Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình của tác giả Đặng Thành Nam

Ñaây laø heä phöông trình cô baûn ñeå giaûi chuùng ta coù theå thöïc hieän pheùp theá, söû duïng maùy tính boû tuùi hoaëc söû duïng ñònh thöùc Crame(hay ñöôïc duøng trong bieän luaän).[r]

(1)

ĐẶNG THÀNH NAM

(Giám đốc trung tâm nghiên cứu, tư vấn phát triển

s

ản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT LUYỆN THI QUỐC GIA

KỸ THUẬT GIẢI NHANH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(

)

2 2

2

3

2

5 2

1

2

1

2

4

3



−

− +

+ =

+





+

=

−

+



x

x x

y

x

y

x

y

-

Dành cho h

ọc sinh lớp 10,11,12

-

Ôn thi quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi

-

Dành cho giáo viên giảng dạy luyện thi Quốc gia

(2)

Mục Lục

Lời nói đầu

Chương 1: Kiến thức bổ sung giải hệ phương trình

Chủ đề 1: Phương trình, bất phương trình bậc bậc hai

Chủ đề 2: Phương trình bậc ba

Chủ đề 3: Phương trình bậc bốn

Chủ đề 4: Phương trình phân thức hữu tỷ 12

Chủ đề 5: Hệ hương trình hai ẩn có chứa phương trình bậc 13

Chủ đề 6: Hệ hương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng qt 14

Chương 2: Các kỹ thuật phương pháp giải hệ phương trình 25

Chủ đề Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc hai ẩn 25

Chủ đề Hệ phương trình đối xứng loại I 46

Chủ đề Hệ phương trình đối xứng loại II 99

Chủ đề Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp 132

Chủ đề Kỹ thuật sử dụng phép 159

Chủ đề Kỹ thuật phân tích thành nhân tử 188

Chủ đề Kỹ thuật cộng, trừ nhân theo vế hai phương trình hệ 222

Chủ đề Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số 254

Chủ đề Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng tổng - hiệu 336

Chủ đề 10 Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số 361

Chủ đề 11 Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm hệ phương trình 427

Chủ đề 12 Kỹ thuật đánh giá 438

Chủ đề 13 Hệ phương trình có chứa thức 491

Chủ đề 14 Kỹ thuật lượng giác hóa 576

Chủ đề 15 Kỹ thuật hệ số bất định 600

Chủ đề 16 Kỹ thuật phức hóa 640

Chủ đề 17 Kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải tích 665

Chủ đề 18 Kỹ thuật nhân liên hợp hệ phương trình có chứa thức 677

Chủ đề 19 Một số toán chọn lọc rèn luyện nâng cao 704

Chương 3: Bài tốn có chứa tham số 783

Chủ đề 1: Hệ đối xứng loại I 783

Chủ đề 2: Hệ đối xứng loại II 827

Chủ đề 3: Hệ đẳng cấp 836

(3)

CHƯƠNG 1:

KIẾN THỨC BỔ SUNG

KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- Nội dung chương đề cập đến nội dung - Phương trình, bất phương trình bậc bậc hai - Các phương trình bậc ba, bậc bốn dạng đặc biệt - Các phương trình dạng phân thức đặc biệt

- Phương pháp giải phương trình bậc ba, bậc bốn tổng quát

- Hệ phương trình gồm hệ bậc hai ẩn, hệ bậc ba ẩn, hệ gồm phương trình bậc hai ẩn phương trình bậc hai hai ẩn - Hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát

Đây kiến thức cần thiết trước tiếp cận với hệ phương trình nên hy vọng cung cấp đủ kỹ giải phương trình hệ phương trình trước đến với hệ phương trình dạng nâng cao

Chủ Đề 1:

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

1 Phương trình bậc ax + b = 0, (a ≠ 0)

+ Neáu a = 0, b ≠ phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0, b = 0, phương trình vô số nghiệm + Nếu a ≠ ⇔ x = – b

alà nghiệm phương trình Bất phương trình bậc ax + b >

+ Neáu > ⇔ > − ⇒ = − +∞

 

b b

a x S ;

a a

+ Neáu < ⇔ < − ⇒ = −∞ −

 

b b

a x S ;

a a

2 Phương trình bất phương trình bậc hai

a) Phương trình bậc hai ax2 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) Định thức ∆ = b2 – 4ac. + Nếu ∆ = b2 – 4ac < 0, phương trình vơ nghiệm.

+ Nếu ∆ = b2 – 4ac, phương trình có nghiệm = −

0 b

x

(4)

− ± ∆ =

1,2 b

x

2a ax

2 + bx + c = a(x – x

1)(x – x2) b) Bất phương trình bậc hai f(x) ax= bx c 0,(a 0) + + > ≠

+ Nếu ∆ =b2 4ac − ≤ a.f(x) 0, x R ≥ ∀ ∈

+ Nếu ∆ =b2 4ac f(x) = có hai nghiệm phân biệt x− > < x2 - Nếu a > ⇒

  >

> ⇔ − − > ⇔

 

< 

 

 < ⇔ − − > ⇔ < <



2

1

1 2

x x

f(x) a(x x )(x x )

x x

f(x) a(x x )(x x ) x x x

- Neáu

 > ⇔ − − > ⇔ < <





< ⇒ >

< ⇔ − − > ⇔ 

 <

 

1 2

2

1

f(x) a(x x )(x x ) x x x

a x x

f(x) a(x x )(x x )

x x

Chủ Đề 2:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

1 Phương trình dạng 4x3+3x m=

Hàm số f(x) 4x= 3x coù + f '(x) 12x= 0, x R nên phương trình + > ∀ ∈

+ =

3

4x 3x m có không nghiệm

Ta chứng minh phương trình có nghiệm

Đặt =  −  ⇔ = ± +

 

3

1

m a a m m

2 a

Khi   −  +   − =  −  =

     

   

3

1 1 1

4 a a a m

2 a a a

Do =  −

 

1

x a

2 a laø nghiệm phương trình hay phương trình có nghiệm nhaát =  −

 

1

x a

2 a

Ví dụ 1. Giải phương trình 4x3+3x =

Lời giải

(5)

Đặt =  −  ⇔ = ±

 

3

1

2 a a

2 a

Choïn a= +32 ⇒ =5 −1 −32 a

Khi đó:   −  +   − =  − 

     

   

3

1 1 1

4 a a a

2 a a a

Vậy: phương trình có nghiệm nhất:

   

=  − =  + + − 

 

3

1 1

x a 5

2 a

2 Phương trình dạng 4x3−3x m=

TH1: Nếu m 1đặt ≤ m cos = α cosα =4cos3α 3cosα−

3 nên

phương trình có ba nghiệm x1=cos ,xα 2 cosα + π2= ,x3=cosα − π2

3 3

TH2: Nếu m 1đặt > =  +  ⇔ = ± −

 

3

1

m a a m m

2 a

Khi  + =   + −  +

       

3

1 a 4 a 3 a

2 a a a

Vì vaäy =  +

 

0 1

x a

2 a nghiệm phương trình Ta chứng minh x nghiệm phương trình 0

Thật ta coù: 4x3−3x 4x= 03 3x− 0 ⇔

(

)

(

)

( )

=  + = + − + − −

 

3

1 m m m m

x a

2 a

3 Phương trình dạng x3+px q= TH1: Neáu p 0= ⇒x3= ⇔ =q x 3q

TH2: Neáu p đặt > x 2= pt

3 đưa phương trình dạng: + =

(6)

TH3: Nếu p đặt < x 2= pt−

3 đưa phương trình dạng: − =

4x 3x m

4 Phương trình bậc ba dạng tổng quaùtax3 + bx2 + cx + d = 0, (a ≠ 0).

Phương pháp phân tích nhân tử.

Nếu phương trình có nghiệm x ta phân tích: 0

(

)

(

)

+ + + = − + + + + +

3 2

0 0

ax bx cx d x x ax b ax x c bx ax

Từ để giải phương trình bậc ba ta giải phương trình bậc hai:

(

)

+ + + + + =

2

0 0

ax b ax x c bx ax

Phương pháp Cardano Chia hai vế phương trình cho a đưa phương trình dạng: x3+ax2+bx c + =

Baèng cách đặt y x= a−

3 đưa phương trình dạng tắc:

+ + =

3

y py q (1) p = q – a2

3 , q = c +  − = →

PP

2

G x, x a

Ta cần xét p, q ≠ p = q = phương trình đơn giản, tiếp tục đặt y = u + v thay vào (1), ta được:















0

uv p u   v q u v  uvp u  v q Ta chọn u, v cho 3uv + p = u3 + v3 + q =

Vaäy : ta có hệ phương trình  + =

+ + =

 3

3uv p

u v q ⇔



= − 



 + =− 

3 3

3

p u v

27

u v q

Theo định lý Vi–ét u, v hai nghiệm phương trình X3+qX−p3 =0 27 (3) Đặt ∆ =q2 p+3

4 27

+ Nếu ∆ > (3) có hai nghiệm u3=− + ∆q

2 , 3=− − ∆

q v

2

phương trình (2) có nghiệm y= − + ∆ + − − ∆3 q q

2 nên

phương trình (1)có nghiệm thực x= + − + ∆ + − − ∆a q q

(7)

+ Nếu ∆ = (3) có nghiệm kép u v= = −3 q

2 phương trình (2) có hai nghiệm thực có nghiệm kép = 3− = =3

1 q q

y ; y y

2

Do đó: (1) có hai nghiệm thực, có nghiệm kép:

= + 3− = = +3

1 a q a q

x ;x x

3

+ Nếu ∆ < (3) có nghiệm phức, giả sử u0, v0 (1) có ba nghiệm phức:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



 = + +



= +



 



 = − + + − ⇒ = − + + −

 

 

= − + − − = − + − −

 

 

1 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

a

x u v

y u v 3

1 a

y u v i u v x u v i u v

2 2

1 a

y u v i u v x u v i u v

2 2

Ngoài hai cách giải phương trình bậc ba phương pháp lượng giác hóa biến đổi đưa đẳng thức a3 = b3

Chủ Đề 3:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

1 Phương trình dạng trùng phương ax4+bx2+ =c 0, a 0

(

)

Đặt t x , t phương trình trở thành: =

(

)

trình bậc hai biết cách giải

2 Phương trình dạng

(

) (

)

Đặt t x= −a b+

2 phương trình trở thành:

 −   − 

+ + + =

   

   

4

b a a b

t t c

2 đưa

phương trình dạng trùng phương

Ví dụ 1. Giải phương trình

(

) (

)

Lời giải

(8)

⇔ + − = ⇔

( )(

)

= − = =

  

4 2 t x x

t 24t 25 t t 25

t x x

Vậy phương trình có hai nghiệm x 3,x = =

(

)(

)

với

Đặt t=

(

)(

)

(

)(

)

Ví dụ 2. Giải phương trình x x x x 3

(

)(

)

Lời giải

Đặt t x x x=

( )

( )(

)

( )

=  − = =

  

2

t x 3x x

t t 24 t 2t 24

t x 3x 4 x

Vậy: phương trình có hai nghiệm x= −1, x =

(

)(

)

với

Viết lại phương trình dạng: 

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ x2+ a d x ad x+ + 2+ b c x bc+ + =ex

Xét trường hợp x xem thỏa mãn phương trình hay khơng =

Với x chia hai vế phương trình cho ≠ x , ta được:

  

+ + + + + + =

  

  

ad bc

x a d x b c e

x x

Đặt t x= +ad = +x bc

x x đưa phương trình bậc hai với ẩn t

Ví dụ 3. Giải phương trình

(

)(

)

Lời giải

Phương trình cho tương đương với:

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

 + +   + + = ⇔ + + + + =

 x x x x 4   30x2 x2 8x 12 x2 7x 12 30x2

Nhận thấy x không thỏa mãn phương trình =

(9)

  

+ + + + =

  

  

12 12

x x 30

x x

Đặt t x= +12, t 3

(

)

x phương trình trở thành:

( )( )

= − 

2 t

t t 30 t 15t 26

t 13

Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm t= − ⇔ +13 x 12= −13

x

 = −

⇔ + + = ⇔ 

= − 

2 x

x 13x 12

x 12

Vậy phương trình có hai nghiệm x= −12,x= −1

5 Phương trình dạng ax4+bx3+cx2+dx e 0+ = với =   

 

2

e d

a b

TH1: Nếu e đưa phương trình: =

ax4+bx3+cx2+dx x ax=

(

)

TH2: Nếu e 0≠ ⇒ =x không nghiệm phương trình Xét x chia hai vế phương trình cho ≠ x ta được:

     

+ + + + = ⇔  + +  + + =

     

2

e d e d

ax bx c a x b x c

x bx

x ax

Đặt t x= + d ⇒t2=x2+ d2 22 +2d =x2+ e2 +2d

bx b x b ax b đưa phương trình

bậc hai với ẩn t

Ví dụ 4. Giải phương trình x4+3x3−6x2+6x + =

Lời giải Nhận thấy x không thỏa mãn phương trình =

Xét x chia hai vế phương trình cho ≠ x , ta được:

   

+ − + + = ⇔ +  +  + − =

   

2

6 2

x 3x x x 10

x x x x

Đặt t x= +2, t 2≥

 =

+ − = ⇔ 

= − 

2 t

t 3t 10

(10)

Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm:

t= − ⇔ + = − ⇔5 x x2+5x 0+ = ⇔ =x − ±5 17

x

Vậy phương trình có hai nghiệm x=− ±5 17

2

6 Phương trình dạng x4 =ax2+bx c+

TH1: Nếu ∆ =b2−4ac biến đổi đưa phương trình dạng: =

 

=  + 

 

2

4 b

x a x

2a

TH2: Nếu ∆ =b2−4ac ta chọn số thực m cho: ≠

(

)

(

)

(

)

 

= − +  = − + − + = + +

 

2

4 2 2

x x m m x m 2m x m m ax bx c

(

)

(

)

⇔ x2−m = a 2m x− 2+bx c m + +

Ta choïn m cho: b2−4 a 2m c m

(

)

(

)

Ví dụ 5. Giải phương trình x4 =7x2−3x−3

4 Lời giải Phương trình cho tương đương với:

( )



 ±

+ = −  =



  

+ = −  ⇔ ⇔

 

  + = − + =− ±



 

2 2

2

1 3

x 3x x

1 2 2

x 3x

2 x 1 3x 3 7

x

2 2

Vaäy phương trình có bốn nghiệm x=3± 3,x=− ±3

2

7 Phương trình bậc bốn tổng quát ax4+bx3+cx2+dx e 0+ = Cách 1: Đặt x= − b +t

4a đưa phương trình dạng: = α + β + λ

4

t t t

Cách 2: Viết lại phương trình dạng: 4a x2 4+4bax3+4cax2+4dax 4ae 0+ =

(

) (

)

(11)

Thêm vào hai vế phương trình đại lượng 2y 2ax

(

)

Khi đó:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)

Ví dụ 6. Giải phương trình x4−16x3+57x2−52x 35 − =

Lời giải Phương trình cho tương đương với:

(

)

− + = + + ⇔ − 2= + +

4 2 2

x 16x 64x 7x 52x 35 x 8x 7x 52x 35

Ta thêm số y thỏa mãn:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ x2−8x y+ = 2y x+ 2+x 52 16y− +35 y+ Ta choïn y cho ∆ ='x

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

⇔ y 2y− 2−55y 431+ = ⇔ =0 y Vậy phương trình cho tương đương với:

(

)

(

)

(

)

(

)

 −

= 

 − + = +

 

− + = + ⇔ ⇔



 − + = − + +

  =



2

2 2

2

11 141

x

x 8x x 2

x 8x x

x 8x x x 11 141

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x=11− 141,x=11+ 141

(12)

Chủ Đề 4:

PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC HỮU TỶ

(

)

+ =

+

2 2

2 a x

x b

x a

 

− + = ⇔  + =

 +  +  +  +

   

2

2 2 2 2

ax 2ax x x

x b 2a b

x a x a x a x a

Đặt = +

2

x t

x ađưa phương trình bậc hai với ẩn t : + =

t 2at b

Ví dụ 1. Giải phương trình +  = +

 

2

2 x

x

Lời giải Điều kiện: x≠ −1

Phương trình cho tương đương với:

 −  + = ⇔  + =

+ + + +

   

2

2 2 2 2

x 2x x x

x

x x x x



 − + − −



= − + =



  + 



⇔  + = ⇔ ⇔



+ +

   = − −  =− + + −

 +

 

2

x 1 2 x 2

x 2. x 1 x 1 2

x x x 1 2 2 1

1 x

x 2

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

− + − − − + + −

= 2 = 2

x ;x

2

2 Phương trình dạng + + + + + =

+ + + +

2

x mx a x px a b

x nx a x qx a

Xét xem x có nghiệm phương trình hay không =

Trường hợp x viết lại phương trình dạng:≠ + + + + + =

+ + + +

a a

x m x p

x x b

a a

x n x q

x x

Đặt t x= +ađưa phương trình bậc hai với ẩn t Phương trình cho tương đương với:

(13)

Ví dụ 2. Giải phương trình + + + + + = −

− + + +

2

x 5x x 4x 184

119

x 7x x 5x

Lời giải Điều kiện: x2+5x 0,x+ ≠ 2−7x + ≠

Nhaän thấy x không thỏa mãn phương trình =

Xét x viết lại phương trình dạng: ≠ + + + + + = −

+ − + +

3

x x 184

x x

3 119

x x

Đặt t x= +3, t 3

(

)

  =

  

= + =

 

+ + 

+ = − ⇔ ⇔ ⇔ =

− +   

= − + = −

 

   =− ±



x

7

t x

t t 184 2 x 2 x

t t 119 y 971 x 971

211 x 211 x 971 408589

422

Chủ Đề 5:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN CĨ CHỨA

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

1 Hệ phương trình bậc hai ẩn:  + =

(

)

+ =



2 2

1 1

1 2

2 2

a x b y c

, a b 0,a b

a x b y c

Đây hệ phương trình để giải thực phép thế, sử dụng máy tính bỏ túi sử dụng định thức Crame(hay dùng biện luận)

= 1 x = 1 y = 1

2 2 2

a b c b a c

D ,D ,D

a b c b a c

Các trường hợp Kết

≠

D Hệ phương trình có nghiệm nhất:

( )

 

 

y x D

D

x;y ;

D D

= x = y =

D D D Hệ phương trình có vô số nghiệm

=

(14)

2 Hệ phương trình bậc ba ẩn:

(

)

 + + =



+ + = + + >



 + + =



1 1

2 2

2 2 i i i

3 3

a x b y c z d

a x b y c z d , a b c

a x b y c z d

Hệ dùng phép đưa hệ bậc hai ẩn dùng máy tính bỏ túi

3 Hệ phương trình hai ẩn gồm phương trình bậc phương trình bậc hai:  + =

+ + =

 2

mx ny a

ax bxy cy d

Rút x theo y rút y theo x từ phương trình đầu hệ vào phương trình thứ hai hệ đưa giải phương trình bậc hai

Chủ Đề 6:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

DẠNG TỔNG QUÁT

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Hệ phương trình bậc hai hai ẩn hệ có dạng:

 + + + + + =

 

+ + + + + =



2

1 1 1

2

2 2 2

a x b y c xy d x e y f (1) a x b y c xy d x e y f (2)

a) Nếu hai phương trình bậc dễ dàng giải hệ phương pháp

b) Neáu =

2

a b

a b cách loại bỏ +

2

x y đưa hệ phương trình bậc hai có phương trình bậc giải hệ phương pháp

c) Nếu hai phương trình bậc hai(chẳng hạn

= =

1 1

d e f )khi phương trình đầu a x1 2+b y1 2+c xy phương trình 1 =

nãy cho phép ta tính t=x

y

d) Hệ đẳng cấp bậc hai d1=e1=d2 =e2=0 hệ trở thành hệ đẳng cấp bậc hai Bằng cách khử hệ số tự ta đưa phương trình bậc hai cho phép ta tính t=x

(15)

e) Đưa hệ bậc cách đặt y tx đặt = z x giải hệ với hai ẩn =

( )

f) Trong nhiều trường hợp ta áp dụng phương pháp tịnh tiến nghiệm Bằng cách đặt  = +

= + 

x u a

y v b (với u,v ẩn a,b hai nghiệm hệ phương trình) Để tìm a,b có hai cách thực ta cho hạng tử bậc sau khai triển triệt tiêu từ ta có hệ đẳng cấp bậc hai với hai ẩn

u,v cách giải tương tự trường hợp c) đạo hàm phương trình theo biến x ,theo biến y giải hệ phương trình thu ta nghiệm

(

)

g) Dùng hệ số bất định(xem thêm chủ đề hệ số bất định)

Cách 1: Lấy (1) k.(2) đưa phương trình bậc hai với ẩn +

= + +

t ax by c ta tìm k hợp lý cho phương trình bậc hai có Delta số phương

Cách 2: Tìm hai cặp nghiệm hệ phương trình Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Lấy điểm khác hai điểm thay vào hai vế phương trình hệ từ suy hệ số bất định cần tìm

h) Đạo hàm theo biến x theo y hai phương trình hệ tìm nghiệm x a,y b đặt ẩn phụ = =  = −

= − 

u x a

v y bđưa hệ phương trình đẳng cấp

B BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải hệ phương trình Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

− − =

5x 4y xy 15 Hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

 −

 − − = =

 ⇔ + ≠ −

 

+ − + = −

 

 2  2+ 2− + = −

5x 15

5x 4y xy 15 y

x

x y 4x 2y x y 4x 2y 3

(16)

 − =

 +

 ⇔ 

 −  −

 + − + + =

 

  +  +



2

5x 15 y

x

5x 15 5x 15

x 4x

x x

 −

= 

⇔ +

 + + − + =



5x 15 y

x

x 4x 22x 180x 153

(

)(

)

(

)

 −

=

 +  = = −

⇔ ⇔ = =



 − − + + =



5x 15

y x 1,y 2

x

x 3,y

x x x 8x 51

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

( ) ( ) ( )

Caùch 2: Đưa hệ bậc

Nhận thấy x không thỏa mãn hệ phương trình =

Xét x đặt ≠ y tx hệ phương trình trở thành: =

( )

(

)

(

)

 + + − = −

 

− + + − =

 

2

1 t x t x

t t x 2t x 12

Đặt z x hệ trở thành:=

( )

(

)

(

)

 + + − = −

 

− + + − =

 

2

1 t z t x

t t z 2t x 12 Ta có định thức:

+ −

= = − + − +

− + −

− − + −

= = − + = = − +

− − +

2

3

2

z x 2

1 t 2t

D 4t 7t 8t

t t 1 2t

3 2t t

D 18t 45;D 15t 3t 15

12 2t t t 12

Neáu D 0= ⇔ −4t3+7t2− + = ⇔ −8t

( )

(

)

(17)

Xét t 1≠ ⇒ ≠D

 =

 ⇒ = ⇔ =

  = 

x

2

z x

z

D x

D z x D D D

D z

D

(

)

(

) (

)

⇔153t4+216t3+360t = ⇔9t t 17t

( )

(

)

 = ⇔  = −



t

TH1 : Neáu = ⇒ = = ⇒ = x = ⇒ =

x

D

t D 5,D 15 x y

D

TH2 : Neáu = − ⇒ = = ⇒ = x = ⇒ = −

x

D

t D 81,D 81 x y

D

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm laø

( ) ( ) ( )

Cách : Đặt ẩn phụ đưa hệ đẳng cấp Đặt  = +

= − 

x u

y v 2hệ phương trình trở thành:

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)(

)

(

)

 + + − − + + − = −

 

 + + − − + − + + − − =



2

u v u v

u v u v u v 12

 + − − =

 ⇔ 

− + + − =



2

u v 2u 2v

u uv v 5u 7v

Cách 4: Hệ số bất định(2 hướng xử lý)

Viết lại hệ phương trình dạng: + − + = −

+ − + − =



2 2

x y 4x 2y (1)

x y xy x 2y 12 (2)

Lấy (1) k.(2) theo vế ta được: +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(18)

Ta chọn k cho ∆xlà số phương muốn cho ∆ ='y

(

) (

)(

)

⇔ + − − − − − + + =

⇔ + + + + = ⇒ = −

2

2 2

4

5k 4k 3k 8k 49k 44k

43k 141k 134k 44k k

Tức trừ theo vế hai phương trình hệ lời giải

Baøi 2. Giải hệ phương trình  + + − − + =

+ + + − + =



2

x 3y 4xy 18x 22y 31

2x 4y 2xy 6x 46y 175

Lời giải

Caùch 1: Ñaët  = + = + 

x u a

y v b hệ phương trình trở thành:

(

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

) (

)

(

)

 + + + + + + − + − + + =

 

 + + + + + + + + − + + =



2

u a v b u a v b 18 u a 22 v b 31

2 u a v b u a v b u a 46 v b 175

(

) (

)

(

) (

)

 + + + + − + + −



 + + + − − + =

 ⇔ 

+ + + + + + + −

 

+ + + + − + =



2

2 2

2

u 3v 4uv 2a 4b 18 u 6b 4a 22 v

a 3b 4ab 18a 22b 31

2u 4v 2uv 4a 2b u 8b 2a 46 v

2a 4b 2ab 6a 46b 175

Ta chọn hệ số

( )

 + − =

 + − =  = −



⇔ ⇔

+ + =  =



 + − = 

2a 4b 18

6b 4a 22 a

4a 2b b

8b 2a 46

Thay vào hệ ta được:

 + + =  + − =  =

 ⇔ ⇔

  

= 

+ + = + + =

  

 

2 2

2

2 2

u v

u 3v 4uv u v 2uv

8u

(19)



= − −

  

  = − +

= = − 

 

 

⇔ ⇔ 

 



= = = −

 

 

 



 = +

  

1

x

2

1 y 7

u v

2 2

1

u v x

2 2

1

y

2

Vaäy hệ phương trình có hai nghiệm là:

( )

   

1 1

x;y 5; ; 5;

2 2 2 2

Nhận xét: Việc đặt ẩn phụ thực thủ thuật nhanh sau :

Đạo hàm theo biến x đạo hàm theo biến y hai phương trình hệ(ta lựa chọn phương trình đầu hệ)ta được:

 + − =  = −  = +

⇔ ⇒

  

+ − = = = −

  

2x 4y 18 x u x

6y 4x 22 y v y

Cách 2: Lấy (2) k.(1) ta được: +

(

)

(

)

Coi phương trình bậc hai với ẩn x Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 

∆ = + + −  − + + − + − +

= − − − − − + − −

2 2 2

x

2 2

' 2k y 9k k 4y 3ky 46y 175 22ky 31k

k 6k y 14 k 6k y 50k 291k 341

Chọn k= −1 ∆ ='x suy = −

(

)

2k y 9k

x y 12

k

Lời giải

Lấy (2) (1) theo vế ta được:− x2+2 12 y x y

(

)

(

)

⇔ x 12 y+ − 2= ⇔ = −0 x y 12

Thay vào phương trình đầu hệ ta được:

(

)

(

) (

)

2 2

(20)

⇔

 

= − = − − = − +

 

− + = ⇔ ⇒

 

= + = − = +

 

 

2

1 1

y x 5,y

2 2 2

8y 112y 391

1 1

y x 5,y

2 2 2

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Giải hệ phương trình  + − − + + =

+ + + − =



2

2x xy y 5x y

x y x y

Lời giải Hệ phương trình cho tương đương với:

(

)(

)

 + − − − = 

 ⇔ = −

 

+ + + − =

 

 + + + − =



2

y x

x y 2x y

y 2x

x y x y x y x y 0

 = −

  = =

+ + + − =

 

⇔ ⇔

 = − = −

 = −



 

 + + + − =



2

y x

x 1,y

x y x y

4 13

x ,y

y 2x

5

x y x y

( ) ( )

 

4 13

x;y 1;1 ; ;

5

Baøi 2. Giải hệ phương trình  − − + + =

− + + =



2 2

x y 2x 2y

y 2xy 2x

Lời giải Nhận thấy y 1khơng thỏa mãn hệ phương trình =

Xét y 1rút ≠ = + −

2

y

x

2y 2từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ hệ ta được:

 +  +

− − + + =

 

 −  −

 

2

y y 2.y 2y 0

2y 2y

(

)(

)

(21)

 

= − = − = −

 

⇔ − − = ⇔ ⇒

 

= + = + = +

 

 

2

5

y x ,y

3 3

3y 6y 22

5

y x ,y

3 3

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:

( )

   

4 5

x;y ;1 ; ;1

3 3

Baøi 3. Giải hệ phương trình  − + + =

− + + =



2

x 2xy 2y 15

2x 2xy y

Lời giải

Nhaän thấy x 1không thỏa mãn hệ phương trình =

Với x 1rút ≠ = + −

2

x 15

y

2x thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

− + + +  + =

−  − 

2

x 15 x 15

2x 2x

(

)(

)

⇔3x4−12x3+26x2−28x 245 0− = ⇔ x2−2x 3x− 2−6x 35+ =0

 = −  = − = −

⇔ − − = ⇔ ⇒

 = +  = + = +

 

2 x 2 x 2,y

x 2x

x 2 x 2,y

( )

(

) (

)

Bài 4. Giải hệ phương trình

(

)

 + + − =

 

+ + + =



2

x y x 2y

x y x y 11

Lời giải

Cách : Trừ theo vế hai phương trình hệ ta x 4y + =

Khi hệ phương trình cho tương đương với:

(

)



 + + − = ⇔ − + + − − =

 

+ =

  = −

 

2

2 2

x y x 2y 4y y 4y 2y

(22)

 = =

 − + = 

⇔ ⇔

 = − =

= −

 

2 x 1,y

17y 78y 88

23 44

x ,y

x 4y

17 17

( ) ( )

 

23 44

x;y 1;2 ; ;

17 17

Cách : Nhận thấy x không thỏa mãn hệ phương trình =

Xét x đặt ≠ y tx hệ phương trình trở thành: =

( )

(

)

( )

 + + − =

 

+ + + =

 

2 2

1 t x 2t x

1 t x t x 11

Đặt z x hệ phương trình trở thành: =

( )

(

)

( )

 + + − =

 

+ + + =

 

2

1 t z 2t x t z t x 11 Tính D=

(

)

( )

Neáu D 0= ⇔ = − ⇒t Dz = −27≠0

4 hệ phương trình vô nghiệm

Neáu

 = 

≠ ⇔ ≠ − ⇒ ⇒ = ⇔ =

 = 

2

z x

z Dx x

1 D

D t z x D D D

D

z D

( )

(

)(

)

( )

⇔ + = − + + ⇔ − − = ⇔  = −



2

2 2 t

81 t 26t 4t t 23t 2t 88 44

t 23

TH1 : Neáu = ⇒ = = ⇒ = x = ⇒ =

x

D

t D 45,D 45 x y

D

TH2 : Neáu t= −44⇒ = −x 23,y=44

23 17 17

( ) ( )

 

23 44

x;y 1;2 ; ;

17 17

Bài 5. Giải hệ phương trình  + − + + =

+ − − + − =



2 2

x 4y 4x 12y 11

(23)

Lời giải Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

(

)

+

3x 23

2x y 23 3x y

2x (do x = −4 không thỏa mãn hệ phương trình)

Thay = −

+

3x 23 y

2x vào phương trình đầu hệ ta :

 −  −

+   − + + =

+ +

 

2

2 3x 23 3x 23

x 4x 12 11

2x 2x

⇔x4+4x3+22x2−180x 153 0+ =

(

)(

)

(

)

⇔ − − + + = ⇔ ⇒

= = = −

 

2 x x 1,y

x x x 8x 51 12

x x 3,y

7

( ) ( )

 

12 x;y 1; ; 3;

7

Bài 6. Giải hệ phương trình  + + + − = −

− − + + = −



2

x 2y xy x 10y 12

3x y xy 15x 4y

Lời giải

Đặt u x 2,v y hệ phương trình trở thành: = + = −

(

)

(

) (

)(

)

(

)

(

) (

)(

)

(

) (

)

 − + + + − + + − − + = −

 

 − − + − − + + − + + = −



2

u 2 v u v u 10 v 12

3 u v u v 15 u v

(

)



 + + = + + = − −

 

⇔ ⇔

− − =

 

  − − =

2 2

2

2 2 2

u uv 2v 3u uv v

u uv 2v

3u uv v 3u uv v 1

 = 

 − − =

 

⇔ ⇔ = −

− − =

 



 − − =



2

u v

11u 5uv 6v u 6v

11

3u uv v

(24)

 = − = −  = − =

 =  

  = =  = − =

− − =

  

 = − = = − − = +

⇔ ⇔ ⇔

= −  



  

 − − =  = = −  = − = − +



  

2

u 1,v x 3,y

u v

u 1,v x 1,y

3u uv v

6 11 11

u ,v x 2,y

6

u v 53 53 53 53

11 6 11 6 11

u ,v x 2,y

3u uv v

53 53 53 53

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là:

( ) (

) (

)

   

6 11 11

x;y 3;2 ; 1;4 ; 2; ; 2;

53 53 53 53

Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ xuất phát từ thủ thuật Đạo hàm hai phương trình hệ theo biến x theo biến y ta được(ở ta lựa chọn phương trình đầu hệ)

 + + =  = −  = +

⇔ ⇒

  

+ − = = = −

  

2x y x u x

4y x 10 y v y

(

)

 + =

 

− + + + =



2 2

x y (1)

48 x y 28xy 21x 3y 69 (2)

Lời giải Lấy 50.(1) (2) theo vế ta được: +

98x2+28xy 21x 2y+ + 2+3y 119 − =

(

)(

)

⇔ + − + + = ⇔ +

 = − 

y 7x

7x y 14x 2y 17 14x 17

y

2

Heä phương trình có hai nghiệm là:

( ) ( )

 

24

x;y 1;0 ; ;

25 25

Baøi 8. Giải hệ phương trình  + + =

− − + + =



2 2

x y x

x 2y xy y

Lời giải Lấy 2.(1) (2) theo vế ta được: +

(

)(

)

+ − − + = ⇔ − + − =

2

3x 2x xy y x 3x y

Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình là:

(25)

CHƯƠNG 2.

CÁC KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chương nội dung sách Tơi trình bày theo dạng tốn điển hình phân theo chủ đề Mỗi chủ đề cung cấp phương pháp kỹ thuật giải nhanh đồng thời số lưu ý bạn đọc q trình xử lý tốn cụ thể

Chủ đề 1.

KỸ THUẬT SỬ DỤNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Ta biết hệ phương trình bậc hai ẩn 1

2 2

a x b y c a x b y c

 + = 



+ =

 giải

được phép thông qua công thức Định thức x Dx,y Dy

D D

= = với D 0≠ , đó: 1 x 1 y 1

2 2 2

a b c b a c

D ,D ,D

a b c b a c

= = =

Nếu tinh ý quan sát hệ phương trình ta đưa hệ phương trình phức tạp hệ bậc hai ẩn ta sử dụng công thức nghiệm để giải

Dấu nhận biết phương pháp:

+ Các phương trình hệ phương trình bậc bậc ẩn x y

+ Có nhân tử lặp lại phương trình hệ thành phần cịn lại có dạng bậc x y(1 thức; biểu thức x y)

+ Có nhân tử lặp lạiở phương trình hệ(có thức; biểu thức x y)

Để rõ bạn đọc theo dõi ví dụ trình bày chắn hình thành kỹ nhận diện hệ phương trình giải kỹ thuật

Chú ý. Trong chương tốn hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng qt tơi trình bày kỹ thuật

(26)

B.BÀI TẬP MẪU

Bài Giải hệ phương trình 2

2

x y 4x 2y x y xy x 2y 12

 + − + = − 



+ − + − =



Lời giải

Phân tích tìm lời giải:

Cả hai phương trình hệ có dạng phương trình bậc x y Vì ta đưa hệ phương trình bậc ẩn Ta coi x tham số y tham số Lời giải ta coi x tham số

Đặt a y ,b y= = hệ phương trình trở thành:

(

)

2

a 2b x 4x a x b x x 12

 + = − + − 



− + = − − +



Coi phương trình bậc hai ẩn a b

Hệ hệ số a b đơn giản nên ta dùng phương pháp thế: Trừ theo vế hai phương trình hệ suy ra:

(

)

(

)

(

)

5 x b

x

− ⇒ =

+ (vì x= −4 khơng thoả mãn hệ phương trình)

(

)

3 5 x 3

x 3x 18

a ;b

x x

− − + +

= =

+ +

Mặt khác

2

2 x 3x 18 x

a b 25

x x

 

− + + −

= ⇔ =  

+  + 

(

)(

)

(

)

x x 3,y

 =  = = −

⇔ − − + + = ⇔ ⇒

= = =

 

( ) ( ) ( )

Còn nhiều giải khác cho hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát trình bày chương trước

Bài 2. Giải hệ phương trình 2

2

x 4x y 4y x y 2x 6y 23

 + + − = 



+ + =



.

Lời giải

(27)

Đặt t y= 2 hệ phương trình trở thành:

(

)

4

2

t 4y x 4x x y 23 2x

 − = − − 



+ = −



Ta coi hệ phương trình trình hệ phương trình bậc hai ẩn t y ta

được: 2

t y

D x= +6;D = −x −10x −30x +104;D =23 2x−

Suy ra:

(

)(

) (

)

2

2 y

2 Dt D 2

t y x x 10x 30x 104 23 2x

D D

   

= ⇒ =  ⇔ + − − − + = −

 

2 x y

(1 x)(1 x)(1 x )(x 16x 95)

x y

 = ⇒ =

⇔ − + + + + = ⇔ 

= − ⇒ =



Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm

( ) ( ) ( )

Nhận xét. Ta hoàn toàn dùng phép cho hệ phương trình cách rút y 23 2x2

x

− =

+ từ phương trình thứ hai hệ vào phương trình đầu

của hệ ta có kết tương tự

Bài (TSĐH Khối A 2008) Giải hệ phương trình:

(

)

2

4

5 x y x y xy xy

4 x y xy 2x

4



+ + + + = − 



 + + + = − 

.

Lời giải

Nhận xét. Lời giải tham khảo đáp án thức sử dụng ẩn phụ đơn giản Nhìn nhận phương trình hệ phương trình bậc y Vì theo dấu hiệu biết ta hoàn toàn đưa hệ hệ phương trình bậc hai ẩn

Viết lại hệ phương trình dạng

(

)

(

)

2

5 xy x x y x

4 y 2x x y x

4



+ + + = − − 



 + + = − − 

(

)

(

)

3

2

5 xa x x b x

4 a 2x x b x

4



+ + + = − − 



 + + = − − 

(28)

Ta coù D x 2x=

(

) (

)

(

)(

)

2

= ⇒ = −

+ Nếu x= −1 thay vào hệ ban đầu ta thấy vơ nghiệm Tính tiếp D ,D ta tìm được: x y

(

)

(

)

6 4

2

4x 4x 8x 4x 5x 5x 4x 4x 4x

a ;b

4 x x

+ + + + − − + + +

= = −

+ +

với

(

)(

)

(

)

(

)

2

6 4

2

4x 4x 8x 4x 5x 5x 4x 4x 4x a b

4 x x

 

+ + + + − −  + + + 

= ⇔ =  

 

+  + 

(

) (

)

3 25

2x 2x 4x x y

4 16

⇔ + + − = ⇔ = ⇒ = −

( )

2 16

 

= −   −     

Xem thêm lời giải đặt ẩn phụ chủ đề kỷ thuật ẩn phụ đại số

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

) (

)

x y y 2y xy , x,y x y x 3x xy

 + − = − +

 ∈



− − = − −

 

Nhận xét. Sau khai triển ta đưa hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát Vậy áp dụng kỹ thuậ đưa hệ bậc hai ẩn ta được: Viết lại hệ phương trình dạng:

(

)

(

) (

)

( )

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

2

2x y y y 4y 2x y 3y x

y 4y x

2 y y

y 4y y 4y

2 y 3y 1 (1)

2 y y y y

 − + = − + 



+ = + +

 

 − +

= 

 − +



⇔   

 

 − +  − + 

+ − +  + =

  

 

− + − +

   

 

  

(29)

Ta coù (1)⇔11y5−35y4+110y3−70y2+55y 0− =

Để giải phương trình đa thức ta đặt y v v

− =

+ sau rút gọn đưa

phương trình dạng:

5

5 5

5

9

2v v y

2 9 1

2

− − = ⇔ = ⇒ =

+

Thay ngược lại ta tìm x 5512 12

− =

+

Vậy hệ phương trình có nghiệm

( )

5

9 12

x;y ;

9 12 1

2

 

−

 − 

 

=

 + 

+

 

 

Nhận xét Câu hỏi đặt nghĩ đến việc giải phương trình đa thức bậc phép đặt y v

v

− =

+ Để làm rõ điều trước hết ta xét

cách khác cho toán sau:

Với

(

)

( )( )

x y 2y xy y

x y 3x xy x

 + = −

 + −

 

− −

 =

 − −



Đặt x u 1,y v u v

− −

= =

+ + hệ phương trình trở thành: u v u (1)

u v u uv v (2) uv v



− −

 =

 + +



 − −

=

 + +



Từ (1) kết hợp với tính chất tỷ lệ thức ta có:

2 2

u v u v v 2u u v u 2 v 2u v

(2 v) (2 v) 4u u 2v

− − − + −

= = =

+ + + + −

⇒ − = + − ⇔ =

Tương tự từ (2) ta có: uv v 3u uv 3u 3u 2uv uv v 3u uv 3u 2uv 3u

− − − − + −

= = = =

+ + + + + −

2 2 2

(3u 1) (3u 1) 4u v u v 3u

(30)

Vậy ta có hệ phương trình:

2

u 2v u v 3u

 =  

=



Xét u 0= ⇒ = ⇒ = = − ⇒v x y xy 1= (loại xy 0− ≠ ) Vậy

5

5 5

5

9 12 1,y 2

9 12

u

u u 12 v

1 x

2

= ⇔ = ⇒ = ⇒ = − = −

+ +

Đây hệ xây dựng cách đặc biệt Nguyên đâu ta có phép đặt sở xây dựng dạng hệ xin nhường cho bạn đọc Để áp dụng bạn đọc rèn luyện qua tốn tương tự sau:

Ví dụ. Giải hệ phương trình

x y 3y xy y x y 5x xy x

 + −

=

 + −



 − −

 =

 − −



Bài 5.Giải hệ phương trình:

(

)

(

)

(

)

x y 2xy 4xy 3y

, x,y x 2y 2xy 6xy x 7y

 + + = − +

 ∈



+ + = + − −

 

Lời giải

Chú ý thức 2xy 5+ hai phương trình hệ có chứa thêm đại lượng 4xy,6xy hoàn toàn biểu diễn theo thức thành phần lại dạng bậc x y Vì coi u= 2xy 5+ tham số ta đưa hệ phương trình hệ bậc ẩn x y

Cách 1: Điều kiện 2xy 0+ ≥

Đặt u= 2xy 5, u 0+

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2

x y u u 3y 2u x y u 3y 0 3u x 2y u x 7y 21 x 2y u u x 7y

 + = − − +  − + − − =

 ⇔

 

− + + − − =

+ = − + − −

 



(

)

(

) (

)

2

ux u y 2u u x 2u y 21 3u

 − − + = − + 

⇔ 

− − + = −

(31)

Coi hệ phương trình bậc hai ẩn x y; u tham số ta được:

(

)

(

)

u u

D u 5u

1 u 2u

− + −

= = + +

− − +

Tương tự ta có:Dx=u u

(

)

(

)

(

)

Với D 0 x Dx u,y Dy u 3 xy u u 3

(

)

D D

≠ ⇒ = = = = − ⇒ = −

(

)

2

2 u

u 5 u u u 6u 0

2 u

 = −

⇔ = − ⇔ − + = ⇔ 

= 

Thay ngược lại cơng thức nghiệm ta có nghiệm là:

( ) ( ) ( )

Cách 2:Viết lại hệ phương trình dạng:

(

)

(

)

x y 2xy 4xy 3y (1) x 2y 2xy 6xy x 7y (2)

 + + = − +

 

+ + = + − −



Lấy 2.(1) (2)− 3.(1) 2.(2)− theo vế ta được:

(

)

x 2xy 2xy x 4y x y 2xy 2x 5y 15

 + = − − + + 



− + = − + + 

(

)

(

) (

)

x y 2xy x 2xy

x y 2xy 5 x 2xy

 − − = + − + 

⇔ 

− − + + = − +



(

)(

) (

)

x y 2xy x 2xy

2xy x 2xy 2xy 5 x 2xy

 − − = + − + 

⇔ 

+ − + + + = − +



(

)(

)

x y 2xy x 2xy

x 2xy 2xy 5 2xy

 − − = + − + 

⇔ 

− + + + + + =



2

x y 2xy x 2xy x y x x x 2xy x 2xy

 − − = + − +  − − = −

 

⇔ ⇔

= +

 



(32)

(

)

y x

y x x 5,y 2

x

x 2x x x 1,y

x 2x 6x

 = −

 = −   = =



⇔ ⇔ ≥ ⇔

= − +  = = −

 

  = − +

Nhận xét. Qua toán lần khẳng định kỹ thuật tỏ hiệu

Bài Giải hệ phương trình:

(

)

(

)

(

)

3

2

3

2

3

y

x y y 2x xy 2y y

, x,y y

2x x y 2x 3xy x y

 +

 + + − = +

 ∈



 +

+ + − = −

 



Lời giải

Việc lặp lại thức 3

y 3, 2x 1 y

+ − ở hai phương trình hệ lúc

coi hai ẩn x,y tham số Hy vọng đưa hệ phương trình bậc ẩn tìm thức theo x y

Điều kiện: 2x2 0,y3 33 0,y y

+

− ≥ ≥ ≠ Ñaët u y3 33,v 2x2 1, u,v 0

(

)

y

+

= = − ≥

Hệ phương trình trở thành :

(

)

(

)

2

x y u yv xy 2y 2xu x y v 3xy x

 + + = + 



+ + = −



Coi hệ phương trình bậc với hai ẩn u v ta được:

(

)

(

)

2 2 2

u v

D x= +y ,D =2y x +y ,D = −x x +y Vì

3 u

3

v 2

D y 3

u 2y 2y x 1

D y

v x 2x 1 x

D

  +

= =

  =  = −

 ⇔ ⇔

  

=   = = − 

  − = −



(33)

Baøi Giải hệ phương trình: 2

(

)

2

3x y

x y , x,y 3x y

3x y

x y

 − + + = 

−

 ∈



−

 + + =

 −





Lời giải

Nhìn nhận phương trình hệ có chung 21 2

x −y coi đại lượng tham số hệ trở thành hệ bậc ẩn với x y

Điều kiện: x2−y2 ≠0

Viết lại hệ phương trình dạng: 2 2

2 2

1

3x y

x y x y

1

3x y

x y x y

    

+ − − =

    

− −

    



   

 + + − =

   

  −   − 

   



Đặt m 21 2 x y

=

− hệ phương trình trở thành:

(

) (

)

(

) (

)

3 m x m y m x m y

 + − − =

 

+ + − =



Coi hệ phương trình bậc với hai ẩn x,y m tham số Ta có: D m 1 m ,D=

(

)(

)

(

)

(

)

Với

(

)(

)

y

m D D m 1 m

m D

 = ⇒ = = ⇔ + − = ⇔ 

= − ⇒ =

 hệ phương trình vô nghiệm

Với

(

)

(

)

x

y

D

x

D m D

D 1

y

D m



= =

 +

 ≠ ⇒ 

 = =

 −



Mặt khác:

(

)

(

)

2

3 m

1 1 2

x y

m m m m 3 5

m

 −

= 

   



   

− = ⇔ − = ⇔

 +   −   +

     =



(34)

Thay ngược lại công thức nghiệm ta có

5 5

x ,y

4

5 5

x ,y

4

 + +

= = −

 

 − − +

= =

 

Cách 2:Cộng theo vế trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

2

6x

6x 15

x y 2y

2y

x y



+ =



− 



− + =

 −



Nhận thấy x 0= y 0= không thỏa mãn hệ phương trình Xét xy 0≠ viết lại hệ phương trình dạng:

2

2 2

2

2 5

2

x x y

x y 25 16 x 5y (1)

5

2 x y x y

2 x y

y x y

x y

 + = 

− =

 − 

 ⇔ ⇒ − = ⇔ =

 

− − + =  + =

 −  −



Thay x2 =5y2vào phương trình thứ hai ta được:

2

1 5 5

y x ,y

2 4 4 4

2 8y 4y

y

4y y x 5,y

4 4

 +  + +

= − = = −

 

− + = ⇔ + − = ⇔ ⇒

 − +  − − +

= = =

 

 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm laø:

( )

4 4

 + +   − − +  = −    

   

Ghi chú. (1) xem thêm kỹ thuật cộng, trừ lấy tích hai phương trình hệ Ngồi ta giải hệ phương trình số phức

Bài Giải hệ phương trình

(

)

(

)

2

5x y y y x 6x 1 y y 10x 25x

x

 + + = + +

 

+ − = − + + 



Lời giải

(35)

Điều kiện: x 0≠

(

)

(

)

(

)

3

2

25x 15x x x.a 5x b 5x 6x a

, x 5x x x

x.a x 10x b 25x x b 5x 2

 − + − + + =  + − +

 ⇔ = − − ≠

 

+ − + − − =

  = +



Ta coù a b2 25x3 15x2 x

(

)

x

+ − +

= ⇔ = +

2

5 5 5

x x ,y

10 10

5x 5x

5 5 5

x x ,y

10 10

 +  + +

= − = − = −

 

⇔ + − = ⇔ ⇒

 −  − −

= − = − =

 

 

Neáu

(

)

x VN

1 21 21

x 5x x x y

10

1 21 21

x y

10



 = ⇒ 

− ± −



− − = ⇔ = ⇒ = 

+ −

 = ⇒ =



Vaäy hệ phương trình có nghiệm là:

( )

10 10

1 21 1; 21 ; 21 21 1;

10 10

 + +   − − 

= − −   − 

   

 − ± −   + − 

   

   

Cách 2: Viết lại hệ phương trình dạng:

(

)

(

)

2 2

2

y x 5x y 5x 6x xy x 10x y 25x x

 − + − + + =

 

+ − + − − =

 

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

(

)

(

)

1 21 21

x y

10

1 21 21

5x x 5x y x y

10

y 5x

 − ± −

= ⇒ =

 

 + −

⇔ − − − + = ⇔ = ⇒ =



 = + 



(36)

+ Với y 5x 2= + thay vào phương trình đầu hệ ta được:

(

)

(

)

(

)

5x x+ − 5x +1 5x 2+ −5x +6x 0+ =

2

5 5 5

x x ,y

10 10

5x 5x

5 5 5

x x ,y

10 10

 +  + +

= − = − = −

 

⇔ + − = ⇔ ⇒

 −  − −

= − = − =

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm laø

( )

10 10

1 21 1; 21 ; 21 21 1;

10 10

 + +   − − 

= − −   − 

   

 − ± −   + − 

   

   

Baøi Giải hệ phương trình

(

)

3

x y (x y)(xy 1) , x,y x x y xy(x y 1)

 + = − −

 ∈



− + + = − +

 

Nhận xét Cũng tương tự toán coi x tham số y biến phương trình hệ viết lại phương trình bậc y Do hồn tồn sử dụng phương pháp

Viết lại hệ phương trình dạng: 2

3 2

x y x y xy y x x x y x y xy xy

 + = − + − 



− + + = − +



(

)

( )

(

)

2

x y x y x x (1) xy x x y x x (2)

 + − + + + =

 ⇔ 

− + − + − + = 



Nhận thấy từ hệ ta hoàn toàn giải phương pháp cách lược bỏ nhân tử y từ hai phương trình hệ 2

Do ta lấy x.(1) (x 1).(2)− + theo vế ta được:

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x y x x x x x x y x x x

− + + + + + + − − + − + =

(

)(

)

1 x

2 2x x y x

y

 = −   ⇔ + − + = ⇔ =

 = −  

(37)

+ TH1: Neáu x

= − thay vào phương trình đầu hệ ta được:

2

1y 5y 0 4y 10y 0 y 5

2

±

− − = ⇔ − − = ⇔ =

+ TH2: Nếu x 1= thay vào phương trình đầu hệ ta được:

2

2y 2y 2 y 2

  − + = ⇔  −  + =

  vô nghiệm + TH3: Nếu y= −1 thay vào hệ ta được:

3

x x 2x x 2x

 + + + = 



+ =

 (hệ vô nghiệm)

Vậy hệ cho có hai nghiệm là(x;y) 5; , 5;

2 4

− +  − −  =     

   

Cách 2: Dùng hệ hai phương trình bậc

Chú ý đặt a y ,b y= = ⇒ =a b2và hệ phương trình trở thành:

(

)

( )

(

)

2

x a x b x x xa x x b x x

 + − + + + = 



− + − + − + = 



Thì rõ ràng hệ phương trình hai ẩn bậc ta coi x tham số Lúc cần tìm a b theo x giải phương trình a b= 2ta phương trình x ta có kết tốn

Thật ta có: D= − +

(

)

(

) ( )

( )(

)

a b

D = x +1 2x − −x ,D =2x − −x + NeáuD x 12

x

 = −  = ⇔ 

= 

thay lại vào hệ ta tìm nghiệm cách + Nếu D 0 a Da x2 1 0

D

≠ ⇒ = = − − < vô lý

Vậy hệ có hai nghiệm

( )

2 4

 −   + 

= −   − 

   

(38)

Caùch 3: Hệ số bất định

Lấy 1.(1) 2.(2)− + ta được:(x 1)(x− 2+y2− −x 3y xy 2) 0− − =

2

x

x y x 3y xy

 = ⇔ 

+ − − − − = 

Với x 1= thay vào hệ ta ta được: 3

x x 2x x 2x

 + + + = 



+ =

 (hệ vô nghiệm)

Vớix2+y2− −x 3y xy 0 (3)− − =

Lấy 2.(1) (3)− ta được: (2x 1)(x+ 2+y2− + −x y xy 2) 0+ = 2

1 x

2

x y x y xy

 = −  ⇔ 

 + − + − + = 

Với x y 5

2

− ±

= ⇒ =

Với x2+y2− + −x y xy 0 (4)+ =

Lấy (4) (3)− ta được: y= −1 thay vào (3) thấy vơ nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm là(x;y) 5; , 5;

2 4

− +  − −  =     

   

Bài 10. Giải hệ phương trình: 2

(

)

2

3x x y 24 , x,y x y 24 3y

 + − − + =

 ∈



 − − + =





.

Lời giải

Phân tích tìm lời giải: Khi bắt gặp hệ xuất hai thức lặp lại hai phương trình hệ ý tưởng rút thức theo x y Rõ ràng biểu diễn thức theo x y cần thực phép bình phương ta đưa hệ phương trình bậc hai ẩn dạng tổng quát Và theo kỹ thuật hệ phương trình bậc hai ẩn ta hoàn toàn giải hệ sinh

Điều kiện: x≥

Hệ phuơng trình tuwong đương với:

2 2

2

x y 24 3x x x y y 24 4x y 4 x y 24 3y

 − − + = −  − = + −

 ⇔

 

 − − + =  + = + −



(39)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

x y 0,4x y x y 0,4x y x x y x x y (1) y 24 4x y y 24 4x y

 + − ≥ + − ≥  + − ≥ + − ≥

 

⇔ − = + − ⇔ − = + −

 

 + = + −  + = + −

 

Ta coù :

(

)

(

)

(

)

(

)

2

x x y y 2y x 2x x y 2x 4x y 24 4x y

 − = + −  + − − + =

 ⇔

 

− = − + +  + = + − 



Do x ≥ hệ đơn giản ta sử dụng phép từ phương trình thứ hai hệ ta được:

2

2x 4x y

x

− + + =

− Thay vào phương trình thứ hệ ta được:

(

)

2

2x 4x 2. 2x 4x 1 x 2x 0

x x

− + +  − + +

+ − − + =

 

 −  −

 

3

2x 6x 6x 11

⇔ − + − =

(

)

2 x x y 36

⇔ − = ⇔ = + ⇒ = −

( )

2

 

= + −   

Cách 2: Ta có:

( )(

)

( )(

)

x y 0,4x y x y 0,4x y

7 (1) y 2x y y (1)

2x y

x 2x y 3

x (2) 2x y



 + − ≥ + − ≥  + − ≥ + − ≥ 

 



⇔ − + − + = ⇔ − = −

+ −

 

− + − − =

 



− =

 + −



Lấy (1) 2.(2)+ theo vế ta được: 2x y 2x y 2x y

+ − = −

+ − + −

Đặt t 2x y 2= + − phương trình trở thành:

3

6

t t 2x y

t t

− = − ⇔ = ⇔ + − =

+

Thay vào (1), (2) tìm nghiệm hệ phương trình là:

( )

2

 

= + − 

 

(40)

Nhận xét. Đây toán hay khó lời giải cho tốn đẹp mắt Với lời giải tự nhiên dễ nghĩ đến nhiên lời giải cho ta lối tư giải hệ đưa ẩn phụ ẩn hay

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài Chứng minh với m hệ phương trình sau có nghiệm x2+y2

không đổi: 2

2x my m 3m mx y

m

 − = 

 +

+ = 

+ 

Lời giải

Dễ tính x 4m2 ,y m2

m m

−

= =

+ +

Khi

(

)

(

)

2

16m m

x y

m

+ −

+ = =

+

Bài Giải hệ phương trình x42 y22 8x2 6y x y y y

 − − − = − 



+ + = −



Lời giải

Đặt 2

2

a 8b y 6y a x ,b x

by y y

 − = + − 

= = ⇒ 

= − − −



Dễ tính a y3 2y2 10y 8,b y2 y

y y

− − − + +

= = −

Mặt khác

2

3 2

2 y 2y 10y y y

a b

y y

 

− − − + +

= ⇔ =  

 

(

)

(

)

⇔ + + + =

x 1,y y

3 65 65

x ,y

9 65 4 8

y

8 3 65 9 65

x ,y

4



 = ± = − 

 = −

+ − +

 

⇔ − ± ⇒ = − =

 = 

 − +

 = ± = − 

Vậy hệ phương trình có nghiệm laø

( ) (

)

4 8

 + − +   − + 

(41)

(

)

(

)

(

)

y x 2xy 4xy 3y

, x,y x 2y 2xy x 7y 6xy

 + + = − +

 ∈



+ + = − + +

 

Lời giải

Đặt u 2xy 8, u 0

(

)

−

= + ≥ ⇒ =

Hệ phương trình trở thành:

(

)

(

) (

)

2

ux u y 2u u x 2u y 21 3u

 − − + = − + 



− − + = −



Coi hệ phương trình bậc hai ẩn x y; u tham số ta được:

(

)

(

)

u u

D u 5u

1 u 2u

− + −

= = + +

− − +

Tương tự ta có:Dx=u u

(

)

(

)

(

)

Với D 0 x Dx u,y Dy u 3 xy u u 3

(

)

D D

≠ ⇒ = = = = − ⇒ = −

Ta có phương trình: u2 u u u 6u 0

(

)

2 u

 = −

= − ⇔ − + = ⇔  = 

Thay ngược lại cơng thức nghiệm ta có nghiệm là:

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

(

)

(

)

2 2

x y x y 2y xy 2y 2x x x y 2y 3xy x

 + + + + = +

 

 + + + + = −



Lời giải

Đặt a= x2+7,b= 2y2+1, a,b 0

(

)

(

)

(

)

2

x y a yb xy 2y 2xa x y b 3xy x

 + + = + 



+ + = −



(42)

+ Nếu x2+y2= ⇔ = =0 x y 0thoả mãn

+ Neáu x2+y2>0 ta coù

a 2

2 b

D

a 2y x 7 2y x 3

D

D 2y 1 x y

b x

D



= = 

 + =  = −

 ⇔ ⇔

   =

  = = −  + = − 

Vaäy hệ phương trình có hai nghiệm

( ) ( ) (

)

(

)

(

)

2

x y x y y x y xy 2y 2x x y x y x y 3xy x

 + + + − = + 



+ + + − = −



Lời giải

Đặt a= x y,b+ = x y, a,b 0−

(

)

(

)

(

)

2

x y a yb xy 2y 2xa x y b 3xy x

 + + = + 



+ + = −



Ta coù 2

(

)

(

)

a b

D x= +y ,D =2y x +y ,D = −x x +y + Nếu x2+y2= ⇔ = =0 x y 0thoả mãn

+ Nếu x2+y2>0 ta có

a b

D

a 2y x y 2y

D

D x y x

b x

D



= =

  + =

 ⇔

 

− = −  = = − 



(heä vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )

Baøi 6. Giải hệ phương trình 2

(

)

2

x x y 24 , x,y x y 24 7y

 + − − + =

 ∈



 − − + =





Lời giải

Điều kiện: x ≥

Hệ phương trình cho tương đương với: 2

2

x y 24 x x y 24 7y

 − − + = − 



 − − + =



2

3 x 7y x y 24 4x 7y

 − = + − 

⇔ 

 + = + −



(43)

Điều kiện trước tiên: 7y x 4x 7y

 + − ≥  + − ≥



Bình phương hai vế hệ phương trình bậc hai tổng quát:

(

)

(

)

2

8x 14y x 49y 28y 67 2x 7y x 5y 14y 19

 + − − + − =

 

+ − + − − =



Đặt a x ,b x,a b= = = hệ phương trình trở thành:

(

)

(

)

2

8a 14y b 49y 28y 67 2a 7y b 5y 14y 19

 + − − + − =

 

+ − + − − =



Tương tự ta tính

(

)

(

)

3 2

91y 124y 301y 204 23y 28y

a ,b

4 7y 7y

− + − − + +

= =

− −

Mặt khác

(

)

2

2 23y 28y

b x 7 (1)

2 7y

− + + 

 

= ≥ ⇔ ≥

 − 

 

Mặt khác

(

)

(

)

2

3 2

2 91y 124y 301y 204 23y 28y

a b

4 7y 7y

 

− + − − + + 

= ⇔ =

 

−  − 

4

12y 14y 245y 378y 135

⇔ − + − + =

(

)

(

)

( ) ( )

Caùch 2: Đặt

(

)

2 2

2

u x x u 2ux x x

, v

v 2vy y y 24 v y y 24

 = + −  − + = −

 > ⇒

 

− + = + 

 = + + 



2

u v 24

x ;y

2u 2v

u v 24

x ; y 24

2u 2v

 + −

= =

 ⇒ 

− +

 − = + =



(Do u 0= khơng thỏa mãn hệ phương trình) Khi đó, hệ phương trình trở thành:

2

2 2

v 24

u

2v

u v 24 v 24

4

2u 2v 2v

 +

− =

 

− + −

 − =



(44)

2

2 2

2

v 4v 24 u

2v v 4v 24

u

2v v 4v 24 7

2v

u 4v 72 4v 72

2 2.

u v v 4v 24 v

2v

 + +

= 

 + + 

=

   

  + +

⇔ ⇔   −

 

− −

 =    −

=

 

  + +



(

)

(

)

(

)

2

3

2

v 4v 24

u v 4v 24

2v u

2v

v 4v 24 28v v 3v 26v 144v 384 0 4v 72

v 4v 24

 + +

 =

 + +

= 

 

⇔ ⇔

+ + −

  − + + + =

 = −

 

+ + 

2 v

2

x x 7

u x

v y y 24 1 y

>  =  + − =  =

←→ ⇔ ⇔

= =

  + + = 

Vậy: hệ phương trình có nghiệm nhất:

( ) ( )

Nhận xét. Với phép đặt ẩn phụ ta xử lý toàn hệ phương trình có dạng:

2 2

1 1

2 2

a x b a x b c y d c y d e a x b a x b c y d c y d f

 + + + + + =

 

 + + + + + =



Phép đặt aån phuï 2

2

u ax a x b v cy c y d

 = + +

 

 = + +



là phép đặt ẩn phụ khử thức dạng Euler (xem thêm chủ đề hệ phương trình thức)

Bài Giải hệ phương trình 2

(

)

2

2 x y y , x,y x y 3x

 + − + = −

 ∈



 + − + =





Lời giải

Tìm

(

)

(

)

2

2 2

2

2 2

6x y 0,6x 3y x 6x y

16 x 36x 12xy y y 6x 3y

16 y 36x 36xy 9y



+ > + > 

 + = + 

 ⇔ + = + +

 

 + = + 

 

+ = + +



(45)

Đưa giải hệ phương trình: 2

2

20x 12xy y 48 (1) 7y 36xy 36x 80 (2)

 + + − =

 

− − + =



Lấy (2) 7.(1)− theo vế ta được:

2

2 416 176x

120xy 176x 426 y

120x

−

+ − = ⇒ =

Thay vào phương trình (1) ta được:

2

2 416 176x 416 176x

20x 12x 48

120x 120x

 

− −

+ +  − =

 

( )(

)

13 13

x x ,y

8

 = ±  = =

 

⇔ − − = ⇔ →

= ± = = −

 

 

( ) ( )

8

 

=  −   

Nhận xét. Để sáng tạo hệ phương trình dạng ta xuất phát từ đẳng thức

2

1 1

2

2 2

x a c x d y e y b c x d y e

 + = + +

 

 + = + +



Ta việc lấy tổng 2

1

k x + +a k y +bđược phương trình hệ

(

)

(

)

2

2 2

x y xy y , x,y x 2y y

 + − + =

 ∈



− + − =

 

Lời giải

Điều kiện: y 0≥

Đặt a x ,b x= = ⇒ =a b2 hệ phương trình trở thành:

(

)

2

2 2

2

y a

2y ya yb y

y y y a 2y y

2 y y 2y

b

y y 2y 4

 −

= 

− 

 + − + =

 ⇔

 − + − =  − − −

 

 − − −

 = = −

 −



(46)

Maët khaùc

2

2 y

y y

a b

y

2y 2y

 − 

−  − 

= ⇔ = −

 

−  − 

(

)

y

40y 28 y 8y 45 y 54y 28 y

y y x

 + + + 

 

⇔ − =

− + − − + − + 

 

⇔ = ⇔ = ⇒ =

 

x y     

Chủ đề 2.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Nội dung chủ đề đề cập đến phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại I số hệ đưa hệ đối xứng loại I thơng qua phép đặt ẩn phụ Ngồi đề cập ứng dụng hệ đối xứng loại I giải phương trình vơ tỷ chứng minh bất đẳng thức

Đa thức đối xứng: Xét đa thức hai biến x y, P x y

 

Nếu P x y

 

P y x

 

x y

P x y

 

Hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình có dạng:

( , ) ( , )

F x y G x y

 



 



đo:ù F x y G x y( , ); ( , ) đa thức đối xứng với x y,

- Hệ đối xứng loại I hệ mà vai trò x y, phương trình hệ

là

- Nếu



x y





y x



Ví dụ Hệ phương trình 2

1

x y xy x y xy x y

     

   



(47)

Phương pháp chung:

Đặt S x y P xy

 = + 

=

 với điều kiện

2

S ≥4P tìm S,P

Khi theo định lý Vi-ét x, y hai nghiệm phương trình:

2

t −St P 0+ =

Lưu ý: Một số trường hợp ta phải đặt S x y,P xy= − = lúc ta phải có

2

S ≥ −4P thực chất hệ suy từ hệ đối xứng loại thay y y

− Một số toán đơn giản mà biến đổi S,P có dạng bậc dạng bậc hai ta không cần đặt ẩn phụ tiến hành biến đổi tương đương Khi tìm S,P việc tìm x,y khơng cần chi tiết mà ra nghiệm

( )

Một số đẳng thức hay sử dụng:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

3

x y x y 2xy S 2P x xy y x y 3xy S 3P x xy y x y xy S P

x y x y x y 3xy S S 3P

+ = + − = −

− + = + − = −

+ + = + − = −

 

+ = +  + − = −

 

(

)

(

)

(

)(

) (

)

2 2

2

4 2 2

2

4 2 2 2 2

2 2

2 2 2

x y x y 2xy 2x y S 2P 2P

x y x y x y xy x y xy S 2P P 1 x y S

x y xy P

1 x y S 2P

x y x y P

 

+ = + −  − = − −

 

+ + = + − + + = − −

+

+ = =

+ −

+ = =

Đặc điểm dạng tốn đơi số nghiệm hệ có nghiệm có số nhiệm chẵn đơi nhiều nghiệm có đến 16 nghiệm

(

) (

)

2

x y x y x x y y y

 + + + =

 

+ + + + =

(48)

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với:

2 2

2

x y x y x y x y xy

x y x y xy

 + + + = 

 ⇔ + + + =

 

= − 

+ + + + =

 



(

)

x y 2xy x y xy

 + − + + =

⇔   = − 

(

)

x y x y xy

 + + + =

⇔   = − 

x y x y xy xy

 + =  + = −

⇔ ∨

= − = −

 

x x x x y y y y

 =  = −  =  = −

 

⇔ ∨ ∨ ∨

= − =

= − =  

 

 

Vaäy hệ phương trình có bốn nghiệm là:

( )

(

) (

)

( ) ( )

Baøi 2. Giải hệ phương trình x y 2xy 23 3 x y

 + + =

 

+ =



Lời giải

Đặt S x y, S

(

)

 = +

≥ 

=

 Khi hệ phương trình trở thành:

(

)

3

2

2 S

P 2S 3S 6S 16 0

S 2P 2

2 S 3S

S S 3P S S 8 P

2

 = − 

+ − − =



 + =

 ⇔ ⇔

 − =   −   −

=

  − = 

   

  



⇔

(

)

(

)

2

S 2S 7S S 2 x y 2 x 2 x 0

2 S P 0 xy 0 y 0 y 2

P

 − + + =

  =  + =  =  =

⇔ ⇔ ⇔ ∨

 −  =  =  =  =

   

 = 

Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm laø

( ) ( ) ( )

(

)(

)

3

x y 19 x y xy

 + = 



+ + =

(49)

Đặt S x y, S

(

)

 = +

≥  =

(

)

(

)

(

)

3

S 24S 25 S S 3P 19 SP 8S

2 8S S 8S 19 P

S P S



 − =  = − + − =

 ⇔ ⇔

   −

− − = =

+ =

  

 

(

)

(

)

S x y

2 8S P 6 xy 6

P S

 − + + =

  =  + =

⇔ − ⇔ ⇔

= − = −

 

 = 

x x y y

 =  = −

⇔ ∨

= − =

 

Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm

( ) (

) (

)

Baøi 4. Giải hệ phương trình

(

)

2

3

2 x y x y xy x y

 + =  + 

  



 + =



Lời giải

Đặt 3x a, y b= = hệ phương trình trở thành trở thành:

(

) (

)

2 a b a b b a a b

 + = +

   + = 

Đặt S x y, S

(

)

P xy

 = +

≥ 

=

2S S

(

)

 − =  =  + =

 ⇔ ⇔

  =  =

 

 = 

a a x 64 x b b y y 64

 =  =  =  =

⇔ ∨ ⇔ ∨

= = = =

   

( ) (

) (

)

Bài 5. Giải hệ phương trình x2 y2 2xy x y

 + + =

 

 + =



(50)

Ýtưởng: Bình phương hai vế phương trình hai hệ rút x y+ theo xy vào phương trình đầu hệ

Điều kiện x 0,y 0≥ ≥

(

)

x y xy 2xy 2xy x y

  

 + − − + =

  

  



+ =



(

)

16 xy 2xy 2xy x y



− − + =

 ⇔ 

 + =



2xy 64 xy 256 2xy xy 32 xy 128 xy

x y x y

 − + + =  − + = −

 

⇔ ⇔

 + =  + =

 

xy 32 xy 128 64 16 xy xy

xy 16

xy x y

x y x y

 − + = − +

  =



⇔ ≤ ⇔ ⇔ = =

+ =  

+ =



Vậy hệ có nghiệm nhaát

( ) ( )

Cách 2: Từ hai phương trình hệ ta có

(

)

(

)

(

)

2 x +y +2 xy= x+ y ⇔ x +y = +x y

(

)

(

)

2 x y x 2xy y x y x y

⇔ + = + + ⇔ − = ⇔ =

Thay y x= vào phương trình thứ hệ ta có kết tương tự

(

)

4 2

2

x y 6x y 41 xy x y 10

 + + =

 

+ =



Lời giải

Từ phương trình thứ hai hệ suy xy 0> Khi hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

(

)

(

)



 + + =  + =

 ⇔

 

+ =

 + = 

 

2

2 2

2

xy x y 10

x y 4x y 41

100 4x y 41

xy x y 10

x y

(

)

  + − =

  

⇔ 

 − + =



2

4 2

xy x y 2xy 10

4x y 41x y 100

(51)

(

)

 = ∨ =



⇔   

 + − =

 

  



2

5 xy xy

2

xy x y 2xy 10

 + = ±

 + = ± 

⇔ ∨

= =

 

x y

5

xy xy

2

Với

 = =



 + = ±  = =

⇔

 =  = − = −

 

= − = −



x 1;y

x y x 2;y

xy x 1;y

x 2;y

Với  + = ± = 

x y

5 xy

2

trường hợp không thỏa mãn

(

)

( ) ( ) ( ) (

) (

)

Cách 2: Nhận thấy hai phương trình hệ vế trái bậc Ta đưa phương trình:

(

)

(

)(

)

+ + = + ⇔ − −  − + =

 

4 2 41 2

x y 6x y xy x y 2x y x 2y x xy y

10

Do xy 0≠ ⇒x2−8xy y+ 2>0

5

Do y 2x= x 2y=

Chỉ việc vào hai phương trình hệ ta tìm

( )

(

)

(

)

  

 +  + =

  



 

 + + =

 



 



2

1

x y 49

x y

xy

Lời giải

Điều kiện xy 0≠



    

+ + + = 

  +  + +  =

 ⇔   

 

 + + + =  + + + =

 

 

2

1 1 1

x y 49 x y 53

x y x y

1 1 1

x y x y 5

x y x y

       

+ + = −

 + + +  −  +  + =   

       

⇔ ⇔

 + + + =  + + + =

 



2 1 1

1 1 x y 14

x y x y 53 x y

x y x y

1

1 x y 5

x y x y

x y

(52)

 + =  + = −  = −  ±

 

    =

⇔ ∨ ⇔ ± ∨

=

 + = −  + =   = −

 

 

1 x 1

x x 7 5

x x x

2

1 y

y y 2 y 1

y y

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm

( )

   

7

x;y 1; ; ;

2

(

)(

)

(

)(

)

 + + =

 

+ + =

 2 2 2

x y xy 18xy

x y x y 208x y

Lời giải

Nhận xét: Hệ phương trình tương tự tốn khử xyvà

2

x y bên vế phải phương trình hệ

Nhận thấy

( ) ( )

(

)

(

)

   

+ + = + + + =

   

 

 ⇔

   

 +  + =  + + + =

   



2

1 1 1

x y 18 x y 18

xy x y

1

1 x y 208

x y 208

x y

 + + + =  + + + =

 

⇔ ⇔

        

 + + + =  + + + − + + =

        

        

 

2 2

1 1

x y 18 x y 18

x y x y

1 1 1

x y 212 x y x y 212

x y x y x y

  

+ + + = + = + =

  

⇔   ⇔ ∨

 +  + =  + =  + =

    



1 1 1

x y 18 x 14 x 4

x y x x

1

1 y 4 y 14

x y 56

y y

x y

 = ±  = ±

 

⇔ ∨

= ± = ±

 

 

x x

y y y

Vaäy: hệ phương trình có nghiệm là:

( ) ( )

(

) (

)

Baøi 9. Giải hệ phương trình (TSĐH Khối A 2006)  + − =

+ + + =



x y xy

(53)

Lời giải

Điều kiện :  ≥≥ − 

xy x,y

Đặt  = +

(

)



2 S x y

, S 4P

P xy Khi hệ phương trình trở thành:

= = =

2 3 4

A B ,A B ,A B ,

(

)

 = −  + + 

 

  



 = + + 

3

3 x 1 x 2 1

y

y x x

 − =  

+ − =



2

1 y 4xy

4x y 4xy

+ − + − − ≥

2

4 x x y 3y

(

)

(

)

 = − ≥

 − = 

 ⇔

 

+ + + + =

 

  + − + = −

2

P S ,S

S P

S 2 S P 16 2 S S 3 1 14 S

(

)

(

)

(

)



 = − ≥ = − ≥

 

⇔ ⇔

− + = − +

 − + = − 

 

2

P S ,S

4 S 5S 10 S 28S 196

2 S 5S 10 14 S

(

)

 + − =  =  + =  =



⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= = =

  

= − ≥



2

3S 8S 156 S 6 x y 6 x 3

P xy y

P S ,S

( ) ( )

 − + − = +

 

+ =

 

2

x y xy

1 1 1

x y

Lời giải

Điều kiện: x 1, y 1,xy 0≥ ≥ + ≥

( )( )

 − + − − + − = +

 

 + =



2 2

x x y y xy

x y x y

 + − − + − − + =

 ⇔ 

 + =



2 2 2

2 2

x y xy x y x y

(54)

Đặt u x= 2+y ,v xy, u 2,v2 =

(

)

  = = −

 − − + − + = ⇔

  =

= 

 = 

2

u 1,v

u v v u

u 4,v

u v

Đối chiếu với điều kiện suy  = = ⇔ + = ⇔  = − = −

= 

 = =

  

2

u x y x 2,y

v xy x 2,y

( )

(

) (

)

Baøi 11. Giải hệ phương trình (TSĐH Khối A,A1 2012):

 − − + = + −

 

+ − + =

 

3

2

x 3x 9x 22 y 3y 9y

1

x y x y

2

Lời giải

Hệ phương trình tương đương với:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)



− + − − =

 

 − − + − − + =



2

3 2

1

x y 2xy x y

2

x y x y x y 22

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

 − + − − =



⇔     

 −  − + −  − + − − + =

    



2

1

x y 2xy x y

2

x y x y 3xy x y 2xy x y 22

Khi ta đặt  = − = 

a x y

b xy hệ phương trình trở thành:

(

) (

)

 + − =

 

 + − + − + =



2

1

a 2b a

2

a a 3b a 2b 9a 22



= + − 



⇔     

  + + − −  + + − − + =

    



2

2 2

1 a a b

4 2

3 3a 3a

a a a a a 9a 22

4 2

(

)

(

)



 = + −  =

 = + −

  

⇔ ⇔ ⇔

= −

− + − + =  − − + − = 

 

2

3

1 a a

1 a a b a

b 4 2 2

4 2 b

a 2a 2a 41 4

2a 6a 45a 82

(55)

Do phương trình: −2a2+2a 41 0− = có ∆ = − <' 81 nên vô nghiệm

Với

(

)

 =  − =  = +

 ⇔ ⇔

  

= − = − + = −

  

  

a x y x y

3 3

b xy y y

4 4

(

)



 = +  = = −



⇔ ⇔ 

+ = 

 = = −

 

2

3

x y x ;y

2

1 1 3

y x ;y

4 2 2

( )

   

3 1

x;y ; ; ;

2 2

Cách 2: Viết lại hệ dạng  − −

(

)

(

) (

)

(

)

 + − + =



3

2

x 12 x y 12 y

1

x y x y

2

Đến đặt u x 1;v y 1= − = + đưa hệ phương trình

(

) (

)

(

)

(

)



 − = −  − + + − =

 ⇔

 

+ + − − + + − =

  + + − − =

 

2

3

2 2 2

u v u uv v 12

u 12u v 12v (1)

1 1

u v u v u v 2u 2v 0 (2)

2 2

(

)

(

) (

)

(

)

2

x 12 x y 12 y (1)

1

x y (2)

2

 − − − = + − +



   

 −  + +  =

   



Từ (2) ta có:

  

− ≤

 − ≤ ≤ − ≤ − ≤

 ⇔ ⇔

  

 + ≤ − ≤ ≤ − ≤ + ≤

  



1 1 3 3 1

x x x 1

2 2 2 2 2

3 1

1 y y 1

y

2 2

2

 

⇒ − + ∈ − 

 

3

x 1,y ;

2

Xét hàm số f(t) t= 3−12ttrên − 

 

3 3;

2 ta coù:

( )

= − < ∀ ∈ − 

 

2 3

f '(t) t 0, t ;

2 tức f(t)là hàm nghịch biến

 

−

 

 

(56)

Do (1)⇔f(x 1) f(y 1)− = + ⇔ − = + ⇔ = +x y x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

(

)

 = −  = = −

 

+ + − − + = ⇔ + + = ⇔  ⇒ 

 = −  = = −

 

 

2 2 2

1

y x ,y

1 2 2 2

y y y y 2y 4y

2 y x 1,y

2 2

Bài 12 (VMO 2005) Cho x,ylà hai số thực thỏa mãn x x y y− + = + − Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P x y= +

Lời giải

Điều kiện : x≥ −1,y≥ −2

Ta cần tìm tập giá trị P, xét hệ phương trình :

 − + = + −

 

+ = 

x x y y

x y P

Những giá trị Pđể hệ có nghiệm tập giá trị P Viết lại hệ dạng : + =

(

)

 + = 

x y x y

x y P

Đặt  = +

(

)

= +



u x

, u,v

v y hệ phương trình trở thành:

(

)

(

)

 + − = +  + =

 ⇔

 

+ = +

 + − = 



2

3 u v P

u v 3 u v

u v P

(

)

(

)

 + =

 

⇔  + − +  

 = =  − − 

  

 



2 2 2

2

P u v

3

u v u v 1 P

uv P

2

Khi u,vlà hai nghiệm phương trình: − +  − − =

 

2

2 P P

t t P (1)

3

(57)

  

∆ = −  − − ≥

  



+ 

⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ +



  

 

  − − ≥

  



2

P 2 P P 3 0

9

P 0 21 P 15

3

1 P P 3 0

2

Vậy giá trị lớn Pbằng 15+ , giá trị nhỏ Pbằng 21+

2

Bài 13 (TSĐH Khối A 2006) Cho x,ylà hai số thực x, y 0≠ thỏa mãn

(

)

xy x y x xy y Tìm giá trị lớn biểu thức A= 13 + 13

x y

Lời giải

Theo giaû thiết ta có :

(

)

= 2 ⇔ + = − +

2 2 2

xy x y x xy y 1 1 1 1 1

x y xy

x y x y x y

Đặt u=1,v=1, u,v 0

(

)

x y + = − +

2

u v u uv v ;

Vaø A u= 3+v3=

(

)

(

)

(

)

Xét hệ phương trình:

(

)

 + = − + 



+ =



2

u v u uv v u v A

Khi giá trị lớn A để hệ có nghiệm giá trị lớn A

Trước tiên ta phải có A để ý : ≥

+ = − + = −  + > ∀ ≠

 

2 2

2 v 3v

u v u uv v u 0, u,v

2

Viết lại hệ phương trình dạng:

(

)

(

)

(

) (

)

 

 + = + −  + − + = −

 ⇔ = ⇔

  

 + =   + =

  + = 

2

A A u v u v

u v u v 3uv uv uv

3

u v A u v A u v A

(58)

2 A A

t At (1)

3

−

− + =

Hệ có nghiệm thỏa mãn yêu cầu trên⇔(1) có nghiệm u,v ≠

 −

∆ = − ≥

  < ≤



⇔ ⇔

≠

− 

 = ≠



A A

A 0 A 16

A A A

P

3

Khi A 16= ⇒ = =x y

2 Vậy giá trị lớn A 16

Bài 14.(TSĐH Khối B 2009) Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn:

(

)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x=

(

) (

)

Lời giải

Ta có

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

⇔ + −  + + + + ≥ ⇔ + ≥

 

2

x y x y x y x y

Ta coù:

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

= + + − + +

= + + + − + +

≥ + + + − + + = + − + +

4 2 2

2

2 4 2

2 2

2 2 2 2 2

P x y x y x y

3 x y x y 2 x y 1

2

3 x y x y 2 x y 1 x y 2 x y 1

2 4

Đặt t x= 2+y2≥1

(

)

2 2khi ≥ − +

2

9

P t 2t

4

Xét hàm số f(t)=9t2− +2t

 

+∞ 

1 ;2 , ta coù :

 

∈ +∞

 

 

= − > ∀ ≥ ⇒ =  =

 

1 t ;

2

9 1

f '(t) t 0, t f(t) f

2 2 16

Vậy P đạt giá trị nhỏ

16khi = = x y

(59)

Một số phương trình vơ tỷ khéo léo đặt ẩn phụ dạng hai ẩn ta đưa hệ đối xứng loại I dễ dàng tìm nghiệm phương trình

Bài 1. Giải phương trình sau: −  + − =

 

3 3

x 35 x x 35 x 30

Lời giải

Đặt y=335 x− ⇒x3+y3 =35

Và phương trình ban đầu trở thành: xy x y

(

)

(

)

(

)

(

)



 + = + − + =  + =  = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =   =  = =

 

+ =

 

 

3

x y 35 x y 3xy x y 35 x y x 2,y xy x 3,y

xy x y 30 xy x y 30

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 2,x = =

Bài 2. Giải phương trình 4x+4x 1− =41 x +

Lời giải

Điều kiện: x ≤ ≤

Nhận thấy x không nghiệm phương trình =

Xét với x < ≤

Khi chia hai vế phương trình cho 4x ta được:

+4 − =1 + ⇔1 + −1 − =1

1 1 1

x x x x

Đặt u=41+1;v=41−1

x x ta có hệ phương trình:

(

)

 − =  − =

 ⇔

 

+ = + − =

 

 4  2 2

u v u v

u v u v 2u v

(

)

 − =  − =

 

⇔  ⇔

+ − =

− + − = 

 

  



2

2 2 2 2 2

u v u v 1

2u v 4uv

(60)



 − +



 = +  =

 

⇔ ⇔ ⇒ =

= − + >

   

  − −  

− +

 

 =   −



 

 

4

6

4

u v u 1

2 x

6

uv 6

2 4 3 1 4 3 1

2 2

v 1

2 2

Bài 3. Giải phương trình 33 2x x− − =

(

)

Lời giải

Điều kiện:− ≤ ≤ − +1 x 34

Phương trình cho tương đương với:  −

(

)

(

)

2

34 x x

Đặt  = +

(

)

= − +



u x

, u u v

v x

Khi ta có =

(

)

(

)

(

)

 

2

4 2 2

4

v x 34 x 34 x 34 u Ta có hệ phương trình:

≥ 

 + = = +

 ←→ ⇒ + = + ⇔ = +



+ = 

 = −

 

u,v

4

u v u x 1 2 x 2 2

u v 34 v

Bài 1. Giải hệ phương trình  + = + + = 

2

x y xy x y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

x y 2xy x y x y xy x y xy x y

 

 + − = ⇔ + + + =

 

 + + =  + + =

 

(61)

x y x y xy x y

 + = − 

⇔ + =

 + + =



 = −   = −  + = 

 

=  = −

 

⇔ ⇔ 

 + =  = +

 

 = − 

  = +

 

= −   

x y x y

xy x x y y xy x 1 3 y

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là:

( ) (

)

(

) (

)

Bài 2. Giải hệ phương trình  + + =

+ + =



2

x xy y x xy y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

)

2

x y xy x y xy xy x y xy x y

 + − =  + − =

 ⇔

 

= − + = − +

 

 

(

)

(

)

2

x y x y xy x y

 + + + − =

 ⇔ 

= − +



 + = 

=  =

 

⇔ ⇔ 

=

 + = − 

  = 

x y

xy x y x y

xy

( ) ( )

Bài 3. Giải hệ phương trình (Dự Bị Khối A 2005)

(

) (

)

 + + + =

 

+ + + + =



2

x y x y x x y y y

Lời giải

2 2

2

x y x y x y x y xy

x y x y xy

 + + + = 

 ⇔ + + + =

 

= − 

+ + + + =

 



(

)

x y 2xy x y xy

 + − + + =

⇔   = − 

(

)

x y x y xy

 + + + =

(62)

x y x 2,y xy x 2,y 2 x y x 2,y xy x 1,y 2



 + = = = −

 

= − 



 = − =

⇔ ⇔ 

 + = −  = − =

 

 = − = = −

 

( )

(

) (

)

( ) ( )

Bài 4. Giải hệ phương trình  + =

+ + =



2

x y xy x y xy

Lời giải

(

)

(

)(

)

(

)

xy x y x y xy

 − − + =

 + =

 ⇔

 

= − +

+ + =

 

 

(

)

(

)

(

)

2

x y x y xy x y

 + − + + =

 ⇔ 

= − +



 + = 

=  =

 

⇔ ⇔ 

=

 + = 

  = 

x y

xy x y x y

xy

( ) ( )

 − + = +

 

+ − = −

 

2

3 2

x xy y x y

x y x y xy

Lời giải

(

)

(

)

(

)

 − + = +  − + = +

 

 ⇔

     

+ − + = − − + = −

     

     

 

2 2

x xy y x y x xy y x y

1

x y x xy y xy x xy y xy

2

 − + = +



  + + =

− + = +

 

 − + = −  

⇔ ⇔ ⇔

 + =

   + =

 

 − + = − + 

  

2

2 2 2

2

x xy y x y

1 x y xy x xy y x y

1 2

x xy y xy 1

2 x y 1

x y

1 2

x xy y xy

(63)

(

)

(

)

(

)

(

)



 = − +

+ + = 

 

⇔ ⇔

 

 + − =  + −  − + =

 

   

2

1

1 xy x y

x y xy 2

2

1

1 x y 2 x y

x y 2xy 2 2

2

(

)

(

)

(

)



 + = − − 

 

  = +

= − + 

 

⇔ ⇔

 + + + − =  + = − +



 

 



 = −

  

2

5 x y

2

1 xy

xy x y 2 2

2

3 5

x y x y x y 1

2 2

3 xy

2

Bài Giải hệ phương trình sau:

1 Giải hệ phương trình  + + =

+ =

 2

x y xy x y y x

Lời giải

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

 + + =

 + + =  + + =

 ⇔ ⇔

 + =  − − + = 

+ − + + =

  

  

x y xy x y xy x y xy

xy x y x y x y x y 5 x y 6 0

 + = 

=  = =

 

⇔ ⇔ 

= =

 + = 

  = 

x y

xy x 2,y x 1,y x y

xy

( ) ( ) ( )

2. Giải hệ phương trình 

(

)

− =

 3

xy x y x y

Lời giải

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

 − = −  − = −

 − =  =

 ⇔ ⇔ ⇔

     

= − = −

− − + = − − =  

   



2 3

xy x y xy x y 2 x y 2 x 1 xy y

x y x y 3xy x y 6 2

(64)

3 Giải hệ phương trình

(

)

x y xy x y

Lời giải

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

x y x y 3xy x y 8 x y 2 x 1 xy y xy x y

xy x y

( ) ( )

(

)

x y x y xy x y xy 12

Lời giải

(

)

(

)

x y x y 2xy xy x y xy 12 Đặt  = +

(

)

= 

2

S x y, S 4P

P xy hệ phương trình trở thành:

(

)

S S P

2 S S 2P

S S S S

P S P 12 S 1 12

2 ⇔

(

)(

)

S S

P S S 8

2 P

2

S S 8 S S S 1 12 S S S S 5 0

2  + −  =  + − =   ⇔     + − + −   + + =  − + + =       

x y x 2,y 2 xy x 2,y 2 x y

S 0,P x 2,y

xy

S 3,P x 1,y

S 2,P x y x 3,y S 5,P xy x 1,y x 2,y x y

(65)

Vậy hệ phương trình có tám nghiệm

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 + + + = +

 

+ − =

 

4

2

x y x y x y x y 8xy 18

Lời giải

(

)(

) (

)

(

)

(

)

(

)

 + =

 + + −  + + + + =



   ⇔ + =

 

 + − =  + − =

 

2

2 2 2

x y x y x y x y x y

x y

5 x y 8xy 18 5 x y 8xy 18

(

)

 = − =

 + =  = = −



 + =  = − 



 

 + =  − +

⇔ ⇔  + = ⇔ = =



 + − =  



 

  = − + −

 = =

 



x 1,y x y

x 1,y

x y xy 1

3 35 35

x y x y 1 x ,y

6

5 x y 18xy 18 xy 13

3 35 35

x ,y

18

6

( ) ( ) ( )

   

3 35 35 35 35 x;y 1;1 ; 1; ; ; ; ;

6 6

Bài Giải hệ phương trình sau:

1. Giải hệ phương trình



+ = − 



 + =

 2

1 1 x y x y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

xy x y xy x y

x y 2xy x y x y

 = − +  = − +

 ⇔

 

+ − = + + + − =

 

 

x y

xy x 2,y x 1,y x y

xy 10

 + = 

= −  = = −

 

⇔ ⇔ 

= − =

 + = − 

  = 

(66)

2. Giải hệ phương trình  + = −

+ =

 2

x y 2xy x y

Lời giải

(

)

(

)

 + = −  + = −  + = −

 ⇔ ⇔

  

− =

+ − = − − = 

  

  2

x y 2xy x y 2xy x y 2xy 4x y 6xy x y 2xy 1 2xy 2xy

 + =  =



  = =



⇔  + = − ⇔ 

= =

 

 

=   

x y

xy x 1,y 0 x y x 0,y 1

3 xy

2

( ) ( ) ( )



+ + + = 

 

 + + + =

 2 2

1

x y

x y 1

x y

Lời giải

Điều kiện: xy ≠

 

+ + + = + + + =

 

 ⇔

 

        

 + + + =  + + + − + + =

        

        

 

2 2

1 1

x y x y

1 1 1

x y 13 x y x y 13

x y x y x y

 +

= =

 

 + + + =   −

+ = + =

   = =

  

⇔ ⇔ ⇔

 

   −

 +  + =  + = + =  = =

   

 

 +

 = =



3 x 1,y

2

1 1 3 5

x y x y x 2,y x 1,y

x y 2

1 1 3 5

x y x 3,y x ,y 1

x y x y 2

3 x ,y

2

(67)

( )

       

3 5 5 x;y 1; ; 1; ; ;1 ; ;1

2 2

4 Giaûi hệ phương trình

(

)

 + =

 

+ + + =



2

x y 13

3 x y 2xy

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

 + −

 + − =  =

 ⇔

 

+ + + =

 

 + + + − + =



2

x y 13 x y 2xy 13 xy

2 x y 2xy

3 x y x y 13

 + = 

  = = −

= − 

 



⇔  + = − ⇔ = − =

 

− ± −



 =  = =



 





x y

x 3,y xy

x 2,y x y

4 10 10

3 x ,y

xy 2 2

2

( ) (

) (

)

 



4 10 10 x;y 2;3 ; 3; ; ;

2

5. Giải hệ phương trình  + − + = + − = − 

2

x y x y xy x y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

) ( )

 − − + −

 =

 − + − − = 

 ⇔

 

+ − = −

  − − + −

  + − = −



2

2 x y x y xy

x y 2xy x y 2

xy x y 2 x y x y

x y

(

) (

)

(

)

(

)

 − = −

 − − + − 

 = =  = − =

 

⇔ ⇔ ⇔

= =

 − = 

 

− − − − =

  = −

2

x y x y x y

xy x 1,y xy

2 x 0,y 1

x y x y x y xy 5

(68)

6. Giải hệ phương trình  + + =

+ − − = −

 2

x y xy

x y x y xy

Lời giải

(

)

(

) (

)

 = − +

 + + =

 ⇔

 + − + = −   

+ − + − + = −

 

   

xy x y x y xy

x y xy x y x y x y x y

(

)

(

)

(

)

 + = 

 = − + =  = =

 

⇔ ⇔ ⇔

= =

 + = 

+ − + + =

 

 

 = 

2

x y

xy x y xy 4 x 1,y 2 x 2,y x y

x y x y

xy

( ) ( ) ( )

7 Giải hệ phương trình  + =

+ + =



3

x y x y 2xy

Lời giải

(

) (

)

(

)

(

)

 +  + − = + − − − + − =

   ⇔

 

 

 + + =  + + =

 

2 x y

x y x y 3xy x y x y

x y 2xy x y 2xy

(

) (

)

(

)

 + −  + + + + =  + =  = =

  

⇔   ⇔ = ⇔ = =

 

 + + =



2

x y 2 x y x y x y x 0,y xy x 2,y x y 2xy

( ) ( ) ( )

8 Giải hệ phương trình  + =

+ =

 2

x y y x x y y x 20

Lời giải

Điều kiện: x 0,y ≥ ≥

(

)

(

)

(

)

(

)

 + =  + + =  + =

 ⇔ ⇔

  

+ =

+ = + =

  

 

xy x y xy x y xy 36 20 2xy xy 36 xy x y 20

xy x y 20 xy x y 20

(

)

 =  + =  = =



(69)

( ) ( ) ( )

9. Giải hệ phương trình

(

)

 + + =



 + + + =

 2

x y xy 11

x y x y 28

Lời giải

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(

)

 = −  + =

 ⇔

  − − + =

− + =

 

 

P 11 S S P 11

S 11 S 3S 28

S 2P 3S 28

 = −  = −  =  = −



⇔ ⇔ ⇔ ∨

= ∨ = − = =

+ − =

   



P 11 S P 11 S S S 10 S S 10 P P 21

S 5S 50

Đáp số.

( ) ( ) ( ) (

) (

)

10. Giải hệ phương trình  + =

+ =

 4

x y x y 34

Lời giải

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

P xy hệ phương trình trở thành

(

)

 =  =  =

 ⇔ ⇔

   = ∨ = −

− − =

− − =  

 



2 2

2

S S 2 S 2

P P 2P 16P 18

S 2P 2P 34

Đáp số

( )

(

) (

)

11 Giaûi hệ phương trình  + =

(

)(

)

+ + =

 4 3

x y

x y x y 280

Lời giải

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(

)

(

)

S

S 2P 2P S S 3P 280

 = 

 

 − −  − =

 

  

 



(

)

2

S

2P 64P 256 16 3P 280

 = 

⇔  − +    − = 

(70)

Đáp số

( ) ( ) ( )

 + =

 

+ =

 

2

10 10

x y 1 x y

8

Lời giải

Ta coù: x10+y10=

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

8 2 4 4

2

4 4 2 2 2 4

2

2 2 4 2 2

2

2 4 2 2 4 2

x y x y x y x y

x y 2x y x y x y 2x y x y

x y 2x y x y x y 2x y

1 2x y x y x y 2x y 5x y 5x y

= + − + +

 

= + − −  + − +

 

 

= + −  − − −

 

= − − − − = − +

Vậy hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

2

4 2 4 4 2 2

x y x y 2xy

1 7

5x y 5x y 5x y 5x y 0

8 8



 + = + − =



 ⇔

 

− + =

  − + =

 

6

x y ,xy

5

6

x y ,xy

5

6

x y ,xy

5

6

x y ,xy

5

6

x y ,xy

5



 + = − − − = − −

  

 + = − − = − −

  

⇔ + = − + − = −

  

+ = + − = −

  

 + = − + + = +

 

13. Giaûi hệ phương trình  + + =

+ + =



2

4 2

(71)

Lời giải

Ñaët  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(

)

(

)

 − =  − =  = ±

 ⇔ ⇔

  

=

− − + = − − = 

 



2 2

S P S P 7 S 3

P S 2P 2P P 21 P P 21 Đáp số

( ) ( ) ( ) (

) (

)

14 Giải hệ phương trình  + + =

+ + =



2

4 2

x y xy 13 x y x y 91

Lời giải

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

P xy hệ phương trình trở thành

(

)

 − =  = ±

 ⇔

 

=

− − + = 



2

2 2

S P 13 S 4

P S 2P 2P P 91 Đáp số

( ) ( ) ( ) (

) (

)

(

)

 + =

 

+ = +



2

5

x y

x y 11 x y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

 + =

 

+ − + − + = +



2

4 2

x y

x y x x y x y xy y 11 x y

(

)

(

)

2

4 2

x y

x y x x y x y xy y 11

 + =

 ⇔ 

+ − + − + − =



2

4 2

x y 5 (1) x y

x y

(2) x x y x y xy y 11

 + = 

+ =  ⇔ 

+ =

 



 − + − + − =

(72)

Giải hệ phương trình (1):

  = −

    =

  = −

 + = ⇔ ⇔

  

+ = =

 

   =

  

  = −

  

2

5 x

2 y

y x 2

x y

x y 2x 5

x

5 y

2

Giaûi hệ phương trình (2):  + =

− + − + − =



2

4 2

x y

x x y x y xy y 11

(

)

(

)

2

2 2 2 2

x y

x y 2x y xy x y x y 11

 + =

 ⇔ 

+ − − + + − =



2

2 2 2

x y x 2,y xy

x y x 1,y

x 1,y x y 5x y 14 x y

x 2,y xy

 + =  = − = −

 

 + =  = − = − = −

  

⇔  ⇔ ⇔

 = =



+ − =  + =

 

  

 =  = =



Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm:

( )

(

) (

) ( ) ( )

   

5 5

x;y ; ; ; ; 1; ; 2; ; 1;2 ; 2;1

2 2

16. Giải hệ phương trình

(

)

  

+ + =

  

  



 + =



1 x y

xy xy

xy

Lời giải

Đặt  = +

(

)



2

S x y

, S 4P

       

+ =

     + =  =  =

   ⇔   ⇔ + ∨ −

   

 + =  − + =  = −  = +

 





1 1 5 5

S S 1 5 S S

P P 3 3 3 3

1

P P 4P P P P

(73)

(

)

xy x y

xy

xy xy

Lời giải

1

1 x y 4

x y x y

x y

1 x y 1

xy xy y x x y y y x y

     + + + = + + + =      ⇔           + + + =  + + + =             1

x y

1

x y

x y     + + + =         ⇔      + + =         + =   − + =  =   ⇔ ⇔ ⇔ = − + =    + =   2

x x 2x 0 x 1 x

1 y 2y 0 y

y

( ) ( )

(

)

(

)

xy

x y 18

xy

Lời giải

  + + + = + + + =    ⇔          + +  + + + =  + + + =              2 2 2 1

1 x y 6

x y x y

x y

x y 1 1 1

x y 18 x y 18

y x x y y x

  + + + = + + + =     ⇔ ⇔          + + + − + + =  +  + =              

1 1

x y x y 6

x y x y

1

1 1 x y 9

x y x y 18 y x

y x y x

(74)

  + = − − = =    + =  =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  + =  − + = + +   + =   = =  

1 5

x y xy 3y x y x ,y

2

xy 3x x 3x

1 5

y x x ,y

2

( )

   

3 5 5

x;y ; ; ;

2 2

(

)

(

)

x y

xy

x y 16

xy

Lời giải

Điều kiện:xy ≠

(

)

(

)

2

3

2 3

2

x y

xy x y 3

x y 16

xy x y x y

   + + + =           + + + + =         2 2 2 3

2 3

1 2x 2y

x y

y x x y

3x 3y 3x 3y 1

x y 16

y x

y x x y

 + + + + + =   ⇔   + + + + + + + =        +  + +  =     ⇔      + + + =          2 3 1

x y

y x

1

x y 16

y x Ñaët  = +    = +  u x y v y x

hệ phương trình trở thành:

(

)

(

)

(

)

)(

)

u v u v 2uv 8

u v

u v u v uv 16

(75)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

u v

uv u v 8

2 uv

2 u v

u v 16 u v 24 u v 32 0

1

x y

y x

1

x y

u v y x

uv 1 1

x y 2

y x

u v 2

1

uv 4 x y 4 3

y x

u v 2

1

x y 2

uv

y x

1

x y 4

y x  + + + =       + + =  + =          =    + + + = − −   + = − −  ⇔ ⇔     = +   +  + = +      + = − +     + + + = − + = −         + + = −                          

(

)

xy

x y 2 xy

1

xy xy  = =  +  + = − +  ⇔    + = −  

Bạn đọc tự giải tiếp hệ phương trình có năm nghiệm

 + + + =   + + + =   2 2

x y x y 4xy 1 y x 4 x y x y

Lời giải

(

)

(

)

2 2

3 2 3 2

x y x y 4xy x y x y 4xy

(76)

(

)

(

)

2 2 2

2 2

x y x y 4xy x y 2xy x y x y 4x y x y 2xy

 + + + = 

  + =

⇔ ⇔

+ + =  + =

 



2

x y x 0,y x 1,y 2x 2x

 =  = =



⇔ ⇔ = =

=

 



Đối chiếu với điều kiện suy

( ) ( )

Vậy hệ phương trình có nghiệm nhaát

( ) ( )

(

)

(

)

 

+ + =

 

 



 

 +  + =

 

 



2

x y x y y x

x y x y 4 y x

Lời giải

(

)

(

)

 

+ + =

 

 



    

 +  −   + − =

    

 



2

x y x y y x

x y 2 x y 2xy 4 y x

(

)

(

)

(

)

 

+ + =

 

 

 ⇔ 

   

 +  +  − + + −  +  =

    



2

x y x y y x

x y x y

x y x y 4xy 2xy

y x y x

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)



 +  + = +

+ =



 

  

 

⇔ ⇔

+ +

 

 + + =  + + =

 

 

2

2 2

x y x y 4 x y x y 4

y x xy

x y x y

xy xy

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(77)

(

)

 = 

 −  +

=

 

 ⇔  

   − 

+ −

   

− + =

 − + =  +

 

 +



3

2

2 3

2

3

S P

S 2P.S 4 2S

P S

S 2S

S 2P S

S

S 2P 2S 4

P S

2S

 

=

 =

 + 

⇔ ⇔ +

 + =  + − =



 + +



3

2

S S

P P

2S 2S 4

4S 16S 6 S S 0 2S 2S

 = −  

 =  + =  =



⇔  ⇔ ⇔

= =

 =  

  = 

S 27

P x y x

2

xy y S

P

( ) ( )



+ + + =

  

 + =

 +



2

1

x y

1 1 xy x y

Lời giải

Điều kiện: xy x y

(

)



    



+ + + =

   −  + +  −  + =

 ⇔    

 

+

 + = +    

− + − =

    

    

2

1 1 1

x y x 2 y 2 7

x y x y

x y 1 1

6 x y x y 6

xy x y

Đặt

 = −    = − 

1 u x

x v y

y

(78)

(

)

 + + =

 + =

 ⇔

 

+ + + + + + =

+ + + =

 

 

2

2 2 2

2

u v 2uv 36 u v

u v u v u v 28

u v 2

(

)

 + =

 + + = 



⇔ ⇔ ≥

+ − + = −

  = −

 

2

u v u v 2uv 36

uv

u v 36 2uv uv uv 5 (hệ phương trình vô nghiệm)

Cách 2: Ta có:

2

1 1

x y x y

x y

   

+ + + =  −  + +  −  +

   

(

)

2 2

1

x y 2 11 x y

 

≥  − + −  + + = >

 

Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm



+ + + =

  

 + = + 



2

1

x y 2

y x

1 x y

x y

Lời giải

Ta coù: + + + ≥  +  + +  ≥ + =

   

2

2 2

2

1 1

x y x y 2 2

x y

y x

Daáu xảy

 + =

  =

 ⇔

 

=   + = 

1

x x 1 x

1 y

y

Thay vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn

( ) ( )

(

)(

)

 − + − =

 

+ = + − −



x y

x y x y

(79)

Khi đặt  = −

= −



u x

v y hệ phương trình trở thành:

(

)

2 2

u v

u v u v

u v uv u v uv u v 3uv

 + =

 + =  + =

 ⇔ ⇔

  

+ + = + + − = + − =

  

  

u v uv

 + = ⇔ 

= 

x y 1

u 2,v x 5,y u 1,v x 1 x 2,y

y

 − = 

 − =

 = =   = =

⇔ ⇔ ⇔

= =  = =

  − = 



− = 



Vậy hệ phương trình có hai nghieäm

( ) ( ) ( )

25. Giải hệ phương trình  + + + =

 + =



2

x y xy 3xy

x y 2

Lời giải

(

)

(

)



+ − + =  − − + =

 ⇔

 

 + + =  + = −

 

2

x y xy 3xy xy xy 3xy x y xy x y xy

 − + + =  − + = −

 

⇔ ⇔

 + = −  + = −

 

3xy 32 xy 64 3xy 3xy 32 xy 64 3xy

x y xy x y xy

 ≤

  + =  =



⇔ − + = − + ⇔ ⇔

= =

 



+ = − 

xy

x y x 3xy 32 xy 64 3xy 24 xy 48

xy y x y xy

( ) ( )

(

) (

)

 + + + =

 

+ + =



2

x y x y 18 x x y y 72

Lời giải

(80)

(

)

(

)

2

x y x y 2xy 18 xy xy x y 72

 + + + − =

 

+ + + = 

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

2

x y x y 18 xy

2

x y x y 18 x y x y 18

x y 72

2

 + + + −

 =



⇔  + + + −  + + + − 

  + + + =

  

  



(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

4

x y x y 18 xy

2

x y x y 31 x y 70 x y

 + + + −

 =

 ⇔  

+ + + − + − + =



x y x 3,y 3 xy x 3,y 3 x y x 2,y xy x 3,y x 4,y x y

x 3,y xy 12

x 4,y x y

x 2,y xy

 + =  = = −

 = − 

 = − =

 

 + =  = =

 

 =  = =

⇔ ⇔

 = =

 + =

 

 =  = =

  = − =

 + = − 



 = −  = = −

 

Vậy hệ phương trình có tám nghiệm là:

( ) (

) (

) ( ) ( ) (

) (

)

(

)(

)

 + = 

 + + + =  + =

 ⇔ 



+ + =  + =

 

 

+ = 

 

2

2 2

2

x x 12 x x y y 18 y y 6

x x y y 72 x x 6 y y 12

(

)

(

)

  

+ + =

  

 



  

 +  + =

  



2

1 x y

xy

x y

(81)



 + + + =

+ + + = 



 ⇔

 

   

 + + + =  + + + =

   

 

    

2

1

1 x y 5

x y x y

x y

1 1 1

x y x y 13

x y x y

 + =  

 + + + =  + =  ±

   = =

  

⇔ ⇔ ⇔

 

    ±

 +  + =  + =  = =

    

 

 + = 

1

x

1 1 3 5

x y y x 1,y

x y y 2

1 1

x x y y x x x ,y

1

y

( )

   

3 5 x;y 1; ; ;1

2



+ = +

  

+ =



y x 1 x y xy x xy y xy 78

Lời giải

Điều kiện: xy >

Từ phương trình thứ hai suy x y + > x 0,y > >

(

)

(

)

(

)

 + +



 + = +

=

 + = +

 ⇔ ⇔

  

+ =

  

+ =



7 xy

x y x y 7 xy

x y xy xy xy

xy xy 78 xy x y 78

xy x y 78

( )

 + = 

 + = +  =  + =  = =

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= = =

 + = −  

+ − =

 

 

= − 



2

x y 13

x y xy xy 6 x y 13 x 9,y 4 xy 36 x 4,y x y

xy xy 78

xy 13

(82)

(

)

(

)

 + + + =

 

 − + + =



2 2

x xy y x y 185 x xy y x y 65

Lời giải

(

)

(

)

(

)

 + + = 



+ =

 ⇔ ⇔ + =

  

=

− = 

 − + + =  



2 2 2 2

2

2 2

2 x y x y 250 x y 5 x y 25 xy 12 25 xy 65

x xy y x y 65

(

)

 + =  = =

 

 = = =

 + − =  

⇔ ⇔ ⇔

 = − = −  + = −

 =

  

= − = −

 = 



2

x y x 3,y xy 12 x 4,y x y 2xy 25

x 3,y x y

xy 12

x 4,y xy 12

Vaäy hệ phương trình có bốn nghiệm

( ) ( ) ( ) (

) (

)

Cách 2: Nhân chéo hai phương trình hệ ta được:

(

)

(

)

(

)

65 x xy y 185 x xy y 4x 3y y x Thay y=4x

3 vào phương trình thứ hệ ta kết tương tự

30. Giải hệ phương trình  + =

+ = +



5

9 4

x y

x y x y

Lời giải

(

)(

)

(

)

 + =  + =  = =

 ⇔ ⇔

   = =

+ = + + + = 

 



5 5

9 4 5 4

x y x y 1 x 0,y 1

x 1,y

x y x y x y x y x y

( ) ( ) ( )

31. Giải hệ phương trình  + + =

+ + =



3 3

x x y y 17 x xy y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

 + − + + =

 

+ + =



3 3 3

x y 3xy x y x y 17

(83)

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(

) (

)



 − + = ⇔ − − + − =

 

+ =

  + =

 

3

3 3

S 3SP P 17 S 3S S S 17

S P S P 5

(

) (

)

 

 − − + − =  − + =

⇔ ⇔

+ = 

 + = 



3 2

3 18S 90S 108 0

S 3S S S 17

S P

 = 

=  + =  = =

 

⇔ ⇔ ⇔

= = =

 =  

  = 

S

P x y x 1,y xy x 2,y S

P

( ) ( ) ( )

(

)

 + + =

 

+ + + =



2

5

x xy y

x y 15xy x y 32

Lời giải

(

)

(

)

(

)

 + + =  + + =

 ⇔

 

+ + + + + = + =

 



2 2

5

5 2

x xy y x xy y

x y 5xy x y x xy y 32 x y 32

(

)

 + =  + =  =



⇔ ⇔ ⇔

= =

+ − =  



x y x y 2 x 1 xy y

x y xy

( ) ( )



+ − = + −

  

− +

 + =

 + +



2

x y 1 1 1 y x xy x y

x y x xy y x y xy

Lời giải

(84)

Khi hệ phương trình tương đương với:

(

)

(

)

 + − + − 

− + + =

=

 

 ⇔

  − +

 + = − +  + =

+ +

 + + 



2 2 2

2

x y x y x y xy x xy y 0

xy x y

x y x xy y x y x xy y

x y xy x y xy

Do xy nên ≠ x2+xy y+ 2>0 hệ tương đương với:

 =  =

 

⇔ − + ⇔ + + − +

+ = =

 + +  + + +

 

2 2

xy xy

x y x xy y 2xy x y x xy y x y xy xy x y xy

 =  = − = −



⇔ ⇔ = =

+ =

 

 2

xy x 1,y x 1,y

x y

Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm

( ) ( )

 + = +



   

+ =

 +   + 

   



2

x y xy

x y 1

y x

Lời giải

Điều kiện: x,y≠ −1

(

)(

)

2

x y xy

x y 2xy 1

y x x y

 + = +



 

+ − =

 + +  + +

 



(

)(

)

2

x y xy

x y x y 2xy 1 xy x y x y

 + = +



⇔  + + + 

− =

 



+ + + + +

 

 



(

)(

)

2

x y xy

1 xy x y 2xy 1 xy x y x y

 + = +



⇔  + + +  − =

 + + +  + +

 



(

)(

)

2

x y xy 2xy 0 x y

 + = +



⇔  =

 + +



(85)

 = − = 

 = =

 + = 

⇔ ⇔

 = = −

=

 

= =



2

x 1,y x 1,y x y

x 0,y xy

x 0,y

( ) (

) ( ) (

) ( )

(

) (

)



+ =



 + +



+ + = 

2

x y

2 y x x y 3xy

Lời giải

Điều kiện:x≠ −1,y≠ −1

Cách 1: Ta có

(

) (

)(

)

2

x y 2xy 2xy

xy x y x y

y x

Đẳng thức xảy

 + + =  = =

 ⇔

 = 

= − = −

 + + 



x y 3xy x 1,y x y x 1,y

y x 3

( )

 

1 x;y ; ; 1;1

3

(

)(

)

2

x y 2xy

y x x y x y 3xy

 

 − + =

  + +  + +

  



+ + = 

2

x y 2xy

y x xy x y x y 3xy

 

 − + =

  

⇔  + +  + + +



+ + = 

2

x y 0

y x x y 3xy

 

 − =

  

⇔  + +  

+ + = 

x y x 1,y

y x 1 1

x ,y x y 3xy 3

 =  = =

 

⇔ + + ⇔ = −

= −

 + + = 



(86)

(

) (

)

 + + + =

 

+ = −



+ +



2

xy x y

x y

4 x y

Lời giải

( )( )



 + + + + =  + + = −

 ⇔

 + = − 

+ = −

 + + 

  + +

2

2 2

2 2 2

x y 8xy x y x y 8xy

x y x y 1

4

x y x 1 y 1

⇔

 =



 +

 



  = −  = ±

= −  

  = −

+ 

+ + 

 ⇔  ⇔ 

   = −



 + = −  = − 

 + +  +  = ±

  

 =

 + 

2

2 2

2

x x

y

x . y x

2

8 y y

x y

x y x x

4

x y x y

y y

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm laø

( )

(

) (

)

37 (VMO 2009) Giải hệ phương trình

(

)

(

)



+ =



+

 + +

 

− + − =



2

1

1 2xy 2x 2y

2 x 2x y 2y

9

Lời giải

Điều kiện: x,y≤ ≤1

2

Xuất phát từ phương trình đầu hệ ta được:

2

1

1 2xy 2x 2y

 

 +  =

 + +  +

 

(

)(

)

2 2 2

1

1 2xy 2x 2y 1 2x 1 2y

⇔ + + =

+

(87)

(

)(

)

⇔ + − + − =

+ +

+ + + +

1 2 0

1 2xy 2xy

1 2x 2y 1 2x 1 2y

(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2

2 x y 2xy 1 2xy 2x 2y

4 x y

0 (1) 2xy 2xy 2x 2y

− −

⇔

+ + +

− −

+ =

 

+  + + + + 

 

Do ∈  

 

1 x,y 0;

2 nên vế trái (1) nhỏ dấu xảy x y =

Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

(

)

x 2x 2x x x

9 81 36

±

− = ⇔ − + = ⇔ =

( )

 ± ± 

⇒ =  

  (thỏa mãn điều kiện)

( )

   

9 73 73 73 73

x;y ; ; ;

36 36 36 36



+ =

 + + +

 

+ − + − = + −

 2

1

1 x y 1 xy

1 x 1 y x y

Lời giải

Điều kiện: xy 0, x 1, y ≥ ≤ ≤

Biến đổi phương trình hệ tương tự suy x y =

( ) ( )

+ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ =

1 x 2x 1 x 2x x x;y 1;1 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất:

( ) ( )

(

)

(

)

 + + = −

 

 − + = −



2

(88)

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 − + = −  = −

 ⇔

 

 − + = −  − = −

 

2 2

2

x y 3xy 19 x y xy x y

x y xy x y x y x y

 − =

 = =



= 

 

⇔ ⇔ = =

 − = 

  = − = −

 = 

x y

x 0,y xy

x 3,y x y x 2,y 3 xy

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm

( ) ( ) ( ) (

)



+ = − 

 

+

 + = −



2

1 xy x y

1 7 3x y xy x y

Lời giải

(

)

 

+ = − + = −

 

 ⇔

 

+

  +

 + − = −  − − = −

 

  



2 2 2 2 2

2

1 3 xy 1 1

3 xy

x y x y

2 3x y 1 7 3x y 3 xy 7

xy xy

x y xy xy

 + =

 + = − 

=  =

 

⇔ ⇔ ⇔

=

 + = 

 − + = 



  =

 

2

x y

1 xy xy x x y

y x y

x y 3xy

xy

( ) ( )

(

)(

)

(

)

 + + + =

 

 + + + = + +



2

3 2

4x 3y 4y 3x 25xy 12 x y 2xy x y x xy y

Lời giải

(89)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2

4x 3y 4y 3x 25xy 12

x y x xy y 2xy x y x xy y

 + + + =

 

+ − + + + = + +

 

(

)(

)

(

)

(

)

2

4x 3y 4y 3x 25xy 12 x y x xy y

 + + + =

 ⇔ 

+ − + + =

 

(

)

(

)

 + + + + =

 ⇔ 

 + = 

2 3

4x y 9xy 12 x y 25xy 12

x y

(

) (

)

 + + +  + − + =

  

⇔  

 + = 

2 2

4x y 9xy 12 x y x y 3xy 25xy 12 x y

(

)

(

)

 + + − + = 

  − + =

⇔ ⇔

+ = 

 + = 



2 2 2

4x y 9xy 12 3xy 25xy 12 4x y 2xy 12 12 x y

x y

 = 

  = =

 − + = 

⇔ ⇔ = ⇔ = =

 + =

  



 + =  2

xy

x 0,y 4x y 2xy 12 12 xy

x 1,y

x y

( ) ( ) ( )

(

)(

)

(

)

(

)

 + + =

 

+ + + =

 2

3x y x 3y xy 14 x y x 14xy y 36

Lời giải

Điều kiện: xy ≥

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

 

 + + =  + +  =

 ⇔ 

 

 

+ + + =

  +  + + =

   

2

3 x y 4xy xy 14 3x 10xy 3y xy 14

x y x 14xy y 36 x y x y 12xy 36

Đặt  = + = 

S x y

(

)

(

)

 + =

 

+ =

 

2

(90)

(

)

(

)

(

)

(

)

18 3S 4P P 7S S 12P S 6P 7S 12SP 12P

(

)

⇔ −  −  + = ⇔ =

    

   =

2

2 S

6 48

S 6P S 7P 7 P P S 6P

Chỉ có nghiệm S 6P thỏa mãn =

Khi 

(

)

(

)

+ = + = =

  

 2  2 

S

S 6P S 6P

1 S S 12P 36 6P 36P 12P 36 P

2



 + =  + =  = − = +

 

⇔ ⇔ ⇔ 

= = 

  = + = −

  

3

x y x y x 2,y

2

1 3 3

xy xy x 2,y 2

2 2 2

( )

   

3 3

x;y 2; ; 2;

2 2

(

)(

)

(

)

(

)

 + + =

 

− + + =

 2

3x y x 3y xy 35 x y x 14xy y 33

Lời giải

Điều kiện: xy ≥

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

 

 + + =  − +  =

 ⇔ 

 

 

− + + =

  −  − + =

   

2

3 x y 16xy xy 35 3x 3y 10xy xy 35

x y x 14xy y 33 x y x y 16xy 33

44. Giải hệ phương trình  + + + + =

− = + + +

 2 2

1 xy x y x y xy x y x y

Lời giải

Điều kiện: xy≥ −1,x y+ ≥ −1

(

)

(

)(

)

 + + + + =  + + + + =

 ⇔

 2 2 

1 xy x y 1 xy 1 x y 2

(91)

1 xy x y x y 1 x y x y xy x y xy

 + + + + =  + + + + + =

 

⇔ ⇔

+ − = + − =

 

 

x y x xy y

 + =  =

⇔ ⇔

= =

 

( ) ( )



+ =



+ +

 +



 + =

 − −



2 xy x y

y x xy 1

1 2

x y

Lời giải

Điều kiện: x 1,y > >

Xuất phát từ phương trình hệ suy x y =

( ) ( )

= ⇔ = ⇒ =

−

2 2 x 2 x;y 2;2

1 x

( ) ( )

46. Giải hệ phương trình:

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

 +

 + =

 − − − − − −

 

 + =



− − − −

 

2

2 2

x y 2

1 x y x y y x

x y

1 x y x y

Lời giải

Điều kiện: − < < − < <1 x 1, y

Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x y− +y x− =1 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Cơ si ta có:

(

)(

)

− + − ≤ 2+ − 2− ≤x2 y2 x2 y2 =

x y y x x y x y

2

Dấu xảy



=

 ⇔ = = ±

− −

 

+ =



2

x y

2 x y

1 y x 2

x y

Thử lại vào phương trình thứ có nghiệm x y= =

(92)

( )

 

2 x;y ;

2

(

)

(

)

 +

= −



+  +

 

+ − = +

 

4

xy

x y

x y x y

1 3 x y x y

Lời giải

Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 + 

 

+

+ ≥ ≥  =

+ + +

2 2

2

4

4 4

x y x y

x y

8 x y x y x y Mặt khác:

(

)

− ≤ − =

+ +

xy x y x y x y 8 Dấu xảy x y =

− = ⇔ − = ⇔

(

)

x

(

)

(

)

(

)

⇔x 4x 3+ = ⇔4 4x 4x− 2+7x 4+ = ⇔ = ⇒ =0 x y 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm

( )

 

1 x;y ;

4

(

)

 + − + + + =

 

 + = −



2

x y 2 xy x y x y 0

xy xy

x y xy

Lời giải

  

 + −  =  + − =  + =

  ⇔ ⇔

   

= −

  + = − 



 + = −



2

1

1 xy 0 xy 0 x y xy xy

x y x y

xy xy xy x y xy

x y xy

(93)

(

) (

)

 + = 

+ =

 

⇔ ⇔

=

− + =

 



2

x y xy xy x y 1 xy xy xy

(Hệ vô nghiệm x+ y 2≥ xy 1) = >

(

)

 −  − + + + =

  



 + + =



2 2 2

2

x y x 2xy y 3 x xy y

Lời giải

(

) (

)

  

− − + + =

  

  

 + + =



2

x y x y 3 x xy y

(

)

 − =

 ⇔ 

 + + =



2

x y x xy y

2

2 2 2

1 xy x 2xy y 3

5 x xy y x y

3

 = 

 − + =

 

⇔ ⇔

+ + =

 

 + =



(

)

 − + +

= =

   

 = + − +

=   = =

  

⇔ ⇔ ⇔

 + −

 + − =  + = ±  = − =

 

  

 − +

 = = −



2

3 21 21

x ,y

6

1

1 xy 21 21

xy 3 x ,y

3 6

5 3 21 3 21

x y 2xy 3 x y 3 x ,y

6

3 21 21

x ,y

6

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm laø:

( )

6 6

− + +   + − + 

=     

   

3 21 3; 21 ; 21 3; 21

6 6

 + −   − + 

− −

   

   

(94)

dụng hàm số giải hệ phương trình) Để tạo hệ phương trình khó ta ta thay phương trình thứ hai vào phương trình đầu hệ ta được:

(

)

(

)

 −  − + + + + + − + =

 

  



 + + =



2 2 2 2 2

2

x y x 2xy y m x xy y 2m x xy y

Chọn m ta có tốn =

(

)

(

)

 − + − = −



  

 

+ + =



 

  + + 



x y xy

1

x y

x 3y y 3x

Lời giải

Điều kiện : x 1,y 1.≥ ≥

Ta coù: x x x y ; y 1 2y x y x 3y 2 x 3y

x 3y x 3y

 +   

≤  +  ≤  + 

+ + +

+   +  

x y x x 3y 1 x x y x 3y 2 x y x 3y

+  +   

⇒ ≤  + + =  + 

+ + +

+    

Tương tự ta có: + ≤  +  +

+  

x y y x y

y 3x

Cộng theo vế hai bất đẳng thức suy :

(

)

 

+  + ≤  + =

+

+ +  

 

1 1 x y

x y

2 x y

x 3y y 3x

Dấu xảy x y =

Thay vào phương trình đầu hệ ta được:

(

)

(

)(

)

2

2 x 2− =  x −1⇔ − =x x 1− ⇔ x x 2− − =0

 

x x 1,y x x 2,y

 =  = =

⇔ ⇒

= = =

 

(95)

51. Giải hệ phương trình  + =        +  +  + =    

 3 3

1 x y

1 1 1 1 18

y y

x x

Lời giải

Điều kiện : xy ≠

Trước tiên khử cho đơn giản ta đặt = 3 =

3

1

u ,v y x Khi hệ phương trình trở thành:

(

)(

)

(

)

)(

(

)

u v u v 3uv u v

u v u v 18 u v uv u v 18

(

)

(

)

(

) (

(

)

3

u v uv

3 u v u v

u v u v 18 u v

 + −  =  +  ⇔    + −    + + + + =    +      

(

)

(

)

(

) (

)

u v uv

3 u v

u v u v u v 63

 + −  =  + ⇔    + + + + + − = 

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

u v

uv u v 3

3 u v

uv u v u v u v 21

 =     =    =   =    = =   ⇔ = = ⇔ ⇔     =  =     =    =   3 3 1

x x 1

1 2 1

y y

u 1,v 8

u 2,v 1 2 x x y 1 1 y

( )

   

1 x;y 1; ; ;1

(96)

52. Giải hệ phương trình  +

(

)

(

)

(

)

 + + =

 2

x 7y x y 7x y 2xy x y

x y 2xy

Lời giải

Điều kiện : x 0,y ≥ ≥

Phương trình đầu hệ viết lại dạng:

(

)

(

)

+ + + = +

x x y y xy x y 2xy x y

(

)(

)

(

)

(

)

⇔ x+ y x− xy y+ +7 xy x+ y =8 2xy x y+

(

)(

)

(

)

⇔ x+ y x− y =8 xy x y+ − x− y

(

)(

)

(

)

⇔ + − =

+ + +

2

2 x y

x y x y xy

2 x y x y

(

) (

)

(

)

⇔ −  + + + + − =

 

2

x y x y x y x y xy (1)

Ta có:

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

x y x y x y xy x y xy x y

≥ + + + + −

= + − = − ≥

Dấu xảy chi x y đó= (1)⇔ =x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta :

+ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =

2

2x 2x 2x x 2 y 2

( )

(

)

(

)

(

)

 + − + + =

 

 + =



2

3

3 x y x y xy 15 25

x y

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với :

(

)

(

)

(

)

(

)

  + − − + + =

  



 + − + =



2

3 x y 2xy x y xy 15 25

x y 3xy x y

(97)

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(

)

(

)

 − − + =  =

 ⇔

 

− −

 − =  − =

 

2

3 3

3S 2S 15 S 2P S P 15 P

8

25 3S 2S 15 25

S 3SP S 3S.

4 8 4

(

)(

)



= = −



 − − 

=

 

⇔ ⇔ = =

 − − + = 

  = −

= 

2

7 S 1,P

4 3S 2S 15

P S 10,P 265

8 8

S S 10 S 35 S 5,P

4

Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm S 1,P= = −7

4

 + −

 =  + =  = =

 ⇔ ⇔

  

= − = − − +

 

   = =



1 2 2

S x y x ,y

2

7

P 4 xy 4 x 2,y 2

2

( )

   

1 2 2 2 2

x;y ; ; ;

2 2

(

)

 + + +

 + = +

 

+ 

− =



2 2

x y x xy y x y

2

3 x y

2xy

2

Lời giải

Để hệ phương trình có nghiệm ta phải có x y + ≥

Ta coù:

 + +

 ≥

 

 + + +

≥ 



2

x y x y

2

x xy y x y

3

(98)

2 x x y

2x 3x 5 5

x x y

2

 = −  = = −

 

− = ⇔ ⇒

= = =

 

 

Đối chiếu với điều kiện suy hệ phương trình có nghiệm :

( )

 

=  

 

(

) (

)

( )( )

 + + = −

 

+ + = −

 

2

x y 9xy x y 10xy

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với :

(

)(

)

( )( )

 +  + 

 +  + = −

 + + + + = −   



 ←→   

 

+ + = −

  + +

  = −



2

xy

2 2

x 2 y 2 9

x 2x y 2y 9xy x y

x y 10xy x y. 10 x y

56. Giải hệ phương trình  + = +

 + + + =

 2

x y xy xy

1 3x 3y 4xy

Lời giải

Điều kiện xy 0≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥x y x 0;y ≥

Nhận thấy xy không nghiệm hệ neân = x 0;y > >

Từ phương trình thứ hệ ta có

+

+ = + ≤ +x y⇒ + ≤ ⇒ + ≤1

x y xy xy xy x y 2xy

2 x y

Từ phương trình thứ hai hệ :

(

) (

)

(

)

 

= + + +  ≤ +  + + +

   

2

2 2 1 2

16x y 3x 3y y 3x x 3y

y x

(

)(

)

(

)

 

= +  + + ≤ + = + ⇒ ≤

 

2

1 x y 3xy 2.2xy 3xy 4xy 12x y xy

y x

Lại có 2xy x y xy≥ + ≥ ⇒xy ≥

Như tất bất đẳng thức phải xảy dấu bằng, điều tương đương với x y = =

(99)

Chủ đề 3.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Nội dung chủ đề đề cập đến phương pháp chung để giải toán hệ phương trình đối xứng loại II số hệ phương trình có cách giải tương tự Một số hệ đưa hệ đối xứng loại II phương pháp đặt ẩn phụ ứng dụng hệ phương trình đối xứng loại II tốn giải phương trình vơ tỷ

Hệ đối xứng loại II hệ có dạng: =

= 

F(x,y) F(y,x) Trong F(x,y) đa thức khơng đối xứng

Hay cách khác hệ đối xứng loại II hệ mà ta đổi vai trò x,y cho phương trình chuyển thành phương trình

Ví dụ: Hệ phương trình  = +

= +

 3

3x 2y 3y 2x

Khi thay y x phương trình thứ hai trở thành 3x3 =2y +

chính phương trình thứ hệ

Phương pháp chung

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta nhân tử chung

(

)

nhóm lại đưa phương trình tích sau xét hai trường hợp

(

) ( )

( )

− = − = ⇔  =



x y F(x,y) F(y,x) x y f x,y

f x,y

Việc trừ theo vế thường sử dụng đẳng thức nhân liên hợp (nếu chứa dấu căn)

(

)(

)

(

)

(

)

− = − +

± = ± +

−

− =

+ ±

± =

+



2

3 2

3

3 3

a b a b a b a b a b a ab b

a b a b

a b a b a b

a ab b

(100)

TH1: Nếu y x thay vào hai phương trình hệ tìm =

nghiệm

TH2: Nếu f(x,y) ta có hướng xử lý sau: =

- Nếu f(x,y) có dạng bậc rút y theo x hay x rút theo y thực phép vào phương trình hệ tìm nghiệm

- Nếu f(x,y) có dạng bậc cao ý f(x,y) F(x,y) F(y,x) đa +

thức đối xứng ta đưa giải hệ phương trình:  =

+ =



f(x,y)

F(x,y) F(y,x) 0đây hệ đối xứng loại I biết cách giải

Chú ý:Nếu hệ phương trình bao gồm hàm dạng đa thức, thức, hàm mũ Logarit, lượng giác sau trừ theo vế hai vế phương trình dạngg(x) g(y) , g(t) hàm đơn điệu sử dụng =

tính chất hàm số để x y =

Ví dụ:Hệ phương trình  = +

= +

 2

2x y

2y x

Trừ theo vế ta x y

(

)

Trong g(t) t= 2+2t hàm đồng biến  +∞0;

)

A BÀI TẬP MẪU

DẠNG 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1.Giải hệ phương trình  − =

− =

 2

x 4x 3y

y 4y 3x

Lời giải

x2 −y2−4x 4y 3y 3x+ = − ⇔

(

)(

) (

)

(

)(

)

⇔ − + − = ⇔ 

= − 

x y

x y x y

y x

TH1: Nếu y x thay vào phương trình đầu hệ ta được: =  =

 =

 = 

− = ⇔ − = ⇔ ⇒

=  =

 

2

x y x

x 4x 3x x 7x

(101)

TH2: Nếu y x thay vào phương trình đầu hệ ta được: = −

(

)

 −

 =  

 = −  = +

 

 

− = − ⇔ − − = ⇔ ⇒ 

 +  +

=

  =

 



 −



 =

  

2

1 13

x

1 13

1 13 y

x 2

2

x 4x x x x

1 13 13

x 2 x

2

1 13

y

Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm laø:

( ) ( ) ( )

   

1 13 13 13 13

x;y 0;0 ; 7;7 ; ; ; ;

2 2

Baøi Giải hệ phương trình  = +

= +



3 2

3x x 2y

3y y 2x

Lời giải

Từ hai phương trình hệ suy hệ có nghiệm khix,y ≥

Trừ theo vế hai phương trình hệ, ta được:

(

) (

)

(

)

(

)

3 2 2

3 x y x y x y x y xy x y

(

)

 =  ⇔

+ + + + =

 2

x y

3 x y xy x y

Nếu x y , ta hệ =  = ⇔ = = = =

= +

 

 2

x y x y

x y

3x x 2y

Nếu x

(

)

(

)

 = +



2

3 2

3 x y xy x y

3x x 2y

Từ x suy để hệ có nghiệm phương trình thứ phải có nghiệm, ≥

suy ray Do ≤ x y , thử lại thấy thỏa mãn = =

(102)

Baøi Giải hệ phương trình (TSĐH Khối B 2003)

 +

=   

+

 =

 

2 2

2

y

3y x

x

3x y

Lời giải

Hệ có nghiệm x 0,y hệ phương trình tương đương với > >

(

)(

)



 = + − + + =  =

 ⇔ ⇔

  

= +



= + = +

  

 

2

2 2

x y 3xy x y x y

3x y y

3xy x

3y x x 3xy x

(

)

(

)



 = − + + =

 

⇔ ⇔ ⇔ = =

− − =

 

  =

2

x y x 3x 2x

x y

3x x x y

Vậy: hệ có nghiệm

( ) ( )

Nhận xét: Đối với hệ có dạng phân thức trước tiên ta biến đổi đưa dạng đa thức điều kiện có nghiệm hệ phương trình giúp ta xử lý tốn nhanh gọn

Bài 4. Giải hệ phương trình  + =

+ =



2

x y x

y x y

Lời giải

− + − = − ⇔ − −

(

)(

) (

)

(

)

2 3 2

x y y x x y x y x y x y x y x xy y

(

)

(

)

⇔ − + + + + − = ⇔ 

+ + + + − =



2

x y

x y x xy y x y

x xy y x y

TH1: Nếu y x thay vào phương trình thứ hệ ta được: =

(

)

 

 =  = =

 

− − −

 

+ = ⇔ − − = ⇔ = ⇒ = =

 

+ + +

 =  = =

 

 

2

x x 0,y

1 5

x x x x x x x x ,y

2 2

1 5

x x ,y

2 2

TH2: Neáu x2+xy y+ 2+ + − =x y

(103)

Ta có hệ phương trình:  + + + = +

+ + + + − =



2 3

2

x y x y x y

x y xy x y

(

)

(

) (

)

(

)

 + − + = + − + +

 ⇔ 

 + − + + − =



3

2

x y 3xy x y x y 2xy x y

x y xy x y

Đặt  = +

(

)



2

S x y, S 4P

(

)

(

)

 = + −

 − = − +

 ⇔

 

− + − = − + − +

− + − =

 

 

2

3

3 2

2

P S S

S 3SP S 2P S

S 3S S S S S S S

S P S

 = + − 

⇔ 

+ − + =



P S S

2S 2S 4S (1)

Mặt khác: S2≥4P⇔S2 ≥4 S

(

)

( ) ( )

   

1 5 5

x;y 0;0 ; ; ; ;

2 2



+ = 

 

 + =



2

3 2x y

x 2y x

y

Lời giải

Điều kiện x,y ≠

Cộng theo vế hai phương trình hệ ta x y+ = 12 + 12 >0

x y

Khi trừ theo vế hai phương trình hệ ta

(

)

(

)

(

)

 

 

2 2

3 x y

3

2 x y x y x y

(104)

Vì ta có hệ phương trình

 =

 ⇔ = =

 + =





x y

2x y y

( ) ( )

(

)

(

) ( )

(

)

(

) ( )

 − + = +

 

− + = +

 

2

x y y x

y x x y

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với + − − = +

+ − − = +



2 2

xy 6x y yx y

yx 6y x xy x

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta

(

)(

)

+ − + =



x y

x y x y 2xy

x y 2xy

TH1 : Nếu x y ta có hệ phương trình : =

 =  =  = =

 ⇔ ⇔

   = =

+ − − = + − + =

  

 2 

x y x y x y

x y

xy 6x y yx y x 5x

TH2: Nếu x y 2xy , cộng theo vế hai phương trình hệ ta + − + =

được: x2+y2−5 x y 12 0

(

)

Từ ta có hệ: + −

(

)

(

) (

)

+ − + =

  + − + =

 

2

x y x y 12 x y x y 2xy 12

x y 2xy x y 2xy

Đặt  = +

(

)



2

S x y

, S 4P

P xy

Khi hệ phương trình trở thành:

 − + =

  = =

 − − + = ⇔ ⇔

 − + =  +  = =

=

  

 

2

2 S 6S S 1,P 4

S 5S 2P 12

S S 5,P 6

S 2P P

2

Đối chiếu điều kiện nhận nghiệm  = ⇔ + = ⇔ = =

= = = =

  

S x y x 2;y

P xy x 3;y

(105)

Nhận xét: Việc lấy tổng hai phương trình hệ đưa đa thức đối xứng có ý nghĩa ta thực trừ theo vế hai phương trình hệ mà phương trình lúc sau khó xử lý Đây kinh nghiệm quý báu giải hệ đối xứng loại II Phần tập rèn luyện tơi có đưa số tập dạng cho bạn đọc rèn luyện



− + =

  

 − + =

 

2

2 2

2

3 y 7x

x y

2 x 2y

3 x 7y

y x

2 y 2x

Lời giải



+ + = +

  

 + + = +

 

2

2 2

2

y 7x 7y

x 2y

2y

x

x 7y 7x

y 2x

2x

y

   

 +  =  + 

   



   

+ = +

   

   



2

y x

x y

y x

Ñaët u x= +y,v y= + x

x yhệ phương trình trở thành:

 + =

  = − = −

 

 

 =  = =  + = = =

 

 

 ⇔ ⇔ ⇔

   

= =  = =

 =   + = 



  

 = =

 + = 

 

2

y

x x 1,y 1

x

5

x

7 u 0,v 0 y 0 x ,y

u v y 2 2

2 7 7 3

7 u ,v y x 3,y

v 2u 2 x

x 3

x ,y

x

y y 2

Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm laø:

( ) (

)

     

5 3

x;y 1; ; ; ; 3; ; ;3

(106)

Nhận xét:Với dạng hệ đối xứng loại II biểu thức phương trình có dạng phức tạp bậc cao cần ý biến đổi phương trình đưa hệ đơn giản

Bài Giải hệ phương trình  + + − =

+ + − =



x y

y x

Lời giải

Điều kiện x 2,y ≥ ≥

Xét x trừ theo vế hai phương trình hệ ta >

x 5+ − y 5+ + y 2− − x − =

(

)

⇔ − − = ⇔ =

 + + + − + − 

 

1

x y x y

x y x y ,

− <

+ + + − + −

1 0

x y x y

Vì ta có hệ phương trình tương đương với:

x y x y

x y x x (1)

 =  =

 ⇔

 

+ + − =  + + − =

 

  =  ⇔ 

+ − = −



x y

x 3x 10 23 x

 = 

⇔ ≤ ⇔ = =

 + − = − +

 2

x y

x 23 x y 11

x 3x 10 529 46x x

Vậy: hệ phương trình có nghiệm nhaát

( ) (

)

Nhận xét: Phương trình (1) nghiệm phương pháp hàm số (xem phương trình, bất phương trình vơ tỷ tác giả) hệ đơn giản ta tiếp cận với 10 lời giải khác Đưa cho bạn tìm tịi

( )( )

 − − = −

 

 − − = −



2 2

x x y x y

y x y y x

Lời giải

Điều kiện:

( )( )

(107)

(

)

( )( )

2 2

x y x y x y x y

(

)

( )( )

⇔ −  − − − − − = ⇔

 − − = + +

 



2

y x

x y x y x y

1 x y x y

TH1: Nếu y x thay vào phương trình đầu hệ ta được: =

( )

(

)

2

2 2

x x x x x x x

 =  =  = =



⇔ ⇔ ⇒

− − + = = = =

  



x x 0 x 0,y 0

1 x x x x 1,y

TH2: Nếu

( )( )

x x y

(

)

  =

   + =

⇔ +  + = ⇔ ⇔

=

   = 

2

2 x y x

y

x y 2

2 y 0 y

( ) ( ) ( )

Bài 10. Giải hệ phương trình  + + + =

 + + + =



2

x y y x

x x y y

Lời giải

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x y+ −x x+ +y x+ −y y+ =0

(

)

⇔ −  + − + = ⇔ ⇔

   + = +  = −

2

x y y x

y x

1 x y

TH1: Nếu y= −x thay vào phương trình đầu hệ ta được:

+ − + =

x x x x (vô nghiệm)

TH2: Nếu y x thay vào phương trình đầu hệ ta được: = −

+ + + = ⇔ + = ⇔ =

x x x x x x x

(108)

( )

⇒ =

 

 

5

x;y ;

2

Vậy: hệ phương trình có nghiệm

( )

 

 

5

x;y ;

2

Bài 11.Giải hệ phương trình

(

)

(

)

(

)

(

)



+ + + = + +



 +

 

 + + + = + +



+ 

2

1

4 5y y y

x x 1

1

4 5x x x

y y 1

Lời giải

Điều kiện: x,y >

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



 

 + −  + + = + + + +

  +  +

 

  

 + −  + + = + + + +

+ +

  



2

1

4 5y y y y y

x x x x

1

4 5x x x x x

y y y y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



    

  +  = + +   + = + +

  +    + 

     

⇔ ⇔

 

   

 + = + +

  +  = + +   + 

  +    



2

1

4 y y 4 y y

x x x x

1

1 4 x x

4 x x y y 1

y y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

 

= + = +

 +  +

 

⇔ ⇔

 = +  = + +

 +  + +

 

1 y y 1 y y 1

x x x x

1 x x 1 x x y y 1

y y y y x x

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

 

= + + =

 + 

⇔ ⇔

+ =

 + + = 



1 y y 1

x x 1 x x

y y 1 x x y y 1

(109)

>

 − +

= 

 + − =

 

⇔ ←→

+ − = − +

 

 =



x,y

1

x

x x 2

y y y

2

( )

 

1 5

x;y ;

2

Bài 12. Giải hệ phương trình  + + = +

 + + = +



2

x x y

y y x

Lời giải

Điều kiện x 0,y Nhận thấy ≥ ≥

( ) ( )

+ − + +

(

)

2

x y 3 x y

(

)

⇔ − + = ⇔ =

 + + + + 

 2 

x y

x y x y

x y

Vì ta có hệ phương trình:

 =  =

 ⇔

 

+ + = + + − + − =

 

 2

x y x y

x x y x x

(

)

 =

  

⇔ − + ⇔ = =

+ =

 

  + 

+ +

  



x y

x 1

x

( ) ( )

Bài 13. Giải hệ phương trình:

(

)

 + + + = + + +

 ≥ ≥



+ + + = + + +



3 2

x 3x x 2y 11 2y y (1)

, x 0,y

y 3y y 2x 11 2x x (2)

Lời giải

Điều kiện: x,y ≥

(110)

x3−y3+3 x

(

)

( )

⇔ − + + + + + + + =

 + + + + + + 

 

2

x xy y x y

x y x xy y x y

2x 11 2y 11 x x y y

⇔ =x y (do x,y ) ≥

Thay y x vào phương trình thứ hệ ta được: =

+ + + = + + +

3 2

x 3x x 2x 11 2x x

Như mấu chốt toán xử lý phương trình vơ tỷ Ta có ba cách xử lý sau:

Cách 1: Điều kiện:x từ giả thiết ≥

Viết lại phương trình dạng:

(

) (

)

TH1: Neáu x 2+ > 2x 11+ ⇔ >x 2 1− ⇒ + >x x phương trình vô +

nghiệm

TH2: Neáu x 2+ < 2x 11+ ⇔ − ≤ <4 x 2 1− ⇒ + <x x phương +

trình vô nghiệm

TH3: Nếu x 2+ = 2x 11+ ⇔ =x 2 phương trình thỏa mãn −

Vậy phương trình có nghiệm x 2 suy hệ có nghiệm = −

nhất:

( )

(

)

Cách 2: Nhân liên hợp ta được:

(

) (

)

2

x 2x 11 x x x

+ − + −

⇔ + =

+ + + + + +

2

x 2x x x 2x 0

x 2x 11 x x

(

)

⇔ + −  + =

+ + + + + +

 

2

2 x

x 2x

x x x 2x 11

2

x 2x

x =0 (1)

x x x 2x 11

 + − =

 ⇔ 

+ 

+ + + + + +

(111)

+ + + + + + + =

2

x 0

x x x 2x 11

⇔x3+2x2+ + +x x 2x 11 x + + + =

Kết hợp với phương trình ta hệ:

 + + + + + + + =

 

+ + + = + + +



3 2

x 2x x x 2x 11 x

x 3x x 2x 11 2x x

Suy −x2+ +1 x

( )

(

)

⇔ x2+1 2x 11 x + + + − + =

Phương trình vơ nghiệm x2+2x 0− = ⇔ = − ±x 2 Kết hợp với điều kiện suy x 2 1= − ⇒ =y 2 −

Cách 3: Đặt t= x phương trình trở thành: +

( ) (

)

2

2 2

t t 2t t 2t

(

) ( )

⇔ − −  − + + = ←→ = +

 − + + 

 

2 t 0

2

t 2t t t

2t 2t

Baøi 14. Giải hệ phương trình  + =

+ =

 2

x x 2y

y y 2x

Lời giải

Điều kiện : x,y ≥

Xét hàm số f(t) t= 2+ t đoạn  +∞0;

)

(

)

2 t

Do hàm số f(t) đồng biến  +∞0;

)

Hệ phương trình tương đương với  = ⇒

(

)



2y f(x) 2 y x f(x) f(y)

2x f(y)

Do f(t) hàm đồng biến nên, y x≥ ⇒f(x) f(y) ≤

≤ ⇒ ≥

y x f(x) f(y) Vậy x y , hệ trở thành: =

 =  =

 ⇔

 

+ = − + =

 

 

x y x y

(112)

(

)(

)

  = =

 = 



⇔ − + − = ⇔ = =



 −

 = = 

x y x y

x y

x x x x

3

x y

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm laø

( ) ( ) ( )

 

3 5

x,y 0;0 ; 1;1 ; ;

2

Nhận xét:Ngoài sử dụng hàm số ta thực theo hai cách sau:

Cách 1: Nhận thấy

( )

(

)

(

)

− + − + − = ⇔ −  + + + = ⇔ =

 + 

 

2

x y x y x y x y x y x y

x y

Cách 2: Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

+ + = + +

2

x 2x x y 2y y

Khi hàm số f(t) t= 2+2t+ t đồng biến  +∞0;

)

= ⇔ =

f(x) f(y) x y

Bài 15 (VMO1994 Bảng B) Giải hệ phương trình

(

)

(

)

 + + + =

 

+ + + =

 2

x 3x ln 2x y

y 3y ln 2y x

Lời giải

Điều kiện: x,y> −1

2

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x2−y2+3x 3y ln 2x ln 2y 1− +

(

) (

)

(

)

(

)

⇔x2+4x ln 2x 1+ + =y2+4y ln 2y (1) + +

Xét hàm số f(t) t= 2+4t ln 2t 1+

(

)

 ;2 , ta coù:

 

= + + =  + + + > ∀ > −

+   +

2

f '(t) 2t t 0, t

2t 2t nên f(t) hàm đồng

(113)

Vì (1)⇔f(x) f(y)= ⇔ =x y

Thay y x vào phương trình thứ hệ ta được: =

(

)

(

)

+ + + = ⇔ + + + =

2

x 3x ln 2x x x 2x ln 2x (2)

Xeùt hàm số g(t) t= 2+2t ln 2t +

(

)

 ;2 , ta coù:

 

= + + =  + + + > ∀ > −

+   +

2

g'(t) 2t 2 t 0, t

2t 2t 2nên g(t) hàm đồng

bieán − +∞  ;2 

Vì vaäy (2)⇔g(x) g(0)= ⇔ = ⇒ =x y

( ) ( )

Bài 16. Giải hệ phương trình  + + − + =

 + + − + =



2 y

2 x

x x 2x

y y 2y

Lời giải

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x y− + x2−2x 2+ − y2−2y 3+ = y−3 x

⇔3x + +x x2−2x 3+ = y+ +y y2−2y (1) +

Xeùt hàm số f(t) 3= t + +t t2− +2t , ta có:

( )

−

= + + = + > + >

− + − + − +

2

t t t

2 2

t 1 t t t

t

f '(t) ln3 ln3 ln3 0,

t 2t t 2t t 2t

∀ ∈t R nên f(t) hàm đồng biến  Vì (1)⇔f(x) f(y)= ⇔ =x y

Thay y x vào phương trình đầu hệ ta được: =

−  

+ + − + = ⇔  + + − + − =

 

2 x x

x x 2x 3 x x 2x (2)

Xét hàm số = −  + + − + −

 

 

t

g(t) t t 2t 1, ta coù:

−   −  − 

= −  + + − + + +

 

   − + 

t t

2

t

g'(t) ln3 t t 2t

(114)

−  −  

= + −  + + − +  < ∀ ∈

 − +  

 

t

2

t

3 ln3 t t 2t 0, t R

t 2t

Do + − −  + + − + 

 

− +

2

t

1 ln3 t t 2t

t 2t

 

− + + − − − +  + + − + 

 

=

− +

 

− + + − − + + − + 

 

< = − <

− + − +

2 2

2

t 2t t t 2t ln3 t t 2t

t 2t

t 2t t t t 2t 2

0

t 2t t 2t

Do g(t)là hàm nghịch biến R Vì vậy: (2)⇔g(x) g(1)= ⇔ = ⇒ =x y

( ) ( )

(

)

 − + − + + =

 ≥



 − + − + + =



2 y

2 x

x x 2x a a

, a

y y 2y a a

Hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )

DẠNG 2: ỨNG DỤNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

TRONG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Dạng 1: Phương trình

(

)

Đặt ncx d ay b neáu + = + pc >

Đặt ncx d+ = −

(

)

Dạng 2: Phương trình f(x) +n b(x) a(x) a(x)f(x) b(x) = n −

Đặt  = ⇒ + =

= − + =

 

 

n

n n

u f(x) u b(x) a(x)v

v a(x)f(x) b(x) v b(x) a(x)u Đây hệ đối xứng loại II có nhân tử chứa biến a(x)

(115)

Cách 1: Viết lại phương trình cho dạng:

(

) (

)

− = − 3− −

33x 5 2x 3 x

Đặt 33x 2y ta có hệ phương trình: − = −

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

 − = − − −  + − = −

 ⇔

 

 − = −  − = −

 

3

2y 2x x 2y x 2x

3x 2y 3x 2y

Đây hệ nửa đối xứng loại II Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

(

) (

)(

) (

)

 

−  − + − − + − = −

 

2

2 x y 2x 2x 2y 2y y x

(

) (

)

(

)(

) (

)

⇔ −  − + − − + − + =

 

2

x y 2x 2x 2y 2y

⇔ =x y (do 2x 3

(

)

(

)(

) (

)

Cách 2: Đặt = − ⇒  = −

= − + −



3

y 3x

y 8x 36x 53x 25

Cộng theo vế hai phương trình hệ ta được:

(

) (

)

+ = − 3+ −

3

y y 2x 2x (1)

Xét hàm số f(t) t= +3 t , ta có: f '(t) 3t= 2+ > ∀ ∈1 0, t nên hàm số f(t) đồng biến Do (1)⇔f(y) f(2x 3)= − ⇔ =y 2x 3− ⇔33x 2x − = −

(

)

(

)

⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔ ±

 = 

3 2 x

8x 36x 51x 22 x 8x 20x 11 5 3

x

Vậy: phương trình có ba nghiệm x 2,x= =5±

4

Bài Giải phương trình: − + = + 

(

)(

)

 

2 3

8x 13x x 2x x x

x

Lời giải

Phương trình cho tương đương với: 8x3−13x2+7x=

(

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

(

)

(116)

Đặt u 2x 1,v= − =33x2−2 ta có hệ phương trình:

(

)

(

)

(

)

(

)

 − − − = +

 

− − − = +

 

3

u x x x v

v x x x u

(

)

(

)

+ + + + =



2

u v

u v u uv v x

u uv v x

TH1:Với u v= ⇔2x 1− =33x2− ⇔2

(

) (

)

TH2:Với u2+uv v+ 2+ + =x ⇔ +  +

(

)

 

2

u

v 2x x

2

(

)

 

⇔  +  + + − + =

 

2

u

4 v 4x 2x

2 , phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm x 1;x= = −1

8

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN



+ = + 



 + = + 

1

x y

y

y x

x

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với:  + = +

+ = +



2

xy y y

xy x x

(

)(

)

− + − = ⇔ − + + = ⇔ 

= − − 

2 y x

y x y x y x x y

y x

+ = + ⇔ = ⇒ =

2

x x x x y

(117)

(

)

(

)

x x 1 x x 2x 4x x y

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

 − = +

 

− = +

 2

x xy y

y xy x

Lời giải

(

)(

)

− = − ⇔ − + + = ⇔ 

= − − 

2 y x

x y 3y 3x x y x y

y x Xét trường hợp thay vào phương trình đầu hệ tìm nghiệm

( ) (

)

   

3 3 3 3

x;y 2; ; ; ; ;

2 2

Vậy: hệ phương trình có ba nghieäm:

( ) (

)

   

3 3 3 3

x;y 2; ; ; ; ;

2 2

(

)

(

)

 + = +

 

 + = +



2

4x 2y 15

4y 2x 15

Lời giải

(

) (

)

2

4x 4y 2y 2x⇔4 x y 4x 4y 4

(

)(

) (

)

(

)(

)

⇔ − + + = ⇔ = +

 = − 

y x 4x y

4

Hệ phương trình có bốn nghiệm:

( )

       

11 11 1 221 221 221 221

x;y ; ; ; ; ; ; ;

8 2 6 6

Bài 4. Giải hệ phương trình  + =

+ =



2

x y y

y x x

Lời giải

(118)

− + − = − ⇔ − +

(

)(

) (

)

(

)

2 3 2

x y y x y x x y y x y x y x y xy x

(

)

(

)

⇔ − + + − − + = ⇔ 

+ + − − + =



2

y x

y x x xy y x y

x xy y x y

(

)

 

 =  = =

 

− − −

 

+ = ⇔ − − = ⇔ = ⇒ = =

 

+ + +

 =  = =

 

 

2

x x 0,y

1 5

x x x x x x x x ,y

2 2

1 5

x x ,y

2 2

TH2: Nếu x2+xy y+ 2− − + =x y cộng theo vế hai phương trình hệ ta được: x y x+ + 2+y2=x3+y

Xét hệ phương trình  + + + = +

+ + − − + =



2 3

2

x y x y x y

x xy y x y 0(đây hệ đối xứng loại I)

Cách 2: Viết lại:

x2+xy y+ 2− − + = ⇔x y

(

) (

)

 + = 

⇔ =

 = 

x y x y

(vô lý)

Vậy trường hợp hệ phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có ba nghiệm:

( ) ( )

   

1 5 5

x;y 0;0 ; ; ; ;

2 2

(

)

(

)

 + = − +

 

+ = − +

 

3

x x x y

y y y x

Lời giải

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x3−y3=2x2−2y2−4x 4y +

(

)

(

)

(

)(

) (

)

(119)

(

)

(

)

⇔ − + + − − + = ⇔ 

+ + − − + =



2

y x

x y x xy y 2x 2y

x xy y 2x 2y

(

)

(

)

 

 =  = =

 

− − −

 

+ = ⇔ − − − = ⇔ = ⇒ = =

 

+ + +

 =  = =

 

 

3 2

x x 1,y

1 5

x 2x x x x x x ,y

2 2

1 5

x x ,y

2 2

TH2: Neáu x2 +xy y+ 2−2x 2y − + =

(

) (

)

⇔ + + − + − = ⇔ =

 = 

2 2 x y

x y x y x

y

(vô lý) Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là:

( ) ( )

   

1 5 5

x;y 1;1 ; ; ; ;

2 2

Baøi 6. Giải hệ phương trình  + =

+ = 

3

x 2y

y 2x

Lời giải

x3−y3=2y 2x− ⇔

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ x y x− 2+xy y+ 2+2 = ⇔ =0 x y

Với y x thay vào phương trình đầu hệ ta được: =

(

)

(

)

  = 

− + 

+ = ⇔ − + − = ⇔ =



− −  = 

3

x

1

x 2x x x x x

2

1

(120)



 = =



− + − +



⇒ = =



− − − −

 = =



x 1,y

1 5

x ,y

2

1 5

x ,y

2

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm:

( ) ( )

   

1 5 5

x;y 1;1 ; ; ; ;

2 2

Bài 7. Giải hệ phương trình  − = −

− = −



2

2x y 3x

2y x 3y

Lời giải

(

)(

)

− = − ⇔ − + − = ⇔ 

= − 

2 y x

3x 3y 3x 3y x y x y

y x

Xét trường hợp thay vào phương trình đầu hệ ta được:

( ) ( ) ( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

 + + + = +

 

+ + + = +

 

2

1 x x x y

1 y y y x

Lời giải

(

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

(

)

( )( )

⇔x7+ +1 x x+ x+ =y7+ +1 y y+ y (1) +

Xét hàm số f(t) t= 7+ +

( )

( )( )

( )

(

)

Do f(t) hàm số đồng biến  Vì (1)⇔f(x) f(y)= ⇔ =x y Thay ngược lại phương trình hệ ta được:

(121)

Nhận thấy x 1không nghiệm phương trình nên nhân theo vế hai =

phương trình với x ta được: −

(

)(

)

( )( ) ( )

(

)



⇔ − = + − − ⇔ = −

 = 

8

x

1 x x x x x

x

Kết hợp với x 1suy ≠

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)



+ − =

 

 + − =



4

2

x xy

y

y xy

x

Lời giải

(

)(

)

(

)

(

)

− − + = ⇔ − + + − =

4 2 2 x y

x y x y x y x y

y x xy

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

⇔ −  + + − = ⇔

+ + − =



  

2

x y

x y x y x y

xy x y x y

xy

Xét trường hợp thay vào phương trình đầu hệ tìm nghiệm

(

)(

)

(

)(

)

 − + = −

 

− + = −



5x 4y 3x 2y 7y 2x

5y 4x 3y 2x 7x 2y

Lời giải

(

)(

)

+ + =



x y

x y 23x 23y

23x 23y

Xét trường hợp thay vào phương trình đầu hệ, suy ra:

(122)

(

)(

)

(

)(

)

 − + = − +

 

 − + = − +



2

5x 4y 3x 2y 7y 2x 20

5y 4x 3y 2x 7x 2y 20

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

)

= + ⇔ − − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ =

3

25x 5x 20 5x x x 5x 5x x y

( ) ( )

Bài 12. Tìm số thực dương x,y thỏa mãn hệ phương trình

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

 − + = − +

 

 − + = − +



3

5x 4y 3x 2y 7y 2x 20

5y 4x 3y 2x 7x 2y 20

Lời giải

(

) (

)

(

)

 

 2 

x y x y 167x 266xy 167y 45 x y (do x,y ) >

Thay y x vào phương trình thứ hệ ta nghiệm dương = = ⇒ =

x y

( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )



+ + = +

 

 + + = +



2

35

3x 2y y y x

2 35

3y 2x x x y

2

Lời giải

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

 + + = +

 

+ + = +

 

2

2 3x 2y y 35y x

2 3y 2x x 35x y

(123)

(

)

(

)

+ + − =



2

x y

x y 4x 45xy 4y 47

4x 45xy 4y 47

(

)

( ) (

)

 

 =  = =

 

2 2

x x 0,y

10x x 35x x x 25x 25 x x 1,y

x x 1,y

TH2: Neáu 4x2+45xy 4y+ 2−47 cộng theo vế hai phương trình hệ ta =

được:

(

)

(

)

Xét hệ phương trình:  +

(

)

(

)

 + + − =



2

x y 4x 33xy 4y 25

4x 45xy 4y 47

Đây hệ đối xứng loại I biết cách giải(hệ phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình có ba nghiệm

( ) ( ) (

) ( )

(

)

(

) ( )

(

)

(

) ( )

 + + − = +

 

+ + − = +

 

2 2

6x 4y x y 5y x

6y 4x x y 5x y

Lời giải

(

)

(

)

− + + =



2

x y

x y 2x 5xy 2y

2x 5xy 2y

Xét trường hợp thực tương tự tốn tìm nghiệm hệ là:

( ) ( ) (

) ( )

Baøi 15. Giải hệ phương trình  + + − =

+ + − =



x y

y x

Lời giải

Nhận thấy x 7= ⇒ =y Xét với x >

(124)

(

)

⇔ −  − = ⇔ =

 + + + − + − 

 

1

x y x y

Vì ta có hệ phương trình  = ⇔ =

+ + − =  + + − =

 



x y x y

x y x x

 = 

⇔ ⇔ = =

+ − = −



x y

x 2x 63 x

( ) ( )

Nhận xét:Để ý x 9+ + y 7− ≥ nên hệ tương đương với + = x 7,y = =

Bài 16. Giải hệ phương trình  + − =

+ − =



x y

y x

Lời giải

Điều kiện: x,y ≤ ≤

Neáu x 0= ⇒ =y Neáu x 2= ⇒ =y

Xét với x,y trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: < <

− −

− + − − − = ⇔ + =

+ − + −

x y x y

x y y x 0

x y y x

(

)

⇔ −  + = ⇔ =

+ − + −

 

1

x y x y

Thay ngược lại y x vào phương trình đầu hệ ta = x 0,x (vô lý) = =

( ) ( ) ( )

Bài 17. Giải hệ phương trình  + = − +

 + = − +



2

x 91 y y

y 91 x x

Lời giải

Điều kiện: x,y ≥

Lấy (1) (2) theo vế ta được: −

x2+91− y2+91= y 2− − x y− + 2−x

(

)(

)

− −

⇔ = + − +

− + −

2

x y y x y x y x

(125)

(

)

⇔ − + + + =

 + + + − + − 

 2 

x y

x y x y

x y

x 91 y 91

⇔ =x y (do + + + + >

− + −

+ + +

2

x y x y 0

x y

x 91 y 91 )

Thay x y vào phương trình đầu hệ ta được: =

x2+91= x x− + ⇔ x2+91 10− = x x− − + 2−9

(

)(

)

− −

⇔ = + − + =

− +

+ +

2

x x x x 3 0

x

x 91 10

(

)

⇔ −  − − − =

− +

+ +

 

x

x x

x

x 91 10

⇔ =x (do + − − − < + − − < − − = − <

+ − +

+ +

2

x x 3 x x 3 4 0

x 10 x

x 91 10 )

( ) ( )

Bài 18. Giải hệ phương trình  + = + −

 + = + −



2

x 21 y y

y 21 x x

Lời giải

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x2+21− y2+21 y= 2−x2+ y 1− − x −

⇔ x2+21 x+ 2+ x 1− = y2+21 y+ 2+ y (1) −

Xét hàm số f(t)= t2+21 t+ +2 t −  +∞1;

)

= + + > ∀ >

− +

2

t

f '(t) 2t 0, t

2 t

t 21 nên f(t) hàm đồng biến

)

1;

Vì (1)⇔f(x) f(y)= ⇔ =x y

Thay y x vào phương trình đầu hệ suy = x =

(126)

(

)

 −

 − + =

 ≤



 −

− + =

 

2

7 2x

7x y

6 , x,y 0

7 2y

7y x

6

Lời giải

Điều kiện: − x,y 0≤ ≤

2

Nhaän thấy x= −

2không thỏa mãn hệ phương trình Xét x> −

2trừ theo vế hai phương trình hệ ta được:

− −

− − − + − = −

37x 8 37y 8 2x 2y y x

6

(

)

(

)

(

)

(

)

− −

⇔ − = −

 − − 

− + − − + −  + 

 

 

2

2 2 2

3 3

2 x y

7 x y

y x

7 2x 2y

7x 7x 7y 7y 6

6

( )

(

)

(

)

( )

 

 

 + 

 

⇔ − − + =

 − + − − + −  − −  

  +  

   

 

2 2 2

3 3

2 x y

x y

7 2x 2y

7x 7x 7y 7y 6

6

⇔ =x y x,y ≤

(

)

(

)

− −

− + = ⇔ − − − + − − =

37x 8 2x x 37x 8 2x 2 2x 2 x 0

6

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

− − −

⇔ + =

−

− + − − + − + −

2 2

3

2 2 2

3

7 2x 2 x

7x 2x 6

0 2x

7x 2x 7x 2x 2 x

6

(127)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2 2

3

x

8x 24x 17

7 2x

7x 2x 7x 2x 6 2 x

6

 

 

⇔ − + + =

 − + − − + −  − 

  + − 

  

 

⇔8x2−24x 17 (do + = x ) phương trình vơ nghiệm với ≤ x ≤

  

 =  

  



  

=

  

  

y

x

1 x

4 y

4

Lời giải

Hệ phương trình có nghiệm x 0,y > >

  

 =  

  

  = 

x

1

1 y

4 y log x Hai hàm số =   =

  x

1

f(x) ,g(x) log x

4 hàm ngược nên có đồ thị đối xứng qua đường phân giác góc phần từ thứ suy

= ⇔ =

f(x) g(x) x y

Thay y x vào phương trình đầu hệ ta được: =  

=  ⇔ − = ⇔ = ⇒ =

  x

x

1 1

x x.4 x y

4 2

( )

 

1

x;y ;

2

(

)

(

)



+ = + +

 

 + = + +



x 2

y 2

1 y y

1 x x

Lời giải

(128)

(

) (

)

x y 2 2

1 2 y y x x

(

)

(

)

⇔ +x x+ + +1 x = +y y+ + +1 (1)y Xét hàm số f(t) t= + t+ + +

(

)

(

)(

)

= + + + + > ∀ ∈

+ 

t

f '(t) ln 2 0, t

t nên f(t) hàm đồng biến

treân 

Vì (1)⇔f(x) f(y)= ⇔ =x y

(

)

(

)

+ = + + ⇔ +  + + − =

 

x 2 x 2

1 x x x x (2)

Xét hàm soá = +

(

)

 

x 2

g(x) x x 1trên , ta có:

(

)(

)

(

)

2

x

g'(x) ln 2 x x

1 x

−   −  

 

= − + +  + + + + +

 

   + 

(

)

(

)

2

1

1 x x ln 0, x

1 x

−   

 

= +  + +  − + < ∀ ∈

  +  

Neân g(x) hàm nghịch biến  Vì vậy:(2)⇔g(x) g(0)= ⇔ = ⇒ =x y

( ) ( )

Baøi 22. Giải hệ phương trình −

 +

= 

+ 



+ + + = −



2 2 y x

2

x

e

y

1 x y xy

Lời giải

Điều kiện: x,y≥ −1,xy ≤

Phương trình thứ hệ tương đương với:

( )

+

= ⇔ + = + ⇔ = ⇔ 

= −

+ 

2

y 2 2

x y 2

2 x

x y

e x e x 1 e y 1 x y

x y

y

e

(129)

Bài 23 Giải hệ phương trình  + + = − +

+ + = − +



3 2

8x y 5x y x

8y x 5y x y

Lời giải

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: 8x3−8y3+y2−x2+5x 5y x y x− = − + 2−y

⇔8x3−2x2+4x 8y= 3−2y2+4y⇔ =x y Thay y x vào phương trình đầu hệ ta được: =

+ = ⇔ + =

3 3

8x 6x 4x 3x

2 (giải phương trình phương pháp lượng giác hóa ẩn phụ dạng đại số xem chương 1)

Hệ phương trình có nghiệm nhaát

( )

 

 

3 3 3 3

x;y ;

16 16 16 16

Bài 24 Giải hệ phương trình

(

)

(

)

 + + − = +

 

+ + − = +

 2

x 3x ln x y

y 3y ln y x

Lời giải

Trừ theo vế hai phương trình hệ ta được: x2−y2+3x 3y ln x ln y 1− +

(

) (

)

(

)

(

)

⇔x2+4x ln x 1+ − =y2+4y ln y 1+ − ⇔ =x y Thay y x vào phương trình đầu hệ ta được: =

(

)

+ + − − =

2

x 2x ln x

Vế trái hàm đồng biến

(

)

( ) ( )



+ = +

 +

 

 + = +

 +



2

1

xy x

x y ln y

1

xy y

y x ln x

(130)

Điều kiện: x,y >

Vì x ln x 0,y ln y 0, x,y (chuù ý xét hàm số) + > + > ∀ >

− = − + + − +

2

1 x y 1

x y y ln y x ln x

⇔ − − = − −

+ +

2 1 1

x y (1)

x x ln x y y ln y

Xét hàm số = − − + 1

f(t) t

t t ln t

(

)

(

)

(

)

(

)

+ + +

+

= + + = + > ∀ >

+ +

2 2 2

2 2

1 t lnt t t lnt

1 lnt

f '(t) 2t 2t 0, t

t 1 t lnt 1 t lnt (do + >

2

t t lnt ) Nên f(t) hàm đồng biến

(

)

= =

x y

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

 + = +

 

+ = +



2

log 3cosx log sin y log 3sin y log cosx

Lời giải

Điều kieän: cosx 0,sin y > >

log 3cosx2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔log 3cosx2 + +log cosx3 =log 3sin y2 + +log sin y (1) 3 Xét hàm số f(t)=⇔log 3t2

(

)

(

)

(

)

= + > ∀ >

+

3

f '(t) 0, t

t ln3

1 3t ln2 nên f(t) hàm đồng biến

(

)

(

) (

)

Thay vào phương trình thứ hệ ta được:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3

(131)

Khảo sát hàm g(t) log 3t= 2

(

)

( )

Ta coù:

 =

 =  

 = 

   

=  = ⇒ ⇒  =

= 

   



 =



cosx sin y cosx

1 1

g(1) g 1 cosx

3 cosx 3

3

1 sin y

3

(132)

Chủ đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP

1 Hệ đẳng cấp hệ có dạng:

(

)

 =

 ∈



=

 

k

1

1 k

2

P (x,y) c , c ,c

Q (x,y) c

P (x,y),Q (x,y) đa thức bậc k k  = 

 

 

1

k, k ,1,2,3,4,5,

2 x,y

khơng chứa thành phần bậc nhỏ k :

(

)

− −

= =

=

∑

k k i i k k i i

i i i i

i i

P (x,y) p x y ;Q (x,y) q x y , p ,q

Ví dụ Hệ phương trình

(

)

(

)

 + =

 

− =

 

2

xy x y 30

xy x y 24 vế trái phương trình hệ đa thức bậc x,y

Ví dụ Hệ phương trình  − + =

+ − =



2

2x 5xy 3y

3x 4xy y vế trái phương trình hệ đa thức bậc x,y

Phương pháp: Xét xem x = y có phải nghiệm hệ phương =

trình hay không?

Xét trường hợp x đặt ≠ y tx, t=

(

)

 =  =

 ⇔

 

= =

 

 

k k k

1

k k k

2

P (x,tx) c x P (t,1) c

Q (x,tx) c x Q (t,1) c

Đến suy c P (t,1) c Q (t,1) , phương trình đa thức biết 2 k = 1 k

cách giải Tìm t từ suy mối liên hệ x,y đưa phương trình đa thức với biến x biến y

1 Một số hệ quy dạng hệ đồng bậc

Daïng 1: Hệ phương trình bậc hai  + + + + =

+ + + + =



2

1 1 1

2

2 2 2

a x b y c xy d x e y

(133)

Phương pháp:

Xét x = y có nghiệm hệ phương trình hay khơng? =

Xét với x đặt ≠ y tx, t=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 + + + + =  + + = − +

 ⇔

 

+ + + + = + + = − +

 

 

2 2

1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2

x a b t c t x d e t x a b t c t d e t

Suy ra: + = +

+ + + +

1 2

2

1 1 2

d e t d e t

a b t c t a b t c t

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ d1+e t a1 2+b t2 2+c t2 = d2+e t a2 1+b t1 2+c t 1

Đây phương trình bậc ba có phương pháp giải tổng quát nên tìm nghiệm t

Thay ngược lại hệ ta tìm

( )

Ngồi dạng hệ cịn giải phương pháp hệ số bất định(xem phương pháp hệ số bất định)

Dạng 2:Hệ bậc hai hai aån + + + + + =

+ + + + + =



2

1 1 1

2

2 2 2

a x b y c xy d x e y f

Phương pháp:

Thử tìm nghiệm đơn giản chẳng hạn tìm x x ,y y = 0 = 0

Khi đặt  = + = + 

0

x u x

y v y thay vào hệ phương trình đưa hệ có dạng

Dạng 3: Hệ phương trình có dạng

(

)

(

)

(

)

(

)

 + + + =

 

+ + + =

 

2

1 1 1

2

2 2 2

a x b y c x d xy e y f

Phương pháp:

Xét y có nghiệm hệ phương trình hay không =

(134)

(

)

(

)

(

)

(

)

 + + + =

 

+ + + =

 

3

1 1 1

3

2 2 2

y a t b c t d t e f

Suy ra: f a t b c t2

(

)

(

)

(

)

(

)

Đây phương trình bậc ba có phương pháp giải tổng qt nên tìm t , thay ngược lại hệ ta tìm

( )

Chú ý: Trong số trường hợp đặc biệt hệ giải phương pháp hệ số bất định phức hóa(Xem phương pháp hệ số bất định phức hóa sách)

Dạng 4: Hệ dạng  =

= 

m

n k

P (x,y) a

Q (x,y) R (x,y), m n k ta phải + = đưa phương trình đẳng cấp bậc k để làm điều ta từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai hệ ta được:

=

m n k

P (x,y).Q (x,y) a.R (x,y) , phương trình đẳng cấp bậc k ta giải

Ví dụ Hệ phương trình  + =

+ = +



2

3

x y

x x y x y

Ta viết lại hệ dạng :

(

)

(

)

 + = 

+ =

 ⇔

 

+ = + +  + − − =

 



2 2 2

3 2 2

x y x y 2

1

x x y x y x y x x y xy y

2

Lưu ý:Đôi cần biến đổi đặt ẩn phụ để đưa dạng hệ đẳng cấp

Bài Giải hệ phương trình − + =

− + =



2

x 2xy 3y

2x 13xy 15y

Lời giải

Với x ta đặt ≠ y tx, t=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



 − + =  − + =  − + =

 ⇔ ⇔

  

− + =

  − + =  = ∨ =

 

2

2 2 2

2 2

x 2t 3t

x 2t 3t x 2t 3t 9

2

(135)

 

 = ±  = ±  = ±  = ±

  

⇔ ∨ ⇔ ∨

= ±

= 

  = 

   = ±

 

5

x x x 3 x 2

2

2 y 2

t 3 t y

5

Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm

( ) (

)

 

5 2

x;y 3; ; ;

2

Bài Giải hệ phương trình  + + =

+ + =



2

x 2xy 3y

2x 2xy y

Lời giải

Nhaän thấy x không thỏa mãn hệ phương trình =

Xét với x ta đặt ≠ y tx, t=

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

 + + =  + + = + +

 ⇔

 

+ + = + + =

 

 

2 2

x 2t 3t 2t 3t 2t t

x 2t t x 2t t

(

)

(

)



 + + =  = − ∨ = −



⇔ ⇔

+ + =

  + + =

 

2

2 2 2

8

t t

3t 14t 16

3

x 2t t x 2t t 2



 = ±

= − 



 = −   = ± 

⇔ ∨ ⇔ ∨

= ± =

  = ±   =

 

 

 

3

8 x

t

t x 17

3

x x y y

17 17

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm laø

( ) (

)

 

 

x;y 1; ; ;

17 17

Bài Giải hệ phương trình  + + =

+ + =



2

3x 2xy y 11

x 2xy 3y 17

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

)

) (

)

 + + =  + + =

 ⇔

 

+ + = + + = + +

 

 

2 2

x 2t t 11 x 2t t 11

(136)

(

)

 + + =  =   = ± 

  

⇔ ⇔ ∨ ⇔ ∨

= ± = ±

 

 − − =  

  = ±  =

  

2

5

t x

x 2t t 11 t 2 4 x 1 3

x y

16t 12t 40 x y

3

( ) (

)

  

4

x;y 1; ; ;

3

Bài 4 Giải hệ phương trình  − − =

− − =



2

6x xy 2y 56

5x xy y 49

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

 − − =  − − =

 ⇔

 

− − = − − = − −

 

 

2 2

x t 2t 56 x t 2t 56

x t t 49 56 t t 49 t 2t

(

)

 

= = −

 − − =  

  

⇔ ⇔ ∨

− − =

  = ±  = ±

  

 

2

1 t

t

42t 7t 14 2 3

x t 2t 56 x 2 x 3

3

 

= ± = ±

 

⇔ ∨

 =  = ±

 

  

7

x x

3

7

y y

3

Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm laøø:

( )

   

7 7

x;y ; ;

3 5

Bài Giải hệ phương trình  −

(

)

 + − = −



2

2x x y y 3y

x xy 3y x 2y

Lời giải

 − + + − =

 

+ − − + =



2

2x xy y x 3y

(137)

Xét x ta đặt ≠ y tx, t=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 −

 − + + − =  =

 ⇔ − +

 

−

+ − + − + =

  =

  + −

2

3t x

x t t x 3t 2 t t

1 2t

x t 3t x 2t x

1 t 3t

Suy ra: − = −

− + + −

3t 1 2t

2 t t t 3t

( )

(

)

⇔7t3−3t2− + = ⇔7t t2−1 7t 3− =0

 =

 

 = −  =  = − 

   

⇔ = ⇔ = ∨ = − ∨ =

  

 = =

  

=

 =

 



3 t

7

t t t

7

t x x x

43

3 y y 3

t y

7 43

Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm

( ) ( ) ( ) ( )

 

7 x;y 0;0 ; 1;1 ; 1;1 ; ;

43 43

Bài Giải hệ phương trình  − + − =

+ + − =



2

14x 21y 22x 39y

35x 28y 111x 10y

Lời giải

Nhận thấy x 0= ⇒ =y nên

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 −

 − + − =  =

 ⇔ −

 

−

+ + − =

  =

  +

2

39t 22 x

x 14 21t x 22 39t 14 21t

10t 111

x 35 28t x 111 10t x

35 28t

− −

⇔ = ⇔ − + + =

− +

3

2

39t 22 10t 111 186t 421t 175t 112 0

14 21t 35 28t

(

)

(

)

⇔ 3t 62t+ 2−161t 112+ = ⇔ = −0 t Với t= −1

3 suy

−

= = − ⇒ = =

−

39t 22

x y tx

14 21t

(138)

(

)

(

)

 − =

 

+ =

 

2

2y x y 3x

x x y 10y

Lời giải

Neáu x 0= ⇒ =y suy

( )

(

)

(

)

(

)

( )

 − =  − =  − = +

 ⇔ ⇔

  

+ = + = + =

  

  

2 2 2 2

2tx x t x 3x 2t t x 2t t 10t t

x x t x 10tx t x 10t t x 10t

( )



 − + =  = ± ∨ = ±

 

⇔ ⇔

+ =

  + =

 

4 2

2

3

t t

20t 17t

5

1 t x 10t 1 t x 10t

 

= = ±

 =   = ± 

  

⇔ ∨ ⇔ ∨

= ± 

 = ±  

  = ±  = ±

 

4

3

t x

1 x 2

t 2 5

y

5 27

x x y

2 125

Vaäy: hệ phương trình có bốn nghiệm

( ) (

)

 

4

5 27

x;y 2; ; ;

2 125

(

)

(

)

 − =

 

+ =

 

2

x x y 6y

2y x y 5x

Lời giải

Nhận thấy x 0= ⇒ =y suy

( )

(

)

( )

 − =  − = +

 ⇔

 

+ = − =

 

 

3 2

2 2

x t 6tx t 6t.2t t

2t t x 5x x t 3t

( )

(

( )

)(

)

 

 + − = − + = =  = ±

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= ±

− = − = 

   = ±

  

2

4

2 2 2

1

4t 3t

12t 17t t x 2

2 y 1

(139)

( ) ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 − − =

 

+ + =

 

2

x y x y

x y x y 15

Lời giải

(

)

( )

 − − =  − − = + +

 ⇔

 

+ + = − − =

 

 

2 2

2

x t x t 15 t t t t

x t x t 15 x t t

( )

(

)

( )

 ±

 + − + =  = − ∨ =

 

⇔ ⇔

− − =

  − − =

 

2

3 3 2

5 21

1 t 2t 10t t 1 t

2

x t t x t t 3



 + −

=

= 



 

⇔ ∨

 = +  = +

 

 

3

5 21

5 21 t

t

2

3 21

21 x 2

x

7 14

 



 = + = +

 

⇔ ∨

 = + +  = − +

 

 

3

3 21

21 x 2

x

7 14

5 21 21 21 21

y y

2 14

Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm laø

( )

   

   

3 21 21 21 3 21 21 3 21

x;y ; ; ;

14 14 7

(

)

(

)

 − + =

 

+ + =

 

2

x x xy y 6y

2y x xy y 7x

Lời giải

( )

(140)

(

)

(

)

(

)

) (

)

 + + =  + + = − +

 ⇔

 

− + = − + =

 

 

3 2

2x t t t 7x 6t.2t t t t t

x t t 6tx x t t 6t

(

)

(

)

(

)



 + + + − = − + + + =

 

⇔ ⇔

− + = − + =

 

 

3

2 2 2

2t 6t 9t 7t

12t 12t 5t 7t

x t t 6t x t t 6t

(

)

(

)

 =  + + + =  = ±  + + + =

  

⇔ ∨ ⇔ ∨

= ±

− + =  − + =

 = ±  



3

2 2

1 6t 9t 7t 0 x 2 6t 9t 7t (1)

t

y

x t t 6t x t t 6t

x

Nhöng = > ⇒ >

− +

2

6t

x t

t t (1) vơ nghiệm Vậy hệ có ba nghiệm

( ) (

)

Baøi 11 Giải hệ phương trình

( )

 − = + 



− = +



3

2

x 8x y 2y

x 3 y

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với:  − = +

− =



3

2

x y 8x 2y (1)

x 3y (2)

Nhận thấy x không thỏa mãn hệ xét với = x ta đặt ≠ y tx , hệ trở thành: =

( )

(

)

(

)

 − = +

 

− =

 

3

2

x t 2t x

x 3t

Từ suy

( )

(

)

(

)

 =  

− = + − ⇔ − − = ⇔

 = − 

3 2

1 t

3

6 t 2t 3t 12t t

1 t

4

TH1: Với

(

)

 =

  = ±

= ⇒ ⇔

= ± 

 − =

 2

1

y x x 3

1 3

t

(141)

TH2: Với

(

)



  = ±

= −

 

= − ⇒ ⇔

 − =  = ±

 2 

4 78

x x

y

1 4 13

t

4 x 3t 6 78

y

13 Vậy hệ có bốn nghiệm la:ø

( ) ( ) (

)

   

4 78 78 78 78

x,y 3,1 ; 3, ; , ; ,

13 13 13 13

Nhận xét:Từ hệ ta biến đổi sau Vế trái (1) đa thức bậc ba, vế phải (1) đa thức bậc Vế trái (2) đa thức bậc hai nhân vế trái (2) vào vế phải (1) để phương trình đẳng cấp bậc ba từ suy mối liên hệ x,y Các tốn sau tơi trình bày cách trên(đương nhiên bạn xử lý cách đặt y tx ) =

(

)

 +

 − = + − = −

 ⇔

 

− =

 

  − =

3 2

2

8x 2y

x y x 3y

x y 8x 2y

6

x 3y x 3y 6

(

)(

)



 + − = − + =  = ∨ = −

  

⇔ ⇔ ⇔

− =



− = − =

  

 

3 2

2

2 2

x x 3y x 4y x 3y x 4y

x x y 12xy

x 3y

x 3y x 3y

Bài 12 Giải hệ phương trình  + =

+ + =



3

2

x y

x y 2xy y

Lời giải

(

)

 + =  − − + =

 ⇔

 

+ + = +  + =

 



3 3 2 2 3

2 3 3 3

x y 2x x y 2xy y 0

x y 2xy y x y x y 1

(

)(

)

 − + − =  =  = −  =

   

⇔ ⇔ ∨ ∨

+ = + = + =

  

+ =

   

 3 3 3 3

x y x y 2x y x y x y y 2x

x y x y x y

x y

 

=

= 



 

⇔ ∨

 =  =

 

 

3

1

1 x

x

9

1

y y

9

(142)

( )

3  3 

1 1

x;y ; ; ;

9

2

(

)

(

)

 + =

 

+ − − =



2

x y

x y x y 2xy 2y

Lời giải

Nhận thấy vế phải phương trình thứ hai có bậc nên biểu diễn 4 x y 2xy − 2−

dưới dạng bậc Thật ta có:

(

)

(

)

(

)

− 2− = 2+ 2− 2− 2+ = 4+ 4+ 2− 2+

4 x y 2xy x y x y x y xy x y x y xy x y

Vậy hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

(

)

 + =  + =

 ⇔

 

+ + + − + =  + =

 



2 2 2

4 2 2 5 5 5

x y x y 2

x y x y x y xy x y 2y x y 2y

 = 

⇔ ⇔ = = ±

+ =

 2

x y

( ) (

)

Bài 14 Giải hệ phương trình  − = −

− = −



2

3 2

5x 3y x 3xy

x x y 3y

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với: + = +

+ = +



3 2

5x 3xy x 3y

x 3y x y

( )

(

)

(

) (

)

(

) ( )

(

)

( )

)

(

)

(

)

 + = +  + = +

 ⇔

 

+ + = + +

+ = +

 



2

3 2

x 3t 3t

x 3t x 3t

5 3t t 3t 3t

x 3t x t

(

)

(

)

( )(

)

 + = +

 

⇔ ⇔

− + =

− − =

 

  2

x 3t 3t

t 9t

(143)



 =  = −  =  = −

 

⇔ ∨ ⇔ ∨

= − =

=  

  =

 

1

t t 1 x x 1

2

1 x 1 1 y 1

x y

2 2

Vaäy hệ có ba nghiệm

( )

 

1

0;0 ; ; ; 1;1

2

Baøi 15 Giải hệ phương trình  + − =

+ = +



3

4

x y xy

4x y 4x y

Phân tích lời giải Vế trái phương trình đầu hệ dạng bậc nhân vào vế phải phương trình thứ hai hệ ta phương trình đẳng cấp bậc

Lời giải

Hệ phương trình cho tương đương với

(

)

(

)

(

)

 + − =  + − =

 ⇔

 

+ = + + − − + =

 

 

3 3

4 3 2

x y xy x y xy

4x y 4x y x y xy xy 3y 4xy x

( )(

)

 + − =  =  =



⇔ ⇔ ∨

= =

− − =  



3

x y xy x x

y y

xy x y x 3y

 =  =

 ∨

 

+ − = + − =

 

 3  3

x y x 3y

x y xy x y xy

 = 

 =  =  = 

⇔ ∨ ∨ ∨

= = =

    =



3

1 x

x x x 25

y y y y

25 Vaäy hệ phương trình có bốn nghiệm là:

( ) ( ) ( ) ( )

3 

1

x;y 0;1 ; 1;0 ; 1;1 ; ;

25 25

Baøi 16 Giải hệ phương trình 

(

)

 − =



2 3

y x y

x y 19

Lời giải

(144)

(

)

(

)

(

)

 − = − = −

 ⇔

 

 − =  − =

 

2

2 3

3 3

19y x y x y

y x y

x y 19 x y 19

(

)(

)



 − + − = − − − =

 

⇔ ⇔

− = − =

 

 

3 2

3 3

x y x 7y 2x 3y

2x 21y 38xy 19x y

x y 19 x y 19

 =

 

 =  = =  =

   

⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨

=

− = − =

    

   − = =



3 3

3

7 x

x y x 7y x 2y 18 x

1 y

x y 19 x y 19 x y 19 y

18

( )

3 

7

x;y ; ; 3;2

18 18

Bài 17 Giải hệ phương trình  + =

+ = +

 3

5 2

x y

x y x y

Phân tích lời giải. Vế trái phương trình hệ đa thức bậc nên nhân với vế phải phương trình thứ hai ta phương trình đẳng cấp bậc

Lời giải

(

)(

)

 + =  + =

 ⇔

 

+ = + +  + =

 



3 3 3

5 2 3 2 3 3 2

x y x y 1

x y x y x y x y x y 0

(

)

 + =  =  =



⇔ ⇔ ∨

= =

 

 + =



2 3

xy x y x 0 x 1

y y

x y

( ) ( ) ( )

Nhận xét: Tổng quát cho hệ phương trình:

(

)

− −

 + =

 >



+ = +



m m

k k k m k m

x y , k m

x y x y

Nghiệm hệ

( ) ( )

Bài 18 Giải hệ phương trình  + = +

− =



3

2

x 3x 448y 6y

385x 16y 96

Lời giải

(145)

(

)

(

)



 − = − − = − −

 ⇔

 

− =

 

  − =

3 2

3

2 2 2

1

x 448y 6y 3x 385x 16y

x 448y 6y 3x

96

385x 16y 96 385x 16y 96

 − − − =

 ⇔ 

− =



3 2

2

1251x 42912y 2310x y 48xy

385x 16y 96

(

)

(

)

 − + + =

 ⇔ 

 − =



2

x 4y 1251x 2694xy 10728y

385x 16y 96

 = ±   =

 

⇔ ⇔

− =

 

 = ±

 2

1 x

x 4y 2

1

385x 16y 96 y

8

( )

 

1

x;y ;

2

(

)(

)

 + =

 

+ + =

 2

4

x y

x y xy 32

Phân tích lời giải. Để ý + = + + =

(

)

2

2 x y

x y

1 xy xy

2 phương trình

thứ hai hệ trở thành

(

)

9

x y

32 x y

16

Lời giải

(

)

(

)

 + =



 + =

 ⇔

 

 + 

+  +  =

    + =

  



2

9 9

4

2

x y

x y xy 32 x y 2

2

(

)

 + =

 = 

⇔ + − − ⇔

= 

 = =



2 2 2

x y

x

x y x y y 1

xy

2

(146)



− =

 +



 + =



3 2

1

3x y

x y

Phân tích lời giải. Quy đồng phương trình thứ ta vế trái đa thức bậc nhân vế phải phương trình với bình phương vế trái phương trình thứ hai hệ ta phương trình đẳng cấp bậc

Lời giải

Điều kiện x y + ≠

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

 + − = + − = +

 ⇔

 

 + =  + =

 

2

3 3 3 2 2

2 2 2

x y 3x y x y 3x y x y

x y x y 1

 + − − − =

 ⇔ 

+ =



4 2

2

2x 3x y 2x y xy 2y

x y

(

)

(

)

 − + + + =

 ⇔ 

 + =



3 2

2

x y 2x 5x y 3xy 2y

x y

(

)(

)

(

)

 − + + + =

  

⇔ ⇔ ∨

 + =  = ±  = ±

  

 



2

1 x

x

x y x 2y 2x xy y 2 5

1

x y y y

2

Vậy hệ phương trình cho có bốn nghiệm là:

( )

   

1

x;y ; ; ;

2 5

(

)

 + + =

 

+ + + =



2

5

x xy y

x y 15xy x y 32

Lời giải

Nhận xét: Đây hệ đối xứng loại I nhiên theo cách giải thơng thường đặt S x y,P xy tốn biến đổi tương đối dài khó khăn = + =

(

)

(

)

(

)

 + + =  + + =

 ⇔

 

+ + + + + = + =

 



2 2

5

5 2

x xy y x xy y

(147)

 + =  + = 

⇔ ⇔ ⇔ = =

=

+ + =

 

 2

x y x y x y 1

xy

x xy y

Vaäy hệ có nghiệm

( ) ( )

Bài 22 Giải hệ phương trình  + − − =

= +



3

2

x 4y y 16x

y 5x

Lời giải

(

)

(

)



 − = − − = − −

 ⇔

 

− = −

 

  − = −

3 2

3

2 2 2

x y y 4x 5x y

x y 16x 4y

5x y 5x y 4

(

)(

)



 − − = − + =

 

⇔ ⇔

− = − − = −

 

 

3 2

2 2

x 7x 4y 3x y

21x 5x y 4xy

5x y 5x y

 = 

 =   = ±  =  = ±

⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨

= ± = = ± =

  − = −   

 2  

4

x y

x 7 x x x

y 80y y 4 y y y

49

( ) (

) (

)

Bài 23 Giải hệ phương trình  − =

(

)

 − =



x x y y x y

x 3y

Phân tích lời giải: Vế trái phương trình thứ có dạng bậc

2 vế phải bậc

2 cần nhân thêm vào vế phải với vế trái phương trình thứ hai đưa phương trình đồng bậc

2

Lời giải

(

)

(

)

 

− = + − + − =

 ⇔

 

− =



 − = 



1

x x y y x y x 3y x x x y 12y x

3

x 3y x 3y

(148)

(

)(

)

 − + =

 ⇔ 

 − =



x x y x y

x 3y

 

 =  =  + =  =

⇔ ∨ ∨ ⇔

− =  − =  − = =

   

x x y x y x

x 3y x 3y x 3y y

Vaäy hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )

Bài 24 Giải hệ phương trình  − =

(

)(

)

 − + = −



3

2

2x 9y x y 4xy

x 3xy y

Phân tích lời giải: Thay − =1 x2−3xy y từ phương trình thứ hai hệ +

vào phương trình thứ ta phương trình đẳng cấp bậc

Lời giải

(

)

(

)

 − = − + − +  − = −

 ⇔

 

− + = −



 − + = − 



3 2 3 3 3 3

2

2x 9y x y 4xy x 3xy y 2x 9y x y

x 3xy y

 =  =  =  = ±

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= ±

− + = − =

 

− + = − 

  



3

2 2

2

x 2y x 2y

x 8y x

y

x 3xy y y

x 3xy y

( ) (

)

Bài 25 Giải hệ phương trình  + + =

− + =



2 2

2x y x 2x

2x y x y 2xy

Lời giải

(

)

(

)

 + + =

 

 + − =



2 2

2

2x y x

2xy x x y Đặt u x 1,v xy hệ phương trình trở thành = + =

(

)



 + = + = −

 ⇔

 

− =

 

  − =

2 2

2

2 2

u 2v 2uv v

u 2v

2uv v 2uv v 1

(

)(

)



 − + = − − =

 

⇔ ⇔

− = − =

 

 

2

u v u 5v

u 6uv 5v

(149)

 = ± 

 =  =

  

⇔ ∨ ⇔ = = ± ∨

− = − =

  

  = ±



2

5 u

u v u 5v 3

u v

1

2uv v 2uv v v

3

  = −  

+ = ± = −

 

 + = ±    = 

⇔ ∨ ⇔ ∨ ∨

= ± =

  = ±   =  =

 

 

5 x 2 2

x x

x 1 3 x 3

3

xy xy y y 2 y

2

3

( )

     

1

x;y 2; ; ;2 ; ;

2 3

Bài 26 Giải hệ phương trình  + = −

− + = −



3

2

x 3xy 49

x 8xy y 8y 17x

Lời giải

Nhận thấy x không nghiệm hệ phương trình =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 = − = − =



 + = −  − + − − − −

 ⇔

  − − −

− + = −

  = = =

  +

+ − +



2

3 2

2 3

2

8t 8t b

x

a b 8t t

x 3t 49 t 16 8t 17

49 49 49

x 8t t x 8t x

49 4a

1 3t t 16 49

a t= 2−16,b 8t 17 = −

Từ suy :

(

)

(

)

−  

= ⇔  + − + =

+  

−

3 3

3

b 49 49 b a b 3a 0

49 3a a b

(

)

(

)

 

⇔  − − + − + = ⇔ =

 

2

a 49b 49b a b 49 a b a

Suy t2 =16⇒x3 = − ⇔ = − ⇒ = ±1 x y

( ) (

) (

)

(150)

(

)

 − =

 

− =

 2

3

x y

y x y

Lời giải

(

)

(

)

(

)

(

)

 − =  − =

 ⇔

 

− − + =

− = −

 



2 2

3 2 2 2 2

x y x y 5

2 x y 2x 21xy 27y 0

y x y x y

25

(

) (

)(

)

 = − = −

 − = 

  = − = −

 − =  =

  

⇔ ⇔ ⇔

=

− − − =

   = =

 

 =



  =

= 

2

x 3,y

x y 9 1

x ,y

x y x y 4 4

9

2x 3y

x y 2x 3y x 9y x ,y

4

x 9y

x 3,y

( ) (

)

( )

   

9

x;y 3; ; ; ; 3;2 ; ;

4 4

Nhận xét: Từ tốn giải hệ ta hồn tồn giải phương trình:

(

)

− − − 3=

x x x baèng phép đặt ẩn phụ:

(

)



 = − =

 ⇒

 

− =

= −

 

 

2

u v

u x

v u v

v x

Bài Giải hệ phương trình − + − =

+ + − =



2

14x 21y 22x 39y

35x 28y 111x 10y

Lời giải

Viết lại hệ phương trình dạng:  − = − +

+ = − +



2

14x 21y 22x 39y

35x 28y 111x 10y

Nhaän thaáy = ⇒ = − ⇔ = ⇒

( ) ( )

= − 

2

14x 22x

y x x;y 0;0

35x 111x nghiệm

(151)

Xét y , đặt ≠ x ty hệ phương trình trở thành: =

(

)

(

)

(

)

(

)

 − = − +

 

+ = − +

 

2

y 14t 21 y 22t 39

y 35t 28 y 111t 10

Suy ra:

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

⇔112t3+175t2−421t 186 0+ = ⇔ +t 112t2−162t 62+ = ⇔ = −0 t

Khi đó:

(

)

(

)

 − = − +

  = −

 = − ⇔

  =

  = −



2

y 14t 21 y 22t 39

x

x 3y

y

t

( ) ( ) ( )

Bài Giải hệ phương trình  − =

− − =



2

3x 2xy 16

x 3xy 2y

Lời giải

Nhận chéo hai phương trình hệ ta được:

(

) (

)

(

)

8 3x 2xy 16 x 3xy 2y x 2y x 2y

Thay vào phương trình hệ ta được: = ⇔ = − ⇒ = = −

= = − =

 

2 y x 2,y

16y 16

y x 2,y

( ) ( ) (

)

Baøi Giải hệ phương trình  − + =

− + =



2

x 2xy 3y

2x 13xy 15y 18

Lời giải

(

) (

)

− + = − + ⇔ 

= 

2 2 y

2 x 2xy 3y 2x 13xy 15y

x y

TH1: Nếuy thay vào phương trình đầu hệ ta được: = x= ±3

= ⇔ = ± ⇒ = ±

2 3

2x x y

(152)

( ) (

) ( )

   

3 3

x;y 3;0 ; 3;0 ; ; ; ;

2 2

Bài Giải hệ phương trình  − + = −

+ − =



2

x 3xy y

x 2xy 2y

Lời giải

Nhân chéo theo vế hai phương trình hệ ta được:

(

) (

)

= ⇔  = −



2 2 2 x y

1 x 3xy y x 2xy 2y 2x xy y

y 2x Xét trường hợp thay ngược lại hệ phương trình tìm nghiệm:

( ) (

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

 − + =

 

+ − =

 

2 2

x y x y 13

x y x y 25

Lời giải

Nhận chéo hai phương trình hệ ta được: 25 x y x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

⇔ − − − = ⇔ =

 =



x y

x y 2x 3y 3x 2y 2x 3y

3x 2y

Xét trường hợp thay ngược lại hệ tìm nghiệm

( ) (

) ( )

(

)

 + =

 

− + − + =

 2

2

x y

5x y 4xy 3y x y

Lời giải

(

)

(

)

 + =  + =

 ⇔

 

− + − + + =  − + − =

 



2 2 2

2 2 3 2 2 3

x y x y 2

(153)

(

) (

)

 = − = −

 = = 

 + =

 + =  



⇔ ⇔ = ⇔  = − = −

− − =  

 

  = 

 = =

 2

2 2

x 1,y

x y

x y 2 2

x y x ,y

5

y x 2y x x 2y

2

x ,y

5

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:

( ) (

) ( )

   

2 2

x;y 1; ; 1;1 ; ; ; ;

5 5

(

)

(

)

 + − + = −

 

+ + = −

 

2 2

2

x xy 3y x 48

y xy y 12

Lời giải

x x2

(

)

(

) (

)(

)

 =

⇔ − = ⇔ 

= − 

2 x 2y

x 4y

x 2y

TH1: Nếu x 2y thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: =

(

)

TH2: Nếu x= −2y thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

( )

( ) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 − + = +

 

− + = −

 

2

6 x x y 6x 8y

3 y x y 8x 6y

Lời giải

Neáu

( ) ( )

Xét x2+y2>0 nhân chéo hai phương trình hệ lược x2+y hai vế ta được:

(154)

 =

⇔  + − =



x 2y

4x 2y 15

Xét trường hợp thay ngược lại hai phương trình hệ tìm nghiệm

( ) ( ) ( ) ( )

 

9 x;y 0;0 ; 2;1 ; 4;2 ; 6;

2

(

)

(

)

(

)

(

)

 − − = +

 

− − = −

 

2

6 x x y 6x 8y

3 y x y 8x 6y

Lời giải

Neáu x2−y2 = ⇒ = =0 x y

Xét x2−y2 ≠0 nhân chéo hai phương trình hệ ta được:

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

− − = − + ⇔ − + − =

6 x 8x 6y y 6x 8y x 2y 4x 2y 15

 =

⇔  + − =



x 2y

4x 2y 15

(

)

(

)

(

)

(

)

 − + − + =

 

 − + − − − =



2

2x x y

3x 4xy 4y x y

Lời giải

Nhận thấy x y không thỏa mãn hệ phương trình =

Xét x y hệ phương trình trở thành: ≠

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



− + = −

 − + = − − + −

−

 ⇔

 

 − + − =  − + − + =



 −



2 2

2

1

2x

2x 3x 4xy 4y

x y

1 2x 7 x y 1 0

3x 4xy 4y

x y

(

)

(

)

(

)

(

)

 =

 − =  =  =

  

⇔ ⇔ ⇔

− + + =  = −

 − + − + =  

  = −

 

2

x x 2y

x 2y y 1

8y y x

2x x y

y

( ) (

) ( )

Bài 11 Giải hệ phương trình  + − =

+ − − =



3

4

x 8y 4xy

(155)

Lời giải

(

)

(

)

 + − =

 

+ − + + − =



3

4 3

x 8y 4xy

2x 8y 2x y x 8y 4xy

(

)(

)



 + − = + − =

 

⇔ ⇔

− − =

− + =

 

 

3

4 2

x 8y 4xy

2x x 2y x 6y

2x 8x y 12xy



= =

 + − = 

 

 =

 

⇔ ⇔ = =

=

 

 =  = =





3

1 x 0,y

x 8y 4xy 2

x x 1,y

2 x 2y

3

x 6y x ,y

25 25

( )

    3 

1

x;y 0; ; 1; ; ;

2 25 25

Bài 12.Giải hệ phương trình  − = −

+ + − =



3

4

x 2xy

x y x 3y

Lời giải

(

)

(

)

 − = −

 

+ + − − + =



3

4

x 2xy

x y x 3y x 2xy

 − = −

 ⇔ 

+ − + =



3

3 2

x 2xy

3x 2x y 6xy y

(

)

(

)

 − = −

 − = − 

 

⇔ ⇔  =

− + − = 

 

  + − =

3

2

x 2xy

x y

x y 3x 5xy y

3x 5xy y

(156)

( ) (

) ( )

 

 

 − − + − 

− 

 

 

3

37 37 37

x;y 1;0 ; 1;1 ; ; ;

5

37 5; 37. 37

5

Bài 13 Giải hệ phương trình  − = −

+ − = −



2 2

16x y 17y

4xy 2x 7y

Lời giải

Phương trình thứ hai hệ tương đương với :

+ = − ⇒

(

) (

)

2

4xy 7y 2x 4xy 7y 2x

⇔16x y2 2+8xy 4x+ = 2−28xy 49y+ ⇔17y2+8xy 4x= 2−28xy 49y +  =

⇔ − + = ⇔ 

= 

2 x y

x 9xy 8y

x 8y

TH1: Nếu x y thay vào phương trình thứ hai hệ ta : =

 =  = =

 

+ − = − ⇔ − + = ⇔ ⇒

= = =

 

 

2 x x 1,y

4x 2x 7x 4x 5x 1 1 1

x x ,y

4 4

(thử lại thấy thỏa mãn)

TH2: Nếu x 8y thay vào phương trình thứ hai hệ ta : =

− + =

2

32y 9y (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

( ) ( )

 

1

x;y 1;1 ; ;

4

Bài 14 Giải hệ phương trình  + = +

− = −



3

x y 7x 7y

x y 19x 19y

Lời giải

Nhân chéo hai phương trình hệ ta được: 19 x y x

(

)

(

)

(

)

(

)

4 3

6x 13x y 13xy 6y

(157)

(

)(

)

 =  = −  

⇔ − + − − = ⇔ =

 

= 

y x

3

x y x y 2x 3y 3x 2y y x

2

y x

3

Xét trường hợp thay vào phương trình đầu hệ tìm nghiệm:

( ) (

) ( ) (

) ( ) ( )

Bài 15

− = −



3 2

x y 4x 4y

x y 6x 6y

Lời giải

Nhân chéo hai phương trình hệ ta được: x

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

⇔ − + + = ⇔ 

+ + =



3 2 2

2

y x

x y x 3xy y

x 3xy y

TH1 : Nếu y x thay vào phương trình thứ hệ ta : =

 =  = =

= ⇔ ⇒

= = =

 

3 x x 0,y

2x 8x

x x 4,y

TH2 : Nếu x2+3xy y+ 2=0 kết hợp với phương trình thứ hai hệ ta :

(

)

(

)

(

)

 + + =  + + =

 ⇔

 

− = − − + + − − =

 

 

2 2

3 2 2

x 3xy y x 3xy y

x y x y x y x xy y 6x 6y



 =  = =

 

+ +

  − +

⇔ ⇔ = =

 + +



 



 + + − − =  + −



 = =

 

2

x y x 0,y 0

x 3xy y 3 5 3 5

x ,y

2

x 3xy y

3 5

x xy y 6x 6y x ,y

2

( ) ( ) ( )

   

3 5 5

x;y 0;0 ; 4;4 ; ; ; ;

(158)

Bài 16 Giải hệ phương trình  + + = +

− =



2

x xy y x 4y

x 4y

Lời giải

Từ hệ phương trình suy ra:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ − + + = ⇔ 

+ + =



2

2x 5y

2x 5y 3x 12xy 13y

3x 12xy 13y

TH1: Nếu 2x 5y thay vào phương trình thứ hai hệ suy ra: =

− = ⇔ = ± ⇒ = ±

2

25y 4y 1 y x

4 3

TH2: Neáu 3x2+12xy 13y+ = ⇔0 x 2y

(

)

 + =  =

⇔ ⇔

= =

 

x 2y x

y y (thử lại thấy khơng thỏa mãn)

( )

   

5

x;y ; ; ;

3 3

(

)

(

)

 + = +

 

− = −

 4 4

x y 17 x y

x y 45 x y

Lời giải

Nhân chéo hai phương trình hệ ta : 45 x y x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

 =  = 

⇔ − − − + + = ⇔

 = 

= = 

2

x y x 2y

x 2y x y 2x y 7x 9xy 7y

y 2x x y

Xét trường hợp thay vào phương trình đầu hệ ta được:

( ) ( )

(

) (

)

(159)

Chủ đề

KỸ THUẬT SỬ DỤNG PHÉP THẾ

A NOÄI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Hệ gồm hai phương trình rút biến theo biến lại theo suy nghĩ đơn giản vào phương trình cịn lại hệ ta phương trình đa thức bậc cao giải Đơi ta thực phép số biểu thức vào phương trình cịn lại

Dấu hiệu nhận biết

- Hệ gồm phương trình phương trình bậc x,y - Có thể rút biến theo biến cịn lại từ phương trình hệ

Các dạng hệ gặp

Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn

(

)

(

)

3 2

x y (1)

3x x 7y x 2y 7y 2y (2)

 + − = 

 + − + − =



Lời giải Phân tích tìm lời giải:

Nhận thấy từ (1) ta rút y x = − x y để vào phương trình = −

(2) để ý đưa phương trình bậc ba với ẩn x ẩn y ta lựa chọn phép y x vào (2) bậc y (2) cao 2nên việc = −

tính biểu thức

(

) (

)

(

)

Rút y x từ (1) vào (2) ta được: = −

(

)

(

)

(

)

(

)

 

+  − − +  − − − = −

 

2

3

3x x x x x x x

( ) ( )

( )

 

1

x;y 1; ; ; ; 2;1

2

Suy

( )

( ) (

)

 

1

x;y ; ; 1;0 ; 2;

2

( )

( ) (

)

 

1

x;y ; ; 1;0 ; 2;

(160)

Bài 2. Giải hệ phương trình  = + +

= −

 2

xy x 7y

x y 10y

Phân tích lời giải:

Ta rút y theo x từ phương trình đầu hệ vào phương trình thứ hai hệ đưa phương trình bậc với x

Lời giải

Nhận thấy y không thỏa mãn hệ phương trình =

Xét với y từ phương trình đầu hệ ta có ≠ = + −

7y x

y vào phương trình thứ hai hệ ta được:

 +  = − ⇔ + − − + =

 − 

 

2

7y y 10y 39y 34y 8y 2y

y

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

⇔ y 39y+ 3−5y2−3y 1+ = ⇔0 y 3y 13y+ + 2−6y 1+ =0

 = −  ⇔  = −



y

1 y

3

Với y= −1 suy x =

Với y= −1

3 suy x =

( )

 

1

x;y 1; ; 3;

3

Cả hai phương trình hệ rút biến y theo biến x việc rút từ phương trình thứ hai đơn giản

Lời giải

(

) (

)



 − + = − − + + + − + + =

 ⇔

 

= − + +

 

  = − + +

3 2

3

2 2

x 2x 3x 2x 3x 2x

x 2xy 5y

(161)

(

)

(

)



 − + + = − − − =

 

⇔ ⇔

= − + +

 

  = − + +

2

2 2

x 7x 12x

7x 19x 4x

y 3x 2x y 3x 2x 3

 −  +

= =

 

 =  

⇔ ∨ ∨

= − + − −

  =  =

 

 

6 33 33

x x

x 7 7

y 153 44 23 153 44 23

y y

49 49

( ) ( )

   

6 33 153 44 23 33 153 44 23

x;y 1;2 ; ; ; ;

7 49 49

Bài 4. Giải hệ phương trình  +

(

)

 − =



3

4

2x y x 4x

5x 4x y

Phương trình đầu hệ chứa y tự nên ta rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ hy vọng đưa phương trình bậc cao x phân tích nghiệm

Lời giải

Nhận thấy x= −1 không thỏa mãn hệ phương trình Xét với x≠ −1 hệ phương trình tương đương với

 −

= 

 − +

 =

 ⇔

+

   

−

 − =  − =  

   + 

 



2 3

2

4 6

4x 2x

y

4x 2x x 1

y

x

4x 2x

5x 4x y 5x 4x

x

(

)

(

)

 −

= 

+ 

⇔  − 

 

 − − =

 

 +

 

  



2

4x 2x

y

x

4 x

x 4x

x

(

)

( ) (

)

 −

= 

 =  +

⇔ ∨

=

  − + − − =



2

2 2

4x 2x

y

x x 1

y

5 4x x x

 −

 =  =

⇔ ∨ +

=

  + + − + =



2

4x 2x

x y

(162)

(

)(

)

(

)

 −

= 

 =  +

⇔ ∨

=

  − − + + =



2

4x 2x

y

x x 1

y x 2x 2x 7x 11 0

 = 

 =  = 

⇔ ∨ ∨

= =

   =



1 x

x x 2

y y y

2

( ) ( ) ( )

 

1

x;y 0;0 ; 1;1 ; ;

2

(

)



− + =

 

 + − + = −



5

x y

2

3 y x x

4

Phương trình đầu hệ bình phương khử thức ta rút y theo x ta thực phép

Lời giải

Điều kieän  ≥ − ≥ − 

x

y hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

(

)

 

≥

  ≥

 

  

 = − − ⇔ = − +

   

 

 

  − + − + + =

+ − + = −

 

 

2

5 5

x x

2 2

5 21

y x y x 5x

2

x 5x x x

3 y x x

4

(

)

 ≥ 

  =

 

⇔ = − + ⇔

= −

 

 −  − + + =

 

 

2

5 x

2 x 3

21

y x 5x 3

4 y

4

x x 2 x

Vaäy hệ có nghiệm

( )

 

3

x;y 3;

4

Bài 6.(TSĐH Khối B 2008) Giải hệ phương trình  + + = +

+ = +



4 2

x 2x y x y 2x

(163)

Cả hai phương trình hệ có điểm chung có chứa nhân tử chung

+

2

x xy ta xy=6x x+ −

2 từ phương trình thứ hai hệ vào phương trình đầu đưa phương trình bậc với ẩn x

Lời giải

(

)

 + = +  + + − = +

 

  

 ⇔  

 

+ −

 =  + −

  =



2

2 2

2

6x x

x 2x

x xy 2x

2

6x x 6x x

xy xy

2 2

(

)



 + + + = + =  = −



  

⇔ + − ⇔ ⇔

+ − =

=

  = 

 

3

2 2

x 12x 48x 64x x x x

17

6x x 6x x y

xy xy 4

2 2

Heä phương trình có nghiệm

( )

 

17

x;y 4;

4

Bài 7.(TSĐH Khối B 2006) Giải hệ phương trình

(

)

( )

(

)

 + + + =

 

+ + − =



2

x y y x 4y

x y x y

Cả hai phương trình có nhân tử chung x2+1 rút từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai ta có nhân tử chung y

Lời giải Hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

( )

(

)

(

)(

)

 + = − −  + = − −

 ⇔

 

+ + − = − − + − =

 



2 2

2

x y y x x 1 y y x

x y x y y x y y x y

(

)

(

)(

)

 + = − −

 + = 

⇔ ∨

= − − + − =

 

 

2

2 x 1 y y x

x

y x y y x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 + = − −  + = − −  + =

  

⇔ ⇔ ⇔

+ = 

− + + + − =  + − = 

 

2

2 2

x y y x x y x y x y 3

x y

(164)

 = −   =  = −

  + − =

⇔ ⇔ ⇔ ∨

= =

+ = − = −

   

 

2

y x x x x x

y y

x x y x

Hệ phương trình có hai nghiệm

( ) ( ) (

)

Nhận xét:

(

)

 +

+ + = 

 

+

 + − =



2

x 1 x y 4

y

x 1 y x 1

y

Đặt ẩn phụ u=x2+1;v x y 2= + −

y (xem thêm phương pháp đặt ẩn phụ)

Bài 8.(TSĐH Khối D 2009) Giải hệ phương trình

(

)

(

)

 + + − =

 

+ − + =

 

2

x x y

x y

x

Lời giải

Điều kiện x hệ phương trình cho tương đương với ≠

 

+ = − + = −

 

 ⇔

 

 

 −  − + =  − + =

  



2

3 3

x y x y 1

x x

4

3 1 1 0 2 0

x

x x x

(

)(

)

  =

= − −  =

 

⇔ ⇔ ∨

= = −



 − − = 



3 x 2

y x x x

3

y y

x 2x 2

Hệ phương trình có hai nghiệm

( ) ( )

 

3

x;y 1;1 ; 2;

2

Bài 9. Giải hệ phương trình  + = −

− = −

 3

x y

x 3x y 3y

Lời giải

(

)

(

)

 = − −  = − −

 ⇔

 

− = − − = − − − − −

 

 3  3

y x

x 3x y 3y x 3x x x

(

)(

)



 = − − − + + =

 

(165)

 = − 

 =   = −

⇔ ∨ ∨

= − =

  = 



1 x

x 2 x

y y y

2

( ) ( )

( )

 

1

x;y 1; ; ; ; 2;1

2

Nhận xét: Qua ví dụ nhận thấy phương pháp đơn giản mà học sinh nghĩ đến giải hệ Thông thường hệ có nghiệm đẹp đưa phương trình bậc cao ta giải nhờ phân tích thành nhân tử Hạn chế phương pháp đơi tính tốn cồng kềnh dễ dẫn đến sai sót điểm hệ có nghiệm lẻ việc giải phương trình bậc cao khó khăn Lúc thử nghĩ đến phương pháp khác chẳng hạn đặt ẩn phụ Một lưu ý phương pháp ta biểu thức, số từ phương trình vào phương trình cịn lại

Bài 10. Giải hệ phương trình  − + =

+ + + + =



2 2

y xy

x y 2x 2y

Rút y2 =xy 1− từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai hệ ta

được phương trình đưa phương trình tích nên ta sử dụng phương pháp

(

) (

)

2

x +xy 2x 2y 0+ + = ⇔x x y+ +2 x y+ =0

(

)(

)

x y

 = −

⇔ + + = ⇔ 

= −



Lời giải

(

)(

)

2

y xy

x x y

x xy 2x 2y



 = − = −

 ⇔

 

+ + =

+ + + =

 

 

2 2

x x y x

y

y 2y y y

 = −  = −  = −

 

⇔ ∨ ⇔

= −

= − − = − −

  

 

( ) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2

2x y x y x 2x 2y

x 4x 3y

 + + + + = −

 

+ = −

(166)

Phân tích lời giải

Nếu thực phép biến thông thường trường hợp không thực để ý đến số tự hai phương trình thử từ phương trình lên phương trình xem ta gì? Hy vọng đưa phương trinh tích

Lời giải

(

)

(

) (

)

2

2x y x y x 2x 2y

7 4x x 3y

 + + + + = −

 

 = + +



(

)

(

) (

)

2

2x y x y x 2x 4x x 3y 2y

7 4x x 3y

 + + + + = + + −

 ⇔ 

 = + +



(

)

(

)

(

)

(

)

2

2x y x y 2x y 2x y x y

7 4x x 3y 4x x 3y

 + + = +  + + − =

 

⇔ ⇔

 = + +  = + +

 

2

y x

y 2x

7 4x x 3y

 = −  = −

 

⇔ ∨

= + +



= + +

 



2

1 17

y x x

y x

y 2x 4

1 17

2x x x

2x x y 17

4

 ±

 = −  =

 = −  = −

   

⇔ ∨ ⇔ ± ⇔

− − = =

 − + =

   

  =

 

( )

4

 ± 

=  

 



(

)

2

3

2

x 7y x y x y 7x

3x y 8y 8x

 + = + + + +

 

 + + + =



Phân tích lời giải Bài tốn ta thực tương tự toán rút tự từ phương trình hai vào phương trình đầu hệ

Lời giải

(167)

(

)

3 2

2

x 7y x y x y 7x 8x 8y 3x y

4 8x 8y 3x y

 + = + + + + − − −

 

 = − − −



(

)

(

)

3 2

2 2 2

x y x 2x 15

x 2x x y 2xy 15x 15y

4 8x 8y 3x y 4 8x 8y 3x y



 + − − − + = − + − =

 

⇔ ⇔

= − − −

 

  = − − −

2

2 2

x y x 2x 15

4 8x 8y 3x y 8x 8y 3x y



 = + − =

 

⇔ ∨

= − − −

  = − − −

 

2 2

x y x x x x

y y

2y y 8y 119 y 8y

 =  = −  =  =  =

  

⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨

= − = −

+ = + + = + + =

    

  

( ) ( ) (

)

(

)

( )

4 2 2

x y 6y

x y 2x y y x 12y

 + = −

 

+ + + = −



Phân tích lời giải Cả hai phương trình có nhân tử chung x từ phương trình 2

của hệ rút x2 6y y

− =

+ tới vào phương trình thứ hai hệ đưa

về phương trình đa thức bậc bốn với ẩn y Nhưng trước tiên phải xét xem y= −1 có nghiệm hệ hay không?

Lời giải

Nhận thấy y= −1 khơng thỏa mãn hệ phương trình Xét y≠ −1 hệ phương trình cho tương đương với

2

2 2

6y x

y

6y y 2y 6y y 6y 1 12y 1

y y y

 −

=

 +

 

 −   −   − 

 + + + = −

     

 +   +   + 



(

)(

)

(

)

(

)

(

)

2

6y

x 6y 2 6y 2

y x x

y y

4 y 9y y

y y 1 4 9y y y 1

y

 = −

 −

 +  − =

 =

   +

⇔ − + ⇔ + ∨

 = −  =  + = +

 

 + 



(168)

3 2

36y 3y 2y

x

6y x

y

 + − − =

 = ± 

⇔ ∨ −

= =

 

 +



(

)

(

)

2

3y 12y 5y x 0

x x

1

6y y

y x y

3 y

 − + + =  =



 

 = ±   = ± 

⇔ ∨ − ⇔ ∨

=

= =

  =  

  

+ 

( )

(

)

 

= ±  

 

(

)(

)

2

x xy 2x 2y 16

x y xy 32

 + + + =

 

+ + =



Bài giải

(

)(

)

(

)(

)

x y x 16

x y xy 32

 + + =

 

+ + =



Nhận thấy x= −2 khơng thỏa mãn hệ phương trình Xét với x≠ −2 hệ tương đương với

(

)(

)

(

)

16

16 x y 16

x y x 2 x y

x x 2

16

x y xy 32 xy 32 xy 2x

x



  + = 

+ = + =

 + ⇔ + ⇔ +

  

 + + =  + =  + = +

  +

(

)

16

x y x 2 x x x

y y

x y



+ =  =  = ∨ = −

 +

⇔ ⇔ ∨

= =

 

 − =



( ) ( ) ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2

x x y 4y 20

x 2y

 − + − + =

 

 + + =



(169)

2

2 2

2x 1 4y 6xy 6y 20

x 2x 6xy 6y 4y 20

x 4y 4y

 − + + − + = − + + − + − =

 ⇔

 

+ = −



+ + + =

 



(

)

2

3x y x

x 4y 4y

 − = +

 ⇔ 

+ = −



Nhận thấy x

= khơng thỏa mãn hệ phương trình Khi với x

3

≠ hệ tương đương với:

(

)

2

x

x y

y 3x 5

3x

2x 18

x 2y x

3x

 +

 +  =

= −

 − 

⇔ ⇔

 + 

 + + =  + + =

 

   − 

4

x y

3x

9x 30x 32x 190x 119

 = +



⇔ −

 − + + + =



(

)

(

)

x

y x 1

3x

y

x 9x 48x 119

 +

=

  = −

 −

⇔ ⇔

= − 

 + − + =



( ) (

)

Bài 16. Giải hệ phương trình x32 2xy2 52

2x xy y 4x y

 + =

 

+ + = +



Lời giải

Nhận thấy x 0= khơng thỏa mãn hệ phương trình, với x 0≠ rút y2 x3

2x

− =

từ phương trình thứ thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

3

2 x 2

2x xy 4x y 3x 8x 2x y 2xy

2x

−

+ + = + ⇔ − + + − =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(170)

Với x 1= hệ trở thành

2

1 2y y 2

2 y y y

 + =

 ⇔ = ±



+ + = +



Với 3x2−5x 2xy− + thay vào phương trình thứ hai ta

(

)

2 2

2x 3x 5x y 4x y

2

− − − + = +

(

)

2 2

x 5x 2y 8x 2y x 3x 2y y (1)

⇔ + + + = + ⇔ − + = −

Vế trái

2

2 11 11

x 3x x

2 4

 

− + = −  + ≥

 

Vế phải 2y y

(

) (

)

2

− ≤ + − =

Từ suy phương trình (1) vơ nghiệm

( )

( ) (

)

Baøi 17. Giải hệ phương trình 13y2 3x2

y 4y 5x 4xy

 − =

 

+ + = +



Lời giải

Nhận thấy y

4

= − không thỏa mãn hệ, nên với y

≠ − ruùt x y2 4y

4 5y

+ +

= +

từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ hệ ta được:

2

3 y 4y

13y

4 5y

 + + 

−   =

+

 

(

) (

)

(

)

3 2 y

y y 13y 16y

y

 = −

⇔ − + + + = ⇔ 

=



Vaäy hệ có hai nghiệm

( ) ( ) ( )

Baøi 18. Giải hệ phương trình xy x y 23 2 3 2

x 4x x 18 2y 5y y

 − + =

 

− + + = + −



Lời giải

Nhận thấy x= −1không thỏa mãn hệ phương trình Xét x≠ −1rút y x

x

+ =

+ từ phương trình đầu thay vào phương trình thứ hai

của hệ ta được:

3

3 x x x

x 4x x 18

x x x

 +   +  +

− + + =   +   −

+ + +

(171)

(

) (

)

x x 2,y

1 17 17 17

x x x x x ,y

2

1 17 17 17

x x ,y

2

 = −  = − = −

 

 =  = =

 

− − −

 

⇔ − − − = ⇔ = ⇒ = =

 

+ + +

 =  = =

 

 

( )

(

) (

)

2 4

 − −   + + 

= − −     

   

Nhận xét: Xem thêm số toán dạng đề cập chủ đề Kỹ thuật hệ số bất định

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Giải hệ phương trình

(

)

2

xy x 3y

x y x 2y

 + − =

 

− =



Lời giải

Nhận thấy x 3= khơng thỏa mãn hệ phương trình Xét x 3≠ từ phương trình đầu suy y x

3 x

− =

− thay vào phương trình thứ hai

của hệ ta được:

2

2 x x

x x x 5x 5x 5x 4x

3 x x

 − − =  −  ⇔ − + + − + =

 −   − 

   

(

)

(

)

⇔ + − + − + =

(

)

(

)

2

 

⇔ +  − + + = ⇔ = − ⇒ = −

 

( )

 

= − − 

 

(

)

(

)

x y 9y

x y 2y

 − − =

 

− + = −



Lời giải

(172)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2

4 2y

x y y 8y x

y

x y 2y x y 2y 1

 +

 − − − = +  − =

 ⇔ −

 

− + = −

 

  − + = −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

4 2y x

4 2y y 3

x

y

4 2y

x y 2y y 2y

y

 +

 +  − =

−

 − = 

 − 

⇔ ⇔

 + 

  

− + = − + + =

 

  − 

 



(

)

(

)

(

) ( )

4 2y x

y

2y 16y 2y y

 +

 − =

 −

⇔ 

 +  + + − =

 

  



(

)

(

)( )

4 2y x 2,y 1

x

y 1

x 1,y

2y y

 +  = = −

 − = 

⇔ − ⇔ =

= −

 + + = 



( ) (

)

 

= −  − 

 

(

)

(

)

2

2 x y 19

2 y x

 + = +

 

 + = +



Lời giải

Rút x y 2=

(

)

(

)

2

2 4 3 2

2 y 2 + − +1 2 = +y 19⇔8y +64y +200y +287y 143 0+ =

 

(

)

(

)

⇔ + + + + =

3

y 3 12081 277

,k

7 10 k 2

y

3 3k

 = −

− 

⇔ =

 = − − +



2

x 1, y

1 10 k 10 k

x 1,y

3 3k 3k

 = = −



⇒   

= − − +  − = − − +



 



(173)

Bài Giải hệ phương trình 4x y2 2xy2 4xy 3y3 7y2

3xy 3y y

 + + − + =

 

− − + =



Lời giải

Viết lại hệ dạng:

(

)

2

xy 4xy y 7y 3y

3y y

xy

3

 + + = + −



 + −

 =



2

3y y 4.3y y y 4 7y 3y 1

3

 

+ − + −

⇒  + + = + −

 

(

)(

)

(

)

y 1 y

6

y 6y 6y 8y 4 10

y

6

4 10

y

6

 =   =  

⇔ − − + + = ⇔ +

 = −  

− +  = 

x 1,y

3

x ,y

2

5 10

x ,y

2

5 10

x ,y

2

 = =



 = − =

 

⇒ = − +

= − 



− +

 = + =



( ) ( )

2 6

   

  + − +

= −   − −    + 

     

x y

2x 4y

y x 1

4x

x y



+ + + =

 

 + + =



Lời giải

(174)

Ruùt y 6x 4x2 x

− −

= từ phương trình thứ hai thay vào phương trình đầu hệ ta được:

2

6x 4x x 6x 4x

2x

x 6x 4x 1 x

2

− − − −

+ + + =

− −

(

)

(

)

⇔ − − + − =

2

3

x

x 1,y

3 3261 155 6k 4k 1

5 11 2 x k,y

x k

6 3 3261 155

 =

 = =



 −

⇔ ⇒ − −

= =



 = − + 

 −



với

3

3 3261 155

5 11 2

k

6 3 3261 155

−

= − +

−

( ) ( )

 − − 

=  

 

với

3

3 3261 155

5 11 2

k

6 3 3261 155

−

= − +

−

Bài 6. Giải hệ phương trình xy 3x 2y 62 2

x y 2x 4y

 − − =

 

+ − − =



Lời giải

Nhận thấy x 2= không thỏa mãn hệ phương trình Xét x 2≠ rút y 3x

x

+ =

− từ phương trình đầu thay vào phương trình thứ hai ta được:

2

2 3x 3x

x 2x x 6x x 60x 52

x x

 +  +

+  − − = ⇔ − + + + =

− −

 

(

)(

)

(

)

x x 2,y

 = −  = − = −

⇔ + + − + = ⇔ ⇒

= − = − =

 

( ) (

) (

)

(

)(

)

2

x x 2x y

x 4x y

 + + =

 

+ + =

(175)

Lời giải

Cách 1: Rút y= −x2−4x 6+ từ phương trình thứ hai hệ vào phương trình đầu ta được:

x x 2x x

(

)

(

)

(

) (

)

x x

x x 1,y

 = −  = − =

⇔ − + = ⇔ ⇒

= = =

 

( ) ( ) (

)

(

)

(

)

2

x 2x 2x y

 + + =

 

 + + + =



Đặt u x= 2+2x,v 2x y= + hệ phương trình trở thành:

2

u v u x 2x x 1,y

uv v 2x y x 3,y



 + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = =

 =  =   = − =

+ = 

   

(

)

2

x xy x

2y x 13x 26

 + = +

 

+ + =



Lời giải

Nhận thấy x 0= không thỏa mãn hệ phương trình Xét x 0≠ rút y x x2

x

+ −

= từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai hệ ta được:

2

x x

x 13x 26 2x 9x x 18x

x

   

+ −

   + + = ⇔ + − − + =

   

   

 

(

)(

)

x 1,y x

1

1 x ,y

x 2 2

x 2x x x x 2,y 2

x

9

x x 4,y

2

 = =

 = 

  = =

 = 

⇔ − − + + = ⇔ ⇒ = − =

 = − 

 

 = − = − =

 

( ) ( )

(

)

2 2

   

=   − − 

   

(176)

3 2

xy x (1)

2x x y x y 2xy y (2)

 + − =

 

− + + − − =



Lời giải

Deã thấy x không thỏa mãn hệ phương trình =

Khi rút y=2 x−

x từ (1) vào (2) ta được:

 

− − − −

− + +  − − =

 

2

3 2 x 2 x x x

2x x x 2x

x x x x

⇔ 2x5+2x4−2x2−6x 0+ = ⇔2 x x

(

)

(

)

⇔

(

)

(

) (

)

(

)

(

)(

)

 

2

2 2

x x x x x x x x x x

 =

 = 

⇔ ⇔ − ±

+ − = =

 

x x

1

x x x

2

Suy

( ) ( )

 

1

x;y 1;1 ; ;

2

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm laø

( ) ( )

 

1

x;y 1;1 ; ;

2

3 2

x 5x y (1)

3x x y 2xy 6x 18 (2)

 + + =

 

+ + + =



Lời giải

Rút y x= − 2−5x từ (1) thay vào (2) ta được: x4+4x3−5x2−18x 18 0+ =

(

)(

)

(

)

⇔ − + + − = ⇔ =

 = − ± 

2

x

x x x x x

x

Suy ra:

( ) (

) ( )

(

) (

)

(177)

Bài 11. Giải hệ phương trình  + − =

= + 

2

x y xy

2x x y

Lời giải

Rút y 2x= 3−xtừ phương trình thứ hai hệ thay vào phương trình đầu ta được:

x2+

(

) (

)

( )(

)

x x 1,y

 = −  = − = −

⇔ − − + = ⇔ = ⇔ ⇒

= = =

 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( ) (

) ( )

Bài 12. Giải hệ phương trình 

(

)(

)

 + + =



2

x y x y 3x 4x

xy y x

Lời giải

Ruùt y=x2−1

x từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu hệ ta được:

 −  − 

+ + = − +

  

  

2

2 x x

x x 3x 4x

x x

(

) (

)

⇔ − + = ⇔ ⇒

= − = − = −

 

2 x x 1,y

x x x 3

x x 2,y

2

( ) ( )

 

3

x;y 1;0 ; 2;

2

Baøi 13. Giải hệ phương trình  − = −

− =



4 2 2

9y xy 12 4x

4x y x

Lời giải

(

)

(

)

(

)



 − = −  − − − = −

 ⇔

 

= −

  = −

 

2

4 2

2 2

9y xy 12 4x 4x x 4x 12 4x x

3 3

y y 4

x x

(178)

(

)

(

)



 + − + =  − + − =

 

⇔ ⇔

= −

  = −

 

3

4

2 2

x 132x 135x 81

132x 3x 216x 81

3 3

y y 4

x x

3

2

x y

132x 135x 81

3

y

x

 = 

±   

⇔  + − =

 

= − 

 

Do y2 32 x

2 x

≥ ⇒ − ≥ ⇔ ≥

Khi phương trình 132x3+135x2−81 0= vơ nghiệm với x

2

≥

( ) ( ) ( )

(

)

2

2 2

x x y y

2x y 3y 12

 + = +

 

+ + =



Lời giải

Hệ phương trình tương đương với

( )

(

)

2

2 2

y x x (1)

2x y 3y 12 (2)

 − = −

 

 + + =



 Nếu x thay vào (2) ta được: =

(

)

= − 

2 2 2 y

2 y 3y 12 4y 4y

y Suy

( ) ( ) ( )

 Nếu x= −1 thay vào (2) ta được:

(

)

= 

2 2 2 y

2 y 3y 12 4y 4y

y Suy

( ) (

) (

)

 Nếu x≠ ±1 rút = − −

2

2 x y

(179)

 −   − 

+ + =

   

− −

   

2

2 x x

2x 12

x x

6

x 3x x 9x 6x

⇔ − − + − + =

(

)

x 3x

⇔ − + = ⇔x3−3x + =

Ta xét nghiệm x∈ − 2;2, đặt x 2cost, t=

(

)

3 2

8cos t 6cost cos3t t k ,k

2

π π

− + = ⇔ = ⇔ = ± + ∈

Do t 0; t 8; ;

9 9

 π π π

 

∈ π ⇒ ∈  

 ⇒

2

x 2cos ,x 2cos ,x 2cos

9 9

π π π

= = =

Do phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm nên làø ba nghiệm phương trình Vậy hệ phương trình có bảy nghiệm là:

( ) ( ) ( ) (

) (

)

(

)

cos t

 − 

 

= − − − −

 − 

 

với t 8; ; 9

 π π π

∈ 

 

Bài 15. Giải hệ phương trình 2

2

x 4x y 6y (1)

x y x 2y 22 (2)

 − + − + =

 

+ + − =



Lời giải

Ruùt = −

+ 2

22 x y

x từ (2) thay vào (1) ta được:

(

) (

)

(

)

−

 − 

− + −  = ⇔ − + =

+

  +

2

4 2

2 2

16 x

22 x

x 4x x x

x x 2

(

)(

)

⇔ − − + + = ⇔ 

= ± 

2 x

x x x 6x 32

x

Đáp số

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 − + − + =

 

 + + =



2 2

2

x x y 4y 20

x 2y

Lời giải

(180)

(

)

(

)

2

 + − + − =  − − + − =

 ⇔

 

+ = −

 + = − 



2

1 4y 2x x y 19

x 4y 2x x y 19

x 4y 4y

Ruùt = +

−

x y

3x vào phương trình thứ hai tìm nghiệm:

( ) (

)



− = −

 

 − =



6

3

1

8x xy y 3x

2

x 4x y y

Lời giải

Rút y theo x từ hai phương trình hệ so sánh với tìm nghiệm

( ) ( )

(

)

( )

 + = −

 

+ + + = −



4 2 2

x y 6y

x y 2x y y x 12y

Lời giải

( )

(

)

( )



+ + + = −

 

 + + = −



2

2 2

2

x y y x 13y

y x 7y

Đặt u x= 2+1,v y, u hệ phương trình trở thành:=

(

)

(

)

 + = −

 

+ = −



2 2

u v uv 13v

u v 7v

Ruùt u 7v

v

− =

+ từ phương trình thứ hai hệ thay vào phương trình đầu

hệ ta được:

2

2 v x 0,y

7v v 7v 1.v 13v 1 3

1

v v v x 2,y 1

3



 = = =

 −  + − = − ⇔ ⇒

 +  +  = 

    = ± =

 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

( )

(

)

 

1

x;y 0; ; 2;1

3

Bài 19. Giải hệ phương trình  − + = − −

− =



2

y 4x 5y 12x

(181)

Lời giải

Điều kiện: 1≤ ≤x

4

Rút =

−

2

y

2 2x từ phương trình thứ hai hệ thay vào phương trình đầu, ta được: 4x 1− + 4x− +

(

)(

)

Đặt t= 4x 1− + 4x− ⇒t2= +5 4x 4x , t

(

)(

) (

)

Phương trình trở thành: + − − = ⇔ + − = ⇔  =

= − 

2 t

t

t t 2t 15

2 t

Suy t 3= ⇔ 4x 1− + 4x 3− = ⇔ +5 4x 4x 1

(

)(

)

 

=  = = ±



⇔ ⇒



 =  = = ±

 

1 1 3

x 2 x ,y

2

5 5

y x ,y 3

4 4

( )

   

 

1

x;y ; ; ;

2

Bài 20. Giải hệ phương trình  − =

+ − =



2

1 y 4xy

4x y 4xy

Lời giải

Nhận thấy y không thỏa mãn hệ phương trình =

Xét y rút ≠ x=1 y−

4y từ phương trình đầu thay vào phương trình thứ hai

hệ ta được:  −  + −  −  =

   

2

4

1 y y

4 y y

4y 4y ⇔

( )(

)

y

57 y

4

  = −  

⇔ =



 −

= ±  

 

 = = −



⇒ = =



− −

 = ± = ±



− 

x 0,y

21 57 57

x ,y

4

16 57

(182)

( ) (

) ( )

 − 

 

21 57 57

x;y 0; ; 0;1 ; ;

4

16 57

Baøi 21 Giải hệ phương trình  + + + =

+ − − = −



3 3

x y x xy x

4x y 4x 8xy 17x

Lời giải

Xét x hệ phương trình tương đương với:≠

(

)

(

)

 + + =

 

 + − − = −



3

x x y 1

4x y 4x 8xy 17x



= −



+ 

⇔ 

   

 − + − − − = −

   

  +   + 



2

3

1

y

x x

1

4x 4x 8x 17x

x x x x

(

)

( )(

)

 

= − = −

 

 +  +

⇔ ⇔

 + − − =  − + + =

 

 

3

6 2

1

y y

x x x x

x 8x 7x 10x x x 8x 15x



 =  = − = −



⇔ ⇔ 

= − 

 = = −

+

 

2

3

x x 1,y

2

1 1

y x 1,y

x x 2

( )

   

3

x;y 1; ; 1;

2

(

)

  

= −  + + 

  



 = + + 

3

3 x 1 x 2 1

y

y x x

Lời giải

Điều kiện: y 0,x≠ ≥ −32

Thế y x= 2+ +x 1từ phương trình hai vào phương trình đầu hệ ta được:

( )

= −  + + 

 

3

(183)

Đặt u= x3+2 phương trình trở thành: 3=

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ u u− 2+3u 3+ = ⇔ =0 u

⇔ x3+ = ⇔ =2 x 32⇒ =y 34+32 +

( )

(

)

Bài 23.

+ + =

 3

x xy

y 3xy

Lời giải

Xét x từ phương trình đầu hệ ta có ≠ y=2 x−

x

Thay y x3

x

−

= vào phương trình thứ hai hệ ta được:

( )

3

3 3

3

2 x 3x.2 x 3 0 x 1 7

x x

 −  −

+ + = ⇔ − =

 

 

3

1

x x y

1

−

⇔ − = ⇔ = + ⇒ =

+

( )

3

1

x;y 7;

1

 − 

 

= +

 + 

 

Nhận xét: Dạng hệ nhắc tới chủ đề Cộng trừ nhân theo theo vế hai phương trình hệ em theo dõi

Bài 24. Giải hệ phương trình  + = +

+ = +



2

2x y 3xy 4x 9y

7y 2x 9x

Lời giải

Nhận thấy 2x2+3x không thỏa mãn hệ phương trình − =

Ruùt =

+ −

2

4x y

(184)

2

4x

7 2x 9x

2x +3x 9− + = + ⇔

(

)(

)

(

)

2

x 2x 2x 9x 27



 = − = −

  = −

 

⇔ = ⇒ = = −

 

− ±  − ±

 =  = =

 

16

x 2,y

x 7

1 1

x x ,y

2

9 33 33

x x ,y

4

( )

     

16 1 33

x;y 2; ; ; ; ;

7

Bài 25. Giải hệ phương trình  − + =

− + = −



4 2

x y 4xy y

2x 2x y

Lời giải

 − + =

 

= − + −



4 2

x y 4xy y

y 2x 2x

(

) (

)



− + − − − + − + − + − =

 ⇔ 

 = − + −



2

4 2

2

x 2x 2x 4x 2x 2x 2x 2x 1

y 2x 2x

(

)

 − + − + =

 ⇔ 

 = − + −



4

2

x 4x 8x 8x 4x

y 2x 2x

(

)

(

)

  

− + − + =  =

  

⇔   ⇔ = −

  = − + −



2 2

2

x x x 2x x 0

y

y 2x 2x

( ) (

)

(

)(

)

 + = 

+ +

 − − =

 + +



x y

2x 3y 25 x 13 y

(185)

Lời giải

Điều kiện:

(

)(

)

Rút y x từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai hệ ta được: = −

(

)(

)

(

) (

)(

)

+

x 28

4 x 12 x x x x 12 28 x

x

(

)(

)

(

) (

)(

) (

)

(

)(

)

(

)(

)



 + − ≥ + − ≥

 

⇔ ⇔

+ − + − =

+ − + = −

 

 

2 2

x 28 x

x 6x 22 x 8x 16

x x x 12 28 x

 = −  = − = −

⇔ ⇒

 = −  = − = −

 

x 31 x 31 3,y 31

x 4 x 4,y

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:

( )

(

) (

)

Bài 27.

(

)

 − =



3

4

2x y x 4x

5x 4x y

Lời giải

Nhận thấy x= −1không thỏa mãn hệ phương trình

Rút = −

+

2

4x 2x

y

x từ phương trình đầu thay vào phương trình thứ hai hệ,

ta được: − =  − 

+

 

2 4x 2x

5x 4x

x

(

)(

)

(

)

 

 =  = =

 

⇔ − − + + = ⇔ = ⇒ = =

 

= = =

 

 

4

x x 0,y

x x 2x 2x 7x 11 x x 1,y

1 1

x x ,y

2 2

( ) ( ) ( )

 

1

x;y 0;0 ; 1;1 ; ;

2

Bài 28. Giải hệ phương trình  − + + =

− + + =



4 2

x 2xy x y

x 4x y 3x y

Lời giải

Nhận thấy x=1

(186)

Xét x≠1

2từ phương trình đầu hệ suy

+ =

−

2

x x

y

2x

Thay = +

−

2

x x

y

2x vào phương trình thứ hai hệ ta được:

 

+ +

− + +  =

−  − 

2

4 x x x x

x 4x 3x

2x 2x

(

)(

)

(

)

⇔ − − + = ⇔ = ⇒ = =

 =  = =

 

2

x x 0,y

x x x 2x x x 1,y

x x 2,y

( ) ( ) ( ) ( )

Bài 29. Giải hệ phương trình  + − − + + =

+ =



4 2

3

x 2x y 2x y 12xy 8y

2x y y

Lời giải

Cộng theo vế hai phương trình hệ ta được:

+ − − + =

4 2

x 4x y 2x y 12xy 9y

(

)

⇔ x2+2xy 3y− 2= ⇔0 x2+2xy 3y− =0

Ta giải hệ phương trình:



 =  = − = −

 + − = 

 ⇔ = − ⇔

  

+ =

 

 + =  = =

 

2 4 4

3

4

1

y x x ,y

x 2xy 3y x 3y 3

1

2x y y x ,y

2x y y 3 3

Vậy hệ phương trình có hai nghieäm:

( )

4   4 

1 1

x;y ; ; ;

3 3

(

)

 + = +

 

 + + − − + = +



2

2 2

xy y x

y 4x x x 2x 2x

Lời giải Cách 1: Hệ phương trình cho tương đương với:

(

)

  + − =

 

  



 + + − − + = +



2

2 2

y x x

y 4x x x 2x 2x

(187)

(

)

 = + +

 ⇔ 

 + + − − + = +



2

2 2

y x x

y 4x x x 2x 2x

(

)

 = + +



⇔  + +  + + − − + = +

 

 



2

2 2

y x x

x x 4x x x 2x 2x

(

)

 = + +

 ⇔ 

 − + + + − − + =



2

y x x

4x 2x x x x 2x (1)

Xét phương trình (1):

4x 2x x− + + +3 x x

(

)

(

) (

)

⇔ +x x x2+ = − + −3 x x x 1− 2+3 (2) Xét hàm số f(t) t t t= + 2+3 , ta có:

= + + + > ∀ ∈

+ 

2

t

f '(t) t 0, t

t nên f(t) hàm đồng biến  Vì (2)⇔f(x) f(1 x)= − ⇔ = − ⇔ = ⇒ =x x x y 1+ 13

2

( )

 

1 13

x;y ;

2

(

)

(

)

 = + +  = + +

 

 ⇔

      

 = − + + −   + +  = − + + − 

 

     

 

2

2 2

2

y x x y x x

y x x x x x x

Nhận xét: x+ x2+ >3 0, x

(

)

(

)

(

)

 

 + +  = − + + − ⇔ + + = − + + −

   

   

2

2 2 2

2

x x x x x x x x

+

⇔ = − ⇔ = ⇒ =x x x y 13

2

(

)

 + =

 

+ − − − + =



4

x 3y

(188)

Lời giải

Ruùt y=9 x−

3 từ phương trình đầu thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

(

)

 −   −  −

+ − − − + =

   

   

4

2 2

9 x 4 2x 3 x 48.9 x 48x 155 0

3 3

(

)

4

x 18x 36x 18 x 18 x

⇔ − + − = ⇔ = −

(

)

(

)

2

3

x

x x 2 2

x x 3 9 2

x

2

 +

 = − ±

 = − 



⇔ ⇔ 

 = − −  −

 = ±

 

Chủ đề 6.

KỸ THUẬT PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ

Hệ có dạng  =

= 

F(x,y) G(x,y)

Trong có phương trình hệ đưa phương trình tích Chẳng hạnF(x,y) f(x,y).g(x,y) đa thức phân tích thành nhân tử =

Thông thường F(x,y) phương trình bậc hai hai ẩn phương trình đẳng cấp tìm liên hệ biến phương trình

Một số tích hay gặp:

( )(

)

(

)(

)

+ = + ⇔ − − =

a b ab a b

au bv ab uv a v b u

Khi hệ phương trình tương đương với:

 =  =  =

⇔ ∨

  

= = =

  

f(x,y).g(x,y) f(x,y) g(x,y)

G(x,y) G(x,y) G(x,y)

Phương pháp phân tích thành nhân tử phương trình bậc hai hai ẩn Phương trình bậc hai hai ẩn có dạng:

= 2+ + 2+ + + =

F(x,y) ax bxy cy dx ey f

Viết lại phương trình dạng: ax2+

(

)

Coi phương trình bậc hai ẩn x tham số y ta được:

(

)

(

)

(

)

(189)

Suy

(

)

(

)

 − + + +

 = 

 − + − −

 = 

by d my p

x

2a

by d my p

x

2a

Do =  −−

(

)

(

)

  

  

by d my p by d my p

F(x,y) a x x

2a 2a

(

)

(

)

  − + + +  − + − − 

  −  − =

   

   



= 

by d my p by d my p

a x x

2a 2a

G(x,y)

Đối với phương trình đẳng cấp bậc cao em xem thêm hệ đẳng cấp sách

Chú ý: Dấu hiệu nhận biết đưa tích phương trình hệ

- Hệ có phương hai phương trình bậc hai(nhưng nhớ là bậc bốn bậc sáu phép đặt x t ,x t đưa phương trình bậc hai = =

về phương trình bậc cao hơn) - Hệ có phương trình đẳng cấp

- Hệ có phương trình có dạng tích uv Av Bu AB − − + =

- Hệ có phương trình đẳng thức dạng

- Hệ có phương trình chứa căn( thường đưa nhân tử chung

phép đặt ẩn phụ; phép nhân liên hợp đánh giá hàm số)

Nhận xét. Ngoài thành thạo sử dụng máy tính cầm tay ta phân tích phương trình thành nhân tử đơn giản:

Một ví dụ phân tích thành nhân tử máy tính Bỏ túi:

(

)

− + − − =

3 2

x 3x y y (1)

Ta cần tìm mối liên hệ x y thơng thường chúng có dạng tuyến

tính

+ Bước 1: Nhập vào máy số 1000 lưu vào biến nhớ A(SHIFT + STO + A) + Bước 2: Nhập vào máy tính phương trình (1) với ý đâu có y ta thay

bằng biến nhớ A vừa lưu

(190)

Vậy ta viết lại phương trình dạng:

Như sử dụng thành thục máy tính Bỏ túi tốn sử dụng tính đơn điệu hàm số việc tìm hàm đặc trưng đơn giản

B BAØI TẬP MẪU

Bài (TSĐH Khối A 2011) Giải hệ phương trình:

Lời giải

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

 − + − + =  − + − + =

 ⇔

 

+ + − + − = − + − =

 

 

2 2

2 2 2

5x y 4xy 3y x y 5x y 4xy 3y x y

xy x y x y 2xy xy x y

(

)

(

)

(

)

 =



 − + − + =  − + − + =

 

 

⇔ = ⇔ 

 + =



 

+ =

 



 − + − + =

 

2 2 2 3

2 2

2

xy

5x y 4xy 3y x y 5x y 4xy 3y 2 x y 0

xy

x y

5x y 4xy 3y x y

(

)

(

)

(

)

 =



 − + − + =



⇔  + =



 + + − − + =

 

2 2

2

2 2

xy

5x y 4xy.y 3y xy y

x y

(191)

(

)

 =



− + =



⇔ 

+ =

  

+ − − + =

  

4 2

2

xy

3y 6y

x y

6y 2x y 4xy x y

(

)(

)

 = 

 =

  = − 

⇔  = −

 

 + =



 − − =



2

x y

x

y

x y

1 xy 2y x

 =  

  =  = −

=  

 

⇔ ∨ ∨

 = −  

 = = −

 

 = −  



x 2 10 2 10

x x

y 5 5

x 10 10

y y

y 5

( ) (

) ( )

   

2 10 10 10 10

x;y 1; ; 1;1 ; ; ; ;

5 5

Bài 2. Giải hệ phương trình  = + −

− − + − + =



2 2

y (5x 4)(4 x)

y 5x 4xy 16x 8y 16

Lời giải

Viết lại phương trình thứ hai hệ dạng:

− + − + + =

2

y (4x 8)y 5x 16x 16

Coi phương trình bậc hai với ẩn y ta

(

)

∆ =y (4x 8)+ 2− −4 5x2+16x 16+ =36x

Suy

 + +

= = +

 

+ −

 = = −



4x 6x

y 5x

2 4x 6x

y x

2

TH1: Với y 5x , thay vào phương trình đầu hệ ta = +  = ⇒ =



+ = ⇔  = − ⇒ =



x y

x(5x 4) 4

x y

5

(192)

 = ⇒ =

− = ⇔ 

= ⇒ = 

x y

x(4 x)

x y

( ) ( ) ( )

 

4

x;y 0;4 , 4;0 , ;0

5

Nhận xét: Đây dạng hệ phương trình bậc hai hai ẩn bàn tới ta hoàn toàn xử lý phương pháp trình bày chủ đề trước

Bài 3. Giải hệ phương trình  − = −

+ + − =



3 2

x 4y 6x y 9xy

x y x y

Lời giải

Điều kiện:  + ≥

− ≥ 

x y

Nhận xét: Hệ có phương trình đầu phương trình đẳng cấp nên ta xử lý phương trình trước tiên

x3−4y3=6x y 9xy2 − 2⇔

(

)

(

)

(

)(

)

⇔ − − = ⇔ 

=  x 4y

x 4y x y

x y

TH1: Nếu x y thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: = = ⇔ = ⇒ =

2x x y

TH2: Nếu x 4y thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: =

+ = ⇔ = − ⇒ = −

3y 5y y 15 x 32 15

( ) ( )

(

)

Bài (TSĐH Khối D 2008)

− − = −



2

xy x y x 2y

x 2y y x 2(x y)

Lời giải

(193)

(

) (

)

(

)(

)

= +



2 2 x y

x y x y 3y 3xy x y x 2y

x 2y

Do x 1,y neân ≥ ≥ x= −y vô lý

Vậy x 2y 1thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: = +

(

)

(

)

(

)

Suy

( ) ( )

Bài (TSĐH Khối B 2013) Giải hệ phương trình

Lời giải

Điều kiện:

Thực tương tự toán ta viết lại phương trình đầu hệ

dạng:

+ TH1: Nếu thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

+ TH2: Nếu thay vào phương trình thứ hai hệ ta được:

(194)

Nhận xét: Như mấu chốt tốn đưa giải phương trình vơ tỷ phép nhân liên hợp Các năm gần Bộ giáo dục vào đào tạo hay đưa toán giải hệ phương trình tốn giải phương trình vơ tỷ cách nhân liên hợp Để chi tiết thêm phương pháp bạn đọc tham khảo Cuốn “ Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh Phương trình, bất phương trình vơ tỷ” tác giả

(

)

 − 

  + + =

 

 

+ + = +

 

3

2

1 x xy y

2 x

1

xy 2y

x x

Lời giải

Điều kiện: x ≠

Phương trình thứ hai hệ tương đương với:

(

)

 

2

1 xy 1

xy 2 xy xy y

x x x x

x x

Thay y= 12 −2

x

x vào phương trình thứ hệ ta được:

 −     

+ − + = −

     

     

 

3 3

2

2 2

1 x x

x x x

(

)

(

)

⇔x x 3x− 4+4x3+2x2−12x 6+ = ←0 x 0→ = ⇒ = −x y Do 3x4+4x3+2x2−12x 0, x + > ∀

( )

 

3

x;y 2;

4

Bài 7. Giải hệ phương trình  + +

(

)

 + − =



2

3 3

x 2x xy 2x y

x y 3xy 7y

Lời giải

+ + − + − = ⇔

(

)

(

)

2

2 2

x 2x x y 2xy 2x y xy x xy x

(

)

⇔ xy x 1− − = ⇔0 xy x 0− − = ⇒ =y x

(195)

Thay y=x 1+

x vào phương trình thứ hai hệ ta được:

( )

( ) ( )

 +   + 

+ +   −   = ⇔ + + + − + =

   

2

3 x x 3 2 3

x 3x x x 3x x x x

x x

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ x x 1+ + 3=8 x 1+ 3⇔x2+ + =x x +

 −  − −

= = =

 

⇔ − − = ⇔ ⇒

 +  + +

= = =

 

 

2

1 5

x x ,y

2 2

x x

1 5

x x ,y

2 2

( )

2 2

 − −   + + 

=     

   

2

8xy

x y 16

x y

x 2x x x y

8y 3y



+ + =

 +

 

 + = + −

 

Lời giải

Điều kiện: x y 0,y 0,x3 x2

3y

+ ≠ ≠ + ≥

2 2 2

x 2x y x x x 4x 3y x x 3y 2 x 4x 6y.

8y 3y 8y 3y 8y

 

+ +

+ + = + ⇔ + =  + =

 

2

2 2

x 4x 3y 4x 4x 6y. x 4x 3y 0

8y 8y 8y

 +  +  + 

⇒ +  = ⇔ −  =

   

(

)

2

2 x 6y

x 4x 3y 3x 2y 4x 3y

8y 3x 2y

 = +

⇔ = ⇔ = + ⇔ 

= −



TH1: Nếu x 6y= thay vào phương trình đầu hệ ta được:

2 2

28 168 28

y x ,y

48y 37 37 37

36y y 16

7y y x 24,y

7 7

 

= − = − = −

 

+ + = ⇔ ⇒

 =  = =

 

 

(196)

TH2: Nếu 3x= −2ythay vào phương trình đầu hệ suy ra:

( ) (

)

 

= −  − 

 

Đối chiếu lại điều kiện nhận hai nghiệm

( ) (

)

 

= −  

 

( ) (

)

 

= −  

 

(

)

(

)

 − + − = − +

 

− + − = −



x 2y x y

8 y x 8y y x

Lời giải

− + − = − + ⇔

(

)

(

)

2

8 xy 2y 8y x 2xy y xy 2y xy x y

(

)

(

)

⇔ xy 2y 2− + 2= x y+ 2⇔2 xy 2y x y− + = +

(do xy 2y 0,x y ) − + > + >

Vì hệ phương trình trở thành:

(

)



 − + = + − − − + =

 ⇔

 

− + − = − +

  − + − = − +

 

x 2 y x y

2 xy 2y x y

x 2y x y x 5 2y x y 1

(

)

 

− =

− − =

 

⇔ ⇔

− + − = − +

 − + − = − + 



2

x y

x 2y x y

 = −  = −  =

 

⇔ ⇔ ⇔

=

− + − = − +  − + − =

  



y x y x x

y

x 2y x y x 2x

( ) ( )

(

)

(

)

2

3y x y 4y x 2y

y y x 3x

 + + + = + +

 

− = −



Lời giải

(197)

Phương trình thứ hệ viết lại dạng: 4y2−4y x2+2y x+ + 2+2y x+ = 2−2xy y+

(

)

2 2

2

2y x 2y x y

2y x 2y y x

 − + + = −

  

⇔ − + +  = − ⇔



  − + + = −



TH1: Nếu 2y− x2+2y x y+ = − kết hợp với phương trình thứ hai ta có hệ

phương trình:

(

)

2

3y x

3y x x 2y 9y 6xy 2y 0

y y x 3x

y xy 3x

 − ≥

 − = + + 

 ⇔ − − − =

 

− = −

 

  − + − =

2

3y x

9y 6xy 2y

3y 2y 18x 17

 − ≥ 

⇔ − − − =

 − − + =



2

x

3y x y 1

3y 2y 17 62 178

9y y 2y x

3 9

3y 2y 17 13 178

x y

18 3

 =

 

 − ≥  =

 

− +

  +

⇔ − − − = ⇔  =



 



 − +  +

 =

 =



 

TH2: Nếu 2y− x2+2y y x+ = − kết hợp với phương trình thứ hai ta có hệ

phương trình:

(

)

2

x y x 1,y 1

x y x 2y y 2xy 2y 0

2 10

x ,y

y y x 3x

y xy 3x 3

 + ≥  = =

 + = + + 

 ⇔ + − − = ⇔

   = +

=

− = −

  

  − + − = 

( ) ( )

9 3

 + +   + 

=     

   

(

)

(

)

(

)

(

)

 + + − + + =

 ∈



+ − − = +

 2 

x y x y 2y , x,y

x x y y

Phân tích tìm lời giải: Ta phân tích phương trình đầu hệ suy nghĩ tự

nhiên đặt

(

)

 +

= 

 = −

 ≥ ⇒

 

= + −

 

 =



2

a b

x

a x y, a 0

b x y y b a

(198)

Khi phương trình thứ hệ trở thành:

(

)

(

)

Ta coù (1) phương trình bậc a có ∆ =a

(

)

(

) (

)

(

)

2

+ + +

=b b 3= +

a b

2

Do viết lại phương trình thứ dạng:

( )(

)

(

)(

)

Lời giải

(

)(

)

(

)

(

)

 + + − − − + =

 

+ − − = +



 2

x y x y x y

x x y y

(

)

(

)

 + + = −

 ⇔ 

+ − − = +

 2

x y x y

x x y y

(

)

(

)

(

)

(

)

 − = − − −

 ⇔ 

+ − − = +

 

2

x y x y x y

x x y y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)



= − − + −

 ⇔ 

 + − − = + − − + −



3 2

3

2

y x x y x y

x x y x x y x y

(

)

(

)

(

) (

)



= − − + −

 ⇔ 

 − − + − − =



3 2

3

y x x y x y

x x y x y

(

)

(

)

(

)



= − − + −

 

⇔   − + − + 

 − −  + =

 

  − + 



3 2

2

y x x y x y

x y x y

x y x

x y

 − =  =

⇔ ⇔

+ = = −

 

x y x

x y y

( ) ( )

(199)

Bài (TSĐH Khối D 2012) Giải hệ phương trình:

 + − =

 

− + + − − =

 2

xy x

2x x y x y 2xy y

Lời giải

Bài toán nhắc đến chủ đề phương pháp Tinh ý ta phân tích phương trình thứ hai hệ dạng:

(

)

(

)

= +



2 y x

x y 2x y

y 2x

Xét trường hợp kết hợp với phương trình đầu hệ tìm nghiệm:

( ) ( )

   

1 5

x;y 1;1 ; ; ; ;

2

(

)

(

)

(

)

 = + +

 

 − + − + + =



2

y x x

y 4x y 5x 16x 16

Lời giải

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 = + +  = =

 

 = + +  = − = − =

 ⇔ ⇔

  

= − =



− − + − =

  = + +

  

= =



 = +



2

y x x x 0,y 4

y x x y x x 2,y

x 5,y

y 5x y x y x x

x 19,y 99 y 5x

( ) ( ) (

) (

)

(

)

(

) (

)

 − = − −

 

+ − + = − + +



2

x 3x y y

x y x 4x x x y

Lời giải

Phương trình thứ hệ tương đương với:

 = −

   

− + = − ⇔ −  = −  ⇔ = −

    

2

2 y x

x 3x y y y x

(200)

Xét trường hợp thay vào phương trình thứ hai hệ tìm nghiệm:

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

 + + + − =

 

+ + + + + + =

 

2

3

x 2y 2y

2 x 2y 3y x 6x 6x

Lời giải

Điều kiện: x2+2y + ≥

+ + + + +

(

)

2

3

2x 6x 6x 4y 3y x

( )

(

) ( )

( )

⇔ + + + + = ⇔ + +  + − + + =

 

3 3 2

2 x 3y x 4y x 2y x y x 2y

(

)

(

)

 = − −

 = − − 



⇔ ⇔  = −

 + − + + = 

 2  =

2y x

x

2 x y x 2y y 0

TH1: Nếu

( ) (

)

TH2: Nếu 2y= − −x 1thay vào phương trình đầu hệ ta được:

− + = + ⇔ = − ⇒ =

2 14

x x x x y

9

( )

 

14

x;y ;

9

(

)

(

)

(

)

(

)

 + − + + − = +

 

 + + = + + + + +



3 2

2

x 2x y 3xy xy x 2y 2y 5y

x 17y 12 x y x 3x 8y

Lời giải

Phương trình thứ hệ viết lại dạng:

(

)

(

)

(

) (

)

⇔ −  + + + + = ⇔ =

 

2 2

x 2y x 2y y y x 2y