Thể tích khối đa diện tích hợp

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC HỢP (VDC) I. Thể tích khối đa diện được phân chia :.. +) Khối chóp tam giác :..[r]

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC HỢP (VDC) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Thể tích khối đa diện

- Thể tích khối chóp : d V  S h - Thể tích khối lăng trụ : V S hd

- Thể tích khối lập phương : V a3, thể tích khối hộp chữ nhật : V a b c . 2 Thể tích khối đa diện phân chia :

+) Khối chóp tam giác : S ABC

S A B C

V SA SB SC

V    SA SB SC



  

+) Khối chóp tứ giác có đáy hình hành : ' ' ' '

1 1 ' ' ' '

, , , ,

4

S A B C D

S ABCD

V abcd SA SB SC SD

a b c d

V a b c d SA SB SC SD

 

         

 

1 1

ac bd

C'

B' A'

C

B A

+) Thể tích khối lăng trụ tam giác : ,

1

ABC MNP

ABC A B C

V AM BN CP

V    AA BB CC

 

    

  

 

+) Khối hộp : ,

1

4

ABCD MNPQ

ABCD A B C D

V AM BN CP DQ AM CP

V     AA BB CC DD AA CC

   

        

     

   

AM CP BN DQ

AA CC  BBDD

D'

D C'

B'

A'

C B

A S

P

N

M

C' B'

A'

C B

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Khối đa diện cắt từ khối chóp

 Khối chóp cụt

 Khối hình hộp khác

 Khối lăng trụ khác

 Khối da diện cắt từ khối lăng trụ

VÍ DỤ: (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình hộp ABCD A B C D     có chiều cao diện tích đáy Gọi M N P, , Q tâm mặt bên ABB A BCC B CDD C ,  ,  

DAA D  Thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C D M N P, , , , , , Q bằng

A. 27 B. 30 C.18 D. 36

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích khối đa diện

2 HƯỚNG GIẢI:

B1:Tính thể tích khối B EMN theo thể tích khối hộp với E trung điểm cạnh BB

B2:Hoàn toàn tương tự, tính thể tích khối nhỏ VC NFP. ;VD GPQ. ;VA MHQ.

B3: Thể tích khối đa diện cần tìm thể tích khối EFGH ABCD trừ thể tích khối nhỏ

nhau VB EMN. ;VC NFP. ;VD GPQ. ;VA MHQ.

Từđó, ta giải tốn cụ thểnhư sau:

Lờigiải Chọn B

Q

D'

D

P N

M

C' B'

A'

C B

Gọi E F G H, , , trung điểm BB CC DD, ,  AA Ta có:

EMNA B C  

3

1 1 1

2 8 24

B EMN

B EMN B A B C ABCD A B C D ABCD A B C D B A B C

V

V V V V

V              

  

      

Hoàn toàn tương tự,

1 48

C NFP D GPQ A MHQ ABCD A B C D

V V V  V    

Thể tích khối đa diện cần tìm thể tích khối EFGH ABCD trừ thể tích khối nhỏ

bằng VB EMN ;VC NFP ;VD GPQ ;VA MHQ

Suy

4

2 48 12

ABCD A B C D

MNPQABCD ABCD A B C D ABCD A B C D V

V       V     V    

Mà VABCD A B C D.    8.972 nên 72 30 12

MNPQABCD

V   (đvtt)

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D     có diện tích đáy , chiều cao Gọi Q M N P I, , , ,

là điểm thỏa mãn , ,

3

AQ AB DM  DA

    1

CN CD, ,

3

BP BC B I   B D 

   

Thể

tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm Q M N P I, , , ,

A 27

10 B.

10

27 C.

4

3 D.

10 Lời giải

Mặt phẳng MNPQ cắt hình hộp ABCDA B C D   theo thiết diện hình bình hành EFGH ta có dA B C D' ' ' ' ; E FGH2dE FGH ; ABCD

Ta có ' ' ' '.

3 A B C D E FGH O

V  V

1 2

.sin sin

2 3 9

EQM ABD ABCD

AB AD

S  EQ EM E A S  S 41

9

MNPQ ABCD

S S

   

1 10 10

3 81

I MNPQ ABCD o

V  h S  V 

Câu Cho hình lập phương ′ ′ ′ ′ có cạnh Gọi , trung điểm ′ ′ Mặt phẳng( ) chia hình lập phương thành2 phần Gọi thể tích phần chứa đỉnh thể tích phần cịn lại Tỉ số

A B C D

Lời giải

Chọn D

Gọi = ⋂ , = ⋂ ′, = ⋂ ′, = ′ ′⋂ Khi đó( ) cắt khối lập

phương theo thiết diện ngũ giác

Ta có: = = = = ⇒ = = =

j

I

M

H

N G P

F

Q E

B

C

D A

D'

C' B'

A'

H

E

F

K

N M

C'

D'

B'

D A

B C

Mà trung điểm nên = = ⇒ = hay =

Vì ′ = ′ nên = ⇒ ′= ; = = ⇒ ′ =

Thể tích khối tứ diện là: . = = 1.2 =

Thể tích = . −( . + . ) = − + = ⇒ =

Vậy =

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D    có chiều cao diện tích đáy Gọi

, , , ,

M N P Q Rvà S tâm mặt ABB A BCC B CDD C DAA D ABCD ,  ,  ,  ,

A B C D    Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M N P Q R, , , , S

A. B. 24 C. D.

3

Lời giải

Chọn A

Gọi I J K L, , , trung điểm cạnh AA BB CC DD, , , 

Do tam giác MIQ đồng dạng với tam giác B A D   theo tỉ số

2 nên

1

4 8

MIQ B A D A B C D

S  S     S      Suy 4.9

8

MNPQ IJKL MIQ

S S  S   

Gọi h h1, 2 chiều cao hai hình chóp R MNPQ S MNPQ , h1h2 8 Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M N P Q R, , , , S

 2

1

.8

3 MNPQ

V  h h S  

Phương án nhiễu B: nhầm SMNPQ SIJKL 9

Phương án nhiễu C: sử dụng cơng thức tìm thể tích hình chóp qn chia

Phương án nhiễu D: tính VR MNPQ. , khơng tính VS MNPQ.

Câu Cho lăng trụ ABC A B C   có chiều cao diện tích đáy Gọi M N, hai điểm

A

72

l k

B. 24 C. 72 D.

210 l k

Lời giải

Chọn B

Theo giả thiết BMk BB k. 1 , CNl CC.l0 suy MBB N, CC (như hình vẽ)

Do BM ||ACC A d M ,ANAd B ANA ,  Ta có SANASACA

Có

 

       

1 1

, , ,

3 3

AA MN ANA ACA ACA

V   d M ANA S  d B ANA S   d B ACA S  VA ABC

.9.8 24

 

Phương án nhiễu A: Học sinh khơng biết cách tính, chọn lụi nghĩ đáp số phải có k l,

Phương án nhiễu C: sử dụng cơng thức tìm thể tích hình chóp qn chia

Phương án nhiễu D: Học sinh khơng biết cách tính, chọn lụi nghĩ đáp số phải có k l, ,

nhưng hình tứ diện nên chia

Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có đáy ABCD hình vng cạnh a, AA 3a Gọi M N trung điểm A B  BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương

đã cho thành hai khối đa diện Gọi  H khối đa diện chứa đỉnh A, H khối đa diện cịn

lại Tính tỉ số  

 '

H

H V V A. 37

48 B.

55

41 C.

2

3 D.

Chọn B

Gọi ABDNJ,BB MJ K, AA JM Evà ED A D  I

Suy thiết diện ngũ giác DNKMI

Dễ thấy BJ CD a

B K EA

 

 

   

Ta có: 2

2

BK a

BK B M

BK B K

B K EA a

B K BJ



 



     

 

   

3

1 4

3

1

4

ID a

IA EA

ID IA ID AA

IA a

  



  

 

     

  

   

 

1 1

3 3

EADJ EA IM KBNJ ADJ IA M NBJ

H

V V V  V  EA S  EA S    KB S

1 1 1 1 1 55

4

3 a 2a a 3a 4a 2a a 2a a 48a

   

   

2 3

55 41

.2

48 48

ABCD A B C D

H H

V  V    V a a a  a

Suy ra:  

 

55 41 H

H V

V  

Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C   có đáy tam giác ABCvng cân A, cạnh

6

BCa Góc mặt phẳng AB C và mặt phẳng BCC B bằng 60 Tính thể tích

V khối đa diện AB CA C  

A.

3

a B

3

3

2 a

C

3 a

D

3 3 a

Lời giải

Chọn A

K I

E

J N

M

C'

B'

D'

A

B

D C

Khối đa diện AB CA C  là hình chóp B ACC A  có A B ACC A 

Từ giả thiết tam giác ABCvuông cân A, cạnh BCa 6ta suy AB ACa Gọi M trung điểm BC, suy AM BCvà

2 a AM 

Ta có AM BC AM BCC B  AM B C

AM BB

 

  

   



  

(1)

Gọi Hlà hình chiếu vng góc M lên B C , suy MH B C (2)

Từ (1) (2) ta suy B C AMH Từ suy góc mặt phẳng AB C và mặt phẳng BCC B là góc AHvà MH Mà tam giác AMHvuông Hnên AHM 60

6

.cot 60

2

a a

MH AM

    

Tam giác B BC đồng dạng với tam giác MHCnên suy 

2 sin

6

2 a MH HCM

MC a

  



 

2

2

1

1 tan tan

1 2 2

1 sin 1

3

MCH MCH

MCH

      

 



tan

2

BB BC MCH a a

   

3

1

3 3

3

AB CA C B ACC A

V    V    B A AC AA   a a a a

    

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D     có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a BAC60 Gọi I, J tâm mặt bên ABB A CDD C ,   Biết

2 a

AI  , AA 2a góc

giữa hai mặt phẳng ABB A  , A B C D    60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ

A.

3 3

64 a

B.

3 48

a

C.

3 32

a

D.

3 192

a

Lời giải

Chọn C

Ta có  

2 2

2 2 2

2 3

2

AA AB A B

AI      A B  AA AB  AI  a  A B a

Do A B 2AB2  AA2 nên tam giác A AB vuông B

2 A AB

a S 

 

Tam giác ABCđều cạnh a nên

2 ABC

a

S 

Theo đề góc hai mặt phẳng ABB A  , A B C D    60, nên suy

3

2 sin 60

3

A AB ABC A ABC

S S a

V

AB 

  



 

    

1 1 1

; ;

3 2 4 32

AOIJ IAJ B AD B ABD A ABC

a V  d O IAJ S  d B B AD S   V   V   Bổ sung: Cơng thức tính nhanh thể tích tứ diện theo góc hai mặt phẳng

Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ABC S1, diện tích tam giác BCD S2và góc

giữa hai mặt phẳng (ABC) (DBC)  Khi ta có: 2.sin ABCD

S S V

BC 



Chứng minh: Gọi H hình chiếu A lên (BCD), kẻ HI BC I AIBC

   

 ABC ; DBC AI HI; AIH ; AH AIsin

2

2 sin

1 1

sin sin

3 3

ABC

ABCD DBC

S S S

V AH S AI S S

BC BC



 

   

Câu (THPTQG 2019-MĐ103-Câu 49) Cho lăng trụ ABC A B C   có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M N P, , tâm mặt bên ABB A ACC A BCC B ,  ,   Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,

A. B. 10 C. D. 12

Lời giải

O

J I

D'

D A

B C

C' B'

A'

φ

D B

C A

H

Chọn A

Gọi DEF thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng MNP

Dễ chứng minh DEF / / ABCvà D E F, , trung điểm đoạn

thẳng AA BB CC, , suy

12

ABC DEF ABC A B C

V  V    

Ta có VABCPNM VABC DEF VADMN VBMPEVCPMF

Mặt khác . .

12

ADMN BMPE CPMF ABC DEF ABCPNM ABC DEF

V V V  V V  V 

Câu Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác cạnh a AA 2a.Gọi ,

M N trung điểm củaAA BB,  Glà trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng

MNG cắt BC CA, E F, Thể tích khối đa diện có đỉnh điểm , , , , ,

A M E B N F A

3

3

a

B.

3

2

9

a

C

3

3 27

a

D.

3

2

27

a

Lời giải

Chọn D

F

E D

P N

M

C' B'

A'

C

Gọi P trung điểm CC K điểm đồng quy ba đường thẳng CC ME NF, , , Glà trọng tâm tam giác ABC nên CK CF CK 2NB 2a

NB  FB    

Theo giả thiết

2

3

2

4

ABC A B C

a a

V     a 

3

3

ABC MNP a V

 

Khối chóp K MNP tích

2

1 3

.3

3 4

K MNP MNP

a a

V  KP S  a  VABC MNP. Vậy thể tích V khối đa diện có đỉnh điểm A M E B N F, , , , , thể tích khối

chóp K CEF

2

3

2

3

1 3

.2

3 27

K CEF CEF

a

a

V V KC S a

 

 

 

   

Câu 10 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình vng cạnh ,a AA' A D' , hình chiếu

vng góc A' thuộc hình vng ABCD, khoảng cách hai đường thẳng CD AB'

bằng

10

a

Tính thể tích khối chóp A MNP' M N P, , trung điểm cạnh

, ', ' CD CC DD A.

12a B.

a C.

2a D.

3a

Lời giải

Chọn B

*) Gọi H hình chiếu A' lên mặt phẳng ABCD; I K, trung điểm ,

AD BCvà O tâm hình vng ABCD

Ta có A H'  AD A K, '  AD (Do A H' ABCD A A'  A D' ) nên HK  AD

Mà OK  AD nên suy ba điểm H O K, , thẳng hàng theo giải thiết ta H thuộc đoạn IK

Theo giả thiết H thuộc hình vng ABCD nên H trùng K H trùng I

*) Kẻ HF  AA', với F thuộc đoạn A A' Dễ thấy:

2 BC

HA a ABA AH'  ABHF nên

 ' '

HF  ABB A d H ,ABB A' 'HF

Ta có d CD AB , 'd CD ABB A , ' '(do CD//ABB A' ')

 

 , ' '  d C ABB A

 DA.d H ,ABB A' ' DH

 2HF Nên

10

a

HF

*) Xét tam giác AA H' có 12 2 2

' HF  AH  A H

2 2

1 1

'

A H HF AH

   102 12 12

9a a 9a

   A H' 3 a

*) Ta có VABCD A B CC D ' ' ' ' A H S' ABCD 3 2a a 12a3

Lại có VABCD A B CC D ' ' ' ' d A ',CDD C' ' SCDD C' '

 

 

4.d A', CDD C' ' SMNP

 (do SCDD C' ' 4SMNP) 12.1  ', ' '  12 '

3d A CDD C SMNP VA MNP

 

Từ suy 12a3 12VA'MNPVA MNP' a3

Trường hợp 2: H  I, tương tự trường hợp 1, kết

'

A MNP

V a

Câu 11 Chokhối chóp tứgiác có tất cạnh , tâm đáy Gọi mặt phẳng qua , song song với cách khoảng Mặt phẳng

H≡K

I

P

N

M O

D'

C' B'

D

B

A

C A'

F

H≡I

P N

M O

K

D'

C' B'

D

B

A

C A'

F

S ABCD a O  P

S BD A 10

10 a

chia khối chóp thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh tích

khối đa diện cịn lại tích Biết mặt phẳng cắt đoạn Tỉ số

bằng:

A B. C. D

Lời giải Chọn C

Ta có

Đáy hình vng , từđây suy

Mà

Mặt khác , suy

Gọi hình chiếu vng góc

Ta có (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông )

Đặt ,

(áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông )

Dễ thấy tam giác vuông đồng dạng (chung góc )

(do )

S ABCD A

1

V V2  P OC I

2 V V

5

 

SO ABCD SOBD

ABCD ACBD BDSAC

 P //BD   P  SAC

 P ACI   P  SACSI

H A SI

 

AH P

   AH d A P ,  10 10

a 

2

AC

AO

2

a



2

a SO

  SOA

AIx 2

2 a

AO AI AC x a

 

    

 

 

 

2

a OI x

  

2

2

SI a x ax

    SOI

SOI AHI OIH

AH AI

SO SI

  AI AH SI

SO

 

2 10

10

2 a

a x ax x

a

 

   4x2 9a 2x9a2 0

3

2

3

4 a x

a x

    

   

3

4

a x

  2

2

a

Dễ thấy

Từ kẻđường thẳng song song với cắt ,

đồng dạng với theo tỉ số

Vậy

Khi

Suy

Vậy

Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC A B C   có tất cạnh Gọi E, Flần lượt trung điểm AAvà BB; đường thẳng CEcắt đường thẳng C A tại E, đường thẳng CFcắt đường thẳng

'

C B F Thể tích khối đa diện EFA B E F   bằng A.

6 B.

3

2 C.

3

3 D.

3 12 Lời giải

Chọn A

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   là

3

.1

4

ABC A B C ABC

V   S AA 

Gọi M trung điểm AB CM ABB A và

2

CM  Do đó, thể tích khối chóp

C ABFElà

1

C ABFE C ABFE

V  S CH 1.1 .1 3

3 2 12

 

Thể tích khối đa diện A B C EFC  

A B C EFC ABC A B C C ABFE V    V   V

3 3

4 12

  

Do Alà trung điểm C E nên d E ,BCC B '2d A ,BCC B ' 3   a AI

  CI ACAI

4 a  CI CO

I BD BC CD M N

CM CB

  CN

CD  MN BD  CI

CO CMN CBD

1 2 1 CMN CBD S S        CMN CBD S S

 

4 ABCD

S



8SABCD 

2 S CMN

V V

3SO SCMN

 .1

3SO8SABCD

 .

8VS ABCD 

1

7

S ABCD S ABCD

V V V  V

'

CC F F B F FB C C

S  S  S   SFBC SFB C C  SBCC B  1

Thể tích khối chóp E CC F  là

 

 

1

, '

3 E CC F CC F

V     S  d E BCC B

1

.1

3

 

Thể tích khối đa diện EFA B E F   bằng

EFA B E F E CC F A B C EFC V     V   V   

3 3

3 6

  

Câu 13 Cho hình hộp ABCD A B C D     có chiều cao 6, diện tích đáy Gọi M trung

điểm AB Mặt phẳng A C M   cắt BC N Tính thể tích khối đa diện có đỉnh

, , , , D M N A C 

A.10 B.18 C.12 D. 24

Lời giải Chọn B

Trong mp ABB A   gọi I BBA M'

Trong mp BCC B   gọi N BCIC'

Gọi S h, diện tích đáy chiều cao khối hộp ABCD A B C D    

Ta có . 1 .2

3

I A B C

V    S h S h

1 1

3 24

I BMN

V  S h S h

Suy 1 ' 1 7

3 24 24 24

BMN B A C

V V   Sh Sh Sh V

     

Ta có 2 . 1

3 6

D D A C

V V     S h S h V ;

3

1 1

3 12

A ADM

V V   S h V ;

1 1

3 12

C DCN

V V   S h V

Do 1 2 3 4 1 18

24 12 12 24

DMNC A

V   V V V V V V V V  V  V  V  N

A

B

D

C

D'

A'

C'

B' I

Câu 14 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình bình hành Gọi Elà điểm đối xứng với

Cqua Bvà Flà điểm thỏa mãn: SF  2.BF Mặt phẳng DEFchia khối chóp

.

S ABCDthành khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh Scó thể tích V1, khối đa diện

cịn lại tích V2(tham khảo hình vẽ) Tính tỉ số

V V

A 3

5 B

1

5 C

7

5 D

12 7

Lời giải Chọn C

Gọi Glà giao điểm EDvà AB, Hlà giao điểm EF SC

Vì Blà trung điểm ECvà SF  2.BFnên Flà trọng tâm SECsuy Hlà trung

điểm SC, từ suy . 1 .

2

A HCD A SCD

V  V 1 .

4VS ABCD



Ta có EC2ADvà EC / / ADdo VE HCD. 2VA HCD. 1 .

2VS ABCD



.H

E FBG

E CD

V EB EG EF

V  EC ED EH

1 2



6

 . 1 .H

6

E FBG E CD

V V

  1 .

12VS ABCD



2 E HCD E.FBG

V V V 1 . 1 .

2VS ABCD 12VS ABCD

  5 .

12VS ABCD

1

5 7

12 12

S ABCD S ABCD S ABCD

V V  V  V

Vậy

2

7 5  V

V

Câu 15 Cho khối lăng trụđứng có đáy hình thoi cạnh , chiều cao , góc Gọi giao điểm Gọi điểm , , , , , đối xứng với qua mặt phẳng , , , ,

, Thể tích khối đa diện lồi tạo đỉnh , , , , , bằng

A. B. C. D

Lời giải Chọn C

Ta có ,

Lại có

Tương tự

Mặt khác mà ; ;

Dễ thấy mặt phẳng đối xứng hình bát diện

A B C D A B C D    a a

 120

BAD  O C A A C M N P Q R S

O A B C D A B C D    C D D C  ABB A 

BCC B  ADD A  M N P Q R S

3

3

a 3

2

a 3

2

a 3

2 3a

O A

B C

D

B' C'

D' A'

M

P

N Q

S

R

 

P Q AB B A  RSBC B C  P Q R S, 

 ABB A  , BCC B  BA BC, 60

 

 

4 ,

PQ  d O ABA B  .1  , 

2 d D ABA B 

  A D sin 0 3

2

a a

 

 

 

4 ,

R S  d O AD A D  .1  , 

2 d B ADA D 

  2.AB.sin 60 3

2

a a

 

 

1

.sin ,

QRPS

S QP RS QP RS

  

2

1 3

3

2

a

a a 

//

MN CC C C  C B CC CD MN RS  MN QRPS

QRPS QRPSMN

QRPSMN M QRPS

V V

  2.1

3MO SQRPS



2

1 3

3

a a

a

Câu 16 Cho hình chóp S ABC có chiều cao diện tích đáy Gọi M trung điểm SA, E F, điểm thỏa mãn AE2 AB AF, 2AC Mặt phẳng MEFcắt SB SC,

,

N P Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N, , , , Pbằng A.

8 B.

56

5 C.

56

3 D. 18

Lời giải

Chọn C

Do AE2 AB AF, 2ACsuy B C, trung điểm AE AF, nên BC EF//

Có MEFEF,SBC BCsuy MEF  SBCNP N, SBEM P, SCFM

// //

NP BC EF

Ta có . 1.9.8 24

3 S ABC

V  

Do N P, trọng tâm tam giác SAE SAF, suy

3 SN SP SB  SC 

Có .

1 2 2 16

.24

2 3 9

S MNP

S MNP S ABC

V

V V

     

Suy Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N, , , , Pbằng

16 56 24

3

 

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với cạnh AD2CD Biết hai mặt

phẳng SAC, SBDcùng vng góc với mặt đáy đoạn BD6; góc SCDvà mặt

đáy 60 Hai điểm M N, trung điểm SA SB, Thể tích khối đa diện ABCDMNbằng

A 128 15

15 B.

16 15

15 C.

18 15

5 D.

108 15 25 Lời giải

Gọi OACBD Do SAC  ABCD , SBD  ABCDSOABCD

Theo tính chất hình chữ nhật: 2

AD CD BD 62

5

CD CD

    12

5

AD

Khi diện tích đáy: 72 ABCD

S AD CD

Gọi I trung điểm CD Do CDSO CD, OI CDSOICDSI

   

 SCD , ABCD  SI OI,  SIO 60

    

Trong tam giác SOIvuông O, , 60

2

AD

OI   SIO có: tan 60

5

SOOI  

Thể tích S ABCD 72 144 15

3 ABCD 5 25

V  S SO 

Ta có . .

2 S ABD S BCD

V

V V 

Do

4 SMN SAB S  S

1

4

SMND SABD

V V V

  

Do Nlà trung điểm SB  ,   , 

d N SCD d B SCD

  1

2

SCDN SBCD

V V V

  

Ta có: .

8 S CDMN SMND SCDN

V V V  V 18 15

8

ABCDMN

V V V V

    

Câu 18 Cho khối lập phương ′ ′ ′ ′ có cạnh 10cm, gọi tắt khối ( ) Mặt phẳng ( )

vng góc với ′ cắt cạnh với < Khi đó, thiết diện của( ) ( )

có diện tích 74√3cm phần( ) nằm giữa( ) ( ′ ) tích

A. 484cm B. 408cm C cm D cm

Lời giải

Chọn D

Hình

I N

M

O D

B C

A

Ta có ′ ⊥( ′ ′ )⇒ ′ ⊥ ′, ⊥( ′ ′ ) ⇒ ⊥ ′ Tức ′ ⊥( ′ ) Do

đó( )≡ ( ′ ) hoặc( )//( ′ )

a) Nếu ≡ ( )≡ ( ′ ) Lúc khơng có phần( ) nằm giữa( ) ( ′ )

b) Nếu khác ( )//( ′ ) Lúc thiết diện của( ) ( ) lục giác

như Hình 1,

, //

, // ′

, // ′

Đặt = , điều kiện: < < 5(∗), ta = 10−

Do = = nên = √2 = (10− )√2

Tương tự, ta = = = √2 = = = (10− )√2

Hình

Gọi giao điểm , giao điểm (tham khảo Hình 2) ta dễ

dàng thấy , , , tam giác đều, = + = 10√2

Do = + − −

= 10√2 + 10√2 − 6√2 − 4√2 √3

= − √3 + 10 √3 + 50√3

nên ta có phương trình − √3 + 10 √3 + 50√3 = 74√3 Tìm = ( = bị loại

khơng thỏa (*))

Hình

Gọi , , giao điểm của( ) tia ′, , (tham khảo Hình 3)

Xét tam giác ′ : Do ′= 90 , = 45 , ′ = nên ′ =

Tương tự, ta = =

Ta có: + . ′ =

Tương tự, ta . = =

+ . = (do , , đơi vng góc với bằng14)

Tóm lại, thể tích mà ta cần tính = . − . −3 . = ( cm )

Câu 19 Cho hình hộp có thể tích Trên cạnh lấy điểm khác

Gọi mặt phẳng qua song song với mặt phẳng chia khối hộp

thành hai phần cắt hình hộp theo thiết diện có diện tích lớn Tính thể tích phần khối

hộp chứa cạnh

A B. C D.

Lời giải Chọn A

Trong , qua vẽđường thẳng song song với cắt , ,

Trong qua vẽ đường thẳng song song với cắt

Trong , qua vẽđường thẳng song song với cắt ,

.

Trong , qua vẽđường thẳng song song với cắt

Trong , qua vẽđường thẳng song song với cắt

Thiết diện lục giác

Do mặt đối diện hình hộp song song nên cạnh đối lục giác thiết diện

song song cặp cạnh song song với cạnh tam giác

 Các tam giác , , , , đồng dạng

 

 Các tam giác , , nhau, gọi diện tích chúng gọi diện tích

các tam giác , , .

Đặt ; ta có điều kiện có:

A B C D A B C D    2 AB M A

B  P M A CD

DD

1010 2020

3 5

505

 

mp ABCD M A C DB BC E

N

 

mp BDD B  E D O (O AC BD) B D 

F

 

mp A B C D    F A C A D  D C 

R Q

 

mp AA D D  R AD A A S

S

J R

P

K I

Q F

E N

O

C'

B' A'

C

A

B D

D'

M

 

mp CC D D  Q C D C C P

MNPQRS

MNPQRS ACD

J K I ACD RQI J M S N K P

MJ MA NC NK PC PK QD QI

MN MB NB NM PC PQ QC QP



      

  MJ  NK PKQI

RQI J M S N K P S1

J K I ACD S2 S

AM k

AB  0 k 1

2 2

2

S JM KN KC AM

k

S AC NJ CD AB

       

        

 

     

2 S k S



 Diện tích thiết diện:

(dấu xảy )

lớn trung điểm Khi , , , , trung

điểm cạnh , , , ,

Các khối chóp , , tích ta gọi thểtích

Ta có:

Gọi thể tích phần khối lăng trụ chứa cạnh

Do

Câu 20 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    Các mặt phẳng ABC A B C   chia khối lăng trụ cho thành bốn khối đa diện Kí hiệu H1, H2 lần lượt khối tích lớn

nhỏ bốn khối Giá trị  

 

1

2 H

H V

V

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

+ ACA C E, BCB C F

+ Ta có: V VABC A B C.    VEFBAA B VEFABC VEFA B C  VCEFC V1V2V3V4

+) .

3 C A B C

V    V

 

2 2

2

2 1

S JK JM MK JM MK

k

S AC AC AC AC



     

        

     

 

2

S  k  k S

2 td

S S  S

2 3

2 ( )

2 2

td

S S  S k  k  S k  

 

 

 

1 k

 

S

2 k

   M AB S R Q P N

A A A D  D C  C C CB

3 IR ID IQ IJ ID IK



  

.

I RQD A M SJ C P N K V1

 

    

1

1 1 1 2020 505

; ;

3 RQD A B C D 48 ABCD A B C D 48 12

V  d I RQD S   d D A B C D    S      V      

V DD

1 27

I RQD

I DJK V

V 



1

1

3 27

V

V V

 



505

24 24 1010

12

V V

+)

1 1

2 CEFC

C A B C

V CE CF

V CA CB

   

  

 

1 1

4 12

CEFC

V V  V V

   

+) 3 . . 1

4 4

C EFB A C CA B

V V     V     V  V

+)

1 C ABFE C EFB A

V V V   V V  V

+) 1 1

12 4 12

EFBAA B

V V   V  V  V  V  V

+) Suy  

1

1 12 H

V V  V ;  

2

5 12 H

V V  V

+Do  

 

1

2

5

12 5.

1 12

H

H

V V

V  V  Chọn đáp án A

Câu 21 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh 15 , mặt phẳng   cắt cạnh



AA , BB, CC, DD M , N , P, Q Biết AM 5, CP 6 Thể tích khối đa

diện A B C D MNPQ   

A. 4275

2 B.

2475

2 C. 2250 D. 2475

Lời giải

Chọn A

Gọi ,O O tâm hình vng ABCD A B C D   

Dễ thấy tứ giác MNPQ hình bình hành Gọi I tâm của MNPQI thuộc đoạn thẳng

OO

Xét hình thang ACPM có: 11

2

AM CP

OI   

Gọi O1 điểm đối xứng O qua I OO12OI 11 15 nên O1 thuộc đoạn OO Gọi  P mặt phẳng qua O1 song song với ABCD

Khi  P cắt AA BB CC DD, , ,  A B C D1, 1, 1, 1 Khi I tâm hình hộp

1 1

ABCD A B C D Vậy

1 1

2

1 2475

.15 11

2 2

ABCD MNPQ ABCD A B C D

Vậy . . . 153 2475 4275

2

A B C D MNPQ ABCD A B C D ABCD MNPQ

V     V    V   

Câu 22 Cho khối đa diện hình vẽbên Trong ABC A B C ' ' ' khối lăng trụtam giác có tất

cả cạnh 1, S ABC khối chóp tam giác có cạnh bên

3

SA Mặt phẳng

SA B' 'chia khối đa diện cho thành hai phần Gọi V1 thể tích phần khối đa diện chứa

đỉnh A, V2 thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A Mệnh đềnào sau đúng?

A 72V1 5V2 B 3V1 V2 C 24V1 5V2 D 4V1V2 Lời giải

Chọn B

Dựng mặt phẳng S CC QP '  hình vẽ với Pvà Q trung điểm AB A B' '

Gọi H H' chân đường cao hạn từ S xuống ABC vàA B C' ' ', H H'là trọng tâm hai tam giác đáy

Gọi Klà giao điểm CPvà SQ, qua Kkẻđường thẳng song song với ABcắt ACvà BC

tại M vàN

Mặt phẳng SA B' ' cắt hình lăng trụ theo thiết diện hình thangA B MN' ' Dễdàng tính được:

3

SH  ; '

3

1 3 '

4 24

HK  H Q  ;

3 3

6 24

PK HPHK    ;

4 MN  Gọi V thể tích tồn khối đa diện ta có

' ' '

3 1

.1

4 3 18

ABC A B C S ABC

V V V   

'

1 1 3

' .1 (1 )

3 192

B ABMN ABMN

V  BB S   

' ' '

1 1

d(B; (ACC'A')) .1

3 2 48

B AA M AA M

V  S  

S

1 1 3

SH (1 )

3 3 576

ABNM ABNM

V  S   

1

7 3

192 48 576 72

V    

2

5 5

18 72 24

V VV    Từđó suy 3V1V2

Câu 23 Cho khối đa diện lồi  H gồm đỉnh A B C M N P, , , , , hai mặt phẳng ABCvà

MNPsong song với nhau, ABCvà MNPlà tam giác Gọi M N P, , lần lượt

hình chiếu vng góc M N P, , lên mặt phẳng ABC.Biết M N P, , lần lượt trung điểm

các cạnh AB BC AC, , , MNN M  , BMN45, MN a Thể tích khối đa diện lồi  H bằng?

A.

9

a

B.

9 16

a

C

3 a

D

3 a Lời giải

Chọn A

P N

M

M'

N' P'

C

Gọi E F, trung điểm MN M N,  

Dễ dàng thấy  MNN M  , BMNFEB45

Suy ra: 1 3

2 2

AB a

FEFBMM BP 

Thể tích khối lăng trụ MNP M N P   là:

2

3 3

2

MNP M N P MNP

a a a

V    MM S    (đvtt)

Ta có: V H VMNP M N P   3VB MNN M   1

Đồng thời . . .

3

B MNN M P MNN M MNP M N P V   V     V     2

Từ    1 , suy ra:   . 3.2 . .

MNP M N P MNP M N P MNP M N P H

V V    V     V   

Vậy  

3

3

3

8

H

a a

V   (đvtt)

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có chiều cao 12 diện tích đáy 27 Đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N, E, F trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SAD

Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M , N, E, F , A, B, C, D

A. 52 B. 88 C. 60 D. 68

Lời giải

Chọn D

45°

F

P N

M

M'

N' P'

C

A B

Chiều cao khối chóp S ABCD h12 diện tích đáy S 27 Gọi A, B, C, D điểm nằm cạnh SA, SB, SC, SD cho

3

SA SB SC SD

SA SB SC SD

   

   

Diện tích hình bình hành A B C D    2

3

S  S S Diện tích tam giác B MN 1

8S 8 9S18S

Thể tích khối chóp B B MN 

1 1

3 18 162

V  S h Sh

Thể tích khối chóp cụt A B C D ABCD    .2 19

3 81

V  S h S h Sh

Thể tích khối đa diện lồi cần tìm 1 19 17 17.27.12 68

81 162 81 81

V V V  Sh Sh Sh 

Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC A B C    tích V , I thuộc cạnh CC cho CI  4IC Gọi M ,

N điểm đối xứng A, B qua I Tính theo V thể tích khối đa diện CABMNC

A. 10

3 V B.

9

5V C.

4

3V D.

8 5V

Lời giải

Chọn C

Ta có VCABMNCVC CMN VC CMB VC CAB VC CAN

C'

D' B'

A' F

E N

M

C

A D

B

S

M N

C'

B'

A C

B

A'

Dễ thấy:

3

C CAB

V   V

Do I trung điểm A M nên d M ;BCCd A BCC ; , nên

 

 

1

;

3

C CMB BCC

V   d M BCC S   ; 

3d A BCC SBCC

  ; 

3d A BCC SBCC



3

ABCC

V  V

 

Tương tự:

3

C CAN

V   V

Do tính đối xứng, ta có IA B  IMN

 

    

1

; ;

3

C CMN C IMN CIMN IMN IMN

V  V  V  d C IMN S  d C IMN S

 

    

1

; ;

3d C IA B  SIA B  3d C IA B  SIA B 

 

1

C IA B CIA B CA B C V    V   V    V

   

Vậy

3

CABMNC C CMN C CMB C CAB C CAN V V  V  V  V   V

Câu 26 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi , , , , , trung điểm đoạn thẳng ,

, , , Thể tích (tính theo ) khối đa diện bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A

Dễ dàng chứng minh có

S A B C D A BC D a SAB

M N P Q R T AB

BC CD DA SB SC a MNPQRT

3

5 96

a 3

96

a

96

a

96

a

 

SM  ABCD

2

a

Ta phân chia khối đa diện thành hai khối chóp

Xét :

Dễ thấy (với

là độdài đường cao kẻ từ )

Suy ra:

Xét :

Dễ thấy:

theo giao tuyến , vẽ

( vuông , đường cao )

vuông ( theo tỉ

sốđồng dạng )

Suy ra:

Kết luận:

Câu 27 Cho hình hộp tích , gọi , hai điểm thỏa mãn ,

, đường thẳng cắt đường , đường thẳng cắt đường thẳng

tại Gọi thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , , , ,

Tính tỉ số

A B. C. D.

Lời giải Chọn A

Ta có:

Theo giả thiết:

nằm đoạn

MNPQRT T MNPQ. M N RT

. T MNPQ 2 MNPQ ABCD a

S  S    

 

 

; 1 3

2

;

T

T

d T ABCD h CT SM a

h

SM CS

d S ABCD      

T

h T T MNPQ.

2

1 3

3 24

T MNPQ MNPQ T

a a a

V  S h  

M N RT

SABSBC SB M K  SB K  MK SBC  NRT

2 2 2

1 1 4 16

3

a MK

MK  MB MS  a  a  a   S M B B M K

S B C

 B

2 2

1 1

2

NRT

NRT SBC

S a

S SB BC

S          

  N R T S C B



2

2

1 3

3 96

M NRT NRT

a a a

V  S MK 

3 3

3

24 96 96 MNPQRT T MNPQ M NRT

a a a

V V V   

.

ABCD A B C D    V M N D M 2MD

 

2

C N  NC AM A D  P B N B C 

Q V A B P Q M N

V V  3

PMD QNC A D M B C N

V V  V    

2 D M  MD

 

M

 D D

nằm đoạn

*) Ta có:

Trong qua kẻ vuông với ,

,

Từđó ta được:

*) Tương tự:

Khi đó: Vậy

Ghi chú: Có thể tính tỉ số theo cách khác sau:

Từ suy

Câu 28 (THPTQG 2019-MĐ101-Câu 47)Cho lăng trụ ABC A B C ' ' 'có chiều cao 8và đáy tam

giác cạnh Gọi M N, Plần lượt tâm mặt bên ABB A' ', ACC A' 'và

' '

BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,

A 27 B 21 C 30 D 36

Lời giải

Chọn A

2

C N  NC N C C C N  C C

        , ' , ' '

PMD QNC NQC NQC

BCC B BCC B

V d D NQC S S

V d D BCC B S S

   

    

 



BB C C   N H K BC B C  H BC, KB C 

// NK NC 2

BC B C NK NH

NH NC



     

3 NH  HK

// QC C N 2

BC B C QC BC

BC CN

 

     

1 1

.2

2 2 3

QNC BB C C

S   NK QC NH BC  HK BC S  

2 3 PMD QNC PMD QNC V V V V        ' ' ' '

1

2 2 3

A D M B C N A D M A D M

A D DA A D D

V S S D M

V S S D D

               ' ' ' ' A D M B C N

V V

 

2

3

V  V  V V V V   NQC BCC B S S   

2 4

3

QNC

QNC BB C N QB B

S QC QN

S S

S QB QB



  



  

     

    1

' '

1 1

3

CBN

CBN BCC B BB C N

CBC

S CN

S S S SBB C

S  CC         2

 1  2

5

QNC BB C C S S

  

/

Gọi A B C1, 1, 1lần lượt trung điểm cạnh AA BB CC', ', '

Khối lăng trụ ABC A B C 1 1có chiều cao 4là tam giác cạnh

Ba khối chóp A A MN , BB MP1 , CC NP1 có chiều cao là cạnh tam giác cạnh

3Ta có:  

1 1 1

ABC MNP ABC A B C A A MN B B MP C C NP

V V  V V V

2

6

4 27

4

     

Câu 29 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh Gọi M , N , P, Q tâm hình vuông ABB A , A B C D   , ADD A  CDD C  Tính thể tích tứ diện MNPR, với R

trung điểm BQ

A.

12 B.

3

12 C.

2

24 D.

1 24 Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, AO0; 0;0, B1; 0; 0, D0;1; 0,

0;0;1

A , C1;1; 0, B1;0;1, D0;1;1, C1;1;1

Theo giả thiết, ta có: 1; 0;1

2

M 

 ,

1 ; ;1 2 N 

 ,

1 0; ;

2 P 

 ,

1

;1;

2

Q 

 ,

3 1 ; ; 4 R 

 

Ta có 0; ;1

2 MN   

 



, 1; ; 2 MP  

 



, 1; ;

4

MR  

 

Suy . ;

6 24

M NPR

V  MN MP MR 

 

  

Câu 30 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh Gọi E, F

trung điểm cạnh AA BB; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A  E, đường thẳng

CF cắt đường thẳng C B  F Thể tích khối đa diện EFA B E F    A

6 B

3

2 C

3

3 D

3

12

Lời giải

Chọn A

Thể tích khối lăng trụ tam giác ABC A B C   

3

.1

4

ABC A B C ABC

V    S AA 

Gọi M trung điểm AB Suy CM ABB A 

CM 

Thể tích khối chóp C ABFE

1 1 3

.1

3 2 12

C ABFE ABFE

V  S CM 

Thể tích khối đa diện A B C EFC  

3 3

4 12

A B C EFC ABC A B C C ABFE

V    V   V   

Ta dễ dàng chứng minh A B trung điểm C E  C F  Thể tích khối chóp C C E F   

1 1 3

.4 .4 .1

3 3

C C E F C E F C A B

V    S   CC S   CC 

Khi đó, thể tích khối đa diện EFA B E F   

C

3 3

3 6

EFA B E F C E F A B C EFC

V    V   V      

Câu 31 Cho lăng trụ ABC A B C   có chiều cao 8và diện tích đáy Gọi M N P Q, , ,

Rlần lượt tâm mặt ABB A BCC B CAA C ABC ,  ,  , A B C   Thể tích khối đa

diện lồi có đỉnh điểm M N P Q, , , Rbằng

A. B. 12 C. D. 36

Lời giải

Chọn A

M F'

E'

F E

B

C

A' C'

B'

Do tam giác MNPđồng dạng với tam giác A C B  theo tỉ số

2nên

1

4

MNP A C B S  S     Gọi h h1, 2lần lượt chiều cao hai hình chóp R MNP Q MNP , h1h2 8

Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm M N P Q, , , Rbằng  2

1

.8

3 MNP

V  h h S  

Câu 32 Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D     có đáy hình thoi có cạnh 4a,



8a, 120

AA  BAD  Gọi M N K, , trung điểm AB B C BD,  ,  Tính thể tích

khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N K, , , , ,

A.12 3a3 B. 40 3

3 a C.

3 40

3 a D.

3

16 3a

Lời giải

Vì ABCD hình thoi có cạnh 4a BAD120 nên ABC tam giác có cạnh

bằng 4a

Gọi E F G, , trung điểm AB AC BC, ,

Ta có BF EG BF MNGE

BF EM

 

 

  

 . 1

3

B MNGE MNGE

V  BF S

3

1

.4

6

a a

a a

 

Tương tự ta có

3

8

3 C KNGF B EGNM A EFKM

a

V V V 

Ta có MNK EFG hình lăng trụ có chiều cao 4a

2

ME BB đáy tam giác có

cạnh 2

EG AC a

2

3

4

4

4 MNK EFG

a

V a a

  

Gọi V thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N K, , , , , Khi

MNK EFG C KNGF B EGNM A EFKM

V V V V V 3

4a 8a

 

12a



Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P, Q trọng

tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V Thể tích

của khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, D, M , N , P Q A. 17

4 V

B. 71

4 V

C

4 V

D. 13

4 V

Lời giải

Chọn A Kí hiệu

ABCD

B diện tích tứ giác ABCD

   

 , 

d ABCD A B C D    khoảng cách hai mặt phẳng ABCD , A B C D   

Khi đó, ta có

MNPQ ABCD S ABCD S A B C D A A MQ B B MN C C NP D D PQ V V V    V  V  V  V   Trong .  , 

3

S ABCD ABCD

 

 

1

,

3

S ABCD M N P Q

V d S A B C D    B    

 

 

 

2

1 3

,

3 2

S ABCD MNPQ

V d S A B C D      B

         

3

.2 ,

2

S ABCD MNPQ

V   d S A B C D    B

      Ta được:   27 S ABCD

V  V

    ,

S A B C D A B C D

V      d S A B C D    B    

 

 

1

,

3

S A B C D MNPQ

V     d S MNPQ B

 

 

2

S A B C D V     V

 

A A MQ B B MN C C NP D D PQ V  V  V  V 

   

 

1

,

3d ABCD A B C D    BA MQ BB MN BC NP BD PQ 

          1 ,

A A MQ B B MN C C NP D D PQ MNPQ V  V  V  V  d S A B C D    B

      

A A MQ B B MN C C NP D D PQ

V  V  V  V  V

    

Từ  1 ,  2  3 ta có . 27 . 17

4

MNPQ ABCD MNPQ ABCD

V  V  V  V V  V

Các khác.

Ta có . ' ' ' '

2

S MNPQ S A B C D

V  V ( ' ' ' '

2

MNPQ A B C D

B  B )

Và

3

' ' ' '

S A B C D S ABCD

V     V

  ( tỉ số đồng dạng hai khối chóp

2 3)

Nên . . . . . 27

2 27 27

S MNPQ S ABCD S MNPQ S ABCD S ABCD

V  V V  V V  V

Ta có ' ' . ' ' . ' ' .

2 27 27 27 8

B B MN S B MN S BM N S BM N S ABCD

V  V  V  V  V  V

Vậy . ' ' ' ' ' . ' 27

MNPQ ABCD ABCD A B C D B B MN S ABCD B B MN

V V  V   V  V

 

'

19 19 27 17

4

27VS ABCD VB B MN 27 V V

 

     

 

Câu 34 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có chiều cao 10 đáy hình vng có cạnh Gọi M N P, , Q tâm mặt bên ABB A' ', BCC B' ', CDD C' ' ADD A' ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C D M N P Q, , , , , , ,

A. 625

3 B.

625

6 C.

125

6 D.

125 . Lời giải

Chọn B

Ta có: VABCD A B C D ' ' ' ' 10.25250d v t t 

' ' ' '

ABCD MNPQ A B C D MNPQ

V V , ' ' ' ' 1 .10.25 125

' ' 2 12

MQAA AA B D

AM AQ

V V

AB AD

  

Và ta có: VMQAA' VMNBB' VNPCC' VPQDD'

Suy ra: VABCD MNPQ. VA B C D MNPQ' ' ' '. VABCD A B C D ' ' ' 'VMQAA'VMNBB'VNPCC'VPQDD'

Hay: . 250 4.125 625

12

ABCD MNPQ

V     . 625

6

ABCD MNPQ

V 

Câu 35 Cho hình lăng trụ có độ dài tất cạnh Gọi trung điểm điểm thuộc cạnh cho Thể tích khối đa diện lồi có

đỉnh điểm , , , ,

A. B. C. D.

ABC A B C   a M

AB N AC CN2AN

A M N A B C

3

5 12

a

3 36

a

5 36

a 3

12

a Lời giải

Gọi thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , , ,

Khi ta có:

Từ giả thiết ta có: ; ;

Gọi trung điểm (do tam giác

cạnh ), suy

Khi ta thu kết sau

Vậy

Cách

Gọi thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , , ,

Khi ta có:

Ta có

Suy

H M C' A' A C B B' N

V A M N A B C

M A AN M A C N M A B C V V  V   V   

2

1

2

A AN

a a

S   AA AN  a   

2

1

,

2 2

A C N

a S    d N A C  A C  a a

1

.sin 60

2

A B C

a S     A B A C     

H AC BH ACC A 

2

a

BH  ABC

a  ,   , 

2

a d M ACC A   d B ACC A   BH 

 

 

2

1 3

,

3 72

M A AN A AN

a a a

V   d M ACC A  S   

 

 

2

1 3

,

3 24

M A C N A C N

a a a

V    d M ACC A  S    

 

 

2

1 3

,

3 12

M A B C A B C

a a

V    d M A B C   S    a 

3 3

3 3

72 24 12 36

M A AN M A C N M A B C

a a a a

V V  V   V       

V A M N A B C

M AA C N M A B C V V   V   

 

2

1

2 3

AA C N

a a

S   AA AN A C a a

                 3

1 2

,

3 36

M AA C N AA C N

a a a

V    d M ACC A  S    

 

 

2

1 3

,

3 12

M A B C A B C

a a

Vậy

Cách

- Gọi trung điểm thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh

điểm , , , , Khi

- Dễ thấy nên khối chóp cụt

- Áp dụng cơng thức thể tích khối chóp cụt có chiều cao , diện tích đáy nhỏvà đáy lớn

theo thứ tự , ta có

-Khi

- Mặt khác

Vậy

Câu 36 Cho lăng trụtam giác có Gọi , trung điểm

của hai cạnh Lấy điểm cạnh thỏa mãn Mặt phẳng

chia lăng trụđã cho thành khối đa diện, thể tích khối đa diện chứa đỉnh là:

A B C D

Lời giải Chọn B

3 3

2 3

36 12 36

M AA C N M A B C

a a a

V V   V      

a H

M

C' A'

A C

B

B' N

H AC V

A M N A B C V VAMH A B C.   VM NHC. 

//

MH B C  AMH A B C   

V h

0

S S1  0 1

3

h

V  S  S S S

 

3

AMH A B C AMH AMH A B C A B C AA

V      S  S S   S   

2 2

1 3 3

3 4 4 4

a a a a a 

 

   

 

 

3

7

48

a

 

 

3

1 3

,

3 144

M NHC NHC

a a a

V  d M ACC A  S  a 

3 3

7 3

48 144 36

AMH A B C M NHC

a a a

V V   V    

ABC A B C   AB AAa M P

AC B C  N AB

7

AN  AB

MNP V1 C

3

3057 23520

V  a 1 2057 3

23520

V  a 1 4057 3

23520

V  a

3

5057 23520

Trong vẽ , áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ta có:

Trong :

Vẽ (dễ thấy )

Vẽ (dễ thấy )

Trong vẽ (dễ thấy )

Vậy thiết diện ngũ giác

(*)

Trong đó:

Thay vào (*) ta được:

Câu 37 (THPTQG 2019-MĐ104-Câu 46) Cho lăng trụ ABC A B C   có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M N, Plần lượt tâm mặt bên ABB A ACC A ,  và

BCC B  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,

 

mp ABC MNCBQ ACB

2

1

5

MA QC NB QC QC

MC QB NA  QB   QB 

 

mp BB C C 

QPBBE

1

3

2

3

B C

EB PB EB

EB QB EB

BC  

  

   

QPCCF

7

FCEB CC

 

mp AA C C  MFA C K 3

10 20

KC  MC AC

MNEPK F MQC F KPC E NQB

V V V  V

   

3

1 10 25

3 252

F MQC MQC ABC

a

V  S FC  S  CC

 

3

1 3 3

3 40 1120

F KPC KPC ABC

a

V  S FC S CC

 

 

    

 

3

1 4

3 21 441

E NQB NQB ABC

a V  S EB  S  CC

 

3

2057 23520

A. 14

3 B. C. D.

20 3 Lời giải

Chọn C

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   là

2

4 16

4

V  

Gọi thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , , V1 Ta có: V1 VAMNCBVBMNP VBNPC

Dễ thấy A ABC

V   V

3 AMNCB A ABC V  V  nên

1 AMNCB

V  V

1 BA B C

V    V

1 BMNP BA B C V  V   nên

1 24 BMNP

V  V

1 A BCB A B CC

V  V     V

1 BNPC BA B C V  V   nên

1 12 BNPC

V  V

Vậy 1

8 AMNCB BMNP BNPC

V V V V  V 

Câu 38 (THPTQG 2019-MĐ102-Câu 49) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' 'có chiều cao 8và đáy tam giác cạnh Gọi M N, Plần lượt tâm mặt bên ABB A ACC A' ', ' 'và

' '

BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,

A. 12 B. 16 C. 28

3 D.

40

3

Lời giải

Chọn A

N

P M

A' C'

B'

B

Ta có: ' ' ' 3.42 32 3;

4

ABC A B C

V   ' ' ' '

1

;

C ABC ABC A B C

V  V . ' ' ' ' '

A BC B ABC A B C

V  V

Khối đa diện cần tìm V VC ABPN. VP AMN. VP ABM.

Ta có ' ' ' '

3

4

C ABPN C ABC ABC A B C

V  V  V

Ta có ' ' ' ' '

8 24

PAMN ABC B ABC A B C

V  V  V

Ta có ' ' ' ' '

4 12

PABM ABC B ABC A B C

V  V  V

Vậy thể tích khối cần tìm ' ' ' ' ' ' ' ' '

1 1

4 ABC A B C 24 ABC A B C 12 ABC A B C

V  V  V  V ' ' ' 12

8VABC A B C

 

Câu 39 Cho hình lập phương cạnh Gọi trung điểm cạnh Mặt

phẳng cắt cạnh Tính tỷ số thể tích khối đa diện khối lập phương

A B C D

Lời giải Chọn D

Gọi trung điểm Mà

P N M

C

B

A' C'

B'

A

A B C D A B C D    M B B

MA D  BC K A B C D M K C D   

7

7 17

1

17

K BC MK B C//  B C A D //   MK//A D  KM A D 

3

D 1

ABC A B C D V      

K M B' A'

B C'

D'

D C

Ta có

Nên

Dễ thấy

Suy ra:

Vậy

Câu 40 Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh bằng2a Gọi M trung điểm BBvà

Pthuộc cạnh DDsao cho

4

DP DD Mặt phẳng AMP cắt CCtại N Tính thể tích khối đa diệnAMNPBCD

A.

2a B.

3a C.

3 a D. 11 a

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

   

   

// DD C

DD C

ABB A C

ABB A AMP AM

C AMP PN

                

với ; //

4 NCC PN AM C N  CC

Gọi E G F, , điểm thuộc cạnh BB AA DD, , sao cho

1 1

; ;

4 4

B E A G D F

B B A A D D

  

  

  

Gọi h S V, , chiều cao, diện tích mặt đáy thể tích hình lập phương cho

Khi đó, diện tích tứ giác AMEG

4

S S S

S  

 

1

1

2

A MBA

A A MB AB S              1 3 4 A MBA D A ABM

V   S  AD 

1 1

2 B MKD

B CB D

BM BK B V

B BC

V     

1 1

4

B MKD B CB D SDBC B

V  V   B

1 1 1 1

' 1.1.1

4 DC BC BB 24

  

A B C D MKCD ABCD A B C D D A ABM

ABCD A B C D ABCD A B C D

B MKD

V V V V

Suy thể tích khối chóp N AMEG .

3

N AMEG

S V

V  h 

Diện tích tứ giác APFG

4 8

S S S

S  

Suy thể tích khối chóp N APFG . 5

3 24

N APFG

S V

V  h 

Thể tích khối hộp ABCD.GENF ABCD.

4 GENF

V

V 

Thể tích khối đa diệnAMNPBCDlà

3

3 9.8

3

4 24 24 24

AMNPBCD ABCD GENF N AMNE N APFG

V V V V a

V V V V       a

Câu 41 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng cân C AB, 2avà góc tạo hai mặt phẳng ABC'và ABCbằng 60 Gọi M N, trung điểm

' '

A C BC Mặt phẳng AMNchia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ

bằng

A.

3

7 24

a

B.

3

3

a

C.

3

7 24

a

D.

3

6

a

Lời giải

Chọn A

*Cách 1:

Gọi Hlà trung điểm ABCH  AB

Tam giác AC B' cân C'C H' AB

Mà ABC  ABC' ABABC , ABC'CHC'60

ABC

 vng cân Ccó AB2a ACCBa 2;CH a

'

C CH

 vuông CCC'CH.tanCHC'a 3 AA'BB'

Gọi N'là trung điểm B C' ', M'là trung điểm ' ' ' '/ / '/ / AN

'/ / ' '

A N AN

C N MM

MM A N



 



thiết diện hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'cắt mặt phẳng AMNlà hình thang '

AMM N hay mặt phẳng AMNchia khối lăng trụ thành hai phần, phần nhỏ

' '

ACNMC M Ta có:

3 ' ' '

1

'.S

2 2

ACNA C N ACN

a a

2 ' ' ' ' ' ' ' '

1 2

2 2

A MM N A C N MC M

a a a a

S S S  a  

2 ' ' ' ' ' '

1 3

'.S

3 8

A A MM N A MM N

a a

V  AA  a 

3

' ' ' '

1 1

3 12

A M N N M N N

a a

V  AC S  a a 

Vậy

3 3

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

3 3

2 12 24

ACNMC M ACNA C N A A MM N A M N N

a a a a

V V V V    

Cách 2:

Kéo dài AM CC NM, ', 'cắt D Khi VACNMCM' VD ACN VD MCM '

Ta có:

' ' ' '

' '

1

2 2

2

DM DC DM MC CM

DC DC CC a

DA  DC  DN  AC  CN     

3

1 1

.2 a

3 2

D ACN ACN

a a

V DC S a

   

' ' '

3 '

.MCM

1 1 2

.a

3 24

D MC M

a a a

V  DC S  

'

3 3

3

3 24 24

ACNMCM

a a a

V

   

Câu 42 Cho hình chóp Đáy hình bình hành, trung điểm , thuộc cạnh

sao cho = , thuộc cạnh cho = Mặt phẳng ( ) cắt , ,

, , Biết thể tích khối Tính thể tích khối

A B C D

Lời giải

Dễ chứng minh = trung điểm đoạn

Gọi thể tích khối chóp

Đặt = , b = , c = , d =

Ta có = 2, = , = Vì + = + ⇒ =

+) = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Vì = nên =

+) = +

+

+) = 1− = 1− =

+) = ( ,( ))

⋅ ( ,( ))⋅ = ⋅

⋅ ( , )⋅ ( , )⋅

( , )⋅

= ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = , (3)

+ =

=

( ,( ))

⋅ ⋅ ( ,( ))⋅ = ⋅ = ⋅ =

Thế (2), (3), (4) vào (1)ta = + + =

Suy = ⋅V = ⋅ =

Nhậnxét: Có thể đặc biệt hóa hình chóp với đáy hình vng Khi tính dễhơn

đáy hình thang vng

Câu 43 Cho hình chóp SABCcó diện tích đáy 10, chiều cao Gọi M N P, , trọng tâm tam giác SAB SBC SCA, , Thể tích khối đa diện ABCMNP

A 60 B 175

3 C

560

9 D

160 Lời giải

Ta có

3

2

3 27

SIJK SABC SABC

V    V  V

 

19 19 190

9.10

27 27

IJKABC SABC

V V

   

( )

ABC MNP ABCIJK B MNJ A MIP C NPK

V V  V V V mà VB MNJ. VA MIP. VC NPK.

3

ABC MNP ABCIJK B MNJ

V V V

  

Có

3

BMNJ MNJ b

V  S h ;hb d B IJK , 

4 40

.10

9 9

IJK ABC

S  S  

Mà 10

4

MNJ IJK

S  S  ;

3 b

h  h

1 10 10 3 9 BMNJ

V

  

Vậy 190 3.10 160

9 9

ABCMNP

V   

+ Phương án nhiễu A: HS nhầm với VSABC Bh9.10 90 + Phương án nhiễu B: HS nhầm với ;

3

IJK ABC SABC

S  S V Bh

+ Phương án nhiễu C: HS nhầm với VABC MNP. VABCIJK VB MNJ.

Câu 44 Cho tứ diện ABCDcó thể tích V Gọi M N P Q R, , , , trung điểm cạnh

, , , ,

AB AD AC DC BDvà Glà điểm đối xứng Bqua PN Tính thể tích khối đa diện lồiGMNPQR theo V

A V

B

6 V

C.

5 V

D.

8 V

Lời giải

Gọi I trung điểm PNthì Icũng trung điểm AQ

Do ABCDlà tứ diện nên BI NP

Gđối xứng với Bqua NP Ilà trung điểm BG

GMNPQR G MNP G NPQ N MPQR

V V V V

Do Ilà trung điểm AQvà BGnên ABQGlà hình bình hành nên

// //

AG BQ MI AG//PMN

d G MNP , d A MNP , nên . .

8 G MNP A MNP

V

V V 

Ilà trung điểm BGnên d G PNQ , d B PNQ , 

 . .  , 

3

G PNQ B PNQ PQN

V V  d B ACD S  V

Gọi J trung điểm BC 

1

2 2

N MPQR JPMRQN

V V

V  V  

Vậy

5

8 4

MNPQRG G MNP G NPQ N MPQR

V V V V

V V V V    

Câu 45 Cho khối lăng trụ ABC A B C   có thể tích Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AC B C  Gọi (P) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (A NC ) Mặt phẳng (P) chia khối

lăng trụ ABC A B C    thành hai khối đa diện, gọi (H) khối đa diện chứa đỉnh Thể tích khối đa

diện (H)

A.

5 B.

1

3 C.

2

5 D.

Chọn D

Gọi khối lăng trụ ABC A B C   có thể tích V

- Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (A NC ) nên mặt phẳng (P) cắt mặt

phẳng (ABC), ( ' 'A B C') theo giao tuyến ME GF, ((EBC G, A B F' ', B C' ')

cùng song song A N

- Mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (AA C C' ' ), (BB C C' ' ) theo giao tuyến MI (IAA') song song A C' ,EF song song CN Ba đường thẳng MI FG A C, , ' 'đồng quy

,

K ba đường thẳng MI EF CC, , 'đồng quy J

- Mặt phẳng (P) chia khối lăng trụ ABC A B C    thành hai khối đa diện, gọi (T) khối đa diện

không chứa đỉnh Thể tích khối đa diện (T) bằng J C FK ' J CEM I A GK '

V V V V

' '

1 1 1

' '

3SC FK JC 3SCEM JC 3SA GK IA 16V 48V 24V 2V

      

Câu 46 Cho lăng trụ ABC A B C   có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi , ,

M N Plần lượt tâm mặt bên ABB A BCC B ,  và ACC A  Thể tích khối đa diện

lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , , bằng:

A 6 B 18 C 9 D 3

Lời giải

I

A B

C

A' B'

C' N

M

E

F G

K

Chọn C

Mặt phẳng MNPcắt cạnh AA BB CC, , lần lượt điểm A B C1, 1, 1

Dễ thấy, MNP // ABCvà MNPchia khối lăng trụ thành hai phần tích

Gọi V thể tích khối đa diện cần tìm Khi đó:

1 1

2 ABC A B C AA MP CC PN BB MN V  V   V V V

Mặt khác:   

1

1

,

3

AA MP A MP

V  d A MNP S

 

 

1 1

,

3 2d A A B C   4SA B C   24VABC A B C  

 

Tương tự:

1

1 24

CC PN BB MN ABC A B C V V  V   

Do đó:  

2

2 3

1 3

.8

2 ABC A B C 24 ABC A B C ABC A B C

V  V    V    V     

Câu 47 Cho hình lập phương , trung điểm Mặt phẳng chia khối lập phương thành phần Tỉ số thể tích phần bé phần lớn

A. B. C. D

Lời giải Chọn C

N P

M

C1

B1

A1

B

C

A' C'

B' A

' ' ' '

A B C D A B C D I B B D IC

5 19

9 15

7 17

Trong kẻ ,

Vì mặt phẳng cắt AB N Do mặt phẳng chia hình lập

phương thành khối đa diện: khối tích phần cịn lại tích

Giả sử cạnh hình lập phương

Ta có:

Mà

Phần cịn lại tích

Các cách giải khác:

Cách 1: Giả sử hình lập phương có cạnh ta có ,

Thể tích phần cịn lại Tỉ số cần tính

Cách 2:

BAA B  IN//AB N  A B  N A N B

//

AB DC IDC DIC

C IN DCB V1 V2

A B C D A B C D    a

C DAB IN

V   VC ADN VC ANIB 

1

3CC S ADN 3C B S  ANIB

 

2

2 ADN

a a

S  a 

2

2 IBN

a a a

S  

2

2

1

2 8 24

ANIB C DAB IN

a a a

S  a V  

     

3

3

1

2 24 24

a a

V a

   

3

3

2

2

7 17

24 24 17

V

a a

V a

V

    

a

ABCD A B C D

V     a

2 DCC

S  a 1 2

2 2

BIN

S  a  a

 

1

3 BIN BIN

BIN CC D CC D CC D

V   BC S  S S  S 

2 2

1

3

a a a

a       

3

7 24

a



3

3 17

24 24

a a

a  

Gọi giao điểm , ta có

.Suy

Thể tích phần cịn lại Tỉ số cần tính

Câu 48 Cho hình hộp ABCD A B C D     có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N, P

và Q tâm mặt bên ABB A , BCC B ,CDD C  DAA D  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C D M N P, , , , , , Q

A. 27 B. 30 C.18 D. 36

Lời giải

Chọn B

Ký hiệu V V thể tích khối hộp ABCD A B C D     khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C D M N P, , , , , , Q ta có:

A AB D C CB D B BMN D DPQ P QMB D P MNB V VV   V   V  V  V  V 

Vì

8.9 72

V  

E CB D N

1

3

E DCC ABB DCC

V   V  

1 1

2

3 2VABCD A B C D    3V

 

1 E BNI

V  V . 1

3 24 24

BNI CDC

V   V V  V

7 17

24 24

V V  V

6 A AB D C CB D

V V    V     ;

1

2 24

B BMN D DPQ D DAC V V  V   V  

3 P QMB D A QMB D

V V

V   V      . 1 . 1

2 4 24

P MNB D ACB

V V

V  V   

Nên 1 1 1 72 30

6 24 24 24

V         

 

Cách khác:

Gọi H K L F, , , trung điểm cạnh bên AA BB CC, ,  DD ta có

1 1 1

4 36 .72 30

2 8

ABCDQMNP ABCD A B C D A HQM ABCD A B C D ABCD A B C D