sè ề ệá Ýt hển sè ề vộng lộ 2015 ề (1)

Giờ sỏ ta phự kÝn ệđĩc hừnh vuềng cỰnh 2015 chử bỪng cịc hừnh vuềng cỰnh cm vộ cm Vắi cịch tề mộu trến thừ mẫi hừnh vuềng cỰnh cm ệÒu lÊp ệẵy ề ệã luền lộ ề vộng vộ ề ệá; mẫi hừnh vuềng cỰnh cm ệÒu lÊp ệẵy ề ệã cã ề vộng vộ ề ệá hoẳc ề vộng vộ ề ệá Do ệã hiỷu sè ề ệá vộ ề vộng ệđĩc lÊp ệẵy bẻi chử cịc hừnh vuềng cỰnh cm hoẳc chử hừnh vuềng cỰnh cm hoẳc cờ hai hừnh vuềng cỰnh cm vộ cm ệÒu lộ mét sè chia hạt cho ậiÒu nộy mẹu thuÉn vắi (1) vừ 2015 lộ sè khềng chia hạt cho Suy ệiÒu sỏ lộ sai VẺy khềng thÓ phự kÝn ệđĩc hừnh vuềng cỰnh 2015 cm chử bỪng cịc hừnh vuềng cỰnh cm hoẳc cm Ta chử mét cịch phự hừnh vuềng cỰnh 2015 cm mộ chử dỉng ệóng mét hừnh vuềng cỰnh cm, cịc

1

a b c

2

3

2 2 2

1 1 3 3 64 12.

a b c a b c

4

2 2 3

1 a b c 2abc 2a b c abc ;

8

2 2

1 1 12.

a b c

2 2 2

2 2

x y

2(y z ) x 2(z x ) y

z 3.

2(x y ) z

2

2 2

2 2

z 3z .

x y z

2(x y ) z

2

2 2

2 2

y 3y ;

x y z

2(z x ) y

2

2 2 2

2

2 2 2 2

x 3x

2(y z ) x ( 3x) 2(y z ) x

2 3x 3x (*)

14

hừnh vuềng cỰnh cm vộ cỰnh cm nh hnh v di y

Ban đầu, ta phủ hình vuông cạnh 11 cm hình vuông cạnh cm hình vuông cạnh cm, cạnh cm nhð sau:

Ta phự hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc 1002 cm 1013 cm bỪng cịc hừnh vuềng cỰnh cm vộ cỰnh cm nhđ sau:

Ta phự hừnh vuềng cỰnh 2015 cm bỪng hừnh chọ nhẺt kÝch thđắc 1002 cm 1013 cm vộ mét hừnh vuềng cỰnh 11 cm nhđ sau:

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở chụng minh ệđĩc khềng thÓ phự kÝn hừnh vuềng ệở cho bỪng cịc hừnh vuềng kÝch thđắc cm vộ cm nhđng khềng chử ệđĩc cịch phự vắi mét hừnh vuềng cỰnh cm nhđ yếu cẵu ệỊ bội Chử cã bỰn Ngun Vẽn Thanh Sểncã lêi giời trản vứn cho bội toịn nộy

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 6(144).Cho tam gic ABC nhản cã ba ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H AD cớt EF tỰi I LÊy ệiÓm K trến ệoỰn thỬng CD Vỳ AS vuềng gãc vắi HK tỰi S Chụng minh rỪng SH lộ tia phẹn giịc cựa gãc ISD

Lêi giời Gải M, N theo thụ tù lộ giao ệiÓm cựa SD, SI vộ ệđêng thỬng qua H vuềng gãc vắi SH

V× SA SH, MN SH nên SA // MN (1)

Vì tứ giác HECD, FACD, HEAF nội tiếp nên Kết hợp với AE EH, suy EH EA theo thứ tự phân giác phân giác cđa tam gi¸c EID (2)

Từ (1) (2) suy Do HM HN

KÕt hỵp víi SH MN, suy SH phân giác góc ISD

Nhận xét Các bạn sau có lời giải tốt: Đặng Quang Anh, 9A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn,

Thanh Hãa; NguyÔn Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Vẽn Cao, ậẳng Thanh Tỉng, Vđểng Tiạn ậỰt, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi

Ngun Minh Hµ

HM HM AS HD AI HD AI ED EI. . . . 1.

15

CÒN LẠI SỐ NÀO?

CHIA ứỷƠửNG TROửN THAửNH BỐN PHẦN (TTT2 sè 144) Dùng hừnh - Dùng mét ệđêng thỬng qua O cớt

ệđêng trưn (O) tỰi A, B

- LÊy ệiÓm M bến ngoội (O) Nèi MA, MB cớt (O) tỰi ệiÓm E, F tđểng ụng

- Nèi AF, BE cắt H - Nối MH cắt (O) P, Q - Nối PO cắt (O) R - Nối AQ cắt BR N - Nối NO cắt (O) C, D

Ta c bốn iểm A, C, B, D chia ệđêng trưn ệở cho thộnh phẵn bỪng

Chụng minh.Ta thÊy AF, BE lộ ệđêng cao cựa tam giịc ABM nến H lộ trùc tẹm tam giịc MAB Do ệã PQ AB

Mộ PR lộ ệđêng kÝnh cựa (O) nến QR PQ Suy QR // AB

Vậy ABRQ hình thang cân nên tam giác NAB cân N

Suy NO AB hay CD AB

Tõ ệã A, C, B, D chia ệđêng trưn ệở cho thộnh phẵn bỪng

NhẺn xĐt.ậÓ dùng PQ AB, ta cã thÓ chản ệiÓm H nỪm hừnh trưn răi dùng ệiÓm M bỪng cịch nèi AH, BH cớt (O) tỰi F, E tđểng ụng răi nèi AE cớt BF tỰi M

Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn Khớc TrÝ, 7A2, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi; Trẵn Viỷt An, 6A, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời Chẹu,ậộ Nơng

Anh com pa

Trên bảng có số

Mỗi lần, ta xóa hai số a, b có bảng, viết số a b 5ab

Hỏi sau 2013 lần thực việc xóa viết số theo quy tắc trên, số lại bảng sè nµo?

Nguyễn đức tấn(TP Hồ Chí Minh)

1 , , , , 2014.

2015 2015 2015 2015

ậẳng Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa; ậẳng Thanh Tỉng, Vđểng Tiạn ậỰt, Ngun Vẽn Cao, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; NguyÔn Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong,

16

hiÒu thịm tỏ Sếlềccềc tắi nhộ ềng Ben ẽn tèi Lộ bỰn thẹn tõ thuẻ nhá nến mẫi rờnh rẫi hai ngđêi thđêng gẳp hộn huyến ệự chuyỷn trến ệêi Hềm nay, gióp viỷc chuÈn bỡ mÊy mãn rÊt hĩp khÈu vỡ Sau bọa ẽn, cã lỳ vừ ngon miỷng quị nến ềng Ben vộ thịm tỏ ngÉu hụng rự ệi xem phim RỰp khềng xa nhộ nhđng Ben chỰy véi lến phưng lÊy ịo khoịc, cưn thịm tỏ thừ quến cờ chiạc khẽn quộng treo ẻ gẵn cỏa Hai ngđêi khái nhộ lóc giê 35 Hả xem buữi chiạu tõ giê ệạn rđìi Gẵn 10 giê thừ hai ngđêi vỊ tắi nhộ ềng Ben Lỳ thịm tỏ cã thÓ vÒ thỬng nhộ mừnh nhđng vừ trêi khị lỰnh nến ềng quay lỰi nhộ ềng Ben lÊy khẽn

- Thôi, Chúc ngủ ngon! - Chờ tí! Tơi lên gác lấy cho ơng sách Hay lắm, tơi vừa đọc xong!

Råi «ng Ben tÊt tả chạy lên phòng Chợt, thám tử nghe tiếng bạn kêu hốt hoảng:

-i, ng h ca tụi õu ri?

Bệnh nghề nghiệp trỗi dậy, thám tử quên về, vội chạy lên gác:

- Sao thÕ?

- Chiếc đồng hồ lúc để khơng thấy đâu

- §ång hå quý ð?

- õ ậăng hă vộng ệÝnh kim cđểng Bừnh thđêng tềi luền cÊt kĐt ChiÒu nay, tù nhiến nữi hụng lÊy ệeo mét lóc Khi lến phưng lÊy ịo khoịc ệÓ ệi xem, tềi thịo ệăng hă nhđng véi quị nến ệÓ tỰm trến giđêng Tềi còng cÈn thẺn lÊy cịi gèi ệẺy lến trến răi VẺy mộ ệã ệở phịt hiỷn vộ lÊy mÊt - Cã thĨ gióp viỷc hay ệã nhộ cÊt hé? Mộ nhộ ềng hiỷn cã mÊy ngđêi nhử? - Ba ngđêi Bộ gióp viỷc Luxia, anh lịi xe Pet vộ ềng Tom lộm vđên kiếm bờo vỷ

SƠ HỞ CỦA

k ỏng nghi

Nguyễn Văn Khải

17

- ậÓ tềi hái chuyỷn tõng ngđêi nhộ ềng nhĐ!

thịm tỏ Sếlềccềc vÉn ẻ lỰi vộ gẳp riếng tõng ngđêi nhộ

Bộ Luxia thđêng ệi ngự sắm nến thịm tỏ gẳp trđắc:

- Bà có biết chuyện ơng Ben đồng hồ khơng?

- Có chuyện sao? Mất thế?

- Mới Mà lúc chúng tơi vắng, bà làm gì?

- Tơi dọn dẹp tắm giặt, vừa xong ơng v y

Tiếp theo, thám tử gặp ông Tom: biÕt tin råi chø?

- Thđa khềng Tềi khềng hay biạt gừ, giê mắi nghe ềng nãi ệÊy Mộ chiạc ệăng hă vộng ệÝnh kim cđểng ệã ệớt tiÒn lớm, mÊt thừ tiạc quị! ThẺt khữ thẹn ềng chự cựa tềi!

Ngđêi cuèi cỉng thịm tỏ gẳp lộ anh Pet lịi xe: - Anh biạt chuyỷn ềng Ben mÊt ệăng hă răi chụ?

- Không! Từ chiều đến không gặp ông chủ, mà không nghe kể

- Tối anh làm gì, đâu?

- Sau bọa tèi tềi ệịnh xe ệi mua xẽng ệÓ mai ệđa ềng chự vÒ quế Mua xẽng xong tềi tớm rỏa nghử ngểi Lẹu lớm răi khềng lịi xe ệđêng dội nến tềi cẵn giọ sục kháe

Sau hái chuyỷn cờ ba ngđêi, thịm tỏ Sếlềccềc nãi riếng vắi ềng Ben:

- Tơi tìm kẻ đáng nghi chuyện Tất nhiên, để kết luận xác phải điều tra thêm

Theo bạn, thám tử nghi vào đâu mà ơng lại phán đốn nhð vậy?

ậa sè cịc bỰn ệỊu nhẺn thÊy ệiĨm sể hẻ cựa Nick nãi dèi anh cựa mừnh: ậau hảng, khờn tiạng, ngỰt mòi thừ lộm tẺp Beatbox ệđĩc?

Tuy nhiến, cẹu chuyỷn vÒ anh bỰn lịu cị sỳ trẻ nến rÊt láng lĨo nạu chóng ta khềng chó ý tắi chi tiạt sau: TỰi khềng phịt hiỷn ệđĩc Nick nãi dèi mộ ngđêi anh cựa Nick lỰi phịt hiỷn ngay? LÝ rÊt ệển giờn: Bộ néi ệở rÊt giộ, lỰi mắi tõ quế lến, nhiÒu khờ nẽng khềng biạt Beatbox lộ gừ Cưn anh Ben lộ ngđêi trĨ tuữi, lỰi sèng ẻ thộnh nến biạt rÊt râ vÒ loỰi hừnh nghỷ thuẺt ệang ệđĩc tuữi hảc trư rÊt hẹm mé nộy

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi: Lế Hoộng Long, 6C, THCS Phong Chẹu, TX

Phó Thä, Phó Thä; Ngun Bïi Minh Ngäc, 6A1, THCS vµ THPT Hai Bà Trng, Phúc Yên,

Vĩnh Phúc; Nguyễn Minh Đức, 7A1, THCS Nhân Chính, Thanh Xuân, Hà Nội;Nguyễn Thị Kim Chi, 6C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành,

Nghệ An;Phạm nh Nguyệt, 6A, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

Thám tử Sêlôccôc

19

unit 14.

Practice.

A gas burner is used to heat 0.50 kg of water in a beaker The temperature of the water rises from 15oC to 60oC in 60 seconds. Assuming that the specific heat capacity of water is 4200 J/(kg K), calculate the average rate at which heat is transferred to the water.

Physics Terms

air kh«ng khÝ

large paper bag tói giÊy lín

surround bao quanh, m«i

trđêng xung quanh

expand phång ra, në ra

less dense mật độ nhỏ hơn

chemical composition thành phần hóa học

increased (c) tng ln

decreased (đã) giảm đi

gas burner đèn cồn

beaker cèc v¹i

burn đốt nóng

transferring chuyển đổi

Answer. Chê bội giời cựa cịc bỰn yếu toịn, yếu vẺt lÝ vộ thÝch tiạng Anh Nẽm phẵn thđẻng dộnh tẳng nẽm bỰn.

heat capacity expansion

Unit 13 (TTT2 sè 144)

(Tiạp theo kừ trđắc)

Vị Kim Thđy

Question 4.A Question 5. C

Question 6.B Question 7. C

NhẺn xĐt. Kừ nộy cã hai bỰn ậẫ Minh Nhđ Hời, 9A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc; NguyÔn Thỡ Bờo Chẹu, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ Angiời ệóng hạt cịc cẹu vộ ệđĩc khen thng.

Hoàng nguyên linh

Question 8.The air in a large paper bag is heated The bag then rises through the surrounding cold air This is because

A the air in the bag has become less dense

B the chemical composition of the air in the bag has changed C heat always rises

20

Cịc bicorn lộ tến cựa mét tẺp hĩp cịc ệđêng cong bẺc nghiến cụu bẻi Sylvester nẽm 1864 Cịc ệđêng cong tđểng tù ệở ệđĩc nghiến cụu bẻi cịc Cayley vộo nẽm 1867

Cịc bicorn ệẳc biỷt Sylvester vộ Cayley nghiến cụu lộ nhọng phđểng trừnh ệa thục bẺc khịc nhđng cã cỉng mét cềng thục ệển giờn.

Phđểng trừnh hỷ tảa ệé Descartes vuềng gãc

y2(a2 x2) (x2 2ay a2)2.

ĐƯỜNG CONG

James Joseph Sylvester (1814 - 1897) lµ mét

tõng giờng dỰy tỰi Anh vộ Mủ Nẽm 1887, Sylvester lộ ngđêi sịng lẺp tỰp chÝ toịn hảc American Journal of Mathematics ậẹy lộ mét trong nhọng tỰp chÝ toịn hảc ệẵu tiến ẻ Mủ.

Arthur Cayley (1821 - 1895) lộ mét nhộ thuyạt bÊt biạn ệỰi sè, ệỰi sè ma trẺn vộ hừnh hảc phi Euclide nhiÒu chiÒu Nhọng nghiến cụu cựa ềng ệở ệđĩc ụng dông sau nộy cể hảc lđĩng tỏ vộ tÝnh liến tôc cựa khềng - thêi gian vẺt lÝ.

21 Lời giải Vì nên

Vỡ p l nờn theo định lí Fermat ta có 2p-1 (mod p) (2)

Gải h lộ sè nguyến dđểng bĐ nhÊt tháa mởn 2h (mod p)

Tõ (1) vµ (2) ta suy 2n+1 h vµ p h

h 2m(0 m n 1)

NÕu m n th× tõ suy

KÕt hỵp víi (*) suy p: vô lí p số nguyên tố lỴ

VËy h 2n+1 p 2n+1

p (v× n 2) (3)

Giả sử r1, r2, , rn(p) số chẵn khoảng Khi p r1, p r2, , p rn(p)là số lẻ khoảng

Gi¶ sư s1, s2, , sm(p)là số chẵn khoảng

Ta có số số

chẵn khoảng (0, p) tập hợp {s1, s2, , sm(p), p r1, p r2, , p rn(p)} chÝnh lµ tËp hỵp

Do

Suy

Mặt khác, từ (3) suy p 8k (k *) Do n(p) 2k

Từ việc định nghĩa số h, ta suy

(®pcm)

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn khã nến khềng cã vâ sỵ nộo cã lêi giời trản vứn vắi lẺp lôẹn chẳt chỳ Do ệã khềng cã vâ sỵ nộo ệẽng quang trẺn ệÊu nộy Phẵn thđẻng kừ nộy gịc lỰi kừ sau

hoàng trọng hảo

n n

p h p 2 p 2

2

p

2 1(mod p)

p

n(p)

2 ( 1) (modp)

p n(p) 2 p

( 1) ! (mod p)

2

1 m(p) n(p)

n(p)

1 m(p) n(p)

p ! s s s (p r )(p r ) (p r )

( 1) s s s r r r p

1, 2, ,

p

m(p) n(p) ,

2 p

0,

2

p

0,

2 p , p

2

n

2

2 1(mod p)

m

2

2 1(mod p)

n n

2

2 1(mod p) 1(mod p) (1)

n

2

2 p (*)

Ngđêi thịch ệÊu:LỰi Quang Thả, GV THCS Tam Dđểng, Tam Dđểng, Vỵnh Phóc

Bội toịn thịch ệÊu: Cho a, b, c lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn abc Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu thục

Xt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.5.2015 theo dÊu bđu ệiỷn

2 2

ab bc ca a b c a b c

P

c a b (a 1)(b 1)(c 1)

22

MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ NAPOLÉON

ậộo Thanh Oai (Kiạn Xđểng, Thịi Bừnh)

ậỡnh lÝ NapolĐon.Dùng phÝa ngoội (hoẳc vộo trong) ABC ba tam giịc ệÒu ABCo, BCAo, CABo Khi ệã tẹm ba tam giịc võa dùng ệđĩc lộ cịc ệửnh cựa mét tam giịc ệÒu, gải lộ tam giịc NapolĐon ngoội (hoẳc trong)

Lu ý ABCo gọi dựng (hoặc vào trong) ABC Co, C nằm khác phía (hoặc cïng phÝa) víi AB

ậẹy lộ mét nhọng ệỡnh lÝ ệứp hừnh hảc cữ ệiÓn Nã thu hót ệđĩc sù quan tẹm nghiến cụu cựa nhiỊu ngđêi vộ ệở cã nhiÒu cịch chụng minh Mét sè ệỡnh lÝ nữi tiạng khịc ệở ệđĩc lÊy cờm hụng tõ ệỡnh lÝ NapolĐon nhđ ệỡnh lÝ Van Aubelvắi néi dung lộ: Dùng ngoội mét tụ giịc bÊt kừ cịc hừnh vuềng thừ ệoỰn thỬng nèi tẹm cựa hai hừnh vuềng trến hai cỰnh ệèi diỷn vuềng gãc vộ bỪng nhau, hay ệỡnh lÝ Thebault vắi néi dung lộ: Dùng ngoội mét hừnh bừnh hộnh cịc hừnh vuềng thừ tẹm cựa cịc cịc hừnh vuềng nộy lộ cịc ệửnh cựa mét hừnh vuềng

Mét nghiến cụu khịc cã lỳ còng ệđĩc lÊy cờm hụng tõ ệỡnh lÝ nộy Ludwig Kiepert ệÒ xuÊt

ậỡnh lÝ Kiepert Dùng phÝa ngoội (hoẳc vộo trong) ABC ba tam giịc ABCo, BCAo, CABo tđểng ụng cẹn tỰi Co, Ao, Bo vộ ệăng dỰng vắi Khi ệã AAo, BBo, CCoệăng quy tỰi ệiÓm K, gải lộ ệiÓm Kiepert

Khi ABCo vuềng cẹn hoẳc ệỊu thừ ệiĨm K tđểng ụng gải lộ ệiÓm Vecten, ệiÓm Fermat

Khi cịc ệửnh Ao, Bo, Co thay ệữi, ta cã cịc ệiÓm Kiepert tđểng ụng TẺp hĩp cịc ệiÓm Kiepert gải lộ ệđêng hyperbol Kiepert ậẹy lộ mét ệđêng cong cã thÓ biÓu diÔn bẻi phđểng trừnh y m/x

23

ệửnh cựa ABC vộ cịc ệửnh tđểng ụng cựa tam giịc NapolĐon ệăng quy ậiÓm ệăng quy nộy gải lộ ệiÓm NapolĐon Hai ệiÓm NapolĐon cựa ABC tÊt nhiến nỪm trến ệđêng hyperbol Kiepert Ta còng thÊy cịc ệửnh Ao, Bo, Cotđểng ụng nỪm trến cịc ệđêng trung trùc cựa BC, CA, BA Nạu vỳ hừnh vộ quan sịt, ta cã thÓ nhẺn thÊy ệiÓm NapolĐon ngoội, ệiÓm Fermat ngoội vộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC thỬng hộng Tđểng tù, ệiÓm NapolĐon trong, ệiÓm Fermat vộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC còng thỬng hộng Cịc tÝnh chÊt liến quan ệạn cịc ệiÓm NapolĐon vộ ệiÓm Fermat, cịc bỰn cã thÓ xem tỰi [5] [6] [7] [8] Tõ cịc quan sịt trến, tịc từm mét vÊn ệÒ mẻ réng ệỡnh lÝ NapolĐon nhđ sau

VÊn ệỊ 1.Cho ABC F lộ ệiĨm Fermat, K lộ ệiÓm Kiepert P lộ ệiÓm nỪm trến ệđêng thỬng FK A1lộ giao ệiÓm cựa AK vộ ệđêng thỬng qua P vuềng gãc vắi BC ậỡnh nghỵa B1, C1 tđểng tù Khi ệã tam giịc A1B1C1 ệÒu

Hai vấn đề mở rộng định lí Napoléon

Ta biạt rỪng, vắi mẫi ABC vộ mét ệiÓm P thừ tam giịc tỰo bẻi cịc hừnh chiạu cựa P trến ba cỰnh cựa ABC gải lộ tam giịc bộn ệỰp cựa ệiÓm P, tam giịc tỰo bẻi cịc giao ệiÓm cựa ệđêng thỬng nèi P vắi ệửnh vộ cỰnh ệèi diỷn gải lộ tam giịc Cevian cựa ệiÓm P

Ngđêi ta từm ệđĩc hai ệiÓm P tháa mởn tÝnh chÊt tam giịc bộn ệỰp cựa ệiÓm ệã lộ mét tam giịc ệỊu, gải lộ ệiĨm Isodynamic Cịc ệiĨm nộy lộ ệiÓm liến hĩp ệỬng giịc cựa ệiÓm Fermat Nghỵa lộ ệiÓm I vộ F ệèi xụng qua cịc ệđêng phẹn giịc cựa ABC

Viỷc dùng ệiÓm P cho tam giịc Cevian cựa nã lộ mét tam giịc ệÒu thừ khã hển Nã ệđĩc giắi thiỷu tỰi Problem 10358 cựa tỰp chÝ American Mathematical Monthly, ệđĩc ệÒ xuÊt bẻi Jiang Huanxin vộ David Goering

Tác giả đặt câu hỏi tìm điểm cho điểm

ệèi xụng cựa nã qua ba cỰnh cựa ABC lộ mét tam giịc ệỊu Tịc từm ệđĩc ệiĨm ệã chÝnh lộ hai ệiĨm Isodynamic Viỷc chụng minh ệiỊu nộy dùa vộo tÝnh chÊt tam giịc nộy lộ vỡ tù cựa tam giịc ệỊu bộn ệỰp cựa hai ệiĨm ệã Nạu nhđ dõng lỰi ẻ ệẹy thừ kạt quờ trẻ nến hạt sục bừnh thđêng Nhđng ệiÒu ệẳc biỷt lộ: Cịc ệđêng thỬng nèi cịc ệửnh cựa tam giịc ệÒu bộn ệỰp nộy vắi cịc ệửnh tđểng ụng cựa ABC lỰi ệăng quy tỰi ệiÓm Fermat Do cịc ệửnh cựa tam giịc ệÒu nộy ệđĩc xịc ệỡnh lộ ệèi xụng cựa ệiÓm Isodynamic qua ba cỰnh cựa ABC Suy ra: Cịc ệđêng thỬng nèi ệiÓm Isodynamic vắi ba ệửnh cựa tam giịc ệÒu ệã vuềng gãc vắi ba cỰnh tđểng ụng cựa ABC VÊn ệỊ 2.Cho ABC F lộ ệiĨm Fermat I lộ ệiÓm liến hĩp ệỬng giịc cựa F P lộ ệiÓm nỪm trến ệđêng thỬng FI A2lộ giao ệiÓm cựa AF vắi ệđêng thỬng qua P vộ vuềng gãc vắi BC ậỡnh nghỵa B2, C2tđểng tù Khi ệã A2B2C2ệÒu

Hai vÊn ệÒ trến ệở ệđĩc tịc ệẽng tỰi [10][11]

Tham kh¶o:

[1] Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L (1967) Geometry Revisited New Mathematical Library 19 Washington, D.C.: Mathematical Association of America pp 60–65 ISBN 978-0-88385-619-2 [2] H S M Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, NY, 1961

[3] J Baker, Napoleon’s Theorem and Beyond, Spreadsheets in Education

[4] D Gale, Tracking The Autmatic Ant, Springer-Verlag, 1998 [5] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X13 [6] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X14 [7] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X17 [8] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X18 [9] Jiang Huanxin and David Goering, Problem 10358 and Solution, “Equilateral cevian triangles,”American Mathematical Monthly104 (1997) 567-570 [proposed 1994]

[10] T O Dao, Advanced Plane Geometry, message 2261, January 24, 2014

24

10th INTERNATIONAL MATHEMATICS

AND SCIENCE OLYMPIAD (IMSO) FOR PRIMARY SCHOOL 2013

Alfonso, Cavite, Philippines 25 - 29 Nov 2013

1.Square pieces of sides 0.5 cm are cut from a sheet which is 11 cm long and cm wide What is the total number of squares that can be cut?

2.Study the following pattern

Given that

where a is a positive integer Find the value of a

3.Thirty girls joined a mathematics contest The first girl scored 70 and the second girl scored 80 The teacher then announced that the score of every girl after the first two was equal to the average of the scores of all the girls before her What was the score of the last girl?

4 Five boys, A, B, C, D, and E, attended a meeting In this meeting:

a A shook hands with one boy b B shook hands with two boys c C shook hands with three boys d D shook hands with four boys

How many boys did E shake hands with?

5.What is the simplified value of

6.The sum of the digits of a two-digit number is By reversing the digits, one obtained another

two-digit number If find the

original two-digit number

7 The side length of the biggest square in the given diagram is 10 cm long As shown in the diagram, the total shaded regions formed by two

diagonals inside the circle and two squares is 26 cm2 What is the length side of the smallest square in cm?

8.The product of 1110, 1111, 1112 and 1113 is

the thirteen digit number , with

one digit replaced by x What is the value of x?

9 Each of A, B, C and D either always tells the truth or always tells lies A says C always tells lies B says A always tells lies C says D always tells the truth D says either A or C always tells lies Who always tells lies?

10 In the Figure below each of the interior angles of hexagon PQRSTU is 120o Given that PQ cm, QR RS cm and ST cm Find the perimeter of the hexagon PQRSTU

152628x755760

ab ba 18, ba

ab

1 1

2

2

1 1

6 ?

6

1 a 2,

1 2 2013 2014 a

1 1, 1, 1 3.

1 2 2 3 2 3 4

trỡnh hoội dđểng (GV THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi) (Sđu tẵm vộ giắi thiỷu)

25 Bµi 28NS.Ta cã x2 6xy y2(2012 z2)

(x 3y)2 y2(z2 2003) (1)

Vừ x, y, z lộ cịc sè nguyến dđểng nến (x 3y)2 y2

x 3y y x y Đặt x ky (k *)

Thay x ky vộo (1) vộ biạn ệữi ta ệđĩc (z k 3)(z k 3) 2003

Từ suy z 1002 k 998 Do 0y (đúng với y)

VẺy cịc nghiỷm nguyến dđểng (x, y, z) cựa phđểng trừnh lộ (998t, t, 1002), vắi t *

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: Ngun Thỉy Dđểng, Bỉi Thỡ Quúnh, 7A3; Trẵn Thỡ Thu HuyÒn, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Lế NguyÔn Quúnh Trang, 8C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả;Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vnh Tờng, Vnh Tờng,

Vĩnh Phúc

Bài 29NS.Điều kiÖn x, y, z

Ta cã 3xy 4yz 9zx 3x(y z) 4z(x y) 2zx 3x(6 x) 4z(6 z) 2xz

3(x 3)2 4(z 3)2 2zx 63

MỈt khác 4xz (x z)2 62nên 2zx 18 Suy 3xy 4yz 9zx 18 63 81 DÊu b»ng x¶y x 3, y 0, z

VẺy hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm (x, y, z) lộ (3, 0, 3)

Nhận xét Chỉ có bạn Lê Nguyễn Quỳnh Trang, 8C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ có lời giải cho toán

Bội 30NS Qua K kĨ ệđêng thỬng song song vắi BC cớt AB, AC lẵn lđĩt tỰi S, L

Ta cã tứ giác SKIF KELI nội tiếp nên

Vì IEF cân I nên

Do ú Suy tam giác ISL cân I

Mµ IK SL nªn SK KL

Theo hệ định lí Talét ta có Suy SK MN Mà SK BC Do MN BC

Nhận xét Bài tốn khơng q khó, tiếc khơng có bạn có lời giải

Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Lế NguyÔn Quúnh Trang, 8C, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa

Ngun Ngäc H©n

MS SK KL NK MB BC BC NB

ISK ILK

IFK IEK

IFK ISK, ILK IEK

Bội 4NS.Giời hỷ phđểng trừnh

NguyÔn Vẽn Xị(GV THPT Yến Phong sè 2, Yến Phong, Bớc Ninh) Bội 5NS.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn a2 b2 c2 Chụng minh rỪng

kiÒu ệừnh minh(GV THPT Chuyến Hỉng Vđểng, Phó Thả) Bội 6NS.Cho tam giịc ABC ( ), ệđêng cao CD LÊy cịc ệiÓm K, L lẵn lđĩt trến cịc ệđêng thỬng BC, CA cho AK BL CD ậđêng trưn ệđêng kÝnh AB cớt KL tỰi hai ệiÓm phẹn biỷt E vộ F Chụng minh rỪng A lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc DEF vộ

lế viạt ẹn (Phó Thđĩng, Phó Vang, Thõa Thiến Huạ)

KDE LDF o

BAC 90

2 2

a b c 1 2(a b c).

b c a

3

2

2x 3y 3y

x (x 2y) y (2x y)

26

Kì 8

Bµi Cho a số có hai chữ số, b số có chữ số Trung bình cộng ba số a, b 3456 1518 Tìm a b

Bài 2.Cho Tính tổng chữ số cđa sè A2

Bài 3.Tìm số tự nhiên có ba chữ số Biết số chia hết cho 198 chữ số số viết từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với : :

Bài 4.Tìm đa thức bậc hai P(x) BiÕt P(0) 20, P(1) 11, P(2) 2015

Bµi Cho bìa hình tam giác ABC vuông A cã AB 2AC Chøng minh r»ng cã thĨ c¾t bìa thành miếng bìa hình tam giác vuông nhá b»ng

T¹ ThËp(TP Hå ChÝ Minh) 2015 chữ số

A 9999 99998

Bài 1.Ta cã A 20 21 22 22014 (1 2) (22 23 24) (25 26 27) (22012 22013 22014) 22(1 22) 25(1 22)

22012(1 22) 22.7 25.7 22012.7 chia cho dð

Bµi 2.Ta cã

111a 111b 111c 2664 a b c 24 Vì a b c nên a 9, b 8, c

Bài 3.Ta có |2x 5| |7x 9| |3x 25| 15x Suy 15x nên x từ 2x 0, 7x

0, 3x 25

Do ta có 2x 7x 3x 25 15x

3x 39 x 13

Bài 4.Giả sử 22014có m chữ số 52014có n chữ số

Ta cú 10m 22014 10mvà 10n 52014 10n Do 10m 1.10n 22014.52014 10m.10n

10m n 102014 10m n m n 2014 m n

m n 2014 m n 2015

Mµ sè 310 59049 số có chữ số

Vậy ba số 22014, 310, 52014 viết liền tạo thành số có 2015 2020 chữ số

Bài

Gọi O giao điểm AD MN, I giao điểm BC MK

Các tứ giác AMDN BMCK hình bình hành nên O trung điểm AD MN, I trung ®iĨm cđa BC vµ MK

Vừ OI lộ ệđêng trung bừnh cựa tam giịc MNK nến Vừ OI lộ ệđêng trung bừnh cựa hừnh thang ABCD nến

VËy NK AB CD (cm)

Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ ệđĩc thđẻng kừ nộy: Trẵn Viỷt An, 6A, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; ậộo Thanh Dung, 6A1, THCS ChÊt lđĩng cao Mai Sển,

Sển La; ậẳng Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển Thanh Hãa; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi; NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, ậộ Nơng; Lế TuÊn Duy, 7B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: Trđểng Minh Hăng, Trđểng Cao Minh, 8A6, THCS Dỡch Vảng, Cẵu GiÊy;

ậẳng Thỡ Hoội Anh, 8C, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,ụng Hưa, Hộ Néi;TỰ Nam Khịnh, 7E1; Lế Thỡ Thanh Hđểng, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc;Nhãm bỰn Ngun Thỡ Thu HỪng, Trẵn Ngảc ậỰt, NguyÔn Thỡ Mủ Linh, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Ngảc Linh, 8A1, THCS Trđêng Sển, Sẵm Sển, Thanh Hãa;Hoộng Qnh Chi, Vị Trẵn Hun Chi, 6A1, THCS ChÊt lđĩng cao Mai Sển, Sển La

NguyÔn Ngäc H©n

AB CD

OI

2 NK

OI

2 abc bca cab 2664

27

Trong thêi Hy LỰp cữ ệỰi, chia ba mét gãc mét ba bội toịn cữ ệiÓn ờnh hđẻng lắn ệạn sù phịt triÓn cựa hừnh hảc Bội toịn ệẳt lộ vắi mét gãc cho trđắc bÊt kừ, dỉng thđắc kĨ vộ com pa

ệÓ chia gãc ệã lộm ba gãc cã cỉng sè ệo Viỷc chia ba mét gãc vuềng ệở ệđĩc thùc hiỷn tõ lẹu BỪng cịch vỳ hai tam giịc ệÒu ADE vộ ACF,

ta ệđĩc CAD DAF FAE 30o

Ngđêi ta ệở thùc hiỷn ệđĩc viỷc chia ba gãc 27o BỰn cã lộm ệđĩc khềng?

Ngđêi Hy LỰp cữ ệỰi phịt triÓn hừnh hảc luền mong mn chia ệỊu mét gãc bÊt kừ ệĨ dùng nhọng ệa giịc ệỊu ậã lộ mơc tiếu lắn cựa toịn hảc Hy LỰp cữ ệỰi

Viỷc chia ệềi mét gãc ệđĩc thùc hiỷn dÔ dộng bỪng cịch vỳ tia phẹn giịc cựa gãc Chia ệềi tiạp hai gãc nhá võa dùng ệđĩc thừ gãc ban ệẵu ệđĩc chia lộm gãc bỪng Cụ tiạp tôc nhđ vẺy, gãc ban ệẵu cã thÓ chia thộnh 8, 16, 2n gãc bỪng

Nhộ toịn hảc ngđêi Hy LỰp Hippocrates (470 -410 TCN) ệở ệđa mét lêi giời cể hảc chia ba mét gãc nhản BAC nhđ sau Dùng CD AB Dùng hừnh chọ nhẺt CDAF KĐo dội FC lÊy ệiÓm E AE cớt CD tỰi H Di chuyÓn E ệÓ EH 2AC Khi ệã

CAH HAD

ThẺt vẺy, gải G lộ trung ệiÓm EH thừ cịc tam giịc ACG, CGE cẹn lẵn lđĩt tỰi C, G

Từ CAH CGA CEG HAD

Nhộ toịn hảc vỵ ệỰi ngđêi Hy LỰp Archimedes (287 - 213 TCN) còng ệđa mét lêi giời cể hảc cho bội toịn nộy nhđ sau Vắi gãc BAC nhản vộ AB AC, vỳ ệđêng trưn tẹm A bịn kÝnh AB LÊy ệiÓm E thuéc tia BA vộ E nỪm ngoội ệđêng trưn CE cớt (A) tỰi F Vỳ AX // CE Di chuyÓn E ệĨ EF

AB Khi CAX XAB

Thật vậy, AC AF FE nên

CAX ACF AFC FEA XAB

Nhộ toịn hảc ngđêi Hy LỰp Nicomedes, ngđêi sèng cỉng thêi vắi Archimedes lỰi ệđa mét lêi giời khịc cho bội toịn nộy dùa trến ệđêng cong conic Giờ sỏ cẵn chia ba gãc AOB, vắi OA OB Vắi hai ệiÓm A, B, quủ tÝch nhọng ệiÓm P tháa mởn PBA PAB lộ mét hypebol Dùng hypebol nộy vộ lÊy giao ệiÓm cựa nã vắi ệđêng trưn tẹm O bịn kÝnh OA

Khi POA PBA PAB POB

VÊn ệÒ chia ba mét gãc dẺm chẹn tỰi chẫ mét thêi gian dội mộ khềng ệỰt ệđĩc thộnh tùu mắi nộo ậạn thạ kử XIX, nhộ toịn hảc Gauss (1777 - 1855) vỳ ệđĩc ệa giịc ệÒu cã sè cỰnh lộ rỪng hai bội toịn: Tẽng gÊp ệềi thÓ tÝch khèi lẺp phđểng vộ chia ba mét gãc, hai ba bội toịn cữ ệiÓn cựa hừnh hảc thêi Hy LỰp cữ ệỰi, lộ khềng thÓ giời ệđĩc bỪng thđắc kĨ vộ com pa Nẽm 1837, Wantzel (1814 - 1848), ngđêi Phịp, ệở ệẽng trến mét tỰp chÝ chụng minh khỬng ệỡnh bội toịn chia ba mét gãc lộ khềng giời ệđĩc Sau ệã, viỷc chụng minh ệđĩc cời thiỷn hển bẻi nhộ toịn hảc ngđêi Phịp Starm (1803 - 1855)

BÀI TỐN

chia ba góc

28

Mẫi nhãm tõ dđắi ệẹy ệÒu chụa mét tõ khềng cỉng loỰi vắi ba tõ cưn lỰi BỰn hởy từm tõ ệã vộ giời thÝch nhĐ!

a) Grasshopper; Dragonfly; Butterfly; Crab. b) America; Mongolia; Laos, Austria.

c) Lion; Leopard; Wolf; Buffalo.

Trần Minh Hiếu

(7C, THCS Văn Lang, TP ViƯt Tr×, Phó Thä)

Chự Vđên thùc sù vui mõng thÊy hẵu hạt cịc bỰn tham gia kừ nộy ệÒu lùa chản nhọng tõ rÊt phỉ hĩp: TRUNK; ROOT; LEAF; FLOWER RÊt mong cịc bỰn luền yếu q vộ bờo vỷ cẹy cèi ệĨ chóng ta cã mét hộnh tinh xanh mởi xanh

Chự Vđên sỳ gỏi quộ tắi nhọng bỰn sau: Triỷu Hăng Ngảc, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Vâ Thỡ Quúnh Anh, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Ngun Ngảc AnhvộPhỰm Thỡ Minh nh, 6A2, THCS Trđng Vđểng, Mế Linh, Hộ Néi;

Ngun §øc HiÕu, 7E, THCS Nhữ Bá Sĩ, thị trấn Bút Sơn, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Trúc Quỳnh, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hµ TÜnh, Hµ TÜnh.

Chự Vđên

MÙA XUÂN LÀ TẾT TRỒNG CÂY

IQ TRONG VƯỜN ANH

29

CÂU HỎI KÌ 4

Câu 4.Liệt kê GDP năm 2013 10 quốc gia ASEAN (sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn), đơn vị tỉ đô la Mỹ: Laos 11,24; Campuchia 15,24; Brunei 16,11; Myanmar 53,14; Vietnam 171,39; Philippines 272,07; Singapore 297,94; Malaysia 313,16; Thailand 387,25; Indonesia 868,35

(Nguån: World Bank) Câu Ngôn ngữ thức 10 quốc gia ASEAN lµ: TiÕng M· Lai (Brunei); tiÕng Khmer (Cambodia); tiÕng Indo (Indonesia); tiÕng Lµo (Laos); tiÕng M· Lai (Malaysia); tiÕng Myanma (Myanmar); tiÕng Anh, tiÕng Tagalog (Philippines); tiÕng M· Lai, tiÕng Quan Tho¹i, tiÕng Anh, tiÕng Tamil (Singapore); tiếng Thái (Thailand); tiếng Việt (Vietnam)

Câu 6.Múi theo UTC cđa 10 qc gia ASEAN lµ: Brunei 8; Cambodia 7; Indonesia 7, 8, 9; Laos 7; Malaysia 8; Myanmar 6:30; Philippines 8; Singapore 8; Thailand 7; Vietnam

NhẺn xĐt.Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn ậẳng Sển, 9A, THCS NguyÔn Trởi, Nam Sịch,Hời Dđểng;NguyÔn ChÝ Cềng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Hời Ly, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh

BTC

KÌ 2 (TTT2 sè 144)

Cẹu 1.Nđắc ta cã 46 vỡ TrỰng nguyến Sau ệẹy lộ vỡ TrỰng nguyến nữi tiạng: Ngun HiỊn, MỰc ậỵnh Chi, Lđểng Thạ Vinh, NguyÔn Bửnh Khiếm, ậộo Sđ TÝch

Câu Những học vị đứng sau Trạng nguyên

trong khoa cỏ ngộy xđa lộ: Bờng nhởn, Thịm hoa, Hoộng giịp, Tiạn sỵ ệăng hỰng Tõ ệêi Minh MỰng khềng cã TrỰng nguyến mộ cã thếm Hoộng giịp Chđa ệđĩc lộ Tiạn sỵ thừ cã thếm Phã bờng Tiạn sỵ ệđĩc gải lộ ềng NghÌ Thi ệẫ kừ cựa thi Hđểng gải lộ Hđểng cèng Tõ thêi Minh MỰng gải lộ Cỏ nhẹn Nạu chử ệẫ kừ thi ệẵu cựa thi Hđểng thừ gải lộ Sinh ệă (cưn gải lộ ệẫ Tam trđêng) ậạn thêi Minh MỰng ệữi gải lộ Tó tội

Cịc cịch gải dẹn gian khịc:ậẫ ệẵu thi Hđểng gải lộ Hđểng nguyến ậẹy khềng phời hảc vỡ ậẫ ệẵu thi Héi gải lộ Héi nguyến ậẫ ệẵu thi ậừnh lộ ậừnh

nguyến ậẫ ệẵu cờ kừ lộ Tam nguyến (nhđ ngđêi hiạu hảc, thđêng ngoội 40 mắi ệẫ cèng sinh, còng ệđĩc gải lộ Cỏ nhẹn Thêi hẺu Lế cã danh xđng ềng ậă tđểng ệđểng Tó tội sau nộy, dộnh cho ngđêi thi Thịi hảc sinh, ệẫ xong ệi dỰy hảc Bờng nhởn, Thịm hoa ệÒu thuéc ậỷ nhÊt giịp Tiạn sỵ, Hoộng giịp lộ ậỷ nhỡ giịp Tiạn sỵ ậỷ tam giịp Tiạn sỵ cưn gải lộ ậăng tiạn sỵ xuÊt thẹn (Thụ tù tõ thÊp ệạn cao: thi Hđểng, thi Héi, thi ậừnh)

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt ệđĩc nhẺn thđẻng: Trẵn Thạ Trung, 7A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh,

Nghỷ An; NguyÔn ChÝ Cềng, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Vị ậục Dịng, 7A, THCS Hă Xuẹn Hng, Quỳnh Lu, Ngh An

Vũ Vỵ Côi

TÌNH THẦY TRỊ CỦA NHỮNG NHÀ KHOA BẢNG (TTT2 sè 141)

Điều lệ thi đăng TTT2 số 140, 144 Câu hỏi đăng số tạp chí năm 2015

Cõu 10.Bn hóy nờu tờn thành phố đông dân ASEAN

Cẹu 11 BỰn hởy cho biạt Hiạn chđểng ASEAN ệđĩc kÝ kạt ngộy thịng nẽm nộo, tỰi ệẹu vộ cã hiỷu lùc tõ nộo?

Cẹu 12 BỰn hởy tến cịc di sờn vđên thiến nhiến ASEAN cựa Viỷt Nam

30

HỌC TRÒ

HỌC TRỊ THỜI CHIẾNTHỜI CHIẾN

BÝnh Nam Hµ

ở trưn 50 nẽm. ậẵu nẽm 1965 bè mứ tềi ệi hảp tữ dẹn vÒ nãi chuyỷn vắi từnh hừnh cẽng lớm Tềi nghe thÊy nộo Chiạn tranh ệẳc biỷt, nộo Chiạn tranh cơc bé mộ chờ hiĨu gừ nhđng cịng lo Sau Tạt, 28.2.1965 nẽm chỡ em chóng tềi ệđĩc sể tịn vÒ quế ẻ Nam Quan, Nam Trùc cịch thộnh 18 km Tềi hảc cỉng cịc bỰn lắp trđêng Nam Quan. DỰo Êy mđa nhiÒu thạ Bộ ngoỰi cụ phời giẳt quẵn ịo cho tềi vừ tềi vă ạch suèt VÒ sau mét cẺu bỰn bờo tềi: CẺu phời bÊm ệẵu ngãn chẹn xuèng ệÊt thừ mắi khềng trđĩt chẹn Tõ ệÊy tềi mắi khềng ngở nọa Tềi ệđĩc ệi bớt cua, tớm hă ệẵu lộng, theo bỰn ệi chẽn trẹu. Tềi cưn bớt chđắc ngđêi lắn giở gỰo, xay thãc, kĐo ệị ngoội sẹn ệÓ lộm dứp cẹy cãi dỉng ệan rã hay chiạu.

ậđĩc mét thịng thÊy cưn yến ớng, 22.3.1965 bè mứ lỰi ệãn chóng tềi vỊ Nhộ tềi xẹy mét hẵm trịnh bom dđắi giđêng ngự buăng, trến ệữ cịt răi kế giđêng lến.

Tềi ệđĩc thay mẳt lắp ệi hảc sể cụu: sỏ dông bềng, bẽng, thuèc ệá, hảc bẽng tay, chẹn, ệẵu, khiếng cịng cụu thđểng ẻ Cẹu lỰc bé Lao ậéng gẵn Quờng trđêng Hưa Bừnh Sau ệã vÒ dỰy lỰi cho cịc bỰn.

Sịng sắm 2.7.1965 cờ thộnh Nam ậỡnh, thộnh lắn thụ ba miỊn Bớc rung chun vừ tiạng bom Mịy bay Mủ oanh tỰc Sẻ Dẵu cịch nhộ tềi chõng km Khãi mỉ mỡt suèt 2 ngộy bao phự thộnh Hềm sau mÊy chỡ em tềi sể tịn trđêng 10+3 xa nhộ mịy dỷt thếm km Hềm sau nọa nhộ chó Trụ x

Mỹ Tân, Mỹ Lộc, xa thêm km.

Ngộy 11.7.1965 Hời Phưng, thộnh lắn thụ hai bỡ oanh tỰc Chiạn tranh ệở bớt ệẵu ệạn vắi trĨ em cịc thộnh lắn miÒn Bớc Tiạp ệã nhộ mịy ậiỷn thộnh phè, nhộ mịy Dỷt, nhộ mịy Xay, nhộ mịy Tể, nhộ mịy Nđắc, Cờng, ga Nẽng Tỵnh vộ ga ậư ChÌ, nhộ mịy Hoa quờ hép xuÊt khÈu, nhộ mịy ậiỷn cựa nhộ mịy Dỷt ẻ giọa thộnh Nam ậỡnh ệÒu bỡ bom phị hựy Tõ 80 000 dẹn, thộnh sể tịn gẵn hạt chử cưn 15 000 cềng nhẹn vộ tù vỷ ẻ lỰi võa sờn xuÊt võa chiạn ệÊu Chóng tềi nghe cịc tin tục vÒ: niến xung phong, phong trộo sơn sộng, phong trộo 3 ệờm ệang, răi khÈu hiỷu Mét triỷu mĐt vời vừ miÒn Nam ruét thỡt ậđĩc hển hai thịng, 14.9.1965 chóng tềi phời sể tịn vỊ nhộ bịc ậé ẻ Mủ Phóc cho gẵn nểi trđêng Trẵn Quèc Toờn sể tịn ệÓ ệi hảc Trđêng ệẳt ẻ thền VỰn Khoờnh lộ ệÊt thang méc cựa nhộ Trẵn xđa. Lị trĨ chóng tềi hộng ngộy ệi hảc qua lẽng mộ dẹn lộng bờo lộ cựa Trẵn Hđng ậỰo. Lóc rẫi khềng phời lộm gừ lỰi vộo ậÒn Bờo Léc chểi Sau nộy mắi biạt ệÊy lộ nểi linh thiếng thê bè mứ, anh em ệục Thịnh Trẵn Chóng tềi hảc tạt mị rểm vộ nỉn rểm TÊt cờ lộm bỪng lâi cẹy rểm nạp, rÊt nhứ, rÊt ệứp Mò réng nhđ cịi mò nan, nỉn rểm thừ to nhđ cịi mẹm nhá ệeo sau lđng Cờ hai dỉng ệÓ trịnh bom bi vộ mờnh bom, mờnh phịo Hộng ngộy ệi hảc mẫi chóng tềi phời ệéi mị rểm, ệeo nỉn rểm vộ tói thuèc cã bềng, bẽng, gỰc, thuèc ệá Mẫi nhãm ệđĩc phẹn cềng mang nứp tre vộ cịng tre ệển giờn.

31 Hái:Anh Phã ểi! Em lộm bội bịo toịn nhđng lỰi gỏi nhẵm ệạn bịo vẽn thừ bội sỳ bỡ thÊt lỰc hay ệđĩc chuyÓn lỰi bịo toịn Ự?

Bïi Mai Chi

(6A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ) Đáp:

Lm bi ẻ bịo toịn Bá phong bừ bịo vẽn VẺy phời hái bịo vẽn Bội bẹy giê ệẹu nhử? Lẵn sau nhắ xem kỵ Trđắc dịn phong bừ.

Hái: Khi hảc bội cò em rÊt nhanh thuéc nhđng tắi lóc ền tẺp theo ệỊ cđểng thừ em chỬng nhắ gừ hạt Anh Phã cã cịch gừ gióp em khềng Ự?

Hnh Ngun NhËt Minh

(6/3, THCS Thµnh HÃn, Duy Xuyên, Quảng Nam)

Đáp:

Muốn nhắ ệđĩc bội lẹu Phời tõ khẹu nghe giờng Kủ lêi thẵy cề nãi

Nghỵ vộ hái tỰi sao? Trờ lêi nhđ thạ nộo? Chử ghi ệở hiÓu Trờ lêi thẵy hái Bội sỳ hiÓu thếm sẹu VÒ nhộ lđắt qua mau Răi mắi sang bội mắi.

Hái:Anh Phã ểi! Anh cã biạt phđểng phịp ệÓ hảc toịn cho nhanh vộ lềgic khềng Ự?

Vò Linh Chi

(7A1, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thọ) Đáp:

Toỏn l mụn chng minh Da trờn khái niệm Phải nhớ thật chi tiết Từng định nghĩa từ đầu Tính chất có sau Chứng minh nhanh từ đó Làm nhiều tập nhỏ Bài tập lớn lên dần Đến lúc bất ngờ Mình giỏi mơn tốn đấy.

32

1(146).Car license plates are numbered from 0001 to 9999 consecutively The plate number 3681 has the property that Determine the number of license plates that has the above property (i.e the sum of the two left most digits equals the sum of the two right most digits)

2(146) Given a right-angle triangle with the right angle at A The points E and Fare on the rays AB

and ACsuch that AE AF AB AC The line passing through Aand perpendicular to BCintersects

EFat the point D Prove that AD BC

3(146).Solve the following simultaneous equations

4(146).Given 2015 non-negative real numbers a1 a2 a2015(1) such that a1 a2 2015 (2) and a3 a4 a2015 2015 (3)

Find the maximum value of the expression

5(146) Determine the number of vertices V, the number of edges Eand the number of regions R in the each of the following

diagrams to show that V E R

6(146).LetABCbe an isosceles triangle with the vertex at A Let PandQbe the points on CA and CB, respectively, such that PQ // AB Let M be the midpoint of BP, and Nbe the intersection of the perpendicular bisectors of the triangleCPQ Prove that AMN 90o

2 2

1 2015

P a a a

9

6

x y z

x y y z z x

Translated by Nam Vị Thµnh

phiÕu

đăng kí tham dự cuộc thi

GTQT

năm häc 2014-2015

c¸c Líp &

Bội 3(146).Giời hỷ phđểng trừnh

thịi nhẺt phđĩng (GV THCS Nguyễn Vn Tri, Cam Ngha, Cam Ranh,

Khánh Hòa) Bài 4(146).Cho 2015 số thực không âm a1 a2 a2015(1) vµ tháa m·n a1 a2 2015 (2), a3 a4 a2015 2015 (3) Tìm giá trị lớn biĨu thøc

tống thành vũ (Cao học Tốn Giải tích K5, Đại học Hồng Đức) Bài 5(146).Xác định số đỉnh V, số cạnh E số miền R hình sau để chứng tỏ V E R

vò kim thựy Bội 6(146) Cho tam giịc ABC cẹn tỰi A LÊy cịc ệiÓm P, Q tđểng ụng trến cịc cỰnh CA, CB cho PQ // AB Gải M lộ trung ệiÓm BP, N lộ giao ệiÓm cịc ệđêng trung trùc cựa tam giịc CPQ Chụng minh AMN 90o

trẵn quang hỉng (GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Khoa hảc Tù nhiến Hộ Néi)

2 2

1 2015

P a a a

x y z

x y y z z x

Bội 1(146).BiÓn sè xe ề tề ệđĩc ệịnh sè liến tiạp tõ 0001 ệạn 9999 BiÓn sè 3681 cã tÝnh chÊt Hái cã bao nhiếu biÓn sè cã tÝnh chÊt gièng nhđ tÝnh chÊt cựa biÓn sè 3681? (Tững cựa hai chọ sè bến trịi bỪng tững cựa hai chọ sè bến phời)

phan nghỵa (Sẻ Giịo dôc - ậộo tỰo Hộ Tỵnh) Bội 2(146).Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A Trến cịc tia AB, AC lÊy tđểng ụng cịc ệiÓm E, F cho AE AF AB AC ậđêng thỬng qua A vuềng gãc vắi BC cớt EF tỰi ệiÓm D Chụng minh AD BC

nguyễn khánh nguyên (GV THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)