Ứng dụng phương pháp hàm số để giải phương trình Mũ và Logarit

Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S... Hãy tính tổng các phần tử của S..[r]

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục a b;  * u v; a b; :f u  f v uv

* Phương trình f x kkconst có nhiều nghiệm khoảng a b; 

2 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục a b; , đồng thời  

lim lim ( )

xa f x xb f x  phương trình f x k k const có nghiệm a b; 

3 Tính chất logarit:

1.1 So sánh hai logarit số:

Cho số dương a1 số dương b c,  Khi a1 logablogacbc  Khi 0a1 logablogacbc

1.2 Hệ quả:

Cho số dương a1 số dương b c,  Khi a1 logab 0 b1  Khi 0a1 logab 0 b1

 logablogacbc 2 Logarit tích:

Cho số dương a b b, 1, 2 với a1, ta có

1 2

log ( )a b b logab logab

3 Logarit thương:

Cho số dương a b b, 1, 2 với a1, ta có

1

2

loga loga loga

b

b b

b  

Đặc biệt: với a b, 0, a1 loga1 logab

b 

4 Logarit lũy thừa:

Cho a b, 0,a1, với , ta có

logab logab





Đặc biệt: log n 1log

a b ab

n

 (n nguyên dương)

5 Công thức đổi số:

Cho số dương a b c, , với a1,c1, ta có

log log

log

c a

c

b b

a



Đặc biệt: log log

a

c

c

a

 logab 1logab



 với

0  

Trang 697

BÀI TẬP MẪU

Có cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0x2020 log 33 x3x2y9 ?y

A. 2019 B. C. 2020 D.

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình mũ, logarit

Phương pháp

Tìm hàm đặc trưng tốn, đưa phương trình dạng f u  f v  2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Đưa phương trình cho dạng f u  f v 

B2: Xét hàm số y f t  miền D

*Tính y xét dấu y

*Kết luận tính đơn điệu hàm số y f t  D

B3: Tìm mối liên hệ x y; tìm cặp số x y;  kết luận Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Lời giải ChọnD

ĐK: x 1

Ta có log 33 x3x2y9y

  log 33 3  

3

3log 3 x 3 y (*)

x  y 

     

Xét hàm số f t 3t3t ,

  3 ln 3t 0,

f t     t nên hàm số f t  đồng biến  Từ  *  f log 33 x3 f 2y1 log33x32y1

Mặt khác 0x2020log33x31; log360632y 1 1; log36063

 

3 log 6063

0

y

y

y Z

   



  

   

Vậy có cặp x y;  thỏa mãn

Bài tập tương tự phát triển:

Câu 47.1: Có giá trị nguyên tham số m  2019 ; 2019 để phương trình

2

2019

1

  

  

 

x x mx m

x x có nghiệm thực phân biệt ?

A. 4038 B. 2019 C. 2017 D. 4039

TXĐ: D\1; 

Ta có

2

2019

1

2 ( 2)

2019

1

2 1

2019 (*)

1

  

  

 

  

   

 



    

 

x

x

x

x mx m

x x

x m x

x x

x

m

x x

Đặt ( ) 2019 1

1



  

 

x x

f x

x x Khi

2

3

'( ) 2019 ln 2019

( 1) ( 2)

     

 

x

f x x D

x x

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt

2

m m 

Mà m  2019 ; 2019 m nên có 2017 giá trị m thỏa mãn

Câu 47.2: Có cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0 y2020 log3 1 ?

x

x

y y

  

  

 

 

A. 2019 B.11 C. 2020 D.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có:

0

2

0

0

  

 

    

    

x

x

y

x y

Trang 699 Xét hàm số f t log3tt 0;

Khi   1 ln

f t t

    hàm số f t log3tt đồng biến 0;

(*) có dạng f2x1 f y  y2x1

Vì 0y2020 0 2x 1 2020 1 2x 2021 0 xlog22021

 

 

2 log 2021

0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10

x

x x

   

 

  

 

Vậy có 11 cặp x y;  thỏa mãn

Câu 47.3: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số x y;  thỏa mãn

e x yex y  1 2x2y, đồng thời thỏa mãn log323x2y1  m6 log 3x m 2 9 ?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có e3x 5y ex 3y 1 2 2

x y

          

e x y 3x 5y exy x 3y

       (1)

Xét hàm số f t ett  Ta có f t et 1 nên hàm số đồng biến  Khi (1)  f3x5y f x 3y1 3x5yx3y12y 1 2x

Thế vào phương trình cịn lại ta log23xm6 log 3x m 2 9 (2) Đặt tlog3x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình

 

2

6

t  m tm   (3)

Phương trình (3) có nghiệm khi  0 3m212m0 0 m4 Do có số nguyên m thỏa mãn

Câu 47.4: Có số nguyên m để phương trình log22xm2 log2xx24x2m1 có hai nghiệm thực phân biệt ?

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn C

Điều kiện

0

2

   

   

x m x

 

2

   

   

2

2

2

2

log 2 log 2

log 2 log

x m x x x m

x m x m x x

      

      

    2

2

log 2x m x 2m log x x

      (1)

Xét f u log2uu u, 0

 

'

ln

  

f u

u , hàm số đồng biến (0;)

Khi (1)     2   2

2 2

f x m f x x m x x x m

        

Xét hàm số     ,

g x x  x x

Phương trình có nghiệm dương 4 2m0  2 m0 suy có giá trị nguyên

Câu 47.5: Biết x1,x2 hai nghiệm phương trình

2

2

4

log

2

   

  

 

 

x x

x x

x

 

1

1

4

  

x x a b với a,b hai số nguyên dương Tính ab

A. ab13 B. ab11 C. ab16 D. ab14 Lời giải

Chọn D

Điều kiện: 0,

 

x x

Ta có:    

2

2 2

7 7

4

log log 4 4 log 2

2

   

          

 

 

x x

x x x x x x x x

x

Xét hàm số f t log7tt có   1 ln

   

f t

t  t nên hàm số đồng biến

0;

Trang 701 Khi

 

1

3 5

2

4 4

 

    

x x 1 2 23 19 5

4 4

 

    

x x

Vậy 1 5; 2

4

 

 

x x Do a9;b5 ab  9 14

Câu 47.6: Biết phương trình log52 log3

2

 



   

 

x x

x x có nghiệm dạng xab

đó a b, số ngun Tính 2a b

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có log52 log3 log52 log3  1

2 2

 

    

      

 

 

x x x x

x x x x

ĐKXĐ: x1

 1 log 25 x12log 23 xlog5x2log3x1 (*) Xét hàm số f t log5t2 log3t1, với t1

 

 

1

0 ln ln

   



f t

t t với t1, suy f t  đồng biến khoảng 1; 

Từ (*) ta có f2 x1 f x  nên suy x 1 x x 22 x 1 0 x 1 (do x1)

Suy x 3 2a3;b 2 2a b 8

Câu 47.7: Tìm tổng tất giá trị nguyên m để phương trình

 

3

3 3

3x  m x  x 9x 24xm 3x 3x1 có nghiệm phân biệt

A. 45 B. 34 C. 27 D. 38

Lời giải

 

 

   

3

3

3

3 3

3

3 3

3

3 3

3 24 3

3 27 3

3 3 27 3

x m x x x

x m x x x

m x x

x x x m

x m x

x m x

   

   

 

     

 

       

 

       

  3 3

1 3b27b a 27 3 a3bb 3aa Đặt a 3 x b; 3m3x, phương trình (1) trở thành

3 3

3b27b a 27 3 a3bb 3aa

Xét hàm số f t 3tt3 f ' t 3 ln 3t  t20, t 

   

 

3

3 3 2

(1) 3

3 24 27

f a f b a b x m x

m x x x x x

       

        

   

 

3 2

9 24 27 ' 18 x 24

'

g x x x x g x x

g x x x

         

    

Đồ thị:

Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt 7m11 hay 8;9;10

m

Câu 47.8: Tìm giá trị m để phương trình sin cos   sin cos 10

3    log

 

 

x x m

x x m có nghiệm

A. 6m B. 5 m5 C.5 6 m  5 D. 6m5 Lời giải

Chọn C Ta có

 

 

 

sin cos

sin cos 10 sin cos 10

5

3 log

ln

3

3 ln sin cos 10

x x m

x x

x x

m

m m

x x

  

 

 



 



 

Trang 703

   

sin cos 10

3 x x ln sin cos 10 3m ln

x x  m

 

     (1)

Xét f t ln t ,t  t 5, f t 13tln t ln 3t  0, t

t nên hàm số f t đồng

biến (5;) Khi

   

(1) f sinx cosx10  f m5

sin cos 10

sin cos

x x m

x x m

    

   

Mà  6sinx cosx nên để phương trình có nghiệm ta phải có 5 6 m  5

Câu 47.9: Số nghiệm thực phương trình 6x 3log 56 x12x1

A. B.2 C.1 D.

Lời giải Chọn B

Điều kiện:

x 

PT:   log 56 1  

6

6x 3x 3log 5x 5x 6x 3x x 3log 5x (1)

          

Xét hàm số f t 6t3t, f t 6 ln 0,t    t  nên f t  đồng biến  Khi  1  f x  f log 56 x1xlog 56 x1log 56 x1 x

Xét hàm số h x log 56 x1x 1;

 

 

 

  , ta có  

 

5

1

5 ln

h x x

  



 

 2

25

0,

5 ln

h x x

x

      



   

1

lim ; lim

x x

h x h x

 

      

     

Từ BBT suy phương trình h x 0 có nhiều nghiệm thuộc khoảng 1;

 

 

 

 

Mà h 0 0,h 1 0

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x0,x1

Câu 47.10: Tính tổng S tất nghiệm phương trình ln 5 5.3 30 10

6

x x

x x

x x



  

    

 



 

A. S1 B. S2 C. S 1 D. S3

Lời giải Chọn A

Điều kiện

x 

Phương trình tương đương

       

ln 5x3x ln 6x2 5 5x3x 5 6x2 0

       

ln 5x 3x 5x 3x ln 6x 6x

        (1)

Xét hàm số f t lnt5 ,t t0 Có f ' t

t

   ,  t 0nên f t  đồng biến 0; 

Từ  1 suy f5x 3x f6x25x3x 6x2 5x3x6x20

Xét g x 5x3x6x2, g x' 5 ln ln 6x  x 

   2  2 '' 5x ln 3x ln

g x    ,

3

x

Nên g x' 0 có khơng q nghiệm suy g x 0 có khơng q nghiệm

;

 

 

 

  Mà g 0 g 1 0 Vậy phương trình có tập nghiệm 0,1 Do S1

Câu 47.11: Số nghiệm phương trình

1

80

ln 2.3 80 ln

3

x x

x

x





   

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn C

PTln x2802 x280ln 3x12.3x1 (1)

Xét hàm số f t lnt2 ,t  t 0; Ta có: f  t 0, t

t

       Hàm số f t  đồng biến 0;

Từ (1) suy f  x280 f3x1 x2803x1x2809x19x1x2800 Xét hàm số   9x 80

g x  x

    Ta có:  

   

1

2 2.9 ln

4.9 ln x

x

g x x

g x

 

  

  

       

0 9

0 log ln ( ) log ln 3,

g x  xx    g x   g   

 

lim ; lim ( )

xg x xg x

     

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có g x' 0, x  hàm số g x  đồng biến   phương trình g x 0 có nhiều nghiệm

Mà g 1 0

Do phương trình cho có nghiệm Câu 47.12: Cho phương trình log2 

x

m x m

   với m tham số Có giá trị nguyên  18;18

A. 20 B.17 C. D. 21 Lời giải

Chọn B

Điều kiện xm

PT   log (5 )

2

2x x x m log x m 2x x x m log (x m) (1)

          

Xét hàm số f t 2t  t, t ; Ta có: f t 2 ln 0,t    t  Hàm số f t  đồng biến 

Từ (1) suy f x  flog (2 xm) xlog (2 xm) xm2x mx2x Xét hàm số g x  x 2x m; Ta có: g x'  1 ln 2x ;

  2 

' ln 1x log log

g x    x e glog log2 2elog log2 2elog2e

 

lim ; limm ( ) x

x m

g x m g x

 



   

Bảng biến thiên:

Do Phương trình cho có nghiệm

   

2 2 2

2 log log log log log log 0, 91

 m        

m m e e m e e

Vì

 18;18 

  

   



m

m nên m  17; 16; 15; ; 1  

Vậy có 17 giá trị m Câu 47.13: Cho phương trình

 

3 3 1 3 1 2

3

81 3 2

1

2 log 2 log

3

m m x x

x x

m m

        

 

    

    

 

Gọi S tập hợp tất giá trị m ngun để phương trình cho có nghiệm nghiệm nghiệm phân biệt Tính tổng bình phương tất phần tử tập S

A. 20 B.19 C.14 D. 28

Ta có  

3

3 3 2

81 3 2

1

2 log 2 log

3

m m x x

x x

m m

        

 

    

    

 

   

3 3 1 2 3 1 2

3

3

2x  x  .log x 3x 2m m  .log m 3m

       

Xét hàm số   logt 3

f t  t với t2; Ta có   ln 2.log3 ln

t t

f t t t

t

     

Suy hàm số f t  đồng biến 2;

Do phương trình tương đương với m3 3m2 1 x3 3x21  1

Vẽ đồ thị hàm số g x x33x21 từ suy đồ thị g x  đồ thị g x  hình vẽ

Từ đồ thị suy  1 có 6, 7, nghiệm 0 g m  3 Từ đồ thị suy giá trị nguyên m 3, 1, 0,1, 3  Vậy S20

Câu 47.14: Cho phương trình    

2

2 logx x 4x a log x a 2

      Gọi S tập hợp giá trị

a thuộc đoạn 0; 2020 chia hết cho để phương trình có hai nghiệm Hãy tính tổng phần tử S

A. B. 2041210 C. 680403 D. 680430

Lời giải Chọn C

Phương trình tương đương

   

2 2 2

2

2 logx x 2 2 x a log xa 2

   

2 2

2

2

4.2 logx x 4.2 x a log x a 2

   

2 2 2

2

2

2x log x 2 x a  log x a 2

       (*)

Xét hàm số f t 2 log ,t t t2 Có '  ln 2.log2 0, ln

t t

f t t t

t

     , nên f t  đồng biến 2; 

Khi (*)     

2

2

2 2

2 2; | | 2

f x f x a

x x a

    



 

    

 

2

2

x  x a (1)

 

 

2

2

2 2 (2)

2 2 (3)

x x a x x a

x x a x x a

      

 

     

 



Phương trình (2)  2  1 2a, phương trình (3) có (3)  1 2a

Vì  2  (3) 20 nên hai phương trình (2), (3) ln có hai nghiệm phân biệt Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, ta xét trường hợp sau:

* TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt:  2 2

a a



        Khi (3)0 nên (3) vơ nghiệm Trường hợp thỏa mãn điều kiện toán

* TH1: (3) có hai nghiệm phân biệt: (3) 2

a a



       Khi (2) 0 nên (2) vơ nghiệm Trường hợp thỏa mãn điều kiện toán

Do phương trình cho có nghiệm ; 1;

2

a    

   

Vì a0; 2020 chia hết aS3; 6;9;12; , 2019

Tổng phần tử S là: 2019 3.1 3.2 3.3 3.673        

  673.674

3 673 680403

      

BỔ SUNG CÁCH 2:

Xét phương trình x22 xa  *

Xét vị trí nhánh trái phải đồ thị hàm số  2 tiếp xúc với  1 dễ dàng tìm

1

;

2

a a ứng với đồ thị    2 ; (hình vẽ) Từ đồ thị nhận xét :

Phương trình  * cho có nghiệm ; 1;

2

a    

   

Vì a0; 2020 chia hết aS3;6;9;12; , 2019

Tổng phần tử S là: 2019 3.1 3.2 3.3 3.673        

  673.674

3 673 680403

      

Câu 47.15: Có giá trị thực tham số a để phương trình

   

2

1

2

4 x alog x 2x3 2x  xlog x a 2 0 có nghiệm thực phân biệt ?

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn D

PT cho tương đương với 1  1 

2

2

2 2

2

1

log log 2

2 x a x  x 2x  x  x a  

   

   

   

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

log log 2

2

2 log log 2

2 log log 2 (1)

x a x x

x a x x

x a x x

x x x a

x x x a

x x x a

 

  

   

     

     

Xét hàm số f t 2 log ,t 2t  t 2; Ta có:   ln 0, ln

t t

f t t t

t

       Hàm số f t 

đồng biến 2;

Từ (1) suy    

2 2 2

f x  x  f xa   x  x  xa  2 1 2

x x x a

     (*)

 

 

2

2

2 (2)

2 2 (3)

x x x a x x a

x x x a x a

         

 

      

 



Phương trình (*) có nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: * TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm (2):

 2 (3)

3

0 3 2 0 2 1

2 1

0 a a a a a                               

* TH2: (3) có hai nghiệm phân biệt (2) có nghiệm kép khác hai nghiệm (3):

 2 (3)

3

0 3 2 0 2 3

2 1

0 a a a a a                               

* TH3: (2) (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm chung: Điều xảy hệ

2

2

4

2

x x a

x a            có nghiệm 2

4 1

1

2

x x a x a x

a a x a                       

 Khi a1 ta có:  2 trở thành 4 3 0 x x x x           3 trở thành 1

1 x x x         Khi đó: PT cho có nghiệm

Vậy 1;1;3 2

a  

 

BỔ SUNG CÁCH 2:

Xét phương trình x22x 1 2 xa  *

Nhận xét  * có nghiệm phân biệt

nh¸nh bên trái (2) tiếp xúc với (1) nhánh bên phải (2) tiếp xúc với (1) (1) (2) trùng cực trị

 

 

 

2

2

1

2

3

2

2

1 1

cã nghiÖm kÐp cã nghiÖm kÐp

a

x x a x

x x x a a

a a

  

     

 

      



 



 

 



Vậy có giá trị a thỏa mãn tốn

Câu 47.16: Tìm tổng tất giá trị tham số a để phương trình

 

2

2

2

2

3x x  x a logx  x x a 2 có ba nghiệm phân biệt

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn B

PT cho tương đương với    

 

2

2 2

2

ln 2

3

ln

x x x a x a

x x

      



 

   

2 2 2

2

3  .ln 3  .ln 2 (1)  x x x  x  x a x a 

Xét hàm số f t 3 ln ,t t  t 2; Ta có:   ln 3.ln 0, t

t

f t t t

t

       Hàm số f t 

đồng biến 2;

Từ (1) suy    

2 2 2

f x  x  f xa  x  x  xa 

2

2

x x x a

 

 

2

2

2 (2)

2 2 (3)

x x x a x x a

x x x a x a

         

 

      

 



Phương trình (*) có nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: * TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm (2):

 2 (3)

3

0 3 2 0 2 1

2 1

0

2

a a

a a

a

  

  

   

 

   

  

  

  

 

 

 

* TH2: (3) có hai nghiệm phân biệt (2) có nghiệm kép khác hai nghiệm (3):

 2 (3)

3

0 3 2 0 2 3

2 1

0

2

a a

a a

a

  

  

   

 

   

  

  

  

 

 

 

* TH3: (2) (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm chung: Điều xảy hệ

2

2

4

2

x x a

x a

    

 

 

 

có nghiệm

2

2

4 1

1

2

x x a x a x

a a

x a

        



 

  

 

 

  



 Khi a1 ta có:  2 trở thành 3

x

x x

x

      

   3 trở thành 1

1

x x

x

      

 Khi đó: PT cho có nghiệm

Vậy 1;1;3 2

a  

 

Câu 47.17: Tìm số giá trị nguyên m thuộc 20 ; 20 để phương trình

2 2

2

log (x mx x 4)(2m9)x 1 (1 ) m x 4 có nghiệm

A.12 B.23 C.25 D.10

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định: x2mx x240

 2     

2

Trang 713

 

  2

2

log 4

 x x  x m  mx x  x   m x 

2

2 2

4

log 4

4

 

         

 

 

x

m mx x x m x

x x

2

2

2

2

4

log 4

4

    

        

   

 

x m x mx

mx x x m x

x x

       

2

log 4 log 4

 x m x  mx  x m x   mx   x  x  x  x

         

2

log 8 log 4

 x m x   mx  x m x   mx  x  x  x  x

Xét hàm số f t log2tt, t0;

  1 0, 0; 

ln

       

f t t

t nên hàm số đồng biến 0;

Khi  1 2

8 4

 x m x   mx x  x

   

2 4

 m x  x  x  x  x

2

2

4

  

 

x m

x x

 

8

2

4  

  

x x x

m

 

2

 m  x x  x

2 2

4

2



x x  x  m

Xét hàm số g x( ) x x24x2 với x    ; 

Ta có  

2

2

( ) 0,

4  

    





x x

g x x

x

   

lim lim

 

 

  

 

 

x g x x x x x

4 lim

4



 

  

 

 

x x

x x

2

lim

4

1



  

  

x

x

 

2

lim lim 1

 

  

      

  

 

x g x x x x

Ta có bảng biến thiên g x( )

Để phương trình có nghiệm 2

2



   

m

m

Do m nguyên thuộc 20 ; 20 nên số giá trị m 23

Câu 47.18: Cho x y, hai số thực dương thỏa mãn 2  2  2

4 9.3 x  y  9 x  y y x  Giá trị nhỏ biểu thức P x 2y 18

x

 



A. B.

2



C. 2. D 17 Lời giải

Chọn A

Ta có 2  2  2 2 2 2( 2 ) 2 9.3 x  y  9 x  y y x  4 3 x  y 4 3 x  y .7 y x 

2

2

2 2( )

2 2( )

4

(*)

7

x y x y

x y x y

  

  

 

 

Xét hàm số ( )  

t

t

f t  Ta có ( )

7

   

    

   

t t

f t nghịch biến 

  2 2

(*) f x 2y2  f 2(x 2 )y x 2y 2 2(x 2 )y x 2y22yx 2

Từ

16 16 16

1

 

 x x       

P x x P

x x x

Trang 715 Câu 47.19: Cho số dương x y, thỏa mãn log5

2    

  

 



 

x y

x y

x y Giá trị nhỏ biểu

thức A6x2y49

x y

A. 31

4 B.11 C

27

2 D. 19

Lời giải Chọn D

ĐK:

1

2

,   

 

   



 



x y

x y x y

x y

Ta có:

 

     

       

5

5

5

1

log

2

log 1 log 3

log 5 log 3 *

   

  

 



 

          

 

          

x y

x y

x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

Xét hàm số f t( )log5 t t 0 ; , ( ) 1 0, 0;  ln

f t t

t

        nên hàm số ( )

f t đồng biến 0 ; 

 * 5xy12x3y3x2y5 Mặt khác, ta có

 

4 9

6 2.6 2.6 19

A x y x y x y

x y x y

 

 

             

   

Dấu “ = ” xảy

4

2

9

4

3

3

x x

x y

y

y

x y

 

 

  

 

  

  



   

 

(thỏa mãn điều kiện)

Câu 47.20: Cho hai số thực x y, lớn thỏa mãn yx.(ex e) y xy.(ey e) x Tìm giá trị nhỏ biểu thức Plogx xylogyx

A.

2 B. 2 C.

1 2



D.

2



Lời giải Chọn C

Với x y, 1, ta có

   

.( ) ( )

ln ( ) ln ( )

ln ln

ln ln

(1) 

 

   

   

y x

y x

x x e y y e

x x e y y e

y x

y x

y e x e

y e x e

x y xe y x ye

y e x e

y y x x

Xét hàm số g t( )tetet 1 lnt 1;, có ( ) t 0,

g t te t

t

     

Hàm số g t( ) đồng biến 1; nên g t( )g(1) 0,   t

Xét hàm số ( )ln  t

t e f t

t t 1;, có

( )

'( ) g t 0, 1,

f t t

t nên f t( ) đồng biến (1;) Với x y, 1 (1) f y( ) f x( )yx

Đặt ulogx y Do y x nên u1 Ta có

1

( )

2



  u

P h u

u Nhận thấy

2

2 '( )

2  u

h u

u ,

nên h u'( )0 u 2, h u'( )0 1u 2, h u'( )0 u Dẫn tới

  2

( ) , 1,

2



    

P h u h u đẳng thức xảy u

Vậy 2,

2

 

P đạt 

y x x1

Câu 47.21: Cho hai số thực x y, thỏa mãn 0x y, 1 đóx y, không đồng thời

   

  

    

 



 

3

log

1 x y

x y

xy Tìm giá trị nhỏ Pvới P2x y

A. B. C.

2 D.

Trang 717 Chọn B

Từ điều kiện đề    

 0;1

1 x y

xy

xy  x y0;1xy0khi

             

  

            

 



 

3 3

log log log 1

1 x y

x y x y x y xy xy

xy

Xét hàm số f t log3t t t0 có    1  0 ln

f t t

t

 

 f t hàm số đồng biến khoảng 0;

Vậy phương trình            

 

1

1

1

x x

x y xy y P x

x x

Xét hàm số    

1 ( )

1 x

f x x

x với x 0; 1có  



  



2 ( )

1 f x

x

cho        

0 ( )

2 x f x

x

   

   

    

0;1

0 1; ( )

f f f x chọn B

Câu 47.22: Xét số thực dương x, y thỏa mãn      

 

1

ln x 3x y

x y Tìm giá trị nhỏ Pmin P1

x xy

A Pmin 8 B Pmin 4 C Pmin 2 D Pmin 16 Lời giải

Chọn A

Điều kiện 0 

2

x

Từ giả thiết      

 

1

ln x 3x y

x y ln 2  x  2 xlnx y   x y   1 Xét hàm số f t lnt t 0; có f t 1 1

t ,  t hàm f t  đơn điệu

Vậy  1  1 2xx y 3x y 1  2

Có      

 

1 1 2

1 P

x xy x x y x x

Đặt    

1

1 g x

x x, ta có      2

1

1 g x

x x suy    

1

4

g x x

Do        



0 ;

ming x Vậy Pmin 8

Bổ sung: đánh giá        

 

 

1 1 2

1

1

2 P

Câu 47.23: Cho hai số thực ,x y không âm thỏa mãn 2 log2 1 y

x x y

x



   

 Giá trị nhỏ

biểu thức 2x 2

P e  x y

   

A

 B.1 C.

2 D. 1

Lời giải Chọn A

2

2

2

2 log

1 y

x x y

x



   

          

2

2

2 x log x log 2y 2y

       

Xét hàm số f t  t log2t ,t0;   1 0, ln

f t t

t

     

Suy 2x122y1 2y2x121 2

4

x

Pe   x  y e2x14x22x12 1 1 2  

2

x

e  x x g x

   

 

2 x 4

g x  e   x hàm số đồng biến nửa khoảng 0; nên g x 0 có tối đa

nghiệm, nhẩm nghiệm

x nên nghiệm

Vậy

P 

x

Câu 47.24: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức xy1 2 2xy1x2y.2x2y Tìm giá trị nhỏ ymin y

A ymin 3 B ymin 2 C ymin 1 D ymin 

Lời giải Chọn B

Ta có xy1 2 2xy1x2y2x2y 2xy 1 2 2xy1x2y2x2 y 1 1 Xét hàm f t   t1 2 t với t1

Khi f t 2tt1 ln 2 t 0 với  t

Từ  1 2xy 1 x2 y

2 2

x y

x



 

Trang 719

 

2

2

0

x x

y

x

 

  



2

2x 2x

   

1

x x

     

 Loại x 1 điều kiện t nên f 2 2

Câu 47.25: Cho , ,

x y x y

 

   



cho ln 2 x x3 ln 3 19y3 6xy x( 2 )y

y

 

      

 

 

  Tìm giá trị nhỏ m

của biểu thức

3

T x

x y

 



A. m 1 B. m2 C.

4

m D. m1

Lời giải Chọn C

Ta có

   3      3

3

ln x x ln 19y 6xy x( )y ln 2y x 2y x ln 3y 3y

y

 

            

 

 

 

Xét hàm số    

ln

f t  t t với t0 có    

3 0

f t t t f t

t

       đồng biến

Vậy  1

4

y x y x y T x

x

       

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

1 3 3

2

4 4 4 4 4

x x x x x

T x

x x x

            Dấu xảy

1

x y

Câu 47.26: Cho x y; số thực dương thỏa mãn điều kiện

 

4

5

3

xy

x y x y

xy x y x

         

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y

A. B. 52 C 32 D 1

Lời giải Chọn B

Ta có 5  4

3

xy

x y x y

xy x y x

         

 4 1  

5x y3 x y x 4y5xy 3xyxy1 Xét hàm số f t  5t 3tt 

Vì f t 5 ln 5t 3 ln 3t    1 0; x  nên hàm số f t  đồng biến   2 Từ  1  2 ta có x4yxy1 3  Dễ thấy x4 không thỏa mãn  3

Với x4,  3

x y

x

  

Do

x

P x y x

x

    



Xét hàm số  

x

g x x

x

  

 4; 

Ta có  

 2

5

1

4 g x

x

   



4

4

x x

   

 

 



x 4 5 

 

g x – 

 

g x



5 5



Dựa vào bảng biến thiên ta có

   

min 4;

min 5

P g x



  

Câu 47.27: Chox, y số thực dương thỏa mãn 5 ( 2)

3

  

      

xy

x y x y

xy x y x Tìm giá

trị nhỏ biểu thức T  x y

A Tmin  2 B Tmin  3 C Tmin  1 D Tmin  5 Lời giải

Chọn B

Theo đề ta có

2

2

2

3

5 ( 2)

3

1

5

3

  

 

 

      

       

xy

x y x y

xy

x y xy

x y xy

x y x

x y xy

Xét    t t 

f t t. f t 5 ln ln 1t  t  0

2

2 

     



x

x y xy y

x Do

1

0, 0

2

x

y x x

x



     

 Ta có:

2

1

2

  

    

 

x x x

T x y x

x x

 

 

 

2

2 2;

0

2 2;

x

x x

T

x x

    

 

  

     

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin  3 x 2

Câu 47.28: Xét số thực dương ,x y thỏa mãn log3 3 1

x y

xy y x

xy



   

 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x

y

 

A min 14

A  B. min 14

3

A   C.Amin  6 D. Amin 6 Lời giải

Chọn D

Điều kiện: x3y0

   

3 3

3

log log log

1

x y

xy y x x y xy xy y x

xy



           



       

3

log x 3y x 3y log xy xy 1

       

Xét hàm f t log3tt t, 0

  1 0,

.ln

f t t

t

     

Suy hàm số f t  đồng biến 0;  nên  1 1

x

x y xy y

x



     



1

1

x

A x x

y x

    



Đặt  

1

x

A A x x

x



  

    2

4

1

1

A x x

x



     

 ,x y0

Câu 47.29: Cho x y, 0 thỏa  

 

2

2

4

2019

2

x y x y

x

   

 

 Tìm giá trị nhỏ Pmin 2 4

P y x

A. 2018 B. 2019 C.

2 D.

Chọn D

Ta có:  

 

   

 

2

2 2 4

2

4

2019 2019

2

x y x y x x x y x y

x x

          

   

 

 2  2    

2 2

2019 x x 2019 x y 4x y *

    

Đặt    

2

,

4

u x

u v

v x y

  

 

    

Khi đó:   2

* 2019 u 2019 v

u v

   f u  f v  với  

2019 , (t 0)

f t  t t

  2

' 2019 ln 2019.t 2019 t 0,

f t t t

     

Do đó: f u  f v  u v x224x   y y x22  2

2

2 4 2

P y x x x x

         

Vậy Pmin   2 x

Câu 47.30: Cho số thực dương x y, thỏa mãn log3x1y1y19x1y1 Giá trị nhỏ biểu thức P x 2y

A min 11

2

P B min  27

5

P C Pmin   5 D Pmin   3 Lời giải

Chọn D

Ta có log3x1y1y19x1y1

        

 y1 log 3 x1 log3 y1  x1 y1 9

      

 y1 log 3 x1 log3 y1 x19

   

      



3

9

log 1 log

1

x x y

y

 

       

 

3

9

log 1 2 log

1

x x

y y

Xét hàm số f t log3t t 2 với t0 có    1 ln f t

t với t0 nên hàm số

 

f t đồng biến liên tục 0;

Từ suy   

9

1 x

y



   

 

8

1

1

y x

y y , x0 nên y0; 8

Vậy                

  

8 9

2 2 3

1 1

y

P x y y y y

Trang 723 Vậy Pmin   3      



9

2 1

1

y y

y

Câu 47.31: Xét số thực dương x y, thỏa mãn log3 3

y

xy x y

x xy



   

 Tìm giá trị nhỏ

min

P P x y A. min 4

3

P   B. min 4

3

P   C. min 4

9

P   D. min 4

9

P  

Lời giải Chọn B

   

3 3

1

log 3 log log 3

3 y

xy x y y x xy xy x y

x xy



           



       

3

log y y log x 3xy x 3xy

       

Xét hàm f t log3tt t, 0 có '  1 0, ln

f t t

t

     Suy hàm số đồng biến 0; Suy log 13  y3 1 ylog3x3xy  x3xy3 1 yx3xy

   

3

1 3

y y

x x y y

y y

 

     

 

4



 Vậy min 4

P  

Câu 47.32: Xét số thực dương ,x y thỏa mãn 2 2    

log 3

2 

    

  

x y

x x y y xy

x y xy Tìm

giá trị lớn Pmax biểu thức

 



 

x y

P

x y

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn C

Ta có:

   

2

log 3

2



    

  

x y

x x y y xy

x y xy

     2  2

3

log 3 log 2

 xy  xy  x y xy x y xy

Xét hàm số   log

 

f t t t, t0 có   1 0,

ln

     

f t t

t Vậy hàm số f t 

đồng biến liên tục khoảng 0;

Do đó: f 3xy f x 2y2xy23xyx2y2xy2  1 Từ  1 xyxy23xy2

Ta có  

2 1

2  

 

        

 

x y

x x xy xy x y xy xy

Do từ  1 , suy ra:       2  

 x y     

x x y x y

Đặt t x y, t0

Suy ra:  

      2

2

2 4 22

6 6

                    t

t t t

x y x t t

P f t

x y t t

Ta có:  

 

2

2 36 135

0          t t

f t t

t

(nhận)

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta có

0;     

max max



  

P f t f

3             

x y x

x y y

Câu 47.33: Xét số thực dương x, y thỏa mãn  

  2 2 2018

x y x y

x

  

 

Tìm giá trị nhỏ Pmin

2

P y x

A min

2

P  B min

8

P  C min

4

P  D min

6

P 

Lời giải Chọn B

Cách 1: Ta có  

  2 2 2018

x y x y

x          2018 2

2 log

1 x y x y x      

 2   2018  2018 2

2 x 2x y log 2x y log x

       

 2 2018 2   2018 

2 x log x 2x y log 2x y

       

Có dạng f x12 f 2xy

  với f t 2tlog2018t,  t 0 Xét hàm số f t 2tlog2018t,  t 0, ta có  

.ln 2018

f t

t

     t 0 nên hàm số  

f t đồng biến khoảng 0;  Khi f x12 f2xy

   

2

1

x x y

    y x     t  

f t

 

f t

0

Bảng biến thiên

x 

4 

P 

8



Vậy min

P 

x

Câu 47.34: Cho số thực dương ,x y thỏa mãn log3x1y1y1 9 x1y1 Giá trị nhỏ biểu thức Px2y

A. min 11

2

P  B. min 27

5

P  C. Pmin   5 3 D. Pmin   3 2 Lờigiải

ChọnD

Ta có log3x1y1y1 9 x1y1

y log 3x 1 log3y 1 x 1y 1

         

y log 3x 1 log3y 1 x

        

   

3

9

log 1 log

1

x x y

y

      



 

3

9

log 1 2 log

1

x x

y y

       

  (*)

Xét hàm số f t log3t t với t0 có   1 ln

f t t

    với t0 nên hàm số f t 

luôn đồng biến liên tục 0;

Từ (*) suy

x y

  

9

1

1

y x

y y



   

  , x0 nên y0;8

Vậy 2 2 1 3

1 1

y

P x y y y y

y y y



             

  

Vậy Pmin   3 2 1

1

y y

y

    



Câu 47.35: Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn log2xx x ylog26y6x Giá trị nhỏ biểu thức P 3x 2y

x y

A. 59

3 B.19 C.

53

3 D. 2

Lời giải Chọn B

Điều kiện:

0

x y

  

 



Từ giả thiết ta có:

    2    

2 2

log xx xy log 6y 6xlog x x log x 6y x 6y (*)

Xét hàm số f t log2tt với t0, Ta có '  1 0, ln

f t t

t

     nên hàm số   log2

f t  tt đồng biến khoảng 0;

Do  *  f x 2  f x 6yx2x6yx 6 y x y6 ** ( x0) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức  ** , ta có:

 

6 3 3

3 19

2 2 2

x y x y

P x y x y

x y x y x y

 

 

             

   

Đẳng thức xảy

6

2

3

4

8

x y

x x

y x

y y

    

  

 

 

  

   

Vậy giá trị nhỏ P 19

Câu 47.36: Cho x y, số dương thỏa mãn

2

2

2 2

5

log 10

10

x y

x xy y

x xy y



    

  Gọi M,m

lần lượt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

2

2

9

x xy y

P

xy y

 



 Tính T 10M m

A. T 60 B. T 94 C. T 104 D. T 50

Lời giải Chọn B

2

2

2 2

5

log 10

10

x y

x xy y

x xy y



    

 

 2  2  2  2

2 2

log x 5y log x 10xy y log 2 x 5y x 10xy y

           

 2  2  2  2

2

log 2x 10y x 5y log x 10xy y x 10xy y

         

2 2

2x 10y x 10xy y

Trang 727

2

10 9 0

x xy y

   

2

10

x x

y y

   

     

   

1 x

y

  

2

2

9

x xy y

P

xy y

 





2

9

x x

y y

x y

        



Đặt t x y

 , điều kiện : 1 t

 

2 9

1

t t

f t t

  

 ;    

2

2

1

t t

f t

t

 

 

 ;  

4

2

t f t

t

      

   1 11

2

f  ; f  2 5 ;  9 99 10

f 

Nên 99

10

M  , m5 Vậy T 10M m 94

Câu 47.37: Vậy Amin 6.Cho số thực dương x y thỏa mãn 9.3 x22y 4 9 x22y.72y x 22 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y 18

x

 



A. P9 B.

2

P 

C. P 1 D.Hàm số khơng có giá trị nhỏ

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết ta đặt tx22y, t

Phương trình 4 9.3 x22y 4 9 x22y.72y x 22trở thành

  49  

4 9.3 49 9 49

7

t

t t t t

t

   

          

 

 

 

Nhận thấy t2 nghiệm phương trình

Ta chứng minh t2 nghiệm phương trình

Xét t2: 7t 49 49

t  

  

  nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vô nghiệm

 Xét t2: 7t49

9 49

3 t  

  

Vậy tx22y2

2

2 x

y 

  thay vào

2

2 18 16

x y x x

P

x x

   

 

16 16

1

x x

x x

      Dấu đạt x 16 x

x

  

Câu 47.38: Cho x y, số thực lớn cho    

y x

e e

x x y y

y e x e Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Plogx xylogyx

A.

2 B. 2 C.

1 2 

D.

2 

Lời giải Chọn C

Cách

Ta có:     ln   ln  

y x y x

e e e e

x x y y x x y y

y e x e  y e  x e 

   

ln ln

ln ln

y x

x y

x y

x y xe y x ye

x e y e

     

  (*) (vì ln

x

ye  x có

1

' x 0;

y e x

x

     nên y y 1 e0)

Xét hàm số:  

ln t

t f t

t e



 trên1; ta có    2

ln

'

ln

t t

t

t e te

f t

t e

   



Với hàm số

  ln t t

g t  t e  te có '  ln t t' t 0,

g t t e te te t

t

        

Nên g t  g 1   1 f' t 0; t  

y f t

  hàm nghịch biến 1; nên với (*) f x  f y  y x1

Khi log log 1log 1 1log 1 2

2 log 2 log

x y x x

x x

P xy x y y

y y



       

Dấu “=” xảy khi: 1  2

log log

2 x ylogx y  x y   yx

Vậy: min 2

P  

Câu 47.39: Tính giá trị biểu thức Px2y2xy1 biết  

2

1

2

4xx  log 14 y2 y1

 

với x0 13

y

  

A. P4 B. P2 C. P1 D. P3

Trang 729 Chọn B

Xét  

2

1

2

4xx  log 14 y2 y1

 

Ta có

2

2

1

2 1

4x x  4 x x  4, dấu xảy x 1, Mặt khác 14y2 y 1 14 3 y 1  y13

Đặt t y1 ta có 30

t

  Xét hàm số f t   t3 3t14 Ta tìm GTLN – GTNN

hàm số đoạn 0; 30

 

 

 

  30 0;

2

30

2

f t f

 

 

 

 

 

  

 

 

56 30 

 ;    

30 0;

2

max f t f 16

 

 

 

 

 

Suy log214y2 y1log 162 4,

Từ suy ta có 1

x

t y

    

  

 

1

x y

    

 

Thay vào P2

Câu 47.40: Cho hai số thực x, y thỏa mãn

x

  ,

y

  log 11 2  xy2y4x1 Xét biểu thức P16yx22x3y2 y 5 Gọi

m, M giá trị nhỏ giá trị lớn P Khi giá trị T 4mM bao nhiêu?

A.16 B.18 C.17 D. 19

Lời giải Chọn A

Ta có

 

log 11 2 xy 2y4x12 2 xylog 11 2xy 1

Đặt t2xy, 0 t 11 Phương trình trở thành: 2tlog 11 t 1  1 Xét hàm số f t 2tlog 11 t1 khoảng 0;11 

Có

11

y

t

   

 ,  t 0;11 Do hàm số f t  ln đồng biến Dễ thấy  1 có nghiệm t1 Do t1 nghiệm  1

Suy 2x 1 y Khi     

1

16

4

y

P y   y y  y 4y35y22y3

Xét hàm số g y 4y35y22y3 0;1      , có

 

12 10

g y  y  y  , 0;1

2

y  

Do đó,    

0;

ming y g

     

  ,    

1 0;

2

maxg y g

     

 