Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số - Huỳnh Chí Hào

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.[r]

(1)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(Ơn thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015) Biên soạn: Huỳnh Chí Hào - THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1: Giải hệ phương trình  

3

2

2 12 25 18 (1)

3 14 (2)

y y y x x

x x x y y

      



       



(Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải

♥ Điều kiện:

2

6

x

y y   

    

(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u  f v  )

♦ 2y312y225y182x9 x4  2y2 3 y22 x43 x4 (3) [Tại ?]

♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t3t  ta có:  

' 0,

f t  t    t   f t  đồng biến 

Nên:      

 2 2

2

3 4

4 (4)

2

y y

f y f x y x

x y y

y x

  

   

 

         

  

  

 



♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn

2

3x 1 6 x 3x 14x 8 (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x5 nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân

liên hợp.

     

4

5  3x1  6x 3x 14x50 (Tách thành biểu thức liên hợp)

    

3 5

5

3

x x

 

     

    (Nhân liên hợp)

   

0

3

5

3

x x



 

 

      

   

 



5 x  

♦ Với x5  y1 (thỏa điều kiện (*))

(2)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1:Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có)

Bước 2:Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số

+ Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3:Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình cịn lại hệ để phương trình ẩn

Bước 4:Giải phương trình ẩn (cần ơn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)

Bài 2: Giải hệ phương trình

   

3 2

2

17 32 24 (1)

2 9 (2)

x y x y x y

y x x y x x y

      



         



(Thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bài giải

2

x y x   

   

 (*)

♦ 3 2

17 32 24

x y  x y x  y   x36x217x18 y39y232y42 [Tại ?]  x235x 2 y235y2 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t  t3 5t  ta có:  

' 0,

f t  t    t   f t  đồng biến 

Nên:  3  f x  2 f y 3x2  y yx1 (4)

x3 x  4 x 9 x11x29x10 (5)

♦ Phương trình (5) có nghiệm x5 nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp.

       

5  x3 x43  x x114 x 2x35 (Tách thành biểu thức liên hợp)

     5 7

4 11

x x

x x x x

x x

 

      

    (Nhân liên hợp)

 5  7

4 11

x x

   

 

      

   

 

(3)

 

3

7 (6)

4 11

x

x x

x

x x

    

      

    



♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

 6 9

2

4 11

x x x x

x x

   

    

    [Tại ?]

   

0

1 1

5

2

4 11 4

x x

x x x



 

   

   

         

        

 

: phương trình VN

♦ Với x5  y6 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;    5;6 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình

1)

3

2

3

6 10

x y x x y

x y x y y x y

     



        

 2)

   

2

53 10 48

2 66 11

x x y y

x y x x x y

      



         



3)    

2

2012 2009

2 14 18 13

x x y y

x y x y x x

      



      

 4)  

3

4

1

1 1

x x y y

x x x x y

    



      

(4)

 

4

2

3 (1) 2 (2)

x x y y

x x y y y

      



      



(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải

♥ Điều kiện: x2 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x y

♦ x 3 4x 2 y4 5 y  x 2 x   2 5 y y45 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t  t t45 khoảng 0;

f liên tục 0;    

4

' 0, 0;

5 t

f t t

t

     

  f t  đồng biến 0; Do 4x 2 0 4yx y 22 y 0 nên

 3  f4 x2 f y 4 x2yxy42 (4)

4yy4y2  4 7 4

2 (5) y

y y y y

y y y

  

          

 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số  

2

g y y  y  y khoảng 0;

Do g liên tục 0; g' y 7y68y3   1 0, y 0;  g y  đồng biến 0; Nên:  5 g y g 1  y

♣ Với y0  x2 [thỏa (*)] ♣ Với y1  x3 [thỏa (*)]

(5)

Bài 4: Giải hệ phương trình:  

   

 

      



 

     



x x x y y y

y

y x y x

3

2

1

3 ln

1

log log

0

3

0

x y

x x

y y

 

  

  



  

 

   

  

(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x y

♦  1  x133x12lnx1  y133y12lnx1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t t33t2lnt khoảng0;

f  t 3t2 6t t t

        f t  đồng biến khoảng 0; Do x 1 y 1 nên

 3  f x 1 f y 1x 1 y 1 yx2 (4)

x2log2x3log3x2 x (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 log2 3 log3 2 log2 3 log3 2 6 

2

x x

x x x x

x x

 

          

 

♣ Xét hàm số   log2 3 log3 2 x

g x x x

x 

    

 khoảng 3;  

     2

1

0

3 ln 2 ln 2

g x x

x x x

      

  

g x đồng biến khoảng 3;

Nên  6 g x g 5 x  5  4 y [thỏa mãn (*)]

(6)

Bài 5: Giải hệ phương trình:     

    

       

 

     

 

x y y x y xy x

x y y x

2 2

3

13 14

♥ Điều kiện:

1

14 14

3

x x

y y

    

 



 

  

 



 *

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x y ♦  1  x133x1  y133y1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng  

3 ,

f t t  t t

 

3 0,

f t  t    t  f t  đồng biến  Do x 1 y 1 nên

 3  f x 1 f y 1x 1 y 1 x 2 y (4)

2x11 3x 8 x15  5 ♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Ta nhận thấy 11

x không nghiệm phương trình  5 nên

 5 11

x x

x

     

  6

Xét hàm số

  , 11; 11; 11 2

g x x x x

x

   

       

    

 

 2     2

3 10 3 10

0 2 11 11

x x

g x

x x x x x x

  

      

     

8 11 11 ; & ; 2

x    

    

   

 g x đồng biến khoảng 11; & 11; 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 11;

 

 

 thì g x đồng biến,  

8 11

3 ; , 3 g

 

  

  nên

 6  g x g 3 x  3  4 y [thoả mãn (*)]

 



 

 thì g x đồng biến,  

11

8 ; ,

2 g

 

  

  nên

 6  g x g 8 x  8  4 y 10 [thoả mãn (*)]

(7)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình

1)    

2

4

x x y y

x y x

     

 

    



2)

3

3 19 105

x y y y x

x y x y y xy

     



       



3)

 3  

4 2

2 2

x y

x x y y

    



      

(8)

2 2

2 (1) (2)

y y x x x

y x y

     



    



(Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải

3

2

x y    

  

 (*)

♦ 2y3 y 2x 1 x 1x  2y3 y 1 x 2x 1 x 1x

 2y3 y 2 1 x 1 x 1x (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t 2t3t  ta có:

 

' 0,

f t  t    t   f đồng biến  Nên:  3     2

1 y

f y f x y x

y x

  

       

 

 (4)

4x 5 2x26x1 (5)

♦ Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II  Phương trình (5) viết lại thành: 2x322 4x 5 11

Điều kiện

Đặt 4x  5 2t 3 t

    

 

 , ta hệ phương trình: [Tại ?]  

 

2

2 (6) (7)

x t

t x

   



   



 Trừ theo vế (6) (7) ta được:   

4 x t x  t 4t 4x  xtx  t 2 + Khi xt, thay vào (7) ta được:

4x212x 9 4x 5 x24x    1 x So với điều kiện x t ta chọn x 2 [không thỏa mãn (*)]

(9)

12x24x 5 x22x    1 x (loại) So với điều kiện x t ta chọn x 1 ♦ Với x 1 2 y 42 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y; là 1 2;42 1 2; 24 

Bài 7: Giải hệ phương trình  

3

2 2 (1) 14 +1 (2)

x x x x y y

x x y

      



    



(Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải

♥ Điều kiện: 2 y x      

(*)

♦ Do x0 khơng thỏa hệ nên ta có:

 1  32 13 2 y 2y

x x x

     

  

1

1 2y 2y 2y

x x

   

         

   

 

    (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t  t3 t  ta có:

f' t 3t2   1 0, t   f đồng biến  Nên:  3 f 1 f 2y 1 2y

x x

  

         (4)

x 2 315 x 1 (5)

♦ Phương trình (5) có nghiệm x7 nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp.

 5  x   2 3 2 315 x 0

  

 2

3

0

1

7

2 4 2 15 15

x

x x x



 

 

   

  

     

 



(10)

♦ Với x7  111 98

y [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; là 7;111 98

 

 

 

2

3

1

3 + (1)

9 2 (2) x

x y y

y x

y x y y

 

    

 



      



(Thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Bài giải

♥ Điều kiện:

1 x y      

 (*)

♦ Ta có  1  1 1

y y x x

y x

      

 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t  t2 3t t

   0; ta có:

      

2

2 1

' t t 0, 0;

f t t

t

 

      f đồng biến 0; Nên:  3  f y  f x  1 y x  1 x y21 (4)

9y 1 37y22y 5 2y3 (5)

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm y2 y3và nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp Định hướng biến đổi dạng y2y3   h x 0 hay y25y6 h x 0  5  9y2y237y22y5y10

   

     

2

2 3 3

1

5

0

9 2 1 1 7 2 5 7 2 5

y y y

y y

y y y y y y y y

  

 

 

          

  

     

2

2 3

0

1

5

9 2 1 1 7 2 5 7 2 5

y

y y

y y y y y y y y



 

 

  

 

    

    

         

 

(11)

 2

5

3 y y y y           ♦ Với y2  x3 [thỏa mãn (*)]

♦ Với y3  x8 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; là  3; ;  8;3 

Bài 9: Giải hệ phương trình:     

                

x y y x y x y

x y

2 2 1 2 1

5

3

2

Bài giải

♥ Điều kiện:

8 12 x y x y              *

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x y ♦  1  y x 120 y x (3)

11

x x

x

   

  5

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 5 11

x x

x

     

  6

Xét hàm số

  , 11; 11; 11 2

f x x x x

x

   

       

    

 

 2     2

3 10 3 10

'

2 2 11 11

x x

f x

x x x x x x

  

     

     

8 11 11 ; & ; 2

x    

    

   

 f x đồng biến khoảng 11; & 11; 2

   



   

   

 

 

 thì f x đồng biến,  

8 11

3 ; , 3 f

 

  

  nên

 6  f x  f 3 x  3  4 y [thoả mãn (*)]

 



 

 thì f x đồng biến,  

11

8 ; ,

2 f

 

  

  nên

 6  f x  f 8 x  8  4 y [thoả mãn (*)]

(12)

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG axbn p a xn '  b' qxr

(x ẩn số; p q r a b a b, , , , , ', ' số; paa'0; n 2;3 Dạng thường gặp: axb2 p a x'  b' qxr

1 Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ:

+ Đặt na x'  b' ayb pa'0 + Đặt na x'   b' ayb pa'0

Bài tốn dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn x y :

  ( )

( ) ' '

h x Ay Bx C

h y A B x C

   



   

 (*)

(*) thường hệ đối xứng loại x y

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa phương trình bậc bốn

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x1532x232x20 (1)

Lời giải  Điều kiện: 15 15

2 x   x

 Phương trình (1) viết lại thành: 4 x22 2x1528 Đặt 2x154y2

2 y

 

  

 

 , ta hệ phương trình:  

 

2

4 2 15 (2) 2 15 (3)

y x

x y

   



   



(13)

4y4x4 4 y4x2xy  xy18x y 10 + Khi x y, thay vào (3) ta được:

 2

1

4 2 15 16 14 11

11 x

x x x x

x    

        

    

So với điều kiện x y ta chọn x

+ Khi 8 1

8

x y y x

        , thay vào (3) ta được:

4 22 15 64 72 35 221

4 16

x    x  x  x   x  

So với điều kiện x y ta chọn 221 16 x 

 Tập nghiệm (1) 1; 221

2 16

S

 

   

 

  

 

 



Ví dụ 2: Giải phương trình 4x2 3x  1 13x (1)

Lời giải

 Điều kiện: 1 x    x

 Phương trình (1) viết lại thành: 2x32  3x  1 x Đặt 3x  1 2y3

2 y

    

 

 , ta hệ phương trình:  

 

2

2 (2) 3 (3)

x y x

y x

    



   



 Trừ theo vế (2) (3) ta được:

  

2 2x2y6 xy 2y2x  xy2x2y 5 + Khi x y, thay vào (3) ta được:

12 15 15 97 x  x  x  x  x   x 

(14)

+ Khi 2x2y  5 2y 5 2x, thay vào (3) ta được:

2 2 11 11 73

x x x x x 

        

So với điều kiện x y ta chọn 11 73 x 

 Tập nghiệm (1) 11 73 15; 97

8

S

 

   

 

  

 

 



3 Một số toán tự luyện

Giải phương trình

1) x 6 x24x 2) x24x 3 x5 3) 2x 1 x23x 1

4) 4x214x 11 4 6x10 5) 9x212x 2 3x8 7) 6) 9x26x 5 3x5