Toan THPT - Mai Huy Tien - THPT Mai Anh Tuan - Nga Son

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Người thực hiện: Mai Huy Tiến Chức vụ: Tổ trưởng Chuyên môn Đơn vị công tác: THPT Mai Anh Tuấn SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2014 A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu Hiện nay, phận không nhỏ học sinh học mơn tốn cách thụ động, rập khn theo dạng tốn mà thầy giáo, cô giáo hay sách sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại tốn đó, lời giải Chính vậy, gặp tốn mà em chưa tiếp xúc việc tìm lời giải cho toán nhiều học sinh khó khăn, khơng thể tự tìm đường lối giải Q trình tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, định việc giải toán Quá trình sở cho việc rèn luyện khả tư duy, làm việc sáng tạo - khả không thể thiếu người giải Tốn Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán của chương trình Tốn THPT Nếu hàm số cho chuyển dạng: hàm đại số đa thức hàm đại số hữu tỉ việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sẽ trở nên dễ nhiều Vì dạng này, có thể sử dụng cơng cụ: đạo hàm đờ thị II Thực trạng Thực tế, có nhiều tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm đại số biến, đặc biệt hàm đại số nhiều biến mà việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ bằng công cụ đồ thị hay đạo hàm tỏ không hiệu Trong trường hợp này, sắp xếp ta có thể dùng ẩn phụ lượng giác để lượng giác hóa hàm đại số Lượng giác phân môn quan trọng chiếm nhiều thời lượng chương trình Tốn bậc THPT Các em rèn luyện nhiều việc biến đổi công thức giải phương trình lượng giác Lượng giác ứng dụng nhiều việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; ứng dụng tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số… Tuy vậy, ứng dụng lượng giác tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số học sinh vẫn còn tương đối mẻ lúng túng Trên tinh thần đó, tơi đưa số ví dụ có tính chất minh họa khía cạnh nhỏ của vấn đề Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm đại số đây, cách nhìn sau số bước biến đởi, ta có thể linh hoạt chủn sang hàm số lượng giác cùng với lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường thuận lợi đặc biệt rèn luyện cho em học sinh khả tư duy, vận dụng linh hoạt kiến thức học Rất mong sự góy ý, bở sung của q đờng nghiệp để đề tài hồn chỉnh có ý nghĩa Kết Sau thực giảng dạy lớp phụ trách tơi nhận thấy em cảm thấy hứng thú với phần này, đại đa số em nắm vận dụng tốt tập khác quan trọng giúp em rèn luyện khả tư duy, sáng tạo B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ MỘT VÀI LƯU Ý Để lượng giác hóa hàm đại số, ta ghi nhớ dấu hiệu sau: Nếu toàn có điều kiện x2 + y = ta có thể đặt: x = sin u   y = cos u Nếu tốn có biểu thức: a − x thi có thể đặt: x = a sin u x = a cos u Nếu tốn có biểu thức: 2 a + x a + x đặt: x = atanu x = acotu Trong số tốn dấu hiệu không xuất từ đầu, người giải phải tìm cách biến đởi điều kiện hàm số cho để làm xuất dấu hiệu Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của biểu thức: P= 2(6xy + x ) + y + 2xy 2 với x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B) Nhận xét lời giải: 2 Hệ thức x + y = giúp liên tưởng đến công thức lượng giác: sin u + cos u = Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu Dưới hình thức lượng giác, ta có: P= 2(6 sin u cos u + sin u ) + cos u + sin u cos u P= sin 2u − cos 2u + sin 2u + cos 2u + (*) Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành: (P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = – 2P (**) Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là: ( P − 6) + ( P + 1) ≥ (1 − 2P ) 2 ⇔ 2P + 6P − 36 ≤ ⇔ −6 ≤ P ≤ Vậy, giá trị lớn của P bằng 3, giá trị nhỏ của P bằng – Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của biểu thức: P = y − 2x + 2 với x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn hệ thức: 36x + 16 y = Nhận xét lời giải: 2  6x   4y  Biến đổi 36x + 16 y = dạng:   +   =     2  6x   = cos u x = cos u ⇒ Ta nghĩ đến việt đặt:  y  = sin u  y = sin u   Khi đó, dạng lượng giác thì: P = sin u − cos u + Sử dụng bất đẳng thức: − a + b ≤ a sin u + b cos u ≤ a + b Ta suy ra: maxP = + 25 +1 = 16 minP = − 55 +1 = 16 Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của hàm số: P= 3y − 4xy x + y2 Nhận xét lời giải: Biến đổi hàm P dạng:  y P = 3  x + y2   y ý rằng:  2  x +y 2   x  − 4   x + y2     x  +   x + y2    y .   x + y2        = nên ta đặt:   sin u = y x +y 2 , cos u = x x + y2 Lúc đó, hàm số P hình thức lượng giác là: P = sin2u – sinu.cosu 3 = sin 2u − cos 2u + 2 Áp dụng bất đẳng thức: − a + b ≤ a sin u + b cos u ≤ a + b Ta được: maxP = minP = -1 Bài toán 4: Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: P= x y + 1− x 1− y Nhận xét lời giải: Với x, y > x + y = nên ta đặt: x = sin u   y = cos u π  0 < u <  2  sin u cos u sin u + cos u + = Lúc đó, P = cos u sin u sin u cos u Đặt t = sinu.cosu = π  sin  u + , ≤ t ≤ thí 4  − t − 3t P = f (t) = t −1 t4 + f ' (t ) = −