bat dang thuc day

Đẳng thức xảy ra khi Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản để các bạn có thể chứng minh BĐT, còn p[r]

Bất Đẳng Thức Trong toán học, bất đẳng thức là phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng (Xem thêm: đẳng thức)  Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ b và  Ký hiệu có nghĩa là a lớn b Những quan hệ nói trên gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ta còn có  có nghĩa là a nhỏ b và  có nghĩa là a lớn b Người ta còn dùng ký hiệu khác để đại lượng lớn nhiều so với đại lượng khác  Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn b nhiều Các ký hiệu a, b hai vế bất đẳng thức có thể là các biểu thức các biến Sau đây ta xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực các tập nó Nếu bất đẳng thức đúng với giá trị tất các biến có mặt bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu bất đẳng thức đúng với số giá trị nào đó các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng thì nó goị là bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức đúng còn đúng hai vế nó thêm vào bớt cùng giá trị, hay hai vế nó nhân hay chia với cùng số dương Một bất đẳng thức bị đảo chiều hai vế nó nhân hay chia số âm Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị các biến thuộc tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức Tìm tập các giá trị các biến để bất đẳng thức đúng Đó là bài toán giải bất phương trình Các phương pháp biến đổi chứng minh BĐT 1.Biến đổi tương đương: sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu BĐT đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện Giải: , chứng tỏ : , bất đẳng thức này đúng giả thiết Đẳng thức xảy 2.Đưa hàm số: đưa hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và Hãy tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức : Giải: Từ giả thiết Đặt Ta có : với ; có P là hàm nghịch biến đoạn ( đạt ) ( đạt ) 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó việc Cm BĐT,tùy dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng phù hợp cho bài toán Ví dụ 1: Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy chẳng hạn Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên ta có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm) Ví dụ 3: Cho Giải: Chứng minh: Dấu “ ” xảy số 1, số còn lại 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh với u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: Giải: - Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng - Nếu thì với và đpcm Vế trái (1) là tam thức bậc với nên (1) đúng 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh với ( đpcm) thì Hãy nêu và chứng minh kết tổng quát kết bài toán trên Giải: Ta chứng minh kết tổng quát sau đây: Với Chứng minh ( quy nạp toán học theo n): - Với ( - Giả sử khẳng định đúng với , ta chứng minh khẳng định đúng với Do khẳng định đúng với Vì Mà vế phải Vậy khẳng định đúng với Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si là bất đẳng thức kinh điển quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: Hoàn toàn tương tự ta có: nên (1) (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy và a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: Dấu "=" xảy và a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh bài toán mà giải các phương pháp khác dài chí không giải ,sau đây là số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với số dương a,b,c,d ta luôn có: Bài 2)Chứng minh với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bài 3)Cho số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu với a,b,c là các số thưc không âm và số dương r, ta có bất đẳng thức sau: dấu đẳng thức xảy và a = b = c hai số chúng và số còn lại không Khi r là số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với số thực x, y, và z Chứng minh Ta có thể giả sử cách tổng quát dựa vào tính chất đối xứng bất đẳng thức Biến đổi vế trái bất đẳng thức để được: Điều trên hiển nhiên đúng vì số hạng vế trái không âm Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức cộng Chebyshev, đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, và thì Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev chứng minh cách dùng qui tắc xếp bất đẳng thức Giả sử ta có hai chuỗi số cho sau và Vậy thì, theo qui tắc xếp bất đẳng thức, ta có là giá trị lớn có thể xếp từ hai chuỗi số trên Cộng vế theo vế, ta có: chia hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Là bất đẳng thức thường áp dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn đại số tuyến tính dùng cho các vector, giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân các tích, lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski tên dài nói trên đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski– Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức này phát biểu x và y là các phần tử không gian tích thực hay phức thì Dấu đẳng thức xảy và x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt x và y là chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) thì tích chúng zero Như vậy, có vẻ bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan khái niệm "góc hai vector" với khái niệm tích trong, các khái niệm hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trường hợp này, và mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích là tổng quát hoá không gian Euclide Một hệ quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích là hàm liên tục Một dạng khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu đây cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn đây hiểu là chuẩn trên không gian tích Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò Cauchy là V.Ya Bunyakovsky nhận xét chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu dạng tích phân bất đẳng thức này Kết tổng quát trường hợp không gian tích chứng minh K.H.A Schwarz vào năm 1885 Chứng minh Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì ta có thể giả sử <y, y> khác zero Giả sử λ là số phức Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắn đúng sau: Chọn chúng ta mà bất đẳng thức trên đúng và hay tương đương: (điều phải chứng minh) Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý  Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành Đặc biệt hơn, không gian Euclide với số chiều hay 3, tích vô hướng xác định theo góc hai vector, đó bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: Hơn nữa, trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy từ đồng thức Lagrange cách bỏ qua số hạng Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng thức Lagrange có dạng: Hệ bất đẳng thức này là bất đẳng thức  Trong không gian tích các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có Một dạng tổng quát hai bất đẳng thức phần này là bất đẳng thức Holder Một hệ khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel Chọn điểm rơi Bất Đẳng Thức Cô-Si Trong học Bàn kiến thức mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là bất đẳng thức Tuy nhiên giải bài tập để dùng bất đẳng thức này cách linh hoạt thì ta phải dùng đến phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô-Si Khi áp dụng bđt côsi các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để đó dấu = xảy là điều quan trọng và khó khăn Đôi lúc các bài toán các biến bị giới hạn điều kiện nào đó thì áp dụng trực tiếp dẫn đến nhiều sai lầm Vì chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm tham số phù hợp Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z cho x+y+z=1 Tìm các giá trị nhỏ nhất: a b c d Giải: a.Bài này khá đơn giản bạn nào biết nó Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp Vì vai trò các biến x,y,z là nên ta có thể dự đoán dấu = xảy x=y=z=1/3 Nên ta có sau: (dấu = xảy Như ta áp dụng sau: cộng dồn lại suy ) b Như bài trên mình đã nói lên ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ chẳng hạn Và phương pháp thêm này nói chung hiệu và triệt các bài toán dạng này Ta thấy vai trò x,y là nên ta có thể dự đoán dấu = xảy x=y Ta cần chọn các biệt số phụ sao: (dấu = xảy ) (dấu = xảy ) (dấu = xảy ) Và mục đích các biệt số phụ cho ta cộng dồn lại xuất x+y+z Nên ta có suy ra: (*) Đồng thời với các điều kiện dấu và (*) các bạn tìm các biệt số phụ ý muốn c.Để thấy thêm hiệu thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc Ta chọn các biệt số phụ cho: (dấu = xảy (dấu = xảy ) ) (dấu = xảy ) Và mục đích các biệt số phụ ta cộng dồn lại xuất x+y+z Vậy ta suy dễ dàng: (*) Đồng thời với dấu = xảy và đk (*) bạn có thể tìm biệt số d.Sang câu d đây là dạng tổng quát bài toán này Tuy nhiên giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và thời gian nhiều Nay mình xin nói thêm đây là cách hay cần hay dòng là các biệt số phụ liền Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây là cách suy từ pp trên mà thôi bạn cần rút x,y,z theo vào điều kiện là có thể điểm rơi Ngoài với bài toán trên nó kô giới hạn mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: Mà cách giải không thay đổi (tuy nhiên là số nguyên) Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1 Tìm giá trị lớn nhất: a b c d Giải: Những bài này chúng ta và có chung hương giải đó: a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số tìm được) Ta có: dấu = xảy khi: Suy ra: Và mục đích các biệt số này là có thể đưa dạng xy+yz+zx Nên đó: Như ta hệ phương trình sau: abd=cef a+b=1 c+d=1 e+f=2 Hệ trên phương trình tương ứng với ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải có điều dài Tuy nhiên trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy các biến x,y có tính đối xứng nên việc phân tích đơn giản này a=c, b=d, e=f Như thì đơn giản đúng không? Còn trường hợp bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó khó khăn đôi chút Nhưng có phương pháp hay và mới: Xét biểu thức: Với Như ta hệ phương trình bậc theo đó là nghiệm dương nhỏ Từ đây bạn có thể tính suy giá trị nhỏ biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1 Tìm giá trị lớn của: Với các dạng bài này thì phương pháp tương tự nên dành cho các bạn vậy! Xem đây là bài luyện tập Ngoài đôi lúc việc tìm cực trị bài toán không phải là ta nhìn đã thấy đó là điểm rơi côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác đồng thức, đạo hàm, v.v Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp điểm rơi Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn hiểu rõ bất đẳng thức Cô-Si BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG Bất đẳng thức Svacxơ phát biểu sau: Cho hai dãy số thực ) thì ta có: và Ta chứng minh BĐT (1) BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai số , và ta BĐT (1) Đẳng thức xảy Sau đây là số ví dụ minh hoạ cho tiện lợi BĐT Svacxơ việc chứng minh BĐT (Ở đây là hướng dẫn để các bạn có thể chứng minh BĐT, còn phần đẳng thức xảy thì các ban có thể dễ dàng tìm nên không trình bày ) Ví dụ 1:Chứng minh với các số dương a,b,c ta có : Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán) Áp dụng BĐT (1) được: suy ĐPCM Ví dụ 2: chứng minh với các số dương a,b,c thoả mãn ta có: Lời giải: Áp dụng BĐT (1) Ta có BĐT quen thuộc (ĐPCM) , suy Ví dụ 3: chứng minh với các số dương a,b,c thì Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy (vì ( Mà ta có BĐT quen thuộc bên trên ta suy ĐPCM , thay vào Ví dụ 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = CMR Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được: Theo BĐT côsi ta có Từ đó suy (ĐPCM) Ví dụ 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải: Ta có Ta lại có Từ đó suy , đạt Ví dụ 6:Cho a,b,c > và thoả mãn a+b+c =1 Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có và Từ đó Áp dụng BĐT Svacxơ Mặt khác ta lại có Vậy , suy minQ = 30, đạt BĐT tam giác là định lý phát biểu tam giác chiều dài cạnh phải nhỏ tổng, lớn hiệu, hai cạnh còn lại Bất đẳng thức là định lý các không gian hệ thống các số thực, tất các không gian Euclide, Bất đẳng thức xuất là tiên đề định nghĩa nhiều cấu trúc giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn các không gian vectơ định chuẩn Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác phát biểu sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y thuộc V tức là, chuẩn tổng hai vectơ không thể lớn tổng chuẩn hai vectơ đó Đường thẳng thực là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực x và y sau: Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường dùng để ước lượng chặn trên tốt cho giá trị tổng hai số, theo giá trị số hai số đó Cũng có ước lượng chặn mà có thể tìm cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu với hai số thực x và y: bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli là bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa + x Bất đẳng thức này phát biểu sau: với số nguyên r ≥ và với số thực x > −1 Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với số thực x Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt sau: với số nguyên r ≥ và với số thực x ≥ −1 với x ≠ Bất đẳng thức Bernoulli thường dùng việc chứng minh các bất đẳng thức khác Bản thân nó có thể chứng minh phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng Bây giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (vì ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1 Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy bất đẳng thức đúng với Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực sau: x > −1, thì với r ≤ or r ≥ 1, và với ≤ r ≤ Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên cách so sánh các đạo hàm Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt x ≥ -1 và ≤ r thuộc tập số tự nhiên Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức đây ước lượng lũy thừa bậc r + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có với e = 2.718 Bất đẳng thức này có thể chứng minh cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e Kỹ thuật chọn điểm rơi các bài toán BĐT và cực trị Thời gian qua mình đã nhận nhiều yêu cầu các bạn hướng dẫn cách làm bài tập BĐT và cực trị.Đây là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này hướng dẫn các bạn hướng suy nghĩ và giải các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là điểm ta dự đoán để từ đó có hướng giải phù hợp Ký hiệu sqrt là bậc và cbb là bậc Ta hãy bài toán đơn giản: Bài 1: Cho .Tìm Min của: Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi để vì dấu = xảy a=1, mâu thuẫn với đk Ta dự đoán từ đề bài P nhỏ a=3 và đây chính là "điểm rơi" bài toán.Khi a=3 thì và Ta áp dụng Cosi sau: ta có Khi đó kết hợp với đk ta có Dễ thấy a=3 thì Vậy Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: a=3 Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra a=b=c=1.Lúc này sau: và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi Tương tự cho BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiếp tục áp dụng Cosi cho số ta có Bài 3: Cho số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: .Thay vào ta có P= + + >= Giải: Đầu tiên ta thấy có dạng nên nghĩ đến sử dụng Bunhi dạng Ở đây dễ thấy Vậy còn a và b.Ta sử dụng PP "điểm rơi" Ta hãy viết và dấu "=" đạt x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy bài toán và b=9 ta ngay: .Ta chú ý tiếp đk .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta có bài toán đơn giản nhiều và là TH đặc biệt bài toán Cuối cùng là bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn: Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min: P= + MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có kĩ thuật là ta chứng minh : Nếu chứng minh , từ điều kiện ta suy Sau đây là số ví dụ: Ví dụ 1.Cho Giải : Ta có : + ,chứng minh : mà nên nên Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh : Giai: Ta có : Mà Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh : Giải: Ta có : (x,y là các số dương) tương tự bài trên ta suy Mong phương pháp này hỗ trợ cho các bạn giải toán ,đặc biệt là yêu bài toán BĐT HẾT ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG A GIỚI THIỆU Định lí Lagrange phát biểu sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm khoảng (a,b) thì luôn tồn cho: Chúng ta tìm hiểu bài toán sử dụng định lí Lagrange chương trình THPT sau: I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương pháp Từ định lí Lagrange , thì: Vậy Từ định lí Lagrange để áp dụng kết trên, điều quan trọng là xác định hàm số F(x) *Ví dụ minh họa VD1: CMR th×: Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với: Xét hàm số: liên tục trên , và có đạo hàm khoảng định lí Lagrange luôn tồn cho: Theo Ta có: (đpcm) NX: Điều quan trọng bài toán này là chúng ta nhận hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT đã cho Ta xét VD … VD 2: Cho Chứng minh: Giải BĐT đã cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange hàm số: trên cho: Từ (1) suy ra: , thì tồn Suy ra: (đpcm) NX: Bài này khó bài trên chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế nhận đựơc hàm số f (x) VD 3: Cho a<b<c CMR: Giải Xét hàm số: Theo định lí Lagrange tồn cho: Ta thấy: Từ (1) Do đó, từ Suy ra: II SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM *Phương pháp: Từ định lí Lagrange, F(b)-F(a)=0 thì tồn phương trình cho: có nghiệm thuộc Để áp dụng định lí Lagrange phải nhận hàm số F (x) (thực nó là nguyên hàm hàm số f(x)) Dạng bài toán này làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn: a F'(x)=f(x) b F(b)-F(a)=0 Bước 2: Khi đó tồn cho: phương trình f(x)= có nghiệm *Ví dụ minh hoạ: VD1: CMR phương trình: có nghiệm với a,b,c Giải Xét hàm số: Dễ dàng nhận thấy: Khi đó tồn cho: Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng VD 2: Giả sử: CMR phương trình: có nghiệm thuộc khoảng (0, 1) Giải Xét hàm số: Khi đó tồn liên tục trên [0,1] và có đạo hàm khoảng (0,1) Ta có: cho: Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1) Từ VD2 ta có thể giải bài toán sau: VD3: Giả sử: CMR phương trình: có nghiệm thuộc khoảng (0,1) Giải Xét hàm số: Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm khoảng (0,1) Ta có: Khi đó tồn Vì cho: n ên ta c ó: V ậy ph ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1) III SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GI ẢI PH Ư ƠNG TR ÌNH * Phương pháp: Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực theo các bước sau đây: Bước 1: Gọi l à nghi ệm c ph ơng tr ình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng thích hợp liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) Khi đó theo định lí Lagrange tồn cho: , từ đó hàm số (*) Bước 3: Giải (*), ta xác định Bước 4: Thử lại * Ví dụ minh họa: VD 1: Giải phương trình: Giải Gọi là nghiệm phương trình đã cho Ta được: (1) Xét hàm số: Khi đó: (1) Vì F(t) liên tục trên [3,4] và có đạo hàm khoảng (3,4), đó theo định lí Lagrange tồn cho: Thử lại và thấy đúng Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=1 VD 2: Giải phương trình: Giải Gọi là nghiệm phương trình đã cho, ta có: (2) Xét hàm số: , đó: Vì F(t) liên tục trên [2,3] và có đạo hàm trên (2,3), đó theo định lí Lagrange luôn tồn cho: Thử lại thấy đúng phương trình có hai họ nghiệm và C BÀI TẬP ÁP DỤNG CMR x>y> thì CMR phương trình: Giải các phương trình sau: Một bài toán tìm giá trị nhỏ Trong luyện tập, tôi gặp bài toán sau: "Cho Tìm GTNN " Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ Còn tôi không phải dân chuyên Toán, việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết thú vị Trước hết ta xem xét lời giải bài toán trên: Cộng BĐT trên ta có Dấu "=" xảy và Tuy nhiên vấn đề đặt là nghĩ số để thêm vào BĐT? Để giải vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT trên, tôi thêm vào số nào đó: Cộng hai BĐT trên ta có: Dấu "=" xảy và khi: Giả sử đã tồn \alpha để dấu "=" xảy ra, đó Thay vào F GTNN F là đạt Như việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có sở Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương: "Cho Tìm GTNN " Mục tiêu chúng ta là dùng BĐT Cô-si cho cộng BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho giả thiết Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ không đưa đến kết mà phải biến đổi số hạng cộng vào BĐT Cách đặt số hạng cộng vào này giúp triệt tiêu c bên vế trái, nhân thêm hệ số a vào vế phải Ta tiếp tục cộng BĐT: Dấu "=" xảy và Khi đó Giả sử đã có thỏa mãn dấu "=", tức là: (1) Khi đó theo (1) tìm GTNN F là Lần này, tôi phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ Để tránh phức tạp, tôi cho các hệ số "Cho Tìm GTNN " Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương: Cộng BĐT: Dấu "=" xảy và khi: Khi đó (2) Giả sử tồn Thay vào (2) ta có để dấu xảy ra, thì: , đạt x = y = Không dừng lại việc phát triển hệ số, tôi nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn, tôi tìm lời giải cho các bài toán sau Bài toán 1: "Cho Áp dụng BĐT Cô-si: Cộng BĐT vào: Tìm GTNN " Dáu "=" xảy và khi: Khi đó Khi đó Giả sử tồn thỏa mãn dấu "=", đó: đạt Bài toán 2: "Cho Áp dụng BĐT Cô-si: Tìm GTNN " Cộng BĐT vào: Dấu "=" xảy và Tiếp tục làm tương tự các bài trên, ta thu kết quả: Đạt Bài toán 3: "Cho Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng: Tìm GTNN (m số hạng (m số hạng , (n - m) số hạng , (n - m) số hạng Cộng BĐT: Tiếp tục làm tương tự các bài trên, ta thu kết quả: Đạt " ) )