TOÁN 12: BÀI 2 - MẶT CẦU

a).Qua điểm A nằm trên S (O, r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó .Tất cả tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mp tiếp xúc với mặt cầu tại đ[r]

I MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU

Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r>0)

gọi mặt cầu tâm O bán kính r.

1 Mặt cầu

2 Điểm trong, điểm ngoài, khối cầu

OM = r nên điểm M nằm mặt cầu

OA < r nên điểm A nằm mặt cầu

a Điểm trong, điểm ngoài

OM = r nên điểm M nằm mặt cầu

OA < r nên điểm A nằm mặt cầu

b Khối cầu

3 Biểu diễn mặt cầu

II GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

1 Trường hợp h = OH > r

2 Trường hợp h = OH = r

Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S(O,r) H H gọi tiếp điểm, (P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện

Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O,r) điểm H (P) vng góc với

bán kính OH

tại điểm H gọi điều kiện tiếp xúc

(0/( ))P

3 Trường hợp h = OH < r

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn tâm O, bán kính r gọi đường tròn lớn

?? Hãy xác định đường tròn giao tuyến mặt cầu S(O,r) với mp (P) biết khoảng cách từ tâm O đến (P)

2

r

2

2

4

r r r  r  

III GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

1 Trường hợp 1:OH > r:

2 Trường hợp OH = r

d có điểm chung H với mặt cầu S(O,r) Khi d tiếp xúc mặt cầu S(O,r) H Điểm H gọi điểm

3 Trường hợp OH < r

d cắt mặt cầu S(O,r) hai điểm A,B phân biệt

Nhận xét:

*Khái niệm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình đa diện

- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với mặt

của hình đa diện

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy, ABC tam giác cạnh a, SA=2a Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S.ABC

Bài giải

Gọi O trọng tâm tam giác ABC Suy

ra O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dựng trục d đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực cạnh SA

cắt d I

Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính R=IA=IB=IC=IS

Ta có tứ giác NIOAlà hình chữ nhật Xét tam giác NAI vng N có:

2 2

2 2

3 2

a a a

   

        

 

2

2 2

* Phương pháp xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

1 Xác định tâm

+ Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên ( trục  đường tròn ngoại tiếp đa giác mặt bên)

2 Tính bán kính

+ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp độ dài đoạn thẳng nối tâm I đỉnh hình chóp

IV CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

2

4

S   r

3

Câu 2: Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương

cạnh a

Trắc nghiệm A a D a B a a C Bài giải

Câu 1: Số mặt cầu qua điểm không thẳng

hàng

A B C D Vơ số

Đường kính a

Câu 4: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập

phương có cạnh a A a D a a B a C Bài giải

Câu 3: Từ điểm ngồi mặt cầu kẻ

bao nhiêu tiếp tuyến mặt cầu

A B C Vô số D

3 a R  Bán kính AC  a

3 A C a

Câu 6: Diện tích mặt cầu có đường kính 3m

 2

A  m

 2

12

D  m

 2

36

B  m

 2

C  m

Bài giải R    2

S   R   m

Câu 5: Diện tích mặt cầu bán kính 2m

 2

A  m B 8  m2  2

C  m D 16  m2

Bài giải

2

4

S   R

 

2

4 16

Câu 7: Thể tích khối cầu bán kính 3m

 3

36

A  m

 3

72

B  m

 3

C  m

 3

18

D  m

Bài giải

 

3 3

4

.3 36

3

Câu 8: Nếu tăng bán kính khối cầu lên lần thể tích khối cầu

B Tăng lên lần A Tăng lên 10 lần

D Tăng lên 125 lần C Tăng lên 25 lần

Bài giải

3

1

4

V   R

2

R  R

3

2 1

4

.125 125

3

Tổng kết

- Định nghĩa mặt cầu

- Giao mặt cầu với mặt phẳng đường thẳng - Hình biểu diễn mặt cầu

- Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp; nội tiếp đa diện

- Diện tích mặt cầu - Thể tích khối cầu