Nếu bạn thấy thú vị với những khám phá của mình ở bài tập này, hãy gửi gấp bài viết về cho chuyên mục EUREKA của TTT2.[r]
(1)Onthionline.net
LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP
Các bạn làm quen với bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpski không bạn chưa biết bất đẳng thức Trê - bư - sép Con đường đến bất đẳng thức thật giản dị, gần gũi với kiến thức bạn bậc THCS
Các bạn thấy : Nếu a1 ≤ a2 b1 ≤ b2 (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ Khai
triển vế trái bất đẳng thức ta có :
a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥
=> : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1
Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào hai vế ta :
2 (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2)
=> : (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*)
Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 b1 ≥ b2 tất bất đẳng thức đổi chiều ta có
:
2 (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**)
Các bất đẳng thức (*) (**) trở thành đẳng thức a1 = a2
b1 = b2
Làm theo đường tới (*) (**), bạn giải nhiều tốn thú vị
Bài toán : Biết x + y = Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004
Lời giải : Do vai trị bình đẳng x y nên giả sử x ≤ y Từ => : x2003
≤ y2003
Do (y2003 - x2003).(y - x) ≥
=> : x2004 + y2004 ≥ x.y2003 + y.x2003
Cộng thêm x2004 + y2004 vào hai vế ta có : 2.(x2004 + y2004) ≥ (x+y) (x2003 + y2003) = 2.
(x2003 + y2003)
=> : x2004 + y2004 ≥ x2003 + y2003 (đpcm)
Để ý : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức x = y = ; bạn có lời giải toán sau :
Bài tốn : Giải hệ phương trình :
Nếu bạn quan tâm tới yếu tố tam giác vận dụng bất đẳng thức (*) (**) dẫn đến nhiều toán
Bài tốn : Cho tam giác ABC có diện tích AH BK đường cao tam giác
Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥
(2)Do (CA - BC).(BK - AH) ≤
=> : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH Cộng thêm CA x BK + BC x AH vào vế ta có : 2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥
Đẳng thức xảy BC = CA BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC tam giác cân đỉnh C
Bài toán : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c đường cao tương ứng cạnh có độ dài ha, hb, hc Chứng minh :
với S diện tích tam giác ABC
Lời giải : Do vai trị bình đẳng cạnh tam giác nên giả sử a ≤ b ≤ c
=> : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => ≥ hb ≥ hc
Làm lời giải tốn ta có : (a + b).(ha + hb) ≥ 8S
=> : 1/(ha + hb) ≤ (a + b)/(8S) (1)
Tương tự ta :
1/(hb + hb) ≤ (b + c)/(8S) (2)
1/(hc + ha) ≤ (c + a)/(8S) (3)
Cộng vế (1), (2), (3) dẫn đến :
Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tương đương với a = b = c hay tam giác ABC tam giác
Bây bạn thử giải tập sau :
1) Biết x2 + y2 = Tìm giá trị lớn F = (x4 + y4) / (x6 + y6)
2) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh :
3) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c độ dài đường phân giác thuộc cạnh la, lb, lc Chứng minh :