Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 142

Bµi viÕt nµy chóng t«i xin ®ða ra mét sè bµi to¸n hay cã liªn quan ®Õn ®ðêng cao trong tam gi¸c.. Bµi to¸n sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c.[r]

2 Trong chđểng trừnh hừnh hảc lắp hảc sinh ệở ệđĩc hảc vÒ cịc ệđêng cao tam giịc Bội viạt nộy chóng tềi xin ệđa mét sè bội toịn hay cã liến quan ệạn ệđêng cao tam giịc Bội toịn sỏ dông ệỡnh lÝ Ta-lĐt, hỷ quờ cựa ệỡnh lÝ Ta-lĐt, tÝnh chÊt ệđêng phẹn giịc cựa tam giịc, tam giịc ệăng dỰng

Bội toịn 1.Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H

Chøng minh r»ng a) AE.AC AF.AB;

b) AEF ABC;

c) AH.DH BH.EH CH.FH; d) EH tia phân giác

e) H lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc cựa tam giịc DEF;

f) KH.AD AK.HD, víi K lµ giao điểm AH EF Lời giải

a) Ta có AEB AFC (g.g) AE.AC AF.AB

b) Vì nên EAF BAC (c.g.c) c) Ta cã AEH BDH

EH.BH DH.AH (1) Tđểng tù DH.AH FH.CH (2)

Tõ (1) vµ (2) suy AH.DH BH.EH CH.FH

d) Tõ AEF ABC (3)

Tđểng tù (4)

Tõ (3) vµ (4), suy (5)

nến EH lộ tia phẹn giịc cựa e) Chụng minh tđểng tù phẵn d ta cã FH lộ tia phẹn giịc cựa cựa gãc Do ệã H lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc cựa DEF

f) Ta cã EH lộ ệđêng phẹn giịc vộ EA lộ ệđêng phẹn giịc ngoội tỰi ệửnh E cựa EKD nến

KH.AD AK.HD

2 Bài toán sử dụng công thức tính diện tích tam gi¸c

Bội toịn Cho tam giịc nhản ABC cã BC a, AC b, AB c vộ ệé dội ba ệđêng cao tđểng ụng lộ ha, hb, hc Gải khoờng cịch tõ O ệạn BC, CA, AB lẵn lđĩt lộ x, y, z

Chøng minh r»ng Lêi giải

Ta có

Từ (1) (2) suy

BOC ABC BOC

a ABC

2S 2S S

x : (3)

h a a S

ABC

ABC a a 2S

S a.h h (2)

2 a

BOC

BOC 2S

S ax x (1)

2 a

a b c

x y z 1.

h h h

HK AK HD AD

DFE

DEF FEH DEH

AEF DEC ABC DEC

AEF ABC EH AH DH BH AE AB

AF AC AE AB AF AC

DEF;

MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN đường cao tam giỏc

phạm đăng thuộc

3 Tđểng tù ta cã

Céng theo vÕ cđa (3), (4) vµ (5) ta cã

3 Bài tốn sử dụng định lí Py-ta-go

Bội toịn Cho tam giịc nhản ABC, ệđêng cao BK Chụng minh rỪng BC2 AB2 AC2 2AC.AK Lêi giời

áp dụng định lí Py-ta-go ta có

BC2 BK2 KC2 AB2 AK2 KC2 AB2 (KC2 AK2)

AB2 (KC AK)(KC AK) AB2 AC(AC AK AK) AB2 AC(AC 2AK) AB2 AC2 2AC.AK

4 Bội toịn sỏ dông tử sè lđĩng giịc cựa gãc nhản, cịc hỷ thục liến hỷ giọa cỰnh vộ gãc tam giịc vuềng

Bội toịn 4.Cho tam giịc nhản ABC Gải H lộ trùc tẹm, kĨ ệđêng cao AD cựa tam giịc ABC Chụng minh rỪng

Lêi gi¶i

Ta cã

Tõ (1) (2) suy (3)

Vì nên DBH DAC

BD.CD AD.DH (4) Tõ (3) vµ (4) suy

5 Bội toịn sỏ tÝnh chÊt ệđêng trung tuyạn tam giịc vuềng

Bội toịn 5.Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H Gải M, N, P, Q, R, I lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AB, AC, BC, AH, BH, CH Chụng minh rỪng ệiÓm D, E, F, M, N, P, Q, R vộ I cỉng nỪm trến mét ệđêng trưn (ệđêng trưn ầ-le) Lêi giời

Ta cã cịc tụ giịc MNIR, MQIP lộ cịc hừnh chọ nhẺt nến ệiÓm M, N, P, Q, R, I cỉng nỪm trến ệđêng trưn tẹm O lộ giao ệiÓm cựa MI, PQ vộ NR Suy MI PQ NR vộ OM ON OP OQ OR OI

Do

VẺy ệiÓm D, E, F, M, N, P, Q, R vộ I cỉng nỪm trến mét ệđêng trưn

Bµi tËp

Bội 1.Cho tam giịc ABC, cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H Gải M, N, P, Q theo thụ tù lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa D xuèng BA, BE, CF, CA Chụng minh rng

a) MN EF;

b) Các điểm M, N, P, Q thẳng hàng

Bi 2.Cho tam gic ABC cã cịc ệđêng cao BE, CF, biạt BC a TÝnh EF

o A 45 ,

1

OF OM OI MI; OD OP OQ PQ

2

1

OE ON OR NR;

2 AD AD tanB.tanC AD.DH HD BD DH AD DC CAD HBD AD tanB.tanC BD.CD AD AD

tanB (1); tanC (2)

BD CD

AD tanB.tanC

HD

BOC AOC AOB

a b c ABC ABC ABC

BOC AOC AOB ABC

ABC ABC

S S S

x y z

h h h S S S

S S S S 1.

S S

AOC AOB

b ABC c ABC

S S

y (4); z (5)

h S h S

4 NhẺn xĐt.ậẹy thùc chÊt lộ bội toịn từm tẺp giị trỡ cựa hộm sè f(x) |x2 3| |5 x2| Nhọng giị trỡ cựa a cho a nỪm ngoội tẺp giị trỡ nộy thừ phđểng trừnh nghiỷm Trong lêi giời ệở cho sai ẻ chẫ f(x) 0, nhđng khềng cã giị trỡ nộo cựa x ệÓ f(x) 0, tục lộ từm sai GTNN cựa f(x) ậa sè cịc bỰn từm GTNN cựa f(x) lộ 2, tõ ệã suy a thừ phđểng trừnh nghiỷm NhiÒu bỰn chử ý kiạn khềng ệăng ý vắi lêi giời ệở cho nhđng khềng chử chẫ sai mẳc dỉ ệđa ệđĩc lêi giời ệóng Cịc bỰn nến nhắ cã hai yếu cẵu cựa chuyến môc lộ: Sai ẻ ệẹu? Sỏa cho ệóng Lêi giời ệóng Ta cã

f(x) |x2 3| |5 x2| |x2 x2| f(x) vµ chØ x2 vµ x2cïng dÊu

Khi x2 x2 f(x) |2x2 8| nên đạt giá trị lớn tùy ý

VẺy phđểng trừnh nghiỷm vộ chử a hay a

Chú ý: Đặt x2 t Các bạn vẽ đồ thị hàm số f(t) để quan sát cách trực quan kết toán

Cịc bỰn ệđĩc nhẺn giời kừ nộy: ậẺu Anh Kiến, 8A,

THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Phan Trẵn Hđắng, 9A, THCS Quịch Xuẹn Kú, Hoộn Lởo, Bè TrỰch, Quờng Bừnh;Ngun Trung Dịng, 8A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc Ninh;Lế Ngảc Hoa, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

anh kÝnh lóP

2 x

3 x

5 x

Bài toán.Tìm giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức Lời giải.ĐKXĐ: x 0, y

Ta cã

VËy Amin 2015 x y

Các bạn có nhận xét lời giải trên, phải nhầm lẫn?

NguyÔn trọng thọ

(GV THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà TÜnh)

x y

A 2015 x y : tháa m·n

x

2

A ( x y) ( x 3) 2015 2015

A (x y xy) (x x 9) 2015 A 2x y xy x 2024

(TTT2 sè 139) CÓ CHĂNG ĐÃ NHẦM LẪN?

5

NguyÔn TuÊn Anh

(HS 10A1, THPT Phụ Dục, Quỳnh Phụ, Thái Bình)

(TTT2 số 140) Nhận xét.Quy luật hai kì dễ

Tất gửi cho đáp án Chỉ có bạn lập luận chặt chẽ quy luật hai

Quy luẺt Bội 1.Mẫi sè, kÓ tõ sè thụ hai bỪng sè ệụng liÒn trđắc nã céng vắi VẺy sè cưn thiạu cẵn ệiÒn vộo dởy 15 24 33 42 lộ 51

Bội 2.Cã nhiÒu quy luẺt, mẫi hừnh, sè ề vuềng ẻ gãc dđắi bến phời bỪng sè ẻ gãc trến bến trịi nhẹn vắi 9; hoẳc bỪng sè ẻ gãc dđắi bến trịi nhẹn vắi 3; hoẳc bỪng sè ẻ gãc trến bến phời chia cho Theo mét cịc quy luẺt ệã thừ sè cẵn ệiÒn lộ 63

Xin trao thđẻng cho cịc bỰn phịt hiỷn nhiỊu quy luẺt: Ngun Phđểng Thờo, NguyÔn Họu Trung Kiến, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; PhỰm Thỡ Phđểng Linh, 6E2, THCS Vỵnh Tờng, Vnh Tờng, Vnh Phúc; on

Hoàng Đức, 7A, THCS Phan Đình Phùng, Đông Hà, Quảng Trị; Nguyễn Duy Minh Hoàng, 7C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An

nguyễn Xuân Bình ẹIEN SO COỉN THIEU

6 Bài toán 1.Cho a, b Chøng minh r»ng

Chøng minh.HiĨn nhiªn ta cã

XÐt hiÖu

Suy ệpcm ậỬng thục xờy vộ chử a b Bội toịn tững quịt Vắi sè nguyến dđểng n vộ n sè thùc khềng ẹm a1, a2, , an, ta cã

Chøng minh.Ta chØ cÇn chøng minh

BĐT áp dụng BĐT AM - GM cho n số thc khụng õm

Suy đpcm

Đẳng thức xảy a1 a2 an Bài toán 2.Cho a, b Chứng minh Chứng minh.Ta cã

BậT nộy ệóng ịp dơng BậT AM - GM cho hai sè dđểng a vộ b

Đẳng thức xảy a b Mặt khác

BT ny ỳng áp dụng BĐT AM - GM cho hai số không õm a, b

Đẳng thức xảy chØ a b

Bội toịn tững quịt Vắi sè nguyến dđểng n vộ n sè thùc khềng ẹm a1, a2, , an, ta cã

Chøng minh.Ta cã

BĐT áp dụng BĐT AM - GM cho n số thực không âm a1 1, a2 1, , an

Đẳng thức xảy a1 a2 an Mặt khác

BĐT ta áp dụng BĐT AM - GM cộng theo vế hai kết lại:

Nhận xét.Từ BĐT AM - GM, tìm cách làm chặt hai tốn Các bạn tìm thêm cách khác để làm chặt BĐT biết

1 n n

n

1 n n

n

1 n n

a . a a a a a ;

a a a n a a a

1 . 1 1 .

a a a n a a a

n 1 2 n n 1 2 n

n 1 2 n n 1 2 n

1 n

n n

1 n n

(a 1)(a 1) (a 1) a a a (a 1)(a 1) (a 1) a a a

a . a a . 1. a a a a a a

1 n n 1

2 n

1 n

n n

a a a (a 1)(a 1) (a 1) 1 n

(a 1) (a 1) (a 1) n

(a 1)(a 1) (a 1)

1 n n 1

2 n

n n

a a a (a 1)(a 1) (a 1) 1 n

a a a

2 (a 1)(b 1) ab

(a 1)(b 1) ( ab 1) a b ab (a 1)(b 1) ab

a b (a 1)(b 1) 1 a b (a 1)(b 1)

2

(a 1) (b 1) (a 1)(b 1).

a b (a 1)(b 1) 1 ab.

1 2 n

a a , a a , , a a

1 n n 1 2 n

2 2

1 2 n

1 2 n n

1 n a a a a a a

n

1 ( a a ) ( a a ) ( a a ) 2n

a a a a a a a a a n

1 n n 1 2 n

2 2

1 2 n

n n

a a a a a a n

1 ( a a ) ( a a ) ( a a ) 2n

a a a

2 2

1( a b) 1( a b) 1( a b) 0.

2 4

2 a b ab 1( a b)

2

2

ab ( a b) ab

4

2

a b ab 1( a b) ab.

2

LÀM CHẶT HƠN

bất đẳng thức AM - GM

nguyễn đức tấn(TP Hồ Chí Minh)

7 C©u TÝnh

a) A 150 (100 99 98 97 … 1); b) B 32 33 3200;

c)

Câu a) So sánh

b) Chøng tá r»ng: NÕu 9x 5y chia hÕt cho 17 th× 2x 3y chia hÕt cho 17

Câu a) Tìm x, biết

b) Tỡm s tự nhiên n để có giá trị lớn

Câu 4.1 Cho hai góc kề bù Biết a) Tính số đo

b) Gi Om lộ tia phẹn giịc cựa TÝnh sè ệo Cho 2015 ệđêng thỬng, ệã hai ệđêng thỬng bÊt kừ nộo còng cớt vộ khềng cã ba ệđêng thỬng nộo cỉng ệi qua mét ệiÓm TÝnh sè giao ệiÓm cựa cịc ệđêng thỬng ệã

C©u 5.Cho a, b hai số nguyên, a b nguyên tố Chứng minh phân số tối giản

8a 3b 5a 2b xOm

yOz yOz

xOz yOz 4xOz

yOz xOz

15 A

n 15 3x 17.

2

55 66 66 55

2013 2013 2013 2013

2 2014

C 2013 2012 2011 1

1 2013

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP HUYỆN Thời gian làm bài:90 phút (khơng kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH012

Bội 3.Cho tam giịc nhản ABC cã cịc ệđêng cao BE vộ CF Gải P lộ chẹn ệđêng vuềng gãc kĨ tõ E ệạn AB, Q lộ chẹn ệđêng vuềng gãc kĨ tõ F ệạn AC Chụng minh rỪng PQ BC

Bội 4.Cho tam giịc ABC Gải H lộ trùc tẹm, G lộ trảng tẹm, M lộ trung ệiÓm cỰnh BC, N lộ trung ệiÓm cỰnh AC cựa tam giịc ệã Cịc ệđêng trung trùc cựa AC vộ BC cớt tỰi O Chụng minh rỪng H, G, O thỬng hộng (ậđêng thỬng ầ-le) Bội 5.Cho tam giịc nhản ABC néi tiạp ệđêng trưn (O) ệđêng kÝnh BON Gải H lộ trùc tẹm cựa tam giịc ABC, ệđêng thỬng BH cớt ệđêng trưn (O) tỰi M a) Chụng minh rỪng

b) Gọi I trung điểm AC Chứng minh H, I, N thẳng hàng

c) Chng minh rng BH 2IO vộ tam giịc CHM cẹn Bội Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H Chụng minh rỪng

Bội 7.Cịc ệđêng cao kĨ tõ A vộ B cựa tam giịc nhản ABC cớt tỰi H vộ cớt ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC lẵn lđĩt tỰi D vộ E Chụng minh rỪng a) CD CE;

b) BHD c©n; c) CD CH

Bội Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H

Chøng minh r»ng

a) AB2 HC2 BC2 HA2 CA2 HB2; b) BC.HA AB.HC AC.HB 4SABC

Bội Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao AD, BE, CF cớt tỰi H Gải K, M, N theo thụ tù lộ trung ệiÓm cựa cịc ệoỰn thỬng AH, BH, CH Chụng minh rỪng KMN ABC

HD HE HF 1.AD BE CF

ABM NBC

8 B Đề thi đồng đội

1.Hởy ệẳt mét cẳp dÊu ngoẳc vộo phĐp tÝnh sau 2 2 2 2 2 Sao cho dÊu ngoẳc ẻ bến trịi ệụng trđắc sè vộ dÊu ngoẳc ẻ bến phời ệụng sau sè Xịc ệỡnh giị trỡ lắn nhÊt cã thĨ cựa biĨu thục nhẺn ệđĩc (Japan ệỊ nghỡ)

2.Hởy chia 18 sè 1, 2, 3, , 18 thộnh chÝn cẳp sè cho tững hai sè mẫi cẳp sè ệã lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến (Bulgaria ệÒ nghỡ) 3.Trong hừnh vỳ dđắi ệẹy cho mét tam giịc vuềng cẹn ệđĩc chia thộnh hừnh tam giịc vuềng cẹn vộ cịc hừnh vuềng ậé dội cỰnh cựa cịc hừnh vuềng lộ cịc sè nguyến dđểng Mđêi hừnh vuềng nhá nhÊt cã ệé dội cỰnh lộ cm Hởy tÝnh tững diỷn tÝch tam giịc vuềng cẹn ệđĩc tề mộu theo cm2 (Philippine ệÒ nghỡ)

4.Mỗi gia đình gia đình sống hộ số 2, 3, 4, 12 tịa nhà nhận ni mèo, tuổi mèo 1, 2, 3, Số nhà gia đình số chia hết cho số tuổi mèo mà gia đình nhận ni Số tất cách nhận ni mèo bao nhiêu?

(Canada đề nghị)

5.Cịc sè nguyến dđểng 1, 2, 3, , 2014 ệđĩc viạt liÒn tỰo thộnh mét sè 12345678 20132014 Mét sè cã chọ sè chia hạt cho 11 cã ệđĩc bỪng cịch xãa ệi cịc chọ sè ệỪng trđắc vộ cịc chọ sè

ệỪng sau sè ệã sè trến Xịc ệỡnh giị trỡ nhá nhÊt cã thÓ cựa sè cã chọ sè ệã, biạt sè ệã cã chọ sè tẺn cỉng bến trịi khịc (China ệÒ nghỡ) Trong hừnh vỳ sau hừnh lđắi lôc giịc ệÒu cã ệđĩc bỪng cịch nèi 19 chÊm mét lđắi tam giịc ệÒu

(a) Hởy xịc ệỡnh sè cịc tam giịc ệÒu cã ệé dội cỰnh khịc vộ cã ệửnh lộ ba chÊm sè 19 chÊm ệở cho Hởy vỳ mét tam giịc ệÒu cho mẫi kÝch thđắc ệã

(b) Hởy xịc ệỡnh sè tam giịc ệÒu cựa mẫi kÝch thđắc cỰnh ệã (Philippine ệÒ nghỡ)

7.Cịc ệéi A, B, C, D vộ E thi ệÊu vắi mẫi ệéi khịc cịc ệéi ệã nhÊt mét trẺn ậéi thớng ệđĩc ệiÓm, ệéi hưa ệđĩc ệiÓm vộ ệéi thua ệđĩc ệiÓm Khi cịc trẺn ệÊu kạt thóc khềng cã hai ệéi nộo cã sè ệiÓm bỪng ậéi A ệđĩc ệiÓm cao nhÊt mẳc dỉ ệéi A thua ệéi B ậéi B vộ ệéi C khềng bỡ thua trẺn nộo nhđng ệéi C ệđĩc Ýt ệiÓm hển ệéi D Hái ệéi E ệđĩc bao nhiếu ệiĨm? (Singapore ệỊ nghỡ)

8.P điểm nằm hình vng ABCD có cạnh dài cm Tính giá trị lớn diện tích, theo cm2của tam giác có diện tích bé tam giác PAB, PBC, PCD, PDA, PAC v PBD? (Japan ngh)

DTH(Dịch giới thiu) ĐỀ THI OLYMPIC

TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI HAØN QUỐC (KIMC 2014)

9 9.Cho dởy sè găm 2014 sè cã hai chọ sè mộ mẫi sè lộ béi cựa 19 hoẳc 23, vộ chọ sè hộng chôc cựa bÊt kừ sè nộo cịc sè ệã kÓ tõ sè hỰng thụ hai cựa dởy sè ệã còng bỪng chọ sè hộng ệển vỡ cựa sè hỰng ệụng trđắc nã Nạu sè hỰng cuèi cỉng cựa dởy sè ệã lộ 23 thừ sè hỰng ệẵu tiến cựa dởy sè ệã lộ sè nộo? (Bulgaria ệÒ nghỡ)

10 Cã 10 ệăng tiÒn xu thẺt cã khèi lđĩng gièng Cã mét ệăng tiÒn xu cã khèi lđĩng nẳng hển khèi lđĩng ệăng xu thẺt vộ mét ệăng xu khịc cã khèi lđĩng bĐ hển khèi lđĩng ệăng xu thẺt Hởy giời thÝch tỰi chử lẵn cẹn bỰn cã thÓ xịc ệỡnh ệđĩc tững khèi lđĩng cựa hai ệăng tiÒn xu lắn hển, bỪng hay nhá hển tững khèi lđĩng cựa hai ệăng xu thẺt (Canada ệÒ nghỡ)

12

Let the four given points be P, Q, R, S in order Observe that PR is horizontal with length 29 Hence if we draw a vertical line segment from Q to meet the square at T, the length of QT will be 29 as well (think of rotation everything by 90o) Thus T has coordinates (42, 14) With coordinates of S and T, we know that AD has slope 0.5 while BA and CD have slope –2 We can then find that the equations of AD, AB and CD are x 2y 14 0, y 2x 89, and y 2x 147 respectively

Solving the first two equations gives the coordinates of A to be (38.4, 12.2), while solving the first and third equations gives the coordinates of D to be (61.8, 23.8) It follows that the area of ABCD is AD2 (61.6 38.4)2 (23.8 12.2)2 672.8

Kì sau đăng tiếp

10 Câu 1: a) Đặt a 15m, b 15n, với (m, n) Suy BCNN(m, n) 20

Ta ệđĩc (m; n) (1; 20), (20; 1), (4; 5), (5; 4) Tõ ệã (a; b) (15; 300), (300; 15), (60; 75), (75; 60) b) Ta cã 143 11.13 13.11 1.143 143.1 Vắi x, y , (x 1)(2y 5) 143 thừ x vộ 2y lộ nhọng đắc sè cựa 143

Ta từm ệđĩc (x; y) (10; 9), (12; 8), (0; 74), (142; 3) Cẹu 2:a) Ta cã 3S 32 33 34 3101 Suy 3S S 3101

Do 2S 3101

b) Ta cã S (3 32 33 34) (35 36 37 38) (397 398 399 3100)

120(1 34 396)

VËy chữ số tận S

Câu 3:a) Ta cã

Víi n , A vµ chØ 2n ¦(5) hay 2n {5; 1; 1; 5}

Từ n {1; 1; 2; 4} b) Với n 2n

Víi n th× 2n (2n 3)

VËy A

A t¹i n 1, A t¹i n

Vậy n A đạt GTLN, n A đạt GTNN

Câu 4: a) Vì O nằm A B nªn Suy

Ta tÝnh ệđĩc

VËy OD tia phân giác góc COE

b) Ta cã

Ta thấy tia OD nằm hai tia OA, OB Suy tia OD nằm hai tia OM, OK Do MOK MOD DOK 71 o

o o

MOD 49 , DOK 22

o o o

EOD 44 , DOC 44 , EOC 88 EOC

EOD DOC

2

AOE AOD AOC

o AOC AOB BOC 142

o AOB 180

1 1 A 2 7.

(2n 3) 2n

5

A

2n

1 1

2n

4n 4n 5

A

2n 2n 2n

Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán lớp 6

ĐỀ THI GIAO LƯU HSG

11 Câu 5: Đặt

(vi m, n l nhng số nguyn dng)

Vì nên n 32

Vì m2tận là: 0; 1; 4; 5; 6; nên d {8; 9; 2; 3; 4; 7}

Mà n2tận là: 0; 1; 4; 5; 6; nên d {4; 9} TH1.d Suy n tËn cïng lµ: 2;

Suy n {12; 18; 22; 28} NÕu n 12 th×

Suy Do ệã m tẺn cỉng lộ hoẳc vộ 1400 m2 1600 37 m 40: loỰi Cịc trđêng hĩp n {18; 22; 28} còng bỡ loỰi TH2.d Suy n tẺn cỉng lộ: 3; Suy n {13, 17; 23; 27}

NÕu n 13 th×

Suy Do m tận 1600 m2 1700 40 m 42

Suy m 41, tháa m·n

Cịc trđêng hĩp n {17; 23; 29} ều b loi Vy

Câu 6:Giả sử a b c

Suy a b c 3c hay abc 3c ab Do (a; b) (1; 1), (1; 2), (1; 3)

TH1.(a; b) lộ (1; 1) Ta ệđĩc c c: loỰi TH2.(a; b) lộ (1; 2)

Ta ệđĩc c 2c nến c 3: tháa mởn TH3.(a; b) lộ (1; 3)

Ta ệđĩc c 3c nến c 2: loỰi VẺy (a; b; c) (1; 2; 3) vộ cịc hoịn vỡ

abcd 1609

abcd 1609 :

m 16c9 72

abd 169

m 14c4 72 abd 144 99 abd 1000

2

abcd 72 m , abd n Bài 1.(1 điểm)Cho a Chøng minh r»ng

Bội 2.(2,5 ệiÓm)Giời phđểng trừnh vộ hỷ phđểng trừnh sau:

Bài 3.(2,5 điểm)a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a b c Chứng minh

b) Cho ba sè dđểng a, b, c Chụng minh rỪng

Bội 4.(2 ệiĨm)Cho tam giịc ABC ệỊu néi tiạp ệđêng trưn (O; R) Gải M lộ ệiÓm bÊt kừ thuéc cung nhá BC, D lộ giao ệiÓm cựa MA vộ BC

Chøng minh r»ng: a) MA MB MC

c) MA2 MB2 MC2 6R2 d) MA4 MB4 MC4 18R4

Bội (2 ệiÓm)Cho tam giịc ABC cã ba ệđêng cao AM, BN, CP cớt tỰi H vộ néi tiạp ệđêng trưn ệđêng kÝnh AK

a) Chứng minh PN vng góc với AK b) Cho BC cố định, A di chyển cung lớn BC Xác định vị trí A để chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn

MD MD

b)

MB MC

3 3

3 a 3 b 3 c

a (b c) b (c a) c (a b)

2 2

52 a b c 2abc 27

2

1

a) x x

x x

(x y)(xy y 5) b)

x y x(y 1)

4

a 2.

a a a

4a a 2

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN LỚP

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA, TP H CH MINH

Năm học: 2014 - 2015

12

Bội 1(140).Từm hai sè nguyến dđểng a vộ b ệÓ nhẺn giị trỡ nguyến

Lêi giời Vừ a, b lộ cịc sè nguyến dđểng nến a 1; b Suy Q

ậÓ Q nhẺn giị trỡ nguyến thừ Q {1; 2; 3} + Vắi Q 1, ta ệđĩc (a 1)(b 2) Do a, b * nến

a 1, b 2 hc a 2, b hay (a; b) (2; 4), (3; 3)

+ Vắi Q 2, ta ệđĩc (2a 1)(b 1) Do a, b * nến

2a b 1 hay (a; b) (1; 2)

+ Vắi Q 3, ta ệđĩc 2a(b 1) b(a 1) Do a, b * nến

b a hay (a; b) (1; 1) Vậy để Q nhận giá trị nguyên (a; b) (1; 2); (2; 4); (1; 1); (3; 3)

Nhận xét Đây toán không xa lạ với bạn nên nhiều bạn tham gia giải nhiều bạn giải theo cách đáp án Một số bạn mắc sai lầm cho để Q Một số bạn sử dụng tính chất chia hết tập hợp số nguyên để giải Tuy nhiên cách dễ mắc thiếu sót lập luận dài dòng

Cịc em sau cã lêi giời tèt, trừnh bộy râ rộng: Phỉng Quèc Lẹm, ậinh Vẽn Hiạu, 6E1; NguyÔn Hời Yạn, 6D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; Trẵn Thỡ Kim Oanh, PhỰm Yạn Nhi, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Phan ậục ậỰt, 7D, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn Thỉy Dđểng, Bỉi Thỡ Quúnh, NguyÔn Tỉng Lẹm, NguyÔn Họu Trung Kiến, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Thỡ Bờo Dđểng, 6A4, THCS Cẵu GiÊy; Ngun Vị Hỉng, 7E, THPT chuyến Hộ Néi -Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi

phïng kim dung

Bội 2(140).Từm tÊt cờ cịc sè nguyến dđểng khềng thĨ biĨu diƠn dđắi dỰng tững cựa hai hĩp sè Lêi giời Ta thÊy lộ hĩp sè chơn nhá nhÊt, lộ hĩp sè lĨ nhá nhÊt

Giờ sỏ a lộ sè nguyến dđểng khềng biĨu diƠn ệđĩc dđắi dỰng tững cựa hai hĩp sè

+ XÐt a số chẵn, a 2k (k *) Ta có a 2(k 2)

Suy nÕu k hay k 2(k 2) hợp số: lo¹i

Thư l¹i ta thÊy a {2, 4, 6} thỏa mÃn + Xét a số lẻ, a 2k (k *) Ta cã a 2(k 4)

Suy nÕu k hay k th× 2(k 4) hợp số: loại

Th li ta thÊy a {1, 3, 5, 7, 9, 11} tháa mởn Tãm lỰi, cã sè nguyến dđểng tháa mởn ệÒ bội lộ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt: NguyÔn Thỡ Bờo Dđểng, 6A4, THCS Cẵu GiÊy, Cẵu GiÊy, Hộ Néi; TỰ Nam Khịnh, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; Ngun Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả

Hå quang vinh

Bội 3(140) Từm tÊt cờ cịc cẳp sè nguyến dđểng (m, n) tháa mởn 10m 8n 2m2 (1)

Lêi gi¶i.(Theo lời giải tác giả)

B :Ta cú 2k 2k (2), với số nguyên k Thật vậy, hiển nhiên (2) với k

Giả sử (2) với k 4, 5, , i Ta có 2i 2.2i 2.(2i 3) 4i

(2i 5) (2i 1) 2i 2(i 1) Do (2) với k i

Theo nguyên lí quy nạp, (2) với số nguyên k

Trở lại toán

Xt m Thay vộo (1), ta ệđĩc n

Khi m 1, ta thÊy 10m 8nchia hÕt cho Suy m số chẵn

Do ó tn ti cc sè nguyến dđểng k, t (t lĨ) tháa mởn m 2kt

Thay vộo (1) ta ệđĩc 102 tk 23n 22k 2t (3) ,1 .

a b

1 Q

13 Ta xĐt cịc trđêng hĩp theo k

TH1.k

+ NÕu 3n 2k th× chia hÕt cho 22k 2(v× 2kt 2k 2k theo (2))

Mẳt khịc vừ t lộ sè nguyến dđểng lĨ nến 22k 1t2 khềng chia hạt cho 22k VẺy (3) khềng tháa mởn

+ NÕu 3n 2k th× 2kt 2k 3n nên 22k 1t2 chia hết cho 23n Mà 23nkhông chia hết cho 23k nên (3) không thỏa mÃn + Xét 3n 2k

Tõ (3) suy

Vừ t lộ sè nguyến dđểng lĨ nến t2 khềng chia hạt cho

Suy 22k 1(1 t2) kh«ng chia hÕt cho 22k Mặt khác, 2kt 2k 2k nên chia hết cho 22k Vậy (4) không thỏa mÃn

Nh với k (3) không tháa m·n TH2.k (3) trë thµnh 102t 23n 8t2 (5) + XÐt t Tõ (5) suy 23n 92: loại

+ Xét t n Suy 102t 23nchia hết cho 16 Mà 8t2 không chia hết cho 16 nên (5) không thỏa mÃn

+ XÐt t vµ n (5) trë thµnh 102t 8(1 t2): loại 102t chia hết cho 32 8(1 t2) không chia hết cho 32

Nh với k (3) không thỏa mÃn TH3.k (3) trë thµnh 104t 23n 32t2 (6) + XÐt t Tõ (6) ta cã 23n 9968: lo¹i

+ XÐt t vµ n Ta cã 104t 23nchia hết cho 64 32t2 không chia hết cho 64: loại

+ Xét t n (6) trở thành 104t 32t2: loại 104t không chia hết cho 16 32t2chia hết cho 16

Nh với k (3) không thỏa m·n TH4.k (3) trë thµnh 108t 23n 128t2 (7) Nếu n 108t 23nkhông chia hết cho 128 Mà 128t2chia hết cho 128: loại

Nếu n 108t 23nchia hết cho 256 Mà 128t2 không chia hÕt cho 256: lo¹i

Nhð vËy víi k (3) không thỏa mÃn Vậy (m; n) (1; 1)

NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn khã, phời xĐt nhiÒu trđêng hĩp, chự yạu dùa trến tÝnh chia hạt Cịc bỰn gỏi bội giời ệỊu cã ệịp sè ệóng Trong bội giời ệở sỏ dông tÝnh chÊt: “Nạu t lộ sè nguyến lĨ thừ t2chia

cho dð 1” Do t2 khơng chia hết cho Các bạn sau có kết tốt: Tạ Lê Ngọc Sáng, 8A, THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Cầu Giấy, Hà Nội; Nguyễn Hoàng Huy, 9A2, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Nguyễn Tuấn Anh, Lê Long Vũ, 9A5, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh

Ngun Anh Dịng

Bµi 4(140).Cho x, y z số thực thuộc khoảng (0, 1) thỏa mÃn xyz (1 x)(1 y)(1 z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải Từ giả thiết suy Mà x, y, z (0, 1) nªn

ịp dơng bÊt ệỬng thục AM - GM cho sè dđểng ta cã

Do

(do ịp dông bÊt ệỬng thục AM - GM cho số dng v (*))

Đẳng thức xảy vµ chØ

Vậy P đạt giá trị nhỏ

NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn hay vộ tđểng ệèi khã Mét sè bỰn quến ghi tến vộ ệỡa chử Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng vộ ngớn gản: TỰ Lế Ngảc Sịng, ậộo ậục Minh, Chu Xuẹn Bịch, Cao Quang Minh, 8A; ậoộn Ngảc Hiạu, 9B, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Cẵu GiÊy, Hộ Néi;

15 x, y, z (0, 1)

xyz (1 x)(1 y)(1 z) 1

x y z

x y z 2

1 1

x , y , z

4x 4y 4z

1 1 1

x y z

4x 4y 4z x y z

1 1 15

2 x y z .6

4x 4y 4z

1 1 P x y z

x y z

3 1 x y z

1 1

1 1

x y z 27

1 1 (*) x y z

1 1 0, 1 0,1 1 0.

x y z

1 1 1 1 1.

x y z

1 1 P x y z

x y z

k

2 t 10

k

2 t 2k

10 (1 t ) (4)

k

2 t

10

k

2 t 3n

14 Lế ậừnh Linh, NguyÔn Thỡ HỪng, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; Lế Thỡ Thựy, 8A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn Thạ Hộ, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;ậẫ Linh Chi, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả; Ngun Hoộng Huy, 9A2, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnh; PhỰm Hă Thờo Nguyến, 8C8, THCS NguyÔn Nghiếm, TP Quờng Ngởi, Quởng Ngởi

cao văn dũng

Bi 5(140).Cho th M cú s đỉnh V, số cạnh E số miền R Khi ta có cơng thức Euler nhð sau: V E R

Bạn kiểm chứng công thức qua hình đồ thị sau:

Lời giải a) hình a ta thấy số đỉnh V 4, số cạnh E số miền R nên

V E R 4 2

Công thức Euler với đồ thị

b)ởhình b, đồ thị có số đỉnh 5, số cạnh số miền nên

V E R 5 2

Công thức Euler với đồ thị

c)ởhình c, đồ thị có số đỉnh 5, số cạnh số miền nên

V E R

Công thức Euler với đồ thị

d)ởhình d, đồ thị có số đỉnh 6, số cạnh số miền nên

V E R

Công thức Euler với đồ thị

e)ởhình e, đồ thị có số đỉnh 6, số cạnh số miền nên

V E R

Công thức Euler với đồ thị

Vậy công thức Euler với đồ thị cho Nhận xét Đây tốn mang tính giới thiệu cơng thức Euler lí thuyết đồ thị hữu hạn Các bạn sau có lời giải tốt: Cao Thị Vân Anh, 8A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Tạ Lê Ngọc Sáng, Chu Xuân Bách, 8A, THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Cầu Giấy, Hà Nội; Nguyễn Trung Dũng, 8A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình,Bắc Ninh;Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thuận Hðng, 8C, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng

TRỡNH Hoội Dđểng

Bội 6(140).Cho tam giịc ABC khềng cẹn, I lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc Dùng ID BC (D BC), IO AD (O AD) Chụng minh rỪng OD lộ tia phẹn giịc cựa gãc BOC

Lêi gi¶i Gäi E, F theo thứ tự tiếp điểm (I) AB, AC; P, Q theo thứ tự điểm thuộc tia OE, OF cho BP // CQ // AD; K giao điểm AD PQ

Vì nên tứ giác AEOF nội tiếp Kết hợp với AE AF, BP // AO // CQ, ta cã

Từ đó, ý BP // AO // CQ, EA FA, suy

Tõ (1) vµ (2) suy OPB OQC (c.g.c) VËy

(®pcm)

Nhận xét.Bài tốn giải kiến thức lớp 8, nhiên dài lời giải Tiếc khơng có bạn giải tốn

ngun minh hµ o

180 COQ QOA COD

o

BOD 180 BOP POA

OP KP DB EB EB FA PB OA

ra

OQ KQ DC FC EA FC OA QC PB (2)

QC

15 ChØ dïng 10 ch÷ số giống dấu phép tính, dấu ngoặc, em h·y viÕt biĨu thøc cã kÕt qu¶ b»ng 2014

ngun ệục trđêng

(GV THCS §a Tèn, Gia Lâm, Hà Nội)

DNG 10 CH S GING NHAU

BẠN TỐN NĨI ĐÚNG KHƠNG? (TTT2 sè 140) Ta chän a 0, b n672, c 2n672, víi n 2015

Khi 2a b n672 (n336)2, 2b c (2n336)2và 2c a (2n336)2, thỏa mãn điều kiện (*)

MỈt kh¸c ta cã

(a b)(b c)(c a) ( n672)( n672)(2n672) 2n2016

Vì n 2015 nên 2n2016 20152014 Vậy (a b)(b c)(c a) 20152014

Vì n số nguyên thỏa mÃn n 2015 nên có

vô số ba số nguyên (a; b; c) thỏa mÃn điều kiện toán

Vy bn Toỏn núi

NhẺn xĐt.Mét sè bỰn ệở giời bội toịn theo hđắng từm nhọng bé ba sè (a; b; c) tháa mởn (*) ậiỊu ệã lộ rÊt khã vộ cịng khềng ệi ệóng hđắng cựa ệỊ bội Mét sè bỰn khịc thừ từm cịch chản nhọng bé ba sè (a; b; c) thÝch hĩp nhđng ệở chản khềng ệóng Phẵn thđẻng kừ nộy gịc lỰi sè sau

16

Sáng nay, thám tử Sêlôccôc dậy sớm để tới nhà ông Ben nhð hẹn Đêm qua, ông Ben gọi điện nhờ thám tử điều tra giúp vụ trộm nhà riêng Khi thám tử tới nơi, ông Ben chờ sẵn cổng với vẻ lo lng v st rut.

Rồi cha kịp chào hái, «ng than thë:

- Khổ q! Tơi vừa rút tiền ngân hàng về thì ln Chắc kẻ gian biết kế hoạch của nên tay nhanh nhð thế. - Có lẽ Mà thơi, ơng bình tĩnh kể lại mọi chuyện xem nào!

- Vẹng Chuyỷn lộ thạ nộy ChiÒu qua, tềi tắi ngẹn hộng rót sè tiỊn khị lắn Mải anh Bềp thđêng lịi xe cho tềi nhđng hềm qua tềi tù lịi vừ bỡ mỷt VÒ tắi nhộ, tềi cÊt vộo tự răi ệi tẺp thÓ dơc Trđắc ngự, tềi ệỡnh cho tiỊn vộo cẳp ệĨ sịng hềm sau mang ệi

thì Trời ơi! Tồn số tiền khơng cánh mà bay

- Khoờng 45 Tềi ệi lóc hển giê, vỊ nhộ, tớm xong lộ gẵn rđìi Gẵn giê tềi ẽn cểm răi xem TV ẻ phưng khịch

- Từ lúc ông mang tiền đêm, có ai tới nhà khơng?

- Khềng Nhộ tềi hẵu nhđ lóc nộo cịng chử cã tềi, anh lịi xe vộ hai ngđêi gióp viỷc - Hai ngđêi ệã lộ ai, lộm nhọng viỷc gừ? - ậã lộ Mari - néi trĩ vộ anh Giền - bờo vỷ kiếm lộm vđên vộ sỏa chọa lẳt vẳt. - ThẺt lộ khã ệÓ nghi vừ tềi thÊy cờ 3 ngđêi ệÒu tỏ tạ.

- Mét mÊt mđêi ngê Tềi cẵn gẳp tõng ngđêi ệÓ kiÓm tra xem cã gừ ệịng nghi

VỤ MẤT TIỀN

ở nhà ơng Ben

T¹ Kh¾c Th¾ng

17

khềng - thịm tỏ nãi răi quờ quyạt yếu cẵu ềng Ben gi ngời nh ti.

Đầu tiên anh Andy - l¸i xe.

- Chiều qua, từ tới giờ, anh làm gì, đâu?

- Tềi bỡ mỷt nến chử nỪm phưng Ngự mét lóc răi tềi xem TV Lẹu lớm răi tềi mắi xem ệđĩc mét bé phim trản vứn RÊt hay thịm tỏ Ự

- ThÕ µ? Anh xem phim g× vËy?

- Phim khoa học lồi sẻ nhà Lồi chim bé nhỏ khơng ngờ lại sinh sống đông ở vùng hoang mạc khô cằn.

- ThẺt đ? SĨ nhộ hãa tội giái hển ta tđẻng nhử.

TiÕp theo lµ bµ Mari:

- Chiều tối qua, bà làm lúc ơng Ben tập thể dục?

- Thì nh ngày Tôi nấu ăn, dọn dẹp Hôm qua cậu Andy kêu mệt nên tôi nấu súp gà mà cậu a thích Cả nhà ai khen ngon

Cuối anh Giôn:

- Anh ó lm gỡ, đâu lúc ơng Ben đi

tËp thĨ dơc?

- Tềi tớm răi xem TV ệĩi ềng chự vÒ ẽn cểm. Giê ệã tềi thđêng rẫi rởi mộ.

- Anh cã nhắ ệở xem chđểng trừnh gừ khềng? - Tềi xem chđểng trừnh “Thiến nhiến kừ thó”, nãi vỊ hiỷn tđĩng di cđ cựa loội cua ậóng lộ kừ thó thẺt!

- VẺy đ? Cã lỳ hềm nộo tềi còng phời dộnh thêi gian xem phim khoa hảc mắi ệđĩc Sau hái chuyỷn cờ ngđêi, thịm tỏ Sếlềccềc nãi vắi ềng Ben:

- Tôi tìm kẻ khả nghi

* Theo bạn, thám tử nghi ai? Vì sao?

Không tặng biết xoài? Sêlôccôc thật tinh nhanh

Nghi thự phỰm - mêi anh vÒ ệăn! ậã lộ cẹu trờ lêi bỪng thể cựa bỰn Thịi Lam Giang(Hộ Tỵnh) vộ còng chÝnh lộ ệịp ịn cựa cẹu hái kừ trđắc Hẵu hạt cịc bỰn ệỊu ệđa ra ệịp ịn ệóng, nhiến, vÉn cưn mét sè bỰn cã lỳ chđa cÈn thẺn nến ệở trờ lêi sai. Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi: NguyÔn MỰnh Tiỷc, 6A3, THCS Yến Phong, Yến Phong,

Bớc Ninh; NguyÔn Thỉy Linh, 6A8, THCS Lđểng Khịnh Thiỷn, Kiạn An, Hời Phưng; Trẵn Thu Thờo, 6C, THCS Hưa Hiu 2,

TX Thái Hòa, Nghệ An; Thái Lam Giang, 6B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ; Ngô Minh Châu, 6C, THCS Xuân Diệu, thị trấn Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh.

Thám tử Sêlôccôc

19

Vị Kim Thđy

If heat causes temperature change, Q C mc

m: mass

c: specific heat capacity J/(gC); J/(gK) C: heat capacity J/C; J/K

, t, T: temperature C; K Pt mc

Question 1. 12000 J of heat energy raises the temperature of a kg block of a metal from 20oC to 30oC.

What is the specific heat capacity of the metal?

A 200 J/(kgoC) D 600 J/(kgoC) B 300 J/(kgoC) E 1200 J/(kgoC) C 400 J/(kgoC)

Question 2. Heat energy is supplied at the same rate to 100 g of paraffin and 100 g of water in similar containers The temperature of paraffin rises faster This is because the paraffin

A is more dense than water. B is less dense than water.

C evaporates less readily than water.

D has a smaller specific heat capacity than water.

E has a larger specific heat capacity than water.

Question 3. It takes minutes to raise the temperature of 1.7 kg of water by 40oC using a 2.5 kW heater.

Assuming there are no heat losses, how long would it take to raise the temperature of 170 kg of water by the same amount using a 5.0 kW of heater?

A minutes D 200 minutes B 80 minutes E 400 minutes C 100 minutes

Physics Terms

thermal thc vỊ nhiƯt, vỊ h¬i nãng heat capacity nhiƯt dung specific heat capacity nhiƯt dung riªng expansion sù në, sù gi·n në heat nhiÖt

raise nâng lên supply cung cấp copper đồng đỏ density mật độ,

khèi lđĩng riếng property ệẳc ệiÓm, tÝnh chÊt

Answer.Chờ bạn gửi về.

Energy Power

20

Kì 15

H·y thay chữ chữ số Các chữ khác biểu diễn số khác Lời giải cần cã lËp luËn l«gic

Trđểng Cềng Thộnh(Sđu tẵm)

Đánh số cột từ đến tính từ phải qua trái Từ cột suy M 1và S {8, 9} TH1.S

Tõ cét suy O Vì

8999 1099 10098 nên N 0: loại (vì O 0) TH2 S

Vì

9999 1999 11998 O (vì M 1) nên O

Ta có

ëcét ta thÊy N E vµ E

ëcét ta thÊy phÐp céng nhí sang cột Ta xét hai khả sau

+ Cét céng kh«ng nhí

Khi ệã N R 10 E Kạt hĩp vắi N E ta ệđĩc R 9: loỰi vừ S

+ Cét céng cã nhí

Khi ệã N R 10 E hay N R E Kạt hĩp vắi N E ta ệđĩc R 8vộ E

ëcét ta cã D E 10 Y V× Y Y nên D E 11

M D vộ E nến (D, E) (7; 5), (7; 6) Thỏ lỰi ta ệđĩc (D, E) (7; 5) vộ Y 2, N VẺy

NhẺn xĐt Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ trừnh bộy gản: KhuÊt Bờo Chẹu, 8A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt; Trỡnh ậục Viỷt, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi; Hoộng Thạ Sển, NguyÔn Phđểng Thờo Vy, 8A1, THCS Hng Bng, Hng Bng, Hi Phng;

Hoàng nguyên linh

MONEY SEND MORE MONEY SEND MORE

21 Vừ d15lộ đắc cựa n nến tăn tỰi di *, i {1, 2, , k} cho d15di n

Thay vộo ệiÒu kiỷn i) n d13 d14 d15ta ệđĩc (di 1)d15 d13 d14

0 (di 1)d15 d13 d14 2d15 di di

Vậy i (vì d1 1) 2d15 n Do d16 n hay k 16

Suy n 2d15 d3d14 d4d13hay 2(d13 d14) d3d14 d4d13 (1) Đặt d (d13, d14)

Khi đó, tồn p, q *, (p, q) cho d13 dp d14 dq

Thay vộo (1) ta ệđĩc

2d(p q) dqd3 dpd4hay 2(p q) qd3 pd4 Suy

V× d13 d14nªn p q

Suy q(d3 2) 2p 2q d3 2 d3 Do 2(p q) 3q nên q 2p Suy d4

Tõ ii) (d5 1)3 d15 1, ta cã

2(d5 1)3 2(d15 1) n Suy

Mµ n (vì d3 3) nên d5 n Mà d5 d4 nên d5

Do ú d15 (d5 1)3 1000 d15 999 Vậy n 2d15 1998

Thư l¹i tháa m·n

Nhận xét.Đây tốn khó hay Võ sĩ Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn,Thanh Hóa giải đáp số với lời giải ngắn gọn Võ sĩ Anh xứng đáng đăng quang trận đấu

lê đức thuận

3

5 5

2(d 3d 3d ) n

3 2p q(d 2) 2q p(d 2)

Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Duy Liến, GV THPT chuyến Vỵnh Phóc

Bội toịn thịch ệÊu: Cho sè nguyến dđểng a1 Ta lẺp cịc sè nguyến dđểng a2, a3, , a2015 tháa mởn vắi mẫi n 1, 2, , 2014 Hái 2015 sè nguyến dđểng ệở cho, cã nhiÒu nhÊt bao nhiếu sè chÝnh phđểng?

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.01.2015 theo dÊu bđu ệiỷn

n n

a a 2013,

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI (TTT2 sè 140)

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM HAI MƯƠI HAI

TỰ Kim Thanh HiỊn, 6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;Ngun Thỡ Bờo Dđểng, 6A4, THCS Cẵu GiÊy; Ngun Vị Hỉng, 7E; TỰ Lế Ngảc Sịng, Chu Xuẹn Bịch, 8A, THPT chuyến

22 Nẽm 1840, giịo sđ C L Lehmus (1780 - 1863), ngđêi Berlin ệở hái céng sù cựa mừnh lộ Jacob Steiner, nhộ hừnh hảc ngđêi Thơy Sỵ, vỊ chụng minh ệỡnh lÝ sau

ậỡnh lÝ Steiner - Lehmus Nạu hai ệđêng phẹn giịc cựa mét tam giịc bỪng thừ ệã lộ tam giịc cẹn

Sau ệđĩc Lehmus ệẳt cẹu hái, Steiner ệở tù mừnh từm chụng minh cựa ệỡnh lÝ vộ ệở cềng bè vộo nẽm 1844 Sau ệã, Lehmus còng ệở chụng minh ệđĩc ệỡnh lÝ nộy vộo nẽm 1850 mét cịch ệéc lẺp Tõ ệã trẻ ệi, ệỡnh lÝ nộy ệở thu hót rÊt nhiỊu nhộ toịn hảc chuyến vộ khềng chuyến Theo thèng kế cựa K R S Sastry, hiỷn cho ệạn ệở cã trến 80 chụng minh cựa ệỡnh lÝ Steiner - Lehmus

Sau ệẹy lộ mét cịch chụng minh ệỡnh lÝ nộy bỪng phđểng phịp phờn chụng

Chụng minh Giờ sỏ ABC cã hai ệđêng phẹn giịc BE, CF tháa mởn BE CF Ta sỳ chụng minh AB AC ThẺt vẺy, sỏ AB AC (trđêng hĩp AB AC chụng minh tđểng tù)

Suy

XÐt hai tam giác CBE BCF, ta có cạnh BC chung, BE CF,

CE BF (1)

Dựng hình bình hành EBFG

Ta có FG BE CF FGC cân F

Mà nên

EC EG

Mà EG BF nên EC BF: mâu thuẫn với (1) Vậy AB AC

NhẺn xĐt Trong tam giịc còng cã mét sè tÝnh chÊt tđểng tù ệỡnh lÝ trến Sau ệẹy lộ mét sè vÝ dô TÝnh chÊt Nạu hai ệđêng cao cựa mét tam giịc bỪng thừ ệã lộ tam giịc cẹn

NhËn xÐt.TÝnh chÊt nµy cã chøng minh xt ph¸t tõ hƯ thøc aha bhb chc

TÝnh chÊt Nạu hai ệđêng trung tuyạn cựa mét tam giịc bỪng thừ ệã lộ tam giịc cẹn

NhËn xÐt.TÝnh chÊt nµy chøng minh dùa theo c«ng thøc

Bẹy giê ta xĐt khịi niỷm sau Cho tam giịc ABC cã I lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ậđêng trưn (I) tiạp xóc vắi cịc cỰnh BC, CA, AB thụ tù tỰi D, E, F Khi ệã AD, BE, CF ệăng quy tỰi mét ệiÓm, gải lộ ệiÓm Gergonne Cịc ệoỰn thỬng AD, BE, CF gải lộ cịc cevian Gergonne

Tính chất Nếu hai cevian Gergonne tam giác tam giác cân Chứng minh Xét ABC có đoạn thẳng cevian Gergonne thỏa mãn BE CF Ta chng minh AB AC

Đặt a BC, b CA, c AB, s a b c

2 2

2

a 2(c b ) a

m

4 EGC ECG

B C

FGE FCE

2 FGC FCG

CBE BCF

C B

C B

2

ĐỊNH LÍ STEINER - LEHMUS VÀ TƯƠNG TỰ

NGUYÔN NGäC GIANG

23 Ta chụng minh ệđĩc BF s b, CE s c

Giờ sỏ AB AC (trđêng hĩp AB AC chụng minh tng tự) (2)

Xét hai tam giác AEB AFC, ta cã AE AF, EB FC, AB AC

Dựng hình bình hành EBFG

Vì FG BE CF nên FGC cân F Suy

Mà

EC EG hay s c s b c b: m©u thuÉn víi (2)

VËy AB AC

Nhận xét Các bạn tìm thêm cách khác để chứng minh nh lớ Steiner - Lehmus v

giải bµi tËp sau Bµi tËp

Bội Cho tam giịc ABC Trến ệđêng phẹn giịc cựa gãc A lÊy mét ệiÓm D KĐo dội BD cớt cỰnh AC ẻ M KĐo dội CD cớt cỰnh AB ẻ N Biạt MB CN Chụng minh AB AC

(Thi hảc sinh giái toịn cÊp II toộn quèc, 1979) NhẺn xĐt Bội toịn nộy lộ trđêng hĩp riếng cựa ệỡnh lÝ Steiner - Lehmus D lộ giao cựa ba ệđêng phẹn giịc cựa ABC

Bội a) Chụng minh rỪng cịc ệđêng thỬng ệi qua ệửnh cựa tam giịc vộ tiạp ệiÓm cựa cỰnh ệèi diỷn vắi ệđêng trưn bộng tiạp, ệăng quy tỰi mét ệiÓm gải lộ ệiÓm Nagel

b) Cịc ệoỰn thỬng nèi ệửnh vắi tiạp ệiÓm cựa cỰnh ệèi diỷn vắi ệđêng trưn bộng tiạp gải lộ cịc cevian Nagel Chụng minh rỪng nạu hai cevian Nagel cựa tam giịc bỪng thừ tam giịc lộ tam giịc cẹn Bội Cịc phẹn giịc ngoội cựa gãc B vộ C cớt phẵn kĐo dội cựa cevian Gergonne AD tỰi cịc ệiÓm E vộ F tđểng ụng Biạt BE CF Chụng minh ABC lộ tam giịc cẹn

Bội 4.Gải M, N tđểng ụng lộ giao ệiÓm cựa cevian Gergonne AD vắi BI, CI Biạt BM CN Chụng minh ABC lộ tam giịc cẹn

FGE FBE FCE EGC ECG FGC FCG

AEB AFC ABE ACF

Chử cã mét bỰn giời ệóng thạ cê kừ 65: Dđểng Lẹm Anh, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong,Bớc Ninh

Lª tó

Trắng trước chiếu hết sau nước

LÊ THANH TÚ

24

INTERNATIONAL

MATHEMATICAL OLYMPIAD

Outline of Solutions

1.Note that we have and so a : b : c : : Hence b 8a and c 5a It follows that

2.The common difference may range from to –4 There are numbers with common difference (namely, 123, 234, …, 789), and 5, 3, numbers with common difference 2, 3, respectively It is then easy to see that there are 8, 6, 4, numbers with common difference –1, –2, –3, –4 respectively (the reverse of those numbers with common difference 1, 2, 3, 4, as well as those ending with 0) Finally there are numbers with common difference (namely, 111, 222, …, 999) Hence the answer is 45

3.Computing the first few terms gives

It is thus reasonable to guess that

and this indeed is true (and can be verified algebraically) Thus we need only consider the fractional part of

Since the above sum becomes

Which is the answer to the question 4.Since x, y, z are non negative we have

Solving the quadratic inequality (subject to x, y, z and hence their sum being non negative) gives Equality is possible when x y and It follows that the minimum value of x y z is

Remark Intuitively, since the coefficient of z is greater than the coefficients of x and y, making z relatively big and x, y relatively small could reduce the value of x y z As x, y, z are non-negative it would be natural to explore the case x y

5 Since 22 20 32 74 and there is exactly one winner each day, we know that the ‘certain number’ of days in the question is 74 Hence there are 74 22 52 days on which Peter did not win – he either lost the game (L), or he did not play (N) These must be equal in number (i.e 26

3 22

3 22

z

2

3 22

x y z

2

2 2

2

13 x y z x 2y 3z

(x y z) 3(x y z)

1 1 1

1 2 2012 2013

1 2012.

1 2013 2013

1 1 ,

k(k 1) k k

1 .

1 2 2012 2013

2

1 1

1

k (k 1) k (k 1)

2

2

2

1

1 ,

2

1

1

1 ,

6

2

1 13

1

12

3

3

3

3

(a b c) (a 8a 5a)

d 14 2744

a a

3

3 3

1

a b c

Phïng Kim Dung (Sðu tầm giới thiệu)

25 each), since if we denote each of the 52 days in which Peter did not win by L or N and list them in order, each L must be followed by an N (except possibly the rightmost L) and each N must be preceded by an L (except possibly the first N) Hence the answer is 22 26 48

6.As there are no two consecutive 1’s, each term in the sum is either equal to (if both multiplicands are 2) or (if the two multiplicands are and 2) Note that the positions of the 1’s are 1, 3, 6, 10, , the triangular numbers As the 62nd triangular number is while the 63rd is 1953 63 2016, exactly 62 of out the first 2014 terms of the sequence are (and the rest are 2) In other words exactly 123 terms in the sum are while the rest is (the number 123 comes from 62 1, as a1 only appears in the term a1a2, while each other ai that is equal to appears in two terms, for instance a3appears in both a3a4 and a4a5) It follows that the answer is 2013 123 7806

7 Let a, b, c, d be among the positive integers Then both a c d and b c d are divisible by 39, and so is their difference a b It follows that any two of the integers are congruent modulo 39 Since 2013 39 51 24, at most 52 integers can be chosen Indeed, if we choose the 52 integers in the set {13, 52, 91, …, 2002}, then the sum of any three is divisible by 39 (as each one is congruent to 13 modulo 39) It follows that the answer is 52

8

Rewrite into the

form

If we consider the three points A(–2, 1), B(x, 0) and P(4, –3), then the first term is the distance between A and P while the second is the distance between P and B The minimum of the sum this occurs when A, P, B are collinear, and the minimum sum is equal to the distance between A and B, which is

9.Rewrite the equation as 10x3 x3 3x2 3x (x 1)3 This gives , or

It follows that the answer is 100 10 119 10.The two 0’s must not be at the beginning or end Hence there are ways to fix the positions of the 0’s It remains to permute the remaining six digits, of which two are the same (1, 1, 2, 3, 5, 8) There are such per-mutations However, since only of the digits are odd, only two-thirds of these will eventually end up with an odd number Hence the answer is

11.Considering the sum of roots gives Hence

As is a root of the equation, we have 2012 2013

and so

Likewise we have

and and thus the answer is

2012 2013 2012 2013 2012 2013

8 8

2012( ) 6039 6039

8

3 2012 2013

3 2012 2013 2012 2013

8

3 3

3 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

15 360 3600 6! 360 2! C 15

3 3

3 100 10 100 10

x

10

10

3 x 10

x

2

( 4) ( 3) 13

2 2

(x 2) (0 1) (x 4) (0 3)

2

x 4x x 8x 25

62 63 1953

26 Bµi

Mét hừnh lẺp phđểng cã cỰnh dội cm bỡ cớt ệi hai hừnh hép chọ nhẺt cã kÝch thđắc cm, cm,

5 cm vộ mét hừnh hép chọ nhẺt cã kÝch thđắc cm, cm, cm nhđ hừnh vỳ ThÓ tÝch cựa hừnh cưn lỰi lộ bao nhiếu?

Bội 4.Cho phĐp toịn * ệđĩc ệỡnh nghỵa nhđ sau: TÝnh 96*2014

Bài 5.HÃy viết số 10962014 thành tổng số tự nhiên liên tiếp mà số số hạng nhÊt

Ngun Ngäc Minh (Hµ Néi) xy * abcd (xy d) (x a b c) (y a d c) Kì 5

Bội Cã bao nhiếu đắc sè cựa sè 19 28 37 46 55 64 73 82 91 lộ lẺp phđểng cựa mét sè tù nhiến?

Bội 2.Mét nỏa sè ề vuềng cựa mét bộn cê 8 ệđĩc tề mộu nhđ hừnh vỳ Cã bao nhiếu hừnh vuềng 4 cã 75% sè ề vuềng ệđĩc tề mộu?

Bài Ta chia phân số cho thành nhóm nhð sau:

Trong nhãm thụ k cã k phẹn sè, cịc phẹn sè nhãm ệã ệÒu cã tững cựa tỏ vộ mÉu bỪng k vộ cịc phẹn sè ệÒu ệđĩc viạt vắi mÉu sè tẽng dẵn Giờ sỏ phẹn sè thụ 2014 thuéc nhãm thụ n thừ ta cã n 2014

n(n 1) 4028 n 63 Mà 62 1953

Vậy phân số thứ 2014 phân số thứ 2014 1953 61 nhóm thứ 63 Đó phân số

Bài Ta cã

VËy [A] 200

Bµi Có 14 tập hợp Bài Ta có

Bài

Ta có diện tích phần tô màu

Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ ệđĩc thđẻng kừ nộy: PhỰm Thỡ KiÒu Trang, 6A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc; Lế Thanh Phđểng, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi

Ngun Ngäc H©n

2 BCD

S S 10 25 (cm )

3 3 3

2

S (1 15 ) (1 ) 15(15 1) 5(5 1) 14175.

2

1

5 A 201

1005 201

1 1

Mµ

2005 2006 2007 2014

2 2 2

2006 2008 2010 2012 2014

1 1 1

1003 1007 1005 1004 1006

1 1 5

2005 2006 2007 2014 2005 2010 401.402 A A 200,7

803

3 61 1; , ; , , ; 3 1 2

27 Bội 22NS.Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến

x3 4y3 x2y 14

cao minh quang

(GV THPT Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long) Bài 23NS Cho số thực x, y, z, t tháa m·n y x 4; x y 7; z t Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Đoàn cát nhơn

(GV THCS Nhn Léc, An Nhển, Bừnh ậỡnh) Bội 24NS.Cho tam giịc nhản ABC néi tiạp ệđêng trưn tẹm O bịn kÝnh R M lộ trung ệiÓm BC, AM cớt ệđêng trưn (O) tỰi F khịc A Goi r lộ bịn kÝnh ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC Chụng minh rỪng

nguyễn khánh nguyên

(GV THCS Hồng Bàng, Hải Phòng) AF 2rR

2

1

2z t

z t

M

x y

Bµi 16NS Ta cã x5 27y3 2x x5 27y3 2x x(x4 2) 27y3 x4(x4 2) (3xy)3

(x4)2 2x4 (3xy)3

(x4 1)2 (u 1)(u2 u 1) (Vắi u 3xy) Mộ (u 1, u2 u 1) nến u vộ u2 u lộ hai sè chÝnh phđểng

Đặt u2 u k2 (k ) Suy u k Do 3xy x y

Nhận xét Bài toán khơng có bạn giải

Bài 17NS.áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

Các bạn sau có lời giải tốn trên: Nguyễn Thị Hồng Huế, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Đỗ Linh Chi, Phùng Hải Yến, 9A2, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ;Tạ Bảo Anh Ngọc, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Bài18NS.Ta có

Vì SABK SADK SBDK SABDnên

Nhn xĐt Cịc bỰn sau giời ệóng bội toịn trến: Ngun Thỡ Hăng Huạ, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; TỰ Bờo Anh Ngảc, 8E, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh; NguyÔn Thỡ HỪng, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; ậẫ Linh Chi, Phỉng Hời Yạn, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy: NguyÔn Thỡ Hăng Huạ, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; TỰ Bờo Anh Ngảc, 8E, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An; Phỉng Hời Yạn, 9A2, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả

nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa

Ngun Ngäc H©n

KN 1 KM 1 DN DK AK AM 0

DN AM DN AM

DK AK DN AM

ABK BDK ADK

ABD ABD BDK

S KN;S KM;S 1.

S DN S AM S

2 2 1

1 a b c a b c

ab bc ca a b c

28 15.10.2014 Toán học & Tuổi trẻ tròn 50 tuổi

Ti cn nh ln ệẵu tiến trềng thÊy tê bịo Toịn hảc & Tuữi trĨ (THTT) lộ nẽm 1968 mừnh ệang ẻ nểi sể tịn Tê bịo 16 trang in giÊy ệen, khữ 19 27 bộy bịn ẻ quẵy bịo chĩ ViÒng (Mủ Léc, Nam ậỡnh) ệở hÊp dÉn, hót hăn trĨ lắp chóng tềi dỉ nã rÊt khã Cịc chuyến môc Nãi chuyỷn vắi cịc bỰn trĨ yếu toịn, Giời bội kừ trđắc, ậÒ kừ nộy, Giời trÝ toịn hảc, Toịn hảc vộ ậêi sèngbao giê còng ệđĩc tềi ệảc trđắc mẫi cẵm ệạn tê bịo Răi chê ệĩi sè bịo sau Cã phời ệi nhiÒu lẵn mắi mua ệđĩc tê bịo mắi Hai nẽm sau, tềi vộ mét sè bỰn ệđĩc hảc lắp chuyến Toịn cựa Bé tỰi khèi Chuyến toịn ậHSP Vinh dộnh cho hảc sinh cịc tửnh tõ Nam Hộ (nay lộ Nam ậỡnh, Hộ Nam) vộo ệạn Vỵnh Linh (lóc ệã lộ ệẳc khu) Theo cịc anh chỡ lắp trến, chóng tềi cịng cã phong trộo chĐp Tõ ệiĨn toịn hảc Nga - Viỷt vộ giời cịc bội trến bịo THTT Chóng tềi rÊt phơc nhọng nhiỊu lẵn ệđĩc tến mơc Giời bội kừ trđắc vộ ngđìng mé nhọng bỰn ệđĩc giời

cuéc thi cờ nẽmhaycuéc thi ệẳc biỷt kử niỷm ngộy thộnh lẺp bịo Hăi Êy, hảc ẻ Khèi Chuyến nểi sể tịn, ệÓ mua ệđĩc tê bịo, chóng tềi phời ệi xe ệỰp cờ chôc km thỡ trÊn Cẵu Giịt, Quúnh Lđu, Nghỷ An

Cịc bỰn trĨ bẹy giê, ngăi trđắc mịy tÝnh cịng cã thĨ ệảc ệđĩc THTT chớc sỳ khã hiĨu ệđĩc niỊm vui cựa chóng tềi cẵm tê bịo thịng mắi mét kừ cưn thểm mỉi mùc in Cuéc sèng thùc ệở tiạn bđắc dội THTT hềm ệở dộy gÊp ệềi trđắc, cã bừa mộu, giÊy in trớng vộ trừnh bộy ệứp hộng thịng THTT cã thếm cịc chuyến môc mắi nhđ ChuÈn bỡ thi vộo ậỰi hảc, Cẹu lỰc bé, Nhừn thạ giắi, Toịn hảc muền mộu, Tiạn tắi kừ thi Olympic

Tềi còng khềng nghỵ rỪng ệạn 23.4.1990 mừnh lỰi vÒ lộm viỷc ẻ tê bịo danh tiạng Êy vộ gớn bã suèt 17 nẽm cho ệạn 5.9.2007 sang lộm Toịn Tuữi thể vèn còng tõ THTT tịch Lóc 1990 ệã THTT chỰm ệịy chử cưn 1500 bờn/kừ Tềi ngăi viạt tay ệỡa chử gỏi bịo ệạn nhiỊu nểi ệĨ mải ngđêi biạt ệạn THTT vÉn cưn vộ sỳ ệữi mắi Thạ lộ ệở 24 nẽm răi tềi gớn bã cuéc ệêi mừnh vắi nhọng tê bịo toịn Cịc bỰn trĨ ngộy thẺt hỰnh vắi vộn sịch, bịo giÊy vộ nhiÒu sịch, bịo trến mỰng ệÓ tham khờo BỰn hởy nhắ rõng sịch Êy THTT vÉn lộ mét nhọng cẹy ệỰi thơ

TỐN HỌC & TUỔI TRẺ

50 MÙA THU

Nhân kỉ niệm 50 năm Toán học & Tuổi trẻ 15.10.1964 tiền thân Toán Tuổi thơ

29

Khi chuyÓn sang chểi cho cẹu lỰc bé Real Madrid nẽm 2003, Beckham ệở khoịc trến mừnh chiạc ịo sè 23. ậẹy lộ sè thùc sù Ên tđĩng vộ gẹy tư mư cho nhiÒu ngđêi Cã ngđêi tin rỪng vừ anh yếu thÝch cẵu thự bãng rữ nhộ nghÒ Mủ Michael Jordan (mẳc sè ịo 23) 23 cịng lộ sè cẳp nhiƠm sớc thĨ cựa ngđêi ậẳc biỷt hển nọa, 23 lộ mét sè nguyến tè Chóng ta thỏ xem sè ịo cựa nhọng cẵu thự quan trảng mộ chự tỡch Florentino PĐrez xẹy dùng ệéi bãng nộy vộo thêi ệiÓm ệã: Carlos sè 3, Zidane sè 5, Raul sè 7, Ronaldo sè 11 ậẹy ệÒu lộ nhọng sè nguyến tè Sè 23 lỰi cưn lộ sè nguyến tè ghĐp tõ hai sè nguyến tè vộ 3, ệăng thêi lộ sè nguyến tè ghĐp nhá nhÊt. Chóng ta biạt ệạn sè nguyến tè ghĐp tiạp theo lộ: 37, 53, 73

Vừ anh khềng chản nhọng sè nguyến tè khịc hển nhđ 13, 17, 19? Ta thỏ lÝ giời. ChỬng hỰn sè 13 khềng ệđĩc chản cã thÓ lộ do quan niỷm ệã lộ sè khềng may mớn Hay nhđ sè 17, sè nộy gớn vắi vưng ệêi cựa ve sẵu ậẹy lộ loội cền trỉng Èn lưng ệÊt 17 nẽm Sau ệã nã xuÊt hiỷn tèi ệa sịu tuẵn răi bỡ chạt Sù kừ lỰ nộy ệđĩc dù ệoịn lộ do mét sè loỰi kĨ thỉ cựa ve sẵu cã chu kừ khịc 17 nẽm vộ viỷc Èn lưng ệÊt vộ xuÊt hiỷn trẻ lỰi sau 17 nẽm nộy cựa ve sẵu lộ gióp nã trịnh bỡ ẽn thỡt, nhỪm bờo toộn nưi gièng.

Tõ thêi Hy LỰp cữ ệỰi, loội ngđêi ệở biạt rỪng

cã sè sè nguyến tè Nhđng viỷc phẹn bè sè nguyến tè nhđ thạ nộo cho ệạn ngộy nay vÉn cưn lộ ệiÒu bÝ Èn ậạn nay, vÉn chđa cã mét mề hừnh nộo cã thÓ mề tờ, biĨu diƠn gióp chóng ta dù ệoịn ệđĩc nhọng sè nguyến tè tiạp theo

Tuy bÝ Èn, sè nguyến tè ệở ệãng gãp vai trư quan trảng cuéc sèng hiỷn ệỰi ChỬng hỰn nã gióp mở hãa cịc tội khoờn nhỪm gióp ệđĩc bờo mẺt tèt nhÊt Cịng gièng nhđ ệĨ mẻ mét kĐt sớt vắi mở sè, ta cẵn thỏ hạt cịc khờ nẽng cựa nã Còng vẺy, nạu muèn mẻ mét mở khãa tội khoờn, ta cẵn phời thỏ hạt cịc trđêng hĩp Vắi viỷc sỏ dông sè nguyến tè lộm mở khãa, vắi tèc ệé cựa mịy tÝnh hiỷn tỰi, cã thÓ phời cẵn hộng tử nẽm mắi mẻ ệđĩc mở khãa ậã lộ mét nhọng ụng dông to lắn cựa sè nguyến tè.

Dù khơng rõ lí việc Beckham chọn áo số 23 nhðng điều thú vị.

DAVID BECKHAM với

số áo

REAL

MADRID

ở

30

Ai cịng biạt, nhọng gừ thc vỊ vua thừ gớn vắi chọ Ngù: giđêng Ngù, ịo Ngù. ẻ thộnh Nam ậỡnh cưn cã phè Bạn Ngù xđa vèn lộ bạn tộu cựa Vua mẫi khi ệi tuẵn giị Bớc Hộ ệở ghĐ vộo Nhđng, nhọng sờn vẺt mang biạu, tẳng vua thừ phời gải lộ Tiạn Hời Dđểng cã vời Tiạn, Hđng Yến cã nhởn Tiạn, Thịi Bừnh cã mớm Tiạn, Hộ Néi cã chim Tiạn Riếng cã chuèi vỉng Nam ậỡnh, Hộ Nam lỰi gải lộ chuèi Ngù TỰi lỰi nhđ thạ? Gẵn ệẹy cã ngđêi muèn ệữi gải lộ chuèi Ngù ậỰi Hoộng nhđng sè ệềng ngđêi tõ hiÓu lỡch sỏ, tõng mế chuèi Ngù vÉn gải chuèi Ngù Nam ậỡnh Cã mét giai thoỰi rỪng khi thuyÒn vua ghĐ vÒ vỉng ệÊt Thiến Trđêng, mét gia ệừnh lởo nềng nghÌo ệở mang nời chuèi vđên nhộ tiạn vua Trẵn Vua ẽn thÊy ngon ệở thđẻng cho gia ệừnh nả vộ khuyến mải ngđêi nhẹn réng gièng chuèi nộy Nạu vẺy phời gải lộ chuèi Tiạn chụ ThẺt ra, vÊn ệÒ khềng phời nhđ vẺy Cho ệạn bẹy giê chuèi Ngù ệđĩc trăng ẻ Lý Nhẹn (Hộ Nam), Mủ Léc (Nam ậỡnh) cho ệạn tẺn Hời HẺu (Nam ậỡnh). ậẹy vèn lộ ệÊt thang méc cựa nhộ Trẵn, ệÊt khẻi nghiỷp cựa nhộ Trẵn Nhđ vẺy chuèi Ngù vèn ệđĩc trăng trến ệÊt quế cựa Vua Trẵn. Ngay tõ nhá Vua Trẵn ệở ệđĩc ẽn thụ chuèi nhá, xinh, ngảt, thểm ệẳc biỷt nộy Bẻi thạ gải lộ chuèi Ngù theo nghỵa trăng trến ệÊt Vua, Vua dỉng trùc tiạp, khềng phời tõ vỉng miỊn nộo cóng tiạn cờ Ngđêi Nam ậỡnh tù hộo nãi: ậảc thể Xđểng, ẽn chuèi Ngù ậÊy lộ hai mãn ẽn tinh thẵn vộ vẺt chÊt nữi tiạng cựa vỉng ệÊt nộy Sau nộy mắi cã thếm bịnh ệẺu xanh

Hanh Tô, phẻ bư Că, Giao Cỉ, bịnh gai bộ Thi, bịnh nhởn Hời HẺu, nem thÝnh Giao Thựy Mét nhộ thể nữi tiạng ệở viạt: Chuèi ngù thểm hđểng vộng rùc chĩ Răng Cho ệạn tẺn 1890 toộn bé vỉng ệÊt nộy vÉn thuéc trÊn Nam ậỡnh Sau ệã mét phẵn ệÊt thuéc Hộ Néi, mét phẵn thuéc Nam ậỡnh ệđĩc tịch ra vộ hĩp thộnh tửnh mắi cã tến lộ Hộ Nam (chọ Hộ lÊy tõ Hộ Néi, chọ Nam lÊy tõ Nam ậỡnh). VẺy gải chuèi Ngù Nam ậỡnh vừ lỳ thụ nhÊt lộ vèn trăng trến ệÊt Nam ậỡnh Ngộy vỉng Mủ Phóc, Mủ Trung ngoỰi thộnh Nam ậỡnh cưn nhiỊu gia ệừnh cã trăng chuèi nộy Thụ hai lộ cho tắi thêi BỰch Thịi Bđẻi thừ chuèi ngù cã mẳt ẻ Hộ Néi còng nhê bẻi cã tộu sềng cựa nhộ tđ sờn nộy chẻ lến Ngđêi ta chử biạt chuèi ngù ệạn Nam ậỡnh lộ thÊy vộ nã ệạn Hộ Néi tõ Nam ậỡnh Hển 70 nẽm sau, Nam ậỡnh, Hộ Nam lỰi lộ mét tửnh Nam Hộ (1964) Chuèi ngù tõ chĩ Răng chuyÓn dẵn sang chĩ nhá Lý Thđêng Kiỷt gẵn dèc Lư Trẹu ệẵu ệđêng Hđng Yến, Nam ậỡnh VÉn khềng mang chuèi vÒ Phự Lý bịn cờ Muèn mua chuèi Ngù vÉn phời vÒ Nam ậỡnh Chử hai chôc nẽm mét Ýt gia ệừnh mắi thẽm dư ệđa chuèi ệạn mét hđắng xuÊt vắi tến gải ậỰi Hoộng lộ nểi trăng nhiÒu hển cờ Bờy trẽm nẽm mang tến vỉng ệÊt Nam thừ thay bỪng tến khịc thẺt khềng dÔ Nãi chuèi Ngù ậỰi Hoộng nhiỊu ngđêi lỰi ngội ngỰi chờ hiĨu cã phời lộ chuèi xđa Vua ngù ậÊy lộ cẽn nguyến thđểng hiỷu chuèi Ngù Nam ậỡnh.

24.11.2014

Tại gọi

Tại gọi

CHUỐI NGỰ NAM ĐỊNH?

31

Hái: Anh Phã ểi! Trến tỰp chÝ Toịn hảc vộ Tuữi trĨ cã cuéc thi Giời Toịn vộ VẺt lÝ diÔn ra hộng nẽm VẺy trến Toịn Tuữi thể cã cuéc thi nộo tđểng tù khềng Ự?

Nguyễn Dng Hong Anh

(7C, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ)

Đáp:

Chc em cha xem kỵ Toịn Tuữi thể chóng mừnh Thi giời toịn qua thđ Tõ hai nghừn linh bờy Mẫi nẽm ệÒu tững kạt Trao thđẻng ệở sịu lẵn Em cã thÓ bớt ệẵu Dù thi tõ sè tắi.

Hái: Em muèn gỏi bội giời qua email ệđĩc khềng hờ anh Phã?

Ngun Ngäc Mai

(6A1, THCS FPT, CÇu GiÊy, Hà Nội)

Đáp:

Riờng thi gii toỏn Cuc thi năm Em phải gửi phong bì Dán phiếu để dự thi Quy chế đề thế.

Hái:Anh Phã ểi! Chuyến mơc “Thi ệỊ kiĨm tra, ệÒ thi toịn” cã phời chử dộnh cho cịc thẵy cề giịo khềng Ự? TỰi hảc sinh em khềng ệđĩc tham gia Ự?

ậoộn Hđểng Lam

(Quờn ghi a ch)

Đáp:

ề thi cho hảc sinh Hảc trư ệđĩc Thềi em chê kiạn thục BỪng thẵy cề bẹy giê Ra ệÒ cho lp sau

Khi thành nhà giáo.

Hi:Anh Phó ơi! Em đánh máy những bài gửi tịa soạn khơng ạ?

Ngun Gia B¶o

(THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp:

Q tốt cịn gì Chữ viết hay chữ in Miễn làm đúng Riêng giải toán qua thð Phải dán ngồi đăng kí Phiếu tham dự thi.

32

Bội 1(142).Từm tÊt cờ cịc sè nguyến dđểng n biạt rỪng n céng vắi tững cịc chọ sè cựa nã bỪng 2013

LỰi quang thả (Phưng Giịo dôc vộ ậộo tỰo Tam Dđểng, Vỵnh Phóc) Bội 2(142) Cho cịc sè nguyến dđểng a, b, c, d, e, g tháa mởn a2 b2 c2 d2 e2 g2 Hái tững a b c d e g lộ hĩp sè hay sè nguyến tè?

nguyÔn ệÔ (Hời Phưng) Bội 3(142).Giời phđểng trừnh

cao vẽn dòng (GV THPT Hộ Néi - Amsterdam) Bội 4(142).Cho a, b vộ c lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn a b c Chụng minh rỪng

Kiều đình Minh

(GV THPT chuyến Hỉng Vđểng, Phó Thả) Bội 5(142).Tõ vÝ dô ẻ hừnh vỳ bến phời, hởy mét ệỡnh nghỵa vỊ ệă thỡ cã chó thÝch

vị kim thđy

Bội 6(142).Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A, ệđêng cao AH Vỳ ệđêng trưn tẹm H, bịn kÝnh HA D lộ mét ệiÓm di chuyÓn trến ệđêng trưn cho D khềng thuéc ệđêng thỬng BC E, F tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa DB, DC Chụng minh rỪng ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc DEF luền luền ệi qua mét ệiÓm cè ệỡnh

t¹ thËp (TP Hå ChÝ Minh) 2ab 2bc 2ca 1 14 a b c 15 4

a b b c c a

2

21 7x 12

3x 10x x 3x

x 2(x x)

1(142).Find all positive integers nsuch that the sum of nand its digits equals 2013

2(142) Given positive integers a, b, c, d, e, and g such that a2 b2 c2 d2 e2 g2 Determine whether the sum a b c d e gis a composite number or a prime number

3(142).Solve the following equation

4(142).Leta, b, and cbe positive real numbers such that a b c Prove that

5(142).Given the example in the figure on the right, provide a definition of a graph with references to the example

6(142).Given the triangle ABChaving a right angle at A and the height AH Draw a circle taking Has

the center and HAas the radius The point Dmoves on the circle such that it is not on the line BC The points E and F are the midpoints of DB and DC respectively Prove that the circumcircle of the triangle DEF always passes through a fixed point

2ab 2bc 2ca 1 14 a b c 15.4

a b b c c a

2

21 72

3 10 3

1 2( )

x

x x x x

x x x