Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. • Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. • Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. • Tính thể tích của khối tứ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
HÀ NỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: ………
LỚP :………
(2)CHUN ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
BÀI 1: MỞ ĐẦU
I VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Định nghĩa phép tốn
• Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB+BC=AC
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB+AD=AC
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB+AD+AA'=AC' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý
Ta có: IA+IB=0; OA+OB=2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý
Ta có: GA+GB+GC =0; OA+OB+OC =3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý
Ta có: GA+GB+GC +GD=0; OA+OB+OC +OD=4OG
+ Điều kiện hai vectơ phương: a b phương a( ≠0)⇔ ∃!k∈R b: =ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý
Ta có: ;
1 OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
2 Sự đồng phẳng ba vectơ
• Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
•Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , , a b khơng phương Khi đó: a b c, , đồng phẳng ⇔∃! m, n ∈ R: c =ma+nb
• Cho ba vectơ a b c, , không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x =ma+nb+pc
3 Tích vơ hướng hai vectơ
• Góc hai vectơ khơng gian:
(3)•Tích vơ hướng hai vectơ không gian: + Cho u v, ≠0 Khi đó: u v = u v .cos( , )u v
+ Với u=0 hoặc v =0 Qui ước: u v =0 + u ⊥v ⇔u v =0
+ u = u2
II HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i j k, , vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý: i2 =j2 =k2=1 i j =i k =k j =0
2 Tọa độ vectơ:
a) Định nghĩa: u =(x y z; ; )⇔u =xi+y j+zk
b) Tính chất: Cho a=( ;a a a1 2; 3),b=( ; ; ),b b b1 2 3 k ∈R
•a± =b (a1±b a1; 2±b2;a3±b3)
•ka =(ka1;ka2;ka3)
• 12 12
3
a b
a b a b
a b
= = ⇔ =
=
• 0=(0; 0; 0),i =(1; 0; 0), j =(0;1; 0),k =(0; 0;1)
•a phương b b( ≠0) ⇔ a=kb (k∈R)
1
1
2 2
1
3
, ( , , 0)
a kb
a a a
a kb b b b
b b b
a kb
=
⇔ = ⇔ = = ≠
=
•a b =a b1 1 +a b2 2 +a b3 3 •a⊥b ⇔ a b1 1+a b2 2+a b3 3 =0
• 2 2
1
a =a +a +a • a = a12+a22+a22
• 1 2 3
2 2 2
1 3
cos( , )
.
a b a b a b a b
a b
a b a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
(với a b, ≠0)
(4)a) Định nghĩa: M x y z( ; ; )⇔OM =( ; ; )x y z (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y =
••••M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chất: Cho A x( A;yA;zA), B x( B;yB;zB)
•AB=(xB −xA;yB−yA;zB −zA) •AB = (xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k(k≠1): ; ;
1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
− − −
− − −
• Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: ; ;
2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
• Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:
; ;
3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
• Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:
; ;
4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G
+ + + + + + + + +
4 Tích có hướng hai vectơ:(Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a=( ,a1 a2,a3), b=( ,b b1 2,b3)
( )
2 3 1
2 3 1 2
2 3 1
, a a ; a a ; a a ; ;
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= ∧ = = − − −
Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất:
• i j, =k; j k, =i; k i, = j •[ , ]a b ⊥a; [ , ]a b ⊥b
• [ , ]a b =a b sin ,(a b) •a b, phương ⇔ [ , ]a b =0
c) Ứng dụng tích có hướng:
•Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a b, c đồng phẳng ⇔[ , ].a b c=0
•Diện tích hình bình hành ABCD: S▱ABCD = AB AD,
•Diện tích tam giác ABC: ,
2
ABC
S∆ = AB AC
(5)•Thể tích tứ diệnABCD: 1[ , ]
ABCD
V = AB AC AD
Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc hai
đường thẳng
– Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương
,
, , ,
a b a b
a b phương a b a b c đồng phẳng a b c
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ = 5 Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
2 2
(x−a) +(y−b) +(z−c) =R
• Phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 với a2+b2+c2− >d phương trình mặt cầu tâm I(– a; –b; –c) bán kính R = a2+b2+c2−d .
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 1. Cho ba vectơ a b c, , Tìm m, n để c = a b, :
a) a =(3; 1; ,− − ) b =(1;2;m),c =(5;1; 7) b) a =(6; 2;− m),b =(5; ; ,n − ) c=(6; 33;10)
HT 2. Xét đồng phẳng ba vectơ a b c, , trường hợp sau đây:
a) a =(1; 1;1 ,− ) b =(0;1;2 ,) c =(4;2; 3) b) a =(4; 3; ,) b =(2; 1; ,− ) c =(1;2;1) c) a= −( 3;1; ,− ) b =(1;1;1 ,) c = −( 2;2;1) d) a =(4;2; ,) b =(3;1; ,) c =(2; 0;1)
HT 3. Tìm m để vectơ a b c, , đồng phẳng: a) a =(1; ; ,m ) b =(m+1;2;1 ,) c =(0;m−2;2)
b) a =(2m+1;1;2m−1);b =(m+1; 2;m+2),c =(2 ;m m+1; 2)
HT 4. Cho vectơ a b c u, , , Chứng minh ba vectơ a b c, , không đồng phẳng Biểu diễn vectơ u theo vectơ , ,
(6)a) (2;1; ,) (1; 1;2 ,) (2;2; 1) (3; 7; 7)
a b c
u
= = − = −
= −
b) (1; 7; ,) (3; 6;1 ,) (2;1; 7) ( 4;13; 6)
a b c
u
= − = − = −
= − −
HT 5. Chứng tỏ bốn vectơ a b c d, , , đồng phẳng:
a) a= − −( 2; 6;1 ,) b =(4; 3; ,− − ) c = − −( 4; 2;2 ,)d = − −( 2; 11;1) b) a=(2; 6; ,− ) b =(2;1; ,− ) c = −( 4; 3;2 ,)d =(2;11; 1)−
HT 6. Cho ba vectơ a b c, , không đồng phẳng vectơ d Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: a) b c d, , =ma+nb (với m, n ≠ 0) b) a c d, , =ma+nb (với m, n ≠ 0)
HT 7. Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M:
• Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a)M(1;2; 3) b) M(3; 1;2)− c) M( 1;1; 3)− − d) M(1;2; 1)−
HT 8. Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M′ đối xứng với điểm M:
• Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy
a) M(1;2; 3) b) M(3; 1;2)− c) M( 1;1; 3)− − d) M(1;2; 1)−
HT 9. Xét tính thẳng hàng ba điểm sau:
a) A(1; 3;1), (0;1;2), (0; 0;1)B C b) A(1;1;1), ( 4; 3;1), ( 9; 5;1)B− C −
HT 10. Cho ba điểm A, B, C
• Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác
• Tìm toạ độ trọng tâm G ∆ABC
• Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành
a) A(1;2; 3), (0; 3; 7), (12; 5; 0)− B C b) A(0;13;21), (11; 23;17), (1; 0;19)B − C c) A(3; 4; 7), ( 5; 3; 2), (1;2; 3)− B− − C − d) A(4;2; 3), ( 2;1; 1), (3; 8; 7)B− − C
HT 11. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm:
a) A(3;1; 0), B( 2; 4;1)− b) A(1; 2;1), (11; 0; 7)− B c) A(4;1; 4), (0; 7; 4)B −
HT 12. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm:
a) A(1;1;1), ( 1;1; 0), (3;1; 1)B− C − b) A( 3;2; 4), (0; 0; 7), ( 5; 3; 3)− B C −
HT 13. Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? • Tìm tọa độ điểm M
a) A(2; 1;7 ,− ) B(4;5; 2− ) b) A(4; 3; 2), (2; 1;1)− B − c) A(10;9;12), ( 20; 3; 4)B−
HT 14. Cho bốn điểm A, B, C, D
• Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện
• Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
• Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD
• Tính thể tích khối tứ diện ABCD
(7)a) A(2; 5; 3),− B(1; 0; 0),C(3; 0; 2),− D( 3; 1;2)− − b) A(1; 0; ,) B(0;1; ,) C(0; 0;1 ,) D(−2;1; 1− )
c) A(1;1; ,) B(0;2;1 ,) C(1; 0;2 ,) D(1;1;1) d) A(2; 0; ,) B(0; 4; ,) C(0; 0;6 ,) D(2; 4;6)
HT 15. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'
• Tìm toạ độ đỉnh cịn lại
• Tính thể tích khối hộp
a) A(1; 0;1 ,) (B 2;1;2 ,) D(1; 1;1 , ' 4;5; 5− )C ( − ) b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )2 5 −3 B1 0 C 3 0 −2 A − −3 2
c) A(0;2;1), (1; 1;1), (0; 0; 0;), '( 1;1; 0)B − D A − d) A(0;2;2), (0;1;2), ( 1;1;1),B C − C'(1; 2; 1)− −
HT 16. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB)
b) Chứng minh S.ABC hình chóp
(8)BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1:(S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S): (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2 =R2
Dạng 2:(S) có tâm I(a; b; c) và qua điểm A:
Khi bán kính R = IA
Dạng 3:(S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: ; ;
2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x = + y = + z = +
– Bán kính R = IA =
2 AB
Dạng 4:(S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+ =d (*)
– Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S)
Dạng 5:(S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự dạng
Dạng 6:(S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J bán kính R′ mặt cầu (T)
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
2 2 2 2 2 0
x +y +z + ax+ by+ cz+ =d với a2+b2+c2− >d
thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2+b2+c2−d BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 17. Tìm tâm bán kính mặt cầu sau:
a) x2+y2+z2−8x+2y+ =1 b) x2+y2+z2+4x+8y−2z− =4 c) x2+y2+z2−2x−4y+4z=0 d) x2+y2+z2−6x+4y−2z−86=0
HT 18. Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R:
a) I(1; 3; 5),− R= b) I(5; 3;7),− R=2 c) I(1; 3;2),− R=5 d) I(2; 4; 3),− R=3
HT 19. Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A:
a) I(2; 4; 1), (5;2; 3)− A b) I(0; 3; 2), (0; 0; 0)− A c) I(3; 2;1), (2;1; 3)− A − HT 20. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
(9)HT 21. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
a) A(1;1; ,) B(0;2;1 ,) C(1; 0;2 ,) D(1;1;1) b) A(2; 0; ,) B(0; 4; ,) C(0; 0;6 ,) D(2; 4;6)
HT 22. Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với: a) (1;2; 0), ( 1;1; 3), (2; 0; 1)
( ) ( )
A B C
P Oxz
− −
≡
b) (2; 0;1), (1; 3;2), (3;2; 0) ( ) ( )
A B C
P Oxy
≡
HT 23. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với: a) ( 5;1;1)2 2 2
( ) :
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
b) ( 3;2;2)2 2 2
( ) :
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
- BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng
• Vectơ n ≠0 VTPT (α) giá n vng góc với (α)
Chú ý: • Nếu n VTPT (α) kn (k ≠ 0) VTPT (α)
2 Phương trình tổng quát mặt phẳng
2 2
0
Ax+By+Cz+D= với A +B +C >
• Nếu (α) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 n=( ; ; )A B C VTPT (α)
• Phương trình mặt phẳng qua M x y z0( ;0 0; 0) có VTPT n=( ; ; )A B C là:
0 0
( ) ( ) ( )
A x−x +B y−y +C z−z = 3 Các trường hợp riêng
Chú ý: • Nếu phương trình (α) khơng chứa ẩn (α) song song chứatrục tương ứng
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z a +b +c =
(α) cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4 Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): A x1 +B y1 +C z1 +D1=0 (β): A x2 +B y2 +C z2 +D2=0
Các hệ số Phương trình mặt phẳng (αααα) Tính chất mặt phẳng (αααα)
(10)• (α), (β) cắt ⇔A1:B1:C1≠A2:B2:C2
• (α) // (β) ⇔ 1 1
2 2
A B C D
A = B =C ≠D • (α) ≡ (β) ⇔
1 1
2 2
A B C D
A = B =C =D
• (α) ⊥ (β) ⇔A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0
5 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (αααα): Ax + By + Cz + D = 0
( ) 0
0
2 2
,( ) Ax By Cz D d M
A B C
α = + + +
+ +
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định điểm thuộc (α) VTPT Dạng 1:(α) đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) có VTPT n =(A B C; ; ):
(α): A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0
Dạng 2:(α) đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) có cặp VTCP a b, :
Khi VTPT (α) n = a b,
Dạng 3: (α) đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0:
(α): A x( −x0)+B y( −y0)+C z( −z0)=0
Dạng 4: (α) đi qua điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi ta xác định VTPT (α) là: n = AB AC, Dạng 5:(α) đi qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A VTCP u
– Một VTPT (α) là: n= AM u,
Dạng 6:(α) đi qua điểm M vng góc với đường thẳng (d):
VTCP u đường thẳng (d) VTPT (α) Dạng 7:(α) qua đường thẳng cắt d1, d2:
– Xác định VTCP a b, đường thẳng d1, d2
– Một VTPT (α) là: n = a b,
– Lấy điểm M thuộc d1 d2⇒ M ∈ (α)
Dạng 8:(α) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
(11)– Một VTPT (α) là: n = a b, – Lấy điểm M thuộc d1⇒ M ∈ (α)
Dạng 9:(α) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2:
– Xác định VTCP a b, đường thẳng d1, d2
– Một VTPT (α) là: n = a b, .
Dạng 10:(α) qua đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (β):
– Xác định VTCP u (d) VTPT nβ (β) – Một VTPT (α) là: n= u n, β
– Lấy điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α)
Dạng 11:(α) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (β), (γ):
– Xác định VTPT nβ,nγ (β) (γ) – Một VTPT (α) là: n = uβ,nγ
Dạng 12:(α) qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử (α)có phương trình: Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2 ≠0)
– Lấy điểm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (α) (ta hai phương trình (1), (2))
– Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( ))α =k, ta phương trình (3)
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại) Dạng 13:(α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I bán kính R
– Một VTPT (α) là: n=IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 24. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có VTPT cho trước:
a) M(3;1;1 ,) n = −( 1;1;2) b) M(−2; 7; ,) n =(3; 0;1) c) M(4; 1; ,− − ) n =(0;1; 3)
HT 25. Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với:
a) A(2;1;1),B(2; 1; 1)− − b) A(1; 1; 4),− − B(2; 0;5) c) A(2; 3; 4),− B(4; 1; 0)− HT 26. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M có cặp VTCP a b, cho trước, với:
a) M(1;2; 3),− a =(2;1;2), b =(3; 2; 1)− b) M(1; 2; 3),− a =3; 1; 2),− − b =(0; 3; 4)
HT 27. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song với mặt phẳng ( )β cho trước, với: a) M(2;1; ,) ( ) (β = Oxy) b) M(1; 2;1 ,− ) ( )β : 2x− + =y
(12)a) M(2;1;5) b) M(1; 2;1− ) c) M(−1;1; 0) d) M(3;6; 5− ) HT 29. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:
a) A(1; 2; 4),− B(3;2; 1),− C( 2;1; 3)− − b) A(0; 0; 0),B( 2; 1; 3),− − C(4; 2;1)−
HT 30. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A vng góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với:
a) A(1; 2; 4),− B(3;2; 1),− C( 2;1; 3)− − b) A(0; 0; 0),B( 2; 1; 3),− − C(4; 2;1)−
HT 31. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: a)
( )
(3;1; 1), (2; 1; 4) :
A B
x y z
β
− −
− + − =
b)
( )
( 2; 1; 3), (4; 2;1) :
A B
x y z
β
− − −
+ − + =
c)
( )
(2; 1; 3), ( 4; 7; 9) :
A B
x y z
β
− − −
+ − − =
HT 32. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: a) M( 1; 2; 5),− − ( )β :x+2y−3z+ =1 0,( )γ : 2x−3y+ + =z
b) M(1; 0; 2),− ( )β : 2x+ − − =y z 0,( )γ :x− − − =y z
HT 33. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M(1;2; ,− ) ( )P : 2x−3y+ − =z 0,( )Q : 3x−2y+5z− =1
b) M(2;1; ,− ) ( )P :x− + − =y z 0,( )Q : 3x− + − =y z
HT 34. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a) ( ) :P y+2z− =4 0, ( ) :Q x+ − − =y z 0, ( ) :R x+ + − =y z b) ( ) :P x−4y+2z− =5 0, ( ) :Q y+4z− =5 0, ( ) : 2R x− +y 19=0 c) ( ) : 3P x− + − =y z 0, ( ) :Q x+4y− =5 0, ( ) : 2R x− + =z
HT 35. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vng góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a) ( ) : 2P x+3y− =4 0, ( ) : 2Q y−3z− =5 0, ( ) : 2R x+ −y 3z− =2 b) ( ) :P y+2z− =4 0, ( ) :Q x+ − + =y z 0, ( ) :R x+ + − =y z c) ( ) :P x+2y− − =z 0, ( ) : 2Q x+ + + =y z 0, ( ) :R x−2y−3z+ =6 d) ( ) : 3P x− + − =y z 0, ( ) :Q x+4y− =5 0, ( ) : 2R x− + =z
HT 36. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với:
a) ( ):P x− − =y 0, ( ) : 5Q x−13y+2z =0,M(1;2; 3),k=2
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng HT 37. Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau:
a)
3
x y z
x y z
+ − + =
+ − − =
b)
3
x y z
x y z
− + + =
− + − =
c) 5
3 3
x y z
x y z
+ − − =
+ − + =
HT 38. Xác định m, n để cặp mặt phẳng sau: • song song • cắt • trùng
a)
7
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =
b) 11
3
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
c)
6
x my z
nx y z
+ + − =
(13)HT 39. Xác định m để cặp mặt phẳng sau vng góc với
a)
3 15
x y mz
x y z
− + + =
+ − + =
b) (2 1) 3
( 1)
m x my z
mx m y z
− − + + =
+ − + − =
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song
Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng.
• Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D =
( ) 0
0
2 2
,( ) Ax By Cz D d M
A B C
α = + + +
+ +
• Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng
• Điểm H hình chiếu điểm M (P) ⇔ ,
( )
MH n phương
H P
∈
• Điểm M′ đối xứng với điểm M qua (P) ⇔MM′ =2MH
BÀI TẬP
HT 40. Cho mặt phẳng (P) điểm M
• Tính khoảng cách từ M đến (P) • Tìm toạ độ hình chiếu H M (P)
• Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P)
a) ( ) : 2P x− +y 2z− =6 0, M(2; 3;5)− b) ( ) :P x+ +y 5z−14=0, M(1; 4; 2)− − HT 41. Tìm khoảng cách hai mặt phẳng:
a)
2
x y z
x y z
− + + =
− + + =
b)
6
x y z
x y z
− + + =
− + − =
c)
3
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 42. Tìm điểm M trục Ox(Oy, Oz) cách điểm N mặt phẳng (P):
a) ( ) : 2P x+2y+ − =z 0,N(1;2; 2)− b) ( ) :P x+ +y 5z−14=0,N(1; 4; 2)− − c) ( ) : 6P x−2y+3z+12=0,N(3;1; 2)− d) ( ) : 2P x−4y+4z+ =3 0, N(2; 3; 4)− HT 43. Tìm điểm M trục Ox(Oy, Oz) cách hai mặt phẳng:
a)
5
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
b) 2
2
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
c)
4
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 44. Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) (Q):
a) A(1;2; –3 , ( ) : 2) Q x−4y− + =z b)A(3; 1; –2 , ( ) : 6) Q x−2y+3z+12=0
HT 45. Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) cách điểm A khoảng k cho trước:
a) ( ) :Q x+2y−2z+ =5 0, (2; 1; 4),A − k =4 b) ( ) : 2Q x−4y+4z+ =3 0, (2; 3; 4),A − k=3
(14)a) ( ) : 3Q x− +y 2z− =3 0,k= 14 b) ( ) : 4Q x+3y−2z+ =5 0,k = 29
VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): A x1 +B y1 +C z1 +D1=0
(β): A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0
Góc (α), (β) bằng bù với góc hai VTPT n n1, 2
( ) 2 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
cos ( ),( )
.
n n A A B B C C
n n A B C A B C
α β = = + +
+ + + +
Chú ý: • 00 ≤(( ),( )α β )≤900 • ( )α ⊥( )β ⇔A A1 2+B B1 2+C C1 2 =0
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 47. Tính góc hai mặt phẳng:
a)
5
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
b) 2
2
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
c)
4
x y z
x y z
− + + = + − − =
d) 4
2
x y z
x z + − + = + − =
e) 2
2 12
x y z
y z − − + = + + =
f) 3
4
x y z
x y z
− + + =
+ + − =
HT 48. Tìm m để góc hai mặt phẳng sau α cho trước: a)
0
(2 1) 3 ( 1) 90
m x my z
mx m y z
α − − + + = + − + − = = b)
2 12
7 45
mx y mz
x my z
α + + − = + + + = = -
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số đường thẳng
•Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) có VTCP a =( ;a a a1 2; 3):
1 ( ) : ( ) o o o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= + = + ∈ = +
• Nếu a a a1 3 ≠0 0
1
( ) :d x x y y z z
a a a
− − −
= = được gọi là phương trình tắc d 2 Vị trí tương đối hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số là:
0
0
0
:
x x ta
d y y ta
z z ta
= + = + = + :
x x t a
d y y t a
z z t a
(15)• d // d′ ⇔ 1
0 2
0 3
, ( , ) ′ + = ′ + ′ ′ ′ ′ ′ ′ + = + + = ′+ ′ ′
a a phương x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm z ta z t a
⇔
0 0 , ( ; ; ) ′ ′ ∉
a a phương M x y z d ⇔
0 , , ′ ′
a a phương
a M M không phương ⇔ 0 0
, , ′ = ′ ≠ a a a M M
• d ≡ d′ ⇔
0 1
0 2
0 3
( , ) ′ ′ ′ + = + + = ′ + ′ ′ ′ + = ′ + ′ ′
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t có vô số nghiệm z ta z t a
⇔
0 0 , ( ; ; ) ′ ′ ∈
a a phương
M x y z d ⇔ a a M M đôi phương, ,′ 0′
⇔ a a, ′=a M M, 0 0′=0
• d, d′ cắt ⇔ hệ
0 1
0 2
0 3
′ ′ ′ + = + + = ′ + ′ ′ + = ′ + ′ ′
x ta x t a y ta y t a z ta z t a
(ẩn t, t′) có nghiệm
⇔ 0 , , , ′ ′ ′
a a không phương
a a M M đồng phẳng ⇔ 0 0
,
,
′ ≠ ′ ′ = a a a a M M
• d, d′ chéo ⇔ 1
0 2
0 3
, ( , ) ′ + = ′ + ′ ′ ′ ′ ′ ′ + = + + = ′ + ′ ′
a a không phương x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm z ta z t a
⇔ a a M M không đồng phẳng, ,′ 0 0′ ⇔ a a M M, ′ 0 0′ ≠0
• d ⊥ d′ ⇔a ⊥a′ ⇔a a ′ =0
3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Cho mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 đường thẳng d:
0
0
0
x x ta
y y ta
z z ta
= + = + = +
Xét phương trình: A x( 0+ta1)+B y( 0+ta2)+C z( 0+ta3)+D=0 (ẩn t) (*)
• d // (α) ⇔ (*) vơ nghiệm
• d cắt (α) ⇔ (*) có nghiệm
• d ⊂ (α) ⇔ (*) có vơ số nghiệm
(16)Cho đường thẳng d:
0
0
0
x x ta
y y ta
z z ta
= +
= +
= +
(1) mặt cầu (S): (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 (2)
Để xét VTTĐ d (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*)
• d (S) khơng có điểm chung ⇔ (*) vơ nghiệm ⇔ d(I, d) > R
• d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có nghiệm ⇔ d(I, d) = R
• d cắt (S) hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ d(I, d) < R 5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M
0 , ( , ) M M a d M d
a
=
6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau(chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo d1 d2
d1 qua điểm M1 có VTCP a1, d2 qua điểm M2 có VTCP a2
1 2
1 , ( , )
,
a a M M
d d d
a a
=
Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 song song với d1
7 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng (α)
8 Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a a1, 2
Góc d1, d2bằng bù với góc a a1, 2
( )
1
1 cos ,
a a a a
a a
=
9 Góc đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a =( ;a a a1 2; 3) mặt phẳng (α) có VTPT n =( ; ; )A B C
Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) góc đường thẳng d với hình chiếu d′ (α)
( )
2 2 2
1
sin ,( )
Aa Ba Ca d
A B C a a a
α = + +
(17)VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP
Dạng 1:d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) có VTCP a =( ;a a a1 2; 3):
1
( ) : ( )
o o o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
= +
Dạng 2:d qua hai điểm A, B:
Một VTCP d AB
Dạng 3:d đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) song song với đường thẳng ∆ cho trước:
Vì d // ∆ nên VTCP ∆ VTCP d
Dạng 4:d đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d ⊥ (P) nên VTPT (P) VTCP d Dạng 5:d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q):
• Cách 1: Tìm điểm VTCP
– Tìm toạ độ điểm A ∈ d: cách giải hệ phương trình ( )
( ) P Q
(với việc chọn giá trị cho ẩn) – Tìm VTCP d: a = nP,nQ
• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6:d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) vng góc với hai đường thẳng d1, d2:
Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là:
1, d d
a= a a
Dạng 7:d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0), vng góc cắt đường thẳng ∆
• Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng ∆
0
H
M H u
∈ ∆ ⊥ △
Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0, H
• Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d; (Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P) ∩ (Q) Dạng 8:d đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) cắt hai đường thẳng d1, d2:
• Cách 1: Gọi M1∈ d1, M2∈ d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d
• Cách 2: Gọi (P) = (M d0, )1 , (Q) = (M d0, 2) Khi d = (P) ∩ (Q) Do đó, VTCP d chọn a= nP,nQ
(18)Tìm giao điểm A = d1∩ (P), B = d2∩ (P) Khi d đường thẳng AB Dạng 10:d song song với ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ d2 Khi d = (P) ∩ (Q).
Dạng 11:d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2chéo nhau:
• Cách 1: Gọi M ∈ d1, N ∈ d2 Từ điều kiện
2
MN d
MN d
⊥ ⊥
, ta tìm M, N
Khi đó, d đường thẳng MN
• Cách 2:
– Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là:
1, d d
a = a a
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1, cách:
+ Lấy điểm A d1
+ Một VTPT (P) là:
1
,
P d
n = a a
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2
Khi d = (P) ∩ (Q)
Dạng 12:d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P):
• Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ vng góc với mặt phẳng (P) cách: – Lấy M ∈∆
– Vì (Q) chứa ∆ vng góc với (P) nên nQ = a∆,nP Khi d = (P) ∩ (Q)
Dạng 13:d qua điểm M, vng góc với d1và cắt d2:
• Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN
• Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2
Khi d = (P) ∩ (Q)
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 49. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP a cho trước: a) M(1;2; 3),− a = −( 1; 3; 5) b) M(0; 2; 5),− a=(0;1; 4) c) M(1; 3; 1),− a =(1;2; 1)−
d) M(3; 1; 3),− − a =(1; 2; 0)− e) M(3; 2; 5),− a = −( 2; 0; 4) f) M(4; 3; 2),− a= −( 3; 0; 0)
(19)a) A(2;3; 1− ), B(1;2; 4) b) A(1; 1; 0− ), B(0;1;2) c) A(3;1; 5− ), B(2;1; 1− )
d) A(2;1; 0), B(0;1;2) e) A(1;2; 7− ), B(1;2; 4) f) A(−2;1; 3), B(4;2; 2− )
HT 51. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng ∆ cho trước: a) A(3;2; 4− ), ∆ ≡Ox b) A(2; 5; ,− ) ∆ qua M(5; 3;2), (2;1; 2)N −
c)
2 (2; 5; 3), :
x t
A y t
z t = − − ∆ = + = −
d) (4; 2;2), :
4
x y z
A − ∆ + = − = −
HT 52. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A(−2; 4; 3), (P): 2x−3y+6z+19=0 b) A(1; 1; ( ) : (− ), P Oxy)
c) A(3;2;1 , ( ) : 2) P x−5y+ =4 d) A(2; 3;6), ( ) : 2− P x−3y+6z+19=0
HT 53. Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: a) ( ) : 2
( ) :
P x y z
Q x y z
+ + + =
− − − =
b) ( ) : 3 ( ) :
P x y z
Q x y z
− + − =
+ − + =
c) ( ) : 3
( ) : 6
P x y z
Q x y z
+ − + =
+ + − =
d) ( ) : ( ) :
P x y z
Q x y z
+ − + =
+ + − =
e) ( ) : ( ) :
P x z
Q y + − = − =
f) ( ) :
( ) :
P x y z
Q x z
+ + − = + − =
HT 54. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
a) 1 2
1
(1; 0; 5), : , :
1
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = − = − = + = + = −
b) 1 2
1
(2; 1;1), : , :
3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = + − = − + = − + = = +
c) 1 2
1
(1; 2; 3), : 2 , :
3 3
x t x
A d y t d y t
z t z t
= − = − = − − = − + = − = +
d) 1 2
7
(4;1; 4), : , :
4 12
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= − + = + = − = − + = + = − −
HT 55. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng ∆ cho trước: a) (1;2; 2), :
2 x t
A y t
z t = − ∆ = − = b) ( 4; 2; 4), :
1
x t
A d y t
z t = − + − − = − = − + c) (2; 1; 3), :
2
x t
A y t
z t = + − − ∆ = + = − +
d) (3;1; 4), :
x t
A y t
z t = − ∆ = − = −
HT 56. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
a) 1 2
1
(1; 0; 5), : , :
1
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = − = − = + = + = −
b) 1 2
1
(2; 1;1), : , :
3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = + − = − + = − + = = +
c) 1 2
1 2
( 4; 5; 3), : , :
2
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= − + = + − − = − − = − + = − = −
d) 1 2
1 (2;1; 1), : , :
3
x t x t
A d y t d y t
z t z t
= + = − − = − + = = − + =
HT 57. Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho
(20)a)
1
( ) :
2
: , :
1
1 P y z
x t
x y z
d d y t
z + = = − − = = = + − = b)
( ) : 2
1
: , :
1
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
+ + + = = + = − = − = + = + = − c)
( ) : 3
7
: , :
4 12
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
− + − = = − + = + = − = − + = + = − − d)
( ) : 3
1
: 2 , :
3 3
P x y z
x t x
d y t d y t
z t z t
+ − + = = − = = − − = − + = − = +
HT 58. Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2 cho
trước:
a) 1
1
:
2
1
:
1
2
:
3
x y z
x y z
d
x y z
d − − ∆ = = − + − = = − − + + = =
b) 1
2
1
:
3 1
1 2
:
1
4
:
5
x y z
x y z
d
x y z
d − − ∆ = = − − + − = = + + = =
c) 1
1 2
:
1
1 2
:
1
4
:
5
x y z
x y z
d
x y z
d − + − ∆ = = − + − = = + + = =
d) 1
1
:
3
2
:
3
7
:
1
x y z
x y z
d
x y z
d + + − ∆ = = − − − + − = = − − − = = −
HT 59. Viết phương trình tham số đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 cho
trước:
a) 1 2
3 2
: , :
2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = + = + = − = − + = −
b) 1 2
1 2
: , :
2 4
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − + = − + = + = + = − +
c) 1 2
2
: , :
3
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = + = + = + = − = +
d) 1 2
2
: , :
1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − + = − − = − = + = +
HT 60. Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) cho trước: a)
2
:
2
( ) : 2
x y z
P x y z
+ − − ∆ = = − − + + = b)
3 2
:
1
( ) :
x y z
P x y z
− − + ∆ = = − + − + = c)
1
:
1 2
( ) : 2
x y z
P x y z
+ − − ∆ = = − − + − = d) :
2 1 ( ) :
x y z
P x y z
− ∆ = = − + − + =
HT 61. Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1và cắt đường thẳng d2 cho trước:
a) 1 2
1
1
(0;1;1), : , :
3 1
1 x
x y z
A d d y t
(21)b) 1 2
2
1
(1;1;1), : , :
2 1
1 x
x y z
A d d y t
z t
=
− +
= = = +
− = − −
c) ( 1;2; 3), 1: , 2: 1
6 3
x y z x y z
A− − d + = − = d − = + = −
− − −
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:
• Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng
• Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 62. Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
a) 1: 4; 2 :{ ; ;
2
x y z
d − = + = − d x = − +t y= −t z= − + t
−
b) d1:{x = +5 ;t y= −1 t z; = −5 t; d2:{x = +3 ';t y= − −3 t z'; = −1 t' c) d1:{x= +2 ;t y= − +1 t z; =1; d2 :{x=1; y= +1 t z; = −3 t
d) 1: 3; 2 :
9 6
x y z x y z
d − = − = − d − = − = −
HT 63. Chứng tỏ cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vng góc chung chúng: a) d1:{x = −1 ;t y= +3 t z; = − −2 ;t d2:{x=2 ';t y= +1 t z'; = −3 't
b) d1:{x = +1 ;t y= −2 ;t z = −t d; 2:{x =2 ';t y= −5 ';t z=4
c) d1:{x= −3 ;t y= +1 ;t z =4t−2;d2:{x = +2 ';t y = −4 t z'; = −1 't
HT 64. Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 d2:
a) d1:{x =3 ;t y= −1 ;t z = +3 t; d2:{x = +1 t y'; =2 ';t z=4+t'
b) 1: 0; 2 :{ ; ;
2
x y z
d d x t y t z t
x y
+ + + =
= + = − + = −
− + =
HT 65. Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng:
a) d1:{x = +1 mt y; =t z; = − +1 ;t d2:{x= −1 t y'; = +2 ';t z= −3 t' b) d1:{x = −1 t y; = +3 ;t z =m+t; d2:{x = +2 t y'; = +1 t z'; = −2 't
c) 1: 0; 2 :
3
x y z x y mz
d d
x y x y z
+ − − = + + − =
+ − = + + − =
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:
(22)• Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 66. Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: a) d:{x=2 ;t y= −1 t z; = +3 t; ( ) :P x+ + −y z 10=0
b) d:{x=3t−2;y = −1 ;t z =4t−5; ( ) : 4P x−3y−6z− =5
c) : 12 1; ( ) :
4
x y z
d − = − = − P x+ y− − =z
d) : 11 ; ( ) : 3
2
x y z
d + = − = P x− y+ z− =
e) : 13 4; ( ) :
8
x y z
d − = − = − P x+ y− z+ =
f) : 16 0; ( ) :
2
x y z
d P x z
x y z
+ + + =
− − =
− + − =
g) : 10 0; ( ) : 17
x y z
d P y z
x y z
+ + − =
+ + =
+ + + =
HT 67. Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để:
i) d cắt (P). ii) d // (P) iii) d⊥(P). iv) d⊂(P).
a) : 3; ( ) :
2
x y z
d P x y z
m m
− + +
= = + − − = −
b) : 1; ( ) :
2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−
HT 68. Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để:
a) d:{x =m+t y; = −2 t z; =3t cắt ( ) : 2P x− + − =y z điểm có tung độ
b) :
2
x y
d
y z
− − =
+ + =
cắt ( ) : 2P x+ +y 2z−2m=0 điểm có cao độ –1
c) :
3
x y
d
x z
+ − =
− − =
cắt ( ) :P x+ + +y z m=0
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
• Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a
0 , ( , ) M M a d M d
a
=
• Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d – d(M,d) = MH
(23)– Tìm t để MN2 nhỏ
– Khi N ≡ H Do d(M,d) = MH
2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo d1 d2
d1 qua điểm M1 có VTCP a1, d2 qua điểm M2 có VTCP a2
1 2
1 , ( , )
,
a a M M
d d d
a a
=
Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 song song với d1
3 Khoảng cách hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng kia.
4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng (α)
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 69. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: a)
1 (2; 3;1), : 2
x t
A d y t
z t
= − = +
= −
b)
2 (1;2; 6), :
3
x t
A d y t
z t
= + − = −
= −
c) (1; 0; 0), :
1
x y z
A d − = − = d) (2; 3;1), : 1
1 2
x y z
A d + = − = +
−
HT 70. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Tính khoảng cách chúng:
a) d1:{x = −1 ;t y= +3 t z; = − −2 ;t d2 :{x=2 ';t y= +1 t z'; = −3 't
b) d1:{x = +1 ;t y= −2 ;t z = −t; d2 :{x=2 ';t y= −5 ';t z=4 c) d1:{x= −3 ;t y= +1 ;t z =4t−2; d2 :{x= +2 ';t y= −4 t z'; = −1 't
HT 71. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với Tính khoảng cách chúng:
a) d1:{x = +3 ,t y=4+3 ,t z= +2 t; d2 :{x =4+4 ,t y= +5 ,t z = +3 2t
b) 1: 3; 2 :
2 12
x y z x y z
d − = + = − d + = − = +
− − −
HT 72. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách chúng: a) d:{x =3t−2;y= −1 ;t z=4t−5; ( ) : 4P x−3y−6z− =5
b) d:{x= −1 ;t y=t z; = +2 ;t ( ) :P x+ + =z
c) : 0; ( ) : 2
2
x y z
d P x y z
x y z
− + + =
− + + =
(24)VẤN ĐỀ 6: Góc
1 Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a a1, 2
Góc d1, d2bằng bù với góc a a1, 2
( )
1
1 cos ,
a a a a
a a
=
2 Góc đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a =( ;a a a1 2; 3) mặt phẳng (α) có VTPT n =( ; ; )A B C
Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) góc đường thẳng d với hình chiếu d′ (α)
( )
2 2 2
1
sin ,( )
Aa Ba Ca d
A B C a a a
α = + +
+ + + +
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 73. Tính góc hai đường thẳng:
a) d1:{x = +1 ,t y=–1+t z, = +3 ;t d2 :{x=2 – ,t y=–1+3 ,t z=4+2t
b) 1: 4; 2:
2
x y z x y z
d − = + = − d + = − = +
− −
c) 1: 3 0; 2:{ ; ; –3
2
x y z
d d x t y t z t
x y z
− − − =
= = = +
− + + =
HT 74. Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc với nhau:
a) 1: 15 0; 2 :
7 34 11
x z x y z
d d
y z x y
− − = − − − =
+ + = − − =
HT 75. Tìm m để góc hai đường thẳng sau α:
a) d1:{x = − +1 t y; = −t 2;z = +2 t; d2:{x = +2 t y; = +1 t 2;z = +2 mt; α=600
HT 76. Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P)::
a) : 1 3; ( ) : – – – 10
1
x y z
d − = − = + P x y z =
−
b) d:{x=1;y = +2 t45;z = +3 t; ( ) :P x45+ + =z c) : 0; ( ) : –
3
x y z
d P x y z
x y z
+ − + =
+ + =
+ − =
VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác
1 Viết phương trình mặt phẳng
(25)– Một VTPT (P) là: n = AB AC,
•Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP a d1 (hoặc d2)
– Trên d1 lấy điểm A, d2 lấy điểm B Suy A, B ∈ (P) – Một VTPT (P) là: n = a AB,
•Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt d1, d2: – Lấy điểm A ∈ d1 (hoặc A ∈ d2) ⇒ A ∈ (P)
– Xác định VTCP a d1, b d2
– Một VTPT (P) là: n = a b,
• Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định VTCP a b, đường thẳng d1, d2
– Một VTPT (P) là: n = a b, – Lấy điểm M thuộc d1⇒ M ∈ (P)
• Dạng 5: Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định VTCP a b, đường thẳng d1, d2
– Một VTPT (P) là:n = a b, .
2 Xác định hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d
• Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d – Khi đó: H = d ∩ (P)
• Cách 2: Điểm H xác định bởi:
d
H d
MH a
∈ ⊥
3 Điểm đối xứng M' điểm M qua đường thẳng d
• Cách 1: – Tìm điểm H hình chiếu M d
– Xác định điểm M′ cho H trung điểm đoạn MM′
• Cách 2: – Gọi H trung điểm đoạn MM′ Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M′ – Khi toạ độ điểm M′ xác định bởi: MM' ad
H d
⊥ ∈
4 Xc định hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (P)
(26)• Cách 2: Điểm H xác định bởi: ( )
, P
H P
MH n phương
∈
5 Điểm đối xứng M' điểm M qua mặt phẳng (P)
• Cách 1: – Tìm điểm H hình chiếu M (P)
– Xác định điểm M′ cho H trung điểm đoạn MM′
• Cách 2: – Gọi H trung điểm đoạn MM′ Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M′ – Khi toạ độ điểm M′ xác định bởi: ( )
, P
H P
MH n phương
∈
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 77. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d: a)
4 (2; 3;1), :
3
x t
A d y t
z t
= +
− = −
= +
b)
2 (1; 4; 3), :
1
x t
A d y t
z t
= −
− = − + = −
c) (4; 2; 3), :
3
x y z
A − d − = + = − d) (2; 1;5), :
2
x y z
A − d + = + = −
HT 78. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d1, d2:
a) 1:{ ; ; 1; 2:
3
x y z
d x = + t y= + t z = −t d + = − = +
b) 1: 2, 2:
2 4
x y z x y z
d − = + = − d + = − = −
HT 79. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng cắt d1, d2:
a) d1:{x =3 ;t y= −1 ;t z = +3 t; d2:{x = +1 t y'; =2 ';t z = +4 t'
b) 1: 0; 2:{ ; ;
2
x y z
d d x t y t z t
x y
+ + + =
= + = − + = −
− + =
c) 1: 0; 2:
2
x y z x z
d d
x y z y z
− − − = − − =
+ + + = + + =
d) 1: ; 2 : 3
1
x y x y z
d d
x y z x y
+ + = + − + =
− + − = − + =
HT 80. Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1và song song với d2:
a) d1:{x= −1 ;t y= +3 t z; = − −2 ;t d2 :{x =2 ';t y= +1 t z'; = −3 't
b) d1:{x = +1 ;t y= −2 ;t z = −t d; 2 :{x =2 ';t y= −5 ';t z=4
c) d1:{x = −3 ;t y= +1 ;t z=4t−2;d2 :{x= +2 ';t y= −4 t z'; = −1 't
d) 1: ; 2 : 1
3 2
x y z x y z
d − = + = d = − = +
−
(27)a)
2 (1;2; 6), :
3
x t
M d y t
z t
= + − = −
= −
b)
1 (2; 3;1), : 2
x t
M d y t
z t
= − = +
= −
c)
2 (2;1; 3), :
1
x t
M d y t
z t
= − = −
= − +
d)
2 (1;2; 1), :
3
x t
M d y t
z t
= −
− = +
=
HT 82. Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P) điểm M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (P): a) ( ) : 2P x− +y 2z− =6 0, M(2; 3;5)− b) ( ) :P x+ +y 5z−14=0, M(1; 4; 2)− −
c) ( ) : 6P x−2y+3z+12=0, M(3;1; 2)− d) ( ) : 2P x−4y+4z+ =3 0, M(2; 3; 4)−
(28)ÔN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Cơ
HT 83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): – –
x y+ z = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) Đ/s: ( ) : 2Q y+3z−11=0
HT 84. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;1; 3), (1; 2;1)B −
và song song với đường thẳng
1 :
3
x t
d y t
z t
= − +
=
= − −
Đ/s:(P): 10x−4y+ −z 19=0
HT 85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( )d1 ( )d2 có phương trình:
1
( );
2
x y z
d − = + = − , ( ) :2
6
x y z
d − = − = − Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) ( )d2
Đ/s:(P): x + y – 5z +10 =
HT 86. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2 6 4 2 0
x +y +z − x+ y− z− = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v =(1;6;2), vng góc với mặt phẳng( ) :α x+4y+ −z 11=0 tiếp xúc với (S)
Đ/s:(P): 2x− +y 2z+ =3 0 (P): 2x− +y 2z−21=0
HT 87. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đie{m M(1; –1; 1) và hai đường thẳng ( ) :1
1
x y z
d = + =
− −
2
1
( ) :
1
x y z
d = − = − Chứng minh đie{m M d d, 1, 2 cùng na~m trên một mặt pha‚ng Vieƒt phương trı̀nh mặt pha‚ng đó Đ/s: x+2y− + =z 0
Dạng 2: Phương trình mặt phẳng liên quan tới mặt cầu
HT 88. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 3
2
x− y− z
= = mặt cầu (S):
x z
2 2 2 2 4 2 0
x +y +z − − y− + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S)
Đ/s: (P): y−2z+ +3 5=0 hoặc (P): y−2z+ −3 5=0
HT 89. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x−4y− =4 mặt phẳng (P):
x+ − =z Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; 1)− vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Đ/s: (Q): 2x+ −y 2z− =9 0 Hoặc (Q): 4x−7y−4z− =9
Câu hỏi tương tự:
Với ( ) :S x2+y2+z2−2x+4y−4z+ =5 0, ( ) : 2P x+ −y 6z+ =5 0,M(1;1;2)
ĐS: ( ) : 2Q x+2y+ − =z 0 ( ) : 11Q x−10y+2z− =5 0
HT 90. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 – 2x+4y+2 – 3z =0 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r =3
Đ/s:(P): y – 2z =
(29)2 :
2
x y d
x z
− − =
− − =
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính
1 r =
Đ/s: (P): x+ − − =y z 0hoặc (P): 7x−17y+5z− =4
HT 92. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2 1
x y− z
∆ = = − ,
1 :
1 1
x− y z
∆ = = − −
mặt cầu (S): x2+y2+z2– 2x+2y+4 – 3z =0 Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng ∆1và∆2
Đ/s: (P): y+ + +z 3 2=0 (P): y+ + −z 3 2=0
HT 93. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
2 2 2 4 6 11 0
x +y +z − x+ y− z− = mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi p=6π
Đ/s: 2x+2 – – 7y z =0 Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :S x2+y2 +z2+2x+4y−6z−11=0, ( ): 2α x+ −y 2z+19=0, p=8π ĐS: ( ) : 2β x+ −y 2z+ =1
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
HT 94. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q):
x+ + =y z cách điểm M(1; 2; –1) khoảng
Đ/s: (P): x− =z 0 (P): 5x−8y+3z=0
HT 95. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
1
x− y− z
= = điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng ∆ mặt phẳng (P)
Đ/s: (P): 4x−8y+ −z 16=0 (P): 2x+2y− + =z 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với : 1; (0; 3; 2),
1
x y z
M d
−
∆ = = − =
ĐS: ( ) : 2P x+2y− − =z 0 ( ) : 4P x−8y+ +z 26=0
HT 96. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) : x t
d y t
z
=
= − +
=
điểm A( 1;2; 3)− Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
Đ/s:(P): 2x− −y 2z+ =1 0
HT 97. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1;1; 0), (0; 0; 2), (1;1;1)− N − I Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P)
Đ/s: (P): x− + + =y z 0hoặc (P): 7x+5y+ + =z 0
(30)Đ/s: (P): x+2y+4z− =7 0hoặc (P): x+ +y 2z− =4 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;1), ( 2;1; 3), (2; 1;1), (0; 3;1)B− C − D
ĐS: ( ) : 4P x+2y+7z−15=0 ( ) : 2P x+3z− =5 0
HT 99. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), B(0; 1;2)− , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( )P khoảng cách từ C đến ( )P
Đ/s:( ) : 3P x− =z 0 ( ) : 2P x− =y
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3)B C ĐS: −6x+3y+4z=0 6x−3y+4z =0
HT 100. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1)− , B(1;1;2), C( 1;2; 2)− − mặt phẳng (P):
2 2 1 0
x− y+ z+ = Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB=2IC
Đ/s: ( )α : 2x− −y 2z− =3 0hoặc ( )α : 2x+3y+2z− =3
HT 101. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường tha‚ng d d1, 2 la‡n lượt có phương trı̀nh
2
:
2
x y z
d − = − = − , 2:
2
x y z
d − = − = −
− Vieƒt phương trı̀nh mặt pha‚ng cách đe‡u hai đường tha‚ng
1,
d d
Đ/s: (P): 14x−4y−8z+ =3
HT 102. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường tha‚ng d d1, 2 la‡n lượt có phương trı̀nh 1
1 :
x t
d y t
z
= + = − =
,
2
2 1
:
1 2
x y z
d − = − = +
− Vieƒt phương trı̀nh mặt pha‚ng (P) song song với d1 d2, cho khoảng cách từ d1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P)
Đ/s:( ) : 2P x+2y+z – 3=0 ( ) : 2 17 P x+ y+ −z =
HT 103. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vieƒt phương trı̀nh mặt pha‚ng (P) qua hai đie{m A(0; 1;2)− , (1; 0; 3)
B và tieƒp xúc với mặt ca‡u (S): (x−1)2+(y−2)2+(z+1)2 =2
Đ/s: (P): x− − =y 0 (P): 8x−3y−5z+ =7
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
HT 104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆):
1
x− y z
= =
− − tạo
với mặt phẳng (P) : 2x−2y− + =z góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (α) với trục Oz
Đ/s: M(0; 0;2− 2) hay M(0; 0;2+ 2)
HT 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng ( ) : –α x y– 1=0, ( ) : –β x z =0 tạo với mặt phẳng ( ) :Q x– 2y+2 – 1z =0 góc ϕ mà
2 cos
9
ϕ =
Đ/s:( ) : 4P − x+ +y z – 1=0hoặc ( ) : 23P − x+5y+13 – 5z =0
(31)( ) :P x+2y+ − =z Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB tạo với mặt phẳng (P) góc α thoả mãn
cos
α=
Đ/s:mp(Q): 4x− +y 3z+15=0 (Q): x− − =y 0 Câu hỏi tương tự:
a) A(0; 0;1), (1;1; 0)B , ( ) ( ), cos
P ≡ Oxy α=
ĐS: (Q): 2x− + − =y z 0 (Q): x−2y− + =z 0 HT 107. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d
x y z
+ + − =
+ + − =
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc α=600
• ĐS: ( ) : 2P x+ + −y z 2− =2 0 ( ) : 2P x− − −y z 2+ =2
HT 108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x−2y+5z− =1 ( ) :Q x−4y−8z+12=0 Lập phương trình mặt phẳng ( )R qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc α =450
Đ/s:( ) :R x− =z 0hoặc ( ) :R x+20y+7z =0
Câu hỏi tương tự:
a) Với ( ) :P x− −y 2z =0,( )Q ≡(Oyz M), (2; 3;1),− α =450
ĐS: ( ) :R x+ + =y 0 ( ) : 5R x−3y+4z−23=0
HT 109. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 1: 1
1
x− y+ z− ∆ = =
−
và 2:
1
x y z
∆ = =
− Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 tạo với ∆2 góc
0 30
=
α
Đ/s: (P):5x+11y+2z+ =4 0 (P): 2x− − − =y z 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với 1:
1 1
x y− z
∆ = = − ,
2
:
2 1
x− y− z+ ∆ = =
− ,
0 30
=
α
ĐS: (P): x−2y−2z+ =2 0 (P): x+2y+ − =z
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
HT 110. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK
Đ/s:(P): 4x+5y+6z−77=0.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1) ĐS: (P): x− − + =y z
HT 111. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt trục Ox, Oy B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng:
2 bc
b+ =c Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ
Đ/s: minS = 96 b=c=4
(32)6
Đ/s:( ) :Q x+ + − =y z 0
HT 113. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 0; 0), (1;2;1)B Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cắt trục Oz M cho tam giác ABC có diện tích
2 ĐS:( ) :P x+2y−2z− =3 0
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng cách xác định vectơ phương
HT 114. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2
x y z
d + = − = − mặt phẳng P :
1
x− − − =y z Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;1; 2)− , song song với mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng d
Đ/s: : 1
2
x− y− z+ ∆ = =
−
HT 115. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: {x = −t;y= − +1 2t;
z = +t(t∈R) mặt phẳng (P): 2x− −y 2z− =3 0.Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm (P), cắt vng góc với (d)
Đ/s:∆:
1
x t
y
z t
= + = − = +
HT 116. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đường thẳng ∆: 1
2 1
x− y+ z
= =
− Lập
phương trình đường thẳng d qua điểm M, cắt vng góc với ∆
Đ/s:d: :
1
x y z
d − = − =
−
HT 117. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) hình chiếu vng góc đường thẳng AB (P)
• Gọi (Q) mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) ⇒ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 =
(D) = (P)∩(Q) suy phương trình (D)
HT 118. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng
:
3
x z
d
x y z
− =
− + − =
mặt phẳng P x: −2y+ + =z
Đ/s:∆:
4 16 11
13 2 10
x t
y t
z t
= +
= +
= +
Câu hỏi tương tự:
a) Với : 1
2
x y z
d + = − = − , ( ) :P x−3y+2z− =5 0 ĐS:
1 23 : 29 32
x m
y m
z m
= + ∆ = +
= +
HT 119. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C giao điểm mặt phẳng
(33)Đ/s: d:
1
2
x t
y t
z t
= +
= +
= +
HT 120. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2)− B C đường thẳng
1
:
2
x y z
d − = + = +
− Lập phương trình đường thẳng∆ qua trực tâm tam giác ABC, nằm mặt
phẳng (ABC) vng góc với đường thẳng d.
Đ/s: : 1
12 11
x− y− z− ∆ = =
−
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác
HT 121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đường thẳng d có phương trình
1
:
2 1
x y z
d − = + =
− Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d
và tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua d
Đ/s:∆:
1
x− y− z
= = − −
8 ; ; 3 M′ − −
Câu hỏi tương tự:
a) ( 4; 2; 4); : 1
2
x y z
M − − d + = − = +
− ĐS:
1
:
3
x+ y z− ∆ = =
−
HT 122. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 2
3 2
x y z
d + = − = −
− mặt phẳng (P): x + 3y +
2z + = Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P), qua M(2; 2; 4) cắt đường thẳng (d)
Đ/s:∆: 2
9
x− y− z− = =
−
Câu hỏi tương tự:
a) :
1
x y z
d = − = − , ( ) :P x+3y+2z+ =2 0, M(2;2; 4) ĐS: : 3
1 1
x− y− z− ∆ = =
−
b) : 2
1
x y z
d − = = + , ( ) : 2P x+ − + =y z 1 0, M(1;2; –1) ĐS: :
2
x− y− z+ ∆ = =
− −
c)
3 2
x− y+ z− = =
− ,( ) : 3P x−2y−3z− =2 0,M(3; 2; 4)− − ĐS:
3
:
5
x− y+ z+ ∆ = =
−
HT 123. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3α x−2y+ −z 29=0và hai điểm A(4; 4; 6) , (2; 9; 3)B Gọi E F, hình chiếu A B ( )α Tính độ dài đoạn EF Tìm phương trình đường thẳng ∆
nằm mặt phẳng ( )α đồng thời ∆ qua giao điểm AB với ( )α ∆vng góc với AB
Đ/s: 171
14 EF =
6
:
9 11
x t
y t
z t
= +
∆ = − +
= +
HT 124. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), (Q) đường thẳng (d) có phương trình:
1
( ) : 0, ( ) : 3 0, ( ) :
2 1
x y z
P x− y+ =z Q x− y+ z+ = d − = = − Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm
(34)Đ/s: ( ) :
3
x+ y+ z+ ∆ = =
HT 125. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2)− B C đường thẳng
1
( ) :
2
x y z
d − = + = +
− Lập phương trình đường thẳng ∆ qua trực tâm tam giác ABC, nằm mặt
phẳng (ABC) vuông góc với đường thẳng (d)
Đ/s: : 1
12 11
x− y− z− ∆ = =
− .
HT 126. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1)− , đường thẳng :
1 2
x y− z
∆ = = , mặt phẳng
( ) :P x –y+ − =z Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , nằm ( P) hợp với đường thẳng
∆ góc 450
Đ/s: d:
3 – x t y t z = + = − =
Hoặc d :
3 – – 15
x t y t z t = + = − =
HT 127. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2 1
x− y+ z+ = =
− mặt phẳng (P):
2
x+ + + =y z Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới ∆ 42
Đ/s: : 5
2
x− y+ z+ ∆ = =
−
3
:
2
x+ y+ z− ∆ = =
−
HT 128. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): x+ − − =y z 0, hai đường thẳng (∆):
1 1
x− y z
= =
− − , (∆′):
1
1
x y z+
= = Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (α) cắt (∆′); (d) (∆) chéo mà khoảng cách chúng
2 Đ/s: : x d y t
z t = = = − +
:
1 x t
d y t
z = = − = −
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
HT 129. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng:
7
:
1
x− y− z− ∆ = =
− ∆2:
3 x t y t z t = + = − = − Đ/s:
HT 130. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(− −4; 5; 3) cắt
hai đường thẳng: 1: 11
2 x y d y z + + = − + =
2: 1
2
x y z
d − = + = −
−
Đ/s:
4
:
3
x t
d y t
z t = − + = − + = −
(35)a) M(1;5;0), 1:
1 3
x y z
d = − =
− − , 2:
1 x t
d y t
z t = = − = − +
ĐS:
b) M(3; 10; 1) , 1:
3
x y z
d − = + = + , 2:
1
x y z
d − = − = −
− − ĐS:
3 : 10 10
1
x t
d y t
z t = + = − = −
HT 131. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ ∆1, 2và mặt phẳng (α) có phương trình
1
2
1
: , : , ( ) :
1
x t
x y z
y t x y z
z t α = + − + + ∆ = + ∆ = = − + + = =
Viết phương trình đường thẳng d qua
giao điểm ∆1với (α) đồng thời cắt ∆2 vng góc với trục Oy
Đ/s: x u y z u = + = = − +
HT 132. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1
1 :
1
x t
d y t
z t = + = + = +
, đường thẳng d2 giao tuyến hai mặt phẳng (P): –x y– 1=0 (Q): 2x+ +y – 5z =0 Gọi I là giao đie{m của d d1, 2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đo‡ng thời caŒt hai đường thẳng d d1, 2 la‡n lượt tại B và C cho tam giác BIC cân đỉnh I Đ/s:d3 :{x=2;y=3;z = +1 2t
HT 133. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): – 3x y+11z =0 hai đường thẳng d1: x − = y−
=
3 z+
,
1 x−
= y
=
2 z−
Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), đồng thời ∆ cắt d1 d2
Đ/s:∆:
5
x+ y− z− = =
− −
HT 134. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng hai đường thẳng có phương trình (P):
x z
3 +12y−3 − =5 (Q): 3x−4y+9z+ =7 0, (d1):
2
x+ y− z+ = =
− , (d2):
3
2
x− y+ z− = = −
Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) cắt (d1), (d2)
Đ/s: (∆) : 25 32 26 55
4 10
x y z
y z + + + = − + =
HT 135. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): –x y+2 – 3z =0 hai đường thẳng (d1), (d2)
lần lượt có phương trình
2
x− y− z
= = −
3
2
x+ y+ z− = =
− Viết phương trình đường thẳng (∆)
song song với mặt phẳng (P), cắt ( )d1 ( )d2 A B cho AB =
Đ/s: : 1
1 2
x− y+ z− ∆ = =
−
HT 136. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x− + + =y z hai đường thẳng
1
:
2
x y z
d − = + = − , 2: 1
2
x y z
(36)Đ/s:∆: ; x t y t z t = + = − + = −
HT 137. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) :1 10
2 1
x y z
d + = − = −
−
2
( ) : x t
d y t
z t = = − = − +
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt (d1) A, cắt (d2) B Tính
AB
Đ/s d:
52 16 32 x t y z = − + = − =
HT 138. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):
23 10 x t y t z t = − + = − + =
(d2):
2
x− y+ z
= = −
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz cắt hai đường thẳng (d1), (d2)
Đ/s AB:
1 17 x y z t = − = = +
HT 139. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) đường thẳng (d):
6 24
x y z
x y z
− + =
+ + − =
Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) cắt đường thẳng AB, OC
Đ/s∆∆∆∆: 12
3
x y z
x y z
+ + − =
− + =
HT 140. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh đường thẳng AB CD chéo Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng Oxy cắt đường thẳng AB, CD.
HT 141. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 1
1 :
1
x t
d y t
z t = − − = = +
2: 1 1 2 x y z
d = = Xét vị trí tương đối d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 vng góc với d2
Đ/s :
0 x t d y t
z = = − =
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;1;1),
1
2
( ) :
3
x y z
d + = = −
− ,
2 ( ) :
2
x t
d y t
z t = − + = − = +
ĐS: : 1
3 1
x y z
d − = − = −
(37)HT 142. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình: (d1) : x t y t z t = = + = +
(d2)
: ' '
' x t y t z t = = − = −
Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; –1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1)
Đ/s (d ):
18 44 11 12 30 11 7 11 x y z λ λ λ = + = − − = −
HT 143. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) đường thẳng (d1), (d2) với: (d1):
1
3
x− y+ z
= = ; (d2) giao tuyến mặt phẳng (P): x+ =1 (Q): x+ − + =y z Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc (d1) cắt (d2)
Đ/s AM: 1
3
x y− z− = = −
HT 144. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x− +y 2z=0 đường thẳng
1 1
( ) :
1
x y z
d − = − = − , ( )' :
2 1
x y z
d − = − =
− Viết phương trình đường thẳng ( )∆ nằm mặt phẳng
(P), vng góc với đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d')
Đ/s :
8
x− y− z
∆ = = − −
HT 145. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x− + − =y z hai đường thẳng (d1):
1
2
x− y+ z−
= = , (d2): 1
2
x+ y− z−
= = Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng
(P), vuông góc với đường thẳng (d1) cắt đường thẳng (d2) điểm E có hồnh độ
Đ/s (∆):
3 x t y t z t = + = + = −
HT 146. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) mặt phẳng (P) có phương trình: 3x−8y+7z+ =1 Viết phương trình tắc đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) d vuông góc với AB giao điểm đường thẳng AB với (P)
Đ/s: d:
2
x− y z− = =
− −
HT 147. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 1
2 1
x+ y− z− = =
− ; d2:
1
1
x− y− z+
= = mặt phẳng (P): x− −y 2z+ =3 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1 , d2
Đ/s:∆∆∆∆:
1
x− y z− = =
−
HT 148. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P):
x+ + − =y z đồng thời cắt hai đường thẳng ( ) :1 1
2 1
x y z
d − = + =
−
1 ( ) :
x t d y z t = − + = − = −
(38)Đ/s: d:
5 5
x− =y+ = +z
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): 2x+ +y 5z+ =3 0, ( ) :1 1
2
x y z
d − = + = , ( ) :2
1
x y z
d − = = −
−
ĐS: : 2
2
x y z
d + = + = +
b) Với ( ) : –P x y– 5z+ =1 , 1: 1
2
x y z
d + = − = − , 2: 2
1
x y z
d − = + =
−
ĐS:
2
x− y− z− = =
− −
HT 149. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): –x y+ + =z 0, (Q): x –y+2z+ =3 0, (R): x+2 – 3y z+ =1 đường thẳng ∆1:
2
x− y+ z
= =
− Gọi ∆2 giao tuyến (P) (Q) Viết phương
trình đường thẳng (d) vng góc với (R) cắt hai đường thẳng ∆1, ∆2 Đ/s: d:
1 23
12 12
1
x− y− z−
= =
−
HT 150. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình 1: x t
d y t
z t
= = −
= − +
,
2
2 :
1 3
x y z
d = − =
− − ,
1 1
:
5
x y z
d + = − = + Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng 1, 2,
d d d điểm A, B, C cho AB=BC
Đ/s: :
1 1
x y− z
∆ = =
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách
HT 151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):
2
3
x t
y t
z t
= +
= +
= − +
mặt phẳng (P):
x y z
− + + + = Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm (P), song song với (d) cách (d) khoảng 14
Đ/s:( 1) :
4
x− y− z+
∆ = = hoặc ( 2) :
4
x− y z+ ∆ = =
HT 152. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ − + =y z đường thẳng: d:
2 1
1
x− y− z− = =
− − Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), vng
góc với d cho khoảng cách từ I đến ∆ h=3
Đ/s: :
2 1
x− y− z− ∆ = =
− −
1 1
:
2 1
x− y+ z− ∆ = =
− −
(39)a) ( ) :P x+ + + =y z 0, :
2 1
x y z
d − = + = +
− , h= 42
ĐS: : 5
2
x− y+ z+ ∆ = =
− ;
3
:
2
x+ y+ z− ∆ = =
−
HT 153. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ −y 2z+ =9 đường thẳng
1
:
1
x y z
d + = − = −
− Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với (P) cắt d điểm M cách (P)
một khoảng
Đ/s:∆:
19 11 45 11 41 11 x t y t z t = − + = − + = −
hoặc ∆:
7 11 39 11 29 11 x t y t z t = − + = + = −
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc
HT 154. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng ∆:
1 2
x y− z
= = mặt phẳng
(P): x− + − =y z Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A, nằm (P) hợp với đường thẳng ∆ góc 450
Đ/s: d:
3 1 x t y t z = + = − − = hoặcd: 15 x t y t z t = + = − − = −
HT 155. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( ) :P x+y–z+ =1 0, cắt đường thẳng 1 2
1
: ; :
2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − = = + = + = −
tạo với d1 góc 300
Đ/s: d:
5 x t y z t = + = − = + hoặc d: 5 x y t z t = = − + = +
HT 156. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OBC), tanOBC =2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC
Đ/s: BC:
2 x t y t z = + = − =
HT 157. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1), (0;1; 2)− B − đường thẳng
3
:
1
x y z
d = − = +
− Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng
(OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng d góc α cho cos
α=
Đ/s:∆: 10 13 21
2 11
x+ y− z+
= =
− − ∆:
10 13 21
6 1
x+ y− z+
= = − −
(40)với đường thẳng :
1 1
x y z
d + = − =
− tạo với mặt phẳng (P): 2x+ − + =y z góc
0 30
=
α
Đ/s:∆:
2 x t
y t
z
= = + = −
hoặc ∆:
2 x t
y t
z t
= = −
= − −
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác
HT 159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) phương trình đường cao AH,
phương trình đường phân giác BD là: 1: 3
1
x y z
d − = − = −
− ,
1
:
1
x y z
d − = − = −
− Lập
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC ∆ABC tính diện tích ∆ABC
• Gọi mp(P) qua C vng góc với AH ⇒( )P ⊥d1⇒( ) :P x+ −y 2z+ =1
B=( )P ∩d2 ⇒B(1; 4; 3) ⇒ phương trình BC :{x = +1 2 ;t y= −4 2 ;t z=3
Gọi mp(Q) qua C, vng góc với d2, (Q) cắt d2 AB K M Ta có:
( ) :Q x−2y+ − =z 0⇒K(2;2; 4)⇒M(1;2; 5) (K trung điểm CM)
1 :
3 x
AB y t
z t
=
⇒ = + = −
, 1 (1;2; 5) ,
2 ABC
A=AB∩d ⇒A ⇒S∆ = AB AC =
HT 160. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ABC với A(1; 1;1)− hai đường trung tuyến có
phương trình 1:
2
x y z
d = − = −
− − ,
1
:
1
x t
d y
z t
= − = = +
Viết phương trình đường phân giác góc A
Đ/s: AD là: 1
1 2 6
(41)VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
HT 161. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3)− Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục
Oy Đ/s: (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =10
HT 162. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
2 :
4 x t d y t
z
= = =
2
3 :
0
x t
d y t z
= − = =
Chứng minh d d1, 2chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn
vng góc chung d d1, 2
Đ/s:(x−2)2+(y−1)2+(z−2)2 =4.
Câu hỏi tương tự:
a)
1
2
:
1
x y z
d − = − =
− ,
2
:
x t
d y z t
′ = − = = ′
ĐS:
2 2
11 13
( ) :
6 6
S x− +y− +z+ =
b) ( ) :1 ,( ) :2
1 2
x y z x y z
d − = − = d − = + = −
−
ĐS:
2
2
( ) : ( 2) ( 3)
2
S x− +y− + z− =
HT 163. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 1:
3
x y z
d − = − = +
− −
2
2
:
1
x y z
d − = + = Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2
• Mặt cầu nhận đoạn vng góc chung hai đường thẳng đường kính Câu hỏi tương tự:
a) 1
2 :
4 x t d y t
z
= = =
, 2
3 :
0
x t
d y t z
= − = =
ĐS: ( ) : (S x−2)2+(y−1)2+(z−2)2 =4
HT 164. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆1) có phương trình {x =2 ;t y=t z; =4; (∆2) giao tuyến mặt phẳng ( ) :α x+ − =y ( ) : 4β x+4y+3z−12=0 Chứng tỏ hai đường thẳng ∆ ∆1, 2 chéo viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vng góc chung ∆ ∆1, 2 làm đường kính
Đ/s:(x−2)2+(y−1)2+(z−2)2 =4
HT 165. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) đường thẳng d có phương trình
1
2 1
x+ y− z+ = =
− Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc
với d
Đ/s:( – 1)x 2+(y+2)2+( – 3)z =50
HT 166. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d + = − =
− điểm M(4;1; 6) Đường
(42)Đ/s: (S): (x−4)2+(y−1)2+(z−6)2 =18
HT 167. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α : 2x− +y 2z− =3 mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x+4y−8z− =4 0 Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng ( )
α Viết phương trình mặt cầu (S′) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( )α
Đ/s:( ) :S′ (x+3)2+y2+z2=25
HT 168. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng (P): z =2 cắt (S) theo hai đường trịn có bán kính
Đ/s: (S): (x−a)2+(y−b)2+(z−16)2 =260 (a, b ∈ R)
HT 169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x− −y 2z− =2 đường thẳng d:
1
1
x y+ z− = =
− Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) khoảng (P) cắt (S)
theo đường trịn (C) có bán kính
Đ/s: (S):
2 2
1 13
13
6
x y z
+ + + + − =
hoặc
(S):
2 2
11 14
13
6
x y z
− + + + − =
HT 170. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng (P): 2x+ − + =y z Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P)
6
Đ/s: (S): x2+y2+z2−2x−4z=0 (S): x2+y2+z2−2x+20y−4z =0
HT 171. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 3; 4), (1;2; 3), (6; 1;1)B − C − mặt phẳng ( ) :α x+2y+2z− =1 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm mặt phẳng ( )α qua ba điểm A B C, , Tính diện tích hình chiếu tam giác ABC mặt phẳng ( )α
Đ/s:( ) : (S x−1)2+(y+1)2+(z−1)2 =25 ' 85
6
S = (đvdt)
HT 172. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 1
3 1 1
x− y+ z
= = mặt phẳng (P):
x z
2 + −y 2 + =2 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) qua điểm A(1; –1; 1)
Đ/s:(x−1)2+(y+1)2+z2 =1
HT 173. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
1 1
x− y+ z
= = mặt phẳng (P): 2x+y– 2z+ =2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; –1; 0)
Đ/s:( ) : ( – 2)S x 2+(y+1)2+( – 1)z =1
hoặc
2 2
20 19 121
( ) : – –
13 13 13 169
S x +y+ +z =
HT 174. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2; 2)− , đường thẳng ∆: 2x− = + =2 y z mặt phẳng (P): 2x+2y+ + =z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện hình trịn có chu vi 8π Từ lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ tiếp xúc với (S)
(43)HT 175. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:{x =t y; = −1;z = −t mặt phẳng (P): 2
x+ y+ z+ = (Q): x+2y+2z+ =7 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q)
Đ/s: (S): ( 3)2 ( 1)2 ( 3)2 x− + y+ + z+ = Câu hỏi tương tự:
a) d:{x= +2 t y; = +1 ;t z = −1 t, ( ) :P x+2y−2z+ =5 0, ( ) :Q x+2y−2z−13=0
ĐS:
2 2
16 11
( ) :
7 7
S x− +y− +z− =
HT 176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y−2z+10=0, hai đường thẳng (∆1):
2
1 1
x− y z− = =
− , (∆2):
2
1
x− y z+
= = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (∆1), tiếp xúc với (∆2) mặt phẳng (P)
Đ/s: (S):
2 2
11 81
2 2
x y z
− + − + + =
Hoặc (S):
2 2
(x−1) +(y+1) +(z−2) =9 -
TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng
HT 177. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x− + − =y z để ∆MAB tam giác
Đ/s: 2;6 18 4; 18
2
M
± ±
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(4; 0; 0) , B(0; 0; 4), (P): 2x− +y 2z− =4 0 ĐS:
HT 178. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) B(2; 0;–1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x− − + =y z để ∆MAB tam giác
Đ/s: 10; ; 3 M −
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;1; 3), (3;1; 1),( ) : 3− B − P x−8y+7z+ =4 0
ĐS: 2 6;1 6; 2
3 3
C
+ − − −
2 6
2 ;1 ;
3 3
C
− + − +
b) Với A(1;2; 3), ( 1; 4;2),( ) :B− P x− + + =y z 0
ĐS: 11; 3;
4
C
− −
1 11
; ;
4
C
+ +
(44)phẳng( ) :P x− − − =y z cho tam giác ABC cân C có diện tích 17
Đ/s: C(4 ; 3; 0) C(7 ; 3; 3)
HT 180. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+z – 3=0 cho MA = MB = MC
Đ/s: M(2; 3; 7)−
HT 181. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1),− B(2; 0; 3) mặt phẳng ( ) : 2P x− − +y z 4=0 Tìm điểm M thuộc (P) cho MA =MB (ABM)⊥( )P
Đ/s: 2; 17;
3 6 M− −
HT 182. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S
Đ/s:(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2 =9
HT 183. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), ( 1;1; 0)B− mặt phẳng (P): x− + =y z Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho ∆MAB vuông cân B
1 10 10 10 10 10 10
; ; ; ;
3 6 6
M M
− − − + − − − + − + − +
∨
Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng
HT 184. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) đường thẳng ∆:
1
1
x− y+ z
= =
− Tìm toạ độ điểm M ∆ cho:
2 28
MA +MB =
Đ/s: ⇒M( 1; 0; 4)−
HT 185. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1; 0), (2;2;2), ( 2; 3;1)B C − đường thẳng
1
:
2
x y z
d − = + = −
− Tìm điểm M d để thể tích tứ diện MABC
Đ/s: ⇒ 3; 1; M− −
15 11 ; ; M− −
HT 186. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) đường thẳng d:
1 1
x− y z−
= = Tìm d
hai điểm A, B cho tam giác ABM
Đ/s: 2; 2; , 2; 2;
3 3 3
A B
+ + − − −
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1; 0; 1)− , : x t d y t
z
= = =
ĐS: 76 10; 76;1 , 76 2; 76;1
15 15 15 15
A B
+ + − −
hoặc 76 10; 76;1 , 76 2; 76;1
15 15 15 15
A B
− − + +
(45)HT 187. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d: 2 x t y t z = − = + =
Tìm d hai
điểm B, C cho tam giác ABC
Đ/s:
Vậy: 8; 3;
5 B − +
và
6 ; ;
5 C + −
hoặc 8; 3;
5 B + −
6 ; ;
5 C − +
HT 188. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) :
1 2
x− y z+
= = mặt
phẳng (P) : –x y– 2z=0
Đ/s: A(3; 0; 0)
HT 189. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x– 2y+2 – 1z =0 hai đường thẳng ∆1 :
1
1
x+ y z+
= = ; ∆2 :
2
x− y− z+ = =
− Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho khoảng
cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
Đ/s: M (0; 1; –3) hay M 18 53 3; ; 35 35 35
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): 2x+ +y 2z− =1 0, 1:
1 1
x− y− z
∆ = =
− ,
1
:
4 1
x− −y z− ∆ = =
ĐS: M(2; 4;1), M( 1;1; 4)−
HT 190. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2 1
x− y z+ ∆ = =
−
2
1
:
1
x+ y− z− ∆ = =
− Đường vng góc chung ∆1 ∆2 cắt ∆1 A, cắt ∆2 B Tình diện tích
∆OAB
Đ/s: , OAB
S = OA OB =
2
HT 191. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−1=0 đường thẳng
1
1 5
: ; :
2
x y z x y z
d − = − = d − = = +
− − Tìm điểm M∈d1,N∈d2 cho MN // (P) cách (P)
khoảng
Đ/s: N1(–1;–4;0) N2(5;0;–5)
HT 192. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt pha‚ng (P): 2x−y+2z−1=0 và các đường tha‚ng
1 1
1 3
:
2 2
x y z
d − = − =
− ,
5 5
:
4
x y z
d − = = + Tı̀m các đie{m A∈d1,B ∈d2 cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng ba~ng
Đ/s: ( 9; 2;10), 7; ;8 11 3 A− − B −
hoặc
4 17 (3; 4; 2), 4; ;
3 A − B − −
HT 193. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1
2 1
x y z
d + = = −
− :1 x y z
(46)các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x− + +y z 2012=0 độ dài đoạn MN
Đ/s: (0; 0; 0), 3; 5; 7 M N− −
HT 194. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :
1 1
x y z
d = + = −
− điểm
(1; 0; 0), (0;1;1), (0; 0;2)
A B C Tìm điểm M thuộc d cho góc hai mặt phẳng (MAB) (CAB) α=300
• ĐS: M(0; 2;1)−
HT 195. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: 1
1 ( ) :
2
x t
y t
z
= +
∆ = − −
=
2
3
( ) :
1
x− y− z
∆ = =
− Xác định điểm A ∆1 điểm B ∆2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ
Đ/s: A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0)
HT 196. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
= + = −
= − −
Tìm điểm I đường thẳng d cho IA + IB đạt giá trị nhỏ
Đ/s: I 65; 21; 43 29 58 29
− −
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 1;2), (3; 4; 2)− B − − , :
4
x y z
d − = = +
− − ĐS:
64 45 ; ; 29 29 29 I − −
b) Với A(1;2; –1), B(7; –2; 3), :
3 2
x y z
d − = = −
− ĐS: I(2; 0; 4)
HT 197. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng ∆:
1
2
x+ y− z
= =
− Tìm toạ độ điểm M ∆ cho ∆MAB có diện tích nhỏ
Đ/s: Min S = 198 M(1; 0; 2) Câu hỏi tương tự:
a) Với A(0;1; 0), (2;2;2)B , :
2
x− y+ z− ∆ = =
− ĐS: M( 3; 0; 1)− − ,
3
2 S =
b) Với (2; 1;1), (0;1; 2), :
1
x y z
A − B − ∆ = − = +
− ĐS:
34 ( 5; 8; 11),
2
M − − S=
c) Với (0;1; 2), (2; 1;1), :
1
x y z
A − B − ∆ − = − = −
− ĐS: M( 2; 5; 5), min− − S = 22
d) Với
x
1 (2; 1;1), (1; 1; 0), :
2
x y z
A B
y
+ − − =
− − ∆
− − =
ĐS: 1; 2; M − −
(47)e) Với (1; 4;2), ( 1;2; 4), :
1
x y z
A B− ∆ − = − =
− ĐS:
12 38 ; ; 7 M−
HT 198. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):
1
x− y z+ = =
− , (d2):
2
1
x− y+ z
= = −
Một đường thẳng (∆) qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) điểm B cắt đường thẳng (d2) điểm C Chứng minh điểm B trung điểm đoạn thẳng AC
Đ/s: B(2; –1; 1), C(3; –4; –1)
Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu
HT 199. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+4 – 6x y+m=0 đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P): – –x y z+ =1 0, (Q): x+2 – – 4y z =0và Tìm m để (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN =
Đ/s: m = –12
HT 200. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ − + =y z mặt cầu (S):
2 2 6 8 2 23 0
x +y +z − x− y− z+ = Tìm (S) điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Khi viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M cắt (P) theo đường trịn có bán kính
Đ/s: M(4;5; 0); ( ) :(T x−4)2+(y−5)2+z2 =64
HT 201. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình
2 2
( ) :S x +y +z −4x+2y−6z+ =5 0, ( ) : 2P x+2y− +z 16=0 Điểm M di động (S) điểm N di động (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị trí M, N tương ứng
Đ/s: 0 4; 13 14; 3 N − −
M0(0;–3;4)
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :S x2+y2+z2−4x−4y+2z =0; ( ) : 2P x+ −y 2z+ =4 0
ĐS: M(2−2 2;2− 2; 1− +2 2), 2; 5; 3 N− −
HT 202. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), (1; 0; 3), ( 1; 2; 3)B − C − − − mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2 2 2 0
x +y +z − x+ z− = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn
Đ/s: 7; 4; 3 D − −
Dạng 4: Xác định điểm không gian
HT 203. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x+2 –y z+ =4 hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách gốc tọa độ O (α)
Đ/s: 1 3; ; 4 K−
HT 204. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0),B(0;1; 0),C(0; 3;2) mặt phẳng ( ) :α x+2y+ =2 Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A B C, , mặt phẳng ( ).α
Đ/s: M(1; 1; 2) 23 23; ; 14 3 M −
(48)HT 205. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác S.ABC, biết A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC 36
Đ/s: S(9; 9; 9) hoặc S( 7; 7; 7)− − − Dạng 5: Xác định điểm đa giác
HT 206. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC
Đ/s: H 36 18 12; ; 49 49 49
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) ĐS:
HT 207. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1; 3; 5)− , B( 4; 3;2)− , C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Đ/s: 8; ; 3 I−
HT 208. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đ/s: I(0; 2; 1) Bán kính R=
HT 209. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 3;1), B( 1;2; 0)− ,C(1;1; 2)− Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Đ/s: 29; ; 15 15 H −
14 61 ; ; 15 30 I −
HT 210. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA( 1; 0;1), (1;2; 1), ( 1;2; 3)− B − C − I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm Ivà tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)
Đ/s: (S):x2+(y−2)2+(z−1)2 =4
HT 211. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) hai đường thẳng có phương trình 1: 3
1
x y z
d − = − = −
−
và 2:
1
x y z
d − = − = −
− Chứng minh đường thẳng d1, d2 điểm A nằm mặt phẳng Xác
định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC
Đ/s: B(1;2; 5) ; C(1;4;2)
HT 212. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác BM của góc B có phương trình 1: 3
1
x y z
d − = − = −
− ,
1
:
1
x y z
d − = − = −
− Tính độ
dài cạnh tam giác tam giác ABC
Đ/s: AB = AC = BC = 2 2
HT 213. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A(3; 1; 2− − ), B(1;5;1), C(2; 3; 3), AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D
Đ/s: 164; 51 48; 49 49 49 D −
(49)1 :
1 1
x y z
d + = = −
− − điểm D có hồnh độ âm
Đ/s:( ) :P x+y – 4z+ =3 0
HT 215. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, A(1; 0; 0), C( 1;2; 0)−
, D( 1; 0; 0)− , S(0; 0; 3) Gọi M, N trung điểm đoạn SB CD Chứng minh hai đường thẳng AM
và BN vuông góc với xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB
Đ/s: 7; ; 6 I
HT 216. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M(5; 3; 1)− , P(2; 3;−4) Tìm toạ độ đỉnh
Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) :R x+ − − =y z Đ/s: Q(5; 3;−4). Q(4; 5;−3)
HT 217. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết B(3; 0; 8), D( 5; 4; 0)− − đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C
Đ/s: C(–3;–6; 8) 27; 6;
5 C− −
HT 218. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết A(1;2; 0), (2; 3; 4)C − đỉnh B nằm mặt phẳng (Q): x+2y+ − =z Tìm toạ độ đỉnh D, biết toạ độ B số nguyên
(50)Dạng 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN – MAX 1 Viết phương trình mặt phẳng
HT 219. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1)− Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn
Đ/s: (P): 2x− + − =y z 0
HT 220. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có phương trình:
1
2
x− y z−
= = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn
Đ/s: (P): 7x+ −y 5z−77=0
HT 221. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{x= − +2 t y; = −2 ;t z = +2 2t Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ có khoảng cách đến (d) lớn
Đ/s:( ) : 2P x− − =z 0
HT 222. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = = − điểm A(2; 5; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn
Đ/s: max ( ,( ))d A P =3 2 Khi đó: (P): x−4y+ − =z 0 Câu hỏi tương tự:
a) : 1 2, (5;1; 6)
2
x y z
d − = + = − A ĐS: ( ) : 2P x+ − + =y z
b) : , (1; 4;2)
1
x y z
d − = + = A
− ĐS: ( ) : 5P x+13y−4z+21=0
HT 223. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)− N( 1;1; 3)− Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểmK(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) lớn
Đ/s: (P): x+y–z+ =3 0
HT 224. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y− + =z đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d + = + = − Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ
Đ/s: (P): y− + =z 0 Câu hỏi tương tự:
a) Với (Q): x+2y+2 – 3z =0, :
1
x y z
d − = + =
− ĐS: ( ) :P x+2y+5 3z+ =0
b) Với ( ) ( ), :
1
x y z
Q ≡ Oxy d − = + =
− ĐS: ( ) :P x− + − =y z 0
c) Với ( ) : 2Q x− − − =y z 0, : 2 x t
d y t
z t
= −
= − +
= +
ĐS: ( ) :P x+ + − =y z 0
HT 225. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1; 1; 3), (1; 0; 4)− − N mặt phẳng (Q):
2
(51)• ĐS: ( ) :P y− + =z 0 Câu hỏi tương tự:
a) M(1;2; 1), ( 1;1;2),( )− N − Q ≡(Oxy) ĐS: ( ) : 6P x+3y+5z− =7 0
HT 226. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
= −
= − +
=
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với trục Oy góc lớn
Đ/s:(P): x+5y−2z+ =9 0
HT 227. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
1
x y z
d − = + =
−
2
2
:
2
x y z
d + = − =
− Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho góc mặt phẳng (P) đường thẳng
2
d lớn
Đ/s: (P) : 7x− +y 9z− =0
HT 228. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1 1
x y z
d + = − = +
− điểm A(2; 1; 0)− Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ
• ĐS: ( ) :P x+ +y 2z− =1 0
HT 229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x− + + =y z điểm A(1;1; 1)− Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vng góc với mặt phẳng (Q) tạo với trục Oy góc lớn
ĐS: ( ) :P y+ =z 0 ( ) : 2P x+5y+ − =z 0
HT 230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
Đ/s:(P):
27 3 x y z
+ + = Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1;2; 4) ĐS: ( ) : 12 x y z
P + + =
HT 231. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2; 3), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức
2 2
1 1
OA OB OC
+ + có giá trị nhỏ
• ĐS: ( ) :P x+2y+3z−14=0
HT 232. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2; 5; 3), cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA+OB+OC có giá trị nhỏ
• ĐS: ( ) :
2 10 10 15 15
x y z
P + + =
+ + + + + +
2) Viết phương trình đường thẳng
HT 233. Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 1
1 2 1
y
x z
d = − = +
− hai điểm A(1;1; 2)− , B( 1;0;2)−
(52)Đ/s: ∆: 1
2
x− y− z+ = = −
HT 234. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2
x+ y z+ ∆ = =
− hai điểm A(1;2; 1),−
(3; 1; 5)
B − − Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn
Đ/s: :
1
x y z
d − = − = +
−
HT 235. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng ∆:
1
2
x+ y− z
= =
− Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B cắt đường thẳng ∆ điểm C cho diện
tích tam giác ABC có giá trị nhỏ
Đ/s:Min S = 198; C(1; 0; 2) ;BC: 3
2
x− y− z− = = − − −
HT 236. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y− + =z 0, đường thẳng
3
:
2 1
x y z
d + = + = − điểm A( 2; 3; 4)− Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), qua giao điểm d (P), đồng thời vng góc với d Tìm điểm M ∆ cho khoảng cách AM ngắn
Đ/s: 16; ; 3 M−
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) : 2P x+ −y 2z+ =9 0,
1
:
3
x t
d y t
z t
= −
= − +
= +
ĐS: :
4 x t y
z t
= ∆ = −
= +
HT 237. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 mặt phẳng (P) có phương trình:
1
1
( ) :
1
x y z
d + = + = , ( ) :2 1
2 1
x y z
d − = − = − ; ( ) :P x+ −y 2z+ =5 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt( ),( )d1 d2 A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ
Đ/s: : 2
1 1
x y z
d − = − = −
HT 238. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+3y− − =z điểm A(1; 0; 0); (0; 2; 3)
B − Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn (nhỏ nhất)
Đ/s:
a) min( ( , ))d B d = 6 d:
1
x t
y z t
= + = =
b) max( ( , ))d B d = 14 d:
1
x t
y t
z t
= + = − = −
HT 239. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x−2y+2z− =5 điểm A( 3; 0;1)− ; (1; 1; 3)
B − Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) cách B khoảng nhỏ
ĐS: :
26 11
x y z
d + = = −
−
HT 240. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x+ y z− ∆ = =
− , hai điểm A(0; 1;2)− ,
(2;1;1)
(53)Đ/s: a) min( ( , )) 11 d B d = d:
3 2 x t y t z t = = − + = −
b) max( ( , ))d B d = 18 d: x t y t z t = − = − + = −
Câu hỏi tương tự:
a) : 0, (2;1; 1), ( 1;2; 0)
x y z
A B
x y z
+ + − = ∆ − − − + − =
ĐS: ax: ; min:
2
m
x x y
d d
y z y z
+ = + − = + − = − − =
b) : 1, (3; 2;1), (2;1; 1)
1
x y z
A B
− + −
∆ = = − − −
ĐS: ax:
19
m
x y z
d − = + = −
− ;
3 20
:
5 20
x y z
d − = + = −
− −
c) : , (1; 4;2), ( 1;2; 4)
1
x y z
A B
− +
∆ = = −
−
ĐS: ax:
1
m
x y z
d − = − = −
− − ;
1
:
15 18 19
x y z
d − = − = −
HT 241. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d − = − = , hai điểm A(1;1; 0), (2;1;1)B Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với d, cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn
Đ/s:∆ :
1 x t y t z t = + = − = −
HT 242. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(0; 1;2)− , cắt đường thẳng
1
:
2 1
x+ y z− ∆ = =
− cho khoảng cách d đường thẳng
5 :
2
x− y z
∆ = =
− lớn
Đ/s: d:
29 41 x t y t z t = = − − = +
Câu hỏi tương tự:
a) (2; 1;2), 1: 1 1, 2: 1
2 1
x y z
x y z
A
x y z
+ − + = − + −
− ∆ = = ∆
− + + =
ĐS: : 2
41 68 27
x y z
d − = + = −
−
HT 243. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;2)− , song song với mặt phẳng ( ) :P x+ − + =y z cho khoảng cách d đường thẳng : x
2
x y z y z
+ + − =
∆ − + − =
(54)• ĐS:
1 x
y t
z t
=
= − +
= +
HT 244. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 1;2)− , song song với mặt phẳng ( ) : 2P x− − + =y z 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1
1 2
x+ y− z
∆ = =
− góc lớn (nhỏ
nhất)
Đ/s: a) min(cos )α =0 d : 1
4
x− y+ z− = =
b) max(cos )
α = d: 1
1
x− y+ z− = =
−
HT 245. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A( 1; 0; 1)− − , cắt đường thẳng
1 2
:
2 1
x− y− z+ ∆ = =
− cho góc d đường thẳng
3
:
1 2
x− y− z+ ∆ = =
− lớn (nhỏ nhất)
Đ/s:
a) min(cos )α =0 d : 1
2
x+ y z+ = =
−
b) max(cos ) 5
α = d : 1
4
x+ y z+ = =
HT 246. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–3; 7; –18) mặt phẳng (P): –x y+ + =z Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ
Đ/s: M(2;2; 3)− Câu hỏi tương tự:
a) Với A(0; 1;2), ( 1;1; 3)− B− , ( )P ≡(Oxy) ĐS: 2; 1; 5 M− −
b) Với A(1; 0; 0), B(1;2; 0), ( ) :P x+ + − =y z ĐS:
c) Với A(1;2; 1), (3;1; 2),( ) :− B − P x− +y 2z=0 ĐS: 13;1;
5
M −
HT 247. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng ∆ có phương trình tham số {x = − +1 ;t y= −1 t z; =2t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆, xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ
Đ/s: M(1;0;2) minP = 2( 11+ 29)
HT 248. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x−3y+3z−11=0 hai điểm A(3; 4; 5)− , (3; 3; 3)
B − Tìm điểm M ∈( )P cho MA−MB lớn
ĐS: 31; 31; 7 M− −
Câu hỏi tương tự:
(55)b) ĐS: 11; ;1 2 M
HT 249. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z+ =8 điểm (–1;2; 3), (3; 0; –1)
A B Tìm điểm M∈ (P) cho MA2+MB2 nhỏ
Đ/s: M(0; 3; –1) Câu hỏi tương tự:
a) Với (P): x+ + =y z 0, A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) ĐS: M ≡ O(0; 0; 0)
b) Với (P): x+5y−7z− =5 0, A(4; 9; 9), ( 10;13;1)− B− ĐS: 50; 192 75; 17 17 17 M− −
HT 250. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z điểm A(1;2;1), (0;1;2)
B Tìm điểm M ∈( )P cho MA2+2MB2 nhỏ
Đ/s: 14 17; ; 9 M
HT 251. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x –y – – 3z =0 Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
F =MA +MB +MC Khi tìm toạ độ M
Đ/s:F nhỏ
2
19 64 553
3 3
+ =
M hình chiếu G lên (P)
Câu hỏi tương tự:
a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x− − − =y z 0
ĐS: minF =65, 11; 4; 3 M −
b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) C(2; 2; 1), (P): x+3 –y z+ =2 0 ĐS: 22 61; ; 17 3 M −
c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x−2y+2z+ =6 0 ĐS: M (0; 4; 1)
HT 252. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; 0;1)− , B(2; 1; 0)− , C(2; 4;2) mặt phẳng (P):
z
2
x+ +y + = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức T =MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ
Đ/s:M(0; 0; 1)−
HT 253. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z điểm A(1;2;1), (0;1;2)
B , C(0; 0; 3) Tìm điểm M ∈( )P cho MA2+3MB2+2MC2 nhỏ
• Giải tương tự Câu 10
HT 254. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x− + − =y z điểm A(1;2; 1)− , (1; 0; 1)
B − , C(2;1; 2)− Tìm điểm M ∈( )P cho MA2+MB2−MC2 nhỏ
• Giải tương tự Câu 10 ĐS: 2; ;
3 3 M
(56)(3;1; 2)
B − , C(1; 2;1)− Tìm điểm M ∈( )P cho MA2−MB2−MC2 nhỏ
• Giải tương tự Câu 10 ĐS: M(2; 2; 2− − )
HT 256. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z ba điểm (2;1; 3), (0; 6;2), (1; 1; 4)
A B − C − Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng ( )P cho MA+MB+MC đạt giá trị bé
nhất
; ; 3 M −
Câu hỏi tương tự:
a) ( ) :P x− +y 2z=0, (1;2; 1), (3;1; 2), (1; 2;1)A − B − C − ĐS: 1; ; 2 3 M −
HT 257. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x+ + − =y z Tìm (P) điểm M cho MA+2MB+3MC nhỏ
Đ/s: 13; 16;
9 9 M −
43
3
T =
HT 258. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z điểm A(1;2;1), (0;1;2)
B , C(0; 0; 3) Tìm điểmM ∈( )P cho MA+3MB+4MC nhỏ
Đ/s:
HT 259. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x−3y+2z+37=0 điểm (4;1; 5), (3; 0;1), ( 1;2; 0)
A B C − Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S =
MAMB+MB MC+MC MA
Đ/s: minS =3.88− =5 259 M(4; 7; 2)−
HT 260. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B( 1;− 3; 0), C(1; 3; 0), M(0; 0; )a với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vng góc với mặt phẳng (MBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ
• BCMN 3
3
MOBC NOBC
V V V a
a
= + = +
đạt nhỏ ⇔
3 a
a
= ⇔a= 3
HT 261. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ
Đ/s: 46 41; ; 26 26 26 D
HT 262. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11)− , B(3; 5; 4)− , C(2;1; 6)− đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d − = − = − Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho MA−MB−MC đạt giá trị nhỏ
Đ/s: 11; 2; 9 M− − −
HT 263. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( ) :P x+2y− + =z điểm A( –2; 3; 4) đường thẳng
( ) :
2 x
(57)Đ/s: Vậy 16; ; 3 M−
HT 264. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình
3
x+ y− + =z Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi ∆ giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc ∆ cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ
Đ/s: 1; 5; 8 M− − −
HT 265. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(2;1; 5), 9F( ; ; ) Gọi ∆ giao tuyến hai mặt phẳng
:
( )P x+ − +y z = ( ) :Q x− +y 2z−7 = Tìm điểm I thuộc ∆sao cho: IE−IF lớn
Đ/s: I(1;0;3)
HT 266. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1 1 x y z
d = = hai điểm A(0; 0; 3), B(0; 3; 3) Tìm điểm M ∈d cho:
a) MA+MB nhỏ b) MA2+2MB2 nhỏ c) MA−3MB nhỏ
Đ/s: min(MA+MB)=3 3 3; ; 2 M
b) 5 5; ; 2 M
c)minMA−2MB =3 2 t=3, tức M(3; 3; 3)
HT 267. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2+ MB2+ MC2+ MD2 đạt giá trị nhỏ
Đ/s: M ≡ 14; ; 3 G
.
TUYỂN TẬP ĐỀ THI 2009 – 2013
HT 268. 2013 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng :
3
x− y+ z+ ∆ = =
− − điểm
(1; 7; 3)
A Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆sao cho 30
AM = Đ/s: (3; 3; 1); 51; 1; 17
7 7 M − − M − −
HT 269. 2013 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x+3y+ −z 11=0 mặt cầu
2 2
( ) :S x +y +z −2x+4y−2z− =8 Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S). Đ/s: M(3;1;2)
HT 270. 2013 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) mặt phẳng
( ) : 2P x+3y− − =z 0.Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A
qua (P).
Đ/s:B( 1; 1;2)− −
HT 271. 2013 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1;1), ( 1;2; 3)− B− đường thẳng
1
:
2
x+ y− z− ∆ = =
(58)Đ/s: 1
7
x− y+ z− = =
HT 272. 2013 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; 1; 2), (0;1;1)− − − B mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vng góc với (P).Đ/s: ( ) :Q x−2y+ + =z
HT 273. 2013 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; 3; 2)− − mặt phẳng
( ) :P x−2y−2z+ =5 Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trinh mặt phẳng qua A song song với (P)
Đ/s: ( ) :Q x−2y−2z+ =3
HT 274. 2012 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d + = = − điểm
(0; 0; 3)
I Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I.
Đ/s: 2 ( 3)2
3 x +y + z− =
HT 275. 2012 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d + = = − mặt phẳng
( ) :P x+ −y 2z+ =5 điểm A(1; 1;2).− Viết phương trình đường thẳng △ cắt d (P) M, N cho A trung điểm đoạn MN
Đ/s: : 1
2
x+ y+ z− = =
△
HT 276. 2012 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = =
− hai điểm
(2;1; 0), ( 2; 3;2)
A B− Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d. Đ/s: (x+1)2+(y+1)2+(z−2)2 =17
HT 277. 2012 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 3),M(1;2; 0) Viết phương trình mặt phẳng
(P) qua A cắt trục Ox Oy, B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM. Đ/s: ( ) : 6P x+3y+4z−12=0
HT 278. 2012 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x+ −y 2z+10=0 điểm (2;1; 3)
I Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính
Đ/s: ( ) : (S x−2)2+(y−1)2+(z−3)2 =25
HT 279. 2012 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
d − = + =
− hai điểm
(1; 1;2), (2; 1; 0)
A − B − Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M. Đ/s: (1; 1; 0), 7; 2;
3 3 M − M −
HT 280. 2011 A (CB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) mặt phẳng ( ) : 2P x− − +y z 4=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB =
Đ/s: M(0;1; 3) 12; ; 7 M−
HT 281. 2011 A (NC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2−4x−4y−4z =0 điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB
Đ/s:( ) :P x− + =y z x− − =y z
HT 282. 2011 B ( CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x− y+ z
∆ = =
− − mặt
phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm ∆ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vng góc với ∆ 14
MI =
(59)HT 283. 2011 B (NC) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: :
1
x+ y− z+ ∆ = =
− hai
điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có diện tích bằng3 5.
Đ/s: M( 2;1; 5);− − M( 14; 35;19)− −
HT 284. 2011 D (CB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng
1
:
2
x y z
d + = = −
− Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox
Đ/s:
1 : 2 3
x t
y t
z t
= + = + = +
△
HT 285. 2011 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2
x− y− z
∆ = = mặt phẳng
( ) : 2P x− +y 2z =0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Đ/s: (x−5)2+(y−11)2+(z−2)2 =1; (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2 =1
HT 286. 2010 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x− y z+ ∆ = =
− mặt phẳng
( ) :P x−2y+ =z Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết
MC =
Đ/s:
6 d=
HT 287. 2010 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng
2
:
2
x+ y− z+
∆ = = Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C
sao cho BC =
Đ/s: x2+y2+(z+2)2 =25
HT 288. 2010 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ),B b C c b,c
dương mặt phẳng ( ) :P y− + =z Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)
3
Đ/s:
2 b= =c
HT 289. 2010 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
2
x y− z
= = Xác định tọa độ
điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến ∆ OM
Đ/s: M( 1; 0; 0)− M(2; 0; 0)
HT 290. 2010 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − = (Q): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R)
Đ/s: ( ) :R x− +z 2=0 x− −z 2=0
HT 291. 2010 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1:
x t
y t z t
= +
= =
∆2:
2
2
x− y− z
= = Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2
Đ/s: M(4;1;1) M(7; 4; 4)
HT 292. 2009 A (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x−2y− − =z mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x−4y−6z−11=0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm bán kính đờng trịn
(60)HT 293. 2009 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x−2y+2z− =1 hai đường
thẳng 1: 9; 2:
1 2
x+ y z+ x− y− z+
∆ = = ∆ = =
− Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Đ/s: (0;1; 3); 18 53 3; ;
35 35 35 M − M
HT 294. 2009 B (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh (1;2;1), ( 2;1; 3), (2; 1;1)
A B− C − D(0; 3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến
(P) khoảng cách từ D đến (P)
Đ/s: ( ) : 4P x+2y+7z−15=0 ( ) : 2P x+3z− =5
HT 295. 2009 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ
Đ/s: :
26 11 x+ y z− ∆ = =
−
HT 296. 2009 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)
Đ/s: 1; ; 2 D −
HT 297. 2009 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng∆: 2
1 1
x+ y− z
= =
− mặt phẳng
(P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng∆
Đ/s: : 1
1
x y z
d + = − = −