Hướng dẫn giải một số bài tập tọa độ trong không gian nâng cao

Từ bảng biến thiến ta có thể dễ nhận thấy:... Mà hai vtpt của hai mặt phẳng này chính là IA IB IA IB ,..[r]

Câu 1: Tìm m để góc hai vectơ: uu

1;log 5;log 21;log 5;log 21;log 5;log ,1;log 5;log 23 m

v

3;log 3;45

góc nhọn Chọn

phương án đầy đủ

A. 1,

2

m! mz B. m!1hoặc m

C.

m D. m!1

¾ Giải:

™ Ta có cos ,

log 5.log 4log

m

u v u v

u v u v Do mẫu số lớn nên ta tìm điều kiện để tử sốdương

™ Mặt khác log 5.log 4log 3 5 m ! œ4log 2m ! œlog 2m ! œ1 log logm ! m

m ™ Với m œ ! œ

2

m

m Kết hợp với điều kiện suy

1

2

m ™ Với m!1 œ œ !2

2

m

m Kết hợp điều kiện suy m!1 ™ Vậy m!1

2 m

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x3y2z37

điểm A

4;1;5

, B

3;0;1

, C

1;2;0

Điểm M a b c

; ;

thuộc (P) cho biểu thức

P MA MB MB MC MC MA đạt giá trị nhỏ nhất, a b c bằng:

A.10 B. 13 C. D.1

¾ Giải:

™

2

2

; ; 3êơ 2 5ẳ

M a b c P a b c

™ M ŸP 3a3b2c37 œ3

a b c2

44 ™ Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:

2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

44 3 2 3 2

44

2 88

3

ª º

êơ dẳ ơ ẳ

Ÿ t

a b c a b c

a b c

™ Dấu “=” xảy khi: 2

4;7; 2

3

œ Ÿ

a b c

M a b c

™ Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y

đường thẳng

2 1

:

2

­

° ®

°¯ m

m x m y m

d

mx m z m ( m tham số ) Tìm m đểđường

thẳng dm song song với mặt phẳng (P)

A

2

m B. m C.

2

m D m

¾ Giải:

™ dm// P œ hệPT ẩn x , y, z sau vô nghiệm:

2

2 1

2

­ °

®

°

¯ x y

m x m y m

mx m z m

™ (1) Ÿ y 2x2 Thay vào (2) ta được:

3

Ÿ

m m

x y

™ Thay x, y vào (3) ta được:

2 1

1

11 6

m z m m Để PT vơ nghiệm

1 m

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm M

1;3;9

và cắt tia Ox, Oy, Oz A a

;0;0

, B

0; ;0b

, C

0;0;c

với a, b, c số thực dương Tìm giá trị biểu thức P a b c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ

nhất

A. P 44 B. P 39 C. P 27 D

16 P

¾ Giải:

™

6

OABC

V OA OB OC abc

™ Phương trình mặt phẳng qua A, B ,C : x y z a b c ™ Vì M

ABC

Ÿ

a b c

™ Áp dụng BĐT Côsi: 1 33 27.27 121,5

6abc minVOABC

a b c a b c abc

™ Dấu “=” xảy khi:

1 3

1

9 39

1

27 a

a b c b a b c

c a b c

­ ­ °° œ° Ÿ ® ® ° ° ¯ °¯

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

1

x y z

'

ba điểm A

3;2;

, B

3; 2;3

, C

5;4;

Gọi tọa độ điểm M a b c

; ;

nằm ' cho

MA MB nhỏ nhất, giá trị biểu thức P a b c là: A 16 6

5

P B 42 6

5

P

C. 16 6

P D 16 12

5

P

¾ Giải

™ M' nên M

1t t;2 ; 1 t

2

2;2 2; 12

4;2 2; 24 36

AM t t t AM t t

BM t t t BM t t

Ÿ

Ÿ

AM

tt

AM BM

t

t

tt

™ 2 2

2

2

6 12 24 36 2

3 ê ô ằ ô ằ ô ằ ô ằ ẳ ằ

»

3

»

» » » f x

MA MB t t t t t t

™ Áp dụng BĐT Vectơ ta có:

2

2 1

1 2

3

Đ Ã Đ Ã

t ă á ă á

â â

f x t t

™ Dấu “=” xảy khi: 11 t t t Ÿ

™ Do đó: 13 16 6 13; ; 16 6

5 5

§ · Ÿ ă ă â M P

Cõu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có A trùng với gốc hệ tọa độ Cho B a

;0;0

, D

0; ;0a

, A' 0;0;

b

với a b, !0 Gọi M trung điểm cạnh CC’ Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng

A BD'

BDM

vng góc với

A. a

b B

1 a

b C.

a

b D

a b

-Từ giả thiết ta có: C a a

; ;0

;

; ;

; ;

Đ Ã

ă á

â ¹

b C a a b M a a

- Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:

2

1 , ; ;

2

§ Ã ê ă á ẳ â ạ

1 êêêêê ĐăĐĐab ab

n BD BM a

- Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:

2

2 êêêơêêê , '''ẳ

; ; n BD BA ab ab a

-Yêu câu toán tương đương với:

2 2

1 œ000œ 2 2 œ œ

a b a b a

n n a a b

b

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

'

mặt

phẳng (P): 2x y 2z Mặt phẳng (Q) chứa ' tạo với (P) góc D nhỏ nhất, góc D gần với giá trị sau đây?

A 60 B 80 C. 100 D 50

¾ Giải: ™ ':

1

x t

y t

z t

­ ° ®

° ¯

Chọn điểm

1;0;

3;1;

với t

™ (Q) chứa ' suy

Q :a x 1

byc z

Ÿ1

axby cz a c ™ Và

3;1; 

Q Ÿ3a b 2c Ÿa c 2a Ÿ b c c 2ab ™ Vậy (Q): axby

2ab z

a b Gọi D

( ),( ) ,

D ª0 ;900

ơ oẳ P Q

Ta có:

2

2

2 2

6 1 12 36

cos

3

(2 )

D

P Q

P Q

n n b a b ab a

b ab a

n n a b a b

™ Nếu a cos

3 D Ÿ

™ Nếu az0, đặt t b

a ta có:

2 2

2 2

12 36 12 36

2 5

b ab a t t

f t

b ab a t t

™

7

' 10

6 t f t

t ê ô

ô ôơ

™ 53 cos1 53 80

10 D

§ ·

§ · |

ă

ă ă á

â â ạ

maxf t f

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A

0;1;1

, B

1;0;

, C

1; 2; 3

mặt cầu (S): x2y2z22x2z Điểm D a b c

; ;

trên mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn nhất, a b c bằng:

A

B 2

3 C.1 D

4 ¾ Giải:

™ Tâm I

1; 0;

, bán kính R=2 (ABC): 2x2y z

™

;

3

ABCD ABC

V d D ABD S VABCD max d D ABC

;

max

™ Gọi D D1 đường kính (S) vng góc với (ABC) Ta thấy với D điểm thuộc (S) d D ABC

;

dmax d D

^

1;

ABC

,d D

2;

ABC

`

™ Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2

™ 1 2

1

:

1 ­ ° ®

° ¯

x t

D D y t

z t

thay vào (S) ta suy ra: 2

7 1

3 ; ; , ; ;

2 3 3 3

3 ê

ô Đ Ã Đ Ã

ô ă á ă á

â â

ô ôơ

t

D D

t

™ Vì d D

1;

ABC

!d D

2;

ABC

nên

7

; ;

3 3

§ Ã

ă

â

D a b c

Câu 9: Cho mặt cầu S :x2y2z22x4z đường thẳng

2

:

x t

d y t

z m t ­ ° ® ° ¯

Tìm m để d cắt S hai điểm phân biệt A B, cho mặt phẳng tiếp diện S A B vng góc với

A. m 1hoặc m B. m m C. m 1hoặc m D.Cả A, B, C sai

¾ Giải:

¾ Bình luận: Ta có hai mặt phẳng tiếp diện S A B vng góc với hai vtpt hai mặt phẳng vng góc với Mà hai vtpt hai mặt phẳng IA IBIA IB, Với I

1; 0;

tâm mặt cầu S

Vậy ta có hai điều kiện sau: 1.d cắt S hai điểm phân biệt IA IBIA IB 00

™ Để thỏa mãn yêu cầu đề trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức phương trình

2 2

2

2t t m t 2 t m t có hai nghiệm phân biệt

2

3t m t m 4m

œ

™ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

' m 3m 12m

' ! œ !

2

5

m m

œ

™ Với phương trình có hai nghiệm phân biệt , áp dụng định lí Viet ta có

2

1 2

4 ; 3

m m

t t t t m

™ Khi IAIA

111 t t mt t m1; ;; ;; ;1 22222 tt1

,IBIB

1111 tt t m2; ;; 2 t2

™ Vậy IA IBIA IB

1 t1

1t2

t t1 2

m t1

m t2

2

1 2

3t t m t t m

œ

2

2

4 1

m m m m

œ

4

m m ê ô

¬ (TM)

Câu 10: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A

1;1;1 ,B 1; 2;0 ,C 3; 1;

Điểm

; ;

M a b c thuộc đường thẳng : 1 1

y

x z

'

cho biểu thức

2 2

2

P MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính a b c ?

A

3 C 11

3

B D 16

3

¾ Giải:

™ Gọi D x y z

; ;

điểm thỏa 2DAA333DB444DCDC 00

™ 2DADA3333DBDB44444DCDC œ00000 22222DADA333

DA ABDA AB DA ACDA AC

œ000 DADA 4444ACAAC33ABABA

1 4.2 3.2

1 4.2 3.1 13;12; 4.1 3.1

x

y D

z

­

°

œ® œ

° ¯

2 2

2 2

2 4

MD MD DA DB DC AD BD DC

MD AD BD DC

A C

A

2

33 444

22

™ Do 2AD23BD24DC2 không đổi nên P nhỏ nhất MD nhỏ nhất Mà M thuộc

' nên MD nhỏ M hình chiếu D lên '

™ M

1 ; ; t t t

Ta có: 11 8; 11 5; 11 6

DM u' t M a b c

§ ·

ă á

â

DM 00

Câu 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

1;1;1 ,B 1; 2;0 ,C 3; 1;

Điểm

; ;

M a b c thuộc mặt phẳng D : 2x y 2z cho biểu thức

3

P MAMA5555MBMB7MCMC đạt giá trị nhỏ Tính a b c ?

A C 13

B D

¾ Giải:

™ Gọi F x y z

; ;

điểm thỏa 3FAA555555FB7777777FCC œ0000000 CCF 3333333CACA5555555CCBŸF

23; 20; 11

™ Khi đó: P 3

MF FA MF FB

7 MF FC

MFM ™ Do P nhỏ M hình chiếu F lên D Điểm

23 ; 20 ; 11

M t t t Vì M thuộc D nên:

2 23 2t 20 t 11 2t Ÿ Ÿ7 t M 5;11;7 Ÿ a b c 13

Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

1;1;1 ,B 1; 2;0 ,C 3; 1;

Điểm

; ;

M a b c thuộc mặt cầu

S : x1

2y2

z1

2 861 sao cho biểu thức

2 2

2

P MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ Gọi K x y z

; ;

điểm thỏa 2KAA77777KB44444KCC Ÿ00000 K

21;16;10

™ Khi đó: P MK22KA27KB24KC2

™ Do P nhỏ MK lớn Mặt cầu (S) có tâm

1;0; 1

22; 16; 11

I ŸKI

™ Phương trình đường thẳng KI:

1 22 16 11

x t

y t

z t

­ ° ®

° ¯

Thay x, y, z vào (S) ta được:

2

2

22t 16t 11t 861œ rt Suy KI cắt (S) hai điểm

1

23; 16; 12 21;16;10

K K

ê

ô

ôơ

™ Vì KK1!KK2 nên MK lớn M K{ 1

23; 16; 12

Vậy

23; 16; 12

M

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A

1;1; , B 3; 5; 5

Điểm M a b c

; ;

thuộc mặt phẳng D : 2x y 2z cho biểu thức P MA MB đạt giá trị nhỏ Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ M a b c

; ;

Đặt f M 2a b 2c8

™ Ta có f A f B

!0, nên A, B phía so với D Gọi A’ điểm đối xứng A qua D

™ Phương trình đường thẳng AA’:

1

1

x t

y t

z t

­ ° ®

° ¯

Tọa độ giao điểm I AA’ D

là nghiệm hệ:

1

3; 0;1

2

x t

y t

I

z t

x y z ­ °

° Ÿ

® °

°

¯

™ Vì I trung điểm AA’ nên A' 5; 1; 3

A’, B nằm khác phía so với D Khi với điểm M thuộc D ta ln có:

' '

™

5 ' 8; 6; ' :

3

x t

A B A B y t

z t

­ °

Ÿ ®

° ¯

'

A'

Tọa độ giao điểm M A’B D nghiệm

của hệ:

5

1; 2;

2

x t

y t

M

z t

x y z ­ °

° Ÿ

® °

°

¯

Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A

1;1; , C 7; 4;

Điểm M a b c

; ;

thuộc mặt phẳng D : 2x y 2z cho biểu thức P MA MC đạt giá trị lớn Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ M a b c

; ;

Đặt f M 2a b 2c8

™ Ta có f A f C

nên A C nằm hai phía so với D

™ Gọi A’ điểm đối xứng A qua D

™ Phương trình đường thẳng AA’:

1

1

x t

y t

z t

­ ° ®

° ¯

Tọa độ giao điểm I AA’ D

là nghiệm hệ:

1

3; 0;1

2

x t

y t

I

z t

x y z ­ °

° Ÿ

® °

°

¯

™ Vì I trung điểm AA’ nên A' 5; 1; 3

Khi với điểm M thuộc D ta ln có:

' '

MA MC MAMC dA C Đẳng thức xảy M A C' ˆ D

™

5 ' 2; 3;1 ' :

3

x t

A C A C y t

z t

­ °

Ÿ ®

° ¯

'

A'

Tọa độ giao điểm M A’C D nghiệm

của hệ:

5

3; 2;

2

x t

y t

M

z t

x y z ­ °

° Ÿ

® °

°

¯

Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 2

y

x z

' mặt phẳng

:

P ax by cz chứa ' cách O khoảng lớn Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ Gọi K hình chiếu vng góc O lên ', suy K

1t;1 ; t t

,

1 ;1 ;

OK

t t t

OK

11

™ Vì OKA ' nên

2 ; ; 3

3 2 ; ; 3

K

OK u t

OK '

ư Đ Ã

ă

â

đ

Đ Ã

ă

â ạ

OK u 00

OK â

Đ2

ă ;

ĐĐ2

Gọi H hình chiếu O lên (P), ta có: d O P

;

OH OKd Đẳng thức xảy H K{ Do (P) cách O khoảng lớn (P) qua K vng góc với OK Từđó ta suy phương trình (P) là:

2x y 2z Ÿ a b c

Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 2

y

x z

' mặt phẳng

:x 2y 2z

D Mặt phẳng Q ax by cz: chứa ' tạo với D góc nhỏ Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ A

1;1;0

' Gọi d đường thẳng qua A vng góc với D , suy

1 :

2

x t

d y t

z t ­ ° ® ° ¯

, chọn C

2; 1;

d C, zA Gọi H, K hình chiếu C lên Q ', M ACH vàsin sinACH AH AK

AC AC

M t Mà AK

AC không đổi

nên suy M nhỏ œH K{ hay Q mặt phẳng qua' vng góc với mặt phẳng

ACK

™ Mặt phẳng

ACK

qua ' v vuụng gúc vi D nờn: nnACK ơêênnD ,nn'ẳ ™ Do Q qua ' vng góc với mặt phẳng

ACK

nên:

, , ,

Q ACK

n ơên n'ẳ ôơêêơnD n'ẳ n'ằẳ n ªnn nn º ªª nnnn nnnn nn ººº

™ Áp dụng cơng thức ta có nnQ

8; 20; 16

suy ra:

Q : x 1

20

y 1

16z œ0 2x5y4z Ÿ a b c

Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 2

y

x z

' hai điểm

1; 2;1 , 1;0; 2

M N Mặt phẳng E :ax by cz 43 qua M, N tạo với ' góc lớn Tính a b c ?

A 22 C. 33

B 33 D 11

¾ Giải:

¾ Cụng thc gii nhanh: nnE ôêơêêơnnnnnnnNM,nnnnnnn'ẳ,nnnNMẳằ Chng mỡnh tương tự câu 15: nnE

1;10; 22

suy

E : x 1

10

y2

22

z œ 1

x 10y22z43 Ÿ a b c 33

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

1; 2; ,B 1;0; , C 2; 3; 1

Điểm

; ;

M a b c thuộc mặt phẳng D : 2x y 2z cho biểu thức

2 2

3

P MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính a b c ?

A. 15 C.20

B. 12 D.7

¾ Giải:

™ M a b c

; ;

 D Ÿ2a b 2c

™ 2 2 2

2

2

26 48 11 25 2 747 747

P a b c a b c a b c a b c t

™ Dấu “=” xảy khi: a 11;b 25;c Ÿ a b c 15

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

1; 2; ,B 1;0; , C 2; 3; 1

Điểm

; ;

M a b c thuộc đường thẳng : 1

y

x z

'

cho biểu thức

7

P MAMAMA77MBMB5MCMC đạt giá trị lớn Tính a b c ?

A 31

4 C 12

5

B 11

3 D 55

7

¾ Giải:

™ M' ŸM

1 ; ;1 t t t

™ MAMA777MBMB555MCMC

222t19; 3t14; t 20

™

2

2 2 12 6411 6411

2 19 14 20 14

7 7

P t t t Đăt Ãá t

â ¹

™ Dấu “=” xảy khi: 12 55

7

t Ÿ a b c

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

1; 2; ,B 1;0; , C 2; 3; 1

Điểm

; ;

M a b c thuộc mặt cầu

: 2 2 8

2 283

S x y z cho biểu thức

2 4 2

P MA MB MC đạt giá trị lớn Tính a b c ?

C 28 C.6

D D.

¾ Giải:

™ Gọi E x y z

; ;

điểm thỏa EAEA444EEB2222ECEC Ÿ0000 EE

9; 4; 13

™ P lớn EM nhỏ Mặt cầu (S) có tâm

2; 2; 8

11; 2; 21

: 112 21

x t

I IE IE y t

z t ­ ° Ÿ Ÿ ® ° ¯

Thay x, y, z vào (S) ta

2

t r

Suy IE cắt (S) hai điểm

1 ; 3; 2 15 37 ;1; 2 E E ê Đ Ã ô ă â ô ô Đ Ã ô ă â

Vỡ EE1EE2 nờn EM nhỏnhất 1 7; 3; 2

M{E Đă Ãá

â ạ, suy

6;0;12

M

Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x y z

a b c

cắt đường thẳng

1 ' :

2 1

y

x z

d

cho khoảng cách từđiểm B

2;1;1

đến đường thẳng d nhỏ

Tính a b c ?

A. 28 C.6

B. D.18

¾ Giải:

™ Gọi

'

; ;

0; 1;

M d d

M t t t

A d

­ ˆ

° Ÿ

® 

°¯ , suy

, ;1; 2 1; 1;

d

AB AM t t

u AM t t t

ưê ẳ đ

1

º AB AM

1

u AM

2t ¬AB,, ¼

AM

2

™ , , 22 18 18

6 2

AB AM t t

d B d f t

t t AM ê ẳ AB AM AM ¼ ,

B AM,

™ ' 0

2

3; 3; 2

11 d

t

f t minf t f u a b c

t ê

ô Ÿ Ÿ

¬ u

Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x y z

a b c

cắt đường thẳng

1 ' :

2 1

y

x z

d

cho khoảng cách d

5 :

2

y

x z

'

lớn Tính

?

a b c

A C.1

B D.12

¾ Giải:

™ Gọi

'

; ;

0; 1;

M d d

M t t t

A d

­ ˆ

° Ÿ

® 

°¯ , suy uud AMAMAM

222tt1;t 1; t

™ N

5;0;0

, uu'

2; 2;1

ơêêu AM',A ẳ

t 1; 4t1;6t

2

2

, 2

, 3 53 10 ,

u AM AN t

d d f t

t t

u AM '

'

ª º

ơ ẳ

'

ê

ơ ẳ

AN u AM, ẳ

º u AM

™ ' 374

29; 41; 4

37 37

2

d

t

f t minf t f u a b c

t ê

Đ Ã ô

ô ă á

â

ôơ

1

u

Cõu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P :x2y2z 0,

:

Q x y z điểm I

1;1

Mặt cầu S tâm I, tiếp xúc với P mặt phẳng D :ax by cz m 0vuông góc với

P , Q cho khoảng cách từIđến (α) 29 Biết tổng hệsố a b c m dương

Cho mệnh đề sau đây:

(1)Điểm A

1;1;0

B

1;1;

thuộc mặt cầu S

(2)Mặt phẳng (α) qua C

0; 5;

(3)Mặt phẳng (α) song song với đường thẳng

x 2t (d) y t

z

­

° ®

° ¯

(4)Mặt cầu S có bán kính R

(5)Mặt phẳng (α) Mặt cầu S giao đường trịn có bán kính lớn

Hỏi có mệnh đề sai ?

A 1 B 3 C 2 D 4

¾ Giải: Chọn đáp án C

™ R d I P

,

Phương trình mặt cầu:

x1 y1 z 2

2 ™ nD

2;3;4

Ÿ D : 2x4y3z m d I

; D

29œ rm 29

™ Vậy D : 2x4y3zr29 chọn D : 2x4y3z29 a b c m !0

™ Đối chiếu:

(2)Đúng: Thay tọa độđiêm vào mặt phẳng

(3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm mặt phẳng phẳng (α) song song (d) thực chất (d) thuộc phẳng phẳng (α), em kiểm tra cách tính khoảng cách điểm bất kỳđến (α)

(4)Đúng

(5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn bán kính mặt cầu nên hai mặt khơng giao

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho điểm A

2; 3; ,

B

0; 2; 0

đường thẳng d có phương trình

2

x t y

z t

­ ° ® ° ¯

Điểm C a b c

; ;

đường thẳng d cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ Vì AB khơng đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ CA+CB nhỏ

™ Gọi C t

;0; 2t

Ta có

2 2

2 , 2

CA t CB t

™ Đặt uu

2

t2 ; 3

vv

1t ; 2

Ÿ u vu v

2; 5

™ Áp dụng tính chất uu vvvv t t u vu vuu Dấu “=’’ xảy uu hướng với vv ™ CA CB t uu vv u vu v 2522 3

™ Dấu “=” xảy 2

2

2

t

t a b c

t

œ Ÿ

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M a b c

; ;

với c0 thuộc mặt cầu

2

2

: 1

S x y z cho biểu thức P a 2b2c đạt giá trị lớn Khi

đó a b c ?

A C

B D

¾ Giải

™

2

2

; ; 1

M a b c  S Ÿ a b c

™

2

2

2 2 4 1 15

P a b c d êôơ a b c º»¼

™ Dấu “=” xảy khi:

2

2

1

2

2

2

2 1

b a

c

a a b c

a b c

­ °

°

° Ÿ

® ° ° °¯

Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho điểm A

2; 4;

, B

1; 4;

, C

2; 4; 3

,

2; 2; 1

D điểm M a b c

; ;

cho biểu thức P MA2MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏnhất, a b c ?

A

4 C

21

B 23

4 D

3 ¾ Giải:

™ Gọi G tâm ABCD suy 14; ; 4

GĐă Ãá

â

2 2

4

P MG GA GB GC GD Vì GA2 GB2 GC2 GD2 khơng đổi nên P nhỏ MG nhỏ hay 14; ;

4

M G{ ăĐ Ãá

â

Cõu 26: Trong khụng gian Oxyz, cho mặt cầu 2

:

S x y z x y z mặt phẳng P : 2x2y z 16 Điểm M a b c

; ;

di động (S) điểm N m n p

; ;

di động (P) cho độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất, ?

a b c m n p

A C

B D

¾ Giải:

™ Mặt cầu (S) có tâm I

2; 1;

bán kính R

™ d I P

;

!5 R Do (S) (P) khơng có điểm chung Suy

™ Trong trường hợp này, M vị trí M0 N vị trí N0 Dễthấy N0 hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P) M0 giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P) N0 ˆd P ,

2

:

3

y t

d y t

z t

­ ° ®

° ¯

Tọa độ N0 nghiệm hệ:

0

2

1 13 14 ; ; 3 3 2 16

y t

y t

N

z t

x y z ­

° § ·

° Ÿ

đ ă

â

° ¯

™ 0 0

0; 3; 4

IM 3IN ŸM Ÿ a b c m n p IM 3ININ MM

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S x: y2 z26x8y2z23 mặt phẳng P :x y z Điểm M a b c

; ;

nằm mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất, a b c ?

A C

B D

¾ Giải:

™ Mặt cầu (S) có tâm I

3; 4;1

bán kính R

™ Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P),

3 :

y t

d y t

z t

­ ° ® ° ¯

Khi

M d ˆ S hay tọa độM nghiệm hệ:

1

2

2 2

3

4; 5;

:

1 2; 3; 2 23

y t

M

y t

d

z t M

x y z x y z

­

ê

ô

đ ô

ơ

™ Ta thấy d M

1; P

!d M

2; P

Do M

4; 5; 0

Ÿ a b c

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2

:

S x y z x y m đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng P : 2x2y z 0, Q x: 2y2z Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng d hai điểm M, N cho MN

A m 12 C m

B m D m 12

¾ Giải:

™ Mặt cầu (S) có tâm I

2; 3; 0

bán kính R 13m IM m

13

™ Gọi H trung điểm MN suy MH IH d I d; m (d) qua A có

VTCP

2;1; 2

; ;

u AI

u d I d

u ê ¼ Ÿ

º u AI;

u

u ¼ AI¼

Vậy Ÿ m 3 m 12

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm E

2;1; 5

, F

4; 3;9

Gọi ' giao tuyến hai mặt phẳng P : 2x y z 0, Q x y: 2z Điểm I a b c

; ;

thuộc ' cho biểu thức P IE IF lớn Tính a b c ?

A C

B D

¾ Giải: ™

1

:

3

x t

y t

z t

­ °

' ®

° ¯

,

2 '

: '

5 '

x t

EF y t

z t

­ ° ® ° ¯

™ Xét hệ:

1 '

0

5 '

'

3 '

t t

t

t t

t

t t

­

ª

° œ

đ ô

ơ

¯

EF cắt ' A

1; 0; 3

™ Trong mặt phẳng

';EF

điểm I thuộc ' ta có IE IF dEF ™ Dấu “=” xảy I, E, F thẳng hàng, suy I{A

1; 0; 3

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

1; 1; 2

, B

2; 2;1

mặt phẳng :

P x y z Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB, ' giao tuyến (P) (Q) Điểm M a b c

; ;

thuộc ' cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ nhất,

A

2 C

B

D

¾ Giải:

™ Gọi I trung điểm AB suy 3; 3;

2 2

IĐă Ãá

â ạ,

3

:

2 Q x y z

™ ' giao tuyến (P) (Q) suy

7

7

: ; ;

4

1

x t

y t M t t t

z t

­

°

° § ·

' đ ă á

â

°

° ¯

™

2

5 25 25

6

8 32 32

OM Đăt Ãá t

â

Du = xảy 1; 5;

8 8

t MĐă Ãá

â

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho điểm A

2; 3; 4

, mặt phẳng P :x2y z

và đường thẳng : 3

2 1

y

x z

d Gọi ' đường thẳng nằm (P)đi qua giao

điểm d (P) đồng thời vng góc với d Điểm M a b c

; ;

thuộc ' cho độ dài

đoạn thẳng AM nhỏ nhất, a b c ?

A 13

3 C

7

B

2

D

¾ Giải:

™ Gọi I ˆd P suy I

1; 0; 4

uu' ơêêuu nd, P ẳ

3; 3; 3

suy

: ; ;

4

x t

y t M t t t

z t

­ °

' ® Ÿ

° ¯

™ AM ngắn AMA ' œAM uAMAM u' œ 00 t ™ Vậy 16; ;

3 3

MĐă Ãá

â

Cõu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

5;8; 11

, B

3; 5;

, C

2;1;

đường thẳng :

2 1

y

x z

d Điểm M a b c

; ;

thuộc d cho biểu thức P MA MB MCMA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất, a b c ?

A 15

4

C

2

B 14

9

D

¾ Giải:

™ M

1 ; 2 ;1 t t t

d

™

2

2 2 10 53 53

2

9 9

P t t t Đăt Ãá t

â

Du = xảy 10 11; 2;

9 9

t MĐă Ãá

â

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

1; 5; 0

, B

3; 3; 6

và đường thẳng

1

:

2 y

x z

d

Điểm M a b c

; ;

thuộc d cho 'MAB có diện tích nhỏ nhất, ?

a b c

A C

B D

¾ Giải:

™ M

;1t t t;

d

™ , 18 198 198

MAB

™ Dấu “=” xảy t Ÿ1 M

1; 0; 2

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

1; 1;

, B

3; 4; 2

và đường thẳng

:

1

x t

d y t

z t

­ ° ®

° ¯

Điểm I a b c

; ;

thuộc d cho IA IB đạt giá trị nhỏ nhất,

? a b c

A 43

29

C 65

29

B 23

58 D

21 58 ¾ Giải:

™ AB

2; 3; Ÿ

AB/ /d Gọi A’ điểm đối xứng A qua d

™ IA IB IA IB A B ' t ' Dấu “=” xảy A’, I, B thẳng hàng suy I A B d' ˆ Vì AB//d nên I trung điểm A’B

™ Gọi H hình chiếu A lên d suy 36 33 15; ; 29 29 29

HĐă Ãá

â suy

43 95 28

' ; ;

29 29 29

A Đă Ãá

â

™ Vì I trung điểm A’B nên 65; 21; 43

29 58 29

IĐă Ãá

â

Cõu 35: Trong khụng gian Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z

­ ° ®

° ¯

1

' :

1 y

x z

d

Điểm A a b c

; ;

d B m n p

; ;

d' chođoạn AB có độ dài

ngắn nhất, a b c m n p ?

C C

D D

¾ Giải:

™ A

1 t; t; 2

B

3t';1 '; ' t t

suy ABAB

222 t t'; t '; ' 2t t

™ AB có độ dài nhỏ nhỏ AB đoạn vng góc chung d d’ hay:

'

' 1; 1; , 3;1;

d

d AB u

t t A B

AB u

­

° œ Ÿ

® °¯

0

AB u 0

d AB

AB u œ

0