THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN

THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN

THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN

LỜI MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn và là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học

Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur, Trong đó nổi bật hơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi) bởi

vì đây là bất đẳng thức đơn giản, gần gũi nhưng lại là bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên khác

Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem là một nội dung hóc búa nhất Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu hết chúng ta đều e ngại và không thật sự cảm thấy thích thú với nó Tuy nhiên , bài toán bất đẳng thức lại là một bài toán hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG cũng như các kì thi tuyển Đại học Như thế, chẳng nhẽ khi gặp một bài toán BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hang nó hay sao? Để giúp cho học sinh có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại trong việc sử dụng BĐT Cauchy nhóm em đã tìm hiểu và cùng nhau làm chuyên đề

“THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN”

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bất đẳng thức Cosi

1.1.1. Phát biểu

- Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm:

Cho a1, a2 ≥ 0, ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2.

- Bất đẳng thức Cosi cho n số thực không âm:

Cho a1, a2 ,…,an ≥ 0, ta có

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2=…=an.

- Bất đẳng thức Cosi mở rộng:

Cho a1, a2 ,…,an là các số thực dương và m1, m2, , mn là các số hữu tỷ dương, ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2=…=an

1.1.2. Ví dụ : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:

Giải:

Áp dụng BĐT Cosi cho bộ ba số (a, b, c) và ta có:

(1)

(2)

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

1.2 Các kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy

1.2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích

Bài 1: Chứng minh rằng: , với mọi a,b,c

Giải:

Sử dụng BĐT Cosi: , ta có:

 , với mọi a, b, c

- Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm

- Cần chú ý rằng: vì x, y không biết âm hay dương

- Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT CôSi

- Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” => đánh giá từ TBC sang TBN 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 cặp số, 3 cặp số

1.2.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo.

Bài 2: CMR với mọi a > b > 0 ta luôn có:

Giải:

Ta có nhận xét: b+a –b =a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu sẽ được phân tích như sau: Với mọi a > b > 0

Dấu “=” xảy ra

1.2.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi

Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong BDT Cosi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biên

Bài 3: Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải:

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng BDT Cosi dấu “=” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

Vậy ta có:

Dấu “=” xảy ra a = 2

- Ta sử dụng điều kiện dấu “=” và điểm rơi là a=2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra

- Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “=” trong việc áp dụng BĐT Cosi cho 2 số ,

và đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi a = 2

1.2.4: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC)

Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu

“ + ” bằng dấu “ ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu “ ” bằng dấu “ + ” Và

cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số

Bài 4 : CMR:

Giải:

Theo BĐT Cosi ta có:

=>(dpcm)

- Nếu giữ nguyên vế trái thì biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số => ta

có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số

- Dấu “” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Cosi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC

1.2.5 Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC

Bài 5: CMR:

Giải:

Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab sau đó áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như

phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới: phương pháp nhân thêm hằng số

Ta có:



Dấu “=” xả ra  =>

Ta thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tại sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2 Thực chất của vấn đề là chúng ta đã chọn điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b =

1.2.6 Kỹ thuật ghép đối xứng

Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau: Phép cộng:

Phép nhân: (x,y,z0)

1.2.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số

Nội dung cần nắm được các thao tác sau:

1

2.

Bài 7:

Chứng minh rằng :)

Giải:

1.2.8 Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được những phương pháp giải,ta có thể chuyển từ bài tóa từ tình thế khó biến đổi về trạng thái dễ biến đổi hơn Phương pháp trên gọi là phương pháp biến đổi

Bài 8: Chứng minh rằng:

Giải:

Đặt

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng Thật vậy áp dụng BĐT Cosi ta có:

Dấu “=” xảy ra x = y = z a = b = c

2 NỘI DUNG

2.1 Thời gian – đối tượng học sinh:

- Thời gian, địa điểm: Lớp Toán 11, tiết 6,7, thứ Hai ngày 26 tháng 2 năm 2018

- Đối tượng: Học sinh lớp chuyên Toán 11 – Trường THPT Chuyên Thái Nguyên

- Sĩ số: 20 học sinh

2.2 Kế hoạch dạy học

BỒI DƯỠNG: MỘT SỐ KỸ THUẬT

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN.

I Mục tiêu bài học: Qua bài học, HS

1 Về kiến thức:

- Hiểu được nội dung bất đẳng thức Cauchy

- Nắm được các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong giải toán

2 Về kỹ năng:

- Biết cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong giải toán và áp dụng vào bài toán thực tế

- Phát triển kĩ năng hợp tác nhóm, kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề,

kĩ năng thuyết trình, kĩ năng giao tiếp, kĩ năng tự đánh giá và đánh giá đồng đẳng

3 Về tư duy, thái độ:

- Phát triển kĩ năng tư duy lôgic, khả năng khái quát hóa, quy lạ về quen

thông qua việc phát biểu nội dung bất đẳng thức Cauchy và hoạt động giải toán

- Rèn luyện thái độ nghiêm túc, tính cẩn thận, chặt chẽ, khoa học thông qua các hoạt động xét dấu một biểu thức; tinh thần đoàn kết hợp tác cũng như khả năng làm việc độc lập, tính cẩn thận, trách nhiệm trong các hoạt động làm việc theo nhóm

- Tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập

4 Định hướng phát triển năng lực:

- Qua bài học góp phần phát triển ở người học các năng lực sau: năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy, năng lực hợp tác, năng lực đánh giá

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

- Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer và Projector, bảng phụ, các câu

hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức

- Học sinh: Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi,

III Tiến trình dạy học:

1 Ổn định tổ chức lớp ( 2 phút ):

- Kiểm tra sĩ số

- Ổn định tổ chức lớp

- Chia nhóm học sinh: 4 nhóm, mỗi nhóm 5 học sinh

2 Bài mới:

* Gợi động cơ, hướng đích: ( 1 phút )

Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn và là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học

Các em đã được học một trong số các bất đẳng thức kinh điển trong Toán học đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi) Đây là bất đẳng thức đơn giản, gần gũi nhưng lại là bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên khác

Để giúp cho các em có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại trong việc sử dụng BĐT Cauchy hôm nay cô và các em cùng tìm hiểu một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cosi phổ biến trong giải toán

GV ghi tiêu đề:

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN.

3.1 Hoạt động 1: Phát biểu nội dung BĐT Cauchy ( 4 phút )

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung bài học

- GV yêu cầu học sinh

nhắc lại nội dung BĐT

Cauchy (Côsi) cho hai số

thực không âm

- GV giới thiệu cho học

sinh nội dung BĐT

Cauchy tổng quát

- GV: Có rất nhiều kỹ

thuật sử dụng BĐT

Cauchy trong giải toán

(GV kể tên 8 kỹ thuật

chính), trong đó có 4 kỹ

thuật phổ biến và dễ dàng

sử dụng mà cô sẽ giới

thiệu cho các em ngày

hôm nay, đầu tiên đó là kỹ

- Cho a1, a2 ≥ 0, ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2.

- HS theo dõi, lắng nghe và ghi bài

1 BĐT Cauchy (Côsi)

- Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm:

Cho a1, a2 ≥ 0, ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2.

- Bất đẳng thức Cosi cho n

số thực không âm:

Cho a1, a2 ,…,an ≥ 0, ta có

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2=…=an.

thuật đánh giá từ trung

bình cộng sang trung bình

nhân

3.2 Hoạt động 2 : Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy (20 phút )

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung bài học

*HĐTP1:

- GV: Đánh giá từ TBC

sang TBN là đánh giá

BĐT theo chiều “≥ ”

Đánh giá từ tổng sang

tích

- GV hướng dẫn giải

chậm VD1 cho HS

- GV nêu chú ý cho HS:

+ Chỉ nhân các vế của

BĐT cùng chiều ( kết quả

được BĐT cùng chiều)

khi và chỉ khi các vế cùng

không âm

+ Cần chú ý rằng: vì x, y

không biết âm hay dương

- Nói chung ta ít gặp bài

toán sử dụng ngay BĐT

Cô Si như bài toán nói

trên mà phải qua một và

- HS theo dõi, lắng nghe và làm theo hướng dẫn của GV

2 Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy

a, Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

VD1: Chứng minh rằng: , với mọi a,b,c

Giải:

Sử dụng BĐT Cosi: , ta có:

, với mọi a, b, c

b, Kỹ thu t đánh giá t ậ ừ trung bình nhân sang trung bình c ng ộ

phép biển đổi đến tình

huống thích hợp rồi mới

sử dụng BĐT CôSi

*HĐTP2:

- GV giới thiệu kỹ thuật

đánh giá từ TBN sang

TBC

Nếu như đánh giá từ TBC

sang TBN là đánh giá với

dấu “ ≥ ”, đánh giá từ

tổng sang tích, hiểu nôm

na là thay dấu “ + ” bằng

dấu “ ” thì ngược lại

đánh giá từ TBN sang

trung bình cộng là thay

dấu “ ” bằng dấu “ + ”

Và cũng cần phải chú ý

làm sao khi biến tích

thành tổng, thì tổng cũng

phải triệt tiêu hết biến, chỉ

còn lại hằng số

- GV hướng dẫn giải VD2

cho HS

- Nếu giữ nguyên vế trái

thì biến tích thành tổng ta

không thể triệt tiêu ẩn số

VD2 : CMR:

Giải:

Theo BĐT Cosi ta có:

=> đpcm

c, Kỹ thuật tách nghịch đảo

VD3: CMR với mọi a > b >

0 ta luôn có:

Giải:Với mọi a>b>0, ta có: Dấu “=” xảy ra

=> ta có phép biến đổi

tương đương (1) sau đó

biến tích thành tổng ta sẽ

được các phân thức có

cùng mẫu số

*HĐTP3:

- GV giới thiệu kỹ thuật

tách nghịch đảo

- GV hướng dẫn HS giải

VD3

Ta có nhận xét: b+a –b =a

không phụ thuộc vào biến

b do đó hạng tử đầu sẽ

được phân tích sao cho

tích của các hạng tử mới

là nghịch đảo của hạng tử

thứ 2

*HĐTP4:

- GV giới thiệu kỹ thuật

d, Kỹ thuật chọn điểm rơi

VD4: Cho a 2 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức:

Giải: Ta có:

Dấu “=” xảy ra a = 2

chọn điểm rơi.

Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong BDT Cosi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên

và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biên

- GV hướng dẫn HS giải VD4

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng

tử để sao cho khi áp dụng BDT Cosi dấu “=” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

- Vậy ta sử dụng điều kiện dấu “=” và điểm rơi

là a=2 dựa trên quy tắc biên để tìm ra

- Ở đây ta thấy tính đồng

thời của dấu “=” trong

việc áp dụng BĐT Cosi

cho 2 số , và đạt giá trị

lớn nhất khi a = 2, tức là

chúng có cùng điểm rơi a

= 2

3.3 Hoạt động 3: Củng cố( 50 phút )

- Kỹ thuật dạy học: Phòng tranh.

* GV giới thiệu phòng tranh (2’): GV tổ chức vị trí các phòng tranh và thông

báo nhiệm vụ của HS

- Hình thức: Như nhóm đã chia từ đầu giờ, GV tách 4 nhóm ra 4 góc của lớp

học, tạo thành các phòng tranh được đánh số thứ tự từ 1 đến 4

- Giai đoạn 1 – Vẽ tranh (12’): Mỗi nhóm được giao một bức tranh được đánh

số thứ tự tương ứng số thứ tự nhóm, mỗi bức tranh ẩn chứa một bài toán thực tếs Các nhóm tìm cách giải bài toán của nhóm mình

- Giai đoạn 2 – Xem tranh (12’x3=36’): Mỗi nhóm cử một thành viên làm

chuyên gia tại phòng tranh, 4 thành viên còn lại di chuyển tới các phòng tranh mới theo vòng tròn cho tới khi về lại phòng tranh của nhóm mình Tại mỗi phòng tranh, các chuyên gia tại phòng tranh giới thiệu nội dung bức tranh (đề bài toán và cách giải) cho khách xem tranh, đồng thời khách xem tranh cũng giới thiệu, truyền đạt lại cho chuyên gia phòng tranh đó nội dung bức tranh của nhóm mình Mỗi lượt di chuyển xem tranh là 12 phút Hết 3 lượt di chuyển thì đóng cửa phòng tranh

* 4 BÀI TOÁN PHÒNG TRANH:

Bài toán 1: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng Hai mặt bên và là hai tấm kình hình chữ nhật dài 20m rộng 5m Gọi a (m) là độ dài cạnh Tìm a sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất

Trả lời:

Lăng trụ có thể tích là:

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương và ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Thể tích hình lăng trụ lớn nhất bằng 250 khi (m)

Bài toán 2: Khi s n xu t v lon s a bò hình tr , các nhà thi t k luôn đ t m cả ấ ỏ ữ ụ ế ế ặ ụ tiêu sao cho chi phí nguyên li u làm v lon là ít nh t, t c là di n tích toànệ ỏ ấ ứ ệ

ph n c a hình tr là nh nh t Mu n th tích kh i tr đó b ng 1 dmầ ủ ụ ỏ ấ ố ể ố ụ ằ 3 và di nệ tích toàn ph n c a hình tr nh nh t thì bán kính đáy c a hình tr ph i b ngầ ủ ụ ỏ ấ ủ ụ ả ằ bao nhiêu?

Gi i ả

+ Đ t bán kính đáy, chi u cao c a lon s a bò hình tr l n lặ ề ủ ữ ụ ầ ượt là r, h (đ n vơ ị dm)

+ Theo đ ra ta có: (dm)ề

+ Di n tích toàn ph n c a hình tr nh nh t khi: ệ ầ ủ ụ ỏ ấ nh nh t.ỏ ấ

+ Theo b tấ đ ngẳ th cứ Cosi:

D u "=" x yấ ả ra khi:

Bài toán 3: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích yêu cầu là lít mỗi chiếc Hỏi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là bao nhiêu để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Giải:

Đổi lít =

Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là

Khi đó ta có thể tích thùng phi là:

Vì vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm để diện tích toàn phần lớn nhất

Ta có

Vậy đạt GTNN là

Vậy với bán kính đáy là 1(m) và chiều cao 2 (m) thì xưởng cơ khí sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất

Bài toán 4: T i xã Th ng Nh t có m t trang tr i Ch trang tr i mu n nuôiạ ố ấ ộ ạ ủ ạ ố thêm m t đàn dê và ông đã mua hàng rào đ b o v chúng Các lo i v t li uộ ể ả ệ ạ ậ ệ dùng đ làm bao g m: g và tôn l nh Nh ng ông ch còn 1.500.000 đ ng để ồ ỗ ạ ư ỉ ồ ủ

đ mua tôn l nh lo i 61.000 đ ng m t t m, m i t m có chi u dài 1m, chi uể ạ ạ ồ ộ ấ ỗ ấ ề ề cao 1,6m Ông mu n xây d ng hàng rào v a đ t o không gian thông thoáng.ố ự ừ ể ạ

B n hãy giúp ch trang tr i tìm cách xây d ng hàng rào?ạ ủ ạ ự

Gi i:ả

Ta gi s ch n mô hình chu ng theo hình ch nh t.ả ử ọ ồ ữ ậ