Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 145

Chøng minh r»ng tæng c¸c phÇn tö cña A chia hÕt cho 5. trÞnh hoµi dð¬ng[r]

2 Lêi gi¶i

KĨ EN CD (N BC), kĨ DK BE (K BC) Gải F lộ giao ệiÓm cựa BE vộ DN, G lộ giao ệiÓm cựa EN vộ CD Ta cã CEN cẹn tỰi C nến EG GN Do ệã tam giịc DEN cẹn tỰi D (vừ cã ệđêng cao ệăng thêi lộ ệđêng trung tuyạn) nến

Suy DN tia phân giác (1) Gọi I giao điểm KE CD Tam giác DEK cân E nên

Tam giác IEN cân I nªn

Do IN tia phân giác (2)

Tõ (1) vộ (2), ta cã DN lộ ệđêng phẹn giịc vộ IN lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam giịc KDI nến KN lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam giịc KDI Suy

Ta l¹i cã

Suy Do Suy

NhẺn xĐt Bội toịn nộy tđểng ệèi khã vộ viỷc vỳ hừnh còng khềng ệển giờn vừ ngoội tÝnh ệđĩc khị ệển giờn, ta chđa biạt sè ệo cịc gãc B vộ C Viỷc kĨ thếm DK BE lộm xuÊt hiỷn cịc tam giịc cẹn BDK vộ EDK, viỷc kĨ thếm EN CD lộ xuÊt hiỷn cịc tam giịc cẹn DNE vộ IEN Tõ ệã,

biạt , ta tÝnh ệđĩc vộ

ệi ệạn mét phịt hiỷn quan trảng: Tam giịc KDI cã N lộ giao ệiÓm cựa ệđêng phẹn giịc DN vộ ệđêng phẹn giịc ngoội IN ậã lộ ệiÓm mÊu chèt ệÓ giời bội toịn nộy

Bµi tËp

Bội Cho ABC vuềng cẹn tỰi A, ệiÓm D thuéc cỰnh AC cho Gải H lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa C trến ệđêng thỬng BD TÝnh Bội Cho ABC vuềng tỰi A, ệiÓm M thuéc cỰnh BC cho AB BM AC CM TÝnh Bội 3.TÝnh sè ệo gãc A cựa ABC, biạt AB cm, AC cm, ệđêng trung tuyạn AM cm

AMC

o B 60 ,

BAH o

ABD 35

2 3 D , D , E , E , I , I , I 1

D , E

o A 96 o

C 12

o o o o

1 3

C K D D 54 24 24 o

1 B 2B 72 ;

o o o o

1

B 90 K 90 54 36

o

3

o o o

K K (180 K ) : (180 72 ) : 54

o o o o

4

K 90 E 90 18 72

1

K K K

KIC

o o o o o

2 3

I I 90 E 90 30 60 I 60

o o

2

o

1

o o o o o

E E 18 E 90 I 90 (D E E )

90 (24 18 18 ) 30 KDC

o o o

2 1

o o o o o

2

D D 24 D 90 F 90 (E D D ) 90 (18 24 24 ) 24 D

Tiạp theo kừ trđắc

Kẻ đường vuông góc ĐỂ TÍNH SỐ ĐO GĨC

NGND Vị Hữu Bình(Hà Nội)

Ví dụ 4.Cho tam gic ABC, cịc ệđêng phẹn giịc BE vộ CD Biạt vộ TÝnh sè ệo cịc gãc B vộ C cựa tam giịc ABC

o BED 18 o

CDE 24

3 8.Ta ệịnh sè cịc quờ bãng tõ ệạn ẻlẵn cẹn thụ nhÊt, ệẳt quờ bãng sè vộ sè vộo hép thụ nhÊt, quờ bãng sè vộ sè vộo hép thụ vộ quờ bãng sè 5, sè vộ sè vộo hép thụ ậÌn ệá ẻ hép thụ khềng bẺt sịng Xờy ba trđêng hĩp:

TH Khơng có đèn bật sáng

Khi ba bóng số 5, số số nặng ởlần cân thứ hai để bóng số vào hộp thứ nhất, đặt bóng số vào hộp thứ đặt hai lại vào hộp thứ Khi đèn đỏ hộp thứ khơng bật sáng Nếu khơng có đèn bật sáng bóng số nặng Nếu đèn đỏ hộp thứ bật sáng số nặng Nếu đèn đỏ hộp thứ hai bật sáng bóng số nặng

TH Đèn đỏ hộp thứ hai bật sáng

Khi ệã mét hai quờ bãng sè vộ sè lộ quờ nẳng nhÊt ẻlẵn cẹn thụ hai ệÓ quờ bãng sè vộo hép thụ nhÊt, ệÓ quờ bãng sè vộo hép thụ hai vộ ệÓ hai quờ quờ bãng cưn lỰi vộo hép thụ ba ậÌn ệá ẻ hép thụ nhÊt hoẳc hép thụ hai sỳ bẺt sịng vộ quờ bãng nẳng nhÊt sỳ ệđĩc từm

TH Đèn đỏ hộp thứ hai bật sáng

Tđểng tù nhđ trđêng hĩp Quờ bãng nẳng nhÊt lộ quờ sè hoẳc sè

9.a) Ta có năm cách ghép ba hình TIN, LON, LIT, LNT vµ NIL nhð sau:

b) Ta có cách ghép ba hình ION nh sau:

10.Chú ý A, B D khác Ta cã 10A B A2C (1)

10D E CF (2)

10B G H I FG (3)

Tõ (1) ta cã, nÕu A th× 10 10 B C (vô lí)

Nếu A 20 B 4C Ta có B C B C

Nếu A 30 B 9C Ta cã B vµ C NÕu A th× 40 B 16C Ta cã B C Giả sử B H I 16 vµ FG 7.9 63 Tõ (3) suy 80 80 G H I FG 16 63

79 (loỰi) Ta xĐt hai trđêng hĩp sau TH B

Khi A C Từ (2) ta có 10D E 6F Từ E số chẵn

a) E

Từ (2) F D 3, cịn lại chữ số 1, 7, Từ (3) ta có 40 H I 4G Do G {H, I} {1, 7}

b) E

Tõ (2) F D 1, lại chữ số 0, 5, Từ (3) ta cã 40 H I 2G 40 (lo¹i)

TH B

Khi A C Từ (2) ta có 10D E 4F Từ E số chẵn

a) E

Tõ (2) F D 2, lại chữ số 1, 7, Từ (3) ta cã 60 H I 4G 60 (lo¹i) b) E

Từ (2) F D F D 3, lại chữ số 1, 7, Không thỏa mÃn v× A

c) E

Tõ (2) ta cã hai khờ nẽng Nạu F vộ D 1, tõ (3) ta cã 60 H I G 30 (loỰi) Giờ sỏ F vộ D 2, chử cưn lỰi cịc chọ sè 1, 5, vộ Tõ (3) ta cã 60 H I 6G Khềng xờy trđêng hĩp G vừ D

Do A 2, B 4, C 6, D 3, E 0, F 5, G 8, {H, I} {1, 7} J

4 Nhận xét.Bài toán sai từ việc giải điều kiện xác định biểu thức: x 0, y

Điều kiện phải là: x 0, xy Lời giải đúng.ĐKXĐ: x 0, xy

Khi x th× A y 2014 Ta thấy A nhỏ tùy ý nên không tồn giá trị nhỏ A

Nhn xĐt.Mét sè bỰn ệở khềng từm ệóng chẫ sai cựa lêi giời ệở cho Mét sè bỰn từm ệóng chẫ sai lỰi mớc lẫi sỏa lêi giời chđa ệóng Lđu ý rỪng x 0, A khềng cã giị trỡ nhá nhÊt thừ ta khềng cẵn xĐt trđêng hĩp x nọa

Anh KÝnh Lóp trao thđẻng kừ nộy cho cịc bỰn sau:

ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh;NguyÔn Vẽn Cao, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi

Cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt, ệđĩc khen:

Vđểng Tiạn ậỰt, ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; Lế Quang Trung, 9A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; Lế Thỡ Dung, 9E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

anh kÝnh lóp

NhẺn xĐt Lêi giời ệở cho sai ẻ chẫ khỬng ệỡnh MAC, MBD lộ nhọng tam giịc ậiỊu nộy khềng ệóng M thuéc ệđêng chĐo AC hoẳc M thuéc ệđêng chĐo BD Do ệã cịc khỬng ệỡnh MA MC

AC vµ MB MD BD lµ sai

Hển nọa, cờ P lắn hển mét hỪng sè thừ còng chđa thÓ kạt luẺn ệđĩc rỪng A khềng cã giị trỡ nhá nhÊt

Lời giải đúng.Ta có

MA MC AC vµ MB MD BD Suy P MA MB MC MD

(MA MC) (MB MD) AC BD

P AC BD vộ chử M thuéc cịc ệoỰn thỬng AC, BD hay M lộ giao ệiÓm cựa hai ệđêng chĐo AC, BD

VẺy P ệỰt giị trỡ nhá nhÊt lộ AC BD, ệỰt ệđĩc vộ chử M lộ giao ệiÓm cựa AC vắi BD

NhẺn xĐt.Hẵu hạt cịc bỰn ệÒu ệở “sỏa cho ệóng” lêi giời sai ệở nhđng chđa chử ệđĩc hạt ý “sai ệẹu” cựa lêi giời ệã Phẵn thđẻng kừ nộy gịc lỰi kừ sau

anh kÝnh lóp Bội toịn.Cho hai ệđêng trưn (O) vộ (O’) cớt tỰi A vộ D Mét cịt tuyạn (d) quay quanh A cớt (O) tỰi B vộ cớt (O’) tỰi C Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa (d) ệÓ tững AB AC lộ lắn nhÊt

Lêi gi¶i

Ta thấy A nằm B C AB AC BC

Vỳ ệđêng kÝnh AE cựa (O) vộ ệđêng kÝnh AF ca (O)

Vì nên

Do ú E, D, F thng hng

Mặt khác, nên tứ giác BCFE hình thang vuông B C

Do BC EF

Mà EF cố định nên AB AC lớn BC lớn hay BC EF Khi (d) // EF hay d AD A

Theo bạn giải trờn ó hon chnh cha?

NGUYễN ĐứC HảO

(GV THCS Lam S¬n, Q 6, TP Hå ChÝ Minh)

o ABE ACF 90

o ADE ADF 180 o

ADE ADF 90

(TTT2 sè 142)

ĐÃ HOÀN CHỈNH CHƯA?

CĨ CHĂNG ĐÃ NHẦM LẪN

5

(TTT2 sè 143) Nhận xét.Quy luật kì không khó, hầu hết

bạn tìm kết nhðng bạn khơng nêu rõ quy luật thành lời nêu chða xác Quy luật

Bội 1.XĐt hai dởy sè: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (F) 2, 3, 5, 7, 10, 14, … (*) Ta thÊy mẫi sè hỰng cựa dởy (*) bỪng sè hỰng ẻ vỡ trÝ tđểng ụng cựa dởy (F) céng vắi sè thụ tù cựa nã Sè hỰng tiạp theo (sè hỰng thụ 7) cựa dởy (F) lộ 13, ệã sè hỰng tiạp theo cựa dởy (*) lộ 13 20

Bài 2.Các phân số dãy có tử số 1, mẫu phân số thứ n n! (với n! 1.2.3 n, đọc n giai thừa) Theo quy luật đó, mẫu phân số thứ 6! 721 phân số dãy

Cịc bỰn ệđĩc trao thđẻng kừ nộy: NguyÔn TuÊn Anh, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;

Dđểng Trung Kiến, PhỰm ậục Dịng, 7C, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; PhỰm Hoộng Hời, 6A8, THCS Yến Hưa, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời Chẹu,ậộ Nơng

Cịc bỰn sau ệđĩc khen: NguyÔn Vẹn Hđểng, 6A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Trỡnh Tỉng Huy, 8A4, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnh; ậđêng Minh Quẹn, 6C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An; Lý Thộnh Trung, 9A4, THCS Phđắc Bừnh, TX Phđắc Long, Bừnh Phđắc; Lế Hoộng Mai Anh, 8A6, THCS Thùc hộnh Sội Gưn, Q 5, TP H Chí Minh

NGUYễN XUÂN BìNH

TỪ DÃY SỐ FIBONACCI

Chản mét hừnh ẻ dđắi ệĨ ệiỊn vộo chẫ trèng

§inh Thu(sðu tÇm)

6

Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có toán bất đẳng thức sau

Bài toán Cho x, y, z số thực không âm, đôi khác Chứng minh

Bội toịn trến lộ mét bội bÊt ệỬng thục hay vộ khã vộ chử cẵn dỉng kiạn thục THCS ệÓ giời Trời qua thêi gian, nhiÒu bội toịn lÊy ý tđẻng tđểng tù bội toịn trến vÉn xuÊt hiỷn cịc kừ thi chản ệéi tuyÓn hảc sinh giái Trong quị trừnh giờng dỰy chóng tềi ệở bớt gẳp nhọng bội toịn liến quan ệạn bội toịn nộy vộ trẹn trảng giắi thiỷu cỉng bỰn ệảc Nhđng trđắc tiến chóng ta sỳ nãi ệạn phđểng phịp tham sè hãa ệÓ giời bội toịn ệở trến

Lêi giời.Vừ vai trư x, y, z lộ nhđ nến khềng mÊt tững quịt ta cã thÓ sỏ x y z ậẳt x z a, y z b (a b 0) BÊt ệỬng thục cẵn chụng minh tđểng ệđểng vắi

Dấu đẳng thức xảy

Bài toán Cho x, y, z số thực đôi khác Chứng minh

(Đề thi chọn đội tuyển Phú Thọ năm 2014)

Lời giải Đặt x y a, y z b (a, b 0) bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Dấu đẳng thức xảy a b x z 2y Bài tập

Bài Cho x, y, z số thực không âm đôi phân biệt Chứng minh

(Đề thi chọn đội tuyển Đại học Sð phạm Hà Nội năm 2015)

Bài 2.Cho x, y, z số thực đôi phân biệt Chứng minh

2 2

x y y z z x .

x y z (x y) (y z) (z x)

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

1 1 1

Ta cã (a b) (a b)

2 a b a b

1

(a b) 8;

(a b) a b a; b 2.

2

(a b) b a

1 a b a b

(a b)

a b (a b) b a

1 27

8

2

2 2

2

2 2 2

1 a b a b 27

(a b)

2 a b (a b) b a

2 2

2 2

(x y z xy yz zx)

1 1 27.

4 (x y) (y z) (z x)

2

z

z z

3

x y

ab (a b) xy (x y)

2

2

2 2

2 2

2

2

2

1 1

Ta cã (3z 2z(a b) ab)

a b (a b)

1 1 a b ab

ab

b a

a b (a b) (a b)

(a b) ab 2 ab (a b)

(a b) ab

2

ab (a b)

2 2

2

2 2

1 1 ((z a)(z b) z(z a) a b (a b)

z(z b))

1 1 (3z 2z(a b) ab) 4. a b (a b)

2 2

1 1

xy yz zx (x y) (y z) (z x)

XUNG QUANH BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC

THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008

Kiều ỡnh minh

7 Câu 1.Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:

a) A 2012

Câu 2.a) Tìm số nguyên x, y biÕt 2x(3y 2) (3y 2) 55

b) Chøng minh (với n số tự nhiên lớn 2) C©u Cho biĨu thøc

a) Rót gän A

b) Tìm số nguyên n để A nhận giá trị số nguyên

c) Tìm số nguyên n để phân số A sau rút gọn phần a phân số tối giản

Cẹu Từm sè nguyến tè cã hai chọ sè (a b 0), cho lộ sè chÝnh phđểng Cẹu Cho nỏa mẳt phỬng bê AB chụa hai tia Ox vộ Oy (O nỪm giọa A vộ B)

a) VÏ tia OC t¹o víi tia OA mét gãc b»ng ao, tia OD tia tạo với tia OC góc (a 10)ovà tạo với tia OB góc (a 20)o TÝnh ao

b) TÝnh , biÕt vµ

c) Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với Câu Cho A 102014 102013 102012 102011

a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 24

b) Chụng minh rỪng A khềng phời lộ sè chÝnh phđểng

o AOC a xOD

o BOy 48 o

AOx 22 xOy

ab ba ab

2n 3n 4n

A

n n n

2 2

1 1 1

4 (2n)

1 1

b) B 1

2 2014

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH013

Bài Cho x, y, z số khơng âm đơi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Bài 4.Cho x, y, z số thực đôi phân biệt Chứng minh

2

2

x y y z z x 1.

x z y x z y

1 1

A (x y z)

x y y z z x

2 2

2 2

1 1

(x y z )

8 1.Gải sè cẵn từm lộ x Ta xĐt hai trđêng hĩp sau:

TH Chử cã mét phĐp nhẹn hoẳc chia Vừ phĐp nhẹn vộ chia lộ hai phĐp tÝnh ngđĩc lỰi cựa nến ta sỏ chử cã phĐp nhẹn Ta xĐt ba khờ nẽng sau:

a) Nếu phép nhân phép tính hai phép tính lại phép trừ

Ta có 3x 3 x, từ x

b) Nếu phép nhân phép tính xuất thứ hai phép tính khơng thể phép cộng Do phép tính phép trừ

Nếu phép tính thứ ba phép cộng 3(x 3) x, từ x

Nếu phép tính thứ ba phép trừ 3(x 3) x, từ x

c) Nếu phép nhân phép tính xuất thứ ba hai phép tính lại phải phép trừ

Ta có 3(x 3) x, từ x TH Chỉ có phép cộng trừ

Vừ phĐp céng vộ trõ lộ hai phĐp tÝnh ngđĩc lỰi cựa nến ta sỏ chử cã phĐp trõ Ta xĐt ba khờ nẽng sau:

a) Nếu phép trừ phép tính hai phép tính lại phép nhân

Ta cú 3(3(x 3)) x, từ

b) Nạu phĐp trõ lộ phĐp tÝnh xuÊt hiỷn thụ hai thừ phĐp tÝnh ệẵu tiến khềng thÓ lộ phĐp chia Do ệã phĐp tÝnh ệẵu tiến lộ phĐp nhẹn, sau hai phĐp tÝnh ta ệđĩc 3x PhĐp tÝnh thụ ba phời lộ phĐp nhẹn, tõ 3(3x 3) x, tõ ệã

c) NÕu phÐp trõ lµ phÐp tÝnh xt hiƯn thø ba hai phép tính lại phải phép nhân

Ta có 3(3x) x, từ

VËy số cần tìm

2.Chú ý rỪng tững tuữi cựa tịm ngđêi lộ 15 120 Tững tuữi cựa hai ngđêi lắn tuữi thụ tđ vộ thụ nẽm lộ 22 Ta cã ba cịch ệÓ biÓu diÔn 22 bỪng tững cựa hai sè nguyến tè

TH Sè 22 11 11

Vừ cã ba ngđêi 19 tuữi nến nhọng ngđêi cưn lỰi ệÒu Ýt hển 11 tuữi Tững tuữi cựa ba ngđêi trĨ nhÊt lộ 120 2.11 3.19 41 Nhđng tững cựa ba sè nguyến tè nhá hển 11 lắn nhÊt lộ 7 21 Trđêng hĩp nộy khềng xờy

TH Sè 22 17

Tuữi cựa ngđêi trĨ nhÊt chử cã thÓ lộ 2, vộ Vừ cã ba ngđêi 19 tuữi vộ mét ngđêi 17 tuữi nến lộm tđểng tù nhđ trđêng hĩp thừ trđêng hĩp nộy khềng xờy

TH Sè 22 19

Bèn ngđêi Ýt tuữi nhÊt chử cã thÓ tuữi hoẳc tuữi ậÓ tuữi cựa ngđêi lắn tuữi nhÊt lộ sè nguyến tè thừ phời cã hai ngđêi tuữi vộ hai ngđêi tuữi Tuữi cựa ngđêi lắn tuữi nhÊt lắn nhÊt cã thÓ lộ 120 2.2 2.3 3.19 53

3.Mẫi sè cịc hừnh lơc giịc ệỊu chử ệđĩc tÝnh mét lẵn trõ ba sè ẻ ệửnh cựa tam giịc ậÓ tững cịc sè trến cịc cỰnh cựa tam giịc bỪng vộ nhá nhÊt thừ ba sè ẻ ệửnh lộ 1, vộ

Vừ vộ : nến tững nhá nhÊt lộ 19 17 Cịc sè ệđĩc ệiÒn nhđ sau:

Để tổng số cạnh tam gi¸c b»ng 27, , ,3,6

8 8

3 x

8 x

8 27

x

8

DTH(Dịch giới thiệu)

LI GII THI OLYMPIC

TỐN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI ĐÀI LOAN

(TAIMC 2012)

9 vộ lắn nhÊt thừ ba sè ẻ ệửnh lộ 7, vộ Vừ 12 vộ 12 : nến tững lắn nhÊt lộ 19 23 Cịc sè ệđĩc ệiÒn nhđ sau:

4.Ta chia lộm ba trđêng hĩp sau:

TH Tất điểm có màu giống Có hai cách tô màu da cam xanh

TH Tất điểm màu đứng gần Giả sử tất điểm màu da cam đứng bên trái điểm màu xanh Ta có 2011 cách tơ màu cho 2011 điểm Nếu điểm màu xanh bên trái ta có 2011 cách tơ màu

TH Cã hai ệiĨm nộo ệã cỉng mộu nhđng khềng ệụng liỊn Giờ sỏ cã hai ệiÓm A vộ C cỉng mộu da cam liến tiạp mộ giọa chóng cã Ýt nhÊt mét ệiÓm mộu xanh lị cẹy Khi ệã sè ệiÓm mộu xanh lị cẹy nỪm giọa hai ệiÓm A vộ C lộ sè chơn (vừ nạu ngđĩc lỰi sỳ tăn tỰi mét ệiÓm D mộu xanh lị cẹy mộ AC CB) Khi ệã A hoẳc C lộ hai ệiÓm ẻ ngoội nhÊt vộ giọa chóng lộ 2010 ệiĨm mộu xanh lị cẹy Cã hai cịch ệÓ tề mộu trờng hp ny

Vậy số cách tô màu 4022 4026 5.Gọi số cần tìm , với a, b, c d chữ số a khác

Ta có 100ab 110ac 111ad 10bc 11bd cd 666 Do ệã d khịc Chóng ta xĐt cịc trđêng hĩp sau:

TH ad

Từ 111ad 666 tất số hạng khác 0, từ ta có b c Ta có số 1006, 2003, 3002 6001

TH ad

Từ ta có 511b 551c 10bc 111 155b 115c 10bc 111 Do b c (loại)

TH ad

a) Nếu a d 411b 441c 10bc 222 Từ b c (loại)

b) Nếu a d 144b 114c 10bc 222 Từ b c (loại)

c) NÕu a d th× 222b 222c 10bc 222 Tõ

đó b c b c Ta có hai số 2012 2102

TH ad

a) Nếu a d 311b 331c 10bc 333 Từ b c (loại)

b) Nếu a d 133b 113c 10bc 333 Từ b c chia cho 10 dð (loại)

TH ad

a) Nếu a d 211b 221c 10bc 444 Từ b c chia cho 10 dð (loại)

b) Nếu a d 122b 112c 10bc 444 Từ b c chia cho dð (loại)

TH ad

Khi ệã a d vộ 111b 111c 10bc 555 Tõ ệã b vộ c hoẳc b vộ c 0, tõ ệã ta ệđĩc hai sè 1051 vộ 1501

Vậy số cần tìm 1006, 1051, 1501, 2003, 2012, 2102, 3002 vµ 6001

6.Chó ý r»ng (3 1)(1 1)

(1 1)(1 1)(1 1) Ta xĐt cịc trđêng hĩp sau: TH 2n p7vắi p lộ sè nguyến tè

Tõ ệã p 2, nhđng 3n 3.26cã (1 1)(6 1) 14 đắc dđểng (loỰi)

TH 2n p3.q víi p, q số nguyên tố khác

* Nu q p Nạu p thừ 3n 34cã đắc dđểng Nạu p thừ 3n 3q3cã (1 1)(3 1)

8 đắc dđểng

* Nạu p q Nạu q thừ 3n 22.32 cã (2 1)(2 1) đắc dđểng (loỰi) Nạu q thừ 3n 22.3q cã (2 1)(1 1)(1 1) 12 đắc dđểng (tháa mởn) Tõ ệã 12n 24.3q cã (4 1)(1 1)(1 1)

20 đắc dđểng

TH 2n pqr với p, q r số nguyên tố khác

Ta sỏ r vộ q p Nạu q thừ 3n 33p cã (2 1)(1 1) đắc dđểng Nạu q thừ 3n 3pq cã (1 1)(1 1)(1 1) đắc dđểng (loỰi) VẺy 12n có 20 c dng

7.Ta chia hình tròn nh sau: abcd

10 Câu 1.Vì (a b c)2 a2 b2 c2nªn

ab bc ca a2 2bc a2 bc ca ab (a b)(a c)

Chụng minh tđểng tù răi céng theo vạ ta ệđĩc

víi P a2(c b) b2(a c) c2(b a) a2(c b) b2(a c) c2[(c b) (a c)] (c b)(a2 c2) (a c)(b2 c2)

(c b)(a c)(a c b c)

(b c)(c a)(a b) Suy đpcm Câu 2.Điều kiện x 0, x Ta cã

TH1.x

TH2.(x 1)3 ( x)3 x x Kạt hĩp vắi ệiỊu kiỷn ta ệđĩc

C©u

Tõ ệã nhẹn theo vạ ba phđểng trừnh ta ệđĩc [(x 1)(y 1)(z 1)]2 722

Tõ ệã từm ệđĩc hai cẳp nghiỷm (x; y; z) lộ (2; 5; 3), ( 4; 7; 5)

Câu 4.Đặt z xy Ta thấy

Ta cã

(do ịp dông BậT AM - GM cho hai sè dđểng) ậỬng thục xờy vộ ch

Vậy

Câu 5.Vẽ EH AB (H AB)

Ta thÊy EDA 90o ADC BCD x y

2 19

P

3

1

z x y

4

1 4z

1 z z

1 16(1 z) 52 z 23 16

1 z 9 16z 36z

1 16(1 z) 52 23.4 16

2 z

1 z 9 16z 36

8 26 23 16 19

3 9

2

2 4x y

P

xy x xy y

2 2

x y x y x y

0 z

2 2

x xy y 17 (x 1)(y 1) 18 y yz z 23 (y 1)(z 1) 24 z zx x 11 (z 1)(x 1) 12

1 x 1;

2

x

2

2 2

2

1 2 1 1

x x

x (x 1) x (x 1)

(x 1)(1 x) x(x 1) x (x 1)

2 2

2a 2b c (a b)(b c)(c a)P a 2bc b 2ca c 2ab

2

2a (a b)(a c)a a 2bc

Năm học 2014 - 2015

11 Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biĨu thøc

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị nhỏ P

c) XÐt biĨu thøc chøng tá Q Bµi 2: (4,5 điểm)

a) Không dùng máy tính hÃy so sánh

b) Tìm x, y, z, biết

4x2 2y2 2z2 4xy 2yz 2y 8z 10 c) Gii phng trnh

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Với Tính giá trị

biểu thức

b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) với x 1, y cho (3x 1) y đồng thi (3y 1) x

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giịc ABC cã ba gãc nhản vắi cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H

a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC;

b) Chøng minh r»ng

SDEF (1 cos2A cos2B cos2C)SABC c) Cho biÕt AH kHD Chøng minh r»ng tanB.tanC k

d) Chøng minh r»ng Bài 5: (1,5 điểm)

Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A |36x 5y|

HA HB HC 3. BC AC AB

2 AEF

ABC

S cos A. S

3 2015

B (3x 8x 2)

( 2) 17 38

x

5 14

1 4.

x x 2014 2015 2014 2015

2015 2014

2 x

Q ,

P

2 2 x 1

x x 2x x

P

x x x x

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP

HUYỆN HOẰNG HÓA, THANH HÓA

Năm học: 2014 - 2015

Thời gian lµm bµi:150

Suy HDE BCD (g.g) Tđểng tù HAE BCA (g.g) Mộ BD 2BA nến HA 2HD Do ệã

VẺy EBD cã EH lộ ệđêng cao ệăng thêi lộ ệđêng trung tuyạn nến lộ tam giịc cẹn

Câu 6.Đặt OK x (cm), AO R (cm) Theo định lí Pytago ta có

R2 162 x2 82 (32 x)2 x 13 R2 162 132 425 400 R 20

Do ệã tÊm bừa sỳ cã cỰnh lắn hển 40 cm VẺy Nam khềng thÓ thiạt kạ ệđĩc

1 HD AB BH AD

3

12 Bội 1(143).Cho n lộ mét sè nguyến dđểng tháa mởn n vộ 2n ệăng thêi lộ hai sè chÝnh phđểng (Sè chÝnh phđểng lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến) Chụng minh rỪng n chia hạt cho 24 Lêi giời ậẳt n k2, 2n m2(k, m ) Vừ 2n lộ mét số l nn m l số l

Đặt m 2t (t )

Khi 2n (2t 1)2 n 2t(2t 1) Suy n chẵn Do k lẻ

Ta l¹i cã n k2 (k 1)(k 1) tích hai số chẵn liên tiếp nên n chia hết cho (1)

Mặt khác (n 1) (2n 1) 3n k2 m2lµ sè chia cho dð

Suy hai số k2và m2khi chia cho dð Khi m2 k2 2n (n 1) n chia hết cho (2)

Tõ (1) vộ (2), kạt hĩp vắi (3, 8) 1, suy n 24 NhẺn xĐt ậẹy lộ mét bội toịn hay, khềng dÔ, ệưi hái cịc bỰn phời cã kiạn thục sẹu vÒ tÝnh chÊt chia hạt vộ sè chÝnh phđểng RÊt nhiÒu bỰn tham gia vộ giời ệóng Tuy nhiến, nhiỊu bỰn cưn dội dưng, thiạu cề ệảng trừnh bộy ậẳc biỷt khen ngĩi trđêng THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả cã nhiỊu tẺp thÓ lắp tham gia Cịc bỰn sau ệđĩc khen: NguyÔn Hời Ly, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;Lế Thỡ Vẹn Anh, NguyÔn Tuỷ Minh, 7E, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa; NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A1, THCS -THPT Hai Bộ Trđng, Phóc Yến, Vỵnh Phóc;ậinh Thỡ Ngảc nh, 7A3; NguyÔn Hăng Khời, Trẵn Hời Nam, Triỷu Hăng Ngảc, Vò Ngảc nh, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Bỉi Minh HoỰt, 6E, THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả;TẺp thĨ lắp 7B;

Ngun Thỡ BÝch, NguyÔn Thỡ Thu HỪng, 7A, THCS Nhẹn Nghỵa, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Tền Nọ Vẹn Nhi, 6D, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng;

ậẳng Hăng Trđêng, 6C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An; NguyÔn Hoộng Giang, 7C, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi

phùng kim dung Bài 2(143) Tìm số ngun tố thỏa mãn tích số 10 lần tổng chúng Lời giải.Bộ số nguyên tố thỏa mãn đầu phải

cã sè vµ

Gọi (p1, p2, , pn) số nguyên tố lại thỏa mãn đề bài, với p1 p2 pn

Ta cã 2.5.p1p2 pn 10(p1 p2 pn 7) hay p1p2 pn p1 p2 pn (1) Víi a, b lµ hai sè nguyªn tè, ta cã (a 1)(b 1) ab a b

Suy p1p2 pn (p1 p2 pn-1)pn Do từ (1) suy

(p1 p2 pn-1)pn p1 p2 pn hay spn s pn (víi s p1 p2 pn-1)

(s 1)(pn 1)

TH1 s Khi ệã n vộ p1 Thay vộo (1) ệđĩc p2 9: loỰi

TH2.s Suy pn

XÐt pn s Suy n vµ p1 {2, 3} Thư l¹i p1 3, p2 tháa m·n

Xét pn s Suy có năm số (p1, p2, , pn-1) thỏa mãn (2), (3), (2, 2), (2, 3), (5) Thử lại không thỏa mãn

XĐt pn Tõ (1) suy 2n 2n(loỰi) Tãm lỰi bé sè nguyến tè cẵn từm lộ (2, 3, 5, 5) NhẺn xĐt.NhiÒu bỰn kạt luẺn khềng cã bé sè nộo tháa mởn ệÒ bội (!) Nguyến nhẹn lộ nhọng bỰn ệã ệở ệảc sai ệÒ bội, coi bé sè nguyến tè lộ nhọng sè khịc Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: Vị Huy Hoộng, Ngun Thỡ Thờo Vẹn, Ngun Khịnh Ly, NguyÔn Hđểng Giang, 6A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề;TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc,Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Vị Hoội Nam, 6C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An;NguyÔn Vẽn Thanh Sển, 7/1, THCS NguyÔn Khuyạn, Hời Chẹu,ậộ Nơng

Hă quang vinh Bội 3(143) Giời phđểng trnh

Lời giải.Ta thấy x x2 x vµ x2 x Ta cã (1) x2 x (x2 x 2)2

2

13 x4 2x3 4x2 5x

(x 1)(x3 x2 3x 2)

Ta ệđĩc x hoẳc x3 x2 3x (2) ậẳt Phđểng trừnh (2) trẻ thộnh

LỰi ệẳt y u v Ta ệđĩc

Ta t×m hai sè u, v tháa m·n

Theo ệỡnh lÝ ViĐt ệờo, hai sè u3, v3lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh bẺc hai

Giời phđểng trừnh nộy ta cã hai nghiỷm lộ

VËy nªn

VẺy phđểng trừnh (1) cã hai nghiỷm lộ x vộ

NhẺn xĐt Cịc bỰn cã thÓ tù giời phđểng trừnh bẺc ba dỰng x3 ax2 bx c bỪng cịch ệẳt ta ệđĩc phđểng trừnh bẺc ba khuyạt hỷ sè cựa y2 Sau ệã lỰi ệẳt y u v vộ chản u, v nhđ bội trến Biạt u3 v3vộ u3v3, ta từm ệđĩc u, v Tõ ệã từm ệđĩc y, x

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Ngun Thóy HỪng, 9A; Trẵn Thỡ Thu Hộ, 9B, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn, Hộ Nam; ậẫ Hoội Phđểng, 9C, THCS Tuyạt Nghỵa, Quèc Oai; Phỉng Ngảc Anh, 9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi; ng Quang

Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích Đông Sơn, Thanh Hóa; Tạ Anh Dũng, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,Phú Thọ;Nguyễn Thị Viên, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, B¾c Ninh

ngun anh dịng Bội 4(143) Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải Với x, y ta chứng minh bất đẳng thức

ThËt vËy, ta cã

ậỬng thục xờy x y Tđểng tù

Céng theo vÕ cđa (1), (2) vµ (3) suy P 3(x y z)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức ta suy

VẺy giị trỡ nhá nhÊt cựa P lộ 3, ệỰt ệđĩc vộ chử

NhẺn xĐt.Bội toịn trến hay vộ tđểng ệèi khã, mÊu chèt cựa bội toộn lộ viỷc phịt hiỷn bÊt ệỬng thục (1) Cã rÊt nhiÒu bỰn tham gia giời bội, hẵu hạt cịc bỰn giời ệóng Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng vộ ngớn gản: ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi; NguyÔn Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Lế Thỡ Thựy, 8A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; ậẫ Linh Chi, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; Bỉi Thỡ LiÔu Dđểng, 8A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc;

NguyÔn Thị Mỹ Linh, 9A1, THCS LÃng Công, Sông Lô, Vĩnh Phúc;Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa

cao văn dũng

x y z

1 P x y z

3 P 3( xy yz zx) x y z xy yz zx

2 11

2z 3zx 4x z x (3) 6

2 11

2y 3yz 4z y z; (2) 6

23(x y)

2

2

2 2

7 11 (1) 2x 3xy 4y x y

6

36(2x 3xy 4y ) 49x 154xy 121y

2 11

2x 3xy 4y x y (1)

6

2

2z 3zx 4x

2 2

P 2x 3xy 4y 2y 3yz 4z xy yz zx

a x y ,

3

3

1 29 321 29 321

x

3 2

3

1 29 321 29 321

x y

3 2

3

1 29 321 29 321 y

3 2

1 29 321 29 321

X , X

54 54

2 29 512

X X

27 729

3 3

3

29 29

u v u v

27 27

8 512

uv u v

9 729

3

3

8 29

(3) (u v) (u v)

3 27

29

u v (u v) 3uv

27

3

3

1 1

y y y

3 3

8 29

y y (3) 27

1 x y

14 Bài 5(143) Hãy mô tả cách rõ ràng đồ thị sau

Lời giải.Hình vẽ thể đồ thị G(V, E), đó: - V gồm bốn đỉnh A, B, C, D

- E gồm năm cạnh e1 {A, B}, e2 {B, C}, e3 {C, D}, e4 {B, D} e5 {A, C}

Nhận xét Các bạn sau có lời giải tốt cả:

Nguyễn Văn Thanh Sơn, 7/1, THCS Nguyễn Khuyến, Hải Châu, Đà Nẵng; Nguyễn Văn Đức,

6D, THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Cầu Giấy, Hà Nội; Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa; Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Đào Ngọc Hải Đăng, 6A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc;Bùi Minh Hoạt, 6E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ

TRỡNH HOộI DẩầNG Bội 6(143).Cho tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A, néi tiạp ệđêng trưn tẹm O M lộ ệiÓm thay ệữi trến cung nhá AB Vỳ AD MC (D MC) Xịc ệỡnh vỡ trÝ cựa M ệÓ tững MB MD ệỰt giị trỡ nhá nhÊt, lắn nhÊt Lêi giời Gải (A) lộ ệđêng trưn tẹm A bịn kÝnh AB; N, P theo thụ tù lộ giao ệiÓm thụ hai cựa CM, CA vắi (A)

Ta thÊy

Do BMN vng cân M Kết hợp với AD MC suy MB MD MN MD ND

Vì M di động cung (O) nên N di động cung (A) (2)

Tõ (1) vộ (2), kạt hĩp vắi CP lộ ệđêng kÝnh cựa (A)

vµ suy ra:

(MB MD) nhá nhÊt NC nhá nhÊt M trïng B; (MB MD) lín nhÊt NC lín nhÊt M trïng A NhËn xÐt 1) Bài toán có nhiều bạn tham gia giải, số bạn cho lời giải dài, chí có bạn giải sai

2) Cc bn sau y có lêi giời tđểng ệèi tèt: Trẵn Quèc LẺp, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Thỡ Viến, Ngun Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;

ậẳng Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,Thanh Hãa;Bỉi Thỡ LiÔu Dđểng, 8A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; NguyÔn Lế Sển, THCS LÝ Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Ngun Thỡ Thờo Phđểng, Ngun Viỷt Hoộng, 9A, THCS ậục LÝ, LÝ Nhẹn, Hộ Nam; NguyÔn Khờ NhẺt Long, 8A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi

Ngun Minh Hµ

o o

NBC 90 45 BNC, PB

AB

1NC (1)

o o o o

BMN 180 BMC 180 90 90

o o

1

BNM BNC BAC 90 45

2

TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4; Bỉi Thỡ LiÔu Dđểng, 8A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;

15

LỚN HƠN, NHỎ HƠN

DAạY SOÁ LAỳ (TTT2 sè 143) Giờ sỏ 2015 sè thùc lộ a1, a2, , a2015 c sp

xếp theo thứ tự tăng dần a1 a2 a2015 Theo gi¶ thiÕt ta cã

a1 a2 a3 a4 a2013 a2014 a2015 Mà a2013 a4nên a1 a2 a3 a2014 a2015 Với số tùy ý khác từ 2015 số cho am, an, ap, aq, arta có

am an ap a1 a2 a3, a2014 a2015 aq ar

Do ệã am an ap aq ar Suy ệpcm NhẺn xĐt Cịc bỰn sau giời tèt cã lẺp luẺn chẳt chỳ, ngớn gản: Bỉi Thỡ Quúnh, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; NguyÔn Lế Sển, 9A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; TỰ Nam Khịnh, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vnh Phúc;

Đỗ Tuấn Đạt, 7A2, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng;Nguyễn Văn Thanh Sơn, 7/1, THCS Nguyễn Khuyến, Hải Châu, Đà Nẵng

ANh com pa Bài toán Cho tam giác ABC vuông A, AH

ệđêng cao, I lộ giao ệiÓm cựa ba ệđêng phẹn giịc Dùng IK BC

B¹n Vui cho r»ng AH lín h¬n 2IK nhðng nhá h¬n 3IK

kiến bạn nào?

Phạm Tuấn Khải (Hà Néi)

phẹn sè thụ nhÊt vắi 7, nhẹn cờ tỏ sè vộ mÉu sè cựa phẹn sè thụ hai vắi 5, ệđĩc vộ , tđểng ụng;

Víi mÉu sè míi, chän béi chung nhá nhÊt (BCNN) cđa c¸c mÉu sè Cho , BCNN cđa vµ lµ (không chọn 18), nên

Nhn xt Cã rÊt nhiÒu bỰn gỏi bội dỡch vÒ Tưa soỰn vộ ệÒu dỡch tđểng ệèi chÝnh xịc, cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ nộy vừ cã bội dỡch sắm nhÊt vộ sịt nhÊt: NguyÔn Ngảc Linh, 6A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Ngun Thỡ Minh Thu, 7A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;

Bỉi Phđểng Anh, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,Vỵnh Phóc;Ngun ậẳng Sển, 9A, THCS NguyÔn Trởi, Nam Sịch, Hời Dđểng;Trỡnh Tỉng Huy, 8A4, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnh; NguyÔn Xuẹn Thộnh ậỰt, 6D, THCS Thỡ trÊn Gia Linh, Gia Linh, Quờng Trỡ;Vò HỰ Ly, 7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Dđểng Trung Kiến, 7C, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi; Lý Thộnh Trung, 9A9, THCS Phđắc Bừnh, TX Phđắc Long, Bừnh Phđắc;

NguyÔn Thỡ Mai Anh, 6D, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Lế Hoộng Mai Anh, 8A6, Trung hảc Thùc hộnh Sội Gưn, Q 5, TP Hă ChÝ Minh;ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Ngun Hun Phđểng, 7C, THCS Lế Họu LẺp, HẺu Léc, Thanh Hãa

NguyÔn Ngäc Minh 2

3 6 6 6 21 25 46

35 35 35

25 35 21 35

16

au bữa trða, thám tử Sêlơccơc vừa đặt tràng kỉ thì chng điện thoại kêu vang Bà Luxia - bạn thời phổ thông thám tử - nhờ đến nhà để tìm giúp kẻ lấy trộm chiếc nhn quý giỏ.

Quên hết mệt mỏi, thám tử Sêlôccôc vội vàng tới nhà bà Luxia.

- Cho ềng bỰn! May quị! Cã bỰn lộ thịm tỏ nến nhọng lóc thạ nộy mắi cã ngđêi mộ nhê. - Bộ mÊt chiạc nhÉn quý lớm hay mộ gải tềi ệạn thạ?

- ậóng vẺy ậã lộ chiạc nhÉn kim cđểng tềi ệđĩc bè mứ tẳng tõ thêi cưn hảc phữ thềng. Tềi cÊt giọ rÊt cÈn thẺn vừ ệèi vắi tềi, nã lộ kử vẺt thiếng liếng Sịng nay, ệịm bỰn cò hứn ệi ẽn sịng Nghỵ ệẹy lộ dỡp cỉng ền lỰi

những kỉ niệm thời học sinh nên lấy chiếc nhn eo.

- Bà lÃng mạn phÕt nhØ?

- Thì bạn cũ gặp nhau, cịn chuyện gì vui ơn lại thời tuổi trẻ, không ông bạn tôi?

- Bà kể tiếp đi!

- Khong 11 tra tềi mắi vÒ tắi nhộ ThÊy hểi ệau ệẵu nến tềi thay quẵn ịo, thịo nhÉn răi lến giđêng nỪm nghử Răi tềi thiạp ệi lóc nộo khềng biạt Tửnh dẺy thừ chỬng thÊy cịi nhÉn ệẹu nọa.

- Lúc bà tới nhà nằm nhà có ai?

- Cú cụ giỳp vic đứa cháu họ. - Cháu bà hẳn ?

- ừ, có nên bảo đây

CHIEC NHAN

bieỏn maỏt

ậẳng Thỡ Hđêng

17

cho ệì buăn Hềm qua, nã ệđĩc nghử hảc nến lóc tềi vỊ nã vÉn ệang ẻ nhộ.

Sau ệã, thịm tỏ Sếlềccềc ệở gẳp riếng tõng ngđêi nhộ ậẵu tiến lộ gióp viỷc Bacbara.

- Trða nay, bà Luxia ngủ, bà làm những việc gì?

- Tềi nÊu ẽn nhđ mải Khoờng 11 giê rđìi, tềi lến phưng ệỡnh mêi chự dẺy ẽn cểm nhđng thÊy ngự ngon quị nến lỰi thềi. - Thạ ệở lộm gừ tiạp theo?

- Tôi tranh thủ đọc sách.

- Vậy ð? Tôi không ngờ bà lại mê đọc sách đến vậy.

- Ban đầu, bà chủ nhờ đọc cho nghe. Dần dần, đâm mê sách

- Tuyệt thật! Thế bà đọc gì? - Tơi đọc “A-li-xơ xứ sở thần tiên” của An-đec-xen

- VẺy đ? Hềm nộo cho tềi mđĩn nhĐ Nghe nãi cuèn ệã hay lm.

Tiếp theo, thám tử gặp Nina - cháu gái của bà Luxia.

- Tra nay, b Luxia nằm ngủ, cháu đã làm gì, đâu?

- Dạ, cháu xem TV Phim khoa học hay quá nên cháu mải xem, chẳng biết tới giờ ăn trða.

- Phim nãi vÒ cịi gừ mộ hÊp dÉn thạ? - VÒ hiỷn tđĩng quang hĩp Ự Khềng ngê mét sè ệéng vẺt còng cã khờ nẽng quang hĩp Tõ trđắc tắi giê chịu cụ tđẻng chử thùc vẺt mắi cã khờ nẽng nộy

- Thó vỡ quị nhử Chớc chớn bịc sỳ phời dộnh thêi gian xem phim khoa hảc mắi ệđĩc.

Sau ệã, thịm tỏ Sếlềccềc nãi vắi Luxia. - Tềi phịt hiỷn lộ ngđêi ệịng nghi răi TÊt nhiến, ệĨ kạt luẺn chÝnh xịc thừ chóng ta phời ệiỊu tra thếm.

* Cịc thịm tỏ Tuữi Hăng cã ệoịn ệđĩc lộ kĨ khờ nghi khềng? Vừ sao?

Trêi ẹm u, lỰi gẵn tèi, ệở thạ, bãng ệÌn cưn ệang háng VẺy mộ anh Giền vÉn ngăi bến mịy khẹu may quẵn ịo, lỰi cưn thỉa ệđĩc cờ

khuyạt nọa! Siếu quị hãa dỰi răi anh Giền ểi! TÊt cờ cịc thịm tỏ Tuữi Hăng ệÒu phịt hiỷn ra ệiÒu lÝ lêi nãi cựa vĩ anh Giền vộ ệÒu kạt luẺn Giền chÝnh lộ kĨ khờ nghi. Nhọng hiÓu biạt thùc tạ hộng ngộy, tđẻng rỪng nhá nhẳt, nhđng thùc lỰi cỉng thiạt thùc, ệóng khềng cịc bỰn?

Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho: Lế Hoộng Long, 6C, THCS Phong Chẹu, TX Phó Thả, Phó Thả; ậẫ ậục MỰnh, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thanh Bừnh, 6C, THCS Tẹn Bừnh, TX Tam ậiỷp, Ninh Bừnh;ậinh Thỡ HuyÒn Trang, 7A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Lế Hoộng Mai Anh, 8A6, TH Thùc hộnh Sội Gưn, Q.5, TP H Chí Minh.

Thám tử Sêlôccôc

19 Decimals

In the decimal system, the position of the period or decimal point determines the place value of the digits For example, the digits in the number 6,556.154 have the following place values

Some examples:

Sometimes decimals are expressed as the product of a number with only one digit to the left of the decimal point and a power of 10 This is called

scientific notation For example, 154 can be written as 1.54 102and 0.0154 can be written as 1.54 10 When a number is expressed in scientific notation, the exponent of the 10 indicates the number of places that the decimal point is to

be moved in the number that is to be multiplied by a power of 10 in order to obtain the product The decimal point is moved to the right if the exponent is positive and to the left if the exponent is negative For example, 6.056 104 is equal to 60,560 and 1.54 10 is equal to 0.000154

6 Maths terms

decimals số thập phân (khái niệm)

decimal sè thËp ph©n

decimal system hƯ thËp ph©n, hệ số 10

position vị trí

decimal point dÊu thẺp phẹn (dÊu chÊm (.), tđểng ệđểng dÊu phÈy (,) cịch viạt cựa Viỷt Nam)

detemines xỏc nh

place value giá trị theo vị trí

digit ch÷ sè

expressed as ệđĩc biĨu diƠn nh l

left bên trái

scientific notation dạng khoa häc, kÝ hiƯu khoa häc

standard form d¹ng khoa häc

exponent lòy thõa

moved ệđĩc di chuyÓn

order thø tù, trËt tù

positive dđểng

negative ©m

Nhiỷm vơ cựa bỰn.BỰn cẵn dỡch ệoỰn trến theo cịc tõ vùng ệđĩc gĩi ý sịt nghỵa bội Bội dỡch tèt gỏi sắm sỳ cã phẵn thđẻng Chê bội dỡch cựa bỰn

1 154

0.154

10 100 1,000 1,000

0 154

0.0154

10 100 1,000 10,000 10,000 556

5.56

10 100 100

DECIMALS Vị Kim Thđy

(Tiạp theo kừ trđắc)

ARITHMETIC (TTT2 sè 143) Ph©n sè

Trong phẹn sè , n lộ tỏ sè vộ d lộ mÉu sè MÉu sè cựa mét phẹn sè khềng bao giê bỪng 0, vừ phĐp chia cho lộ khềng cã nghỵa Hai phẹn sè gải lộ tđểng ệđểng nạu chóng biĨu diƠn cỉng mét sè VÝ dơ vộ lộ tđểng ệđểng vừ chóng cỉng biĨu diƠn sè Trong mẫi trđêng hĩp phẹn sè ệđĩc rót gản vÒ dỰng tèi giờn bỪng cịch chia cờ tỏ sè vộ mÉu sè cho đắc chung lắn nhÊt cựa chóng (CLN)

ƯCLN 18 ¦CLN cđa vµ 27 lµ Céng vµ trõ ph©n sè

Hai phẹn sè cã cỉng mÉu sè cã thÓ céng hoẳc trõ bỪng cịch thùc hiỷn phĐp tÝnh ệưi hái vắi tỏ sè vộ giọ nguyến mÉu sè VÝ dô, vộ Nạu hai phẹn sè khềng cỉng mÉu thừ ta chóng thộnh phẹn sè tđểng ệđểng vắi cỉng mÉu sè VÝ dơ, ệĨ céng vộ , ta nhẹn tỏ sè vộ mÉu sè cựa

(Xem tiÕp trang 15)

5 5

7 7

3 4

5 5

20

Kì 17

H·y thay c¸c chữ chữ số Các chữ khác biểu diễn số khác Lời giải cần có lËp luËn l«gic

Trđểng Cềng Thộnh(Sđu tẵm)

Các bạn sau giải cờ kì 68: Trần Thế Trung, 7A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,

NghÖ An; Trịnh Hoàng Anh, 6D, THCS Xuân Diệu, Thị trấn NghÌn, Can Léc, Hµ TÜnh;

Hoộng ậẳng Viỷt Anh, 7A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh; ậẫ ậục MỰnh, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun ThuẺn Hđng, 8C8, THCS Chu Vẽn An, Ngề Qun, Hời Phưng.

Lª tó

Đen trước tìm cách thắng

LÊ THANH TÚ

(TTT2 sè 143)

hộ vẽn Vò Hoộng Lẹm, héi viến Héi nhộ vẽn Hời Phưng, vèn lộ mét thẵy giịo dỰy khoa Toịn ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi nẽm 1958, ềng ệở dỰy hảc tỰi Bớc Giang, Hời Phưng vộ AlgĐrie Tõ nẽm 1981 ệạn nay, 45 cuèn sịch cựa ềng ệở ệđĩc xuÊt bờn. Trong ệã, 28 cuèn lộ cịc sịch tham khờo mền toịn dộnh cho bẺc tõ tiÓu hảc ệạn THPT. 17 cuèn sịch cưn lỰi lộ nhọng truyỷn ngớn vộ bót ký Trong bót phịp cựa ềng cã sù hưa quyỷn giọa tđ khoa hảc chÝnh xịc vộ tđ nghỷ thuẺt tinh tạ

21 Nhận xét Bài toán khó, khơng có võ sĩ giải tốt Do khơng có võ sĩ đăng quang trận đấu

Trđắc hạt xin phịt biÓu vộ khềng chụng minh mét bữ ệÒ quen thuéc

Bữ ệÒ Nạu cịc ệđêng trưn (O; R) vộ (O’; R’) tiạp xóc ngoội vắi vộ TT’ lộ tiạp tuyạn chung ngoội cựa chóng thừ

Trở lại giải tốn thách đấu

Trong lêi giời nộy, kÝ hiỷu d(X, YZ) chử khoờng cịch tõ ệiÓm X tắi ệđêng thỬng YZ

Gải T lộ tiạp ệiÓm cựa (O) vộ (J); F lộ giao ệiÓm cựa BC vộ tiạp tuyạn cựa (J) kĨ tõ E (khịc EC); G lộ giao ệiÓm cựa TF vộ AD; M, N theo thụ tù lộ tiạp ệiÓm cựa (J) vộ EF, BC; P lộ giao ệiÓm thụ hai cựa TM vộ (O); Q, S theo thụ tù lộ tiạp ệiÓm cựa (O) vộ AD, BC; K, L theo thụ tù lộ tiạp ệiÓm cựa CE vộ (O), (J); R, r lộ bịn kÝnh cựa (O) vộ bịn kÝnh cựa cịc ệđêng trưn (I), (J); CL CN x

Ta thÊy EF // CD // OQ // JN vµ GP // EF VËy GP // JN GP trùng JN (1) Mà T, N, Q thẳng hàng nên

Kết hợp với suy

d(T, PG) d(T, JN) d(T, EF) (2)

Tõ (1) vµ (2), chó ý r»ng T, GP, JN cïng thc nửa mặt phẳng bờ EF, suy GP JN trïng

Điều có nghĩa GN // QS

Chú ý OPGQ hình vng, theo bổ đề trên, ta có

VËy R 4r

Từ đó, ý JNFM hình vng, suy EC EK KL LC EQ SN LC

SF SN LC 2SN FN LC 2R r x

KÕt hỵp víi

theo định lí Pythagoras, suy

VËy 6AD 6BC 6(BN NC)

ngun minh hµ

6 2R R 7.2R 7AB

2

2

7R x 2R 1R x x 1R.

4

o

EFC 90 , EF 2R, FC R x,

1

2R R x R x

4

R OP QG SN Rr OP OQ R 1,

JM JM r

d(T, PG) TP OP OQ TQ d(T, JN) d(T, EF) TM JM JN TN d(T, EF) TT’ RR’

Ngđêi thịch ệÊu:Vi Quèc Dòng, ậỰi hảc Thịi Nguyến

Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC Gải O, I thụ tù lộ tẹm cịc ệđêng trưn ngoỰi tiạp vộ néi tiạp tam giịc Gải M, N lẵn lđĩt lộ tẹm cịc ệđêng trưn bộng tiạp gãc A, gãc B cựa tam giịc ABC

Gải K lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc IMN, Q lộ ệiÓm ệèi xụng vắi K qua ệđêng thỬng MN Chụng minh rỪng O lộ trung ệiÓm IQ XuÊt xụ: Sịng tịc

Thêi hỰn: Trđắc ngộy 08.4.2015 theo dÊu bđu ệiỷn

KẾT QUẢ TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI BA (TTT2 sè 143) TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI LĂM

ậảc lỰi cho ệóng:Tến vâ sỵ ệẽng quang trẺn ệÊu thụ mét trẽm hai mđểi hai (TTT2 sè 142) lộ NguyÔn Khớc TrÝ

22

ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG

VÀ ĐIỂM LƠMOAN CỦA TAM GIAC

ThS.Lê Thị Ngọc Thúy

(Khoa T nhiờn, Cao đẳng Sð phạm Nghệ An)

1 ậđêng ệèi trung

ậỡnh nghỵa Giờ sỏ AM lộ ệđêng trung tuyạn cựa tam giịc ABC vộ E lộ ệiÓm trến cỰnh BC cho Khi ệã ệđêng thỬng AE ệđĩc gải lộ ệđêng ệèi trung ụng vắi ệửnh A cựa tam giịc ABC Gải AD lộ ệđêng phẹn giịc cựa gãc A Ta thÊy AE, AM ệèi xụng qua AD hay AD lộ tia phẹn giịc cựa gãc EAM

Râ rộng mét tam giịc cã ba ệđêng ệèi trung ụng vắi ba ệửnh cựa nã

KỴ EH AB, EK AC, DI AB, DJ AC, MP AB, MQ AC (h×nh vÏ) Ta cã mét sè kÕt qu¶ sau: KÕt qu¶

Chøng minh Ta thÊy EH // DI nªn

Tđểng tù

Chó ý r»ng DI DJ vµ ta suy

Mẳt khịc, vừ AEH AMQ nến Tđểng tù

Chó ý r»ng SAMB SAMC, suy

Tõ (1) vµ (2) suy

Chó ý.Ta cịng chụng minh ệđĩc nạu ệiÓm E nỪm trến cỰnh BC cho thừ AE lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC

KÕt qu¶

Chó ý.Ta cịng chụng minh ệđĩc nạu ệiÓm E nỪm trến cỰnh BC cho vắi H, K lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ E xuèng AB vộ AC thừ AE lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC

Kạt quờ Ba ệđêng ệèi trung cựa tam giịc ABC ệăng quy tỰi mét ệiÓm

Chụng minh Giờ sỏ hai ệđêng ệèi trung AE vộ BF cựa tam giịc ABC cớt tỰi M Gải H, I, K lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ M xuèng BC, CA, AB Qua M dùng cịc ệđêng thỬng song song vắi BC, CA vộ AB cớt BC, CA, AB tỰi A1, A2, B1, B2, C1, C2

Theo kÕt qu¶ 2, ta cã

Suy nến CM lộ ệđêng ệèi trung cựa CA1B2

Do ệã CM còng lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC ậiÓm Lểmoan

ậỡnh nghỵa Giao ệiÓm ba ệđêng ệèi trung cựa tam giịc ABC gải lộ ệiÓm Lểmoan cựa tam giịc ệã Kạt quờ ậiÓm M lộ ệiÓm Lểmoan cựa ABC

1 A C MH BC

MI AC B C

2

1

AC BC

MK AB MK, BA

MI AB AC MH BA BC EH AB , EK AC EH AB

EK AC 2 EB AB EC AC 2 BE AB CE AC AMC AMB 2.S

EH MQ MQ.AC AB. .AB AB (2) EK MP MP.AB AC 2.S AC AC

EK MP AE AM

EH MQ AE AM BE AB EH. (1)

CE AC EK

23 nạu vộ chử nạu , ệã H, I, K lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ M xuèng cỰnh BC, CA, AB

Bài toán Tìm điểm M tam giác ABC cho x2 y2 z2 đạt giá trị nhỏ nhất, x, y, z khoảng cách từ M xuống cạnh BC, CA AB

Lời giải Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB S diện tích tam giác ABC

Tõ S SMBC SMCA SMAB 2S ax by cz Mµ (ax by cz)2 (a2 b2 c2)(x2 y2 z2) (theo BĐT Bunhiacôpxki) nên

Đẳng thức xảy xa hay M điểm Lơmoan cđa ABC

VËy GTNN cđa x2 y2 z2lµ

Bài toán 2.Trong hình vẽ kết 3, chøng minh r»ng:

a) B1A2 B2C1 C2A1

b) ệiÓm A1, B1, C1, A2, B2, C2 nỪm trến cỉng mét ệđêng trưn

c) ậđêng trưn ngoỰi tiạp lơc giịc A1A2B1B2C1C2 cã tẹm lộ trung ệiĨm cựa OM, ệã O lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC

Lêi giời a) Gải T lộ giao ệiÓm cựa AM vắi C1B2; T1vộ T2lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ từ T xuống AB v AC

Vì AC1MB2 hình bình hành nên TT1.AC1 TT2.AB2

Do ú

Ta ệđĩc AB2C1 ABC nến Tđểng tù

Mà tứ giác A2B1B2C1 hình thang nên hình thang cân Từ A2B1 B2C1

Tđểng tù A2B1 C2A1nến B1A2 B2C1 C2A1 b) Vừ tụ giịc A2B1B2C1lộ hừnh thang cẹn nến lộ tụ giịc néi tiạp

LẺp luẺn tiạp, ta suy A1, B1, C1, A2, B2, C2nỪm trến cỉng mét ệđêng trưn

c) Vừ nến B2C1 song song vắi tiạp tuyạn kĨ tỰi A cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC

Tđểng tù A2B1 song song vắi tiạp tuyạn kĨ tỰi C cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC

Vừ tẹm ệđêng trưn ệi qua sịu ệiÓm A1, B1, C1, A2, B2, C2 nỪm trến giao ệiÓm cịc ệđêng trung trùc cựa B2C1vộ A2B1nến tẹm ệđêng trưn ệi qua sịu ệiÓm A1, B1, C1, A2, B2, C2lộ trung ệiÓm cựa MO Bội toịn 3.Chụng minh rỪng:

a)

b) A1A2: B1B2: C1C2 a3: b3: c3

Lêi giời a) Gải ha, hb, hc lộ cịc ệđêng cao cựa ABC hỰ tõ cịc ệửnh A, B, C

Theo định lí Talét, ta có

Tđểng tù Suy

b) Vì nên

Mà nªn

Chụng minh tđểng tù ta suy A1A2: B1B2: C1C2 a3 : b3 : c3 Bội tẺp

Bội 1.Cho ABC Mét ệđêng trưn tỉy ý ệi qua B, C cớt hai cỰnh AB vộ AC tỰi D vộ E Chụng minh trung tuyạn AN cựa ADE lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC Bội Cho ABC Tiạp tuyạn tỰi B vộ C cựa ệđêng trưn néi tiạp ABC cớt tỰi P Chụng minh AP lộ ệđêng ệèi trung cựa ABC

1 2

3

A A B B: 1.

a b

a b x y 2

3

A A B B: x : y x b 2aS 2bS y a

a b

1 2

3

A A x ,B B y

2aS 2bS

a b

1 2

A A B B C C ax by cz 2S 1.

a b c 2S 2S

1 2

B B by;C C cz.

b 2S c 2S

1

a a

A A x ax ax

a h ah 2S

1 2 A A B B C C 1.

a b c

2

AB C ABC

1 2 1

CB A CBA AB C CB A

AB C ABC

2

1

AB TT MK AB AC TT MI AC

2 4S2 a b c

x y z a b c

2 2

2 4S2 x y z

24

SHORT ANSWER PROBLEMS

21 In the diagram below, ABCD is a square, E is a point on AD and F a point on AB such that DE 2AE and AF 2BF What is the ratio of the area of triangle CEF to that of square ABCD?

22.Consider the following pattern:

Find Y199

23.The first four digits of an eight-digit perfect square are 2012 Find its square root

24.Peter arranges poker cards on the table as shown in Figure Then he rotates one of them 180o Now the five cards are as shown in Figure Which card, A, B, C, D or E, has been rotated?

25.When a two-digit number is divided by the sum of its digits, what is the largest possible remainder?

9th International Mathematics and Science Olympiad (IMSO) for Primary School 2012

City Montessori Inter College,

RDSO Campus, Manak Nagar, Lucknow, India 27 Oct - Nov 2012

Vò Đô Quan(Su tầm giới thiệu)

25 Bµi 25NS.Ta cã

4x4 8x3 36x2 3y2 6x2y2 4x 19 (2x2 1)[2(x 1)2 3(7 y2)]

Tõ ệã phđểng trừnh cã nghiỷm nguyến (x, y) lộ (2, 1); (2, 1); ( 4, 1), ( 4, 1)

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: NguyÔn Thỡ Thờo Vy, 8A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An;NguyÔn Hđểng Mai, 8A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh; NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; Trẵn Nhđ Qnh, Ngun Thỡ Hoộng Cóc, 8D, THCS Nhọ Bị Sủ, Thỡ trÊn Bót Sển, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;

Nguyễn Thị Bích Hằng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

Bài 26NS.Vì (x 1)2 4x nên

Mµ x y x y

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến: Ngun Thờo Chi,Trẵn Thỡ Thu Hun, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; ậẫ Thỡ Thu Phđểng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh;NguyÔn Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong,

Bắc Ninh;Nguyễn Thị Thảo Vy, 8A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghÖ An

Bài 27NS Do sơ xuất đề in thiếu: K trung điểm CD, thành thật xin lỗi bạn đọc

Gải M’, N’ lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa BC, BD Ta có MKNB l hnh bnh hnh nn

Đặt

Ta có

Kết hợp với MMK KNN

NhẺn xĐt Chử cã bỰn ậẫ Thỡ Thu Phđểng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc cã lêi giời ệóng cho bội toịn trến

Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: ậẫ Thỡ Thu Phđểng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;ậinh Thỡ Hăng Nhung, 9A1, THCS Lế Danh Phđểng, Hđng Hộ, Thịi Bừnh; NguyÔn Thỡ BÝch HỪng, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Thỡ Thờo Vy, 8A, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa

Ngun Ngäc H©n o

o o

MKN MKN (MKM NKN)

KND (NKN NNK) KND (180 KNN) BNN (BNK KND) 180 90

’ ’ ’ ’

’ ’ ’ ’ ’

’ ’ ’

MMK NNK’ ’

MM NK MK NN’’ ’’

MM CM cot BCcot BC MK’’ BN’ ’ BD BDtan

o

MCB MAB CAB 90

BC

NK MB 2 BC .

BD

NN ND.tan tan BD.tan

’ ’ ’ ’

NDB NAB

MMK NNK.’ ’

2

1 x x x 3 x ; x y xy (4 y)y 4 (y 2)

3 y y x 3(y 1)

2 2 y x

3 x x

A ( )

6 x x 3 x 1 x.

x x x x x x

Bội 1NS.Từm cịc nghiỷm nguyến dđểng cựa phđểng trừnh

lđu lý tđẻng(GV THCS Vẽn Lang, TP Viỷt Trừ, Phó Thả)

Bội 2NS.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn bc 8ac 27ab abc Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục: P a2 b2 c2 729

tạ minh hiếu(GV THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

Bội 3NS Cho tam giịc nhản ABC néi tiạp ệđêng trưn (O) Vỳ ệđêng kÝnh AD cựa ệđêng trưn ậđêng thỬng qua D song song vắi AC cớt AB tỰi M, ệđêng thỬng qua D song song vắi AB cớt AC tỰi N Gải K lộ trung ệiÓm cựa BC, I lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc AMN Chụng minh rỪng AI // DK

nguyễn đức (TP Hồ Chí Minh)

x 2y y 2x 2xy

26 Viỷc giời bội toịn bỪng nhiÒu cịch lộ mét nhọng phđểng phịp hảc tẺp hiỷu quờ Ta hởy cỉng giời bội toịn sau

Bài tốn.Cho hình vng ABCD Trên cạnh CD lấy điểm M cho CM 2DM AM cắt BD E Gọi N trung điểm BC Chứng minh AM EN Lời giải.Ta chứng minh tứ giác ABNE nội tiếp Mà ABN 90onên AEN 90o hay AM EN Cách 1.Đặt AB 6a Khi CM 4a, DM 2a, NB NC 3a Theo định lí Pytago ta có

Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho BK DM 2a Suy NK 5a

Ta có ABK ADM (c.g.c) AK AM BAK DAM Do ú KAM BAD 90o

Mặt khác, ta cã NAK NAM (c.c.c)

NAK NAM

Do NAM 45o

Mà NBD 45onên NAM NBD Vậy tứ gi¸c ABNE néi tiÕp

Cịch 2.Gải O lộ tẹm hừnh vuềng Ta tÝnh ệđĩc

Suy AOE ABN (c.g.c)

AEO ANB

Do tứ giác ABNE nội tiếp

Cịch 3.Gải F lộ giao ệiÓm cựa AN vắi BD ịp dông ệỡnh lÝ Pytago vộ ệỡnh lÝ TalĐt, ta tÝnh ệđĩc BD, AN, DN, BF, AF, NF

Tõ ệã tÝnh ệđĩc EF vộ suy Suy AFE BFN (c.g.c)

FAE FBN Do tứ giác ABNE nội tiếp Cách 4.Dựng EI BC

Vì ED EO EI // ON nên IC IN Do ENC cân E ENC ECN Mặt khác, ta có EBC EBA (c.g.c)

ECB EAB Do ENC EAB Vậy tứ giác ABNE nội tiếp

Chó ý Từ cách 4, ENC cân E, ta có thĨ chøng minh tiÕp nhð sau

C¸ch 5.Ta suy

ENI AMD Do ệã tụ giịc EMCN néi tiạp Mộ MCN 90onến MEN 90ohay AM EN Cịch 6.Ta tÝnh ệđĩc EN, EA vộ AN

Suy EN2 EA2 AN2 nªn AEN 90o hay AM EN

EI AD IN DM

AF BF FE FN AO AB

OE BN

1 1

DE DB DO AO OE OA

4 2

2

MN CN CM 5a

GIẢI BÀI TỐN BẰNG NHIỀU CÁCH

Phan Đình ánh

27 ó khng phi lộ chiạc lị trĨ nhÊt trến cẹy bộng mứ Nã nhó lến tõ ệẵu xuẹn nhđ bao anh chỡ em khịc Tõ hềm trêi chuyÓn sang ệềng ệạn nay, nã thÊy rÊt nhiÒu anh chỡ em cựa mừnh ệở chuyÓn mộu, ban ệẵu lộ ệá, răi sau lộ mộu huyạt dô sÉm Chử nhọng chiạc lị cựa cẹy ệen bến cỰnh lộ vÉn cụ xanh, xanh y nhđ hăi mỉa hỰ vẺy Chiạc lị bộng thđêng nhừn lị ệen vộ ao đắc mừnh còng ệđĩc xanh biạc nhđ thạ

Khi nhọng cển giã lỰnh trộn vÒ, chiạc lị bộng thÊy anh chỡ em cựa mừnh cụ run rÈy răi rông dẵn, rông dẵn Cho ệạn mét hềm, trến cẹy mứ chử cưn nhÊt mét mừnh nã Nhừn sang bến cỰnh, thÊy lị ệen vÉn ẻ yến trến cộnh, chiạc lị bộng lỰi ao đắc mừnh cịng ệự sục mỰnh ệĨ khềng bỡ rơng Răi nã thẵm thi ệua vắi lị ệen Nã sỳ cè hạt sục ệĨ khềng bỡ rơng trđắc lị ệen Nã chẽm chử hót nhùa tõ cẹy mứ khề cỪn, cẵn mÉn hót hểi Èm

tõ nhọng giảt sđểng ệếm hiạm hoi Nã lộm tÊt cờ chử ệÓ cè gớng ệđĩc sèng trến cộnh lẹu nhđ cịc bỰn ệen

Mét hềm, hừnh nhđ ệở cuèi ệềng, trêi buèt giị, giã bÊc thữi ộo ộo Chiạc lị bộng cờm thÊy mừnh ệở kiỷt sục Nã ệở chuyÓn sang mộu ệá nẹu Cuèng nã hừnh nhđ khề lớm răi, chỬng cưn mÊy sục bịm vộo cộnh nọa Cã lỳ chử mét ruăi ệẺu vộo còng ệự lộm nã rểi Chiạc lị bộng buăn bở nghỵ ệạn giẹy lừa cộnh Chĩt nã nhừn sang cẹy răi hai chiạc, ba chiạc VẺy lộ ệở cã nhọng chiạc lị ệen rểi trđắc nã! VẺy lộ nã ệở khềng thua lị ệen! VẺy lộ lưng khịt khao ệđĩc sèng cựa nã ệở ệđĩc ệÒn ệịp! Lị bộng mửm cđêi răi vui vĨ bay theo lộn giã cỉng mÊy chiạc lị ệen

NguyÔn Văn Linh

(8A, THCS Quang Trung, TP Thanh Hóa, Thanh Hãa)

Chieác

28

Điều lệ thi đăng TTT2 số 140, 144 Câu hỏi đăng số tạp chí năm 2015

Câu 7.Bạn hÃy liệt kê tôn giáo quốc gia ASEAN Câu 8.Bạn hÃy cho biết hồ lớn Đông Nam á? Hồ thuộc quốc gia có diện tích ki l« mÐt vu«ng?

Cẹu 9.BỰn hởy cho biạt ệửnh nói nộo cao nhÊt ậềng Nam ị? Nói nộy thuéc quèc gia nộo vộ cao bao nhiếu mĐt so vắi mùc nđắc biĨn?

BTC

CÂU HỎI KÌ 3

C©u Khi gia nhËp ASEAN, ViƯt Nam trở thành thành viên thứ bảy hiệp hội

Câu 2.Tên thủ đô 10 quốc gia ASEAN là: Ban-đa Xe-ri Be-ga-oan (tên tiếng Anh Bandar Seri Begawan) Bru-nây (Brunei), Phnôm Pênh (Phnom Penh) Campuchia (Cambodia), Gia-các-ta (Jakarta) In-đô-nê-xi-a (Indonesia), Viêng Chăn (Vientiane) Lào (Laos), Ku-a-la Lăm-pơ (Kuala Lumpur) Putrajaya (thủ hành chính) Ma-lai-xi-a (Malaysia), Yangon Nây-pi-đơ (Naypyidaw) (thủ hành chính) My-an-ma (Myanmar), Ma-ni-la (Manila) Phi-lip-pin (Philippines), Singapore City Xin-ga-po (Singapore), Băng Cốc (Bangkok) Thái Lan (Thailand), Hà Nội (Hanoi) Việt Nam (Vietnam)

Câu Diện tích 10 quốc gia ASEAN, theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, đơn vị ki lô mét vuông: 707,1 (Singapore), 5765 (Brunei), 181035 (Cambodia), 236800 (Laos), 300000 (Philippines),

329847 (Malaysia), 331690 (Vietnam), 513115 (Thailand), 676578 (Myanmar), 1904569 (Indonesia)

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn Minh TrÝ, 6A2, Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;

Lế ậục Thịi, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;Ngun ậẳng Sển, 9A, THCS Ngun Trởi, Nam Sịch, Hời Dđểng; Ngun Vị Hộ, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

BTC

29

Vui cười

Đi học về, trai hăm hở khoe:

- Sáng kiểm tra học kì, con khơng nhìn bạn, mẹ ạ. - Thế chứ! Kiểm tra mơn gì vậy con?

- Dạ, mơn thể dục. - Trời!!!

Chị kiểm tra em:

- Theo em câu “Nước đến chân mới nhảy” ý nói gì?

Em mải nghĩ đến trị chơi, giật đáp:

- Dạ câu chê trách những người không chịu nghe dự báo thời tiết ạ. Chị: - Hả???

Tổ trưởng hỏi tổ:

- Tổ có nhiều bạn hay ngủ gật. Bạn có sáng kiến để không bao giờ phải nghe thấy từ “ngủ gật”nữa?

Tí nhanh nhảu:

- Dễ cực! Chỉ cần dùng từ khác là xong.

Caùc bạn nhao nhao:

- Cậu nói chẳng hiểu cả.

- Có mà khó hiểu? Thay từ ngủ gật bằng từ khác, ví dụ “mỉm cười” chẳng hạn Khi đó, hay “ngủ gật” bị nói hay “mỉm cười” Cả tổ cười bị.

VŨ HOÀNG NAM

30 Năm 25.Bắt đầu thời kì đấu tranh chống ách hộ nhà Đơng Hán

Nẽm 905 Khóc Thõa Dơ khẻi nghỵa dùng qun tù chự cho ệÊt nđắc

Năm 1005.Lê Hoàn

Nm 1075.Nc ta m khoa thi ệẵu tiến, Lế Vẽn Thỡnh ệẫ ệẵu kừ nộy

Lý Thđêng Kiỷt dứp quẹn Chiếm Thộnh ẻ biến giắi

Nẽm 1195.TriÒu ệừnh nhộ Lý tữ chục thi Tam giịo chản ngđêi lộm quan

Năm 1255 Có chức quan coi sóc việc đê điều (Chánh phú s H ờ)

Năm 1285 Hội nghị Diên Hồng chuẩn bị chống quân Nguyên Mông lần

Quẹn Trẵn rót vỊ Thiến Trđêng (nay lộ Nam ậỡnh) Trẵn Hđng ậỰo nãi vắi vua: Bỷ hỰ muèn hộng hởy chĐm ệẵu tềi ệi ệở

Trẵn Bừnh Trảng nãi vắi giẳc bỡ dô dẫ: Ta thộ lộm quũ nđắc Nam chụ khềng thÌm lộm vđểng ệÊt Bớc

Chiạn thớng Tẹy Kạt, Hộm Tỏ, Chđểng Dđểng 9.6.1285 giời phãng Thẽng Long, ệỰi thớng quẹn Nguyến Mềng lẵn Thoịt Hoan chui èng ệăng bá chỰy vÒ biến giắi 24.6.1285 Toa ậề bỡ chĐm ệẵu ẻ Thiến Trđêng - Thiến MỰc (Nam ậỡnh) 9.7.1285 vua vÒ lỰi Thẽng Long

Năm 1425 Đinh Lễ huy quân Lam Sơn hạ thành Diễn Châu, vây thành Tây Đô

Năm 1455.Phan Phu Tiên bắt đầu soạn Đại Việt sử kí giai đoạn từ Trần Thái Tơng đến hết thời kỡ thuc Minh

Năm 1505.Vua Lê Uy Mục lên ng«i

Nẽm 1515.Phỉng Chđểng khẻi nghỵa ẻ Tam ậờo

Năm 1525 Đạo Thiên Chúa bắt đầu truyền bá ë ViÖt Nam

Nẽm 1615.Chọ quèc ngọ hừnh thộnh cịc giịo sỵ Bă ậộo Nha vắi sù gióp ệì cựa ngđêi Viỷt vỉng Bỉi Chu, Nam ậỡnh, Phịt Dim, Ninh

Bình Nghệ An sáng tạo

Nẽm 1625 Quẹn Trỡnh ệịnh Cao BỪng, bớt ệđĩc MỰc KÝnh Cung MỰc KÝnh Khoan hộng quẹn Trỡnh

Năm 1635 Chúa Nguyễn Phúc Lan kế vị Nguyễn Phóc Nguyªn

Năm 1655.Bắt đầu chiến Lê - Nguyễn Quân Nguyễn Trịnh tranh giành đất vùng Nam Ngh An

Năm 1765 Chúa Nguyễn Phúc Thuần kế vị Nguyễn Phúc Khoát

Nm 1775 Nn Huế Quảng Nam Quân Trịnh chiếm Phú Xuân Nguyễn Phỳc Thun chy vo Qung Nam

Năm 1785 Nguyễn Huệ thắng quân Xiêm trận Rạch Gầm - Xoài Mút

Nẽm 1825 Phịp trừnh quèc thđ vộ muèn thềng thđểng vắi Viỷt Nam TriỊu ệừnh Ngun tõ chèi

Năm 1835.Năm sinh nhà thơ Nguyễn Khuyến, sinh ýYên, Nam Định

Nm 1855 Cao B Qut lnh tụ khẻi nghỵa Mủ Lđểng hy sinh

Năm 1865 Triều đình tổ chức thi Võ Từ năm lần thi Hội Võ Đình Võ

Vâ Duy Dđểng ẻ Nam Kú khẻi nghỵa chèng Phịp vộ triÒu nh

Năm 1875.Nguyễn Hữu Huân hi sinh

Nm 1885.Sù biạn Kinh thộnh Huạ Bớt ệẵu phong trộo Cẵn Vđểng ậăng Khịnh nhẺp trđêng thi Hộ Néi vộ Nam ậỡnh thi tỰi Nam ậỡnh gải lộ trđêng Hộ Nam Trđêng nộy tăn tỰi ệạn khãa thi 1915

Khởi nghĩa Hóc Mơn Quản Hớn lãnh đạo Pháp đánh chiếm Lạng Sơn

Nẽm 1895 Phịp phị bá thộnh Nam ậỡnh, thộnh lắn thụ sau Huạ, Hộ Néi, chử giọ lỰi cét cê vộ chia thộnh thộnh 10 40 ệđêng Nẽm sinh nhộ thể ịNam Trẵn TuÊn Khời, quế Nam ậỡnh

NHỮNG NĂM LẺ 5

31

Hái: Khi gưi bµi tham gia mục Giải toán qua th em phải dán phiếu đăng kí dự thi vào đâu ạ?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Phiếu đăng kí dự thi Cắt dán lại

Vộo gãc phong bừ Thạ lộ xong ệẽng kÝ Bớt ệẵu ệđĩc dù thi.

Hỏi: Anh cho em hỏi TTT2 có mục thơ hay truyện ngắn chða ạ?

NguyÔn Thu Lan

(6C, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh)

Đáp:

Thửnh thoờng còng cã thể ậềi cã ệẽng truyỷn Nhđng vừ lộ bịo toịn Nến khềng cã chẫ nhiÒu Thđêng chử gản Ýt cẹu Hĩp tđ dẹn toịn.

Hỏi: Nếu chuyên mục Giải toán qua thð có những liên quan tới kiến thức em chða học đến em có phải làm khơng ạ?

Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Dần dần em sÏ giái lªn

ậảc thếm ệĨ hiĨu nhiỊu hển mẫi ngộy Răi em sỳ giời ệđĩc bội

Tù hảc sịch bịo ệđêng ngoội nến ệi.

32 Bài 1(145) Tìm số d chia 499

cho 21

lê bá hoàng

(Phòng Giáo dục - Đào tạo Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh)

Bài 2(145).Cho tam giác ABC vuông cân A Lấy điểm M bên tam giác cho

Chứng minh BM BA

nguyễn khánh nguyên

(GV THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)

o MBA MCB 30

Bội 3(145).Giời hỷ phđểng trừnh

l¹i quang thä

(Phưng Giịo dôc - ậộo tỰo Tam Dđểng, Vỵnh Phóc)

Bội 4(145) Cho a, b lộ cịc số thực dng Chng minh rng

ngô văn thái

(GV THPT Phạm Quang Thẩm, Vũ Th, Thái Bình)

Bài 5(145) Cho A tập hợp gồm phần tử số nguyên Kí hiệu S {x y| x, y A} BiÕt r»ng S cã phÇn tử Chứng minh tổng phần tử A chia hÕt cho

trỡnh hoội dđểng

(GV THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội)

Bi 6(145).Cho tam giịc ABC Trến cỰnh AB lÊy hai ệiÓm D, E cho AD BE vộ D nỪm giọa A, E ậđêng thỬng qua E song song vắi AC cớt CB vộ CD tđểng ụng tỰi M, N Chụng minh rng

thi nht phng

(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)

2 ME CD MN CN

5

3

2

a b a b. a b

4 3 2

x y

x y x y x y

1(145).Find the remainder when 499is divided by 21

2(145) Let ABC be a right isosceles triangle with the right angle at A Let M be a point inside the triangle such that MBA MCB 30o Prove that BM BA

3(145).Solve the following simultaneous equations

4(145).Letaand bbe positive real numbers Prove that 5(145).LetAbe a set of integers Denote

S {x y| x, y A} Given that S has elements, prove that the sum of the elements of Ais divisible by

6(145) Given a triangle ABC Let D andE

be two points on ABsuch that AD BEand

D is between A and E The line passing throughEand parallel to ACintersects the linesCBandCDatMandN, respectively Prove that ME CD

MN CN

5

3

2 2

a b a b

a b

4 3 2

1

x y

x y x y x y