(VD) Cho hình lập phương ABCD EFGH.. c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai véctơ chỉ phương cùng phương. d) Để xác định góc [r]
(1)(2)MỤC LỤC
DẠNG 1: GĨC GIỮA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
DẠNG 3: GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
(3)D
Ạ
NG 1: GÓC GI
Ữ
A HAI VÉC-
TƠ
A KIẾN THỨC CHUNG
1) Góc hai vectơ không gian:
Định nghĩa: Trong không gian, cho trước hai vectơ u0, v0.
Với điểm A bất kì: ABu AC,v Khi đó:
u v ,
AB AC,
BAC
00BAC180 0
2) Tích vơ hướng hai vectơ không gian:
Trong không gian, cho trước hai vectơ u v , 0.
os , u v u v c u v Qui ước: 0
u v
u v 0
* Phương pháp
Cách 1: dùng định nghĩa
Cách 2: dùng tích vơ hướng vectơ, tính os
,
u v c u v
u v
suy
u v ,
Đặc biệt, với u0, v0 u v 0
u v ,
90B BÀI TẬP
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu (TH) Cho hai vectơ a b,
thỏa mãn: a 4;b 3;a b 4 Gọi góc hai vectơ a b, Chọn khẳng định đúng?
A cos
8
B 30 C cos
3
D 60
Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB
vàDH
?
A 45 B 90 C 120 D 60
(4)A cos
BD A C ,
B cos
BD A C,
C cos
,
BD A C D
cos ,
2
BD A C
Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Góc cặp vectơ AF
EG
A 0o. B 60o. C 90o. D 30o.
Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai vectơ AD A C
A 120 B 60 C 30 D 150
Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH , góc hai vectơ AC BG,
A 45 B 30 C 60 D 120
Câu (TH) Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Khi góc vectơ CH
AC
A 135 B 150 C 120 D 30
Câu (TH) Cho tứ diện ABCD có AB ACAD BACBAD600 Hãy xác định góc cặp vectơ AB CD ?
A 60 B 45 C 120 D 90
Câu (TH) Cho tứ diện ABCD có AB ACAD BAC BAD60 ,0 CAD900 Gọi I J trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD?
A 45 B 90 C 60 D 120
Câu 10 (TH) Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N P Q, , trung điểm cạnh AC CB BC, , ' C A' Hãy xác định góc cặp vectơ ?
A 45 B 120 C 60 D 90
Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABC có BCa 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ
SB
AC
A 60 B 120 C 30 D 90
Câu 12 (TH) Cho hình chóp S ABC có BC a 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ
SB
và ACbằng
A 60 B 120 C 30 D 90
Câu 13 (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSC CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SA
BC
?
A 120 B 90 C 60 D 45
AB
'
(5)Câu 14 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASB2a, ABa Gọi
là góc hai véc tơ CD AS Tính cos?
A cos
8
B cos
4
C cos
8
D cos
4
Câu 15 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Gọi O giao điểm AC
và BD Chọn mệnh đề sai?
A
SA CD ,
120 B
SO AD,
90 C
SA BD,
90 D
SA CD,
60Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASBa 6, CD2a Gọi góc hai vectơ CD AS Tính cos
A cos
6
B cos
3
C cos
6
D cos
3
Câu 17 (TH) Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC D' ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm Ovà O' Hãy xác định góc cặp vectơ AB
vàOO'?
A 60 B 45 C 120 D 90
Câu 18 (TH) Cho hình chóp S ABCcó SASBSCvà ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SB
và AC
?
A 60 B 120 C 45 D 90
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 19 (VD) Cho hai vectơ a b,
thỏa mãn: a 4;b 3; a b 10 Xét hai vectơ ya b
2 , xa b
Gọi α góc hai vectơ x y,
Chọn khẳng định
A cos
15
B cos
15
C cos
15
D cos
15
Câu 20 (VD) Cho tứ diện ABCD có M trung điểm BC Đặt
AM BD,
Chọn mệnh đềA cos
2
B cos
2
C cos
6
D Đáp số khác
Câu 21 (VD) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG?
A 90 B 60 C 45 D 120
Câu 22 (VD) Cho tứ diện S ABC M N, trung điểm BC SA Cơ-sin góc hai vectơ SM BN bằng
A
2
B 1 C
3
D
(6)Câu 23 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B,
BCa Hai mặt phẳng
SCA
SCB
hợp với góc 60 o BSC 45o Tính cosin góc
ASB
A cos =
B cos =
5
C cos =
2
D cos =
(7)HƯỚ
NG D
Ẫ
N GI
Ả
I
D
Ạ
NG 1: GÓC GI
Ữ
A HAI VÉC-
TƠ
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 1. (TH) Cho hai vectơ a b,
thỏa mãn: a 4;b 3;a b 4 Gọi góc hai vectơ a b, Chọn khẳng định đúng?
A. cos
8
B 30 C cos
3
D 60
Lời giải
Chọn A
2
2
( )
2 a b a b a b a b Do đó:
8
c s
o a b
a b
Câu 2. (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB
vàDH
?
A 45 B. 90 C 120 D 60
Lời giải
Chọn B
,
90 //AB AE
AB DH AB DH
AE DH
Câu 3. (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D Tính cos
BD A C ,
A. cos
BD A C,
0. B cos
BD A C ,
C cos
,
2 BD A C
. D cos
,
2BD A C
Lời giải
Chọn A
||
BD AC A C BD A C cos
BD A C,
0Câu 4. (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Góc cặp vectơ AF
EG
A 0o. B. 60o. C 90o. D 30o
Lời giải
Chọn B
B
A
C
D
H G
(8)Nhận xét EG AC nên
AF EG;
AF AC;
FAC Tam giác FAC tam giác nên FAC60oCâu 5. (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai vectơ AD A C
A 120 B. 60 C 30 D 150
Lời giải
Chọn B
Ta có
AD A C,
AD AC,
D AC 60, tam giác ACDCâu 6. (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH , góc hai vectơ AC BG,
A 45 B 30 C. 60 D 120
Lời giải
Chọn C
Gọi cạnh hình lập phương a
Ta có BG BFBC
2 2AC BF AC BF BC AC BF AC BC a a a
Lại có
cos ,
AC BG a AC BG
cos , , 60
2
AC BG AC BG
Câu 7. (TH) Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Khi góc vectơ CH
AC
A 135 B. 150 C 120 D 30
Lời giải
Chọn B
B
A D
C
E F
(9)Gọi A’ là điểm cho AC CA' Khi (CH AC , )(CH CA , ')HCA'
ABC
ACH 300 HCA' 150 0
Vậy
(CH AC, )150
Câu 8. (TH) Cho tứ diện ABCD có ABAC AD BACBAD600 Hãy xác định góc cặp vectơ AB
CD ?
A 60 B 45 C 120 D. 90
Lời giải
Chọn D
Ta có
0
.cos 60 cos 60
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AB AD AB AC
, 90 AB CD
Câu 9. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB ACAD
60 , 90
BACBAD CAD Gọi I J
lần lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD?
A 45 B. 90 C 60 D 120
Lời giải
Chọn B
Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB) nên CID tam giác cân I Do IJ CD
Câu 10. (TH) Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N P Q, , trung điểm cạnh AC CB BC, , ' C A' Hãy xác định góc cặp vectơ ?
H
D B
A C
A
B D
C
AB
'
CC
(10)A 45 B 120 C 60 D. 90
Lời giải
Chọn D
Gọi I trung điểm CC
CAC
cân A CCAI (1)
CBC
cân B CCBI (2)
(1),(2)
CC AIB CC AB CC AB
Kết luận: góc CC AB
90
Câu 11. (TH) Cho hình chóp S ABC có BC a 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ
SB
AC
A 60 B. 120 C 30 D 90
Lời giải
Chọn B
Ta có cos
,
SB AC SB AC
SB AC
SA AB AC2
a
2
SA AC AB AC a
2
1
2
a a
Vậy góc hai vectơ SB AC 120
Câu 12. (TH) Cho hình chóp S ABC có BCa 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ
SB
và AC
bằng
A 60 B. 120 C 30 D 90
Lời giải
Chọn B
I
P Q M
N
A
B
C C'
A C
B
(11)Ta có cos
,
SB AC SB AC
SB AC
SA AB AC2
a
2
SA AC AB AC a
2
1
2
a a
Vậy góc hai vectơ SBvà ACbằng 120
Câu 13. (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SA BC ?
A 120 B. 90 C 60 D 45
Lời giải
Chọn B
Ta có
.cos cos
SA BC SA SC SB SA SC SA SB
SA SC ASC SA SB ASB
, 90 SA BC
Câu 14. (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASB2a, ABa Gọi
góc hai véc tơ CD
AS
Tính cos?
A cos
8
B. cos
4
C cos
8
D cos
4
Lời giải
Chọn B
A C
B
S
S
A C
(12)Ta có
2SB ASAB SB2 AS22 AS AB AB2
AS CD
AS BA AS AB
2 2
2
SB SA AB
2 a
Vậy cos cos
CD AS ,
CD AS CD AS
2
a
a a
4
Câu 15. (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Gọi O giao điểm AC
và BD Chọn mệnh đề sai?
A.
SA CD ,
120 B
SO AD,
90 C
SA BD,
90 D
SA CD,
60Lời giải
Chọn A
* Các mặt bên hình chóp tam giác *
SA CD ,
SA BA,
AS AB,
SAB 60* SO AC SO
ABCD
SO AD
SO AD,
90SO BD
* BD SO
do SO
ABCD
BD
SAC
BD SA
SA BD,
90BD AC
*
SA CD,
SA AB,
SAB 60Câu 16. (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASBa 6, CD2a Gọi góc hai vectơ CD AS Tính cos
O C A
D
B
(13)A cos
B cos
3
C cos
6
D. cos
3
Lời giải
Chọn D
Ta có: ABCD hình bình hành CDBA AB Do góc hai vectơ CD AS bù với góc hai vectơ AB AS cos cos
AB AS;
cosSAB2 2
2
AS AB SB
AS AB
2 2
6
2 6.2
a a a
a a
Câu 17. (TH) Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC D' ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm Ovà O' Hãy xác định góc cặp vectơ AB
vàOO'?
A 60 B 45 C 120 D. 90
Lời giải
Chọn D
Vì ABCD ABC D' ' hình vng nên AD//BC'; ADBC'ADBC' hình bình hành Mà O O; ' tâm hình vuông nên O O; ' trung điểm BD AC' OO' đường trung bình ADBC'OO' //AD
Mặt khác, AD AB nên OO'AB
OO AB',
90oCâu 18. (TH) Cho hình chópS ABC có SASBSCvà ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SBvà AC?
A 60 B 120 C 45 D. 90
Lời giải
(14)Ta có: SAB SBC SCA c
gc
ABBCCA Do tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SASBSCnên hình chiếu S trùng với G
Hay SG
ABC
Ta có: AC BG AC
SBG
AC SG
Suy ACSB
Vậy góc cặp vectơ SB AC 90
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 19. (VD) Cho hai vectơ a b,
thỏa mãn: a 4;b 3; a b 10 Xét hai vectơ ya b
2 , xa b
Gọi α góc hai vectơ x y , Chọn khẳng định
A cos
15
B cos
15
C cos
15
D. cos
15
Lời giải
Chọn D
Ta có x y
a2b
a b
a 2
b 23 a b 4
2
2
2 4
2x x a b a b a b
2
2
2 2y y a b a b a b
cos
2 15
x y x y
Câu 20. (VD) Cho tứ diện ABCD có M trung điểm BC Đặt
AM BD,
Chọn mệnh đềA cos
2
B cos
2
C. cos
6
D Đáp số khác
Lời giải
Chọn C
G A
B S
(15)Dựng ; ME AM MN BD
Khi
, , 180 , 180
AM BD ME MN ME MA AMN
Ta có
2 2
cos
2
AM MN AN
AMN
AM MN
2 2
3
4 4
3
2
AB AB AB
AB AB
2
Nên cos cos
AM BD,
cos 180
0AMN
cosAMN
Câu 21. (VD) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG?
A 90 B. 60 C 45 D 120
Lời giải
Chọn B
Đặt cạnh hình lập phương a
Gọi I giao trung điểm EG
Qua A kẻ đường thẳng d FI// Qua I kẻ đường thẳng d//FA
Suy d cắt d J
Từ suy
EG AF,
EIJ2 2
IJ AF EI FI AJ a
2 2
2 EJ AE AJ
d' d
J
I
D C
A B
F E
(16)2 2
1
cos 60
2
EI IJ AJ
EI EJ
Vậy góc hai đường thẳngAB CD có số đo 18001200 60
Câu 22. (VD) Cho tứ diện S ABC M N, trung điểm BC SA Cô-sin góc hai vectơ SM BN bằng
A
2
B 1 C.
3
D
3
Lời giải
Chọn C
Do tam giác SBCđều, tam giác SMAcân M nên SM BM MN, SA
Đặt cạnh 3; 2
2
AB SM BN MN SM SN
Ta có:
.cos ,
cos ,
SM BM MN MS MN MS MN
SM BN SM MN
SM BN
SM BN SM BN SM BN SM BN
2
MN SM BN
Câu 23. (VD) Cho hình chóp S ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B, BCa
Hai mặt phẳng
SCA
SCB
hợp với góc 60 o BSC 45o Tính cosin góc
ASB
A cos =
B. cos =
5
C cos = 2
D cos =
Lời giải
(17)Xét ABC kẻ BH vng góc với AC H Xét SAC kẻ HK vng góc với SC K
Có BH SC BH
SAC
,HK SCSC
BHK
o, , 60
SCA SCB KH KB HKB Có SBC vng B BC
SAB
Mà BSC45oDo SBC vng cân B
,
2
BK KC a BC BS a
Xét BHK vng H có 2,
2 4
HK BKa HBa
Xét HKC vng K có 2 10
HC KH KC a
Xét ABCcó BH AC Hcó
2
2
15
BC BH
AB a
BC BH
Vậy cos 10
5
(18)D
Ạ
NG 2: GÓC GI
ỮA HAI ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG
A KIẾN THỨC CHUNG 1 Góc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song với a b
- Nhận xét
a) Nếu a véctơ phương đường thẳng d véc tơ ka với k0 véctơ phương d
b) Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d véc tơ phương a
c) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai véctơ phương phương
d) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại
e) Nếu u véc tơ phương đường thẳng a v véc tơ phương đường thẳng b
u v ,
góc hai đường thẳng a b 00 900 1800 0
90 180
Nếu a b song song trùng góc chúng 0o
BC D C ', '
131 48 '2 Xác định góc hai đường thẳng phương pháp vectơ. * Phương pháp
Tìm hai vectơ phương u u 1, 2 hai đường thẳng a b, Khi góc hai đường thẳng xác định
1 cos ,
u u a b
u u
Chú ý:
a b,
u v , 0
u v , 90
a b,
180
u v , 90
u v , 1803.Tính góc hai đường thẳng khơng gian phương pháp dựng hình * Phương pháp
Để xác định góc tạo hai đường thẳng không gian a b, ta làm sau:
Cách 1:
(19)- Chọn tam giác OAB cho Aa B, b, sử dụng hệ thức lượng để tính giá trị lượng giác góc AOB Từ suy góc a b,
Lưu ý:
+ Ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a b, , vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại
+ Để tính góc hai đường thẳng a b, ta dùng tính chất sau:
,
,
/ /a c
a b b c
Cách 2:
- Tìm vecto phương hai đường thẳng này, giả sử vecto phương u v , - Gọi góc đường thẳng a b, ta có: cos cos
,
u v u v
u v
Lưu ý: Để chứng minh hai đường thẳng AB CDvng góc với nhau, ta cần chứng minh:
AB CD
B BÀI TẬP
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu (NB) Góc hai đường thẳng khơng gian góc giữa
A Hai đường thẳng cắt không song song với chúng
B Hai đường thẳng vng góc với chúng
C Hai đường thẳng qua điểm song song với chúng
D Hai đường thẳng cắt vng góc với chúng
Câu (NB) Mệnh đề sau đúng?
A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song với c
B Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng
C Góc hai đường thẳng góc nhọn
D Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song trùng với c
Câu (NB) Cho hai đường thẳng a b, có véctơ phương u v , Giả sử
u v , 125 Tính góc hai đường thẳng a b,A 55. B 125 C 55 D 125
Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi M N, trung điểm ,
AD CD Góc hai đường thẳng MN B D
A 90 o B 45 o C 60 o D 30 o
Câu (NB) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC, SA
b ' a '
O
(20)A 45 B 120 C 90 D 60
Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Góc hai đường thẳng SA
BC
A 45 B 60 C 90 D 30
Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có ABa BC; 2a
;SA ABCD SA a Tính góc hai đường thẳng SD BC
A 45 B 135 C 60 D 90
Câu (NB) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C có đáy ABClà tam giác vng cân B.AA ABa Tính góc đường thẳng ABvàBC
A
45 B
60 C
30 D
90
Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Góc hai đường thẳng A B
AC
A 45 B 60 C 30 D 90
Câu 10 (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng A C và BDbằng
A 60 B 30 C 45 D 90
Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng
SAB
góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (Sốđo góc làm trịn đến hàng đơn vị).A 48 B 51 C 42 D 39
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 12 (TH)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OAOBOC Gọi
M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB bằng
A 90 B 30 C 60 D 45
Câu 13 (TH) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa,
ADa Tính số đo góc hai đường thẳng A C BD
A 60 B 30 C 45 D 90
Câu 14 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a
Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc
MN SB,
A 45 B 30 C 90 D 60
Câu 15 (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH cạnh a A
O
C M
(21)Hãy xác định góc
EG FA,
A 90 o B 120 o C 45 o D 60 o
Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SCđơi vng góc với SASBSCa Gọi Mlà trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SM BC
A 60 B 30 C 90 D 120
Câu 17 (TH) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cos
AB DM,
bằng:A
6 B
2
2 C
3
2 D
1
Câu 18 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng BD A D
A 90o B 0o C 60o D 45o
Câu 19 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D , góc hai đường thẳng A B B C
A 90 B 60 C 30 D 45
Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có SABC2a Gọi M , N trung điểm AB,
SC, MNa Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC
A 30 B 150 C 60 D 120
Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm AD BC Tính góc hai đường thẳng IJ SC
A 90 B 30 C 45 D 60
Câu 22 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ; gọi M trung điểm B C Góc hai đường thẳng AM BC
A 45 B 90 C 30 D 60
Câu 23 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M N trung điểm AD BC
(22)A
2 a
MN B
2
a
MN C
3
a
MN D
4 a MN
Câu 24 (TH) Tứ diện có góc tạo hai cạnh đối diện bằng
A
90 B C
30 D
45
Câu 25 (TH) Cho tứ diện ABCD Gọi M N P, , trung điểm AB BC CD, , Biết góc MNPbằng 120 Góc hai đường thẳng ACvà BDbằng
A 60 B 45 C 120 D 30
Câu 26 (TH) Cho tứ diện ABCDcó ABCD2a Gọi M , Nlần lượt trung điểm BCvà AD Biết MN a Tính góc ABvà CD
A 45 B 30 C 90 D 60
Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có ABCD hình thoi với ABBDAAa Tính cosin góc hai đường thẳng AC BC
A 1
5 B
3
5 C
1
4 D
3
Câu 28 (TH) Cho tứ diện ABCD Góc hai đường thẳng AB CD
A 30 B 60 C 45 D 90
Câu 29 (TH) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB
A 45 B 30 C 60 D 90
Câu 30 (TH) Cho hình chóp S ABCD có SAa, SB2a, SC3a, ASBBSC60, CSA 90 Gọi góc hai đường thẳng SA BC Tính cos
A cos
7
B cos
7
C cos 0 D cos
3
Câu 31 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA2a SA
vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính góc hai đường thẳng SB CD
A 90 B 135 C 60 D 45
Câu 32 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình vng, SASB AB Góc SAvà CD
bằng
A 30 B 45 C 60 D 90
(23)A 30 B 45 C 60 D 90
Câu 34 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC), ABC vng A Góc hai đường thẳng AB SC
A
4
B 3
4
C
3
D
2
Câu 35 (TH) Cho tứ diện ABCDcó M N, trung điểm cạnh AB CD, Góc
MNvà ABbằng
A
30 B
90 C
60 D
45
Câu 36 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, tam giác SBClà tam giác Tính góc hai đường thẳng ADvà SB
A 60 B 30 C 120 D 90
Câu 37 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N; trung điểm BC CD Tính góc hai đường thẳng MN SD
A 45 B 135 C 60 D 90
Câu 38 (TH) Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Khi đó, cos
AB DM,
A
2 B
1
2 C
3
2 D
3
Câu 39 (TH) Cho hình chóp S ABC có AB AC, SACSAB Tính số đo góc hai đường thẳng
SA BC
A 45 B 60 C 30 D 90
Câu 40 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC,60, SAa
SA ABCD Gọi M trung điểm SB Tính góc hai đường thẳng SA CM
A 45 B 60 C 90 D 30
Câu 41 (TH) Cho tứ diện S ABC có SASBSCABAC a BCa Tính góc hai đường thẳng AB SC
A 45 B 120 C 60 D 90
Câu 42 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC,SA
A 45 B 120 C 90 D 60
Câu 43 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D có I J, tương ứng trung điểm BC BB, Góc hai đường thẳng AC IJ,
A 30 B 120 C 60 D 40
Câu 44 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDAD 2, ACBD 3, BC1 Khi đó, góc hai đường thẳng BC DA
A
BC DA,
30 B
BC DA,
90 C
BC DA,
60 D
BC DA,
45 (24)A
B 1
2 C
1
D 1
4
Câu 46 (TH) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB ACADBCBDa CDa Góc hai đường thẳng AD BC
A 30 B 90 C 45 D 60
Câu 47 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy hình chữ nhật 40
CAD Số đo góc hai đường thẳng ACvà B D' 'là
A
20 B 80 C
40 D 50
Câu 48 (TH) Tứ diện ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng AB CD
bằng
A 45 B 90 C 60 D 30
Câu 49 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J, trung điểm ,
SC BC Số đo góc IJ CD
A 90 o B 30 o C 60 o D 45 o
Câu 50 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi Ivà Jlần lượt trung điểm SCvà BC Số đo góc (IJ CD, )bằng
A 30 B 60 C 45 D 90
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 51 (VD) Cho tứ diện ABCDcó ABAC AD1; BAC60; BAD90; DAC120 Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AGvà CD, Glà trọng tâm tam giác BCD
A
6 B
1
3 C
1
6 D
1
Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB2a, BC a Hình chiếu vng góc
Hcủa đỉnh Strên mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy 60 Tính cosin góc hai đường thẳng SBvà AC
A
7 B
2
35 C
2
5 D
2
Câu 53 (VD) Cho tứ diện ABCDđều cạnh a Hãy tính góc tạo cặp cạnh đối tứ diện
A 45 B 60 C 30 D 90
Câu 54 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M , N trung điểm AD, BB cơsin góc hợp MN AC
A
3 B
3
3 C
5
3 D
2
Câu 55 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,
(25)A
10 B
10
5 C
1
10 D
15
Câu 56 (VD) Cho tứ diện ABCD biết ABBCCA4, AD5, CD6, BD7 Góc hai đường thẳng AB CD
A 120 B 60 C 150 D 30
Câu 57 (VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có ABavà AA 2a Góc hai đường thẳng ABvà BCbằng
A 60 B 45 C 90 D 30
Câu 58 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M , N , Plần lượt trung điểm cạnh AB
, BC,C D Xác định góc hai đường thẳng MNvà AP
A 60 B 90 C 30 D 45
Câu 59 (VD) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết ABCDa
và
2
a
MN Góc hai đường thẳng AB CD
A 30 B 90 C 120 D 60
Câu 60 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC ABACa, BCa Góc hai đường thẳng AB SC
A 0 B 120 C 60 D 90
Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a4 cm, cạnh bên SC vng góc với đáy SC2cm Gọi M , N trung điểm AB BC Góc hai đường thẳng SN CM
là
A 30 B 60 C 45 D 90
Câu 62 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D , gọi I trung điểm cạnh AB Tính cơsin góc hai đường thẳng A D B I kết
A 1
5 B
2
5 C
10
5 D
7
Câu 63 (VD) Cho hình chóp có cạnh , , đơi vng góc Gọi
là trung điểm Khi góc hai đường thẳng
A B C D
P N
M
B'
C'
D' A'
A D
C B
S ABC SA SB SC SASBSC
I AB SI BC
(26)Câu 64 (VD) Cho tứ diện ABCDcó ABvng góc với
BCD
Biết tam giác BCDvng Cvà2 a
AB , ACa 2, CDa Gọi Elà trung điểm AD Góc hai đường thẳng ABvà CEbằng
A o
30 B o
60 C o
45 D o
90
Câu 65 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có ABa, SAa Gọi G trọng tâm tam giác
SCD Góc đường thẳng BG đường thẳng SA
A arccos 33
22 B
330 arccos
110 C
3 arccos
11 D
33 arccos
11
Câu 66 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA9a,AB6a Gọi M điểm thuộc cạnh SCsao cho
2
SM MC Cơsin góc hai đường thẳng SBvà AMbằng
A 1
2 B
7
2 48 C
19
7 D
14 48
Câu 67 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCD2a Gọi E, F trung điểm BC AD Biết EF a 3, tính góc hai đường thẳng AB CD
A 60 B 45 C 30 D 90
Câu 68 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M , N trung điểm AD, BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30
A
2 a
MN B
2 a
MN C
3 a
MN D
4 a MN
Câu 69 (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam giác BCD vuông C 6,
2 a
AB ACa 2,CDa Gọi E trung điểm cạnh AC Góc hai đường thẳng AB DE
A 30 B 60 C 45 D 90
Câu 70 (VD) Cho tứ diện ABCDcạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng ABvà CI, với I trung điểm AD
A
6 B
1
2 C
3
4 D
3
Câu 71 (VD) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SASBSC AB ACa BCa Góc hai đường thẳng AB SC là?
A 45 B 90 C 60 D 30
Câu 72 (VD) Cho hình vng ABCDcạnh 4a, lấy H K, cạnh AB AD, cho ,
BH HA AK KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng
ABCD
tại Hlấy điểm Ssao cho 30
SBH Gọi Elà giao điểm CH BK Tính cosin góc hai đường thẳng SEvà BC
A 28
5 39 B
18
5 39 C
36
5 39 D
9 39
Câu 73 (VD) Cho hình hộp ABCD A B C D có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA,
'
A AB 60 Gọi M N, trung điểm AA CD, Gọi góc tạo hai đường thẳng MN B C , giá trị cos
A
5 B
1
5 C
3
5 D
(27)Câu 74 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC AB ACa BC; a Góc hai đường thẳng
ABvà SCbằng
A 0. B 120 C 60 D 90
Câu 75 (VD) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm BC Khi cosin góc hai đường thẳng sau có giá trị
6
A
AB DM,
B
AD DM,
C
AM DM,
D
AB AM,
Câu 76.(VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Góc MN SC
A 30 B 45 C 60 D 90
Câu 77 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SAa, SBa 3,
SAB
ABCD
GọiM , N lượt lần trung điểm AB AC, Tính cơsin góc SM DNA cos
4
B cos
4
C cos
4
D cos
2
(28)HƯỚ
NG D
Ẫ
N GI
Ả
I
D
ẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu (NB) Góc hai đường thẳng khơng gian góc giữa
A Hai đường thẳng cắt không song song với chúng
B Hai đường thẳng vuông góc với chúng
C Hai đường thẳng qua điểm song song với chúng
D Hai đường thẳng cắt vng góc với chúng
Lời giải
Chọn C
Câu (NB) Mệnh đề sau đúng?
A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song với c
B Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng
C Góc hai đường thẳng góc nhọn
D Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song trùng với c
Lời giải Chọn D
Phương án A: mặt phẳng thiếu trường hợp b trùng với c
không khơng gian
Phương án B: góc hai đường thẳng góc hai véc tơ phương hai đường thẳng góc hai véc tơ phương góc nhọn, góc véc tơ phương hai đường thẳng góc tù sai
Phương án C: góc hai đường thẳng góc vng
Câu (NB) Cho hai đường thẳng a b, có véctơ phương u v,
Giả sử
u v , 125 Tính góc hai đường thẳng a b,A 55. B 125 C 55 D 125
Lời giải Chọn A
Hai đường thẳng a b, có véc tơ phương u v ,
u v , 125 góc hai đường thẳng a b, 180125 55Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Gọi M N, trung điểm AD CD, Góc hai đường thẳng MN B D
A 90 o B 45 o C 60 o D 30 o
Lời giải
Chọn A
(29)Câu (NB) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC, SA
A 45 B 120 C 90 D 60
Lời giải
Chọn D
Vì AD BC// nên góc BC SA góc AD SA
Hình chóp có tất cạnh a nên SAD đều, suy
AD SA,
60Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Góc hai đường thẳng
SA BC
A 45 B 60 C 90 D 30
Lời giải
Chọn B
Do BC//AD nên
SA BC,
SA AD,
Mà tam giác SAD nên
SA AD,
60 Vậy
SA BC,
60Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có ABa BC; 2a
;SA ABCD SA a Tính góc hai đường thẳng SD BC
A 45 B 135 C 60 D 90
Lời giải
Chọn A
S
B
A D
C O
B
D C
A
(30)Ta có AD//BC
SD BC;
SD AD;
Xét SAD vuông A có SA AD SAD vng cân A Suy
SD BC;
SD AD;
SDA45 Câu (NB) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C có đáy ABClà tam giác vng cân B.AA ABa Tính góc đường thẳng ABvàBC
A 450 B 600 C 300 D 900
Lời giải
Chọn D
Có BC//B C
AB BC,
AB B C,
, A
B C A B AA B C ( tính chất lăng trụ đứng) AAB C
B C AA B B B C AB
AB BC,
90Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Góc hai đường thẳng A B AC
A 45 B 60 C 30 D 90
Lời giải
(31)Ta có:
AB A B
A B AB C A B AC
B C A B
Vậy góc hai đường thẳng A B AC 90
Câu 10 (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng A C và BDbằng
A 60 B 30 C 45 D 90
Lời giải
Chọn D
Ta có:
A C BD ;
AC BD;
90Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng
SAB
góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (Số đo góc làm trịn đến hàng đơnvị).
A 48 B 51 C 42 D 39
Lời giải
Chọn B
Cách Gọi K trung điểm AB
Giả sử hình vng ABCD cạnh a,
SD SAB,
45 SAADaGọi K trung điểm AB Vì KD//BI nên góc hai đường thẳng BI SD góc hai đường thẳng KD SD góc SDK Ta có
2
a
(32)Gọi H trung điểm SD Ta có
2
10
cos
5 a HD SDK
KD a
Vậy góc hai đường thẳng BI SD 51
Cách Giả sử hình vng ABCD cạnh a,
SD SAB,
45 SA ADaXét không gian tọa độ Oxyz đó: OA, OxAB Oy, AD Oz, AS Khi ta có:
; 0; 0
B a , ; ;
a I a
, D
0; ;0a
, S
0;0;a
Suy ; ;2
a
IB a
, SD
0;a a;
Mặt khác:
2
2 2 cos ,
a IB SD
a
a a a
2
10
IB SD,
51MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 12 (TH)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM
AB bằng
A 90 B 30 C 60 D 45
Lời giải
Chọn C
Cách 1: A
O
C M
B A
B
C
D y
x
S z
I K
(33)Gọi N trung điểm AC, ta có MN AB//
OM AB;
OM MN;
OMNDo OAB OCB OAC OA, OB, OC đôi vng góc với nên
2 AB
OM ON MN
OM AB;
OMN60Cách 2:
Ta có: OA2 a2, OB2 b2, OC2 c2, OA OB 0, OB OC 0, OC OA 0, AB a 2,
2
a
OM Do M trung điểm BC nên ABOB OA ;
1 1
2
OM OB OC
1 1
2 2
OM AB OB OA OB OC OB OA OB OC
1
2
a
OM AB OB OB OC OA OB OA OC
2
1
2 cos ; cos ;
2
2 a OM AB
OM AB OM AB
a
OM AB
a
OM AB;
60
Câu 13 (TH) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa,
ADa Tính số đo góc hai đường thẳng A C BD
A 60 B 30 C 45 D 90
Lời giải
Chọn A
Gọi O ACBD
Ta có
A C BD ,
AC BD,
AO
C M
(34)Ta tính góc AOD
Xét tam giác ABD vng A, ta có:
tan 30
3
AB
BDA BDA OAD
AD
(do tam giác AOD cân O)AOD120 Vậy
A C BD ,
180 120 60Câu 14 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên
a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc
MN SB,
A 45 B 30 C 90 D 60
Lời giải
Chọn D
Ta có: Xét
SAD
cóMN SA// Mà
SA SB,
600 (SABđều)
, 60 MN SB
Câu 15 (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH cạnh a
Hãy xác định góc
EG FA,
A 90 o B 120 o C 45 o D 60 o
(35)Vì AF DG// nên
EG FA,
EG DG,
EGD60o (vì EDG tam giác đều)Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SCđơi vng góc với
SASBSCa Gọi Mlà trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SM BC
A 60 B 30 C 90 D 120
Lời giải
Chọn A
Gọi N trung điểm AC Khi góc SM BCbằng góc SM MN Ta có:
ABBCCA
1
SM AB(trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)
2
SN AC(trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)
2 MN BC
Suy SM MN SNhay tam giác SMNđều Do
SM BC;
SMN60Câu 17 (TH) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cos
AB DM,
bằng:A
6 B
2
2 C
3
2 D
1
N
M
S B
(36)Lời giải
Chọn A
Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a ta có:
a
DM
Ta lại có: cos
,
AB DM AB DM
AB DM
3
2
AB DB AB BM a
a
.cos 60 cos120
a a a a
a a
6
Vậy cos
,
AB DM
Câu 18 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng BD A D
A 90o B 0o C 60o D 45o
Lời giải
Chọn D
Ta có AD/ /A D nên
BD A D,
BD AD,
45Câu 19 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D , góc hai đường thẳng A B B C
A 90 B 60 C 30 D 45
Lời giải
Chọn B
D
C B A
M
D
D'
A
A' C
C'
B
(37)Ta có B C // A D
A B B C ;
A B A D ;
DA BXét DA B có A D A B BD nên DA B tam giác Vậy DA B 60
Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có SABC2a Gọi M , N trung điểm AB,
SC, MN a Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC
A 30 B 150 C 60 D 120
Lời giải
Chọn C
B S
A C
M
N P
Q O
Gọi P, Q trung điểm SB, AC Khi MP, NQ, MQ, PN đường trung bình tam giác SAB, SAC, ABC, SBC nên MP//NQ//SA; PN // MQ // BC
1
MPNQ SAa;
2
PN MQ BCa Suy góc hai đường thẳng SA BC góc PMQ tứ giác MPNQ hình thoi
Xét hình thoi MPNQ: gọi Ogiao điểm hai đường chéo; MN a nên
a
MO ;
trong tam giác vng MOQ
2
4
a a
OQ a PQa, tam giác PMQ hay PMQ60
Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm AD BC Tính góc hai đường thẳng IJ SC
A 90 B 30 C 45 D 60
Lời giải
Chọn D
(38)Hay (IJ SC, )60
Câu 22 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ; gọi M trung điểm B C Góc hai đường thẳng AM BC
A 45 B 90 C 30 D 60
Lời giải
Chọn A
Giả sử cạnh hình lập phương a 0
Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN BC// nên
AM BC,
AM MN,
Xét tam giác A B M vng B ta có: A M 2A B B M
2 a a
2
a
Xét tam giác AA M vng A ta có: 2 AM AA A M
2
4
a a
2
a
Có
2
a
AN A M ;
2
BC a
MN
Trong tam giác AMN ta có:
cosAMN
2 2
2
MA MN AN
MA MN
2 2
9
4 4
3
2 2
a a a
a a 2
4 a
a
2
Suy AMN 45
Vậy
AM BC,
AM MN,
AMN 45Câu 23 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M N trung điểm AD
BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30
A
2 a
MN B
2
a
MN C
3
a
MN D
4 a MN
(39)Chọn B
Gọi P trung điểm AC Suy
PM CD
2AB PN
Do tam giác PMN cân
P Lại có góc AB MN 30 nên góc MN PN 30 Vậy tam giác
PMN tam giác cân có góc đỉnh 120 Ta có PN 3MN nên
2
a
MN
Câu 24 (TH) Tứ diện có góc tạo hai cạnh đối diện bằng
A
90 B C
30 D
45
Lời giải
Chọn A
Trong BCD, gọi Hlà chân đường cao hạ từ B H
trung điểm CDvà BH CD
1
2AH CD
Từ
1 ; CD
ABH
CDAB Tương tự với cặp cạnh đối lạiCâu 25 (TH) Cho tứ diện ABCD Gọi M N P, , trung điểm AB BC CD, , Biết góc MNPbằng
120 Góc hai đường thẳng ACvà BDbằng
A 60 B 45 C 120 D 30
Lời giải
A
B
C
(40)Chọn A
Vì M N, trung điểm AB BC, nên MN//AC ,
N Plần lượt trung điểm CB CD, nên NP BD//
Do góc đường thẳng ACvà BDbằng góc hai đường thẳng MNvà NPvà
MNPhoặc 1800 MNP
Từ giả thiết ta có MNP 1200 900nên góc đường thẳng ACvà BDbằng 60
Câu 26 (TH) Cho tứ diện ABCDcó ABCD2a Gọi M , N trung điểm BCvà
AD Biết MN a Tính góc ABvà CD
A 45 B 30 C 90 D 60
Lời giải
Chọn D
Kẻ MP // AB, NP // CDnên góc ABvà CDlà góc MPvà NP
2
cos
2
MP NP MN
MPN
MP NP
2 2
2
3
a a a
a
2
MPN120 Vậy góc ABvà CDbằng 60
Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có ABCD hình thoi với ABBDAAa Tính cosin góc hai đường thẳng AC BC
A 1
5 B
3
5 C
1
4 D
3
Lời giải
Chọn D
N
M
B D
C A
(41)
// , ,
BC B C AC BC AC B C
ABCD hình thoi với ABBDAAa 3
AC a a
,
2
2
AC AA A C a, AB a
cos AC BC, cosAC B
2 2
3
2
AC B C AB
AC B C
Câu 28 (TH) Cho tứ diện ABCD Góc hai đường thẳng AB CD
A 30 B 60 C 45 D 90
Lời giải
Chọn D
Gọi M trung điểm BC Vì tam giác DBC ABC nên
BC DM
BC AM
BC ADM BC AD
Câu 29 (TH) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB
(42)A 45 B 30 C 60 D 90
Lời giải
Chọn C
Gọi I trung điểm AC lại có M trung điểm BC M I đường trung bình ABC
2
MI AB
(1) M I // AB
OM AB,
OM MI,
Xét AO C vng cân O có O I đường trung tuyến nên
OI AC (2)
Xét BO C vng cân O có O M đường trung tuyến nên
OM BC (3) Ta có AOC AOB BOC (c.g.c) AB AC BC (cạnh tương ứng) (4)
Từ (1), (2), (3), (4) MI OM OI OIM tam giác
OM MI,
60hay
OM AB,
60Câu 30 (TH) Cho hình chóp S ABCD có SAa, SB2a, SC 3a, ASBBSC60, CSA 90 Gọi góc hai đường thẳng SA BC Tính cos
A cos
7
B cos
7
C cos 0 D cos
3
(43)cos cos(SA BC , ) SA BC SA BC
.( ) SA SC SB
SA BC
SA SC SA SB SA BC
2
.S cos 90 cos 60 2.2 cos 60
SA C SA SB
a a a a a
7
Câu 31 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA2a SA
vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính góc hai đường thẳng SB CD
A 90 B 135 C 60 D 45
Lời giải
Chọn D
Có AB/ /CD
SB CD,
SB AB,
SBA Tam giác SAB có A ,v SA AB 2a
SAB vuông cân A SBA 450
, 45 SB CD
Câu 32 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình vng, SASB AB Góc SAvà
CDbằng
A 30 B 45 C 60 D 90
(44)Vì ABCDlà hình vng nên AB CD// nên góc SAvà CDbằng góc SAvà ABvà SABhoặc 1800 SAB
Ta có SASB ABnên SABđều SAB 600 900 Vậy góc SAvà CDbằng SAB 60
Câu 33 (TH) Cho tứ diện ABCDcó 4mặt tam giác Góc hai đường thẳngAB CDbằng
A 30 B 45 C 60 D 90
Lời giải Chọn D
Ta có tứ diện ABCDlà tứ diện Gọi M trung điểm CD,
;
AM CD
BM CD
CD ABM CD AB
AM BM M
AM BM ABM
Suy góc hai đường thẳngAB CDbằng
90
Câu 34 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC), ABC vng A Góc hai đường thẳng AB SC
A
4
B 3
4
C
3
D
2
Lời giải
Chọn D
(45).( ) AB SC AB ACAS AB ACAB AS
cos( , )
AB SC AB SC
AB SC
,
AB SC
Cách 2:
Ta có ABSA AB AC
AB SAC
ABSC
Câu 35 (TH) Cho tứ diện ABCDcó M N, trung điểm cạnh AB CD, Góc
MNvà ABbằng
A
30 B
90 C
60 D
45
Lời giải Chọn B
Do tứ diện ABCD nên cạnh tứ diện
Ta có: 3;
2
AB AB
BN AN
Xét tam giác ABN tam giác cân N Mlà trung điểm AB
MN AB
Vậy góc MNvà ABbằng
90
Câu 36 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, tam giác SBClà tam giác Tính góc hai đường thẳng ADvà SB
A 60 B 30 C 120 D 90
Lời giải
(46)Vì tứ giác ABCDlà hình bình hành nên đường thẳng ADsong song với đường thẳng BC Suy góc đường thảng ADvà đường thẳng SBlà góc hai đường thẳng BCvà SB, góc
60
SBC
Câu 37 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N; trung điểm BC CD Tính góc hai đường thẳng MN SD
A 45 B 135 C 60 D 90
Lời giải :
Chọn A
Gọi I trung điểm SC ta có NI / /SD nên suy
MN SD;
MN NI;
Ta có MI MN IN; ; đường trung bình tam giác
; ; SCD MI NI ;
2
a a
SCB BCD MN
Xét MIN ta có
2 2
2 2
2 4
a a a
MN MI NI MIN
vuông cân I Vậy góc
MN SD;
MN NI;
MNI45oCâu 38 (TH) Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Khi đó, cos
AB DM,
A
2 B
1
2 C
3
2 D
3
Lời giải
(47)Gọi N trung điểm AC MN/ /AB
DM AB,
DM MN,
Ta có2 a
MN ,
2 a DM DN
2
cos
2
MN MD DN
DMN
MN MD
3
2 a a
6
Câu 39 (TH) Cho hình chóp S ABC có AB AC, SACSAB Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC
A 45 B 60 C 30 D 90
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Ta có AS BC AS AC.
AB
AS AC AS AB AS AC .cosSACAS AB .cosSAB 0 Do số đo góc hai đường thẳng SA BC 90 Cách 2: Vì ABAC, SACSAB nên SAC SAB, suy SBSC, nên hai tam giác
ABC SBC tam giác cân Gọi H trung điểm BC, ta có AH BC
SAH
BCSH BC
Vậy SABC
Câu 40 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC,60, SAa
SA ABCD Gọi M trung điểm SB Tính góc hai đường thẳng SA CM
A 45 B 60 C 90 D 30
N
A
B
C
(48)Lời giải
Chọn B
Gọi H trung điểm AB, suy MH//SA,
SA CM,
MH CM,
Ta có2
a
MH SA , tam giác ABC cạnh a nên
a
CH
Xét tam giác MHC vuông H có
2
tan 60
2
a CH
HMC HMC
a MH
Vậy
MH CM,
60 hay
SA CM,
60Câu 41 (TH) Cho tứ diện S ABC có SASBSCABACa BCa Tính góc hai đường thẳng AB SC
A 45 B 120 C 60 D 90
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Gọi M trung điểm BC
Ta có: BC2 AB2AC2 nên tam giác ABC vng cân A Và BC2 SB2SC2 nên tam giác SBC vuông cân S
Vẽ hình chữ nhật (cũng hình vng) ABDC
AB SC,
SCD SCCDaH M
C A
D
B
(49)2
2 2
2
a a
AM SM MD a
SAM
vuông M
SM BC ABCD
SM ABCD
SM AM ABCD
SM MD
2 2
SD SM MD
2
2
2
a a
2
2
a a
SDa
Suy tam giác SCD
AB SC,
SCD60Cách 2:
cos ,
SC SB SA SC AB
SC AB
SC AB SC AB
cos cos
SC SB BSC SC SA ASC
SC AB
.cos 90 cos 60
a a a a
a a
SC AB ;
120 Vậy góc hai đường thẳng AB SC 60Câu 42 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC,SA
A 45 B 120 C 90 D 60
Lời giải
Chọn D
Ta có: BC//AD
SA BC,
SA AD,
SAD (vì tam giác SADđều)Câu 43 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D có I J, tương ứng trung điểm BC BB, Góc hai đường thẳng AC IJ,
A 30 B 120 C 60 D 40
Lời giải
Chọn C
Do IJ//B C nên góc giữa hai đường thẳng AC IJ, góc hai đường thẳng
,
AC B C góc B CA 60 (vì ABCD A B C D hình lập phương nên AB C tam giác đều)
(50)Câu 44 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDAD 2, ACBD 3, BC1 Khi đó, góc hai đường thẳng BC DA
A
BC DA,
30 B
BC DA,
90 C
BC DA,
60 D
BC DA,
45Lời giải
Chọn D
A
B
C
D
1
3
3
coscos , cos ,
2
BD BA BC
AD BC BD BC BC BD DBC
AD BC AD BC
AD BC AD BC
, 45 AD BC
Câu 45 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a (tham khảo hình bên) Cosin góc hai đường thẳng AB SC
A
B 1
2 C
1
D 1
4
Lời giải
Chọn D
AB SC,
CD SC,
SCD
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SCD có
2
22 2 2 2
1 cos
2 2.2
a a a
SC CD SD
C
SC CD a a
Câu 46 (TH) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh ABAC ADBCBDa CDa Góc hai đường thẳng AD BC
(51)Lời giải
Chọn D
Gọi M , N , I , K trung điểm cạnh BD, DC, AC, AB MNIK hình thoi KCD cân K nên KNCD KN KD2ND2
2
3
2 2
a a a
NIK
tam giác NIK 60
AD BC,
IN IK,
NIK 60Câu 47 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'cóđáy hình chữ nhật CAD40 Số đo góc hai đường thẳng ACvà B D' 'là
A
20 B 80 C
40 D 50
Lời giải Chọn B
Gọi Olà giao điểm BDvà AC
Vì B D' 'BDnên
B D' ', AC
BD, AC
,với 00 900 Mặt khácABCDlà hình chữ nhật nên OA OD hay OADcân O Do ODA OAD40 Suy AOD100Vậy 80
Câu 48 (TH) Tứ diện ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng AB
CD
A 45 B 90 C 60 D 30
Lời giải
Chọn B
a
2a
K I
M N
D
C
B A
O B'
A'
D' C'
B
A D
(52)Gọi M trung điểm CD
Khi CD AM CD
ABM
CD ABCD BM
Câu 49 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J, trung điểm SC BC, Số đo góc IJ CD
A 90 o B 30 o C 60 o D 45 o
Lời giải
Chọn C
Ta có
o/ / , / / , , 60
IJ SB CD AB IJ CD SB AB
Câu 50 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi Ivà Jlần lượt trung điểm SCvà BC Số đo góc (IJ CD, )bằng
A 30 B 60 C 45 D 90
Lời giải
Chọn B
A
D
C
B
(53)OACBD Olà trung điểm BDvà AC
OJsong song với DC (IJ CD, )(IJ OJ, )IJO OJ đường trung bình BCD
2
a
OJ CD
IJ đường trung bình SBC
2
a
IJ SB
lại có OIlà đường trung bình SAC
2
a
OI SA
OIJlà tam giác
60
IJO
(IJ CD, ) 60
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 51 (VD) Cho tứ diện ABCDcó AB ACAD1; BAC60; BAD90; DAC120 Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AGvà CD, Glà trọng tâm tam giác BCD
A
6 B
1
3 C
1
6 D
1
Lời giải
Chọn C
*ABC BC1
*ACD cân Acó CD AC2AD22AC AD .cos120 *ABD vuông cân Acó BD
*BCD có 2
CD BC BD BCDvuông B
Dựng đường thẳng dqua Gvà song song CD, cắt BCtại M
M
G I
B D
(54)Ta có MG //CD
AG CD,
AG MG,
Gọi Ilà trung điểm BC, xét BDIvng Bcó DI BD2BI2
2 2
Ta có
3
IM MG IG
IC CD ID
1
IM IC
3 BC
6
;
3
MG CD ; 1
3
IG ID
Xét AIM vng Icó 2 AM AI IM
2 2
3
2
2
cos
2
AI ID AD
AID AI ID 2 3
2 4 3
9 3 2 2
2 cos AG AI IG AI IG AID
2 2
3 3
2 2
Xét AMGcó
cos AG MG, cosAGM
2 2
2
AG GM AM
AG GM
2 2
3
3 3 1
6 3 3
Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB2a, BCa Hình chiếu vng góc Hcủa đỉnh Strên mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng
SCvà mặt phẳng đáy 60 Tính cosin góc hai đường thẳng SBvà AC
A
7 B
2
35 C
2
5 D
2
Lời giải
Chọn B
SC, ABCD
SC CH,
SCH600
cos , SB AC SB AC SB AC
SB AC SHHB ABBC
SH AB SH BC HB AB HB BC
A D
B C
S
(55)
HB AB HB BC
2 2AB a
5
ACa , 2
2
CH a a a , SH CH tanSCH a
2
SB SH HB
2
6
a a a
cos , SB AC SB AC SB AC 2 a a a 35 Câu 53 (VD) Cho tứ diện ABCDđều cạnh a Hãy tính góc tạo cặp cạnh đối tứ diện
A 45 B 60 C 30 D 90
Lời giải
Chọn D
Xét cặp cạnh đối ABvà CDcủa tứ diện, ta có:
AB CD CB CA CD CB CD CACD
1
.cos 60 cos 60
2
CB CD CA CD a a a a
Vậy
AB CD,
90Câu 54 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M , N trung điểm AD, BB cơsin góc hợp MN AC
A
3 B
3
3 C
5
3 D
2
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Chọn hệ véc tơ sở AB
,AD
,AA.Giả sử độ dài cạnh hình lập phương a Ta có:
ACABADAA
,AC a
1
2
MN AB AA AD , a MN
12
cos ,
3
3
AB AD AA AB AA AD
AC MN AC MN a AC MN a
Vậy côsin góc hợp MN AC
B
C
(56)Cách 2:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD A B C D a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A, BOx, DOy, AOz
Khi đó, tọa độ đỉnh: A
0;0; 0
, B a
; 0; 0
, D
0; ;0a
, A
0; 0;a
, B a
; 0;a
, C a a a
; ;
M trung điểm 0; ;
a ADM
N trung điểm ; 0;
a BB N a
Do ; ;
2
a a MN a
; AC
a a a; ;
Cosin góc AC MN
2
cos , cos ,
3
3
MN AC a
MN AC MN AC
MN AC
a a
Câu 55 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,
AB AD C D Tính cosin góc hai đường thẳng MNvà CP
A
10 B
10
5 C
1
10 D
15
Lời giải
Chọn C
Gọi Qlà trung điểm B C Khi PQ// MN
Ta có
MN CP,
PQ CP,
CPQvì tam giác CPQcân Cdoa CPCQ
P N
M
B'
C'
D' A'
A D
(57)Gọi Htrung điểm PQnên CH PQ; 2
a
PQ
4
a PH
Vậy cos 2
4 10
PH a
CPH
CP a
Câu 56 (VD) Cho tứ diện ABCD biết ABBCCA4, AD5, CD6, BD7 Góc hai đường thẳng AB CD
A 120 B 60 C 150 D 30
Lời giải
Chọn B
Khi AB CD
CB CA CD
CB CD .cosBCD CA CD cosACD2 2 2
2
CB CD BD CA CD AD
CB CD CA CD
CB CD CA CD
2 2
12
CB AD BD CA
Suy cos
,
AB CD AB CDAB CD
12 4.6
AB CD,
60Câu 57 (VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có ABavà AA 2a Góc hai đường thẳng ABvà BCbằng
A 60 B 45 C 90 D 30
Lời giải
Chọn A
B D
C
(58)Ta có AB BC
ABBB
BCCC
AB BC AB CC BB BC BB CC
AB BC AB CC BB BC BB CC
2
2
0
2
a a
a
Suy cos
,
AB BC AB BC
AB BC
2
1
2 , 60
2 3
a
AB BC
a a
Câu 58 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M , N, Plần lượt trung điểm cạnh
AB, BC,C D Xác định góc hai đường thẳng MNvà AP
A 60 B 90 C 30 D 45
Lời giải
Chọn D
Ta có tứ giác AMC P hình bình hành nên AP MC//
MN AP,
MN MC,
NMC Gọi cạnh hình vng có độ dài aXét tam giác C CM vng Ccó 2 2
a C M C C MC C C BC MB Xét tam giác C CN vng Ccó 2
2
a C N C C CN
Mà
2
AC a
MN
Xét tam giác C CM có
2 2
2 cos
2
MC MN C N
NMC
MC MN
45
NMC
MN AP,
45C'
B'
A C
B
A'
P
N M
A B
C D
B'
C' D'
(59)Câu 59 (VD) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết
ABCDa
2
a
MN Góc hai đường thẳng AB CD
A 30 B 90 C 120 D 60
Lời giải
Chọn D
Gọi E trung điểm BD Vì || ||
AB NE CD ME
nên góc hai đường thẳng AB
CD góc hai đường thẳng NE ME
Trong tam giác MNE ta có:
2 2
2 2
2
1
4 4
cos
2
2
a a a
ME NE MN
MEN
a ME NE
Suy MEN120 Vậy góc hai đường thẳng AB CD 60
Câu 60 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC AB ACa, BC a Góc hai đường thẳng AB SC
A 0 B 120 C 60 D 90
Lời giải
Chọn C
Gọi H, M , N trung điểm BC, AC SA
Do BC2 2a2 AB2AC2 nên tam giác ABC vuông cân A H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC
Do SASBSC nên SH
ABC
E
N
M
C
B D
A
N
M H
A B
C
(60)Lại có: HM AB// MN SC// nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai đường thẳng HM MN, đặt góc
Nhận thấy:
2 a MN MH
Tam giác SBC có SB2SC2 a2a2 2a2 BC2SBC vng cân S
2 BC SH
2 a
AH
SH2AH2 a2 SA2 HSA vuông cân H
2 SA a HN
2 a
MN HM HN
MNH NMH 6060 Vậy góc hai đường thẳng AB SC 60
Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a4 cm, cạnh bên SC vng góc với đáy SC2cm Gọi M , N trung điểm AB BC Góc hai đường thẳng SN CM
A 30 B 60 C 45 D 90
Lời giải
Chọn C
Gọi I trung điểm BM, ta có NI CM// nên góc SN CM góc SN
NI Xét tam giác SNI có SN SC2CN2 8 2 3; 14
2 2
NI CM ;
2
CI CM MI 24 2 26 2
SI SC CI
26 30
Vậy
2 2
cos
2
SN NI SI
SNI
SN NI
12 30 12
2 2.2 2.4
SNI135 Vậy góc SN CM 45
Câu 62 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D , gọi I trung điểm cạnh AB Tính cơsin góc hai đường thẳng A D B I kết
A 1
5 B
2
5 C
10
5 D
7
Lời giải
(61)Gọi độ dài cạnh hình lập phương a0 Ta có B C D
A D B I ,
B I B C ,
Tính2
2
;
2
a a
B I a CI B C a
Trong tam giác B CI có
2
2
2
5
2
2 2 10
cos
5
5 10
2 2
a a
a
a IB C
a a
a
Vậy cos
,
10 A D B I Câu 63 (VD) Cho hình chóp có cạnh , , đơi vng góc
Gọi trung điểm Khi góc hai đường thẳng
A B C D
Lời giải
Chọn B
Giả sử SASBSCa
1
cos ;
2
SA SB SC SB
SI BC SI BC
SI BC SI BC
1
2 .
SA SC SA SB SB SC SB SI BC
S ABC SA SB SC SASBSC
I AB SI BC
120 60 90 30
I A
B
(62)2 2
1 1
2 2
2
SB a
a SI BC
a
(Vì hình chóp có cạnh , , đơi vng góc nên SA SB 0;SA SC 0 SB SC 0)
Suy rA
SI BC ;
1200Do góc hai đường thẳng bằng18001200 600
Câu 64 (VD) Cho tứ diện ABCDcó ABvng góc với
BCD
Biết tam giác BCDvng Cvà2 a
AB , ACa 2, CDa Gọi Elà trung điểm AD Góc hai đường thẳng
ABvà CEbằng
A o
30 B o
60 C o
45 D o
90
Lời giải
Chọn C
Ta có BC AC2 AB2
2 a
,
2
a
BD
Gọi Mlà trung điểm BD ME // AB,
2
a
ME AB ,
2
BD
CM
4 a CME
vuông cân M
Ta có
AB CE,
EM CE,
CEM45oCâu 65 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có ABa, SAa Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG đường thẳng SA
A arccos 33
22 B
330 arccos
110 C
3 arccos
11 D
33 arccos
11
Lời giải
Chọn D
S ABC SA SB SC
(63)Gọi O tâm mặt đáy
ABCD
Do S ABCD hình chóp nên ta chọn hệ trục toạ độOxyz hình vẽ
2
a OAOBOCOD
Tam giác SAO vuông O: 2 10
a
SO SA OA
Ta có: 2; 0;
a
A
, 0; 2;
a
B
, 2; 0;
a
C
, 0; 2;0
a D
, 0; 0; 10
a S
G trọng tâm tam giác SCD nên: 2; 2; 10
6 6
a a a
G
10 ; 0; 2 a a
SA
, 2; 2; 10
6
a a a
BG
26 6 33 33
cos , , arccos
11 11 11 3 a a SA BG
SA BG SA BG
a SA BG a
Câu 66 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA9a,AB6a Gọi M điểm thuộc cạnh SCsao cho
2
SM MC Cơsin góc hai đường thẳng SBvà AM
A 1
2 B
7
2 48 C 19
7 D
14 48
Lời giải Chọn D
(64)Gọi N trung điểm củaMC,I trung điểm AC, Ktrên CBsao cho CK 2a Khi ta có //
,
,
//
AM NI
AM SB NI NK
SB NK
Trong tam giác
2 2
1 cos
2
CA CS SA
SAC C
CA CS
Trong tam giácCNIta có 2
2 cos IN CN CI CN CI C a Trong tam giác CIKta có IK CI2 CK22CI CK .cos 60 a Trong tam giác NIK có
2 2
7 cos
2 18
NI NK IK
INK
NI NK
Vậy cơsin góc hai đường thẳng SBvà AM 14 18 48
Câu 67 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCD2a Gọi E, F trung điểm BC
AD Biết EF a 3, tính góc hai đường thẳng AB CD
A 60 B 45 C 30 D 90
Lời giải
Chọn A
Gọi M trung điểm AC Suy ra: ME//AB,
2
ME ABa MF//CD,
MF CDa Suy ra:
AB CD,
ME MF,
Ta có:
2 2
1 cos
2
ME MF EF
EMF
ME MF
EMF120
S
3a a
2a
2a 3a
3a 3a
3a K I
N M
C
B A
M
F
E
A
B
C
(65)Vậy
AB CD,
180 EMF60Chú ý: Góc hai đường thẳng thuộc
0 ;90
; cịn góc hai vector thuộc
0 ;180
Câu 68 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M , N trung điểm AD, BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30
A
2 a
MN B
2 a
MN C
3 a
MN D
4 a MN
Lời giải
Chọn B
Gọi P trung điểm AC, NP/ /AB;
MN AB;
MN NP;
MNPa
PM PN ; MNP30 MPN120
2
2 .cos120
MN NP MP PM PN
2 a
Câu 69 (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam giác BCD
vuông C 6, a
AB AC a 2,CDa Gọi E trung điểm cạnh AC Góc hai đường thẳng AB DE
A 30 B 60 C 45 D 90
Lời giải
Chọn B
Gọi H trung điểm cạnh BC
Ta có
/ /
AB BCD
EH BCD
AB EH EH HD góc hai đường thẳng AB DE góc EH DE góc HED
Lại có
CD BC
CD AC
CD AB
H C B
D E
(66)Xét tam giác ECD vuông C, ED EC2CD2
2
2
2
a a
a
Xét tam giác EHD vng H có cosHED EH ED
6
2
a a
60
HED
Câu 70 (VD) Cho tứ diện ABCDcạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng ABvà CI , với
I trung điểm AD
A
6 B
1
2 C
3
4 D
3
Lời giải
Chọn A
Gọi M trung điểm BD Ta có: IM // AB
AB IC,
IM IC,
cos AB IC,
cos
IM IC,
cos
IM IC ,
cosMIC Mà: cosMIC2 2
2
MI IC MC
MI IC
2
2
3
2 2
3
2
a a a
a a
6
cos AB IC,
cosMIC
6
Câu 71 (VD) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SASBSC AB ACa BC a Góc hai đường thẳng AB SC là?
A 45 B 90 C 60 D 30
Lời giải
Chọn C
M
I
B
C
(67)Ta có BCa nên tam giác ABC vng A Vì SASBSCa nên hình chiếu vng góc S lên
ABC
trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCTam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC Ta có cos
AB SC,
cos
AB SC,
AB SC AB SC
AB SC
AB SIIC
AB SI
2BA BC
cos 45 2BA BC
2
2 a
cos AB SC,
2
2 a a
1
AB SC,
60Cách 2: cos
AB SC,
cos
AB SC,
AB SC AB SC
Ta có AB SC
SB SA SC
SB SC SA SC SB SC .cos 90 SA SC .cos 602
2 a
Khi
2
2
cos ,
2
a AB SC
a
Câu 72 (VD) Cho hình vng ABCDcạnh 4a, lấy H K, cạnh AB AD, cho ,
BH HA AK KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng
ABCD
tại Hlấy điểmSsao cho SBH30 Gọi Elà giao điểm CHvà BK Tính cosin góc hai đường thẳng SEvà BC
A 28
5 39 B 18
5 39 C 36
5 39 D 39
Lời giải
Chọn B
Gọi Ilà hình chiếu vng góc Elên ABta có ABD BCH
ABD BCH HEB 90
E
A B
D C
H
K
(68)Ta có: cos
SE BC;
cos
SE EI;
cosSEI , SH BH tan 30 a9
HB HE HB a
HE
HC HB HC ,
2
2 2 81 39
3
25
a a
SE SH HE a
2
27 25
HE HI HE a
HI
HB HE HB ,
2
2 2 27 651
3
25 25
a a
SI SH HI a
9 36
25 25
EI HI a
EI
BC HB
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEIta đượC
2 2
2 2
2 39 36 651
5 25 25 18
cos
2 39 36 39
2 25
a a a
SE EI SI a
SEI
SE EI a a
Câu 73 (VD) Cho hình hộp ABCD A B C D có độ dài tất cạnh a góc BAD,
DAA, A AB' 60 Gọi M N, trung điểm AA CD, Gọi góc tạo hai đường thẳng MN B C , giá trị cos
A
5 B
1
5 C
3
5 D
3 10
Lời giải
Chọn D
E A
D C
B S
H K
(69)Gọi P trung điểm DC Ta có //
//
B C A D MN A P
Suy cos
MN B C,
cos
A P A D ,
cosDA P Do BADDAAA AB' 60 cạnh hình hộp aDo , 3,
2
a A D a C D C A a DP DC
Xét tam giác A C D với A P đường trung tuyến, nên ta có:
2
2
4
A D C A C D
A P A P a
Áp dụng định lý cosin cho tam giác A DP , ta có:
2
cos
2 10
A D A P DP
DA P
A D A P
Như cos
,
cos
,
cos 10MN B C A P A D DA P
Câu 74 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC ABAC a BC; a Góc hai đường thẳng ABvà SCbằng
A 0. B 120 C 60 D 90
Lời giải
Chọn C
Gọi M N P, , trung điểm BC SB SA, , Góc ABvà SClà góc PNvà MN
2 a MN NP
2
3
a
PCBP PM PC CM
2
3
2 2
a a a
(70)Câu 75 (VD) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm BC Khi cosin góc hai đường thẳng sau có giá trị
6
A
AB DM,
B
AD DM,
C
AM DM,
D
AB AM,
Lời giải
Chọn A
Gọi cạnh tứ diện có độ dài a Ta có: a
AM DM
Xét tam giác ADM cân M có:
2
cos
2
AM DM AD
AMD AM DM 2 3 2 3 2 a a a a a
2
cos
2
DM AD AM
ADM AD DM 2 3 2 a a a a a
Xét tam giác ABC có AM đường trung tuyến đường phân giác nên
AB AM,
30 cos
,
AB AM
Từ loại trừ đáp án B, C,
Gọi N trung điểm AC Ta có MN AB//
AB DM,
MN DM,
Xét tam giác MND có: 2
cos
2
MN DM ND
NMD MN DM 2 3
2 2
3
2
a a a
(71)Suy cos
,
AB DM
Câu 76 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Góc MN
và SC
A 30 B 45 C 60 D 90
Lời giải
Chọn A
Gọi P trung điểm SB, ta có SC//NP
MN SC,
MN NP,
MNPMà
2
a
MP AB ;
2
a
NP SC ;
2 2 2 2
2 2
4 4
SC AC SA a a a a
MC ;
3
a
MB
2 2
2 2 2
2
5
2 4 4 3
4 4
a a
a
MC MB BC a
MN
Do
2 2
3
cos
2 2.
2 a
NP MN MP MN
MNP
a
NP MN NP
Vậy MNP30
Câu 77 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SAa, SBa 3,
SAB
ABCD
GọiM, N lượt lần trung điểm AB AC, Tính cơsin góc SM DNA cos
4
B cos
4
C cos
4
D cos
2
(72)Gọi P trung điểm AD, H chân đường vng góc hạ từ S xuống AB Theo giả thiết
SAB
ABCD
nên SH
ABCD
Xét tam giác SAB có AB2 SA2SB2 SAB vng S Ta có: MP/ /DN góc SM DN góc SM MP
Xét tam giác SAB có:
SM ABa
2 SA SB a SH
AB
2
2 a
AH SA SH
Ta lại có: 2
MP BDa Mặt khác: 2 a HP HA AP
Do đó: 2
2 SP SH HP a Xét tam giác SHP có
2 2
cos
2
SM MP SP
SMP
SM MP
2 2
2 2
4 2
a a a
a a
2a a
a
P
N M
D S
A
B C
(73)D
Ạ
NG 3: GÓC GI
ỮA ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG VÀ M
Ặ
T PH
Ẳ
NG
A KIẾN THỨC CHUNG 1 Xác định góc định nghĩa
* Định nghĩa: Góc đường xiên d mặt phẳng
góc nhọn tạo d hình chiếu vng góc d lên
*Phương pháp tính góc của d
- Tìm giao điểm I d mặt phẳng
- Chọn A d, vẽ AH mp
góc d mp
AIH - Dùng tỉ số lượng giác hệ thức lượng tam giác tính góc2 Tính góc dùng khoảng cách
Góc đường thẳng d mặt phẳng
P góc d hình chiếu lên
P Gọi góc đường thẳng d mặt phẳng
P 0 90Trước hết tìm giao điểm A d
PTrên d chọn điểm B khác A, dựng BH vuông góc với
P H Suy AH hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng
P Vậy góc d
P BAHNếu việc xác định góc d
P gặp khó khăn ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với
P ) ta dụng cơng thức sau đây:Gọi góc d
P , suy sin d M
,
P
AM
Ta phải chọn điểm M d cho tính khoảng cách đến
P , A giao điểm d
PB BÀI TẬP
Câu (NB) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
, góc SB mặt phẳng
ABC
A SBA B. SAB C. SBC D. SCB
d' d
P
M
A
(74)Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, AD2a, SA3a
và SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
A. SAD B. ASD C SDA D. BSD
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SAABa, gọi O ACBD, gọi góc cạnh bên mặt đáy Khẳng định sau đúng?
A. 60 B 45 C. tan
2
D. 30
Câu (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có AB AA 1 Góc tạo đường thẳng
AC
ABC
A. 45 B. 60 C 30 D. 75
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O hai mặt phẳng
SAC
,
SBD
vuông góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng
ABCD
góc cặp đường thẳng sau đây?A.
SB SA,
B.
SB SO,
C
SB BD,
D.
SO BD,
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SD, a SD vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng
SBD
A. 45 B. arcsin1
4 C 30 D. 60
Câu (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc
S lên
ABC
trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA
ABC
A. 30. B. 75. C. 60. D 45
Câu (TH) Cho chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vuông B Biết SA AB BC
Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng
SAC
A 30 B. 45 C. 60 D. cos1
3
arc
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh ABa, BC 2a Cạnh bênSA vng góc với mặt phẳng đáy
ABCD
và SAa 15 Tính góc tạo đường thẳng SCvà mặt phẳng
ABCD
A. 30 B 60 C. 45 D. 90
Câu 10 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
, SAa Gọi góc SC mặt phẳng
ABCD
Giá trị tanlà
A. 2 B 1 C. 45 D.
(75)A.
6 B
1
5 C.
1
3 D.
1
Câu 12 (TH) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm
AB góc tạo đường thẳng MC mặt phẳng
ABC
Khi tanA.
7
B.
2
C.
7
D
3
Câu 13 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc
S lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm H đường thẳng BC Biết tam giác SBC tam giác Số đo góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABC
A 45 B. 30 C. 60 D. 75
Câu 14 (TH) Cho lăng trụ ABC A B C có AB a ; AA a Tính góc đường thẳng
AB
mặt phẳng
BCC B
A. 60 B 30 C. 45 D. 90
Câu 15 (TH) Cho lăng trụ đều ABC A B C có tất cạnh a Góc đường thẳng AB mặt phẳng
A B C
A. 90 B. 30 C. 60 D 45
Câu 16 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm
ABvà góc tạo MCvà mặt phẳng
ABC
Khi tanbằng:A.
7 B.
3
2 C.
3
7 D
2 3
Câu 17 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Slên
ABC
là trung điểm cạnh BC Biết SBCđều, tính góc SAvà
ABC
A. 60 B 45 C. 90 D. 30
Câu 18 (TH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc ADC60 Gọi O giao điểm AC và BD, SO
ABCD
SO = 3a Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
(76)Câu 19 (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC, ASB90, BSC60, ASC120 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng
ABC
A. 90 B. 45 C. 60 D 30
Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có
2
a
SASBSC , đáy tam giác vuông A, cạnh
BC a Tính cơsin góc đường thẳng SAvà mặt phẳng
ABC
A.
2 B.
1
3 C
1
3 D.
1
Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2a, ADa SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cosin góc SC mặt đáy
A.
4 B.
7
4 C.
6
4 D
10
Câu 22 (TH) Cho tứ diện ABCD Cosin góc AB mp BCD
bằng:A.
2 B
3
3 C.
1
3 D.
2
Câu 23 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Gọi là góc đường thẳng '
A Bvà mặt phẳng (BB D D' ' ) Tính sin
A.
5 B.
3
2 C
1
2 D.
3
Câu 24 (TH) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABCD
A. , với cot B. 30 C. 60 D 45
Câu 25 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'cạnh a Điểm M thuộc tia DD'thỏa mãn
DM a Góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCDlà
A. 30o B. 45o C. 75o D 60o
Câu 26 (TH) Cho hình chóp S ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnh a tâm O Cạnh bên SA2a vng góc với mặt đáyABCD Gọi là góc SO mặt phẳng
ABCD
thìA tan2 B. tan C. tan 2 D. tan1
B D
(77)Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vng cân A,
ABAAa (tham khảo hình vẽ bên) Tính tang góc đường thẳng BC mặt phẳng
ABB A
A
2 B.
6
3 C. D.
3
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 28 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E, M trung điểm cạnh BCvà SA, là góc tạo đường thẳng EMvà mặt phẳng
SBD
Giá trị tanbằngA. B. C. D
Câu 29 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
, tam giác ABC cạnh a SAa Tang góc đường thẳng SC mặt phẳng
SAB
A
5 B.
3
2 C. D.
1
Câu 30 (VD) Cho tứ diện ABCD Cosin góc ABvà mặt phẳng
BCD
bằngA.
2 B
3
3 C.
1
3 D.
2
Câu 31 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E; M trung điểm BC SA Gọi là góc tạo EM
SBD
Khi tanbằng:A. B. C D.
Câu 32 (VD) Cho hình lăng trụ ABC A B C có 10
a
AA , ACa 2, BCa, ACB135 Hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm M AB Tính góc tạo đường thẳng C M với mặt phẳng
ACC A
A. 90 B. 60 C. 45 D 30
Câu 33 (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, ADC60 Gọi O giao điểm AC BD, SO
ABCD
SOa Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
A. 60 B. 75 C 30 D. 45
A C
B
A C
(78)Câu 34 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, ,
AD a ABBC a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng
SAC
A. 36 33 B. 26 57 C 26 33 D. 30 33
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Giá trị cơsin góc cạnh bên mặt đáy
A
6 B.
3
4 C.
3
12 D.
33
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa GọiM , N hình chiếu vng góc điểm A lên cạnhSB,SD Góc mặt phẳng
AMN
đường thẳng SBA. 45 B. 120 C. 90 D 60
Câu 37 (VD) Cho hình chópS ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Cạnh bên SA2a vng góc với đáy Gọi góc giữa SA
SBC
KhiA.
5
cos B
5
cos C.
2
cos D.Đáp án khác
Câu 38 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh ,
a
SAa SAvng góc với đáy Góc SCvà
ABCD
là:A.
30 B.
45 C
60 D.
90
Câu 39 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA
ABCD
SAa Gọi M trung điểm SB Tính tan góc đường thẳng DM
ABCD
A.
5 B.
2
5 C.
2
5 D
10
Câu 40 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi O tâm đáy M N, trung điểm SA BC, Nếu góc đường thẳng MN
ABCD
60 độ dài đoạn MNA.
2 a
B.
2 a
C.
2 a
D 10
2 a
Câu 41 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa AD, 2a
, SA vng góc với mặt đáy
ABCD
, SAa Gọi M N, trung điểm SB CD, Tính cosin góc MN
SAC
A.
10 B.
2
5 C.
1
5 D
55 10
Câu 42 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAvng góc với mặt phẳng đáy, ABCDlà hình chữ nhật có ,
AD a AC a, góc hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng (79)A.
5 B.
4
5 C.
2
5 D
17
Câu 43 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp để góc cạnh bên mặt đáy 60?
A.
3a B a C.
a
D.
6
a
Câu 44 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa 2; BC a
SASBSCSD a Gọi K hình chiếu vng góc B AC, H hình chiếu vng góc Ktrên SA Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng
BKH
A
4 B.
1
3 C.
8
5 D.
Câu 45 (VD) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm Gcủa tam giác ABC Cạnh bên hợp với
ABC
góc60 Sin góc ABvà mặt phẳng
BCC B
A
13 B.
3
2 13 C.
1
13 D.
2 13
Câu 46 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN
ABCD
60, cosin gócMN mặt phẳng
SBD
bằng:A. 41
41 B.
5
5 C
2
5 D.
2 41 41
Câu 47 (VD) Tứ diện OABCcó OAOBOCvà đơi vng góc Tan góc đường thẳng
OAvà mặt phẳng
ABC
bằngA. B. C. D
2
Câu 48 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC , có ABC tam giác cạnh a, SASBSCa Tính cosin góc giữa SA
ABC
A.
3 B.
1
2 C.
2
2 D
1
Câu 49 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a
Hai mặt phẳng
SAB
SAD
vng góc với mặt phẳng
ABCD
Gọi M N, trung điểm SB CD Tính cosin góc MN
SAC
, biết thể tích khối chóp
S ABCD
3 a
A.
10 B.
3 310
20 C
310
20 D.
(80)Câu 50 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa BC, 2 ,a SAa SA
vng góc với mặt phẳng đáy Cơ sin góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC)
A.
5 B
21
5 C.
3
2 D.
1
Câu 51 (VD) Cho hình chóp S ABC có mặt ABCvà SBClà tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với Số đo góc đường thẳng SAvà
ABC
bằngA 45 B. 75 C. 60 D. 30
Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh
a
, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mp(SCD)A. 30 B. 90 C 45 D. 60
Câu 53 (VD) Cho hình chóp S ABCD có ABCD đáy hình vng cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC)cùng vng góc với đáy ABCD SA2a Tính cosin góc đường thẳng SC
và mặt phẳng
SAD
A 30
6 B.
6
5 C.
3
2 D.
6
Câu 54 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết SA
ABCD
SAa Gọi M N, trung điểm SC BC, Tính góc hai đường thẳng MN BDA. 30 B. 90 C 60 D. 45
Câu 55 (VD) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có ABC tam giác cạnh a, cạnh bên
'
AA a Góc đường thẳng AB' mặt phẳng
ABC
A.
45 B.
30 C
60 D.
90
Câu 56 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mặt phẳng
SCD
A. 30 B. 60 C. 90 D 45
Câu 57 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, AD2cm, DC1cm,
120
ADC Cạnh bên SB cm, hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
cùng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi là góc tạo SDvà mặt phẳng
SAC
Tính sinA sin
4
B. sin
7
C. sin
4
D. sin
4
Câu 58 (VD) Cho tứ diện OABC có OAOBOC đơi vng góc Tangcủa góc đường thẳng OA mặt phẳng
ABC
A. B. C. D
2
Câu 59 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi góc đường thẳng A C' mặt phẳng
ABC D' '
KhiA. tan B. tan 1 C. tan
3
(81)Câu 60 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SA(ABCD) đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc SA (SBD)?
A ASO B. SOA C. ASB D. ASD
Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
tam giác ABC vuông C Biết AB2a,SAa , ABC300 Tính góc SC
SAB
.A. 60 B 30 C. 45 D. 90
Câu 62 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AD2a, ABa, cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy
ABCD
Gọi M trung điểm BC Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
SDM
bằng2
a
, tính tan góc đường thẳng SCvà mặt phẳng
ABCD
A
10 B. C.
1
5 D.
Câu 63 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAa 5, ABa Gọi M N P Q, , , trung điểm SA SB SC SD, , , Tính cosin góc đường thẳng DNvà mặt phẳng
MQP
A
2 B.
1
2 C.
3
2 D.
15
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 64 (VDC) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình vng cạnh
a
, tâm Ovà SO
ABCD
.Mặt phẳng
α qua Avà vng góc với SCcắt hình chóp theo thiết diện có diện tích Std 1a22 Gọi φlà góc đường thẳng SCvà mặt phẳng
ABCD
TínhA. 450 B φ arcsin1 129
16
C. φ arcsin1 33
8
. D. φ600
Câu 65 (VDC) Cho hình chóp
S ABCD
.
có đáyABCD
là hình bính hành,
2 , , 120
AB a BC a ABC Cạnh bên
SD
a
3
vàSDvng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo bởiSB
và mặt phẳng(
SAC
).
A.
7 B.
3
V C.
4
V D
4 V
Câu 66 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB2a, BCa,
120
ABC , SD vng góc với mặt phẳng đáy, SDa Tính cosin góc tạo SB
SAC
A.
4 B.
3
2 C
15
4 D.
(82)Câu 67 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD60,
2 a
SASBSD Gọi góc đường thẳng SDvà mặt phẳng
SBC
Giá trị sinbằng
A.
3 B.
2
3 C
5
3 D.
2
Câu 68 (VDC) Cho hình chóp S ABCD , tứ giácABCD hình thoi cạnh a SA, a ABC, 1200, hình chiếu S mặt phẳng
ABCD
điểm H thỏa mãn3
AH AB
Gọi E trung điểm ,
AD d trục đường trịn ngoại tiếp SCE, góc giữa d mặt phẳng
ABCD
Tính tanA
14 B.
6
7 C.
1
2 D.
(83)HƯỚ
NG D
Ẫ
N GI
Ả
I
D
Ạ
NG 3: GÓC GI
ỮA ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG VÀ M
Ặ
T PH
Ẳ
NG
Câu (NB) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
, góc SB mặt phẳng
ABC
A. SBA B SAB C SBC D SCB
Lời giải
Chọn A
Vì SA
ABC
nên hình chiếu SBlên
ABC
là AB
SB;
ABC
SBACâu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, AD2a, SA3a
SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
A SAD B ASD C. SDA D BSD
Lời giải
Chọn C
Ta có SA
ABCD
AD hình chiếu vng góc SD xuống mặt
ABCD
,
,
SD ABCD SD AD SDA
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ABa, gọi OACBD, gọi góc cạnh bên mặt đáy Khẳng định sau đúng?
A 60 B. 45 C tan
2
D 30
Lời giải
(84)Ta có
SA ABCD,
SA AO,
SAO Lại có2 a
AO , SAa cosSAO AO SA
2
2
a a
45
Câu (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có AB AA 1 Góc tạo đường thẳng
AC
ABC
A 45 B 60 C. 30 D 75
Lời giải Chọn C
Ta có
AC,
ABC
AC AC,
CAC, tanC AC CC AC
3
C AC 30
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O hai mặt phẳng
SAC
,
SBD
vng góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng
ABCD
góc cặp đường thẳng sau đây?A
SB SA,
B
SB SO,
C.
SB BD,
D
SO BD,
Lời giải Chọn C
O A
D
B C
(85)Do hai mặt phẳng
SAC
, SBD
vng góc với đáy nên SO
ABCD
Khi đó, O hình chiếu điểm S xuống đáy
ABCD
góc đường thẳng SB mặt phẳng
ABCD
góc SB BDCâu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SD, a SD vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng
SBD
A 45 B arcsin1
4 C. 30 D 60
Lời giải Chọn C
Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD Ta có
AO BD
AO SBD
AO SD
nên SO hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng
SBD
suy góc đường thẳng SA mặt phẳng
SBD
góc ASOTrong tam giác vng AOS, ta có
1
sin 30
2 a OA
ASO ASO
SA a
Câu (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S
lên
ABC
trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA
ABC
A 30. B 75. C 60. D. 45
O
B
D C
A
(86)Lời giải Chọn D
Dễ thấy AH hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng đáy Do góc tạo SA
ABC
SAHMặt khác, ABC SBC
2
a
SH AH
Vậy tam giác SAH tam giác vuông cân đỉnh H
hay SAH 45
Câu (TH) Cho chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vuông B Biết SA AB BC
Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng
SAC
A. 30 B 45 C 60 D cos1
3
arc
Lời giải
Chọn A
Gọi I trung điểm AC BI AC (vì ABC vng cân A)
1 Mặt khác: SABI (vì SA
ABC
)
2Từ
1
2 , suy ra: BI
SAC
SI
hình chiếu SB lên
SAC
a
a a
a
a
H
A B
C
S
I A
B
(87)
SB SAC,
SB SI,
BSI
Xét BSI vng I , ta có: sinBSI BI SB
2
2
AB
AB
2
30
BSI
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh ABa, BC2a Cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy
ABCD
và SAa 15 Tính góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng
ABCD
A 30 B. 60 C 45 D 90
Lời giải
Chọn B
Do SA
ABCD
nên
SC,
ABCD
SC AC,
SCA Xét tam giác vng SAC, ta có 2
tanSCA SA SA
AC AB BC
Suy SCA600
Câu 10 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
, SAa Gọi góc SC mặt phẳng
ABCD
Giá trị tanA 2 B. C 45 D
Lời giải
Chọn B
Ta có SA
ABCD
SC;
ABCD
SCA2
tan
2
SA SA a
AC AB a
(88)Câu 11 (TH) Cho hình chóp
S ABCD
.
có đáy hình vng cạnha, SAvng góc với(ABCD SB), 5aTính tan góc giữaSCvà mặt phẳng(SAB)
A 1
6 B.
1
5 C
1
3 D
1
Lời giải
Chọn B
Ta có BC SA BC (SAB) (BC SAB,( )) CSB
BC AB
SAB
vuông ởAsuy ratan BC CSB
SB
Câu 12 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm AB
và góc tạo đường thẳng MC mặt phẳng
ABC
Khi tanA
7
B
2
C
7
D.
3
Lời giải Chọn D
Ta có MC hình chiếu MC lên
ABC
Suy C CM Xét tam giác MCC vng C có: tan3
CC a
CM a
Câu 13 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm H đường thẳng BC Biết tam giác SBC tam giác Số đo góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABC
A. 45 B 30 C 60 D 75
Lời giải
(89)Tam giác ABC tam giác cạnh a
2 a AH
Tam giác SBC tam giác cạnh a
2 a SH
Vì SH
ABC
nên SAH góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABC
Tam giác SHA vuuong cân H nên SAH45oCâu 14 (TH) Cho lăng trụ ABC A B C có AB a ; AA a Tính góc đường thẳng
AB
mặt phẳng
BCC B
A 60 B. 30 C 45 D 90
Lời giải
Chọn B
Gọi
M
trung điểm B C A M
BB C C
, góc đường thẳngAB
mặt phẳng
BB C C
gócAB
BM
A BM
Ta có A B AA2AB2 a 3,
a
A M , sin
302
A M
A BM A BM
A B
(90)Câu 15 (TH) Cho lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a Góc đường thẳng AB mặt phẳng
A B C
A 90 B 30 C 60 D. 45
Lời giải
Chọn D
+) Ta có A B hình chiếu AB lên mặt phẳng
A B C
AB, A B C
AB A B,
AB A
+) AA B vuông A, AA A B a AA B vuông cân A AB A 45 Vậy góc đường thẳng AB mặt phẳng
A B C
45Câu 16 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm AB
và góc tạo MCvà mặt phẳng
ABC
Khi tanbằng:A 2
7 B
3
2 C
3
7 D.
2 3
Lời giải
Chọn D
Hình chiếu MClên mặt phẳng
ABC
là MC Do đó,
MC';
ABC
MC MC';
C MC' Xét tam giác vuông MCC:Ta có tan '
3
CC a
CM a
M
C'
B' A
B
C
(91)Câu 17 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Slên
ABC
trung điểm cạnh BC Biết SBCđều, tính góc SAvà
ABC
A 60 B. 45 C 90 D 30
Lời giải
Chọn B
Gọi M trung điểm BC Khi góc SAvà
ABC
là góc SAvà MA Tam giác SAMvng M có2
a
SM AM nên SAM 45
Câu 18 (TH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc ADC60 Gọi O giao điểm
AC và BD, SO
ABCD
SO = 3a Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
A. 60o. B 75o. C 30o. D 45o.
Lời giải
Chọn A
Ta có hình chiếu SD mặt phẳng
ABCD
OD nên
, ,
SD ABCD SD OD SDO
Ta có ADDC ADC60 nên tam giác ADC đều
tan 60
3 SO
OD a
OD
M
C
B
(92)Câu 19 (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC, ASB 90, BSC60, ASC 120 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng
ABC
A 90 B 45 C 60 D. 30
Lời giải Chọn D
Đặt SASBSCa
Ta có SAB vuông cân SABa 2; SBC BCa; SAC cân S ACa Ta thấy AB2BC2 AC2 ABC vuông B trung điểm H AC tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SH
ABC
Vậy góc SB
ABC
góc SBH Ta có SBa,2
a
BH BC cos
2
BH SBH
SB
30
SBH
Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có
2
a
SASBSC , đáy tam giác vuông A, cạnh BCa
Tính cơsin góc đường thẳng SAvà mặt phẳng
ABC
A
2 B
1
3 C.
1
3 D
1
(93)Gọi Hlà trung điểm BCthì SH
ABC
; suy HAlà hình chiếu SAtrên
ABC
Do
SA ABC;
SA HA;
SAH cosSAH AH SA
3 a a
3
Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2a, ADa SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cosin góc SC mặt đáy
A
4 B
7
4 C
6
4 D.
10
Lời giải Chọn D
Hình chiếu SC lên
ABCD
ACDo SC ABCD,
SCATa có 2 2
4
AB AD
AC a a a SC2a
Trong tam giác vuông SAC: cos 10 2
AC a
SCA
SC a
(94)A
2 B.
3
3 C
1
3 D
2
Lời giải Chọn B
Gọi M trung điểm CD Ta có AB
BM
Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng
BCD
HBMBH BM
3 AB
Góc đường thẳng AB mặt phẳng
BCD
ABMTa có coscosABM BH
AB
3 AB
AB
3
Câu 23 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Gọi là góc đường thẳng '
A Bvà mặt phẳng (BB D D' ' ) Tính sin
A
5 B
3
2 C.
1
2 D
3
Lời giải
Chọn C
B D
C A
H M
B D
(95)Ta có: BA B' (BB D D' ' )
' ' '
' '
' ( ' ' ) ' ' ' '
', ' ' ( ' ' )
A O B D
A O BB
A O BB D D
BB B D B
BB B D BB D D
BOlà hình chiếu vng góc AB'lên (BB D D' ' )nên
A B BDD B' ,
' '
A B BO' ,
Suy A BO' (do BA O' vng O)Ta có: ' , ' 2
a
A B a A O Suy sin ' ' A O
A B
Câu 24 (TH) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Góc đường thẳng
SA mặt phẳng
ABCD
A , với cot B 30 C 60 D. 45
Lời giải
Chọn D
Ta có : cos 2
AO SAO
SA
Vậy góc đường thẳng SA mặt phẳng
ABCD
45Câu 25 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'cạnh a Điểm Mthuộc tia DD'thỏa mãn
DM a Góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCDlà
A 30o B 45o C 75o D. 60o
Lời giải
Chọn D
B'
O A'
B
A
C
D
C'
(96)Dễ thấy đường thẳng BDlà hình chiếu vng góc đường thẳng BMlên mặt phẳng
ABCD
Suy góc đường thẳng BM mặt phẳng
ABCD
là góc hai đường thẳng BM BD
Ta có MDBvng D, DM a 6, BDa 2(đường chéo hình vng cạnh a) Suy góc hai đường thẳng BM BDlà góc MBD
6
tan
2
MD a
MBD
BD a
Vậy góc đường thẳng BM mặt phẳng
ABCD
là 60oCâu 26 (TH) Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh a tâm O Cạnh bên SA2a vng góc với mặt đáyABCD Gọi là góc SO mặt phẳng
ABCD
thìA. tan2 B tan C tan 2 D tan1
Lời giải
Chọn A
Vì SA
ABCD
nên hình chiếu vng góc SO
ABCD
làAO Gọi góc giữaSO mặt phẳng
ABCD
thì
SO OA,
SOA Vì tam giácSAO vuông tạiAnêntan SA OA
2 2 a
a 2
Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vng cân A, AB AAa
(97)A.
2 B
6
3 C D
3
Lời giải
Chọn A
ABC
vuông cân A AB ACa
ABA
vuông A A B a Ta có C A A B
C A AA
C A ABB A
BA
hình chiếu BC lên mặt phẳng
ABB A
BC; ABB A
BC BA;
A BC
vuông A tan ABC A C A B
2
a a
2
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 28 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E, M trung điểm cạnh BCvà SA, là góc tạo đường thẳng EMvà mặt phẳng
SBD
Giá trịtanbằng
A 2 B C 1 D.
Lời giải Chọn D
Dựng hình bình hành ABFC
Ta có EM //SFnên góc EMvà
SBD
bằng góc SFvà
SBD
//FB AC FB
SBD
do góc SFvà
SBD
bằng góc FSB Ta có tanFSB BF ACSB SB
Vậy chọn D Cách 2:
A C
B
A C
(98)Tọa độ hóa với OxOC Oy, OB Oz, OS
OA1
Ta có C
1; 0;0 ,
A
1;0; 0
SBD
nhận AC
2; 0; 0
là VTPTTừ 2
2
SA ABOA SO SA OA
0; 0;1 1 1
; 0; 2 1; 0;
S M A Ta có
1; 0;0 1 1 ; ; 2 0;1; C E EM B
nhận 1; ;1 2
ME
Là VTCPT
2 22
2 6
sin ;
1 1
1 2 ME AC EM SBD ME AC
cos tan
3
Là VTCPT
2 22
2 6
sin ;
1 1
1 2 ME AC EM SBD ME AC
cos tan
3
Câu 29 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
, tam giác ABC cạnh a SAa Tang góc đường thẳng SC mặt phẳng
SAB
A.
5 B
3
2 C 1 D
1
(99)Gọi M trung điểm AB CM AB CM
SAB
Ta có SM hình chiếu SC
SAB
SC SAC,
SC SM,
MSCTa có
2
a
MC , SM SA2AM2
a
Vậy tanMSC MC SM
5
-
Câu 30 (VD) Cho tứ diện ABCD Cosin góc ABvà mặt phẳng
BCD
bằngA
2 B.
3
3 C
1
3 D
2
Lời giải
Chọn B
Đặt ABa a
0
Gọi M trung điểm DC, Glà trọng tâm tam giác BCD Vì ABCDlà tứ diện nên AG
BCD
Khi
AB BCD;
AB BG;
ABGTa có 2 3
3 3
a a
BG BM
Vậy
3 3
cos
3
a BG ABG
BA a
Câu 31 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E; M trung điểm BC SA Gọi là góc tạo EM
SBD
Khi tanbằng:A 1 B 2 C. D
Lời giải G
M
A
D B
(100)Chọn C
Giả sử tất cạnh hình chóp có độ dài bằng#a Gọi O giao điểm AC BD , ,
N P H trung điểm AB AD OA , , Khi ta có
MNP
/ / SBD
Do là góctạo EMvà
SBD
góc tạo EMvà
MNP
/ /
/ /
EN AC
AC SBD EN MNP
SBD MNP
Suy hình chiếu ME
MNP
MN Suy góc góc hai đường thẳng MNvàME Trong tam giác MNE vuông N ta có
2 a
MN ,
2 a
NE suy tan EN MN
Câu 32 (VD) Cho hình lăng trụ ABC A B C có 10
a
AA , AC a 2, BCa, ACB135 Hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm M AB Tính góc tạo đường thẳng C M với mặt phẳng
ACC A
A 90 B 60 C 45 D. 30
Lời giải Chọn D
Dựng MI AC (IAC) MH C I (HC I ) (1) Ta có: AC IM AC
C MI
AC C M
mà HM
C MI
MH AC (2)Từ (1) (2) MH
ACC A
Do góc tạo đường thẳng C M với mặt phẳng
ACC A
góc HC M B'
A'
M C
A
B C'
(101)Mặt khác, ta có
2
1
.sin135
2 2
ABC AMC
a a
S CA CB a a S
Lại có
2
2
1
2 2
AMC AMC
S a a a
S MI AC MI
AC AC a
2 2
1 1
2 cos135 2 .cos135
2 2
a
AM AB AC CB AC CB a a a a
2
2 3 2
2
4 16 4
a a a a a
AI AM IM CI ACAI a
2
2 10 2
16 16
a a a
C I C C CI
Do sin 2 30
4 2
IM a
C I a
Câu 33 (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, ADC60 Gọi O giao điểm AC BD, SO
ABCD
SOa Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
A 60 B 75 C. 30 D 45
Lời giải
Chọn C
Ta có ABCD hình thoi cạnh 2a, ADC60 nên ACD 3
a
OD a
Góc đường thẳng SD mặt phẳng
ABCD
SDO tan SO SDODO
suy
30
SDO
Câu 34 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, ,
AD a ABBC a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng
SAC
A 36 33 B 26 57 C. 26 33 D 30 33
Lời giải
(102)
SC ABCD C hình chiếu S mặt phẳng
ABCD
A hình chiếu SC mặt phẳng
ABCD
AC
SC,
ABCD
SC AC,
SCA60Xét tam giác ABC vng B có AC AB2BC2 a2a2 a
Xét tam giác SAC vng A có SA AC.tan 60 a 3a
2
2
SC SA AC a
Xét tam giác SAD vng A có SD SA2AD2 6a24a2 a 10 Gọi I trung điểm AD.Ta có
2
AI ADa AI BC Lại có AI//BC nên ABCI hình bình hành Do
2
CI ABa AD ACD vng CCDAC mà CDSA (vì
SA ABCD ) nên CD
SAC
Ta có SD
SAC
S hình chiếu D mặt phẳng
SAC
C hình chiếu SD mặt phẳng
SAC
SC
SD SAC,
SD SC,
DSCXét tam giác SCD vng C có cos 2 5 10
SC a
DSC
SD a
DSC26 33
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Giá trị cơsin góc cạnh bên mặt đáy
A.
6 B
3
4 C
3
12 D
33
Lời giải
Chọn A
D I
B C
(103)Gọi O tâm ABC, suy 3 a
OA
Do S ABC hình chóp nên SO
ABC
Góc cạnh bên mặt đáy góc SA mặt phẳng
ABC
Ta có
3 3
cos , cos , cos
2
a OA
SA ABC SA OA OAS
SA a
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa GọiM , N hình chiếu vng góc điểm A lên cạnh
SB,SD Góc mặt phẳng
AMN
đường thẳng SBA 45 B 120 C 90 D. 60
Lời giải
Chọn D
Gọi I hình chiếu vng góc A lên cạnh SC
Ta có BC AB BC, SABC(SAB)BC AM
( )
AM SB AM SBC AM SC
Tương tự: AN (SCD) AN SC Vậy SC(AMN) I
Ta có MI hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng
AMN
Suy góc SB
AMN
góc SMII N
M
O
D A
B
(104)Ta có sinSMI SI SM
Ta có 2
3 a SM SBSA SM
2
2
SC SA AC a
2
SI SCSA SI a
Vậy sin 60
2 SI
SMI SMI
SM
Câu 37 (VD) Cho hình chópS ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Cạnh bên SA2a vng góc với đáy Gọi góc giữa SA
SBC
KhiA
5
cos B.
5
cos C
2
cos D Đáp án khác
Lời giải
Chọn B
Kẻ AH SB, chứng minh đượcAH
SBC
, Khi đógóc SA
SBC
góc ASH hayASB ta có SBa 5
cos SA SB
2
5 a a
Câu 38 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh ,
a
SAa SAvng góc với đáy Góc SCvà
ABCD
là:A
30 B
45 C.
60 D
90
Lời giải
Chọn C
I C
S
D
B A
(105)
SA ABCD AClà hình chiếu SC mp ABCD
Góc SCvà
ABCD
là SCATứ giác ABCD hình vng cạnh a
AC a
tanSCA SA a
AC a
SCA600
Câu 39 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA
ABCD
SAa Gọi M trung điểm SB Tính tan góc đường thẳng DM
ABCD
A
5 B
2
5 C
2
5 D.
10
Lời giải
Chọn D
Gọi N trung điểm AB
Ta có: MN đường trung bình SAB nên MN SA//
2
a
MN SA
Lại có: SA
ABCD
N M
C A
D
B
(106)Do MN
ABCD
1 Suy MN DNTa có: N hình chiếu vng góc M lên
ABCD
(do
1 ) D hình chiếu vng góc D lên
ABCD
Suy
DM;
ABCD
DM ND;
MDN (MDN nhọn MND vng N) Ta có: DN AD2AN22 a
Xét MND vng N , có: tanMDN MN
DN
10
5
Vậy tan
;
10DM ABCD
Câu 40 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi O tâm đáy M N, trung điểm SA BC, Nếu góc đường thẳng MN
ABCD
60 độ dài đoạn MNA
2 a
B
2 a
C
2 a
D. 10
2 a
Lời giải
Chọn D
Gọi H trung điểm OAMH SO Do hình chóp S ABCD nên:
,
60SO ABCD MH ABCD MN ABCD MNH Xét tam giác HNC có:
2
2 2 2
2
4 8
a a a a a
HN NC HC HC NC cosHCN
Vậy
2
a
HN Xét tam giác vng MHN ta có: 5.2 10
60 2
HN a a
MN cos
Câu 41 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa AD, 2a,
(107)A 3
10 B
2
5 C
1
5 D.
55 10
Lời giải
Chọn D
Gọi I BNAD Dễ thấy N trung điểm BI, MN/ /SI Kẻ đường thẳng qua D song song với SI cắt SA K DK/ /SI
MN SAC,
DK SAC,
Dễ thấy CK hình chiếu DK
SAC
DK SAC,
DKCTa có 2
3
a KA SA
2
2 22
2
9
a
KC KA AC a a
,
2
2 2 10
4
9
a
KD KA AD a a
55
cos
10
KC DKC
KD
Câu 42 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAvng góc với mặt phẳng đáy, ABCDlà hình chữ nhật có ,
AD a AC a, góc hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng45 Khi cơsin góc đường thẳng SDvà mặt phẳng
SBC
bằngA
5 B
4
5 C
2
5 D.
17
Lời giải
(108)Góc hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng SDA 450Gọi Elà hình chiếu vng góc Alên SB
,
2 2 125
SA AB a
AE SBC d A SBC AE
SA AB
(với AB AC2AD2 4a)
Gọi Hlà hình chiếu vng góc Dlên
SBC
Khi đó, góc đường thẳng SDvà mặt phẳng
SBC
bằng DSH
0 12
, , 5 2 2
sin
.tan 45
a
d D SBC d A SBC
DH AE
DSH
SD SD SD AD a
17
cos sin
5
DSH DSH
Câu 43 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp để góc cạnh bên mặt đáy 60?
A
3a B. a C 6
a
D
6
a
Lời giải
(109)Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC
Ta có: SA SB SC
GA GB GC
Suy SG trục
ABC
Suy SG
ABC
Ta có: A hình chiếu vng góc A lên
ABC
G hình chiếu vng góc S lên
ABC
Suy
SA ABC;
SA AG;
SAG 60 Ta có: 2 33 3
a a
AG AI
Xét tam giác SAG vng G, ta có:
tan 60 3
a
SG AG a
Câu 44 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa 2; BC a
SASBSCSD a Gọi K hình chiếu vng góc B AC, H hình chiếu vng góc Ktrên SA Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng
BKH
A.
4 B
1
3 C
8
5 D
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Tính trực tiếp lớp 11.
60°
G
I
A C
(110)Gọi I tâm ABCD
Ta có: SI AC SI
ABCD
SI BD
Mặt khác: BK AC BK
SAC
BK SI
Suy ra: SH HK SH
BHK
SH BK Nên cos
SB BHK;
cosHBKTa có:
2SM AB 2HB SA
SM AB HB
SA
Với: 2 14
2
a
SM SA AM
Suy ra: 14 2 a a a HB a 2 a
AH AB HB
2
a SH
Trong tam giác BHK có:
2
cos
2
HB SB SH
(111)Vậy: cos
;
SB BHK
Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa khơng gian (lớp 12).
Gọi I tâm ABCD
Ta có: SI AC SI
ABCD
SI BD
Chọn hệ trục hình vẽ với: B
0;0;0
; A a
2;0;0
; C
0; ;0a
2SI SB BI
2
2 13
4
4
a a
SI a
Suy tọa điểm 2; ; 13 2
a a a
S
Trong tam giác vuông BAC có:
2
AB AK
AC
3
a AK
;
3
AK AC
Suy ra:
AK AC
2 2
; ; 3
a a
K
Kẻ IJ SA, (hình minh họa)
Ta có:
2
AI AJ
SA
8
AJ a
Dễ thấy:
3
AH AK
AJ AI
a AH
(112)Suy ra:
AH AS
với AH
xH a 2;yH;zH
; 2; ; 132 2
a a a
AS a
13
; ; 8
a a a
H
Để dễ tính tốn ta đặt a1
Lúc ta có hệ thống điểm sau: 13
; ; 2
S
; 2; ; 3 K
; 1; ; 13 8
H
Gọi 1; ; 13 2 BSu
; ; 13; 26 13 2; 24 24 24 nBH BK
Ta có: sin
SB BHK;
sin
sin sin u n; u nu n
2 2
2 26 26 13 26
48 48 48
sin
2 13 52 26 388 4 24 24 24
sin
Suy ra: cos
;
16SB BHK
Câu 45 (VD) Cho lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Blên mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm Gcủa tam giác ABC Cạnh bên hợp với
ABC
góc 60 Sin góc ABvà mặt phẳng
BCC B
A.
13 B
3
2 13 C
13 D
2 13
Lời giải Chọn A
Ta có B G
ABC
nên BGlà hình chiếu BBlên mặt phẳng
ABC
BB, ABC
BB BG,
B BG 60
(113)Gọi M trung điểm BCvà Hlà hình chiếu Alên B M , ta có
BC AM
BC B G
BC AB M
BC AH
Mà AH B M nên AH
BCC B
Do HBlà hình chiếu ABlên mặt phẳng
BCC B
AB BCC B,
AB HB,
ABHXét tam giác ABH vng Hcó sinABH AH AB
B G BG.tan 60 3
a
a
2
B M B G GM
2
2
a
a
39
a
Ta có AHM B GM AH AM B G B M
3
3
39 13
a a
a a
Vậy
3 13 sin
a ABH
a
13
Câu 46 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN
ABCD
60, cosin góc MN mặt phẳng
SBD
bằng:A 41
41 B
5
5 C.
2
5 D
2 41 41
Lời giải Chọn C
Cách 1:
(114)Gọi P trung điểm OA PN hình chiếu MN
ABCD
Theo ra: MNP60
Áp dụng định lý cos tam giác CNP ta được:
2 2
2 cos 45
NP CP CN CP CN
2
2
3 2
2
4 4 2
a a a a a
Suy ra: 10 a
NP , tan 60 30 a
MPNP ; 30
2 a
SO MP
2
2
SB SO OB a EF a
Ta lại có: MENF hình bình hành ( ME NF song song 2OA) Gọi I giao điểm MN EF, góc MN mặt phẳng
SBD
NIF
cos
2 10
IK a NIF
IN a
Cách 2:
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ cho:
0; 0;0
O , 2; 0;
a
A
, 2; 0;
a
C
, 0; 2;
a B
, 0; 2;
a
D
,S
0;0;x
,x0M trung điểm SA: 2;0;
4
a x
M
N trung điểm BC: 2; 2;
4
a a
N
2
; ;
4
a a x
MN
,k
0; 0;1
Ta có: o
2 2
2 sin 60
8
x MN k
MN k a a x
xa 30
Khi 2; 2; 30
4 4
a a a
MN
VTCP
SBD
i
1; 0;0
Gọi góc
SBD
và MNTa có:sin MN i MN i
cos
5
Câu 47 (VD) Tứ diện OABCcó OAOBOCvà đơi vng góc Tan góc đường thẳng OA
và mặt phẳng
ABC
bằngA 2 B C 1 D.
2
Lời giải
(115)Theo tứ diện OABCcó OAOBOCvà đơi vng góc nên đáy ABClà tam giác hình chiếu vng góc Olên
ABC
trùng với trọng tâm Gcủa ABCDo OG
ABC
OA ABC;
OAGGiả sử OAOBOC aAB ACBCa Xét tam giác OBCvuông:
2
BC a
OM (tính chất đường trung tuyến)
tan 22a
OA OB OM a
OA OBC OA OM OAM
OA OC OA
Câu 48 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC , có ABC tam giác cạnh a, SASBSCa Tính cosin góc giữa SA
ABC
A 2
3 B
1
2 C
2
2 D.
1
Lời giải
Chọn D
Gọi AI CK, đường cao tam giác ABC, H AI CK Ta có BC AI BC; SI BC SH
Tương tự, ABSH
Suy SH
ABC
nênAH
hình chiếu SA lên
ABC
A C
B O
M G
H
A C
B S
(116)
;
;
SA ABC SA AH SAHXét tam giác SAH vuông H có 2 3
3 3
a a
AH AI
3 cos 3 a AH SAH SA a
Câu 49 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng
SAB
SAD
vng góc với mặt phẳng
ABCD
Gọi M N, trung điểm SB CD Tính cosin góc MN
SAC
, biết thể tích khối chóp S ABCD 3 aA
10 B
3 310
20 C.
310
20 D
3 10
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Gọi
mp qua MN song song với mp
SAD
Khi
cắt AB tạiP, cắtSC Q, cắt AC K Gọi I giao điểm MN QK I
SAC
Suy ra:P, Q, K trung điểm củaAB, SC vàACLại có: ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC 2CD2a
AD2 ;a ABBCCDa
2 a
CH ;
2
2 3
2
ABCD
a a a a
S
Nên
2
1 3
3 4
ABCD
a a
V SA SAa
2
a
MP SA
2
a NP
Xét tam giác MNPvuông P:
2
3 10
2 2
a a a
MN ,
MP KQ đường trung bình tam giác SAB,SAC MP KQ SA// //
KN đường trung bình tam giác
ACD KN AD a
Xét tam giác AHC vuông H:
2 2
3
3
2
a a
AC a
(117)Suy ra: tam giác KNCvuông C C hình chiếu vng góc N lên
SAC
góc MN
SAC
góc NICKhi đó: 2 10 10
3 3
IN KN a a
IN MN
MN NP
Xét tam giác NICvuông tạiC: ; 10
2
a a
NC IN
2 2
10 31
3
a a a
IC
cos 31: 10 310
6 20
IC a a
NIC IN
Cách2. Vì ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC2CD2a
AD2 ;a ABBC CDa
2 a
CH ;
2
2 3
2
ABCD
a a a a
S
nên
2
1 3
.SA
3 4
ABCD
a a
V SAa
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: K
0; 0; ,
; 0; ,2 a B
3 0; ; ,
2
a C
3 0; ; ,
2
a A
3 ; ; , 2
a a N
3
0; ; ,
2
a S a
3
; ;
4
a a a
M
3 3
; ;
4
a a a
MN
Chọn u1
3;3 3; 2
cùng phương với MN
Nhận xét: BK SA BK
SAC
BK AC ; 0; a BK
vtpt
SAC
.Chọn n1
1;0;0
phương với BK Gọi là góc góc MN
SAC
Ta có 13 10 sin 20 u n u u
cos 310
20
Câu 50 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa BC, 2 ,a SAa SA
vuông góc với mặt phẳng đáy Cơ sin góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC)
A 2
5 B. 21 C D
Lời giải
(118)Kẻ DE AC E, AC ta có DESA DE(SAC) Suy góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) góc DSE
Ta có , 5, 21
5
a
ED SDa SE
Tam giác DSEvuông E nên cos 21
SE DSE
SD
Câu 51 (VD) Cho hình chóp S ABC có mặt ABCvà SBClà tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Số đo góc đường thẳng SAvà
ABC
bằngA. 45 B 75 C 60 D 30
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có
ABC
SBC
Trong mặt phẳng
SBC
kẻ SH BC SH
ABC
hay SHlà đường cao hình chóp Khi ta có
SA ABC,
SA AH,
SAHMặt khác theo giả thiết tam giác SBCvà ABClà tam giác nên Hlà trung điểm BCvà
2
a AH SH
Xét tam giác vng SHAta có tanSAH SH AH
SAH45
A D
B
S
C E
H S
C A
(119)Vậy
SA ABC,
45Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh
a
, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mp(SCD)A 30 B 90 C. 45 D 60
Lời giải
Chọn C
Do ABCD hình thoi góc BAD60 nên ABD tam giác cạnh
a
Gọi H trọng tâm tam giác ABD Ta có 3
a DH
Vì SASBSDa nên SH (ABCD) 2
a
SH SD DH
Gọi F hình chiếu vng góc H lên SD ta có HFmp(SCD) Tính
3
SH DH a
FH
SD
Gọi I hình chiếu A lên (SCD) FH song song với AI Ta có
FH CH
AI CA
Nên
2
a AI HF
Góc đường thẳng SA mp(SCD) góc ASI sin 2
AI ASI
SA
ASI45
Câu 53 (VD) Cho hình chóp S ABCD có ABCD đáy hình vng cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC)cùng vng góc với đáy ABCD SA2a Tính cosin góc đường thẳng SC mặt phẳng
SAD
A. 30
6 B
6
5 C
3
2 D
6
Lời giải
(120)Vì hai mặt phẳng (SAB) (SAC)cùng vng góc với đáy ABCD nên SA vng góc với đáy (ABCD)
Ta có CD AD CD (SAD)
CD SA
, suy góc đường thẳng SC mặt phẳng(SAD) góc
CSD
Xét tam giác SAC vng A, có SA2a, ACa 2, suy
22
SC a a a
Xét tam giác SCD vng D, có CDa, SCa 6, suy
2
6
SD a a a
5 30
cos
6
6
SD a
CSD
SC a
Câu 54 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết SA
ABCD
SAa Gọi ,M N trung điểm SC BC, Tính góc hai đường thẳng MN BD
A 30 B 90 C. 60 D 45
Lời giải
Chọn C
Vì M N, trung điểm BC SC, nên MN//SB Suy
MN BD,
SB BD,
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SAB tam giác SAD ta có
2 2
2
SB SA AB a a a ,
2 2
2
(121)ABCD hình vng nên BDa Vậy tam giác SBD tam giác
SB BD,
60
MN BD,
60Câu 55 (VD) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có ABC tam giác cạnh a, cạnh bên AA'a Góc đường thẳng AB' mặt phẳng
ABC
A
45 B
30 C.
60 D
90
Lời giải
Chọn C
*Vì BB'
ABC
nên AB hình chiếu vng góc AB'trên
ABC
*Ta có
AB',
ABC
AB AB',
B AB'* Tam giác ABB' vuông B nên ' '
tanBAB' BB AA BAB' 60
AB AB
Câu 56 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mặt phẳng
SCD
A 30 B 60 C 90 D. 45
Lời giải
Chọn D
Dễ thấy hình chóp S ABD Gọi G trọng tâm ABD Khi SG
ABCD
Do ABD nên GDCDCD
SGD
Kẻ GH SD,
HSD
Khi đó: GH
SCD
d G
;
SCD
GH Ta có: 33
a a
GD 2
3
a
SG SD GD
C B
A'
C' B'
A
B C
A D
S
G
(122)Xét SGD vuông G:
a GH SDSG GDGH
Mà
;
;
2AC a
d A SCD d G SCD
GC
Gọi K hình chiếu A lên
SCD
Khi góc SA mặt phẳng
SCD
ASK Xét ASK vuông K thì: sin2
AH SAK
SA
SAK45
Câu 57 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, AD2cm, DC1cm,
120
ADC Cạnh bên SB cm, hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
cùng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi là góc tạo SDvà mặt phẳng
SAC
Tính sinA. sin
4
B sin
7
C sin
4
D sin
4
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy SB
ABCD
, BD AB2AD22AB AD .cos 60 SD2
2 cos 60
AC AB AD AB AD
Gọi Hlà hình chiếu Btrên AC, Klà hình chiếu Btrên SH Khi BH
SAC
Do
2 ABC
S BH AC sin120
2
AB BC 21
7 BH
2 2
1 1
BK BH BS
6
BK
,
,
d B SAC d D SAC
Dễ thấy sin
,
d D SAC
SD
Câu 58 (VD) Cho tứ diện OABC có OAOBOC đơi vng góc Tang góc đường thẳng OA mặt phẳng
ABC
A 2 B C 1 D.
2
Lời giải
Chọn D
O
B A
C D
S
(123)Gọi I trung điểm BC OI BC, kẻ OH AI (HAI ) OH
ABC
Ta góc đường thẳng OA mặt phẳng
ABC
góc hai đường thẳng OA, AH OAH OAIGiả sử OAOBOCa, ta có
2
BC a
OI
Xét tam giác OAI vuông O có
2 2
tan
2
a OI OAI
OA a
Câu 59 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi góc đường thẳng A C' mặt phẳng
ABC D' '
KhiA tan B tan 1 C tan
3
D. tan
Lời giải
Chọn D
Gọi I trung điểm A C' Ta có: ACC A ABC D' '; ' 'là hình chữ nhật Nên AC A C BD'; ' ; 'cắt I A C'
ABC D' '
I (124)Từ
1
2 ta có A O'
ABC D' '
A C' ; ABC D' '
A IO'
Gọi cạnh hình lập phương a
Tam giác A IO' vng Ocó: A'O 2
a
; ' '
2
a OI D C
2 'O 2
tan '
2 a A A IO
a OI
Câu 60 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SA(ABCD) đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc SA (SBD)?
A. ASO B SOA C ASB D ASD
Lời giải
Chọn A
Ta có AOBD;SABD(SAO)BD(SAO)(SBD) Mà (SAO)(SBD)SO Trong (SAO) :AH SO H
( ) (SA;(SBD)) (SA;SH) SO
AH SBD ASH A
Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
tam giác ABC vuông C Biết AB2a,SAa , ABC300 Tính góc SC
SAB
.A 60 B. 30 C 45 D 90
Lời giải
Chọn B
Kẻ CH AB, theo giả thiết CH SA nên CH
SAB
SA
C
(125)Vậy
SC SAB;
CSH ý tam giác SHC vng H Ta có sinCSH HC SC
Tính tốn AC AB.sin 300a; 2
SC SA AC a 3; HC AC.sinCAH a.sin 600 a
Vậy nên sin
CSH tức sinCSH300
Câu 62 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AD2a, ABa, cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy
ABCD
Gọi M trung điểm BC Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
SDM
bằng2
a
, tính tan góc đường thẳng SCvà mặt phẳng
ABCD
A.
10 B 1 C
1
5 D
Lời giải
Chọn A
Trong mặt phẳng
ABCD
, ACDM
KTa có
2
CK MC
AK AD , suy
, ,
2
d C SDM d A SDM , suy d A SDM
,
a Từ giả thiết ABCD hình chữ nhật với AD2a, ABa AM DM a2 2
AD AM DM
tam giác AMD vuông M
MDAM Mặt khác MDSA (vì SA
ABCD
)Ta có
AM
MD AM
MD A A
S A
S
MD
SAM
Trong
SAM
kẻ AH SM H, suy AH
SDM
d A SDM
,
AHaXét tam giác SAM vng A, ta có :
2 2
1 1
AH SA AM 2 2
1 1
2
SA a a a
SAa
Góc đường thẳng SC mặt phẳng
ABCD
góc SCA Ta có tan 105
SA a
SCA
AC a
(126)Câu 63 (VD) Cho hình chóp đều S ABCD có SAa 5, ABa Gọi M N P Q, , , trung điểm SA SB SC SD, , , Tính cosin góc đường thẳng DNvà mặt phẳng
MQP
A.
2 B
1
2 C
3
2 D
15
Lời giải
Chọn A
Gọi Olà tâm hình vng ABCD Khi SO
ABCD
Mặt phẳng
MQP
cũng mặt phẳng
MNPQ
Vì hai mặt phẳng
MNPQ
và
ABCD
song song với nên góc đường thẳng DNvà mặt phẳng
MNPQ
bằng góc đường thẳng DNvà mặt phẳng
ABCD
Trong mặt phẳng
SBD
gọi Hlà hình chiếu vng góc Nlên BD Khi góc DNvà
ABCD
là góc NDHTa có:
2
2 2
5
2
a
SO SB BO a a
3 2 SO
NH a; 3
4 4
DH BD a a
Ta suy tam giác NDH vng cân Hnên góc 45 NDH Vậy cos
2 NDH
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 64 (VDC) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình vuông cạnh
a
, tâm Ovà SO
ABCD
.Mặt phẳng
α qua Avà vng góc với SCcắt hình chóp theo thiết diện có diện tích Std 1a22
Gọi φ
là góc đường thẳng SCvà mặt phẳng
ABCD
TínhA 450 B. φ arcsin1 129
16
C φ arcsin1 33
8
. D φ600
Q
P N
M
O
C A
D
B
S
(127)Lời giải
Chọn B
Giả sử
α cắt cạnh SB,SC,SDlần lượt điểm H, J,K Gọi Ilà giao điểm SO AJ Do BD SO BD
SAC
BD SCBD AC
mà
α SC
α BDVậy
BD SBDBD α KH BD HK SAC HK AJ
SBD α HK
do SAHJK 1HK.AJ
Do SO
ABCD
OClà hình chiếu SCtrên
ABCD
suy
SC, ABCD
SCOφ Ta có AJAC sinφ a sin φ ; SO OC tanφ a tan φ2
ΔSOC ΔSJI SIJSCOφAIO SIJ φ Từ ta có OI OA cotφ a cot φ
2
a cotφ
HK SI OI 2
1 1 cot φ
BD SO SO a 2
tanφ
KH BD cot
2φ
a cot φ
Vậy SAHJK 1HK.AI a sinφ.a cot φ
2a sin φ cot φ2
Từ giả thiết suy 2a sin2 φ cot φ
1a2 8 sin2φ sin φ 4 0
1 129
sinφ
16
(do φ π
nên sinφ 0 ) φ arcsin1 129
16
Vậy góc đường thẳng SCvà mặt phẳng
ABCD
là φ arcsin1 129 16
H K
J I
D
C
B A
(128)Câu 65 (VDC) Cho hình chóp
S ABCD
.
có đáyABCD
là hình bính hành, 2 , , 120 AB a BC a ABC Cạnh bên
SD
a
3
vàSDvng góc với mặt phẳng đáy Tínhsin góc tạo bởiSB
và mặt phẳng(
SAC
).
A
7 B
3
V C
4
V D.
4 V
Lời giải
Chọn D
GọiHlà hình chiếu vng góc củaBlên mặt phẳng(SAC)khi đó
SB SAC, ( )
BSH Nênsin
SB SAC, ( )
sinBSH BH d B SAC( , ( ))SB SB
(*)
Lại có ( , ( )) sin ( , ( )) ( , ( ))
d B SAC BO BH d A SAC
BSH
d A SAC DO SB SB
Kẻ DK AC DI, SKd A SAC( , ( ))DI
Trong 2
: cos
ADC AC DA DC DA DC ADC a
1 3
.sin ;
2
DAC DAC
S a
S DA DC ADC DK a
AC
Xét tam giác vngSDKcó đường caoDIsuy
2
2
4
SD DK a
DI
SD DK
Trong ABD BD: DA2AB22DA AB .cosDAB a
2
(129)Thay vào (*) ta
6
sin
4
a AI BSH
SB a
Câu 66 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB2a, BCa, ABC120 , SD vng góc với mặt phẳng đáy, SDa Tính cosin góc tạo SB
SAC
A 1
4 B
3
2 C.
15
4 D
3
Lời giải
Chọn C
Trong tam giác ABC ABD ta có AC AB2BC22AB BC .cosABC a 7,
2
2 cos
BD AB AD AB AD BADa
Tam giác ABD có AB2 AD2BD2 nên tam giác ABD vng D
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có: D
0; 0;0
, A a
; 0;0
, B
0;a ;0
, S
0; 0;a 3
Do DA CBC
a a; ; 0
Véc tơ phương đường thẳng S B SB
0;a ;a 3
, chọn véc tơ phương đường thẳng S B u
0;1; 1
Lại có: SA
a; 0;a 3
, SC
a a; ;a 3
véc tơ pháp tuyến mp SAC
2 2
, ; ;
SA SC a a a
, chọn véc tơ pháp tuyến mp SAC
u
; 2;1
Gọi góc tạo SB
SAC
, ta có sin cos sin2 154
u n u n
Câu 67 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD60,
2 a
SASBSD Gọi góc đường thẳng SDvà mặt phẳng
SBC
Giá trị sinbằngA 1
3 B
2
3 C.
5
3 D
(130)Lời giải Chọn C
Gọi Olà tâm hình thoi ABCD, Hlà trọng tâm tam giác ABD Từ SASBSDsuy
SH ABCD
Tam giác ABDcó AB ADavà BAD60nên suy tam giác ABDlà tam giác cạnh a
3 a AO
3
a
AH BH AO
Do SH SA2AH2
2
3 15
2
a a a
Ta có BH ADBH BC BC
SHB
Kẻ HK SB
KSB
HK
SBC
Trong tam giác SHBvuông H, ta có:2 SH BH HK SH BH
2
15 15 a a a a 15 a
Gọi EDHBC
2 DE HE
Gọi Ilà hình chiếu Dtrên
SBC
, suy rA2
DI DE
HK HE
3
DI HK
15
2 a 15 a
Ta có
SD SBC;
SD SI;
DSI DSI
sin sinDSI DI
(131)Câu 68 (VDC) Cho hình chóp S ABCD , tứ giácABCD hình thoi cạnh a SA, a ABC, 1200, hình chiếu S mặt phẳng
ABCD
điểm H thỏa mãn3
AH AB
Gọi E trung điểm AD d, trục đường tròn ngoại tiếp SCE, góc giữa d mặt phẳng
ABCD
Tính tanA.
14 B
6
7 C
1
2 D
6 35
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Gọi góc
SCE
, ABCD
Ta có dlà trục đường trịn ngoại tiếp SCE nên d vng góc với
SCE
90 tan cot
Kẻ HI vng góc CE I SI vng góc CE I
(HI SI, ) HIS
2
2 2 2
3
a a
SH SA AH a
2
2 2 7
2 cos120
4 2
a a a a
CE CD DE CD DE a a CE
2 2
2 2 7
2 cos 60
9 2 36
a a a a a a
HE AH AE AH AE HE
2
2 2 19 13
2 cos120
9
a a a a
CH CB BH CB BH a a CH
2 11
cos sin
2 133 133
CH CB HE
HCE HCB
CH CB
.sin sin
21 a HI CE CH CE HCEHI CH HCE
2 3
cot tan
14 21 2
HI a
SH a
(132)Kẻ HK vng góc CE K; HI vng góc SE I HI vng góc
SCE
d/ /HI
( ,d ABCD) (HI ABCD,( )) IHK HSK
2
2 2 2
3
a a
SH SA AH a
2
2 2 7
2 cos120
4 2
a a a a
CE CD DE CD DE a a CE
2 1
; ;
3
CBH ABC AHE ABD CDE CDA
S S S S S S
2
2 1 3
2
3 6
CHE ABC
a a
S S
2 2 3
tan
21 21 2 14
SCE
S a HK a
HK
CE SH a
(133)D
Ạ
NG 4: GÓC GI
Ữ
A HAI M
Ặ
T PH
Ẳ
NG
A KIẾN THỨC CHUNG
1 Xác định góc hai mặt phẳng định nghĩa * Phương pháp
Cho hai mặt phẳng
P , Q
P Q Trong
P vẽ đường thẳng a
Q vẽ đường thẳng b Khi đó, ta có
P , Q
a b,2 Xác định góc hai mặt phẳng cách tạo mặt phẳng vng góc giao tuyến * Phương pháp
- Tìm giao tuyến d mặt phẳng
P
Q - Dựng mặt phẳng
R vng góc với d- Tìm giao tuyến a mặt phẳng
P
R , giao tuyến b mặt phẳng
Q
RKhi đó:
P , Q
a b,
3 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt
Giả sử hai mặt phẳng
cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng
đường thẳng a vng góc với c dựng
đường thẳng b vng góc với cKhi góc hai mặt phẳng
góc hai đường thẳng a b (134)
,
,a b
a b a c
b c
B BÀI TẬP
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 1.(TH) Cho hình chóp S ABCD có SA
ABCD
đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc
SBD
ABCD
A. SOA B SBA C SDA D SOC
Câu 2.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
là:A. ASB B SBA. C SCA. D ASC
Câu 3.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA(ABCD) Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc sau đây?
A. ASD B BSC C ASC D BSD
Câu 4.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, cạnh bên SA vng góc với đáy SAa (hình vẽ) Góc hai mặt phẳng
SAD
SBC
A. 45 B 30 C 60 D 90
Câu 5.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2 ,a ADa, SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi góc hai mặt phẳng
SCD
ABCD
KhiA. 30 B tan
2
C 60 D tan
4
Câu 6.(TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, chiều cao hình chóp
a
Góc mặt bên mặt đáy
A 60 B 75 C 30 D 45
Câu 7.(TH) Trong hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt đáy 60, tang góc mặt bên mặt đáy
A
6 B C
3
2 D 2
Câu 8.(TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy
A 1
2 B
1
3 C
1
3 D
1
Câu 9.(TH) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao a
(135)A 45 B 75 C 30 D 60
Câu 10.(TH) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
, tam giác ABCđều, ABa Gọi là góc hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
Giá trị coslàA
2
B
2 C
1
D 1
2
Câu 11.(TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B cạnh ABa, cạnh SA
vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Tính cosin góc góc mặt phẳng
ABC
mặt phẳng
SBC
A. cos
3
B cos
3
C cos
5
D cos
5
Câu 12.(TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng
AB C
A B C
A.
B
3
C arccos
4 D
3 arcsin
4
Câu 13.(TH) Cho hình lập phươngABCD A B C D có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng
BA C
và
DA C
là:A 90o B 60o C 30o D 45o
Câu 14.(TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Giá trị sin góc hai mặt phẳng
BDA
và
ABCD
A.
4 B
3
3 C
6
3 D
3
Câu 15.(TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có cạnh bên a 2và đáy tam giác vuông A,
,
ABa ACa Ký hiệu là góc tạo hai mặt phẳng
A BC'
và
BCC B
Tính tanA. tan
6
B tan
4
C tan
4
D tan
3
Câu 16. (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,
,
ABa ADSA a, SA
ABCD
Tính tang góc mặt phẳng
SBD
mặt phẳng
ABCD
A
5 B
5
2 C
2
5 D
Câu 17.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, K trung điểm AB, CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng
SAB
SCD
bằng:A.
3 B
2
3 C
3
3 D
(136)Câu 18.(TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A' lên mặt phẳng
ABC
trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Gọi góc hai mặt phẳng
BCC B' '
ABC
Khi cosA. cos
3
B cos 17 17
C cos 5
D cos 16 17
Câu 19.(TH) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABCvuông cân B, ABBCa, SAa 3,
SA ABC Góc hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
làA. 45 B 60 C 90 D 30
Câu 20.(TH) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng
ABC
, biết ABAC a,BCa Tính góc hai mặt phẳng
SAB
SAC
A. 120 B 60 C 150 D 30
Câu 21.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnha Đường thẳng SO
vng góc với mặt phẳng đáy
a
SO Tính góc
SCD
ABCD
A. o
90 B o
45 C o
60 D o
30
Câu 22.(TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB3 ,a BC 4a Biết
SA ABC góc
SBC
và
ABC
60 Tính diện tích tam giác SBC
A. 6a2 B 8a2 C 3a2 D 12a2
Câu 23.(TH) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác chiều cao lăng trụ a, mặt phẳng
A BC
tạo với mặt đáy
ABC
góc 60 Gọi S diện tích tam giác ABC, giá trị Sbằng A. 3 a
S B
2
3 a
S C
2
3 a
S D
2
3 a
S
Câu 24.(TH) Hình chóp S ABCD có tất cạnh Cơsin góc mặt bên mặt đáy
A.
3 B
6
3 C
2
2 D
1
Câu 25.(TH) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, AD2a Cạnh bên SA
vng góc với đáy
ABCD
, SA2a Tính tancủa góc hai mặt phẳng
SBD
ABCD
A
5 B C
5 D
Câu 26.(TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cơsin góc mặt bên mặt đáy
A.
3 B
1
2 C
1
2 D
1
Câu 27.(TH) Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông tạiA Mặt bên
SBC
là tam giác cân tạiS, đường caoSH a 3(HBC),BC3a Cạnh bên SAvng góc với mặt đáyABC Gọi góc (137)A. 60 B 45 C
3
cos D 30
Câu 28.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, khối chóp S ABCD tích
3
2 a
Gọi góc hai mặt phẳng
SAD
và
SBD
Tính cosA. cos
5
B cos
3
C cos 2
5
D cos 10
5
Câu 29.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a 2, biết cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi là góc hai mặt phẳng
SAC
và
SCD
khi tanbằngA.
3 B
21
3 C
21
7 D
3
Câu 30.(TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông cân A, ABa Biết
o
90
SBASCA , SAa Tính là góc tạo hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
A. o
90
B o
30
C o
45
D o
60
Câu 31.(TH) Cho tứ diện S ABC có cạnh SA, SB; SCđơi vng góc SASBSC1 Tính cos, là góc hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
?A. cos
2
B cos
2
C cos
3
D cos
3
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 32.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng
ABCD
Biết ABSBa,3 a
SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng
SAB
SAD
A. 30 B 45 C 90 D 60
Câu 33.(VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với ABa; AC2a Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (SAB);(SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Gọi góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Tính tan
A 51
17 B
51
3 C
17
3 D
3 17 17
Câu 34.(VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy tam giác cạnh AB2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy60 Góc hai mặt phẳng
BCC B
ABC
A. arctan B arctan2 C arctan4 D arctan1
Câu 35.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,AB a,AD SA2a,
(138)A. B
2 C
2
5
D1
5
Câu 36.(VD) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB2a, SA vng góc với mặt đáy góc SB với mặt đáy 60 Gọi góc hai mặt phẳng
SBC
ABC
Giá trị cosA 15
5 B
1
7 C
2
5 D
2
Câu 37.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng
BA C'
DA C'
A.
30 B
120 C
60 D
90
Câu 38.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng
ABCD
Biết ,3 a
BC SBa SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng
SBC
và
SCD
A. 90 B 60 C 45 D 30
Câu 39.(VD)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB3, BC4 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA Cơsin góc hai mặt phẳng
SAB
SAC
A. 34
17 B
3 17
17 C
2 34
17 D
3 34 17
Câu 40.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA
ABCD
, SAx Xác định x để hai mặt phẳng
SBC
SDC
tạo với góc 60A.
2
a
x B xa C
2 a
x D xa
Câu 41.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi O giao điểm AC BD Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng
ABCD
trung điểm H đoạn OA góc
SD ABCD;
60 Gọi góc hai mặt phẳng
SCD
ABCD
Tính tanA tan 15
B tan 30
12
C tan 10
3
D tan 30
3
Câu 42.(VD) Cho tứ diện ABCD Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng
ABC
BCD
A. 2
3 B
2
3 C
1
3 D 2
Câu 43.(VD) (Chu Văn An - Hà Nội - lần - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC
(139)A.
2 B
2
5 C
5
5 D
1
Câu 44.(VD) Cho hình chóp S ABC có góc mặt bên đáy 60 ; H hình chiếu vng góc S mặt phẳng
ABC
Khoảng cách từ H đến SA7
a
Gọi góc hai mặt
phẳng
SAB
SAC
Khi đó, tan
bằng:
A.
3 B
2
3 C
6
3 D
3
Câu 45.(VD) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên a Gọi
P mặt phẳng qua A vuông góc với SC Gọi
góc tạo mp P
ABCD
Tính tanA. tan
3
B tan
2
C tan
3
D tan
2
Câu 46.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi góc hai mặt phẳng
A BD'
ABC
Tính tanA.
1 tan
2
B
tan
C.
2 tan
3
D.
3 tan
2
Câu 47.(VD) Cho khối chóp S ABC có
SAB
ABC
, SAC
ABC
, SAa, ABAC 2a, BC 2a Tính cos
SAC
, SBC
A.
6 B
1
2 C
5
6 D
2
Câu 48.(VD) Cho hình chóp S ABCD có SA
ABCD
, ABCD hình thang vuông A D,AB CD, ADCDa, SAx Tìm giá trị x để số đo góc hai mặt phẳng
SAB
SBC
60A. xa B
2
a
x C xa D xa
Câu 49.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
SAa, góc hai mặt phẳng
SAD
SBC
A. 30 B 90 C 0 D 45
Câu 50.(VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a, cạnh đáy a Gọi góc hai mặt bên hình chóp Hãy tính cos
A. cos
15
B cos
2
C cos
15
D cos
2
(140)Câu 51.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SO
ABCD
Cho ABSBa,3 a
SO Số đo góc hai mặt phẳng
SAB
SAD
vớiA. 90 B 45 C 60 D 30
Câu 52.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S ABC
3
3 a
Gọi góc mp SCD
mp ABCD
Khi tanA.
4 B C
3
3 D
3
Câu 53.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Tính cosin góc hai mặt phẳng
CB D
ABCD
A.
3 B
2
2 C
3
2 D
6
Câu 54.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng
BA C
và
DA C
bằngA. 60 B 90 C 120 D 30
Câu 55.(VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
, có AB BC a AD, 2 ,a SAa Góc hai mặt phẳng
SAD
SCD
A. 75 B 30 C 45 D 60
Câu 56.(VD) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai tia Bx Dy, vng góc với mặt phẳng
ABCD
và chiều lấy hai điểm M, N cho ;
a
BM DN 2a Tính góc hai mặt phẳng
AMN
CMN
A. 30 B 60 C 45 D 90
Câu 57.(VD) Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy a chiều cao a
Số đo góc mặt bên mặt đáy
A. 90 B 30 C 45 D 60
Câu 58.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi góc hai mặt phẳng
ABCD
và (141)A. tan
B tan
3
C tan
3
D tan
4
Câu 59.(VD) Khối lăng trụ đứng ABC A B C có diện tích tam giác ABC Gọi M N P, , thuộc cạnh A A , B B , C C , diện tích tam giác MNP
4
Tính góc hai mặt phẳng
ABC
MNP
A. 30 B 120 C 90 D 45
Câu 60.(VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh 2a Gọi là góc hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
Mệnh đề đúng?A. tan B tan C tan2 D tan
2
Câu 61.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB2a, ADDCa SA
ABCD
Tang góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
A.
2 B
1
3 C D
Câu 62.(VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a chiều cao a Gọi góc mặt bên đáy hình chóp Tính tan
A. tan6 B tan2 C tan3 D tan 2
Câu 63.(VD) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB2a, ADDCa, SAa SA
ABCD
Tan góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
làA. B
2 C
1
3 D
Câu 64.(VD) Cho hình chóp SABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB2a,
30
CAB Tính cosin góc hai mặt phẳng
SAB
,
SBC
A.
9 . B
7
14 C
3
14 D
7
Câu 65.(VD) Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với
(142)A
2
a
B
3
a
C
3 a
D
3 a
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 66.(VDC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB2a, AD3a, AA 4a Gọi là góc hai mặt phẳng
AB D
và
A C D
Giá trị cosbằngA. 29
61 B
27
34 C
2
2 D
137 169
Câu 67.(VDC) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng
ABC
, đáy ABC tam giác vuông cân B, AC a Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu điểm A cạnh SC Gọi góc hai mặt phẳng
ABC
AGK
Tính cos, biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
KBC
2
a
A. cos
2
B cos
2
C cos
2
D cos
3
Câu 68.(VDC) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AB2 AA 2 Gọi M, N, P
lần lượt trung điểm cạnh A B , A C BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng
AB C
MNP
A 6 13
65 B
13
65 C
17 13
65 D
18 13 65
Câu 69.(VDC) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SAvng góc với đáy, SABCavà BAC60o Gọi Hvà Klần lượt hình chiếu vng góc Alên SBvà SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng
AHK
và
ABC
A. 21
3 B
21
7 C
3
2 D
3
Câu 70.(VDC) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với ABa, AC2a Mặt phẳng
SBC
vng góc với mặt phẳng
ABC
Hai mặt phẳng
SAB
,
SAC
tạo với mặt phẳng
ABC
góc 60 Gọi góc hai mặt phẳng
SAB
SBC
Giá trị tan AB
C
B A
P M
(143)A. 51
17 B
51
3 C
17
3 D
3 17 17
Câu 71.(VDC) Cho S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính
AB a ; SAa vng góc với mặt phẳng
ABCD
Cơsin góc hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
bằng:A.
2 B
2
4 C
2
3 D
2
Câu 72.(VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Biết
2 , ,
AD a ABBCa SA a SA vng góc với đáy, gọi I trung điểm AD, M điểm thuộc cạnh SD cho SM 2MD Điểm N thuộc cạnh CD cho tam giác MNI có diện tích
2
a
Tính góc hai mặt phẳng (MNI) (SAC)
A
30 B
45 C
60 D
70
Câu 73.(VDC) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, BCa, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, SAa Gọi M trung điểm AC Tính cơtang góc hai mặt phẳng
SBM
SAB
A.
2 B 1 C
21
7 D
2 7
Câu 74.(VDC) Cho lăng trụ ABC A B C có cạnh đáy 1, cạnh bên Gọi Mlà trung điểm CC Tính sin góc hai mặt phẳng
ACB
BMA
A.
5 B
21
5 C
1
5 D
2
Câu 75.(VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với
SA ABCD ; AB5; BC8; AD3 Góc hợp đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy 45 Gọi góc tạo mặt phẳng
SCB
mặt phẳng
SCD
Tính tanA. 89
74 B
89
37 C
74
89 D
37 89
Câu 76.(VDC) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA2BCvà BAC120o Hình chiếu A đoạn SB SC, M N, Tính góc hai mặt phẳng
ABC
AMN
A o
45 B o
60 C o
15 D o
30
Câu 77.(VDC) Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABCD M điểm thuộc OI cho
2
(144)A. 85
85 B
6 13
65 C
6 85
85 D
17 13 65
Câu 78.(VDC) Cho hình chóp S ABC có ABC vuông B, AB1,BC 3, SAC đều, mặt phẳng
SAC
vng với đáy Gọi góc hai mặt phẳng
SAB
SBC
Giá trị cosA. 65
65 B
65
20 C
65
10 D
65 65
Câu 79.(VDC) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên AA 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm đoạn BG (với G trọng tâm tam giác ABC) Tính cosin góc hai mặt phẳng
ABC
ABB A
A. cos
95
B cos
165
C cos
134
D cos
126
Câu 80.(VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A vàD, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Biết AB2AD2DC2a Gọi góc hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
Tính tanA. B 2 C
4 D
(145)HƯỚ
NG D
Ẫ
N GI
Ả
I
D
Ạ
NG 4: GÓC GI
Ữ
A HAI M
Ặ
T PH
Ẳ
NG
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có SA
ABCD
đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc
SBD
ABCD
A SOA B SBA. C SDA D SOC
Lời giải Chọn A
Ta có:
BD AC
BD SA SA ABCD
BD SAC
BD SO
BD AC
DB SBD ABCD
Góc
SBD
ABCD
góc AC SO SOA (do SAC vuông A)
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
là:A ASB B SBA. C SCA. D ASC
Lời giải Chọn B
Ta có: BC BA BC; SA nên
SBC
; ABCD
AB SB;
SBACâu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA(ABCD) Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc sau đây?
A ASD B BSC C ASC D BSD
Lời giải
Chọn A
O
D
B C
A S
C
A D
(146)Gọi (SAB)(SCD) Vì AB//CD nên AB////CD Vì SAAB nên SA
Vì CD (SAD) nên CDSD hay SD
Do đó, góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) ASD
Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, cạnh bên SA vng góc với đáy SAa (hình vẽ) Góc hai mặt phẳng
SAD
SBC
A 45 B 30 C 60 D 90
Lời giải Chọn A
Ta có:
SBC
SAD
Sx // BC // ADTa chứng minh BC
SAB
BCSBSxSB Lại có: SA
ABCD
SA ADSASxVậy góc mặt phẳng
SBC
SAD
góc BSA45Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2 ,a ADa, SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi góc hai mặt phẳng
SCD
ABCD
KhiA 30 B tan
2
C 60 D tan
4
Lời giải
Chọn C
Δ
A B
D C
(147)Gọi H K, trung điểm AB CD,
Suy SH
ABCD HK
; CDCD
SHK
CDSK Do SKHTính ;
2 32
HK a SH a a , suy tan a 3 60 a
Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, chiều cao hình chóp
a
Góc mặt bên mặt đáy
A 60 B 75 C 30 D 45
Lời giải
Chọn C
Gọi Olà giao điểm ACvà BD; Hlà trung điểm AB Vì S ABCD hình chóp tứ giác nên SO
ABCD
và2
a
SO
Vì SASBnên tam giác SABcân Ssuy SH AB Ta có:
SAB
ABCD
ABAB SH
AB OH
Nên góc
SAB
và
ABCD
là góc SHvà OH, tức SHO Ta có: OHlà đường trung bình tam giác ABDnên 12
OH AD a
Tam giác SHOvuông Onên: tan 30
SO
SHO SHO
OH
Vậy góc mặt bên mặt đáy 30
(148)A
6 B C
3
2 D
Lời giải
Chọn D
Nhận xét: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên có độ dài
nhau Tâm đáy chân đường cao hình chóp cạnh bên tạo với mặt đáy góc
bằng nhau, mặt bên tạo với mặt đáy góc nhau.
Cho hình chóp S ABC hình vẽ
Gọi Olà trọng tâm tam giác ABC, SO
ABC
SB ABC,
SB OB,
SBO60
Gọi Ilà trung điểmBC, BC AI Mặt khác SO
ABC
nên SOBC Do BC
SOI
SI BCTa có
,
,SBC ABC BC
SI SBC OI ABC
SI BC OI BC
SBC , ABC
SI OI,
SIO
Xét tam giác SOBvng O, ta có SOOB tan 60 OA
Xét tam giác SOIvuông O, ta có tan SO OA 2OI 3
OI OI OI
Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy
A 1
2 B
1
3 C
1
3 D
1
(149)Gọi Olà trung điểm AC Vì S ABCD hình chóp nên SO
ABCD
Gọi Hlà trung điểm BCvà góc mặt bên
SBC
và mặt đáy
ABCD
là Ta có
SBC
ABCD
BCmà BCSHvà BCOHnên SHOSHlà đường cao tam giác SBCcạnh anên a
SH ,
Xét tam giác SOH vng Ocó: cos OH
SH
3
2
a
a
Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao a
Tính số đo góc mặt bên mặt đáy
A 45 B 75 C 30 D 60
Lời giải Chọn D
Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm CD
: :
SCD ABCD CD
SM SCD SM CD
OM ABCD OM CD
SCD , ABCD
SM OM,
SMO
3
tan
2
a SO SMO
a OM
SMO 60 A
O H
B S
C D
M O
C
A D
B
(150)Câu 10 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA
ABC
, tam giác ABCđều, ABa Gọi là góc hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
Giá trị coslàA
2
B
2 C
1
D
2 Lời giải
Chọn D
Ta có
SAB
SAC
SA,AB
SAB
ABSA,AC
SAC
ACSA, góc hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
là góc CABvà 60, cos 602
Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B cạnh ABa, cạnh SA
vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Tính cosin góc góc mặt phẳng
ABC
mặt phẳng
SBC
A cos
3
B cos
3
C cos
5
D cos
5
Lời giải
Chọn C
Vì BC AB BC
SAB
BC SBBC SA
Suy góc mặt phẳng
ABC
mặt phẳng
SBC
góc SBA Xét tam giác vng SBA có2
1 cos
5
AB AB
SB SA AB
A C
B S
A C
(151)Câu 12 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng
AB C
A B C
A
B
3
C arccos
4 D
3 arcsin
4
Lời giải Chọn A
Gọi I trung điểm B C Ta có: B C A I B C
AIA
B C A A
Khi đó:
AB C
A B C
B C AI B CA I B C
góc hai mặt phẳng
AB C
A B C
góc AIA Xét tam giácAIA vng A ta có: tanAIA AAA I
1
3
a a
6
AIA
Câu 13 (TH) Cho hình lập phươngABCD A B C D có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng
BA C
và
DA C
là:A 90o B 60o C 30o D 45o
Lời giải
Chọn B
Dễ thấy A DC A BC , o
90 A BC A DC Dựng DH A C BH A C
Vậy góc hai mặt phẳng
BA C
và
DA C
là góc
HD HC,
CB A
C'
A' B'
D'
D
(152)Xét tam giác DHCcó BDa 2, a DH BH 2
cos
2
HD HB BD
DHB
HD HB
2 2
1
2
HD HB BD
HD HB
Vậy góc hai mặt phẳng
BA C
và
DA C
bằng 60oCâu 14 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a(tham khảo hình vẽ)
Giá trị sin góc hai mặt phẳng
BDA
và
ABCD
A
4 B
3
3 C
6
3 D
3
Lời giải
Chọn C
Ta thấy góc hai mặt phẳng
A BD
và
ABCD
là góc A OA
2 2
2
6 sin
3
AA AA a
A OA
A O AA AO a
a
Câu 15 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có cạnh bên a 2và đáy tam giác vuông ,
A ABa AC, a 3.Ký hiệu là góc tạo hai mặt phẳng
A BC'
và
BCC B
Tính tanA tan
6
B tan
4
C tan
4
D tan
3
Lời giải Chọn B
O A
D
B C
C' B'
(153)Kẻ A H' B C' ', H thuộc B C' ' Suy A H'
BCC B' '
tại H Trong
BCC B' '
kẻ HKBCtại K Ta có
' ' ' '
BC HK
BC A H A H BCC B
'
BC A HK
Mà A K'
A HK'
'BC A K
Ta có
' ' '
'
A BC BCC B BC
BC HK gt
BC A K cmt
Suy A KH' góc
A BC'
và
BCC B' '
Tính góc A KH'Xét A KH' vng Hcó
2 2
2
' ' ' ' 3
'
2
' ' ' ' 3
A B A C a a a
A H
A B A C a a
, HK a
Ta có
3
' 2
tan '
4 a A H A KH
HK a
Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,
,
ABa ADSA a, SA
ABCD
Tính tang góc mặt phẳng
SBD
mặt phẳng
ABCD
A
5 B
5
2 C
2
5 D
(154)Kẻ AHBD
Ta lại có BDSA suy BD
SAH
góc mặt phẳng
SBD
mặt phẳng
ABCD
SHATrong tam giác vng ABD có 2 2 2
2
1 1
AB AD a
AH
AH AB AD AB AD
Khi tanSHA SA
AH
Câu 17 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, K trung điểm AB, CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng
SAB
SCD
bằng:A
3 B
2
3 C
3
3 D
3
Lời giải Chọn B
Ta có: H trung điểm AB SH AB (vì tam giác SAB đều)
Mà
SAB ABCD
SH ABCD
SAB ABCD AB
Mặt khác
// //AB CD
SAB SCD Sx AB CD
S SAB SCD
Mà Sx
SHK
Sx SHSx SK
, với K trung điểm CD
SAB , SCD
HSK
S
A
B C
D H
(155)Khi tan 3 HK HSK SH
Câu 18 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A' lên mặt phẳng
ABC
trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Gọi góc hai mặt phẳng
BCC B' '
ABC
Khi cosA cos
3
B cos 17 17
C cos 5
D cos 16 17 Lời giải
Chọn C
Gọi K hình chiếu vng góc B
ABC
Khi đó: KBC hình chiếu vng góc B BC
ABC
Do đó:cos cos KBC
KBC B BC
B BC S S S S
Ta có:
2 2
2
1
2
KBC ABC
a a
S S
Ta lại có: cos 60 AH AA 2a BB;
AA
tan 60
A H
A H a B K
AH
2
2 .cos120
KC BC BK BC BK a
và B C B K 2CK2 a 10 Khi đó: 15 B BC a
S ( sử dụng công thức Hê-rông )
Vậy 2 cos 15 KBC B BC a S S a
Câu 19 (TH) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABCvng cân B, ABBCa, SAa 3,
SA ABC Góc hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
làA 45 B 60 C 90 D 30
(156)Ta có BC
SAB
BCSA Góc hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
là góc SBA
tanSBA SA AB
a
a
3SBA 60
Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng
ABC
, biết ABAC a,BCa Tính góc hai mặt phẳng
SAB
SAC
A 120 B 60 C 150 D 30
Lời giải
(157)Ta có:
,, , ,
AB SA AB SAB
AC SA AC SAC SAB SAC AB AC
SAB SAC SA
Xét tam giác ABC có:
2 2 2
3
cos
2
AB AC BC a a a
BAC
AB AC a a
BAC120
Vậy
SAB
, SAC
AB AC,
180 120 60Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnha Đường thẳng SO
vng góc với mặt phẳng đáy
a
SO Tính góc
SCD
ABCD
A 90o B 45o C 60o D 30o
Lời giải
Chọn C
Gọi M trung điểm CD Ta có
SCD
, ABCD
SM OM,
SMO o
3
tan 60
2 a SO
SMO SMO
a OM
Câu 22 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, AB3 ,a BC 4a Biết
SA ABC góc
SBC
và
ABC
60 Tính diện tích tam giác SBC
A
6a B
8a C
3a D
12a
Lời giải
Chọn D
3a 600 4a
S
C
(158)Ta có SA
ABC
SBC
, ABC
SBA600 cos60 12 cos60 2. ABC ABC SBC SBCS S AB BC
S a S
Câu 23 (TH) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác chiều cao lăng trụ a, mặt phẳng
A BC
tạo với mặt đáy
ABC
góc 60 Gọi S diện tích tam giác ABC, giá trị Sbằng A 3 a
S B
2
3 a
S C
2
3 a
S D
2
3 a
S
Lời giải Chọn D
Gọi M trung điểm BC Ta có BCAM BCAA
BC AA M
BC A M
Vậy
, ,A BC ABC BC
BC AM AM ABC
BC A M A M A BC
A BC ABC
A M AM ,
A MA 60
A AM
A có
tan 60 AA
AM
3 a ABC
có
AM AB
3
AM AB
3 a a ABC
S S AB 2 3 a a
Câu 24 (TH) Hình chóp S ABCD có tất cạnh Cơsin góc mặt bên mặt đáy
A
3 B
6
3 C
2
2 D
1
(159)Giả sử S ABCD có tất cạnh a
Gọi O I, tâm hình vng ABCD trung điểm CD
SO ABCD
OI CD
SCD , ABCD
SIO
Ta có: SCD cạnh a
2 a SI
SOI
vuông O,
2
a
OI cos
3 OI SIO
SI
Câu 25 (TH) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, AD2a Cạnh bên SA
vng góc với đáy
ABCD
, SA2a Tính tancủa góc hai mặt phẳng
SBD
ABCD
A
5 B
5
2 C
2
5 D
Lời giải Chọn D
Trong ABD kẻ AHBD, suy SH BD Góc mặt phẳng
SBD
mặt phẳng
ABCD
góc SH HAGọi góc hai mặt phẳng cần tìm , = Tính tan tan SA
AH
(160)Xét tam giác BAD vuông A:
22 2 2
1 1 1
4
AH AB AD a a a
5
a AH
2
tan
2
SA a
a AH
Câu 26 (TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cơsin góc mặt bên mặt đáy
A
3 B
1
2 C
1
2 D
1
Lời giải
Chọn A
+ Gọi O tâm hình chóp tứ giác S ABCD Ta có SO
ABCD
, đáy ABCD hình vng cạnh a mặt bên tam giác cạnh a+ Gọi I trung điểm cạnh CD
Theo giả thiết ta có:
SCD
ABCD
CDOI CD
SI CD
nên góc mặt bên
SCD
mặt đáy
ABCD
góc hai đường thẳng OI SIbằng góc SIO Khi đó: cosSIO OI SI
3
a
a
cos
3
SIO
Câu 27 (TH) Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vng tạiA Mặt bên
SBC
là tam giác cân tạiS, đường caoSH a 3(HBC),BC3a Cạnh bên SAvng góc với mặt đáyABC Gọi gócgiữa hai mặt phẳng
SBC
ABC
Mệnh đề sau đúng?A 60 B 45 C
3
cos D 30
Lời giải
(161)Vì SA
ABC
SABC Ta có
BC SH
BC SA BC
SAH
BCAHMà
; ;
SBC ABC BC
BC AH AH ABC
BC SH SH SBC
((SBC); (ABC)) (SH AH; ) SHA
Tam giác ABC vuông tạiA nên
AH BC
2 a
Tam giác SAH vuông tạiA có
3
3
2
a AH cos
SH a
30
Câu 28 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, khối chóp S ABCD tích
3
2 a
Gọi góc hai mặt phẳng
SAD
và
SBD
Tính cosA cos
5
B cos
3
C cos 2
5
D cos 10
5
Lời giải Chọn D
Gọi O tâm hình vng ABCD Kẻ AH SO H
S
A C
B
(162)Ta có: BD AO, BDSABD
SAO
BD AH Vậy AH
SBD
Lại có: AB
SAD
, góc hai mặt phẳng
SAD
SBD
góc hai đường thẳng AH AB Vậy BAHKhối chóp S ABCD tích
2 a
nên ta có:
3
1
3
a
SA a SAa
Tam giác SAO vuông A, đường cao AH nên: 2 12 12 12 42 52
2 2
AH AS AO a a a
Suy ra: 10 a
AH Từ đó: cos 10 AH
AB
Câu 29 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a 2, biết cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi là góc hai mặt phẳng
SAC
và
SCD
khi tanbằngA
3 B
21
3 C
21
7 D
3 Lời giải
Chọn A
60 O
K
S
A
B
C
D
Kẻ OK SC Do S ABCD hình chóp ABCDlà hình vng nên SO
ABCD
;
BD SAC SCBD Suy SC
BKD
KDSCVậy góc hai mặt phẳng
SAC
và
SCD
là OKDvà tanOKD OD OK (do KODvng O): ABCDlà hình vng cạnh a 2nên AC2aOAOCODa
Trong hình chóp S ABCD , cạnh bên tạo với đáy góc 60nên SAC60 tan 60
SO OA a
Ta có 2 12 12 a OK
OK SO OC
2
tan
3
OD OKD
OK
Câu 30 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông cân A, ABa Biết
o
90
SBASCA , SAa Tính là góc tạo hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
A 90o B 30o C 45o D 60o
Lời giải
(163)Kẻ CH SA, dễ dàng chứng minh BH SA
Do đó, góc tạo hai mặt phẳng
SAB
, SAC
CH BH,
Ta có,
3 CA CS a CH
SA
, CBa
Xét tam giác CHB, có
2 2
1 cos
2
CH BH BC
H
HB HC
Vậy
o, , 60
SAB SAC CH BH
Câu 31 (TH) Cho tứ diện S ABC có cạnh SA, SB; SCđơi vng góc SASBSC1 Tính cos, là góc hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
?A cos
2
B cos
2
C cos
3
D cos
3
Lời giải Chọn D
Cách 1:
Gọi Dlà trung điểm cạnh BC Ta có SA SB SA
SBC
SA SC
SA BC
C A
B S
H
S A
B
C
D
(164)Mà SDBCnên BC
SAD
SBC , ABC
SDA
Khi tam giác SADvng Scó
SD ;
2
AD cos SD
AD
cos
3
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 32 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng
ABCD
Biết ABSBa,3 a
SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng
SAB
SAD
A 30 B 45 C 90 D 60
Lời giải Chọn C
Gọi M trung điểm SA
Ta có
,
,
;SAB SAD SA
SAB SAD BM DM
BM SA DM SA
Trong SBO vng O, có
2
2 2
9
a a
OB SB SO a
Trong SAO vng O, ta có a
OASO 2
3 a
SA OA
3 a AM
Mặt khác, có
2
2 2
9
a a
DM BM AB AM a
Xét tam giác vuông BOM vuông O, có sin 3 45
3
OB a
BMO BMO
BM a
Vậy góc
SAB
, SAD
90Câu 33 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với ABa; AC2a Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (SAB);(SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Gọi góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Tính tan
M
O
D C
B A
(165)A 51
17 B
51
3 C
17
3 D
3 17 17
Lời giải Chọn B
Vẽ SH BC suy SH (ABC); vẽAx phân giác góc#
Theo giả thiết H giao điểm AxBC Kẻ HI SB ((SBC), (SAB)) HIK
HK SM
2 2 3
5
a BH
HB AB
HC AC a
CH 3 tan 60
3
HM BH a
HM AC BC a SM HM
2 3
.sin 60
3
a a
HK HM
2
2 2
2
1 1 51 20
20 51 17 17 17 51 tan 3 a MI
MI BM SM a
a
IK HI HK
HK IK
Câu 34 (VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy tam giác cạnh AB2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy60 Góc hai mặt phẳng
BCC B
ABC
(166)Lời giải Chọn B
Gọi
H
trung điểmAB
, góc AA
ABC
A AH 600 Gọi I I, trung điểm BC B C, ,K
trung điểmBI
Ta có AI BCHK BI mà
A H
BC
BC
A HKI
BC
KI
Khi
BCC B
, ABC
HK KI, HKITa có HKI A hình thang vng H A, , có
6;
15
2
a
HI
a
KI
Khi sin5
HKI Do cot
HKI Vậy HKI arctan 2
Câu 35 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,AB a,AD SA2a,
SA ABC D Tính tang góc hai mặt phẳng
SB D
AB C D
A B
2 C
2
5
D1
5
Lời giải Chọn A
Gọi I hình chiếu vng góc A BD A I B D
1Mà S A B D SA
ABC D
BD
SAI
BD SI
2I'
I
H
A
B
C
A'
B'
C'
(167)Mặt khác ta có
SBD
ABCD
BD , SAI90 30
Từ
1 ,
2 ,
3
SBD ABCD
SIA.)Trong B A D vng A có
2 2 2
1 1 1
4
a AI
AI AB AD a a
Xét S A I vng Ata có: tan SA AI
Câu 36 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB2a, SA vng góc với mặt đáy góc SB với mặt đáy 60 Gọi góc hai mặt phẳng
SBC
ABC
Giá trị cosA 15
5 B
1
7 C
2
5 D
2
Lời giải
Chọn B
Ta có giao tuyến
SBC
và
ABC
BC Từ A kẻ AM BC, M trung điểm BC(do ABC vuông cân A)Ta có BC AM , BC SA (gt), BC
SAM
suy góc hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
góc hai đường thẳng SM AM Ta tính góc SMA Xét tam giác SMA có 1 22
AM BC AB AC a Góc SB
ABC
góc 60
SBA SAAB tan 60 2a 3, từ ta có SM SA2AM2 a 14
Vậy cos
14
AM a
SM a
Câu 37 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng
BA C'
DA C'
A
30 B
120 C
60 D
90
Lời giải
Chọn C
(168)+ BA C' vuông B (vì BC
ABB A' '
BC A B' ) Kẻ BH A C' BA C'
'
BD AA C (vì BD AC BD, AA')BD A C'
Ta có BH A C' ; BD A C' A C'
BHD
A C' HD +
BA C'
DA C'
A C'
'
A C BHD
BHD
BA C'
BH
BHD
DA C'
DH góc hai mặt phẳng
BA C'
DA C'
góc BH DH + BH DH
vBA C' vDA C'
' vBA C:
2
2
2
2 2 2
1 1 1
' 2
BH a DH
BH BA BC a a a
2 2
2 2
0
2
2
1 3
: cos 120
2
2
2
a a
a
BH DH BD
BHD BHD BHD
a BH DH
Vậy góc hai mặt phẳng
BA C'
DA C'
0180 120 60 Cách 2:
Chọn hệ tọa độ Oxyzcó AO, , , '
AB AD AA hướng với véc tơ đơn vị , , i j k
a H
D C
A B
D' C'
B'
A'
z
y
x a
D
C A
B
D'
C' B'
(169)Lấy a1, suy B
1; 0; ,
D
0;1; ,
A' 0; 0;1 ,
C
1;1; 0
BA C'
có véc tơ pháp tuyến n1BA'BC
1; 0; 1
DA C'
có véc tơ pháp tuyến n2 DA'DC
0;1;1
Gọi góc hai mặt phẳng
BA C'
DA C'
01
1
1 1
cos = cos , 60
2 2
n n n n
n n
Câu 38 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng
ABCD
Biết ,3 a
BC SBa SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng
SBC
và
SCD
A 90 B 60 C 45 D 30
Lời giải Chọn A
Gọi M trung điểm SC, tam giác SBC cân B nên ta có SCBM (1) Theo giả thiết ta có BD
SAC
SCBD Do SC
BCM
suy SCDM (2) Từ (1) (2) suy góc hai mặt phẳng
SBC
SCD
góc hai đường thẳngBM DM
Ta có SBO CBO suy a SOCO
Do
2
a
OM SC
Mặt khác 2
3 a
OB SB SO Do tam giác BMO vng cân M hay góc
45
BMO , suy BMD90
Vậy góc hai mặt phẳng
SBC
SCD
90Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB3, BC4 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA
S
A
B C
D O
(170)[HH11.C3.4.D03.c] Cơsin góc hai mặt phẳng
SAB
SAC
A 5 34
17 B
3 17
17 C
2 34
17 D
3 34 17
Lời giải Chọn D
Ta có: AC AB2 BC2 5
Kẻ đường cao BH tam giác ABC 12
AB BC BH
AC
2
9 16
HA AB
HC AC
,
, 25
d H SA HA
d C SA CA
,
3625
d H SA
Vì
ABC
SAC
BH
SAC
Kẻ HK S A
SAC
, SAB
BKH
tan ,
3
BH
SAB SAC
HK
cos
,
2 3434
1
SAB SAC
Câu 40 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA
ABCD
, SAx Xác định x để hai mặt phẳng
SBC
SDC
tạo với góc 60A
2
a
x B xa C
2 a
x D xa
(171)Chọn D
Gọi O tâm hình vng ABCD GhcOAC
Vì BD
SAC
nên BDSC, mà SC OG suy SC
BGD
Do
SBC
, SCD
GB GD,
60BGO60 BGO 120SAC OGC
nên: SA SC
OG OC 2
2
2 a x OG
x a
2 2
xa
x a
Xét tam giác BGO:
TH1:
2 2
2
2 tan 60
a x a
BO
GO xa
2
2 a x a
xa
3x x22a2 x a
TH2:
2 2
2
2 tan 30
a x a
BO
GO xa
2
3
3
a x a
xa
3x3 x22a2
2
6x 18a :vn
Câu 41 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi O giao điểm AC BD Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng
ABCD
trung điểm H đoạn OA góc
SD ABCD;
60 Gọi góc hai mặt phẳng
SCD
ABCD
Tính tanA tan 15
B tan 30
12
C tan 10
3
D tan 30
3
Lời giải Chọn D
x
O B
A D
C S
(172)Ta có SH
ABCD
suy góc SD mặt phẳng
ABCD
góc SDH hay 60SDH
Hạ HK CD suy CD
SHK
nên góc hai mặt phẳng
SCD
ABCD
góc SKH suy SKH
Ta có
2
2
2 2
2
2
a a
DH OH OD a
Tam giác SHD nửa tam giác cạnh SD2DH a 10 suy đường cao
10
302
a a
SH
Gọi M trung điểm CD, ta có
2
OM AD a
HK
Vậy
30
30
tan
3 3
2
a SH
a HK
Câu 42 (VD) Cho tứ diện ABCD Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng
ABC
BCD
A 2
3 B
2
3 C
1
3 D 2
Lời giải
Chọn C
Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác BCD Ta có
ABC
, BCD
AM DM,
AMD2a
M K H
O
D A
B C
S
G M
D C
(173)Gọi cạnh tứ diện ta có 3;
2
AM GM DM
cos
3
GM AMG
AM
Câu 43 (VD) (Chu Văn An - Hà Nội - lần - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC
vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy
ABC
, ABa, SA2a Gọi M N, trung điểm SB SC, Cơsin góc hai mặt phẳng
AMN
ABC
A 1
2 B
2
5 C
5
5 D
1 Lời giải
Chọn C
Ta có: MN BC// (tính chất đường trung bình) MN//
ABC
AMN
ABC
Ax Dễ thấy, BC
SAB
Ax
SAB
Ax ABAx AM
Vậy góc hai mặt phẳng
AMN
ABC
MAB Vì tam giác SAB vng, nên MAB SBA Ta có:
2
5 cos cos
5
AB a a
MAB SBA
SB SA AB a
Câu 44 (VD) Cho hình chóp S ABC có góc mặt bên đáy 60 ; H hình chiếu vng góc S mặt phẳng
ABC
Khoảng cách từ H đến SA7
a
Gọi góc hai mặt
phẳng
SAB
SAC
Khi đó, tan
bằng:
A
3 B
2
3 C
6
3 D
3
Lời giải
(174)Gọi M trung điểm BC; K I, hình chiếu vng góc H M, lên SA,
0
ABx x
Ta có: BC AM BC SA
BC SM
, mà IM SASA
IBC
IB IC,
Mặt khác: 1 3,
3
x x x
HM AM AH HM
0
tan 60
6
x x
SH HM
2 2 2 2
7 1
x a a HK AH SH x x x
3 3
2 7
a a
IM HK
Khi đó: tan :
2 2
BM a a
IM
Câu 45 (VD) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên a Gọi
P mặt phẳng qua A vng góc với SC Gọi
góc tạo mp P
ABCD
Tính tanA tan
B tan
2
C tan
3
D tan
2
.
Lờigiải
(175)- Trong mặt phẳng
SAC
, kẻ AK SC - Trong mặt phẳng
SCD
, kẻ KH SC - Trong mặt phẳng
SBC
, kẻ KM SC Khi
P AHKM
Các tam giác SBC SCD có MK SC HK; SC Suy //
SM SH
HM BD
SB SD
Hai mặt phẳng
AHKM
ABCD
có A điểm chung thứ chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến chúng đường thẳng d qua A song song vớiBD
Bây ta xác định góc hai mặt phẳng cần tìm
Vì AOBDAOd BD SO DB AK AK d
BD AC
nên góc hai mặt phẳng cần tìm góc OAKCAK
Ta có SO SD2OD2 a ; 3.2 2 30 5
SO AC a a a
SO AC AK SC AK
SC a
;
15cos
5 AK CAK
AC
Suy tan 12
cos 3
Cách
Vì hai mặt phẳng
P
ABCD
có hai véc tơ pháp tuyến SC SO
nên góc hai mặt phẳng cần tìm góc hai đường thẳng SO SC,
Ta có SO SD2OD2 a nên tan 3
OC a
SO a
(176)Câu 46 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi góc hai mặt phẳng
A BD'
ABC
Tính tanA
1 tan
2
B
tan C tan
D tan
2
Lời giải
Chọn B
Ta có
A BD'
ABC
BD Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình vng nên AOBD Mặt khác AO hình chiếu A O' lên (ABCD) nên theo định lý đường vng góc ta có A O' BD Do góc
A BD'
ABC
là A OA'Gọi cạnh hình lập phương a Tam giác A OA' vng A có AA'a, 2
a
AO ,
'
tan '
2
AA a
A OA
AO a
Vậytan
Câu 47 (VD) Cho khối chóp S ABC có
SAB
ABC
, SAC
ABC
, SAa,ABAC a, BC 2a Tính cos
SAC
, SBC
A6 B
1
2 C
5
6 D
2
(177)Ta có:
SAB ABC
SA ABC
SAC ABC
Ta có:
2 2
BC AB AC
ABC AB AC
vuông cân A Gọi M trung điểm BC AM BC
Kẻ AH SM H
Mà BC SABC
SAM
BC AH AH
SBC
H Ta lại có: AB
SAC
Do đó:
SAC
, SBC
AH AB,
HAB Ta có:2 2
2
2 2
BC AM SA a a a
AM a AH
AM SA a a
6
cos :
3 6
AH a
HAB a
AB
Vậy cos
,
SAC SBC
Câu 48 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SA
ABCD
, ABCD hình thang vuông A D,AB CD, ADCDa, SAx Tìm giá trị x để số đo góc hai mặt phẳng
SAB
SBC
60A xa B
2
a
x C xa D xa
(178)Dựng CE ABCE
SAB
ADCE hình vng AE BE ECaDựng EI SBSB
CEI
SBCI Vậy góc
SAB
SBC
góc CIE 60 Xét EIC vng E có cot 603
a
IEEC ;
2
2 2
3
a a
IB BE EI a
Vì SAB đồng dạng với EIB nên
2
3
2
3
a a
SA AB AB EI
SA a
EI IB IB a
Vậy xa
Câu 49 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
SAa, góc hai mặt phẳng
SAD
SBC
A 30 B 90 C 0 D 45
Lời giải
Chọn D
Ta có AB
SAD
Gọi E hình chiếu A lên SB, dễ thấy AE
SBC
Vậy góc
SAD
SBC
là góc ABvàAETa có tam giác SAB vuông cân A suy
45 45
SBA BAE góc giữa ABvàAE
Vậy góc hai mặt phẳng
SAD
SBC
45
(179)Câu 50 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a, cạnh đáy a Gọi góc hai mặt bên hình chóp Hãy tính cos
A cos
15
B cos
2
C cos
15
D cos
2
Lời giải
Chọn C
Gọi M N, chân đường cao hạ từ đỉnh B S, tam giác SBC.H hình chiếu S mặt phẳng
ABC
Ta có: AB
SHC
AB SCMặt khác SC BM SC
ABM
SC AMVậy
;
;
,SAC SBC SC
AM SAC
SAC SBC AM BM
BM SBC
SC AM SC BM
Ta tính góc AMB Xét tam giác AMB
Tam giác SBC cân S nên N trung điểm BC +)
2
2 2 15
4
4
a a
SN SC NC a
+) 15 15
2.2
SN BC a a a
BM
SC a
+) 2 2
AM AC MC BC MC BM
Ta có
2
2
2 2
2 15 15 16 16 cos 15
2 15
2 16
a a
a
AM BM AB
AMB
a MA MB
, suy góc AMB nhọn
Vậy
;
;
cos 15SAC SBC AM BM AMB
Câu 51 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SO
ABCD
Cho ABSBa,3 a
SO Số đo góc hai mặt phẳng
SAB
SAD
vớiA 90 B 45 C 60 D 30
(180)Chọn C
Trong tam giác SOA, từ điểm O kẻ OE SA
1Do
BO AC
BO SO BO SAC BO SA
SO AC O
2 Từ
1
2 suy SA
BOE
SABE
3 Tương tự, ta có SADE
4Từ
3
4 suy góc hai mặt phẳng
SAB
SAD
góc hai đường thẳng BE DETam giác SBA cân B nên E trung điểm SA Trong tam giác vuông SOA, ta có
2
2 2
3 3
a a a
OA SA SO a
Trong tam giác vng AOB, ta có
2
2 2
3
a a
OB AB OA a
Trong tam giác vng SOA, ta có 12 12 12 32 32 92
2
a OE
OE OA SO a a a
Trong tam giác vuông BOE, ta có ο ο
6
tan 60 120
2 a OB
BEO BEO BED
OE a
Vậy góc hai mặt phẳng
SAB
SAD
60Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S ABC
3
3 a
Gọi góc mp SCD
mp ABCD
Khi tanA
4 B C
3
3 D
3
(181)Ta có
2
2
ABC ABCD
a
S S Mà
3
1
3
S ABC ABC
a
V SA S SAa
Có CD SA CD
SAD
CD SDCD AD
Vì
ABCD
SCD
CD Mà CD SDCD AD
SCD ; ABCD
SD AD;
SAD
3 tan SA a
AD a
Câu 53 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D Tính cosin góc hai mặt phẳng
CB D
ABCD
A
3 B
2
2 C
3
2 D
6
Lời giải
Chọn A
Do
ABCD
/ / A B C D
nên góc mặt phẳng
CB D
ABCD
góc mặt phẳng
CB D
A B C D
Gọi OA C B D , ta dễ dàng chứng minh B D
C OC
B D CO, nên góc mặt phẳng
CB D
A B C D
góc COvà C O , góc C OCO
A B
D
D' C
C' B'
(182)Đặt CC 1 ta có 2
C O ,
2 CO
, cos
3 C O C OC
CO
Câu 54 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng
BA C
và
DA C
bằngA 60 B 90 C 120 D 30
Lời giải Chọn A
Kẻ DEA C E
1Vì BD AC BD
AA C
BD A C
2BD AA
Từ
1
2 A C
BDE
A C BE
,
,
BA C DA C A C
DE A C BA C DA C DE BE
BE A C
Tính BED
2;
3 DC A D
BD a BE DE a
A C
2
cos 120
2
BE DE BD
BED BED
BE DE
Vậy
BA C
, DA C
60
Câu 55 (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
, có AB BC a AD, 2 ,a SAa Góc hai mặt phẳng
SAD
SCD
A 75 B 30 C 45 D 60
Lời giải
Chọn D
C'
C A
B
D D'
B' A'
(183)E trung điểm AD Do AEEDa, 2
6 SD SA AD a Trong mặt phẳng (SAD), từ E kẻ EFSD (FSD)
Theo giả thiết: SA(ABCD)SAAB Ta lại có: AD AB nên AB(SAD)
ABCE là hình vng AB EC EC(SAD) EC EF
EC SD
Vì EC SD
EF SD
nên SDFC Do góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) EFC
EF ED a a
SAD EFD EF a
SA SD a
∽
Xét tam giác EFC vuông E
3
tan
a
EC a
EFC EF
EFC60
Vậy góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) 60
Câu 56 (VD) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai tia Bx Dy, vng góc với mặt phẳng
ABCD
và chiều lấy hai điểm M, N cho ;
a
BM DN 2a Tính góc hai mặt phẳng
AMN
CMN
A 30 B 60 C 45 D 90
Lời giải Chọn D
(184)Ta có: B
0; 0; 0
, A
0; ;0a
, C a
; 0; 0
, 0; 0; a M , N a a a
; ;
0; ;4 a AM a
, AN
0; 0; 2a
,2
2
, ; ;
4
a
AM AN a a
vectơ pháp tuyến mp
AMN
; 0; a CM a
, CN
0; ; 2a a
,2
2
, ; ;
4
a
CM CN a a
vectơ pháp tuyến mp
CMN
Do đó:
4 4
4
4 4
2
cos
4
16 16
a a
a
a a
a a a a
90
Cách 2:
(185)Mà
AMN
CMN
MN nên góc hai mặt phẳng
AMN
CMN
góc hai đường thẳng HA HC,Ta có: 2 17
4 a
MC BC MB , NC CD2ND2 a 5,
2 2 49
2
16
a a
MN ME EN a
2 2
cos
85
MC NC MN
MCN
MC NC
sin
85
MCN
1
.sin
2
MCN
a
S MC NC MCN
Từ đó: 2SMCN
CH a AH
MN
Do AH2CH2 AC2 nên tam giác AHC vng H Vậy góc hai đường thẳng HA HC, 90
Câu 57 (VD) Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy a chiều cao a
Số đo góc mặt bên mặt đáy
A 90 B 30 C 45 D 60
Lời giải
Chọn D
Xét hình chóp tứ giác S ABCD có ABCD hình vng cạnh a I tâm hình vng
ABCD Khi SI
ABCD
nên chiều cao hình chóp a SI Gọi M trung điểm đoạn thẳng ABVìIM đường trung bình tam giác ABD suy IM AD// Mặt khác AB AD (do
ABCD hình vng) Do IM AB
S ABCD hình chóp tứ giác nên tam giác SAB cân S SM AB
Ta có:
SAB
ABCD
AB; SM
SAB
; SMAB; IM
ABCD
; IM AB nên
SAB , ABCD
SM IM,
SMIXét tam giác SMI vuông I, ta có: tan 3
SI a SMI
MI a
Suy SMI60 Vậy góc mặt bên mặt đáy 60
M
I C
A D
B
(186)Câu 58 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi góc hai mặt phẳng
ABCD
và
SCD
Tính tanA tan
B tan
3
C tan
3
D tan
4
Lời giải
Chọn A
Kẻ trung tuyến SH ABSH
ABCD
Gọi K trung điểm CD HK CD Ta có CDHK CD, SH CDSK
Vậy góc hai mặt phẳng
ABCD
và
SCD
là SKHXét tam giác SHK vng H có tan 3
2
SH a
HK a
(SH a 3, HKAD2a) Câu 59 (VD) Khối lăng trụ đứng ABC A B C có diện tích tam giác ABC Gọi M N P, , thuộc cạnh A A , B B , C C , diện tích tam giác MNP
4
Tính góc hai mặt phẳng
ABC
và
MNP
A 30 B 120 C 90 D 45
Lời giải
(187)Từ giả thiết suy tam giác ABC hình chiếu tam giác MNP lên mặt phẳng
ABC
Gọi α góc hai mặt phẳng
ABC
MNP
Theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có c
os 3
4
α ABC α
MNP S S
Câu 60 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh 2a Gọi là góc hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
Mệnh đề đúng?A tan B tan C tan 2 D tan 2
Lời giải Chọn A
Gọi M trung điểm CD Ta có:
SCD ABCD CD
SM CD,SM SCD SMO
OM CD,OM ABCD
Tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a nên BD2a 2ODa
OM a,
2
2
2 2
(188)tan SO a 2
OM a
Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB2a, ADDCa SA
ABCD
Tang góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
A
2 B
1
3 C D
Lời giải
Chọn A
SBC
ABCD
BCDễ chứng minh được: ACBC BC
SAC
BC SC
SBC
, ABCD
SCA
tan
2
SA a
SCA
AC a
Câu 62 (VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a chiều cao a Gọi góc mặt bên đáy hình chóp Tính tan
A tan6 B tan 2 C tan3 D tan2
Lời giải Chọn A
Gọi I trung điểm BC O tâm đáy
( )
SO ABC
ABC SBC,
AI SI,
SIA (vìSOIvng O)B
C A
(189)Vì đáy tam giác cạnh a nên 1 3
3
a a
OI AI
Do đó: tan 6
3
SO a
OI a
Câu 63 (VD) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB2a, ADDCa, SAa SA
ABCD
Tan góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
làA B
2 C
1
3 D
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Gọi I trung điểm AB suy
AI ABa Mặt khác ABCD hình thang vng ADDCa, nên ADCI hình vng suy CIa
Vậy tam giác ACB có đường trung tuyến
CI AB CIAB, nên ACB vuông cân C, hay ACCB (1)
Mà theo giả thiết SA
ABCD
SACB (2) Từ (1) (2) suy CBSCDo góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
là góc hai đường thẳng hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến, tức góc SCATa có ACa Vậy tan
2
a a
Cách 2:
Gọi I trung điểm AB suy
(190)Suy ACCB (1)
Mà SA
ABCD
SACB (2) Từ (1) (2) suy SCCBVậy góc hai mặt phẳng
SBC
ABCD
góc hai đường thẳng hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến, tức góc SCADo tan
2
a a
Câu 64 (VD) Cho hình chóp SABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB2a,
30
CAB Tính cosin góc hai mặt phẳng
SAB
,
SBC
A
9 . B
7
14 C
3
14 D
7
Lời giải
Chọn D
SA ABC
SAB ABC
SA SAB
(191)Trong mp
SAB
, kẻ EK SB
2Từ
1
2 SBCK
SAB
, SBC
EKC2
.cos cos 60 , cos 30 3,
BCAB B a a AC AB a SC SA AC a
2
2
14
4
SC CB CK
SC CB
,
3 sin sin 60
2
a
CEBC Ba , 2
4
a EK CK CE
cos
7
EK EKC
CK
Câu 65 (VD) Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với
AC AD BC BD a, CD2x Tính giá trị x cho hai mặt phẳng
ABC
ABD
vng góc vớiA
2
a
B
3
a
C
3 a
D
3 a
Lời giải Chọn C
Gọi M , N trung điểm CD, AB
Ta có: AC ADBCBDa nên ACD cân A, BCD cân B, CAB cân C, DAB cân D Suy AM BM , CN DN
Góc
ACD
BCD
góc AMB90 Tính: BM AM AD2MD2 a2x2 Xét ABM vng cân M có:2
2
AM a x
MN
1Góc
ABC
ABD
góc CN DN Khi
ABC
ABD
CN DN CND90 Xét CDN vng cân N có:2 CD
MN x
2Từ
1
2 suy ra:2
3
a x a
x x
N
M
C B
(192)MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 66 (VDC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB2a, AD3a, AA 4a Gọi là góc hai mặt phẳng
AB D
và
A C D
Giá trị cosbằngA 29
61 B
27
34 C
2
2 D
137 169 Lời giải
Chọn A
Gọi E,E' tâm hình chữ nhật ADD A , A B C D Khi đó: EE
DA C
AB D
Dựng A H , D F đường cao hai tam giác DA C , AB D Dễ thấy: A H ,D F ,EE đồng qui Kvà A K EE
D K EE
Hình chữ nhật DD C C có: DC DD2D C 2 2 5a Hình chữ nhật ADD A có: A D AD2AA2 5a Hình chữ nhật A B C D có: A C A B 2 B C 2 13a Suy rA SDA C 61a2
2S DA C A H
DC
305 a
305
10
A K a
Hoàn toàn tương tự ta có: 305 10
D K a
Trong tam giác A D K có:
2 2
29 cos
2 61
A K D K A D
x
A K D K
29 cos cos
61
x
(193)cạnh SC Gọi góc hai mặt phẳng
ABC
AGK
Tính cos, biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
KBC
2
a
A cos
2
B cos
2
C cos
2
D cos
3
Lời giải Chọn D
Tam giác ABC vuông cân B mà AC a suy ABBC a Do BC BA, BCSA (vì SA
ABC
) nên BC
SAB
Gọi H hình chiếu điểm A lên SB, AH SB, AH BC (vì BC
SAB
) nên
AH SAB hay
,
a AH d A SBC
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH, ta được:
2 2 2 2
1 1 1 1
AH SA AB SA AH AB a SAa nên tam giác SAB vng cân A trọng tâm G thuộc AH
Từ AH
SBC
AHSC AKSC nên SC
AHK
hay SC
AGK
Vì SC
AGK
SA
ABC
nên góc hai mặt phẳng
AGK
ABC
góc hai đường thẳng SC SA hay CSATheo ta có SC SA2AC2 a suy cos 3
SA a
AC a
Câu 68 (VDC) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có AB2 AA 2 Gọi M , N , P
(194)A 6 13
65 B
13
65 C
17 13
65 D
18 13 65
Lời giải
Chọn B
Gọi I, Q trung điểm MN, B C Gọi OPIAQ
Khi
//
,
O AB C MNP
B C MN
B C AB C MN MNP
nên giao tuyến
AB C
MNP
đườngthẳng d qua O song song MN, B C
Tam giác AB C cân A nên AQB C AQd Tam giác PMN cân P nên PI MNPI d
Do góc tạo hai mặt phẳng
AB C
MNP
góc AQ PI Ta có AP3, AQ 13,2
IP
Vì OAP∽OQI AP
IQ nên
2 13
3
OA AQ ;
3
OP IP
cos AB C , MNP cos
AQ PI,
cos
AOP
2 2
2
OA OP AP
OA OP
13
65
Câu 69 (VDC) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SAvng góc với đáy, SABCavà o
60 BAC Gọi Hvà Klần lượt hình chiếu vng góc Alên SBvà SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng
AHK
và
ABC
C
B A
C
B A
M
N
P Q
O
A B
C
B A
P M
(195)A 21
3 B
21
7 C
3
2 D
3 Lời giải
Chọn B
Ta có SA
ABC
1Gọi Ilà tâm đường trịn ngoại tiếp ABC, kẻ đường kính ADta có BD
SAB
và
CD SAC
Từ suy AH
SBD
và AK
SCD
Do SD
AHK
2 Từ
1
2 suy
ABC
; AHK
SA SD;
DSATrong ABCcó sin
BC R
A hay sin 60o
a
AD R
3
a AD
Trong ASDcó 2 21 a
SD SA AD
Vậy cos
ABC
; AHK
cosDSA SASD
21
7
Câu 70 (VDC) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A với ABa, AC2a Mặt phẳng
SBC
vng góc với mặt phẳng
ABC
Hai mặt phẳng
SAB
,
SAC
tạo với mặt phẳng
ABC
góc 60 Gọi góc hai mặt phẳng
SAB
SBC
Giá trị tanA 51
17 B
51
3 C
17
3 D
3 17 17 Lời giải
Chọn B
60o
a a
I S
A
B
C K
H
(196)Xác định chân đường cao H kẻ từ S hình chóp S ABC :
Trong
SBC
, kẻ SH BC H Vì
SBC
ABC
nên SH
ABC
Trong
ABC
, kẻ HD AB D HE AC E Vì SH
ABC
nên SD ABSEAC
,
SAB ABC SDH
,
SAC
, ABC
SEH Khi đó, theo giả thiết SDHSEH60SHD SHE HD HE
H
chân đường phân giác kẻ từ A ABC Tính SH:
Ta có: sin 45 sin 45
2 2
ABC AHB AHC
S S S AB AC AB AH AC AH
2 2
2
2
a a
a AH AH
Mặt khác, ADHE hình vng nên 2
2
AH a
HDHE
2 tan 60
3 a
SH HD
CÁCH 1:
(197)Trong
ABC
, kẻ AKBC K Vì
ABC
SBC
nên AK
SBC
Trong
SAB
, kẻ AI SB I Vì AK
SBC
nên KI SBAIK
Tính tan :
ABC
vng A có 2
5
AB AC a
BC AB AC a AK
BC
Vì AH phân giác BAC nên 1
2
HB AB HB
HC AC HBHC
1
3 3
HB BC a
HB BC
SHB
vuông H có 2 17
3 a
SB SH HB
Mặt khác, 17
cos 60 17
HD a SD AB a
SD AI
SB
AIK
vuông K có 2 255 tan 51
85
a AK
IK AI AK AIK
IK
Vậy tan 51
CÁCH 2:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình trên, với: A
0; 0; 0
, B a
; 0; 0
, C
0; ; 0a
, 2; ;
3 3
a a a
S
Khi đó, ;2 ;2
3 3
a a a
AS
, AB
a; 0;0
, ;2 ;23 3
a a a
BS
, BC
a a; ; 0
Đặt n1nSAB , n 2 nSBC Ta có:
2
1 , 0; 3;
n AS AB a a
, n2 3 BS BC,
4a2 3; 2 a2 3; 0
1 12
n n a
, n1 4a2
, n2 2a2 15
(198)Khi đó,
4
2 2
12 15
cos
10 15
n n a
a a
n n
Mà tan2 12 tan2 17 tan 51
cos 3
Vậy tan 51
Câu 71 (VDC) Cho S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính
AB a ; SAa vng góc với mặt phẳng
ABCD
Cơsin góc hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
bằng:A
2 B
2
4 C
2
3 D
2 Lời giải
Chọn B
Gọi E ADBC , dễ thấy D trung điểm AE ; AE 2a ; SE SA2 AE2 a
SAD
SBC
SETa có BD AD ( tính chất lục giác đều) ; mà BDSA nên BD SE (1) Gọi F hình chiếu vng góc D lên SE , DF SE(2)
Từ (1); (2) BF SE
Vậy
SAD
; SBC
DF BF;
2
3
DB AB AD a SAE
đồng dạng với DFE
7
DF DE DE a
DF SA
SA SE SE
7
DE AE a
EF
SE
; 2
7
a
(199)
2
2
2 2
3
3
7
cos
2
2
7
a a
a
BF DF BD
BFD
BF DF a a
cos ; cos ; cos
4
SAD SBC DF BF BFD
Cách
Có ABCD nửa lục giác cạnh a, nên ACBDSAa Có BD AB, BD SABD
SAB
Có CD AC, CDSACD
SAC
SAC cân A, gọi H trung điểm SC AH SC, mà AH CD (do CD
SAC
)
AH SCD , mà BD
SAB
Suy góc hai mặt phẳng
SAB
SCD
góc tạo hai đường thẳng BDAH
cos AH BD, cos AH BD,
AH BD AH BD ,
6
2
SC a
AH
Có 1
2
AH BD AS AC BD
2
AC BD
2
1
.cos120
2
AC BD a
2
4
cos ,
4
3
a AH BD
a
Vậy cos
Cách
Có ABCD nửa lục giác cạnh a, nên ACBDSAa Có BD AB, BD SABD
SAB
(200)gọi H trung điểm SC AH SC, mà AH CD (do CD
SAC
)
AH SCD , mà BD
SAB
Suy góc hai mặt phẳng
SAB
SCD
góc tạo hai đường thẳng BDAH
Gọi
I ACBD, vẽ IK//AH , KSC, có AH
SCD
IK SCD
Có
BD AH,
IK BD,
DIK vuông K có CosDIK IK ID Có ID AD 2
IB BC
2
3
ID BD a
Có
3
IK IC
AH AC
6
3
IK AH a Suy CosDIK IK
ID
6
6
a
a
Vậy cos
-HẾT -
Câu 72 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết
2 , ,
AD a ABBCa SA a SA vng góc với đáy, gọi I trung điểm AD, M điểm thuộc cạnh SD cho SM 2MD Điểm N thuộc cạnh CD cho tam giác MNI có diện tích
2
a
Tính góc hai mặt phẳng (MNI) (SAC)
A 300 B 450 C 600 D 700