Giải bài toán khối đa diện bằng số đồ tư duy

Sơ đồ tư duy (SĐTD) còn gọi là bản đồ tư duy, lược đồ tư duy,… là một hình thức ghi chép theo mạch tư duy của mỗi người nhằm tìm tòi đào sâu và mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một c[r]

MỤC LỤC

Trang

Phần thứ nhất: Lý chọn đề tài 3 Phần thứ hai: Những biện pháp giải vấn đề 6 Phần thứ ba: Kết hiệu phổ biến ứng dụng nội dung

vào thực tiễn 41

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt viết đầy đủ

SGK: sách giáo khoa

SĐTD: sơ đồ tư

Thực tế giảng dạy cho thấy mơn Tốn học trường phổ thơng mơn học khó, phần lớn em học mơn Tốn yếu đặc biệt hình học khơng gian, khơng có giảng phương pháp dạy mơn Hình học phù hợp hệ học sinh dễ làm cho học sinh thụ động việc tiếp thu, cảm nhận Đã có tượng số phận học sinh không muốn học Hình học, ngày xa rời với giá trị thực tiễn Hình học Nhiều giáo viên chưa quan tâm mức đối tượng giáo dục, chưa đặt cho nhiệm vụ trách nhiệm nghiên cứu, tượng dùng đồng loạt cách dạy, giảng cho nhiều lớp, nhiều hệ học trò nhiều Do phương pháp có tiến mà người giáo viên trở thành người cảm nhận, truyền thụ tri thức chiều, cịn học sinh khơng chủ động trình lĩnh hội tri thức-kiến thức Hình học làm cho học sinh khơng thích học mơn Hình học

Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh nhằm giúp em xây dựng kiến thức, kỹ năng, thái độ học tập cần thiết, kỹ tư duy, tổng kết, hệ thống lại kiến thức, vấn đề vừa lĩnh hội giúp em củng cố bước đầu, khắc sâu trọng tâm học, sơ đồ tư biểu đồ sử dụng để thể từ ngữ, ý tưởng, nhiệm vụ hay mục liên kết xếp tỏa trịn quanh từ khóa hay ý trung tâm Sơ đồ tư phương pháp đồ họa thể ý tưởng khái niệm học mà giáo viên cần truyền đạt, làm rõ chủ đề qua giúp em hiểu rõ nắm vững kiến thức cách có hệ thống Để cho học sinh có hứng thú học tập mơn Hình học hơn, tơi có ý tưởng là:

“Dùng sơ đồ tư hệ thống kiến thức chương 1-Thể tích khối đa diện – Hình học 12” với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức suy nghĩ Ý tưởng “sơ đồ tư duy” xây dựng theo trình bước người dạy người học tương tác với Vì hoạt động vừa mang tính phân tích vừa mang tính nghệ thuật làm cho học sinh gợi nhớ kiến thức vừa học học từ trước Để thực điều trên, thân xác định phải bám sát nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức, kĩ năng; sách giáo khoa; sách giáo viên sách tham khảo khác Ngồi cịn ln chuẩn bị hệ thống câu hỏi tập dựa mục tiêu bài, chương cụ thể, giúp học sinh định hướng nắm kiến thức trọng tâm học Thơng qua học sinh nắm vững kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức nhanh

với đồng nghiệp việc sử dụng sơ đồ tư giảng dạy mơn Tốn cá nhân tơi, vốn kiến thức cịn hạn hẹp, khn khổ đề tài, kinh nghiệm giảng dạy cịn nhiều hạn chế, tơi thành thật mong trao đổi góp ý đồng nghiệp dạy mơn Tốn mơn khác để thân ngày tiến

Sơ đồ tư (SĐTD) gọi đồ tư duy, lược đồ tư duy,… hình thức ghi chép theo mạch tư người nhằm tìm tòi đào sâu mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa chủ đề hay mạch kiến thức, … cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với tư tích cực

NỘI DUNG I/-Cơ sở lí luận đề tài:

a) Cơ sở khoa học đề tài:

Phương pháp giáo dục, phải khuyến khích tự học, phải áp dụng phương pháp giáo dục bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề Đó phương pháp chung cho giáo dục Tuy nhiên với tình hình thực tế nay, mục tiêu giáo dục cụ thể phải cho học sinh nắm kiến thức giải tốn vấn đề quan trọng

b) Cơ sở thực tiễn đề tài:

Nhìn lại việc học em địa phương, thấy nhận thức em hạn chế, ý thức tự học, tự rèn luyện ít, điều kiện học tập cịn nhiều thiếu thốn

Các em chưa xác định tầm quan trọng việc học nên không ham học Là người đứng ngành dạy học băn khoăn làm để phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác học sinh học tập Đây vấn đề nóng bỏng cần phải thực nhanh cách để hệ đào tạo người làm chủ tương lai, đất nước, biết xây dựng quê hương đưa trình độ hiểu biết tồn dân lên, sánh với nước phát triển giới Đặc biệt giáo dục vùng miền nông thôn Qua đổi phương pháp dạy học giúp em học sinh nông thôn tự tin hơn, biết cách tự đánh giá việc học biết đánh giá kết học tập bạn khác Từ đó, em có tính chủ động học tập biết phấn đấu thi đua để việc học có kết cao

 Đa số học sinh dân tộc, học sinh gia đình có hồn cảnh kinh tế khó khăn nên học yếu mơn Tốn, đặc biệt hình học không gian  Thời gian học sinh học tập nhà chưa có phương pháp học

hiệu

 Kĩ giải toán trình bày giải cịn yếu

 Hưởng ứng việc sở giáo dục phát động sử dụng sơ đồ tư dạy học đổi phương pháp dạy học

II/-Thực trạng đề tài: a/Thuận lợi:

 Là giáo viên dạy Toán 12 tiếp xúc với học sinh nhiều

 Tổ chuyên môn thảo luận chuyên đề sơ đồ tư

 Đa số học sinh thích học Tốn

 Các em học sinh thích tìm tòi phương pháp học tập

 Bản thân có tinh thần học hỏi, nghiên cứu kiến thức để thực công việc giảng dạy tốt

 Học sinh khối 12 có tinh thần ý thức học tập rõ ràng, mục đích rõ ràng

b/Khó khăn:

 Phần lớn học sinh không nhớ hệ thức tam giác tứ giác,

 Các kiến thức hình học khơng gian lớp 11 hạn chế

 Kỹ tư phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian hình học phẳng cịn q yếu

 Kỹ vẽ hình khơng gian q yếu

 Học sinh có kiến thức không đồng

 Học sinh có thái độ học tập chưa đắn, ý thức học tập chưa cao

 Học sinh nhà xa trường nên có phần ảnh hưởng đến việc học

 Đa số học sinh dân tộc chăm, điều kiện kinh tế khó khăn, ngồi học phải phụ giúp gia đình kiếm tiền

 Bản thân học yếu, thời gian học tập, tự học mơn tốn không nhiều áp lực số mơn khác; Ít lên bảng làm tập

c b a M H C B A III- Các biện pháp để tiến hành giải vấn đề:

1 Giới thiệu sơ lược chương học

Sơ đồ tóm tắt nội dung chương I:

Hình

Dựa vào hình 1, giúp em hệ thống nội dung cần đạt chương

2 Hệ thống hóa kiến thức liên quan: Hệ thức lượng tam giác vuông :

Cho ABC vng A ta có :

 Định lý Pitago : BC2  AB2AC2

 BA2 BH.BC; CA2 CH.CB

 AB AC = BC AH

 2

1

1

AC AB

 BC = 2AM ( M trung điểm đoạn BC)

 sinB b, osc B c, tanB b, cotB c

a a c b

   

 b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a =

sin cos

b b

B  C

 b = c tanB = c.cot C

2.2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý Côsin:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA , b2 = a2 + c2 – 2accosB , c2 = a2 + b2 – 2abcosC

a b c B C A

* Định lý Sin:

sin sin sin

a b c

R

A  B  C 

( R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) 2.3 Các cơng thức tính diện tích

a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:

2

S  a.ha =

1

sin ( )( )( )

2

a b c

a b C p r p p a p b p c

R

     

với

2 a b c

p   nửa chu vi , r : bán kính đường trịn nội tiếp ABC Đặc biệt:

*ABC vuông A :

S  AB AC * ABC cạnh a:

2 3

4 a S 

b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S =

2(chéo dài x chéo ngắn)

e/ Diện tích hình thang :

2.4.Quan hệ song song:

Hình 2: Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng mặt phẳng song song”

2.5.Quan hệ vng góc:

Hình 4: Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng vng góc với mặt phẳng”

Hình 6:Hệ thống hóa kiến thức “Góc khoảng cách” 2.5.Các cơng thức tính thể tích khối đa diện:

3 Phân loại dạng tốn:

Loại 1: Thể tích khối chóp Dạng 1: Khối chóp

1/ Hình chóp tam giác

Hình chóp tam giác đều:

 Đáy tam giác

 Các mặt bên tam giác cân

 Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:

 Đáy tam giác

 Các mặt bên tam giác

 Cách vẽ:

 Vẽ đáy ABC  Vẽ trung tuyến AI

 Dựng trọng tâm H  Vẽ SH  (ABC)

 Ta coù:

 SH chiều cao hình chóp

 Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH 

 Góc mặt bên mặt đáy là: SIH  

2/ Hình chóp tứ giác

Hình chóp tứ giác đều:

 Đáy hình vng

 Các mặt bên tam giác cân

 Cách vẽ:

 Vẽ đáy ABCD

 Dựng giao điểm H hai đường

cheùo AC & BD  Veõ SH  (ABCD)

 SH chiều cao hình chóp

 Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH 

 Góc mặt bên mặt đáy là: SIH  

h   I C A H S B 

 H I

D A

B C

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, diện tích mặt bên diện tích mặt đáy

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b) M điểm bên khối chóp S.ABCD

Chứng minh : Tổng khoảng cách từ M đến mặt hình chóp S.ABCD số không đổi

Hướng dẫn học sinh giải:

Hình 12

b)T a có : VS.ABCD VM.ABCD VM.SAB VM.SBC VM.SCD VM.SAD

ABCD ABCD ABCD

ABCD ABCD ABCD

1 1

S SO S d(M, (ABCD)) S d(M,(SAB))

3 3

1 1

S d(M,(SBC)) S d(M, (SCD)) S d(M,(SAD))

3 3

  

 

d(M, (ABCD)) d(M,(SAB)) d(M,(SBC)) d(M, (SCD)) a 15

d(M,(SAD)) SO

2

   

Dạng 2: Khối chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy   A C B S    D A B C S

 SA  (ABC) => SA đường cao hình chóp

 Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA   Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA  

 SA  (ABCD) => SA đường cao hình chóp

 Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA 

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mp(SBD) mặt phẳng đáy 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Đề thi TN.THPT năm 2010) Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với AD CD a AB  ; 3a Cạnh bên SA vng góc với đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 450

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Đề thi TN.THPT năm 2011) Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC 120 0, tính thể tích

khối chóp S.ABC theo a (Đề thi TN.THPT năm 2009)

Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Dạng 3: Khối chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Để xác định đường cao ta dùng định lí sau :

Q

P

b a

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Hình 17

( ) ( )

( ) ( ),

P Q b

a P

a Q a b

  

  

Bài2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác đều, BCD tam giác vuông cân D, (ABC)(BCD) cạnh AD hợp với mp(BCD) góc 60o

Tính thể tích tứ diện ABCD biết AD = a Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn học sinh giải:

Dạng 4: Khối chóp có hai mặt bên kề vng góc với mặt đáy Để xác định đường cao ta dùng định lí sau :

P

() ()



Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên SAB SAD nằm hai mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết SA = a, mặt đáy ABCD hình thoi, góc BAD = 1200 Tính thể tích hình chóp

Hướng dẫn học sinh giải:

Hình 20

( ) ( )

( ) ( ) ( ),( )P ( )P P

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC = a Biết hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với đáy ABC SB hợp với mặt đáy góc 60o.Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Dạng 5: Thể tích khối chóp – Tỉ số thể tích hai khối chóp

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F

a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD b)Tính thể tích khối chóp S.AEMF Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,SA a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC (AB D' ')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Hướng dẫn học sinh giải:

a) Ta có:

3

1 2

.

3 3

S ABCD ABCD

a

V  S SA

b) Ta có BC (SAB)BC  AB' & SB AB'Suy ra:AB' ( SBC) nên AB'SC Tương tự AD'SC

Vậy SC (AB'D')

c)Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B,AC a 2 SA vng góc với đáy ABC, SA a

1) Tính thể tích khối chóp S.ABC

2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N

Tính thể tích khối chóp S.AMN Hướng dẫn học sinh giải:

Loại 2: Thể tích khối lăng trụ

Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh

a

a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B BA = BC = a Góc đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) 600

1)Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.(Đề thi TN.THPT năm 2012) 2) Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C theo a

Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vng B

Biết AB=a, BC = a , mp (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/

Hướng dẫn học sinh giải:

Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên

Bài 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o

Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Hướng dẫn học sinh giải:

Bài 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' xuống mp(ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60o

Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Hướng dẫn học sinh giải:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01/9/2011 Bộ Giáo Dục Đào Tạo việc hướng dẫn thực điều chỉnh nội dung dạy học Công văn số 1421/SGDĐT-GDTrH Sở Giáo Dục Đào Tạo Ninh Thuận ngày 07/9/2011 việc hướng dẫn thực điều chỉnh nội dung dạy học cấp trung học phổ thông

- Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn học lớp 10,11,12 Nhà xuất Giáo dục Việt Nam – 2009 - Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, Sách Giáo Khoa

lớp 10, 11, 12 môn Toán

Nhà xuất Giáo dục – 2007 - Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng – Bộ Giáo dục Đào tạo

Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội - 2011 - Mạng Internet: violet.vn; thuvientailieu.bachkim.com; giaovien.net;