skkn PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG CÁC KÌ THI HIỆN NAY (SK34 TOAN)

BÁO CÁO SÁNG KIẾNPHÁT TRIỂN BÀI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG CÁC KÌ THI HIỆN NAYTHÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN1.Tên sáng kiến: Phát triển bài toán khối đa diện và một số ứng dụng thực tế trong các kì thi hiện nay.2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10102016 đến ngày 20052017

BÁO CÁO SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ TRONG CÁC KÌ THI HIỆN NAY THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thực tế kì thi Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10/10/2016 đến ngày 20/05/2017 Mã SK: SK34 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Một môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất người lao động môn học hình học khơng gian Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thực tế chuyên đề mang nội dụng quan trọng, phổ biến với nhiều dạng toán mà thường gặp kì thi kiểm tra chất lượng học kì, cuối năm, đặc biệt kì thi THPT Quốc Gia hay kì thi học sinh giỏi cấp, chúng đa dạng phong phú đề lời giải Ngày với sáng tạo không ngừng người học tốn mơ hình khối đa diện xuất nhiều diễn đàn Toán học với mơ hình, ý tưởng mẻ đặc sắc Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều toán mức độ vận dụng thấp tăng dần lên toán khó mức độ vận dụng cao làm khó nhiều học sinh THPT Một tốn thể tích khối đa diện nội dung liên quan có nhiều phương pháp giải khác Tuy nhiên em học sinh có học lực trung bình, việc tìm lời giải cho tốn cịn nhiều khó khăn Thực trạng trường THPT cịn nhiều em chưa cảm thấy có hứng thú nhiều với việc học giải toán liện quan đến khối đa diện Chỉ em học sinh có học lực khá, giỏi trường có quan tâm có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến toán khối đa diện nội dung chuyên đề thường xuyên xuất đề thi THPT Quốc gia mức độ khó Đặc biệt, năm học 2016-2017 năm mơn Tốn chuyển sang hình thức thi Trắc nghiệm với dạng Toán mẻ, bật tốn có bao hàm nội dung liên quan đến thực tế, có tốn thực tế liên quan đến mơ hình khối đa diện Các em học sinh phải chiếm lĩnh chuyên đề thể tích khối đa diện tốn liên quan có hội đạt điểm cao mơn Toán hội trúng tuyển trường Đại học tốp đầu mà em mơ ước Với mong muốn ngày có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú có niềm đam mê chinh phục nội dung Tốn học đỉnh cao này, tơi mạnh dạn xây dựng nên chuyên đề ‘’Phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thc t kì thi II Mễ TẢ GIẢI PHÁP Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp toán hình học khơng gian em học sinh thường khơng biết vẽ hình, cịn lúng túng, khơng phân loại dạng toán, chưa định hướng cách giải Trong vẽ hình (hình biểu diễn tốt nhất, ý tưởng) phần lời giải tốn Trong chương trình Tốn THPT tập hình học khơng gian sách giáo khoa đề thi thường toán khó em học sinh Trong kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG học sinh giỏi tốn hình học khơng gian làm cho nhiều học sinh lúng túng nghĩ trừu tượng thiếu tính thực tế Có thể nói tốn hình khơng gian có phân loại đối tượng học sinh cao Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến Để giải hình học tố theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh, vẽ hình đúng, trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ đúng, trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian hình chóp, tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ; hình hộp; hình hộp chữ nhật Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý phần mềm giảng dạy như: Cabir, GSP Trong qua trình giải tốn thể tích khối đa diện toán liên quan, khâu quan trọng học sinh phân tích đề tìm dấu hiệu đường cao hình chóp (có thể tìm được) để đưa mơ hình hình vẽ phù hợp Một vấn đề đứng trước toán lạ học sinh chưa thực chủ động làm chủ toán Phân chia khối đa diện theo mơ hình nhằm mục đích cho học sinh có hệ thống định tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính thể tích khối chóp Với mơ hình, học sinh nhận dấu hiệu để tìm kiếm đường cao hình chóp, từ học sinh chủ động xác định cách biểu diễn hình chóp cách tốt nhất, đồng thời phục vụ cho việc tìm kiếm thể tích khối chóp câu hỏi liên quan Chính mà tơi đưa mơ hình điển hình để học sinh nhận mơ hình quen thuộc tốn lạ, tức nhìn vấn đề lạ quen thuộc từ có cách sử lí phù hợp Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm Chương, Chương lại gồm khác nhau, lại gồm ví dụ cụ thể, ví dụ trình bày theo cấu trúc Đề bài-Lời giải-Bình luận Trong lời giải, tùy ví dụ mà đưa cách giải khác nhau, đảm bảo cho hai hình thức thi Trắc nghiệm Tự luân Việc đưa bình luận sắc bén nhằm nhấn mạnh điểm mấu chốt toán đưa cách giải khác để so sánh ưu điểm, nhược điểm với phương pháp Học sinh thấy dấu bật toán để lựa chọn phương pháp giải toán cho phù hợp Như phần bình luận nhằm tổng kết lại phương pháp sử dụng đưa phương hướng cho lời giải toán hay phát triển tốn thành lớp tốn rộng Ngồi sáng kiến tơi cịn giới thiệu nhiều tốn phù hợp với hình thức thi Trắc nghiệm công thức giải nhanh đảm bảo cho học sinh tốn thời gian ngắn nhất, bên cạnh công thức giải nhanh học sinh cần biết đến lời giải tự luận để hiểu rõ chất khắc sâu tốn Sau tơi trình bày nội dung cụ thể giải pháp sáng kiến CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN BÀI MỘT SỐ MƠ HÌNH HÌNH CHĨP THƯỜNG GẶP Mơ hình1 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy  Mơ hình nói phù hợp phổ biến với học sinh nhất, trước hết thuận lợi cách vẽ hình Giả thiết tốn cho trước đường cao hình chóp nên hướng giải tốn tính diện tích đáy độ dài đường cao hình chóp  Để xây dựng phát triển tốn điều chỉnh tình tiết để làm tăng độ phức tạp đáy làm phức tạp cách tính độ dài đường cao ta tốn khó, dễ khác VÝ dơ 1.1.1.1 (Trích dẫn: Đề thi thức THPTQG năm 2017) Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC), khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Tính cos  thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ A cos   B cos   C cos   D cos   3 Lời giải +) Gọi K trung điểm cạnh BC Do tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên AK  BC , mà BC  SA nên suy BC   SAK  +) Mặt khác  SBC  � ABC   BC , BC   SAK   SAK  � ABC   AK ,  SAK  � SBC   SK S Suy góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc � Theo giả hai đường thẳng AK SK, SKA �   thiết, ta có SKA +) Trong mặt phẳng  SAK  , kẻ AH  SK , K �SK Theo BC   SAK  � BC  AH Khi AH   SBC  3H A a  a 2a B d  A,  SBC    AH Theo giả thiết AH  +) Gọi độ dài cạnh AB  a � BC  2a, AK  tam giác vuông AHK, ta có 2a Xét C K 2a AH 3 2a 3 a2 sin    � AK  �  �a � SABC   AK AK sin  sin  sin  sin  Lại xét tam giác vng SAK, ta có tan   SA 3 � SA  AK tan   tan   AK sin  cos  1 9  +) Thể tích khối chóp SABC VS ABC  SA.SABC  3 cos sin  cos  sin  0 Bài tốn trở thành: Tìm góc      90  để biểu thức đạt giá trị nhỏ cos  sin  hay biểu thức P  cos  sin  đạt giá trị lớn 2 Ta có P  cos  sin   cos    cos    cos   cos  Đặt t  cos    t  1 , ta cần tìm giá trị lớn hàm số y  f  t   t  t khoảng  0; 1 Ta có f '  t    3t , f '  t   � t  � t f ' t  � 0; 1 Bảng biến thiên hàm số y  f  t   f  t  � 3 +) Vậy giá trị lớn hàm số S.ABC đạt giá trị nhỏ 3 t  Khi thể tích khối chóp 3 27 cos   Chọn đáp án B Bình luận: Bài toán kết hợp nhiều yếu tố không gian, chẳng hạn nh góc hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, thể tích khối chóp Để giải toán, học sinh phải biết vận dụng phơng pháp đại số, chẳng hạn đạo hàm, bảng biến thiến để tìm giá trị lớn hàm số Vì câu hỏi cấp độ vận dụng cao Ví dụ 1.1.1.2 (Trích dẫn: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a Cạnh SA vng góc với đáy (ABCD) Biết mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng  SCD  cos   S 10 góc  , biết Tính thể tích khối chóp K S.ABCD theo Lời giải H A a 3a E 2a 3a 3a a D a B a M C +) Vì tứ giác ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD=2a nên AB  BC  CD  a Kẻ CM  AD, M �AD, tính MD  a Khi 3a 3a (2 a  a ) ( AD  BC )CM 3a CM  CD  CM  SY ABCD    2 2 +) Trong  SAC  kẻ AH  SC , H �SC Ta có � ACD  900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CD  AC mà CD  SA � CD   SAC  � CD  AH Khi AH   SCD  (1) +) Trong  ABCD  kẻ AE  BC , E �BC  SAE  kẻ AK  SE , K �SE Ta có BC   SAE  � BC  AK Khi AK   SBC  (2) +) Từ (1) (2) suy góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) góc hai đường thẳng AH AK Do AK   SBC  � AK  HK suy tam giác AHK vuông đỉnh K Khi � � góc HAK góc nhọn, góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) góc HAK �  10 �   cos HAK Theo giả thiết HAK 5 AK 10  (3) hay  AH AK AH Ngoài ra, xét tam giác vng SAC SAE ta có đẳng thức 1 1 1 1  2   2,  2  2 2 2 AH SA AC SA 3a AK SA AE SA 3a � �1 � �1 Thay vào (3), ta �  � �  �suy SA  3a �SA 3a � �SA 3a � �  +) Xét tam giác vuông AHK, ta có cos HAK 1 3a 3a +) Thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD  SA.SY ABCD  3a  3 4 B×nh ln: Bài tốn liên quan đến khối chóp có đáy nửa lục giác cịn mẻ với nhiều học sinh Do chưa khai thác tính chất đa giác này, chẳng hạn hình thang cân có độ dài đáy lớn lần đáy nhỏ, hay góc � ACD  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Điểm mấu chốt tốn cách xác định góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng đó, góc gia hai ng thng AH v AK Mô hình Hỡnh chóp cú mặt phẳng qua đỉnh vng góc mặt đáy  Đường cao hình chóp nằm mặt phẳng qua đỉnh hình chóp vng góc với mặt phẳng đáy  Để xây dựng mơ hình hình chóp xây dựng giả thiết toán cho trước mặt phẳng qua đỉnh hình chóp vng góc với mặt phẳng đáy Chúng ta phát triển toán cách điều chỉnh tình tiết từ dễ đến khó, chẳng hạn mặt phẳng chứa tam giác đặc biệt tam giác đều, vng, cân đến tam giác thường Khó đưa mơ hình hình chóp mà học sinh phải tự khám phá phát khối chóp có mặt phẳng qua đỉnh vng góc với đáy Từ xác S định đường cao hình 4a chóp giải A E 2a H 2a D K 10a 4a B tốn thể tích C nội dung liên quan VÝ dô 1.1.2.1 (Trích dẫn: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB  BC  4a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H trung điểm cạnh AB, biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Lời giải  SHD  10a +) Do tam giác SAB nên SH đường trung tuyến đồng thời đường cao Mặt khác  SAB    ABCD  ,  SAB  � ABCD   AB mà SH � SAB  , SH  AB � SH   ABCD  độ dài đường cao SH  SA2  AH  16a  4a  3a +) Trong mặt phẳng  ABCD  , kẻ CK  HD, K �HD mà CK  SH � CK   SHD  � d  C ,  SHD    CK Theo giả thiết, ta có CK  10a +) Nhận xét HAD  HBE � SY ABCD  S CED Mặt khác HD  AH  AD  4a  AD Khi diện tích tam giác CED SCED  CK ED  CK HD  10a AD  4a 2  AD  BC  AB  2a AD  4a diện tích hình thang ABCD SY ABCD    Ta có phương trình 10a AD  4a  2a  AD  4a  � AD  16a AD  12a  Giải phương trình ta tìm AD  6a , suy diện tích đáy SY ABCD  20a +) Thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD  SH SY ABCD  3a.20a  40 3a Ví dụ 1.1.2.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  ,  SDA  tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 900 ,600 ,600 , 600 Biết tam giác SAB vuông cân đỉnh S, cạnh AB=a chu vi tứ giác ABCD 9a Tính thể tích V khối chóp SABCD theo a A V  3a B V  3 a C V  3 a Lời giải S A a H 60 E 60 DK 600 B F 10 C D V  3 a +) Dấu ‘’=’’ xảy E F G 0,5  m  A B D H 60  m  6,0  m  Q 3,0  m  1,8  m  K C 144  9a � a  16 � a  , suy b  a Vậy phải thiết kế bể cá có đáy hình chữ nhật với kích thước a  4, b   dm  Chọn D Ví dụ 2.11 Một hồ bơi có dạng hình lăng trụ đứng với đáy hình thang vuông (mặt bên phần kẻ sọc hồ bơi đáy lăng trụ) với kích thước hình vẽ a Biết người ta dùng máy bơm nước với lưu lượng 42 m3 / phút 25 phút nước đầy hồ Tính chiều dài hồ bơi b Một người xuất phát từ thành hồ vị trí ứng với độ sâu 0,5 m bơi thẳng phía cuối hồ với vận tốc m/s Hỏi sau 30 giây người khu vực hồ có độ sâu bao nhiêu? Lời giải 6,0  m  0,5  m  3,0  m  91 C a Tính chiều dài hồ bơi +) Theo giả thiết hồ bơi hình lăng trụ đứng có chiều cao h  6,0  m  đáy hình thang vng ABCD Chiều rộng hồ chiều cao khối lăng trụ, chiều dài hồ chiều cao hình thang vng ABCD đáy lăng trụ Vậy để tính chiều dài hồ, trước hết ta cần tìm thể tích hồ áp dụng cơng thức thể tích lăng trụ để truy ngược lại +) Ta tích lượng nước bơm vào đầy hồ thể tích hồ bơi Theo giả thiết, máy bơm nước với lưu lượng 42 m3 / phút 25 phút nước đầy hồ Suy thể tích hồ bơi V  42 �25  1050  m  +) Ngồi thể tích hồ bơi tính theo cơng thức V  DE.SY ABCD , suy Diện tích SY ABCD  đáy lăng trụ SY ABCD   AB  CD  AD Khi chiều dài hồ bơi V 1050   175  cm  , DE AD  mà SY ABCD  100  m  AB  CD a Hỏi sau 30 giây người khu vực hồ có độ sâu bao nhiêu? +) Để xác định độ sâu hồ nước vị trí người bơi sau 30 giây, ta cần biết xác người bơi bao xa Cụ thể vận tốc người bơi m/s nên sau 30 giây quãng đường mà người bơi �30  60  m  92 +) Gọi H điểm đoạn AD tương ứng với vị trí người này, qua H kẻ đường thẳng song song với hai đáy hình thang cắt BC vị trí điểm K Độ sâu cần xác định độ dài đoạn HK +) Áp dụng định lí Thales hình thang ABCD, ta có HK AH 60 3    � HK  CD   1,8  m  CD AD 100 5 Vậy người bơi 60 m vị trí hồ có độ sâu h  1,8  m  Ví dụ 2.12 Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước cm �6 cm �10 cm Người ta xếp bút chì chưa chuốt có dạng hình lăng trụ lục giác vào hộp cho chúng xếp sát hình vẽ, biết chiều dài bút 10 cm thể tích 1875 mm3  Hỏi hộp chứa tối đa bút chì?  Lời giải +) Nhận xét: Khi xếp bút chì vào hộp, tùy theo cách xếp ta số lượng bút chì khác Hai độ dài x, y  cm  hình cho ta biết xếp bút chì theo chiều ngang chiều dọc Để tìm x, y  cm  , ta cần xác định độ y  cm  dài cạnh lục giác Cây bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác với thể tích x  cm  1875 mm3  chiều dài 10 cm (thực chất chiều cao khối lăng trụ)  Từ diện tích đáy lục giác S  1875 75  mm   2.100 93 +) Gọi a  mm  độ dài cạnh đáy bút chì, ta có đáy bút chì lục giác nên dễ 3a dàng tính diện tích đáy mm  Đến ta có phương trình  3a 75 5  � a   mm  Suy x  2a   mm  y  3a   mm  2 +) Dựa kích thước hộp, ta có số bút chì xếp theo chiều ngang 60 60   12 (cây x bút) số bút chì xếp theo chiều dọc 60 120   �13,86 (cây bút), hay nói cách khác 13 bút y Vậy tổng số bút chì xếp hộp 12 �13  156 (cây bút) Ví dụ 2.13 Một thầy giáo dự định thiết kế xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ tơn hình chữ nhật có kích thước 1m �20 m (biết giá 1m tôn 90.000 đồng) cách sau đây: Cách 1: Gò tơn ban đầu thành hình trụ hình 94 Cách 2: Chia chiều dài tôn thành phần, gị thành hình hộp chữ nhật hình Biết sau làm xong bể theo dự định, mức nước đổ vào bể bơi cao 0,8 m giá nước 9.955 đồng/ m Kinh phí thầy giáo có triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách để không vượt kinh phí (Giả sử kinh phí tính đến chi phí theo kiện tốn) A Cách B Cách C Cách cách D Khơng cách Lời giải +) Diện tích tôn S  1�20  20 m Chi phí cho tơn 20 �90000  1.800.000 (đồng) Khi số tiền thầy giáo cịn dư 2000.000  1.800.000  200.000 (đồng) +) Gọi V thể tích lượng nước đổ vào bể bơi, S diện tích đáy bể bơi ta có V  0,8�S số tiền tương ứng với lượng nước 0,8�9955 �S (đồng) Khi diện tích ��� 9955 S đáy bể bơi thỏa mãn 0,8� 200000 S 25,113  m  +) Nếu thiết kế theo hình diện tích đáy bể bơi S  �4  24  m  Chọn B 20  m   m  m O Hinh  m  m  m Hinh1  m 4 m  m  m 6,0  m  95 Và thiết kế theo hình diện tích đáy bể bơi �20 � S   �� �2 �31,8  25,113  m2  , suy vượt kinh phí �2 � Ví dụ 2.14 Cho nến hình lăng trụ lục giác đều, biết độ dài chiều cao độ dài 50  mm  cạnh đáy nến 150 mm 50 A mm a Người ta dùng giấy bao hình chữ nhật để F quấn kín vịng xung quanh thân nến Tính E diện tích lớp giấy bao b Sau hoàn tất việc bọc thân nến, người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật hình vẽ Biết nến nằm vừa khít hộp, tìm kích F1 A1 B C 150 mm I   D B1 C1 E150 mmD1   thước hộp Lời giải a Tính diện tích lớp giấy bao quấn nến +) Vì nến có dạng khối lăng trụ đứng nên mặt bên hình chữ nhật Ngồi đáy nến lục giác nên tất hình chữ nhật Gọi S diện tích hình chữ nhật (là mặt bên nến), ta có kích thước hình chữ nhật 2 150 mm �50 mm , ta có S  150 �50  7500  mm   75  cm  +) Nhận xét diện tích phần giấy bao để quấn kín vịng xung quanh thân nến diện tích xung quanh khối lăng trụ lục giác lần diện tích mặt bên, 6S  450  cm  b Tìm kích thước hộp +) Nhận xét: Chiều cao hộp chiều cao nến 150 mm Ta xét mặt phẳng đáy hộp, đồng thời mặt đáy nến Ta có đáy lăng trụ lục giác ABCDEF có cạnh 50 mm hình vẽ Ta có hai kích thước 96 K đáy hộp đoạn G +) Do tứ hình bình CI=IF=ED, Xét tam giác A B H C  m tìm A m   E J độ dài Q  m F 12  m  D thẳng AE CF giác EDIF EDCI hành nên CF=CI+IF=2ED= �50  100  mm  vuông AEB vuông AE  EB  AB  1002  502  50  mm  +) Vậy kích thước hộp (dài, rộng, cao) 100 mm �50 mm �150 mm Ví dụ 2.15 Một nhà có dạng hình lăng trụ ngũ giác đứng với kích thước hình vẽ a Tính thể tích nhà cho b Chủ nhà định sơn tường quanh nhà (khơng tính phần mái nhà sàn nhà) với mức giá 10.000 đồng/m2 Hỏi chủ nhà phải trả tiền cho việc sơn nhà 97 Lời giải B A  m D P E M 1,6  m  H K Q C  m 12  m  F N +) Nhận xét: Chiều dài nhà h=12m chiều cao khối lăng trụ Xét mặt trước nhà, ngũ giác ABCDE có diện tích S ABCDE  SY BCDE  SABE  8.4  2.4  36  m  +) Vậy thể tích nhà V  h.S ABCDE  12 �36  432  m  +) Gọi S diện tích phần diện tích sơn nhà Ta có S  S ABCDE  S JKGFQ  SY EDFQ  SBCGK   SY BCDE  S ABE    SY KQFG  SJKQ   SY EDFQ  S BCGK � � S   SY BCDE  SABE  SY EDFQ   �8 �4  �2 �4  �12 � 264  m2  � � +) Vậy diện tích cần sơn 264  m  tổng chi phí cho sơn nhà 2.640.000 đồng Ví dụ 2.16 Cho nhà có dạng khối đa diện, phần mái nhà nhà có kích thước hình vẽ Biết chiều cao phần mái nhà 160 cm a Tính thể tích phần mái nhà b Tính góc mặt mái nhà với sàn phần áp mái Lời giải 12  m  a Tính thể tích phần mái nhà +) Dựng mơ hình mái nhà khối đa diện AEF BDC Qua A dựng mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  CDEF  song song với EF, cắt ED FC điểm M N Tương tự dựng mặt phẳng qua đỉnh B vng góc với mặt phẳng  CDEF  song song với CD, cắt ED FC 98 E  m A  m F D B C điểm P Q Khi khối đa diện AEFBDC chia thành hai khối chóp tứ giác tích A.EFNM , B.PQCD khối lăng trụ đứng tam giác AMN BPQ +) Dựa vào vẽ, ta xác định kích thước cần thiết sau: CD  EF  m, CF  ED  12 m, EM  FN  DP  CQ  m, AB  12    m 1 64 64 +) Ta có VA.EFNM  d  A,  EFNM   SY EFNM  AH EM EF  � VB.PQCD  VA.EFNM   cm  3 15 15 128 VAMN BPQ  MP.SAMN  d  A, MN  MN  4d  A,  EFCD   MN   m  +) Thể tích phần mái nhà V  VA EFNM  VB PQCD  VAMN BPQ  64 64 128 512    m  15 15 15 a Tính góc mặt mái nhà với sàn phần áp mái +) Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh A đường thẳng MN K hình chiếu vng góc đỉnh A đường thẳng EF Khi đường thẳng EF vng góc với mặt phẳng (AHK) góc mặt phẳng (AEF) với mặt phẳng (EFCD) góc � AKH  � AKH  Xét tam giác vng AHK có tan AH  HK 1,6 0,8 � AKH 38040' Lại có góc hai mặt phẳng (ABCF) (EFCD) góc � ANH  � ANH  Xét tam giác vng AHN có tan AH  HN 1,6 0,8 � ANH 38040' +) Vậy góc mặt bên sàn áp mái mái nhà �380 40' Ví dụ 2.17 Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp m; 1,2m;1,8 m (người ta xây hai mặt thành bể hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bể thể tích thực bể chứa lít nước? (giả sử lượng xi măng không đáng kể) A 738 viên, 5742 lít B 730 viên, 5742 lít B 738 viên, 5740 lít D 730 viên, 5740 lít 99 Ví dụ 2.18 Một khay đá viên gồm ngăn nhỏ, ngăn nhỏ có dạng hình chóp cụt với miệng đáy đáy hình vng (kích thước miệng lớn đáy) Độ dài cạnh đáy lớn chiều cao ngăn đá 30  mm  , 25  mm  Cho biết tổng thể tích ngăn đá 60  ml  Hãy tìm diện tích đáy nhỏ ngăn đá Ví dụ 2.19 Một khay đá viên gồm ngăn nhỏ, ngăn nhỏ có dạng hình chóp cụt với miệng đáy đáy hình vng (kích thước miệng lớn đáy) Biết kích thước khay đá (dài, rộng, cao) 160 �80 �25  mm  , khoảng cách ngăn đá khơng đáng kể Biết góc mặt bên ngăn đá mặt phẳng miệng 750 Hãy tính tổng thể tích ngăn đá Ví dụ 2.20 Một khối tháp có 20 bậc, bậc khối đá hình lăng trụ đứng tam giác Bậc khối tháp khối lăng trụ ABC A1B1C1 có kích thước A1B1  dm, B1C1  2dm, AA1  2dm, � A1B1C1  900 Với i  1, 2, 3, 20, cạnh Bi Ci lập thành cấp số cộng với cơng sai d  1cm Các góc � Ai BiCi lập thành cấp số cộng với công sai d  30 , chiều cao Ai Ai ' lập thành cấp số cộng có cơng sai d  dm Các mặt BiCi Ci ' Bi ' nằm mặt phẳng Cạnh Ai 1Bi 1 �AC i i , đỉnh Bi 1 �Bi ', i  1, 2, 3, 19 Tính gần thể tích tồn khối tháp 3 A V  17560  dm  B V  17575  dm  C V  16575  dm  D V  17755  dm  III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách có hệ thống phát triển toán khối đa diện số ứng dụng chúng thực tế Học sinh học hỏi đúc rút kinh nghiêm qua ví dụ cụ thể Các ví dụ điển hình cấp độ vận dụng cao xây dựng đáp ứng đông đảo đối tượng học sinh khá, giỏi Mỗi học sinh lĩnh hội ví dụ, nội dung phù hợp với thân Đặc biệt em học sinh giỏi cảm thấy hứng thú tiếp cận giải tốn có mơ hình khối đa diện mẻ, đặc biệt Ngoài sáng kiến cịn đưa nhiều tốn có nội dung liên quan đến thực tế lạ, đáp ứng kì thi THPT Quốc gia Thực tế, qua kiểm tra đánh giá sau áp dụng sáng kiến hai lớp 12A3 12A6 trường THPT TRỰC NINH năm học 2016-2017, tơi có kết sau 100 Kết kiểm tra lớp 12A3 Trước áp dụng sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến Số học sinh đạt điểm giỏi (%) Số học sinh đạt điểm (%) Số học sinh đạt điểm trung bình (%) 50 30 20 80 10 10 Số học sinh đạt điểm giỏi (%) Số học sinh đạt điểm (%) Số học sinh đạt điểm trung bình (%) 30 30 40 50 40 10 Kết kiểm tra lớp 12A6 Trước áp dụng sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh có phương pháp cách nhìn tổng qt, hồn thiện khối đa diện Học sinh tự tin lựa chọn phương pháp phù hợp để giải tốn Sáng kiến thực luồng gió để ngày có nhiều học sinh quan tâm, đam mê chinh phục cảm thấy có hứng thú với Tốn học nói chung chun đề phát triển khối đa diện số ứng dụng thực tế nói riêng Một hướng phát triển sáng kiến kinh nghiệm phát triển toán khối trịn xoay (khối cầu, khối nón, khối trụ) số ứng dụng chúng thực tế Do khn khổ viết có hạn nên tơi tiếp tục viết chuyên đề vào thời gian sau với mục tiêu phát triển tốn hình học khơng gian nói chung IV LỜI CAM ĐOAN Chúng tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm thân suy nghĩ sáng tạo ra, không chép tác giả Chúng tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm vi phạm lời cam đoan TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 101 ( Đã duyệt) ( Đã ký) 102 MỤC LỤC I Điều kiện hoàn cảnh tạo giải pháp…………………………………Trang 1-2 II Mô tả giải pháp…………………………………………………………Trang 2-3 Chương Các phương pháp tính thể tích khối đa diệnTrang 4-67 Bài Một số mơ hình hình chóp bản……………………………………… Trang Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy……………………… Trang 4-5 Hình chóp có mặt phẳng qua đỉnh vng góc với mặt đáy…Trang 6-14 Hình chóp đều………………………………………………………… Trang 14-27 Hình chóp có ba cạnh bên tạo với đáy góc Trang 27-32 Hình chóp có ba mặt bên tạo với đáy góc nhau………… Trang 32-36 Hình chóp có chân đường cao cho trước………………………………Trang 36-38 Hình lăng trụ………………………………………………………… Trang 38-47 Một số hình chóp đặc biệt khác……………………………………… Trang 48-59 Bài Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện…………….Trang 60-67 Chương Một số ứng dụng thực tế liên quan đến khối đa diện Trang 68-90 III IV Hiệu sáng kiến đem lại……………………………………………………….Trang 91 Lời cam đoan…………………………………………………………………………….Trang 92 103 CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Sở GD ĐT tỉnh Nam Định - Trường THPT , huyện , tỉnh Nam Định Chúng : Tỷ lệ (%) Ngày STT Họ tên tháng năm Trình độ đóng góp Nơi cơng tác Chức danh sinh 13/03/1985 THPT 12/08/1975 THPT chuyên vào việc môn tạo sáng kiến 50% 50% - Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “ Phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thực tế kì thi nay” - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học - Đối tượng áp dụng: Dạy cho học sinh lớp 11,12 thi THPT Quốc gia - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Từ ngày 10/10/2016 đến ngày 20/05/2017 - Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thực tế Một số ví dụ điển hình cấp độ vận dụng cao xây dựng đáp ứng đông đảo cho đối tượng học sinh khá, giỏi Sáng kiến đưa nhiều tốn có nội dung liên quan đến thực tế lạ, đáp ứng kì thi THPT Quốc gia giúp học sinh có phương pháp cách nhìn tổng qt, hoàn thiện khối đa diện Hơn sáng kiến tạo nên niềm đam mê với mơn Tốn học đặc biệt phát triển tư khối đa diện để ứng dụng số toán thực tế nói riêng Một hướng phát triển sáng kiến kinh nghiệm phát triển toán khối trịn xoay (khối cầu, khối nón, khối trụ) số ứng dụng chúng thực tế Do khn khổ viết có hạn nên tơi tiếp tục viết chuyên đề vào thời gian sau với mục tiêu phát triển tốn hình học khơng gian nói chung Đánh giá lợi ích áp dụng sáng kiến: Qua kiểm tra đánh giá sau áp dụng sáng kiến hai lớp 12A3 12A6 trường THPT năm học 2016-2017: + Hầu hết học sinh hứng thú hăng say học tập; + Học sinh hiểu hứng thú đạt kết tốt; 104 + Học sinh có mối liên hệ nội dung học toán thực thế; + Phát huy niềm say mê, tính tích cực học Tốn cho học sinh Chúng tơi xin cam đoan thông tin đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật ………… , ngày 25 tháng năm 2017 Trường THPT …………… Người nộp đơn Hiệu trưởng (Đã ký) ( Đã ký) 105 ... sinh Phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thực tế chuyên đề mang nội dụng quan trọng, phổ biến với nhiều dạng toán mà thường gặp kì thi kiểm tra chất lượng học kì, cuối năm, đặc biệt kì thi. .. với dạng Toán mẻ, bật toán có bao hàm nội dung liên quan đến thực tế, có tốn thực tế liên quan đến mơ hình khối đa diện Các em học sinh phải chiếm lĩnh chuyên đề thể tích khối đa diện toán liên... sinh cảm thấy có hứng thú có niềm đam mê chinh phục nội dung Tốn học đỉnh cao này, tơi mạnh dạn xây dựng nên chuyên đề ‘? ?Phát triển toán khối đa diện số ứng dụng thực t kì thi II Mễ T GIẢI PHÁP