Đang tải... (xem toàn văn)
Hạ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.. ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ PHÚ THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015
MƠN THI: Tốn lớp
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề
ĐỀ BÀI Câu ( điểm):
Cho biểu thức P 2x2 x2 y2 2y2 :x2 xy y2
x x xy xy y xy x y
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị biểu thức P với giá trị (x; y) thỏa mãn điều kiện:
2x 1 1
y Câu ( điểm):
1 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x2 xy y2 3
b) x x 1x7x 8 y2
2 Tìm tất số nguyên n cho:
n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 số phương Câu ( điểm):
Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD ( M khác B D) Hạ ME vuông góc với AB MF vng góc với AD
a) Chứng minh DE CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Câu ( điểm):
Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh : (p2014 – 1)(p2014 +1) chia hết cho 48 Câu ( điểm):
a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh :
1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
b) Cho a,b,c,d số dương Chứng minh :
b a
d a a d
d c d c
c b c b
b a
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU Mơn: Tốn lớp
Năm học: 2014-2015
Nội dung cần trình bày Điểm
Câu ( điểm):
Cho biểu thức P 2x2 x2 y2 2y2 :x2 xy y2
x x xy xy y xy x y
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị biểu thức P với 2x 1 1
y ĐKXĐ: x0;y0;x y
Rút gon được:
y x P
xy
0,25 đ đ
1 1
0 x x
x
1
1
1
3
2 y y
y
Với x = (loại)
Thay x = 1; y =
2
ta giá trị P = 3; Thay x = 1; y =
2
ta giá trị
3
P
0, 5đ 0, 5đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ Câu ( điểm):
1 Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
a) 2
3
x xyy ( 1.25 đ)
b)
1
x x x x y ( 1.25đ)
2 Tỡm tất số nguyên n cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 lµ sè chÝnh
ph-¬ng ( 1, đ)
a)
2 2
2
3
2
y y
x xyy x
Vì
2
3
0
2
2 2; 1;
y y
x
y y
Lần lượt thay vào PT ta tính giá trị x Vậy PT có cặp nghiệm nguyên là:
1; ; 1; ; 2; ; 2;1 ; 1;1 ; 1; 1
b)
1 8
x x x x y x x x x y (1) Đặt 2
8 ( )
x x z zZ (nhân vế PT với 4, thêm 49 vào vế )
(3)Từ PT (1) ta có PT:2z 7 2y2z 7 2y49
từ tính z; y x Vậy PT có cặp nghiệm nguyên là:
; 0;0 ; 1;0 ; 1;12 ; 1; 12 ; 9;12 ; 9; 12 ; 8;0 ; 7;0 ; 4;12
x y
0, đ 0,25 đ Giả sử n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( yN)
Ta có y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
y2 > (n2+ n)2
y >
n n
y
n n +1 Vì ( yN)
y2
1
n n
y2 (n2+ n +1)2
thay y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7
n2 + n -6 <
(n-2) (n+3)
-3 n
Thử trực tiếp n = 2, n =-3 thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm n = 2;-3
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ Câu ( điểm):
Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Hạ ME góc với AB MF vng góc với AD
a Chứng minh DE CF; EF = CM
b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui
c Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
a)
DF = AE DFC = AED ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
0, Ư 0, 0,
A B
C D
M
(4)EDC + ADE = 900 nên DE CF MC = MA (BD trung trực AC) MA = FE nên EF = CM
0,
b
MCF =FED MCF = FED
Từ MCF = FED chứng minh CM EF Tương tự a) CE BF
ED, FB CM trùng với ba đường cao FEC nên chúng đồng qui
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Đặt AD = a
do ME = FA ( cm) MF = FD (cm)
ME + MF = FA + FD = AD số không đổi
S = ME.MF (ME+MF)4/4
ME.MF lớn ME = MF SAEMF = a2/4 =
S
Lúc M trung điểm BD
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu ( điểm):
Cho p số nguyên tố lớn 3.CMR : (p2014 – 1)(p2014 +1) chia hết cho 48 Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ suy p1007 lẻ
Đặt p1007=2k+1 với k N p2014 =4k(k+1) +1 k, k+1 số tự nhiên liên tiếp nên 4k(k+1)
p2014 =4k(k+1) +1 chia dư 1 p2014 -1 chia hết cho p2014 + chia hết cho 2(p2014 – 1)(p2014 +1) 16 (1)
Vì p nguyên tố lớn nên p không chia hết cho mà nguyên tố nên p2014 không chia hết cho
Nếu p2014 = 3k+1 p2014-1 =3k 3(p2014 – 1)(p2014 +1) (2)
Nếu p2014 = 3k +2 p2014+1 = 3k+3 3 (p2014 – 1)(p2014 +1) (3) mà (3,16) =1 kết hợp (1),(2),(3) ta có (p2014 – 1)(p2014 +1) 48
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ Câu ( điểm):
a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh :
1 1 1
2( )
p a p b p c a b c
b. Cho a,b,c,d số dương Chứng minh :
b a
d a a d
d c d c
c b c b
b a
a) Chứng minh
1
p a p b p a p b c
(5)Tương tự
1
p b p c p b p c a
1
p c p a p c p a b
Cộng vế ta có điều phải chứng minh
0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ b) Ta có:
4
0
b a
b d a d
a c d c
b b c b
c a
b a
a d a d
d c d c
c b c b
b a b a
d a a d
d c d c
c b c b
b a
Xét:
4
1 1
4
4
a c b d c a d b b c c d d a a b
a c b d
b c d a c d a b
a c b d
a b c d a b c d
=> đpcm
Dấu = xảy a=b=c=d
0,25 đ 0,5đ
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Lưu ý chấm bài:
- Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng