Hình 10 chương 1 vecto

Tốn Chương 1: VEC-TƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Dạng Xác định véc-tơ, phương hướng véc-tơ, độ dài véc-tơ • Xác định véc-tơ xác định phương, hướng hai véc-tơ theo định nghĩa • Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài véc-tơ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong hình 1.4, véc-tơ phương, hướng, ngược hướng véc-tơ #» w #» x #» a #» y #» b #» v #» u #» z Hình 1.4 Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC, CA, AB # » #» a) Liệt kê tất véc-tơ khác véc-tơ , phương với M N có điểm đầu, điểm cuối lấy điểm cho # » #» b) Liệt kê véc-tơ khác véc-tơ , hướng với AB có điểm đầu, điểm cuối lấy điểm cho # » c) Vẽ véc-tơ véc-tơ N P mà có điểm đầu A B Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M trung điểm AB, N điểm đối xứng # » # » với C qua D Hãy tính độ dài véc-tơ M D M N HDedu - Page Dạng Chứng minh hai véc-tơ Để chứng minh hai véc-tơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng # » # » # » # » dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC AD = BC ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P , Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng # » # » minh M N = QP Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B # » # » cho BB = GA #» #» a) Chứng minh BI = IC # » #» b) Gọi J trung điểm BB Chứng minh BJ = IG HDedu - Page §2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ Dạng Xác định véc-tơ Dựa vào quy tắc cộng, trừ, quy tắc điểm, hình bình hành, ta biến đổi dựng hình để xác định véc-tơ Chú ý quy tắc sau # » # » a) −AB = BA # » # » # » b) AB + BC = AC (quy tắc điểm) # » # » # » c) AB − AC = CB (quy tắc trừ) # » # » # » d) AB + AD = AC (ABCD hình bình hành) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tam giác ABC # » # » a) Xác định véc-tơ #» a = AB + BC #» # » # » b) Xác định véc-tơ b = AB − AC # » # » c) Xác định véc-tơ #» c = AB + AC Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, có tâm O Hãy xác định véc-tơ sau đây: a) b) # » # » #» x = AB + AD # » # » #» y = AO + CD c) d) # » # » #» z = CD − AC #» # » # » t = OA − BD Ví dụ Cho tam giác ABC đều, G trọng tâm M trung điểm cạnh BC Hãy xác định véc-tơ sau đây: # » # » a) GB + GC # » # » b) AG + CB # » # » c) AB + M C # » # » # » d) AB + GB + GC Ví dụ Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I Gọi M điểm tùy ý không nằm đường thẳng AB Lấy tia M I điểm N cho IN = M I Hãy xác định véc-tơ: # » # » # » a) M A + M B − M I # » #» b) AM + N I HDedu - Page Dạng Xác định điểm thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước Để xác định điểm M thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước, ta làm sau: ◦ HƯỚNG 1: # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng AM = #» v , A điểm cố định #» v véc-tơ cố định − Lấy A làm điểm gốc, dựng véc-tơ #» v điểm điểm M cần tìm ◦ HƯỚNG 2: # » # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng AM = AB, A, B hai điểm cố định − Khi điểm M cần tìm trùng với điểm B ◦HƯỚNG 3: − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho đẳng thức véc-tơ với điểm M − Khi điểm M cần tìm điểm tùy ý ◦HƯỚNG 4: − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho đẳng thức véc-tơ sai với điểm M − Khi khơng có điểm M thỏa điều kiện ◦HƯỚNG 5: # » # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng IM = AB , I, A, B điểm cố định − Khi điểm M cần tìm thuộc đường trịn tâm I, bán kính AB ◦HƯỚNG 6: # » # » − Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho dạng M A = M B , A, B điểm cố định phân biệt − Khi điểm M cần tìm thuộc đường trung trực đoạn AB ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ # » # » # » #» Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện BA + BC + M B = # » # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện M A − M B + M C = BC # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện M A − M B = AB # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện |M A| = |M B − M C| HDedu - Page Dạng Tính độ dài tổng hiệu hai véc-tơ − Độ dài véc-tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối véc-tơ − Ta thường sử dụng công thức cạnh hệ thức lượng tam giác vng, định lý Pytago, tính chất tam giác đều, hình chữ nhật, hình vng, ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB − AC # » # » Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Tính DB + DC Ví dụ Chứng minh # » # » # » # » ABC thỏa mãn AB + AC = AB − AC ∆ABC tam giác vng Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M trung điểm AB, N điểm đối xứng # » # » với C qua D Hãy tính độ dài véc-tơ sau M D, M N # » Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a, M điểm Tính độ dài véc-tơ M A − # » # » # » M B − M C + M D HDedu - Page Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ a) Sử dụng quy tắc ba điểm b) Sử dụng quy tắc hình bình hành ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ # » # » # » # » # » Ví dụ Cho điểm A, B, C, D, E Chứng minh AB + CD + EA = CB + ED # » # » # » #» Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Chứng minh BA + DA + AC = Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB # » # » # » #» Chứng minh AM + BN + CP = # » # » # » # » # » # » Ví dụ Cho điểm A, B, C, D, E Chứng minh AC + DE − DC − CE + CB = AB # » Ví dụ Chứng minh hai hình bình hành ABCD A B C D có tâm AA + # » # » # » #» BB + CC + DD = HDedu - Page §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Dạng Các toán sử dụng định nghĩa tính chất phép nhân véc-tơ với số Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa tính chất phép nhân véc-tơ với số để giải tập #» Ví dụ Cho #» u = −2 #» a + b Tìm véc-tơ đối #» u Ví dụ Cho ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Hãy tính: # » #» a) BC theo IB # » #» b) BC theo IC # » #» c) AG theo IA # » # » #» Ví dụ Chứng minh I trung điểm AB IA + IB = HDedu - Page Dạng Phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không phương Dùng quy tắc véc-tơ để phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không phương Lý thuyết cần nhớ #» - Cho véc-tơ #» a b không phương Khi đó, với #» x , tồn cặp số h, k #» #» #» cho x = h a + k b y # » # » - Điểm M thuộc đoạn AB cho xAM = yBM (x, y > 0) AM = AB x+y # » # » # » - Quy tắc điểm: AB + AC = BC - Quy tắc hình bình hành # » # » # » Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC # » # » # » - Hiệu hai véc-tơ: AC − AB = BC - Trung điểm đoạn thẳng #» 1# » I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ AI = AB # » #2 » #» ⇔ IA + IB = # » # » # » ⇔ M A + M B = 2M I, ∀M - Trọng tâm tam giác # » # » # » #» G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = # » # » # » # » ⇔ M A + M B + M C = 3M G, ∀M ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC có G trọng tâm Phân tích véc-tơ AG theo véc-tơ AB AC Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD Phân tích véc-tơ # » # » # » AM theo véc-tơ AB AC Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi H, K thuộc cạnh AB AC cho 3AH = 2AB, # » 3AK = AC Trên cạnh BC lấy điểm M cho 4BM = 3M C Phân tích véc-tơ BM theo # » # » véc-tơ AH AK Ví dụ Cho tứ giác ABCD (AD BC không song song) Trên cạnh AB CD lấy # » điểm M , N cho AM = kAB DN = kDC (0 < k < 1) Phân tích véc-tơ M N theo # » # » véc-tơ AD BC HDedu - Page Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ có chứa tích véc-tơ với số Phương pháp giải: • Hướng Biến đổi vế thành vế lại Khi đó: - Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức - Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích véc-tơ • Hướng Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết ln • Hướng Biến đổi đẳng thức véc-tơ biết thành đẳng thức cần chứng minh Khi thực phép biến đổi cần lưu ý: # » # » # » - Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta ln có: AB = AC + CB # » # » # » - Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta ln có: AC = AB + AD # » # » # » - Quy tắc trừ: Với ba điểm A, B, O ta ln có: OB − OA = AB - Tính chất trung điểm đoạn thẳng: Với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB ta có: # » # » #» IA + IB = # » Ä # » # »ä MI = MA + MB - Tính chất trọng tâm tam giác: Với điểm M tuỳ ý G trọng tâm tam giác ABC ta có: # » # » # » #» GA + GB + GC = # » # » # » # » M A + M B + M C = 3M G - Các tính chất phép cộng, trừ véc-tơ phép nhân số với véc-tơ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: # » # » # » # » AB + 2AC + AD = 3AC # » # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng minh rằng: BA + CA = −3AG Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AB CD # » # » # » Chứng minh rằng: AC + BD = 2M N Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho M B = 2M C Chứng minh # » 1# » 2# » rằng: AM = AB + AC 3 HDedu - Page Ví dụ Cho tứ giác ABCD Gọi M, N thuộc đoạn thẳng AB, CD cho M B = 2M A N C = 2N D Chứng minh rằng: # » 2# » 1# » M N = AD + BC 3 Ví dụ Cho tam giác ABC Lần lượt lấy điểm M, N, P đoạn thẳng AB, BC 1 CA cho AM = AB, BN = BC, CP = CA Chứng minh rằng: 3 # » # » # » #» AN + BP + CM = Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi M điểm Chứng minh rằng: # » # » # » # » #» a) OA + OB + OC + OD = # » # » # » # » # » b) M A + M B + M C + M D = 4M O Ví dụ Cho tam giác ABC tâm O M điểm tam giác Gọi D, E, F # » # » # » 3# » hình chiếu M BC, CA, AB Chứng minh rằng: M D + M E + M F = M O HDedu - Page 10 Dạng Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy Phương pháp giải: # » # » a) Sử dụng nhận xét: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ R cho AB = k AC b) Sử dụng kết quả: Cho tam giác ABC Khi M , B, C thẳng hàng ⇔ ∃α ∈ R cho # » # » # » AM = αAB + (1 − α)AC c) Sử dụng định lí tính thẳng hàng, đồng quy Menelaus, Ceva ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ #» #» #» Định lí Điều kiện cần đủ để hai véc-tơ #» a b ( b = ) phương tồn số k cho #» #» a = kb # » # » Định lí Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng tồn số k cho AB = k AC Định lí Cho tam giác ABC Khi điểm M thuộc đường thẳng BC tồn số α # » # » # » cho AM = αAB + (1 − α)AC # » # » # » # » # » # » Định lí Cho tam giác ABC ba điểm M , N , P thoả mãn M B = αM C, N C = β N A, P A = γ P B Khi M , N , P thẳng hàng αβγ = # » # » # » # » # » # » Định lí Cho tam giác ABC ba điểm M , N , P thoả mãn M B = αM C, N C = β N A, P A = γ P B Khi đường thẳng AM , BN , CP đôi song song đồng quy αβγ = −1 # » # » Ví dụ Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm M , N , P cho M A + 3M B = # » # » # » # » #» 6N B − N C = P C + 2P A = Chứng minh ba điểm M , N , P thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC có O, H, G tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm trọng tâm tam giác Chứng minh ba điểm O, H, G thẳng hàng HDedu - Page 11 Dạng Xác định M thoả mãn đẳng thức véc-tơ Phương pháp: Biến đổi đẳng thức véc-tơ dạng sau: # » OM = #» v (O cố định #» v biết) ⇒ M xác định Những điểm cần ý: • Áp dụng qui tắc để biến đổi như: qui tắc điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hiệu • Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho có vec tơ có chứa điểm cuối điểm cần tìm qua véc-tơ xác định • Vẽ hình để xác định điểm mơ tả điểm cần tìm vị trí so với điểm cố định mà đề cho ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ #» # » #» Ví dụ Cho hai điểm A, B Tìm I thoả mãn IA + 2IB = #» # » # » Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm J thoả mãn JA + 2.JB = CB # » # » # » #» Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm K thoả mãn: KA − 3KB + KC = #» #» #» # » Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm I thoả mãn 3IA + IB − IC = DA Ví dụ Cho trước hai điểm A, B hai số thực α + β = Chứng minh tồn #» # » #» điểm I thoả mãn α.IA + β.IB = HDedu - Page 12 §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số véc-tơ trục Căn vào định nghĩa tọa độ điểm, độ dài đại số véc-tơ công thức tọa độ véc-tơ #» u + #» v , #» u − #» v ,k #» u # » • Điểm M có tọa độ a ⇔ OM = a #» e với O điểm gốc # » # » • Véc-tơ AB có độ dài đại số m = AB ⇔ AB = m #» e • Nếu A B có tọa độ a b AB = b − a xA + xB • Tọa độ trung điểm I đoạn AB : xI = • Nếu #» u = (u1 ; u2 ), #» v = (v1 ; v2 ) #» u + #» v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ); #» u − #» v = (u1 − v1 ; u2 − v2 ); #» k u = (ku ; ku ), k ∈ R ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ # » # » Ví dụ Trên trục tọa độ (O; #» e ), cho ba điểm A, B, C với: OA = 4, #» e , OB = −7, #» e, # » OC = −3, #» e a Xác định tọa độ điểm A, B, C b Tìm tọa độ trung điểm M , N , P theo thứ tự đoạn thẳng AB, BC, CA c Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC, CA Ví dụ Trên trục tọa độ (O, #» e ), cho ba điểm A(1), B(−2), C(7) Tìm tọa độ điểm M cho AM + 3BM = 2CM Ví dụ Trên trục tọa độ (O, #» e ), cho điểm A(2), B(−3), C(−6) Tìm tọa độ D(x) cho DA + 4DB ≤ 3DC #» #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (−4; 2), b = (5; 8) Tính tọa độ véc-tơ #» a+ b, #» #» #» #» a − b , #» a , #» a + b , −(5 #» a − b ) #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho véc-tơ #» a = (4; −2), b = (−1; −1) , #» c = (2; 5) Hãy #» #» #» phân tích véc-tơ b theo hai véc-tơ a c #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a = (x; 2), b = #» #» 4a − b Å ã #» −5; , c = (x; 7) Tìm véc-tơ #» c = #» #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho #» a (1; −2); b (−3; 0); #» c (4; 1) Tìm tọa độ t = #» a − #» #» 3b + c HDedu - Page 13 Dạng Xác định tọa độ véc-tơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Trong mặt phẳng Oxy, với điểm M tùy ý, tồn hai số thực x, y cho # » # » # » #» #» OM = x i + y j Bộ hai số thực (x; y) gọi tọa độ véc-tơ OM , ký hiệu OM = (x; y) # » hay OM (x; y) ! #» #» • Tọa độ véc-tơ đơn vị i (1; 0), tức i = (1; 0) #» #» • Tọa độ véc-tơ đơn vị j (0; 1), tức j = (0; 1) #» • Tọa độ véc-tơ-không (0; 0), tức = (0; 0) # » Nếu biết tọa độ hai điểm A, B ta tính tọa độ véc-tơ AB theo công thức # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(3; 2), B(2; −1), C(−2; −2) Tìm tọa độ điểm D Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Gọi M (4; −1), N (3; 0) P (4; 2) trung điểm cạnh BC, CA AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có AD = chiều cao ứng với # » #» #» ’ = 30◦ Chọn hệ trục tọa độ (A; #» cạnh AD góc BAD i , j ) cho i AD hướng # » # » # » # » Tìm tọa độ véc-tơ AB, BC, CD AC HDedu - Page 14 Dạng Tính tọa độ trung điểm - trọng tâm Phương pháp giải, kinh nghiệm giải  x + xB  x M = A M trung điểm AB ⇔ y + yB  A yM = 2 x + xB + xC  x G = A G trọng tâm tam giác ABC ⇔ y + y + yC  A B y G = ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 4), B(−2; 6) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−1; 2), B(1; 4), C(−1; −2) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(3; 1), B(2; 2), G(2; −1) Tìm tọa độ điểm C biết G trọng tâm tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−2; 0), B(0; −4) Gọi M trung điểm AB, tìm tọa độ trọng tâm tam giác OBM Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; 5), B(−4; −3), C(2; −1) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, tìm tọa độ điểm G điểm đối xứng G qua B HDedu - Page 15 Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, điểm thuộc đường thẳng Sử dụng điều kiện cần đủ sau: #» #» #» • Hai véc-tơ #» a b = phương tồn số k cho #» a = kb # » # » • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véc-tơ AB AC phương • Điểm M thuộc đường thẳng AB ba điểm M , A, B thẳng hàng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−1; 1), B(1; 3), C(2; 4) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Đường thẳng AB cắt trục Ox điểm M Tìm tọa độ điểm M #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba véc-tơ #» a = (1; 2), b = (−3; 1) #» c = (6; 5) Tìm m #» #» #» #» để véc-tơ u = m a + b phương với c Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(5; 5), B(6; −2), C(−2; 4) a) Chứng minh ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(−2; 1) B(−4; 5) a) Tìm trục Ox điểm C cho ABCO hình thang có cạnh đáy AO b) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường chéo hình thang ABCO HDedu - Page 16 ... • Tọa độ trung điểm I đoạn AB : xI = • Nếu #» u = (u1 ; u2 ), #» v = (v1 ; v2 ) #» u + #» v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ); #» u − #» v = (u1 − v1 ; u2 − v2 ); #» k u = (ku ; ku ), k ∈ R ĄĄĄ BÀI TẬP... A(? ?1; 1) , B (1; 3), C(2; 4) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Đường thẳng AB cắt trục Ox điểm M Tìm tọa độ điểm M #» Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ba véc-tơ #» a = (1; 2), b = (−3; 1) ... dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (1; 4), B(−2; 6) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(? ?1; 2), B (1; 4), C(? ?1; −2) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC