Chương 1: VEC-TƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA #» F Hình 1.1 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA, SỰ XÁC ĐỊNH VÉC-TƠ Định nghĩa (Véc-tơ) Véc-tơ đoạn thẳng có hướng Véc-tơ có điểm đầu (gốc) A, điểm cuối (ngọn) B kí hiệu # » AB #» Véc-tơ cịn kí hiệu #» a , b , #» x , #» y , không cần rõ điểm đầu điểm cuối Một véc-tơ hồn tồn xác định biết điểm đầu điểm cuối ! Với hai điểm phân biệt A B ta có đoạn thẳng (AB # » # » BA), có hai véc-tơ khác AB BA A a) B #» a #» x b) Hình 1.2 CHƯƠNG VEC-TƠ CÁC ĐỊNH NGHĨA # » Định nghĩa (Độ dài véc-tơ) Độ dài đoạn thẳng AB độ dài (hay mơ-đun) véc-tơ AB, kí # » # » hiệu AB Tức AB = AB # » # » Đương nhiên AB = BA Định nghĩa (Véc-tơ-khơng) Véc-tơ-khơng véc-tơ có điểm đầu điểm cuối trùng Véc-tơ#» khơng kí hiệu #» # » # » Ta có = AA = BB = HAI VÉC-TƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG #» Định nghĩa (Giá véc-tơ) Giá véc-tơ khác đường thẳng chứa điểm đầu điểm cuối véc-tơ Định nghĩa (Phương, hướng véc-tơ) Hai véc-tơ gọi phương giá chúng song song trùng # » # » # » # » # » Trên hình 1.3a) ta có véc-tơ AB, CD, EF phương Trên hình 1.3b) ta có AB M N # » # » phương, AB M P không phương # » # » # » Hai véc-tơ phương hướng ngược hướng Chẳng hạn AB CD hướng, AB # » EF ngược hướng (hình 1.3a) E P B B F A D N A M C Hình 1.3b) # » # » Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véc-tơ AB AC phương #» Khi nói hai véc-tơ hướng hay ngược hướng chúng phương Véc-tơ phương, Hình 1.3a) ! hướng với véc-tơ HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU Định nghĩa (Véc-tơ nhau) Hai véc-tơ gọi chúng có hướng độ dài A ! C D # » # » Chẳng hạn, ABCD hình bình hành AB = DC # » # » AD = BC B # » a a điểm O, ta ln tìm điểm A cho OA = #» Khi cho trước véc-tơ #» #» #» Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB AI = IB CHƯƠNG VEC-TƠ TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ §2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉC-TƠ #» # » # » #» Định nghĩa (Phép cộng) Cho hai véc-tơ #» a b Với điểm A bất kỳ, dựng AB = #» a , dựng BC = b #» # » Khi đó, véc-tơ AC gọi véc-tơ tổng #» a b #» #» # » # » # » Ta ký hiệu: #» a + b , tức là: #» a + b = AB + BC = AC B #» a #» a # b» # b» a#» + #» b A C Phép tốn tìm tổng hai véc-tơ gọi phép cộng véc-tơ Định nghĩa (Véc-tơ đối) Cho véc-tơ #» a , véc-tơ có độ dài ngược hướng với #» a gọi #» #» véc-tơ đối a , ký hiệu − a − #» a #» a #» #» Định nghĩa (Phép trừ) Cho hai véc-tơ #» a b Phép phép trừ #» a với b định nghĩa #» phép cộng #» a với − b #» #» Ký hiệu #» a − b = #» a + (− b ) CHƯƠNG VEC-TƠ 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH Cho hình bình hành ABCD, # » # » # » • AC = AB + AD # » # » # » • AB − AD = DB B A C D CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG, TRỪ HAI VÉC-TƠ Tính chất (giao hốn kết hợp) #» #» a) #» a + b = b + #» a, #» #» b) #» a + ( b + #» c ) = ( #» a + b ) + #» c Tính chất (véc-tơ đối) #» #» a) − = #» #» b) #» a − b = −( b − #» a ), # » # » c) −AB = BA #» #» #» Tính chất (cộng với véc-tơ ) #» a + = + #» a = #» a Tính chất Cho điểm A, B, C ta có: # » # » # » a) AB + BC = AC (quy tắc điểm), Tính chất # » # » # » b) AB − AC = CB (quy tắc trừ) # » # » #» a) (quy tắc trung điểm) I trung điểm AB ⇔ IA + IB = , # » # » # » #» b) (quy tắc trọng tâm) G trọng tâm ABC ⇔ GA + GB + GC = CHƯƠNG VEC-TƠ TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA #» Định nghĩa Cho số k = #» a = Tích véc-tơ #» a với số k véc-tơ, kí hiệu k #» a , xác định sau: • k #» a phương #» a #» #» • k a hướng a k > • k #» a ngược hướng #» a k < • |k #» a | = |k|.| #» a| #» #» #» Quy ước: #» a = 0; k0 = Phép lấy tích véc-tơ với số gọi phép nhân véc-tơ với số (hoặc phép nhân số với véc-tơ) TÍNH CHẤT #» Tính chất Cho #» a , b k; h ∈ R, đó: #» #» • k( #» a + b ) = k #» a +kb; #» • (k + h) #» a = k #» a +hb; • k(h #» a ) = (kh) #» a; #» #» • a = a ; (−1) #» a = − #» a Tính chất Cho I trung điểm đoạn AB, với M ta có: # » # » # » M A + M B = 2M I Tính chất Cho G trọng tâm ABC, với M ta có: # » # » # » # » M A + M B + M C = 3M G ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VÉC-TƠ CÙNG PHƯƠNG #» #» #» #» #» ∀ #» a , b ta có: #» a phương b ( b = ) ⇔ ∃ k ∈ R : #» a = kb PHÂN TÍCH (BIỂU DIỄN) MỘT VÉC-TƠ THEO HAI VÉC-TƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG #» Cho hai véc-tơ #» a , b không phương Khi ∀ #» x ta ln tìm cặp số m, n cho #» #» #» x = ma + n b CHƯƠNG VEC-TƠ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ §4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT TRỤC VÀ ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ TRÊN TRỤC Trục tọa độ (còng gọi trục) đường thẳng xác định điểm O cố định véc-tơ #» đơn vị i (véc-tơ có độ dài 1) Điểm O gọi gốc tọa độ Hướng véc-tơ đơn vị hướng trục #» Trục tọa độ ký hiệu (O; i ) # » #» #» Cho điểm tùy ý M nằm trục (O; i ) Khi đó, có số k xác định cho OM = k· i #» Số k gọi tọa độ điểm M trục (O; i ) #» #» Cho véc-tơ #» a nằm trục (O; i ) Khi có số t xác định cho #» a = t · i Số t #» gọi tọa độ véc-tơ #» a trục (O; i ) # » Như tọa độ điểm M tọa độ véc-tơ OM # » #» Nếu hai điểm A, B nằm trục Ox Khi có số t cho AB = t · t Ta gọi số t # » # » #» độ dài véc-tơ AB trục cho, ký hiệu AB Như AB = AB · i # » #» Nếu AB hướng với i AB = AB # » #» Nếu AB ngược hướng với i AB = −AB #» Nếu hai điểm A, B trục (O; i ) có tọa độ a, b AB = b − a ! Định lí Trên trục số Với ba điểm trục, ta có AB + BC = AC # » # » Hai véc-tơ AB CD AB = CD HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» #» #» #» Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) (O; j ) vng góc với nhau, Điểm O goi gốc tọa độ #» Trục (O; i ) gọi trục hoành, ký hiệu Ox #» Trục (O; j ) gọi trục tung, ký hiệu Oy #» #» Các véc-tơ i j véc-tơ đơn vị trục Ox Oy #» #» Hệ trục tọa độ (O; i , j ) ký hiệu Oxy Mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt ! phẳng Oxy TỌA ĐỘ CỦA VÉC-TƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ #» #» #» #» Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ) #» u = x i + y j cặp số (x; y) gọi tọa độ véc-tơ #» u, ký hiệu #» u = (x; y) hay #» u (x; y) Số x gọi hoành độ, y gọi tung độ véc-tơ #» u #» #» Định lí Cho hai véc-tơ a = (x; y), b = (x ; y ) số thực k x = x #» (i) #» a = b ⇔ y = y #» #» (ii) #» a + b = (x + x ; y + y ) #» a − b = (x − x ; y − y ) (iii) k #» a = (kx; ky) x = kx #» #» #» #» (iv) a phương với b ( b = ) ⇔ ∃k ∈ R cho y = ky TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM # » Trong mặt phẳng Oxy, tạo độ véc-tơ OM gọi tọa độ điểm M Như vậy, (x; y) tọa # » độ điểm M OM = (x; y), ký hiệu M (x; y) hay M = (x; y) Số x gọi hoành độ, số y gọi tung độ điểm M Nếu gọi H, K hình chiếu M Ox Oy ! # » #» #» # » # » M (x; y) ⇔ OM = x i + y j = OH + OK # » # » #» #» Như OH = x i hay x = OH OK = y j hay y = OK Định lí Với hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) ta có # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC Định lí Cho hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) Khi trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ xI = xA + xB y = yA + yB I Định lí 5. Cho ba điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) C(xC ; yC ) Khi trọng tâm G tam giác ABC x G = x A + x B + x C có tọa độ y = yA + yB + yC G ... (hình 1. 3a) E P B B F A D N A M C Hình 1. 3b) # » # » Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véc-tơ AB AC phương #» Khi nói hai véc-tơ hướng hay ngược hướng chúng phương Véc-tơ phương, Hình 1. 3a)... véc-tơ gọi phương giá chúng song song trùng # » # » # » # » # » Trên hình 1. 3a) ta có véc-tơ AB, CD, EF phương Trên hình 1. 3b) ta có AB M N # » # » phương, AB M P không phương # » # » # » Hai... phép cộng #» a với − b #» #» Ký hiệu #» a − b = #» a + (− b ) CHƯƠNG VEC-TƠ 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH Cho hình bình hành ABCD, # » # » # » • AC = AB + AD # » # » # » •