Đang tải... (xem toàn văn)
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh khai thác hướng giải các bài toán: “Giải phương trình nghiệm nguyên”. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn toán lớp 8. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: ... 4. Thông tin về tác giả : Họ và tên : .... Năm sinh : ...
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh khai thác hướng giải tốn: “Giải phương trình nghiệm ngun” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn toán lớp Thời gian áp dụng sáng kiến: Thông tin tác giả : Họ tên : Năm sinh : Trình Độ chun mơn : Đại học Chức vụ công tác : Giáo viên Nơi làm việc : Địa liên hệ : Điện thoại : Đơn vị áp dụng sáng kiến : MỤC LỤC A ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN B MÔ TẢ GIẢI PHÁP .3 I Thực trạng trước tạo sáng kiến II Các giải pháp Hệ thống số kiến thức Các biện pháp thực học sinh .7 Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề 1: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp 1: Phát tính chất chia hết ẩn Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình ước số 22 Phương pháp 3: Phương pháp tách giá trị nguyên 34 Phương pháp 4: Phương pháp xét số dư vế 46 Chuyên đề 2: Phương pháp dùng bất đẳng thức 54 Phương pháp 1: Phương pháp thứ tự ẩn .54 Phương pháp 2: Phương pháp nghiệm nguyên 67 Phương pháp 3: Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai 70 Chuyên đề 3: Phương pháp dùng tính chất số phương 75 Phương pháp 1: Phương pháp tạo bình phương 75 Phương pháp 2: Phương pháp tạo tổng bình phương 82 Phương pháp 3: Phương pháp dùng nguyên lí kẹp 93 C HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI .106 D CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP, VI PHẠM BẢN QUYỀN 107 A ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Phương trình nghiệm nguyên kiến thức trọng tâm phân môn đại số lớp Việc giải tốn giải phương trình nghiệm nguyên giúp học sinh ghi nhớ, tổng hợp kiến thức Giải tốn phương trình nghiệm nguyên hay khó giúp học sinh nâng cao khả phân tích, tổng hợp kiến thức, đồng thời giúp em phát huy tối đa trí thơng minh Đối với học sinh lớp nói chung học sinh giỏi lớp8 nói riêng, em có khả tự học dựa vào khả tự học mà khơng có hướng dẫn, gợi mở giáo viên em khó “chinh phục” tốn chun đề phương trình nghiệm ngun cách tồn diện Là giáo viên mơn Tốn trường THCS Nguyễn Hiền, tơi bồi dưỡng học sinh giỏi đội tuyển tốn nhà trường gần năm Thấy ý nghĩa tầm quan trọng chuyên đề “Giải phương trình nghiệm ngun”, tơi suy nghĩ, tìm tịi dành tâm huyết để viết đề tài với mục đích bồi dưỡng tư duy, phát triển trí thơng minh, tính chủ động cho học sinh góp phần nâng cao hiệu học tập, đặc biệt kỳ thi quan trọng như: Thi học sinh giỏi cấp huyện, thi tuyển sinh vào trường chuyên nước tỉnh Nam Định B MÔ TẢ GIẢI PHÁP I Thực trạng trước có sáng kiến: Thuận lợi: Bản thân giáo viên trực tiếp giảng dạy học sinh giỏi đội tuyển toán lớp nên có hội thử nghiệm sáng kiến, đúc rút kinh nghiệm khẳng định giá trị sáng kiến Học sinh trường THCS Nguyễn Hiền nói chung học sinh giỏi đội tuyển tốn nói riêng hầu hết có ý thức học tập nghiêm túc Tài liệu tham khảo nhiều như: Báo toán học tuổi trẻ, báo toán tuổi thơ; sách giáo sư đầu nghành toán qua trang mạng giáo dục Khó khăn: Tuy sách viết chuyên đề nhiều xong hầu hết học sinh sử dụng tài liệu em biết lời giải tốn mà khơng biết đường lối suy nghĩ để tìm hướng giải cho tốn Ở sáng kiến kinh nghiệm tơi giúp em học sinh biết cách suy nghĩ để tìm hướng giải cho tốn Điều địi hỏi giáo viên không hiểu sâu sắc chất kiến thức, nhiều kinh nghiệm làm mà đòi hỏi có ngơn ngữ diễn đạt sáng, dễ hiểu Là giáo viên tốn, điều khiến tơi phải rèn luyện cố gắng nhiều Đứng trước tốn phương trình nghiệm ngun, học sinh chưa có định hướng cách chủ động việc lựa chọn phương pháp giải toán Nhiều bước giải tốn cịn thiếu xác, thiếu chặt chẽ Nguyên nhân học sinh chưa hệ thống kiến thức cách đầy đủ, chưa biết tổng hợp kiến thức thành công cụ cho thân để vận dụng giải toán Đứng trước yêu cầu toán, học sinh chưa biết xuất phát từ đâu Khi dựa vào hướng dẫn giải toán tài liệu SGK sách tham khảo, học sinh tiếp thu thụ động mà chưa chủ động tổng hợp phương pháp giải Trước thực trạng đó, tơi tìm giải pháp tích cực nhằm đem lại hiệu tốt cho hoạt động dạy học, đồng thời trang bị thêm phương pháp giải toán giải pháp để nâng cao hứng thú học tập, kích thích tính tự giác tự học học sinh II CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN Hệ thống số kiến thức cần thiết 1.1 Định nghĩa phép chia hết: a, b �(b 0) q, r cho a bq r với 0 �r< b - Nếu r 0 � a b M - Nếu r �0 � a không chia hết cho b 1.2 Một số tính chất: a,b,c,d �� - Nếu a a a a - Nếu a b b c a c - Nếu a b b a a = b - Nếu a b a c a BCNN(b; c) - Nếu a b, a c (b, c) = a bc - Nếu a b ac b 1.3 Một số định lí thường dùng - Nếu a c b c (a b) c - Nếu a c b d ab cd - Nếu a b an bn ( n nguyên dương) Một số hệ áp dụng: + a, b �� n nguyên dương ta có (an – bn) (a – b) + a, b �� n chẵn (n nguyên dương) ta có (an – bn) (a + b) + a, b �� n lẻ (n nguyên dương) ta có (an + bn) (a + b) 1.4 Tính chất số phương - Số phương khơng tận 2, 3, 7, - Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 - Số phương chia cho dư dư - Số phương chia cho dư dư - Số phương chia cho dư 0, dư dư - Số phương chia cho dư 0, dư dư - Số phương lẻ chia cho số dư - Lập phương số nguyên chia cho dư 0; - Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp 1.5 Các dấu hiệu chia hết + Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có chữ số tận 0;2;4;6;8 + Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng chữ số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 4: Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có chữ số tận + Dấu hiệu chia hết cho 8: Số có chữ số cuối hợp thành số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng chữ số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 10: Số có chữ số tận + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có hiệu tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 1.6 Các đẳng thức đáng nhớ: 1/ A B A 2AB B2 2 / A B A 2AB B2 / A B2 A B A B / A B A3 3A B 3AB2 B3 / A B A3 3A B 3AB2 B3 / A3 B3 A B A AB B2 / A3 B3 A B A AB B2 / A B C A B2 C2 AB BC CA 1.7 Một số bất đẳng thức quen thuộc: (Lưu ý: Khi sử dụng, học sinh phải chứng minh Bất đẳng thức 2.1 Bất đẳng thức 2.2 với n �3) * Bất đẳng thức Côsi: a1 a2 a3 an �n n a1a2 an với n N * ; n 2 ; �0 Dấu xảy i 1; n a1 a2 a3 an * Bất đẳng thức Bunhia : a 2 a2 a n x x2 xn a1 x1 a x2 a n xn 2 ai ; xi ; i 1; n n N * Dấu xảy a a1 a n x1 x2 xn 1.8 Các phép biến đổi tương đương phương trình - Nếu cộng vào hai vế phương trình với số biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình cho, ta phương trình tương đương - Nếu nhân vào hai vế phương trình với số khác khơng biểu thức khác không mà không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình cho, ta phương trình tương đương - Tính chất nâng lên lũy thừa bậc hai vế: a, A B A n B n với n số tự nhiên lẻ b, A B A n B n với A 0; B 0; n N * n chẵn Các biện pháp thực học sinh Trước dạy chuyên đề cho em làm kiểm tra với tập giải phương trình nghiệm ngun Tơi chấm phân tích chất lượng kiểm tra chi tiết với đối tượng học sinh cụ thể học sinh Khi dạy chuyên đề dạy phần tương ứng với đơn vị kiến thức chuyên đề cho tất học sinh lớp trường THCS Nguyễn Hiền Phần tập vận dụng cấp độ giảng dạy cho em học sinh khá, tập vận dụng cấp độ cao dành cho em học sinh giỏi đội tuyển toán Sau cung cấp phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên , cho em tự rút kinh nghiệm cho Sau tơi bổ sung chốt lại kinh nghiệm cần nhớ chuyên đề Cuối cho em làm kiểm tra với tập giải phương trình nghiệm nguyên Sau chấm trả phân tích chất lượng chi tiết để so sánh với chất lượng kiểm tra trước dạy chuyên đề Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề 1: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Phương pháp 1: Phát tính chất chia hết ẩn Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình ước số Phương pháp 3: Phương pháp tách giá trị nguyên Phương pháp 4: Phương pháp xét số dư vế Chuyên đề 2: Phương pháp dùng bất đẳng thức Phương pháp 1: Phương pháp thứ tự ẩn Phương pháp 2: Phương pháp nghiệm nguyên Phương pháp 3: Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Chuyên đề 3: Phương pháp dùng tính chất số phương Phương pháp 1: Phương pháp tạo bình phương Phương pháp 2: Phương pháp tạo tổng bình phương Phương pháp 3: Phương pháp dùng nguyên lí kẹp để giải phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề 1: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết §1 Phương pháp phát tính chất chia hết I Cơ sở lí luận phương pháp Đây phương pháp học sinh nghĩ tới gặp tốn phương trình nghiệm nguyên dạng ax by c Nhưng để làm theo phương pháp ta phải giúp học sinh hiểu chất kiến thức phương pháp Đó muốn tìm nghiệm nguyên phương trình ta kiểm tra tính chia hết c ax (hoặc c by) cho số k nguyên đó, từ ta phải lập luận để by phải chia hết cho số k, đặt y theo k vào phương trình ban đầu tìm x Muốn kiểm tra tính chia hết c ax cần sử dụng kiến thức sau: Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 + Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có chữ số tận 0;2;4;6;8 + Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng chữ số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 4: Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 5: Số có chữ số tận + Dấu hiệu chia hết cho 8: Số có chữ số cuối hợp thành số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng chữ số chia hết cho + Dấu hiệu chia hết cho 10: Số có chữ số tận + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có hiệu tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 Một số tính chất: a,b,c,d � Nếu a a Ma Ma Nếu a Mb b Mc a Mc Nếu a Mb b Ma a = b Nếu a Mb a Mc a MBCNN(a,b) Nếu a Mb , a Mc (b,c) = a Mb.c Nếu a Mb ac Mb ( c ��) Một số định lí thường dùng Nếu a Mc b Mc (a b) Mc Nếu a Mc b Md ab Mcd Nếu a Mb an Mbn ( n nguyên dương) II Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 3x 17 y 159 (1) * Phân tích tìm lời giải: - Học sinh nhận thấy muốn tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình (1) ta phải kiểm tra tính chia hết 159; 17 mà 3xM 3 x ��nên 17 yM - Ta thấy 159 M3 nên 3x yM - Ta có 17 hai số nguyên tố nên y phải chia hết cho - Đặt y = 3k ( k ��) Thay vào phương trình (1) tìm x Do ta có lời giải sau: * Lời giải: Giả sử tồn số nguyên x, y thỏa mãn (1) (do 17 hai số nguyên tố Vì x ��� 3xM Mà 159Mdo 17yM � yM nhau) Đặt y = 3k ( k ��) Thay vào phương trình ban đầu ta có: 3x 17.3k 159 � x 17k 53 � �x 53 17k (k ��) Do đó: � � y 3k � �x 53 17k (k ��) vào phương trình ban đầu thỏa mãn Thử lại, thay � � y 3k Vậy phương trình cho có vơ số nghiệm ngun (x;y) biểu thị công � �x 53 17k (k ��) thức: � � y 3k 10 x x x 3x 3x x � 2x2 2x � x( x 1) - Do dễ dàng ta giải phương trình * Lời giải: Giả sử phương trình có nghiệm x,y nguyên Ta có: x x ( x ) x 3 � x x x x hay y x Xét hiệu: x x x x = x x 12 x 24 - ( x3 x x ) = x 11x 5( x 11 19 ) 0 10 20 � ( x 2)3 x3 x x y Do ( x 2)3 y x với x,y nguyên � y x Khi phương trình trở thành: x x x3 3x 3x x � 2x2 2x � x( x 1) �x �� x 1 � Với x = suy y = Với x = -1 suy y = Vậy phương trình có nghiệm (x,y) nguyên là: (0; 1),(-1; 0) 97 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x x y y 20 (2) (Chuyên Hải Dương 2015 – 2016) * Phân tích hướng giải - Nếu giải phương trình (2) phương pháp đưa phương trình tích điều vơ khó khăn bậc cao phương trình bậc - Ta nhận thấy chuyển hạng tử y ; y sang vế phải ta x x 20 y y - Nhận thấy y y y ( y 1) Từ ta định hướng giải (2) cách sử dụng nguyên lí kẹp: x( x 1) y ( y 1) ( x 2)( x 3) � y x - Do ta có lời giải sau: * Lời giải: Giải sử phương trình có nghiệm x,y ngun Ta có : x x y y 20 � x x 20 y y Nhận thấy x x x x 20 x x 20 x � x ( x 1) y ( y 1) �( x 4)( x 5) Mà x,y �� nên ta xét trường hợp sau: TH1: y y 1 (x 1)( x 2) � x x 20 x 3x �x � x 18 � x � � x 3 � Với x ta có y y 92 20 � y y 110 � y 10 y =-10 98 TH2: y y 1 (x 2)( x 3) � x x 20 x x � x 14 � x TH3: y y 1 (x 4)( x 5) � x x 20 x x 20 � x � x � x y 5 � 2 Với x = Với x ta có y y 20 � y y 20 � � �y Vậy phương trình có nghiệm (x,y) ngun là: (3; 10), (3; -11), (-3; 10), (-3; -11), (0; -5), (0; 4) III Bài tập vận dụng: Bài Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương x x3 x x (HSG Tỉnh Hậu Giang 2016 – 2017) Bài Tìm số tự nhiên x,y,z,t thỏa mãn hai điều kiện sau �x x y z �2 �y y x t Bài Tìm x,y nguyên thỏa mãn x 2016 y 2016 y1344 y 672 (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 367) Bài Chứng minh với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên dương x cho x(x + 1) = k(k+2) (HSG Tỉnh Tuyên Quang 2016 – 2017) 99 Bài Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương x x x x (HSG tỉnh Hậu Giang 2016 – 2017) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x y y (Chuyên Khánh Hịa 2015 – 2016) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x x y y 10 (Chuyên Kon Tum 2016 – 2017) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn ( x 1) ( x 1) y (Chuyên Trà Vinh 2016 – 2017) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x y z x z 3x z (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 455) Bài 10 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn y x x x x (Chuyên Ninh Bình 2016 – 2017) Bài 11 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn y x x (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 436) Bài 12 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn y x x3 x x (Chuyên Lào Cai 2017 – 2018) Bài 13 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình y x ( x x 1) ( x 1) (Chuyên Tiền Giang 2017 – 2018) Bài 14 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x ( x 1) y ( y 1) (Chuyên Bạc Liêu 2016 – 2017) 100 Bài 15 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình y y x x x x (Chuyên Phú Yên 2016 – 2017) Bài 16.Tìm số tự nhiên thỏa mãn phương trình ( x y )( y x) 2( x y )3 (Chuyên Lào Cai 2016 – 2017) Bài 17 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình ( x y )2 33 y 16 (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 443) Hướng dẫn tìm lời giải Bài 1.Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương x x x x (HSG Tỉnh Hậu Giang 2016 – 2017) * Phân tích hướng giải: - Trước hết ta đặt x x x x y với y số tự nguyên - Khi tốn trở thành tìm x,y ngun để x x x x y - Đây phương trình bậc khó để áp dụng phương pháp đưa dạng tích, dạng tổng hay sử dụng tính chất chia hết - Nhận thấy y ( x x) ( x x 3) - Ta chứng minh a y (a 2)2 với a = x2 + x - Khi đó: y (a 1) ( x x 1) � ( x x 1) x x x x �x �� x 2 � - Lúc biểu thức cho 101 - Vậy x = 1; x = -2 giá trị cần tìm Bài Tìm số tự nhiên x,y,z,t thỏa mãn hai điều kiện sau: �x x y z �2 �y y x t * Phân tích hướng giải: - Nhận thấy tốn phức tạp Đa số HS tìm cách phân tích phương trình để tìm x,y,z,t Tuy nhiên hướng làm nhiều thời gian Đôi không giải vấn đề - Quan sát thấy phương trình có cầu trung gian x y Hơn �a x với a,b b y � vai trị x,y phương trình đối xứng Nên ta đặt � số tự nhiên Khi điều kiện toán viết lại a 3b z ; b 3a t - Ta có: a 3b �(a 2) b 3a �(b 2)2 Như dấu không đồng thời xảy 2 � a 3b ( a 2) - Do BĐT � � b 3a (b 2) - Giả sử a 3b (a 2) Khi a a 3b z (a 2)2 � a 3b (a 1)2 � 3b 2a x 3k � � y 2k Suy � (k số nguyên dương) � b 3a 4k 13k � Xét k > (2k 3) 4k 13k (2k 4) suy b 3a khơng số phương 102 � a 1 � Với k = ta có � b � b 3a � � a4 � Với k = ta có � b � b 3a 21 � � a7 � Với k = ta có � b � b 3a 46 � � a 10 � Với k = ta có � b � b 3a 79 � � a 13 � Với k = ta có � b � b 3a 120 � Như x = y= 0; z = t= thỏa mãn Bài Tìm x,y nguyên thỏa mãn x 2016 y 2016 y1344 y 672 (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 367) * Phân tích hướng giải: - Khi gặp phương trình với lũy thừa số mũ lớn việc áp dụng phương pháp quen thuộc tách giá trị nguyên, đưa dạng tích, đưa dạng tổng, gặp khó khăn - Nhận thấy 2016 6723 ;1344 6722 Đặt u x 672 ; v y 672 Ta có phương trình: u v v v (v 1)3 Mà u v (v 1)(v 2) Nếu v >1 v < -2 (v - 1)(v + 2) > Khi (v 1)3 u v (v 1)(v 2) v3 � v u v (loại) 103 Nếu 2 �v �1 � v � 2; 2;0;1 Xét trường hợp ta có nghiệm phương trình - Vậy nghiệm nguyên(x,y) phương trình là: (1; 1), (1; -1) Bài Chứng minh với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên dương x cho x(x + 1) = k(k + 2) (HSG Tỉnh Tuyên Quang 2016 – 2017) * Phân tích hướng giải: Giải sử có x(x + 1) = k(k + 2) với k nguyên x nguyên dương Ta có: x x k 2k � x x k 2k (k 1)2 Do x > nên x x x (k 1) Vì x > nên x x (k 1) x x ( x 1) Do x ( k 1) ( x 1)2 Vậy không tồn số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x y y (Chuyên Khánh Hịa 2015 – 2016) * Phân tích hướng giải: Ta có: x y y � ( x ) ( y ) y Xét hiệu: x ( y 1) y ( y 2) x y Do ( y 1) �x ( y 2) Khi ta có phương trình: ( y 1) y y suy y = suy x = x = -1 Vậy nghiệm (x,y) là: (1; 0), (-1; 0) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x x y y 10 (Chuyên Kon Tum 2016 – 2017) 104 * Phân tích hướng giải: - Ta có: x x y y 10 � x x 10 y ( y 1) x ( x 1) - Xét hiệu: ( x 3)( x 4) y ( y 1) x � y ( y 1) ( x 3)( x 4) - Từ suy x ( x 1) y ( y 1) ( x 3)( x 4) �y ( y 1) ( x 2)( x 1) Mà y, x nguyên nên suy � 2 �y ( y 1) ( x 2)( x 3) - Giải TH tìm (x,y) là: (2; 6), (-2; 6), (2; -5), (-2; -5), (1; 4), (-1; 4), (1; -3), (-1; -3) Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn ( x 1) ( x 1) y (Chuyên Trà Vinh 2016 – 2017) * Phân tích hướng giải: - Ta có: ( x 1) ( x 1) y � x3 x y Nếu x = y = Nếu x �1 y x x (2 x)3 Xét hiệu: (2 x 1)3 y 12 x x � y (2 x 1)3 Từ suy (2 x)3 y (2 x 1)3 (loại) Nếu x �1 (2 x 1)3 y (2 x)3 (loại) Vậy nghiệm nguyên phương tình x = y = Bài Tìm số nguyên x,y thỏa mãn x y z x z x z (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 455) * Phân tích hướng giải: - Ta có x y z x z 3x z � ( x z )2 3x z y ( y ) � y x2 z )2 105 - Xét hiệu: ( x z 2)2 y x2 Do đó: ( x z )2 y ( x z 2)2 � y x z Từ tìm x = 0, z = y = y = - - Vậy nghiệm nguyên (x,y,z) là: (0; 1; 0), (0; -1; 0) Bài 10 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn y x x x3 x (Chuyên Ninh Bình 2016 – 2017) * Phân tích hướng giải: - Nếu x = y = y = -1 - Nếu x khác thì: y 4(1 x x x3 x ) (2 x x) - Ta lại có: y 4(1 x x x3 x ) (2 x x 2) x (2 x x 2) Do (2 x x 2) y (2 x x) � y (2 x x 1) x 1 � �� �x Vậy nghiệm nguyên (x, y)của phương trình (-1; 1), (-1; -1), (3; 11), (3; -11) Bài 11 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn y x x (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 436) * Phân tích hướng giải: - Nếu x = suy y = y = -1 - Nếu x = -1thì suy y2 = (loại) - Nếu x = y = y = -1 - Nếu x �2 � y x x3 � (2 x x 1) (2 y ) (2 x x 1) 106 � (2 y ) (2 x x) � x � y �3 - Nếu x �2 đặt t = - x y2 t t3 1 � (2t t 1) (2 y ) (2t t 1) � (2 y ) (2t t ) � t � x 2 � y �5 - Vậy nghiệm (x,y) phương trình là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (1; -1), (2; 3), (2; -3), (-2; 5), (-2; -5) 107 Những kinh nghiệm cần nhớ giải phương trình nghiệm nguyên - Nếu gặp phương trình bậc với hai ẩn: Có dạng ax + by = c với nghiệm x,y nguyên (a, b, c Z) Cách giải : - Rút gọn phương trình, ý đến tính chia hết ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ, chẳng hạn x, theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x - Đặt điều kiện để phân số x số nguyên t1, ta phương trình bậc hai ẩn y t1 - Cứ tiếp tục làm ẩn biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên - Nếu phương trình bậc hai hai ẩn: Ta nghĩ tới việc tách hạng tử để đưa phương trình tích Nếu khơng ta phân tích phương trình đưa dạng tổng Nếu không ta để ý đến phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc Nếu khơng ta sử dụng xét số dư vế sử dụng phương pháp tách giá trị nguyên để làm - Nếu phương trình có bậc trở lên ẩn trở lên: Với dạng phương trình bậc ba với hai ẩn ta thường đặt ẩn phụ x + y = a x – y = a xy = b đưa phương trình có bậc ẩn a bậc ẩn b, biến đổi đưa phương trình ước số Ngồi xét số lập phương liên tiếp dùng phương pháp bất đẳng thức - Nếu phương trình có vai trò ẩn nhau: Ta sử dụng phương pháp thứ tự ẩn 108 C HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI I Kết quả: Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy đội tuyển Toán trường THCS Nguyễn Hiền năm học 2016 – 2017 2017 - 2018 thu kết khả quan Chất lượng học tập học sinh mũi nhọn ngày cao Đặc biệt em hứng thú học toán hơn, vận dụng sử dụng thành thạo phương pháp cho cụ thể Sau học phương pháp giải “Phương trình nghiệm ngun”, học sinh khơng giải tốt tốn “Phương trình nghiệm ngun”, mà em cịn giải số tốn có liên quan khác như: Dạng toán chia hết Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Dạng tốn hệ phương trình nghiệm ngun Thơng qua dạng tốn “Phương trình nghiệm nguyên” giúp em học sinh phát triển tư tốt hơn, nhiều em thể rõ u thích, say mê học tốn Trong năm học 2016 – 2017 2017 -2018 HS đội tuyển Tốn với hành trang tơi cung cấp sau học chuyên đề phương trình nghiệm nguyên chuyên đề kế hoạch dạy học Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, em tự tin tham dự thi toán học cấp tổ chức dành nhiều kết cao như: Năm học 206 – 2017: - Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện có 10/12 HS làm tập giải phương trình nghiệm nguyên đạt 83.3 % Điểm trung bình đạt 16,5 xếp thứ Nhất tồn huyện Có 12 học sinh dự thi, 12/12 học sinh đạt giải có giải Nhất, giải Nhì, giải Ba - Kì thi Tốn học Hoa Kì (AMC) đạt huy chương Vàng, huy chương Bạc, huy chương Đồng - Kì thi HOMC mở rộng đạt huy chương Bạc, huy chương Đồng 109 - Kì thi Giải Tốn Tiếng Anh đạt giải Nhì, giải Ba giải Khuyến Khích Năm học 2017 – 2018: - Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện có 11/12 HS làm tập giải phương trình nghiệm nguyên đạt 91.6 % Điểm trung bình đạt 16,7 xếp thứ Nhất tồn huyện Có 12 học sinh dự thi, 12/12 học sinh đạt giải có giải Nhất, giải Nhì, giải Ba, giải khuyến khích - Kì thi Tốn học Hoa Kì (AMC) đạt huy chương Vàng, huy chương Bạc, huy chương Đồng, có học sinh lọt vào top AMC10 - Kì thi HOMC mở rộng đạt huy chương Bạc, huy chương Đồng - Kì thi Giải Tốn Tiếng Anh đạt giải Nhì, giải Ba giải Khuyến Khích II Phạm vi áp dụng Nội dung chuyên đề tài liệu phù hợp cho giáo viên ơn thi học sinh giỏi Tốn cấp THCS đặc biệt giáo viên Toán trường xây dựng trung tâm chất lượng cao bậc học THCS III Hiệu sáng kiến đem lại Sáng kiến tài liệu dạy học phù hợp cho giáo viên trường THCS Nguyễn Hiền bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết tốt năm học 2018-2019, góp phần vào thắng lợi đoàn học sinh giỏi huyện Nam Trực (đạt giải nhất, xếp thứ toàn đoàn) năm học 2018 – 2019 D CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Nội dung toàn sáng kiến biên soạn, tuyệt đối không chép, vi phạm quyền 110 CƠ QUAN ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Ký tên) (xác nhận) (Ký tên, đóng dấu) Xác nhận, đánh giá , xếp loại Phòng Giáo dục Đào tạo …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 111 ... t kết luận nghiệm phương trình III Bài tập vận dụng: Bài Gải phương trình nghiệm nguyên x 19 y 168 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên x y 200 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x y... tìm nghiệm nguyên phương trình - Như có phương trình nghiệm ngun giải nhiều phương pháp Trong trường hợp hai phương pháp giải cho lời giải đơn giản học sinh làm theo cách Nhưng số phương trình. .. Tốn học tuổi trẻ số 420) * Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm nguyên (x, y, z) là: (0;1;1) Bài 10 Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 11 * Hướng dẫn giải: � �x 3k (t ��) Ta có nghiệm