Toan THPT - Le Dinh Chung - THPT Mai Anh Tuan - Nga Son

MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn THPT tốn cực trị hình học khơng gian đa dạng phức tạp Nhưng có số dạng mà trình giảng dạy giáo viên trong trình học học sinh, điều vận dụng cách giải cách cứng nhắc không tự nhiên Dạng 1: Trong không gian cho đường thẳng d hai điểm M, N khơng thuộc d Tìm điểm I nằm d cho IM +IN đạt giá trị nhỏ nhất; IM - IN đạt giá trị lớn Dạng 2: Trong không gian cho mặt phẳng ( ) hai điểm M, N khơng thuộc ( ) Tìm điểm I nằm ( ) cho IM +IN đạt giá trị nhỏ nhất; IM - IN đạt giá trị lớn Về cách giải hai dạng toán nhiều tài liệu trình bày, có báo Tốn học tuổi trẻ số 366 tháng 12 – 2007 Nhưng cách giải phức tạp học sinh khó để vận dụng Chính mà q trình giảng dạy, tìm tịi, nghiên cứu tơi tìm hướng hợp lý cho cách giải dạng tốn Đó lý mà chọn đề tài “ Một số tốn cực trị hình học tọa độ không gian’’ B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Xuất phát từ tốn hình học phẳng lớp 10 Cho đường thẳng  hai điểm A, B khơng thuộc  Tìm  điểm I cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất; IA - IB đạt giá trị lớn Rõ ràng ta thấy A, B,  nằm mặt phẳng Vì mà hình học khơng gian, cho đường thẳng d hai điểm M, N tìm đường thẳng d’ hai điểm M’, N’ cho d’, M’, N’ nằm mặt phẳng cách giải tương tự hình học phẳng II Thực trạng vấn đề Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trường THPT thấy học sinh lúng túng việc giải tập cực trị hình học khơng gian, mà cụ thể hai dạng tốn Đa số em áp dụng cách giải tốn cách máy móc, khơng phát huy tính tích cực, sáng tạo giải tốn GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN III Giải pháp tổ chức thực Trong đề tài muốn trình bày với ý tưởng giúp học sinh khai thác kiến thức từ toán cực trị hình học phẳng lớp 10 Nhằm giúp em thấy liên kết, thống q trình học tốn Giải pháp tổ chức thực là: - Giáo viên dạy, học sinh học làm tập - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức học sinh trước sau học đề tài - Tổng kết mặt làm chưa làm đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho khóa học sinh IV Nội dung đề tài 1.Bài toán 1: Xuất phát từ tốn SBT hình học lớp 10 Nâng cao có tập cực trị hình học sau: Cho hai điểm P(1;6) , Q(3; 4) đường thẳng  : x  y   a) Tìm tọa độ điểm M  cho MP  MQ nhỏ nhất; b) Tìm tọa độ điểm N  cho NP  NQ lớn (Bài tập 40 SBT lớp 10 Nâng cao trang 106)  Theo cách giải sách số tài liệu Trước hết xét vị trí điểm P điểm Q đường thẳng  + Trường hợp 1: Hai điểm P Q nằm khác phía đường thẳng  (axP  byP  c)(axQ  byQ  c )  a) P  M Q Ta có MP  MQ �PQ Đẳng thức xảy M, P, Q thẳng hàng � M  PQ � b) P Q’ N  Q Lấy Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng  GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN Ta có NP  NQ  NP  NQ ' �PQ ' Đẳng thức xảy N, Q’, P thẳng hàng � N  PQ '� + Trường hợp 2: Hai điểm P Q nằm phía đường thẳng  (axP  byP  c)(axQ  byQ  c )  a) P Q  M Q’ Lấy điểm Q’ đối xứng với Q qua đường thẳng  Ta có MP  MQ  MP  MQ ' �PQ ' Đẳng thức xảy M, Q’, P thẳng hàng � M  PQ '� b) P Q N  Ta có NP  NQ �PQ Đẳng thức xảy N, P, Q thẳng hàng � N  PQ � Ở phương pháp giải tổng quát mà số tài liệu trình bày lời giải cụ thể theo cách cho tốn xin phép khơng trình bày lại Nhận xét 1: Qua phân tích lời giải ta thấy: Ở câu a) đưa hai điểm nằm khác phía đường thẳng  M giao điểm đường thẳng qua hai điểm  Ở câu b) ln đưa hai điểm nằm phía đường thẳng  N giao điểm đường thẳng qua hai điểm   Hướng giải thứ hai chuyển phương trình  phương trình tham số, tính MP, MQ, sau lấy điểm M’, P’, Q’ cho a) M’ thuộc trục hoành, cịn P’ Q’ nằm khác phía trục hồnh b) M’ thuộc trục hồnh, cịn P’ Q’ nằm phía trục hồnh �x  t �y  1  2t Lời giải : Chuyển phương trình  phương trình tham số  : � a) Gọi M( t ; 2t  )� , ta có MP + MQ = (t  1)  (2t  7)  (t  3)  (2t  3) GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN MP + MQ = 5t  30t  50  5t  18t  18 � 2 = � t  6t  10  t  18 18 � t � 5� � � 9 � = � (t  3)   (t  )  � 25 � � Gọi P’ (3; 1) , Q’ ( ; ) , M’ (t;0) 5 Khi MP + MQ = (M’P’ + M’Q’) Suy MP + MQ nhỏ M’P’ + M’Q’ nhỏ Ta thấy P’ Q’ nằm khác phía trục hồnh, cịn M’ nằm trục hồnh Để M’P’ + M’Q’ nhỏ P’, M’, Q’ thẳng hàng, nên M’ giao điểm P’Q’ với trục hồnh Phương trình P’Q’: x  y  , M’ (0;0) � t  Vậy M (0; 1) 2 b) Gọi N( t ; 2t  ) � � NP  NQ = (t  3)   (t  )  25 5 Gọi P’ (3;1) , Q’ ( ; ) , M’ (t;0) Khi NP  NQ = N ' P ' N ' Q ' Suy NP  NQ lớn N ' P ' N ' Q ' lớn Ta thấy P’ Q’ nằm phía trục hồnh, cịn M’ nằm trục hoành Để N ' P ' N ' Q ' lớn P’, M’, Q’ thẳng hàng, nên M’ giao điểm P’Q’ với trục hồnh Phương trình P’Q’: x  12 y   , N’ (9;0) � t  9 Vậy N (9; 19) Ngoài hai cách giải giải theo cách khác xét hàm số Tuy nhiên trình bày cách giải thứ hai để thấy tính ưu việt ứng dụng cho tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 2.Bài toán 2: Được đăng báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho đường thẳng d điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) N ( x2 ; y2 ; z2 ) khơng thuộc d Tìm điểm I đường thẳng d cho IM  IN nhỏ  Với cách giải báo TH & TT chia làm trường hợp -TH1: M, N d nằm mặt phẳng -TH2: MN, d chéo MN  d GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN -TH3: MN, d chéo MN khơng vng góc với d Ứng với trường hợp có cách giải khác cách giải cụ thể cho trường hợp xin khơng trình bày lại  Để khơng phải phân chia trường hợp việc giải toán trở nên tự nhiên hơn, dựa sở phương pháp giải toán 1a đưa cách giải khác sau: Chuyển phương trình d phương trình tham số, tính IM  IN , sau lấy điểm M’, I’, N’ cho I’ thuộc trục hồnh, cịn M’, N’ nằm mặt phẳng (Oxy) khác phía trục hồnh  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho M (1; 2; 1) , N (7; 2;3) đường thẳng d có phương trình Tìm điểm I thuộc d cho IM  IN nhỏ Lời giải: Chuyển phương trình d phương trình tham số x 1 y  z    2 �x  1  3t � d : �y   2t �z   2t � Gọi I (1  3t ;  2t;  2t ) �d Ta có IM + IN = (3t  2)  (2t )2  (2t  3)  (3t  8)  (4  2t )2  (2t  1)2 IM + IN = 17t  13  17t  68t  81 � = 17 � t  13 81 �  t  4t  � 17 17 � � � 13 13 � = 17 � t   (t  2)  � 17 17 � � 13 13 ;0) , N’ (2; ;0) , I’ (t ;0;0) Gọi M’ (0;  17 17 Khi IM + IN = 17 (I’M’ + I’N’) Suy IM + IN nhỏ I’M’ + I’N’ nhỏ Ta thấy M’ N’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm khác phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hoành Để I’M’ + I’N’ nhỏ M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm M’N’ với trục hoành �x  t ' �x  t � 13 13 � �  t ' ; phương trình Ox : �y  Phương trình M ' N ' : �y   17 17 � �z  � �z  � GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN � t '  t 1 Vậy I (2;0; 4)  Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y  z 1   hai điểm A(1;1;1) , B(1; 4;0) 2 Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Lời giải: r Đường thẳng d có véc tơ phương u  (2; 2;1) , N (1; 2;1) �d r uuur Ta có u AB  �0 � d khơng vng góc với AB r uuu r uuur � �AN  6 �0 � d AB chéo u , AB � � Chuyển phương trình d phương trình tham số �x   2t � d : �y   2t �z   t � Gọi I (1  2t;  2t ;1  t ) �d Chu vi tam giác IAB P  IA  IB  AB  IA  IB  14 P nhỏ IA  IB nhỏ Ta có IA + IB = (2t  2)  (2t  1)  t  (2t )  (2t  2)  (t  1) IA + IB = 9t  12t   9t  6t  � 5� 9� 2 = �t  t   t  t  � � � 2 1 4� = � (t  )   (t  )  � 9� � 1 Gọi A’ ( ; ;0) , B’ ( ;  ;0) , I’ (t;0;0) 3 3 Khi IA + IB = 3(I’A’ + I’B’) Suy IA + IB nhỏ I’A’ + I’B’ nhỏ Ta thấy A’ B’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm khác phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hoành Để I’A’ + I’B’ nhỏ A’, I’, B’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm A’B’ với trục hoành � �x    t ' �x  t � � � Phương trình M ' N ' : �y   t ' ; phương trình Ox : �y  � �z  � �z  � � GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1 � t '  ;t   3 Vậy I ( ; ; ) 3 3.Bài toán 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, cho đường thẳng d điểm M ( x1 ; y1 ; z1 ) N ( x2 ; y2 ; z2 ) khơng thuộc d Tìm điểm I đường thẳng d cho IM  IN lớn  Cách giải toán chủ yếu xét hàm số, nhiên việc xét hàm số để tìm giá trị lớn khó khăn  Để tốn giải cách tự nhiên mà không cần phải xét hàm số, ta có cách giải sau: Chuyển phương trình d phương trình tham số, tính IM  IN , lấy điểm M’, I’, N’ cho I’ thuộc trục hồnh, cịn M’, N’ nằm mặt phẳng (Oxy) phía trục hồnh Sau giải toán dựa sở phương pháp giải tốn 1b Ví dụ: Cho đường thẳng �x   2t �  : �y   t hai điểm M (1;0; 1) , N (2;1;1) �z  t � Tìm điểm I  cho IM  IN lớn Lời giải: Gọi I (1  2t;1  t; t ) � 2 2 2 Ta có IM  IN  (2t )  (1  t )  (t  1)  (2t  1)  t  (t  1) = 6t   6t  6t  � 1� 3� 2 = �t   t  t  � � � 1 � = � t   (t  )  � 12 � � 1 ;0) , I’ (t ;0;0) Gọi M’ (0; ;0) , N’ ( ; 3 Khi IM  IN  I ' M ' I ' N ' Suy IM  IN lớn I ' M ' I ' N ' lớn Ta thấy M’ N’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hồnh GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN Để I ' M ' I ' N ' lớn M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm M’N’ với trục hoành �x  t ' �x  t � � � Phương trình M ' N ' : �y   t ' ; phương trình Ox : �y  3 � �z  � � �z  � t '  t 1 Vậy I (3;0;1) 4.Bài toán 4: Được đăng báo Toán học tuổi trẻ tháng 12 năm 2007 – Số 366 Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vng góc Oxy, cho mặt phẳng ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  hai điểm M ( x1; y1; z1 ) , N ( x2 ; y2 ; z2 ) không thuộc ( ) Tìm điểm I mặt phẳng ( ) cho: a) IM  IN nhỏ nhất; b) IM  IN lớn Đây toán cực trị liên quan đến điểm mặt phẳng Vậy đưa thể đưa tốn cực trị liên quan đến điểm đường thẳng toán toán khơng Thì câu trả lời hồn tồn làm Thật vậy: a)  Hai điểm M N nằm phía mặt thẳng    ( AxM  ByM  Cz M  D)( AxN  By N  Cz N  D )  Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng    , IM  IM ' Ta có IM  IN  IM ' IN �M ' N Đẳng thức xảy I, M’, N thẳng hàng � I  NM '�( )  Hai điểm M N nằm khác phía mặt thẳng    ( AxM  ByM  CzM  D)( AxN  ByN  Cz N  D)  Ta có IM  IN �MN Đẳng thức xảy I, M, N thẳng hàng � I  NM �( ) Ta thấy ( NMM ')  ( ) Suy I nằm đường thẳng  hình chiếu vng góc đường thẳng MN    b)  Hai điểm M N nằm phía mặt thẳng    ( AxM  ByM  Cz M  D)( AxN  By N  Cz N  D )  Ta có IM  IN �MN Đẳng thức xảy I, M, N thẳng hàng � I  NM �( ) (Nếu MN / /( ) khơng tồn giá trị lớn nhất) GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN  Hai điểm M N nằm khác phía mặt thẳng    ( AxM  ByM  Cz M  D)( AxN  By N  Cz N  D )  Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng    , IM  IM ' Ta có IM  IN  I M ' IN �M ' N Đẳng thức xảy I, M’, N thẳng hàng � I  NM '�( ) Ta thấy ( NMM ')  ( ) Suy I nằm đường thẳng  hình chiếu vng góc đường thẳng MN    Nhận xét 2: Cho mặt phẳng    hai điểm M, N không thuộc    Nếu điểm I nằm    cho IM  IN nhỏ IM  IN lớn nhất, I nằm đường thẳng  hình chiếu vng góc đường thẳng MN    Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm M (1; 2;3) N (4; 4;5) Tìm điểm I thuộc mặt phẳng (Oxy) cho IM  IN nhỏ Lời giải: Gọi  hình chiếu vng góc đường thẳng MN lên mặt phẳng (Oxy) Điểm I thuộc mặt phẳng (Oxy) cho IM  IN nhỏ I thuộc đường thẳng  để IM  IN nhỏ �x   3t � Ta có phương trình  : �y   2t �z  � Gọi I (1  3t ;  2t;0) � Ta có IM + IN = (3t )  (2t )  32  (3t  3)  (2t  2)2  52 IM + IN = 13t   13t  26t  38 � = 13 � t  38 �  t  2t  � 13 13 � � � 25 � = 13 � t   (t  1)  � 13 13 � � ;0) , N’ (1;  ;0) , I’ (t ;0;0) Gọi M’ (0; 13 13 Khi IM + IN = 13 (I’M’ + I’N’) Suy IM + IN nhỏ I’M’ + I’N’ nhỏ Ta thấy M’ N’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm khác phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hồnh Để I’M’ + I’N’ nhỏ M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm M’N’ với trục hồnh GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN �x  t ' �x  t � � �  t ' ; phương trình Ox : �y  Phương trình M ' N ' : �y  13 13 � �z  � � �z  �t't  17 11 Vậy I ( ; ;0) Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho mặt phẳng ( ) có phương trình x  y  z   hai điểm M (3;1;0) N (9; 4;9) Tìm điểm I thuộc mặt phẳng mp ( ) cho IM  IN đạt giá trị lớn Lời giải: Gọi  hình chiếu vng góc đường thẳng MN lên mặt phẳng ( ) Điểm I thuộc mặt phẳng ( ) cho IM  IN lớn I thuộc đường thẳng  để IM  IN lớn �x   t � Ta có phương trình  : �y  �z  1  2t � Gọi I (1  t ; 2; 1  2t ) � 2 2 2 Ta có IM  IN  (t  2)   (2t  1)  (t  10)   (2t  10) = 5t   5t  60t  204 � 2 = � t   t  12t  204 � � � � � 24 � = � t   (t  6)  � 5 � � 6 Gọi M’ (0; ;0) , N’ (6; ;0) , I’ (t;0;0) 5 Khi IM  IN  I ' M ' I ' N ' Suy IM  IN lớn I ' M ' I ' N ' lớn Ta thấy M’ N’ nằm mặt phẳng (Oxy) nằm phía trục hồnh, cịn I’ nằm trục hoành Để I ' M ' I ' N ' lớn M’, I’, N’ thẳng hàng, nên I’ giao điểm M’N’ với trục hồnh GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn 10 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN �x  6t ' �x  t � 6 � �  t ' ; phương trình Ox : �y  Phương trình M ' N ' : �y  5 � �z  � �z  � � t '  1; t  6 Vậy I (7; 2; 13) 5.Bài toán 5: Ứng dụng tốn cực trị hình học để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 2 Ví dụ 1: Cho y  x  x  10  x  x  Tìm Max y 2 Lời giải: y  ( x  1)   ( x  2)  Gọi điểm M (1;3) , N (2;1) I ( x;0) Suy y  IM  IN Ta thấy M N nằm phía trục hồnh, cịn I nằm trục hồnh Để IM  IN lớn I, M, N thẳng hàng � I  MN �Ox Phương trình MN: x  y   � I ( ;0) Vậy Max y = 13 � x   Ví dụ 2: Cho y  cos a  2cos a   cos a  6cos a  13 Tìm Min y Lời giải: y  (cosa  1)   (cosa  3)2  Gọi điểm M (1;1) , N (3; 2) I (cos a;0) với 1 �cos a �1 Suy y = IM + IN Ta thấy M N nằm khác phía trục hồnh, cịn I nằm trục hoành Để IM + IN nhỏ I, M, N thẳng hàng � I  MN �Ox Phương trình MN: 3x  y   1 � I ( ;0) � cos a   ( thỏa mãn ) 3 Vậy Min y = � cos a   Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐHQY – 1996 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;1;0) , B (3; 1; 4) đường thẳng d: x 1 y 1 z    Tìm điểm M đường 1 GV: Lê Đình Chung – Tổ tốn – Trường THPT Mai Anh Tuấn 11 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN thẳng d cho tổng độ dài MA + MB nhỏ Bài 2: (ĐHNNI – 1997 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;3) , B (4; 4;5) a) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm giao điểm P mặt phẳng (Oxy) Chứng minh với điểm Q � (Oxy), biểu thức QA  QB có giá trị lớn Q trùng với P b) Tìm điểm M thuộc (Oxy) cho tổng độ dài MA + MB nhỏ Bài 3: (HVKTQS – 1994 ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;3; 2) , B (9; 4;9) mặt phẳng (P): x  y  z   Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Bài 4: (ĐH Huế khối A – 1997 ) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (3;1;0) , B (9; 4;9) mặt phẳng (P): x  y  z   Tìm điểm M thuộc (P) cho MA  MB đạt giá trị lớn Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1;1;0) , B (3; 1; 4) đường thẳng d: cho MA  MB đạt giá trị lớn x 1 y 1 z    Tìm điểm M thuộc d 1 V Kiểm nghiệm đề tài Để đánh giá kết việc thực đề tài tiến hành tra hai lớp trước chưa học đề tài nghiên cứu sau học xong đề tài nghiên cứu Sau tơi xin trình bày số kết kiểm tra sau: ĐỀ KIỂM RA (Thời gian làm 45 phút) Câu 1: (4 điểm) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 1) , B (3;1; 2) mặt phẳng (P): x  y  z  Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Câu 2: (6 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxyz, cho hai điểm GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn 12 MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN A (1;1;0) , B (3; 1; 4) đường thẳng d: cho x 1 y 1 z    Tìm điểm M thuộc d 1 a) MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất; b) MA  MB đạt giá trị lớn Với đề tiến hành kiểm tra hai lớp với lớp chia làm hai nhóm có lực học tương đương Mỗi nhóm có 20 học sinh với học lực trung bình trở lên Cách tiến hành kiểm tra: Lần 1: Kiểm tra đối tượng học sinh chưa học đề tài tơi nghiên cứu Kết sau: Nhóm 1:(Lớp 12I) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % 0 7-8 S.lượng % 5-6 S.lượng % 20 Dưới S.lượng % 16 80 7-8 S.lượng % 5-6 S.lượng % 25 Dưới S.lượng % 14 70 Nhóm 1:(Lớp 12K) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % Lần 2: Kiểm tra đối tượng học sinh học xong đề tài nghiên cứu Nhóm 2:(Lớp 12I) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % 20 7-8 S.lượng % 40 5-6 S.lượng % 30 GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn Dưới S.lượng % 10 13 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN Nhóm 2:(Lớp 12K) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % 20 7-8 S.lượng % 35 5-6 S.lượng % 30 Dưới S.lượng % 15 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT - Kết việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải tập tương tự - Cách giải mà tơi trình bày đề tài hồn tồn tự nhiên, sáng Do gây hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao khả tư lôgic khả sáng tạo học sinh - Đề tài có tác dụng tốt việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn luyện thi ĐH,CĐ cho học sinh Trong trình bày đề tài chắn cịn thiếu sót, mong đồng nghiệp góp ý Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2014 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đình Chung GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn 14 ... làm trường hợp -TH1: M, N d nằm mặt phẳng -TH2: MN, d chéo MN  d GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN -TH3: MN, d chéo... tài nghiên cứu Nhóm 2:(Lớp 12I) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % 20 7-8 S.lượng % 40 5-6 S.lượng % 30 GV: Lê Đình Chung – Tổ toán – Trường THPT Mai Anh Tuấn Dưới S.lượng % 10 13 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ... 12I) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % 0 7-8 S.lượng % 5-6 S.lượng % 20 Dưới S.lượng % 16 80 7-8 S.lượng % 5-6 S.lượng % 25 Dưới S.lượng % 14 70 Nhóm 1:(Lớp 12K) Loại điểm Kết - 10 S.lượng % Lần 2: