Bài toán góc trong không gian

(VD) Cho hình lập phương ABCD EFGH.. c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai véctơ chỉ phương cùng phương. d) Để xác định góc [r]

MỤC LỤC

DẠNG 1: GĨC GIỮA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

DẠNG 3: GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI VÉC-TƠ

A KIẾN THỨC CHUNG

1) Góc hai vectơ không gian:

Định nghĩa: Trong không gian, cho trước hai vectơ u0, v0.

Với điểm A bất kì: ABu AC,v Khi đó: u v ,  AB AC, BAC00BAC180 0

2) Tích vơ hướng hai vectơ không gian:

Trong không gian, cho trước hai vectơ u v , 0.

  os , u v  u v c  u v 

Qui ước: 0

u v

  

 

 



 u v  0

* Phương pháp

Cách 1: dùng định nghĩa

Cách 2: dùng tích vơ hướng vectơ, tính os , 

u v c u v

u v



   

  suy u v , 

Đặc biệt, với u0, v0 u v  0u v , 90

B BÀI TẬP

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu (TH) Cho hai vectơ a b,

 

thỏa mãn: a 4;b 3;a b  4 Gọi  góc hai vectơ a b,   Chọn khẳng định đúng?

A cos

8

  B  30 C cos

3

  D  60

Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB



vàDH



?

A 45 B 90 C 120 D 60

A cosBD A C ,    B cos BD A C,    C cos ,  BD A C    

D

 

cos ,

2

BD A C  

 

Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Góc cặp vectơ AF



EG

A 0o. B 60o. C 90o. D 30o.

Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai vectơ AD A C 

A 120 B 60 C 30 D 150

Câu (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH , góc hai vectơ AC BG,  

A 45 B 30 C 60 D 120

Câu (TH) Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Khi góc vectơ CH

AC



A 135 B 150 C 120 D 30

Câu (TH) Cho tứ diện ABCD có AB ACAD BACBAD600 Hãy xác định góc cặp vectơ AB CD ?

A 60 B 45 C 120 D 90

Câu (TH) Cho tứ diện ABCD có AB ACAD BAC BAD60 ,0 CAD900 Gọi I J trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD?

A 45 B 90 C 60 D 120

Câu 10 (TH) Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N P Q, , trung điểm cạnh AC CB BC, , ' C A' Hãy xác định góc cặp vectơ ?

A 45 B 120 C 60 D 90

Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABC có BCa 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ

SB



AC

A 60 B 120 C 30 D 90

Câu 12 (TH) Cho hình chóp S ABC có BC a 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ

SB



và ACbằng

A 60 B 120 C 30 D 90

Câu 13 (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSC CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SA



BC



?

A 120 B 90 C 60 D 45

AB 

'

Câu 14 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASB2a, ABa Gọi 

là góc hai véc tơ CD AS Tính cos?

A cos

8

  B cos

4

  C cos

8

  D cos

4



Câu 15 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Gọi O giao điểm AC

và BD Chọn mệnh đề sai?

A SA CD , 120 B SO AD, 90 C SA BD, 90 D SA CD, 60

Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASBa 6, CD2a Gọi  góc hai vectơ CD AS Tính cos

A cos

6

  B cos

3

 C cos

6

 D cos

3

  

Câu 17 (TH) Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC D' ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm Ovà O' Hãy xác định góc cặp vectơ AB



vàOO'?

A 60 B 45 C 120 D 90

Câu 18 (TH) Cho hình chóp S ABCcó SASBSCvà ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SB



và AC



?

A 60 B 120 C 45 D 90

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 19 (VD) Cho hai vectơ a b,  

thỏa mãn: a 4;b 3; a b 10 Xét hai vectơ ya b   

2 , xa b   

Gọi α góc hai vectơ x y,

 

Chọn khẳng định

A cos

15

   B cos

15

  C cos

15

  D cos

15

 

Câu 20 (VD) Cho tứ diện ABCD có M trung điểm BC Đặt   AM BD,  Chọn mệnh đề

A cos

2

   B cos

2

   C cos

6

   D Đáp số khác

Câu 21 (VD) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG?

A 90 B 60 C 45 D 120

Câu 22 (VD) Cho tứ diện S ABC M N, trung điểm BC SA Cơ-sin góc hai vectơ SM BN bằng

A

2

 B 1 C

3

 D

Câu 23 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B,

BCa Hai mặt phẳng SCA SCB hợp với góc 60 o BSC 45o Tính cosin góc



ASB



A cos =

 B cos =

5

 C cos =

2

 D cos =

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI VÉC-TƠ

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 1. (TH) Cho hai vectơ a b,

 

thỏa mãn: a 4;b 3;a b  4 Gọi  góc hai vectơ a b,   Chọn khẳng định đúng?

A. cos

8

  B  30 C cos

3

  D  60

Lời giải

Chọn A

2

2

( )

2 a b   a  b  a b a b  Do đó:

8

c s

o a b

a b

  

   

Câu 2. (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB



vàDH



?

A 45 B. 90 C 120 D 60

Lời giải

Chọn B

,  90 //

AB AE

AB DH AB DH

AE DH

 

    

 

Câu 3. (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Tính cosBD A C ,  

A. cos BD A C,    0. B cosBD A C ,   

C cos , 

2 BD A C    

. D cos ,  2

BD A C  

 

Lời giải

Chọn A

||

BD AC A C BD A C cos BD A C,  0

Câu 4. (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH Góc cặp vectơ AF



EG

A 0o. B. 60o. C 90o. D 30o

Lời giải

Chọn B

B

A

C

D

H G

Nhận xét EG  AC nên  AF EG;    AF AC; FAC Tam giác FAC tam giác nên FAC60o

Câu 5. (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai vectơ AD A C 

A 120 B. 60 C 30 D 150

Lời giải

Chọn B

Ta có  AD A C,     AD AC,  D AC 60, tam giác ACD

Câu 6. (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH , góc hai vectơ  AC BG,

A 45 B 30 C. 60 D 120

Lời giải

Chọn C

Gọi cạnh hình lập phương a

Ta có BG  BFBC   2 2

AC BF AC BF BC AC BF AC BC a a a

           

Lại có  

cos ,

AC BG a AC BG

   

    

cos , , 60

2

AC BG   AC BG 

   

Câu 7. (TH) Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Khi góc vectơ CH



AC



A 135 B. 150 C 120 D 30

Lời giải

Chọn B

B

A D

C

E F

Gọi A’ là điểm cho  AC CA' Khi (CH AC , )(CH CA , ')HCA'

ABC

 ACH 300 HCA' 150 0

Vậy

(CH AC, )150  

Câu 8. (TH) Cho tứ diện ABCD có ABAC AD BACBAD600 Hãy xác định góc cặp vectơ AB



CD ?

A 60 B 45 C 120 D. 90

Lời giải

Chọn D

Ta có

 

0

.cos 60 cos 60

AB CD AB AD AC AB AD AB AC

AB AD AB AC

   

  

        

 

, 90 AB CD    

Câu 9. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB ACAD   

60 , 90

BACBAD CAD Gọi I J

lần lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD?

A 45 B. 90 C 60 D 120

Lời giải

Chọn B

Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB) nên CID tam giác cân I Do IJ CD

Câu 10. (TH) Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N P Q, , trung điểm cạnh AC CB BC, , ' C A' Hãy xác định góc cặp vectơ ?

H

D B

A C

A

B D

C

AB 

'

CC

A 45 B 120 C 60 D. 90

Lời giải

Chọn D

Gọi I trung điểm CC

CAC

 cân A CCAI (1)

CBC

 cân B CCBI (2)  

(1),(2)

CC AIB CC AB CC AB

      Kết luận: góc CC AB



90

Câu 11. (TH) Cho hình chóp S ABC có BC a 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ

SB



AC

A 60 B. 120 C 30 D 90

Lời giải

Chọn B

Ta có cos , 

SB AC SB AC

SB AC



   

  SA AB AC2  a

 

  

2

SA AC AB AC a

 

   

2

1

2

a a

 

   Vậy góc hai vectơ SB AC 120

Câu 12. (TH) Cho hình chóp S ABC có BCa 2, cạnh cịn lại a Góc hai vectơ

SB



và AC



bằng

A 60 B. 120 C 30 D 90

Lời giải

Chọn B

I

P Q M

N

A

B

C C'

A C

B

Ta có cos , 

SB AC SB AC

SB AC



   

  SA AB AC2  a

 

  

2

SA AC AB AC a

 

   

2

1

2

a a

 

   Vậy góc hai vectơ SBvà ACbằng 120

Câu 13. (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SA BC ?

A 120 B. 90 C 60 D 45

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

 

.cos cos

SA BC SA SC SB SA SC SA SB

SA SC ASC SA SB ASB

   

  

        

 

, 90 SA BC

   

Câu 14. (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASB2a, ABa Gọi

 góc hai véc tơ CD



AS



Tính cos?

A cos

8

  B. cos

4

  C cos

8

 D cos

4



Lời giải

Chọn B

A C

B

S

S

A C

Ta có   2

SB   ASAB SB2  AS22 AS AB AB2

AS CD

  AS BA   AS AB 

2 2

2

SB SA AB

2 a  

Vậy cos cosCD AS , 

CD AS CD AS



 

2

a

a a





4 



Câu 15. (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Gọi O giao điểm AC

và BD Chọn mệnh đề sai?

A. SA CD , 120 B SO AD, 90 C SA BD, 90 D SA CD, 60

Lời giải

Chọn A

* Các mặt bên hình chóp tam giác * SA CD ,    SA BA,    AS AB, SAB 60

* SO AC SO ABCD SO AD SO AD,  90

SO BD

 

      

  

* BD SO do SO ABCD BD SAC BD SA SA BD,  90

BD AC

  



      

   

* SA CD, SA AB, SAB 60

Câu 16. (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SASBa 6, CD2a Gọi  góc hai vectơ CD AS Tính cos

O C A

D

B

A cos

  B cos

3

 C cos

6

 D. cos

3

  

Lời giải

Chọn D

Ta có: ABCD hình bình hành  CDBA AB Do góc hai vectơ CD AS bù với góc hai vectơ AB AS cos  cos AB AS;  cosSAB

2 2

2

AS AB SB

AS AB

 

 

2 2

6

2 6.2

a a a

a a

 

   

Câu 17. (TH) Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC D' ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm Ovà O' Hãy xác định góc cặp vectơ AB



vàOO'?

A 60 B 45 C 120 D. 90

Lời giải

Chọn D

Vì ABCD ABC D' ' hình vng nên AD//BC'; ADBC'ADBC' hình bình hành Mà O O; ' tâm hình vuông nên O O; ' trung điểm BD AC' OO' đường trung bình ADBC'OO' //AD

Mặt khác, AD AB nên OO'ABOO AB', 90o

Câu 18. (TH) Cho hình chópS ABC có SASBSCvà ASBBSCCSA Hãy xác định góc cặp vectơ SBvà AC?

A 60 B 120 C 45 D. 90

Lời giải

Ta có: SAB SBC SCA c gc ABBCCA Do tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SASBSC

nên hình chiếu S trùng với G

Hay SGABC

Ta có: AC BG AC SBG

AC SG

 

 

  

Suy ACSB

Vậy góc cặp vectơ SB AC 90

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 19. (VD) Cho hai vectơ a b,  

thỏa mãn: a 4;b 3; a b 10 Xét hai vectơ ya b   

2 , xa b   

Gọi α góc hai vectơ x y , Chọn khẳng định

A cos

15

   B cos

15

  C cos

15

  D. cos

15

 

Lời giải

Chọn D

Ta có  x y a2b  a b    a 2 b 23 a b 4  2  2  2 4 2

x  x  a b  a  b  a b 

       

 2  2    2 2

y  y  a b  a  b  a b 

       

cos

2 15

x y x y

   

   

Câu 20. (VD) Cho tứ diện ABCD có M trung điểm BC Đặt   AM BD,  Chọn mệnh đề

A cos

2

   B cos

2

   C. cos

6

   D Đáp số khác

Lời giải

Chọn C

G A

B S

Dựng ; ME AM MN  BD    

Khi       

, , 180 , 180

AM BD  ME MN   ME MA  AMN

     

Ta có 

2 2

cos

2

AM MN AN

AMN

AM MN

 



2 2

3

4 4

3

2

AB AB AB

AB AB

 



2



Nên cos cos AM BD, cos 180 0AMN cos

AMN

     

Câu 21. (VD) Cho hình lập phương ABCD EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AF EG?

A 90 B. 60 C 45 D 120

Lời giải

Chọn B

Đặt cạnh hình lập phương a

Gọi I giao trung điểm EG

Qua A kẻ đường thẳng d FI// Qua I kẻ đường thẳng d//FA

Suy d cắt d J

Từ suy EG AF, EIJ

2 2

IJ AF  EI  FI  AJ a

2 2

2 EJ AE AJ 

d' d

J

I

D C

A B

F E

2 2

1

cos 60

2

EI IJ AJ

EI EJ

       

Vậy góc hai đường thẳngAB CD có số đo 18001200 60

Câu 22. (VD) Cho tứ diện S ABC M N, trung điểm BC SA Cô-sin góc hai vectơ SM BN bằng

A

2

 B 1 C.

3

 D

3 

Lời giải

Chọn C

Do tam giác SBCđều, tam giác SMAcân M nên SM BM MN, SA

Đặt cạnh 3; 2

2

AB SM BN  MN SM SN 

Ta có:      

.cos ,

cos ,

SM BM MN MS MN MS MN

SM BN SM MN

SM BN

SM BN SM BN SM BN SM BN

 

   

    

   

 

2

MN SM BN



  

Câu 23. (VD) Cho hình chóp S ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B, BCa

Hai mặt phẳng SCA SCB hợp với góc 60 o BSC 45o Tính cosin góc



ASB



A cos =

 B. cos =

5

 C cos = 2

 D cos =



Lời giải

Xét ABC kẻ BH vng góc với AC H Xét SAC kẻ HK vng góc với SC K

Có BH SC BH SAC,HK SCSC BHK    

   o

, , 60

SCA SCB  KH KB HKB Có SBC vng B BCSAB Mà BSC45o

Do SBC vng cân B

,

2

BK KC a BC BS a

    

Xét BHK vng H có 2,

2 4

HK  BKa HBa

Xét HKC vng K có 2 10

HC KH KC a

Xét ABCcó BH  AC Hcó

2

2

15

BC BH

AB a

BC BH

 

 Vậy cos 10

5

DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A KIẾN THỨC CHUNG 1 Góc hai đường thẳng

Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song với a b

- Nhận xét

a) Nếu a véctơ phương đường thẳng d véc tơ ka với k0 véctơ phương d

b) Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d véc tơ phương a

c) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai véctơ phương phương

d) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại

e) Nếu u véc tơ phương đường thẳng a v véc tơ phương đường thẳng b u v ,  góc hai đường thẳng a b  00 900 1800 

0

90 180

Nếu a b song song trùng góc chúng 0o BC D C ', ' 131 48 '

2 Xác định góc hai đường thẳng phương pháp vectơ. * Phương pháp

Tìm hai vectơ phương u u 1, 2 hai đường thẳng a b, Khi góc hai đường thẳng xác định  

1 cos ,

u u a b

u u



  

Chú ý:

a b,  u v , 0  u v , 90

a b, 180  u v , 90  u v , 180

3.Tính góc hai đường thẳng khơng gian phương pháp dựng hình * Phương pháp

Để xác định góc tạo hai đường thẳng không gian a b, ta làm sau:

Cách 1:

- Chọn tam giác OAB cho Aa B, b, sử dụng hệ thức lượng để tính giá trị lượng giác góc AOB Từ suy góc a b,

Lưu ý:

+ Ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a b, , vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại

+ Để tính góc hai đường thẳng a b, ta dùng tính chất sau:  ,   ,  / /

a c

a b b c





 



 

  

Cách 2:

- Tìm vecto phương hai đường thẳng này, giả sử vecto phương u v , - Gọi  góc đường thẳng a b, ta có: cos cos , 

u v u v

u v

  

   

 

Lưu ý: Để chứng minh hai đường thẳng AB CDvng góc với nhau, ta cần chứng minh:

AB CD

  B BÀI TẬP

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu (NB) Góc hai đường thẳng khơng gian góc giữa

A Hai đường thẳng cắt không song song với chúng

B Hai đường thẳng vng góc với chúng

C Hai đường thẳng qua điểm song song với chúng

D Hai đường thẳng cắt vng góc với chúng

Câu (NB) Mệnh đề sau đúng?

A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song với c

B Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng

C Góc hai đường thẳng góc nhọn

D Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song trùng với c

Câu (NB) Cho hai đường thẳng a b, có véctơ phương u v , Giả sử  u v , 125 Tính góc hai đường thẳng a b,

A 55. B 125 C 55 D 125

Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Gọi M N, trung điểm ,

AD CD Góc hai đường thẳng MN B D 

A 90 o B 45 o C 60 o D 30 o

Câu (NB) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC, SA

b ' a '

O

A 45 B 120 C 90 D 60

Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Góc hai đường thẳng SA

BC

A 45 B 60 C 90 D 30

Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có ABa BC; 2a

 ;

SA ABCD SA a Tính góc hai đường thẳng SD BC

A 45 B 135 C 60 D 90

Câu (NB) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C   có đáy ABClà tam giác vng cân B.AA ABa Tính góc đường thẳng ABvàBC

A

45 B

60 C

30 D

90

Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Góc hai đường thẳng A B

AC

A 45 B 60 C 30 D 90

Câu 10 (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai đường thẳng A C và BDbằng

A 60 B 30 C 45 D 90

Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (Sốđo góc làm trịn đến hàng đơn vị).

A 48  B 51  C 42  D 39 

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 12 (TH)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OAOBOC Gọi

M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB bằng

A 90 B 30 C 60 D 45

Câu 13 (TH) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D     có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa,

ADa Tính số đo góc hai đường thẳng A C  BD

A 60 B 30 C 45 D 90

Câu 14 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a

Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc MN SB, 

A 45 B 30 C 90 D 60

Câu 15 (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH cạnh a A

O

C M

Hãy xác định góc EG FA, 

A 90 o B 120 o C 45 o D 60 o

Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SCđơi vng góc với SASBSCa Gọi Mlà trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SM BC

A 60 B 30 C 90 D 120

Câu 17 (TH) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cosAB DM,  bằng:

A

6 B

2

2 C

3

2 D

1

Câu 18 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai đường thẳng BD A D 

A 90o B 0o C 60o D 45o

Câu 19 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D    , góc hai đường thẳng A B B C

A 90 B 60 C 30 D 45

Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có SABC2a Gọi M , N trung điểm AB,

SC, MNa Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC

A 30 B 150 C 60 D 120

Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm AD BC Tính góc hai đường thẳng IJ SC

A 90  B 30  C 45  D 60 

Câu 22 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D    ; gọi M trung điểm B C  Góc hai đường thẳng AM BC

A 45 B 90 C 30 D 60

Câu 23 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M N trung điểm AD BC

A

2 a

MN  B

2

a

MN  C

3

a

MN  D

4 a MN 

Câu 24 (TH) Tứ diện có góc tạo hai cạnh đối diện bằng

A

90 B C

30 D

45

Câu 25 (TH) Cho tứ diện ABCD Gọi M N P, , trung điểm AB BC CD, , Biết góc MNPbằng 120 Góc hai đường thẳng ACvà BDbằng

A 60 B 45 C 120 D 30

Câu 26 (TH) Cho tứ diện ABCDcó ABCD2a Gọi M , Nlần lượt trung điểm BCvà AD Biết MN a Tính góc ABvà CD

A 45 B 30 C 90 D 60

Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D     có ABCD hình thoi với ABBDAAa Tính cosin góc hai đường thẳng AC BC

A 1

5 B

3

5 C

1

4 D

3

Câu 28 (TH) Cho tứ diện ABCD Góc hai đường thẳng AB CD

A 30 B 60 C 45 D 90

Câu 29 (TH) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB

A 45 B 30 C 60 D 90

Câu 30 (TH) Cho hình chóp S ABCD có SAa, SB2a, SC3a, ASBBSC60, CSA 90 Gọi  góc hai đường thẳng SA BC Tính cos

A cos

7

  B cos

7

   C cos 0 D cos

3

 

Câu 31 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA2a SA

vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính góc hai đường thẳng SB CD

A 90 B 135 C 60 D 45

Câu 32 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình vng, SASB AB Góc SAvà CD

bằng

A 30 B 45 C 60 D 90

A 30 B 45 C 60 D 90

Câu 34 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC), ABC vng A Góc hai đường thẳng AB SC

A

4



B 3

4



C

3



D

2



Câu 35 (TH) Cho tứ diện ABCDcó M N, trung điểm cạnh AB CD, Góc

MNvà ABbằng

A

30 B

90 C

60 D

45

Câu 36 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, tam giác SBClà tam giác Tính góc hai đường thẳng ADvà SB

A 60 B 30 C 120 D 90

Câu 37 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N; trung điểm BC CD Tính góc hai đường thẳng MN SD

A 45 B 135 C 60 D 90

Câu 38 (TH) Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Khi đó, cosAB DM, 

A

2 B

1

2 C

3

2 D

3

Câu 39 (TH) Cho hình chóp S ABC có AB AC, SACSAB Tính số đo góc hai đường thẳng

SA BC

A 45 B 60 C 30 D 90

Câu 40 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC,60, SAa

 

SA ABCD Gọi M trung điểm SB Tính góc hai đường thẳng SA CM

A 45 B 60 C 90 D 30

Câu 41 (TH) Cho tứ diện S ABC có SASBSCABAC a BCa Tính góc hai đường thẳng AB SC

A 45 B 120 C 60 D 90

Câu 42 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC,SA

A 45 B 120 C 90 D 60

Câu 43 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có I J, tương ứng trung điểm BC BB,  Góc hai đường thẳng AC IJ,

A 30 B 120 C 60 D 40

Câu 44 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDAD 2, ACBD 3, BC1 Khi đó, góc hai đường thẳng BC DA

A BC DA, 30 B BC DA, 90 C BC DA, 60 D BC DA, 45

A

 B 1

2 C

1

 D 1

4

Câu 46 (TH) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB ACADBCBDa CDa Góc hai đường thẳng AD BC

A 30 B 90 C 45 D 60

Câu 47 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy hình chữ nhật  40

CAD Số đo góc hai đường thẳng ACvà B D' 'là

A

20 B 80 C

40 D 50

Câu 48 (TH) Tứ diện ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng AB CD

bằng

A 45 B 90 C 60 D 30

Câu 49 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J, trung điểm ,

SC BC Số đo góc IJ CD

A 90 o B 30 o C 60 o D 45 o

Câu 50 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi Ivà Jlần lượt trung điểm SCvà BC Số đo góc (IJ CD, )bằng

A 30 B 60 C 45 D 90

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 51 (VD) Cho tứ diện ABCDcó ABAC AD1; BAC60; BAD90; DAC120 Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AGvà CD, Glà trọng tâm tam giác BCD

A

6 B

1

3 C

1

6 D

1

Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB2a, BC a Hình chiếu vng góc

Hcủa đỉnh Strên mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy 60 Tính cosin góc hai đường thẳng SBvà AC

A

7 B

2

35 C

2

5 D

2

Câu 53 (VD) Cho tứ diện ABCDđều cạnh a Hãy tính góc tạo cặp cạnh đối tứ diện

A 45 B 60 C 30 D 90

Câu 54 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M , N trung điểm AD, BB cơsin góc hợp MN AC

A

3 B

3

3 C

5

3 D

2

Câu 55 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,

A

10 B

10

5 C

1

10 D

15

Câu 56 (VD) Cho tứ diện ABCD biết ABBCCA4, AD5, CD6, BD7 Góc hai đường thẳng AB CD

A 120 B 60 C 150 D 30

Câu 57 (VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C   có ABavà AA  2a Góc hai đường thẳng ABvà BCbằng

A 60 B 45 C 90 D 30

Câu 58 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M , N , Plần lượt trung điểm cạnh AB

, BC,C D  Xác định góc hai đường thẳng MNvà AP

A 60 B 90 C 30 D 45

Câu 59 (VD) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết ABCDa

và

2

a

MN  Góc hai đường thẳng AB CD

A 30 B 90 C 120 D 60

Câu 60 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC ABACa, BCa Góc hai đường thẳng AB SC

A 0 B 120 C 60 D 90

Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a4 cm, cạnh bên SC vng góc với đáy SC2cm Gọi M , N trung điểm AB BC Góc hai đường thẳng SN CM

là

A 30 B 60 C 45 D 90

Câu 62 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D    , gọi I trung điểm cạnh AB Tính cơsin góc hai đường thẳng A D B I kết

A 1

5 B

2

5 C

10

5 D

7

Câu 63 (VD) Cho hình chóp có cạnh , , đơi vng góc Gọi

là trung điểm Khi góc hai đường thẳng

A B C D

P N

M

B'

C'

D' A'

A D

C B

S ABC SA SB SC SASBSC

I AB SI BC

Câu 64 (VD) Cho tứ diện ABCDcó ABvng góc với BCD Biết tam giác BCDvng Cvà

2 a

AB , ACa 2, CDa Gọi Elà trung điểm AD Góc hai đường thẳng ABvà CEbằng

A o

30 B o

60 C o

45 D o

90

Câu 65 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có ABa, SAa Gọi G trọng tâm tam giác

SCD Góc đường thẳng BG đường thẳng SA

A arccos 33

22 B

330 arccos

110 C

3 arccos

11 D

33 arccos

11

Câu 66 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA9a,AB6a Gọi M điểm thuộc cạnh SCsao cho

2

SM  MC Cơsin góc hai đường thẳng SBvà AMbằng

A 1

2 B

7

2 48 C

19

7 D

14 48

Câu 67 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCD2a Gọi E, F trung điểm BC AD Biết EF a 3, tính góc hai đường thẳng AB CD

A 60 B 45 C 30 D 90

Câu 68 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M , N trung điểm AD, BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30

A

2 a

MN  B

2 a

MN  C

3 a

MN  D

4 a MN 

Câu 69 (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam giác BCD vuông C 6,

2  a

AB ACa 2,CDa Gọi E trung điểm cạnh AC Góc hai đường thẳng AB DE

A 30 B 60 C 45 D 90

Câu 70 (VD) Cho tứ diện ABCDcạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng ABvà CI, với I trung điểm AD

A

6 B

1

2 C

3

4 D

3

Câu 71 (VD) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SASBSC AB ACa BCa Góc hai đường thẳng AB SC là?

A 45 B 90 C 60 D 30

Câu 72 (VD) Cho hình vng ABCDcạnh 4a, lấy H K, cạnh AB AD, cho ,

BH  HA AK  KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCDtại Hlấy điểm Ssao cho

 30

SBH   Gọi Elà giao điểm CH BK Tính cosin góc hai đường thẳng SEvà BC

A 28

5 39 B

18

5 39 C

36

5 39 D

9 39

Câu 73 (VD) Cho hình hộp ABCD A B C D     có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA,

'

A AB 60 Gọi M N, trung điểm AA CD, Gọi  góc tạo hai đường thẳng MN B C , giá trị cos

A

5 B

1

5 C

3

5 D

Câu 74 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC AB ACa BC; a Góc hai đường thẳng

ABvà SCbằng

A 0. B 120 C 60 D 90

Câu 75 (VD) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm BC Khi cosin góc hai đường thẳng sau có giá trị

6

A AB DM,  B AD DM,  C AM DM,  D AB AM, 

Câu 76.(VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Góc MN SC

A 30 B 45 C 60 D 90

Câu 77 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SAa, SBa 3, SAB  ABCD GọiM , N lượt lần trung điểm AB AC, Tính cơsin góc  SM DN

A cos

4

  B cos

4

  C cos

4

  D cos

2

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu (NB) Góc hai đường thẳng khơng gian góc giữa

A Hai đường thẳng cắt không song song với chúng

B Hai đường thẳng vuông góc với chúng

C Hai đường thẳng qua điểm song song với chúng

D Hai đường thẳng cắt vng góc với chúng

Lời giải

Chọn C

Câu (NB) Mệnh đề sau đúng?

A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song với c

B Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng

C Góc hai đường thẳng góc nhọn

D Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c bsong song trùng với c

Lời giải Chọn D

Phương án A: mặt phẳng thiếu trường hợp b trùng với c

không khơng gian

Phương án B: góc hai đường thẳng góc hai véc tơ phương hai đường thẳng góc hai véc tơ phương góc nhọn, góc véc tơ phương hai đường thẳng góc tù sai

Phương án C: góc hai đường thẳng góc vng

Câu (NB) Cho hai đường thẳng a b, có véctơ phương u v,  

Giả sử  u v , 125 Tính góc hai đường thẳng a b,

A 55. B 125 C 55 D 125

Lời giải Chọn A

Hai đường thẳng a b, có véc tơ phương u v ,  u v , 125 góc hai đường thẳng a b, 180125 55

Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Gọi M N, trung điểm AD CD, Góc hai đường thẳng MN B D 

A 90 o B 45 o C 60 o D 30 o

Lời giải

Chọn A

Câu (NB) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC, SA

A 45 B 120 C 90 D 60

Lời giải

Chọn D

Vì AD BC// nên góc BC SA góc AD SA

Hình chóp có tất cạnh a nên SAD đều, suy AD SA,  60

Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Góc hai đường thẳng

SA BC

A 45 B 60 C 90 D 30

Lời giải

Chọn B

Do BC//AD nên SA BC, SA AD,  Mà tam giác SAD nên SA AD, 60 Vậy SA BC, 60

Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có ABa BC; 2a

 ;

SA ABCD SA a Tính góc hai đường thẳng SD BC

A 45 B 135 C 60 D 90

Lời giải

Chọn A

S

B

A D

C O

B

D C

A

Ta có AD//BCSD BC; SD AD; 

Xét SAD vuông A có SA AD SAD vng cân A Suy SD BC; SD AD; SDA45 

Câu (NB) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C   có đáy ABClà tam giác vng cân B.AA  ABa Tính góc đường thẳng ABvàBC

A 450 B 600 C 300 D 900

Lời giải

Chọn D

Có BC//B C AB BC, AB B C,  

 

, A

B C A B  AA   B C ( tính chất lăng trụ đứng) AAB C 

 

B C  AA B B  B C  AB

    AB BC, 90

Câu (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Góc hai đường thẳng A B AC

A 45 B 60 C 30 D 90

Lời giải

Ta có:

 

AB A B

A B AB C A B AC

B C A B

  

    

   



   

Vậy góc hai đường thẳng A B AC 90

Câu 10 (NB) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai đường thẳng A C và BDbằng

A 60 B 30 C 45 D 90

Lời giải

Chọn D

Ta có: A C BD ; AC BD; 90

Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB góc 45 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (Số đo góc làm trịn đến hàng đơn

vị).

A 48  B 51  C 42  D 39 

Lời giải

Chọn B

Cách Gọi K trung điểm AB

Giả sử hình vng ABCD cạnh a, SD SAB, 45 SAADa

Gọi K trung điểm AB Vì KD//BI nên góc hai đường thẳng BI SD góc hai đường thẳng KD SD góc SDK Ta có

2

a

Gọi H trung điểm SD Ta có 

2

10

cos

5 a HD SDK

KD a

  

Vậy góc hai đường thẳng BI SD 51 

Cách Giả sử hình vng ABCD cạnh a, SD SAB, 45 SA ADa

Xét không gian tọa độ Oxyz đó: OA, OxAB Oy,  AD Oz, AS Khi ta có:  ; 0; 0

B a , ; ;

a I a 

 , D0; ;0a , S0;0;a Suy ; ;

2

a

IB a 

 



, SD0;a a;  Mặt khác:  

2

2 2 cos ,

a IB SD

a

a a a



 

  2

10

 IB SD, 51

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 12 (TH)Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM

AB bằng

A 90 B 30 C 60 D 45

Lời giải

Chọn C

Cách 1: A

O

C M

B A

B

C

D y

x

S z

I K

Gọi N trung điểm AC, ta có MN AB// OM AB;   OM MN; OMN

Do OAB OCB OAC OA, OB, OC đôi vng góc với nên

2 AB

OM ON MN  OM AB; OMN60

Cách 2:

Ta có: OA2 a2, OB2 b2, OC2 c2, OA OB  0, OB OC  0, OC OA  0, AB a 2,

2

a

OM  Do M trung điểm BC nên ABOB OA ;

   1 1

2

OM OB OC

  1 1  

2 2

OM AB OB OA  OB OC OB OA OB OC

       

 

         

 

1

2

a

OM AB OB OB OC OA OB OA OC

          

   

2

1

2 cos ; cos ;

2

2 a OM AB

OM AB OM AB

a

OM AB

a

    

   

  OM AB;  60

  

Câu 13 (TH) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D     có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa,

ADa Tính số đo góc hai đường thẳng A C  BD

A 60 B 30 C 45 D 90

Lời giải

Chọn A

Gọi O ACBD

Ta có A C BD , AC BD,  A

O

C M

Ta tính góc AOD

Xét tam giác ABD vng A, ta có:

  

tan 30

3

AB

BDA BDA OAD

AD

      (do tam giác AOD cân O)AOD120 Vậy A C BD , 180 120 60

Câu 14 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên

a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc MN SB, 

A 45 B 30 C 90 D 60

Lời giải

Chọn D

Ta có: Xét SAD cóMN SA// Mà SA SB, 600 (SABđều)

 

, 60 MN SB

 

Câu 15 (TH) Cho hình lập phương ABCD EFGH cạnh a

Hãy xác định góc EG FA, 

A 90 o B 120 o C 45 o D 60 o

Vì AF DG// nên EG FA, EG DG, EGD60o (vì EDG tam giác đều)

Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SCđơi vng góc với

SASBSCa Gọi Mlà trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SM BC

A 60 B 30 C 90 D 120

Lời giải

Chọn A

Gọi N trung điểm AC Khi góc SM BCbằng góc SM MN Ta có:

ABBCCA

1

SM  AB(trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)

2

SN  AC(trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)

2 MN  BC

Suy SM MN SNhay tam giác SMNđều Do SM BC; SMN60

Câu 17 (TH) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cosAB DM,  bằng:

A

6 B

2

2 C

3

2 D

1

N

M

S B

Lời giải

Chọn A

Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a ta có:

a

DM 

Ta lại có: cos , 

AB DM AB DM

AB DM



   

 

3

2

AB DB AB BM a

a

 

   

.cos 60 cos120

a a a a

a a

  



6 

Vậy cos , 

AB DM 

Câu 18 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc hai đường thẳng BD A D 

A 90o B 0o C 60o D 45o

Lời giải

Chọn D

Ta có AD/ /A D  nên BD A D,    BD AD, 45

Câu 19 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D    , góc hai đường thẳng A B B C

A 90 B 60 C 30 D 45

Lời giải

Chọn B

D

C B A

M

D

D'

A

A' C

C'

B

Ta có B C // A D A B B C ;  A B A D ;  DA B

Xét DA B có A D  A B BD nên DA B tam giác Vậy DA B 60

Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có SABC2a Gọi M , N trung điểm AB,

SC, MN a Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC

A 30 B 150 C 60 D 120

Lời giải

Chọn C

B S

A C

M

N P

Q O

Gọi P, Q trung điểm SB, AC Khi MP, NQ, MQ, PN đường trung bình tam giác SAB, SAC, ABC, SBC nên MP//NQ//SA; PN // MQ // BC

1

MPNQ SAa;

2

PN MQ BCa Suy góc hai đường thẳng SA BC góc PMQ tứ giác MPNQ hình thoi

Xét hình thoi MPNQ: gọi Ogiao điểm hai đường chéo; MN a nên

a

MO ;

trong tam giác vng MOQ

2

4

a a

OQ a   PQa, tam giác PMQ hay PMQ60

Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm AD BC Tính góc hai đường thẳng IJ SC

A 90  B 30  C 45  D 60 

Lời giải

Chọn D

Hay (IJ SC, )60

Câu 22 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D    ; gọi M trung điểm B C  Góc hai đường thẳng AM BC

A 45 B 90 C 30 D 60

Lời giải

Chọn A

Giả sử cạnh hình lập phương a 0

Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB Khi đó, MN BC//  nên AM BC,   AM MN,  Xét tam giác A B M  vng B ta có: A M 2

A B  B M

  2 a a

 

2

a



Xét tam giác AA M vng A ta có: 2 AM  AA A M

2

4

a a

 

2

a



Có

2

a

AN A M  ;

2

BC a

MN  

Trong tam giác AMN ta có: 

cosAMN

2 2

2

MA MN AN

MA MN

 



2 2

9

4 4

3

2 2

a a a

a a    2

4 a

a



2



Suy AMN 45

Vậy AM BC,   AM MN,  AMN 45

Câu 23 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M N trung điểm AD

BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30

A

2 a

MN  B

2

a

MN C

3

a

MN D

4 a MN 

Chọn B

Gọi P trung điểm AC Suy

PM  CD

2AB PN

  Do tam giác PMN cân

P Lại có góc AB MN 30 nên góc MN PN 30 Vậy tam giác

PMN tam giác cân có góc đỉnh 120 Ta có PN 3MN nên

2

a

MN 

Câu 24 (TH) Tứ diện có góc tạo hai cạnh đối diện bằng

A

90 B C

30 D

45

Lời giải

Chọn A

Trong BCD, gọi Hlà chân đường cao hạ từ B H

 trung điểm CDvà BH CD  1

 2

AH CD

 

Từ    1 ; CDABHCDAB Tương tự với cặp cạnh đối lại

Câu 25 (TH) Cho tứ diện ABCD Gọi M N P, , trung điểm AB BC CD, , Biết góc MNPbằng

120 Góc hai đường thẳng ACvà BDbằng

A 60 B 45 C 120 D 30

Lời giải

A

B

C

Chọn A

Vì M N, trung điểm AB BC, nên MN//AC ,

N Plần lượt trung điểm CB CD, nên NP BD//

Do góc đường thẳng ACvà BDbằng góc hai đường thẳng MNvà NPvà



MNPhoặc 1800 MNP

Từ giả thiết ta có MNP 1200 900nên góc đường thẳng ACvà BDbằng 60

Câu 26 (TH) Cho tứ diện ABCDcó ABCD2a Gọi M , N trung điểm BCvà

AD Biết MN a Tính góc ABvà CD

A 45 B 30 C 90 D 60

Lời giải

Chọn D

Kẻ MP // AB, NP // CDnên góc ABvà CDlà góc MPvà NP

 2

cos

2

MP NP MN

MPN

MP NP

 



2 2

2

3

a a a

a

 



2

  MPN120 Vậy góc ABvà CDbằng 60

Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D     có ABCD hình thoi với ABBDAAa Tính cosin góc hai đường thẳng AC BC

A 1

5 B

3

5 C

1

4 D

3

Lời giải

Chọn D

N

M

B D

C A



  

// , ,

BC B C  AC BC  AC B C  

ABCD hình thoi với ABBDAAa 3

AC a a

   ,

2

2

AC AA A C   a, AB a

  

cos AC BC,  cosAC B 

2 2

3

2

AC B C AB

AC B C      

 

  

Câu 28 (TH) Cho tứ diện ABCD Góc hai đường thẳng AB CD

A 30 B 60 C 45 D 90

Lời giải

Chọn D

Gọi M trung điểm BC Vì tam giác DBC ABC nên

BC DM

BC AM

  



  

BC ADM BC AD

   

Câu 29 (TH) Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với OAOBOC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng OM AB

A 45 B 30 C 60 D 90

Lời giải

Chọn C

Gọi I trung điểm AC lại có M trung điểm BC  M I đường trung bình ABC

2

MI AB

  (1) M I // AB OM AB,   OM MI, 

Xét AO C vng cân O có O I đường trung tuyến nên

OI  AC (2)

Xét BO C vng cân O có O M đường trung tuyến nên

OM  BC (3) Ta có AOC  AOB  BOC (c.g.c)  AB  AC  BC (cạnh tương ứng) (4)

Từ (1), (2), (3), (4)  MI OM OI  OIM tam giác OM MI, 60hay OM AB, 60

Câu 30 (TH) Cho hình chóp S ABCD có SAa, SB2a, SC 3a, ASBBSC60, CSA 90 Gọi  góc hai đường thẳng SA BC Tính cos

A cos

7

  B cos

7

   C cos 0 D cos

3

 

cos  cos(SA BC , ) SA BC SA BC 

 

.( ) SA SC SB

SA BC  

  

SA SC SA SB SA BC

 

   

2

.S cos 90 cos 60 2.2 cos 60

SA C SA SB

a a a a a

  



  

7 

Câu 31 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA2a SA

vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính góc hai đường thẳng SB CD

A 90 B 135 C 60 D 45

Lời giải

Chọn D

Có AB/ /CDSB CD, SB AB, SBA Tam giác SAB có A ,v SA AB 2a



    SAB vuông cân A SBA 450 

 

, 45 SB CD

 

Câu 32 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình vng, SASB AB Góc SAvà

CDbằng

A 30 B 45 C 60 D 90

Vì ABCDlà hình vng nên AB CD// nên góc SAvà CDbằng góc SAvà ABvà SABhoặc 1800 SAB

Ta có SASB ABnên SABđều SAB 600 900 Vậy góc SAvà CDbằng SAB 60

Câu 33 (TH) Cho tứ diện ABCDcó 4mặt tam giác Góc hai đường thẳngAB CDbằng

A 30 B 45 C 60 D 90

Lời giải Chọn D

Ta có tứ diện ABCDlà tứ diện Gọi M trung điểm CD,

 

 

;

AM CD

BM CD

CD ABM CD AB

AM BM M

AM BM ABM

  

 

   



 



 



Suy góc hai đường thẳngAB CDbằng

90

Câu 34 (TH) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với (ABC), ABC vng A Góc hai đường thẳng AB SC

A

4



B 3

4



C

3



D

2



Lời giải

Chọn D

.( ) AB SC AB ACAS  AB ACAB AS         

cos( , )

AB SC AB SC

AB SC

 

 

 , 

AB SC 

 

Cách 2:

Ta có ABSA AB AC

 

AB SAC

   ABSC

Câu 35 (TH) Cho tứ diện ABCDcó M N, trung điểm cạnh AB CD, Góc

MNvà ABbằng

A

30 B

90 C

60 D

45

Lời giải Chọn B

Do tứ diện ABCD nên cạnh tứ diện

Ta có: 3;

2

AB AB

BN AN 

Xét tam giác ABN tam giác cân N Mlà trung điểm AB

MN AB

 

Vậy góc MNvà ABbằng

90

Câu 36 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, tam giác SBClà tam giác Tính góc hai đường thẳng ADvà SB

A 60 B 30 C 120 D 90

Lời giải

Vì tứ giác ABCDlà hình bình hành nên đường thẳng ADsong song với đường thẳng BC Suy góc đường thảng ADvà đường thẳng SBlà góc hai đường thẳng BCvà SB, góc

 60

SBC 

Câu 37 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M N; trung điểm BC CD Tính góc hai đường thẳng MN SD

A 45 B 135 C 60 D 90

Lời giải :

Chọn A

Gọi I trung điểm SC ta có NI / /SD nên suy MN SD; MN NI; 

Ta có MI MN IN; ; đường trung bình tam giác

; ; SCD MI NI ;

2

a a

SCB BCD MN

      

Xét MIN ta có

2 2

2 2

2 4

a a a

MN MI NI MIN

       vuông cân I Vậy góc MN SD; MN NI; MNI45o

Câu 38 (TH) Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Khi đó, cosAB DM, 

A

2 B

1

2 C

3

2 D

3

Lời giải

Gọi N trung điểm AC MN/ /AB DM AB, DM MN,  Ta có

2 a

MN  ,

2 a DM DN 

 2

cos

2

MN MD DN

DMN

MN MD

 

 

3

2 a a

 

6



Câu 39 (TH) Cho hình chóp S ABC có AB AC, SACSAB Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC

A 45 B 60 C 30 D 90

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có     AS BC AS AC. AB   AS AC AS AB  AS AC .cosSACAS AB .cosSAB 0 Do số đo góc hai đường thẳng SA BC 90 

Cách 2: Vì ABAC, SACSAB nên SAC SAB, suy SBSC, nên hai tam giác

ABC SBC tam giác cân Gọi H trung điểm BC, ta có AH BC SAH BC

SH BC

 

 

  

Vậy SABC

Câu 40 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC,60, SAa

 

SA ABCD Gọi M trung điểm SB Tính góc hai đường thẳng SA CM

A 45 B 60 C 90 D 30

N A

B

C

Lời giải

Chọn B

Gọi H trung điểm AB, suy MH//SA, SA CM, MH CM,  Ta có

2

a

MH  SA , tam giác ABC cạnh a nên

a

CH 

Xét tam giác MHC vuông H có  

2

tan 60

2

a CH

HMC HMC

a MH

     

Vậy MH CM, 60 hay SA CM, 60

Câu 41 (TH) Cho tứ diện S ABC có SASBSCABACa BCa Tính góc hai đường thẳng AB SC

A 45 B 120 C 60 D 90

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Gọi M trung điểm BC

Ta có: BC2 AB2AC2 nên tam giác ABC vng cân A Và BC2 SB2SC2 nên tam giác SBC vuông cân S

Vẽ hình chữ nhật (cũng hình vng) ABDC AB SC, SCD SCCDa

H M

C A

D

B

2

2 2

2

a a

AM SM MD a   

 

SAM

  vuông M

 

   

SM BC ABCD

SM ABCD

SM AM ABCD

  

 



   SM MD

2 2

SD SM MD

2

2

2

a a

   

   

   

2

2

a a

  SDa

Suy tam giác SCD AB SC, SCD60

Cách 2:

   

cos ,

SC SB SA SC AB

SC AB

SC AB SC AB



 

   

 

    cos cos

SC SB BSC SC SA ASC

SC AB

 

.cos 90 cos 60

a a a a

a a

   

  SC AB ; 120 Vậy góc hai đường thẳng AB SC 60

Câu 42 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng BC,SA

A 45 B 120 C 90 D 60

Lời giải

Chọn D

Ta có: BC//AD SA BC,  SA AD,  SAD (vì tam giác SADđều)

Câu 43 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có I J, tương ứng trung điểm BC BB,  Góc hai đường thẳng AC IJ,

A 30 B 120 C 60 D 40

Lời giải

Chọn C

Do IJ//B C nên góc giữa hai đường thẳng AC IJ, góc hai đường thẳng

,

AC B C góc B CA 60 (vì ABCD A B C D     hình lập phương nên AB C tam giác đều)

Câu 44 (TH) Cho tứ diện ABCD có ABCDAD 2, ACBD 3, BC1 Khi đó, góc hai đường thẳng BC DA

A BC DA, 30 B BC DA, 90 C BC DA, 60 D BC DA, 45

Lời giải

Chọn D

A

B

C

D

1

3

3

      cos

cos , cos ,

2

BD BA BC

AD BC BD BC BC BD DBC

AD BC AD BC

AD BC AD BC



     

  

   

 

 

 

, 45 AD BC

 

Câu 45 (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a (tham khảo hình bên) Cosin góc hai đường thẳng AB SC

A

 B 1

2 C

1

 D 1

4

Lời giải

Chọn D



AB SC, CD SC, SCD



 Áp dụng định lý cosin cho tam giác SCD có  2  2

2 2 2 2

1 cos

2 2.2

a a a

SC CD SD

C

SC CD a a

 

 

  

Câu 46 (TH) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh ABAC ADBCBDa CDa Góc hai đường thẳng AD BC

Lời giải

Chọn D

Gọi M , N , I , K trung điểm cạnh BD, DC, AC, AB MNIK hình thoi KCD cân K nên KNCD KN  KD2ND2

2

3

2 2

a a a

   

     

   

NIK

  tam giác NIK 60AD BC, IN IK,  NIK 60

Câu 47 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'cóđáy hình chữ nhật CAD40 Số đo góc hai đường thẳng ACvà B D' 'là

A

20 B 80 C

40 D 50

Lời giải Chọn B

Gọi Olà giao điểm BDvà AC

Vì B D' 'BDnên B D' ', ACBD, AC,với 00 900 Mặt khácABCDlà hình chữ nhật nên OA OD hay OADcân O Do ODA OAD40 Suy AOD100

Vậy  80

Câu 48 (TH) Tứ diện ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng AB

CD

A 45 B 90 C 60 D 30

Lời giải

Chọn B

a

2a

K I

M N

D

C

B A

O B'

A'

D' C'

B

A D

Gọi M trung điểm CD

Khi CD AM CD ABM CD AB

CD BM

 

   

  

Câu 49 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J, trung điểm SC BC, Số đo góc IJ CD

A 90 o B 30 o C 60 o D 45 o

Lời giải

Chọn C

Ta có     o

/ / , / / , , 60

IJ SB CD AB IJ CD  SB AB 

Câu 50 (TH) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi Ivà Jlần lượt trung điểm SCvà BC Số đo góc (IJ CD, )bằng

A 30 B 60 C 45 D 90

Lời giải

Chọn B

A

D

C B

OACBD Olà trung điểm BDvà AC

OJsong song với DC (IJ CD, )(IJ OJ, )IJO OJ đường trung bình BCD

2

a

OJ CD

  

IJ đường trung bình SBC

2

a

IJ SB

  

lại có OIlà đường trung bình SAC

2

a

OI SA

  

OIJlà tam giác

 60

IJO

  



(IJ CD, ) 60

  

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 51 (VD) Cho tứ diện ABCDcó AB ACAD1; BAC60; BAD90; DAC120 Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AGvà CD, Glà trọng tâm tam giác BCD

A

6 B

1

3 C

1

6 D

1

Lời giải

Chọn C

*ABC BC1

*ACD cân Acó CD AC2AD22AC AD .cos120  *ABD vuông cân Acó BD

*BCD có 2

CD BC BD  BCDvuông B

Dựng đường thẳng dqua Gvà song song CD, cắt BCtại M

M

G I

B D

Ta có MG //CDAG CD,   AG MG, 

Gọi Ilà trung điểm BC, xét BDIvng Bcó DI  BD2BI2

2 2        

Ta có

3

IM MG IG

IC  CD  ID 

1

IM IC

 

3 BC



6

 ;

3

MG CD ; 1

3

IG ID

Xét AIM vng Icó 2 AM  AI IM

2 2

3

2

   

     

   

 

 2

cos

2

AI ID AD

AID AI ID    2 3

2 4 3

9 3 2                  2

2 cos AG AI IG  AI IG AID

2 2

3 3

2 2

   

      

   

 

Xét AMGcó

  

cos AG MG,  cosAGM

2 2

2

AG GM AM

AG GM

 



2 2

3

3 3 1

6 3 3                      

Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB2a, BCa Hình chiếu vng góc Hcủa đỉnh Strên mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng

SCvà mặt phẳng đáy 60 Tính cosin góc hai đường thẳng SBvà AC

A

7 B

2

35 C

2

5 D

2

Lời giải

Chọn B

 

SC, ABCD SC CH,  SCH600

  cos , SB AC SB AC SB AC      

SB AC SHHB ABBC      

SH AB SH BC HB AB HB BC

         

A D

B C

S

HB AB HB BC

    2 2AB a

 

5

ACa , 2

2

CH  a a a , SH CH tanSCH a

2

SB SH HB  

2

6

a a a

     cos , SB AC SB AC SB AC    2 a a a  35 

Câu 53 (VD) Cho tứ diện ABCDđều cạnh a Hãy tính góc tạo cặp cạnh đối tứ diện

A 45 B 60 C 30 D 90

Lời giải

Chọn D

Xét cặp cạnh đối ABvà CDcủa tứ diện, ta có:

 

AB CD CB CA CD CB CD CACD

        

1

.cos 60 cos 60

2

CB CD CA CD a a a a

      

Vậy AB CD, 90

Câu 54 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M , N trung điểm AD, BB cơsin góc hợp MN AC

A

3 B

3

3 C

5

3 D

2

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Chọn hệ véc tơ sở AB



,AD



,AA.Giả sử độ dài cạnh hình lập phương a Ta có:

ACABADAA

   

,AC a

1

2

MN  AB AA AD     , a MN      1

2

cos ,

3

3

AB AD AA AB AA AD

AC MN AC MN a AC MN a                              

Vậy côsin góc hợp MN AC

B

C

Cách 2:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD A B C D     a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A, BOx, DOy, AOz

Khi đó, tọa độ đỉnh: A0;0; 0, B a ; 0; 0, D0; ;0a , A0; 0;a, B a ; 0;a, C a a a ; ; 

M trung điểm 0; ;

a ADM 

 

N trung điểm ; 0;

a BB  N a 

 

Do ; ;

2

a a MN a  

 



; AC a a a; ;  Cosin góc AC MN



   

2

cos , cos ,

3

3

MN AC a

MN AC MN AC

MN AC

a a



     

    

 

Câu 55 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,

AB AD C D  Tính cosin góc hai đường thẳng MNvà CP

A

10 B

10

5 C

1

10 D

15

Lời giải

Chọn C

Gọi Qlà trung điểm B C  Khi PQ// MN

Ta có MN CP,   PQ CP, CPQvì tam giác CPQcân Cdo

a CPCQ

P N

M

B'

C'

D' A'

A D

Gọi Htrung điểm PQnên CH PQ; 2

a

PQ

4

a PH

 

Vậy cos 2

4 10

PH a

CPH

CP a

  

Câu 56 (VD) Cho tứ diện ABCD biết ABBCCA4, AD5, CD6, BD7 Góc hai đường thẳng AB CD

A 120 B 60 C 150 D 30

Lời giải

Chọn B

Khi  AB CD CB  CA CD CB CD .cosBCD CA CD cosACD

2 2 2

2

CB CD BD CA CD AD

CB CD CA CD

CB CD CA CD

   

 

2 2

12

CB AD BD CA

  

Suy cos ,  AB CD AB CD

AB CD 

 

12 4.6

  AB CD, 60

Câu 57 (VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C   có ABavà AA  2a Góc hai đường thẳng ABvà BCbằng

A 60 B 45 C 90 D 30

Lời giải

Chọn A

B D

C

Ta có  AB BC    ABBBBCCC        AB BC AB CC BB BC BB CC 

AB BC AB CC BB BC BB CC           

2

2

0

2

a a

a

     

Suy cos , 

AB BC AB BC

AB BC

    

     

  

2

1

2 , 60

2 3

a

AB BC

a a

 

    

Câu 58 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi M , N, Plần lượt trung điểm cạnh

AB, BC,C D  Xác định góc hai đường thẳng MNvà AP

A 60 B 90 C 30 D 45

Lời giải

Chọn D

Ta có tứ giác AMC P hình bình hành nên AP MC// MN AP, MN MC, NMC Gọi cạnh hình vng có độ dài a

Xét tam giác C CM vng Ccó 2 2

a C M  C C MC  C C BC MB  Xét tam giác C CN vng Ccó 2

2

a C N  C C CN 

Mà

2

AC a

MN  

Xét tam giác C CM có 

2 2

2 cos

2

MC MN C N

NMC

MC MN

   

  



 45

NMC

   MN AP, 45

C'

B'

A C

B

A'

P

N M

A B

C D

B'

C' D'

Câu 59 (VD) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết

ABCDa

2

a

MN  Góc hai đường thẳng AB CD

A 30 B 90 C 120 D 60

Lời giải

Chọn D

Gọi E trung điểm BD Vì || ||

AB NE CD ME

  

nên góc hai đường thẳng AB

CD góc hai đường thẳng NE ME

Trong tam giác MNE ta có: 

2 2

2 2

2

1

4 4

cos

2

2

a a a

ME NE MN

MEN

a ME NE

 

 

   

Suy MEN120 Vậy góc hai đường thẳng AB CD 60

Câu 60 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC AB ACa, BC a Góc hai đường thẳng AB SC

A 0 B 120 C 60 D 90

Lời giải

Chọn C

Gọi H, M , N trung điểm BC, AC SA

Do BC2 2a2 AB2AC2 nên tam giác ABC vuông cân A H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

Do SASBSC nên SH ABC

E

N

M

C

B D

A

N

M H

A B

C

Lại có: HM AB// MN SC// nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai đường thẳng HM MN, đặt góc 

Nhận thấy:

2 a MN MH 

Tam giác SBC có SB2SC2 a2a2 2a2 BC2SBC vng cân S

2 BC SH

 

2 a

AH

  SH2AH2 a2 SA2 HSA vuông cân H

2 SA a HN

  

2 a

MN HM HN

    MNH NMH 6060 Vậy góc hai đường thẳng AB SC 60

Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a4 cm, cạnh bên SC vng góc với đáy SC2cm Gọi M , N trung điểm AB BC Góc hai đường thẳng SN CM

A 30 B 60 C 45 D 90

Lời giải

Chọn C

Gọi I trung điểm BM, ta có NI CM// nên góc SN CM góc SN

NI Xét tam giác SNI có SN  SC2CN2  8 2 3; 14

2 2

NI  CM   ;

2

CI  CM MI  24 2  26 2

SI SC CI

    26  30

Vậy 

2 2

cos

2

SN NI SI

SNI

SN NI

 

 12 30 12

2 2.2 2.4

  

    SNI135 Vậy góc SN CM 45

Câu 62 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D    , gọi I trung điểm cạnh AB Tính cơsin góc hai đường thẳng A D B I kết

A 1

5 B

2

5 C

10

5 D

7

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình lập phương a0 Ta có B C  DA D B I ,  B I B C ,   Tính

2

2

;

2

a a

B I  a    CI B C a

 

Trong tam giác B CI có 

 

2

2

2

5

2

2 2 10

cos

5

5 10

2 2

a a

a

a IB C

a a

a

   

 

   

   

   

Vậy cos,  10 A D B I  

Câu 63 (VD) Cho hình chóp có cạnh , , đơi vng góc

Gọi trung điểm Khi góc hai đường thẳng

A B C D

Lời giải

Chọn B

Giả sử SASBSCa

  1   

cos ;

2

SA SB SC SB

SI BC SI BC

SI BC SI BC

 

 

     

 

   

1

2 .

SA SC SA SB SB SC SB SI BC

  



        

S ABC SA SB SC SASBSC

I AB SI BC

120 60 90 30

I A

B

2 2

1 1

2 2

2

SB a

a SI BC

a

     



 

(Vì hình chóp có cạnh , , đơi vng góc nên SA SB  0;SA SC  0 SB SC  0)

Suy rA SI BC ; 1200

Do góc hai đường thẳng bằng18001200 600

Câu 64 (VD) Cho tứ diện ABCDcó ABvng góc với BCD Biết tam giác BCDvng Cvà

2 a

AB , ACa 2, CDa Gọi Elà trung điểm AD Góc hai đường thẳng

ABvà CEbằng

A o

30 B o

60 C o

45 D o

90

Lời giải

Chọn C

Ta có BC AC2 AB2

2 a

 ,

2

a

BD

Gọi Mlà trung điểm BD ME // AB,

2

a

ME AB ,

2

BD

CM 

4 a  CME

  vuông cân M

Ta có AB CE, EM CE,  CEM45o

Câu 65 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có ABa, SAa Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG đường thẳng SA

A arccos 33

22 B

330 arccos

110 C

3 arccos

11 D

33 arccos

11

Lời giải

Chọn D

S ABC SA SB SC

Gọi O tâm mặt đáy ABCD Do S ABCD hình chóp nên ta chọn hệ trục toạ độ

Oxyz hình vẽ

2

a OAOBOCOD

Tam giác SAO vuông O: 2 10

a

SO SA OA 

Ta có: 2; 0;

a

A 

 

 

, 0; 2;

a

B  

 

 

, 2; 0;

a

C 

 

, 0; 2;0

a D 

 

, 0; 0; 10

a S 

 

G trọng tâm tam giác SCD nên: 2; 2; 10

6 6

a a a

G 

  10 ; 0; 2 a a

SA   

 



, 2; 2; 10

6

a a a

BG  

       2

6 6 33 33

cos , , arccos

11 11 11 3 a a SA BG

SA BG SA BG

a SA BG a           

Câu 66 (VD) Cho hình chóp S ABC có SA9a,AB6a Gọi M điểm thuộc cạnh SCsao cho

2

SM  MC Cơsin góc hai đường thẳng SBvà AM

A 1

2 B

7

2 48 C 19

7 D

14 48

Lời giải Chọn D

Gọi N trung điểm củaMC,I trung điểm AC, Ktrên CBsao cho CK 2a Khi ta có // ,  , 

//

AM NI

AM SB NI NK

SB NK



 

 

Trong tam giác

2 2

1 cos

2

CA CS SA

SAC C

CA CS

 

 

Trong tam giácCNIta có 2

2 cos IN  CN CI  CN CI C  a Trong tam giác CIKta có IK  CI2 CK22CI CK .cos 60 a Trong tam giác NIK có 

2 2

7 cos

2 18

NI NK IK

INK

NI NK

 

 

Vậy cơsin góc hai đường thẳng SBvà AM 14 18 48 

Câu 67 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCD2a Gọi E, F trung điểm BC

AD Biết EF a 3, tính góc hai đường thẳng AB CD

A 60 B 45 C 30 D 90

Lời giải

Chọn A

Gọi M trung điểm AC Suy ra: ME//AB,

2

ME ABa MF//CD,

MF  CDa Suy ra: AB CD, ME MF, 

Ta có: 

2 2

1 cos

2

ME MF EF

EMF

ME MF

 

   EMF120

S

3a a

2a

2a 3a

3a 3a

3a K I

N M

C

B A

M

F

E

A

B

C

Vậy AB CD, 180 EMF60

Chú ý: Góc hai đường thẳng thuộc 0 ;90 ; cịn góc hai vector thuộc 0 ;180 

Câu 68 (VD) Cho tứ diện ABCD có ABCDa Gọi M , N trung điểm AD, BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30

A

2 a

MN  B

2 a

MN C

3 a

MN D

4 a MN 

Lời giải

Chọn B

Gọi P trung điểm AC, NP/ /AB; MN AB; MN NP; MNP

a

PM PN  ; MNP30 MPN120

2

2 .cos120

MN  NP MP  PM PN 

2 a



Câu 69 (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam giác BCD

vuông C 6,  a

AB AC a 2,CDa Gọi E trung điểm cạnh AC Góc hai đường thẳng AB DE

A 30 B 60 C 45 D 90

Lời giải

Chọn B

Gọi H trung điểm cạnh BC

Ta có    

/ /   

 

  

AB BCD

EH BCD

AB EH EH HD góc hai đường thẳng AB DE góc EH DE góc HED

Lại có     



CD BC

CD AC

CD AB

H C B

D E

Xét tam giác ECD vuông C, ED EC2CD2

2

2

2

 

    

 

 

a a

a

Xét tam giác EHD vng H có cosHED EH ED

6

2

 

a a

 60

HED 

Câu 70 (VD) Cho tứ diện ABCDcạnh a Tính cosin góc hai đường thẳng ABvà CI , với

I trung điểm AD

A

6 B

1

2 C

3

4 D

3

Lời giải

Chọn A

Gọi M trung điểm BD Ta có: IM // AB

AB IC, 

 IM IC, 

 

cos AB IC,

 cosIM IC,  cosIM IC ,   cosMIC Mà: cosMIC

2 2

2

MI IC MC

MI IC

 



2

2

3

2 2

3

2

a a a

a a

   

 

   

 

     



6 

 

cos AB IC,

  cosMIC

6 

Câu 71 (VD) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SASBSC AB ACa BC a Góc hai đường thẳng AB SC là?

A 45 B 90 C 60 D 30

Lời giải

Chọn C

M

I

B

C

Ta có BCa nên tam giác ABC vng A Vì SASBSCa nên hình chiếu vng góc S lên ABC trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC Ta có cosAB SC,   cos AB SC, 

AB SC AB SC



 

AB SC

 

 

AB SIIC   

AB SI

  2BA BC

    cos 45 2BA BC

  

2

2 a  

 

cos AB SC, 

2

2 a a

1

 AB SC, 60

Cách 2: cosAB SC,   cos AB SC, 

AB SC AB SC



 

Ta có  AB SC SB  SA SC    SB SC SA SC SB SC .cos 90 SA SC .cos 60

2

2 a  

Khi  

2

2

cos ,

2

a AB SC

a



 

Câu 72 (VD) Cho hình vng ABCDcạnh 4a, lấy H K, cạnh AB AD, cho ,

BH  HA AK  KD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCDtại Hlấy điểm

Ssao cho SBH30 Gọi Elà giao điểm CHvà BK Tính cosin góc hai đường thẳng SEvà BC

A 28

5 39 B 18

5 39 C 36

5 39 D 39

Lời giải

Chọn B

Gọi Ilà hình chiếu vng góc Elên ABta có ABD BCH

ABD BCH HEB 90

    

E

A B

D C

H

K

Ta có: cosSE BC; cosSE EI;  cosSEI , SH BH tan 30 a

9

HB HE HB a

HE

HC  HB  HC  ,

2

2 2 81 39

3

25

a a

SE  SH HE  a  

2

27 25

HE HI HE a

HI

HB  HE   HB  ,

2

2 2 27 651

3

25 25

a a

SI  SH HI  a   

 

9 36

25 25

EI HI a

EI

BC  HB   

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEIta đượC



2 2

2 2

2 39 36 651

5 25 25 18

cos

2 39 36 39

2 25

a a a

SE EI SI a

SEI

SE EI a a

     

 

     

 

     

  

Câu 73 (VD) Cho hình hộp ABCD A B C D     có độ dài tất cạnh a góc BAD,



DAA, A AB' 60 Gọi M N, trung điểm AA CD, Gọi  góc tạo hai đường thẳng MN B C , giá trị cos

A

5 B

1

5 C

3

5 D

3 10

Lời giải

Chọn D

E A

D C

B S

H K

Gọi P trung điểm DC Ta có //

//

B C A D MN A P

  



 

Suy cosMN B C,  cosA P A D ,   cosDA P Do BADDAAA AB' 60 cạnh hình hộp a

Do , 3,

2

a A D a C D C A a DP DC

Xét tam giác A C D  với A P đường trung tuyến, nên ta có:

 2

2

4

A D C A C D

A P         A P  a

Áp dụng định lý cosin cho tam giác A DP , ta có:

 2

cos

2 10

A D A P DP

DA P

A D A P

   

  

 

Như cos,  cos,  cos 10

MN B C  A P A D   DA P 

Câu 74 (VD) Cho tứ diện S ABC có SASBSC ABAC a BC; a Góc hai đường thẳng ABvà SCbằng

A 0. B 120 C 60 D 90

Lời giải

Chọn C

Gọi M N P, , trung điểm BC SB SA, , Góc ABvà SClà góc PNvà MN

2 a MN   NP

2

3

a

PCBP PM  PC CM

2

3

2 2

a a a

   

     

   

Câu 75 (VD) Cho tứ diện ABCD, M trung điểm BC Khi cosin góc hai đường thẳng sau có giá trị

6

A AB DM,  B AD DM,  C AM DM,  D AB AM, 

Lời giải

Chọn A

Gọi cạnh tứ diện có độ dài a Ta có: a

AM DM 

Xét tam giác ADM cân M có:

 2

cos

2

AM DM AD

AMD AM DM    2 3 2 3 2 a a a a a                

 2

cos

2

DM AD AM

ADM AD DM    2 3 2 a a a a a                

Xét tam giác ABC có AM đường trung tuyến đường phân giác nên

AB AM, 30 cos ,  AB AM

 

Từ loại trừ đáp án B, C,

Gọi N trung điểm AC Ta có MN AB// AB DM,   MN DM,  Xét tam giác MND có:

 2

cos

2

MN DM ND

NMD MN DM    2 3

2 2

3

2

a a a

Suy cos , 

AB DM 

Câu 76 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Góc MN

và SC

A 30 B 45 C 60 D 90

Lời giải

Chọn A

Gọi P trung điểm SB, ta có SC//NPMN SC,   MN NP, MNP

Mà

2

a

MP AB ;

2

a

NP SC  ;    

2 2 2 2

2 2

4 4

SC AC SA a a a a

MC        ;

3

a

MB

 

2 2

2 2 2

2

5

2 4 4 3

4 4

a a

a

MC MB BC a

MN

 

 

 

   

  

Do 

2 2

3

cos

2 2.

2 a

NP MN MP MN

MNP

a

NP MN NP

 

   

Vậy MNP30

Câu 77 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SAa, SBa 3, SAB  ABCD GọiM, N lượt lần trung điểm AB AC, Tính cơsin góc  SM DN

A cos

4

 B cos

4

  C cos

4

 D cos

2



Gọi P trung điểm AD, H chân đường vng góc hạ từ S xuống AB Theo giả thiết SAB  ABCD nên SH ABCD

Xét tam giác SAB có AB2 SA2SB2 SAB vng S Ta có: MP/ /DN góc SM DN góc SM MP

Xét tam giác SAB có:

SM  ABa

2 SA SB a SH

AB

  2

2 a

AH SA SH

   

Ta lại có: 2

MP BDa Mặt khác: 2 a HP HA AP 

Do đó: 2

2 SP SH HP a Xét tam giác SHP có 

2 2

cos

2

SM MP SP

SMP

SM MP

 



2 2

2 2

4 2

 

a a a  

a a

2a a

a

P

N M

D S

A

B C

DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC CHUNG 1 Xác định góc định nghĩa

* Định nghĩa: Góc đường xiên d mặt phẳng   góc nhọn tạo d hình chiếu vng góc d lên  

*Phương pháp tính góc của d  

- Tìm giao điểm I d mặt phẳng  

- Chọn A d, vẽ AH mp  góc d mp  AIH - Dùng tỉ số lượng giác hệ thức lượng tam giác tính góc

2 Tính góc dùng khoảng cách

Góc đường thẳng d mặt phẳng  P góc d hình chiếu lên  P Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng  P 0  90

Trước hết tìm giao điểm A d  P

Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vuông góc với  P H Suy AH hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  P Vậy góc d  P BAH

Nếu việc xác định góc d  P gặp khó khăn ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với  P ) ta dụng cơng thức sau đây:

Gọi  góc d  P , suy sin  d M , P 

AM

Ta phải chọn điểm M d cho tính khoảng cách đến  P , A giao điểm d  P

B BÀI TẬP

Câu (NB) Cho hình chóp S ABC có SAABC, góc SB mặt phẳng ABC

A SBA B. SAB C. SBC D. SCB

d' d

P



M

A

Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, AD2a, SA3a

và SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD

A. SAD B. ASD C SDA D. BSD

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SAABa, gọi O ACBD, gọi  góc cạnh bên mặt đáy Khẳng định sau đúng?

A. 60 B 45 C. tan

2

  D. 30

Câu (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có AB AA 1 Góc tạo đường thẳng

AC ABC

A. 45 B. 60 C 30 D. 75

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O hai mặt phẳng SAC , SBD vuông góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD góc cặp đường thẳng sau đây?

A. SB SA,  B. SB SO,  C SB BD,  D. SO BD, 

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SD, a SD vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng SBD

A. 45 B. arcsin1

4 C 30 D. 60

Câu (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc

S lên ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA ABC

A. 30. B. 75. C. 60. D 45

Câu (TH) Cho chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vuông B Biết SA AB BC

 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC

A 30 B. 45 C. 60 D. cos1

3

arc

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh ABa, BC 2a Cạnh bênSA vng góc với mặt phẳng đáy ABCDvà SAa 15 Tính góc tạo đường thẳng SC

và mặt phẳng ABCD

A. 30 B 60 C. 45 D. 90

Câu 10 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SAa Gọi  góc SC mặt phẳng ABCD Giá trị tan

là

A. 2 B 1 C. 45 D.

A.

6 B

1

5 C.

1

3 D.

1

Câu 12 (TH) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm

AB  góc tạo đường thẳng MC mặt phẳng ABC Khi tan

A.

7

B.

2

C.

7

D

3

Câu 13 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc

S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H đường thẳng BC Biết tam giác SBC tam giác Số đo góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

A 45 B. 30 C. 60 D. 75

Câu 14 (TH) Cho lăng trụ ABC A B C    có AB a ; AA  a Tính góc đường thẳng AB mặt phẳng BCC B 

A. 60 B 30 C. 45 D. 90

Câu 15 (TH) Cho lăng trụ đều ABC A B C    có tất cạnh a Góc đường thẳng AB mặt phẳng A B C  

A. 90 B. 30 C. 60 D 45

Câu 16 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C   có tất cạnh a Gọi M trung điểm

ABvà  góc tạo MCvà mặt phẳng ABC Khi tanbằng:

A.

7 B.

3

2 C.

3

7 D

2 3

Câu 17 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Slên ABClà trung điểm cạnh BC Biết SBCđều, tính góc SAvà ABC

A. 60 B 45 C. 90 D. 30

Câu 18 (TH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc ADC60 Gọi O giao điểm AC và BD, SOABCD SO = 3a Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD

Câu 19 (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC, ASB90, BSC60, ASC120 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng ABC

A. 90 B. 45 C. 60 D 30

Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có

2

a

SASBSC , đáy tam giác vuông A, cạnh

BC a Tính cơsin góc đường thẳng SAvà mặt phẳng ABC

A.

2 B.

1

3 C

1

3 D.

1

Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2a, ADa SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cosin góc SC mặt đáy

A.

4 B.

7

4 C.

6

4 D

10

Câu 22 (TH) Cho tứ diện ABCD Cosin góc AB mp BCD  bằng:

A.

2 B

3

3 C.

1

3 D.

2

Câu 23 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Gọi là góc đường thẳng '

A Bvà mặt phẳng (BB D D' ' ) Tính sin

A.

5 B.

3

2 C

1

2 D.

3

Câu 24 (TH) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABCD

A.  , với cot B. 30 C. 60 D 45

Câu 25 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'cạnh a Điểm M thuộc tia DD'thỏa mãn

DM a Góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCDlà

A. 30o B. 45o C. 75o D 60o

Câu 26 (TH) Cho hình chóp S ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnh a tâm O Cạnh bên SA2a vng góc với mặt đáyABCD Gọi là góc SO mặt phẳngABCDthì

A tan2 B. tan C. tan 2 D. tan1

B D

Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng cân A,

ABAAa (tham khảo hình vẽ bên) Tính tang góc đường thẳng BC mặt phẳng ABB A 

A

2 B.

6

3 C. D.

3

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 28 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E, M trung điểm cạnh BCvà SA, là góc tạo đường thẳng EMvà mặt phẳng SBD Giá trị tanbằng

A. B. C. D

Câu 29 (VD) Cho hình chóp S ABC có SAABC, tam giác ABC cạnh a SAa Tang góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB

A

5 B.

3

2 C. D.

1

Câu 30 (VD) Cho tứ diện ABCD Cosin góc ABvà mặt phẳng BCDbằng

A.

2 B

3

3 C.

1

3 D.

2

Câu 31 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E; M trung điểm BC SA Gọi là góc tạo EM SBD Khi tanbằng:

A. B. C D.

Câu 32 (VD) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có 10

a

AA  , ACa 2, BCa, ACB135 Hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M AB Tính góc tạo đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A 

A. 90 B. 60 C. 45 D 30

Câu 33 (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, ADC60 Gọi O giao điểm AC BD, SOABCD SOa Góc đường thẳng SD mặt phẳng

ABCD

A. 60 B. 75 C 30 D. 45

A C

B

A C

Câu 34 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, ,

AD a ABBC a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng SAC

A. 36 33  B. 26 57  C 26 33  D. 30 33 

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Giá trị cơsin góc cạnh bên mặt đáy

A

6 B.

3

4 C.

3

12 D.

33

Câu 36 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa GọiM , N hình chiếu vng góc điểm A lên cạnhSB,SD Góc mặt phẳng AMN đường thẳng SB

A. 45 B. 120 C. 90 D 60

Câu 37 (VD) Cho hình chópS ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Cạnh bên SA2a vng góc với đáy Gọi  góc giữa SA SBC Khi

A.

5

 

cos B

5

 

cos C.

2

 

cos D.Đáp án khác

Câu 38 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh ,

a

SAa SAvng góc với đáy Góc SCvà ABCDlà:

A.

30 B.

45 C

60 D.

90

Câu 39 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SAABCD

SAa Gọi M trung điểm SB Tính tan góc đường thẳng DM ABCD

A.

5 B.

2

5 C.

2

5 D

10

Câu 40 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi O tâm đáy M N, trung điểm SA BC, Nếu góc đường thẳng MN ABCD 60 độ dài đoạn MN

A.

2 a

B.

2 a

C.

2 a

D 10

2 a

Câu 41 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa AD, 2a

, SA vng góc với mặt đáy ABCD, SAa Gọi M N, trung điểm SB CD, Tính cosin góc MN SAC

A.

10 B.

2

5 C.

1

5 D

55 10

Câu 42 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAvng góc với mặt phẳng đáy, ABCDlà hình chữ nhật có ,

AD a AC a, góc hai mặt phẳng SCDvà ABCDbằng

A.

5 B.

4

5 C.

2

5 D

17

Câu 43 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp để góc cạnh bên mặt đáy 60?

A.

3a B a C.

a

D.

6

a

Câu 44 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa 2; BC a

SASBSCSD a Gọi K hình chiếu vng góc B AC, H hình chiếu vng góc Ktrên SA Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng BKH

A

4 B.

1

3 C.

8

5 D.

Câu 45 (VD) Cho lăng trụ ABC A B C   có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm Gcủa tam giác ABC Cạnh bên hợp với ABCgóc

60 Sin góc ABvà mặt phẳng BCC B 

A

13 B.

3

2 13 C.

1

13 D.

2 13

Câu 46 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN ABCD 60, cosin góc

MN mặt phẳng SBD bằng:

A. 41

41 B.

5

5 C

2

5 D.

2 41 41

Câu 47 (VD) Tứ diện OABCcó OAOBOCvà đơi vng góc Tan góc đường thẳng

OAvà mặt phẳng ABCbằng

A. B. C. D

2

Câu 48 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC , có ABC tam giác cạnh a, SASBSCa Tính cosin góc giữa SA ABC

A.

3 B.

1

2 C.

2

2 D

1

Câu 49 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a

Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N, trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp

S ABCD

3 a

A.

10 B.

3 310

20 C

310

20 D.

Câu 50 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa BC, 2 ,a SAa SA

vng góc với mặt phẳng đáy Cơ sin góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC)

A.

5 B

21

5 C.

3

2 D.

1

Câu 51 (VD) Cho hình chóp S ABC có mặt ABCvà SBClà tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với Số đo góc đường thẳng SAvà ABCbằng

A 45 B. 75 C. 60 D. 30

Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mp(SCD)

A. 30 B. 90 C 45 D. 60

Câu 53 (VD) Cho hình chóp S ABCD có ABCD đáy hình vng cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC)cùng vng góc với đáy ABCD SA2a Tính cosin góc đường thẳng SC

và mặt phẳng SAD

A 30

6 B.

6

5 C.

3

2 D.

6

Câu 54 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết SAABCD SAa Gọi M N, trung điểm SC BC, Tính góc hai đường thẳng MN BD

A. 30 B. 90 C 60 D. 45

Câu 55 (VD) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có ABC tam giác cạnh a, cạnh bên

'

AA a Góc đường thẳng AB' mặt phẳng ABC

A.

45 B.

30 C

60 D.

90

Câu 56 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mặt phẳng SCD

A. 30 B. 60 C. 90 D 45

Câu 57 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, AD2cm, DC1cm,

120

ADC Cạnh bên SB cm, hai mặt phẳng SABvà SBCcùng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi là góc tạo SDvà mặt phẳng SAC Tính sin

A sin

4 

 B. sin

7 

 C. sin

4 

 D. sin

4 



Câu 58 (VD) Cho tứ diện OABC có OAOBOC đơi vng góc Tangcủa góc đường thẳng OA mặt phẳng ABC

A. B. C. D

2

Câu 59 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi  góc đường thẳng A C' mặt phẳng ABC D' ' Khi

A. tan B. tan 1 C. tan

3

Câu 60 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SA(ABCD) đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc SA (SBD)?

A ASO B. SOA C. ASB D. ASD

Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có SAABC tam giác ABC vuông C Biết AB2a,

SAa , ABC300 Tính góc SC SAB.

A. 60 B 30 C. 45 D. 90

Câu 62 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AD2a, ABa, cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi M trung điểm BC Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SDMbằng

2

a

, tính tan góc đường thẳng SCvà mặt phẳng

ABCD

A

10 B. C.

1

5 D.

Câu 63 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAa 5, ABa Gọi M N P Q, , , trung điểm SA SB SC SD, , , Tính cosin góc đường thẳng DNvà mặt phẳng MQP

A

2 B.

1

2 C.

3

2 D.

15

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Câu 64 (VDC) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình vng cạnh a, tâm Ovà SOABCD.Mặt phẳng  α qua Avà vng góc với SCcắt hình chóp theo thiết diện có diện tích Std 1a2

2  Gọi φlà góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABCD Tính

A. 450 B φ arcsin1 129

16



 C. φ arcsin1 33

8



 . D. φ600

Câu 65 (VDC) Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình bính hành,



2 , , 120

AB a BC a ABC  Cạnh bênSDa 3vàSDvng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo bởiSBvà mặt phẳng (SAC).

A.

7 B.

3

V  C.

4

V  D

4 V 

Câu 66 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB2a, BCa,

 120

ABC , SD vng góc với mặt phẳng đáy, SDa Tính cosin góc tạo SB

SAC

A.

4 B.

3

2 C

15

4 D.

Câu 67 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD60,

2 a

SASBSD Gọi  góc đường thẳng SDvà mặt phẳng SBC Giá trị sin

bằng

A.

3 B.

2

3 C

5

3 D.

2

Câu 68 (VDC) Cho hình chóp S ABCD , tứ giácABCD hình thoi cạnh a SA, a ABC, 1200, hình chiếu S mặt phẳng ABCD điểm H thỏa mãn

3

AH  AB

 

Gọi E trung điểm ,

AD d trục đường trịn ngoại tiếp SCE,  góc giữa d mặt phẳng ABCD Tính tan

A

14 B.

6

7 C.

1

2 D.

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Câu (NB) Cho hình chóp S ABC có SAABC, góc SB mặt phẳng ABC

A. SBA B SAB C SBC D SCB

Lời giải

Chọn A

Vì SAABC nên hình chiếu SBlên ABClà AB SB;ABCSBA

Câu (NB) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, AD2a, SA3a

SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD

A SAD B ASD C. SDA D BSD

Lời giải

Chọn C

Ta có SAABCD

 AD hình chiếu vng góc SD xuống mặt ABCD

 



 ,  ,  

 SD ABCD  SD AD SDA

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ABa, gọi OACBD, gọi  góc cạnh bên mặt đáy Khẳng định sau đúng?

A 60 B. 45 C tan

2

  D 30

Lời giải

Ta có SA ABCD,  SA AO, SAO Lại có

2 a

AO , SAa cosSAO AO SA

  2

2

a a

  45

Câu (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có AB AA 1 Góc tạo đường thẳng

AC ABC

A 45 B 60 C. 30 D 75

Lời giải Chọn C

Ta có AC,ABC AC AC, CAC, tanC AC CC AC 

 

3

 C AC 30

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O hai mặt phẳng SAC, SBD vng góc với đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD góc cặp đường thẳng sau đây?

A SB SA,  B SB SO,  C. SB BD,  D SO BD, 

Lời giải Chọn C

O A

D

B C

Do hai mặt phẳng SAC , SBD vng góc với đáy nên SOABCD Khi đó, O hình chiếu điểm S xuống đáy ABCD góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD góc SB BD

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SD, a SD vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng SBD

A 45 B arcsin1

4 C. 30 D 60

Lời giải Chọn C

Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD Ta có  

AO BD

AO SBD

AO SD

 

 

  

nên SO hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng SBD suy góc đường thẳng SA mặt phẳng SBD góc ASO

Trong tam giác vng AOS, ta có  

1

sin 30

2 a OA

ASO ASO

SA a

     

Câu (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S

lên ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo góc SA ABC

A 30. B 75. C 60. D. 45

O

B

D C

A

Lời giải Chọn D

Dễ thấy AH hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng đáy Do góc tạo SA ABC SAH

Mặt khác, ABC SBC

2

a

SH AH

   Vậy tam giác SAH tam giác vuông cân đỉnh H

hay SAH 45

Câu (TH) Cho chóp S ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC vuông B Biết SA AB BC

 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng SAC

A. 30 B 45 C 60 D cos1

3

arc

Lời giải

Chọn A

Gọi I trung điểm AC BI AC (vì ABC vng cân A)  1 Mặt khác: SABI (vì SAABC)  2

Từ  1  2 , suy ra: BI SAC

SI

 hình chiếu SB lên SAC

a

a a

a

a

H

A B

C

S

I A

B

 

SB SAC,  SB SI, 

  BSI

Xét BSI vng I , ta có: sinBSI BI SB 

2

2

AB

AB



2 

 30

BSI

  

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh ABa, BC2a Cạnh bên

SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCDvà SAa 15 Tính góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng ABCD

A 30 B. 60 C 45 D 90

Lời giải

Chọn B

Do SAABCD nên SC,ABCDSC AC, SCA Xét tam giác vng SAC, ta có 

2

tanSCA SA SA

AC AB BC

  



Suy SCA600

Câu 10 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng

ABCD, SAa Gọi  góc SC mặt phẳng ABCD Giá trị tan

A 2 B. C 45 D

Lời giải

Chọn B

Ta có SAABCDSC;ABCDSCA

2

tan

2

SA SA a

AC AB a



Câu 11 (TH) Cho hình chópS ABCD. có đáy hình vng cạnha, SAvng góc với(ABCD SB), 5a

Tính tan góc giữaSCvà mặt phẳng(SAB)

A 1

6 B.

1

5 C

1

3 D

1

Lời giải

Chọn B

Ta có BC SA BC (SAB) (BC SAB,( )) CSB

BC AB

  



   



SAB

 vuông ởAsuy ratan BC CSB

SB

 

Câu 12 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh a Gọi M trung điểm AB

và  góc tạo đường thẳng MC mặt phẳng ABC Khi tan

A

7

B

2

C

7

D.

3

Lời giải Chọn D

Ta có MC hình chiếu MC lên ABC Suy  C CM Xét tam giác MCC vng C có: tan

3

CC a

CM a

    

Câu 13 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S

lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H đường thẳng BC Biết tam giác SBC tam giác Số đo góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

A. 45 B 30 C 60 D 75

Lời giải

Tam giác ABC tam giác cạnh a

2 a AH

 

Tam giác SBC tam giác cạnh a

2 a SH

 

Vì SH ABC nên SAH góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC Tam giác SHA vuuong cân H nên SAH45o

Câu 14 (TH) Cho lăng trụ ABC A B C    có AB a ; AA  a Tính góc đường thẳng AB mặt phẳng BCC B 

A 60 B. 30 C 45 D 90

Lời giải

Chọn B

Gọi M trung điểm B C  A M BB C C  , góc đường thẳng AB mặt phẳng BB C C   góc AB BM A BM

Ta có A B  AA2AB2 a 3,

  a

A M , sin  30

2 

      

 A M

A BM A BM

A B

Câu 15 (TH) Cho lăng trụ ABC A B C    có tất cạnh a Góc đường thẳng AB mặt phẳng A B C  

A 90 B 30 C 60 D. 45

Lời giải

Chọn D

+) Ta có A B  hình chiếu AB lên mặt phẳng A B C  

 

AB, A B C    AB A B,  

   AB A 

+) AA B  vuông A, AA A B a  AA B  vuông cân A AB A 45 Vậy góc đường thẳng AB mặt phẳng A B C   45

Câu 16 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C   có tất cạnh a Gọi M trung điểm AB

và  góc tạo MCvà mặt phẳng ABC Khi tanbằng:

A 2

7 B

3

2 C

3

7 D.

2 3

Lời giải

Chọn D

Hình chiếu MClên mặt phẳng ABClà MC Do đó, MC';ABCMC MC'; C MC'  Xét tam giác vuông MCC:

Ta có tan '

3

CC a

CM a

   

M

C'

B' A

B

C

Câu 17 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Slên ABC trung điểm cạnh BC Biết SBCđều, tính góc SAvà ABC

A 60 B. 45 C 90 D 30

Lời giải

Chọn B

Gọi M trung điểm BC Khi góc SAvà ABClà góc SAvà MA Tam giác SAMvng M có

2

a

SM  AM  nên SAM 45

Câu 18 (TH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, góc ADC60 Gọi O giao điểm

AC và BD, SOABCD SO = 3a Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD

A. 60o. B 75o. C 30o. D 45o.

Lời giải

Chọn A

Ta có hình chiếu SD mặt phẳng ABCD OD nên

    

, ,

SD ABCD  SD OD SDO

 

 

Ta có ADDC ADC60 nên tam giác ADC đều

 tan 60

3 SO

OD a

OD

 

      

M C

B

Câu 19 (TH) Cho hình chóp S ABC có SASBSC, ASB 90, BSC60, ASC 120 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng ABC

A 90 B 45 C 60 D. 30

Lời giải Chọn D

Đặt SASBSCa

Ta có SAB vuông cân SABa 2; SBC BCa; SAC cân S ACa Ta thấy AB2BC2 AC2 ABC vuông B trung điểm H AC tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SH ABC

Vậy góc SB ABC góc SBH Ta có SBa,

2

a

BH  BC cos

2

BH SBH

SB

 

 30

SBH

  

Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có

2

a

SASBSC , đáy tam giác vuông A, cạnh BCa

Tính cơsin góc đường thẳng SAvà mặt phẳng ABC

A

2 B

1

3 C.

1

3 D

1

Gọi Hlà trung điểm BCthì SH ABC; suy HAlà hình chiếu SAtrên ABC

Do SA ABC;  SA HA; SAH cosSAH AH SA

 

3 a a



3



Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2a, ADa SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Cosin góc SC mặt đáy

A

4 B

7

4 C

6

4 D.

10

Lời giải Chọn D

Hình chiếu SC lên ABCD AC

Do SC ABCD, SCA

Ta có 2 2

4

AB AD

AC    a a a SC2a

Trong tam giác vuông SAC: cos 10 2

AC a

SCA

SC a

  

A

2 B.

3

3 C

1

3 D

2

Lời giải Chọn B

Gọi M trung điểm CD Ta có AB

BM 

Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng BCD HBM

BH  BM

3 AB 

Góc đường thẳng AB mặt phẳng BCD ABM

Ta có coscosABM BH

AB 

3 AB

AB



3



Câu 23 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Gọi là góc đường thẳng '

A Bvà mặt phẳng (BB D D' ' ) Tính sin

A

5 B

3

2 C.

1

2 D

3

Lời giải

Chọn C

B D

C A

H M

B D

Ta có: BA B' (BB D D' ' )

' ' '

' '

' ( ' ' ) ' ' ' '

', ' ' ( ' ' ) 



 



 



 



 



A O B D

A O BB

A O BB D D

BB B D B

BB B D BB D D

BOlà hình chiếu vng góc AB'lên (BB D D' ' )nên A B BDD B' , ' 'A B BO' ,  Suy  A BO' (do BA O' vng O)

Ta có: ' , ' 2

  a

A B a A O Suy sin ' '  A O 

A B



Câu 24 (TH) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Góc đường thẳng

SA mặt phẳng ABCD

A  , với cot B 30 C 60 D. 45

Lời giải

Chọn D

Ta có : cos 2

AO SAO

SA

 

Vậy góc đường thẳng SA mặt phẳng ABCD 45

Câu 25 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'cạnh a Điểm Mthuộc tia DD'thỏa mãn

DM a Góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCDlà

A 30o B 45o C 75o D. 60o

Lời giải

Chọn D

B'

O A'

B

A

C

D

C'

Dễ thấy đường thẳng BDlà hình chiếu vng góc đường thẳng BMlên mặt phẳng ABCD Suy góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCDlà góc hai đường thẳng BM BD

Ta có MDBvng D, DM a 6, BDa 2(đường chéo hình vng cạnh a) Suy góc hai đường thẳng BM BDlà góc MBD

6

tan

2

MD a

MBD

BD a

   Vậy góc đường thẳng BM mặt phẳng ABCDlà 60o

Câu 26 (TH) Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh a tâm O Cạnh bên SA2a vng góc với mặt đáyABCD Gọi là góc SO mặt phẳngABCDthì

A. tan2 B tan C tan 2 D tan1

Lời giải

Chọn A

Vì SAABCD nên hình chiếu vng góc SO ABCDlàAO Gọi  góc giữaSO mặt phẳngABCDthì  SO OA, SOA Vì tam giácSAO vuông tạiAnên

tan SA OA

2 2  a

a 2

Câu 27 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng cân A, AB AAa

A.

2 B

6

3 C D

3

Lời giải

Chọn A

ABC

 vuông cân A  AB ACa

ABA

 vuông A  A B a Ta có C A A B

C A AA

    



  

  

C A  ABB A 

 

BA

 hình chiếu BC lên mặt phẳng ABB A 

 

BC; ABB A   BC BA; 

 

A BC 

 vuông A tan ABC A C A B    

 

 2

a a



2 

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 28 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E, M trung điểm cạnh BCvà SA, là góc tạo đường thẳng EMvà mặt phẳng SBD Giá trị

tanbằng

A 2 B C 1 D.

Lời giải Chọn D

Dựng hình bình hành ABFC

Ta có EM //SFnên góc EMvà SBDbằng góc SFvà SBD //

FB AC  FBSBDdo góc SFvà SBDbằng góc FSB Ta có tanFSB BF AC

SB SB

   Vậy chọn D Cách 2:

A C

B

A C

Tọa độ hóa với OxOC Oy, OB Oz, OS OA1 

Ta có C1; 0;0 ,  A1;0; 0 SBDnhận AC2; 0; 0là VTPT

Từ 2

2

SA ABOA   SO SA OA   

 

0; 0;1 1 1

; 0; 2 1; 0;

S M A              Ta có  

 

1; 0;0 1 1 ; ; 2 0;1; C E EM B             

nhận 1; ;1 2

ME  

 



Là VTCPT  

 2 2

2

2 6

sin ;

1 1

1 2 ME AC EM SBD ME AC                   

cos tan

3

 

   

Là VTCPT  

 2 2

2

2 6

sin ;

1 1

1 2 ME AC EM SBD ME AC                   

cos tan

3

 

   

Câu 29 (VD) Cho hình chóp S ABC có SAABC, tam giác ABC cạnh a SAa Tang góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB

A.

5 B

3

2 C 1 D

1

Gọi M trung điểm AB CM  AB CM SAB

Ta có SM hình chiếu SC SABSC SAC,  SC SM,  MSC

Ta có

2

a

MC , SM  SA2AM2

a

 Vậy tanMSC MC SM



5

 -

Câu 30 (VD) Cho tứ diện ABCD Cosin góc ABvà mặt phẳng BCDbằng

A

2 B.

3

3 C

1

3 D

2

Lời giải

Chọn B

Đặt ABa a 0

Gọi M trung điểm DC, Glà trọng tâm tam giác BCD Vì ABCDlà tứ diện nên AGBCD

Khi AB BCD; AB BG; ABG

Ta có 2 3

3 3

a a

BG BM  

Vậy 

3 3

cos

3

a BG ABG

BA a

  

Câu 31 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E; M trung điểm BC SA Gọi là góc tạo EM SBD Khi tanbằng:

A 1 B 2 C. D

Lời giải G

M

A

D B

Chọn C

Giả sử tất cạnh hình chóp có độ dài bằng#a Gọi O giao điểm AC BD , ,

N P H trung điểm AB AD OA , , Khi ta có MNP / / SBD Do là góc

tạo EMvà SBD góc tạo EMvà MNP  

   

 

/ /

/ /

EN AC

AC SBD EN MNP

SBD MNP

 

  

  

Suy hình chiếu ME MNP MN Suy góc  góc hai đường thẳng MN

vàME Trong tam giác MNE vuông N ta có

2 a

MN  ,

2 a

NE suy tan EN MN

  

Câu 32 (VD) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có 10

a

AA  , AC a 2, BCa, ACB135 Hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M AB Tính góc tạo đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A 

A 90 B 60 C 45 D. 30

Lời giải Chọn D

Dựng MI AC (IAC) MH C I (HC I ) (1) Ta có: AC IM AC C MI

AC C M

 



 



  

mà HM C MI MH AC (2)

Từ (1) (2) MH ACC A  Do góc tạo đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A  góc HC M 

B'

A'

M C

A

B C'

Mặt khác, ta có

2

1

.sin135

2 2

ABC AMC

a a

S  CA CB   a a  S 

Lại có

2

2

1

2 2

AMC AMC

S a a a

S MI AC MI

AC AC a



      

2 2

1 1

2 cos135 2 .cos135

2 2

a

AM  AB AC CB  AC CB   a a  a a  

2

2 3 2

2

4 16 4

a a a a a

AI  AM IM    CI ACAI a  

2

2 10 2

16 16

a a a

C I  C C CI   

Do sin 2 30

4 2

IM a

C I a

      



Câu 33 (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, ADC60 Gọi O giao điểm AC BD, SOABCD SOa Góc đường thẳng SD mặt phẳng

ABCD

A 60 B 75 C. 30 D 45

Lời giải

Chọn C

Ta có ABCD hình thoi cạnh 2a, ADC60 nên ACD 3

a

OD a

Góc đường thẳng SD mặt phẳng ABCD SDO tan SO SDO

DO

  suy

 30

SDO 

Câu 34 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, ,

AD a ABBC a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng SAC

A 36 33  B 26 57  C. 26 33  D 30 33 

Lời giải

 

SC ABCD C hình chiếu S mặt phẳng ABCD A hình chiếu SC mặt phẳng ABCD ACSC,ABCDSC AC, SCA60

Xét tam giác ABC vng B có AC AB2BC2  a2a2 a

Xét tam giác SAC vng A có SA AC.tan 60 a 3a

2

2

SC SA AC  a

Xét tam giác SAD vng A có SD SA2AD2  6a24a2 a 10 Gọi I trung điểm AD.Ta có

2

AI  ADa AI BC Lại có AI//BC nên ABCI hình bình hành Do

2

CI ABa AD ACD vng CCDAC mà CDSA (vì

 

SA ABCD ) nên CDSAC

Ta có SDSACS hình chiếu D mặt phẳng SAC C  hình chiếu SD mặt phẳng SAC SCSD SAC, SD SC, DSC

Xét tam giác SCD vng C có cos 2 5 10

SC a

DSC

SD a

   DSC26 33 

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Giá trị cơsin góc cạnh bên mặt đáy

A.

6 B

3

4 C

3

12 D

33

Lời giải

Chọn A

D I

B C

Gọi O tâm ABC, suy 3 a

OA

Do S ABC hình chóp nên SOABC

Góc cạnh bên mặt đáy góc SA mặt phẳng ABC

Ta có     

3 3

cos , cos , cos

2

a OA

SA ABC SA OA OAS

SA a

    

Câu 36 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa GọiM , N hình chiếu vng góc điểm A lên cạnh

SB,SD Góc mặt phẳng AMN đường thẳng SB

A 45 B 120 C 90 D. 60

Lời giải

Chọn D

Gọi I hình chiếu vng góc A lên cạnh SC

Ta có BC AB BC, SABC(SAB)BC AM

( )

AM SB AM  SBC AM SC

Tương tự: AN (SCD) AN SC Vậy SC(AMN) I

Ta có MI hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng AMN

Suy góc SB AMN góc SMI

I N

M

O

D A

B

Ta có sinSMI SI SM 

Ta có 2

3 a SM SBSA SM 

2

2

SC SA AC  a

2

SI SCSA SI a

Vậy sin  60

2 SI

SMI SMI

SM

    

Câu 37 (VD) Cho hình chópS ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Cạnh bên SA2a vng góc với đáy Gọi  góc giữa SA SBC Khi

A

5

 

cos B.

5

 

cos C

2

 

cos D Đáp án khác

Lời giải

Chọn B

Kẻ AH SB, chứng minh đượcAH SBC, Khi đógóc SA SBC góc ASH hay

ASB ta có SBa 5

cos SA SB

  2

5 a a

 

Câu 38 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCDlà hình vng cạnh ,

a

SAa SAvng góc với đáy Góc SCvà ABCDlà:

A

30 B

45 C.

60 D

90

Lời giải

Chọn C

I C

S

D

B A

 

SA ABCD AClà hình chiếu SC mp ABCD   Góc SCvàABCDlà SCA

Tứ giác ABCD hình vng cạnh a

AC a

 



tanSCA SA a

AC a

   SCA600

Câu 39 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SAABCD

SAa Gọi M trung điểm SB Tính tan góc đường thẳng DM ABCD

A

5 B

2

5 C

2

5 D.

10

Lời giải

Chọn D

Gọi N trung điểm AB

Ta có: MN đường trung bình SAB nên MN SA//

2

a

MN  SA

Lại có: SAABCD

N M

C A

D

B

Do MN ABCD  1 Suy MN DN

Ta có: N hình chiếu vng góc M lên ABCD (do  1 ) D hình chiếu vng góc D lên ABCD

Suy DM;ABCDDM ND; MDN (MDN nhọn MND vng N) Ta có: DN AD2AN2

2 a



Xét MND vng N , có: tanMDN MN

DN

 10

5



Vậy tan ;  10

DM ABCD 

Câu 40 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi O tâm đáy M N, trung điểm SA BC, Nếu góc đường thẳng MN ABCD 60 độ dài đoạn MN

A

2 a

B

2 a

C

2 a

D. 10

2 a

Lời giải

Chọn D

Gọi H trung điểm OAMH SO Do hình chóp S ABCD nên:

     ,   60

SO ABCD MH  ABCD  MN ABCD MNH   Xét tam giác HNC có:

 2

2 2 2

2

4 8

a a a a a

HN NC HC  HC NC cosHCN    

Vậy

2

a

HN  Xét tam giác vng MHN ta có: 5.2 10

60 2

HN a a

MN cos

  



Câu 41 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBCa AD, 2a,

A 3

10 B

2

5 C

1

5 D.

55 10

Lời giải

Chọn D

Gọi I BNAD Dễ thấy N trung điểm BI, MN/ /SI Kẻ đường thẳng qua D song song với SI cắt SA K DK/ /SIMN SAC, DK SAC, 

Dễ thấy CK hình chiếu DK SAC DK SAC, DKC

Ta có 2

3

a KA SA

2

2 22

2

9

a

KC KA AC a a

      ,

2

2 2 10

4

9

a

KD KA AD   a  a

 55

cos

10

KC DKC

KD

  

Câu 42 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAvng góc với mặt phẳng đáy, ABCDlà hình chữ nhật có ,

AD a AC a, góc hai mặt phẳng SCDvà ABCDbằng

45 Khi cơsin góc đường thẳng SDvà mặt phẳng SBCbằng

A

5 B

4

5 C

2

5 D.

17

Lời giải

Góc hai mặt phẳng SCDvà ABCDbằng SDA 450

Gọi Elà hình chiếu vng góc Alên SB    ,  2 2 12

5

SA AB a

AE SBC d A SBC AE

SA AB

     



(với AB AC2AD2 4a)

Gọi Hlà hình chiếu vng góc Dlên SBC

Khi đó, góc đường thẳng SDvà mặt phẳng SBCbằng DSH

      

0 12

, , 5 2 2

sin

.tan 45

a

d D SBC d A SBC

DH AE

DSH

SD SD SD AD a

     

  17

cos sin

5

DSH DSH

   

Câu 43 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình chóp để góc cạnh bên mặt đáy 60?

A

3a B. a C 6

a

D

6

a

Lời giải

Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC

Ta có: SA SB SC

GA GB GC

  



  

Suy SG trục ABC

Suy SGABC

Ta có: A hình chiếu vng góc A lên ABC G hình chiếu vng góc S lên

ABC

Suy SA ABC; SA AG; SAG 60 Ta có: 2 3

3 3

a a

AG AI  

Xét tam giác SAG vng G, ta có:

tan 60 3

a

SG AG a

Câu 44 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa 2; BC a

SASBSCSD a Gọi K hình chiếu vng góc B AC, H hình chiếu vng góc Ktrên SA Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng BKH

A.

4 B

1

3 C

8

5 D

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Tính trực tiếp lớp 11.

60°

G

I

A C

Gọi I tâm ABCD

Ta có: SI AC SI ABCD

SI BD       

Mặt khác: BK AC BK SAC

BK SI       

Suy ra: SH HK SH BHK

SH BK        Nên cosSB BHK; cosHBK

Ta có:

2SM AB 2HB SA

SM AB HB

SA

 

Với: 2 14

2

a

SM  SA AM 

Suy ra: 14 2 a a a HB a    2 a

AH AB HB

   

2

a SH

  Trong tam giác BHK có:

 2

cos

2

HB SB SH

Vậy: cos ; 

SB BHK 

Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa khơng gian (lớp 12).

Gọi I tâm ABCD

Ta có: SI AC SI ABCD

SI BD

 

 

  

Chọn hệ trục hình vẽ với: B0;0;0; A a 2;0;0; C0; ;0a  2

SI  SB BI

2

2 13

4

4

a a

SI a

   

Suy tọa điểm 2; ; 13 2

a a a

S 

 

Trong tam giác vuông BAC có:

2

AB AK

AC



3

a AK

  ;

3

AK AC 

Suy ra:

AK  AC

  2 2

; ; 3

a a

K 

  

 

Kẻ IJ SA, (hình minh họa)

Ta có:

2

AI AJ

SA



8

AJ a

 

Dễ thấy:

3

AH AK

AJ  AI 

a AH

Suy ra:

AH  AS

 

với AHxH a 2;yH;zH; 2; ; 13

2 2

a a a

AS  a 

 

 



13

; ; 8

a a a

H 

  

 

 

Để dễ tính tốn ta đặt a1

Lúc ta có hệ thống điểm sau: 13

; ; 2

S 

 

 

; 2; ; 3 K 

 

 

; 1; ; 13 8

H 

 

 

Gọi 1; ; 13 2 BSu  

 

 

 

; ; 13; 26 13 2; 24 24 24 nBH BK  

 

 

  

Ta có: sinSB BHK; sin    sin sin u n; u n

u n            

2 2

2 26 26 13 26

48 48 48

sin

2 13 52 26 388 4 24 24 24

          sin   

Suy ra: cos ;  16

SB BHK   

Câu 45 (VD) Cho lăng trụ ABC A B C   có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc Blên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm Gcủa tam giác ABC Cạnh bên hợp với ABCgóc 60 Sin góc ABvà mặt phẳng BCC B 

A.

13 B

3

2 13 C

13 D

2 13

Lời giải Chọn A

Ta có B G ABCnên BGlà hình chiếu BBlên mặt phẳng ABC  

BB, ABC  BB BG, 

  B BG 60

Gọi M trung điểm BCvà Hlà hình chiếu Alên B M , ta có

BC AM

BC B G

  

 

  

BC AB M

  BC AH

Mà AH B M nên AH BCC B 

Do HBlà hình chiếu ABlên mặt phẳng BCC B 

 

AB BCC B,   

 AB HB,  ABH

Xét tam giác ABH vng Hcó sinABH AH AB



B G BG.tan 60 3

a

 a

2

B M  B G GM

2

2

a

a  

   

 

 

39

a



Ta có AHM B GM AH AM B G B M



 



3

3

39 13

a a

a a

 

Vậy 

3 13 sin

a ABH

a



13



Câu 46 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN ABCD 60, cosin góc MN mặt phẳng SBD bằng:

A 41

41 B

5

5 C.

2

5 D

2 41 41

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Gọi P trung điểm OA PN hình chiếu MN ABCD Theo ra: MNP60

Áp dụng định lý cos tam giác CNP ta được:

2 2

2 cos 45

NP CP CN  CP CN 

2

2

3 2

2

4 4 2

a a a a a

 

    

 

 

Suy ra: 10 a

NP , tan 60 30 a

MPNP   ; 30

2 a

SO MP

2

2

SB SO OB  a EF a

Ta lại có: MENF hình bình hành ( ME NF song song 2OA) Gọi I giao điểm MN EF, góc MN mặt phẳng SBD NIF



cos

2 10

IK a NIF

IN a

  

Cách 2:

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ cho:

0; 0;0

O , 2; 0;

a

A 

 

 

, 2; 0;

a

C 

 

 

, 0; 2;

a B 

 

 

, 0; 2;

a

D  

 

 

,S0;0;x,x0

M trung điểm SA: 2;0;

4

a x

M 

 

 

N trung điểm BC: 2; 2;

4

a a

N 

 

2

; ;

4

a a x

MN    

 



,k 0; 0;1

Ta có: o

2 2

2 sin 60

8

x MN k

MN k a a x

 

 

 

  xa 30

Khi 2; 2; 30

4 4

a a a

MN    

 



VTCP SBD i1; 0;0 Gọi  góc SBDvà MN

Ta có:sin MN i MN i

  

 

  cos

5



 

Câu 47 (VD) Tứ diện OABCcó OAOBOCvà đơi vng góc Tan góc đường thẳng OA

và mặt phẳng ABCbằng

A 2 B C 1 D.

2

Lời giải

Theo tứ diện OABCcó OAOBOCvà đơi vng góc nên đáy ABClà tam giác hình chiếu vng góc Olên ABCtrùng với trọng tâm Gcủa ABC

Do OGABCOA ABC; OAG

Giả sử OAOBOC aAB ACBCa Xét tam giác OBCvuông:

2

BC a

OM   (tính chất đường trung tuyến)

  tan 2

2a

OA OB OM a

OA OBC OA OM OAM

OA OC OA

 

       



 

Câu 48 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC , có ABC tam giác cạnh a, SASBSCa Tính cosin góc giữa SA ABC

A 2

3 B

1

2 C

2

2 D.

1

Lời giải

Chọn D

Gọi AI CK, đường cao tam giác ABC, H AI CK Ta có BC  AI BC; SI BC SH

Tương tự, ABSH

Suy SH ABC nên AH hình chiếu SA lên ABC

A C

B O

M G

H

A C

B S

 

;  ;    SA ABC  SA AH SAH

Xét tam giác SAH vuông H có 2 3

3 3

  a a

AH AI

 3 cos 3 a AH SAH SA a   

Câu 49 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N, trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp S ABCD 3 a

A

10 B

3 310

20 C.

310

20 D

3 10

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Gọi   mp qua MN song song với mp SAD Khi   cắt AB tạiP, cắt

SC Q, cắt AC K Gọi I giao điểm MN QK  I SAC Suy ra:P, Q, K trung điểm củaAB, SC vàAC

Lại có: ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC 2CD2a

 AD2 ;a ABBCCDa



2 a

CH  ;

2

2 3

2

ABCD

a a a a

S   

Nên

2

1 3

3 4

ABCD

a a

V  SA SAa

2

a

MP SA

  

2

a NP

Xét tam giác MNPvuông P:

2

3 10

2 2

a a a

MN           ,

MP KQ đường trung bình tam giác SAB,SAC  MP KQ SA// //

KN đường trung bình tam giác

ACD KN AD a

   

Xét tam giác AHC vuông H:

2 2

3

3

2

a a

AC     a

Suy ra: tam giác KNCvuông C C hình chiếu vng góc N lên SAC 

 góc MN SAC góc NIC

Khi đó: 2 10 10

3 3

IN KN a a

IN MN

MN  NP     

Xét tam giác NICvuông tạiC: ; 10

2

a a

NC  IN 

2 2

10 31

3

a a a

IC    

        

 

 cos 31: 10 310

6 20

IC a a

NIC IN

  

Cách2. Vì ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC2CD2a

 AD2 ;a ABBC CDa



2 a

CH  ;

2

2 3

2

ABCD

a a a a

S   

nên

2

1 3

.SA

3 4

ABCD

a a

V   SAa

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: K0; 0; , ; 0; ,

2 a B 

 

3 0; ; ,

2

a C 

 

 

3 0; ; ,

2

a A  

 

3 ; ; , 2

a a N 

 

 

3

0; ; ,

2

a S  a

 

3

; ;

4

a a a

M  

 

3 3

; ;

4

a a a

MN    

 

 



Chọn u1   3;3 3; 2 cùng phương với MN



Nhận xét: BK SA BK SAC

BK AC        ; 0; a BK   

 



vtpt SAC.Chọn n1 1;0;0 phương với BK 

Gọi là góc góc MN SAC Ta có 1

3 10 sin 20 u n u u     

  cos 310

20



 

Câu 50 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa BC, 2 ,a SAa SA

vuông góc với mặt phẳng đáy Cơ sin góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC)

A 2

5 B. 21 C D

Lời giải

Kẻ DE AC E, AC ta có DESA DE(SAC) Suy góc đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) góc DSE

Ta có , 5, 21

5

a

ED SDa SE

Tam giác DSEvuông E nên cos 21

SE DSE

SD

 

Câu 51 (VD) Cho hình chóp S ABC có mặt ABCvà SBClà tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Số đo góc đường thẳng SAvà ABCbằng

A. 45 B 75 C 60 D 30

Lời giải

Chọn A

Theo giả thiết ta có ABC  SBC

Trong mặt phẳng SBCkẻ SH BC SH ABChay SHlà đường cao hình chóp Khi ta có SA ABC, SA AH, SAH

Mặt khác theo giả thiết tam giác SBCvà ABClà tam giác nên Hlà trung điểm BCvà

2

a AH SH 

Xét tam giác vng SHAta có tanSAH SH AH

  SAH45

A D

B

S

C E

H S

C A

Vậy SA ABC, 45

Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mp(SCD)

A 30 B 90 C. 45 D 60

Lời giải

Chọn C

Do ABCD hình thoi góc BAD60 nên ABD tam giác cạnh a

Gọi H trọng tâm tam giác ABD Ta có 3

a DH 

Vì SASBSDa nên SH (ABCD) 2

a

SH  SD DH 

Gọi F hình chiếu vng góc H lên SD ta có HFmp(SCD) Tính

3

SH DH a

FH

SD

 

Gọi I hình chiếu A lên (SCD) FH song song với AI Ta có

FH CH

AI  CA 

Nên

2

a AI HF

Góc đường thẳng SA mp(SCD) góc ASI sin 2

AI ASI

SA

  ASI45

Câu 53 (VD) Cho hình chóp S ABCD có ABCD đáy hình vng cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC)cùng vng góc với đáy ABCD SA2a Tính cosin góc đường thẳng SC mặt phẳng SAD

A. 30

6 B

6

5 C

3

2 D

6

Lời giải

Vì hai mặt phẳng (SAB) (SAC)cùng vng góc với đáy ABCD nên SA vng góc với đáy (ABCD)

Ta có CD AD CD (SAD)

CD SA

 

 

  

, suy góc đường thẳng SC mặt phẳng(SAD) góc



CSD

Xét tam giác SAC vng A, có SA2a, ACa 2, suy     2

2

SC a  a a

Xét tam giác SCD vng D, có CDa, SCa 6, suy  

2

6

SD a a a

 5 30

cos

6

6

SD a

CSD

SC a

   

Câu 54 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Biết SAABCD SAa Gọi ,

M N trung điểm SC BC, Tính góc hai đường thẳng MN BD

A 30 B 90 C. 60 D 45

Lời giải

Chọn C

Vì M N, trung điểm BC SC, nên MN//SB Suy MN BD, SB BD, 

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SAB tam giác SAD ta có

2 2

2

SB SA AB  a a a ,

2 2

2

ABCD hình vng nên BDa Vậy tam giác SBD tam giác SB BD, 60 MN BD, 60

Câu 55 (VD) Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ' có ABC tam giác cạnh a, cạnh bên AA'a Góc đường thẳng AB' mặt phẳng ABC

A

45 B

30 C.

60 D

90

Lời giải

Chọn C

*Vì BB'ABC nên AB hình chiếu vng góc AB'trên ABC *Ta có AB',ABCAB AB', B AB'

* Tam giác ABB' vuông B nên  ' ' 

tanBAB' BB AA BAB' 60

AB AB

    

Câu 56 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SASBSDa, BAD60 Góc đường thẳng SA mặt phẳng SCD

A 30 B 60 C 90 D. 45

Lời giải

Chọn D

Dễ thấy hình chóp S ABD Gọi G trọng tâm ABD Khi SGABCD Do ABD nên GDCDCDSGD Kẻ GH SD, HSD

Khi đó: GH SCDd G ;SCDGH Ta có: 3

3

a a

GD  2

3

a

SG SD GD

   

C B

A'

C' B'

A

B C

A D

S

G

Xét SGD vuông G:

a GH SDSG GDGH 

Mà  ;   ;  2

AC a

d A SCD d G SCD

GC

 

Gọi K hình chiếu A lên SCD Khi góc SA mặt phẳng SCD ASK Xét ASK vuông K thì: sin

2

AH SAK

SA

  SAK45

Câu 57 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành, AD2cm, DC1cm,

120

ADC Cạnh bên SB cm, hai mặt phẳng SABvà SBCcùng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi là góc tạo SDvà mặt phẳng SAC Tính sin

A. sin

4 

 B sin

7 

 C sin

4 

 D sin

4 



Lời giải

Chọn A

Dễ thấy SBABCD, BD AB2AD22AB AD .cos 60  SD

2

2 cos 60

    

AC AB AD AB AD

Gọi Hlà hình chiếu Btrên AC, Klà hình chiếu Btrên SH Khi BH SAC

Do

2 ABC 

S BH AC sin120

2

 AB BC  21

7 BH 

2 2

1 1

 

BK BH BS

6

BK   ,   , 

d B SAC d D SAC 

Dễ thấy sin  , 

d D SAC 

SD



Câu 58 (VD) Cho tứ diện OABC có OAOBOC đơi vng góc Tang góc đường thẳng OA mặt phẳng ABC

A 2 B C 1 D.

2

Lời giải

Chọn D

O

B A

C D

S

Gọi I trung điểm BC OI BC, kẻ OH AI (HAI ) OH ABC

Ta góc đường thẳng OA mặt phẳng ABC góc hai đường thẳng OA, AH OAH OAI

Giả sử OAOBOCa, ta có

2

BC a

OI  

Xét tam giác OAI vuông O có 

2 2

tan

2

a OI OAI

OA a

  

Câu 59 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Gọi  góc đường thẳng A C' mặt phẳng ABC D' ' Khi

A tan B tan 1 C tan

3

  D. tan

Lời giải

Chọn D

Gọi I trung điểm A C' Ta có: ACC A ABC D' '; ' 'là hình chữ nhật Nên AC A C BD'; ' ; 'cắt I  A C' ABC D' 'I

Từ  1  2 ta có A O' ABC D' '

 

A C' ; ABC D' '  A IO'

 

Gọi cạnh hình lập phương a

Tam giác A IO' vng Ocó: A'O 2

a

; ' '

2

a OI  D C 



2 'O 2

tan '

2 a A A IO

a OI

  

Câu 60 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SA(ABCD) đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc SA (SBD)?

A. ASO B SOA C ASB D ASD

Lời giải

Chọn A

Ta có AOBD;SABD(SAO)BD(SAO)(SBD) Mà (SAO)(SBD)SO Trong (SAO) :AH SO H

( ) (SA;(SBD)) (SA;SH) SO

AH SBD ASH A

       

Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABC có SAABC tam giác ABC vuông C Biết AB2a,

SAa , ABC300 Tính góc SC SAB.

A 60 B. 30 C 45 D 90

Lời giải

Chọn B

Kẻ CH  AB, theo giả thiết CH SA nên CH SAB S

A

C

Vậy  SC SAB; CSH ý tam giác SHC vng H Ta có sinCSH HC SC



Tính tốn AC AB.sin 300a; 2

SC  SA AC a 3; HC AC.sinCAH a.sin 600 a 

Vậy nên sin

CSH  tức sinCSH300

Câu 62 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AD2a, ABa, cạnh bên SA vng

góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi M trung điểm BC Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SDMbằng

2

a

, tính tan góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABCD

A.

10 B 1 C

1

5 D

Lời giải

Chọn A

Trong mặt phẳng ABCD, ACDM  K

Ta có

2

CK MC

AK  AD  , suy      

, ,

2

d C SDM  d A SDM , suy d A SDM , a Từ giả thiết ABCD hình chữ nhật với AD2a, ABa AM DM a

2 2

AD AM DM

    tam giác AMD vuông M  MDAM Mặt khác MDSA (vì SAABCD)

Ta có

 

AM

MD AM

MD A A

S A

S

 

 

  

 

 MDSAM

Trong SAM kẻ AH SM H, suy AH SDM

d A SDM , AHa

Xét tam giác SAM vng A, ta có :

2 2

1 1

AH SA AM 2 2

1 1

2

SA a a a

    SAa

Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD góc SCA Ta có tan 10

5

SA a

SCA

AC a

Câu 63 (VD) Cho hình chóp đều S ABCD có SAa 5, ABa Gọi M N P Q, , , trung điểm SA SB SC SD, , , Tính cosin góc đường thẳng DNvà mặt phẳng MQP

A.

2 B

1

2 C

3

2 D

15

Lời giải

Chọn A

Gọi Olà tâm hình vng ABCD Khi SOABCD Mặt phẳng MQPcũng mặt phẳng MNPQ

Vì hai mặt phẳng MNPQvà ABCDsong song với nên góc đường thẳng DNvà mặt phẳng MNPQbằng góc đường thẳng DNvà mặt phẳng ABCD

Trong mặt phẳng SBDgọi Hlà hình chiếu vng góc Nlên BD Khi góc DNvà ABCDlà góc NDH

Ta có:  

2

2 2

5

2

a

SO SB BO  a    a

 

3 2 SO

NH   a; 3

4 4

DH  BD a  a

Ta suy tam giác NDH vng cân Hnên góc  45 NDH  Vậy cos

2 NDH 

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 64 (VDC) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình vuông cạnh a, tâm Ovà SOABCD.Mặt phẳng  α qua Avà vng góc với SCcắt hình chóp theo thiết diện có diện tích Std 1a2

2

 Gọi φ

là góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABCD Tính

A 450 B. φ arcsin1 129

16





C φ arcsin1 33

8



 . D φ600

Q

P N

M

O

C A

D

B

S

Lời giải

Chọn B

Giả sử  α cắt cạnh SB,SC,SDlần lượt điểm H, J,K Gọi Ilà giao điểm SO AJ Do BD SO BD SAC BD SC

BD AC

 

   

  

mà  α SC α  BD

Vậy

       

  BD SBD

BD α KH BD HK SAC HK AJ

SBD α HK

 

 

    

 

 

 

 

do SAHJK 1HK.AJ



Do SOABCDOClà hình chiếu SCtrên ABCDsuy SC, ABCD SCOφ Ta có AJAC sinφ a sin φ ; SO OC tanφ a tan φ

2

 

ΔSOC ΔSJI SIJSCOφAIO SIJ φ Từ ta có OI OA cotφ a cot φ

 

2

a cotφ

HK SI OI 2

1 1 cot φ

BD SO SO a 2

tanφ

       KH BD cot   2φa cot φ  

Vậy SAHJK 1HK.AI a sinφ.a cot φ  2a sin φ cot φ2  

    

Từ giả thiết suy 2a sin2 φ cot φ  1a2

  8 sin2φ sin φ 4  0

1 129

sinφ

16



 (do φ π

  nên sinφ 0 ) φ arcsin1 129

16



 

Vậy góc đường thẳng SCvà mặt phẳng ABCDlà φ arcsin1 129 16





H K

J I

D

C

B A

Câu 65 (VDC) Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình bính hành, 

2 , , 120 AB a BC a ABC Cạnh bênSDa 3vàSDvng góc với mặt phẳng đáy Tínhsin góc tạo bởiSBvà mặt phẳng (SAC).

A

7 B

3

V  C

4

V  D.

4 V 

Lời giải

Chọn D

GọiHlà hình chiếu vng góc củaBlên mặt phẳng(SAC)khi đóSB SAC, ( )BSH NênsinSB SAC, ( ) sinBSH BH d B SAC( , ( ))

SB SB

   (*)

Lại có ( , ( )) sin ( , ( )) ( , ( ))

d B SAC BO BH d A SAC

BSH

d A SAC  DO    SB  SB

Kẻ DK AC DI, SKd A SAC( , ( ))DI

Trong 2 

: cos

ADC AC DA DC DA DC ADC a

    



1 3

.sin ;

2

DAC DAC

S a

S DA DC ADC DK a

AC



    

Xét tam giác vngSDKcó đường caoDIsuy

2

2

4

SD DK a

DI

SD DK

 



Trong ABD BD:  DA2AB22DA AB .cosDAB a

2

Thay vào (*) ta 

6

sin

4

a AI BSH

SB a

  

Câu 66 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB2a, BCa, ABC120 , SD vng góc với mặt phẳng đáy, SDa Tính cosin góc tạo SB SAC

A 1

4 B

3

2 C.

15

4 D

3

Lời giải

Chọn C

Trong tam giác ABC ABD ta có AC AB2BC22AB BC .cosABC a 7,



2

2 cos

BD AB AD  AB AD BADa

Tam giác ABD có AB2 AD2BD2 nên tam giác ABD vng D

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có: D0; 0;0, A a ; 0;0, B0;a ;0, S0; 0;a 3 Do DA CBCa a; ; 0

Véc tơ phương đường thẳng S B SB0;a ;a 3, chọn véc tơ phương đường thẳng S B u0;1; 1 

Lại có: SAa; 0;a 3, SC  a a; ;a 3  véc tơ pháp tuyến mp SAC   2 2

, ; ;

SA SC a a a

  

 

 

, chọn véc tơ pháp tuyến mp SAC  u  ; 2;1 Gọi góc tạo SB SAC , ta có sin cos sin2 15

4

u n u n

        

   

Câu 67 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD60,

2 a

SASBSD Gọi  góc đường thẳng SDvà mặt phẳng SBC Giá trị sinbằng

A 1

3 B

2

3 C.

5

3 D

Lời giải Chọn C

Gọi Olà tâm hình thoi ABCD, Hlà trọng tâm tam giác ABD Từ SASBSDsuy

 

SH  ABCD

Tam giác ABDcó AB ADavà BAD60nên suy tam giác ABDlà tam giác cạnh a

3 a AO

 

3

a

AH BH AO

   

Do SH  SA2AH2

2

3 15

2

a a a

   

     

   

   

Ta có BH ADBH BC BCSHB

Kẻ HK SBKSBHK SBC Trong tam giác SHBvuông H, ta có:

2 SH BH HK SH BH 

 2

15 15 a a a a               15 a 

Gọi EDHBC

2 DE HE

 

Gọi Ilà hình chiếu Dtrên SBC, suy rA

2

DI DE

HK  HE 

3

DI HK

  15

2 a  15 a 

Ta có SD SBC;  SD SI; DSI DSI 



sin sinDSI DI

Câu 68 (VDC) Cho hình chóp S ABCD , tứ giácABCD hình thoi cạnh a SA, a ABC, 1200, hình chiếu S mặt phẳng ABCD điểm H thỏa mãn

3

AH  AB

 

Gọi E trung điểm AD d, trục đường tròn ngoại tiếp SCE,  góc giữa d mặt phẳng ABCD Tính tan

A.

14 B

6

7 C

1

2 D

6 35

Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Gọi  góc SCE , ABCD

Ta có dlà trục đường trịn ngoại tiếp SCE nên d vng góc với SCE

90 tan cot

   

    

Kẻ HI vng góc CE I SI vng góc CE I

 

(HI SI, ) HIS



  

2

2 2 2

3

a a

SH  SA AH  a     

2

2 2 7

2 cos120

4 2

a a a a

CE CD DE  CD DE a   a  CE

2 2

2 2 7

2 cos 60

9 2 36

a a a a a a

HE  AH AE  AH AE      HE

2

2 2 19 13

2 cos120

9

a a a a

CH CB BH  CB BH a   a  CH 

 2 11 

cos sin

2 133 133

CH CB HE

HCE HCB

CH CB

 

   

 

.sin sin

21 a HI CE CH CE HCEHI CH HCE

2 3

cot tan

14 21 2

HI a

SH a

     

Kẻ HK vng góc CE K; HI vng góc SE I  HI vng góc SCEd/ /HI

   

( ,d ABCD) (HI ABCD,( )) IHK HSK



    

2

2 2 2

3

a a

SH  SA AH  a     

2

2 2 7

2 cos120

4 2

a a a a

CE CD DE  CD DE a   a  CE

2 1

; ;

3

CBH ABC AHE ABD CDE CDA

S  S S  S S  S

2

2 1 3

2

3 6

CHE ABC

a a

S  S

       

 

2 2 3

tan

21 21 2 14

SCE

S a HK a

HK

CE  SH a

DẠNG 4: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC CHUNG

1 Xác định góc hai mặt phẳng định nghĩa * Phương pháp

Cho hai mặt phẳng    P , Q    P  Q   Trong  P vẽ đường thẳng a   Q vẽ đường thẳng b  Khi đó, ta có    P , Q  a b,

2 Xác định góc hai mặt phẳng cách tạo mặt phẳng vng góc giao tuyến * Phương pháp

- Tìm giao tuyến d mặt phẳng  P  Q - Dựng mặt phẳng  R vng góc với d

- Tìm giao tuyến a mặt phẳng  P  R , giao tuyến b mặt phẳng  Q  R

Khi đó:    P , Q a b, 

3 Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt

Giả sử hai mặt phẳng     cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng   đường thẳng a vng góc với c dựng   đường thẳng b vng góc với c

Khi góc hai mặt phẳng     góc hai đường thẳng a b

   

    

 ,   ,

a b

a b a c

b c

 

 

  

 

 

     

B BÀI TẬP

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 1.(TH) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc SBD ABCD

A. SOA B SBA C SDA D SOC

Câu 2.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Góc hai mặt phẳng SBC ABCD là:

A. ASB B SBA. C SCA. D ASC

Câu 3.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA(ABCD) Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc sau đây?

A. ASD B BSC C ASC D BSD

Câu 4.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, cạnh bên SA vng góc với đáy SAa (hình vẽ) Góc hai mặt phẳng SAD SBC

A. 45 B 30 C 60 D 90

Câu 5.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2 ,a ADa, SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng SCD ABCD Khi

A.  30 B tan

2

  C 60 D tan

4



Câu 6.(TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, chiều cao hình chóp

a

Góc mặt bên mặt đáy

A 60 B 75 C 30 D 45

Câu 7.(TH) Trong hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt đáy 60, tang góc mặt bên mặt đáy

A

6 B C

3

2 D 2

Câu 8.(TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy

A 1

2 B

1

3 C

1

3 D

1

Câu 9.(TH) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao a

A 45 B 75 C 30 D 60

Câu 10.(TH) Cho hình chóp S ABC có SAABC, tam giác ABCđều, ABa Gọi là góc hai mặt phẳng SABvà SAC Giá trị coslà

A

2

 B

2 C

1

 D 1

2

Câu 11.(TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B cạnh ABa, cạnh SA

vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Tính cosin góc  góc mặt phẳng ABC mặt phẳng SBC

A. cos

3

  B cos

3

  C cos

5

  D cos

5

 

Câu 12.(TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng AB C  A B C  

A.



B

3



C arccos

4 D

3 arcsin

4

Câu 13.(TH) Cho hình lập phươngABCD A B C D     có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng

BA C và DA C là:

A 90o B 60o C 30o D 45o

Câu 14.(TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh a Giá trị sin góc hai mặt phẳng BDAvàABCD

A.

4 B

3

3 C

6

3 D

3

Câu 15.(TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C   có cạnh bên a 2và đáy tam giác vuông A,

,

ABa ACa Ký hiệu là góc tạo hai mặt phẳng A BC' và BCC B  Tính tan

A. tan

6

 B tan

4

 C tan

4

 D tan

3



Câu 16. (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,

,

ABa ADSA a, SAABCD Tính tang góc mặt phẳng SBD mặt phẳng ABCD

A

5 B

5

2 C

2

5 D

Câu 17.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, K trung điểm AB, CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng SAB SCD bằng:

A.

3 B

2

3 C

3

3 D

Câu 18.(TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A' lên mặt phẳngABC trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng BCC B' ' ABC Khi cos

A. cos

3

  B cos 17 17

  C cos 5

  D cos 16 17  

Câu 19.(TH) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABCvuông cân B, ABBCa, SAa 3,

 

SA ABC Góc hai mặt phẳng SBCvà ABClà

A. 45 B 60 C 90 D 30

Câu 20.(TH) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng ABC, biết ABAC a,

BCa Tính góc hai mặt phẳng SAB SAC

A. 120 B 60 C 150 D 30

Câu 21.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnha Đường thẳng SO

vng góc với mặt phẳng đáy

a

SO Tính góc SCD ABCD

A. o

90 B o

45 C o

60 D o

30

Câu 22.(TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB3 ,a BC 4a Biết

 

SA ABC góc SBCvà ABC

60 Tính diện tích tam giác SBC

A. 6a2 B 8a2 C 3a2 D 12a2

Câu 23.(TH) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác chiều cao lăng trụ a, mặt phẳng A BC  tạo với mặt đáy ABC góc 60 Gọi S diện tích tam giác ABC, giá trị S

bằng A. 3 a

S  B

2

3 a

S  C

2

3 a

S  D

2

3 a

S 

Câu 24.(TH) Hình chóp S ABCD có tất cạnh Cơsin góc mặt bên mặt đáy

A.

3 B

6

3 C

2

2 D

1

Câu 25.(TH) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, AD2a Cạnh bên SA

vng góc với đáy ABCD, SA2a Tính tancủa góc hai mặt phẳng SBD ABCD

A

5 B C

5 D

Câu 26.(TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cơsin góc mặt bên mặt đáy

A.

3 B

1

2 C

1

2 D

1

Câu 27.(TH) Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vuông tạiA Mặt bên SBClà tam giác cân tạiS, đường caoSH a 3(HBC),BC3a Cạnh bên SAvng góc với mặt đáyABC Gọi  góc

A.  60 B 45 C

3

 

cos D 30

Câu 28.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, khối chóp S ABCD tích

3

2 a

Gọi  góc hai mặt phẳng SAD

và SBD Tính cos

A. cos

5

  B cos

3

  C cos 2

5

  D cos 10

5

 

Câu 29.(TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a 2, biết cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi là góc hai mặt phẳng SACvà SCDkhi tanbằng

A.

3 B

21

3 C

21

7 D

3

Câu 30.(TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông cân A, ABa Biết

  o

90

SBASCA , SAa Tính là góc tạo hai mặt phẳng SABvà SAC

A. o

90

  B o

30

 C o

45

  D o

60



Câu 31.(TH) Cho tứ diện S ABC có cạnh SA, SB; SCđơi vng góc SASBSC1 Tính cos, là góc hai mặt phẳng SBCvà ABC?

A. cos

2

  B cos

2

  C cos

3

  D cos

3

 

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 32.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ABSBa,

3 a

SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng SAB SAD

A. 30 B 45 C 90 D 60

Câu 33.(VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với ABa; AC2a Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (SAB);(SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Gọi  góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Tính tan

A 51

17 B

51

3 C

17

3 D

3 17 17

Câu 34.(VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy tam giác cạnh AB2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy

60 Góc hai mặt phẳng BCC B  ABC

A. arctan B arctan2 C arctan4 D arctan1

Câu 35.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,AB a,AD SA2a,  

A. B

2 C

2

5 D

1 5

Câu 36.(VD) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, AB2a, SA vng góc với mặt đáy góc SB với mặt đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng SBC

ABC Giá trị cos

A 15

5 B

1

7 C

2

5 D

2

Câu 37.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng BA C'  DA C' 

A.

30 B

120 C

60 D

90

Câu 38.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ,

3 a

BC SBa SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng SBCvà

SCD

A. 90 B 60 C 45 D 30

Câu 39.(VD)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB3, BC4 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA Cơsin góc hai mặt phẳng SAB SAC

A. 34

17 B

3 17

17 C

2 34

17 D

3 34 17

Câu 40.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SAABCD, SAx Xác định x để hai mặt phẳng SBC SDC tạo với góc 60

A.

2

a

x B xa C

2 a

x D xa

Câu 41.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi O giao điểm AC BD Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABCD trung điểm H đoạn OA góc SD ABCD; 60 Gọi  góc hai mặt phẳng SCD ABCD Tính tan

A tan 15 

 B tan 30

12 

 C tan 10

3 

 D tan 30

3 



Câu 42.(VD) Cho tứ diện ABCD Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ABC BCD

A. 2

3 B

2

3 C

1

3 D 2

Câu 43.(VD) (Chu Văn An - Hà Nội - lần - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC

A.

2 B

2

5 C

5

5 D

1

Câu 44.(VD) Cho hình chóp S ABC có góc mặt bên đáy 60 ; H hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC Khoảng cách từ H đến SA

7

a

Gọi  góc hai mặt

phẳng SAB SAC Khi đó, tan



bằng:

A.

3 B

2

3 C

6

3 D

3

Câu 45.(VD) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên a Gọi  P mặt phẳng qua A vuông góc với SC Gọi   góc tạo mp P  ABCD Tính tan

A. tan

3

 B tan

2

  C tan

3

  D tan

2

 

Câu 46.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi  góc hai mặt phẳng A BD' 

ABC Tính tan

A.

1 tan

2



B

tan 

C.

2 tan

3



D.

3 tan

2



Câu 47.(VD) Cho khối chóp S ABC có SAB  ABC , SAC  ABC, SAa, ABAC 2a

, BC 2a Tính cosSAC , SBC

A.

6 B

1

2 C

5

6 D

2

Câu 48.(VD) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, ABCD hình thang vuông A D,

AB CD, ADCDa, SAx Tìm giá trị x để số đo góc hai mặt phẳng SAB

SBC 60

A. xa B

2

a

x C xa D xa

Câu 49.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng

ABCD SAa, góc hai mặt phẳng SAD SBC

A. 30 B 90 C 0 D 45

Câu 50.(VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a, cạnh đáy a Gọi  góc hai mặt bên hình chóp Hãy tính cos

A. cos

15

  B cos

2

  C cos

15

  D cos

2

Câu 51.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SOABCD Cho ABSBa,

3 a

SO Số đo góc hai mặt phẳng SAB SAD  với

A.  90 B  45 C  60 D  30

Câu 52.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S ABC

3

3 a

Gọi  góc mp SCD  mp ABCD  Khi tan

A.

4 B C

3

3 D

3

Câu 53.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Tính cosin góc hai mặt phẳng CB D 

ABCD

A.

3 B

2

2 C

3

2 D

6

Câu 54.(VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng BA C và DA C bằng

A. 60 B 90 C 120 D 30

Câu 55.(VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, có AB BC a AD, 2 ,a SAa Góc hai mặt phẳng SAD

SCD

A. 75 B 30 C 45 D 60

Câu 56.(VD) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai tia Bx Dy, vng góc với mặt phẳng ABCD

và chiều lấy hai điểm M, N cho ;

a

BM  DN 2a Tính góc  hai mặt phẳng

AMN CMN

A.  30 B 60 C 45 D 90

Câu 57.(VD) Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy a chiều cao a

Số đo góc mặt bên mặt đáy

A. 90 B 30 C 45 D 60

Câu 58.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi  góc hai mặt phẳng ABCDvà

A. tan

 B tan

3

  C tan

3

  D tan

4

 

Câu 59.(VD) Khối lăng trụ đứng ABC A B C   có diện tích tam giác ABC Gọi M N P, , thuộc cạnh A A , B B , C C  , diện tích tam giác MNP 4 Tính góc hai mặt phẳng ABC

MNP

A. 30 B 120 C 90 D 45

Câu 60.(VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh 2a Gọi là góc hai mặt phẳng SCDvà ABCD Mệnh đề đúng?

A. tan B tan  C tan2 D tan

2



Câu 61.(VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB2a, ADDCa SAABCD Tang góc hai mặt phẳng SBC ABCD

A.

2 B

1

3 C D

Câu 62.(VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a chiều cao a Gọi  góc mặt bên đáy hình chóp Tính tan

A. tan6 B tan2 C tan3 D tan 2

Câu 63.(VD) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB2a, ADDCa, SAa SAABCD Tan góc hai mặt phẳng SBC ABCD là

A. B

2 C

1

3 D

Câu 64.(VD) Cho hình chóp SABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB2a,

 30

CAB  Tính cosin góc hai mặt phẳng SAB, SBC

A.

9 . B

7

14 C

3

14 D

7

Câu 65.(VD) Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với

   

A

2

a

B

3

a

C

3 a

D

3 a

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Câu 66.(VDC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    có AB2a, AD3a, AA 4a Gọi là góc hai mặt phẳng AB D và A C D   Giá trị cosbằng

A. 29

61 B

27

34 C

2

2 D

137 169

Câu 67.(VDC) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, đáy ABC tam giác vuông cân B, AC a Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu điểm A cạnh SC Gọi  góc hai mặt phẳng ABC AGK Tính cos, biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng KBC

2

a

A. cos

2

  B cos

2

 C cos

2

 D cos

3

 

Câu 68.(VDC) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AB2 AA 2 Gọi M, N, P

lần lượt trung điểm cạnh A B , A C  BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Cơsin góc tạo hai mặt phẳng AB C  MNP

A 6 13

65 B

13

65 C

17 13

65 D

18 13 65

Câu 69.(VDC) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SAvng góc với đáy, SABCavà BAC60o Gọi Hvà Klần lượt hình chiếu vng góc Alên SBvà SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng AHKvà ABC

A. 21

3 B

21

7 C

3

2 D

3

Câu 70.(VDC) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với ABa, AC2a Mặt phẳng SBC vng góc với mặt phẳng ABC Hai mặt phẳng SAB, SAC tạo với mặt phẳng

ABC góc 60 Gọi  góc hai mặt phẳng SAB SBC Giá trị tan A

B

C

B A

P M

A. 51

17 B

51

3 C

17

3 D

3 17 17

Câu 71.(VDC) Cho S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính

AB a ; SAa vng góc với mặt phẳng ABCD Cơsin góc hai mặt phẳng SAD

và SBC bằng:

A.

2 B

2

4 C

2

3 D

2

Câu 72.(VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Biết

2 , ,

AD a ABBCa SA a SA vng góc với đáy, gọi I trung điểm AD, M điểm thuộc cạnh SD cho SM 2MD Điểm N thuộc cạnh CD cho tam giác MNI có diện tích

2

a

Tính góc hai mặt phẳng (MNI) (SAC)

A

30 B

45 C

60 D

70

Câu 73.(VDC) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, BCa, cạnh bên SA

vuông góc với đáy, SAa Gọi M trung điểm AC Tính cơtang góc hai mặt phẳng

SBM SAB

A.

2 B 1 C

21

7 D

2 7

Câu 74.(VDC) Cho lăng trụ ABC A B C    có cạnh đáy 1, cạnh bên Gọi Mlà trung điểm CC Tính sin góc hai mặt phẳng ACB BMA

A.

5 B

21

5 C

1

5 D

2

Câu 75.(VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với

 

SA ABCD ; AB5; BC8; AD3 Góc hợp đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy 45 Gọi  góc tạo mặt phẳng SCB mặt phẳng SCD Tính tan

A. 89

74 B

89

37 C

74

89 D

37 89

Câu 76.(VDC) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SA2BCvà BAC120o Hình chiếu A đoạn SB SC, M N, Tính góc hai mặt phẳng ABC AMN

A o

45 B o

60 C o

15 D o

30

Câu 77.(VDC) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I tâm hình vng ABCD M điểm thuộc OI cho

2

A. 85

85 B

6 13

65 C

6 85

85 D

17 13 65

Câu 78.(VDC) Cho hình chóp S ABC có ABC vuông B, AB1,BC  3, SAC đều, mặt phẳng

SAC vng với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng SAB SBC Giá trị cos

A. 65

65 B

65

20 C

65

10 D

65 65

Câu 79.(VDC) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên AA 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm đoạn BG (với G trọng tâm tam giác ABC) Tính cosin góc  hai mặt phẳng ABC ABB A 

A. cos

95

 B cos

165

 C cos

134

 D cos

126

 

Câu 80.(VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A vàD, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Biết AB2AD2DC2a Gọi  góc hai mặt phẳng SAB

vàSBC Tính tan

A. B 2 C

4 D

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 4: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD đáy ABCD hình vng tâm O Xác định góc SBD ABCD

A SOA B SBA. C SDA D SOC

Lời giải Chọn A

Ta có:

 

 

BD AC

BD SA SA ABCD

   

 

 

 

BD SAC

 

   

BD SO

BD AC

DB SBD ABCD

    

  



 Góc SBD ABCD góc AC SO 

SOA (do SAC vuông A)

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Góc hai mặt phẳng SBC ABCD là:

A ASB B SBA. C SCA. D ASC

Lời giải Chọn B

Ta có: BC BA BC; SA nên SBC ; ABCDAB SB; SBA

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA(ABCD) Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc sau đây?

A ASD B BSC C ASC D BSD

Lời giải

Chọn A

O

D

B C

A S

C

A D

Gọi  (SAB)(SCD) Vì AB//CD nên AB////CD Vì SAAB nên SA 

Vì CD (SAD) nên CDSD hay SD 

Do đó, góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) ASD

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa, cạnh bên SA vng góc với đáy SAa (hình vẽ) Góc hai mặt phẳng SAD SBC

A 45 B 30 C 60 D 90

Lời giải Chọn A

Ta có: SBC  SAD Sx // BC // AD

Ta chứng minh BCSAB BCSBSxSB Lại có: SAABCDSA ADSASx

Vậy góc mặt phẳngSBC SAD góc BSA45

Câu (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB2 ,a ADa, SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng SCD ABCD Khi

A  30 B tan

2

 C 60 D tan

4



Lời giải

Chọn C

Δ

A B

D C

Gọi H K, trung điểm AB CD,

Suy SH ABCD HK; CDCDSHKCDSK Do SKH

Tính ;  2 3

2

HK a SH  a a , suy tan a 3 60 a

    

Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, chiều cao hình chóp

a

Góc mặt bên mặt đáy

A 60 B 75 C 30 D 45

Lời giải

Chọn C

Gọi Olà giao điểm ACvà BD; Hlà trung điểm AB Vì S ABCD hình chóp tứ giác nên SOABCDvà

2

a

SO

Vì SASBnên tam giác SABcân Ssuy SH AB Ta có:

SAB ABCD AB

AB SH

AB OH

 

 

 

 



Nên góc SABvà ABCDlà góc SHvà OH, tức SHO Ta có: OHlà đường trung bình tam giác ABDnên 1

2

OH  AD a

Tam giác SHOvuông Onên: tan  30

SO

SHO SHO

OH

    

Vậy góc mặt bên mặt đáy 30

A

6 B C

3

2 D

Lời giải

Chọn D

Nhận xét: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên có độ dài

nhau Tâm đáy chân đường cao hình chóp cạnh bên tạo với mặt đáy góc

bằng nhau, mặt bên tạo với mặt đáy góc nhau.

Cho hình chóp S ABC hình vẽ

Gọi Olà trọng tâm tam giác ABC, SOABC  

SB ABC,  SB OB, SBO60

  

Gọi Ilà trung điểmBC, BC AI Mặt khác SOABCnên SOBC Do BCSOISI BC

Ta có

   

 ,   ,

SBC ABC BC

SI SBC OI ABC

SI BC OI BC

 

 

 



  



   

SBC , ABC  SI OI,  SIO 

   

Xét tam giác SOBvng O, ta có SOOB tan 60 OA

Xét tam giác SOIvuông O, ta có tan SO OA 2OI 3

OI OI OI

    

Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy

A 1

2 B

1

3 C

1

3 D

1

Gọi Olà trung điểm AC Vì S ABCD hình chóp nên SOABCD Gọi Hlà trung điểm BCvà góc mặt bên SBCvà mặt đáy ABCDlà  Ta có SBC  ABCDBCmà BCSHvà BCOHnên SHO

SHlà đường cao tam giác SBCcạnh anên a

SH  ,

Xét tam giác SOH vng Ocó: cos OH

SH

 

3

2

a

a

 

Câu (TH) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao a

Tính số đo góc mặt bên mặt đáy

A 45 B 75 C 30 D 60

Lời giải Chọn D

Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm CD

   

 

 

: :

SCD ABCD CD

SM SCD SM CD

OM ABCD OM CD

 

 

 

 

 



  

 SCD , ABCD  SM OM,  SMO

  



3

tan

2

a SO SMO

a OM

   SMO 60 A

O H

B S

C D

M O

C

A D

B

Câu 10 (TH) Cho hình chóp S ABC có SAABC, tam giác ABCđều, ABa Gọi là góc hai mặt phẳng SABvà SAC Giá trị coslà

A

2

 B

2 C

1

 D

2 Lời giải

Chọn D

Ta có SAB  SACSA,ABSAB ABSA,ACSAC ACSA, góc hai mặt phẳng SABvà SAClà góc CABvà 60, cos 60

2  

Câu 11 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B cạnh ABa, cạnh SA

vng góc với mặt phẳng đáy SA2a Tính cosin góc  góc mặt phẳng ABC mặt phẳng SBC

A cos

3

  B cos

3

  C cos

5

  D cos

5

 

Lời giải

Chọn C

Vì BC AB BC SAB BC SB

BC SA

 

   

  

Suy góc mặt phẳng ABC mặt phẳng SBC góc  SBA Xét tam giác vng SBA có

2

1 cos

5

AB AB

SB SA AB

   



A C

B S

A C

Câu 12 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng AB C  A B C  

A



B

3



C arccos

4 D

3 arcsin

4

Lời giải Chọn A

Gọi I trung điểm B C  Ta có: B C A I B C AIA

B C A A

   

  

 



   

Khi đó:

AB C  A B C B C AI B C

A I B C

         



   

     

góc hai mặt phẳng AB C  A B C   góc AIA Xét tam giácAIA vng A ta có: tanAIA AA

A I

  



1

3

a a

  

6

AIA   

Câu 13 (TH) Cho hình lập phươngABCD A B C D     có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng

BA C và DA C là:

A 90o B 60o C 30o D 45o

Lời giải

Chọn B

Dễ thấy A DC  A BC ,   o

90 A BC A DC  Dựng DH A C BH A C

Vậy góc hai mặt phẳng BA C và DA C là góc HD HC,  C

B A

C'

A' B'

D'

D

Xét tam giác DHCcó BDa 2, a DH BH   2

cos

2

HD HB BD

DHB

HD HB

 



2 2

1

2

HD HB BD

HD HB

  

 

Vậy góc hai mặt phẳng BA C và DA C bằng 60o

Câu 14 (TH) Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh a(tham khảo hình vẽ)

Giá trị sin góc hai mặt phẳng BDAvàABCD

A

4 B

3

3 C

6

3 D

3

Lời giải

Chọn C

Ta thấy góc hai mặt phẳng A BD và ABCDlà góc A OA



2 2

2

6 sin

3

AA AA a

A OA

A O AA AO a

a

 

    

  



Câu 15 (TH) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C   có cạnh bên a 2và đáy tam giác vuông ,

A ABa AC, a 3.Ký hiệu là góc tạo hai mặt phẳng A BC' và BCC B  Tính tan

A tan

6

  B tan

4

  C tan

4

  D tan

3



Lời giải Chọn B

O A

D

B C

C' B'

Kẻ A H' B C' ', H thuộc B C' ' Suy A H' BCC B' 'tại H Trong BCC B' 'kẻ HKBCtại K Ta có

 

' ' ' '

BC HK

BC A H A H BCC B

   

 

 

 '  BC A HK

 

Mà A K' A HK'  '

BC A K

 

Ta có

   

   

' ' '

'

A BC BCC B BC

BC HK gt

BC A K cmt

 

 

  

 

Suy A KH' góc A BC' và BCC B' ' Tính góc A KH'

Xét A KH' vng Hcó

 

2 2

2

' ' ' ' 3

'

2

' ' ' ' 3

A B A C a a a

A H

A B A C a a

  

 

, HK a

Ta có 

3

' 2

tan '

4 a A H A KH

HK a

  

Câu 16 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,

,

ABa ADSA a, SAABCD Tính tang góc mặt phẳng SBD mặt phẳng ABCD

A

5 B

5

2 C

2

5 D

Kẻ AHBD

Ta lại có BDSA suy BDSAH góc mặt phẳng SBD mặt phẳng ABCD SHA

Trong tam giác vng ABD có 2 2 2

2

1 1

AB AD a

AH

AH  AB  AD   AB AD 

Khi tanSHA SA

AH

 

Câu 17 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H, K trung điểm AB, CD Ta có tan góc tạo hai mặt phẳng SAB SCD bằng:

A

3 B

2

3 C

3

3 D

3

Lời giải Chọn B

Ta có: H trung điểm AB SH  AB (vì tam giác SAB đều)

Mà    

     

SAB ABCD

SH ABCD

SAB ABCD AB

 



 



 

  Mặt khác

        // //

AB CD

SAB SCD Sx AB CD

S SAB SCD

 

  



 

 



Mà Sx SHK Sx SH

Sx SK

 

  

 

, với K trung điểm CD   

 SAB , SCD  HSK

 

S

A

B C

D H

Khi tan 3 HK HSK SH  

Câu 18 (TH) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A' lên mặt phẳngABC trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng BCC B' ' ABC Khi cos

A cos

3

  B cos 17 17

  C cos 5

  D cos 16 17   Lời giải

Chọn C

Gọi K hình chiếu vng góc B ABC Khi đó: KBC hình chiếu vng góc B BC ABC Do đó:

cos cos KBC

KBC B BC

B BC S S S S           

Ta có:  

2 2

2

1

2

KBC ABC

a a

S  S  

Ta lại có: cos 60 AH AA 2a BB;

AA  

    

 tan 60

A H

A H a B K

AH



 

    

2

2 .cos120

KC BC BK  BC BK  a

và B C  B K 2CK2 a 10 Khi đó: 15 B BC a

S   ( sử dụng công thức Hê-rông )

Vậy 2 cos 15 KBC B BC a S S a       

Câu 19 (TH) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABCvng cân B, ABBCa, SAa 3,

 

SA ABC Góc hai mặt phẳng SBCvà ABClà

A 45 B 60 C 90 D 30

Ta có BCSABBCSA Góc hai mặt phẳng SBCvà ABClà góc SBA



tanSBA SA AB

 a

a

  3SBA 60

Câu 20 (TH) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng ABC, biết ABAC a,

BCa Tính góc hai mặt phẳng SAB SAC

A 120 B 60 C 150 D 30

Lời giải

Ta có:

       

   

   ,

, , ,

AB SA AB SAB

AC SA AC SAC SAB SAC AB AC

SAB SAC SA

  



   



  

Xét tam giác ABC có: 

2 2 2

3

cos

2

AB AC BC a a a

BAC

AB AC a a

   

    BAC120

Vậy SAB , SACAB AC, 180 120 60

Câu 21 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnha Đường thẳng SO

vng góc với mặt phẳng đáy

a

SO Tính góc SCD ABCD

A 90o B 45o C 60o D 30o

Lời giải

Chọn C

Gọi M trung điểm CD Ta có SCD , ABCDSM OM, SMO

  o

3

tan 60

2 a SO

SMO SMO

a OM

    

Câu 22 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, AB3 ,a BC 4a Biết

 

SA ABC góc SBCvà ABC

60 Tính diện tích tam giác SBC

A

6a B

8a C

3a D

12a

Lời giải

Chọn D

3a 600 4a

S

C

Ta có SAABCSBC , ABCSBA600 cos60 12 cos60 2. ABC ABC SBC SBC

S S AB BC

S a S         

Câu 23 (TH) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác chiều cao lăng trụ a, mặt phẳng A BC  tạo với mặt đáy ABC góc 60 Gọi S diện tích tam giác ABC, giá trị S

bằng A 3 a

S  B

2

3 a

S  C

2

3 a

S D

2

3 a

S 

Lời giải Chọn D

Gọi M trung điểm BC Ta có BCAM BCAA

 

BC AA M

  BC A M

Vậy         , ,

A BC ABC BC

BC AM AM ABC

BC A M A M A BC

                

 A BC ABC  A M AM , 

  A MA 60

A AM

  A có

tan 60 AA

AM  

 3 a  ABC

 có

AM AB

3

AM AB

 

3 a  a  ABC

S S AB  2 3 a        a

Câu 24 (TH) Hình chóp S ABCD có tất cạnh Cơsin góc mặt bên mặt đáy

A

3 B

6

3 C

2

2 D

1

Giả sử S ABCD có tất cạnh a

Gọi O I, tâm hình vng ABCD trung điểm CD

 

SO ABCD

OI CD

    

  

   

 SCD , ABCD  SIO

 

Ta có: SCD cạnh a

2 a SI

 

SOI

 vuông O,

2

a

OI  cos

3 OI SIO

SI

  

Câu 25 (TH) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, AD2a Cạnh bên SA

vng góc với đáy ABCD, SA2a Tính tancủa góc hai mặt phẳng SBD ABCD

A

5 B

5

2 C

2

5 D

Lời giải Chọn D

Trong ABD kẻ AHBD, suy SH BD Góc mặt phẳng SBD mặt phẳng

ABCD góc SH HA

Gọi góc hai mặt phẳng cần tìm , = Tính tan tan SA

AH

Xét tam giác BAD vuông A:

 2

2 2 2

1 1 1

4

AH  AB  AD a  a  a

5

a AH

 

2

tan

2

SA a

a AH

   

Câu 26 (TH) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cơsin góc mặt bên mặt đáy

A

3 B

1

2 C

1

2 D

1

Lời giải

Chọn A

+ Gọi O tâm hình chóp tứ giác S ABCD Ta có SOABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a mặt bên tam giác cạnh a

+ Gọi I trung điểm cạnh CD

Theo giả thiết ta có:

SCD ABCD CD

OI CD

SI CD

 

 

    

nên góc mặt bên SCD mặt đáy ABCD góc hai đường thẳng OI SI

bằng góc SIO Khi đó: cosSIO OI SI



3

a

a

 cos

3

SIO

 

Câu 27 (TH) Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác vng tạiA Mặt bên SBClà tam giác cân tạiS, đường caoSH a 3(HBC),BC3a Cạnh bên SAvng góc với mặt đáyABC Gọi  góc

giữa hai mặt phẳngSBC ABC Mệnh đề sau đúng?

A  60 B  45 C

3

 

cos D 30

Lời giải

Vì SAABCSABC Ta có  

 

BC SH

BC SA BCSAHBCAH

Mà

   

 

 

; ;

 

 

 

 

 



SBC ABC BC

BC AH AH ABC

BC SH SH SBC

 ((SBC); (ABC)) (SH AH; ) SHA

Tam giác ABC vuông tạiA nên 

AH BC

2  a

Tam giác SAH vuông tạiA có

3

3

2

a AH cos

SH a

   30

Câu 28 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, khối chóp S ABCD tích

3

2 a

Gọi  góc hai mặt phẳng SAD

và SBD Tính cos

A cos

5

  B cos

3

  C cos 2

5

  D cos 10

5

 

Lời giải Chọn D

Gọi O tâm hình vng ABCD Kẻ AH SO H

S

A C

B

Ta có: BD AO, BDSABDSAO BD AH Vậy AH SBD

Lại có: ABSAD, góc  hai mặt phẳng SAD SBD góc hai đường thẳng AH AB Vậy  BAH

Khối chóp S ABCD tích

2 a

nên ta có:

3

1

3

a

SA a  SAa

Tam giác SAO vuông A, đường cao AH nên: 2 12 12 12 42 52

2 2

AH  AS  AO  a  a  a

Suy ra: 10 a

AH  Từ đó: cos 10 AH

AB

  

Câu 29 (TH) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a 2, biết cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi là góc hai mặt phẳng SACvà SCDkhi tanbằng

A

3 B

21

3 C

21

7 D

3 Lời giải

Chọn A

60 O

K

S

A

B

C

D

Kẻ OK SC Do S ABCD hình chóp ABCDlà hình vng nên SOABCD;

 

BD SAC SCBD Suy SCBKDKDSC

Vậy góc hai mặt phẳng SACvà SCDlà OKDvà tanOKD OD OK

 (do KODvng O): ABCDlà hình vng cạnh a 2nên AC2aOAOCODa

Trong hình chóp S ABCD , cạnh bên tạo với đáy góc 60nên SAC60 tan 60

SO OA a

   

Ta có 2 12 12 a OK

OK  SO OC  

 2

tan

3

OD OKD

OK

   

Câu 30 (TH) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông cân A, ABa Biết

  o

90

SBASCA , SAa Tính là góc tạo hai mặt phẳng SABvà SAC

A 90o B  30o C 45o D  60o

Lời giải

Kẻ CH SA, dễ dàng chứng minh BH SA

Do đó, góc tạo hai mặt phẳng SAB , SACCH BH, 

Ta có,

3 CA CS a CH

SA

  , CBa

Xét tam giác CHB, có

2 2

1 cos

2

CH BH BC

H

HB HC

 

  

Vậy       o

, , 60

SAB SAC  CH BH 

Câu 31 (TH) Cho tứ diện S ABC có cạnh SA, SB; SCđơi vng góc SASBSC1 Tính cos, là góc hai mặt phẳng SBCvà ABC?

A cos

2

  B cos

2

  C cos

3

  D cos

3

 

Lời giải Chọn D

 Cách 1:

Gọi Dlà trung điểm cạnh BC Ta có SA SB SA SBC

SA SC

 

 

  

SA BC

 

C A

B S

H

S A

B

C

D

Mà SDBCnên BCSAD   

 SBC , ABC  SDA 

  

Khi tam giác SADvng Scó

SD ;

2

AD cos SD

AD

  cos

3



 

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 32 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ABSBa,

3 a

SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng SAB

SAD

A 30 B 45 C 90 D 60

Lời giải Chọn C

Gọi M trung điểm SA

Ta có      ,   ,  ;

SAB SAD SA

SAB SAD BM DM

BM SA DM SA

 

 

 



 

 

Trong SBO vng O, có

2

2 2

9

a a

OB SB SO  a  

Trong SAO vng O, ta có a

OASO 2

3 a

SA OA

  

3 a AM

 

Mặt khác, có

2

2 2

9

a a

DM BM  AB AM  a  

Xét tam giác vuông BOM vuông O, có sin 3  45

3

OB a

BMO BMO

BM a

     

Vậy góc SAB , SAD90

Câu 33 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với ABa; AC2a Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (SAB);(SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Gọi  góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Tính tan

M

O

D C

B A

A 51

17 B

51

3 C

17

3 D

3 17 17

Lời giải Chọn B

Vẽ SH BC suy SH (ABC); vẽAx phân giác góc#

Theo giả thiết H giao điểm AxBC Kẻ HI SB ((SBC), (SAB)) HIK

HK SM        

2 2 3

5

a BH

HB AB

HC AC a

CH             3 tan 60

3

HM BH a

HM AC BC a SM HM        

2 3

.sin 60

3

a a

HK HM   

2

2 2

2

1 1 51 20

20 51 17 17 17 51 tan 3 a MI

MI BM SM a

a

IK HI HK

HK IK             

Câu 34 (VD) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy tam giác cạnh AB2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy

60 Góc hai mặt phẳng BCC B  ABC

Lời giải Chọn B

Gọi H trung điểm AB, góc AA ABC A AH 600 Gọi I I,  trung điểm BC B C,  , K trung điểm BI

Ta có AI BCHK BI mà A H BCBCA HKI BCKI Khi BCC B  , ABC HK KI,  HKI

Ta có HKI A  hình thang vng H A, , có 6; 15 2

a

HIa KI Khi sin

5

HKI  Do cot

HKI  Vậy HKI arctan 2

Câu 35 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,AB a,AD SA2a,  

SA ABC D Tính tang góc hai mặt phẳng SB D AB C D

A B

2 C

2

5 D

1 5

Lời giải Chọn A

Gọi I hình chiếu vng góc A BD A I  B D  1

Mà S A  B D SAABC D BD SAI BD SI 2

I'

I H

A

B

C A'

B'

C'

Mặt khác ta có SBD  ABCDBD , SAI90 30  Từ  1 , 2 , 3 SBD ABCD SIA.)

Trong B A D vng A có

2 2 2

1 1 1

4

a AI

AI  AB AD a  a  

Xét S A I vng Ata có: tan SA AI

  

Câu 36 (VD) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB2a, SA vng góc với mặt đáy góc SB với mặt đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng SBC

ABC Giá trị cos

A 15

5 B

1

7 C

2

5 D

2

Lời giải

Chọn B

Ta có giao tuyến SBCvà ABC BC Từ A kẻ AM BC, M trung điểm BC(do ABC vuông cân A)

Ta có BC AM , BC SA (gt), BCSAM suy góc hai mặt phẳng SBC

và ABC góc hai đường thẳng SM AM Ta tính góc SMA Xét tam giác SMA có 1 2

2

AM  BC AB AC a Góc SB ABC góc

 60

SBA  SAAB tan 60 2a 3, từ ta có SM  SA2AM2 a 14

Vậy cos

14

AM a

SM a

  

Câu 37 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng BA C'  DA C' 

A

30 B

120 C

60 D

90

Lời giải

Chọn C

+ BA C' vuông B (vì BCABB A' 'BC A B' ) Kẻ BH  A C' BA C'

 '  

BD AA C (vì BD AC BD,  AA')BD A C'

Ta có BH A C' ; BD A C'  A C' BHD A C'  HD + BA C'   DA C'  A C'

 

' 

A C BHD

BHD  BA C'  BH BHD  DA C'  DH

 góc hai mặt phẳng BA C'  DA C'  góc BH DH + BH  DHvBA C'  vDA C' 

' vBA C:

 

2

2

2

2 2 2

1 1 1

' 2

     BH  a DH

BH BA BC a a a

   

2 2

2 2

0

2

2

1 3

: cos 120

2

2

2

 

 

      

a a

a

BH DH BD

BHD BHD BHD

a BH DH

Vậy góc hai mặt phẳng BA C'  DA C'  0

180 120 60 Cách 2:

Chọn hệ tọa độ Oxyzcó AO, , , '   

AB AD AA hướng với véc tơ đơn vị , ,    i j k

a H

D C

A B

D' C'

B'

A'

z

y

x a

D

C A

B

D'

C' B'

Lấy a1, suy B1; 0; , D0;1; , A' 0; 0;1 ,  C1;1; 0 BA C'  có véc tơ pháp tuyến n1BA'BC   1; 0; 1  DA C'  có véc tơ pháp tuyến n2 DA'DC 0;1;1 Gọi  góc hai mặt phẳng BA C'  DA C' 

  0

1

1

1 1

cos = cos , 60

2 2

 

     

   

 n n n n

n n

Câu 38 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ,

3 a

BC SBa SO Tìm số đo góc hai mặt phẳng SBCvà

SCD

A 90 B 60 C 45 D 30

Lời giải Chọn A

Gọi M trung điểm SC, tam giác SBC cân B nên ta có SCBM (1) Theo giả thiết ta có BDSACSCBD Do SCBCM suy SCDM (2) Từ (1) (2) suy góc hai mặt phẳng SBC SCD góc hai đường thẳng

BM DM

Ta có SBO CBO suy a SOCO

Do

2

a

OM  SC

Mặt khác 2

3 a

OB SB SO  Do tam giác BMO vng cân M hay góc

 45

BMO , suy BMD90

Vậy góc hai mặt phẳng SBC SCD 90

Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB3, BC4 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA

S

A

B C

D O

[HH11.C3.4.D03.c] Cơsin góc hai mặt phẳng SAB SAC

A 5 34

17 B

3 17

17 C

2 34

17 D

3 34 17

Lời giải Chọn D

Ta có: AC AB2 BC2 5

Kẻ đường cao BH tam giác ABC 12

AB BC BH

AC

  

2

9 16

HA AB

HC  AC 

 

 

,

, 25

d H SA HA

d C SA CA

    ,  36

25

d H SA

 

Vì ABC  SAC BH SAC Kẻ HK S ASAC , SABBKH

   

 

tan ,

3

BH

SAB SAC

HK

   cos  ,  2 34

34

1

SAB SAC

  

      

Câu 40 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SAABCD, SAx Xác định x để hai mặt phẳng SBC SDC tạo với góc 60

A

2

a

x B xa C

2 a

x D xa

Chọn D

Gọi O tâm hình vng ABCD GhcOAC

Vì BDSAC nên BDSC, mà SC OG suy SC BGD Do SBC , SCDGB GD,  60BGO60 BGO 120

SAC OGC

  nên: SA SC

OG OC 2

2

2 a x OG

x a

 

 2 2

xa

x a



 Xét tam giác BGO:

TH1:

2 2

2

2 tan 60

a x a

BO

GO xa

   

2

2 a x a

xa 

   3x x22a2  x a

TH2:

2 2

2

2 tan 30

a x a

BO

GO xa

   

2

3

3

a x a

xa 

   3x3 x22a2

2

6x 18a :vn

  

Câu 41 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi O giao điểm AC BD Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABCD trung điểm H đoạn OA góc SD ABCD; 60 Gọi  góc hai mặt phẳng SCD ABCD Tính tan

A tan 15 

 B tan 30

12 

 C tan 10

3 

 D tan 30

3 



Lời giải Chọn D

x

O B

A D

C S

Ta có SH ABCD suy góc SD mặt phẳng ABCD góc SDH hay 60

SDH

Hạ HK CD suy CDSHK nên góc hai mặt phẳng SCD ABCD góc 

SKH suy SKH

Ta có  

2

2

2 2

2

2

 

      

 

 

a a

DH OH OD a

Tam giác SHD nửa tam giác cạnh SD2DH a 10 suy đường cao

 10 30

2

 

a a

SH

Gọi M trung điểm CD, ta có

2



 OM AD  a

HK

Vậy

30

30

tan

3 3

2

  

a SH

a HK



Câu 42 (VD) Cho tứ diện ABCD Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ABC BCD

A 2

3 B

2

3 C

1

3 D 2

Lời giải

Chọn C

Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác BCD Ta có ABC , BCDAM DM, AMD

2a

M K H

O

D A

B C

S

G M

D C

Gọi cạnh tứ diện ta có 3;

2

AM  GM  DM 



cos

3

GM AMG

AM

 

Câu 43 (VD) (Chu Văn An - Hà Nội - lần - 2019)Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC

vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy ABC, ABa, SA2a Gọi M N, trung điểm SB SC, Cơsin góc hai mặt phẳng AMN ABC

A 1

2 B

2

5 C

5

5 D

1 Lời giải

Chọn C

Ta có: MN BC// (tính chất đường trung bình)  MN//ABC AMN  ABCAx Dễ thấy, BC SAB Ax SAB Ax AB

Ax AM

 

    

 

Vậy góc hai mặt phẳng AMN

ABC MAB Vì tam giác SAB vng, nên MAB  SBA Ta có:

 

2

5 cos cos

5

AB a a

MAB SBA

SB SA AB a

    



Câu 44 (VD) Cho hình chóp S ABC có góc mặt bên đáy 60 ; H hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC Khoảng cách từ H đến SA

7

a

Gọi  góc hai mặt

phẳng SAB SAC Khi đó, tan



bằng:

A

3 B

2

3 C

6

3 D

3

Lời giải

Gọi M trung điểm BC; K I, hình chiếu vng góc H M, lên SA,

 0

ABx x

Ta có: BC AM BC SA

BC SM

 

 

  

, mà IM SASAIBCIB IC, 

Mặt khác: 1 3,

3

x x x

HM  AM   AH  HM 

0

tan 60

6

x x

SH HM  

2 2 2 2

7 1

x a a  HK  AH SH  x  x  x  

3 3

2 7

a a

IM  HK  

Khi đó: tan :

2 2

BM a a

IM



  

Câu 45 (VD) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên a Gọi  P mặt phẳng qua A vng góc với SC Gọi   góc tạo mp P  ABCD Tính tan

A tan

  B tan

2

  C tan

3

  D tan

2

  .

Lờigiải

- Trong mặt phẳng SAC, kẻ AK SC - Trong mặt phẳng SCD, kẻ KH SC - Trong mặt phẳng SBC, kẻ KM SC Khi   P  AHKM

Các tam giác SBC SCD có MK SC HK; SC Suy //

SM SH

HM BD

SB  SD 

Hai mặt phẳng AHKM ABCD có A điểm chung thứ chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến chúng đường thẳng d qua A song song với

BD

Bây ta xác định góc hai mặt phẳng cần tìm

Vì AOBDAOd BD SO DB AK AK d

BD AC

 

   

  

nên góc hai mặt phẳng cần tìm góc  OAKCAK

Ta có SO SD2OD2 a ; 3.2 2 30 5

SO AC a a a

SO AC AK SC AK

SC a

     ;



  15

cos

5 AK CAK

AC

 

Suy tan 12

cos 3





    

Cách

Vì hai mặt phẳng  P ABCD có hai véc tơ pháp tuyến SC 

SO 

nên góc hai mặt phẳng cần tìm góc hai đường thẳng SO SC,

Ta có SO SD2OD2 a nên tan 3

OC a

SO a

Câu 46 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi  góc hai mặt phẳng A BD' 

ABC Tính tan

A

1 tan

2



B

tan C tan

  D tan

2



Lời giải

Chọn B

Ta có A BD'   ABCBD Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình vng nên AOBD Mặt khác AO hình chiếu A O' lên (ABCD) nên theo định lý đường vng góc ta có A O' BD Do góc A BD'  ABClà A OA'

Gọi cạnh hình lập phương a Tam giác A OA' vng A có AA'a, 2

a

AO ,

 '

tan '

2

AA a

A OA

AO a

   Vậytan

Câu 47 (VD) Cho khối chóp S ABC có SAB  ABC , SAC  ABC, SAa,

ABAC  a, BC  2a Tính cosSAC , SBC A

6 B

1

2 C

5

6 D

2

Ta có:    

     

SAB ABC

SA ABC

SAC ABC

 



 



 



Ta có:

2 2

BC AB AC

ABC AB AC

  

  

 

vuông cân A Gọi M trung điểm BC AM BC

Kẻ AH SM H

Mà BC SABC SAMBC  AH AH SBC H Ta lại có: ABSAC

Do đó: SAC , SBCAH AB, HAB Ta có:

2 2

2

2 2

BC AM SA a a a

AM a AH

AM SA a a

     

 

 6

cos :

3 6

AH a

HAB a

AB

    

Vậy cos , 

SAC SBC 

Câu 48 (VD) Cho hình chóp S ABCD có SAABCD, ABCD hình thang vuông A D,

AB CD, ADCDa, SAx Tìm giá trị x để số đo góc hai mặt phẳng SAB

SBC 60

A xa B

2

a

x C xa D xa

Dựng CE ABCESAB ADCE hình vng  AE BE  ECa

Dựng EI SBSBCEISBCI Vậy góc SAB SBC góc CIE 60 Xét EIC vng E có cot 60

3

a

IEEC   ;

2

2 2

3

a a

IB BE EI  a  

Vì SAB đồng dạng với EIB nên

2

3

2

3

a a

SA AB AB EI

SA a

EI  IB   IB  a 

Vậy xa

Câu 49 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng

ABCD SAa, góc hai mặt phẳng SAD SBC

A 30 B 90 C 0 D 45

Lời giải

Chọn D

Ta có ABSAD

Gọi E hình chiếu A lên SB, dễ thấy AESBC

Vậy góc SAD SBClà góc ABvàAE

Ta có tam giác SAB vuông cân A suy  

45 45

SBA BAE  góc giữa ABvàAE

Vậy góc hai mặt phẳng SAD SBC 

45

Câu 50 (VD) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a, cạnh đáy a Gọi  góc hai mặt bên hình chóp Hãy tính cos

A cos

15

  B cos

2

  C cos

15

  D cos

2

 

Lời giải

Chọn C

Gọi M N, chân đường cao hạ từ đỉnh B S, tam giác SBC.H hình chiếu S mặt phẳng ABC

Ta có: ABSHC AB SC

Mặt khác SC  BM SC ABMSC AM

Vậy

     

    ;   ;  ,

SAC SBC SC

AM SAC

SAC SBC AM BM

BM SBC

SC AM SC BM

              

Ta tính góc AMB Xét tam giác AMB

Tam giác SBC cân S nên N trung điểm BC +)

2

2 2 15

4

4

a a

SN  SC NC  a  

+) 15 15

2.2

SN BC a a a

BM

SC a

  

+) 2 2

AM  AC MC  BC MC BM

Ta có 

2

2

2 2

2 15 15 16 16 cos 15

2 15

2 16

a a

a

AM BM AB

AMB

a MA MB

 

 

    , suy góc AMB nhọn

Vậy   ;   ;   cos 15

SAC SBC AM BM AMB

     

Câu 51 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SOABCD Cho ABSBa,

3 a

SO Số đo góc hai mặt phẳng SAB SAD  với

A  90 B  45 C  60 D  30

Chọn C

Trong tam giác SOA, từ điểm O kẻ OE SA  1

Do

 

 

BO AC

BO SO BO SAC BO SA

SO AC O

  

    



  



 2 Từ  1  2 suy SABOESABE  3 Tương tự, ta có SADE  4

Từ  3  4 suy góc hai mặt phẳng SAB SAD góc hai đường thẳng BE DE

Tam giác SBA cân B nên E trung điểm SA Trong tam giác vuông SOA, ta có

2

2 2

3 3

a a a

OA SA SO  a   

Trong tam giác vng AOB, ta có

2

2 2

3

a a

OB AB OA  a  

Trong tam giác vng SOA, ta có 12 12 12 32 32 92

2

a OE

OE OA SO  a  a  a  

Trong tam giác vuông BOE, ta có   ο  ο

6

tan 60 120

2 a OB

BEO BEO BED

OE a

      

Vậy góc hai mặt phẳng SAB SAD 60

Câu 52 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S ABC

3

3 a

Gọi  góc mp SCD  mp ABCD  Khi tan

A

4 B C

3

3 D

3

Ta có

2

2

ABC ABCD

a

S  S  Mà

3

1

3

S ABC ABC

a

V  SA S  SAa

Có CD SA CD SAD CD SD

CD AD

 



   

   

Vì ABCD  SCDCD Mà CD SD

CD AD

 

 

      

SCD ; ABCD  SD AD;  SAD 

   

3 tan SA a

AD a



   

Câu 53 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D     Tính cosin góc hai mặt phẳng CB D 

ABCD

A

3 B

2

2 C

3

2 D

6

Lời giải

Chọn A

Do ABCD / / A B C D    nên góc mặt phẳng CB D  ABCD góc mặt phẳng CB D  A B C D   

Gọi OA C B D , ta dễ dàng chứng minh B D C OC B D CO, nên góc mặt phẳng CB D  A B C D    góc COvà C O , góc C OC

O

A B

D

D' C

C' B'

Đặt CC 1 ta có 2

C O  ,

2 CO

  , cos

3 C O C OC

CO  

  

Câu 54 (VD) Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng BA C và DA C bằng

A 60 B 90 C 120 D 30

Lời giải Chọn A

Kẻ DEA C E 1

Vì BD AC BD AA C BD A C  2

BD AA

 

      

   

Từ  1  2 A C BDEA C BE

   

 ,  , 

BA C DA C A C

DE A C BA C DA C DE BE

BE A C

   

  

  

      

  

  

 

 



Tính BED

2;

3 DC A D

BD a BE DE a

A C



   



 2 

cos 120

2

BE DE BD

BED BED

BE DE

  

    

Vậy BA C  , DA C 60

 

Câu 55 (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, có AB BC a AD, 2 ,a SAa Góc hai mặt phẳng SAD

SCD

A 75 B 30 C 45 D 60

Lời giải

Chọn D

C'

C A

B

D D'

B' A'

E trung điểm AD Do AEEDa, 2

6 SD  SA  AD a Trong mặt phẳng (SAD), từ E kẻ EFSD (FSD)

Theo giả thiết: SA(ABCD)SAAB Ta lại có: AD AB nên AB(SAD)

ABCE là hình vng AB EC EC(SAD) EC EF

EC SD

   

  Vì EC SD

EF SD

  

 

nên SDFC Do góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) EFC

EF ED a a

SAD EFD EF a

SA SD a

    

 ∽

Xét tam giác EFC vuông E



3

tan

a

EC a

EFC EF

   EFC60

Vậy góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) 60

Câu 56 (VD) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai tia Bx Dy, vng góc với mặt phẳng ABCD

và chiều lấy hai điểm M, N cho ;

a

BM  DN 2a Tính góc  hai mặt phẳng

AMN CMN

A 30 B  60 C 45 D 90

Lời giải Chọn D

Ta có: B0; 0; 0, A0; ;0a , C a ; 0; 0, 0; 0; a M 

 , N a a a ; ;  0; ;

4 a AM  a 

 



, AN 0; 0; 2a,

2

2

, ; ;

4

a

AM AN  a a 

    

 

 

 

vectơ pháp tuyến mpAMN

; 0; a CM   a 

 



, CN0; ; 2a a,

2

2

, ; ;

4

a

CM CN  a a 

    

 

 

 

vectơ pháp tuyến mpCMN

Do đó:

4 4

4

4 4

2

cos

4

16 16

a a

a

a a

a a a a



 

 

   

90



  

Cách 2:

Mà AMN  CMNMN nên góc  hai mặt phẳng AMN CMN góc hai đường thẳng HA HC,

Ta có: 2 17

4 a

MC BC MB  , NC CD2ND2 a 5,

2 2 49

2

16

a a

MN  ME EN  a  

 2 2

cos

85

MC NC MN

MCN

MC NC

 

  sin

85

MCN

 



1

.sin

2

MCN

a

S MC NC MCN

  

Từ đó: 2SMCN

CH a AH

MN

   Do AH2CH2  AC2 nên tam giác AHC vng H Vậy góc hai đường thẳng HA HC, 90

Câu 57 (VD) Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy a chiều cao a

Số đo góc mặt bên mặt đáy

A 90 B 30 C 45 D 60

Lời giải

Chọn D

Xét hình chóp tứ giác S ABCD có ABCD hình vng cạnh a I tâm hình vng

ABCD Khi SI ABCD nên chiều cao hình chóp a SI  Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB

VìIM đường trung bình tam giác ABD suy IM AD// Mặt khác AB AD (do

ABCD hình vng) Do IM  AB

S ABCD hình chóp tứ giác nên tam giác SAB cân S SM AB

Ta có: SAB  ABCD AB; SM SAB; SMAB; IM ABCD; IM  AB nên   

 SAB , ABCD SM IM, SMI

Xét tam giác SMI vuông I, ta có: tan 3

SI a SMI

MI a

   Suy SMI60 Vậy góc mặt bên mặt đáy 60

M

I C

A D

B

Câu 58 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi  góc hai mặt phẳng

ABCDvà SCD Tính tan

A tan

 B tan

3

  C tan

3

  D tan

4

 

Lời giải

Chọn A

Kẻ trung tuyến SH ABSH ABCD

Gọi K trung điểm CD HK CD Ta có CDHK CD, SH CDSK

Vậy góc hai mặt phẳng ABCDvà SCDlà SKH

Xét tam giác SHK vng H có tan 3

2

SH a

HK a

   (SH a 3, HKAD2a) Câu 59 (VD) Khối lăng trụ đứng ABC A B C   có diện tích tam giác ABC Gọi M N P, , thuộc cạnh A A , B B , C C  , diện tích tam giác MNP 4 Tính góc hai mặt phẳng ABC

vàMNP

A 30 B 120 C 90 D 45

Lời giải

Từ giả thiết suy tam giác ABC hình chiếu tam giác MNP lên mặt phẳng ABC Gọi α góc hai mặt phẳng ABC MNP

Theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có c

os 3

4

α ABC α

MNP S S  

 

   

Câu 60 (VD) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh 2a Gọi là góc hai mặt phẳng SCDvà ABCD Mệnh đề đúng?

A tan B tan C tan 2 D tan 2



Lời giải Chọn A

Gọi M trung điểm CD Ta có:

   

 

 



SCD ABCD CD

SM CD,SM SCD SMO

OM CD,OM ABCD



 

 

   

 

 



Tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a nên BD2a 2ODa

OM a,    

2

2

2 2

tan SO a 2

OM a

  

Câu 61 (VD) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB2a, ADDCa SAABCD Tang góc hai mặt phẳng SBC ABCD

A

2 B

1

3 C D

Lời giải

Chọn A

SBC  ABCDBC

Dễ chứng minh được: ACBC BCSACBC SC SBC , ABCDSCA



tan

2

SA a

SCA

AC a

  

Câu 62 (VD) Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a chiều cao a Gọi  góc mặt bên đáy hình chóp Tính tan

A tan6 B tan 2 C tan3 D tan2

Lời giải Chọn A

Gọi I trung điểm BC O tâm đáy

( )

SO ABC

  ABC SBC, AI SI, SIA (vìSOIvng O)

B

C A

Vì đáy tam giác cạnh a nên 1 3

3

a a

OI  AI  

Do đó: tan 6

3

SO a

OI a

  

Câu 63 (VD) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB2a, ADDCa, SAa SAABCD Tan góc hai mặt phẳng SBC ABCD là

A B

2 C

1

3 D

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Gọi I trung điểm AB suy

AI  ABa Mặt khác ABCD hình thang vng ADDCa, nên ADCI hình vng suy CIa

Vậy tam giác ACB có đường trung tuyến

CI  AB CIAB, nên ACB vuông cân C, hay ACCB (1)

Mà theo giả thiết SAABCDSACB (2) Từ (1) (2) suy CBSC

Do góc hai mặt phẳng SBC ABCDlà góc hai đường thẳng hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến, tức góc SCA

Ta có ACa Vậy tan

2

a a

  

Cách 2:

Gọi I trung điểm AB suy

Suy ACCB (1)

Mà SAABCDSACB (2) Từ (1) (2) suy SCCB

Vậy góc hai mặt phẳng SBC ABCD góc hai đường thẳng hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến, tức góc SCA

Do tan

2

a a

  

Câu 64 (VD) Cho hình chóp SABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vng C có AB2a,

 30

CAB  Tính cosin góc hai mặt phẳng SAB , SBC

A

9 . B

7

14 C

3

14 D

7

Lời giải

Chọn D

 

     

SA ABC

SAB ABC

SA SAB

 

 

  

Trong mpSAB, kẻ EK SB  2

Từ  1  2  SBCK SAB , SBCEKC

2

.cos cos 60 , cos 30 3,

BCAB B a  a AC  AB  a SC SA AC a

2

2

14

4

SC CB CK

SC CB

 

 ,

3 sin sin 60

2

a

CEBC Ba   , 2

4

a EK CK CE 



cos

7

EK EKC

CK

 

Câu 65 (VD) Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với

   

AC AD BC BD a, CD2x Tính giá trị x cho hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với

A

2

a

B

3

a

C

3 a

D

3 a

Lời giải Chọn C

Gọi M , N trung điểm CD, AB

Ta có: AC ADBCBDa nên ACD cân A, BCD cân B, CAB cân C, DAB cân D Suy AM BM , CN DN

Góc ACD BCD góc AMB90 Tính: BM AM  AD2MD2  a2x2 Xét ABM vng cân M có:

2

2



 AM  a x

MN  1

Góc ABC ABD góc CN DN Khi ABC  ABD CN DN CND90 Xét CDN vng cân N có:

2 CD 

MN x  2

Từ  1  2 suy ra:

2

3



  

a x a

x x

N

M

C B

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Câu 66 (VDC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    có AB2a, AD3a, AA 4a Gọi là góc hai mặt phẳng AB D và A C D   Giá trị cosbằng

A 29

61 B

27

34 C

2

2 D

137 169 Lời giải

Chọn A

Gọi E,E' tâm hình chữ nhật ADD A , A B C D    Khi đó: EEDA C   AB D 

Dựng A H , D F đường cao hai tam giác DA C , AB D  Dễ thấy: A H ,D F ,EE đồng qui Kvà A K EE

D K EE

   



   

Hình chữ nhật DD C C  có: DC DD2D C 2 2 5a Hình chữ nhật ADD A có: A D  AD2AA2 5a Hình chữ nhật A B C D   có: A C  A B 2 B C 2  13a Suy rA SDA C   61a2

2S DA C A H

DC

   

 



305 a

 305

10

A K a

 

Hoàn toàn tương tự ta có: 305 10

D K  a

Trong tam giác A D K  có:

2 2

29 cos

2 61

A K D K A D

x

A K D K

     

  

 

29 cos cos

61

x



  

cạnh SC Gọi  góc hai mặt phẳng ABC AGK Tính cos, biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng KBC

2

a

A cos

2

  B cos

2

  C cos

2

 D cos

3

 

Lời giải Chọn D

Tam giác ABC vuông cân B mà AC a suy ABBC a Do BC BA, BCSA (vì SAABC) nên BCSAB

Gọi H hình chiếu điểm A lên SB, AH SB, AH BC (vì BCSAB) nên

 

AH SAB hay  , 

a AH d A SBC 

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH, ta được:

2 2 2 2

1 1 1 1

AH SA  AB  SA  AH  AB a SAa nên tam giác SAB vng cân A trọng tâm G thuộc AH

Từ AHSBCAHSC AKSC nên SCAHK hay SCAGK

Vì SCAGK SAABC nên góc hai mặt phẳng AGK ABC góc hai đường thẳng SC SA hay  CSA

Theo ta có SC SA2AC2 a suy cos 3

SA a

AC a

   

Câu 68 (VDC) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AB2 AA 2 Gọi M , N , P

A 6 13

65 B

13

65 C

17 13

65 D

18 13 65

Lời giải

Chọn B

Gọi I, Q trung điểm MN, B C  Gọi OPIAQ

Khi

   

   

//

,

O AB C MNP

B C MN

B C AB C MN MNP

 

  

   

      

nên giao tuyến AB C  MNP đường

thẳng d qua O song song MN, B C 

Tam giác AB C  cân A nên AQB C AQd Tam giác PMN cân P nên PI MNPI d

Do góc tạo hai mặt phẳng AB C  MNP góc AQ PI Ta có AP3, AQ 13,

2

IP

Vì OAP∽OQI AP

IQ  nên

2 13

3

OA AQ ;

3

OP IP

  

 

cos AB C  , MNP cosAQ PI,   cosAOP

2 2

2

OA OP AP

OA OP

 

 13

65



Câu 69 (VDC) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SAvng góc với đáy, SABCavà  o

60 BAC Gọi Hvà Klần lượt hình chiếu vng góc Alên SBvà SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng AHKvà ABC

C

B A

C

B A

M

N

P Q

O

A B

C

B A

P M

A 21

3 B

21

7 C

3

2 D

3 Lời giải

Chọn B

Ta có SAABC 1

Gọi Ilà tâm đường trịn ngoại tiếp ABC, kẻ đường kính ADta có BDSABvà

 

CD SAC

Từ suy AH SBDvà AK SCD Do SDAHK 2 Từ  1  2 suy ABC ; AHKSA SD; DSA

Trong ABCcó sin

BC R

A  hay sin 60o

a

AD R

3

a AD

 

Trong ASDcó 2 21 a

SD SA AD 

Vậy cosABC ; AHK cosDSA SA

SD

 21

7



Câu 70 (VDC) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A với ABa, AC2a Mặt phẳng SBC vng góc với mặt phẳng ABC Hai mặt phẳng SAB, SAC tạo với mặt phẳng

ABC góc 60 Gọi  góc hai mặt phẳng SAB SBC Giá trị tan

A 51

17 B

51

3 C

17

3 D

3 17 17 Lời giải

Chọn B

60o

a a

I S

A

B

C K

H

Xác định chân đường cao H kẻ từ S hình chóp S ABC :

Trong SBC, kẻ SH BC H Vì SBC  ABC nên SH ABC

Trong ABC, kẻ HD AB D HE AC E Vì SH ABC nên SD AB

SEAC

   

 

,

SAB ABC SDH

  , SAC , ABCSEH Khi đó, theo giả thiết SDHSEH60

SHD SHE HD HE

     

H

 chân đường phân giác kẻ từ A ABC Tính SH:

Ta có: sin 45 sin 45

2 2

ABC AHB AHC

S S S  AB AC AB AH   AC AH 

2 2

2

2

a a

a AH AH

   

Mặt khác, ADHE hình vng nên 2

2

AH a

HDHE 

2 tan 60

3 a

SH HD

   

CÁCH 1:

Trong ABC, kẻ AKBC K Vì ABC  SBC nên AK SBC Trong SAB, kẻ AI SB I Vì AK SBC nên KI SB

AIK



  Tính tan :

ABC

 vng A có 2

5

AB AC a

BC AB AC a AK

BC

     

Vì AH phân giác BAC nên 1

2

HB AB HB

HC  AC   HBHC  

1

3 3

HB BC a

HB BC

    

SHB

 vuông H có 2 17

3 a

SB SH HB 

Mặt khác, 17

cos 60 17

HD a SD AB a

SD AI

SB

    



AIK

 vuông K có 2 255 tan 51

85

a AK

IK AI AK AIK

IK

     

Vậy tan 51

 

CÁCH 2:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình trên, với: A0; 0; 0, B a ; 0; 0, C0; ; 0a , 2

; ;

3 3

a a a

S 

 

Khi đó, ;2 ;2

3 3

a a a

AS   

 



, ABa; 0;0, ;2 ;2

3 3

a a a

BS   

 



, BC  a a; ; 0 Đặt n1nSAB , n 2 nSBC Ta có:

 2

1 , 0; 3;

n  AS AB a a

    , n2 3 BS BC,   4a2 3; 2 a2 3; 0

1 12

n n a

   , n1 4a2



, n2 2a2 15

Khi đó,

4

2 2

12 15

cos

10 15

n n a

a a

n n

   

 

 

Mà tan2 12 tan2 17 tan 51

cos 3

  



     

Vậy tan 51

 

Câu 71 (VDC) Cho S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính

AB a ; SAa vng góc với mặt phẳng ABCD Cơsin góc hai mặt phẳng SAD

và SBC bằng:

A

2 B

2

4 C

2

3 D

2 Lời giải

Chọn B

Gọi E ADBC , dễ thấy D trung điểm AE ; AE 2a ; SE SA2 AE2 a

SAD  SBCSE

Ta có BD AD ( tính chất lục giác đều) ; mà BDSA nên BD SE (1) Gọi F hình chiếu vng góc D lên SE , DF SE(2)

Từ (1); (2)  BF SE

Vậy SAD ; SBCDF BF; 

2

3

DB AB AD a SAE

 đồng dạng với DFE

7

DF DE DE a

DF SA

SA SE SE

    

7

DE AE a

EF

SE

  ; 2

7

a

  

2

2

2 2

3

3

7

cos

2

2

7

a a

a

BF DF BD

BFD

BF DF a a

   

 

   

     

  

   

  

cos ; cos ; cos

4

SAD SBC  DF BF  BFD

Cách

Có ABCD nửa lục giác cạnh a, nên ACBDSAa Có BD AB, BD SABDSAB

Có CD AC, CDSACDSAC SAC cân A, gọi H trung điểm SC  AH  SC, mà AH CD (do CDSAC)

 

AH  SCD , mà BDSAB

Suy góc  hai mặt phẳng SAB SCD góc tạo hai đường thẳng BD

AH

   

cos AH BD,  cos  AH BD,



 

AH BD AH BD ,

6

2

 SC a

AH

Có 1 

2

 

    

AH BD AS AC BD

2 

  AC BD

2

1

.cos120

2

 AC BD    a

 

2

4

cos ,

4

3 

  

a AH BD

a

Vậy cos

 

Cách

Có ABCD nửa lục giác cạnh a, nên ACBDSAa Có BD AB, BD SABDSAB

gọi H trung điểm SC  AH  SC, mà AH CD (do CDSAC)

 

AH  SCD , mà BDSAB

Suy góc  hai mặt phẳng SAB SCD góc tạo hai đường thẳng BD

AH

Gọi  I ACBD, vẽ IK//AH , KSC, có AH SCD

 

IK  SCD

Có BD AH, IK BD, 

DIK vuông K có CosDIK IK ID Có ID  AD 2

IB BC

2

3

ID BD a

Có

3

 

IK IC

AH AC

6

3

IK  AH a Suy CosDIK IK

ID

6

6

 a 

a

Vậy cos

 

-HẾT -

Câu 72 (VDC) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết

2 , ,

AD a ABBCa SA a SA vng góc với đáy, gọi I trung điểm AD, M điểm thuộc cạnh SD cho SM 2MD Điểm N thuộc cạnh CD cho tam giác MNI có diện tích

2

a

Tính góc hai mặt phẳng (MNI) (SAC)

A 300 B 450 C 600 D 700