Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua goác toïa ñoä O vaø vuoâng goùc vôùi BC.Tìm toïa.. ñoä giao ñieåm cuûa AC vôùi maët phaúng (P)..[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Bài 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh đường thẳng AB CD chéo Viết phương trình đường thẳng (D) vng góc với mặt phẳng Oxy cắt đường thẳng AB, CD
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
1
1 1
x y z
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) qua điểm A(2; - 1;0)
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình x −1
2 =
y 1=
z −1
3 Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tíi (P) lµ lín nhÊt
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình:
x 2t
y t
z t
Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d Bài 5: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −21= y
1= z+2
−3 mặt phẳng
(P):2x+y+z −1=0 Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm
(P)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B(2;0;2) Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB) (Oxy)
Bài 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
1 1
2 1
x y z
;
d2:
1
1
x y z
mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình tắc đường thẳng , biết nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( ; - ; ) , đường thẳng mp ( P) có phương trình :
2 :
1 2
x y z
, ( P ) : x – y + z - =
Viết phương trình tham số đường thẳng d thỏa điều kiện :đi qua A , nằm ( P) hợp với đường thẳng góc 450
Bài 9: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 để MAB tam giác biết A(1;2;3) B(3;4;1)
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với BC.Tìm tọa
độ giao điểm AC với mặt phẳng (P)
(2)Bài 1: Gọi (P) mặt phẳng qua AB (P) (Oxy) (P): 5x – 4y = (Q) mặt phẳng qua CD (Q) (Oxy) (Q): 2x + 3y – = Ta có (D) = (P)(Q) Phương trình (D)
Bài : 2 Gọi I tâm (S) I(1+t;t – 2;t) Ta có d(I,(P)) = AI t = 1; t = 7/13
(S1): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1; (S2): (x – 20/13)2 + (y + 19/13)2 + (z – 7/13)2 = 121/139 Bài 3: Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d và (P) khong cỏch t H n (P)
Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH≥HI => HI lín nhÊt A ≡ I VËy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến
HdH(1+2t ;t ;1+3t) H hình chiếu A d nên u=(2;1;3)
AHdAH u=0 vtcp d) ⇒H(3;1;4)⇒⃗AH(−7;−1;5)
VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = 0)
Bài 4: Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc với d. Vì H d nên tọa độ H có dạng : (1 + 2t ; + t ; t)
Suy : MH = (2t ; + t ; t)
Vì MH d d có vectơ phương u⃗ = (2 ; ; 1), nên :
2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) = t =
3 Vì thế, MH⃗ =
1
; ;
3 3
Suy ra, MH là:
x t y 4t
z 2t
Bài 5: * Tìm giao điểm d (P) ta
1
2 A ; ;
Ta có ud 2 3; ; ,nP 2 1; ; u u ;nd p 1 0; ;
uur uur uur uur uur
Vậy phương trình đường thẳng Δ
1
2
2
: x t; y t; z .
Bài 6: OA OB, 2 2; ; 2 1 1 ; ;
OAB x y z:
Oxy z: 0
; ;
N x y z
cách OAB Oxy d N OAB , d N Oxy ,
1
x y z z
3
3
x y z
x y z z
x y z
Vậy tập hợp điểm N hai mặt phẳng có phương trình x y 1 z0
1
x y z
Bài 7: Gọi A = d1(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 (P) suy B(2; 3; 1) Đường thẳng thỏa mãn toán qua A B
Một vectơ phương đường thẳng u(1;3; 1) ⃗
Phương trình tắc đường thẳng là:
1
1
x y z
(3)Bài 8: Gọi ud ,u ,nP
lần lươt vtcp đt d , đt vtpt mp ( P). Đặt ud ( ; ; ), (a b c a2b2 c2 0)
⃗
Vì d nằm ( P) nên ta có : nP ud
⃗ ⃗
=> a – b + c = b = a + c ( )
Theo gt : góc đt 450 Góc vtcp 450
2 2
2 2
2 2
2( ) 9( ) (2)
.3
a b c
a b c a b c
a b c
Thay (1) vào ( 2) ta có :
2
0
14 30 15
7 c
c ac a
c
* Với c = : chọn a = b = Ta có ptts d : x = + t ; y = - – t ; z = * Với c =
15
a
chọn a = , c = - 15 , b = -8 ptts d : x = + t ; y = - – t ; z = – 15t Bài : MA=MB M thuộc mp trung trực đoạn AB có PT: x y z 0 (Q)
M thuộc giao tuyến (P) (Q) có dạng tham số: x2;y t 1;z t : (2; 1; )
t M t t
AM 2t2 11t
Vì AB = 12 nên MAB MA=MB=AB
2 18
2
2
t t t
6 18 18
(2; ; )
2
M
Bài 10: Ta coù BC0, 2,2
mp (P) qua O 0,0,0 vng góc với BC có phương trình
0.x 2y 2z y z
Ta coù AC 1, 1,2
⃗
, phương trình tham số AC
x t y t z 2t
.
Theá pt (AC) vào pt mp (P) Ta có
1 t 2t t
3
Theá
1 t
3
vào pt (AC) ta có
2 2 M , ,
3 3
giao điểm AC với mp (P)
2b/ Với A 1,1,0 B 0,2,0 C 0,0,2 Ta có: AB 1,1,0 ⃗
, AC 1, 1,2
⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AB.AC 1 AB AC ABC vuông A
Ta dễ thấy BOC vuông O Do A, O nhìn đoạn BC góc vng Do
đó A, O nằm mặt cầu đường kính BC, có tâm I trung điểm BC Ta dễ dàng
tìm dược I 0,1,1 R 12