[toanmath.com] Chuyên đề hình học giải tích không gian Lưu Huy Thưởng

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHUN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: MỞ ĐẦU I VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a vaø b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃ ! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: MA = kMB; OM = OA − kOB 1−k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a ,b , c , a b khơng phương Khi đó: a ,b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb • Cho ba vectơ a ,b , c khơng đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ khơng gian: AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tích vơ hướng hai vectơ không gian: + Cho u, v ≠ Khi đó: u.v = u v cos(u, v ) + Với u = hoaëc v = Qui ước: u v = + u ⊥ v ⇔ u v = + u = u2 II HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz Chú ý: 2 2 i = j =k =1 i.j = i.k = k j = Tọa độ vectơ: u = (x ; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk a) Định nghĩa: b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R • a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a ± b3 ) • ka = (ka1; ka2 ; ka ) a = b  1 • a =b ⇔  a2 = b2  a3 = b3  • = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) • a phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ R) a = kb  1 ⇔ a2 = kb2  a = kb3  • a b = a1.b1 + a2 b2 + a b3 • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a 3b3 = • a = a12 + a22 + a 32 • a = a12 + a22 + a22 • cos(a , b ) = a a a ⇔ = = , (b1, b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 a b a b a1b1 + a2b2 + a 3b3 = a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a , b ≠ ) Tọa độ điểm: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng a) Định nghĩa: Chú ý: 0968.393.899 M (x ; y; z ) ⇔ OM = (x ; y; z ) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = b) Tính chất: Cho A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B ) • AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 • AB = (x B − x A ; yB − yA ; z B − z A )  x − kx   B ; yA − kyB ; zA − kzB  • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M  A   1−k 1−k 1−k   x + x y + y z + z   B ; A B ; A B • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A    2 • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x + x + x y + y + y z + z + z B C ; A B C ; A B C G  A  3    • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z B C D ; A B C D ; A B C C G  A  4 4    Tích có hướng hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a = (a1, a2 , a ) , b = (b1, b2 , b3 )   a , b  = a ∧ b =  a2 a ; a a1 ; a1 a2  = (a b − a b ; a b − a b ; a b − a b )  b b   3 1 2 b3 b1 b1 b2   Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: • i , j  = k ;   j ,k  = i ; • [a, b ] = a b sin (a , b )   k , i  = j • [a, b ] ⊥ a ; [a, b ] ⊥ b • a, b phương ⇔ [a, b ] = c) Ứng dụng tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng ⇔ [a, b ].c = • Diện tích hình bình hành ABCD:   S▱ABCD = AB, AD  • Diện tích tam giác ABC: S ∆ABC = • Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′:   AB, AC   VABCD.A ' B ' C ' D ' = [AB, AD ].AA ' BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = [AB, AC ].AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương a ⊥ b ⇔ a b = a b phương ⇔ a , b  = a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b  c = Phương trình mặt cầu: • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 • Phương trình x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b + c2 − d > phương trình mặt cầu tâm I(– a; –b; –c) bán kính R = a + b + c2 − d BÀI TẬP CƠ BẢN HT Cho ba vectơ a , b , c Tìm m, n để c = a , b  : a) a = (3; −1; −2), b = (1;2; m ), c = (5;1; ) HT b) a = (6; −2; m ), b = (5; n; −3), c = (6; 33;10) Xét đồng phẳng ba vectơ a , b , c trường hợp sau đây: a) a = (1; −1;1), b = (0;1;2), c = (4;2; 3) c) a = (−3;1; −2), b = (1;1;1), c = (−2;2;1) HT b) a = (4; 3; 4), b = (2; −1; 2), c = (1;2;1) d) a = (4;2; 5), b = (3;1; 3), c = (2; 0;1) Tìm m để vectơ a ,b , c đồng phẳng: a) a = (1; m; 2), b = (m + 1;2;1), c = (0; m − 2;2) b) a = (2m + 1;1;2m − 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) HT Cho vectơ a , b , c , u Chứng minh ba vectơ a ,b , c không đồng phẳng Biểu diễn vectơ u theo vectơ a ,b , c : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a = (2;1; 0), b = (1; −1;2), c = (2;2; −1) a)   u = (3; 7; −7)  HT a = (1; −7; 9), b = (3; −6;1), c = (2;1; −7 ) b)   u = (−4;13; −6)  Chứng tỏ bốn vectơ a , b , c , d đồng phẳng: a) a = (−2; −6;1), b = (4; −3; −2), c = (−4; −2;2), d = (−2; −11;1) b) a = (2; 6; −1), b = (2;1; −1), c = (−4; 3;2), d = (2;11; −1) HT Cho ba vectơ a ,b , c không đồng phẳng vectơ d Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) HT Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: • Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M (1;2; 3) HT b) a , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) b) M (3; −1;2) c) M (−1;1; −3) d) M (1;2; −1) Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M′ đối xứng với điểm M: • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy a) M (1;2; 3) b) M (3; −1;2) c) M (−1;1; −3) HT Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1;2),C (0; 0;1) d) M (1;2; −1) b) A(1;1;1), B(−4; 3;1),C (−9; 5;1) HT 10 Cho ba điểm A, B, C • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác • Tìm toạ độ trọng tâm G ∆ABC • Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành a) A(1;2; −3), B(0; 3; 7),C (12; 5; 0) b) A(0;13;21), B(11; −23;17),C (1; 0;19) c) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2),C (1;2; −3) d) A(4;2; 3), B(−2;1; −1),C (3; 8; 7) HT 11 Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: a) A(3;1; 0) , B(−2; 4;1) b) A(1; −2;1), B(11; 0; 7) c) A(4;1; 4), B(0; 7; −4) HT 12 Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: a) A(1;1;1), B(−1;1; 0),C (3;1; −1) b) A(−3;2; 4), B(0; 0; 7),C (−5; 3; 3) HT 13 Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) điểm M • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? • Tìm tọa độ điểm M a) A (2; −1;7), B (4;5; −2) b) A(4; 3; −2), B(2; −1;1) c) A(10;9;12), B(−20; 3; 4) HT 14 Cho bốn điểm A, B, C, D • Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện • Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD • Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD • Tính thể tích khối tứ diện ABCD • Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 a) A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C (3; 0; −2), D(−3; −1;2) c) A (1;1; 0), B (0;2;1), C (1; 0;2), D (1;1;1) b) A (1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 0;1), D (−2;1; −1) d) A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0;6), D (2; 4;6) HT 15 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' • Tìm toạ độ đỉnh cịn lại • Tính thể tích khối hộp a) A (1; 0;1), B (2;1;2), D (1; −1;1),C ' (4;5; −5) b) A(2; 5; −3), B (1; 0; 0), C (3; 0; −2), A '(−3; −1; 2) c) A(0;2;1), B(1; −1;1), D(0; 0; 0;), A '(−1;1; 0) d) A(0;2;2), B(0;1;2),C (−1;1;1),C '(1; −2; −1) HT 16 Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB) b) Chứng minh S.ABC hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH - BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: x + xB y + yB z + zB – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: x I = A ; yI = A ; zI = A 2 – Bán kính R = IA = AB Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R′ mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b2 + c2 − d > (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a + b2 + c2 − d BÀI TẬP CƠ BẢN HT 17 Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x + y + z − 8x + 2y + = b) x + y + z + 4x + 8y − 2z − = c) x + y + z − 2x − 4y + 4z = d) x + y + z − 6x + 4y − 2z − 86 = HT 18 Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R: a) I (1; −3; 5), R= b) I (5; −3;7), R=2 c) I (1; −3;2), HT 19 Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A: b) I (0; 3; −2), A(0; 0; 0) a) I (2; 4; −1), A(5;2; 3) R=5 d) I (2; 4; −3), R=3 c) I (3; −2;1), A(2;1; −3) HT 20 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; −1), B(5;2; 3) b) A(0; 3; −2), B(2; 4; −1) c) A(3; −2;1), B(2;1; −3) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 21 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: b) A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0;6), D (2; 4;6) a) A (1;1; 0), B (0;2;1), C (1; 0;2), D (1;1;1) HT 22 Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với: A(1;2; 0), B(−1;1; 3),C (2; 0; −1) A(2; 0;1), B(1; 3;2),C (3;2; 0) a)  b)    (P ) ≡ (Oxz ) (P ) ≡ (Oxy ) HT 23 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với: I (−5;1;1)   I (−3;2;2) a)  b)   (T ) : x + y + z − 2x + 4y − 6z + = (T ) : x + y + z − 2x + 4y − 8z + =   BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng • Vectơ n ≠ VTPT (α) giá n vuông góc với (α) Chú ý: • Nếu n VTPT (α) kn (k ≠ 0) VTPT (α) Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > • Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = n = (A; B;C ) VTPT (α) • Phương trình mặt phẳng qua M (x ; y ; z ) có VTPT n = (A; B;C ) là: A(x − x ) + B(y − y ) + C (z − z ) = Các trường hợp riêng Phương trình mặt phẳng (α α) Các hệ số D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chú ý: Tính chất mặt phẳng (α α) (α) qua gốc toạ độ O (α) // Ox (α) ⊃ Ox (α) // Oy (α) ⊃ Oy (α) // Oz (α) ⊃ Oz (α) // (Oxy) (α) ≡ (Oxy) (α) // (Oxz) (α) ≡ (Oxz) (α) // (Oyz) (α) ≡ (Oyz) • Nếu phương trình (α) khơng chứa ẩn (α) song song chứatrục tương ứng • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z + + =1 a b c (α) cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): A1x + B1y + C1z + D1 = (β): A2x + B2y + C 2z + D2 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • (α), (β) cắt ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C • (α) // (β) ⇔ A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 ≠ D1 • (α) ≡ (β) ⇔ D2 A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = D1 D2 • (α) ⊥ (β) ⇔ A1A2 + B1B2 + C 1C = Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = d (M ,(α)) = Ax + By0 + Cz + D A2 + B + C VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định điểm thuộc (α) VTPT Dạng 1: (α) qua điểm M x ; y ; z có VTPT n = (A; B;C ) : ( ) (α): A (x − x ) + B (y − y ) + C (z − z ) = Dạng 2: (α) qua điểm M x ; y ; z có cặp VTCP a , b : ( ) Khi VTPT (α) n = a , b  Dạng 3: (α) qua điểm M x ; y ; z song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0: ( ) (α): A (x − x ) + B (y − y ) + C (z − z ) = Dạng 4: (α) qua điểm không thẳng hàng A, B, C:   Khi ta xác định VTPT (α) là: n = AB, AC  Dạng 5: (α) qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A VTCP u   – Một VTPT (α) là: n = AM , u  Dạng 6: (α) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d): VTCP u đường thẳng (d) VTPT (α) Dạng 7: (α) qua đường thẳng cắt d1, d2: – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT (α) là: n = a , b  – Lấy điểm M thuộc d1 d2 ⇒ M ∈ (α) Dạng 8: (α) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x − y + z + 2012 = độ dài đoạn MN  5 Đ/s: M (0; 0; 0), N − ; − ;   7 7 HT 194 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y + z −1 = = −1 điểm A(1; 0; 0), B(0;1;1),C (0; 0;2) Tìm điểm M thuộc d cho góc hai mặt phẳng (MAB) (CAB) α = 300 • ĐS: M (0; −2;1) x = + t  y = −1 − t HT 195 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: (∆1 ) :   z = x − y −1 z (∆2 ) : = = Xác định điểm A ∆1 điểm B ∆2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ −1 Đ/s: A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0) x = + 4t  HT 196 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) đường thẳng d :  y = −6t  z = −1 − 8t Tìm điểm I đường thẳng d cho IA + IB đạt giá trị nhỏ  65 −21 −43   Đ/s: I  ; ;  29 58 29  Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; −1;2), B(3; −4; −2) , d : b) Với A(1;2; –1), B(7; –2; 3) , d : x −2 y z +1 = = −6 −8 x −2 y z −4 = = −2  64 45  ĐS: I  ; − ; −   29 29 29  ĐS: I (2; 0; 4) HT 197 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng ∆: x +1 y −1 z = = Tìm toạ độ điểm M ∆ cho ∆MAB có diện tích nhỏ −1 Đ/s: Min S = 198 M(1; 0; 2) Câu hỏi tương tự: a) Với A(0;1; 0), B(2;2;2) , ∆ : x −1 y +2 z −3 ĐS: M (−3; 0; −1) , S = = = −1 2 b) Với A(2; −1;1), B(0;1; −2), ∆ : x y −3 z +1 = = −1 c) Với A(0;1; −2), B(2; −1;1), ∆ : x −1 y − z −1 = = −1 x + y − z − = d) Với A(2; −1;1), B(1; −1; 0), ∆ :   2x − y − = ĐS: M (−5; 8; −11), S = 34 ĐS: M (−2; 5; −5), S = 22 1 3 ĐS: M  ; − ; −  6 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 45 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e) Với A(1; 4;2), B(−1;2; 4), ∆ : x −1 y − z = = −1  12 38  ĐS: M − ; ;   7 7 x −3 y z +1 x −2 y +2 z , (d2): = = = = 1 −2 −1 Một đường thẳng (∆) qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) điểm B cắt đường thẳng (d2) điểm C Chứng minh điểm B trung điểm đoạn thẳng AC Đ/s: B(2; –1; 1), C(3; –4; –1) HT 198 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu HT 199 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z + 4x – 6y + m = đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + = , (Q): x + 2y – 2z – = Tìm m để (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN = Đ/s: m = –12 HT 200 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y − z + = mặt cầu (S): x + y + z − 6x − 8y − 2z + 23 = Tìm (S) điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Khi viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M cắt (P) theo đường trịn có bán kính Đ/s: M (4;5; 0) ; (T ) :(x − 4)2 + (y − 5)2 + z = 64 HT 201 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình (S ) : x + y + z − 4x + 2y − 6z + = 0, (P ) : 2x + 2y − z + 16 = Điểm M di động (S) điểm N di động (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị trí M, N tương ứng  13 14  Đ/s: N − ; − ;  M0(0;–3;4) 3   Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x + y + z − 4x − 4y + 2z = ; (P ) : 2x + y − 2z + =  −2 −1  ĐS: M (2 − 2;2 − 2; −1 + 2) , N  ; ;   3  HT 202 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3),C (−1; −2; −3) mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − 2x + 2z − = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn 7 1 Đ/s: D  ; − ; −  3   Dạng 4: Xác định điểm không gian HT 203 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2y – z + = hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vng góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách gốc tọa độ O (α)  1 3 Đ/s: K − ; ;   4 HT 204 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3;2) mặt phẳng (α) : x + 2y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (α)  23 23 14  Đ/s: M (1; 1; 2) M  ; ; −  3 3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 46 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 205 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình chóp tam giác S.ABC, biết A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C (0; 0; 3) Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC 36 Đ/s: S (9; 9; 9) S (−7; −7; −7) Dạng 5: Xác định điểm đa giác HT 206 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC  36 18 12  Đ/s: H  ; ;   49 49 49  Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) ĐS: HT 207 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 5) , B(−4; 3;2) , C (0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC  8 Đ/s: I − ; ;   3  HT 208 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Đ/s: I (0; 2; 1) Bán kính R = HT 209 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 3;1) , B(−1;2; 0) , C (1;1; −2) Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC  29  14 61  Đ/s: H  ; ; −  I  ; ; −   15 15   15 30  HT 210 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; 0;1), B(1;2; − 1),C (−1;2; 3) I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) (S): x + (y − 2)2 + (z − 1)2 = Đ/s: HT 211 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) hai đường thẳng có phương trình d1 : x −2 y −3 z −3 = = 1 −2 x −1 y − z − Chứng minh đường thẳng d1, d2 điểm A nằm mặt phẳng Xác = = −2 định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC Đ/s: B(1;2; 5) ; C(1;4;2) d2 : HT 212 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác x −2 y −3 z −3 x −1 y − z − BM góc B có phương trình d1 : , d2 : Tính độ = = = = 1 −2 −2 dài cạnh tam giác tam giác ABC Đ/s: AB = AC = BC = 2 HT 213 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A (3; −1; −2) , B (1;5;1) , C (2; 3; 3) , AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D 164 51 48  Đ/s: D  ; − ;  49 49   49 HT 214 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A(−1;2;1) , B(2; 3;2) Tìm tọa độ đỉnh C, D viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi biết tâm I hình thoi thuộc đường thẳng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 47 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x +1 y z −2 điểm D có hồnh độ âm = = −1 −1 Đ/s: (P ) : x + y – 4z + = d: HT 215 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, A(1; 0; 0) , C (−1;2; 0) , D(−1; 0; 0) , S (0; 0; 3) Gọi M, N trung điểm đoạn SB CD Chứng minh hai đường thẳng AM BN vng góc với xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB 1  Đ/s: I  ; ; 0  6  HT 216 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình vng MNPQ có M (5; 3; − 1) , P (2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (R) : x + y − z − = Q(4; 5; − 3) Đ/s: Q(5; 3; − 4) HT 217 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết B(3; 0; 8) , D(−5; −4; 0) đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C  −27 −6  Đ/s: C(–3;–6; 8) C  ; ; 8   HT 218 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết A(1;2; 0),C (2; 3; −4) đỉnh B nằm mặt phẳng (Q): x + 2y + z − = Tìm toạ độ đỉnh D, biết toạ độ B số nguyên Đ/s: B(−1;1;2) Vậy D(4; 4; −6) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 48 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Dạng 6: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN – MAX Viết phương trình mặt phẳng HT 219 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn Đ/s: (P): 2x − y + z − = HT 220 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có phương trình: x −1 y z −1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn = = Đ/s: (P): 7x + y − 5z − 77 = HT 221 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) có phương trình tham số {x = −2 + t; y = −2t; z = + 2t Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ có khoảng cách đến (d) lớn Đ/s: (P ) : 2x − z − = x −1 y z −2 điểm A(2; 5; 3) Viết = = 2 phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn HT 222 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Đ/s: max d (A,(P )) = Khi đó: (P): x − 4y + z − = Câu hỏi tương tự: a) d : x −1 y + z − = = , A(5;1; 6) ĐS: (P ) : 2x + y − z + = b) d : x −1 y + z = = , A(1; 4;2) −1 ĐS: (P ) : 5x + 13y − 4z + 21 = HT 223 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (0; −1;2) N (−1;1; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K (0; 0;2) đến mặt phẳng (P) lớn Đ/s: (P): x + y – z + = HT 224 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q): x + 2y − z + = đường thẳng x +1 y +1 z −3 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc d: = = 1 nhỏ Đ/s: (P): y − z + = Câu hỏi tương tự: a) Với (Q): x + 2y + 2z – = , d : b) Với (Q ) ≡ (Oxy ), d : x −1 y + z = = −1 x −1 y + z = = −1 ĐS: (P ) : x − y + z − = x = −t  c) Với (Q ) : 2x − y − z − = , d :  y = −1 + 2t  z = + t HT 225 Trong không gian với hệ tọa độ ĐS: (P ) : x + 2y + 5z +3 = ĐS: (P ) : x + y + z − = Oxyz , cho hai điểm M (−1; −1; 3), N (1; 0; 4) mặt phẳng (Q): x + 2y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N tạo với (Q) góc nhỏ BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 49 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • ĐS: (P ) : y − z + = Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; −1), N (−1;1;2),(Q ) ≡ (Oxy ) ĐS: (P ) : 6x + 3y + 5z − = x = − t  HT 226 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = −2 + t Viết phương trình mặt phẳng (P)  z = 2t chứa đường thẳng d tạo với trục Oy góc lớn Đ/s: (P): x + 5y − 2z + = HT 227 d2 : Trong không gian với hệ tọa Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : độ x −1 y + z = = −1 x + y −1 z = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho góc mặt phẳng (P) đường thẳng −1 d2 lớn Đ/s: (P) : 7x − y + 5z −9 = x +1 y −2 z +1 điểm A(2; −1; 0) Viết = = 1 −1 phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ • ĐS: (P ) : x + y + 2z − = HT 228 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : HT 229 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (Q): 2x − y + z + = điểm A(1;1; −1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vng góc với mặt phẳng (Q) tạo với trục Oy góc lớn ĐS: (P ) : y + z = (P ) : 2x + 5y + z − = HT 230 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (9;1;1) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ x y z Đ/s: (P): + + =1 27 3 Câu hỏi tương tự: a) Với M (1;2; 4) HT 231 ĐS: (P ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (1;2; 3) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức • ĐS: (P ) : x + 2y + 3z − 14 = HT 232 x y z + + =1 12 OA + OB + OC có giá trị nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (2; 5; 3) , cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ x y z • ĐS: (P ) : + + =1 + + 10 + 10 + 15 + + 15 2) Viết phương trình đường thẳng HT 233 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x = y − = z + hai điểm A(1;1;−2) , B(−1;0;2) −1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc với d cho khoảng cách từ B tới ∆ nhỏ BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 50 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: ∆: 0968.393.899 x −1 y −1 z + = = −2 x +1 y z +1 hai điểm A(1;2; −1), = = −1 B(3; −1; −5) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn HT 234 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Đ/s: d : x −1 y −2 z +1 = = −1 HT 235 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng ∆: x +1 y −1 z = = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B cắt đường thẳng ∆ điểm C cho diện −1 tích tam giác ABC có giá trị nhỏ x −3 y −3 z −6 Đ/s:Min S = 198 ; C(1; 0; 2) ;BC: = = −2 −3 −4 HT 236 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y − z + = , đường thẳng x + y +1 z −3 điểm A(−2; 3; 4) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), qua giao điểm = = 1 d (P), đồng thời vng góc với d Tìm điểm M ∆ cho khoảng cách AM ngắn  16  Đ/s: M − ; ;   3 3 d: Câu hỏi tương tự: x = − t  a) (P ) : 2x + y − 2z + = , d :  y = −3 + 2t  z = + t HT 237 (d1 ) : x = t  ĐS: ∆ :  y = −1  z = + t Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) mặt phẳng (P) có phương trình: x − y −1 z −1 x +1 y +2 z ; (P ) : x + y − 2z + = Lập phương trình đường thẳng = = = = , (d2 ) : 2 1 (d) song song với mặt phẳng (P) cắt (d1 ),(d2 ) A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ Đ/s: d : HT 238 x −1 y −2 z −2 = = 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 3y − z − = điểm A(1; 0; 0) ; B(0; −2; 3) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn (nhỏ nhất) Đ/s: x = + t  a) min(d (B, d )) = d:  b) max(d (B, d )) = 14 d: y =  z = t HT 239 x = + t  y = −t   z = −t Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = điểm A(−3; 0;1) ; B(1; −1; 3) Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) cách B khoảng nhỏ ĐS: d : x +3 y z −1 = = 26 11 −2 x +1 y z −2 , hai điểm A(0; −1;2) , = = −1 B(2;1;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ B đến d lớn (nhỏ nhất) HT 240 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 51 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x = 3t  Đ/s: a) min(d (B, d )) = d:  y = −1 + 3t  11 z = − 2t  x = −t  b) max(d (B, d )) = 18 d: y = −1 + t  z = − t Câu hỏi tương tự: x + y + z − = a) ∆ :  , A(2;1; −1), B(−1;2; 0)  x − y + z − = x + = ĐS: dm ax :  ; d  y + z − = b) ∆ : x −1 y + z −1 = = , A(3; −2;1), B(2;1; −1) −1 ĐS: dm ax : c) ∆ : x + 2y − = :  y − z − = x − y + z −1 x − y + 20 z − ; dmin : = = = = 19 −3 −5 20 −7 x −1 y + z = = , A(1; 4;2), B(−1;2; 4) −1 ĐS: dm ax : x −1 y − z − x −1 y − z − ; dmin : = = = = −4 −3 15 18 19 x −1 y −2 z = = , hai điểm A(1;1; 0), B(2;1;1) 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với d, cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn x = + t  Đ/s: ∆ :  y = − t  z = −t HT 241 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : HT 242 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(0; −1;2) , cắt đường thẳng x +1 y z −2 x −5 y z cho khoảng cách d đường thẳng ∆2 : = = = = lớn −1 −2 x = 29t  Đ/s: d:  y = −1 − 41t  z = + 4t ∆1 : Câu hỏi tương tự: a) A(2; −1;2), ∆1 : x −1 y + z −1 = = , ∆2 1 x + 2y − z + = :  x − y + z + =  ĐS: d : x −2 y +1 z −2 = = 41 68 −27 HT 243 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; −1;2) , song song với mặt x + y + z − = phẳng (P ) : x + y − z + = cho khoảng cách d đường thẳng ∆ :  lớn  2x − y + z − = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 52 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x =  • ĐS: y = −1 + t  z = + t HT 244 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(1; −1;2) , song song với mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + = , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : x +1 y −1 z góc lớn (nhỏ = = −2 nhất) Đ/s: a) min(cos α) = d : b) max(cos α) = x −1 y + z − = = 5 x −1 y + z − d: = = −5 HT 245 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A(−1; 0; −1) , cắt đường thẳng ∆1 : x −1 y − z + x −3 y −2 z + cho góc d đường thẳng ∆2 : lớn (nhỏ nhất) = = = = −1 −1 2 Đ/s: a) min(cos α) = d : b) max(cos α) = x +1 y z +1 = = 2 −1 x +1 y z +1 d: = = 5 HT 246 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1; 3; –2), B(–3; 7; –18) mặt phẳng (P): 2x – y + z + = Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ Đ/s: M (2;2; −3) Câu hỏi tương tự: a) Với A(0; −1;2), B(−1;1; 3) , (P ) ≡ (Oxy )   ĐS: M − ; − ; 0  5  b) Với A(1; 0; 0) , B(1;2; 0) , (P ) : x + y + z − = ĐS: c) Với A(1;2; −1), B(3;1; −2),(P ) : x − y + 2z = 13 4 ĐS: M  ;1; −  5 5 HT 247 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng ∆ có phương trình tham số x = −1 + 2t ; y = − t ; z = 2t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ , xác định vị trí điểm M để { chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Đ/s: M(1;0;2) minP = 2( 11 + 29) HT 248 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 3y + 3z − 11 = hai điểm A(3; −4; 5) , B(3; 3; −3) Tìm điểm M ∈ (P ) cho MA − MB lớn  31 31 ĐS: M − ; − ;   7 7 Câu hỏi tương tự: a) (P ) : x + y + z − = , A(1;2;1) , B(0;1;2) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN ĐS: Page 53 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  11  ĐS: M  ; ;1 2  b) HT 249 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + = điểm A(–1;2; 3), B(3; 0; –1) Tìm điểm M ∈ (P) cho MA2 + MB nhỏ Đ/s: M(0; 3; –1) Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x + y + z = , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) ĐS: M ≡ O(0; 0; 0) b) Với (P): x + 5y − 7z − = , A(4; 9; −9), B(−10;13;1)  50 192 75  ;  ĐS: M − ; −  17 17 17  HT 250 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) Tìm điểm M ∈ (P ) cho MA2 + 2MB nhỏ  14 17  Đ/s: M  ; ;   9  HT 251 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = MA2 + MB2 + MC Khi tìm toạ độ M  19 2 64 553  + Đ/s:F nhỏ  M hình chiếu G lên (P) =  3  Câu hỏi tương tự: a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x − y − z − = 11 −2  ĐS: F = 65 , M  ; ;   3  b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) C(2; 2; 1), (P): x + 3y – z + = c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): x − 2y + 2z + =  22 61 17  ĐS: M  ; ; −    3 ĐS: M (0; 4; 1) HT 252 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 0;1) , B(2; −1; 0) , C (2; 4;2) mặt phẳng (P): x + y + 2z + = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Đ/s: M (0; 0; −1) HT 253 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C (0; 0; 3) Tìm điểm M ∈ (P ) cho MA2 + 3MB + 2MC nhỏ • Giải tương tự Câu 10 HT 254 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z − = điểm A(1;2; −1) , B(1; 0; −1) , C (2;1; −2) Tìm điểm M ∈ (P ) cho MA2 + MB − MC nhỏ • Giải tương tự Câu 10 2  ĐS: M  ; ;  3 3 HT 255 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + 2z = điểm A(1;2; −1) , BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 54 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 B(3;1; −2) , C (1; −2;1) Tìm điểm M ∈ (P ) cho MA2 − MB − MC nhỏ • Giải tương tự Câu 10 ĐS: M (2; −2; −2) HT 256 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = ba điểm A(2;1; 3), B(0; −6;2),C (1; −1; 4) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P ) cho MA + MB + MC đạt giá trị bé  −7  M  ; ;   3  Câu hỏi tương tự: a) (P ) : x − y + 2z = 0, A(1;2; −1), B(3;1; −2),C (1; −2;1) 5 2 ĐS: M  ; ; −  2 3 HT 257 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − = Tìm (P) điểm M cho MA + 2MB + 3MC nhỏ  13 16  43 Đ/s: M  ; − ;  minT = 9 9 HT 258 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C (0; 0; 3) Tìm điểm M ∈ (P ) cho MA + 3MB + 4MC nhỏ Đ/s: HT 259 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x − 3y + 2z + 37 = điểm A(4;1; 5), B(3; 0;1),C (−1;2; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MAMB + MB.MC + MC MA Đ/s: S = 3.88 − = 259 M (4; 7; −2) HT 260 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B(−1; 3; 0) , C (1; 3; 0) , M (0; 0; a ) với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vng góc với mặt phẳng (MBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ  3 • VBCMN = VMOBC +VNOBC = a +  đạt nhỏ ⇔ a = ⇔ a =   a a HT 261 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ  46 41  Đ/s: D  ; ;   26 26 26  HT 262 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; −11) , B(3; 5; −4) , C (2;1; −6) đường thẳng x −1 y − z −1 Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ = = 1  11  Đ/s: M − ; − ; −   9 9 d: HT 263 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (P ) : x + 2y − z + = điểm A( –2; 3; 4) đường thẳng x +3 = y + = z − Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm (d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn (d ) : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 55 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  −7 16  Đ/s: Vậy M  ; ;   3  HT 264 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi ∆ giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc ∆ cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ  3 Đ/s: M − ; − ; −   8 HT 265 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1; 5), F (4; 3; 9) Gọi ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (P ): 2x + y − z + = (Q ) : x − y + 2z − = Tìm điểm I thuộc ∆ cho: IE − IF lớn Đ/s: I(1;0;3) HT 266 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y z = = hai điểm A(0; 0; 3) , B(0; 3; 3) Tìm 1 điểm M ∈ d cho: a) MA + MB nhỏ b) MA2 + 2MB nhỏ c) MA − 3MB nhỏ 3 3 Đ/s: min(MA + MB ) = 3 M  ; ;   2  5 5 b) M  ; ;   2  c) MA − 2MB = t = , tức M (3; 3; 3) HT 267 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ  14  Đ/s: M ≡ G  ; ; 0 3  TUYỂN TẬP ĐỀ THI 2009 – 2013 x −6 y +1 z +2 điểm = = −3 −2 A(1; 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho HT 268 2013 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :  51 17  AM = 30 Đ/s: M (3; −3; −1); M  ; − ; −  7   HT 269 2013 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 4y − 2z − = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) Đ/s: M (3;1;2) HT 270 2013 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; 5; 0) mặt phẳng (P ) : 2x + 3y − z − = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua (P) Đ/s: B(−1; −1;2) HT 271 ∆: 2013 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; −1;1), B(−1;2; 3) đường thẳng x +1 y −2 z −3 Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với hai đường thẳng AB ∆ = = −2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 56 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng Đ/s: 0968.393.899 x −1 y +1 z −1 = = HT 272 2013 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−1; −1; −2), B(0;1;1) mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) Đ/s: (Q ) : x − 2y + z + = HT 273 2013 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(−1; 3; −2) mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z + = Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trinh mặt phẳng qua A song song với (P) Đ/s: (Q ) : x − 2y − 2z + = x +1 y z −2 điểm = = I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I HT 274 2012 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Đ/s: x + y + (z − 3)2 = x +1 y z −2 mặt phẳng = = 1 (P ) : x + y − 2z + = điểm A(1; −1;2) Viết phương trình đường thẳng △ cắt d (P) M, N cho A trung điểm đoạn MN x +1 y +1 z −2 Đ/s: △: = = x −1 y z HT 276 2012 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : hai điểm = = −2 A(2;1; 0), B(−2; 3;2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d HT 275 2012 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Đ/s: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 17 HT 277 2012 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(0; 0; 3), M (1;2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox ,Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Đ/s: (P ) : 6x + 3y + 4z − 12 = HT 278 2012 D (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = điểm I (2;1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính Đ/s: (S ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 25 x −1 y + z = = hai điểm −1 A(1; −1;2), B(2; −1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho tam giác AMB vuông M HT 279 2012 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 7 2 Đ/s: M (1; −1; 0), M  ; − ;   3  HT 280 2011 A (CB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB =  12  Đ/s: M (0;1; 3) M − ; ;   7  2011 A (NC): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 4x − 4y − 4z = điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Đ/s: (P ) : x − y + z = x − y − z = HT 281 x −2 y +1 z mặt = = −2 −1 phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm ∆ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vng góc với ∆ HT 282 2011 B ( CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : MI = 14 Đ/s: M (5; 9; −11) M (−3; −7;13) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 57 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng HT 283 0968.393.899 2011 B (NC) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: ∆ : x + y −1 z + hai = = −2 điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có diện tích Đ/s: M (−2;1; −5); M (−14; −35;19) HT 284 2011 D (CB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng x +1 y z −3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox −2 x = + 2t  Đ/s: △:  y = + 2t  z = + 3t x −1 y − z HT 285 2011 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) d: Đ/s: (x − 5)2 + (y − 11)2 + (z − 2)2 = 1; (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = x −1 y z +2 mặt phẳng = = −1 (P ) : x − 2y + z = Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết HT 286 2010 A (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : MC = Đ/s: d = HT 287 2010 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng x +2 y −2 z + Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C = = cho BC = ∆: Đ/s: x + y + (z + 2)2 = 25 HT 288 2010 B (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c), b,c dương mặt phẳng (P ) : y − z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) Đ/s: b = c = HT 289 2010 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: x y −1 z = = Xác định tọa độ 2 điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến ∆ OM Đ/s: M (−1; 0; 0) M (2; 0; 0) HT 290 2010 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − = (Q): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) Đ/s: (R) : x − z + 2 = x − z − 2 = x = + t  HT 291 2010 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1:  ∆2: y = t  z = t x − y −1 z = = Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2 2 Đ/s: M (4;1;1) M (7; 4; 4) HT 292 2009 A (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x − 2y − z − = mặt cầu (S): x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm bán kính đờng trịn Đ/s: H (3; 0;2) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 58 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 293 2009 A (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = hai đường thẳng ∆1 : x +1 y z +9 x −1 y − z + = = = = ; ∆2 : Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho 1 −2 khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)  18 53  Đ/s: M (0;1; −3); M  ; ;   35 35 35  HT 294 2009 B (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(−2;1; 3),C (2; −1;1) D(0; 3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Đ/s: (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = (P ) : 2x + 3z − = HT 295 2009 B (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x +3 y z −1 Đ/s: ∆ : = = 26 11 −2 HT 296 2009 D (Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 5  Đ/s: D  ; ; −1   2 x +2 y −2 z mặt phẳng = = 1 −1 (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng ∆ x + y −1 z −1 Đ/s: d : = = −2 −1 HT 297 2009 D (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 59 ...Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV .Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CHUN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: MỞ ĐẦU I VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Định nghĩa phép tốn •... 0, M (1;2; 4) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV .Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ƠN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN I VIẾT PHƯƠNG... có diện tích BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com GV .Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đ/s: (Q ) : x + y + z − = HT 113 Trong không gian toạ